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• Alejandro González

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Instituto Tecnológico de León.

“Método de elemento Finito empleado en la Ingeniería”

Materia: Diseño e ingeniería asistido por computadora.

Maestro: Ing. Calderón guzmán José a.

Alumno: González Córdova Manuel Alejandro.

Tarea 1 (unidad 4)

Fecha: 29/05/20

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Índice 1.-resumen………………………………………………………………….3 2.-Planteamiento del problema………………………………………....3 3.-Objetivo general………………………………………………………..3 3.1.-objetivos específicos…………………………………………………………..3

4.-Marco teórico…………………………………………………………...4 4.1.-Breve Historia Del Método De Los Elementos Finitos…………………..4 4.2.-Conceptos Generales Del Método…………………………………………..5 4.3.-Pasos para el Análisis de Elementos Finitos……………………………..7 4.3.-Fundamentos de la modelización de elementos finitos………………...8 4.3.1.-Consideraciones del modelado…………………………………………8 4.3.2.-Tipos de Elementos Finitos……………………………………………...8 4.4.-Selección del tipo de Elementos……………………………………………14 4.5.-Patrones en el modelado…………………………………………………….15 4.6.-Energía potencial y equilibrio. Método de rayleigh – ritz………………21 4.7.-Descripción matemática del método………………………………………22 4.8.-¿Cómo trabaja el MEF en la practica?....................................................23 4.9.-Tipos de análisis ingenieriles……………………………………………….25 4.10.-Metodo implícito y método explicito……………………………………..26

5.-Conclusion……………………………………………………………..29 6.-referencias……………………………………………………………..30

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1.-Resumen El presente trabaja abarca el tema del método de elemento finito, se empezó definiendo el “qué es” este método, y una vez concluido este primer paso proseguimos a estudiar los diferentes campos de aplicación en la ingeniería en los cuales resulta muy favorable aplicarlo, por último, se enfocó en mostrar algunos de los diferentes softwares que existen hoy en día y que su uso es muy común en la industria.

2.-Planteamiento del problema La idea general del método de los elementos finitos es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no.

3.-Objetivo general Conocer los fundamentos teóricos del método conocido como “análisis de elemento finito”, así como su implementación práctica en un software para resolver problemas de Ingeniería. El curso está enfocado al análisis mecánico de materiales, pero aborda brevemente otros temas como problemas térmicos y de mecánica de fluidos. 3.1.-objetivos específicos

1. Comprender la formulación de elemento finito para el análisis de problemas físicos en ingeniería. 2. Introducirse en la teoría y uso de simulaciones numéricas para situaciones de carga mecánica complejas que ocurren en estructuras de uso práctico. 3. Aprender las estrategias de análisis de elemento finito y su implementación en un software.

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4.-Marco teórico El método de los elementos finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas ingenieriles, físicos, etc., ya que permite resolver casos que hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales. Esta circunstancia obligaba a realizar prototipos, ensayarlos e ir realizando mejoras de forma iterativa, lo que traía consigo un elevado coste tanto económico como en tiempo de desarrollo. El MEF permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y económico de modificar que un prototipo. Sin embargo, no deja de ser un método aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. Los prototipos, por lo tanto, siguen siendo necesarios, pero en menor número, ya que el primero puede acercarse bastante más al diseño óptimo. El método de los elementos finitos como formulación matemática es relativamente nuevo; aunque su estructura básica es conocida desde hace bastante tiempo, en los últimos años ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informáticos. Han sido precisamente estos avances informáticos los que han puesto a disposición de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar cálculos con elementos finitos. Pero no hay que llevarse a engaño, el manejo correcto de este tipo de programas exige un profundo conocimiento no solo del material con el que se trabaja, sino también de los principios del MEF. Sólo en este caso estaremos en condiciones de garantizar que los resultados obtenidos en los análisis se ajustan a la realidad. 4.1.-Breve Historia Del Método De Los Elementos Finitos Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo de métodos de discretizado espacial y temporal y la aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde antiguo. El concepto de ‘elementos finitos’ parte de esa idea. Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen 4

de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. Así el matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416. El desarrollo de los elementos finitos tal y como se conocen hoy en día ha estado ligado al cálculo estructural fundamentalmente en el campo aeroespacial. En los años 40 Courant1 propone la utilización de funciones polinómicas para la formulación de problemas elásticos en subregiones triangulares, como un método especial del método variacional de RayleighRitz para aproximar soluciones. Fueron Turner, Clough, Martin y Topp2 quienes presentaron el MEF en la forma aceptada hoy en día. En su trabajo introdujeron la aplicación de elementos finitos simples (barras y placas triangulares con cargas en su plano) al análisis de estructuras aeronáuticas, utilizando los conceptos de discretizado y funciones de forma. Actualmente el método se encuentra en una fase de gran expansión: es ampliamente utilizado en la industria y continúan apareciendo cientos de trabajos de investigación en este campo. Los ordenadores han aportado el medio eficaz de resolver la multitud de ecuaciones que se plantean en el MEF, cuyo desarrollo práctico ha ido caminando parejo de las innovaciones obtenidas en el campo de la arquitectura de los ordenadores. Entre éstas, además de permitir la descentralización de los programas de EF, ha contribuido a favorecer su uso a través de sofisticados paquetes gráficos que facilitan el modelado y la síntesis de resultados. Hoy en día ya se concibe la conexión inteligente entre las técnicas de análisis estructural, las técnicas de diseño (CAD), y las técnicas de fabricación. 4.2.-Conceptos Generales Del Método La idea general del método de los elementos finitos es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no. En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre:  



