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• Alvaro Sanchez Bogado

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Modelo molecular de un gas ideal Iniciamos con el desarrollo de un modelo microscópico de un gas ideal, llamado teoría cinética. Al desarrollar este modelo, se hacen las siguientes suposiciones: 1. En los gases las moléculas son numerosas y la separación promedio entre ellas es grande en comparación con sus dimensiones. En otras palabras, las moléculas ocupan un volumen despreciable en el contenedor. Esto es consistente con el modelo de gas ideal, en el que las moléculas se modelan como partículas. 2. Las moléculas obedecen las leyes de movimiento de Newton, pero como un todo tienen un movimiento aleatorio. Por “aleatorio” se entiende que cualquier molécula se puede trasladar en cualquier dirección a cualquier rapidez. 3. Las moléculas interactúan sólo mediante fuerzas de corto alcance durante colisiones elásticas. Esto es consistente con el modelo de gas ideal, en el que las moléculas no ejercen fuerzas de largo alcance unas sobre otra. 4. Las moléculas tienen colisiones elásticas contra las paredes. Estas colisiones conducen a la presión macroscópica sobre las paredes del contenedor. 5. El gas en consideración es una sustancia pura; es decir, todas las moléculas son idénticas. Aunque con frecuencia se ilustra un gas ideal que consiste en átomos simples, el comportamiento de los gases moleculares se aproxima al de los gases ideales, mas a presiones bajas. Por lo general, las rotaciones moleculares o vibraciones no tienen efecto sobre los movimientos considerados en este caso.

Colisiones y presión de gas Durante los choques, las moléculas ejercen fuerzas sobre las paredes del recipiente; éste es el origen de la presión del gas. En un choque la componente de velocidad paralela a la pared no cambia, y la componente perpendicular a la pared invierte su dirección sin cambiar de magnitud. Primero determinaremos el número de choques por unidad de tiempo para cierta área de pared A. Luego calcularemos el cambio de cantidad de movimiento total asociado con estos choques y la fuerza necesaria para provocar ese cambio. Así podremos determinar la presión, que es la fuerza por unidad de área, y comparar el resultado con la ecuación del gas ideal. Encontraremos una conexión directa entre la temperatura del gas y la energía cinética de sus moléculas. Para comenzar, supondremos que todas las moléculas del gas tienen la misma magnitud de la componente x de velocidad |vx |. Después demostraremos que este supuesto no es realmente necesario. En cada choque la componente x de velocidad cambia de - |vx | a |vx |, así que la componente x de la cantidad de movimiento cambia de a y el cambio de la componente x de la cantidad de movimiento es -2mvx. Si una molécula va a chocar con cierta área de pared A durante un breve intervalo de tiempo dt, al comenzar dt deberá estar cuando mucho a una distancia de la pared y dirigida hacia la pared. Así, el número de moléculas

que chocan con A durante dt es igual al número de moléculas que están dentro de un cilindro con área de la base A y longitud |vx | cuya velocidad x está dirigida hacia la pared. El volumen de tal cilindro es A|vx |dt. Suponiendo que el número de moléculas por unidad de volumen (N>V) es uniforme, el número de moléculas en este cilindro es en promedio, la mitad de estas moléculas se están acercando a la pared y la mitad se está alejando, así que el número de choques con A durante dt es: ½(N/V) A|vx |dt Para el sistema de todas las moléculas del gas, el cambio total de cantidad de movimiento dPx durante dt es el número de choques multiplicado por( 2m|vx |):² dPx= ½(N/V) A|vx |dt( 2m|vx |)=(NAmvx²dt)/V La tasa de cambio de la componente de cantidad de movimiento Px es dPx/dt=(NAmvx²)/V De acuerdo con la segunda ley de Newton, esta tasa de cambio de la cantidad de movimiento es igual a la fuerza ejercida por el área de pared A sobre las moléculas del gas. Por la tercera ley de Newton, ésta es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre la pared por las moléculas. La presión p es la magnitud de la fuerza ejercida sobre la pared por unidad de área, y obtenemos: p=F/A=(NAmvx²)/V La presión ejercida por el gas depende del número de moléculas por volumen (N>V), la masa m por molécula y la rapidez de las moléculas.

Presión y energías cinéticas moleculares Mencionamos que |vx | no es realmente igual para todas las moléculas, pero podríamos haber organizado las moléculas en grupos con la |vx | misma dentro de cada grupo, y luego sumado las contribuciones resultantes a la presión. El efecto neto de esto es simplemente sustituir vx² en la ecuación de presión en función de la rapidez obtenida por el valor medio de vx² , que denotamos con (vx² )med. Además, (vx² )med tiene una relación sencilla con la rapidez de las moléculas. La rapidez v de cualquier molécula está relacionada con las componentes de velocidad vx, vy y vz por v²=vx²+vy²+vz² Sin embargo, en nuestro modelo no hay una diferencia real entre las direcciones x, y, y z. (Las rapideces moleculares son muy altas en un gas típico, así que los efectos de la gravedad son insignificantes.) Se deduce que vx², vy², vz² deben ser iguales. Por lo tanto, (v²) es igual a 3(vx²) y vx²=1/3v² Así que la ecuación de presión en función de la rapidez se convierte en pV=1/3Nmv²=2/3(N)(1/2mv²)

Observamos que (1/2mv²) es la energía cinética de traslación media de una sola molécula. El producto de esto por el número de moléculas N es igual a la energía cinética aleatoria total Ktr del movimiento de traslación de todas las moléculas. (La notación Ktr nos recuerda que esta energía está asociada al movimiento de traslación. Podría haber energías adicionales relacionadas con la rotación y la vibración de las moléculas.) El producto pV es igual a dos tercios de la energía cinética de traslación total: pV=2/3Ktr

Ahora comparamos esto con la ecuación del gas ideal, pV=nRT que se basa en estudios experimentales del comportamiento de los gases. Para que las dos ecuaciones concuerden, debemos tener: Ktr=3/2nRT Este resultado tan sencillo indica que Ktr es directamente proporcional a la temperatura absoluta T

Interpretación molecular de la temperatura Es posible obtener cierta comprensión del significado de la temperatura al comparar 2 ecuaciones obtenidas anteriormente. pV=2/3(N)(1/2mv²)

y

pV=NRT Al igualar los lados derechos de estas expresiones se obtiene: T=2/3(R)(1/2mv²) Este resultado muestra que la temperatura es una medida directa de la energía cinética molecular promedio. Al reordenar esta ecuación, es posible relacionar la energía cinética molecular traslacional con la temperatura: (1/2mv²)=3/2RT