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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

. CURSO: TURBOMAQUINAS . TEMA: MODELOS DE TURBULENCIA . ESCUELA: INGENIERÍA MECÁNICA DE FLUIDOS . ESTUDIANTES:

TURBOMÁQUINAS I

CÁCERES AGUIRRE, GIANFRANCO

14130034

CRUZ NOMBERTO, JERSON

14130136

GALINDO PORTOCARRERO, JOSE

14130147

JIMENEZ DE LA CRUZ, JONATHAN

14130047

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MODELOS DE TURBULENCIA:

1) Introducción: 1.1) Definición de turbulencia: No existe una definición única y estricta de la turbulencia. Cada estudioso de este tema aporta algo de su propio punto de vista. En 1937, G. I. Taylor y T. von Kármán dieron la siguiente definición: “Turbulencia es un movimiento irregular que en general se presenta cuando los fluidos, gaseosos y líquidos, se mueven próximo a superficies sólidas o cuando corrientes contiguas del mismo fluido fluyen próximos o inciden mutuamente”.

Geoffrey Ingram Taylor (1886-1975)

Theodore Von Kárman (1881-1963)

De acuerdo a esta definición, el flujo turbulento tiene que satisfacer la condición de ser irregular. Esta condición es un rasgo muy importante del movimiento turbulento. Debido a la irregularidad es imposible describir el movimiento en todos sus detalles como una función del tiempo y las coordenadas espaciales. Sin embargo, afortunadamente, el movimiento es irregular en el sentido que es posible describir por las leyes probabilísticas. Esto posibilita revelar los valores promedios de las magnitudes físicas tales como: velocidad, presión, temperatura, etc. HINZE (1959), basado en la condición de irregularidad, dio la siguiente definición: “Movimiento turbulento de un fluido es una condición irregular del flujo en la cual las diferentes magnitudes muestran una variación aleatoria con el tiempo y las coordenadas espaciales, pero de tal manera que estadísticamente se pueden distinguir los diferentes valores promedios”.

Para ABBOTT & BASCO (1989), las definiciones de turbulencia presentadas en el párrafo anterior corresponden al punto de vista de la teoría clásica. Según estos autores, para la teoría clásica, “la turbulencia es un movimiento vortiginoso con un amplio espectro de tamaños de remolino y un espectro correspondiente de frecuencias de fluctuación. El movimiento es siempre rotacional. Las formas de los remolinos grandes (de frecuencias de fluctuación relativamente pequeñas) son usualmente determinadas por las dimensiones características del contorno del problema, mientras que las formas de los remolinos pequeños (de mayores frecuencias de fluctuación) son determinadas por las fuerzas viscosas.”

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El esquema de la figura 1(a), muestra el espectro de tamaños de los remolinos. Al respecto, McCABE sostienen que el tamaño del remolino máximo es comparable con la dimensión mínima de la corriente turbulenta; y el diámetro del remolino más pequeño es de 10 a 100 µm. Asimismo, en la figura 1(b) se puede observar un amplio rango de escalas de longitud (según escala de colores) en una visualización de un chorro turbulento real.

Fig. 1(a): Representación esquemática de los remolinos de un campo de flujo turbulento. Se muestra el perfil de velocidad promedio, los remolinos grandes del orden de L y los remolinos más pequeños del orden de ƞ. (Fuente: ÇENGEL & CIMBALA, 2006, p, 841)

Fig. 1(b): Visualización de flujo de un chorro turbulento, hecho mediante fluorescencia inducida por láser. El chorro muestra un amplio rango de escalas de longitud, una importante característica de flujo turbulento.

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Desde el punto de vista de la teoría de CFD, la turbulencia tiene que ver con tres cosas:  Nuestra visión de nuestro mundo exterior,  Nuestra máquina digital, y  La naturaleza de nuestras propias facultades mentales. De hecho, podemos ver todo el tema de la "turbulencia" como consecuencia de la falta de correspondencia entre nuestros poderes de observación y nuestros poderes de comprensión; una falta de correspondencia que adquiere nuevas dimensiones a través de la introducción de la computadora. Son las limitaciones de nuestros sentidos y la mente que nos hacen distinguir entre las cosas que son tan simples en comportamiento que podemos comprender fácilmente, cosas que están tan confusos que podemos comprender sólo con dificultad, y las cosas que son tan complicadas que en realidad no podemos comprender del todo. En el enfoque clásico, como iniciado por Reynolds, y su extensión [los modelos] ke, el “comportamiento turbulento" pertenece al último de estas [tres] categorías. En el enfoque LES, se realiza un intento de simular el flujo que todavía podemos seguir con la computadora, aunque con dificultad; mientras que sólo los flujos que ni nosotros ni nuestras máquinas pueden seguir, se supone que constituyen la turbulencia. Dado que los límites entre estas regiones de diferente resolubilidad no son claros y están cambiando con la evolución de la computadora, la definición de la turbulencia se hace a menudo poco clara y también cambiante. En esta misma línea, las magnitudes asociadas con el flujo turbulento, tal como el "coeficiente de difusión turbulenta", tomarán magnitudes muy distintas en un punto de vista en oposición a la otra. De hecho, en el trabajo LES no existe tal medida definida para el flujo mismo, sino sólo la secuencia de medidas correspondientes a la secuencia de escalas de discretización utilizadas en el modelamiento. Vemos así que el uso de la computadora ha alterado lo que podemos considerar como “flujo medio” (o “flujo promedio”) y lo que podemos considerar como “turbulencia”. La siguiente es la moderna definición de turbulencia dada por la teoría de CFD: “La turbulencia es simplemente todo fenómeno debido al movimiento irregular que ocurre a escalas por debajo de aquellas que son posibles de resolver sobre una malla usada para propósitos computacionales”.

Así, desde este punto de vista, la definición de la turbulencia es relativa al tamaño de la malla que emplea cada modelador. De este modo, lo que es turbulencia para un modelador que usa malla gruesa, puede constituir un flujo de fluido calculable (simulable) para otro modelador que usa una malla más fina. Finalmente, se presenta una definición de la turbulencia dada en el contexto de las ideas del movimiento determinista, que entre sus precursores puede considerarse al matemático francés Poincaré y al meteorólogo norteamericano Lorenz: "La turbulencia es cualquier solución caótica de la ecuación 3D de Navier-Stokes que es sensible a los datos iniciales y que se produce como resultado de inestabilidades sucesivas de flujos laminares cuando un parámetro de bifurcación16 se incrementa a través de una sucesión de valores."

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1.2) Escalas de turbulencia: En la literatura especializada a las longitudes y tiempos característicos que tienen lugar en un flujo turbulento, se les denomina genéricamente escalas de turbulencia, y a los movimientos que tienen lugar en dichas escalas, se les conoce como remolinos o torbellinos. Los conceptos de escala y remolino, aunque son ambiguos en gran medida, se usan con profusión en la literatura para describir de forma cualitativa la física de la turbulencia. En general, hay cuatro conjuntos principales de escalas en un flujo turbulento (puede haber más si otros fenómenos físicos, tales como, transferencia de calor y/o la combustión son importantes), estos son: 1.- Escala grande, basada en la geometría del dominio del problema, designada por L, U, t [ta: tiempo advectivo; tb: tiempo difusivo]; 2.- Escala integral, que es una fracción de O(1) [“orden de magnitud unidad”] (a menudo tomado como ~0.2) de la escala grande (y denominada "escala exterior), designada por l, T 3.- Microescala de Taylor, que es una escala intermedia, básicamente correspondiente a subrango inercial de Kolmogórov (en realidad, dentro de este subrango), designada por , u,  . 4.- Escala de Kolmogórov (o de "disipación") que es la más pequeña de las escalas de turbulencia (llamada "escala interior"), designada por  , u0 y  0 . A grandes rasgos, se observa que los remolinos mayores poseen una longitud característica del orden de la longitud característica del dominio fluido [L], por ejemplo: del orden del diámetro característico de la sección en el caso del movimiento turbulento en un conducto o en un chorro; del tamaño característico del objeto para el caso de un flujo externo alrededor del mismo; etc. El tiempo característico [t] de variación de dichos remolinos, puede estimarse a partir de su longitud característica y la velocidad característica del flujo [U] determinada por las condiciones de contorno impuestas al sistema, tales como el caudal, diferencias de presión, etc. 1.2.1) Cambio de escala y cascada de energía: Al ser el número de Reynolds siempre alto en los flujos turbulentos, los efectos viscosos son muy pequeños para el movimiento en los remolinos grandes y, mediante mecanismos que no son bien conocidos todavía, se hacen inestables frente a perturbaciones dando lugar a un proceso de generación de remolinos cada vez de menor tamaño, hasta que la longitud característica de los mismos es tan pequeña que las fuerzas de viscosidad entran en juego y detienen el proceso. De esta forma, y como puede observarse en algunos casos cotidianos, partículas fluidas que en cierto instante se mueven en remolinos grandes se arremolinan en instantes sucesivos en remolinos cada vez más pequeños hasta que disipan una fracción importante de su energía cinética en forma de calor en los más pequeños. Puesto que los remolinos grandes coexisten con los pequeños, debe producirse un suministro continuo de energía, denominado cascada de energía, desde el movimiento de escalas grandes, hacia el movimiento de escalas pequeñas, al mismo tiempo que el movimiento en las escalas grandes debe adquirir su energía del exterior a TURBOMÁQUINAS I

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través de las condiciones iniciales y/o de contorno impuestas al sistema. De hecho, la turbulencia es extraordinariamente disipativa, siendo una experiencia común que para que un flujo turbulento pueda mantenerse necesita un suministro suficiente y continuo de energía externa, de otra forma la disipación que tiene lugar en las pequeñas escalas disminuirá pronto la energía cinética del flujo y la turbulencia desaparecería. Esta noción de cascada de energía, descrita primero de forma cualitativa por Richardson y, más tarde, de forma cuantitativa por Kolmogórov, ha producido resultados muy fructíferos en el estudio de la turbulencia, tanto para su entendimiento físico como para su tratamiento analítico y numérico. 1.2.2) Teoría de Kolmogórov: En particular, la teoría de Kolmogórov (conocida también como teoría K41) permite estimar los valores característicos correspondientes a los remolinos más pequeños que pueden observarse en un flujo turbulento. El principal aporte de la teoría K41 es la adecuada predicción de la distribución de energía entre las diferentes escalas, esto es, en estado estacionario la transferencia de energía entre todos los tamaños de remolinos tiene que ser la misma e igual a la que se inyecta a través de los remolinos de tamaños mayores. En el marco de la teoría K41, si la longitud típica del dominio fluido es L y la velocidad característica impuesta por las condiciones de contorno es U, entonces, el tiempo característico de variación para el movimiento en los remolinos grandes es del orden de L/U. Entonces, es aceptable suponer que este es el “orden de magnitud ”del tiempo que, en promedio, las partículas fluidas tardan en pasar desde los remolinos grandes a otros más pequeños, lo que proporciona una energía cinética por unidad de masa (k) del orden de U que entra en el flujo turbulento (es decir, kU2 ) y se disipa en los torbellinos pequeños. Así, la tasa de transferencia de energía cinética por unidad de masa será:

k ta

U2 U2 U3   ta L /U L

(1)

Por otra parte, la tasa de disipación de energía mecánica por unidad de masa 1 l  , es del orden de magnitud de  ( : V )  .Entonces sí u0 y  representan a la   velocidad y a la longitud características de los remolinos más pequeños,  puede estimarse como

u02 1 l   ( : V )  v 2  

(2)

l

Donde    V  (V )T  es el tensor esfuerzo viscoso, y el resultado del l

“doble producto punto” (:) entre los tensores de segundo orden  y V es un escalar

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Puesto que toda la energía cinética que entra se disipa, se iguala (1) y (2) obteniéndose



v

u0 2

U3 L

2

(3)

Asimismo, ya que los efectos no estacionarios son del mismo orden que los efectos advectivos [y difusivos] para todas las escalas turbulentas, se tendrá:



V t

 (V .)

