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Apuntes de Mec´ anica de Fluidos Jos´ e Roberto Zenit Camacho Instituto de Investigaciones en Materiales Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico Enero de 2017

Motivaci´ on Me resulta dif´ıcil de entender porqu´e la Mec´anica de Fluidos no es un tema ‘popular’ en las carreras de ingenier´ıa o f´ısica. El movimiento de fluidos est´a en todas partes. Es important´ısimo para una gran variedad de aplicaciones pr´acticas, sistemas biol´ogicos y fen´omenos naturales. Con estos apuntes busco acercar a los alumnos al tema. Tener estos apuntes hace que la impartici´on de las clases Mec´anica de Fluidos sea mas f´acil para el instructor. Con los apuntes es muy sencillo planear la distribuci´on de clases a lo largo del semestre. A la par de las notas, planeo crear una base de datos de tareas, ejercicios y ex´amenes. De manera similar, planeo crear una base de datos de ligas a fuentes de internet con material multimedia de diferentes temas de los cursos. Los apuntes est´an basados en varios libros cl´asicos [Por ejemplio Fox et al., 2003, White, 2008] pero son en general una visi´on personal de como se debe de ensa˜ nar la materia. En los apuntes aparece texto con una fuente tipo: MMFM:Bondary layers. ´ Este se refiere a secciones del software multimedia de Homsy et al. [2009].

i

ii

´Indice general ´Indice general

1

1. Introducci´ on 1.1. ¿Porqu´e Mec´anica de Fluidos? . . . . 1.1.1. Mec´anica Cl´asica . . . . . . . 1.1.2. ¿Mec´anica no-Cl´asica? . . . . 1.1.3. Estado Fluido . . . . . . . . . 1.1.4. Propiedades de un fluido . . . 1.1.5. Mec´anica de cuerpo r´ıgido . . 1.1.6. Mec´anica de cuerpo fluido . . 1.1.7. Enfoque integral . . . . . . . 1.2. Recuento Hist´orico de la Mec´anica de 2. Ecuaciones de movimiento 2.1. Cinem´atica . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Derivada material . . . . . . 2.1.2. Velocidad y aceleraci´on . . . 2.1.3. Campo de esfuerzos . . . . . 2.2. Leyes de conservaci´on . . . . . . . . 2.2.1. Conservaci´on de masa . . . 2.2.2. Ecuaci´on de conservaci´on de 2.2.3. Ecuaci´on de conservaci´on de 2.3. Relaci´on constitutiva . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluidos

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . momentum lineal energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . .

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9 9 9 10 10 12 15 15 16 17

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21 22 23 25 26 29 29 34 37 39

´INDICE GENERAL

2 2.4. Ecuaciones de Navier Stokes . . . . 2.4.1. Ecuaciones de N-S para flujo 2.4.2. Condiciones de contorno . . 2.4.3. Casos especiales . . . . . . .

. . . . . . . . incompresible . . . . . . . . . . . . . . . .

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41 42 44 45

3. Hidrost´ atica 3.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Bar´ometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Man´ometro (Diferencia de presiones) . . . . . . . . . . 3.1.4. Prensa hidr´aulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Presi´on hidrost´atica para un fluido compresible . . . . . . . . 3.2.1. Liquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Fuerza hidrost´atica sobre superficies curvas sumergidas 3.4. Fuerzas en objetos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Fuerza de flotaci´on, principio de Arqu´ımedes . . . . . . 3.5. Fluidos con movimiento de cuerpo r´ıgido . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 50 50 51 52 53 53 54 54 55 55 57 58 58 60 60

4. Ecuaci´ on de Bernoulli 4.1. Ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Descarga de un orificio . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Sif´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Flujo en tuber´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Soluci´on del flujo en una tuber´ıa circular usando Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Soluci´on exacta de flujo en una tuber´ıa circular . . .

63 63 65 65 66 67 69

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. 70 . 71

´INDICE GENERAL 4.4. Una ecuaci´on de Bernoulli modificada . . . . 4.4.1. P´erdidas mayores . . . . . . . . . . . 4.4.2. P´erdidas Menores . . . . . . . . . . . 4.5. Soluci´on de problemas de flujo en tuber´ıas . 4.5.1. Ecuaci´on general de flujo en tuber´ıas 4.5.2. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Redes de tuber´ıas . . . . . . . . . . . 4.5.4. Tuber´ıas de secci´on no-circular . . .

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5. An´ alisis de Volumen de Control 5.1. Definiciones b´asicas: sistema y volumen de control . . . . . . 5.2. Ecuaciones de conservaci´on para un sistema . . . . . . . . . 5.3. Teorema de Trasporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ecuaci´on de conservaci´on de masa . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal . . . . . . . . 5.5.1. Algunas observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. An´alisis para un VC que se mueve a una velocidad constante 5.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Conservaci´on de momentum para un VC con aceleraci´on rectil´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Primera ley de la termodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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74 75 77 79 80 83 84 84

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87 87 88 90 94 94 95 95 96 97 97 98

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98 99 99 100

6. Escalamiento y an´ alisis dimensional 101 6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2. An´alisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2.1. Dimensi´on de una variable f´ısica y Funci´on Dimensi´on 104 6.2.2. Cantidades con dimensiones independientes . . . . . . 107

4

´INDICE GENERAL 6.3. An´alisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Homogeneidad Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Teorema Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. M´etodo de variables repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Algortimo del MVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Ecuaciones de Conservaci´on en Forma Adimensional . . . . . . 6.5.1. N´ umeros adimensionales relevantes en Mec´anica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Teor´ıa de Modelos y Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2. Teor´ıa de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 108 109 110 114 115 119 120 122 122 123

7. Flujo Viscoso: Soluciones Exactas a NS 127 7.1. Soluciones exactas a Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.1.1. Flujo de corte simple o de Couette . . . . . . . . . . . 128 7.1.2. Flujo en una tuber´ıa o de Poiseuille . . . . . . . . . . . 131 7.1.3. Pel´ıcula de fluido que escurre sobre una pared inclinada 134 7.1.4. Otros problemas unidireccionales estacionarios . . . . . 137 7.1.5. Flujos no-estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8. Flujo Viscoso: Capa l´ımite 8.1. Teor´ıa de capa l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1. Ecuaciones de capa l´ımite laminar . . . . . . . . 8.1.2. Soluci´on de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3. Flujo de Falkner-Skan . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa l´ımite

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155 . 155 . 156 . 162 . 167 . 171

9. Flujo irrotacional ideal 177 9.1. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.2. Ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.2.1. Ejemplos de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

´INDICE GENERAL 9.3. Flujo potencial . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Vorticidad e irrotacionalidad . 9.3.2. T´ecnicas de soluci´on . . . . . 9.3.3. Funci´on de corriente . . . . . 9.4. Soluciones elementales en 2-D . . . . 9.4.1. Superposici´on de soluciones . 9.4.2. Flujo alrededor de un cilindro 9.4.3. M´etodo de im´agenes . . . . .

5 . . . . . . . .

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209 . 209 . 210 . 212 . 213 . 214 . 216 . 218 . 218 . 220 . 220 . 221 . 223 . 226 . 227 . 228 . 232 . 235

11.Fuerzas hidrodin´ amicas: arrastre y sustentaci´ on 11.1. Flujo alrededor de objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Fuerza de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Flujo alrededor de una esfera . . . . . . . . . . . . .

239 . 239 . 242 . 246

10.Turbulencia 10.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Experimento de Reynolds . . . . . . . . . 10.3. Descripci´on f´ısica de la turbulencia . . . . 10.4. Estabilidad y origen de la turbulencia . . . 10.4.1. Teor´ıa de la estabilidad . . . . . . . 10.4.2. Desarrollo de la turbulencia . . . . 10.5. Turbulencia desarrollada . . . . . . . . . . 10.5.1. Descomposici´on de Reynolds . . . . 10.6. Ecuaciones de Conservaci´on . . . . . . . . 10.6.1. Conservaci´on de masa . . . . . . . 10.6.2. Conservaci´on de momentum . . . . 10.6.3. Modelos emp´ıricos para turbulencia 10.7. Capa limite turbulenta . . . . . . . . . . . 10.7.1. Estructura de un flujo turbulento . 10.7.2. Flujo de Couette turbulento . . . . 10.8. Capa limite, forma integral . . . . . . . . . 10.9. Flujo turbulento en tuber´ıas . . . . . . . .

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180 180 182 183 185 190 201 207

´INDICE GENERAL

6

11.1.3. Perfiles aerodin´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.1.4. Fuerza de sustentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 12.Flujo compresible

257

12.1. Repaso de termodin´amica de gases ideales . . . . . . . . . . . 258 12.2. Propagaci´on de una perturbaci´on peque˜ na de presi´on . . . . . 262 12.2.1. Emisi´on s´onica y tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . 264 12.3. Flujo compresible unidimensional estacionario . . . . . . . . . 268 12.4. Relaciones para flujo isentr´opico de un gas ideal . . . . . . . . 271 12.4.1. Propiedades isentr´opicas de estancamiento . . . . . . . 272 12.4.2. Propiedades s´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 12.5. Flujos con cambio de ´area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.6. Tobera convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 12.7. Flujo ahogado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 12.8. Otros temas de inter´es en flujo compresible . . . . . . . . . . . 281 A. Repaso de algunos conceptos u ´ tiles de c´ alculo vectorial

283

A.0.1. Funciones Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . 283 A.0.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.0.3. Transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.0.4. Mas sobre funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 294 A.0.5. Integrales de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 A.0.6. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 A.0.7. Integrales de volumen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

A.0.8. Teorema de Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 A.0.9. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 B. Series de ejercicios

309

C. Ecuaciones de conservaci´ on

311

D. Ligas de inter´ es

313

´INDICE GENERAL Bibliograf´ıa

7 315

8

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on 1.1.

¿Porqu´ e Mec´ anica de Fluidos?

Como estudiantes de licenciatura rara vez nos preguntamos porque debemos tomar ciertas materias. Uno, como estudiante, no es capaz de cuestionarse la raz´on fundamental de tener que someterse a ciertos cursos. En muchos casos es obvio: se toman clases de humanidades porque uno debe de saber otras cosas adem´as de los temas t´ecnicos; uno debe tomar clases de matem´aticas porque todo el lenguaje t´ecnico est´a en t´erminos de modelos matem´aticos que predicen el comportamiento de sistemas.

1.1.1.

Mec´ anica Cl´ asica

1 Parte de la F´ısica que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos sometidos a cualesquiera fuerzas. Se divide en tres sub-´areas: Est´atica Cinem´atica Din´amica. Estudia el movimiento en relaci´on con las fuerzas que lo producen. 9

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

10

La mec´anica cl´asica es la ciencia que estudia las leyes del comportamiento de cuerpos f´ısicos macrosc´opicos en reposo y a velocidades peque˜ nas comparadas con la velocidad de la luz. La ley fundamental de la mec´anica cl´asica es: d (m~v ) F~ = dt

(1.1)

donde m es la masa de cuerpo (r´ıgido) y ~v es su velocidad. F~ es la fuerza aplicada al cuerpo.

