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MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE. MÉTODO DE HORNER.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Noviembre de 2014.

Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

1.13.- RAICES DE POLINOMIOS. Una función de la forma P ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 donde las a i , llamadas los coeficientes de P son constantes y a n  0 , se llama un polinomio de grado n. La función cero, P ( x)  0 para todos los valores de x, se considera un polinomio pero no se le asigna ningún grado. Teorema. (Teorema fundamental del álgebra). Si P es un polinomio de grado n  1 , entonces P ( x)  0 tiene cuando menos una raíz (posiblemente compleja).

Corolario. Si P ( x)  an xn  an1xn1  ...  a1x  a0 es un polinomio de grado n  1 , entonces existen constantes únicas x1 , x 2 ,…, x k , posiblemente complejas, y enteros positivos, m1 , m2 ,…, k

mk tales que

m i 1

i

 n y P ( x)  an ( x  x1 ) m1 ( x  x2 ) m2 ...( x  xk ) mk .

El corolario afirma que los ceros de un polinomio son únicos y que si cada cero xi es contado tantas veces como su multiplicidad mi , entonces un polinomio de grado n tiene exactamente n ceros. El siguiente corolario del teorema fundamental del álgebra será usado frecuentemente en esta sección y en capítulos posteriores. Corolario. Sean P y Q polinomios a lo más de grado n. Si x1 , x 2 ,…, x k , k  n , son números distintos con P ( xi )  Q ( xi ) para i  1, 2, ..., k , entonces P ( x)  Q ( x) para todo valor de x. Para usar el procedimiento de Newton – Raphson para localizar aproximadamente los ceros de un polinomio P, es necesario evaluar a P y a su derivada en valores específicos. 1.14.- MÉTODO DE HORNER. Sea P ( x)  an x n  an1 x n1  a1 x  a0 y b0  a n Métodos numéricos.

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Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

Si bk  ak  bk 1 x0 para k  n  1, n  2,,1, 0 . entonces b0  P ( x0 ) . Además, si Q ( x)  bn x n1  bn1 x n2  b2 x  b0 entonces P ( x)  ( x  x0 ) Q( x)  b0 Cuando en el método de Horner, se hacen los cálculos a mano, se construye primero una tabla, que sugiere el nombre de “división sintética” con frecuencia aplicado a esta técnica. Ejemplo 1.22. Evaluar P ( x)  2 x 4  3 x 2  3 x  4 en x0  2 usando el método de Horner. Solución. Para la aplicación del método de Horner, el polinomio debe estar ordenado y completado. Observe que el término en x 3 no aparece en el polinomio. En este caso, se completa con

0 x 3 y por lo tanto P ( x)  2 x 4  0 x 3  3 x 2  3 x  4 . La tabla aparecería como: 2 -2 2

0 -4 -4

-3 8 5

3 -10 -7

-4 14 10

De esta manera P (2)  10 , y podemos escribir P ( x)  ( x  2) (2 x 3  4 x 2  5 x  7)  10 . Una ventaja adicional al usar el procedimiento de Horner (o división sintética) es que, como

P ( x)  ( x  x0 ) Q ( x)  b0 donde Q ( x)  bn x n1  bn1 x n2 ...  b2 x  b1 , diferenciando con respecto a x da

P( x)  Q ( x)  ( x  x0 ) Q( x) y P( x0 )  Q ( x0 ) Entonces, cuando se use el método de Newton – Raphson para encontrar un cero aproximado de un polinomio P, ambos, P y P´ pueden ser evaluados de esta manera. Ejemplo 1.23. Métodos numéricos.

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Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

Encontrar aproximaciones exactas a 10–4 de todos los ceros reales del polinomio

P ( x)  2 x 4  3 x 2  3 x  4 usando el método de Newton y

x0  2 como una

aproximación inicial. Solución. Se aplica el método de Newton – Raphson.

xi  xi 1 

P ( xi 1 ) P ( xi 1 )

Tanto P ( xi 1 ) como P( xi 1 ) se evalúan aplicando la división sintética. Primera iteración ( i  1 ).

x1  x0 

P ( x0 ) P ( x0 ) 2

-2 2 -2 2

x1  2 

0 -4 -4 -4 -8

-3 8 5 16 21

3 -10 -7 -42 -49

-4 14 10

10 (49)

x1  1.795918367 Error absoluto de aproximación.

   1.795918367  (2)   0.204081633 Puesto que el error no es menor a 10–4, se procede a realizar otra iteración. Segunda iteración ( i  2 ).

x 2  x1 

P ( x1 ) P ( x1 ) 2

-1.795918367 2 -1.795918367 Métodos numéricos.

0 -3.591836735 -3.591836735 -3.591836735

-3 6.450645564 3.450645564 12.901291129

3 -6.197077748 -3.197077748 -29.366743449

-4 5.741690650 1.741690650 4

Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

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x2  1.795918367 

-7.183673469

16.351936693

-32.563821197

1.741690650 (32.563821197)

x2  1.742432917 Error absoluto de aproximación.

   1.742432917  (1.795918367)   0.053485451 Puesto que el error no es menor a 10–4, se procede a realizar otra iteración. Tercera iteración ( i  3 ).

x3  x 2 

P ( x2 ) P ( x 2 ) 2

-1.742432917 2 -1.742432917 2

x3  1.74243297 

0 -3.484865834 -3.484865834 -3.484865834 -6.969731667

-3 6.072144939 3.072144939 12.144289878 15.216434816

3 -5.353006466 -2.353006466 -26.513616899 -28.866623366

-4 4.099955920 0.099955920

0.099955920 (28.866623366)

x3  1.738970235 Error absoluto de aproximación.

