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• Giancarlo Mendoza Yamunaque

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INGENIERÍA CIVIL 20 N

2m

40 N/m

3m

4m

RESISTENCIA DE MATERIALES

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN INTEGRANTES: SÁNCHEZ VALLADARES, JORGE ORLANDO MENDOZA YAMUNAQUÉ, GIANCARLO DIOSES FLORES, DIANA DOCENTE: LIC. ANDRÉS CASTILLO SILVA Piura, 08 de Junio del 2016

RESISTENCIA DE MATERIALES

INTRODUCCION

El método de superposición usa una teoría de la elasticidad lineal. El método consiste en descomponer el problema inicial de cálculo de vigas en problemas o casos más simples, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas y fórmulas de pendientes y deformaciones en vigas al descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada sumando resultados de estas tablas y fórmulas.

RESISTENCIA DE MATERIALES

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, a menudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la deflexión causada por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se obtienes aplicando el principio de superposición y sumando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a las diversas cargas. Las condiciones para poder aplicar este método son:  La ley de Hooke es válida para este material  Las deflexiones y pendientes son pequeñas  Cada carga aislada no alterar o producir un cambio en la forma inicial de la viga o cambiar su longitud.

RESISTENCIA DE MATERIALES

TABLAS DE DEFLEXIONES DE VIGAS (Fuente: Mecanica de Materiales - James Monroe Gere) El método de superposición es útil sólo cuando se dispone de fórmulas para deflexiones y pendientes. Con esta tabla y utilizando el método de superposición podemos obtener deflexiones y ángulos de rotación para muchas condiciones de carga distintas.

DEFLEXIONES Y PENDIENTES EN VIGAS SIMPLES VIGA

FORMULAS

v =deflexion en la direccion y ( positiva haciaarriba)

y A

B

'

x

v =dv /dx= pendiente en lacurva de deflexión δ c =−v ( L /2 ) =deflexion en el puntomedio C de la viga ( positivahacia abajo )

L

CAS O N°

x 1=Distancia del apoyo A al punto de deflexion máxima δ máx=−v máx=deflexionmaxima ( positivahacia abajo) θ A =−v ' ( 0 )=angulo de rotacion en el extremoizquierdo de la viga

q A

B

( positivoen el sentido de las manecillas del reloj)

θB =−v ' ( L ) =angulode rotacionen el extremo derecho de la viga ( positivoen l sentido de las manecillas del reloj) A

−qx 3 v= (L −2 L x 2+ x3 ) 24 EI A

−q v '= (L3−6 L x 2 + 4 x3 ) 24 EI 1

A

4

δ c =δ máx=

5q L 384 EI

A

3

θ A =θB = A

qL 24 EI

RESISTENCIA DE MATERIALES

v=

−qx ( 9 L3−24 L x 2 +16 x3 ) ; 0 ≤ x ≤ L 384 EI 2

(

)

A

−q L v '= (9 L3−72 L x 2+ 64 x 3); 0 ≤ x ≤ 384 EI 2

(

)

A

v= q A

−ql L ( 8 L3 −24 L x 2 +17 L2 x−L3 ) ; ≤ x ≤ L 384 EI 2

(

)

A

B

−qL L v '= (24 x 2−48 Lx +17 L2); ≤ x ≤ L 384 EI 2

(

2

)

5 q L4 δ c= 768 EI A

3 q L3 θA= 128 EI A

θB =

v=

7 q L3 384 EI

−qx (a4 −4 aL3+ 4 a 2 L2 +2 a2 x 2−4 aL x 2+ L x 3); ( 0 ≤ x ≤ a ) 24 LEI A

−q v '= (a4 −4 aL3+ 4 a2 L2 +6 a2 x 2−12 aL x 2 +4 L x 3); ( 0 ≤ x ≤ a ) 24 LEI A

q A 3

B

−ql v= (−a 2+ 4 L2 x + a2 x−6 L x 2+2 x 3); ( a ≤ x ≤ L ) 24 LEI A

−qL 2 2 2 v '= (4 L +a −12 Lx +6 x ) ; ( a ≤ x ≤ L ) 24 LEI A

2

θA=

qa (2 L−a)2 24 LEI A

q a2 θB = (2 L2 −a2 ) 24 LEI

RESISTENCIA DE MATERIALES A

−Px L v= (3 L2 −4 x 2 ); 0 ≤ x ≤ 48 EI 2

(

)