 2 

(4)

(No est.) (Advectivo) (Difusivo)

entonces, si  0 denota el tiempo característico de variación en la escala pequeña, las relaciones (4) proporcionan los siguientes órdenes de magnitud para la escala pequeña:

u0

0

u0 2

v



u0

(5)

2

En consecuencia, los órdenes de magnitud de u0 , y  0 , se pueden hallar de la siguiente manera: De la relación (5),

u0

v



u0 2



, de donde,

v

u0

2

u0 v

; que se simplifica para,

(6)

1

es decir, en la escala de Kolmogórov el número de Reynolds tiene orden de magnitud de 1, el cual indica que las fuerzas viscosas, que provocan la disipación, son del mismo orden de magnitud de las fuerzas de inercia. Asimismo, en la relación (2):

v  v

2

u02



2



u02   u0   v   

2

u02

u04

(teniendo en cuenta 6), de donde resulta:

u0

Similarmente, de (6): 

(v )1/4

(7)

v . Entonces, teniendo en cuenta (7), se obtiene: u0 1/ 4



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 v3     

(8)

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

Por otro lado, por definición:  0

u0

.Por tanto, dividiendo (8) entre (7), resulta 1/2

v    

0

(9)

Los valores relativos de u0 ,  y  0 respecto a los valores característicos de la escala grande, se obtienen de la siguiente manera: De (7), teniendo en cuenta (3),

u0

(v )1/4  (v

U 3 1/4 U4 U 4 1/4 U )  (v )1/4  ( )  1/4 UL L UL Re v u0 U

De donde,

Asimismo, de (3): v

Pero, de (6):

v



1 Re1/4

 U3 , de donde, L L

u0 2

2

u0 Entonces, en (a):

 L

(10)

vu02 (a) U 3 3

u03  u0     , donde, teniendo en U3 U 

cuenta (10), se obtiene:



Re 3/ 4

L

Finalmente,

0

 / u0

ta

L /U



U Lu0

(11)

; de donde, teniendo en cuenta (10) y (11), resulta

0 ta

Re 1/2

(12)

UL L y ta  ,son el número de Reynolds y el v U tiempo advectivo característico para movimiento de escala grande.

En las relaciones (10) a (12), Re 

Volviendo a los órdenes de magnitud de las escalas pequeñas, las estimaciones (7) al (9) ponen de manifiesto que para un valor dado de  , los valores característicos de las escalas pequeñas dependen de los de las grandes escalas solamente a través de la tasa de energía por unidad de masa suministrada externamente a los grandes remolinos, que es a su vez la que debe disiparse por la viscosidad en los remolinos pequeños ( ). Los valores u0  ud  (v )1/4

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v3

  d  ( )1/4 

v

 0   d  ( )1/2 

(13)

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se denominan microescala de Kolmogórov (o de disipación) y definen, de acuerdo con las relaciones (7) al (9), el orden de magnitud de las escalas turbulentas más pequeñas, aquellas para las que los efectos de disipación son importantes.

1.3) Ecuaciones de flujo de fluidos: Hoy en día casi universalmente se concuerda que las ecuaciones de NavierStokes (N-S) encarnan la física de todos los flujos de fluidos (dentro de los límites de la hipótesis del medio continuo), incluidos los flujos turbulentos. Sin embargo, para un estudiante promedio de mecánica de fluidos esta premisa podría parecer una paradoja porque las ecuaciones de N-S que él conoce son para flujo en régimen laminar; lo que no es cierto. Es más, desde siempre, el estudio del flujo turbulento se ha enfocado a partir de las ecuaciones del flujo laminar, tal como se describe en las siguientes Secciones. Por lo anterior, se sabe que las ecuaciones exactas que describen el movimiento turbulento son las ecuaciones de Navier-Stokes8. Entonces, previamente recordemos que con el término “ecuaciones de Navier-Stokes” (o “ecuaciones de N-S”) nos referimos a la ecuación de conservación de momentum lineal, llamado también ecuación de movimiento, y a la ecuación de conservación de masa. Asimismo, conviene recordar que, aun cuando las ecuaciones de N-S son bastante genéricas, pueden simplificarse notoriamente de acuerdo las condiciones particulares del problema. Por ejemplo, la ecuación vectorial de continuidad para flujo incompresible toma la siguiente forma sencilla:

.V  0

(14)

En coordenadas rectangulares esta ecuación se expresa como:

u v w   0 x y z

(15)

Similarmente, la ecuación vectorial de movimiento de un fluido newtoniano incompresible y de viscosidad constante es:



DV   p   2 V   g Dt

(16)

Los componentes de esta ecuación en coordenadas rectangulares son: 

Componente en x:

  2 u  2 u  2u   u u u u  p u v  w       2  2  2    gx x y z  x  t  x y z 



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(17.a)

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

Componente en y:

  2v  2v  2v   v v v v  p u v  w       2  2  2    gy x y z  y  t  x y z 

 

(17.b)

Componente en z:

 2w 2w 2w   w w w w  p u v w     2  2  2    gz x y z  z y z   t  x



(17.c)

1.4) Ecuación de conservación de una magnitud escalar: En un campo de flujo, especialmente en un campo de flujo turbulento, ocurre transporte de propiedades por diversos mecanismos. Por lo tanto, otra ecuación importante en flujo de fluidos es la ecuación de balance (o conservación) de una propiedad extensiva escalar . Esta ecuación, para un proceso isotrópico, vectorialmente se suele expresar como   (.V )  G   2 t

(18)

Donde  : concentración de la propiedad escalar  , siendo el volumen de un  volumen de control elemental,



V : campo de velocidad (velocidad promedio de masa),

G : tasa de generación de la propiedad  ,

 : difusividad molecular de la propiedad  dentro el flujo, supuesto constante (proceso isotrópico). Una expresión equivalente de (18) es    (.V )  (V .)  G   2 t

(19)

Para una propiedad escalar conservativa G = 0; y si además el flujo es incompresible,

.V = 0. Por lo tanto, para tales condiciones del problema, la ecuación (19) toma la siguiente forma sencilla:   (V .)   2 t TURBOMÁQUINAS I

(20)

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La ecuación (20), también se denomina “ecuación de transporte de una especie conservativa”, y en coordenadas rectangulares se expresa como

     2  2  2 u v w ( 2  2  2 ) t x y z x y z

(21)

2) Métodos de simulación numérica del flujo turbulento: La integración directa de las ecuaciones de N-S sería la manera más evidente y precisa de predecir un flujo turbulento. Se resolverían todas las escalas espaciales y temporales del flujo turbulento sin promedios o aproximaciones. Así, los únicos errores provendrían de las discretizaciones numéricas. Sin embargo, calcular todas las escalas de la turbulencia definitivamente no es una tarea fácil. En los métodos como la Simulación Numérica Directa (DNS –Direct Numerical Simulation), que consiste en resolver las ecuaciones de N-S directamente, sin la imposición de un modelo, implica el uso de una malla computacional capaz de describir todo el espectro de frecuencias, desde las menores (grandes estructuras) hasta las mayores (escala de Kolmogórov – pequeñas estructuras de alta frecuencia). Además del refinamiento de la malla, se exigen esquemas de discretización espacial y temporal de alto orden, que no impongan difusión numérica al cálculo. Se suma a esto el cuidadoso uso de condiciones de contorno, adecuadas con niveles de perturbación específicos para cada caso. El empleo del método DNS ha aumentado considerablemente en los últimos años debido al avance de los microprocesadores, que, más potentes, ya son capaces de procesar cálculos para números de Reynolds más altos. Estudios referentes a la capa límite y a flujos en las proximidades de pared (flujos de base) han utilizado el método DNS, obteniendo resultados muy interesantes, que ayudan en el estudio de la topología de las estructuras de los remolinos y en el estudio de la transición a la turbulencia. Al no poder resolver todas las escalas de la turbulencia, surge el concepto de descomposición de las escalas de la turbulencia, pudiendo ser realizada vía promedio temporal o vía promedio espacial (filtraje). Cuando se aplica el concepto de promedio temporal, descomponiendo la velocidad en una parte promedio y otra fluctuante, se obtienen las ecuaciones de N-S promediadas, y la metodología es conocida como N-S Promediada con el Método de Reynolds (RANS –Reynolds Averaged Navier-Stokes). Para los casos donde se aplica el promedio espacial de las ecuaciones de N-S surgen las ecuaciones filtradas, utilizadas en la metodología de Simulación de Grandes Escalas (LES –Large Eddy Simulation). Diferente de la metodología RANS donde todo el espectro de energía es modelado, en la metodología LES las grandes escalas son calculadas y apenas las escalas menores son modeladas, dependiendo obviamente de la discretización espacial y temporal empleadas. Independiente de la metodología, el problema de la promediación temporal o espacial es la aparición de nuevos términos en las ecuaciones de N-S, quedando así con un sistema que posee más incógnitas que número de ecuaciones: es el llamado “problema de cerradura” de la turbulencia. Para suprimir esa necesidad se desarrollan modelos, los llamados “modelos de

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turbulencia”, que tiene por objetivo modelar el tensor de Reynolds, el término más importante surgido de la aplicación del promedio. El matemático francés Joseph Boussinesq, en 1877, a través del concepto de viscosidad turbulenta introdujo el cierre de las ecuaciones de N-S modelando el tensor de Reynolds en una analogía con el modelo de viscosidad molecular adoptado por Stokes. Basado en la hipótesis de Boussinesq, existen dos grandes corrientes filosóficas distintas para el modelamiento de la turbulencia: Vía promedio de las ecuaciones de N-S por el método de Reynolds (metodología RANS), a través del cual las escalas de la turbulencia son divididas en una parte promedio y otra fluctuante. Las nuevas incógnitas surgidas en el proceso de promediación (correlaciones de partes fluctuantes) se modelan. Vía ecuaciones de N-S filtradas (metodología LES), a través del cual las grandes escalas son resueltas y apenas las pequeñas son modeladas. Procurando sacar provecho de las dos metodologías anteriores, un tercer campo de investigación en el modelamiento de la turbulencia ha surgido recientemente: El modelamiento híbrido de la turbulencia, que busca utilizar la buena descripción de los flujos turbulentos parietales de las metodologías RANS juntamente con la buena descripción de los flujos libres de las metodologías LES, son los llamados Modelos Híbridos RANS/LES. Existen además modelos que no pasan por la aproximación de Boussinesq, en los cuales el tensor de Reynolds es modelado de forma diferente. Algunos hacen analogías con las componentes medias de la velocidad y otras generan ecuaciones de transporte para las componentes del tensor de Reynolds. Según McDONOUGH, desde el punto de vista de las investigaciones actuales de la turbulencia, probablemente los avances más importantes de la década de 1970 y 80 fueron las técnicas computacionales (y el hardware en el cual se implementan). La primera técnica computacional que surgió fue la metodología LES propuesto por Deardorff en 1970. Fue rápidamente seguida por la primera metodología DNS de Orszag y Patterson en 1972, y la introducción de una amplia gama de aproximaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes por la metodología RANS, también iniciada alrededor de 1972. A su vez, esta última metodología inició un enorme esfuerzo de modelamiento que continúa hasta nuestros días (en gran parte debido a que aún no ha sido exitosa, pero al mismo tiempo, porque la mayoría de los otros enfoques todavía no son computacionalmente factibles). Con todo, dentro del contexto de simulación numérica de la turbulencia descrita en los párrafos anteriores, debería tomarse nota de lo que sostienen BARRERO & PÉREZ-SABORID: “En turbulencia no es posible hacer una descripción determinística del flujo en todos sus detalles. Incluso si se obvia el carácter caótico de las ecuaciones de Navier-Stokes, el coste que supondría dicha descripción para los números de Reynolds de interés práctico es demasiado elevado para las prestaciones de los ordenadores actuales11. […]. [Esto excluye] la posibilidad de realizar cálculos detallados de un flujo turbulento realista (número de Reynolds muy elevados) directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. No obstante, debe tenerse en cuenta que una información tan exhaustiva no es relevante para un gran número de aplicaciones prácticas, en las que basta con una descripción incompleta del flujo, realizada en términos estadísticos y basada en magnitudes medias”.