Dominio. Espacio geométrico donde se va a analizar el sistema. Condiciones de contorno. Variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema: cargas, desplazamientos, temperaturas, voltaje, focos de calor… Incógnitas. Variables del sistema que deseamos conocer después de que las condiciones de contorno han actuados sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, temperaturas...

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El método de los elementos finitos supone, para solucionar el problema, el dominio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se divide mediante puntos (en el caso lineal), mediante líneas (en el caso bidimensional) o superficies (en el tridimensional) imaginarias, de forma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide. Los elementos se definen por un número discreto de puntos, llamados nodos, que conectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del problema. En el caso de elementos estructurales estas incógnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir de éstos podemos calcular el resto de incógnitas que nos interesen: tensiones,

deformaciones, A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. Los grados de libertad de un nodo son las variables que nos determinan el estado y/o posición del nodo. Por ejemplo, si el sistema a estudiar es una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo y una distribución de temperaturas tal y como muestra la figura,

el discretizado del ser:

dominio

puede 6

Los grados de libertad de cada nodo serán:

   

Desplazamiento en dirección x. Desplazamiento en dirección y. Giro según z. Temperatura.

4.3.-Pasos para el Análisis de Elementos Finitos: 1. Discretización o modelado de la estructura: La estructura es dividida en una cantidad finita de elementos, con ayuda de un preprocesador. Este paso es uno de los más cruciales para obtener una solución exacta del problema, de esta forma,

determinar el tamaño o la cantidad de elementos en cierta área o volumen del elemento a analizar representa una ventaja del método, pero a la vez implica que

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el usuario debe estar muy consciente de esto para no generar cálculos innecesarios o soluciones erróneas. 2. Definir las propiedades del elemento: En este paso el usuario debe definir las propiedades del elemento. 3. Ensamblar las matrices de rigidez de los elementos: La matriz de rigidez de un elemento, consiste de coeficientes los cuales pueden ser derivados del equilibrio, residuos ponderados o métodos de energía. La matriz de rigidez del elemento se refiere a los desplazamientos nodales al ser aplicadas fuerzas en los nodos (K*F = U). El ensamble de las matrices de rigidez, implica la aplicación de equilibrio para toda la estructura. 4. Aplicación de las cargas: Fuerzas externas concentradas o fuerzas uniformes y momentos son especificados en este paso. 5. Definir las condiciones de frontera: Las condiciones de apoyo deben ser dadas, por ejemplo, si el desplazamiento de ciertos nodos es conocido. Usando los elementos de la frontera se pueden determinar las reacciones en los mismos. 6. Solucionar el sistema de ecuaciones algebraicas lineales: La secuencial aplicación de los pasos descritos, conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas, donde los desplazamientos nodales son desconocidos. 7. Calcular los esfuerzos: El usuario puede entonces calcular los esfuerzos, reacciones, deformaciones u otra información relevante. El post-procesador ayuda a visualizar la salida en forma gráfica.

4.3.-Fundamentos de la modelización de elementos finitos. 4.3.1.-Consideraciones del modelado El objetivo del análisis por medio del método de los elementos finitos, es determinar de forma precisa la respuesta de un sistema modelado con una cantidad finita de elementos y sujeto a unas cargas determinadas. En la generación de un modelo por elementos finitos, siempre se tiene presente que se está desarrollando un modelo el cual es una idealización de un sistema físico real. Con muy pocas excepciones, como el del análisis estático de vigas simples, marcos y sistemas de membranas, el método de elementos finitos no genera una solución ‘exacta’. Sin embargo, con un modelo adecuado, se puede obtener una solución precisa. Cuando la formulación analítica de un problema es difícil de desarrollar, FEM (Finite Element Method) provee uno de los más fiables métodos para atacar el problema. En la creación de un modelo FEM, se debe esforzar por 8