1.1.2.

¿Mec´ anica no-Cl´ asica?

Si existe un t´ermino llamado mec´anica cl´asica, forzosamente debe de existir algo llamado mec´anica no-cl´asica ¿no? Si los cuerpo no son macrosc´opicos entonces se estudian con mec´ anica cu´ antica. Si los cuerpos se mueve a una velocidad comparable a la de la luz entonces se estudian con mec´ anica relativista. Nada de eso se ve en este curso.

1.1.3.

Estado Fluido

El primer gran cambio que se debe considerar es dejar atr´as la consideraci´on de cuerpo r´ıgido. ¿La ecuaci´on es aplicable si el cuerpo no es r´ıgido?

Deformaci´ on y Deformaci´ on Continua

Deformaci´on ∼

F =τ A

Deformaci´on continua. Forma del bloque de fluido cambia para diferentes instantes de tiempo.

´ MECANICA ´ 1.1. ¿PORQUE DE FLUIDOS?

11

F t=0 t=1 t=2 t=3

fluido

Figura 1.1: Fluido en deformaci´on cortante. Fluidos viscosos y s´ olidos el´ asticos Existen varias definiciones de fluido. La mayor´ıa son fenomenol´ogicas: 1 Substancia que se deforma continuamente a ser sometida a un esfuerzo cortante (tangencial) sin importar que tan peque˜ no sea. 2 Cuerpo cuyas mol´eculas cambias su posici´on relativa con facilidad. Ninguna o poca cohesi´on entre mol´eculas. 3 Material que toma la forma del recipiente que lo contiene. F

Figura 1.2: S´olido en deformaci´on cortante. La definici´on formal de fluido que aceptaremos en este curso es: Un fluido es aquel material que se deforma de manera continua bajo la acci´on de un esfuerzo cortante.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

12

1.1.4.

Propiedades de un fluido

Densidad La densidad es un magnitud escalar que mide la cantidad de masa por unidad de volumen: m (1.2) ρ= V donde m es la masa y V es el volumen. La densidad tiene dimensiones [ML−3 ]. Esta notaci´on se usar´a a lo largo de las notas. Sus unidades en SI son kg/m3 . La densidad puede cambiar como funci´on de la temperatura, T , de la presi´on, P . En general, la densidad aumenta con la presi´on y disminuye con la temperatura. Obvio, hay excepciones (agua-hielo). ∂ρ ∂T ∂ρ ∂P Ejemplo: ley de gas ideal ρ=

≤ 0

(1.3)

≥ 0

(1.4)

P RT

(1.5)

donde R es la constante del gas. Una propiedad relacionada con la densidad es el peso espec´ıfico, δ = ρg. Mide el peso por unidad de volumen. En general, no hacemos distinci´on entre masa y peso. Esto es debido a que g es casi siempre constante. Viscosidad La viscosidad es una magnitud escalar que mide la oposici´on que presenta un fluido a fluir. Surge de la naturaleza molecular del l´ıquido; mide a afinidad que tienen las mol´eculas a permanecer juntas. A mayor afinidad, mayor resistencia a fluir. La definici´on formal de viscosidad se dar´a mas adelante (es la constante de proporcionalidad entre esfuerzo cortante y rapidez de deformaci´on).

´ MECANICA ´ 1.1. ¿PORQUE DE FLUIDOS?

13

Cuadro 1.1: Valores t´ıpicos de densidad de materiales comunes, a condiciones estandar. fluido ρ, kg/m3 . agua destilada 1000.0 gasolina 680.0 petroleo 800.0 etanol 810.0 sangre 1600.0 a 1800.0 mercurio 13580.0 aire 1.2 hidr´ogeno 0.1 dioxido de carbono 1.9 hule espuma 20.0 a 500.0 Tierra (planeta) 5540.0 Jupiter (planeta) 1330.0 Sol (estella) 1410.0 Estrella de neutrones 6×1017 Universo 1×10−26 La viscosidad solo se manifiesta cuando hay flujo. De otra manera, no es posible saber su valor. La manera mas directa de explicarla es considerando ˜ un flujo cortante simple. ANADIR FIGURA. Fr = µA

U H

(1.6)

donde Fr es la fuerza cortante (fuerza de resistencia), A es el ´area de contacto, U es la velocidad a la que se desplaza la placa superior y H es la distancia entre las placas. La expresi´on anterior se puede re-escribir de la siguiente manera: ∂u τxy = µ (1.7) ∂y donde µ es la viscosidad din´amica del liquido. La viscosidad tiene dimensiones [F L−2 T ]. Sus unidades en SI son Pa s..

14

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Cuadro 1.2: Valores t´ıpicos de viscosidad de fluidos comunes, a condiciones est´andar. fluido µ, Pa s. ν, m2 /s agua destilada 1.0×10−3 1.0×10−6 miel 2 a 10 1.4 a 7.1 gasolina 6.0 ×10−3 8.8 ×10−6 etanol 1.1×10−3 1.4×10−6 sangre 3.5 ×10−3 2.1×10−6 mercurio 1.5×10−3 1.1×10−7 aire 18.3×10−6 15.3×10−6 hidr´ogeno 8.8×10−6 9.8×10−7 dioxido de carbono 14.8×10−6 7.5×10−6 vidrio 1×1017 4×1015 manto terrestre 1×1024 4×1022 Existe otra medida de viscosidad, llamada viscosidad cinem´atica, ν, que se define como: ν = µ/ρ. Esta tiene dimensiones [L2 T −1 ] y sus unidades en SI son m2 /s. Cuando un l´ıquido tiene una viscosidad constante, se dice que es newtoniano.

Tensi´ on superficial La tensi´on superficial es la propiedad de la interfaz entre dos fluidos que mide que tan diferentes son. Mide la es la fuerza que act´ ua tangencialmente por unidad de longitud en el borde de una superficie de un l´ıquido en equilibrio. Si mide la tensi´on entre un liquido y el aire se denomina tensi´on superficial; si mide la tensi´on entre dos l´ıquidos (o dos fluidos) se denomina ˜ tensi´on interfacial. ANADIR FIGURA. La tensi´on superficial tiene dimensiones [F L−1 ]. Sus unidades en SI son N/m.

´ MECANICA ´ 1.1. ¿PORQUE DE FLUIDOS?

15

Cuadro 1.3: Valores t´ıpicos de tensi´on superficial de l´ıquidos comunes, a condiciones est´andar. fluido σ, N/m. agua destilada 0.072 etanol 0.022 mercurio 0.485 aceite 0.012 helio liquido 3.7 ×10−4

1.1.5.

Mec´ anica de cuerpo r´ıgido

En el esquema original de mec´anica cl´asica ten´ıamos un objeto r´ıgido y de tama˜ no finito. d F~ = (m~v ) (1.8) dt Esta ecuaci´on sigue siempre a la misma masa m. Todas las part´ıculas que conforman a la masa m se mueven a la misma velocidad. Es una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden ¿se puede resolver? ¿Esta ecuaci´on es aplicable si el cuerpo es continuo? No.

1.1.6.

Mec´ anica de cuerpo fluido

Cuando estudiamos un flujo, el objeto no es r´ıgido (obvio) y su tama˜ no es infinito (si no, al menos es muy grande). Entonces, el lugar de m consideramos ρ = m/V . Adem´as, la velocidad de las part´ıculas del material fluido no es la misma para toda la masa: ~v = f (~x, t), dependen de la posici´on ~x y del tiempo. La otra gran diferencia es que en vez de seguir a cada part´ıcula del medio, medimos la aceleraci´on (o mas bien, cambio de momentum) de un cierto punto por donde pasa el flujo. Esta cambio de manera de describir la mec´anica del sistema tiene consecuencias importantes, las cuales se discutir´an en el cap´ıtulo siguiente.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

16 Enfoque diferencial

Le segunda ley de Newton para un fluido simple es: 2

−∇P + µ∇ ~v + ρ~g = ρ



∂~v + (~v · ∇) ~v ∂t



(1.9)

Si se resuelve nos puede dar la velocidad del flujo ~v en cada punto en el espacio. Es una ecuaci´on diferencial parcial no-lineal de segundo orden ¿se puede resolver?

1.1.7.

Enfoque integral

La ecuaci´on (1.9) se puede escribir de manera alternativa, considerando un volumen de control:

L

Lo que resulta en: ∂ F~vol + F~sup = ∂t

Z

vol

ρ~v dV +

Z

sup

~ ρ~v (~v · dA)

(1.10)

Los detalles del movimiento del fluido dentro del volumen de control no se resuelven. Solo obtenemos una descripci´on global.

´ ´ 1.2. RECUENTO HISTORICO DE LA MECANICA DE FLUIDOS

1.2.

17

Recuento Hist´ orico de la Mec´ anica de Fluidos

Antes 300 A.C. Conocimientos emp´ıricos aislados 384 A.C. , Arist´oteles • Leyes b´asicas de la mec´anica. Conceptos sobre vac´ıo, peso, estado natural, medio continuo • Civilizaci´on griega • Civilizaciones Olmeca y Teotihuacana 287 A.C. , Arqu´ımedes • Hidrost´atica, flotaci´on, concepto de presi´on, bomba de tornillo Hero de Alexandr´ıa, 300 A.C. aprox. • primer ingeniero, m´aquina de vapor Edad Media (400 D.C. al siglo XV) • No hubo avances en M.F. • En M´exico, per´ıodo cl´asico, Mayas 1425-1519, Leonardo da Vinci • Filosof´ıa, anatom´ıa, o´ptica, ac´ ustica. Ingenier´ıa de caminos, canales y puentes. Dibujos de olas y flujos, Concepto intuitivo de continuidad y de arrastre. • Renacimiento • Per´ıodo poscl´asico, Aztecas, Conquista 1565- 1642, Galileo Galilei

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

18

• Fundamentos de din´amica general (diferente a lo originalmente propuesto por Arist´oteles). Conceptos de inercia, momentum. Proporcionalidad entre fuerza y cambio de momentum. • Renacimiento

´ • Conquista y Epoca Colonial. 1608- 1647, Evangelista Torricelli • Conceptos de vac´ıo y presi´on 1623-1662 Blaise Pascal • Teor´ıa hidrost´atica, presi´on barom´etrica y atmosf´erica. Principio de Pascal 1642-1747, Issac Newton • Leyes de la mec´anica. C´alculo infinitesimal. Resistencia en fluidos • Fin del renacimiento, inicio de la revoluci´on industrial. • Continua el per´ıodo colonial. 1700-1782, Daniel Bernoulli. • Relaci´on entre presi´on y el movimiento de los fluidos (ecuaci´on de Bernoulli ?) 1707- 1783, Leonard Euler • Fundador de la mec´anica de fluidos en forma diferencial. Geometr´ıa. Mec´anica. Conceptos de part´ıcula de fluido, l´ıneas de corriente. Primeras ecuaciones de balance. 1736-1813, Louis de Lagrange

´ ´ 1.2. RECUENTO HISTORICO DE LA MECANICA DE FLUIDOS

19

• Punto de vista alternativo para la el estudio del movimiento de fluidos. Diferencial total. Potencial de velocidades. Propuso formalmente la ecuaci´on de Bernoulli. • Revoluci´on Francesa. • Primeras insurrecciones independentistas en M´exico. ´ 1717-1783 J.R. DAlambert. Resistencia de un cuerpo en un flujo ideal. 1746-1822 G.B. Venturi. 1799-1869 Jean Poiseuille • Flujo en tuber´ıas. Primeras comparaciones entre teor´ıa y experimentos. • La revoluci´on Industrial en apogeo. • Independencia de M´exico. 1785-1836 Claude Louis Navier ; 1819-1903 George G. Stokes. • Soluci´on al problema general de la viscosidad. Ecuaciones generales de balance. • Guerra civil en Estados Unidos. Origen de las especies de Darwin. Canal de Suez. Torre Eiffel. • Benito Ju´arez. Reforma. Porfiriato. 1900- Mec´anica de fluidos experimental 1905 L. Prandtl. • Concepto de capa l´ımite. • Primeros aviones.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

20 • Revoluci´on mexicana. 1950- T. von Karman; G.I. Taylor

• Estabilidad de flujos. Turbulencia. • Guerras Mundiales. • Inicio del Gobiernos modernos en M´exico.

