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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERÍA INDUSTRIAL

Modelo multiplicativo de Winters / Proceso estacional / Suavización exponencial Winters

POR

ING. JORGE ENRIQUE VARGAS MARTINEZ; MAD.

Octubre del 2005

Suavización exponencial Winters

Modelo multiplicativo de Winters / Proceso estacional / Suavización exponencial Winters Varios métodos consideran tres factores: la porción constante de la demanda, la tendencia y la estacionalidad, se presenta el modelo multiplicativo de Winters (1960), formalmente el modelo es: d t =(a + bt )ct + ε t donde a = porción constantes b = pendiente de la componente de tendencia ct = factor estacional para el periodo t εt = aleatoriedad no controlable El método de pronósticos consiste en estimar los parámetros del modelo y usarlos para generar el pronóstico. La componente constante se estima en forma independiente de la tendencia y los factores estacionales, por lo que se llama constante no estacional. De la misma manera, el factor de tendencia debe ser independiente de los factores estacionales. Los factores estacionales se pueden ver como un porcentaje de las componentes constante y tendencia para el periodo t; si la demanda en un periodo dado de una estación es menor que la componente de tendencia/constante, el factor estacional será menor que uno, y si la demanda es mayor, será mayor que uno. El número de factores estacionales debe ser igual al número de estaciones al año. Para pronosticar, se obtienen las estimaciones iniciales de las componentes del modelo y se actualizan usando suavizamiento exponencial. Sea dt = demanda en el periodo t L = número de estaciones en el año (o en otro marco de tiempo) T = Número de periodos de datos disponibles. St = Estimación para el término constante a calculado en el periodo t Bt = Estimación del término tendencia b calculado en el tiempo t. Ct = Estimación del componente estacional para el periodo t. __ D = Demanda promedio global α = La constante para el término constante, β = La constante para la tendencia γ = La constante para los factores estacionales (Estas constantes son definidas por el pronosticador)

 T −1 ST = D +   BT  2  Para comenzar el procedimiento, se necesita un valor inicial de St. Una estimación natural es un promedio de los datos de una o más estaciones completas. No debe usarse una parte de una estación; si se usan sólo los primeros 9 datos puede

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obtenerse una mala estimación porque una demanda menor o mayor en el primer trimestre no refleja la demanda “promedio” Cuando hay tendencia, el promedio de uno o más años históricos completo son proporciona una estimación inicial de a. Este promedio incluye la demanda “mas baja” del principio, lo mismo que la demanda “más alta” del final de los datos históricos. Para determinar la porción constante del proceso en el tiempo T debe corregirse por tendencia. Por lo tanto, para calcular St, la estimación de a, se necesita Bt, la estimación de b. Se requieren al menos dos años completos de datos para calcular Bt, con menos datos no se verá la diferencia entre la tendencia y la componente estacional. Se calcula la demanda promedio para cada uno de los dos últimos años y se resta el promedio del más antiguo del promedio más reciente. El resultado es el “crecimiento” en los dos años, que debe convertirse en un crecimiento estacional dividiendo entre L, el número de estaciones por año. Si se cuenta con más de dos años de datos, pueden usarse cualesquiera de ellos para estimar la pendiente. Si se usan el primero y el último, con m años de datos disponibles, se divide entre (m–1)L en lugar de L para obtener el crecimiento por periodo. Una vez que se tienen St y Bt, una estimación natural del factor estacional parecería ser la demanda en el periodo dividida entre el término constante. Sin embargo, debe corregirse por la parte de tendencia de la constante. Intuitivamente, la porción constante del proceso en T – 1 debe ser más pequeño en Bt y más pequeño en 2Bt en T – 2. En general, una estimación de la porción constante del proceso para el periodo t ( t < T) es la estimación de la constante en el tiempo T menos la estimación de la tendencia multiplicada por el número de periodos, esto es, ST - BT * ( T – t). Una vez hecho el ajuste por tendencia, se puede dividir la demanda real entre este valor ajustado, para obtener una estimación del factor estacional. Se calculan los factores estacionales usando la siguiente fórmula. Ct =

dt S T − BT (T − t )

dónde Ct, es la estimación de ct. Se promedian los factores estacionales para la misma estación de cada año para eliminar el ruido. Estos factores estacionales, sin embargo, no necesariamente suman L . Para normalizarlos primero se determina R, el cociente de la duración de la estación entre la suma de los factores estacionales:

