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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA “MAESTRIA DE INGENIERIA CIVIL CON ENFASIS EN ESTRUCTURAS”

Elaborado por: Ing. Wendell Lanzas Mejía

Managua, 7 Octubre de 2016 Docente: Dr. Ing. Miguel Cruz

Problema 1.7. Considere la barra mostrada en la figura P.1.7 donde la deformación Unitaria en cualquier punto x está dada por: ∈ 𝑥 = 1 + 2𝑥 2. Encuentre el desplazamiento 𝛿 del borde libre.  x L Figura Problema P.1.7

De la relación esfuerzo deformación sabiendo que σ = E*ϵ y que ∈ 𝑥 =

𝑑𝑢 𝑑𝑥

Planteamos la siguiente ecuación: 𝑑𝑢 = 1 + 2𝑥 2 𝑑𝑥

∈𝑥=

Resolviendo la integral planteada a continuación de o a L: 𝐿

𝛿=∫ 0

𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐿

𝛿 = ∫ (1 + 2𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝛿 = 0

Obtenemos que el desplazamiento en cualquier punto de la barra está dado por la siguiente expresión en función de L. 𝑳+

𝟐 𝟑

𝑳𝟑 = L (1 + 2/3 L²)

1

PROBLEMA 3.6. Considere la barra de la figura P.3.6 Determine los desplazamientos nodales los esfuerzos en los elementos y las reacciones en los soportes. E=200E9 N/mm2

400 mm2

250 mm2 300 KN

150 mm

X

600 KN

150 mm

200 mm

200 mm 3.5 mm

Figura P.3.6 600 KN

300 KN

X NODOS 1

2 1

ELEMENTOS

3 2

5

4 3

4

Conectividad de los elementos Es necesario verificar el desplazamiento que ocurre debido a las cargas aplicadas producen, o no contacto entre la barra y la pared en 5. Se supondrá que la pared no existe, determinando la deformación total por carga axial de la barra.

1. Las matrices de rigidez de los elementos son: 𝐾=

𝐴𝐸 1 −1 [ ] 𝐿 −1 1

Sustituyendo los valores de A, E y L nos da:

𝐾1 =

250 𝑋200 𝑋103 1 [ 150 −1

−1 ]= 1

333,333.33 −333,333.33 𝐾1 = [ ] −333,333.33 333,333.33

333,333.33 −333,333.33 𝐾2 = [ ] −333,333.33 333,333.33

𝐾3 =

400 𝑋200 𝑋103 1 [ 200 −1

−1 ]= 1

2

400,000 −400,000 𝐾3 = [ ] −400,000 400,000

400,000 −400,000 𝐾4 = [ ] −400,000 400,000

2. Ensamble de la matriz de rigidez global:

333,333.33 −333,333.33 0 0 0 −333,333.33 666,666.66 −333,333.33 0 0 0 −333,333.33 733,333.33 400,000 0 𝐾𝐺 = 0 0 −400,000 800,000 −400,000 [ 0 0 0 −400,000 400,000 ]

3. El Vector de fuerzas viene dado por: 0 300,00 F= (𝑛) 0 600,000 [ 0 ] La matriz de rigidez puede escribirse como:

0.333 −0.333 0 0 0 −0.333 0.666 −0.333 0 0 𝐾𝐺 = 106 0 −0.333 0.7333 0.4 0 0 0 −0.4 0.8 −0.4 [ 0 0 0 −0.4 0.4 ]

4. Calculo del número C para emplear el enfoque de la penalización: El grado de libertad 1 está restringido (suponiendo que no exista la pared) se le agregará, el factor C a la posición (1,1) de la diagonal. 𝐶 = 𝑀𝑎𝑥|𝑘𝑖𝑗 |𝑥104 1≪𝑖≤𝑁 1≪𝑗≤𝑁 𝐶 = [0.80𝑋106 ]𝑋104 = 𝐶 = [8000]𝑋106

3

8000.333 −0.333 0 0 0 −0.333 0.666 −0.333 0 0 𝐾𝐺 = 106 0 −0.333 0.7333 0.4 0 0 0 −0.4 0.8 −0.4 [ 0 0 0 −0.4 0.4 ] 5. Calculo del vector de desplazamiento Q En notación matricial: [K]{Q}={F} {𝑸} = [𝑲]−𝟏 {𝑭}

𝑄1 8000.333 −0.333 0 0 0 −1 0 𝑄2 −0.333 0.666 −0.333 0 0 300,00 𝑄3 = 10−6 0 −0.333 0.7333 0.4 0 0 𝑄4 0 0 −0.4 0.8 −0.4 600,000 [ [𝑄5] 0 0 0 −0.4 0.4 ] [ 0 ]

𝑄1 112.60 𝑄2 2702815.304 𝑄3 = 4504617.106 10−6 mm Q=[0.0001126, 2.702815304, 4.50461, 6.0046, 6.0046] 𝑄4 6004617.106 [𝑄5] [6004617.106]

[Q5]=6.004 mm Como el desplazamiento es más grande que el permitido se debe establecer nuevas condiciones de frontera. El desplazamiento máximo en 5 será establecido como [Q5]=3.5 mm Grados de libertad restringidos son el 1 y el 5 por lo tanto el valor de: 𝐶 = [8000]𝑋106

8000.333 −0.333 0 0 0 −0.333 0.666 −0.333 0 0 𝐾𝐺 = 106 0 −0.333 0.7333 0.4 0 0 0 −0.4 0.8 −0.4 [ 0 0 0 −0.4 8000.4]

Se debe modificar también la quinta componente de [F] agregándole CX3.5= 2.80E10

4

0 300,00 [F]= 0 600,000 [2.80E10]

En notación matricial: [K]{Q}= {F} {𝑸} = [𝑲]−𝟏 {𝑭}

−1 𝑄1 8000.333 −0.333 0 0 0 0 𝑄2 −0.333 0.666 −0.333 0 0 300,00 𝑄3 = 10−6 0 −0.333 0.7333 0.4 0 0 𝑄4 0 0 −0.4 0.8 −0.4 600,000 [ [𝑄5] 0 0 0 −0.4 8000.4] [2.80E10]

Los desplazamientos nodales calculados son:

{Q}= [8.40012E-5 ,2.018131031, 3.13527716, 4.06765277, 3.50002841] T mm

6. Calculo de los esfuerzos en los elementos

1

e1

2

e2

3

e3

4

5

e4

X DESP.

