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• Mayte Guerrero

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ANÁLISIS DE MODELOS DE CRECIMIENTO MIROBIANO

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE MONOD

ANTECEDENTES

𝝁

𝝁𝒎𝒂𝒙

El modelo matemático de Monod describe el crecimiento microbiano  de un cultivo en suspensión, en relación con la concentración de un  nutriente limitante. Similar a la ecuación cinética de Michaelis‐Menten, pero se obtiene  de forma empírica. Gráficamente es una hipérbola con giro, que tiende asintóticamente  hacía µmax y pasa por el origen de coordenadas.

𝑺 𝑺 𝑲𝑺

Ks: cte de afinidad por el sustrato: Un microorganismo, puede tener diferentes Ks para  distintos sustratos, condiciones de proceso o estado vital de la célula.

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE MONOD

Por ejemplo: distintas gráficas con diferentes sustratos darán hipérbolas mas “tumbadas”,  resultando valores de Ks mayores.

NOTA: µmax/2 es un valor “alcanzable” y por tanto más preciso que µmax, que  posiblemente nunca se pueda alcanzar (asintótico).

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE MONOD

LINEALIZACIÓN DE MONOD Para poder trabajar mejor, se puede linealizar, mediante las mismas condiciones que  la ecuación de Michaelis, por ejemplo, representando los inversos de la velocidad de  crecimiento frente al inverso de la concentración de sustrato. S μ μ S K 1 𝜇 1 𝜇

𝑦

𝑆 𝜇

𝐾 𝑆

𝑆 𝜇

𝑆

𝑏

𝐾 𝜇

𝑚𝑥

1 𝑆

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE MONOD

ATENCIÓN: para tomar cinéticas de crecimiento hay que tener en cuenta donde se  van a producir más cambios, a la hora de recoger más puntos experimentales. No se deben obtener distribuciones concentradas de puntos en una determinada  zona y  pocos en otra zona. Puede dificultar la distinción de puntos que pueden  desecharse. Hay que pensar la estrategia de recogida de datos para que ofrezca la información  más robusta y describa el crecimiento de forma más real. Tiempo (h)

S (g/L)

X (g/L)

Tiempo (h)

S (g/L)

X (g/L)

0

10

0,1

0

10

0,1

1

9,99

0,11

2

9,9

0,12

2

9,90

0,12

4

9,6

0,18

3

9,60

0,14

6

8,6

0,42

4

9,60

0,18

7

7

0,72

5

9,20

0,26

7,5

5,12

1,03

6

8,6

0,42

8

3

1,5

7

7

0,72

8,5

0,1

1,72

8

3

1,5

9

0

1,72

9

0

1,72

¿cuál nos  quedamos?

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE TESSIER

El modelo de Tessier gráficamente consiste en restar a la función  y=x=1, (en esta caso  correspondería a la µmax ) la función de 𝑦 𝑒 , el resultado es una hipérbola que se  parece a la de Monod.

Ecuación de Tessier

𝝁

𝝁𝒎𝒂𝒙 𝟏

𝒆

𝑺 𝑲𝒔

)

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE TESSIER

El valor (µmax/2) no se corresponde con la Ks, lo podemos comprobar si sustituimos S=Ks en la ecuación de Tessier y obtendremos en este caso un valor para Ks que corresponde  al 63,2% del crecimiento, (significa que Ks es más grande para Tessier que para Monod).  μ

μ

1

e

μ

μ

1

e

μ

μ

1

e

μ

μ

1 0,3678 )

μ

μ

0,6321 )

) 𝐊𝐬

) )

Debemos usar el modelo dependiendo de la cinética obtenida, y utilizar el modelo que mejor se ajuste. Para un microorganismo que tuviera la misma Ks, para el modelo de Tessier crecería más rápido que para el modelo de Monod. LIMITACIONES TESSIER:  1) Solo tiene en cuenta el sustrato  2) Imposible de linealizar