A

P A

B

4

−P L v '= (L2−4 x 2) ; 0 ≤ x ≤ 16 EI 2

(

)

A

3

δ c =δ máx=

PL 48 EI

A

2

θ A =θB =

PL 16 EI

AA

−Pbx 2 2 2 v= (L −b −x ); ( 0 ≤ x ≤a ) 6 LEI A

−Pb 2 2 2 v '= (L −b −3 x ) ; ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 LEI A

Pab( L+b) θA= 6 LEI A

Pab( L+ a) θB = 6 LEI

P

A

A

B

5

2

2

Pb(3 L −4 b ) Si a ≥ b ; δ c = 48 EI A

b

Pa(3 L2−4 a2 ) Si a ≤ b ; δ c = 48 EI A

Si a ≥ b ; x1=

√

L2−b 2 3

A A

L ( ¿ ¿ 2−b2 )3/ 2 Pb 9 √3 LEI δ máx =¿

RESISTENCIA DE MATERIALES

v=

−Px 2 2 (3 aL−3 a −x ) ; ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EI A

−P v '= (aL−a2−x 2 ); ( 0 ≤ x ≤ a ) 2 EI P A

A

P B

−Pa v= (3 Lx−3 x 2−a 2) ; ( a ≤ x ≤ L−a ) 6 EI A

6

−Pa v '= ( L−a); ( a ≤ x ≤ L−a ) 2 EI δ C =δ máx=

Pa (3 L2−4 a 2) 24 EI Pa( L−a) 2 EI

θ A =θB =

AA AA

v=

−M 0 x (2 L2 −3 Lx + x 2) 6 LEI

v '=

−M 0 (2 L2−6 Lx +3 x2 ) 6 LEI A

2

M L δ C= 0 16 EI A

7

A

B

θA=

M0 L 3 EI A

θB =

M0 L 6 EI

AA

3 x 1=L(1− √ ) 3 AA

M 0 L2 δ máx= 9 √ 3 EI

RESISTENCIA DE MATERIALES

A

B

v=

−M 0 x 2 (L −4 x 2 ) 24 LEI

v '=

−M 0 (L2 −12 x 2) 24 LEI A

δ C =0

8

A

θA=

M0L 24 EI A

−M 0 L θB = 24 EI AA

v=

−M 0 x ( 6 aL−3 a2 −2 L2−x 2 ) ; ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 LEI

v '=

−M 0 (6 aL−3 a2−2 L2−3 x 2) ; ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 LEI A

A

B

−M 0 ab En x=a ; v= ( 2 a−L ) 3 LEI

9

En x=a ; v '=

−M 0 ab ( 3 aL−3 a2−L2 ) 3 LEI A

M0 θA= ( 6 aL−3 a2 −2 L2 ) 6 LEI A

M0 θB = (3 a2−L2 ) 6 LEI AA

v=

10

A

B

−M 0 x ( L−x) 2 EI

v '=

−M 0 ( L−2 x ) 2 EI A

M 0 L2 δ C =δ máx= 8 EI A

RESISTENCIA DE MATERIALES

θ A =θB =

M0 L 2 EI

A

v=

−q 0 x (7 L4 −10 L2 x 2+ 3 x 4 ) 960 LEI A

−q0 v '= (7 L4 −30 L2 x 2+15 x 4 ) 360 LEI A

5 q0 L 4 δ c= 768 EI A

11

3

A

θA=

B

7 q0 L 360 EI

θB =

q0 L3 45 EI

x 1=0.5193 L AA

δ máx=0.00652

v=

q0 L 4 EI

−q 0 x L (5 L2−4 x 2)2 ; 0 ≤ x ≤ 960 LEI 2

(

)

A

12

A

B

−q 0 L v '= (5 L2−4 x 2 )( L2−4 x 2 ); 0 ≤ x ≤ 192 LEI 2

(

A

q0 L 4 δ c =δ máx= 120 EI A

θ A =θB =

5 q 0 L3 192 EI

)