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Los esfuerzos están dados por la siguiente ecuación: 𝝈 = 𝑬𝑩𝒒 Donde= 1

𝐵 = 𝑥2−𝑥1 [−1 1] 𝜎1 = 200𝐸3𝑥

1 [−1 1] [8.40𝐸5] 2.0181 150 − 0

5

𝝈𝟏 = 𝟐, 𝟔𝟗𝟎. 𝟖𝟖 𝑴𝒑𝒂 𝜎2 = 200𝐸3𝑥

1 [−1 1] [ 2.0181 ] 3.13527716 150 − 0

𝝈𝟐 = 𝟏𝟒𝟗𝟎. 𝟖𝟗 𝑴𝒑𝒂 𝜎3 = 200𝐸3𝑥

1 [−1 1] [3.13527716] 4.06765277 200 − 0

𝝈𝟑 = 𝟗𝟑𝟏. 𝟖𝟎𝟒 𝑴𝒑𝒂

𝜎4 = 200𝐸3𝑥

1 [−1 1] [4.06765277] 3.50000 200 − 0

𝝈𝟒 = −𝟓𝟔𝟖. 𝟏𝟗 𝑴𝒑𝒂

7. Calculo de las reacciones en los soportes: R1=-C X 8.40012 X10 E5 R1=-8000X10E6 X 8.40012 X10 E5= -67,2009.6 N R1=-672,722.11 N R2=-C X (3.50002841-3.5) R2=-8000X10E6 X (3.50002841-3.5) = R2=-227,277.78 N

Resumen: Desplazamientos: {Q}= [8.40012E-5 ,2.018131031, 3.13527716, 4.06765277, 3.50002841] mm Esfuerzos: 𝝈𝟏 = 𝟐, 𝟔𝟗𝟎. 𝟖𝟖 𝑴𝒑𝒂 𝝈𝟐 = 𝟏𝟒𝟗𝟎. 𝟖𝟗 𝑴𝒑𝒂 𝝈𝟑 = 𝟗𝟑𝟏. 𝟖𝟎𝟒 𝑴𝒑𝒂 𝝈𝟒 = −𝟓𝟔𝟖. 𝟏𝟗 𝑴𝒑𝒂 Reacciones: R1=-672,722.11 N

R2=-227,277.78 N

6

PROBLEMA 5.2.- Determine el jacobiano para la transformación (x, y) - (ξ, η) para el elemento mostrado en la figura P5.2. También encuentre el área del triángulo.

Y =0 3 (7,9)

=0 2 (12,5)

1 (3,2)

=1

X FIGURA P5.2

Planteamos la matriz cuadrada del Jacobiano de la transformación: J= [

𝒙𝟏𝟑 𝒚𝟏𝟑 ] 𝒙𝟐𝟑 𝒚𝟐𝟑

Sustituyendo los valores de las coordenadas obtenemos: J= [

(𝟑 − 𝟕) (𝟐 − 𝟗) ] (𝟏𝟐 − 𝟕) (𝟓 − 𝟗)

Simplificando, Obtenemos: J= [

−𝟒 −𝟕 ] 𝟓 −𝟒

𝐷𝑒𝑡 𝐽 = 𝑥13(𝑦23) − 𝑥23(𝑦13) Det J = (-4) (-4)-(5) (-7)= 16+35 Det J =51.0 Unidades cuadradas Área Triangulo=1/2 Det J Área Triangulo=0.5*(51. Unidades cuadradas)= Área Triangulo=25.5 Unidades cuadradas (Respuesta)

7

Problema 5.7 Para la configuración mostrada en la figura P5.7, determine la deflexión en el punto de aplicación de la carga usando un modelo de un solo elemento. Si se usa una malla de varios elementos triangulares, comente sobre los valores del esfuerzo en los elementos cercanos a la punta. a. Resolver con un elemento b. Resolver con 16 elementos usando programa Excel.

100 N 30 mm 50 N

20 mm t=10 mm E=70,000 Mpa V=0.3

Figura P.5.7

Planteamos el diagrama de conectividad de los nodos del elemento colocando el eje coordenado a como se aprecia en la figura manteniendo la numeración en sentido anti horario. Esto se denomina patrón de numeración local del elemento. Y

(0,20)

100 N 30 mm

2

1

50 N (30,20)

e1 20 mm

X

3 (0,0)

Digrama de Conectividad

Tabla de conectividad del elemento

Elemento No. 1

Nodos 1

2

3

1

2

3

8

De acuerdo a la numeración de los nodos que se planteó en la figura anterior y basándonos en el patrón de numeración local del elemento planteamos el diagrama de desplazamiento nodales correspondiente al elemento e1

Q4

Q2 30 mm

Q3

Q1

e1 Q6 Q5 Planteamiento de los Desplazamientos Nodales.

1. Determinación de la matriz de propiedades del material correspondiente a la condición de esfuerzo plano. 𝟏 𝝂 𝟎 𝑬 𝝂 𝟏 𝟎 𝑫= [ 𝟐 𝟏 − 𝝂] 𝟏−𝝂 𝟎 𝟎 𝟐 1 0.3 0 𝐷 = 76923.08 [0.3 1 0 ] 0 0 0.35 76923.08 23,076.9 0 0 𝐷 = [ 23,076.9 76923.081 ] 0 0 26,923.1

2. Determinación de la matriz de rigidez K de la estructura.

a. Se obtendrá el determinante del jacobiano

J= [

𝒙𝟏𝟑 𝒚𝟏𝟑 𝟑𝟎 𝟐𝟎 ] =[ ] 𝒙𝟐𝟑 𝒚𝟐𝟑 𝟎 𝟐𝟎

9

𝐷𝑒𝑡 𝐽 = 𝑥13(𝑦23) − 𝑥23(𝑦13) Det J = (30) (20)-(20) (0)= 600

Det J= 600 3. Determinación de la matriz de elemento de deformación unitaria B de (3x6)

𝟎 𝐲𝟑𝟏 𝟎 𝒚𝟏𝟐 𝟎 𝟏 𝒚𝟐𝟑 𝒙𝟑𝟐 𝟎 𝐱𝟏𝟑 𝟎 𝒙𝟐𝟏] 𝑩= [ 𝟎 𝑫𝒆𝒕 𝑱 𝒙𝟑𝟐 𝒚𝟐𝟑 𝒙𝟏𝟑 𝒚𝟑𝟏 𝒙𝟐𝟏 𝒚𝟏𝟐

0 0 0 1 20 0 −20 𝐵1 = [0 0 0 30 0 −30] 600 0 20 30 −20 −30 0

76923.08 23,076.9 0 0 0 0 1 20 0 −20 0 𝐷𝐵1 = [ 23,076.9 76923.081 ]𝑋 [0 0 0 30 0 −30] 0 0 26,923.1 600 0 20 30 −20 −30 0

2564.1026 𝐷𝐵1 = [ 769.2308 0

0 0 897.4359

−2564.10256 −769.230769 1346.1538

1153.8462 3846.1538 −897.435897

0 0 −1346.15385

−1153.84615 −3846.15385] 0

4. Planteamiento de la matriz transpuesta de B1

20 0 0 𝑇 0 0 20 1 −20 0 30 𝐵1 = 30 −20 600 0 0 0 −30 [ 0 −30 0 ]