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE CONTOIS

Introduce la constante de equivalencia (B), entre la concentración de sustrato y de  célula, es decir, (B.X), por tanto, debe tener las mismas unidades que la concentración  de sustrato (S). (B= gsustrato/gcélula). Significado físico: “cada célula necesita B gramos de sustrato para crecer, si no alcanza  ese valor, el crecimiento se ralentiza”. Este modelo se aplica, sobre todo, para células que crecen en forma de colonias  grandes o inmovilizadas en un soporte. Por ejemplo: un hongo que crece formando hifas, provoca que las células más externas  puedan acceder al sustrato sin limitación, por el contrario las del interior estarán  limitadas por difusión de los nutrientes.  Entonces se puede concluir que para este modelo, cuanto más biomasa, más se limita la  difusión de sustrato, para las células no expuestas superficialmente. 

Ecuación de  Contois

𝝁

𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺 𝑺 𝑩𝑿

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE CONTOIS LINEALIZACIÓN DE CONTOIS

Se obtiene una recta de pendiente negativa que baja desde µmax con pendiente –B/S. Representamos (µ) frente a (µX) 𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺 𝑺 𝑩𝑿

𝝁 μ S

BX

μ

S

μS

μBX

μ

S

𝜇 𝝁

𝐵𝑋 𝜇 𝑆

𝜇 𝝁𝒎𝒂𝒙

𝑩 𝑺

𝝁X

y= b + mx

Dividiendo por S  y reordenando

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE CONTOIS LINEALIZACIÓN DE CONTOIS

En la práctica es mejor trabajar haciendo el sustrato constante, entonces estas cinéticas,  mejor trabajar con muchos matraces a concentración de sustrato cercana a la  concentración óptima. Entonces, para obtener diferentes condiciones de estudio, lo que será variable en cada  experimento será Xo y medir a un intervalo de tiempo fijo. X0

Xf

0,001

Experimental calculamos

0,002 0,005 0,01 0,05 0,1 1

µ Las cineticas serían con la misma concentración  de sustrato (25g/L), a un tiempo de cultivo de  1h por ejemplo poner diferentes X0 que tienes  en cultivo previo y mides la concentración final  de células para poder calcular la mu 

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE HALDANE

 Se trata de un modelo diseñado inicialmente para estudiar cinéticas enzimáticas y  fue adaptado para crecimiento microbiano.  ¡¡La aportación de Haldane consistió en darse cuenta que, una concentración muy  alta de sustrato inhibe la acción enzimática!!.  Es un modelo hiperbólico, similar a Monod, µmax/2 equivale a Ks. Ksi: concentración a la cual existe inhibición por parte del sustrato. (Un ejemplo de  aplicación de este hecho, es la conservación de alimentos por alta concentración de  azúcares, por eliminación de la actividad del agua).

ACLARACIÓN: los modelos de Tessier y Contois se pueden linealizar, pero es bastante  complejo, este modelo tiene la ventaja que si es fácilmente linealizable.

Ecuación de  Haldane

𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺

𝝁 𝑺

𝑲𝒔

𝑺𝟐 𝑲𝒔𝒊

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE HALDANE

Dependerá especialmente del sustrato y de los valores de Ks y Ksi,  que serán diferentes  dependiendo del sustrato. Por ejemplo supongamos que se trata de glucosa: (los valores de Ks serán muy pequeños  y Ksi más grande relativamente a otro sustrato de menor afinidad). Por el contrario, si el sustrato es fenol: (vamos a decir que se lo come pero no le gusta…)  el resultado es que la curva de Haldane se “estrecha” un poco más. Lo que puede más o  menos coincidir, es el valor de la concentración óptima de sustrato.

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE HALDANE

Mejor graficamos µ frente log S. Gráfica tipo gaussiana  con dos ramas prácticamente rectas donde el punto de corte  representará µmax y de su corte con el eje x obtendríamos a continuación la  concentración óptima de sustrato. Por otra parte al hacer µmax/2 los cortes corresponderán con Ks y Ksi en cada rama.

Este modelo suele describir el crecimiento como menos ideal a la hora de alcanzar  la µmax, que el modelo de Monod.