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3) Enfoques y avances del estudio de la turbulencia: Según McDONOUGH, en un artículo poco conocido, pero muy interesante, Chapman & Tobak (1985) describen la evolución de la comprensión de la turbulencia, en el período comprendido entre 1883 y 1984 (100 años), en función de las siguientes tres épocas o “movimientos”, traslapados en el tiempo, a los que ellos denominan: Estadístico (statistical), Estructuralista (structural) y Determinista (deterministic). La figura 2 sería un esquema similar a la presentada por Chapman & Tobak, con la inclusión de entradas adicionales efectuada por McDONOUGH (2007).

Fig. 2: Movimientos en el estudio de la turbulencia, según Chapman y Tobak (1985)

El enfoque estadístico habría sido motivado por la idea de que la turbulencia es aleatoria y, pese a las repetidas contradicciones experimentales de esta interpretación, el movimiento se extiende hasta la actualidad con los trabajos recientes de combinar las metodologías RANS y LES [metodología híbrida]. Una de las contradicciones más interesantes de esta época surge del hecho de que con mucha antelación muchos investigadores ya aceptaban a las ecuaciones de N-S como la formulación correcta del flujo turbulento. Sin embargo, estas ecuaciones son determinísticas, por lo que una pregunta que se debería haber hecho, pero que evidentemente no se hizo, es "¿Cómo una ecuación determinística puede presentar una solución aleatoria?" Sobre este aspecto, sólo ha habido respuestas superficiales. Pese a todo, las soluciones de las ecuaciones de N-S son determinísticas, dejando a elección lo siguiente:

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 

Aceptar las ecuaciones de N-S como la descripción correcta del flujo turbulento y admitir que la turbulencia no es aleatoria; o bien Buscar una descripción totalmente diferente, posiblemente basada en ecuaciones diferenciales estocásticas.

Además, si se insiste en que la turbulencia es un fenómeno aleatorio, el promedio de las ecuaciones de N-S, como se hace en la metodología RANS tiene poco sentido (se estaría empezando con ecuaciones erróneas y, encima, se estaría terminando con ecuaciones que no son estocásticas). El movimiento estructuralista, posiblemente, se pudo haber iniciado con las observaciones de Schubauer & Skramstad de las ondas Tollmien-Schlicting en 1948, pero incluso los primeros experimentos de Reynolds indicarían la existencia de estructuras coherentes y secuencias cortas de bifurcación [transición]. En cualquier caso, este movimiento también persiste incluso hasta el presente, y continúa mucha investigación en la detección y el análisis de estructuras coherentes en flujos turbulentos. En el artículo citado de Chapman & Tobak, el resultado del movimiento estadístico se resumiría como "una teoría sin estructura que tiene poco poder de conceptualización," y McDONOUGH (2007) añade, “también poco poder de predicción al menos en parte como consecuencia de la falta de estructura.” Por el contrario, los autores del artículo caracterizarían el movimiento estructuralista como de haber producido "estructura sin teoría." Debido a las grandes cantidades de datos surgidos durante la experimentación habría sido difícil construir una teoría, pero en algunos aspectos no estaría claro tampoco que hay realmente mucha estructura. Para Chapman & Tobak el movimiento determinista comenzaría con la obra de Lorenz, pero que también fácilmente se podría incluir estudios que se remontan a los de Poincaré. Después de describir una cantidad considerable de investigación hasta 1984, ellos concluyen que mientras los resultados del movimiento determinista son alentadores, a partir de esa fecha no habrían presentado aún ningún enfoque exitoso para la simulación de flujos turbulentos. (Según McDONOUGH, de hecho, hasta el presente, las técnicas basadas deterministicamente suelen ser criticados por esta misma razón. DNS es demasiado caro para las simulaciones prácticas, y, esencialmente, no se han acreditado ninguna de las técnicas de modelado eficientemente calculadas que podrían estar directamente relacionados con el enfoque determinista). Chapman & Tobak concluyen el documento expresando que las futuras direcciones en el estudio de la turbulencia reflejarán desarrollo del movimiento determinista, pero que sin duda va a incorporar algunos aspectos, tanto del movimiento estadístico como del estructuralista. Según McDONOUGH, en cierto sentido, esto se está demostrando ser el caso. En verdad, LES puede ser visto como un producto del movimiento determinista en la cual las escalas grandes que contienen energía se calculan directamente (como en DNS). Por otro lado, LES puede también ser visto a la luz del movimiento estadístico porque los modelos de escala sub-malla (subgrid scale models -SGS) se basan generalmente en un enfoque estadístico. Al mismo tiempo, están empezando surgir otras aproximaciones al modelo SGS, construcción que hace, por lo menos en forma indirecta, incorporar aspectos de los movimientos estructuralistas y deterministas.

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Por su parte, ABBOTT & BASCO consideran los avances del estudio de la turbulencia en el contexto de dos grandes épocas:  

El período de teoría clásica (de 1895 hasta aproximadamente 1970), y La moderna era de la teoría de CFD (Computational Fluid Dynamics) de 1970 en adelante.

La teoría clásica que cubre aproximadamente el período 1895-1970, data desde la introducción de las ecuaciones de movimiento de promedio temporal por Reynolds. La mayor parte de las aplicaciones clásicas usan el modelo de longitud de mezcla y el concepto de viscosidad de remolino para producir resultados analíticos que anteceden a la moderna era computacional, aun cuando ellas continúan para proporcionar valiosos puntos de referencia dentro de esta nueva era. A partir de alrededor de 1970, se han propuesto muchos otros enfoques para la simulación de la turbulencia y, en particular, han avanzado dos principales metodologías. La primera de éstas [la metodología RANS], que ha sido descrita en detalle por RODI (1980), extiende la aplicación de la aproximación clásica de promedio temporal. Se ha dado en llamar “modelo k-‟ porque el modelo estándar simula el transporte de energía cinética turbulenta [por unidad de masa], k, y la tasa de disipación de energía turbulenta, . La segunda metodología es un enfoque distinto, porque comúnmente emplea las ecuaciones de flujo de fluido promediada espacialmente (o filtrada). Esta metodología se ha dado en llamar LES. Estos enfoques son relativamente nuevos, y como se ha dicho, cubren aproximadamente el período 1970 en adelante (tras la introducción de más potentes y prácticos facilidades de computación digital), pero ellos ya han revolucionado incluso la propia definición de la turbulencia. Sin embargo, debemos tener en cuenta que la revolución que significa todo esto de ninguna manera está concluida.

4) Enfoque estadístico de la turbulencia (ecuaciones de REYNOLDS): La irregularidad y la extraordinaria sensibilidad a las condiciones iniciales (ver figura 3) confieren al flujo turbulento un carácter casi aleatorio que hace imposible, a la vez que inútil en la práctica, su cálculo detallado mediante integración directa de las ecuaciones de N-S.

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Fig. 3: la extraordinaria sensibilidad del flujo turbulento a las condiciones iniciales. Diferentes evoluciones temporales de la velocidad para tres repeticiones de experimentos en un flujo turbulento

Afortunadamente, los flujos turbulentos son predecibles en términos estadísticos en el sentido de que si en cualquier punto fijo del dominio fluido se miden los valores instantáneos de las variables fluidas durante un intervalo de tiempo suficientemente largo y se promedian los resultados en dicho intervalo, los valores promedios locales obtenidos se comportan de manera determinista y varían en el espacio y en el tiempo de forma mucho más suave que los valores instantáneos; este comportamiento se pone de manifiesto en el oscilograma de la figura 3.1(a) y en los perfiles de velocidades de la figura 3.1(b). Además, desde un punto de vista práctico, el conocimiento de los valores promedios de las variables es generalmente mucho más relevante que el de los valores instantáneos. El enfoque clásico del estudio de la turbulencia se basa en este criterio.

Fig. 3.1(a): Evolución temporal de la velocidad en un punto dentro del flujo turbulento. El valor promedio permanece estable.

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Fig. 3.1(b): Superposición de perfiles instantáneos de velocidad en la sección de un conducto. Se puede distinguir un perfil de velocidades medias al que se superponen las fluctuaciones de velocidad.

Las teorías clásicas parten del concepto de un flujo que se resuelve en la escala más pequeña posible, de modo que en general no es práctico describir económicamente este flujo en su totalidad. El flujo es caracterizado por componentes de velocidad u  u ( x, y, z, t ) , v  v( x, y, z, t ) , w  w( x, y, z, t ) y la presión p  p( x, y, z, t ) , definidos en esta escala más pequeña. Luego, esta descripción del flujo se separa en dos partes: la primera de ellas está compuesta de una descripción que está cambiando tan lentamente que se puede resolver de un modo económico, caracterizado por componentes de velocidad u  u ( x, y, z, t ) , v  v( x, y, z, t ) , w  w( x, y, z, t ) y la presión p  p( x, y, z, t ) , mientras que la segunda está compuesta por una perturbación superpuesta a la parte que se puede resolver con facilidad, representado por componentes de velocidad u '  u '( x, y, z, t ) , v '  v '( x, y, z, t ) , w '  w '( x, y, z, t ) y la presión p '  p '( x, y, z, t ) . Así, estas últimas variables comprenden la parte del flujo que no se puede resolver completamente de algún modo económico. El abordaje descrito en el párrafo precedente se conoce como separación de variables del flujo, y es el mismo que fue planteado por Reynolds. Las partes de las variables que cambian lentamente se denominan variables promedias del flujo o “magnitudes del flujo medio”, y las partes que representan a la perturbación, se conoce como “fluctuación”. Es importante recalcar que las ecuaciones que gobiernan las magnitudes medias de un flujo turbulento fueron obtenidas por primera vez por Osborne Reynolds en 1895. Desde entonces, las comúnmente denominadas ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por el método de Reynolds (RANS equations), ha sido el punto de partida para la inmensa mayoría de las investigaciones, tanto analíticas como numéricas, realizadas en el campo de la turbulencia.

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5) Método de separación de variables de Reynolds: El método de separar una variable del flujo turbulento en una parte promedio y otra fluctuante, hasta ahora, es similar a lo que usó Reynolds cuando descompuso la velocidad instantánea en una parte promedio y una fluctuación. Siguiendo este criterio, los valores instantáneos del vector velocidad (v), presión (p) y densidad (), en sistema de coordenadas cartesianas rectangulares puede expresarse como:

V ( x, y, z, t )  V ( x, y, z, t )  V '( x, y, z, t ) p( x, y, z, t )  p( x, y, z, t )  p '( x, y, z, t )

(5.1a)

 ( x, y, z, t )   ( x, y, z, t )   '( x, y, z, t ) Donde:

V ( x, y, z , t ) , p ( x, y , z , t ) ,  ( x, y, z , t ) : variables instantáneas;

V ( x, y, z, t ) , p ( x, y, z , t ) ,  ( x, y, z , t ) : Valores promedios; V '( x, y, z , t ) , p '( x, y, z , t ) ,  '( x, y, z , t ) : fluctuaciones alrededor del valor promedio; x, y, z, t: variables independientes (3 espaciales y el tiempo).

