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Modelo At´omico de Bohr Mamani velasquez, Deivit Frank 19 de octubre del 2009

Modelo At´ omico de Bohr Luego del fracaso del modelo at´omico de Rutherford por explicar la estabilidad de las orbitas del electr´ on, debido a que seg´ un su modelo, estas perder´an energ´ıa en forma de radiaci´on y los electrones caer´an despu´es de un tiempo hacia el n´ ucleo, era necesario un nuevo modelo que explique la estabilidad de las orbitas del electr´ on. En 1913, Niels Bohr (F´ısico Dan´es) proporci´on un modelo del ´ atomo que pod´ıa explicar de manera satisfactoria la estabilidad de las orbitas de los electrones. Antes de estudiar este modelo, es necesario comprender los espectros de l´ınea de los ´atomos para luego ver m´ as profundamente con la teor´ıa at´omica de Bohr. Figura 1: Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962) F´ısico dan´ es autor del modelo del a ´tomo de hidr´ ogeno m´ as exitoso hasta su ´ epoca, tambi´ en es autor del principio de complementariedad, el cual postula que las propiedades corpusculares y ondulatorias de la materia no pueden analizarse aisladamente una de otra.

L´ıneas o Series Espectrales

Recordemos que si un s´olido se calienta, esta emite radiaci´ on la cual contiene muchas longitudes de onda, as´ı, si hacemos pasar esta radiaci´on por un colimador y luego por un prisma observaremos, en una pel´ıcula o en una pantalla negra, la distribuci´on continua de colores sobre la pantalla sin dejar vac´ıo, a este tipo de distribuci´ on se le conoce como espectro continuo, por ejemplo, un arco´ıris es un espectro continuo producido por la dispersi´ on de la luz solar mediante las gotas de lluvia Sin embargo no se observa esta misma distribuci´on para fuentes que consisten de gases monoat´ omicos a baja presi´ on y cuyos ´atomos sean excitados por descargas el´ectricas (una fuente de este tipo son las luces de ne´on). Para este tipo de fuentes lo que se observa en la pantalla son l´ıneas definidas que poseen colores puros que corresponden a longitudes de ondas especificas. Uno de los espectros m´ as simples es el del hidr´ ogeno. A este tipo de espectros se le conocen como espectros de emisi´ on

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Figura 2: Espectro continuo formado por el paso de radiaci´ on visible colimada por un prisma

Al espectro visible del hidrogeno se le conoce como serie de Balmer puesto que en 1885, Johan Balmer presento una f´ ormula emp´ırica para la cual se ajustaban muy bien las longitudes de onda observados en el espectro del hidr´ogeno. La f´ ormula presentada por Balmer fue   1 1 1 =R − 2 (1) λ 22 n Donde R es una constante y es conocida como la constante de Rydberg y su valor es R = 1,0973732x107 m−1 . Cuando se analizan los espectros para distintos elementos, se encuentra que ninguno de ellos coincide con otro que no sea del mismo elemento, por tanto, la espectroscopia fue un m´etodo muy popular para reconocer elementos, de hecho, mediante esta t´ecnica G.R. Kirchoff y R. Wilhelm von Bunsen, descubrieron dos nuevos elementos, el rubidio y el cesio. Otro descubrimiento que aconteci´o luego del descubrimiento de espectro de emisi´on; otro tipo de espectros se obten´ıa cuando la luz de un espectro continuo se hace pasar por un gas monoat´omico tal como el hidrogeno, se produce un espectro de absorci´ on. Figura 3: No existen espectros En un espectro de absorci´on se observa l´ıneas de lineas iguales para sustancias oscuras sobre un fondo blanco. Estas l´ıneas osdistintas curas se corresponden a las l´ıneas espectrales de emisi´ on del gas. En este caso el gas absorbe la radiaci´on correspondiente a tales longitudes de onda. Mediante los espectros de absorci´ on podemos obtener una manera de saber la composici´ on de ciertas sustancias, calentando tal sustancia y haciendo pasar la luz de su espectro continuo de la sustancia por el gas del cual se desea saber si es parte de tal sustancia. La aplicaci´ on m´ as interesante es la demostraci´on de la

Figura 4: Espectro de absorci´ on para distintos ´ atomos de gases

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presencia de helio en la atm´ osfera solar. Inicialmente se observa un espectro con m´ as de mil l´ıneas oscuras, luego se hace pasar la distribuci´on sobre gas helio, se observa en el espectro que las l´ıneas oscuras que corresponden al espectro de helio se oscurec´ıan aun m´ as. Existen diversas series descubiertas en el ´atomo de hidr´ogeno, como por ejemplo, en la regi´ on ultravioleta se observa la serie de lyman, en la regi´on infrarroja se observa la serie de Paschen (vea el cuadro 1) Serie de Lyman (uv) Serie de Balmer (vis-uv) Serie de Paschen (IR) Serie de Brackett (IR) Serie de Pfund (IR)

nf nf nf nf nf

=1 =2 =3 =4 =5

ni ni ni ni ni

= 2, 3, 4, . . . = 3, 4, 5, . . . = 4, 5, 6, . . . = 5, 6, 7, . . . = 6, 7, 8, . . .