la precisión y la eficiencia computacional. En la mayoría de los casos, el uso de un modelo complejo y muy refinado no es justificable, aunque este probablemente genere mayor exactitud computacional a expensas de un innecesario incremento en el tiempo de procesamiento. El tipo y la complejidad del modelo dependen sobre todo del tipo de resultados requeridos. Como regla general, un modelo de elementos finitos puede empezar con un modelo simple. Los resultados de este modelo sencillo, combinados con la comprensión del comportamiento del sistema, puede ayudar a decidir si es necesario refinar el modelo y en que parte del mismo. 4.3.2.-Tipos de Elementos Finitos Esta sección describe muchas características sobresalientes de los elementos más utilizados; denominados, truss, beam, plane stress, plane strain, axisymmetric, membrane, plate, shell, solid ó brick, tetrahedral, hexahedral, boundary, y gap. Los programas comerciales de elementos finitos poseen una gran cantidad de elementos en sus librerías. Sin embargo, la mayoría de las estructuras y aplicaciones mecánicas pueden ser solucionadas con los elementos básicos ya mencionados. Dependiendo la dimensión, los elementos básicos se pueden dividir en tres categorías: elemento de línea, área y volumen. Truss, beam y los elementos de restricción, son de línea. Plane stress, plain strain, axisymmetric, membrane, plate y shell son elementos de área. Solid ó brick, tetrahedral y hexahedral son elementos de volumen. Los criterios para la selección del elemento apropiado para cada aplicación se verán más adelante.

Elementos ‘Truss’ El elemento truss, es un elemento caracterizado básicamente porque solo puede comportarse como un miembro sometido a dos fuerzas (se sabe por tanto que estas cargas deben estar dirigidas a lo largo del eje longitudinal del elemento). Una estructura los elementos se pueden modelar como un elemento Truss si cumplen estos tres requerimientos: a. Su longitud es mucho mayor que su alto o ancho (entre 8 y 10 veces); b. Esta es conectada con el resto de la estructura con pasadores que no transfieren momentos.; y c. Las cargas externas solo son aplicadas en el extremo de los elementos, y son paralelas al mismo (Carga Axial).

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Los elementos Truss solo pueden ser sometidos a tracción o compresión. De esta forma, la única propiedad de la sección que se debe especificar es el área axial del elemento. La figura 2.2.1 muestra la geometría y las fuerzas nodales en un elemento truss tridimensional. Como se muestra en la figura, un elemento truss tridimensional posee tres grados de libertad por nodo, esto es tres desplazamientos sobre los ejes globales X, Y y Z.

Elementos ‘Beam’ El elemento Beam, es probablemente el más usado. Además de sus aplicaciones obvias en estructuras, muchos otros sistemas, como uniones mecánicas, sistemas de conductos, tuberías y vigas en puentes pueden ser modeladas con el elemento ‘beam’.

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Para miembros estructurales para ser modelados con elementos ‘Beam’, una de sus dimensiones debe ser mucho mayor, por lo menos 10 veces más grande que las otras dos. Contrario al elemento truss, el elemento beam puede estar sometido a cargas transversales y/o momentos flectores en adición a la tracción y compresión. La geometría y los desplazamientos/rotación son mostrados en la figura 2.2.2. Note que el elemento beam tridimensional posee seis grados de libertad por nodo, esto es, tres desplazamientos y tres rotaciones sobre los ejes globales X, Y y Z. Los perfiles comunes de elementos beam, son la sección I, sección en T, caja, circular y canales. Dentro de las propiedades de la sección, se debe especificar el área axial, la resistencia a la torsión y el momento de inercia.

Elementos Elásticos bidimensionales Hay tres tipos de elementos bidimensionales: 1. Plane Stress Elements (Esfuerzo plano). 2. Plane Strain Elements (Deformación plana). 3. Axisymmetric Elements (Elementos Axisimétricos).

Elementos sometidos a Esfuerzo Plano y Deformación Unitaria Plana La explicación sobre la diferencia entre los casos de esfuerzo plano y deformación unitaria plana ya fue definida en el primer capítulo del curso. Para el caso de análisis plano existen principalmente dos tipos de elementos: Triangular y Cuadrilátero. Dependiendo el tipo del tipo de esfuerzo al que está 11

sometido el elemento, este se debe modelar como esfuerzo plano o deformación unitaria plana.

Como prefieren

regla, se los

elementos cuadriláteros a los triangulares por razones de isotropía geométrica. Sin embargo, se sugiere el uso de elementos triangulares cuando se presentan irregularidades en la geometría del elemento a modelar, como se muestra en la figura.

Elementos Axisimétricos

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Tanques de acero y concreto, rotores, conchas, toberas y contenedores son algunos ejemplos representativos de estructuras axisimétricas. De forma similar a las estructuras tridimensionales que están bajo condición de esfuerzo plano o deformación plana, las estructuras axisimétricas sometidas a cargas axisimétricas, pueden ser analizadas en un modelo bidimensional. Para analizar una estructura axisimétrica, como un cilindro de pared delgada t, sujeta a una presión constante p, el modelo es la intersección del cilindro con el plano YZ como se muestra en la figura. La carga p, es aplicada al modelo de elementos finitos como se muestra en la (b). Cuadriláteros y triángulos Axisimétricos poseen dos grados de libertad en cada nodo, figuras (c) y (d).