De estas fórmulas se deduce que una fluctuación (o pulsación) turbulenta se define como la diferencia entre un valor instantáneo y el valor promedio. Por ejemplo, el vector fluctuación de velocidad, será

V '( x, y, z, t )  V ( x, y, z, t )  V ( x, y, z, t )

(5.1b)

Definiendo y aislando de esta manera a las fluctuaciones de velocidad, se puede estudiar con provecho ciertos aspectos esenciales de la turbulencia. Las fluctuaciones causan en un punto del flujo una pulsación rápida e irregular de las variables instantáneas alrededor de un valor promedio bien definido. Por ejemplo, para el caso del componente de la velocidad esto puede observarse en la figura 5(a), donde u es la velocidad promedio y u  f (t ) es la velocidad instantánea, necesariamente como una función del tiempo. En esta figura (que, por facilidad, es una esquematización en el plano no obstante que las fluctuaciones se dan en las tres direcciones) se puede considerar a la velocidad instantánea u  f (t ) como compuesta por la suma vectorial de la velocidad promedio y de los componentes de fluctuación u ' y v ' , ambas funciones del tiempo.

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Fig. 5(a): Esquematización del vector velocidad en un plano

Fig. 5(b): Registro de fluctuaciones

Mediciones de u ' o de v ' por medio de un anemómetro de hilo caliente1, producen un registro similar al de la figura 5(b). Estos registros, debido a la naturaleza caótica de la turbulencia, no presentan períodos o amplitudes regulares; sin embargo, permiten la definición de ciertas características de la turbulencia como se verá más adelante. Según HINZE (1959), en el estudio de la turbulencia los valores promedios de las variables del flujo turbulento, puede determinarse de varias maneras, así: a) Si la turbulencia del campo de flujo es cuasi-permanente, se puede promediar con respecto al tiempo (es decir, se puede hallar un promedio temporal); b) En el caso de un campo de flujo con turbulencia homogénea, se puede promediar con respecto al espacio (o sea, se puede hallar un promedio espacial, denominado también filtro en el argot de modelamiento numérico de la turbulencia); c) Si la turbulencia del campo de flujo no es permanente ni homogénea, no siempre es posible obtener promedio temporal o espacial. En este caso, se puede hallar un promedio de conjunto (ensemble average) o promedio estadístico; d) Si se usa el método de Euler para la descripción de campo de flujo, cualquiera de los 3 métodos de promediación antes citados se puede aplicar a una magnitud que varía en cualquier punto dentro del campo de flujo.

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e) Si se usa el método de descripción de Lagrange, por ejemplo, en un estudio de transporte turbulento o proceso de difusión, el promedio se puede hallar de varias maneras:  

Con respecto a un gran número de partículas que tienen igual tiempo de partida, pero diferentes orígenes (esto requiere, en término medio, un campo de flujo homogéneo); o Con respecto a gran número de partículas que tiene igual origen, pero diferentes tiempos de partida (esto requiere, en término medio, un campo de flujo cuasi-permanente);



También, se puede considerar un promedio de conjunto.

En consecuencia, un procedimiento de promediación puede llevarse a cabo solamente si existen ciertas condiciones como las citadas en los párrafos precedentes.

6) Promedio de una variable de flujo turbulento registrada como serie de tiempo: Cualquier variable Euleriano  ( x, t ) medido en un punto fijo dentro de un campo de flujo dependerá solamente del tiempo, que puede representarse como  (t ) (DE NEVERS, 2005). De este modo, el registro (oscilograma) de esta variable a lo largo del tiempo resultará una serie de tiempo. Esta serie, dependiendo si el campo de flujo es permanente (cuasi-permanente) o no permanente, tomará una de las formas que muestra la figura 6.

(a) Permanente

(b) No permanente

Fig. 6: Series de tiempo permanente y no permanente

De acuerdo a la figura 6, se tendrá 2 tipos de series de tiempo: una con valor promedio, o “rasgo promedio”, constante; y la otra con valor promedio variable con el tiempo.

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a) Cuando los “rasgos promedios” no varían con el tiempo:

En este caso, el comportamiento de  (t ) será tal como muestra la figura 6(a), que es típico de la turbulencia que algunos autores denominan turbulencia estadísticamente estacionaria (BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005). Entonces, se puede definir el promedio de la variable como el promedio temporal (time average), matemáticamente definido por (KUNDU, 1990; DE NEVERS, 2005) t

1 0   lim   (t )dt t0  t 0 0

(6.1)

Sin embargo, por razones prácticas no se puede promediar sobre un tiempo t 0 infinitamente grande, por lo que se usan fórmulas más simples. Así por ejemplo, cuando  (t) representa al componente u de la velocidad, HINZE (1959, p, 5) define el promedio temporal de la siguiente manera: T

1 u   u (t   )dt T 0

(6.2)

siendo T un intervalo finito de tiempo para obtener un promedio adecuado, t el origen para el proceso de promedio y  la variable tiempo. Para el intervalo de tiempo T Hinze impone la siguiente condición: T1  T  T2 , siendo T1 la escala de tiempo de la turbulencia o si no, ya que esto corresponde a una cierta cuasiperiodicidad, el período principal de cambio en el patrón de flujo; y T2 es el período de las variaciones lentas en el campo de flujo que no deseamos considerar como perteneciente a la turbulencia. Está claro que hay una cierta arbitrariedad en la elección de las fluctuaciones que queremos considerar. Afortunadamente, en la práctica, esta elección se puede hacer sin mucha dificultad. Si tomamos un oscilograma de un flujo turbulento, por lo general es fácil de discernir algún período principal promedio de cambio en el patrón de flujo. Además, puede ser útil tener en cuenta que el orden de magnitud de tales períodos principales se corresponde con el tamaño del objeto que genera la turbulencia o del aparato en el que se estudia el flujo turbulento. En (6.1), el valor promedio debería ser independiente del origen t del u procedimiento de promedio, siempre que t  T2 . Por lo tanto debería ser t cero o, en el caso de una ligera variación del flujo medio, insignificantemente pequeño. Considerando t = 0 en (2.3), la velocidad promedio temporal, puede ser obtenida por T

1 u   u ( )d T 0 TURBOMÁQUINAS I

(6.3a)

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Donde,

u : velocidad promedio temporal, u ( ) : velocidad instantánea,  : variable tiempo, T : tiempo total sobre el cual se toma el promedio (tiempo de muestreo). T debe ser suficientemente largo para tener en ese período una muestra estadísticamente representativa. T

En la ecuación (6.3a), la integral  u ( ) d representa al área bajo la curva 0

“velocidad instantánea vs. tiempo” ( Ac ) , es decir, es el área bajo el oscilograma de la variable u(  ) , lo cual puede calcularse numéricamente por diferentes métodos, entre ellos, las reglas compuestas de trapecio y de Simpson. De este modo, el producto u  T T será el rectángulo equivalente del área bajo el oscilograma, y entonces la velocidad promedio será:

u

Ac T

(6.3b)

Por otra parte, en modernas investigaciones de la turbulencia los datos se obtienen en forma discreta y digital en lugar de señales continuas en el tiempo. En tales casos, los valores de la velocidad ui por ejemplo, que son obtenidos para intervalos iguales de tiempo (por decir, a cada 5 s) se suman y se promedian (BRODKEY & HERSHEY, 1988), es decir:

u

1 N



N

u

i 1 i

(6.4)

Donde,

u : velocidad promedio temporal, ui : i-ésimo valor de u medio en el intervalo de tiempo establecido. N: número de mediciones disponibles para calcular promedio.

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En situaciones como ésta, puesto que los datos digitales de velocidad son tomados comúnmente con anemómetro de hilo caliente o lámina caliente, o con anemómetro láser-doppler, los valores de velocidad promedio son obtenidos electrónicamente, y son simplemente leídos de una pantalla o desde un reporte impreso. Finalmente, es importante tener en cuenta que, para datos extensos, no habrá diferencia en los resultados obtenidos por las fórmulas (6.3a) y (6.4). b) Cuando los “rasgos promedios” varían con el tiempo:

Un ejemplo es el decaimiento de un registro con el tiempo, tal como muestra la figura 6(b). En este caso, el promedio es una función del tiempo y no puede ser calculado usando la fórmula (6.1), porque no se puede especificar qué largo debe tener el intervalo t0 para evaluar la integral. Si se toma muy largo, no se puede obtener un promedio “local”; y si se toma muy corto, no se puede obtener un promedio confiable. Sin embargo, en este contexto se puede hallar: 

Promedio espacial,



Promedio de conjunto, o



Filtrado espacial.

Para hallar estos promedios, conviene considerar una variable Euleriano del flujo turbulento como función de coordenadas espaciales y del tiempo, es decir

u ( x, t ) . 6.1) Promedio espacial: Sea   Rd , d = 1, 2, 3 con u ( x, t ) integrable en cualquier momento t. Entonces el promedio espacial de en el tiempo t es: u (t ) 

1 u ( x, t ) d x  

(6.5a)

Donde  denota el "volumen" de  . Está claro que esto es meramente la longitud de un intervalo cuando d = 1, y un área cuando d = 2. Observamos que la notación " " también será usada para el filtrado formal cuando se aplica espacialmente, como suele hacerse en el contexto de los análisis de turbulencia asociados con LES, que representa una generalización directa de (6.4b). 6.2) Promedio de conjunto: Sea u (i ) ( x, t )iN1  una secuencia de realizaciones de una función u ( x, t ) definida para x   Rd y t  0, t f  . Entonces el promedio de conjunto es definido como

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u ( x, t ) 

1 N

N

u

(i )

( x, t )

(6.5b)

i 1

Formalmente se puede considerar tomar el límite N   , pero esto impone claramente dificultades y requerimientos matemáticos adicionales en la secuencia u (i ) ( x, t )iN1  ; Además, en la práctica -en el contexto de experimentos o simulaciones numéricas- N necesariamente sería finito. Sin embargo, todavía hay una cuestión de convergencia, es decir, "¿Cuán grande debe ser N antes de u ya no cambia significativamente con N creciente?" La experiencia práctica ha demostrado que tal convergencia se produce muy lentamente, haciendo el uso de promedios de conjunto difícil en contextos experimental o computacional. Por otra parte, observe que una variable promediada de conjunto sigue siendo una función de x y t, a pesar del promedio –una propiedad a menudo deseable. Como se observa en la definición anterior, el promedio de conjunto, denominado también valor esperado (ensemble average or expected value), es el promedio de una colección de experimentos realizados bajo idénticas condiciones de medición (las mismas condiciones iniciales y de contorno. Esta colección de experimentos se denomina grupo o conjunto (ensemble). Por lo tanto, para una variable medida en un punto el promedio de conjunto de la variable  en tiempo t, designado por  (t ) , será:

 (t ) 

1 N

N

  (t ) i

(6.5c)

i 1

Donde, N: número grande de mediciones de serie de tiempo (registros), obtenidos en el Mismo lugar y bajo similares condiciones de medición, i  (t ) : i-ésimo serie de tiempo. Para ilustrar la aplicación de la fórmula (6.5b), supongamos una colección de una variable de flujo turbulento tal como muestra la figura 7, que podría corresponder, por ejemplo, a datos de velocidad dentro de la capa límite atmosférica, medidos en diferentes días entre 8 a.m. y 10 a.m., en el mismo lugar y, supuestamente, bajo idénticas condiciones. Entonces, la velocidad promedio, por decir, a las 9 a.m. se puede obtener sumando la velocidad de las 9 a.m. de cada uno de los registros y dividiendo la suma entre el número ( N ) de registros, o sea,

u (9) 

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1 1 u (9)  u 2 (9)  ...  u N (9)  N

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Fig. 7: Grupo, conjunto o colección de funciones u(t)

Sin embargo, puesto que no hay modo de controlar fenómenos naturales (por ejemplo, en la atmósfera y el océano es muy difícil obtener observaciones bajo idénticas condiciones), en un proceso no permanente como el mostrado en la figura 6(b), el valor promedio de u para un cierto tiempo es, a veces, determinado usando la fórmula (6.3) y escogiendo un apropiado tiempo de promediación t0, pequeño comparado con el tiempo durante el cual las propiedades promedias cambian apreciablemente con el tiempo. Al respecto, SAYRE (1967) hace la siguiente acotación: “Como se muestra conceptualmente en la ilustración [figura 8], el período de promediación t0 se supone que es suficientemente largo como para permitir la convergencia de  ' a cero, pero no demasiado largo que pueda amortiguar significativamente la variación de  con t.