Cap´ıtulo 2 Ecuaciones de conservaci´ on El objetivo de este cap´ıtulo es re-derivar las ecuaciones de balance f´ısico, ampliamente conocidas, para el caso de un material que fluye. Primero ¿porque se deben de rederivar las ecuaciones de conservaci´on? Se supone que las ecuaciones de masa, momentum y energ´ıa son universales e inviolables. Las ecuaciones fundamentales de conservaci´on, como se conocen hasta ahora son: Ecuaci´on de Conservaci´on de Masa: dM =0 dt La masa, M, de un sistema es constante. Ecuaci´on de Conservaci´on de Momentum Lineal (2da Ley de Newton): d(M~v ) = F~ dt Ecuaci´on de Conservaci´on de Energ´ıa (1a Ley de la Termodin´amica): dE =0 dt 21

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

22

Hay dos elementos importantes a considerar. Primero, las ecuaciones de conservaci´on est´an desarrolladas para un cuerpo r´ıgido. Es decir, todas las part´ıculas que conforman a la masa, M, responden de la misma manera bajo la aplicaci´on de la la fuerza; todas se aceleran de la misma manera. Cuando el cuerpo es un s´olido el´astico o un fluido viscoso, ´este se podr´a acelerar a diferente tasa, en diferentes posiciones del cuerpo. Esta deformabilidad debe tomarse en cuenta en la ecuaci´on de conservaci´on. El otro elemento de gran importancia es la descripci´on cinem´atica del movimiento y la mec´anica. Mientras que en mec´anica de cuerpo r´ıgido se rastrea la aceleraci´on de las part´ıculas de masa, en el caso particular de un fluido no es relevante conocer las propiedades de part´ıculas espec´ıficas. Es mejor, conocer la velocidad o aceleraci´on de puntos espec´ıficos del espacio por donde pase el fluido. Entonces, se deben de re-expresar las leyes de conservaci´on para realizar el balance para este nuevo punto de vista. Antes de proceder con las derivaciones se dar´a un breve repaso a algunos conceptos b´asicos de cinem´atica.

2.1.

Cinem´ atica

Punto Lugar en el espacio. Part´ıcula Elemento volum´etrico infinitesimal parte del medio continuo. Configuraci´ on Identificaci´on de las part´ıculas de un medio continuo con los puntos en el espacio que ocupan en un tiempo t referidos a un sistema de ejes coordenados. Deformaci´ on Cambio de forma de un medio continuo entre una configuraci´on inicial (no deformada) y una configuraci´on final (deformada). Flujo Cambio continuo de la configuraci´on de un medio continuo. MMFM:kinematics:kinematics of point and fluid particles

´ 2.1. CINEMATICA

23

El movimiento de un medio continuo puede describirse en funci´on de coordenadas materiales (descripci´on Lagrangiana) ~ t) xi = xi (X1 , X2 , X3 , t) o ~x = ~x(X, o en funci´on de coordenadas espaciales (descripci´on Euleriana) ~ = X(~ ~ x, t) Xi = Xi (x1 , x2 , x3 , t) o X Descripci´ on Lagrangiana Atenci´on fija sobre una part´ıcula espec´ıfica del fluido. Descripci´ on Euleriana Atenci´on fija sobre un punto en el espacio Cualquier propiedad f´ısica puede describirse como funci´on de coordenadas materiales o espaciales. Por ejemplo: ~ x, t) = ρ∗ (~x, t) ~ t) = ρ(X(~ ρ = ρ(X, MMFM:kinematics:fields particles and reference frames

2.1.1.

Derivada material

La raz´on de cambio temporal cualquier propiedad en un medio continuo con respecto a part´ıculas espec´ıficas del MC en movimiento se llama derivada material de esa propiedad. La derivada material puede interpretarse como la tasa de cambio temporal que un observador medir´ıa viajando con una part´ıcula espec´ıfica. MMFM:kinematics:material derivative La posici´on instant´anea xi de una part´ıcula es en si una propiedad de la part´ıcula. La derivada material de la posici´on es la velocidad instant´anea de la part´ıcula. d d~x vi = xi = x˙ i o ~v = = ~x˙ dt dt

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

24

En general si Pij es una propiedad escalar, vectorial o tensorial de un MC que pueda ser expresada como una funci´on puntual de coordenadas (descripci´on lagrangiana): Pij = Pij (X, t) entonces la derivada material de dicha propiedad ser´a DPij ∂Pij (X, t) = Dt ∂t 1

N´otese que las coordenadas X se mantiene fijas. Si la propiedad Pij se expresa en funci´on de las coordenadas (x) entonces la derivada material estar´a dada por: cambio temporal cambio convectivo z z }| { }| { DPij (x, t) ∂Pij (x, t) ∂Pij (x, t) dxk = + Dt ∂t ∂xk dt Mas aun podemos escribir DPij (x, t) ∂Pij (x, t) ∂∂Pij (x, t) = + vk Dt ∂t ∂xk As´ı podemos definir un operador derivada material : D ∂ ∂ D ∂ = + vk o = + ~v · ∇X Dt ∂t ∂xk Dt ∂t Ejemplo: Encontrar la raz´on de cambio de la temperatura. Sabemos que T (z, t) y buscamos la tasa de cambio temporal: ∂T DT = + ~v · ∇T Dt ∂t Para este problema T 6= T (t) solo T = T (z). Tambi´en sabemos que es una ca´ıda puramente vertical: ~v = (0, 0, w). Entonces, ∂T ∂T ∂T ∂T DT = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z 1

Para la derivada material adoptaremos la notaci´ on

D Dt .

´ 2.1. CINEMATICA

25

10 Km/hr

3000 m T T= To - k z

k=0.005 oC/m

z

entonces

∂T DT =w = w(−κ) Dt ∂z

Finalmente DT = (2.77m/s)(−0.005) = 0.014o C/s Dt

2.1.2.

Velocidad y aceleraci´ on

Sabiendo que vi = Dxi Dt y que xi = ui + Xi , donde ui es el desplazamiento, podemos definir al vector velocidad como: vi ≡

Dxi Dui = Dt Dt

puesto que Xi es independiente del tiempo. Si el desplazamiento esta dado en funci´on de las coordenadas Lagrangianas, i.e., ui = ui (X, t), entonces tenemos Dui (X, t) ∂ui (X, t) vi = u˙i = = Dt ∂t

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

26

Si por otro lado el desplazamiento esta dado en t´erminos de las coordenadas eulerianas, ui = ui (x, t), entonces tenemos vi = u˙i =

Dui (x, t) ∂ui (x, t) ∂ui (x, t) = + vk (x, t) Dt ∂t ∂xk

o en forma vectorial v(x, t) = v(x, t) · ∇X u(x, t) N´otese que aqu´ı la velocidad esta dada en forma impl´ıcita. La funci´on vi = vi (x, t) nos d´a el campo de velocidades instant´aneo. La derivada material de la velocidad es la aceleraci´on. Si la velocidad esta dada en coordenadas lagrangianas entonces ai ≡ v˙i ≡

∂vi (X, t) Dvi (X, t) = Dt ∂t

Si por el contrario la velocidad est´a dada en t´erminos de coordenadas eulerianas, entonces tenemos ai ≡ v˙i ≡

2.1.3.

∂vi (x, t) ∂vi (x, t) Dvi (x, t) = + vk (x, t) Dt ∂t ∂xk

Campo de esfuerzos

Los esfuerzos en un continuo son el resultado de la acci´on de fuerzas sobre alg´ un elemento superficial del fluido. El concepto de esfuerzo es una forma de describir la manera en que las fuerzas que act´ uan sobre las fronteras se transmiten a trav´es del medio. Tanto la fuerza como el ´area son cantidades vectoriales. Por lo tanto, si el esfuerzo es la relaci´on entre fuerza y ´area entonces el esfuerzo es una cantidad tensorial. Esto quiere decir que se necesitan 9 cantidades para conocer el estado de esfuerzos en un punto.

´ 2.1. CINEMATICA

27

Fuerzas de Superficie y Fuerzas de Volumen Podemos considerar dos tipos de fuerzas que act´ uan sobre un volumen dado. Fuerzas volum´etricas. Act´ uan sobre cada elemento del volumen (sin contacto f´ısico). Ejemplos de este tipo de fuerzas son la fuerza gravitacional, electromagn´etica, etc. En general, se considera que para un elemento diferencial de volumen la fuerza es → − ρf V Fuerza de superficie. Act´ uan sobre la superficie S del volumen por contacto directo. La fuerza superficial en un elemento diferencial de superficie se puede calcular del producto del esfuerzo y el a´rea. Esfuerzo en un punto ~ en un Consideremos el siguiente esquema: Sobre el elemento de a´rea dS

dS

dF

~ es el ´area del elemento; punto C act´ ua una fuerza dF~ . La magnitud de dS su direcci´on es la del vector normal a la superficie en ese punto.

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

28

Si definimos el esfuerzo como dF~ ~ |dS|→0 dS

Esfuerzo = T = l´ım

Note que la operaci´on cociente de dos vectores no esta definida para campos vectoriales. Analicemos esta operaci´on. ~ es: El vector dS ˆ z. ~ = ˆidSx + ˆjdSy + kdS dS ~ etc. De la misma manera, En otras palabras, dSx es la componente x de dS, el vector fuerza es ˆ z. dF~ = ˆiFx + ˆjFy + kF Entonces, para definir el esfuerzo en el punto CV debemos considerar que cada una de las componentes Fx , Fy , Fz puede actuar sobre las cada una de las componentes dSx , dSy , dSz . Por lo tanto, para lograr describir el estado de esfuerzos en un punto se deben considerar nueve posibilidades:   dFx /dSx dFx /dSy dFx /dSz   dFy /dSx dFy /dSy dFy /dSz  dFz /dSx dFz /dSy dFz /dSz As´ı, definimos al esfuerzo, utilizando notaci´on indicial como: dFi |dSi |→0 dSj

Tij = l´ım Entonces,

  σxx τxy τxz   Σ = σij =  τyx σyy τyz  τzx τzy σzz

Por ejemplo, τxy representa al fuerza en la direcci´on y que act´ ua sobre el plano x. Los esfuerzos normales se denotan con σ y los esfuerzos con τ . Por lo tanto, la fuerza de superficie sobre un elemento diferencial de a´rea de S se puede escribir como: σ · ~ndS

´ 2.2. LEYES DE CONSERVACION

29

2.2.

