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• Brayan Levizaca Maldonado

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UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II DOCENTE: ING. OSCAR VELAZQUE ROJAS SEMESTRE 2020-I

MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN EN VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

PRINCIPIOS DE LA SUPERPOSICIÓN: ES VÁLIDO EN LAS SIGUIENTES CONDICIONES: 1.- EL MATERIAL DE LA VIGA CUMPLA CON LA LEY DE HOOKE. 2.- LAS DEFLEXIONES Y GIROS EN CUALQUIER PUNTO DE LA VIGA SEAN PEQUEÑAS. 3.- QUE LAS DEFLEXIONES EN CUALQUIER PUNTO DE LA VIGA NO ALTEREN LAS CARGAS A LAS QUE ESTAN APLICADAS.

APLICACIÓN DE LA SUPERPOSICIÓN EN VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • Sirve para determinar las reacciones en los apoyos de una viga estáticamente indeterminada. • Es aplicable el método cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas. • Pasos a seguir: • Se escoge una de las reacciones redundante y se elimina o modifica el apoyo correspondiente. • La reacción redundante se trata como una carga desconocida que, junta con las otras, debe producir deformaciones compatibles con los apoyos originales. • La pendiente o la deflexión donde el apoyo se ha modificado o eliminado se obtiene calculando separadamente las deformaciones causadas por las cargas dadas y la reacción redundante, y superponiendo los resultados obtenidos. • Una vez calculadas las reacciones en los apoyos, pueden determinarse la pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga.

METODO DE SUPERPOSICIÓN • EJEMPLO: 1. Para la viga y cargas mostradas en la figura, determine:

a)

La reacción de cada apoyo.

b)

la pendiente en el extremo “A”

SOLUCION: Principio de superposición

= +

SOLUCION: Principio de superposición

=

+

=

+

APÉNDICE “D” (TABLA DE DEFLEXIONES)

I: CARGA DISTRIBUIDA:

II: CARGA POR LA REACCIÓN REDUNDANTE

𝑤 𝑦=− 𝑥 4 − 2𝐿𝑥 3 + 𝐿3 𝑥 24 𝐸𝐼 para un 𝒙 =

𝑦𝐵

𝟐𝑳 𝟑

Reemplazando valores se tiene:

𝑤 =− 24 𝐸𝐼

𝑦𝐵

2𝐿 4 2𝐿 3 3 2𝐿 ( ) −2𝐿( ) +𝐿 (( ) 3 3 3

𝑤𝐿4 = −0.01132 𝐸𝐼

𝑃𝑎2 𝑏 2 𝑦=− 3𝐸𝐼𝐿

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 =

2𝐿 3

𝑦 𝑏=

𝐿 3

2𝐿 𝐿 𝑃( )2 ( )2 3 3 𝑦𝐵 = − 3𝐸𝐼𝐿

𝑅𝐵 𝐿3 𝑦𝐵 = 0.01646 𝐸𝐼

𝑃 = +𝑅𝐵

a) Cálculo de reacciones en los apoyos Por condiciones de frontera.

𝑦𝐵 = 0

𝑹𝑪

𝑹𝑨

𝑦𝐵 = 𝑦𝐵 carga distribuida + 𝑦𝐵 reacción redundante Reemplazando valores se tiene:

0 = −0.01132

𝑤𝐿4

𝐸𝐼

+0.01646

𝐿3

𝑅𝐵 𝐸𝐼

෍𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 + 𝑅𝑏 =wL 𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 = wL-0.0688wL 𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 = 0.312wL

𝑅𝐵 = 0.688 𝑤𝐿

෍𝑀𝑎 = 0 𝐿 2𝐿 −𝑤𝐿 + 0.688𝑤𝐿 + 𝑅𝑐(𝐿) = 0 2 3 𝑅𝑐 = 0.0413 wL

𝑅𝑎 = 0.271wL

b) Cálculo de la pendiente en el extremo “A” 𝐷𝑒𝑙 𝑎𝑝é𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐷 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒊𝒅𝒂 𝑤𝐿3 𝜃𝐴 = − 24𝐸𝐼

𝑤𝐿3 𝜃𝐴 = −0.04167 𝐸𝐼 𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒓𝒆𝒅𝒖𝒏𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 P= - 𝑅𝐵 = −0.688𝑤𝐿 𝑃𝑏(𝐿2 − 𝑏 2 ) 𝜃𝐴 = − 6𝐸𝐼

𝑏=

𝐿 3

𝑃𝑏(𝐿2 − 𝑏 2 ) 𝜃𝐴 = − 6𝐸𝐼

𝑏=

𝐿 3

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 P= - 𝑅𝐵 = −0.688𝑤𝐿

Reemplazando valores se tiene:

𝜃𝐴 = +

𝜃𝐴 =

𝐿 0.688𝑤𝐿(𝐿2 − (3)2 )

6𝐸𝐼

𝑤𝐿3 0.03398 𝐸𝐼

𝜃𝐴 = 𝜃𝐴 carga distribuida + 𝜃𝐴 reacción redundante

𝜃𝐴 =

𝑤𝐿3 −0.04167 𝐸𝐼 +

𝑤𝐿3 0.03398 𝐸𝐼

𝑤𝐿3 𝜃𝐴 = 0.00769 𝐸𝐼