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METODO DE LAS DEFORMACIONES ANGULARES 1. DEFINICION: Es un metodo utilizado para la resolucion de estructuras hiperestaticas continuas y aporticadas, considerando como incognitas basicas los giros y desplazamientos en los nudos. Este metodo permite conocer los momentos en los extremos de las barras que conforman una estructura mediante la solucion de un sistema de ecuaciones dque tiene en cuenta los desplazamientos y las rotaciones en los nodos. Tambien es importante tener n cuenta que este metodo solo es aplicable a estructuras con nodos rigidos como es el caso de las vigas continuas y porticos rigidos, ya que se considera el efecto de deformaciones por carga axial que son las que se producen en las cerchas.

2. ETAPAS DEL METODO: 2.1. Identificar los grados de libertad de la estructura, que se definen como los giros ( ) o desplazamientos (△) a nivel de nudos que pueden producirse. Cuando se carga una estructura, algunos puntos específicos de ella, sufrirán desplazamientos. A esos se les llama grados de libertad. 2.2. Una vez definidos los grados de libertad, que serán las variables incógnitas del problema, se plantean los momentos de extremo para cada elemento de la estructura, usando las formulas. 2.3. Una vez que se han planteado los momentos de extremo para cada elemento de la estructura, se plantean las ecuaciones de:

 Equilibrio rotacional en cada nudo de la estructura.  Condiciones de borde, en caso de extremos rotulados.  Equilibrio horizontal o vertical, en el caso que la estructura tenga desplazamientos laterales. Esto genera un sistema lineal de ecuaciones. Resolviendo se obtienen los valores de los giros y desplazamientos de los nudos.

2.4. Finalmente, se evalúan los momentos de extremo, lo cual permite calcular las reacciones de la estructura. EJERCICIOS 1. Aplicando el método de la deformación angular obtener el diagrama de momentos flectores y dibujar aproximadamente la deformada de la estructura de la figura, donde P= 30 KN, q= 30 KN/m, L= 4m, h= 3m y a=2m. El módulo de elasticidad del material es E= 210 GPa y el momento de inercia para todas las barras Iz = 2x104 cm4.

SOLUCION: El grado de desplazamiento de la estructura es m= 2x8-8-6= 2, son necesarios como mínimo dos apoyos deslizantes para inmovilizar todos los nudos:

La barra en voladizo de longitud a= 2m en cuyo extremo esta aplicada la carga puntual P es isostática. Sustituyendo la barra y el efecto de la carga P por un momento de sentido horario aplicado en F de valor M= P. a :

Quitando el apoyo del nudo B y el desplazamiento una cantidad △1 hacia la derecha y el resto de los nudos de la estructura quedarian situados de la siguiente manera:

Quitando el apoyo del nudo C y desplazándolo a una cantidad △2 hacia la derecha, el resto de los nudos de la estructura quedarían situados esta vez de la siguiente manera:

Reemplazando los desplazamientos transversales de todas las barras en las ecuaciones de momentos:

 Calculando los momentos de empotramiento de la barra 4 la cual soporta una carga:

 La estructura está formada por 8 barras, así que tendrá 16 ecuaciones de momentos (dos por cada barra):

 Sabiendo que E= 210 X 10 9 Pa; I= 2 x 10-4 m. como la estructura consta de 8 nudos se planteara 8 ecuaciones de equilibrio teniendo en cuenta el empotramiento de dicha condición la cual se sustituye por la condición de giro nulo:

Para obtener las dos ecuaciones restantes realizamos dos cortes horizontales a la estructura:

 Para reducir los cortantes de las barras se considerar el equilibrio de las mismas considerando la influencia tanto de las cargas exteriores aplicadas como en el caso de la barra 4, como de los momentos en sus extremos: BARRA 4:

1) Cortante por momentos (horario):

2) Cortante por cargas (horario):

BARRA 5: 1) Cortante por momentos (horario):

La primera ecuacion de corte queda por tanto :

 El segundo corte a la estructura y la escuacion de equilibrio son los siguientes:

 Con la ecuacion obtenida se completa el sistema de ecuaciones linales que permite resolver el problema. En este caso se tienen 10 ecuaciones con 10 incognitas, 8 angulos girados y 2 desplazamientos. Resolviendo dicho sistema se obtiene el valor de las 10 incognitas, y sustituyendo estos valores en las ecuaciones del metodo se obtiene los momentos en los extremos de las barras:

 Los momentos positivos seran antihorarios y los angulos positivos tambien, en cuanto a los dos desplazamientos han sido planteados hacia la derecha por lo que al salir positivos seran en realidad hacia la derecha.  Los diagramas de momentos de cada barra se deben superponer los debidos a las cargas aplicadas en ella los originados por los momentos hiperestaticos en los extremos, la unica barra aplicada entre sus nudos extremos es la barra 4 y su diagrama de momento sera:

 Para las restantes barras que no tienen ninguna carga aplicada entre sus nudos solo hay que situar los momentos resultantes en sus extremos orientados según su sentido horario o antihorario. Para la barra 1 se obtendrá:

 Haciendo lo mismo para las barras restantes se obtiene el digrama de momentos para toda la estructura: