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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE PUNTALES Y TENSORES EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL DE DIAFRAGMAS CON ABERTURAS UTILIZADOS EN PUENTES FORMADOS POR TRABES CAJÓN 1

Alejandro Vázquez Villalba y Joel A. García Vargas

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RESUMEN En este artículo se muestra la aplicación del método de puntales y tensores para realizar el diseño estructural de un diafragma colocado en el extremo de una trabe con sección cajón. El diafragma presenta una abertura a la mitad de su altura y se encuentra sometido a las fuerzas de reacción y de torsión que actúan en cada extremo de la trabe. Por su geometría y las cargas que actúan en él, el diseño del diafragma es un claro ejemplo de un elemento estructural en el cual las hipótesis de la teoría de vigas en flexión no aplican y por lo tanto su diseño podría tornarse complicado. Se muestra como mediante el método de puntales y tensores y las especificaciones de diseño del ACI-2002, es posible realizar el diseño estructural de una manera clara y racional. ABSTRACT Strut-and-tie model is applied to carry out analysis and design of diaphragm beam at end of box girder. Diaphragm beam has an opening at half height and it is subjected to reaction and torsion forces acting at each end of the box girder. Due its geometry and loads acting on diaphragm beam, its design is a clearly example of structural member in which flexure beam approach is not applicable and so its design could be complex. In this paper, strut-and-tie model and ACI-2002 specifications are applied in order to carry out structural design of this type of members, resulting in a clear and rational way in order to achieved it. INTRODUCCIÓN El análisis y diseño de sistemas estructurales complejos, existen ciertas partes de ese sistema estructural que se diseñan usualmente con una gran precisión, mientras que otras partes de ese mismo sistema, se diseñan con reglas empíricas o se aplican lo que se conoce como buenas prácticas, basadas en resultados de experiencias previas. Sin embargo, todas las partes de ese sistema estructural son de similar importancia. Por ello, es conveniente contar con un criterio unificado aplicable para todo tipo de estructuras y para todas sus partes, lo que ha requerido del esfuerzo de un grupo importante de investigadores (Schlaich et al., 1987, Schlaich y Anagnostou, 1990, Ramirez y Breen, 1991, Muttoni, et al., 1997). Es claro que para que ese criterio sea satisfactorio, debe basarse en modelos físicos realistas. Los modelos de puntales y tensores son una generalización del conocido método de la analogía de la armadura desarrollado a principios del siglo pasado y constituyen un enfoque adecuado para el diseño de estructuras de concreto, tanto de concreto reforzado como de concreto presforzado. El objetivo principal es mostrar una aplicación práctica del método de puntales y tensores para realizar el diseño estructural de un diafragma en el extremo de una trabe cajón sometido a fuerzas de torsión debidas a carga viva y a las fuerzas de reacción debidas a carga muerta de los apoyos de la trabe. Para realizarlo, se 1

Euro Estudios S.A. de C.V., Gauss No. 9-202, Col. Anzures, 11590 México, D.F. Teléfono, (55) 5250-8750; fax: (55) 5250-8676; [email protected] 2 Euro Estudios S.A. de C.V., Gauss No. 9-202, Col. Anzures, 11590 México, D.F. Teléfono, (55) 5250-8750; fax: (55) 5250-8676; [email protected]