Fig. 8: Esquema de promedio temporal para series no permanentes, según Sayre (1967).

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6.3) Filtrado espacial: Para cualquier función u ( x, t ) en un espacio de Hilbert, se define la función filtrada espacialmente u ( x, t ) sobre un dominio  como: u ( x, t ) 

1 u ( , t )G ( x /  )d   

(6.5d)

Donde G ( x /  ) es el núcleo del filtro, supuesto estar al menos en L2 () .  Y  se definen como en el caso del promedio espacial (correspondiente a G = 1), pero observamos que en el uso normal las funciones empleadas para G decaen rápidamente cerca de los límites de los subdominios de  . Como consecuencia, en contraste con el caso promediado espacialmente que es usualmente global (al menos en direcciones específicas), la función filtrada es ahora local y sigue dependiente de ambos de x y t, como en el caso del promedio en conjunto.

7) Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por el método de Reynolds: Hemos presentado las ecuaciones de N-S para para flujo de fluido incompresible y viscosidad constante. En esta Sección se expone el procedimiento del enfoque clásico de estudio del flujo turbulento basado en el concepto de descomposición de escalas de la turbulencia vía promedio temporal (metodología RANS). Según esta metodología, las ecuaciones del flujo turbulento se obtienen aplicando a las ecuaciones de N-S el concepto de separación de variables y el método de promediación propuestos por Reynolds. Las ecuaciones así obtenidas se denominan, con toda propiedad, ecuaciones de Navier-Stokes promediadas con el método de Reynolds (RANS equation).

7.1) Ecuación de continuidad: Así, si en la ecuación (14), se expresa los componentes de la velocidad como una suma de la parte promedio y la fluctuación, se tiene:

(u  u ') (v  v ') (w  w ')   0 x y z

(7.1)

Efectuando las operaciones indicadas y reagrupando

(

u  v  w u ' v ' w '   )(   )0 x y z x y z

(7.2)

Realizando la premediación, se tiene:

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(

u  v  w u ' v ' w '   )(   )0 x y z x y z

(7.3)

Tomando en cuenta el álgebra de promediación de Reynolds, se reduce a:

u  v  w    .V  0 x y z

(7.4)

Por lo tanto, la ecuación (7.4) es la ecuación de continuidad para flujo turbulento incompresible (llamada también “ecuación de continuidad promediada temporalmente”). Al sustituir (7.4) en (7.2) se obtiene una interesante conclusión:

u ' v ' w '    .V '  0 x y z

(7.5)

esto es, conforme afirman SISSON & PITTS (1972) y DAILY & HARLEMAN (1966), los componentes de la fluctuación turbulenta de la velocidad también satisfacen a la ecuación de continuidad (lo que podría denominarse “ecuación de continuidad de la fluctuación”).

7.2) Ecuación de movimiento: Similarmente, las ecuaciones (1.14a), (1.14b) y (1.14c) expresados para flujo turbulento son: 

Componente en x:

 (u  u ')





t

 (u  u ')



(u  u ') (u  u ') (u  u ')   (v  v ')  (w  w ')  x y z 

  2 (u  u ')  2 (u  u ')  2 (u  u ')  ( p  p ')       gx 2 2 2 x  x  y  z  

Por otra parte, la ecuación (7.5) establece que

(7.6)

u ' v ' w '    0 ; entonces x y z

multiplicando esta ecuación por u ' , se tiene:

u'

u ' v ' w ' u' u' 0 x y z

(7.7)

Sumando (7.7) a (7.6), esta última no varía, es decir,

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 u



 t



u ' u u ' u (u ' u ') u u ' u u u'  v v  t x x x x y y v'

u (u ' v ') u u ' u (u ' w ')   w w  w'   y y z z z z 



  2 u  2 u '  2 u  2 u '  2 u  2u '   p p '     2  2  2  2  2  2    gx x x x y y z z   x

(u ' w ') (u ' v ')  (u ' u ') ,  y  lado derecho de x y y la ecuación, y factorizando las derivadas respectivas, resulta: Luego, pasando los términos 

 u



 t



u ' u u ' u u u ' u u u u' v v v'  t x x x y y y

u (   u '2 )  u u ' u  p p '  2u '  x w w  w'       2  z z z  x x x x (

u u   u ' v ') (   u ' w ') 2  u '  2u ' y z  2    2   gx y y z z

(7.8) Aplicando el álgebra de promediación de Reynolds a la ecuación (7.8),

 u



 t



u ' u u ' u u u ' u u u u' v v v'  t x x x y y y

u (    u '2 ) u u ' u   p p '  2u ' x w w  w'       2  z z z  x x x x (

u u   u ' v ') (   u ' w ')  2u '  2u ' y z  2    2   gx y y z z

Y efectuando las operaciones de promedio en cada termino, se obtiene:

u (   u '2 )  u  u u u p  x   u v  w       t  x  y  z  x  x  

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(



u   u ' v ')  (  u   u ' w ') y z    gx y z

(7.9)

Similarmente en la componente en y:

v (    u ' v ')  v v v v  p x   u v  w       t  x  y  z  y x   (



v   v '2 )  (   v   v ' w ') y z   gy y z

(7.10)

Finalmente, para la componente en z:

w (   u ' w ')  w w w w  p x   u v w    x y z  z x  t (

w   v ' w ')  (   w   w '2 ) y z    g z (7.11) y z

Las ecuaciones del (7.9) al (7.11), se pueden presentar bajo otra forma. Para tal efecto, se realizan las simplificaciones correspondientes iniciando con la ecuación (7.9). Así, al derivarse los términos entre paréntesis y teniendo en cuenta que

(V .)u  u

u u u v w , x y z

La ecuación (7.9) toma la siguiente forma:



u p 2 u u '2 2 u  (u ' v ') 2 u  (u ' w ')   (V .)u    2   2   2    gx t x x x y y z z

De donde,



u p 2 u 2 u 2 u u '2  (u ' v ')  (u ' w ')   (V .)u    ( 2  2  2 )  (   )   gx t x x y z x y z

y, finalmente, expresando el primer término entre paréntesis del lado derecho en términos del operador  2 , resulta:



u p u '2  (u ' v ')  (u ' w ')   (V .)u     2 u   (   )   gx t x x y z

(7.12)

Una expresión similar de la ecuación (7.10), será:

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v p  v ' u '  (v '2 )  (v ' w ') 2    (V .)v     v   (   )  gy t y x y z

(7.13)

Igualmente, la ecuación (7.11) tomará la forma:



w p  w ' u '  ( w ' v ')  ( w '2 )   (V .) w     2 w   (   )   gz t z x y z

(7.14)

En las ecuaciones (7.12), (7.13) y (7.14), se debe tener en cuenta que:

V  uiˆ  v ˆj  wkˆ : vector velocidad promedio,      iˆ  ˆj  kˆ : operador nabla (vector), x y z

2 2 2   2  2  2 : operador laplaciano (escalar), x y z 2

Tensor esfuerzo de Reynolds: Las ecuaciones (7.12), (7.13) y (7.14) son comúnmente llamadas ecuaciones de Reynolds para flujo turbulento de  y  constantes. Los términos encima de la llave, encerrados por corchete, forman en conjunto nueve (9) elementos que representan a . (V 'V ')  , es decir,





al producto escalar de  por  (V 'V ') , o divergencia de  (V 'V ') , donde (V 'V ') es la diada

 u '2 u ' v ' u ' w '    xx  xy  xz    t   V 'V '    v ' u ' v '2 v ' w '      yx  yy  yz  .      zx  zy  zz   w ' u ' w ' v ' w '2     En este producto, [.] significa divergencia de un tensor de segundo orden, cuyo resultado es un vector. Los términos del tensor  (V 'V ') son denominados “esfuerzos de Reynolds” por que surgen del álgebra de Reynolds, tal como se ha podido apreciar. A estos términos algunos autores denominan “esfuerzos de remolino” (eddy stresses), “esfuerzos turbulentos” (turbulent stresses), “esfuerzos aparentes”, entre otros. En forma matricial, los 9 componentes del tensor esfuerzo de Reynolds son:

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 u '2 u ' v ' u ' w '    xx  xy  xz    t   V 'V '    v ' u ' v '2 v ' w '      yx  yy  yz       zx  zy  zz   w ' u ' w ' v ' w '2    

(7.15)

 t xy   u ' v ' t

donde al tensor V 'V ' se ha representado por  , y a cada componente del arreglo matricial se ha designado por el correspondiente elemento de un tensor de segundo orden en notación convencional de doble subíndice  ij . El primer índice (i) denota la normal a la superficie sobre el cual actúa el esfuerzo y el segundo índice (j) da la dirección de la fuerza, es decir, (i,j) indican (plano, dirección) respectivamente. En el arreglo (7.15), los esfuerzos normales, es decir,  u '2 ,  v '2 y  w '2 componentes de la diagonal), usualmente son más pequeños que la presión hidrodinámica, y pueden ser medidos con anemómetros de hilo caliente; en cambio, para medir los otros componentes fuera de la diagonal será necesario instrumentos multi-elementos y complejos. Por otra parte, los componentes fuera de la diagonal son los esfuerzos cortantes dominantes; de estos esfuerzos sólo 3 son independientes, puesto que el tensor es simétrico, o sea: u ' v '  v ' u ' , u ' w '  w ' u ' y v ' w '  w ' v ' . Por lo tanto, en el arreglo (7.15) en total hay sólo 6 elementos independientes del tensor esfuerzos de Reynolds, y son: u '2 , v '2 , w '2 , u ' v ' , u ' w ' y v ' w ' Volviendo a las ecuaciones (7.12), (7.13) y (7.14), sumando vectorialmente sus componentes y teniendo en cuenta la divergencia del tensor  (V 'V ') , se obtiene:

 V

 DV  (V .)V      p  2V  .V 'V '   g   Dt  t 



(7.16)

t

o, en notación del esfuerzo turbulento  dado en (7.15):

 V

 DV  t  (V .)V      p   2V  .    g Dt    t 



(7.17)

8) Metodología RANS: Tal como se comenta en la Sección 7, las ecuaciones promediadas (7.4), (7.9) ,(7.10) y (7.11) no constituyen un sistema determinado: debido a la no linealidad de las ecuaciones de movimiento y de transporte, el proceso de promediación ha introducido nuevas incógnitas (las correlaciones ui´u´j y ui´ ´ ) haciendo que se tenga mayor número de incógnitas que de ecuaciones (“problema de cerradura” de la turbulencia). Físicamente, las correlaciones ui´u´j y ui´ ´ multiplicadas por la densidad  representan, respectivamente, el transporte de momentum y transporte de calor TURBOMÁQUINAS I

