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1 MATERIALES DE ENSEÑANZA

José Oscátegui

El Modelo AK

Octubre 2009

Crecimiento endógeno empleando el modelo de Solow Una restricción importante para entender la existencia de tasas de crecimiento económico 

1

positivas en el largo plazo, es la función de producción neoclásica, Y  A K L

, 0   1 , con

rendimientos marginales decrecientes de los factores de producción. Una función de producción con estas características no es capaz de generar tasas de crecimiento de largo plazo del PBI per cápita positivas, pues su producto marginal es decreciente. 

Como esta función de producción puede expresarse en términos per cápita como y  A k , si la 





y A k   k. expresamos en términos de tasas de cambio tenemos y A En ausencia de cambio tecnológico, el primer término de la derecha sería cero. Como en el largo plazo a lo largo de una trayectoria estable la tasa de crecimiento del capital no puede exceder a la del producto, la única forma en que la ecuación podría ser satisfecha sería si la tasa de crecimiento de largo plazo del producto y del capital son iguales a cero. En consecuencia, en ausencia de cambio tecnológico la tasa de crecimiento del producto per capita es cero. Sin embargo, si la función de producción fuera

1)

Yt  A K t

el crecimiento del producto per capita podría ser positivo en el largo plazo sin depender de la evolución de la tecnología. Esto es así porque el exponente del capital es 1 (uno) por lo que el producto marginal del capital es constante y no decreciente. Una crítica que se hace a la función AK es que omite el trabajo. Sin embargo, si consideramos fuerza de trabajo calificada esta puede ser considerada capital humano. Considerado así el trabajo, el término K incluiría tanto capital físico como capital humano. Las características de esta función son las siguientes: a) exhibe retornos constantes a escala con homogeneidad de grado 1, pues AK= Y, donde  es el factor de variación del K.

Y  2Y A; 0 K 2 b) presenta retornos marginales constantes al capital, K . c) no satisface las condiciones de Inada, pues el producto marginal del capital, independientemente de la magnitud de este factor, es positivo y siempre el mismo y el producto marginal nunca converge a cero.

2 Si omitimos la optimización del consumidor, podemos presentar el modelo AK reemplazando en la ecuación fundamental de Solow la función de producción de rendimientos marginales decrecientes con la función AK.

Expresemos las ecuaciones en términos per capita,

2)

y

Y K ; k L L.



k  sAk  (n   ) k

de donde podemos obtener la tasa de crecimiento del stock de capital per capita. 

k  s A  (n   ) k

3)

Como se puede apreciar en la ecuación (3), este tasa de crecimiento es constante e independiente del stock de capital acumulado. Podemos graficar la evolución de la acumulación de capital.

sA n+ k

Mientras sA > n+ la acumulación procederá a la misma tasa de manera permanente. Por esto, la tasa de crecimiento del stock de capital en el largo plazo es la misma que en cualquier momento, es decir,

 k   k .

Como el producto per capita es proporcional al stock de capital per capita, y=Ak, la tasa de crecimiento del producto per capita será igual a la del 

k  sAk   (n   ) k  Ak  c  (n   ) k S

y c  S

capital. También, como



k c  A  (n   )  k . Por lo que, siendo , entonces k

constante en el largo plazo la tasa de crecimiento del capital, la tasa de crecimiento del consumo debe ser igual a la del capital. Por esto,

4)

 c   k   y     sA  (n   )

Hay cinco diferencias importantes entre este modelo y el modelo neoclásico. a) la tasa de crecimiento del producto per capita es positiva sin necesidad de que haya algún factor exógeno que la haga posible. b) la tasa de crecimiento puede variar si varían o la tasa de ahorro, s, o el factor de