Finalmente podemos obtener la matriz de rigidez de la estructura como se muestra a continuación: 𝑘 = 𝑡𝑒 𝐴𝑒 𝐵𝑇 𝐷𝐵

10

256,410.26

0

𝑂 89,743.59 −256,410.26 134,615.38 𝐾= 115,384.62 −89,743.59 0 −134,615.38 [−115,384.62 0

−2564.10256

134,615.38 458,333.33 −250,000 −201,923 115,384.62

1153.8462

0

−1153.84615 −89,743.59 −134,615.38 O −250,000 −201,923 115,384.62

666,666.67 134,615.38 −576,923

134,615.38 201,923.08 0

−576,923 0

576,923.08 ]

En este problema Q3, Q4, Q5 y Q6 todos son iguales a cero. El conjunto de ecuaciones, queda dado por la siguiente representación matricial:

[K]{Q}= {F}

𝐾=[

[

{𝑸} = [𝑲]−𝟏 {𝑭}

1256,410.26 0 ] 0 89,743.591

Y

[F]=[

50 ] −100

−1 𝑄1 1256,410.26 0 50 ]=[ ] [ ] 𝑄2 0 89,743.591 −100

Los desplazamientos nodales calculados son: {Q}= [0.000195, -0.001114, 0, 0, 0, 0] T mm

5. Calculo de los esfuerzos en el elemento, realizando las debidas operaciones se obtiene el siguiente resultado: σ = DB1 ∗ Q {σ}= [0.50, 0.15, -1.00] T MPa

11

B. Resolución problema 5.7 por medio de la Hoja de Excel proporcionada considerando 16 elementos triangulares.

El diagrama de conectividad se “ensambla” como se muestra a continuación:

12

Datos que se introdujeron en la hoja de cálculo se muestra a continuación:

2D STRESS ANALYSIS USING CST EXAMPLE 5.7 con 15 Nodos Solve Problem NN NE NM NDIM NEN NDN 15 16 1 2 3 2 ND NL NMPC Note: After solving problem, see Sheet2 for re 10 2 0 Node# X Y Unidades utilizadas: N, mm 1 0 0 2 7.5 5 3 0 5 4 15 10 5 7.5 10 6 0 10 7 22.5 15 8 15 15 9 7.5 15 10 0 15 11 30 20 12 22.5 20 13 15 20 14 7.5 20 15 0 20 Elem# N1 N2 N3 Mat#Thickness TempRise 1 1 2 3 1 10 0 2 2 4 5 1 10 0 3 3 2 5 1 10 0 4 3 5 6 1 10 0 5 4 7 8 1 10 0 6 5 4 8 1 10 0 7 5 8 9 1 10 0 8 6 5 9 1 10 0 9 6 9 10 1 10 0 10 7 11 12 1 10 0 11 8 7 12 1 10 0 12 8 12 13 1 10 0 13 9 8 13 1 10 0 14 9 13 14 1 10 0 15 10 9 14 1 10 0 16 10 14 15 1 10 0 DOF# Displacement 1 0 2 0 5 0 6 0 11 0 12 0 19 0 20 0 29 0 30 0 DOF# Load 21 50 22 -100 MAT# E Nu Alpha 1 7.00E+04 0.3 B1 i B2 j B3 (Multi-point constr. B1*Qi+B2*Qj=B3)

13

Desplazamientos, Esfuerzos y reacciones obtenidos a partir de partir de los datos introducidos. Program CST - Plane Stress Analysis EXAMPLE 5.7 con 15 Nodos Node# X-Displ Y-Displ 1 -1.715E-09 -1.06E-09 2 -0.0002438 -0.00034 3 -4.579E-09 -1.16E-09 4 -0.0003852 -0.001269 5 -0.0001233 -0.000328 6 -2.32E-09 6.236E-10 7 0.0001141 -0.003296 8 0.0002657 -0.001284 9 0.0001786 -0.000322 10 2.733E-09 1.761E-09 11 0.0019938 -0.006953 12 0.0017764 -0.003345 13 0.0012122 -0.001366 14 0.0005979 -0.000397 15 7.755E-09 -3.92E-09 Elem# SX SY Txy 1 -2.5009036 -0.750272 -1.21923 2 -2.6313518 -0.624161 -2.72818 3 -2.4464268 -0.568683 -0.57004 4 -1.2644003 -0.379295 -1.17683 5 -1.6239177 -0.697286 -3.71826 6 -2.7550956 -1.03664 0.127292 7 0.9184223 0.3515027 -1.82515 8 -1.2393615 -0.295832 0.448716 9 1.8318552 0.5495725 -1.15734 10 2 -0.095803 -4 11 -1.784036 -1.231014 1.728031 12 5.4079537 0.4707105 -2.00977 13 0.513702 -0.997565 1.645528 14 5.9543231 0.7389556 -1.21949 15 1.4865726 -0.60137 1.100598 16 6.1326644 1.8397197 -1.42587 DOF# Reaction 1 45.72099 2 28.135219 5 122.09357 6 30.819988 11 61.863094 12 -16.62957 19 -72.890862 20 -46.961916 29 -206.78679 30 104.63628

14

S1 -0.12469 1.279163 -0.40918 0.435448 2.586409 -1.02726 2.481989 -0.11651 2.51378 5.087083 0.242489 6.122614 1.568799 6.225385 1.95957 6.5631

S2 -3.12648 -4.53467 -2.60593 -2.07914 -4.90761 -2.76447 -1.21206 -1.41868 -0.13235 -3.18289 -3.25754 -0.24395 -2.05266 0.467894 -1.07437 1.409284

Ang X to S1 -62.8378 -55.0983 -74.3679 -55.3045 -48.5514 85.78656 -40.586 68.21718 -30.5073 -37.6599 49.54556 -19.575 32.66761 -12.5317 23.25627 -16.7978

Problema 6.1.- El cilindro de acero abierto en sus extremos que se muestra en la figura P6.1 está sometido a una presión interna de 1 Mpa. Encuentre la deformación y la distribución de los esfuerzos principales. a. Resolver el problema considerando 2 elementos b. Resolver el problema considerando 16 elementos utilizando hoja de Excel.