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propone un modelo de puntales y tensores para cada estado de fuerzas y se realiza el diseño individual y combinado de las fuerzas. Si bien, la aplicación es con respecto a un elemento estructural que forma parte de un puente, los principios básicos y los modelos de puntales y tensores utilizados son de aplicación general. BREVE DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE PUNTALES Y TENSORES El método de puntales y tensores tiene su origen en los modelos de armadura propuestos a principios del siglo XX para explicar el comportamiento a cortante en trabes de concreto reforzado. El método está basado en la teoría de la plasticidad y sirve para calcular la resistencia de un elemento estructural una vez que éste ha alcanzado el estado límite de agrietamiento. El método se utiliza en elementos estructurales en los cuales, debido a la magnitud de las fuerzas aplicadas o a la geometría del elemento, no son válidas las hipótesis en las que se basa el diseño a flexión de vigas, es decir, la distribución de esfuerzos no es uniforme; a estos elementos o zonas de disturbio se les llama “regiones de discontinuidad o regiones-D” (MacGregor, 2002, MacGregor y Wight, 2005). En la actualidad, el método ha sido calibrado y plasmado en códigos de construcción extranjeros (ACI 318, 2002). A continuación se exponen brevemente las especificaciones básicas del reglamento ACI-318 2002 que deben aplicarse a los modelos de puntales y tensores en elementos de concreto reforzado. DISEÑO ESTRUCTURAL DE LOS ELEMENTOS SEGÚN EL ACI-318 2002 APENDICE A El diseño de los puntales, tensores y zonas nodales está basado en la ecuación 1, donde Fu es la fuerza factorizada que actúa en el puntal, tensor o en una de las caras de la zona nodal; Fn es la resistencia nominal del puntal, tensor o zona nodal y φ es el factor de reducción de resistencia. φ Fn ≥ Fu

(1)

De acuerdo con la Sección 9.2.1 del ACI-318 las cargas últimas de diseño, Fu, se calcularán con la ecuación 2, donde, CM es el valor de las cargas muertas y CV es el valor de las cargas vivas, respectivamente. Fu = 1.2 CM + 1.6 CV

(2)

Según la Sección 9.3.2.6 del ACI-318 para los componentes de los modelos de puntales y tensores: puntales, tensores, zonas nodales y zonas de carga, el factor de reducción de resistencia, φ, tendrá un valor igual a 0.75.

Resistencia a la compresión de los puntales La resistencia a la compresión de los puntales sin refuerzo longitudinal deberá tomarse como el valor mínimo calculado, en cada extremo del puntal, con la ecuación 3, donde Ac es el área de la sección transversal a cada lado del puntal y fcu es el valor mínimo calculado con los siguientes criterios:

Fns = f cu Ac

(3)

a) La resistencia a la compresión del concreto en el puntal b) La resistencia a la compresión del concreto en la zona nodal La resistencia a la compresión del concreto en el puntal, deberá ser calculada con la ecuación 4, donde βs =1.0 para puntales con la sección transversal uniforme a lo largo de su longitud.

f cu = 0.85 β s f c'

(4)

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Resistencia de los tensores La resistencia nominal de los tensores, que no utilizan acero de refuerzo presforzado deberá calcularse con la ecuación 5, donde Ast es el área de acero de refuerzo sin presfuerzo y fy la resistencia nominal de fluencia del acero. Fnt = Ast f y

(5)

Resistencia de las zonas nodales La resistencia nominal de la zona nodal deberá calcularse con la ecuación 6, donde fcu es la resistencia efectiva a la compresión del concreto y An está dada por: a) el área de la cara de la zona nodal donde Fu actúa, tomada perpendicularmente a la acción de la fuerza Fu ó b) el área de la sección que atraviesa la zona nodal tomada perpendicularmente a la línea de acción de la fuerza resultante en la sección. Fnn = f cu An

(6)

A menos que se utilice acero de refuerzo confinante en la zona nodal y que su efecto sea validado por medio de ensayes y análisis, los esfuerzos de compresión calculados en la zona nodal debido a las fuerzas de los puntales y tensores no deberán exceder el valor calculado con la ecuación 7, donde βn depende de las siguientes condiciones: f cu = 0.85 β n f c'

(7)

a) En zonas nodales rodeadas por puntales o zonas de compresión, βn = 1.0 b) En zonas nodales que anclan a un tensor, βn = 0.80 c) En zonas nodales que anclan a dos ó más tensores, βn = 0.60

DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA La estructura de interés es un puente de seis claros con superestructura formada por seis trabes de concreto presforzado que alojan dos carriles de circulación. Las trabes están formadas por una sección cajón de concreto presforzado que consiste, básicamente, en una losa inferior, dos almas y una losa superior. La sección es simétrica con respecto a su eje vertical. Las trabes, en sus extremos, presentan un diafragma con dos apoyos con una separación entre ambos igual a 140 cm (Figura 1). Las solicitaciones de interés para el diseño del diafragma son las debidas a cargas muertas y a cargas vivas. Por la simetría de la sección, las cargas muertas no generan momentos torsionantes en la trabe, sin embargo, por la aplicación de la carga viva de diseño con una excentricidad entre el eje de la sección y el eje de circulación, se presentan momentos torsionantes que generan un par de torsión en los apoyos de la trabe.

GEOMETRÍA Y MATERIALES DEL DIAFRAGMA El diafragma es un elemento de concreto reforzado de 30 cm de espesor con la misma sección transversal que el cajón de la trabe. A la mitad de su altura, el diafragma, tiene un hueco de 50 cm x 50 cm para permitir el paso de personas cuando se realicen inspecciones futuras. En el lado inferior, se encuentran los dos apoyos de la trabe. El diafragma se diseñó para los siguientes valores nominales de los materiales: Resistencia a la compresión del concreto, f´c = 34.34 MPa (350 kg/cm2) Resistencia de fluencia del acero de refuerzo, fy = 412.02 MPa (4200 kg/cm2)

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Figura 1 Dimensiones de la sección transversal

CARGAS DE DISEÑO APLICADAS EN EL DIAFRAGMA Debido a las cargas de peso propio de la trabe y a las cargas de guarnición y carpeta sobre la trabe, en cada uno de los apoyos del diafragma se tiene una reacción de carga muerta igual a 1118.34 kN (114 toneladas). Al aplicar la ecuación 2, se tienen las fuerzas que se utilizarán en el modelo de reacciones, Fu: Fu1 = Fu2 = 1.2 (114) = 1342 kN (137 ton) Las reacciones debido a las cargas móviles sobre un carril de circulación son igual a 655.31 kN (66.8 ton) y 194.43 kN (19.82 ton), a compresión y tensión, respectivamente. Las cargas factorizadas de diseño se calculan con la ecuación 2: F1= 1.6 (655.31) = 1048.50 kN (107 ton) F2= 1.6 (194.43) = 311.09 kN (32 ton)

MODELO DE PUNTALES Y TENSORES PARA LAS FUERZAS DE TORSIÓN El modelo de puntales y tensores que define el flujo de fuerzas para momentos de torsión depende de que la sección sea de tipo abierto o cerrado, es decir, de que el flujo de cortante debido a torsión sea de tipo circulatorio o se interrumpa en uno de sus lados (Figura 2).

Figura 2 Flujo de fuerzas de torsión en secciones cerradas (Muttonni et al, 1996)

Debido al hueco en el diafragma, el modelo a utilizar debe contemplar la sustitución del puntal en diagonal simple por uno formado por un arreglo de fuerzas de tensión y compresión que rodee el hueco y cumpla con

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural el flujo de fuerzas del modelo de torsión original. A partir de lo anterior, el modelo de puntales y tensores que transmite fuerzas de compresión en diagonal a través del hueco, está formado con tensores en el perímetro del hueco que se equilibran con puntales de compresión los cuales en su conjunto permiten el flujo de fuerzas de compresión en la trayectoria diagonal del elemento (Figura 3).

Figura 3 Flujo de fuerzas en diagonal a través de un hueco (Muttonni et al., 1996)

A partir de los modelos, mostrados en las figuras 2 y 3, se formó un modelo de puntales y tensores que integrara la transmisión de las fuerzas de torsión a través del hueco (Figuras 4 y 5) y se calcularon las fuerzas axiales en sus elementos (Figura 6).