3 productividad, A. Esta variación de la tasa de crecimiento será permanente y sostenible en el largo plazo. c) la economía siempre se encuentra en su equilibrio de largo plazo, en este sentido, no hay dinámica de la transición porque no hay transición, la economía siempre crece a la misma tasa, y el nivel del stock de capital acumulado no tiene efecto alguno sobre la tasa de crecimiento, pues la función de producción tiene rendimientos marginales constantes. d) como la tasa de crecimiento del capital no está relacionado con el stock de capital, tampoco lo estará con el nivel del producto. Por esto, el modelo no predice convergencia entre economías con niveles de ingreso diferentes, sino la mantención de las distancias que pudieran existir, sea cual fuera el nivel de capital y de producto que hubiera en ellas. e) las economías que hubieran perdido capital por cualquier motivo se encontrarán con niveles de ingreso menores, esto no será recuperable pues, como dijimos, independientemente del nivel de capital que posean su tasa de crecimiento será la misma. Si había alguna distancia con respecto a economías mas ricas, esa distancia se agrandará permanentemente. f) con la tecnología Ak no es posible que haya inversión en exceso, es decir, no es posible que se presente la “ineficiencia dinámica”. Veamos. 

En el modelo de Solow, la regla dorada (RD) dice que f ' ( k )    n cuando k  k RD . Por 

esto, si k  k RD tendremos que n  f ' (k )    r , siendo r la tasa de retribución al capital. Pero, como en el modelo de Solow, el producto, Y, crece en el estado estacionario a la tasa

 Y  n , entonces, cuando hay ineficiencia dinámica tenemos que  Y  r  . En el modelo AK, r  A   en todo momento y también, por supuesto, cuando pensamos en un estado estacionario, r  A   . La tasa de crecimiento del producto per cápita, y, es 

siempre constante e igual a la tasa de crecimiento del capital per cápita: Por esto, la tasa de crecimiento del producto, Y, será

 Y   y  n  s A  

 y   k  sA    n

.

. Por lo tanto,

nunca puede presentarse que  Y  s A    A    r , ya que para que esto ocurra la tasa 



de ahorro, s, tendría que ser mayor que 1. El modelo AK con optimización del consumidor El modelo de crecimiento conocido como AK puede desarrollarse asumiendo la existencia de un consumidor que busca maximizar su utilidad. Esto conduce a que tanto la condición de transversalidad, ecuación (7.a), como la ecuación de Euler, ecuación (8.1), en el modelo de Ramsey, sean las mismas en este modelo que presentamos. La gran diferencia se encuentra en la especificación de la función de producción. Esta puede formularse como Y = A K. En términos per-cápita tenemos

4 1)

y  f ( k )  Ak ,

A0

Como ya fue mencionado, puede observarse que para esta ecuación no se cumplen las condiciones de Inada, pues si bien la primera derivada es mayor que cero, f´(k) > 0, esta derivada no tiende a cero a medida que k, sino que permanece siendo A. Con respecto a la segunda derivada, esta no es negativa sino cero. Es decir, para esta función no existen retornos decrecientes. Siguiendo el mismo procedimiento seguido para el modelo anterior, de la maximización de beneficios puede hallarse que f´(k) -  = r, ó, lo que es lo mismo, que r = A - . La variable k puede ser considerada como un término que incluye capital humano (entendido como trabajadores calificados) y físico, y que en la producción no se requiere de trabajo no calificado. El retorno para ambas formas de capital sería el mismo, mientras que el pago al trabajo no calificado, w, sería cero. Manteniendo la misma función

de utilidad que se utilizó en el modelo de Ramsey, pero

introduciendo los valores de r = A - ; w = 0 dentro de la restricción presupuestaria de flujo, obtenemos para esta última la siguiente función

2)



k t  ( A    n) k t  c t

Esta ecuación 2, también puede escribirse como 

k  Ak  c  (  n) k , pero Ak  c  S  sy  sAk de modo que la ecuación 2 también podría ser escrita como, 

k  s A  (n   ) k

2.a )

Como la función de producción es y = Ak, la tasa de crecimiento del producto y del stock de capital serán iguales. Mirando la ecuación (2.a) puede verse que entre dos países con iguales funciones de producción, el país que tiene una tasa de ahorro mayor tendrá tasas mayores de crecimiento del capital y del producto. Sin embargo, como el producto marginal del capital es el mismo para ambos países, no habrá razón para que el capital se desplace del país con mayor capital al otro país por el hecho de que alguno de ellos tenga un stock de capital mayor. Es decir, el modelo no predice convergencia en niveles de ingreso y capital per-cápita. Formulando el Hamiltoniano, como en el modelo anterior de Ramsey, el consumidor maximizará su utilidad sujeto a la restricción presupuestal dinámica. 