Sección

transversal. Figura P.6.1

Discretización de elemento y numeración de los nodos

15

Entrada de datos que fueron insertados en la hoja de Excel: > EXAMPLE 6.1 NN NE NM NDIM NEN NDN Solve Problem 15 16 1 2 3 2 ND NL NMPC 3 5 0 Node# X Y Unidades en: N, mm 1 34 0 2 42 0 3 50 0 4 34 25 5 42 25 6 50 25 7 34 50 8 42 50 9 50 50 10 34 75 11 42 75 12 50 75 13 34 100 14 42 100 15 50 100 Elem# N1 N2 N3 Mat#TempRise 1 1 2 4 1 0 2 4 3 5 1 0 3 2 3 5 1 0 4 5 3 6 1 0 5 4 5 7 1 0 6 7 5 8 1 0 7 5 6 8 1 0 8 8 6 9 1 0 9 7 8 10 1 0 10 10 8 11 1 0 11 8 9 11 1 0 12 11 9 12 1 0 13 10 11 13 1 0 14 13 11 14 1 0 15 11 12 14 1 0 16 14 12 15 1 0 DOF# Displ. 2 0 4 0 6 0 DOF# Load 1 2670.354 7 5340.708 13 5340.708 19 5340.708 25 2670.354 MAT# E Nu Alpha 1 2.00E+05 0.3 0.00E+00 B1 i B2 j B3 (Multi-point B1*Qi+B2*Qj=B3) constr.

16

Salida de datos obtenidas de programa:

Program AXISYM - Triangular Element EXAMPLE 6.1 Node# R-Displ Z-Displ 1 0.0005250 -7.4554E-13 2 0.0004645 1.76559E-11 3 0.0004276 -1.691E-11 4 0.0005197 -6.1548E-05 5 0.000467 -5.843E-05 6 0.0004372 -5.982E-05 7 0.0005149 -0.0001273 8 0.000461 -0.0001254 9 0.0004318 -0.00012421 10 0.0005115 -0.0001923 11 0.0004579 -0.00019025 12 0.0004291 -0.00018939 13 0.000505 -0.00025946 14 0.0004569 -0.00025757 15 0.0004312 -0.00025724 Elem# SR SZ Trz 1 -0.737529 0.047399093 -0.0164 2 -0.732761 -0.06026434 -0.01081 3 -0.341313 0.008756468 0.007726 4 -0.195968 0.008493241 0.016288 5 -0.500976 0.107284936 0.015311 6 -0.71098 -0.08721549 -9.3E-05 7 -0.135558 0.024906372 -0.03172 8 -0.199857 -0.0341364 -0.00519 9 -0.552601 0.083285371 0.007779 10 -0.704208 -0.07262617 0.010102 11 -0.119642 0.043261356 0.001821 12 -0.19675 -0.04498961 3.67E-05 13 -0.567051 0.05029922 -0.00028 14 -0.541766 -0.03072995 0.015005 15 -0.121064 0.017534365 0.005053 16 -0.105305 -0.02997454 0.009592 DOF# Reaction 2 3.5541346 4 -84.16889 6 80.614753

ST 2.536808 2.006877 1.928641 1.81949 2.611946 2.206128 2.004445 1.803089 2.563558 2.19135 1.993076 1.784987 2.525613 2.23457 1.974749 1.814674

17

S1 0.047742 -0.06009 0.008927 0.009783 0.10767 -0.08722 0.030948 -0.03397 0.083381 -0.07246 0.043282 -0.04499 0.050299 -0.03029 0.017718 -0.02877

S2 -0.73787 -0.73294 -0.34148 -0.19726 -0.50136 -0.71098 -0.1416 -0.20002 -0.5527 -0.70437 -0.11966 -0.19675 -0.56705 -0.54221 -0.12125 -0.10651

Angle/deg -88.8034 -89.0791 88.73625 85.4737 88.55894 -89.9915 -79.2154 -88.2076 89.29919 89.08391 89.35975 89.98614 -89.9739 88.31967 87.9149 82.85631

Problema 7.4 Resuelva el problema P5.9 con cuadriláteros de cuatro nodos. Use el programa QUAD2. 10 Kn

30 mm

E= 70 Gpa V=0.33 Espesor= 10mm

60 mm

Problema P5.9

10 Kn

9 4

2 5

2 1

6 8

3

4

1 12

12

11

7

18

8

5

12

15 10 14

17

7

10 12

15

6

9

15

3

13 12

16 12

Diagrama de conectividad de los elementos

Elemento

N1

N2

N3

N4

1

1

4

5

2

2

2

5

6

3

3

4

7

8

5

4

5

8

9

6

5

7

10

11

8

6

8

11

12

9

7

10

13

14

11

8

11

14

15

12

9

13

16

17

14

10

14

17

18

15

Tabla de Conectividad de los elementos

Discretizamos en 10 elementos en cuestión y deducimos las coordenadas y la tabla de conectividad que se muestra en la parte superior. A continuación mostramos los datos introducidos en la hoja de Excel así como los resultados que se obtuvieron:

18

Datos introducidos en la hoja de Excel: > Problema 7.4 NDIM NM NE NN 2 1 10 18 NMPC NL ND 0 1 6 Y X Node# 0 0 1 15 0 2 30 0 3 0 12 4 15 12 5 30 12 6 0 24 7 15 24 8 30 24 9 0 36 10 15 36 11 30 36 12 0 48 13 15 48 14 30 48 15 0 60 16 15 60 17 30 60 18 N3 N2 N1 Elem# 5 4 1 1 6 5 2 2 8 7 4 3 9 8 5 4 11 10 7 5 12 11 8 6 14 13 10 7 15 14 11 8 17 16 13 9 18 17 14 10 Displ. DOF# 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 Load DOF# -10000 36 Alpha Nu E MAT# 0.33 1.20E+05 1 7.00E+04 B3 j B2 i B1

NEN 4

NDN 2

Solve Problem

N4 Material#ThicknessTempRise 0 10 1 2 0 10 1 3 0 10 1 5 0 10 1 6 0 10 1 8 0 10 1 9 0 10 1 11 0 10 1 12 0 10 1 14 0 10 1 15

constr. (Multi-point

19

B1*Qi+B2*Qj=B3)

Los datos de salida obtenidos Se muestran a continuación: Program Quad - Plane Stress Analysis Problema 7.4 Node# X-Displ Y-Displ 1 -1.3E-06 -3.2E-07 2 2.05E-10 1.02E-08 3 1.26E-06 -3.2E-07 4 -0.05452 -0.04316 5 1.49E-05 -0.03085 6 0.054493 -0.04315 7 -0.09884 -0.11739 8 -9.7E-06 -0.10981 9 0.098792 -0.11713 10 -0.12992 -0.22383 11 -0.00059 -0.21761 12 0.130584 -0.2224 13 -0.14591 -0.34793 14 -0.00345 -0.34683 15 0.151729 -0.34718 16 -0.14932 -0.47077 17 -0.00309 -0.47847 18 0.164927 -0.51135 Elem# Iteg1 Iteg2 Iteg3 1 274.2489 247.4816 75.08945 2 113.3194 75.15118 247.3883 3 221.4744 200.9658 67.20993 4 123.4414 66.54244 200.7141 5 165.5031 144.9701 58.68394 6 97.23334 50.50618 144.9235 7 106.7168 91.25857 70.35205 8 76.04701 33.86138 94.68009 9 41.55737 45.562 57.97378 10 58.45432 121.4425 158.7276 DOF# Reaction 1 20001.63 2 5079.329 3 -3.25354 4 -162.563 5 -19998.4 6 5083.234