Sólidos elásticos tridimensionales o elementos ‘Brick’ Los elementos sólidos son elementos tridimensionales con tres grados de libertad transnacional por nodo, ver figura 2.2.6. Los nodos son usualmente introducidos en la intersección de los tres planos, o la mitad de la intersección de dos planos Un elemento brick de 8 nodos, con sus respectivos grados de libertad se puede apreciar en la figura 3.2.6.

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Elementos ‘Tetrahedral’ and ‘Hexahedral’ Así como los elementos brick, los elementos ‘tetrahedral’ y ‘hexahedral’ pueden ser usados para modelar estructuras tridimensionales. El tetraedro puede ser visto como un triángulo en tercera dimensión, como se ve en a figura 2.2.7, mientras que el hexaedro puede ser visto como un cuadrilátero extendido en la tercera dimensión. Se puede apreciar entonces que el hexaedro tiene la misma geometría del elemento brick de 8 nodos. La diferencia entre estos dos, es la formulación y precisión computacional. Por lo general los elementos tetraedro y el hexaedro poseen solo tres grados de libertad por nodo, y la precisión de estos elementos se puede incrementar colocando nodos en la mitad de los lados.

4.4.-Selección del tipo de Elementos Antes de seleccionar el tipo de elemento para el modelo de una estructura, se debe primero dibujar un bosquejo del sistema físico indicando su geometría, condiciones de frontera, cargas y discontinuidades geométricas o de material. El bosquejo debe además incluir un sistema de coordenadas globales y las dimensiones de la estructura. Después, se debe examinar si el modelo puede ser reducido, o simplificado. Esfuerzo plano, deformación plana y modelos Axisimétricos, permiten la reducción de problemas tridimensionales a bidimensionales. Además, la presencia de planos de simetría permite modelar sólo una parte de la estructura. El uso apropiado de la simetría en modelos estáticos ya fue discutido. El bosquejo de un sistema físico, puede ayudar en la selección del elemento apropiado. Por ejemplo, para modelar cargas transversales o axiales en elementos mecánicos, eléctricos y estructuras civiles, se pueden usar elementos beam o truss. Elementos de esfuerzos planos son apropiados para modelar en el plano de acción, placas y vigas cortas. Elementos de deformación plana son usualmente utilizados para modelar paredes de contención y largos diques. Los elementos Axisimétricos son usados para modelar estructuras que son rotacionalmente simétricas sobre uno de los ejes y cargado simétrica o anti simétricamente sobre el mismo eje, como los cilindros sometidos a presión interna.

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La selección del tipo de elemento o elementos también depende del tipo de resultados esperados. Por ejemplo, el cilindro mostrado en la figura 2.3.1. con los extremos empotrados y sujeto a una carga puntual, puede ser modelado de diferentes formas: a. Un modelo de viga puede ser usado su se está interesado en una aproximación de la deflexión del elemento. b. Un modelo usando elementos shell/plate puede ser usado si el objetivo es obtener un cálculo de los esfuerzos.

Ciertos problemas pueden ser solucionados con más de un tipo de análisis. Por ejemplo, el cilindro bajo presión interna mostrado en la figura 2.3.2 puede ser analizado de tres formas diferentes: a. Un problema de deformación plana. En este caso la geometría del modelo consiste en una sección circular obtenida por la intersección del cilindro con el plano YZ. Por el uso de elementos de deformación plana, se pueden obtener resultados que son válidos para una sección del cilindro que está lejos de los extremos empotrados. b. Un problema axisimétrico. El modelo usando elementos axisimétricos, es mostrado en la figura 2.2.5. En este modelo todos los nodos sobre los lados AB y CD están restringidos, y la presión p es aplicada en el lado AC. Las deformaciones y esfuerzos obtenidos del análisis del modelo axisimétrico es válido para toda la estructura. Note que se puede analizar el cilindro con este modelo, porque la carga también es axisimétrica. c. Una estructura tridimensional. El cilindro es modelado usando elementos plate como se muestra en la figura 2.3.1 (c). Este modelo es el más elaborado, pero menos eficiente, puede ser una opción, si las cargas no fueran axisimétricas.

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4.5.-Patrones en el modelado Crear un modelo apropiado es el paso más crucial en el análisis por medio de elementos finitos. El objetivo es desarrollar el patrón de nodos más apropiado, que genere una cantidad suficiente de elementos y obtener resultados sin derrochar interpretación de datos y tiempo de cálculo. El modelo debe ser siempre basado en un conocimiento conceptual del sistema físico y un juicio anticipado de del comportamiento de la estructura. Junto a la comprensión del comportamiento del sistema, el analista debe hacer un esfuerzo para comprender los conceptos pertinentes de la teoría de los elementos finitos. Fallar en el proceso implicaría obtener resultados sin sentido. La siguiente lista de parámetros, acumulados de la experiencia y seleccionados de diferentes fuentes, puede ser usada para desarrollar modelos adecuados para sistemas estáticos o dinámicos. Debe notar que estas recomendaciones no aplican en todos los casos. Ninguna lista de parámetros puede sustituir el uso de los conocimientos y juicios ingenieriles. Recomendaciones Generales:

1. Defina

los nodos sobre o cerca de los puntos de aplicación de cargas, discontinuidades geométricas, soportes y todas aquellas regiones que requieran información acerca de los esfuerzos o desplazamientos.