RESISTENCIA DE MATERIALES

v=

−q 0 L 4

π EI

4

sen

πx L

A

−q L3 πx v ' = 3 0 cos L π EI 13

A

B

A

δ c =δ máx=

q0 L

4

4

π EI

A

q0 L3 θ A =θB = 3 π EI

RESISTENCIA DE MATERIALES

DEFLEXIONES Y PENDIENTES DE VIGAS EN VOLADIZO

CA SO N°

v =deflexiónen la dirección y ( positiva hacia arriba ) v'=

dv pendiente de la curva de deflexión dx

δ B=−v ( L )=deflexiónen el extremo B de la viga ( positivahacia aba θB =−v ' ( L ) ¿ ángulo de rotaciónen el extremo B de la viga

( positivo en el sentido de las manecillas del reloj ) EI =constante 1

q

v=

q x2 (6 L2−4 Lx + x 2) 24 EI

q L3 qx δ B= v '= (3 L2−3 Lx + x 2) 8 EI 6 EI 3

θB = 2

q

v=

−q x 2 (6 a2−4 ax + x 2) 24 EI

v '= a

b

qL 6 EI (0 ≤ x ≤ a)

−q x 2 (6 a2−4 ax + x 2) 24 EI

(0 ≤ x ≤ a)

3

v=

3

−q a (4 x−a) 24 EI

v '=

(a ≤ x ≤ L) 4

En x=a :v= 3

δ B=

3

−q a −q a v '= 8 EI 6 EI 3

qa ( qa 4 L−a ) θ B= 24 EI 6 EI

−q a 6 EI

RESISTENCIA DE MATERIALES 3

−qb x 2 v= (3 L+3 a−2 x ) 12 EI q

v '= v=

b

a

(0 ≤ x ≤ a)

−qbx ( L+ a−x ) 2 EI

(0 ≤ x ≤ a)

−q (x 4−4 L x 3 +6 L2 x 2−4 a 3 x +a 4) 24 EI

(a ≤ x ≤ L) v '=

−q 3 (x −3 L x 2+3 L2 x−a3 ) 6 EI

(a ≤ x ≤ L) En x=a :v= δ B= 4

P

v=

−q a2 b ( −qabL 3 L+ a ) v ' = 12 EI 2 EI

q ( 3 L4 −4 a3 L+a 4 ) θ B= q ( L3−a 3) 24 EI 6 EI

−P x 2 ( −Px ( 3 L−x ) v ' = 2 L−x ) 6 EI 2 EI

P L3 P L2 δ B= θ = 3 EI B 2 EI 5 P

v=

−P x 2 ( −Px ( 3 L−x ) ; v ' = 2 a−x ) ; ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EI 6 EI

v=

−P a2 ( −P a2 3 x−a ) ; v' = ;( a ≤ x ≤ L) 6 EI 2 EI 3

a

En x=a :v=

b

2

−P a ' −P a v= 3 EI 2 EI

2

δ B= 6 MO

2

Pa ( Pa 3 L−a ) θ B= 6 EI 2 EI v=

−M 0 L2 −M 0 x v '= 2 EI EI

δ B=

M 0 L2 M L θ B= 0 2 EI EI

RESISTENCIA DE MATERIALES 7

−M 0 x 2 ' −M 0 x v= ;v = ; ( 0 ≤ x ≤ a) 2 EI EI

MO

a

v=

b

−M 0 a −M 0 a ( 2 x−a ) ; v ' = ; ( a ≤ x ≤ L) 2 EI EI

−M 0 a 2 ' −M 0 a En x=a :v= ;v = 2 EI EI δ B= 8

qo

9

v=

qo

M 0 L2 M a (2 L−a) θB = 0 2 EI EI

−q0 x 2 ( 10 L3 −10 L2 x+5 L x 2−x 3 ) 120 LEI

v '=

−q0 x ( 4 L3−6 L2 x+ 4 L x 2−x3 ) 24 LEI

δ B=

q0 L4 q L3 θB= 0 30 EI 24 EI

v=

−q0 x 2 ( 20 L3 −10 L2 x+ x3 ) 120 LEI

v '=

−q0 x (8 L3 −6 L2 x + x 3) 24 LEI

δ B=

11 q 0 L q L θB = 0 120 EI 8 EI

4

3

10

−q0 L

πx 48 L cos −48 L +3 π L x −π x ) ( 2L 3 π EI −q L πx v= 2 π Lx−π x −8 L sin ( 2L ) π EI v=

3

3

3

4

'