Leyes de conservaci´ on

2.2.1.

Conservaci´ on de masa

Consideremos el volumen euleriano, fijo en el espacio, mostrado en la figura V dS

S

~ = ~nds El elemento diferencial de ´area es dS n V

Consideremos: la componente de ~v que acarrea material a trav´es de la superficie es ~v · ~n. el flujo de masa a trav´es de un elemento infinitesimal de superficie dS (hacia fuera) es ρ~v · ~ndS

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

30

el flujo total de masa a trav´es de toda la superficie S es Z ρ~v · ~ndS S

Consideremos para el elemento de volumen V , con densidad ρ, la masa total en V es Z ρdV V

la raz´on de cambio de masa en V es Z Z Z D ∂ ∂ρ ρdV = ρdV = dV Dt V ∂t V V ∂t La raz´on de cambio de masa dentro del volumen V tiene que deberse al flujo neto de masa a trav´es de S (suponiendo que no hay fuentes ni sumideros dentro de V ). Por lo tanto: Z

V

∂ ρdV = − ∂t

Z

S

ρ~v · ~ndS

´ Esta es la ecuaci´on de conservaci´on de masa en forma integral. Para convertirla a la forma diferencial utilizaremos el teorema de la divergencia: Z Z ρ~v · ~ndS = ∇ · (ρ~v )dV S

V

El teorema de la divergencia permite transformar a una integral de superficie en una integral de volumen. Por lo tanto podemos escribir la ecuaci´on de conservaci´on de masa en forma integral de la siguiente manera Z Z ∂ ρdV + ∇ · (ρ~v )dV = 0 V V ∂t   Z ∂ ρ + ∇ · (ρ~v ) dV = 0 ∂t V

´ 2.2. LEYES DE CONSERVACION

31

Para que esta integral sea cero para cualquier volumen V , la u ´ nica posibilidad es que el integrando sea cero:   ∂ ρ + ∇ · (ρ~v ) dV = 0 ∂t Podemos simplificar la ecuaci´on anterior si consideramos que ∇ · (ρ~v ) = ρ∇ · ~v + ~v · ∇ρ entonces tenemos

∂ρ + ~v · ∇ρ + ρ∇ · ~v = 0. ∂t y recordando la definici´on del operador derivada material, Dρ + ρ∇ · ~v = 0 Dt

(2.1)

que es la ecuaci´on de conservaci´on de masa en forma diferencial. Esta ecuaci´on escrita en forma expl´ıcita, en coordenadas rectangulares, para ~v = (u, v, w), es:     ∂u ∂v ∂w ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ +ρ =0 + u +y +w + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Caso especial: Fluido incompresible SI consideramos el caso en que la densidad del fluido es constante (ρ 6= ρ(x, t)) entonces ∂ρ =0 ∂t y ∂ρ ˆ ∂ρ ˆ ∂ρ ∇ρ = ˆi +j +k =0 ∂x ∂y ∂z 2 2

Esto implica que Dρ/DT = 0.

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

32

La ecuaci´on de conservaci´on de masa se reduce a ρ∇ · ~v = 0, y por lo tanto ∇ · ~v = 0

(2.2)

es la ecuaci´on de conservaci´on de masa para un fluido incompresible. En forma expl´ıcita esta ecuaci´on es: ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z Derivaci´ on de la ecuaci´ on de conservaci´ on de masa, m´ etodo alternativo Consideremos un paralelep´ıpedo de volumen infinitesimal dxdydz: que 1 2 V V=(u,v,w)

dy

dz dx

est´a fijo en un flujo ~v. el flujo a trav´es de 1 es ρudydz el flujo a trav´es de 2 es 

 Exp. serie Taylor z }| {   ∂   (ρu)dx ρu+  dydz ∂x  

´ 2.2. LEYES DE CONSERVACION

33

el flujo neto a trav´es de 1 y 2 es:   ∂ ∂(ρu) + (ρu) dydz − ρu + (ρu)dx dydz = − dxdydz ∂x ∂x de manera an´aloga, el flujo entre 3 y 4 es ∂(ρv) =− dxdydz ∂y y el flujo entre 5 y 6 es =−

∂(ρw) dxdydz ∂z

Por lo tanto el flujo neto a trav´es del volumen dxdydz es:   ∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw) = − dxdydz − − ∂x ∂y ∂z

Ahora consideremos

la masa total dentro de dxdydz: ρdxdydz la tasa de cambio de masa dentro del volumen es ∂ (ρdxdydz) ∂t La masa dentro del volumen solo puede cambiar como resultado del flujo, entonces:   ∂ ∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw) dxdydz = + + (ρdxdydz) − ∂x ∂y ∂z ∂t Simplificando tenemos:

∂ρ + ∂t que se puede escribir como



∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw) + + ∂x ∂y ∂z

∂ρ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t que, finalmente, se puede reescribir como: Dρ + ρ∇ · ~v = 0 Dt



CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

34

2.2.2.

Ecuaci´ on de conservaci´ on de momentum lineal

Debemos re-expresar la Segunda Ley de Newton para un fluido (medio continuo): Fuerza total sobre un cuerpo = Rapidez de cambio de momentum Consideremos, de nuevo, un volumen Euleriano fijo suspendido en un flujo cualquiera. V dS

S

Las fuerzas en un fluido son: ~ = F~s + F~v Ftotal donde F~s son las fuerzas de superficie y F~v son las fuerzas de volumen. Cada una se puede definir como: Z F~v = ρf~dV V

donde ρ es la densidad y f~ es un campo de fuerzas (magn´eticas, gravitacionales, etc). Adem´as: Z ~ Fs = Σ · ~ndS S

donde Σ es el tensor de esfuerzos. Consideremos:

´ 2.2. LEYES DE CONSERVACION

35

flujo de momentum a trav´es de un elemento diferencial de a´rea: ~v ρ~v · ~ndS flujo total de momentum a trav´es de toda la superficie S Z (~v ρ)~v · ~ndS S

el momentum total contenido en V es Z ~v ρdV V

la raz´on de cambio de momentum en V es Z Z Z ∂ ∂ D (~v ρ)dV = (~v ρ)dV = (~v ρ) dV Dt V ∂t V V ∂t el cambio total de momentum en V esta dado por el flujo a trav´es de S mas la raz´on de cambio de momentum dentro de V : Z Z ∂ (~vρ) dV (~vρ)~v · ~ndS + S V ∂t Entonces, la segunda ley de Newton queda expresada como: Z

ρf~dV + V

Z

S

Σ · ~ndS =

Z

S

(~v ρ)~v · ~ndS +

Z

V

∂ (~v ρ) dV ∂t

que es la ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal en forma integral. Utilizando, de nuevo, el teorema de la divergencia podemos realizar la siguientes transformaciones: Z Z Σ · ~ndS = ∇ · ΣdV S

V

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

36 y

Z

S

(~vρ)~v · ~ndS =

Z

V

∇ · ((~v ρ)~v )dV

A esta u ´ ltima integral la podemos expandir sabiendo que ∇ · ((~v ρ)~v ) = (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~v ρ) Entonces podemos escribir la ecuaci´on de conservaci´on de momentum como:  Z  ∂ (~v ρ) − ((~vρ)∇ · ~v + ~v ∇ · (~v ρ)) dV = 0 ρf~ + ∇ · Σ − ∂t V Una vez mas, para que esto sea cierto, independientemente de la elecci´on de V , el integrando debe ser cero: ρf~ + ∇ · Σ −

∂ (~v ρ) − ((~v ρ)∇ · ~v + ~v ∇ · (~vρ)) = 0 ∂t

Podemos expandir el t´ermino

∂ ∂t

(~vρ):

∂ ∂~v ∂ρ (~v ρ) = ρ + ~v ∂t ∂t ∂t Entonces, ρf~ + ∇ · Σ = ρ

∂ρ ∂~v + ~v + (~v ρ)∇ · ~v + ~v ∇ · (~vρ) ∂t ∂t

Podemos reeagrupar algunos t´erminos tal que:     ∂~v ∂ρ ~ ρf + ∇ · Σ = ρ + ~v ∇ · ~v + ~v + ∇ · (~v ρ) ∂t ∂t Del u ´ ltimo t´ermino de esta expresi´on, la cantidad dentro del par´entesis es exactamente igual a la ecuaci´on de conservaci´on de masa (Ecuaci´on 2.1), y por lo tanto es igual a cero. La cantidad dentro del par´entesis del pen´ ultimo t´ermino puede escribirse de manera compactar usando la definici´on de la derivada material. Por lo tanto podemos escribir:

´ 2.2. LEYES DE CONSERVACION

ρf~ + ∇ · Σ = ρ

37

D~v Dt

(2.3)

Esta es la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en forma diferencial.

2.2.3.

Ecuaci´ on de conservaci´ on de energ´ıa

De nuevo, el objetivo es reformular las ecuaciones generales de conservaci´on pero para el contexto de Mec´anica de Medios Continuos. La ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa es dEt = ðQ + ðW donde Et es la energ´ıa total, Q es el calor y W es el trabajo. El s´ımbolo ð denote que las diferenciales de Q y W no son exactas. Como nos interesa en cambio total de ´estas cantidades para un volumen euleriano fijo en el espacio escribimos: DEt DQ DW = + Dt Dt Dt La taza de cambio de energ´ıa total puede expresarse como (considerando cantidades por unidad de volumen):   1 D DEt 2 e + |~v · ~v | − ~g · ~r = ρdV Dt Dt 2 donde e es la energ´ıa interna por unidad de volumen, ~g es un campo gravitacional y ~r es el vector posici´on. Mas a´ un, podemos desarrollar la ecuaci´on anterior como:   DEt D~v De =ρ + ~v − ~g · ~v dV Dt Dt Dt La taza de transferencia de calor es

DQ = −∇ (∇ · ~q) dV = ∇ (k∇T ) dV Dt

38

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

donde ~q es el flujo de calor, T es la temperatura y k es la conductividad t´ermica del material. La taza de cambio de trabajo esta dada, para el caso de un fluido por DW = ∇ · (~v · Σ) dV Dt Entonces la ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa se puede escribir como:   D~v De + ~v − ~g · ~v = ∇ (k∇T ) + ∇ · (~v · Σ) ρ Dt Dt El u ´ ltimo t´ermino de esta ecuaci´on se puede desarrollar: ∇ · (~v · Σ) = ~v (∇ · Σ) + Σ(∇ · ~v ) Recordando la ecuaci´on de conservaci´on de momentum (Ecuaci´on 2.3) podemos reescribir como:    D~v ∇ · (~v · Σ) = ~v ρ − ~g + Σ(∇ · ~v) Dt   D~v = ρ ~v − ~v · ~g + Σ(∇ · ~v ) Dt Sustituyendo la expresi´on anterior en la ecuaci´on de conservaci´on energ´ıa y simplificando t´erminos tenemos finalmente:

ρ

De = ∇ (k∇T ) + Σ(∇ · ~v ) Dt

(2.4)

Ecuaciones de Estado Se necesitan mas ecuaciones (hay mas inc´ognitas que ecuaciones): T = f1 (P, ρ) e = f2 (P, ρ) La ecuaci´on de estado m´as conocida es la ecuaci´on de gas ideal: T =

P ρT

.