2. Una malla de elementos finitos debe ser uniforme donde sea práctico. Sin embrago, la no uniformidad es requerida para obtener resultados apropiados en cambios bruscos de la geometría y carga. Solo estas partes, donde la geometría, las cargas o los esfuerzos, cambian dramáticamente, se debe refinar la malla, ver figura 2.4.1.

3. Prefiera el uso de cuadriláteros, elementos sólidos de 6 lados y hexágonos, excepto donde los elementos triangulares y tetraedros son necesarios para acomodar irregularidades geométricas y cargas.

4. Una malla más refinada es requerida para obtener con precisión esfuerzos y desplazamientos. Si es necesario realizar un estudio de convergencia, por ejemplo, empiece con un número relativamente pequeño de elementos y progresivamente genere modelos más refinados. La figure 2.4.2 muestra el procedimiento con dos modelos de esfuerzo plano en una viga corta en cantiléver modelada en el plano YZ.

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Proporción La proporción de los elementos es definida por la relación entre la dimensión más grande y más pequeña del elemento. La figura 2.4.3 muestra la configuración de tres elementos bidimensionales clasificados en ‘buenos’, ‘pobres’ e ‘ilegales’. Los buenos elementos se caracterizan por que su proporción es cercana a la unidad y los ángulos están cerca a los 90 grados. Lo elementos pobres deben ser evitados, pues estos pueden generar resultados inexactos. Los elementos ilegales son inaceptables, y no deben ser usados para modelos de elementos finitos. Cuando elementos ilegales son dibujados inadvertidamente, estos generan modelos de elementos finitos inválidos. Muchos post-procesadores de programas de elementos finitos comerciales, permiten la identificación de éstos errores.

5. Si el campo de esfuerzos tiene similar gradiente en todas las direcciones, trate de mantener la proporción en 1. Elementos con alta proporción pueden ser inválidos, ver figura 2.4.4 (a). Sin embargo, los elementos catalogados como pobres, 17

pueden ser utilizados en el análisis de regiones de la estructura donde el gradiente de esfuerzos varía gradualmente sobre una gran dimensión de los elementos. Los elementos ilegales, deber ser siempre despreciados.

7. Para regiones con pequeñas variaciones de esfuerzos, el factor de proporción puede ser alto, de 40 a 1, y aun así obtener buenos resultados. Sin embargo, como regla general, se recomienda mantener el factor de proporción debajo de 10 para análisis de deformación, y bajo 3 para análisis de esfuerzo, ver figura 2.4.4 (b). Se puede notar que, en el análisis de deformación, el énfasis se da en la precisión para calcular los desplazamientos de cada uno de los nodos, mientras que, en el análisis de esfuerzos, se está interesado en la precisión del cálculo de ambos, esfuerzos y desplazamientos. 8. Los cambios repentinos en el tamaño de los objetos debe ser evitado. Cuando el uso de elementos de diferentes tamaños es necesario, la relación de dimensión de los objetos adyacentes debe ser menor a dos. Elementos Asimétricos Asimetría es definida como la variación del ángulo del vértice del elemento, desde 60° para triángulos, y desde 90° para cuadriláteros. Note que dos de los elementos “pobres” en la figura 3.4.3(b), pueden ser caracterizados como asimétricos. 9. Para elementos triangulares, evite ángulos agudos menores a 30°, y para elementos cuadriláteros, evite ángulos obtusos mayores q 120°, ver Figura 3.4.3(b). Como regla general, Como regla general, el uso de asimetría es aceptable cuando se está interesado principalmente en los desplazamientos. Sin embargo, si los esfuerzos deben ser calculados con precisión, entonces el modelo debe tener menor asimetría. Discontinuidades Geométricas

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10. Agujeros, grietas y cambios localizados de la geometría, pueden ser caracterizados como discontinuidades geométricas. El modelamiento de discontinuidades geométricas, depende del interés en la precisión del cálculo de las deformaciones y esfuerzos en la proximidad de la discontinuidad. Si no está interesado en las deformaciones y esfuerzos en la discontinuidad, se puede usar un modelo global de la estructura que posea una malla “gruesa” alrededor de la discontinuidad. Si el objetivo obtener las respuestas cerca de la discontinuidad, un modelo local puede ser usado. Contrario al modelo global, el modelo local, usa una malla refinada en las proximidades de la discontinuidad. Hay dos aproximaciones básicas para modelar agujeros, grietas y entalles: a. El primero, involucra el uso de un modelo local con una malla refinada alrededor de la discontinuidad. Este método, usualmente requiere una malla detallada que pueda modelar de forma precisa la región alrededor de la discontinuidad. b. Si el factor concentrador de esfuerzo K se conoce de la bibliografía o datos experimentales, un modelo preliminar que calcule el esfuerzo alrededor de la discontinuidad, puede ser usado. Cuando hay un cambio drástico en la geometría, se puede usar una malla más refinada en la región donde los cambios se localizan, ver Figura 3.4.1. También, se pueden combinar diferentes tipos de elementos en la misma modelización, tanto elemento unidimensional, con bidimensionales, así con tridimensionales.