0

2

2

2

2

3

4

δ B=

CARGAS DISTRIBUIDAS

3

2 q0 L q L (π 3−24) θ B= 03 (π 2−8) 4 3 π EI π EI

2

3

3

RESISTENCIA DE MATERIALES

En ocasiones encontramos una carga distribuida que no está incluida en una tabla de deflexiones de vigas y en estos casos un método de superposición aún resulta útil. Podemos considerar un elemento de la carga distribuida como si fuera una carga concentrada y luego podemos encontrar la deflexión requerida mediante integración en toda la región de la viga donde se aplica la carga. Para ilustrar este proceso de integración, considere una viga simple ACB con una carga triangular que actúa sobre la mitad izquierda.

C

A

Queremos obtener la deflexión θA

δC

B

en el punto medio C y el ángulo de rotación

en el apoyo izquierdo. A

C

Comencemos por visualizar un elemento

B

qdx

de la carga distribuida como una

carga concentrada. Observe que la carga actúa a la izquierda del centro del claro de la viga.

A

C

B

La deflexión en el centro debida a esta carga concentrada se obtiene del caso 7 de la tabla mencionada anteriormente. La fórmula que se da allí para la deflexión en el centro (para el caso en que a ≤ b) es

RESISTENCIA DE MATERIALES

Pa 2 2 (3 L −4 a ) 48 EI En nuestro ejemplo, sustituimos el valor de

P

con qdx

y

x

con a :

( qdx ) ( x ) (3 L2−4 x 2) 48 EI Esta expresión da la deflexión en el punto C debida al elemento q dx de la carga. Luego, observamos que la intensidad de la carga uniforme es: q=

2q 0 x L donde

q 0 es la intensidad máxima de la carga. Con esta sustitución para

q , la fórmula para la deflexión se convierte en:

q0 x2 2 2 (3 L −4 x )dx 24 LEI Por último, integramos sobre toda la región de la carga para obtener la deflexión δ C en el centro de la viga debida a toda la carga triangular: L /2

δ C= ∫ 0

δ C=

q0 x2 ( 3 L2−4 x 2 ) dx 24 LEI

q0 24 LEI

L/2

∫ ( 3 L2−4 x 2 ) x 2 dx 0

δ C=

q0 L 4 24 EI

De manera similar, podemos calcular el ángulo de rotación

θA

en el extremo

izquierdo de la viga. La expresión para este ángulo debido a una carga concentrada P es: Pab( L+b) 6 LEI

RESISTENCIA DE MATERIALES

Reemplazamos

P

con

2 q0 x dx / L ,

a

con

x

y

b

con

L−x , y

obtenemos: 2 2 q 0 x ( L−x )( L+ L−x ) 2

6 L EI

q0

dx

2

2

3 L EI

(L−x)(2 L−x ) x dx

Por último, integramos sobre toda la región de la carga: L/ 2

θ A =∫ 0

q0 2

3 L EI

( L−x )(2 L−x)x 2 dx

41 q 0 L3 θA= 2880 EI

Este es el ángulo de rotación producido por la carga triangular. Este ejemplo ilustra cómo podemos emplear la superposición y la integración para encontrar deflexiones y ángulos de rotación producidos por cargas distribuidas de casi cualquier tipo.

RESISTENCIA DE MATERIALES

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIO N° 01 Determine el desplazamiento en el punto C y la pendiente en el soporte A de la viga mostrada en la figura. EI es constante.

FUENTE: MECANICA DE LOS MATERIALES HIBBELER

SOLUCIÓN: La carga puede separarse en dos componentes como se muestra en las figuras El desplazamiento en C y la pendiente en A se encuentran mediante el uso de la tabla del informe para cada parte.