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R=

L T

∑C

t =T − L +1

t

Esta razón se multiplica por los factores estacionales que se tienen para obtener nuevos: C t' = R× C t t = T–L+1, T-L+2, .… , T El número de nuevos factores siempre es el mismo que los periodos en la estación. Conforme se dispone de nuevos datos, se pueden actualizar las estimaciones con suavizamiento exponencial. Las constantes para el término constante, la tendencia y los factores estacionales se denotan por α,β, y γ, respectivamente. Dados ST-1, B T-1 y C T-L+1, C T-L+2, … , C T-1, cuando se conoce dT se pueden determinar ST, B T y C T. La estimación del término constante ST será  d  S T = α  T  + (1 − α )(S T −1 + BT −1 )  CT − L  Para actualizar la estimación de la componente de tendencia, se usa la ecuación. BT = β (S T − S T −1 ) + (1 − β )BT −1

Por último, los factores estacionales actualizado se estimarán con d  CT = γ  T  + (1 − γ )CT− − L  ST 

El pronóstico para dentro de k periodos (k ≤ L) está dado por FT + K = (S T + kBT )CT + k − L

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Problema:

Outdoor Furniture columpios. Usualmente los clientes compran más columpios en los meses calientes que en los fríos, de manera que las ventas cambian con las estaciones. Suponga que los columpios de Outdoor Furniture son muy buenos y la publicidad verbal hace que aumente el número de personas que los compran. Sus datos que reflejan estacionalidad y tendencia están dados en la siguiente tabla y figura.

Trimestre 1 2 3 4

1 60 234 163 50

Año 2 69 266 188 59

3 84 310 212 64

En este caso, un año se puede dividir en cuatro estaciones, cada una de tres meses. Por naturaleza, muchos procesos tiene algún número de estaciones durante un año. Si los periodos son semanas, el año tendría 52 estaciones. Los periodos de meses y trimestres tienen 12 y 4 estaciones en un año, pero debe haber alguna explicación de la estacionalidad. Los métodos presentados aquí pueden usarse para cualquier longitud de estación. Ejemplo: Determine los parámetros iniciales Bt y St por el método estacional de Winters usando los datos de la tabla anterior. Paso 1: Se calcula el promedio para cada una de las dos últimas estaciones de datos • Se calcula el promedio anual del año 3. __ d3 = Demanda promedio para el año 3

D 3

=

84+310+212+64 d9 + d10 + d11 + d12 = = 167.5 L 4

dt = demanda en el periodo t L = número de estaciones en el año (o en otro marco de tiempo) Ing. Jorge Enrique Vargas Martínez; MAD.

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•

__ d2 = 145.5

El promedio para el segundo año es

Así sucesivamente se calcula el promedio anual de ventas para los años disponibles

Trimestre 1 2 3 4 Promedio anual Promedio global •

1 60 234 163 50 126.70

Año 2 69 266 188 59 145.50

3 84 310 212 64 167.5 146.58

Se calcula Bt restando el promedio para el año 2 del promedio para el año 3 se obtiene el crecimiento de un año y se divide entre 4 para obtener el crecimiento por periodo.

Se tiene: __ __ d -d 167.5 – 145.5 Bt = 3 2 = = 5.5 L 4 Bt = Estimación del término tendencia b calculado en el tiempo t. Paso 2: Se calcula el promedio global. __ D = 146.58 •

Se calcula la estimación inicial del término constante St, en el periodo 12 (total de datos para las estimaciones) seria

 T −1  12 − 1  ST = D +   BT = 146.8 +  5.5 = 176.83  2   2 

La estimación para la porción constante St se calculó de manera que reflejara el proceso en el tiempo T. Intuitivamente, la porción constante del proceso en T – 1 debe ser más pequeño en Bt y más pequeño en 2Bt en T – 2. Paso 3: Se calculan los factores estacionales •