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o masa debido a la fluctuación turbulenta (es decir por el flujo turbulento) y, genéricamente, son denominadas “términos de transporte turbulento” (RODI, 1993). En la metodología RANS los términos de transporte turbulento, se especifica por medio de “modelo de turbulencia”. Así, un modelo de turbulencia se define como un conjunto de ecuaciones (algebraicas o diferenciales) que determinan los términos de transporte turbulento en las ecuaciones de flujo medio [o ecuaciones promediadas de flujo] y por lo tanto cierran el sistema de ecuaciones. Los procesos de transporte turbulento son fuertemente dependientes del problema. Por ejemplo, dependen de condiciones geométricas de grande y pequeña escala (por citar, la forma de la pared y la rugosidad), de los efectos viscosos y los efectos del remolino, y de la flotabilidad. Solamente ecuaciones exactas, pero muy difíciles, forman un modelo matemático que describe fidedignamente los procesos turbulentos bajo todas las posibles situaciones. Los modelos de turbulencia pueden dar sólo una descripción aproximada, y, con un conjunto particular de constantes empíricas, son válidos sólo para un cierto flujo o a lo más para un rango de flujos. Por su puesto, en modelamiento de turbulencia es deseable lograr una buena aproximación con un solo conjunto de constantes para un rango bastante amplio de flujos; en ese caso sólo un método de campo1 incorpora un modelo de turbulencia de real poder predictivo. Un modelo para el cual las constantes han sido ajustados de flujo en flujo, es en esencia más pequeño que un método empírico2. Sin embargo, un buen modelo de turbulencia debe permitir extrapolar a partir de los datos empíricos ingresados al modelo. Por su puesto, es importante examinar los límites hasta donde una extrapolación sea significativa. Concepto clave para modelamiento de la turbulencia: Un concepto importante sobre turbulencia es que ésta es un ente que sufre transporte, o sea, la turbulencia puede ser producida, disipada y también ser pasible de advección y difusión. Teóricamente, cualquier modelo que tenga pretensiones de ser razonablemente realista y general, debe ser capaz de considerar tales hechos. Mientras tanto, muchos modelos hasta los más exitosos en algunos casos no observan tales requisitos, en consecuencia, estos modelos no deben ser extrapolados para situaciones muy distintas de aquellas para las cuales fueron aprobadas (EIGER, 1989). Antes de presentar los modelos para los procesos de transporte turbulento, en la siguiente Sección se describirá con cierto detalle la naturaleza básica de la turbulencia que debe considerarse para su modelamiento. Los conceptos presentados en esa Sección serán muy útiles para entender la formulación matemática de los diferentes modelos. Posteriormente, se presentará el criterio adoptado para clasificar los modelos de turbulencia. La existencia de gran número de tales modelos hace con que sea inviable una presentación completa en esta separata. Como alternativa, serán discutidos algunos de los modelos más comunes señalando sus méritos y deficiencias. De esta forma, se espera que las ideas principales del tema sean razonablemente bien presentadas, con el objetivo de propiciar interés del lector y sentar las bases para una comprensión posterior más detallada del tema.

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8.1) ASPECTOS DE LA TURBULENCIA QUE DEBE TOMARSE EN CUENTA PARA SU MODELAMIENTO En esta Sección se remarca las características más importantes del movimiento turbulento las que debe tomarse en cuenta para formular un modelo de turbulencia razonablemente realista: Amplio espectro de tamaños y de frecuencias de fluctuación: La turbulencia, como ya se ha definido, es un movimiento vortical que, prevaleciendo usualmente a altos números de Reynolds, tiene un amplio espectro de tamaños de remolinos y su correspondiente espectro de frecuencias de fluctuación; su movimiento es siempre rotacional y se puede imaginar como una maraña de elementos de vórtice cuyos vectores de vorticidad (  xV ),), altamente no permanentes, se pueden alinear en todas las direcciones. Los remolinos grandes, asociados con las fluctuaciones de baja frecuencia, son determinados por las condiciones de frontera del flujo y sus tamaños son del mismo orden de magnitud del dominio del flujo; por ejemplo, es imposible que exista un vórtice cuya dimensión vertical sea mayor que la profundidad de un canal. Por su parte, Los remolinos pequeños, asociados con fluctuaciones de alta frecuencia, son determinados por las fuerzas viscosas3. Como se verá más adelante, los anchos del espectro y así la diferencia entre los remolinos más grandes y los más pequeños es directamente proporcional al número de Reynolds. Remolinos grandes transportan mayor parte de masa, momentum y energía: Usualmente, los remolinos grandes (denominado también movimiento turbulento de escala grande) son los que transportan la mayor parte de masa, u´u´ momentum y energía, y contribuyen a las correlaciones de turbulencia i j y ui´ ´ . Por lo tanto, este movimiento de escala grande tiene que ser simulado en ´ ´ u´u´ los modelos de turbulencia para determinar i j y ui ; y las escalas de velocidad y longitud que se introducen en los modelos son parámetros que caracterizan a este movimiento.

Los remolinos grandes extraen del flujo medio la energía cinética para la “cascada de energía”: Los remolinos grandes interactúan con el flujo medio (por que las escalas de ambos son similares), de ese modo extraen energía cinética del flujo medio y alimentan al movimiento turbulento de escala grande. Los remolinos pueden considerarse como elementos de vórtice que se estiran mutuamente. Debido a este estiramiento de los vórtices, que es una característica esencial del movimiento turbulento, la energía es transferida a remolinos cada vez más pequeños hasta que las fuerzas viscosas se vuelven activas y disipan la energía. Este proceso de transferencia de energía a remolinos cada vez más pequeños, se denomina cascada de energía.

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Las tasas de transferencia y de disipación de energía son determinadas por los remolinos grandes: La tasa a la cual la energía del flujo medio es entregada al movimiento turbulento es determinada por el movimiento de escala grande; solamente esta cantidad de energía puede ser transferida hacia los movimientos de escala pequeña (remolinos pequeños del flujo turbulento) y finalmente ser disipada en forma de calor. Por lo tanto, la tasa de disipación de energía es también determinada por los movimientos de escala grande aunque la disipación es un proceso viscoso y ocurre en los remolinos más pequeños. Es importante notar que la viscosidad no determina la cantidad de energía disipada sino solamente la escala a la cual ocurre la disipación. Cuando hay fuerzas de flotación, el intercambio de energía se efectúa a través de remolinos grandes: Cuando intervienen las fuerzas de flotación o empuje ascendente, hay también un intercambio entre la energía potencial del flujo medio y la energía cinética turbulenta, que puede ir en ambas direcciones pero también es efectuado a través de movimiento turbulento de escala grande. El movimiento turbulento de escala grande es anisotrópico: Por su interacción con el flujo medio, el movimiento turbulento de escala grande depende fuertemente de las condiciones límites de un problema. El flujo medio tiene siempre direcciones preferidas que son impuestas también al movimiento de escala grande. Por lo tanto, este movimiento de escala grande puede ser fuertemente anisotrópico, de modo que tanto la intensidad de sus fluctuaciones como sus longitudes de escala son dependientes de la dirección. Por ejemplo, en cuerpos de aguas rasas el movimiento horizontal tiene una intensidad y escala de longitud mayor que el movimiento vertical. Isotropía local: Durante el proceso de cascada de energía, en el cual la energía es transferida a los remolinos más pequeños por estiramiento de vórtices, la sensibilidad de dirección disminuye. Cuando el número de Reynolds es suficientemente alto de modo que los movimientos de escala grande y los de escala pequeña están suficientemente separados en el espectro, la sensibilidad de dirección se pierde completamente y el movimiento disipativo de escala pequeña se vuelve isotrópico. Este fenómeno, es decir, movimiento turbulento de escala pequeña (remolinos pequeños) isotrópico, y movimiento turbulento de escala grande (remolinos grandes) anisotrópico, es denominado isotropía local y es un concepto importante en el modelamiento de la turbulencia, ya que posibilita la adopción de una importante hipótesis simplificadora que dice: para flujos con números de Reynolds suficientemente elevados, la disipación de energía es aproximadamente isotrópica (RODI, 1993).

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8.2) ENFOQUES DE MODELAMIENTO DE LA TURBULENCIA: En la Sección 2 se expone que, debido a la dificultad de resolver directamente las ecuaciones de N-S para el flujo turbulento, surgieron metodologías como RANS y LES que resuelven dichas ecuaciones aplicando un proceso de promedio. Son los llamados métodos de promedio. A estos métodos de promedio, ABBOTT & BASCO (1989) se refieren, respectivamente, como el “método que extiende la aplicación del clásico enfoque de promedio temporal” y el “método que emplea las ecuaciones de flujo de promedio espacial (o filtradas)”, y sostienen lo siguiente: “De las dos diferentes escuelas de modelamiento de la turbulencia (…) la una siguió la clásica definición de turbulencia como un promedio temporal en un punto fijo dentro del campo de flujo, mientras la segunda fue revolucionaria en el sentido de que la propia turbulencia fue redefinida a fin de comprender todas las fluctuaciones que ocurren a escalas menores que los resueltos por los elementos de volumen de tamaño discreto empleados en los cálculos numéricos. Esta nueva definición de la turbulencia, generalmente expresado en términos de promedio espacial en un tiempo fijo, fue, por supuesto, una consecuencia directa de la disponibilidad de las computadoras digitales.” En cualquiera de los dos enfoques de modelamiento de la turbulencia, se puede ver al proceso de promediación como una operación de filtro que tiene, como su representación continua, una función de respuesta característica. Es decir, el promedio temporal o espacial resulta como una salida filtrada de las variables originales del flujo turbulento. ABBOTT & BASCO (1989) distinguen a las dos enfoques de modelamiento de la turbulencia por las denominaciones “modelos de promedio temporal“(timeaveraged models) y “modelos de promedio espacial”(space-averaged models) respectivamente. 8.3) CLASIFICACION DE MODELOS DE TURBULENCIA DE PROMEDIO TEMPORAL: La cuestión del transporte de turbulencia llevó a la proposición de un criterio de clasificación de los modelos de turbulencia de promedio temporal en función del número de ecuaciones de transporte usado para las magnitudes de la turbulencia (RODI, 1980, 1993; Markatos, 1986; ver también, ÇENGEL & CIMBALA, 2006). La ecuación de transporte, debe considerarse como una ecuación diferencial que hace un balance de la conservación del ente turbulento que está siendo transportado. Es importante comentar que muchos modelos de turbulencia se basan en ecuaciones algebraicas que relacionan ciertas magnitudes turbulentas con variables del flujo medio. En consecuencia, en estos modelos no se considera directamente el transporte de la turbulencia. En el cuadro 4.1 se presenta la nomenclatura de clasificación adoptada (ABBOTT & BASCO, 1989; RODI, 1993).

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Los modelos de 0 ecuación son relativamente simples, y todos emplean el concepto de viscosidad de remolino y especifican la viscosidad de remolino (  T ) ya sea directamente de los experimentos, por error y tentativa, a través de fórmulas empíricas, o relacionándola a la distribución de velocidad promedio. De este modo, estos modelos no resuelven ninguna ecuación de transporte (RODI, 1993, p, 14). Un modelo de 1 ecuación, resuelve una ecuación de transporte para la energía cinética de la turbulencia por unidad masa k(xi ,t) y usa algunos argumentos con base física para estimar la longitud de mezcla l(xi ,t) . Esto significa que la viscosidad de remolino vt (xi ,t), se torna una variable dependiente que varía espacialmente y con el tiempo para el caso de flujo no permanente. Las ecuaciones de flujo medio y las ecuaciones de transporte turbulento deben resolverse conjuntamente, simultáneamente, puesto que ellos son mutuamente interdependientes. Si no se puede estimar l(xi ,t) a partir de las consideraciones físicas, entonces se recurren a más ecuaciones de transporte para las longitudes características de la turbulencia. Los modelos de turbulencia más comúnmente empleados, usan 2 ecuaciones de transporte: una para la energía cinética de la turbulencia por unidad de masa k y la otra para la tasa de disipación de esta energía . Este tipo de modelo se ha denominado modelo k  estándar

En el cuadro 4.1, los denominados modelos de esfuerzo/flujo y modelos algebraicos de esfuerzos, evitan completamente la aproximación vía viscosidad de remolino y buscan resolver directamente las ecuaciones de transporte para ui´u´j los componentes de .

