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METODO DE HORNER El método de Horner también es llamo Algoritmo de Horner, sirve para evaluar de forma eficiente funciones polinómicas de una forma monomial. El algoritmo de Horner se usa a menudo para convertir entre distintos sistemas numéricos posicionales — en cuyo caso x es la base del sistema numérico, y los coeficientes ahí son los dígitos de la representación del número dado en la base x — y puede usarse también si x es una matriz, en cuyo caso la carga computacional se reduce aún más. El método de Horner no es el único que existe, también existe el método de Ruffini. Su diferencia en esta es que en el método de Horner se pueden resolver las divisiones de cualquier grado en el divisor, pero el método de Ruffini es aconsejable utilizarse solo para exponentes de grado 1. Consiste en calcular el cociente y el resto de la división de polinomios, operando únicamente con los coeficientes. Es un método general, se aplica para dividir polinomios de cualquier grado, pero se aconseja su uso cuando el divisor es mayor o igual que 2. La evaluación usando la forma monomial del polinomio de grado-n requiere al menos n sumas y (n2+n) /2 multiplicaciones, si las potencias se calculan mediante la repetición de multiplicaciones. El algoritmo de Horner sólo requiere n sumas y n multiplicaciones. (Minimizar el número de multiplicaciones es lo más deseable porque necesitan mucha carga computacional y son inestables comparadas con la suma).

Procedimiento:    

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Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente. Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha. Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo término del cociente. Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha. Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto. Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

Ejemplo Efectuar la división polinómica expresada por:

Solución: Los grados del cociente y residuo serán: q° = D° – d° = S – 2 = 3 r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1  Explicación Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el primer coeficiente del cociente 2 se multiplica por los términos del divisor, a los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como resultado: -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar hacia la derecha. Se suma a la segunda columna (correspondiente al dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor es el segundo coeficiente del cociente. 3, se multiplica por ( -1; – 3) y da la tercera fila: -3; – 9, corriendo un lugar hacia la derecha. Se suma la tercera columna, da – 4, se divide entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente del cociente. -1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila: +1; +3, corriendo un lugar a la derecha. Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da 2, este resultado es el cuarto coeficiente del cociente. 2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila: -2 y -6 como el último término de este producto queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se separa con una línea los términos obtenidos los cuales pertenecen al cociente. Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja directamente, y se bajan directamente y vienen a ser los coeficientes del resto. Entonces: Q(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 (cociente obtenido) R(x) = 4x – 4 (residuo obtenido)

2. Dividir: Solución: q° = D° – d° q° = 5 – 2 = 3 r° = d – 1 = 2 – 1 = 1 Q (x) = 2x3 – 6x2 – 7x + 8 (cociente obtenido) R (x) = 3x – 1 (residuo obtenido)

ejemplo 2:

MÉTODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) En 1949, Van Everdingen y Hurst5, presentaron un estudio clásico de análisis de pruebas de pozos, y desarrollaron una solución al problema pozo-yacimiento con efecto de llene, e introdujeron la primera Curva Tipo. Miller, Dyes y Hutchinson6, (MDH), presentaron en 1950, un método basado en soluciones presentadas por Van Everdingen y Hurst5, donde establecen que (pws) debía ser una función lineal del tiempo de cierre, log Δt. Presentaron gráficos para determinar presión estática del yacimiento bajo condiciones de límite exterior cerrado y a presión constante e investigaron y propusieron un método para analizar presiones para flujo multifásico. Horner7, en 1951 presentó un método para analizar pruebas de restauración de presión y determinó que un gráfico de la presión de fondo de cierre, pws, debía ser una función lineal del log (t+Δt)/Δt. Horner7 identifica fallas geológicas y presenta el primer método para determinar presión estática del yacimiento, usando información del “transient”. En 1953 Van Everdingen y Hurst8,9, introducen el efecto de daño (S). En 1955 Perrine10, presentó una revisión de los trabajos de Horner y MDH, y propuso un nuevo método para análisis de pruebas de presión para flujo multifásico. Más tarde Martin11 estableció las bases teóricas para este método. Matthew, Brons y Hazebroek12 (MBH) presentaron en 1954 un estudio donde utilizaron el principio de superposición en espacio, para determinar el comportamiento de presión de pozos localizados dentro de áreas de drenaje rectangular. Desarrollaron además un método para determinar presiones promedio de área de drenaje (p) el cual hace uso de información Transient de presión y de la presión extrapolada, (p*) de Horner. Este método es uno de los más utilizados actualmente para determinar presión promedia del yacimiento. Al-Hussainy, Ramey y Crawford13 introdujeron en 1966 el concepto de la función pseudos presión, m(p), para gases la introducción de esta función removió la suposición de que los gradientes de presión tenían que ser pequeños para obtener una ecuación de flujo de gas en yacimientos, definió condiciones de aplicabilidad de estudios presentados anteriormente y extendió la teoría de análisis de pruebas de presión de líquidos a gases utilizando la función m(p).

 Es uno de los primeros métodos de análisis de pruebas de presión formulados, juntamente al método de Horner  Fue el primer método de análisis del comportamiento de la presión que incluía los efectos de la compresibilidad  Fue presentado en 1950 por C.C. Miller, A.B. Dyes, y C.A. Hutchinson.  Consiste en graficar la Presión fluyente Vs. tiempo en horas en escala logarítmica. Este método considera la existencia de uno o varios pozos en un yacimiento finito

Se aplica a pozos que han alcanzado el estado semi estable durante la producción  Se aplica a tiempos muy grandes de producción en comparación al tiempo de la prueba  El pozo ya ha estado produciendo por bastante tiempo, no sería la primera prueba de presiones  Solo se analiza la parte correspondiente al estado semi estable o final del gráfico. Objetivos del método MDH         

Aumentar la productividad del pozo. Determinar parámetros que nos ayuden a entender la actualidad del reservorio. Efecto SKIN Permeabilidad P* (Presión inicial que va disminuyendo con el tiempo). Estimación del límite del reservorio. Estimación de la geometría del reservorio. Radio de investigación. Volumen de aporte.