Discontinuidad de los Materiales 11. Cambios abruptos en las propiedades del material, pueden ser modelados como se plantea para las “discontinuidades geométricas”, esto es, con la ayuda de modelos globales y locales. 12. Para materiales isotrópicos, la relación de Poisson, no debe ser cercana a 0.5. Además, para una relación de Poisson cercana cero, la estructura puede perder al menos toda su rigidez, y como consecuencia los resultados pueden ser erróneos. 13. Para materiales anisotropicos, el límite teórico de la relación de Poisson y el módulo de Young, a lo largo de la dirección especificada, debe ser verificada con el fin de evitar soluciones inadecuadas. Cambios Abruptos de la Rigidez 14. Evitar modelos con elementos que tengan diferencias de rigidez mayores a 104. La relación de rigidez máximo/mínimo son usualmente provistos en la salida numérica de los softwares comerciales. Grandes variaciones de rigidez en el modelo, puede conducir a singularidades y matrices auto-condicionadas, que no pueden ser numéricamente resueltas por el procesador. Estas grandes 19

variaciones en la rigidez, pueden ocurrir en modelos que contienen muy pequeños y muy grandes elementos. Cambios Abruptos en las Cargas 15. Una malla refinada puede ser usada en las proximidades de un cambio abrupto de la carga, con el fin de capturar las variaciones de esfuerzo cerca de la carga. Este refinamiento de la malla, se puede ver en la Figura 3.4.5. Síntesis de las características globales Las anteriores matrices se calculan para cada uno de los elementos. Realizando una transformación de coordenadas a las denominadas coordenadas unitarias del elemento, las matrices quedan en función de parámetros puramente geométricos y se facilita la integración numérica. Antes de proceder al ensamblaje de todas las ecuaciones hay que realizar la transformación a coordenadas globales con el objeto de tener todas las matrices formuladas respecto al mismo sistema de coordenadas. Una vez que se dispone de las matrices y vectores elementales en coordenadas globales su acoplamiento en el sistema puede realizarse según el llamado método directo, por el que sumamos en cada posición nodal la contribución realizada por los distintos elementos. Imposición de condiciones de contorno. Solución Antes de obtener la solución al sistema de ecuaciones planteado es necesario imponer las condiciones de desplazamientos nodales que sean conocidas. El sistema resultante se puede subdividir en dos términos: uno que contenga los desplazamientos impuestos y otro la incógnita. Resolviendo este sistema tendremos la solución. Una vez conocidos los desplazamientos nodales es posible calcular otro tipo de magnitudes (deformaciones, tensiones...).

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4.6.-ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO. MÉTODO DE RAYLEIGH - RITZ En la mecánica de sólidos, el problema consiste en determinar el campo de desplazamientos del cuerpo (figura 8.15) que satisfaga las ecuaciones de equilibrio. Como los esfuerzos están relacionados con deformaciones unitarias que, a su vez, están relacionadas con desplazamientos, esto conduce a resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. A la solución de este conjunto de ecuaciones se le llama una solución exacta. Tales soluciones exactas existen para geometrías y condiciones de carga simples, que pueden encontrarse con ayuda de la teoría de la elasticidad. Para problemas de geometrías complejas y condiciones de frontera y de carga general, la obtención de tales soluciones es una tarea casi imposible. Los métodos de solución aproximada usualmente emplean métodos de energía potencial o con variación, que imponen condiciones menos estrictas sobre las funciones.

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4.7.-Descripción matemática del método El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas: 1. El problema debe reformularse en forma variacional. 2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial)

debe dividirse mediante una partición en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos una combinación lineal en dicho espacio vectorial. 3. Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema 22

con un número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida. 4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones. 4.8.-¿Cómo trabaja el MEF en la practica? Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita. Formulación débil La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos de un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuaciones algebraicas. Dada una ecuación diferencial lineal de la forma:

Donde la solución es una cierta función definida sobre un dominio d-dimensional , y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede suponerse que la función buscada es un elemento de un espacio de funciones o espacio de Banach V y que la ecuación (2) es equivalente a:

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución obtenida por MEF es solo aproximada, coincidiendo con la solución exacta solo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los 23

resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea solo aproximada debido a ese último paso. El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando finalmente solo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha malla es un «elemento finito». El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras). Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necesarias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en: 