Figura 4 Modelo de puntales y tensores para las fuerzas de torsión

a) Identificación de nodos

b) Identificación de elementos Figura 5 Nomenclatura del modelo

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Figura 6 Fuerzas en el modelo de torsión

DISEÑO ESTRUCTURAL DE LOS ELEMENTOS DEL MODELO DE TORSIÓN Una vez obtenidas las fuerzas axiales en los elementos del modelo, se procede al diseño estructural de las zonas nodales, puntales y tensores; sin embargo, para el diseño del diafragma bajo el efecto de los dos estados de carga, se revisó el diseño de los puntales y tensores para cada modelo y posteriormente se realizó la revisión de las zonas nodales para el efecto combinado de los dos modelos.

Diseño de los puntales de compresión El diseño se realiza a partir de las ecuaciones 1 y 3, primero, para el puntal con carga máxima: elemento 10 y después para todos los elementos con carga de compresión (tabla 1). El diseño consiste en calcular un ancho de puntal requerido y compararlo contra un ancho disponible, entonces, para el elemento 10: breq =

Fu Fu 78,500 = = = 11 .7 cm φ f cu t φ 0.85 β s f c' t 0.75 × 0.85 × 1.0 × 350 × 30 Tabla 1 Diseño de los puntales de compresión βs

Ancho requerido

(kN)

(ton)

-

(cm)

1

43.16

(4.4)

1

0.7

4

121.64

(12.3)

1

1.8

6

163.83

(16.7)

1

2.5

9

273.7

(27.9)

1

4.2

10

770.09

(78.5)

1

11.7

13

160.88

(16.4)

1

2.5

14

352.18

(35.9)

1

5.4

15

358.07

(36.5)

1

5.4

17

244.27

(24.9)

1

3.7

19

160.88

(16.4)

1

2.5

20

158.92

(16.2)

1

2.4

21

106.93

(10.9)

1

1.6

22

269.78

(27.5)

1

4.1

Elemento

Carga

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Diseño de los tensores del modelo de torsión Por medio de la ecuación 5, se realiza el diseño de los tensores, primero, para el tensor con carga máxima y después para todos los elementos con carga de tensión (tabla 2). El diseño consiste en calcular el área de acero necesaria por tensor. Para el elemento 11: As req =

Fu 86,600 = = 27 .5 cm 2 φ f y 0.75 × 4200

Tabla 2 Diseño de los tensores Carga (kN)

(ton)

Área de acero (cm2)

1

403.2

(41.1)

13.04

2

882.9

(90.0)

28.57

3

882.9

(90.0)

28.57

4

882.9

(90.0)

28.57

5

403.2

(41.1)

13.05

7

1343.0

(136.9)

43.46

12

1343.0

(136.9)

43.46

Elemento

MODELO DE PUNTALES Y TENSORES DE LAS FUERZAS DE REACCIÓN Se estableció un modelo de puntales y tensores para las reacciones de carga muerta. El modelo se basa en la suposición de que las cargas de la trabe se concentren en las almas y de ahí se trasladan a la ubicación de los apoyos (figuras 7, 8 y 9).

Figura 7 Modelo de puntales y tensores para las fuerzas de reacción

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a) Identificación de nodos

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b) Identificación de elementos

Figura 8 Nomenclatura del modelo de reacciones

Figura 9 Fuerzas en el modelo de reacciones

DISEÑO ESTRUCTURAL DE LOS ELEMENTOS DEL MODELO DE LAS FUERZAS DE REACCIÓN Diseño de los puntales de compresión El diseño se realiza a partir de las ecuaciones 1 y 3, primero, para el puntal con carga máxima: elementos 8 y 11 y después para todos los elementos con carga de compresión (tabla 3). Básicamente, el diseño consiste en calcular un ancho de puntal requerido y compararlo contra un ancho disponible. Para los elementos 8 y 11 se tiene que: breq =

Fu Fu 145 , 400 = = = 21 .7 cm φ f cu t φ 0.85 β s f c' t 0.75 × 0.85 × 1.0 × 350 × 30