´ CONSTITUTIVA 2.3. RELACION

2.3.

39

Relaci´ on constitutiva

Podemos asociar a las componentes cortantes del esfuerzo (esfuerzos viscosos) con la disipaci´on de energ´ıa. Supondremos entonces que el tensor de esfuerzos deviat´orico Σ′ o τ ij es una funci´on del el tensor rapidez de deformaci´on D o Dij : Σ′ = fij (L) Si consideramos que la funci´on es lineal, entonces tenemos: 1 Σ′ = κ( D) 2 donde κijpq es el tensor de coeficientes de viscosidad. N´otese que puesto que Σ′ y D son ambos tensores de segundo orden, entonces κ debe ser un tensor de cuarto orden (¡24 componentes!). Afortunadamente, si consideramos materiales isotr´opicos y homog´eneos (tensores de esfuerzo y rapidez de deformaci´on sim´etricos), u ´ nicamente sobreviven dos coeficientes de viscosidad diferentes de cero. La relaci´on constitutiva se reduce a: Σ = −P I + λI(trD) + 2µD en notaci´on indicial tenemos

σij = −P δij + λδij Dkk + 2µDij ´ Esta es la relaci´on constitutiva newtoniana. Notas: Podemos definir el esfuerzo normal promedio: 1 1 σii = −P + (3λ + 2µ)Dii = −P + κDii 3 3 donde κ = λ + 32 µ es el coeficiente de viscosidad volum´etrica.

(2.5)

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

40

Si consideremos los componentes deviat´oricos de los tensores de esfuerzo y rapidez de deformaci´on podemos escribir las siguientes relaciones τij = 2µDij′ σii = −3P + 3κDi i donde Dij′ = Dij − δij Dkk /3 es el tensor rapidez de deformaci´on deviat´orico y τij = σij − δij σkk /3 es el tensor de esfuerzos deviat´orico. En forma expl´ıcita para el caso de coordenadas rectangulares, tenemos: ∂u ∂x ∂v −P + λ(∇ · ~v ) + 2µ ∂y ∂w −P + λ(∇ · ~v ) + 2µ ∂z  ∂u ∂v τyx = µ + ∂y ∂x   ∂u ∂w + τzx = µ ∂z ∂x   ∂v ∂w τzy = µ + ∂z ∂y

σxx = −P + λ(∇ · ~v ) + 2µ σyy = σxx = τxy = τxz = τyz = donde ∇ · ~v =

∂u ∂x

+

∂v ∂y

+

∂w . ∂z

41

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES

2.4.

Ecuaciones de Navier Stokes

Si sustituimos la relaci´on constitutiva (Ecuaci´on 2.5) en la ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal (Ecuaci´on 2.3) tenemos:

ρ

D~v = ρf~ + ∇ · (−P I + λI(trD) + 2µD) Dt

Sabemos que D es 1 Dij = 2



∂vi ∂vj + ∂xj ∂xi



o en notaci´on vectorial D=

1 (~v ∇ + ∇~v ) 2

entonces la ecuaci´on de conservaci´on de momentum se puede escribir como:

D~v = ρf~ − ∇P + (λ + µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v Dt o en notaci´on indicial   Dvi ∂ 2 vi ∂P ∂ ∂vj ρ +µ = ρfi − + (λ + µ) Dt ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ρ

(2.6)

Estas ecuaciones (es una ecuaci´on vectorial, tres componentes) se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes. Escribiendo las ecuaciones de N-S en forma expl´ıcita para cada direcci´on

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

42

coordenada, considerando coordenadas rectangulares y ~v = (u, v, w), tenemos 

  ∂P ∂ ∂u ∂v ∂w ρ = − + (λ + µ) + + ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z  2  2 2 ∂ u ∂ u ∂ u +µ + + 2 + ρgx ; ∂x2 ∂y 2 ∂z     ∂P ∂v ∂v ∂v ∂ ∂u ∂v ∂w ∂v = − +u +v +w + (λ + µ) + + ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂x ∂y ∂z  2  2 2 ∂ v ∂ v ∂ v +µ + ρgy ; + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2     ∂P ∂w ∂w ∂w ∂ ∂u ∂v ∂w ∂w = − +u +v +w + (λ + µ) + + ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z   2 2 2 ∂ w ∂ w ∂ w + + 2 + ρgz . +µ ∂x2 ∂y 2 ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z

2.4.1.



Ecuaciones de N-S para flujo incompresible

Para un flujo incompresible la ecuaci´on de conservaci´on de masa se reduce a ∇ · ~v = 0. En la ecuaci´on de conservaci´on de momentum (Ecuaci´on 2.6), el esfuerzo viscoso extensional contiene un factor de ∇ · ~v, que puede ser eliminado. Por lo tanto las ecuaciones de N-S para un flujo incompresible se reducen a D~v ρ = ρf~ − ∇P + µ∇2~v (2.7) Dt En forma expl´ıcita, para coordenadas rectangulares, ´estas se escriben como:    2  ∂u ∂P ∂u ∂u ∂u ∂ u ∂2u ∂2u ρ = − +u +v +w +µ + + 2 + ρgx ; ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z   2   2 ∂P ∂v ∂v ∂v ∂ v ∂ v ∂2v ∂v = − +u +v +w +µ + + + ρgy ; ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2   2   ∂P ∂w ∂w ∂w ∂ w ∂2w ∂2w ∂w = − +u +v +w +µ + + 2 + ρgz . ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z MMFM:dynamics:Navier Stokes equations

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES

43

Ecuaciones de N-S para flujo incompresible en forma adimensional Podemos reescribir esta ecuaci´on en t´erminos adimensionales. Para esto debemos elegir cantidades caracter´ısticas: (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (x/L, y/L, z/L) ~v ∗ = ~v /Vo P ∗ = P/(ρVo2 t∗ = t/(L/Vo ) donde L y Vo son la longitud y velocidad caracter´ıstica del flujo, respectivamente. Podemos as´ı hacer cambios de variable tal que 1 ∂ ∂ = ∂x L ∂x∗ Vo ∂ ∂ = ∂t L ∂t∗ etc... Las ecuaciones de N-S se reescriben como: f~ µ ∂ v~∗ ∗ ∗ ~∗ · ∇∗ )~v ∗ = + ( v − ∇ P + ( (∇∗ )2~v ∗ ∂t∗ Vo L LVo ρ Notamos que los grupos f~/Vo L y µ/LVo ρ son adimensionales. Adem´as podemos definirlos como f~ Fr = Vo L y LVo ρ Re = µ que son el n´ umero de Froude y el n´ umero de Reynolds respectivamente. Entonces 1 ∂ v~∗ ~∗ · ∇∗ )~v ∗ = F r − ∇∗ P ∗ + + ( v (∇∗ )2~v ∗ ∗ ∂t Re

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

44

El n´ umero de Froude, F r, es una comparaci´on entre los efectos gravitacionales y los efectos inerciales del flujo. Para F r < 1 se pueden despreciar los efectos gravitacionales. El n´ umero de Reynolds, Re, es una comparaci´on entre los efectos inerciales y los viscosos del flujo. En un flujo con Re < 1 los efectos viscosos dominan. MMFM:dynamics:Reynolds number

2.4.2.

Condiciones de contorno

En general se consideran dos clases de condiciones de frontera para un problema de fluidos: 1. Continuidad de la distribuci´on de velocidades Condici´on de no deslizamiento: ~ ~v |pared = U pared

~v|pared fija = 0 2. Continuidad de la distribuci´on de esfuerzos Interfaz entre dos fluidos τ1 = τ2 Superficie libre τsup.libre = 0 MMFM:dynamics:boudary conditions

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES

2.4.3.

45

Casos especiales

Ecuaci´ on de la hidroest´ atica Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido est´atico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuaci´on 2.6 se reducen a: 0 = ρf~ − ∇P Si consideramos el caso en que f~ = ~g = (0, 0, gz ) entonces tenemos, para las tres componentes de la ecuaci´on: ∂P ∂x ∂P 0 = ∂x ∂P ρgz = ∂z 0 =

Para las direcciones x − x′ y y − y ′ tenemos que P es constante. Para la direcci´on z − z ′ vemos que la presi´on var´ıa en z de forma proporcional con ρgz . Si tanto ρ como gz son constantes, entonces podemos integrar P (z) = Po + ρgz z donde Po es la presi´on de referencia en z = 0. Esta ecuaci´on es la ecuaci´on de la hidrost´atica. Ecuaci´ on de Euler Para esta simplificaci´on suponemos que el fluido es ideal, que tiene viscosidad nula. La ecuaci´on se reduce a ρ

D~v = ρf~ − ∇P Dt

(2.8)

N´otese que al eliminar el t´ermino viscoso la ecuaci´on diferencial reduce su orden. Esta simplificaci´on tiene implicaciones matem´aticas importantes (esta ecuaci´on si se puede resolver para algunos casos). Sin embargo, es importante

46

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

saber que las soluciones que se obtienen de este sistema de ecuaciones tienen limitaciones importantes (resultados no f´ısicos o absurdos). Uno de los resultados mas importantes que se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Euler es la Ecuaci´on de Bernoulli. Derivaci´ on de la Ecuaci´ on de Bernoulli. Si consideramos que ~g es un campo conservativo entonces se puede representar como ~g = ∇Φ . Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el t´ermino ~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v :   1 ~v · ~v − ~v × ∇ × ~v (~v∇)~v = ∇ 2 (esta identidad es la definici´on del triple producto cruz). Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaci´on de N-S para en la ecuaci´on de Euler, tenemos:   ∂~v 1 1 +∇ ~v · ~v − ~v × ∇ × ~v = − ∇P + ∇Φ ∂t 2 ρ Rearreglando t´erminos podemos escribir   1 P ∂~v +∇ + ~v · ~v − Φ = ~v × ∇ × ~v ∂t ρ 2 Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrotacional ∇ × ~v = 0, entonces la expresi´on anterior se reduce a:   P 1 ∇ + ~v · ~v − Φ = 0 ρ 2 Una linea de corriente es aquella l´ınea que es tangente al vector velocidad en cada punto. De la definici´on de una linea de corriente sabemos que: dx dy dz = = u v w

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES

P ρ

47

Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente de + 21 ~v ·~v − Φ sea cero, la u ´ nica posibilidad es que este t´ermino sea constante: P 1 + ~v · ~v − Φ = constante ρ 2