Pre proceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la malla y pre condicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor convergencia del cálculo.  Cálculo, el resultado del pre proceso, en un problema simple nodependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.  Postproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación. 4.8.1 Preproceso y generación de la malla La malla se genera y ésta en general consta de miles (e incluso centenares de miles) de puntos. La información sobre las propiedades del material y otras características del problema se almacena junto con la información que describe la malla. Por otro lado, las fuerzas, los flujos térmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensión mecánica u otra propiedad. Las regiones que recibirán gran cantidad de tensión tienen normalmente una mayor densidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de interés consisten en: puntos de fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y áreas de elevada tensión. La malla actúa como la red de una araña en la que 24

desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios elementos. Las tareas asignadas al preproceso son: 1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informáticos de mallado durante la etapa de preproceso. 2. Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto de puntos o «nodos», situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el análisis simple de estructuras por el método matricial. 3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro de cada elemento finito en función de los desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo, el campo de desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podría venir definido por: u = N1u1 + N2u2, siendo N1 y N2 las funciones comentadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2. 4. Estas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el estado de deformación del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirán a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos. 5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así una relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = K·u, que como vemos es similar a la del cálculo matricial. Cálculo y resolución de sistemas de ecuaciones En un problema mecánico lineal no-dependientes del tiempo, como un problema de análisis estructural estático o un problema elástico, el cálculo generalmente se reduce a obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito. Cuando el problema es no lineal en general la aplicación de las fuerzas requiere la aplicación incremental de las fuerzas y considerar incrementos numéricos, y calcular en cada incremento algunas magnitudes referidas a los nodos. Algo similar sucede con los problemas dependientes del tiempo, para los que se considera una sucesión de instantes, en general bastante cercanos en el tiempo, y se considera el equilibrio instantáneo en cada instante. En general estos dos últimos tipos de problemas requieren un tiempo de cálculo sustancialmente más elevado que en un problema estacionario y lineal.

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Postproceso Actualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los ficheros que se generan como resultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta conveniente procesarlos de alguna manera adicional para hacerlos más comprensible e ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de postproceso los resultados obtenidos de la resolución del sistema son tratados, para obtener representaciones gráficas y obtener magnitudes derivadas que permitan extraer conclusiones del problema. El postproceso del MEF generalmente requiere software adicional para organizar los datos de salida, de tal manera que sea más fácilmente comprensible el resultado y permita decidir si ciertas consecuencias del problema son o no aceptables. En el cálculo de estructuras por ejemplo, el postproceso puede incluir comprobaciones adicionales de si una estructura cumple los requisitos de las normas pertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admisibles, o existe la posibilidad de pandeo en la estructura. Problemas termomecánicos Un amplio rango de funciones objetivo (variables con el sistema) están disponibles para la minimización o la maximización:    

Masa, volumen, temperatura Energía tensional, esfuerzo tensional Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración Sintética (definidas por el usuario)

Hay múltiples condiciones de carga que se pueden aplicar al sistema. Algunos ejemplos son:     

Puntuales, presión, térmicas, gravedad, y cargas centrífugas estáticas Cargas térmicas de soluciones del análisis de transmisión de calor Desplazamientos forzados Flujo de calor y convección Puntuales, de presión, y cargas de gravedad dinámicas

Cada programa MEF puede venir con una biblioteca de elementos, o una que es construida con el tiempo. Algunos ejemplos de elementos son:       

Elementos tipo barra Elementos tipo viga Placa/Cáscara/Elementos compuestos Panel de sándwich Elementos sólidos Elementos tipo muelle Elementos de masa 26

 

Elementos rígidos Elementos amortiguadores viscosos

Muchos programas MEF también están equipados con la capacidad de usar múltiples materiales en la estructura, como:    

Modelos elásticos isotrópicos / ortotrópicos / anisótropicos generales Materiales homogéneos / heterogéneos Modelos de plasticidad Modelos viscosos

4.9.-Tipos de análisis ingenieriles El programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden hacer al sistema comportarse de manera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menos complejos y normalmente no tienen en cuenta deformaciones plásticas. Los sistemas no lineales toman en cuenta las deformaciones plásticas, y algunos incluso son capaces de verificar si se presentaría fractura en el material. Algunos tipos de análisis ingenieriles comunes que usan el método de los elementos finitos son:  



Análisis estático se emplea cuando la estructura está sometida a acciones estáticas, es decir, no dependientes del tiempo. Análisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones aleatorias, choques e impactos. Cada uno de estas acciones puede actuar en la frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y el consecuente fallo. Análisis de fatiga ayuda a los diseñadores a predecir la vida del material o de la estructura, prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el espécimen. Este análisis puede mostrar las áreas donde es más probable que se presente una grieta. El análisis por fatiga puede también predecir la tolerancia al fallo del material.

