• Author / Uploaded
• Alison Daniela Ttito Condori

Citation preview

El modelo AK Irán Apolinar Peredo Cortes Pablo Huerta Mendoza Omar Salas Jácome Mónica Diaz Serrano Mariam Boza Peralta 13 de octubre de 2011 1.

E

Introducción

l modelo AK o de crecimiento endógeno surge da partir de explicar los determinantes del crecimiento económico a largo plazo para lo cual debemos abandonar alguno de los supuestos del modelo neoclásico: este predice que solamente puede haber crecimiento a largo plazo si existen mejoras tecnológicas, pero los supuestos neoclásicos no permiten introducir el progreso tecnológico dentro del modelo por lo que este debe suponerse exógeno. La primera manera es desviarse de los supuestos neoclásicos es abandonar la función de producción neoclásica. Vamos a mostrar que un simple cambio en la función de producción genera un universo de nuevas predicciones y de recomendaciones de política económica, a la vez que nos permite explicar el crecimiento a largo plazo. Suponemos que la función de producción es lineal en el stock de capital, Y (t) = AK(t) (tecnología AK ).En principio esta función de producción puede parecer descabellada puesto que ignora totalmente la existencia de trabajo y todos sabemos que se necesitan trabajadores para producir bienes y servicios. Un segundo análisis nos muestra como, teniendo en cuenta el concepto del capital humano no es tan descabellado. Los trabajadores para que desempeñen un trabajo o para formarles, hay que gastar una serie de recursos, en forma de comida, medicamentos, educación, etc. Dicho de otro modo, el factor trabajo necesita inversión en el sentido de que debemos sacricar consumo presente para aumentar la productividad de lo que llamamos trabajo. Dentro de las principales propiedades de la función de se encuentra los rendimientos constantes a escala, los rendimientos positivos no decrecientes del capital y el incumplimiento de la condición de Inada. 2.

Características del Modelo AK

• Este modelo es para una economía cerrada y sin gobierno, por lo que el ahorro bruto

debe ser igual a la inversión bruta. La inversión bruta, a su vez, es igual al aumento neto del stock de capital más la depreciación total.

• En este modelo se postula la existencia de una función de producción que es lineal en el

único factor de producción, el capital; esto signica que se mantienen los rendimientos constantes a escala. 1

• La tecnología presenta rendimientos constantes del capital. • Una elasticidad de sustitución de los factores sucientemente alta puede contrarrestar

también el papel de los rendimientos decrecientes del capital y generar crecimiento sostenido a lo largo del tiempo.

• La distinción entre las dinámicas de la transición y del estado de equilibrio desaparece. • La economía permanece eternamente en transición, porque crece a un ritmo constante. • Este tipo de modelos predice que los países crecen para siempre y la tasa de crecimiento

no depende del nivel de capital.

• No existe convergencia. Las disparidades de ingreso entre los países se mantendrían

para siempre.

• En este modelo nunca habrá ahorro excesivo, porque este permite crecer permanente-

mente más rápidamente.

• La elasticidad de la producción respecto al único factor acumulable es igual a uno y su productividad marginal es constante A, por lo que se obtiene crecimiento a largo

plazo.

• El trabajo se asimila a capital humano, siendo por tanto acumulable considerándose

conjuntamente con el capital físico.

• La tasa de crecimiento diere del modelo neoclásico tradicional en el sentido que

presenta un valor positivo y constante.

• En este modelo sí existen consecuencias ante una alteración de forma exógena de alguno

de los parámetros del modelo, como por ejemplo, en la tasa de ahorro, dado que ahora provoca un incremento de la tasa de crecimiento.

• La conclusión de Rebelo, es que los rendimientos crecientes no hacen falta para engen-

drar crecimiento endógeno, si bien, como en todos los modelos de crecimiento endógeno, presenta al menos rendimientos constantes.

• Por otra parte, el modelo no predice el fenómeno de la convergencia, ya que las econo-

mías, por ejemplo, con mayores niveles de ahorro respecto a su producto (que puede ser observado en las economías más ricas respecto a las más pobres en producto percápita) tenderán a crecer más, dado que A y s podrán ser mayores, si a eso agregamos que n puede ser más pequeño en las economías ricas (menor explosión demográca).