Iteg4

Problema 7.6 NN NE NM NDIM 32 21 1 2 ND NL NMPC 8 6 0 Node# X Y 1 0.75 0 2 1 0 3 2 0 4 3 0 5 0.6929 0.287 6 1 0.287 7 2 0.287 8 3 0.287 9 0 0.75 10 0.287 0.6925 11 0.5303 0.5303 12 1 0.5303 13 2 0.5303 14 3 0.5303 15 0 1 16 0.287 1 17 0.5303 1 18 1 1 19 2 1 20 3 1 21 0 1.5 22 0.287 1.5 23 0.5303 1.5 24 1 1.5 25 2 1.5 26 3 1.5 27 0 2 28 0.287 2 29 0.5303 2 30 1 2 31 2 2 32 3 2 Elem# N1 N2 N3 1 1 2 6 2 2 3 7 3 3 4 8 4 5 6 12 5 6 7 13 6 7 8 14 7 9 10 16 8 10 11 17 9 11 12 18 10 12 13 19 11 13 14 20 12 15 16 22 13 16 17 23 14 17 18 24 15 18 19 25 16 19 20 26 17 21 22 28 18 22 23 29 19 23 24 30 20 24 25 31 21 25 26 32

NEN 4

NDN 2

Solve Problem

Note: After solving problem, see Sheet2 for re

Unidades utilizadas: Lb, Plg

N4 Material#ThicknessTempRise 5 1 1 0 6 1 1 0 7 1 1 0 11 1 1 0 12 1 1 0 13 1 1 0 15 1 1 0 16 1 1 0 17 1 1 0 18 1 1 0 19 1 1 0 21 1 1 0 22 1 1 0 23 1 1 0 24 1 1 0 25 1 1 0 27 1 1 0 28 1 1 0 29 1 1 0 30 1 1 0 31 1 1 0

23

DOF# Displ. 2 0 4 0 6 0 8 0 17 0 29 0 41 0 53 0 DOF# Load 7 280 15 540 27 720 39 960 51 1000 63 500 MAT# E 1 3.00E+07 B1 i B2

Nu Alpha 0.3 1.20E-05 j B3

(Multi-point constr.

24

B1*Qi+B2*Qj=B3)

Obtención de salida de los datos: Program Quad - Plane Stress Analysis Problema 7.6 Node# X-Displ Y-Displ 1 0.000169 -1.8E-10 2 0.000174 -1.3E-10 3 0.000209 1.43E-10 4 0.000265 1.7E-10 5 0.000156 -2.5E-05 6 0.000163 -6.3E-06 7 0.000207 -2.1E-06 8 0.000264 1.15E-06 9 4.96E-10 -7.2E-05 10 6.58E-05 -6.4E-05 11 0.000115 -4.4E-05 12 0.000144 -1.4E-05 13 0.000202 -4.8E-06 14 0.000261 1.95E-06 15 8.23E-10 -8.2E-05 16 3.25E-05 -7.3E-05 17 5.93E-05 -5.8E-05 18 0.000108 -3.3E-05 19 0.000186 -1.3E-05 20 0.00025 1.23E-06 21 7.39E-10 -8.8E-05 22 2.31E-05 -8.3E-05 23 4.38E-05 -7.4E-05 24 8.47E-05 -5.2E-05 25 0.000166 -2.4E-05 26 0.000236 -4.1E-06 27 2.82E-10 -9.6E-05 28 1.67E-05 -9.2E-05 29 3.2E-05 -8.5E-05 30 6.79E-05 -6.6E-05 31 0.00015 -3.5E-05 32 0.000223 -1.3E-05 Elem# Iteg1 Iteg2 Iteg3 1 2181.285 1211.999 1160.606 2 1323.463 1136.344 1264.622 3 1657.09 1662.531 1681.396 4 1972.834 1464.653 1900.254 5 1961.368 1513.482 1715.644 6 1718.008 1707.688 1731.333 7 5907.357 5762.367 4167.103 8 3830.659 3772.828 3542.672 9 2398.168 2318.803 2972.466 10 2325.107 1999.125 2271.064 11 1845.486 1795.843 1865.968 12 3147.928 3134.783 2581.325 13 3177.532 3182.375 2739.936 14 3042.795 3054.747 2792.312 15 2494.804 2404.226 2443.92 16 2011.705 1953.928 2034.7 17 2253.081 2248.788 1879.063 18 2424.14 2418.833 2053.484 19 2568.739 2574.097 2396.23 20 2467.251 2445.734 2459.736 21 2129.653 2105.554 2154.505 DOF# Reaction 2 308.598 4 227.9361 6 -245.207 8 -291.327 17 -847.34 29 -1407.4 41 -1263.23 53 -482.025

Iteg4

Problema 8.3 NN NE NM 6 5 1 ND NL NMPC 4 12 0 NODE# X-COORD 1 0 2 60 3 120 4 180 5 240 6 300 EL# N1 N2 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 DOF# Displ. 1 0 2 0 11 0 12 0 DOF# LOAD 1 -241.66667 2 -2416.6667 3 -422.91667 4 604.16667 5 -302.08333 6 604.16667 7 -302.08333 8 -604.16667 9 -422.91667 10 -604.16667 11 -241.66667 12 2416.6667 MAT# E 1 4.50.E+06 B1 i B2

NDIM 1

NEN 2

NDN 2

MAT# Mom_Inertia 1 5.12E+02 1 2.16E+02 1 6.40E+01 1 2.16E+02 1 5.12E+02

j

B3 (Multi-point constr. B1*Qi+B2*Qj=B3)

39

24.0

Results from Program BEAM Problema 8.3 Node# Displ. Rotation 1 -4.426E-10 -2.51221E-08 2 -0.02965 -0.000799505 3 -0.084125 -0.000829857 4 -0.084125 0.000829857 5 -0.02965 0.000799505 6 -4.426E-10 2.51221E-08 DOF# Reaction 1 966.666667 2 54866.7033 11 966.666667 12 -54866.703

40

Problema 8.11.- En la figura P8.11 se muestran las dimensiones de una grapa común de papel. Mientras el clip penetra en el papel, se aplica una fuerza de aproximadamente 120 N. Encuentre la deformación para los siguientes casos: a) cargada uniformemente distribuida sobre el miembro horizontal y condición articulada en A a la entrada. b) Cargada como antes con condición empotrada en A después de alguna penetración. c) Carga dividida en dos cargas puntuales, articulado en A. d) Carga como en (c) con empotrado en A.

12.73 mm

R

=0 .5 m

6.31 mm

m

0.502 mm

12.63 mm

CL Figura correspondiente al problema P8.11

a) cargada uniformemente distribuida sobre el miembro horizontal y condición articulada en A a la entrada. Planteamos la conectividad a como se muestra a continuación: Q5

Q8

9.42 N/mm

Q4

Q7

Q6

Q9

Q2

Q11 Q10

Q1 Q3

Q12

Caso (a)

NODO ELEMENTO N1 1

N1

1

2

2

2

3

3

3

4

Tabla de conectividad

41

Entrada de datos:

Ejercicio 8.11 Inciso a NN NE NM 4 3 1 ND NL NMPC 4 0 0 Node# X Y 1 0 0 2 0 6.31 3 11.73 6.31 4 11.73 0 Elem# N1 N2 1 1 2 2 2 3 3 3 4 DOF# Displ. 1 0 2 0 10 0 11 0 DOF# Load MAT# E 1 2.00E+05 B1 i B2

NDIM 2

NEN 2

NDN 3

Solve Problem

Note: After solving problem, see She Unidades utilizadas: N, mm

Mat# Area InertiaDistr_Load 1 0.197923 0.003117 0 1 0.197923 0.003117 -9.42 1 0.197923 0.003117 0

j

B3 (Multi-point constr. B1*Qi+B2*Qj=B3)

Obtenemos la siguiente salida de resultados: Results from Program Frame2D Ejercicio 8.11 Inciso a Node# X-Displ Y-Displ Z-Rotation 1 -2E-07 -8.8E-07 0.133765 2 0.001866 -0.00881 -0.26842 3 -0.00187 -0.00881 0.268418 4 2.01E-07 -8.8E-07 -0.13377 Member End-Forces Member# 1 55.2483 -12.5954 -1.1E-14 -55.2483 12.59535 -79.4767 Member# 2 12.59535 55.2483 79.47669 -12.5954 55.2483 -79.4767 Member# 3 55.2483 12.59535 79.47669 -55.2483 -12.5954 1.77E-15 DOF# Reaction 1 12.59535 2 55.2483 10 -12.5954 11 55.2483

42

b) Cargada como antes con condición empotrada en A después de alguna penetración. 9.42 N/mm

Q5

Q8 Q4

Q7

Q6

Q9

2

3

Q2

Q11

Q3

Caso (b)

Q10

Q1

1

4 Q12

Introducimos la conectividad y las coordenadas de los elementos en la hoja de Excel obtenemos:

Ejercicio 8.11 Inciso b) NN NE NM 4 3 1 ND NL NMPC 6 0 0 Node# X Y 1 0 0 2 0 6.31 3 11.73 6.31 4 11.73 0 Elem# N1 N2 1 1 2 2 2 3 3 3 4 DOF# Displ. 1 0 2 0 3 0 10 0 11 0 12 0 DOF# Load MAT# E 1 2.00E+05 B1 i B2

NDIM 2

NEN 2

NDN 3

Solve Problem

Note: After solving problem, see Sheet2 fo Unidades utilizadas: N, mm

Mat# Area InertiaDistr_Load 1 0.197923 0.003117 0 1 0.197923 0.003117 -9.42 1 0.197923 0.003117 0

j

B3 (Multi-point constr. B1*Qi+B2*Qj=B3)

43

Obtenemos la siguiente salida de resultados: Results from Program Frame2D Ejercicio 8.11 Inciso b) Node# X-Displ Y-Displ Z-Rotation 1 -3.2E-07 -8.8E-07 6.75E-07 2 0.002992 -0.00881 -0.21592 3 -0.00299 -0.00881 0.215923 4 3.22E-07 -8.8E-07 -6.8E-07 Member End-Forces Member# 1 55.2483 -20.1973 -42.3878 -55.2483 20.19728 -85.0571 Member# 2 20.19728 55.2483 85.05709 -20.1973 55.2483 -85.0571 Member# 3 55.2483 20.19728 85.05709 -55.2483 -20.1973 42.38775 DOF# Reaction 1 20.19728 2 55.2483 3 -42.3878 10 -20.1973 11 55.2483 12 42.38775

c) Carga dividida en dos cargas puntuales, articulado en A. 60 N

Q5

60 N

Q8 Q4

Q7

Q6

Q9

Q2

Q11 Q1 Q3

Q12

Caso (c)

NODO ELEMENTO N1

N1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

Tabla de conectividad

44

Q10

Introducimos la conectividad y las coordenadas de los elementos en la hoja de Excel obtenemos:

Ejercicio 8.11 Inciso C NN NE NM 4 3 1 ND NL NMPC 4 2 0 Node# X Y 1 0 0 2 0 6.31 3 11.73 6.31 4 11.73 0 Elem# N1 N2 1 1 2 2 2 3 3 3 4 DOF# Displ. 1 0 2 0 10 0 11 0 DOF# Load 5 -60 8 -60 MAT# E 1 2.00E+05 B1 i B2

NDIM 2

NEN 2

NDN 3

Solve Problem

Note: After solving problem, see Sh Unidades utilizadas: N, mm

Mat# Area InertiaDistr_Load 1 0.197923 0.003117 0 1 0.197923 0.003117 0 1 0.197923 0.003117 0

j

B3 (Multi-point constr. B1*Qi+B2*Qj=B3)

Obtenemos la siguiente salida de resultados: Results from Program Frame2D Ejercicio 8.11 Inciso C Node# X-Displ Y-Displ Z-Rotation 1 -5.4E-26 -9.6E-07 -3.4E-21 2 2.48E-19 -0.00957 -1.1E-19 3 2.47E-19 -0.00957 1.71E-20 4 5.53E-26 -9.6E-07 -4.5E-20 Member End-Forces Member# 1 60 -3.4E-18 -3.9E-33 -60 3.38E-18 -2.1E-17 Member# 2 3.38E-18 1.91E-17 8.21E-17 -3.4E-18 -1.9E-17 8.39E-17 Member# 3 60 4.74E-18 2.11E-17 -60 -4.7E-18 8.82E-18 DOF# Reaction 1 3.38E-18 2 60 10 -3.5E-18 11 60

45

d) Carga como en (c) con empotrado en A.