Los modelos de análisis de transferencia de calor por conductividad o por dinámicas térmicas de flujo del material o la estructura. El estado continuo de transferencia se refiere a las propiedades térmicas en el material que tiene una difusión lineal de calor. 4.10.-Metodo implícito y método explicito En problemas dinámicos, donde las magnitudes cambian a lo largo del tiempo, existen diversos métodos para integrar en el tiempo. En ambos métodos se discretiza el tiempo, por lo que se considera la solución solo para un cierto número de instantes (para el resto de valores del tiempo se puede interpolar la solución por intervalos). La diferencia entre un instante en el que se busca la solución y el siguiente se denomina, paso de tiempo. Las dos principales variantes del cálculo por FEM son: 27

 

Método implícito, que requieren resolver a cada paso de tiempo un sistema de ecuaciones, aunque pueden usarse pasos de tiempo más largos. Método explícito, que no requieren resolver un sistema de ecuaciones a cada paso de tiempo, aunque debido a que la convergencia no siempre está asegurada el paso de tiempo debe escogerse convenientemente pequeño .

El método implícito Estos cálculos suelen usarse para el cálculo de rigidez (aunque a veces también se pueden calcular en dinámico). Entre los métodos implícitos algunos son incondicionalmente convergentes (no divergen exponencialmente de la solución exacta) solo para cierta elección fija de los parámetros del método. Los cálculos por el método implícito (o semi-implícito a la parte más rígida del sistema) requieren mucho más tiempo de computación para dar un paso en el tiempo, ya que deben invertir una matriz de tamaño muy grande, por esto, se suelen emplear métodos iterativos, en vez de métodos directos, como los asociados a subespacio de Krylov. En compensación, se pueden usar pasos de tiempo mucho más grandes ya que son estables

Método explicito Un método explícito es el que no requiere la resolución de un sistema de ecuaciones no trivial a cada paso de tiempo. En estos cálculos se realiza una simulación con modificación de la malla a lo largo del tiempo. En general los métodos explícitos requieren menor tiempo de computación que los métodos implícitos, aunque frecuentemente presentan el problema de no ser incondicionalmente convergentes, y requieren evaluar primero el paso de tiempo máximo para que la computación sea numéricamente estable. Los métodos explícitos suelen ser condicionalmente convergentes, pero no incondicionalmente 28

convergentes, por lo que el paso de tiempo usado en el esquema de diferencias finitas debe ser menor que cierto valor:

Siendo wk las frecuencias propias del sistema. Se está realizando un cálculo explícito, se está realizando un análisis dinámico del mecanismo u estructura, en el que suele haber pasos de tiempo muy cortos para que sea estable, aunque se puede lograr una alta precisión para sistemas dinámicos. En los elementos finitos explícitos es preferible el uso de elementos sencillos, como cuadriláteros con un punto de integración y estabilización frente a modos de energía nula, frente a elementos de orden superior. Los métodos explícitos encuentran su campo de aplicación óptimo en problemas de dinámica rápida, en los que se producen fuertes no linealidades y el empleo de intervalos de tiempo pequeños pasa a ser una necesidad. Una ventaja importante del método explícito es la resolución de las ecuaciones a nivel exclusivamente local, sin plantear en ningún momento sistemas de ecuaciones globales acopladas. Esto permite el uso de algoritmos elemento por elemento, que facilitan el cálculo en paralelo. Planteados como métodos de relajación dinámica o relajación viscosa, se enmarcan junto con métodos iterativos de resolución de ecuaciones no lineales, como los métodos de relajación de Gauss-Seidel, o gradiente conjugado precondicionado con técnicas de elemento por elemento. Siendo muy interesante para el cálculo en paralelo.

5.-Conclusion Afortunadamente el método de elemento finito es una herramienta que brinda muchas ventajas al momento de diseñar y analizar determinadas piezas o elementos, pues gracias a su alta eficacia es posible detectar problemas y fallas en las primeras etapas de diseño, obteniendo mejores resultados al momento de algún momento los elementos controlados al contexto en el que trabajarán, pues los esfuerzos y deformaciones a los que algunas veces serán muy similares a los calculados. 29

Además de conocer el concepto de este método, y no sólo eso sino además las distintas técnicas de aplicación de el mismo, pude observar que existe cierta cantidad de software muy bien desarrollado para servirse de apoyo y poder emplear este método de forma muy rápida y eficiente, existe desde software libre como “Quickfield”, hasta software de licencia muy potente y efectivo como es el caso de NX y Ansys.

6.-referencias  

K. J. Bathe (1995): Finite Element Procedures, Prentice Hall, 2nd edition.

P. G. Ciarlet (1978): The Finite Element Method for Elliptic Problems, NorthHolland, Ámsterdam, 1978.  P. G. Ciarlet (1991): Basic error estimates for elliptic problems en Handbook of Numerical Analysis (Vol II) J.L. Lions y P. G. Ciarlet (ed.), North-Holland, Ámsterdam, 1991, p. 17-351.

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https://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/6294/06Efv06de23.pdf;sequenc e=6  file:///C:/Users/franc/Downloads/Introduccion_al_MEF.pdf

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