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8.4) MODELOS DE TURBULENCIA SIN ECUACIÓN DE TRANSPORTE: Modelos de este tipo, llamados también modelos de cero ecuación, tal como se menciona en la Sección anterior, usan el concepto de viscosidad de remolino (eddy viscosity), propuesto por el matemático francés Joseph Boussinesq en 1877. 8.4.1) CONCEPTO DE VISCOSIDAD DE REMOLINO: La idea de Boussinesq fue expresar la ecuación  t xy   u ' v ' , en una forma similar a la ecuación de esfuerzo cortante (flujo de cantidad de movimiento) en flujo laminar, es decir:

u u (8.1)    vt y y con t denominado “viscosidad dinámica de remolino” y t , viscosidad cinemática de remolino (llamada también difusividad de remolino de la cantidad de movimiento), o simplemente “viscosidad de remolino”. u El gradiente de velocidad promedio representa también a la tasa de y deformación promedio del fluido.

 yx'   u ' v '   t

La hipótesis de Boussinesq de que los esfuerzos turbulentos son linealmente proporcionales a la tasa de deformación promedio, sigue siendo la piedra angular de la mayoría de los modelos de turbulencia y es probable que sea invocado (a veces sutilmente) en algún momento de la derivación, incluso cuando no se utiliza directamente. Es interesante observar que el propio Boussinesq fue bastante cauteloso de la hipótesis y proféticamente advirtió que las "viscosidades de remolino" ("constante" de proporcionalidad), que vinculan el esfuerzo turbulento a la tasa de deformación promedio, sería difícil, si no completamente imposible de determinar; pero esto no ha disuadido a los esfuerzos de los investigadores por más de un siglo. De acuerdo a la ecuación (8.1), el concepto de viscosidad de remolino constituye el primer intento de modelar la turbulencia y, en analogía a los esfuerzos viscosos en flujo laminar, supone que los esfuerzos de Reynolds son proporcionales a los gradientes de la velocidad promedio. Para situaciones generales de flujo, el concepto “ecuacionado” por (4.1) puede expresarse como:

ui' u 'j  vt (

ui u j 2  )  k ij x j xi 3

(8.2)

Donde  ij es el delta de Kronecker (llamado también matriz unitario, o matriz identidad, que es un tensor de segundo orden, definido como  ij =1 para i  j y

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 ij =0 para i  j ); k es la energía cinética de la turbulencia por unidad de masa, es decir, k

Ke 1  V' m 2

2

1 1  (u1'2  u2'2  u3'2 )  (ui' u 'j ) 2 2

(8.3a)

Sin embargo, dos aspectos fundamentales diferencian la ecuación (8.2) de la ecuación análoga para los esfuerzos viscosos, a saber:  En primer lugar, a diferencia de la viscosidad molecular (), la viscosidad de remolino t no es una propiedad del fluido sino depende bien marcadamente del estado de la turbulencia; t puede variar de un punto a otro dentro del flujo y también de flujo en flujo. Por consiguiente, la introducción de la ecuación (8.2) por sí solo no constituye un modelo de turbulencia, sino solamente da una estructura para construir un modelo; el problema principal constituye ahora determinar la distribución de  t.  Una segunda diferencia entre los esfuerzos viscosos y sus análogos turbulentos tal como la dada por la ecuación (8.2), es la presencia del término que contiene el delta de Kronecker. Este término es necesario para hacer que la expresión (8.2) sea válida también para los esfuerzos normales (cuando i  j ). Así, para i  j , se tiene:

ui' u 'j  2vt

ui 2  k ij x j 3

(8.3b)

Desarrollando los índices repetidos en cada término de esta ecuación, se obtiene: (u1'2  u2 '2  u3'2 )  2vt (

u1 u2 u3 2 2 2   )  k11  k 22  k 33 x1 x2 x3 3 3 3

Pero como  11  22   331 , la expresión anterior toma la forma u1'2  u2 '2  u3'2  2vt (

u1 u2 u3   )  2k x1 x2 x3

Finalmente, por la ecuación del flujo medio: u1 u2 u3   0 x1 x2 x3

con lo que la ecuación (8.3b) se reduce a:

u1'2  u2'2  u3'2  2k

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(8.3c)

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De este modo, el término que contiene el delta de Kronecker hace que la suma de los esfuerzos normales (por unidad de densidad) no sea igual a cero, pues, como se sabe, todos los esfuerzos normales por definición son magnitudes positivas y su suma es dos veces la energía cinética k de la turbulencia (de las fluctuaciones), como lo establece la ecuación (8.3a). En consecuencia, la inclusión del segundo término de la viscosidad de remolino en la ecuación (8.2) asegura que la suma de los esfuerzos normales sea igual a 2k , validando así a la forma general de expresar el modelo de viscosidad de remolino. Por otra parte, los esfuerzos normales actúan como fuerzas de presión (es decir, perpendicular a las caras del volumen de control), y por que similar a la presión la energía es una magnitud escalar, el término que contiene el delta de Kronecker constituye una presión. Por tanto, cuando la ecuación (8.2) es usada para sustituir ui' u 'j en la ecuación de momentum, el término de energía cinética (el término que contiene el delta de Kronecker) puede agruparse con el gradiente de presión a fin de que la presión estática sea reemplazada, como 2 magnitud incógnita, por ( p  k ) . Así, en la ecuación (8.2) no requiere que k 3 sea hallada; solamente tiene que determinarse la distribución de la viscosidad de remolino t. Analogía entre el movimiento molecular y el movimiento turbulento: El concepto de viscosidad de remolino fue adoptado suponiendo una analogía entre el movimiento molecular, que conduce a la ley de viscosidad de Stokes para flujo laminar, y el movimiento turbulento. Los remolinos turbulentos fueron conceptuados como un aglomerado de fluido que, similar a moléculas [de gas], colisionan e intercambian momentum. Como la viscosidad molecular de gases a baja densidad es proporcional a la velocidad promedio y al recorrido libre medio de las moléculas; consecuentemente la viscosidad de remolino fue considerada proporcional a la velocidad que caracteriza a las fluctuaciones y a una longitud característica de este movimiento que Prandtl denominó “longitud de mezcla”. Sin embargo, se ha señalado siempre que, la analogía entre el movimiento molecular y el turbulento no puede ser correcta, primero porque los remolinos turbulentos no son cuerpos rígidos que retienen su identidad y, segundo, porque los “recorridos libres” de los remolinos grandes, responsables por la transferencia de momentum, no son pequeños comparado con el dominio del flujo, tal como requiere la teoría cinética de gases. A pesar de las objeciones conceptuales descritas en el párrafo anterior, el concepto de viscosidad de remolino a menudo se ha encontrado que trabaja bien en la práctica, simplemente porque t como definido por la ecuación (8.2) se puede determinar con una buena aproximación en muchas situaciones de flujo. Aquí, se enfatiza la noción de que la viscosidad de remolino t es proporcional a la escala de velocidad V y a una escala de longitud ( L ) que caracteriza al movimiento turbulento (de escala grande), es decir,

vt

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

Vl

(8.4)

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porque realmente la distribución de estas escalas es lo que puede ser aproximada razonablemente bien en muchos flujos (RODI, 1993, ABBOTT & BASCO, 1989). Principal acierto del concepto de viscosidad de remolino: El principal éxito del concepto de viscosidad de remolino fue en la predicción de delgadas turbulencias de pared bidimensional (two-dimensional thin shear layers) (flujos tipo capa límite), donde el esfuerzo cortante  'x1x2    'x2x1   u '| u '2 es el esfuerzo turbulento de mayor importancia. En este tipo de flujo (unidimensional y unidireccional), normalmente las coordenadas espaciales son: x  x 1 , x  y 2 ; siendo x en la dirección del flujo medio. Asimismo, u1  u y u2  v  0 serían, respectivamente, los componentes de la velocidad promedio en la dirección de los ejes x y y (ver, por ejemplo, figura 4.1a). Entonces, para este tipo de movimiento, en la ecuación (8.2) para i 1 y j  2 , se tiene u '1 u '2  vt (

u1 u2 u 2  )  k12  vt 1 , x2 x1 3 x2

con el cual, el esfuerzo cortante turbulento resulta

 u '2 u '1   u '1 u '2   x

2

x1

'    vt

du1 d x2

;

(8.5a)

que en coordenadas x  y se expresa como

 v ' u '   u ' v '   yx '    vt

du dy

El gradiente de velocidad du

(8.5b)

dy

de la ecuación (8.5b) se muestra en la figura

8.1(a).

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el esfuerzo cortante total en un punto específico dentro de un flujo turbulento de este tipo, será:

 yx   yx '  yx '

(8.6)

Entonces, al reemplazar en (8.6) las expresiones del esfuerzo laminar y del esfuerzo turbulento (ecuación 8.5b), resulta:

 yx   (

du du )   vt ( ) dy dy

(8.7)

Asimismo, para el sistema de coordenadas r  z de la figura 8.1(b), la ecuación (8.7) queda expresada como:

 rz  (    vt )

dVz dr

(8.8)

Es importante señalar que en el sistema de coordenadas r  z el gradiente de velocidad es negativo, consecuentemente el signo de  rz resulta positivo, concordando con el sentido de transferencia de la cantidad de movimiento.

8.4.1.1) Limitaciones del Concepto de Viscosidad de Remolino: Aún para flujos relativamente simples, el concepto de viscosidad de remolino algunas veces falla.  Una deficiencia importante es que los esfuerzos de corte turbulentos desaparecen en ausencia de gradiente de velocidad, de forma análoga a los esfuerzos viscosos. Así, no existirían esfuerzos turbulentos en el centro de una tubería circular, lo cual no es cierto. La experiencia muestra que tales esfuerzos existen en el centro de estos conductos, pues los vórtices pasan constantemente por esta región, afectando la corriente media. Haciendo una analogía entre el transporte turbulento de momentum con el transporte turbulento de masa o calor, tal modelo implicaría la imposibilidad de transporte turbulento de masa o calor a través del centro de este conducto, lo que también es irreal.  En chorros de pared (wall jets) y turbulencia de pared (wall shear layers) asimétrico como flujo anular en tubería o flujo de canal con diferentes rugosidades de pared en los lados, existen regiones donde, de acuerdo a (8.1), se requiere viscosidad de remolino negativa, que es sólo matemáticamente posible pero que no tiene significado físico, puesto que según (8.4) tanto la escala de velocidad como la escala de longitud son positivas. En flujos de mayor complejidad que las delgadas turbulencias de pared, más de un componente de esfuerzo turbulento ui ' u ' j es significativo. La ecuación (8.1), [por consiguiente la ecuación (8.2)], introduce viscosidad de remolino t como un escalar, esto es, lo mismo para todos los componentes del esfuerzo. Esta suposición de viscosidad turbulenta isotrópica es una simplificación que es de

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limitado realismo en flujos complejos. Por lo tanto, se introducen diferentes viscosidades de remolino para el transporte turbulento de momentum en diferentes direcciones; por ejemplo, en grandes cuerpos de agua siempre se prescribe t diferente para el transporte horizontal que para el transporte vertical. A pesar de todos los defectos del concepto de viscosidad de remolino mencionados antes, este concepto ha demostrado tener buenos resultados en muchos cálculos prácticos y es aún la base de muchos modelos de turbulencia en uso hoy en día.