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE HALDANE

Comentario: en este caso para las cinéticas se pueden realizar con  diferentes matraces y cada uno con distinta concentración de  sustrato, todos arrancan al mismo tiempo y mides la concentración  final de biomasa (Xf) y calculas la µ, por ejemplo con un ∆t= 1h y  un inóculo también fijo, por ejemplo de 1g/L (Xo). (S) g/L

Xf

0,001

0,0012

0,005

0,0075

0,001

…

0,1

…

0,5

…

1

…

5

…

µ

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE HALDANE-LUONG

Luong hizo una aportación que consistió en lo siguiente: graficando µ frente la  concentración del producto (P), observó que disminuye la (µ) con la concentración  de producto, y el valor de (P) donde se inhibe totalmente, lo llamó Kp. Entonces la ecuación de Haldane modificada por Luong consiste en poner la µ en  función de la concentración de producto, (es decir, añadiendo el término elevado  a r que sería el factor de rapidez de inhibición por el producto, termino de Luong). 

ECUACIÓN DE HALDANE‐LUONG

𝜇

𝑆

𝜇 𝑆

𝐾𝑠

𝑆 𝐾𝑠𝑖

1

𝑃 𝐾𝑝

𝒓

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE HALDANE-LUONG

Cuando r 1 la inhibición es mucho más presente desde el principio de la cinética y se inhibe  rápidamente, INCLUSO desde el principio. Productos que habitualmente inhiben el crecimiento: ácidos como el láctico, propiónico, etanol, en  general, productos secundarios. Ejemplo: cerveza,  7º (% v/v), teniendo en cuenta que la densidad  del etanol es 0,789g/ml, tenemos sobre 55g etanol/L, por tanto la Kp para la mayoría de las  levaduras es de unos 55g/L.

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE HALDANE-LUONG

𝜇

𝑆

𝜇 𝑆

𝐾𝑠

𝑆 𝐾𝑠𝑖

1

𝑃 𝐾𝑝

𝑦

1

𝑥/𝑐𝑡𝑒

𝑦

𝑏

𝑚𝑥

𝒓

Análisis de modelos de crecimiento microbiano

MODELO DE PASTEUR

Pasteur no propuso modelos matemáticos, solo postulados, así que existen modelos que cumplen con los postulados de Pasteur, (en ese sentido hablamos de modelo Pasteur).

Postulados 1. Con elevada concentración de oxígeno, se forma muy poco alcohol, y se ve favorecido el crecimiento de la levadura. 2. Con baja concentración de oxígeno casi no crece la levadura y se ve favorecida la producción de etanol. 3. Mucha biomasa demanda mucho oxígeno por lo tanto en bajas concentraciones de biomasa se facilita la formación de ácido acético. (Cuanto mayor sea el inóculo utilizado más se favorecerá la formación de alcohol). 4. El producto metabólico es un inductor para quien produce e inhibidor de la competencia.

Análisis de modelos de crecimiento microbiano MODELO DE PASTEUR

“El producto es inductor de su propio metabolismo”, permite activar las enzimas relacionadas. Por ejemplo las levaduras “ secuestran o retiran glucosa del medio” transformándolo en etanol, incluso en presencia de oxigeno, se aseguran que no esté disponible la glucosa para otras cepas, al menos para las que no metabolicen etanol. Por eso es habitual que en el proceso de elaboración de cerveza se ponga al principio de la fermentación un poco de cerveza para inducir el metabolismo hacía la formación de etanol.

Análisis de modelos de crecimiento microbiano MODELO DE PASTEUR 𝜇

𝑆

𝜇 𝑆

𝐾𝑠

𝑆 𝐾𝑠𝑖

1

𝑃 𝐾𝑝

𝒓

𝜇 𝑠, 𝑝

𝜇

𝑆 𝑆

𝐾𝑠

𝑃 𝑆2 𝐾𝑠𝑖

𝑃

2𝐾𝑝

𝐾𝑝 𝑃2 𝐾𝑝𝑖

Análisis de modelos de crecimiento microbiano MODELO DE PASTEUR