3) U  u (ct ) e  (   n )t dt 0



2) k t  ( A    n)k t  ct ; k 0  0, ct  0 para todo t Formulando el Hamiltoniano:

5 4) H t  u (ct ) e  (   n )t  t [( A    n) k t  ct ] Las condiciones de primer orden para la maximización de la utilidad son,

4.1) u ' (ct ) e  (   n ) t  t  0 

4.2)  t  

H   t ( A    n) k t

4.3) lim [t k t ]  0 t 

. Esta es la condición de transversalidad.

De 4.1 y 4.2 obtenemos la ecuación de Euler, que nos indica cuál es la trayectoria óptima del consumo, 

5)

c A    c  c  t

De la ecuación 4.1 sabemos que

t  0 e



 ( A  n ) dv 0

, podemos normalizar λ0 = 1. Introduciendo

esta ecuación en la condición de transversalidad obtenemos, t



 ( A   n ) dv

6)

lim [e

0

t 

kt ]  0

La ecuación (5) resulta de considerar que si bien en el modelo AK el producto marginal, que es la retribución al capital, r, es igual a A y es constante, el producto marginal neto de depreciación es (A - ) = r . Resolviendo la ecuación (5) resulta 1

c(t )  c 0 e 

7)

[ A   ] t

que nos dice que mientras la economía sea suficientemente productiva, i.e. A > ( + ), el consumo crecerá permanentemente a lo largo del tiempo, independientemente del stock de capital acumulado. ¿Cómo evolucionará el capital a lo largo de la trayectoria estable? Si vemos la ecuación (2), el crecimiento permanente del consumo –como lo muestra la ecuación (7)- podría ser un problema para la acumulación de capital, que podría incluso volverse negativa.Veamos. Reemplazando la ecuación (7) en la ecuación (2), obtenemos

8)

1



k  ( A    n ) k  c0 e 

[ A    ] t

Resolvemos la ecuación (8) aplicando el factor de integración

e

 ( A   n ) t



k e

 ( A   n ) t

( A    n) k   c 0 e

 ( A   n ) t

1 ( A    ) t  e

6 Esta ecuación puede escribirse como 1

[ ( A  n )  ( A    ) ] t  [e  ( A  n ) t k t ]  9)   c0 e t .

La

expresión

del

exponencial

del

lado

derecho

de

la

ecuación

(  1)

    [( A    n)  1 ( A     ) ]   , que puede ser reescrita como

( A  ) 

9,

es

 n  , y

es positiva.1 Integrando la ecuación 9, obtenemos,



e ( A  n ) t k t   c 0 e   t dt   c0

e  t  

 ( A   n ) t Multiplicando toda la ecuación por e obtenemos

k (t )   e

( A  n ) t

( c  0 e 

A   ) t 

(recuerden el valor de φ),

que si la evaluamos en t=0, obtenemos

cons tan te    (k 0  c 0 ) , Por lo tanto, podemos escribir

k ( t )  ( k 0  c 0 ) e

10)

A   n ) t

c (  0e 

A    )t 

Sustituyendo la ecuación (10) en la ecuación (6), obtenemos una expresión más desarrollada de la CTV,

6.1) lim [cons tan te  ( t 

c0 ) e  t ]  0 

Tal como se puede verificar, el término exponencial en la CTV tiende a cero cuando t   , lo cual obliga a que el término constante de la ecuación 6.1 sea igual a cero, pues de otro modo no se cumpliría la CTV. Con este resultado y el de la ecuación (7), la ecuación (10) se convierte en

k (t ) 

11)

c0 ( e 

A    )t 



c (t )  , que podemos escribir de la manera que sigue

c (t )   k (t )

1 En la ecuación 12 vemos que es la condición para que la utilidad no sea infinita en tiempo finito. Con un poquito de álgebra podemos obtener . Por lo tanto, .