3. 3.1.

El Modelo El comportamiento de los hogares

Utilizamos una estructura similar al modelo de Ramsey, cada hogar representativo tiene una función de utilidad instantánea u[c(·)], es decir la utilidad solo depende del consumo, al igual que en modelo de Ramsey asumimos que tiene una forma funcional de tipo CRRA la cual es una analogía de la función CES. La función objetivo a maximizar al igual que el citado modelo será: [ (1−θ) ] ∫ ∞ c −1 −(ρ−n)t U= e · dt (1) 1−θ

0

2

sujeta a la restricción

(2)

k˙ = f (k) − c − (n + δ)k

Donde f (k) es la función de producción en su forma intensiva, c es el el consumo percápita, n es la tasa de crecimiento poblacional, δ es la la tasa de depreciación y k es el ratio capitaltrabajo. Al igual que el modelo de Ramsey asumimos que no existe un comportamiento de tipo piramidal. La ecuación de Hamilton está dada por: −(ρ−n)t

H=e

[

] c(1−θ) − 1 · − λ[f (k) − c − (n + δ)k] 1−θ

(3)

La solución del problema de maximización implica la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no lineales: (4) (5)

k˙ = (A − δ − n) · k − c c˙ = [(1/θ) · (A − δ − ρ)]c

El primer detalle sorprendente es que el crecimiento del consumo no depende no depende del stock de capital percápita k: (6)

c(t) = c(0) · e[(1/θ)·(A−δ−ρ)]t

Podemos decir ademas que la tasa de crecimiento del consumo en el tiempo γc = c/c ˙ > 0 si A > ρ + δ . Por otra parte la tasa de crecimiento del capital γk esta dada por: ˙ = (A − δ − n) − c/k γk = k/k

(7)

En el estado estacionario1 la tasa de crecimiento del capital percápita es constante lo cual implica que el ratio consumo-capital percápita c/k también lo es. 4.

Transición Dinámica

Ahora pasaremos a analizar la tasa crecimiento del capital en el estado estacionario a detalle. sustituyendo (10)en(8) tenemos que: k˙ = (A − δ − n) · k − c(0) · e[(1/θ)·(A−δ−ρ)]t

(8)

La solución de dicha ecuación diferencial esta dada por: k(t) = Φ · e(A−δ−n)t + [c(0)/β] · e(1/θ)·(A−δ−ρ)t

donde

β = (A − δ) · (θ − 1)/θ + ρ/θ − n

y

(9)

Φ = constante

De la ecuación (6)y(9)se deduce que en el modelo AK : k˙ c˙ = = (A − δ − ρ)/θ k c

(10)

˙ , es decir, Dado que la función de producción es de tipo AK se deduce que y/ ˙ y˙ = c/c ˙ = k/k el modelo no tiene dinámica de transición. Las variables inician con k(0) = c(0) = βk(0) 1 Por

denición en el estado estacionario todas las variables del modelo crecen a tasas constantes.

3

Figura 1: Diagrama de Fase del modelo AK e y(0) = Ak(0) y posteriormente crecen a una tasa (A − δ − ρ)/θ. En el modelo AK los cambios en la tasa de crecimiento poblacional no afectan las tasas de crecimiento percápita pero si tiene un efecto nivel en la evolución temporal de la variable consumo percápita (efecto negativo). Variables como A, ρ y θ inuyen en los niveles y tasas de crecimiento de c y k. La tasa de ahorro esta dada por: [ ] A − ρ + θn + (1 − θ) · θ ˙ ˙ s = (K + δK)/Y = (1/A) · (k/k + n + δ) = θA

(11)

Lo anterior implica que la tasa de ahorro permanece constante y depende a excepción de n de los mismos parámetros de las tasas de crecimiento percápita. 4.1.

El diagrama de Fase.

Dado que A > δ + ρ, el crecimiento del consumo siempre es positivo y en consecuencia no existe una posición para c˙ = 0. Así pues, las echas de los diagramas de fase de la Figura 1 apuntan hacia arriba. Podemos utilizar la ecuación (4) para hallar la curva k˙ = 0 es una recta que pasa por el origen y que tiene de pendiente A − δ − n Las echas a la derecha de esta recta apuntan hacia la derecha y de igual forma las echas que están a la izquierda hacia la izquierda. Se puede observar que la pendiente del sendero silla tiene pendiente β = A − δ − n − γc la cual es inferior a la pendiente de la ecuación (4) cuando k˙ = 0. 5.