60 N

Q8

Q5

60 N

Q7

Q4

Q9

Q6

3

2

Q11

Q2

1

Caso (d)

Q10

Q1

4

Q3

Q12

Introducimos la conectividad y las coordenadas de los elementos en la hoja de Excel obtenemos:

Ejercicio 8.11 Inciso D) NN NE NM 4 3 1 ND NL NMPC 6 2 0 Node# X Y 1 0 0 2 0 6.31 3 11.73 6.31 4 11.73 0 Elem# N1 N2 1 1 2 2 2 3 3 3 4 DOF# Displ. 1 0 2 0 3 0 10 0 11 0 12 0 DOF# Load 5 -60 8 -60 MAT# E 1 2.00E+05 B1 i B2

NDIM 2

NEN 2

NDN 3

Solve Problem

Mat# Area InertiaDistr_Load 1 0.197923 0.003117 0 1 0.197923 0.003117 0 1 0.197923 0.003117 0

j

46

B3 (Multi-point constr. B1*Qi+B2*Qj=B3)

Obtenemos la siguiente salida de resultados: Results from Program Frame2D Ejercicio 8.11 Inciso D) Node# X-Displ Y-Displ Z-Rotation 1 2.42E-26 -9.6E-07 -1.9E-26 2 -6.3E-20 -0.00957 3.61E-20 3 -6.3E-20 -0.00957 -2.5E-20 4 -2.6E-26 -9.6E-07 -1.9E-26 Member End-Forces Member# 1 60 1.52E-18 1.22E-18 -60 -1.5E-18 8.36E-18 Member# 2 -1.5E-18 9.91E-18 3.05E-17 1.52E-18 -9.9E-18 2.78E-17 Member# 3 60 -4.2E-18 -1.6E-17 -60 4.22E-18 -1.1E-17 DOF# Reaction 1 -1.5E-18 2 60 3 1.22E-18 10 1.64E-18 11 60 12 1.22E-18

47

Problema 9.1.- Determine las deflexiones en los vértices de la viga en voladizo de acero mostrada en la figura P9.1. Datos; E = 30 x 10 6 PSI V = 0.3 600 lb z

20 pulgadas

0.8pulg

2.50 pulg

y

x

Figura P9.1 La siguiente grafica se muestra los números de nodos para la discretización realizada. Se realizaron para 16 elementos partiendo el original en (dos mitad en la dirección de X y dos mitad en la dirección de Z y en cuatros partes iguales en la dirección de Y). la unidades utilizadas son: Lb para la fuerza y Pulgadas para las dimensiones.

600 lb

z 5 pulg

9

NODOS 1.25 pulg

5 pulg

36

45 33

24

42 44

35

39 3 5

7

14

16

23

25 11

13

32

34

20 22

19

28

x

48

y 41

43 38

29 31

0.4 pulg 10

30

21

12

2

1

5 pulg

27

26

17

1.25 pulg

4

5 pulg

15

6

8

0.4 pulg

18

40

37

Tabla de Conectividad de los elementos. ELEMENTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

N1 1 2 4 5 10 11 13 14 19 20 22 23 28 29 31 32

N2 2 3 5 6 11 12 14 15 20 21 23 24 29 30 32 33

N3 5 6 8 9 14 15 17 18 23 24 26 27 32 33 35 36

N4 4 5 7 8 13 14 16 17 22 23 25 26 31 32 34 35

N5 10 11 13 14 19 20 22 23 28 29 31 32 37 38 40 41

N6 11 12 14 15 20 21 23 24 29 30 32 33 38 39 41 42

N7 14 15 17 18 23 24 26 27 32 33 35 36 41 42 44 45

N8 13 14 16 17 22 23 25 26 31 32 34 35 40 41 43 44

A continuación se muestran la gráfica para la discretización de la figura en 16 elementos.

ELEMENTOS

4

8

15

16 5

14

3

2

1

12

31

40

33

42

10

23

14

32

41

21 22 20

19

40 29

9

38

13

28

49

39

30

31

5 10

41 15

24

11

1

32 11

6

13

43

23

14

42

33

34

7

2

3

44

24

15

5

4

35

22

6

45 16

26

25

13

4

36 12

8

17

6 7

27

18

9

37

Introducción de los Datos al Programa de Excel. 3-D ANALYSIS USING HEXAHEDRAL ELEMENT Problema 9.1 NN

NE

NM

NDIM

NEN

NDN

45

16

1

3

8

3

ND

NL

NMPC

27

1

0

Node#

X

Y

Z

1

2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0 2.5 1.25 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 20 20 20 20 20 20 20 20 20

0 0 0 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.8 0 0 0 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.8 0 0 0 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.8 0 0 0 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.8 0 0 0 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.8

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

50

Solve Problem

Elem#

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

1

1 2 4 5 10 11 13 14 19 20 22 23 28 29 31 32

2 3 5 6 11 12 14 15 20 21 23 24 29 30 32 33

5 6 8 9 14 15 17 18 23 24 26 27 32 33 35 36

4 5 7 8 13 14 16 17 22 23 25 26 31 32 34 35

10 11 13 14 19 20 22 23 28 29 31 32 37 38 40 41

11 12 14 15 20 21 23 24 29 30 32 33 38 39 41 42

14 15 17 18 23 24 26 27 32 33 35 36 41 42 44 45

13 14 16 17 22 23 25 26 31 32 34 35 40 41 43 44

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 DOF# Displ. 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0 25 0 26 0 27 0 DOF# Load 135 -600 MAT# E 1 3.00E+07 B1 i B2

Nu Alpha 0.3 0.00E+00 j B3

(Multi-point constr.

51

B1*Qi+B2*Qj=B3)

MAT# Temp_Ch 1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Resultado y salida del Programa. Program HexaFront - 3D Stress Analysis Problema 9.1 Node# X-Displ 1 3.23769E-18 2 1.70899E-18 3 -2.69157E-18 4 -1.97772E-21 5 2.82536E-21 6 -9.20791E-22 7 -3.23967E-18 8 -1.70634E-18 9 2.69097E-18 10 0.000244417 11 0.000224144 12 0.000201422 13 -5.62834E-08 14 -8.83376E-08 15 -4.58674E-08 16 -0.000244547 17 -0.000224306 18 -0.000201469 19 0.000565888 20 0.000556417 21 0.000547391 22 1.77299E-08 23 1.15595E-07 24 -7.37327E-08 25 -0.000565773 26 -0.000556244 27 -0.000547734 28 0.000901515 29 0.00089374 30 0.000886391 31 -5.94528E-07 32 -8.98128E-07 33 -1.7913E-07 34 -0.000903014 35 -0.000895305 36 -0.00088597 37 0.001219114 38 0.001228663 39 0.001236226 40 1.71891E-06 41 2.86993E-06 42 4.47276E-07 43 -0.001214531 44 -0.001223849 45 -0.00123832