Cuadro 1: Algunas series espectrales para el ´ atomo de hidr´ ogeno

En todos los casos se encontr´ o una formula parecida a la ec.(1) ! 1 1 1 =R − 2 λ n2f ni

(2)

Volviendo al espectro de emisi´ on del hidr´ogeno y la formula emp´ırica de Balmer, veremos que podemos deducir esta f´ormula mediante la teor´ıa at´omica de Bohr.

Teor´ıa At´ omica de Bohr Los fen´ omenos relacionados con los ´atomos de gases como los espectros de emisi´on y absorci´on y la estabilidad del radio orbital del electr´on no pod´ıan ser explicados con el modelo at´omico de Rutherford (figura 6). En 1913, el f´ısico dan´es Niels Bohr, estudiante de la universidad de Cambridge public´o un art´ıculo en tres partes en donde propuso un nuevo modelo at´omiFigura 6: perdida de en- co la cual fue muy exitosa y a la vez revolucionaria erg´ıa de un electr´ on en una por las ideas expuestas para fundamentar su mode´ orbita (Predicci´ on cl´ asica) lo, estas entraban en contradicci´on con la teor´ıa electromagn´etica de Maxwell. En el modelo del ´atomo de Bohr se supera f´ acilmente la observaci´ on de las ´orbitas estables y tambi´en explica satisfactoriamente la formaci´ on de los espectros de las mol´eculas de gases con un solo electr´ on. Las ideas o suposiciones que hace Bohr para sustentar su modelo at´ omico fueron las siguientes: 1. El electr´ on y el n´ ucleo recorren ´ orbitas circunferenciales alrededor de su centro de masa. Debido a que la masa del n´ ucleo es mucho mayor que la masa del electr´ on, podemos aproximar el centro de masa al centro del n´ ucleo (figura 7) y adem´ as, la fuerza de interacci´on entre el n´ ucleo y el esta dado por la ley de Coulomb.

Figura 5: Diagrama de niveles de energ´ıa donde se muestran algunas series descubiertas cuando el electr´ on pasa de un estado a otro

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Figura 7: aproximaci´ on de la trayectoria del electr´ on en un ´ atomo con un electr´ on

2. A diferencia de las predicciones cl´ asicas, las trayectorias circunferenciales no pueden ser cualquiera, sino que estas son tal que el radio orbital cumple la relaci´ on me vrn = n~

Condici´ on de Bohr para las o ´rbitas permitidas

3. Cuando un electr´ on se encuentra en una ´orbita permitida, este electr´on posee una energ´ıa estable, es decir, no irradia energ´ıa, y por tanto su ´orbita es estable. 4. Un electr´ on con una energ´ıa dada puede saltar de su ´orbita a otra ´orbita en la que poseer´ a menor energ´ıa, durante este proceso, el electr´on emitir´ a radiaci´ on cuya frecuencia est´ a dada por Ef − Ei (3) h Donde Ef y Ei son las energ´ıas del electr´on cuando este se encuentra en la orbita final e inicial respectivamente y ~ = h/2π. El proceso inverso tambi´en es ´ factible, en este caso el electr´ on absorbe radiaci´on de frecuencia seg´ un la relaci´on (3) Del tercer postulado podemos ver inmediatamente que se resuelve el problema de las o´rbitas estables que exist´ıa en el modelo at´omico de Rutherford ya que en este modelo el electr´ on no irradia energ´ıa. El segundo postulado puede ser derivado del comportamiento ondulatorio del electr´ on, ya que un electr´ on en una ´ orbita circular recorrer´a un n´ umero entero de su longitud de onda (ver figura 8) , as´ı ν=

2πr = nλ

(4)

Donde λ = h/me v es la longitud de onda de De Broglie del electr´on. Reemplazando este valor en la ec.(4) obtenemos la condici´on de Bohr para las ´orbitas permitidas Ahora podemos estudiar al electr´ on dentro del ´atomo y su interacci´on con el n´ ucleo. Debido a la forma circular de la traectoria del electron alrededor del nucleo, la fuerza centripeta debe ser igual a la fuerza de interaccion entre el electron y el nucleo Fc = Fe me

e2 v2 = r 4πε0 r2

(5)

5

Figura 8: La o ´rbita del electr´ on debe ser tal que la longitud de la circunferencia descrita debe ser igual a un numero entero de longitudes de onda del electr´ on

La energia total de un electron viene dado por E = K + U E=

e2 1 me v 2 − 2 4πε0 r

(6)

De la ec. (5) y la ec.(6) obtenemos E=−

e2 8πε0 r

(7)

De la condici´ on Condici´ on de Bohr para las ´orbitas permitidas y de (5) podemos obtener f´ acilmente rn =

4πε0 h2 n2 m e e2

Radio de o ´rbita permitido para un electr´ on

Al radio m´ as peque˜ no posible, es decir cuando n = 1, se le denomina radio de Bohr r1 =