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Tabla 3 Diseño de los puntales de compresión βs

Ancho requerido

(kN)

(ton)

-

(cm)

6

1402.83

(143.0)

1

21.4

8

1426.37

(145.4)

1

21.7

9

0.000

(0.000)

1

0.0

10

0.000

(0.000)

1

0.0

11

1426.37

(145.4)

1

21.7

13

1402.83

(143.0)

1

21.4

14

403.191

(41.1)

1

6.1

15

882.90

(90.00)

1

13.4

16

403.191

(41.1)

1

6.1

Carga

Elemento

Diseño del tensor con carga máxima Por medio de la ecuación 5, se realiza el diseño de los tensores, primero, para el tensor con carga máxima y después para todos los elementos con carga de tensión (tabla 4). El diseño consiste en calcular el área de acero necesaria por tensor. Para los elementos 2, 3, 4 y 15, resulta que: As req =

Fu 90,000 = = 28 .57 cm 2 φ f y 0.75 × 4200 Tabla 4 Diseño de los tensores

(kN)

(ton)

Área de acero (cm2)

1

403.2

(41.1)

13.04

2

882.9

(90.0)

28.57

3

882.9

(90.0)

28.57

4

882.9

(90.0)

28.57

5

403.2

(41.1)

13.05

7

1343.0

(136.9)

43.46

12

1343.0

(136.9)

43.46

Elemento

Carga

DISEÑO DE LAS ZONAS NODALES DE LOS APOYOS Se revisan las zonas nodales de los apoyos del diafragma para la acción simultánea de los dos estados de carga. En lo subsecuente, se hará referencia a los nodos y elementos con la nomenclatura del modelo de torsión.

Nodo 2 A partir de las ecuaciones 6 y 7 y al sumar las reacciones de los dos modelos, se calcula la dimensión de la placa de apoyo en las reacciones. Se considera que actúan dos tensores en el nodo, por lo tanto βn= 0.60, luego: breq =

Fu Fu 105,000 = = = 26 .15 cm ' φ f cu t φ 0.85 β n f c t 0.75 × 0.85 × 0.60 × 350 × 30

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Nodo 3 A partir de las ecuaciones 6 y 7 se calcula la dimensión de la placa de apoyo en las reacciones. De acuerdo con los resultados, sólo actúan puntales de compresión, por lo tanto βn= 1.0, entonces: breq =

Fu Fu 244 ,000 = = = 36 .5 cm φ f cu t φ 0.85 β n f c' t 0.75 × 0.85 × 1.0 × 350 × 30

Rige la dimensión calculada del nodo 3, por lo tanto, las dimensiones de las placas para los dos apoyos son: 30 cm x 40 cm.

Revisión del ancho provisto para el puntal con carga máxima De acuerdo con los dos modelos de puntales y tensores, se observa que el puntal 10 del modelo de torsión y el puntal 11 ocupan el mismo espacio, por lo tanto, en función de las dimensiones de la placa de apoyo y del espesor del diafragma, se revisa el ancho provisto y se compara contra el ancho calculado. Las fuerzas que actúan en el nodo para los dos estados de carga se muestran en la figura 10.

a) Modelo de torsión

b) Modelo de reacciones

Figura 10 Fuerzas en el nodo 3

El estado de fuerzas resultantes en el nodo (figura 11-b), se calculó tomando en cuenta que es posible reemplazar dos fuerzas actuantes de compresión por una fuerza resultante que actúa en el nodo (ACI-318R 02). Con los resultados de la tabla 1 y de la tabla 3 se calcula el ancho requerido en el puntal de compresión máximo: Ancho requerido para el puntal 10, breq 10= 11.7 cm Ancho requerido para el puntal 11, breq 11= 21.7 cm Ancho total requerido, breq total= 33.40 cm De la misma manera, a partir de la figura 12 se muestra el ancho calculado para los elementos que coinciden en el nodo 3. El ancho existente para el puntal de compresión máxima se calcula mediante las dimensiones de la placa de apoyo y el ancho necesario para el elemento 2, a partir de dichas dimensiones se calcula un valor de ancho 10

