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• Zilel Limachi Choque

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Separata de Análisis de Poblaciones

MODELOS DE CRECIMIENTO DE LAS POBLACIONES El crecimiento de una población generalmente es descrito por una ecuación de regresión, para lo cual habrá que realizar algunas suposiciones respecto a la población. En primer lugar, la serie de datos (x1 , y1 ), (x2 , y2), (x3 , y3 ), . . . , (xt , yt ) es una muestra sistemática (no aleatoria) dado que es tomada año a año y por consiguiente el análisis de regresión y correlación que se práctica sobre ella es para obtener conclusiiones sobre el comportamiento general de la serie y con la experiencia que se tenga sobre ella arriesgarse a dar interpolaciones para períodos cortos. Una eliminación de la correlación mediante la Durbin Watson hará posible realizar un análisis muestral. En segundo lugar, hay que suponer si la población en estudio es cerrada, estacionaria, etc. y en tercer lugar si la tasa de crecimiento crece en forma geométrica o aritmética. Los modelos que se dan a continuación especialmente son para estudiar la proyección de poblaciones que generalmente son en base a las cifras de los censos cuando se trata de series de poblaciones, pero perfectamente pueden ser utilizados para el estudio de la tendencia de las tasas de población, mortalidad, natalidad, etc. Modelo de crecimiento lineal Es un modelo en el que se incrementa la población en forma aritmética; está basado minimamente en las cifras para 2 censos. El procedimiento consiste en calcular la tasa de incremento anual de la población en base a los 2 censos y luego por cada año transcurrido añadir el incremento a la población del ultimo censo. La ecuación es:

Pt

+ k + n

= Pt

+ k

+

Pt + k - Pt ---------------- . n k

Donde,

n t t+k

: Período de proyección : Fecha de observación del primer censo : Fecha del segundo censo

t+k+n

: Fecha de la población a proyectar

Pt

: Población del primer censo

Pt + k

: Población del segundo censo

Pt k

: Población a proyectar : Período transcurrido entre el primer

+k + n

Pt

+k + n

Pt + k Pt k t

n t+k

t+k+n

y segundo censo.

La deducción de la fórmula dada es por proporciones en los triángulos de la figura. t + k - t ------------------t + k + n - t - k k --n

=

=

Pt+k - Pt ------------------------Pt+k+n - Pt+k Pt+k - Pt -----------------------Pt+k+n - Pt+k

Pt+k - Pt Pt+k+n = Pt+k + --------------- . n k

DOCENTE: REMO CHOQUEJAHUA A.

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Donde: Pt+k - Pt ------------------K

es la tasa de crecimiento anual de la población

Modelo de crecimiento geométrico Este modelo requiere también de las cifras de poblaciones para dos censos en dos fechas cualquiera. Considera que la población se incrementa a una tasa de crecimiento geométrico constante. La ecuación generalizada para cualquier fecha t y para un período n tiene la forma, Pt + k para

+n

= Pt ( 1 + r ) t

t = 0, 1, 2, . . . . ., 2015, 2016, 2017, . . .

+k+n

n = 0, 1, 2, 3, . . .

k = 0, 1, 2, 3, ....

Si en la ecuación anterior se asume que t = 0 y k = 0 se obtendrá una fórmula más simple de trabajar. En este caso se asume que a partir de la población del primer censo P0 cualquier población es proyectada. Pn = P0 (1 + r)n Donde: n : Período de proyección. P0 : Población del primer censo en una fecha cualquiera. Pn : Población a proyectar. r : Tasa de crecimiento anual y constante.

Pn

P2 P1 P0

t=0

t=1

t=2 ... t=n

Tasa de crecimiento geométrico La fórmula para hallar la tasa r se obtiene al despejarla del modelo de crecimiento geométrico. En su cálculo es necesario conocer las poblaciones para los dos censos ( Pt la población para el primer censo y Pt + n la población para el segundo censo) y el período n.

r =

DOCENTE: REMO CHOQUEJAHUA A.

n

Pt + n --------Pt

- 1

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También puede ser estimada mediante una de las fórmulas siguientes: a) 1 Pt + k - Pt r = ------- ( ----------------- ) k Pt b) 1 Pt + k - Pt r = ------- ( ------------------- ) k Pt + k + Pt --------------2 c) 1 Pt + k - Pt r = ------- ( ----------------- ) k P30 / 06

Ejemplo La población nominalmente censada para la provincia de Puno según los censos de los años de 1940, 1961, 1972 y 1981 se dá en la tabla siguiente. Hallar la ecuación del modelo lineal y geométrico para los siguientes datos y estimar la población para 1972 y 1981.

TABLA No. 3.11.2.1. Población nominalmente censada de la provincia de Puno ---------------------------------------------------Fecha t Población ---------------------------------------------------09/ 06/ 40 0 101 732 02/ 07/ 61 21.063 124 823 04/ 06/ 72 31.986 148 652 12/ 07/ 81 41.090 177 358 ---------------------------------------------------Solución: MODELO LINEAL Pt+k - Pt Tasa de crecimiento anual = ------------- = k

124 823 - 101 732 ------------------------21.063

= 1096.282581

Pt+k - Pt Pt+k+n = Pt+k + ------------ . n k Pt+k+n = 124 823 + (1096.282581) . n Pt+k+n = 101 732 + (1096.282581) . n

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Población estimada de la provincia de Puno para los censos de 1972 (X = 31.986) y 1981 (X = 41.090) según el modelo de crecimiento lineal. -----------------------------------------------t Pob. Estimada -----------------------------------------------0 101 732.0000 21.063 124 823.0000 31.986 136 797.6946 41.090 146 778.2512 -----------------------------------------------MODELO GEOMETRICO Pt+n = Pt (1 + r)t + n Pt+n = 101 732 (1.009758882)t + n P31.986 = 101 732 (1.009758882)31.986 P41.090 =

101 732 (1.009758882)41.090

= =

138 791.9759 151 621.97

Población estimada de la provincia de Puno para los censos de 1972 (X = 31.986) y 1981 (X = 41.090) según el modelo de crecimiento geométrico. ------------------------------------------------------t Población Estimada ------------------------------------------------------0 101 732 21.063 124 823 31.986 138 791.9759 41.090 151 621.97 -------------------------------------------------------

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Practica encargada para desarrollarlo en clase:

SEGÚN LOS ÚLTIMOS CUAL SERÍA LA POBLACIÓN ESTIMADA -

Representar en un diagrama de dispersión y comente sobre lo q observa respecto al crecimiento de la población.

-

Según los últimos cual sería la población estimada para el Modelo lineal, saque conclusiones sobre el modelo

-

Según los últimos cual sería la población estimada para el Modelo Geométrico, saque conclusiones sobre el modelo

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