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. Entonces: P 1 + ~v · ~v + gz = constante (2.9) ρ 2 que se conoce como la ecuaci´on de Bernoulli. Ecuaci´ on de Stokes Si para un flujo los efectos viscosos son mucho mas importantes que los efectos inerciales, entonces podemos despreciar los t´erminos de aceleraci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes. Considerando tambi´en que el flujo es incompressible y que el campo gravitacional es despreciable, tenemos 0 = −∇P + µ∇2~v

(2.10)

Estas ecuaciones tambi´en se pueden resolver matem´aticamente. Sus soluciones si tienen significado f´ısico v´alido pero su aplicaci´on es muy limitada (flujos muy viscosos y lentos). Ecuaci´ on de conservaci´ on de vorticidad Otra forma de caracterizar a un flujo es a trav´es de la vorticidad. La vorticidad se define como el rotacional de la velocidad ~ω = ∇ × ~v F´ısicamente representa el giro de las part´ıculas de fluido, el cual est´a directamente relacionado con el momentum angular. Si escribimos las ecuaciones de N-S para un fluido incompresible utilizando la definici´on del triple producto cruz (ver arriba), tenemos:     ∂~v µ 1 P + ∇2~v + ∇Φ +∇ ~v · ~v − ~v × ∇ × ~v = −∇ ∂t 2 ρ ρ

48

CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Tambi´en se supone que el campo gravitacional es conservativo y por tanto se puede expresar como el gradiente de una funci´on escalar Φ. Ahora podemos aplicar la operaci´on rotacional a ambos lados de la ecuaci´on anterior (∇×). Sabemos, tambi´en por una identidad vectorial, que el rotacional de cualquier gradiente es id´entico a cero. Por esto, la ecuaci´on anterior se reduce a: ∂~ω − ∇ × ~v × ~ω = ν∇2 ~ω ∂t donde ~ω = ∇ × ~v es la vorticidad y ν = µ/ρ es la viscosidad cinem´atica del ´ fluido. Esta es ahora la ecuaci´on de conservaci´on de vorticidad. El t´ermino ∇ × ~v × ω ~ puede expandirse: ∇ × ~v × ~ω = ~v (∇ · ~ω ) − ~ω (∇ · ~v ) − (~v · ∇)~ω + (~ω · ∇)~v El t´ermino ∇ · ~ω = 0, puesto que la divergencia de cualquier gradiente es siempre cero. La ecuaci´on de vorticidad puede escribirse como: ∂~ω + ~ω (∇ · ~v) + (~v · ∇)~ω − (~ω · ∇)~v = ν∇2 ω ~ ∂t Si adem´as consideramos el caso de un fluido incompresible,∇ · ~v = 0, entonces, rearreglando t´erminos tenemos: ∂~ω + (~v · ∇)~ω = −~ω (∇ · ~v ) + ν∇2 ω ~ ∂t que se puede escribir, finalmente, como: D~ω = −~ω (∇ · ~v) + ν∇2 ~ω Dt

(2.11)

Esta ecuaci´on tiene la ventaja de que para resolverla no se requiere conocer el campo de presiones. Podemos, entonces, argumentar que los gradientes de presi´on no producen giro en la part´ıculas.

Cap´ıtulo 3 Est´ atica de Fluidos El caso mas simple del estudio de mec´anica de fluidos es aquel en el cual la velocidad de las part´ıculas de fluido es cero en todos lados. As´ı, las ecuaciones de conservaci´on se simplifican enormemente. Para este caso en particular, la presi´on puede calcularse en cualquier punto de fluido.

Ecuaci´ on de la hidrost´ atica Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido est´atico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuaci´on 2.6) se reducen a:

0 = ρf~ − ∇P.

(3.1)

´ Esta es la ecuaci´on fundamental de la hidrost´atica. Si consideramos el caso en que f~ = ~g = (0, 0, −gz ) entonces tenemos, 49

´ CAP´ITULO 3. HIDROSTATICA

50

para las tres componentes de la ecuaci´on: ∂P ∂x ∂P 0 = ∂x ∂P −ρgz = ∂z 0 =

Para las direcciones x y y tenemos que P es constante. Para la direcci´on z vemos que la presi´on var´ıa en z de forma proporcional con ρgz . Si tanto ρ como gz son constantes, entonces podemos integrar P (z) = Po + ρgz z donde Po es la presi´on de referencia en z = 0. Esta ecuaci´on es la ecuaci´on de la hidrost´atica para un fluido incompresible.

3.1. 3.1.1.

Aplicaciones Vasos comunicantes

Puesto que la presi´on u ´ nicamente cambia como funci´on de la coordenada vertical, podemos decir que para un nivel z = constante la presi´on debe de ser igual. As´ı, en un contenedor de formas varias abierto a la atm´osfera tenemos:

H

51

3.1. APLICACIONES

3.1.2.

Bar´ ometro

El bar´ometro de Torricelli fue el primer aparato para medir la presi´on atmosf´erica. Consideremos el siguiente esquema:

H

z=0

La ecuaci´on a considerar es: ∂P = −ρl g ∂z entonces, P = −ρl gz + C1 Sabemos que P = Pvac = 0 en z = H, entonces P = ρl g(H − z) en z = 0, la presi´on es Patm . Por lo tanto P atm = ρl gH

´ CAP´ITULO 3. HIDROSTATICA

52

Si, ρl = 13600 kg/m3 , entonces H = 760 mm, a nivel del mar. Si, ρl = 1000 kg/m3 , entonces H = 10300 mm.

3.1.3.

Man´ ometro (Diferencia de presiones) B

A

r1

h3

h2 h1

r2 C

El objetivo es encontrar una relaci´on entre la presi´on en A y la presi´on en b. Tomemos el punto C como referencia. Podemos calcular la presi´on en ese punto de cada lado del man´ometro. Lado izquierdo: PC = PA + ρ1 (h3 − h1 ) + ρ2 H1 Lado derecho: PC = PB + ρ1 (h3 − h2 ) + ρ2 H2 Igualando ambos lados: PA + ρ1 (h3 − h1 ) + ρ2 H1 = PB + ρ1 (h3 − h2 ) + ρ2 H2 por lo tanto PA − PB = g(ρ2 − ρ2 )(h1 − h2 )

´ HIDROSTATICA ´ 3.2. PRESION PARA UN FLUIDO COMPRESIBLE 53

3.1.4.

Prensa hidr´ aulica

Puesto que la presi´on no depende del ´area, una de las aplicaciones pr´actica mas importantes de la hidrost´atica es la prensa hidr´aulica. F2 A1

F1

A2

Del lado izquierdo se aplica una fuerza de tama˜ no F1 sobre un a´rea A1 . Entonces, la presi´on en ese punto es simplemente F1 P1 = A1 Si los lados a y 2 est´an comunicados, entonces, por el principio de vasos comunicantes, la presi´on del lado izquierdo debe de ser igual que la presi´on del lado derecho: P1 = P2 Si, del lado derecho el ´area es A2 , entonces la fuerza sobre el este lado ser´a F2 = P2 A2 = P1 A2 Por lo tanto F2 = F1

A2 A1

Si A2 ≫ A1 , entonces F2 ≫ F1 .

3.2.

Presi´ on hidrost´ atica para un fluido compresible

Aunque un fluido no tenga densidad constante, la ecuaci´on ∂P = −ρg ∂z puede integrarse para algunos casos

´ CAP´ITULO 3. HIDROSTATICA

54

3.2.1.

Liquidos

A altas presiones, la densidad de un liquido SI var´ıa con ´esta. La densidad y la presi´on est´an relacionadas a trav´es de una propiedad f´ısica llamada m´odulo de compresibilidad volum´etrica, EV : EV =

dP /ρ drho

Si consideramos que EV sea constante entonces podemos sustituir su definici´on en la ecuaci´on de la hidrost´atica:   ∂ρ 1 EV = ρg ∂z ρ Por lo tanto EV

∂ρ = d∂z ρ2

que puede integrarse tal que −

EV = −gz + C1 ρ

Si consideramos que ρ = ρo en z = 0, entonces: [− o

EV = −gz ρ − ρo

EV gz Sustituyendo de nuevo el la ecuaci´on de la hidrost´atica tenemos, ρ = ρ0 +

P = ρgz + EV ln z + C

3.2.2.

Gases

Para un gas la relaci´on entre presi´on, densidad y temperatura esta dada por una ley de estado. La mas com´ unmente usada, obviamente, es la ley de gas ideal: P = RρT

3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

55

Sustituyendo esta relaci´on en la ecuaci´on de la hidrost´atica tenemos ∂(ρRT ) = −ρg∂z entonces,

−g dρ = dz ρ RT Integrando, para T constante: ln ρ =

−g z + C1 RT

Si ρ = ρo para z = 0, entonces ρ = ρo exp(−

3.3.

g z) RT

Fuerzas sobre superficies sumergidas

Puesto que podemos saber la presi´on en cada punto en un fluid0 en reposo, podemos tambi´en conocer la fuerza que se ejerce sobre cualquier superficie sumergida. Solo es necesario integrar la presi´on sobre la superficie de inter´es. Podemos estudiar las fuerzas que se producen debido a la presi´on. Podemos calcular, Magnitud de la fuerza Direcci´on L´ınea de acci´on

3.3.1.

Superficies planas

Consideremos la siguiente figura Para calcular la fuerza sobre la cara superior de la placa mostrada debemos calcular: Z Z ~ ~ F = P dS = P ~ndS S

S

´ CAP´ITULO 3. HIDROSTATICA

56

0 h

Fr

vista lateral

CP

dS

vista plana

Sabemos que

∂P = ρg ∂h Si, P = Po = 0 en h = 0, entonces P = ρgh Entonces, F~ =

Z

(ρgh)~ndS

S

La geometr´ıa de la placa puede expresarse en t´erminos de x y y La profundidad h puede expresarse en t´erminos de y h = y sin θ Si dS = dxdy = (1)dy esto es considerando que la profundidad x es unitaria. As´ı, Z y2 ~ (ρgy sin θ)ˆj(1)dy F = y1

En general podemos escribir

3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

57

Fr = ρg sin θAYc donde Yc =

Z

ydS s

es el primer momento de superficie. Para calcular la posici´on y orientaci´on de la fuerza resultante debemos considerar que la suma de torques sea nula X ~ =0 M Tomando momentos con respecto a (y, z) = (0, 0) tenemos Z yCP · Fr = yP dS S

entonces

yCP · Fr = ρg sin θ La integral

Z

y 2dS

S

intS y 2 dS es en segundo momento del ´area.

3.3.2.

Fuerza hidrost´ atica sobre superficies curvas sumergidas

La fuerza sobre un elemento diferencial de superficie es ~ ∂ F~ = P ∂ S por lo tanto la fuerza total resultante es ˆ Rz = F~R = ˆiFRx + ˆjFRy + kF

Z

~ P dS S

Para cada componente tenemos: Z Z Z ~ ˆ FR x = P i · dS = P cos θx dS = P dSx S

S

´ CAP´ITULO 3. HIDROSTATICA

58

z

dAx

dAy

dA

y dAz

x

donde dSx = dS cos θx es la proyecci´on de S sobre el plano yz. De igual manera Z FR y = P dSy S

FR z =

Z

P dSz

S

3.4. 3.4.1.