4πε0 h2 = 0,529A m e e2

Podemos reemplazar el radio de orbita ya encontrado, sobre la ec. (7) encontrando   e2 1 En = − 8πε0 r1 n2 Vemos de esta u ´ltima relaci´ on que la energ´ıa de un electr´on esta cuantificada, es decir, la energ´ıa de un electr´ on no puede tomar cualquier valor sino, m´as bien, valores discretos. Los valores n son n´ umeros naturales y estos valores son los denominados n´ umeros cu´ anticos. Del cuarto postulado de Bohr, podemos obtener la frecuencia de radiaci´on si reemplazamos el valor de la energ´ıa encontrada en (3) y teniendo en cuenta que ν = c/λ obtenemos ! e2 1 1 1 = − 2 λ 8πε0 hcr1 n2f ni

Radio de Bohr

Niveles de hidrogeno

energ´ıa

del

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1 =R λ

1 1 − 2 n2f ni

! Niveles de hidr´ ogeno

energ´ıa

del

Donde R = 1,0973732 × 107 m−1 es la llamada constante de Rydberg. Vemos que esta u ´ltima ecuaci´ on tiene la forma de la ec.(2)

Experimento de Franck-Hertz Este experimento confirma la existencia de estados estacionarios. Veamos el diagrama de niveles de energ´ıa del ´ atomo de Mercurio (figura 9) Los ´ atomos de mercurio son pesados y Los electrones interiores dentro del atomo del hidr´ ´ ogeno son muy dif´ıciles de desalojar. Cuando un haz de electrones con una cierta energ´ıa atraviesan vapor de mercurio se dar´an colisiones entre los electrones y a´tomos de mercurio. Si la energ´ıa de los electrones es menor que 4.88 eV, la colisi´ on ser´ a el´ astica, as´ı, la energ´ıa cin´etica del electr´on no ser´a transferido al ´ atomo del mercurio, sin embargo por ser las colisiones el´asticas, se perder´a algo de energ´ıa del electr´ on en cada choque, esta energ´ıa perdida sera muy peque˜ na y por tanto el electr´ on colisionar´ a muchas veces antes de detenerse(figura 10). Si la energ´ıa del electr´on es mayor que 4.88 eV, entonces las colisiones que se dan entre el electr´on y el ´ atomo ser´ an inel´asticas, si el electr´on posee una energ´ıa un poco mayor que 4.88 eV el electr´on ceder´a su energ´ıa y solamente un choque sera inel´astico y luego todos los choques ser´an el´asticos y el proceso ser´a el ya descrito anteriormente. Durante la transferencia de Figura 10: Colisiones energ´ıa entre el electr´ on y el ´atomo se da una tranel´ asticas que se dan entre sici´ on entre el estado G y el estado I del ´atomo de el electr´ on y los ´ atomos de mercurio cuando la energ´ıa mercurio(Linea 1 de la figura 9) el tiempo de vida −8 cin´ etica del electr´ on es de un estado excitado es cercano a 10 s para luego menor que 4.88 eV regresar al estado G emitiendo un fot´on de energ´ıa EH − EG = 4,88eV y longitud de onda λ = 2536A. En el caso en que el electr´ on posee una energ´ıa mucho mayor que 4.8 eV, se dar´an a lugar m´ as de una colisi´ on inel´ astica.

Figura 11: Esquema experimental del experimento de Franck - Hertz

Ahora pasemos a ver el experimento realizado por Franck y Hertz en en

Figura 9: Niveles de energ´ıa para el electr´ on de valencia del 202 80 Hg

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1914. Se muestra el esquema experimental en la figura 11 Este esquema consta de un filamento el cual se encuentra calentado y emite electrones (F), tambi´en hay una placa (P) la cual es receptora de electrones y est´ a conectado a un electr´ ometro sensible (D), la placa y el filamento se encuentra dentro de un tubo el cual contiene vapor de mercurio a baja presi´on, entre la placa P y el filamento F se encuentra un filtro (G). Entre F y G hay un voltaje acelerador Va , entre G y P hay un potencial retardador Vr ≈ 0,5V . Como es de esperarse cuando el potencia acelerador Va aumenta, la corriente el´ectrica en la placa P aumenta. Sin embargo, cuando el potencial acelerador aumenta aproximadamente 0.5 V, Los electrones que pose´ıan una energ´ıa un poco mayor que 4.88 eV experimentar´ an una colisi´ on inel´astica m´as y quedar´an con poca energ´ıa como para que el peque˜ no potencial retardador impida la llegada de los electrones a la placa P, debido a esto, se observa un valle en la grafica de la corriente en la placa contra el potencial acelerador (figura 12) Mediante t´ecnicas espectrosc´ opicas, se encontr´o que la longitud de onda de la radiaci´ on procedente del tubo era de 2536 A, correspondiente a transiciones del primer estado excitado del mercurio al estado base. Este resultado, y el hecho de que la diferencia de energ´ıa entre valles es 4,9 V, muestra de forma muy convincente la existencia de los estados estacionarios.

Figura 12: Corriente de placa vs. el potencial acelerador