1.- PARA LA CARGA DISTRIBUIDA:

3

3 W L3 3 (2 KN /m)( 8 m) 24 KN . m2 = ( θ A 1) = 128 EI = 128 EI EI

4

( δ A 1 )=

5W L4 5(2 KN /m)(8 m) 53.33 KN .m3 = = 768 EI 768 EI EI

RESISTENCIA DE MATERIALES

2.- PARA LA FUERZA CONCENTRADA DE 8 KN:

P L2

( θ A 2) = 16 EI = PL

3

( δ A 2 )= 48 EI =

(8 KN /m)(8 m)2 32 KN . m2 = 16 EI EI 3

(8 KN / m)(8 m) 85.33 KN . m 3 = 48 EI EI

El desplazamiento en C y la pendiente en A son las sumas algebraicas de estas componentes. Por lo tanto:

θ A = ( θ A 1) + ( θ A 2 ) =

56 KN . m2 EI

δ A = ( δ A 1 ) + ( δ A 2 )=

139 KN . m3 EI

RESISTENCIA DE MATERIALES

Problema N° 02 (Fuente: Mecanica de los Materiales, Hibbeler) La viga simplemente apoyada es de acero y se somete a la carga mostrada en la −3 4 figura. Determine la deflexión en su centro. I =0.1457(10 ) m , E=200GPa 20 KN 4 KN/m CA

A

B

5m

5m

SOLUCION Analizaremos la deflexión de la viga analizando las cargas por separado para posteriormente superponerlas o sumarla las deflexiones. 20 KN 4 KN/m CA

A

5m

B

5m

20 KN 4 KN/m CA

A

5m

B

5m

CA

A

5m

B

5m

RESISTENCIA DE MATERIALES

Para I: δC =

5 w L4 768 EI

δC =

5( 4 ×103 N /m)104 m4 768 (200× 109 N /m2 )× 0.1457 ×10−3 m4

1

1

δ C =0.00894 m 1

Para II: 3

PL δC = 48 EI 2

N 20 ×103 ¿ ×10 ¿ 3 ¿3m ¿ δ C =¿ 2

δ C =0.0143 m 2

Entonces: δ C =δ C + δ C 1

2

δ C =0.00894+ 0.0143 δ C =0.0232 m≈ 23.2 mm

Ahora hallaremos las pendientes θ A y θB θA Para I:

RESISTENCIA DE MATERIALES 3

3w L θA = 128 EI 1

θA = 1

3 (4 × 103 N /m)10 3 m3 128( 200× 109 N /m2 )× 0.1457 ×10−3 m4

θ A =0.0032172m 1

Para II: θA = 2

P L2 16 EI

N 3 20 ×10 ¿ ×10 ¿ ¿ 2 m2 ¿ θ A =¿ 2

θ A =0.0042896 m 2

Entonces: θ A =θ A +θ A 1

2

θ A =0.0032172+0.0042896 θ A =0.0075068 ≈ 0 ° 25' 48.39 ' '

Ahora hallaremos las pendientes θ A y θB θB Para I:

RESISTENCIA DE MATERIALES 3

7wL θB = 384 EI 1

θB = 1

7( 4 ×103 N /m)103 m3 384 (200 ×10 9 N /m2)×0.1457 × 10−3 m4

θB =0.0025052 m 1

Para II: θB = 2

P L2 16 EI

N 3 20 ×10 ¿ ×10 ¿ ¿ 2 m2 ¿ θB =¿ 2

θ A =0.0042896 m 2

Entonces: θB =θ B + θB 1

2

θB =0.0025052+0.0042896 θB =0.0067946 ≈ 0 ° 23 ' 21.49 ' '

Problema N° 03 La viga empotrada en su extremo es de acero y se somete a las cargas mostradas en la figura. Determine la deflexión y giro de la viga. Considere I =0.1457(10−3 )m4 , E=200GPa 2KN

5KN

2KN

3KN.m

B

A 3m

2m

1m

1m

RESISTENCIA DE MATERIALES

SOLUCION Primeramente aplicaremos el Método de “Quita y Pon” con el fin de facilitar el Problema. Posteriormente analizaremos la deflexión de la viga analizando las cargas por separado para posteriormente superponerlas o sumarla las deflexiones. 1° Agregamos y quitamos cargas distribuidas 2KN