Alcances del modelo

AK

El modelo AK tiene una diferencia signicativa entre los modelos neoclásicos de crecimiento. Los modelos de crecimiento endógenos radican en que la tasa de crecimiento en el estado estacionario puede ser positiva aun cuando no se suponga que ninguna variable aumente a una tasa exógena, como en el caso de la tecnología en los modelos neoclásicos.Los modelos 4

de crecimiento endógeno, la tasa de crecimiento del estado estacionario vienen determinada por las decisiones que toman los individuos, es decir, por variables endógenas como la tasa de ahorro y los gastos en investigación y desarrollo. En el modelo de crecimiento AK un aumento exógeno de la tasa de ahorro provoca un incremento tanto de la tasa de crecimiento a corto plazo como de la tasa de crecimiento de estado estacionario, pues ambas son similares. En el modelo AK se postula que no hay una relación entre la tasa de crecimiento de la economía y el nivel alcanzado por la renta nacional. No se predice convergencia ni condicional entre las economías. Este hecho explica en parte la creciente atención que desde hace unas décadas ha prestado la literatura del crecimiento económico a la hipótesis de convergencia, pues éste es uno de los rasgos que distinguen a los nuevos modelos de crecimiento endógeno de los modelos neoclásicos de corte tradicional2 La diferencia mas importante que este tipo de modelos a los neoclásicos es que la tecnología AK predice que si el stock de capital disminuye en forma coyuntural por una causa exógena, la economía no crecerá transitoriamente a un ritmo mayor para volver a la trayectoria de acumulación anterior, si no que la tasa de crecimiento continuará siendo la misma, de forma que la perdida experimentada se hará permanente. El modelo AK no pretende ser realista, sino, simplemente, un instrumento pedagógico, porque se trata del modelo más sencillo que permite abandonar el supuesto de rendimientos decrecientes del factor productivo reproducible, esto es del capital, de modo que se provoca un crecimiento endógeno, independiente de la tecnología y el trabajo ( el cual no aparece en la función de producción); así el modelo es aplicable para desarrollarlo sin necesidad de abandonar el supuesto de competencia perfecta. Lo que hará los demás modelos de crecimiento endógeno es introducir dosis variables de realismo. Tanto el modelo de Solow como en el de Ramsey y la tasa de crecimiento per cápita en estado estacionario es igual a la tasa del progreso tecnológico, que se toma como exógena. Por ello, aunque estos modelos ofrecen un marco de referencia interesante para estudiar la transición dinámica, no son útiles cuando se trata de explicar el crecimiento a largo plazo de la renta per cápita. Es preferible un contexto que contenga elementos propios de los modelos de crecimiento endógeno. 6.

Diferencias del modelo

AK

• El modelo AK nos dice algunas cosas interesantes respecto a cuales son los determi-

nantes del crecimiento económico. Según este modelo las economías con mayor tasa de ahorro van a crecer más a largo plazo. Así pues, según este modelo, las políticas económicas encaminadas a fomentar el ahorro tendrán efectos positivos sobre el crecimiento a largo plazo de una economía. Igualmente, el modelo nos dice que economías con un nivel de desarrollo tecnológico mayor A tenderán a crecer más a largo plazo que las economías con menor desarrollo tecnológico. El tamaño de la población afecta negativamente a la tasa de crecimiento, luego, según este modelo las políticas económicas encaminadas a controlar la natalidad tendrán efectos positivos sobre el crecimiento.

• En este modelo la economía carece de transición hacia el estado estacionario. Las

economías crecen siempre a una misma tasa, y eso con independencia del stock de capital que tengan.

• Se observa también que en este modelo la tasa de crecimiento del PIB per cápita no

depende del stock de capital que tiene la economía. Ni depende tampoco del nivel de

2 Argandoña,

Ramírez Antonio, Gámez, Amian Consuelo, Macroecnomia Avanzada II, McGraw- Hill, 1997, España, pp. 357- 382.