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural existente igual a 42 cm, mayor que el ancho necesario igual a 33 cm. Por lo tanto, el dimensionamiento mostrado en la figura 12 es geométricamente posible.

a) Suma de fuerzas de los dos modelos

b) Estado de fuerzas resultantes

Figura 11 Fuerzas resultantes en el nodo 3

Figura 12 Dimensiones de los puntales en el nodo 3

ARMADO DEL DIAFRAGMA A partir de las áreas de acero calculadas, se establece el armado principal del diafragma y los requisitos y longitudes de anclaje de las barras propuestas (figura 13), de acuerdo al reglamento utilizado. 1. Área de acero de refuerzo vertical, ASV = 27.51 cm2 + 43.46 cm2 = 71 cm2 Armado: 26 varillas del No. 6 en cada apoyo 2. Área de acero de refuerzo horizontal superior, AVHS = 11.19 cm2 + 28.57 cm2 = 40 cm2 Armado: 14 varillas del No. 6 en la parte superior del diafragma 3. Área de acero de refuerzo horizontal inferior, AVHI = 1.0 cm2 Armado: 4 varillas del No. 4 en la parte inferior del diafragma

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4. Área de acero de refuerzo horizontal en abertura, AAB = 0.45 cm2 Armado: 2 varillas del No. 4 en el perímetro de la abertura

Figura 13 Armado del diafragma

CONCLUSIONES Se presentó una descripción general del modelo de puntales y tensores para el diseño de elementos de sistemas estructurales en los que no se satisfacen las hipótesis de la teoría de vigas. Se realizó el diseño estructural de un diafragma de concreto reforzado sujeto a un estado de fuerzas de torsión debidas a carga viva y a un estado de fuerzas (concentradas) de compresión debido a cargas muertas. El diseño se llevó a cabo mediante el método de puntales y tensores y las especificaciones del ACI-318 2002. Para ello, se plantearon dos modelos de puntales y tensores para cada estado de fuerzas y se proporcionó el armado del elemento estructural en cuestión. Se mostró que el modelo de puntales y tensores aplicado al diseño de elementos estructurales que contienen zonas o regiones conocidas como de discontinuidad o regiones D, conduce a un diseño apropiado de dichos elementos y representa un procedimiento sencillo y razonable para alcanzar tal fin.

REFERENCIAS ACI Committee 318 (2002), “Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-02) and Commentary (ACI 318R-02)” American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan, USA. ACI Subcommittee 445-1, SP-208 (2002), “Examples for the design of structural concrete with Strutand-Tie Models”, Editor Karl-Heinz Reineck, American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan, USA, 244 pp. MacGregor J.G., Wight J.K. (2005), “Reinforced concrete: mechanics and design”, Pearson Prentice Hall, 4th edition, New Jersey USA, 1132 pp.

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural MacGregor J.G. (2002), “Derivation of strut-and-tie models for the 2002 ACI code”, ACI Publication SP128, Examples for the design of structural concrete with strut-and-tie models, American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan USA, pp 7-40. Muttoni A., Schwartz J., Thürlimann B. (1997), “Design of concrete structures with stress fields”, Birkhäuser Verlag, Germany, 143 pp. Ramirez J. A. y Breen J. E. (1991), “Evaluation of a modified truss-model approach for beams in shear”, ACI Structural Journal, septiembre-octubre, 10 pp. Schlaich J., Schäfer K., y Jennewein M. (1987), “Toward a consistent design of structural concrete”, PCI Journal, Special report, mayo-junio, 77 pp. Schlaich J. y Anagnostou G. (1990), “Stress fields for nodes of strut-and-tie models”, Journal of Structural Engineering, Vol. 116, No. 1, 11 pp.

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