7 Esta ecuación nos dice que a lo largo de la trayectoria óptima el consumo es proporcional al stock de capital, y que la tasa de crecimiento del consumo será igual a la tasa de crecimiento 



c k  del capital, c k . Esto lo escribimos como k = c, cuyo valor es el de la ecuación (5). Con este resultado ya no tenemos que preocuparnos por la acumulación de capital. Diferenciando la función de producción tampoco es difícil hallar que k = y. A diferencia del modelo de Solow donde teníamos rendimientos marginales decrecientes acá son constantes, y la tasa de crecimiento del producto en el largo plazo (y del consumo y capital), es positiva

 y   c   k

> 0.

Cuál es esta tasa?. Esta tasa es la de la ecuación (5),

c 

A   0 

Una condición adicional para la estabilidad del modelo Como en este modelo, a diferencia del modelo de Ramsey, el crecimiento del consumo es permanentemente mayor que cero podría llevar al consumidor a tener utilidad infinita en tiempo finito. Por esto, es necesario establecer las condiciones para que esta tasa no sea de tal magnitud que nos lleve a enfrentar ese problema. Si sustituimos la ecuación (7) en la función de utilidad obtenemos 



12) U  e (   n ) t { 0

c0(1 ) e

(

1 ) [ A    ] t 

1

1 }

En la ecuación (12) tenemos dos funciones exponenciales, una con exponente de signo positivo y otra de signo negativo. 2 En el largo plazo, la utilidad convergirá asintóticamente a cero si predomina el término con signo negativo. Es decir, si

(   n)  (

1 ) (A    ) 

2 En la función de utilidad que estamos analizando hay dos exponenciales, uno con signo negativo y el otro con signo positivo. El que tiene el signo negativo hace que la utilidad finalmente converja a cero, mientras que el otro hace que el consumo crezca (siempre que A>+n+), con lo que la utilidad pueda explotar hacia un valor infinito. Entonces, para evitar valores infinitos los parámetros que están en el primero deben ser mayores que los que están en el segundo. Es decir, + > [(1-)/] [A- -]+n+.

8 la utilidad no se hará infinita en tiempo finito. Sumando ( n   ) a ambos lados obtenemos

1    [ ][ A     ]  n   

, que considerando que la economía debe ser

suficientemente productiva, puede escribirse como

1 13) A      [ ][ A     ]  n    ¿Por qué es importante que existan condiciones que garanticen que la utilidad no se volverá infinita en tiempo finito? Por que en la realidad no se encuentra, como casos representativos, que los agentes se encuentren totalmente satisfechos y que aún tengan recursos que podrían gastar. Lo que hallamos es que, por lo general, los agentes, están constreñidos por su restricción presupuestaria. Pero, si pudieran tener utilidad infinita en tiempo finito, no tendrían restricción presupuestaria, pues aún cuando su corriente de ingresos continuaría ellos ya estarían satisfechos. El modelo no serviría para modelar humanos tal como los conocemos. Hasta los agentes más ricos están constreñidos por su presupuesto, no pueden comprar todo lo que quisieran. En este modelo la tasa de ahorro bruto también es constante. Para hallarla sólo es necesario recordar que K = k.L, también que Y = y.L, y luego sólo un poco de trabajo. 

k  n    n  K  K k s (t )    k y Y A k 

14)

Como

 k  c 

15) s(t ) 

A     , podemos escribir

A      n   A

Es interesante observar que la tasa de ahorro bruto depende de los mismos parámetros de los que depende la tasa de crecimiento del capital per-cápita. Pero, también observamos que depende positivamente de la tasa de crecimiento de la población. Es decir, en este modelo, tasas mayores de crecimiento de la población no afectan la tasa de crecimiento de la economía, pero reducen el consumo per-cápita. Sin embargo, también incrementan la tasa de ahorro de la economía. Este incremento de la tasa de ahorro puede explicarse como una respuesta necesaria para mantener constante la tasa de crecimiento del capital per-cápita. Como se ve en la ecuación (3) la tasa de crecimiento de la población no tiene ningún efecto sobre las tasas de crecimiento del producto, consumo, y capital per-cápita.

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