5

renta. Esto implica que el modelo AK NO PREDICE CONVERGENCIA entre países. Este modelo no nos dice, como lo hacía el modelo de Solow-Swan, que los países más ricos, (con más capital), crecen menos que los países pobres (con menor capital). • El modelo AK predice que los efectos de una recesión temporal serán permanentes. • Con la tecnología AK , no puede haber demasiada inversión en el sentido de que la

economía no puede encontrarse en una zona dinámicamente ineciente.

6

ANEXO

VON NEUMANN (1937)

Nació el 28 de diciembre en 1903 en Budapest Hungría, murió en 8 de febrero de 1957 en Washington en EEUU. Finalizo sus estudios de química en 1926, aun el mismo año se doctor en matemáticas por la universidad de Budapest, con una tesis sobre la teoría de conjuntos, donde dio una denición de números ordinarios que es la que se usa hoy en día. Fue el fundador de la teoría de juegos .A este personaje se le atribuye como el primero en usar la teoría de AK por el entorno de sus conocimientos matemáticos en 1937 con este método sobre para procesos de índole química-matematico.

PAUL ROMER

Este inuyente profesor de la Universidad de Stanford arma que un cambio histórico respecto al concepto de crecimiento se ha producido en economía, al pasar de la preocupación por políticas de estabilización características de una sociedad que fabrica mercancías u objetos físicos a otra basada en el conocimiento. Para él los activos intangibles han pasado ha constituir la base de la riqueza. El crecimiento sostenible se asienta cada vez más en la innovación y la existencia de un mercado competitivo. El modelo de AK de Romer toma su nombre de la interacción entre innovación tecnológicas con sus efectos sobre el capital humano y capital físico. En la década de los años 70 hasta la década de los anos 80, se había generado un estancamiento en la teoría del crecimiento, debido a los modelos de crecimiento con progreso tecnológico exógeno. Pero Romer en 1986 con su tesis doctoral, formula un modelo de crecimiento en el que se busca hallar las causas y los orígenes del progreso tecnológico, para ello Romer considera explícitamente los rendimientos decrecientes del capital así como las externalidades del capital. Con este articulo impulso a la literatura del crecimiento económico, por que introdujo la función de producción con externalidades.

SERGIO REBELO

Sergio Rebelo nació en Viseu, Portugal, el 29 octubre, 1959. Sus áreas mayores de investigación son Macroeconomía y la Finanzas Internacional. Él está actualmente el Banco de Tokai el Profesor Distinguido de Finanzas Internacional en la Escuela de Kellogg de Dirección, la Universidad Del noroeste. Él recibió la "Licenciatura.en la Economía de la Universidad católica portuguesa, este propone un modelo simple de crecimiento endógeno. En este modelo, los rendimientos de escala crecientes no son necesarios para generar un proceso de crecimiento endógeno. En comparación al modelo de crecimiento exógeno en donde la productividad marginal del factor acumulable se anula, aquí en Rebelo no existe 7

tal anulación, además, la elasticidad de la producción con respecto al factor acumulable es igual a 1. Este supuesto hace posible obtener un crecimiento de largo plazo y permite denir una función de producción la tecnología AK la cual es una solución al problema del crecimiento bajo restricción de rendimientos constantes y de productividad marginal del capital que no se anula. En la ecuación se dene el nivel de la tecnología o productividad aparente del capital, K es el stock de capital. En pocas palabras podemos decir que a través del modelo de Rebelo, es posible obtener un crecimiento en el largo plazo o un crecimiento sostenido al conservar la hipótesis de competencia perfecta y al tener la igualdad entre la tasa de crecimiento óptimo y la tasa de crecimiento del equilibrio competitivo. Para ello basta eliminar el factor trabajo de la función de producción o considerar el trabajo como un tipo de capital acumulable que se puede añadir al capital físico para formar el concepto de capital global y de tener una elasticidad del producto respecto a K igual a 13

3 http://www.eumed.net/libros/2010d/761/BIOGRAFIA %20Rebelo %20Sergio %20Lucas %20Robert %20Romer %20Paul.htm http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/301/30121202.pdf

8