Y-Displ -3.02215E-17 -7.69558E-17 -4.63098E-17 2.88887E-21 -4.9961E-21 1.05373E-20 3.02248E-17 7.69484E-17 4.63055E-17 -0.000337116 -0.000404775 -0.000471721 -2.98499E-08 2.08472E-08 -1.09362E-07 0.000337061 0.000404807 0.000471559 -0.000627876 -0.000696095 -0.000764634 8.7559E-08 -8.29339E-08 2.81675E-07 0.00062804 0.00069595 0.000765056 -0.00080246 -0.000870354 -0.000940256 -1.35065E-07 3.21194E-08 -9.4899E-07 0.000802206 0.000870401 0.00093853 -0.000860979 -0.000926431 -0.000996095 -1.44323E-07 1.00479E-06 2.77335E-06 0.000860717 0.000928296 0.001002418

52

Z-Displ -5.72264E-18 -1.4515E-17 -8.69791E-18 1.23326E-17 2.57995E-17 1.36344E-17 -5.71973E-18 -1.45081E-17 -8.74232E-18 -0.001948967 -0.002678574 -0.003341571 -0.001943166 -0.002671981 -0.003334118 -0.001948958 -0.002678622 -0.003341385 -0.007922461 -0.009676911 -0.011403415 -0.007919416 -0.009674024 -0.011400964 -0.007922522 -0.009676711 -0.011404222 -0.016793115 -0.019599593 -0.022376358 -0.01679167 -0.019598318 -0.022374007 -0.016792841 -0.019600341 -0.022373131 -0.027134621 -0.03095386 -0.034824875 -0.02713358 -0.030952162 -0.034827064 -0.027135626 -0.030951235 -0.034837486

Salidas de los esfuerzos de VonMises. VonMises Stresses in Elements Elem# 1 4970.337965 6211.348227 Elem# 2 7076.639707 8191.116392 Elem# 3 4700.950893 5967.784701 Elem# 4 6841.979062 7961.679047 Elem# 5 4727.485009 5095.721491 Elem# 6 5411.846253 5887.927706 Elem# 7 4195.588851 4598.501303 Elem# 8 4940.502851 5450.412456 Elem# 9 3180.95233 3547.863026 Elem# 10 3823.542822 4197.252138 Elem# 11 2489.120706 2943.485494 Elem# 12 3265.483566 3691.620482 Elem# 13 2037.107025 2236.630068 Elem# 14 2467.603792 2832.276245 Elem# 15 925.5979797 1262.662865 Elem# 16 1574.579793 2087.552385 DOF# Reaction

vonMises Stresses 5967.626301 vonMises Stresses 7962.355737 vonMises Stresses 6211.713152 vonMises Stresses 8189.954399 vonMises Stresses 4598.755483 vonMises Stresses 5450.124574 vonMises Stresses 5094.684556 vonMises Stresses 5890.07386 vonMises Stresses 2942.593277 vonMises Stresses 3691.478397 vonMises Stresses 3551.529967 vonMises Stresses 4190.478957 vonMises Stresses 1268.585774 vonMises Stresses 2091.966584 vonMises Stresses 2222.137094 vonMises Stresses 2848.172735

at 8 Integration Points 4700.932503 at 8 Integration Points 6842.033141 at 8 Integration Points 4970.435169 at 8 Integration Points 7076.610567 at 8 Integration Points 4195.588261 at 8 Integration Points 4940.726851 at 8 Integration Points 4727.309792 at 8 Integration Points 5411.266546 at 8 Integration Points 2488.737371 at 8 Integration Points 3264.100961 at 8 Integration Points 3182.575068 at 8 Integration Points 3826.563262 at 8 Integration Points 930.7071138 at 8 Integration Points 1585.715927 at 8 Integration Points 2026.093819 at 8 Integration Points 2448.000559

DOF# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

5840.559357

5738.483227

5366.319695

5505.836342

5720.820402

5749.995727

5314.782998

5320.713188

5505.99228

5366.313954

5738.797638

5840.900353

5320.73618

5315.774176

5750.312925

5720.801494

4838.956702

4494.504433

3926.190146

4325.151771

4225.971067

3845.811801

3136.738918

3605.820388

4324.530354

3925.536862

4492.303962

4837.363167

3606.25313

3136.50091

3848.906668

4227.156163

3330.446927

2979.558646

2224.969713

2677.406364

2773.903525

2509.735949

1509.53679

1921.923773

2679.227058

2228.542488

2987.208125

3335.212568

1918.399868

1499.099229

2488.998325

2768.16919

2071.32774

1958.965073

723.9147916

1041.407368

2002.694315

2009.979456

652.6989245

691.5252999

1046.717405

717.3182526

1957.23519

2075.706547

706.944742

781.6598308

2131.482307

2055.058005

Reaction -316.4220407 2953.569848 559.2779032 -167.0208061 7520.946654 1418.563725 263.0494876 4525.895439 850.0536206 0.193284229 -0.282331284 -1205.270455 -0.276124763 0.48827286 -2521.402778 0.089989632 -1.029822976 -1332.496424 316.6156623 -2953.889683 558.9932557 166.76157 -7520.230595 1417.887108 -262.9910222 -4525.467782 854.3940451

53

Los cálculos solicitados son las deflexiones y nuestros puntos de análisis serian del Nodos 37 al Nodo 45. A continuación se presentara una tabla de los resultados de salida del Programa del Problema realizado en clase con 4 elementos y el corrido con 16 elementos y se observara como varían los datos. Aquí se presentan los datos en los nodos según la discretización para Salida en 4 elementos. Node#

X-Displ Y-Displ Z-Displ Observación 0.00123 -0.00085 -0.02684 Desplazamientos obtenidos en la Parte inferior del elemento 18 0.001226 -0.00099 -0.03452 19 -0.00122 0.000992 -0.03453 Desplazamientos obtenidos en la Parte Superior del elemento 20 -0.00122 0.00085 -0.02683 17

Aquí se presentan los datos en los nodos según la discretización para Salida en 16 elementos Node# 37 38 39 40 41 42 43 44 45

X-Displ 0.001219114 0.001228663 0.001236226 1.71891E-06 2.86993E-06 4.47276E-07 -0.001214531 -0.001223849 -0.00123832

Y-Displ -0.000860979 -0.000926431 -0.000996095 -1.44323E-07 1.00479E-06 2.77335E-06 0.000860717 0.000928296 0.001002418

54

Z-Displ -0.027134621 -0.03095386 -0.034824875 -0.02713358 -0.030952162 -0.034827064 -0.027135626 -0.030951235 -0.034837486

Observación Desplazamientos obtenidos en la Parte inferior del elemento Desplazamiento obtenido en la parte media. Desplazamientos obtenidos en la Parte Superior del elemento