Fuerzas en objetos sumergidos Fuerza de flotaci´ on, principio de Arqu´ımedes

Considere el siguiente objeto, de volumen V y densidad ρo sumergido por completo el un fluido est´atico de densidad ρf . Existir´a una fuerza de superficie en cada punto de S del cuerpo debida a la presi´on hidrost´atica. ∂F = P dS Suponga que los puntos 1 y 2 est´an situados de lados opuestos (arriba y abajo) en el mismo cuerpo. La diferencia de fuerzas entre los puntos 1 y 2 ser´a ∂F = (P1 − P2 )dS

59

3.4. FUERZAS EN OBJETOS SUMERGIDOS

H1 dS

P1

H2 S

V P2

si para ambos puntos la presi´on se ejerce sobre un elemento diferencial de ´area dS del mismo tama˜ no. Sabemos que P2 − P1 = ρf g(H2 − H1 ) entonces, si notamos que (H2 − H1 )dS = dV , tenemos ∂F = ρf g(H2 − H1 )dS = ρf gdV Por lo tanto Ftotal =

Z

∂F =

Z

ρf gdV

V

si ρf es constante entonces Ff lotacion = ρf gV. Esta ecuaci´on es el principio de flotaci´on o Arqu´ımedes: ‘Todo cuerpo sumergido en un liquid de densidad ρf experimenta una fuerza en direcci´on opuesta a la gravedad que es igual al peso del volumen del liquido desplazado por el cuerpo’. El peso del cuerpo sumergido es W = ρo gV

´ CAP´ITULO 3. HIDROSTATICA

60

Si la fuerza de flotaci´on y el peso se igualan, W = Ff lotacion entonces el cuerpo se dice ser de flotaci´on neutra. Esto ocurre si y solo si ρo = ρf

3.5.

Fluidos con movimiento de cuerpo r´ıgido

Un caso especial en el cual se puede aplicar la teor´ıa hidrost´atica para un fluido en movimiento es aquel en el cual todas las part´ıculas de fluido se mueve a la misma velocidad. Es decir el fluido se mueve sin deformarse (no existen esfuerzos constantes). Para este caso el u ´ nico esfuerzo es la presi´on. Consideremos la ley de Newton dF~ = ~adm = ~aρdV De hidrost´atica sabemos que dF~ = (−∇P ) + ρ~g dV entonces (−∇P ) + ρ~g dV = ~aρdV por lo tanto ρ~a = −∇P ) + ρ~g . Esta ecuaci´on es, de hecho, la ecuaci´on de la hidrost´atica pero para un caso general en el cual existe una aceleraci´on ~a que hace que el gradiente de presi´on pueda tener componentes en direcciones diferentes a la gravedad.

3.5.1.

Ejemplo

Un recipiente rectangular, que contiene un liquido, se mueve con una aceleraci´on horizontal (ver figura).

3.5. FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO R´IGIDO

61

a

H

g

L

D

L y

x

¿Cual ser´a la forma de la superficie una vez que el recipiente se acelere horizontalmente a una tasa ~a? La ecuaci´on a resolver es: ρ~a = −∇P ) + ρ~g . que expresada en componentes es ∂P + ρgx ∂x ∂P + ρgy = − ∂y

ρax = − ρay

si ~g = (0, g) y ~a = (ax , 0) entonces ∂P ∂x ∂P 0 = − + ρg ∂y

ρax = −

Podemos calcular la diferencial de P de la siguiente manera: dP =

∂P ∂P dx + dy ∂x ∂y

´ CAP´ITULO 3. HIDROSTATICA

62

Puesto que en la superficie libre la presi´on es constante (presi´on atmosf´erica) entonces dP = 0: ∂P ∂P 0= dx + dy ∂x ∂y por tanto 0 = ρax dx + ρgdy Entonces

ax dy =− dx g

que es la pendiente de una recta. La superficie libre estar´a dada por y=−

ax x+b g

Cap´ıtulo 4 Ecuaci´ on de Bernoulli y Flujo en Tuber´ıas Como se discuti´o en clase, las ecuaciones de Navier-Stokes representan la conservaci´on de momentum lineal (segunda ley de Newton) para el caso de un fluido. Sin embargo, estas ecuaciones son de gran complejidad matem´atica yu ´ nicamente se pueden encontrar soluciones anal´ıticas para casos especiales. Si se supone que los esfuerzos viscosos son despreciables, puede encontrarse una ecuaci´on simplificada de una complejidad significativamente menor que si se puede resolver.

4.1.

Ecuaci´ on de Bernoulli

Si consideramos que ~g es un campo conservativo entonces se puede representar como ~g = ∇Φ . Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el t´ermino ~v ∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v :   1 ~v · ~v − ~v × ∇ × ~v (~v ∇)~v = ∇ 2 63

64

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

(esta identidad es la definici´on del triple producto cruz). Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaci´on de N-S para en la ecuaci´on de Euler, tenemos:   ∂~v 1 1 +∇ ~v · ~v − ~v × ∇ × ~v = − ∇P + ∇Φ ∂t 2 ρ Rearreglando t´erminos podemos escribir   P 1 ∂~v +∇ + ~v · ~v − Φ = ~v × ∇ × ~v ∂t ρ 2 Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrotacional ∇ × ~v = 0, entonces la expresi´on anterior se reduce a:   P 1 ∇ + ~v · ~v − Φ = 0 ρ 2 Una linea de corriente es aquella l´ınea que es tangente al vector velocidad en cada punto. De la definici´on de una linea de corriente sabemos que: dx dy dz = = u v w P ρ

Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente de + 21 ~v ·~v − Φ sea cero, la u ´ nica posibilidad es que este t´ermino sea constante: 1 P + ~v · ~v − Φ = constante ρ 2

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. Entonces, dividiendo en g: P 1 + ~v · ~v + z = constante ρg 2g

(4.1)

que se conoce como la ecuaci´on de Bernoulli. T´ermino a t´ermino: P [=]F L−2 M −1 L3 L−1 T 2 [=]L ρg

Carga de presiones, altura de una columna de fluido bajo la presi´on P contra la gravedad.

65

4.2. APLICACIONES P1

v1 P2 v2

z1 z2

1 ~v 2g

· ~v [=]L2 T −2 L−1 T 2 [=]L

Carga de velocidades, altura desde la cual una part´ıcula debe caer bajo la acci´on de g para adquirir una velocidad |~v | z[=]L Carga de presiones, altura del punto en una linea de corriente sobre una superficie de referencia arbitraria.

4.2.

Aplicaciones

Dado que la ecuaci´on de Bernoulli es muy simple, es f´acil se pueden encontrar soluciones a problemas de flujo de manera inmediata. A continuaci´on se analizan algunos problemas cl´asicos.

4.2.1.

Descarga de un orificio

Podemos f´acilmente calcular la velocidad a la salida de un orificio en la base de un tanque grande. Consideremos en siguiente dibujo: La ecuaci´on a resolver es: V2 P + + gz = constante 2 ρ Seleccionamos una l´ınea de corriente entre punto A y B y aplicamos la ecuaci´on de Bernoulli para estos puntos: V 2 PB VA2 PA + + zA = B + + zB 2g ρg 2g ρg

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

66 A

H

B

Note que: en A, VA ≈ 0 en A, PA = Patm , zA = H en B, PB = Patm , zB = 0 por lo tanto, 0+

Patm Patm +H =0+ +0 ρg ρg

y VB =

p

2gH

Este resultado es una buena aproximaci´on. Sin embargo, siempre debe tenerse en cuenta que la ecuaci´on de Bernoulli se deriv´o despreciando las fuerzas viscosos. Para un flujo viscoso la velocidad ser´ıa p (VB )real = C 2gH

donde C < 1.

4.2.2.

Tubo de Pitot

Este aparato se utiliza para medir la velocidad en un flujo. Para este flujo, las presiones P1 y P2 se miden. V 2 P2 V12 P1 + + z1 = 2 + + z2 2g ρg 2g ρg

67

4.2. APLICACIONES P2

P1

v1

Note que: z1 = z2 en 2, existe un punto de estancamiento (el fluido tiene velocidad cero), por tanto V2 = 0. por lo tanto, P2 V12 P1 + =0+ 2g ρg ρg entonces V1 =

s

2(P1 − P2 ) ρ

.

4.2.3.

Sif´ on

Podemos analizar las variaciones de velocidad y presi´on en un sif´on: Para encontrar la velocidad a la salida del chorro libre: V12 P1 V 2 P2 + + z1 = 2 + + z2 2g ρg 2g ρg Note que: P1 = P2 = Patm V1 ≈ 0

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

68 A

h

H

z1 = h, z2 = H Por lo tanto, 0+

V 2 Patm Patm +h= 2 + +H ρg 2g ρg

entonces V2 =

p

2g(H − h)

Podemos tambi´en calcular la presi´on en l punto A: P2 = Patm VA = V2 , por conservaci´on de masa. zA = 0, z2 = H

4.3. FLUJO EN TUBER´IAS Entonces,

69

VA2 PA V 2 Patm + +0= 2 + +H 2g ρg 2g ρg

por lo tanto PA = P atm − ρgH. Esta presi´on es de vac´ıo!

4.3.

Flujo en tuber´ıas

Uno de los problemas pr´acticos de mayor importancia en la mec´anica de fluidos aplicada es el transporte de fluidos en tuber´ıas. En numerosas ´ aplicaciones es necesario transportar fluidos de un lugar a otro. Esto se hace, normalmente, utilizando bombas, tuber´ıas y accesorios. Las bombas son dispositivos cuya funci´on es aumentar la presi´on del fluido en un punto; al existir una diferencia de presiones se puede inducir flujo. As´ı, se puede hacer fluir al fluido a trav´es de un conducto, generalmente de secci´on circular, bajo la acci´on de la diferencia de presiones generada por la bomba. Lo u ´ nico que restar´ıa conocer es el flujo volum´etrico que se puede entregar en este sistema. En este secci´on exploraremos las alternativas que existe para realizar este c´alculo. En principio tenemos dos opciones: Soluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes completas Soluci´on de la ecuaci´on de Bernoulli con una modificaci´on emp´ırica. La primera opci´on plantea la soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan al movimiento de fluidos. Resulta, como se ver´a en este cap´ıtulo, que para el caso de una tuber´ıa circular com gradiente de presi´on constante si es posible obtener una soluci´on anal´ıtica, siempre y cuando el flujo sea laminar. Cuando, el flujo no es laminar es necesario considerar la segunda opci´on. Sin embargo, la ecuaci´on de Bernoulli tiene que ser corregida para incluir los efectos de fricci´on viscosa porque de otra manera sus predicciones son irreales.

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

70

4.3.1.