Para calcular una estimación del factor estacional para el periodo 1, se divide d1 entre el término constante para el periodo 1. El término constante ajustado será

ST - BT x (12 – 1) = 176.83 – 5.5 x 11 = 116.33

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Se divide d1 = 60 entre 116.33 y resulta C1 = 0.52. Este resultado se interpreta que las ventas del primer trimestre son alrededor de 52% del valor promedio. Después se calculan los factores estacionales para el primer trimestre de los años 2 y 3 y se hace C9 igual al promedio de los tres. Calculo de los términos constantes ajustado Año Trimestre 1 2 3 1 116.33 138.33 160.33 2 121.83 143.83 165.83 3 127.33 149.33 171.33 4 132.83 154.83 176.83 Calculo de los factores estacionales Año Trimestre 1 2 1 0.52 0.50 2 1.92 1.85 3 1.28 1.26 4 0.38 0.38 Suma

3 Promedio Ajustado 0.52 0.5128 0.51 1.87 1.8798 1.88 1.24 1.2588 1.26 0.36 0.3731 0.37 4.0246 4.02

Paso 4: Se pronostica k periodos futuros. •

Cálculo de d13

d t =(a + bt )ct + ε t

St = Estimación para el término constante a calculado en el periodo t St = 176.83 Bt = Estimación del término tendencia b calculado en el tiempo t. Bt = 5.5 Ct = Estimación del componente estacional para el periodo t. C9 = 0.51 εt = aleatoriedad no controlable εt = 4

d13 = ( 176.83 + 5.5 ) * 0.51 + 4 = 97 •

Si α = 0.15 ; β = 0.1 y γ = 0.2 , se actualizan los parámetros y se pronostican los periodos 14 -17

Sea S12 = 176.83, B12 = 5.5, C9 = 0.51, C10 = 1.87, C11 = 1.25 y C12 = 0.37. La nueva estimación constante es

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 d S T = α  T  CT − L

  + (1 − α )(S T −1 + BT −1 ) 

S13 = α (d13/C9) + (1- α)S12 S13 = 0.15 ( 97 / 0.51 ) + (1- 0.15 ) x 176.83 = 0.15 (190.19) + 0.85 x 176.83 = 178.83 •

Ahora se puede actualizar la componente de tendencia:

BT = β (S T − S T −1 ) + (1 − β )BT −1

B13 = β ( S13 - S12 ) + (1- β) B12 B13 = 0.1 (178.83 - 176.83 ) + (1- 0.1 ) x 5.5 = 0.1 (2) + 0.9 x 5.5 = 5.15 •

Por ultimo, se puede calcular una nueva estimación estacional para el periodo 13, que es el primer periodo. Resulta

d  CT = γ  T  + (1 − γ )CT− − L  ST  C13 = γ (d13 / S13 ) + ( 1- γ ) C9

C13 = 0.2 ( 97 / 178.83) + ( 1- 0.2 ) x 0.51 = 0.2 (0.54) + 0.8 x 0.51 = 0.516 Como al redondear C13 a 0.52 se obtiene un valor diferente, es necesario normalizar los factores estacionales. Los nuevos factores son 0.52, 1.86, 1.25 y 0.37 •

Para hacer un pronóstico suavizado por Winters para el periodo 14 se tendría

FT + K = (S T + kBT )CT + k − L

F14 = (S13 + 1 x B13) C10 = (178.83 + 5.15 ) x 1.87 ≈ 342.21 •

De manera similar, el pronóstico para el periodo 17 será

F17 = (S13 + 4 x B13) C13 = ( 178.83 + 4 x 5.15 ) x 0.516 ≈ 102.90 En ambos casos se uso el factor estacional para el periodo correspondiente de la estación anterior. Si se quiere pronosticar el periodo 20 ( k = 7 ), el entero más pequeño mayor que 7/4 es 2, de manera que se usaría el factor estacional, para el periodo 13 + 7 – 2 x 4 = 12

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BIBLIOGRAFÍA 1. Sipper Daniel / Bulfin Robert L., Planeación y control de la producción, 1ª edición, 1ª impresión, México D.F., Mc. Graw Hill, Junio 1999, pp. 134 -140.

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