5KN

2KN

2

3KN.m

1

A

B

1

3m

2m

1m

2KN 3

A

4

θB =

wL wL δ = 6 EI 1 8 EI

θB =

(2 ×10 N ) 7 m B =0.00392m 1m 6(2002m ×109 N1m /m2)×0.1457 × 10−3 m4

1

3

3m

1

3

3

7m

(2 ×103 N /m) 74 m 4 δ 1= =0.02060m 8(200 ×109 N /m 2)×0.1457 ×10−3 m 4

1m2

RESISTENCIA DE MATERIALES

7KN 3

4

θB =

wL wL δ 2= 24 EI 30 EI

θB =

(2 ×10 N)7 m =0.00098 m 24 (200 ×10 9 N / m2) × 0.1457× 10−3 m4 B

2

A

3

2

3m

2m

3

3

1m

(2× 103 N / m) 74 m 4 δ 2= =0.00549 m 30 (200× 109 N /m 2)×0.1457 ×10−3 m4

2KN

w L2 w L2 θB = δ = (3 L−a) 2 EI 3 6 EI 3

A

(2× 103 N )62 mB3 θB = =0.00741 m 2(200× 109 N /m2)× 0.1457 ×10−3 m4 3

(2× 103 N /m)7 2 m4 ×(3 ×7−6) δ 3= 6m =0.00840 m 6(200 ×109 N /m 2) ×0.1457 × 10−3 m 4 1m

A

θB = 4

ML 3KN.m M L2 δ4= δ =5 θB B EI 2 EI 4 '

4

(3× 103 N . m)2 m θB = =0.00021 m (200 ×10 9 N /m2 )× 0.1457× 10−3 m4 4

5m

2m

RESISTENCIA DE MATERIALES 3

2

2

(3 ×10 N . m)2 m δ 4= =0.00021m 2(200 ×10 9 N /m2) ×0.1457 × 10−3 m4 δ4= '

θB = 5

5 ×(2 ×103 N )62 m 3 =0.03705 m 2(200× 109 N /m 2) ×0.1457 ×10−3 m 4

w L3 w L4 δ 5= δ =3 θB 6 EI 8 EI 5 '

5

( 5× 103 N )4 3 m3 θB = =0.00183 m 6(200 ×10 9 N /m2)×0.1457 × 10−3 m4 5

δ 5=

( 5× 103 N /m) 4 4 m 4 =0.00549m 8(200 ×109 N /m 2)×0.1457 × 10−3 m 4 δ 5=

A

'

5KN

4m

3m

θB =

w L3 w L4 δ6 = δ =3 θ B 24 EI 30 EI 6

θB =

( 4 ×103 N ) 43 m 3 =0.00037 m 24(200 ×10 9 N /m2 )× 0.1457 ×10−3 m 4 B

6

A

3×(5 ×10 3 N ) 43 m 3 =0.00549 m 6(200× 109 N /m2 )× 0.1457 ×10−3 m4 B

6

'

6

4m N / m) 4 m (4 ×10 4KN δ 6= =0.00117 m 30(200 ×109 N /m2)×0.1457 ×10−3 m4

3m

3

δ6 = '

4

4

3 ×(4 ×103 N) 4 3 m3 =0.00110 m 24 (200 ×109 N / m2) ×0.1457 ×10−3 m4

RESISTENCIA DE MATERIALES

Entonces:

Ahora hallaremos la pendiente o Giro de la viga. θB =θ B + θB + θB +θ B −θB −θ B 1

2

3

4

5

6

θB =0.00392 m+ 0.00098 m+0.00741 m+ 0.00021 m−0.00183 m−0.00037 m θB =0.01032m Rpta

Ahora hallaremos la flecha o deflexión de la viga. δ (¿ ¿ 4 +δ 4 )−( δ 5+ δ 5 )−(δ 6 +δ 6 ) δ total=δ 1+ δ 2 +δ 3 +¿ '

'

'

δ t=0.02060 m+0.00549 m+0.00840 m+ ( 0.00021m+0.03705 m )−( 0.00549 m+ 0.00549 m) −(0.00117 m+ 0 δ total=0.0585 m

Rpta

RESISTENCIA DE MATERIALES

CONCLUSIONES • Pudimos reconocer las condiciones que deben cumplir un ejercicio antes de resolverlo por el método de superposición • Pudimos identificar las formulas necesarias para estilizar con el metido de superposición dadas en tablas. • Con los pasos anteriores pudimos resolver el ejercicio atravesó del método de superposición.

RESISTENCIA DE MATERIALES

BIBLIOGRAFIA REFERENCIAS   

Russeell C. H. (2015). Mecánica de Materiales, Octava Edición. México: Ediciones Pearson Educación Andrew Pytel y Ferdinand L. Singer. Resistencia de materiales,Cuarta Ediccion Jammes M. Gere. Mecánica de materiales, Septima Edición. Mexico 2009. Ediciones OVA