8.4.1.2) Concepto de Difusividad de Remolino: En analogía directa con el transporte turbulento de momentum, el transporte turbulento de calor o masa siempre se ha supuesto que está relacionado al gradiente de la magnitud transportada, es decir,

ui' '  

 xi

(8.9)

donde t es la difusividad turbulenta de calor o masa. Similar a la viscosidad de remolino, t no es una propiedad del fluido sino depende del estado de la turbulencia. De hecho, la analogía de Reynolds entre el transporte de calor o masa y el transporte de momentum sugiere que t sea estrechamente relacionada a t, así:

i 

vt Pr ,t

(8.10)

donde Pr,t es el número de Prandtl turbulento (para el transporte de calor), o el número de Schmidt turbulento Sc,t (para el transporte de masa) . Los experimentos han demostrado que, a diferencia de difusividades turbulentas de momentum, de calor o de masa, Pr,t varía sólo muy poco a través cualquier flujo y también muy poco de un flujo a otro. Por tanto, muchos modelos hacen uso de la ecuación (8.10) con número de Prandtl / Schmidt turbulento como constante. Sin embargo, se debe mencionar que el empuje y la curvatura de las líneas de corriente afectan al valor de Pr,t . Además, algunas observaciones tal como las anteriores sobre el concepto de viscosidad de remolino son también aplicables aquí: es decir, el concepto de difusividad (8.9) no es válido en ciertas regiones de flujo, y la difusividad t depende en general de la dirección del flujo de calor o masa; sin embargo, la relación (8.9) aún ha demostrado ser útil en muchos cálculos prácticos y es empleado en muchos modelos para el transporte turbulento de calor y masa. La determinación de Pr,t un asunto que demanda más investigación, siendo normalmente adoptado su valor de forma relativamente imprecisa.

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8.4.1.3) Efecto de Flotabilidad: El transporte turbulento vertical tanto del momentum como de las magnitudes escalares es fuertemente influenciado por el efecto de flotabilidad (buoyancy effects); en particular, la viscosidad y la difusividad de remolinos son reducidos por una estratificación estable. Usualmente, la influencia de la estratificación en la turbulencia es considerada a través del número de gradiente de Richardson ( Ri ), que para la situación en discusión es definido por

Ri  

g p / x2  (u1 /x2 )2

(8.11)

En esta ecuación se supone que el eje X2 es vertical y orientado de abajo hacia arriba. El número de gradiente de Richardson ( Ri ) mide una relación entre las fuerzas de inercia creadas por la estratificación y las fuerzas que generan turbulencia. Por ejemplo, si la densidad creciera rápidamente con la profundidad, el medio tiende a tornarse cada vez más estratificado de forma estable. Esto significa que es necesario producir más turbulencia para que haya transporte por la turbulencia. Valores altos de Ri representan situaciones en las cuales el efecto de la turbulencia puede ser fuertemente amortiguado por la estratificación estable, haciendo con que los procesos de mezcla se tornen poco activos. Esto es lo que ocurre en episodios de inversión térmica atmosférica (figura 4.5), y frecuentemente en lagos y océanos, haciendo con que la dispersión de poluentes se torne bastante atenuada. En medios estratificados de forma estable, es necesaria la producción de más energía cinética de turbulencia para vencer la inercia adicional generada por el medio estable. Obviamente, la situación opuesta ocurre para medios estratificados de forma inestable, caracterizados por valores bajos de Ri , cuando la turbulencia no es amortiguada, sino transportada más fácilmente por la inestabilidad existente en el medio.

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La influencia de Ri sobre la turbulencia es usualmente considerada de forma empírica. Normalmente, los datos son medidos en laboratorio o en el campo, de forma que se pueden construir las correlaciones los cuales normalmente presentan elevado grado de dispersión estadística. Por ejemplo, Munk & Anderson (1948) propusieron las siguientes expresiones para considerar la reducción en los coeficientes t y t en casos de estratificación estable, resultando los coeficientes t,estr y t,estr dados por

vt ,estr  vvt exp(1  10Ri )0.5 ;

(8.12)

t ,estr  t (1  3.33Ri )1.5

(8.13)

donde t y t son, respectivamente, los valores de los coeficientes para estratificación neutral ( Ri  0 ). De acuerdo con las ecuaciones (8.12) y (8.13) se concluye que el efecto de la estratificación estable es más intenso en t que en t . Esto significa que el transporte de masa por difusión turbulenta sufre un mayor decrecimiento que el correspondiente transporte de momentum. Esto puede ser explicado por el hecho que una porción de fluido puede transferir momentum a su alrededor a través de fluctuaciones de presión, sin mezclarse con porciones vecinas, mientras que esto no ocurre con el transporte de masa. Perrels & Karelse (1981) concluyeron que las expresiones anteriores no son satisfactorias y recomendaron el uso de las siguientes ecuaciones: vt ,estr  vvt exp(4 Ri );

(8.14)

t ,estr  t exp(18Ri )

(8.15)

8.4.2 Modelo de longitud de mezcla: Uno de los pocos intentos exitosos de establecer una forma de variación de  t fue propuesto por Prandtl en 1925 con el modelo de longitud de mezcla (mixing length model). Estimulado por la teoría cinética de gas, Prandtl supuso que la viscosidad de remolino t es proporcional a la escala de velocidad V y la “longitud de mezcla” lm(según ecuación 8.4). Considerando capas de corte sólo u con un esfuerzo turbulento significativo  u ' v ' y gradiente de velocidad 8 y Prandtl postuló que V ˆes igual al gradiente de velocidad promedio veces la longitud de mezcla ( lm), es decir,

V  lm

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u y

(8.16)

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La longitud de mezcla es definida de la siguiente manera (ver figura 4.6): “cuando un bloque de fluido viajando a su velocidad promedio original u1 es desplazado de y1 a y2debido al movimiento turbulento en la dirección transversal v’, su velocidad difiere de la velocidad promedio circundante en y2 por u . La longitud de mezcla lm es la distancia y2-y1 en la cual u  u2  u1 es igual al promedio [de la magnitud] de la fluctuación transversal de la velocidad.

Con la escala de velocidad dada por (8.16) (suponiendo en la ecuación 8.4 constante de proporcionalidad igual a 1 y L=lm) la viscosidad de remolino puede ser expresada como:

vt  lm2

u y

(8.17)

En la ecuación (8.17), lm debe especificarse de alguna forma. Nuevamente el problema de indeterminación es transferido para otro ente, sólo que en esta vez para un ente de más fácil visualización. Sin embargo, la longitud de mezcla representa de alguna manera el tamaño de los vórtices característicos del flujo y, de este modo, debe ser pequeña en la región de flujo cerca de los contornos físicos y más grande en puntos alejados de estos contornos. En consecuencia, la forma de especificar lm depende del tipo de flujo considerado, siendo diferente para canales, chorros, plumas, capas de mezcla y estelas, entre otros. Cuando se consideran problemas con más de una dirección característica, el establecimiento de lm se torna más complejo y se usa raramente. Un caso importante y frecuentemente usado es la descripción de la variación de la longitud de mezcla próximo a las paredes. Considerando que una pared está localizada en el origen del eje y , un hecho razonablemente bien establecido es que próximo a esta pared lm sea dada por

lm  kl y

(8.18)

Siendo kl la “constante universal” de von Kármán, cuyo valor es aproximadamente 0.4

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La ecuación (8.18) indica que el tamaño característico de los vórtices (representado por lm) crece de forma lineal en la medida en que se aleja de la pared. Obviamente, esta variación es limitada, o por otros contornos físicos o por que la influencia de esta pared deja de existir a distancias suficientemente grandes. O sea, rigurosamente, la ecuación (8.18) no es válida en toda la profundidad del flujo. Como ejemplo, Perrels & Karelse (1981) adoptaron la ecuación (8.18) hasta 25% de la profundidad, y luego un valor constante para lm por encima de este punto en un estudio de variación de salinidad en canales (EIGER, 1989). El uso de la ecuación (8.18) lleva a la conocida variación logarítmica de la velocidad en canales, como se verá más adelante. Sustituyendo (8.18) en (8.17), y luego en (8.5b), resulta la siguiente expresión de esfuerzo cortante

u  v ' u   yx '    k12 y 2 u y | y

(8.19a)

Para sistema de coordenadas r-z, esta ecuación queda expresada como

 rz '    k12 (r0  r )2

Vz Vz r r

(8.19b)

Siendo r0 el radio del tubo.

Principal acierto del modelo de longitud de mezcla: La hipótesis de longitud de mezcla ha sido, y aún es aplicado con gran suceso, por lo menos para flujos relativamente simples, porque en muchas situaciones lm puede ser especificado por fórmulas empíricas simples. En capas libres (free layers), lm se puede suponer constante a través de la capa y proporcional al ancho local de la capa. Sin embargo, el factor de proporcionalidad, es decir, la constante experimental en este modelo de turbulencia, depende del tipo de flujo libre considerado. El factor para diferentes tipos está dado en la tabla 4.3.

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En la tabla 4.3,  es definida como la distancia entre puntos donde la velocidad difiere de la velocidad de la corriente libre en 1% de la máxima diferencia de velocidad a través de la capa. Para flujos simétricos (chorros, estelas),  es la distancia del eje de simetría al punto 1% en el borde exterior. En turbulencia de pared o capa límite de pared (incluyendo aquellos con una velocidad máxima como chorros de pared) se halló que una “función rampa” como la esquematizada en la figura 4.7 trabaja satisfactoriamente.

Con base a un gran número de cálculos, Patankar & Spalding (1970) sugirieron como constante empírica k1=0.435 constante de von Kármán) y   0.09 ; el ancho de la capa  es definido como la distancia del la pared al punto 1% en el borde exterior. En flujos desarrollados de ducto (canales y tubos), la distribución de longitud de mezcla está bien descrita por la fórmula de Nikuradse:

lm y y  0.14  0.08(1  )2  0.06(1  )4 r0 r0 r0

(8.19c)

Donde r0 es el radio del tubo o la mitad del ancho del canal (toda la profundidad en el caso de canales abiertos). Cerca de la pared la relación (8.19c) es idéntica a la relación lineal (4.18) con constante de von Kármán k1=0.4. Muy cerca de la pared, donde los efectos viscosos juegan un rol, la relación lineal de longitud de mezcla debe ser modificada; esta se hace usualmente con la siguiente función de amortiguamiento de van Driest:

  y ( 0 /  )0.5 lm  k1 1  exp   Av  

   , A=26 

(8.19d)

o con alguna otra modificación de esta ecuación  0 es el esfuerzo de corte en la pared.

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8.4.2.1 Limitaciones del Modelo de Longitud de Mezcla:

Una limitación del modelo de longitud de mezcla consiste en el hecho de que produce resultados aceptables solamente en corrientes con una longitud característica. Un ejemplo típico de este caso es el flujo con turbulencia plenamente desarrollada en un canal ancho, en el cual la longitud característica es el tirante del canal. Si en este canal se introdujera una solera, existirán longitudes horizontales importantes, haciendo con que el modelo de longitud de mezcla ya no sea aplicable de forma razonablemente simple en la región próxima a la solera. Con relación a la constante de von Kármán, se debe hacer otra observación. A pesar de que ella es calificada como una constante “universal”, no existe unanimidad con relación a su valor. Se sabe, por ejemplo, que la presencia de sedimentos en el agua puede disminuir considerablemente su valor, conforme fue demostrado experimentalmente por Vanoni & Nomicos (1960).

8.4.2.2 Efecto de Flotabilidad: Las fuerzas de cuerpo debido a la flotabilidad o curvatura de líneas de corriente pueden alterar significativamente la distribución de longitud de mezcla. Este efecto puede ser considerado a través de fórmulas empíricas procedentes de estudios de capas límites atmosféricas estratificadas. Las siguientes expresiones fueron presentadas por RODI (1980, 1993): lm,estr  lm (1  7 Ri ) , para Ri>0

(8.20a)

lm,estr  lm (1  14Ri )0.25 , para Ri