   1.738970235  (1.742432917)   0.003462681 Puesto que el error no es menor a 10–4, se procede a realizar otra iteración. Cuarta iteración ( i  4 ).

x 4  x3 

P ( x3 ) P ( x3 ) 2

-1.738970235 2 -1.738970235 Métodos numéricos.

0 -3.477940471 -3.477940471 -3.477940471

-3 6.048034959 3.048034959 12.096069918

3 -5.300442070 -2.300442070 -26.335147621

-4 4.000400287 0.000400287 5

Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

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x4  1.738970235 

-6.955880941

15.144104876

-28.635589690

0.000400287 (28.635589690)

x4  1.738956257 Error absoluto de aproximación.

   1.738956257  (1.738970235)   0.000013979 Puesto que el error es menor a 10–4, fin del procedimiento. Una solución de la ecuación 2 x 4  3 x 2  3 x  4  0 es x4  1.738956257 , obtenida aplicando el método de Newton – Raphson con una estimación inicial x0  2 y cuatro iteraciones. El error absoluto de aproximación es 0.000013979. De

esta

manera

obtenemos

el

polinomio

Q ( x)  2 x 3  3.477940471 x 2  3.048034959 x  2.300442070 , al cual también se le puede aplicar el método descrito con el fin de determinar otra de las raíces. A continuación se muestra el desarrollo del procedimiento. Primera iteración ( i  1 ).

x1  x0 

P ( x0 ) P ( x0 ) 2

-2 2 -2 2

x1  2 

-3.477940471 -4.000000000 -7.477940471 -4.000000000 -11.477940471

3.048034959 14.955880941 18.003915900 22.955880941 40.959796841

-2.300442070 -36.007831800 -38.308273870

 38.308273870 40.959796841

x1  1.064734769 Error absoluto de aproximación.

   1.064734769  (2) Métodos numéricos.

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Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

  0.935265231 Puesto que el error no es menor a 10–4, se procede a realizar otra iteración. Al final de la séptima iteración, obtenemos: 2 1.254917384 2 1.254917384 2

x7  1.254917384 

-3.477940471 2.509834767 -0.968105703 2.509834767 1.541729064

3.048034959 -1.214892676 1.833142282 1.934742604 3.767884886

-2.300442070 2.300442117 0.000000048

0.000000048 3.767884846

x7  1.254917371 Error absoluto de aproximación.

  1.254917371  1.254917384   0.000000013 A este nivel, Q ( x)  2 x 2  0.968105703 x  1.833142282  0 puede resolverse por la fórmula cuadrática para encontrar los dos últimos ceros aproximados de P. Los resultados que se obtienen son: x  0.242026426  0.926279845 i x  0.242026426  0.926279845 i

Las raíces exactas del polinomio P ( x)  2 x 4  3 x 2  3 x  4 son:

x  1.73895625645 x  1.25488188483 x  0.242037185809  0.92624548768 i x  0.242037185809  0.92624548768 i

Aún cuando este método puede ser usado para encontrar ceros aproximados de muchos polinomios, depende del uso repetido de aproximaciones y en ocasiones puede llevar a aproximaciones muy imprecisas. El procedimiento descrito arriba se llama deflación. La dificultad de precisión de la deflación se debe al hecho de que, cuando obtenemos los ceros aproximados de P, el Métodos numéricos.

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Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

procedimiento de Newton – Raphson se usa en el polinomio reducido Qk , o sea, el polinomio con la propiedad de que

P ( x)  ( x  xˆ1 ) ( x  xˆ 2 )( x  xˆ k ) Qk ( x) Un cero aproximado xˆ k de Qk generalmente no aproximará a una raíz de P ( x)  0 tan bien como a una raíz de Qk ( x)  0 . La imprecisión usualmente se incrementará conforme k crezca. Una manera de eliminar esta dificultad consiste en usar las ecuaciones reducidas, esto es, los factores aproximados del polinomio original P, para encontrar aproximaciones xˆ 2 , xˆ 3 , …, xˆ k a los ceros de P y luego mejorar estas aproximaciones aplicando el procedimiento de Newton – Raphson al polinomio original P. Ejercicios propuestos. 90. Encontrar aproximaciones exactas a 10–4 de todos los ceros reales de los siguientes polinomios usando el método de Newton y deflación. a) P ( x)  x 3  2 x 2  5

b) P ( x)  x 3  3 x 2  1

c) P ( x)  x 3  x 2  1

d) P ( x)  x 4  2 x 2  x  3

91. Encontrar aproximaciones exactas a 10–5 de todos los ceros de los siguientes polinomios, primero encontrando los ceros reales y luego reduciendo los polinomios de grado menor para determinar los ceros complejos. a) P ( x)  x 4  5 x 3  9 x 2  85 x  136 b) P ( x)  x 4  2 x 3  12 x 2  16 x  40 c) P ( x)  x 4  x 3  3 x 2  2 x  2 d) P ( x)  x 5  11 x 4  21 x 3  10 x 2  21 x  5 e) P ( x)  16 x 4  88 x 3  159 x 2  76 x  240 f) P ( x)  x 4  x 2  3 x  5 g) P ( x)  x 4  2 x 3  4 x 2  4 x  4 h) P ( x)  x 3  7 x 2  14 x  6

Métodos numéricos.

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Capítulo 1.

Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios.

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS. 1.13.- RAICES DE POLINOMIOS. 1.14.- MÉTODO DE HORNER. 90. a) 2.69065 c) 1.32472

Métodos numéricos.

b) 0.532089, –0.652706, –2.87938 d) 1.12412, –0.876053

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