Soluci´ on del flujo en una tuber´ıa circular usando Bernoulli

Consideremos en problema mostrado en la figura: el flujo de un fluido viscoso a trav´es de una tuber´ıa circular horizontal. P1

P2

Q D

L

Nos interesa determinar el valor de la diferencia de presiones, P1 − P2 , para lograr que se mantenga en fluido fluyendo a un gasto volum´etrico, Q, en la tuber´ıa de largo L y di´ametro D. Planteamos entonces la ecuaci´on de Bernoulli entre los dos puntos: V 2 P2 V12 P1 + + gz1 = 2 + + gz2 2 ρ 2 ρ Sabemos que V = Q/A donde A = π/4D 2 . Si el di´ametro es el mismo en los puntos 1 y 2, entonces V1 = V2 . Tambi´en, dado que la tuber´ıa es horizontal, z1 = z2 . Entonces: P1 P2 = ρ ρ y por lo tanto: P1 − P2 = 0 Entonces, para transportar un flujo Q entre los puntos 1 y 2 a una distancia L en una tuber´ıa de di´ametro D no se necesita ning´ un gradiente de presi´on. Es decir, el fluido es capaz de moverse sin ninguna p´erdida. Este resultado, obviamente, no representa a una situaci´on real. Es correcto, bajo

4.3. FLUJO EN TUBER´IAS

71

las consideraciones que se toman para el desarrollo de la ecuaci´on de Bernoulli. O sea, un fluido inviscido se puede transportar sin p´erdidas por fricci´on viscosa. Por esta raz´on no se puede usar la ecuaci´on de Bernoulli de manera directa.

4.3.2.

Soluci´ on exacta de flujo en una tuber´ıa circular

Consideremos el flujo de un fluido en una tuber´ıa circular de di´ametro D y largo L, en cuyos extremos existe una diferencia de presiones , ∆P . Consideremos adem´as que el flujo es estacionario (las derivadas temporales son cero, ∂/∂t = 0) y que el flujo es desarrollado y sin efectos de borde (el flujo no evoluciona en la direcci´on del flujo). Si adoptamos un sistema coordenado cil´ındrico en la que el eje z es colineal con el eje de la tuber´ıa (como se muestra en la figura) tenemos lo siguiente. Caracter´ısticas del flujo: 1. Flujo estacionario (no cambia como funci´on del tiempo): ∂/∂t = 0 2. Flujo desarrollado (no cambia con la posici´on x, placa y pel´ıcula infinitas): ∂/∂x = 0 3. La gravedad act´ ua en las dos direcciones x − x′ y y − y ′ : ~g = (s sen α, g cos α). 4. No hay gradiente de presi´on en la direcci´on x − x′ : ∂P/∂x = 0 La u ´ nica diferencia es que debemos considerar un sistema de coordenadas cil´ındricas: ~v = (ur , uθ , uz ) En este caso la ecuaci´on de conservaci´on de masa, ∇ · ~v = 0, se escribe en forma expl´ıcita como: 1 ∂ 1 ∂ ∂ (rur ) + uθ + uz = 0 r ∂r r ∂θ ∂z

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

72

Por ser un flujo desarrollado (∂/∂z) y (∂/∂z) axisim´etico (∂/∂θ), tenemos: 1 ∂ (rur ) = 0 r ∂r Por lo tanto: ur = 0 Flujo unidireccional. El vector de velocidad se reduce a ~v = (0, 0, uz ). Resolviendo la ecuaci´on de conservaci´on de momentum u ´ nicamente en la direcci´on donde el componente de velocidad no es cero, direcci´on z − z ′ . Para coordenadas cil´ındricas tenemos:       ∂uz ∂P ∂uz 1 ∂ 2 uz ∂ 2 uz ∂uz uθ ∂uz ∂uz 1 ∂ ρ =− r + 2 +ρgz + ur + + uz +µ + ∂t ∂r r ∂θ ∂z ∂z r ∂r ∂r r ∂θ2 ∂z 2 Considerando las mismas caracter´ısticas del flujo que en la secci´on 3.1.2 y adem´as que el flujo es axisim´etrico e unidireccional, la ecuaci´on anterior se reduce a :   ∂uz 1 ∂ G r − = µ r ∂r ∂r donde G = −∂P/∂z = constante Integrado una vez tenemos: G C1 ∂uz =− r+ ∂r 2µ r Integrado una vez mas: uz = −

G 2 C1 r + r + C2 4µ ln

Sabemos que la velocidad en r = 0 debe ser finita, por lo tanto C1 = 0. Tambi´en sabemos que la velocidad del fluido en la pared debe de ser cero (condici´on de no deslizamiento): uz (r = R) = 0. C2 =

G 2 R 4µ

4.3. FLUJO EN TUBER´IAS

73

Por lo tanto, el campo de velocidades para una tuber´ıa circular bajo un gradiente de presi´on constante es: uz =


G R2 − r 2 4µ

(4.2)

Podemos calcular el flujo volum´etrico como: Z Z R Q= uz dA = uz (2πrdr) A

0

As´ı: Q=

πG 4 R 8µ

La velocidad media, U¯ = Q/A, es G 2 U¯ = R 8µ Podemos calcular el esfuerzo en la pared es: ∂uz τpared = τrz |r=R = µ ∂r Entonces, el esfuerzo en la pared es: GR τpared = 2 Podemos calcular el coeficiente de fricci´on sobre la tuber´ıa: Cf =

Ff 1 ¯2 ρU A 2

El area de contacto A es 2πRL. La fuerza de fricci´on Ff sobre la tuber´ıa se puede calcular directamente del esfuerzo en la pared como Ff = τpared A: Ff = πR2 LG Por lo tanto Cf =

16µ 16 = ¯ Re (2R)ρU

donde Re = ρD U¯ /µ es el n´ umero de Reynolds.

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

74

4.4.

Una ecuaci´ on de Bernoulli modificada

Una de las limitaciones importantes de la soluci´on a flujo en una tuber´ıa circular (desarrollada en la secci´on anterior) es que ´esta es solo v´alida cuando el flujo es laminar. En el cap´ıtulo XX, se discutir´a porque es que todos los flujos laminares se vuelven turbulentos cuando se sobrepasa un cierto valore del n´ umero de Reynolds. En resumidas cuentas, el flujo pierde su naturaleza unidireccional y aparecen fluctuaciones de velocidad en todas las direcciones coordenadas. Bajo dicha condici´on la predicci´on del perfil de velocidades dada por al Ecuaci´on 4.2 deja de ser v´alida. Experimentalmente, se ha encontrado que el numero de Reynolds cr´ıtico para el cual un flujo laminar en una tuber´ıa circular se vuelve turbulento es de alrededor de 2000. La gran mayor´ıa de los flujos en ingenier´ıa sobrepasan, por mucho este valor. Por lo tanto la aplicabilidad de la Ecuaci´on 4.2 y sus cantidades derivadas es muy limitada. Para poder realizar c´alculos ingenieriles del flujo en tuber´ıas, nos vemos en la imperiosa necesidad de regresar a una ecuaci´on simplificada, la ecuaci´on de Bernoulli. Dicha ecuaci´on se puede escribir como: 2 2 P2 V¯2 P1 V¯1 + + gZ1 = + + gZ2 ρ 2 ρ 2

(4.3)

Consideremos el caso del flujo en una tuber´ıa horizontal de la §4.3.2. Dado que la tuber´ıa es horizontal entonces Z1 = Z2 ; dado que la secci´on transversal es constante y el flujo es incompresible Q1 = Q2 π π V1 D12 = V2 D22 4 4 por lo tanto V1 = V2 .

´ DE BERNOULLI MODIFICADA 4.4. UNA ECUACION

75

Entonces, la ecuaci´on de Bernoulli se reduce a: P1 P2 = , ρ ρ lo cual se significa que para producir un flujo Q en una tuber´ıa de di´ametro D de un fluido inviscido se requerir´ıa una bomba que produzca un incremento de presi´on de cero! Este resultado es obviamente irreal, lo cual se deriva del hecho que se despreci´o el efecto viscoso en el l´ıquido. Entonces, podemos plantear una versi´on ‘ama˜ nada’de la Ecuaci´on de Bernoulli de la siguiente manera: 2 2 P2 V¯2 P1 V¯1 + + gZ1 = + + gZ2 + H ρ 2 ρ 2

(4.4)

donde H es la perdida de carga por fricci´on viscosa, la cual tiene dimensiones de [L]. En general, podemos dividir a la p´erdida de carga en H = HM + Hm , perdidas mayores y p´erdidas menores. Las p´erdidas mayores est´an asociadas a la fricci´on viscosa a lo largo del tubo; las menores estan asociadas con otros elementos en el circuito de flujo (accesorios, codos, reducciones, etc.

4.4.1.

P´ erdidas mayores

Las p´erdidas mayores, HM , se pueden expresar en t´erminos de una p´erdida de presi´on. Para el caso de una tuber´ıa horizontal de di´ametro constante tenemos entonces: P1 − P2 ∆P HM = = ρ ρ Por ejemplo, para flujo laminar, de la soluci´on mostrada en§4.3.2 tenemos que π 4 −∆P Q= R 8µ L Por lo tanto, ∆P = 32

L µV¯ D D

76

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

y entonces

L V¯ 2 ∆P = f ρ D 2 donde f = 64/Re, es el factor de fricci´on. El n´ umero de Reynolds se define como V¯ Dρ Re = . µ Ahora, para un flujo turbulento, no existe una soluci´on anal´ıtica. Sin embargo, emp´ıricamente podemos proponer la siguiente relaci´on adimensional: HM =

L 2∆P e = Φ( , Re, ) D D ρV¯ 2 donde e es la rugosidad absoluta del tubo. Por lo tanto podemos escribir HM =

V¯ 2 L e Φ( , Re, ). 2 D D

Experimentalmente se ha encontrado que HM y L/D son linealmente dependientes por lo que: HM =

e V¯ 2 L Φ0 (Re, ). 2 D D

Entonces, podemos expresar a las p´erdidas mayores para un flujo turbulento en una tuber´ıa de di´ametro constante como: V¯ 2 L f. HM = 2 D donde f es el factor de fricci´on el cual es una funci´on emp´ırica de Re y e/D f = Φ0 (Re,

e ). D

El valor de f se lee directamente de tablas, del diagrama de Moody mostrado en la Figura 4.1. Alternativamente, f se puede calcular de manera directa. Para flujo laminar 64 flaminar = . Re

´ DE BERNOULLI MODIFICADA 4.4. UNA ECUACION

77

Figura 4.1: Diagrama de Moody. Tomado de Fox et al. [2003] Para flujo turbulento, Re > 4000, fturbulento se calcula usando la expresi´on impl´ıcita:   9.35 1 e √ √ = 1.14 − 2 log10 . + D Re f f

4.4.2.

P´ erdidas Menores

Todas las p´erdidas que no est´en directamente asociadas con el flujo en una tuber´ıa de secci´on transversal constante se absorben en factores de p´erdida ´ secundarios. Estos pueden darse como una distancia extra equivalente de tuber´ıa o un factor constante. Entonces, podemos tener Hm = κ

V¯ 2 , 2

78

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

o Hm =

V¯ 2 Leq f, 2 D

donde κ es el coeficiente de p´erdidas y Leq es una longitud equivalente. Estas cantidaes se leen de tablas emp´ıricas. La Tabla 4.1 muestra algunos valores t´ıpicos de perdidas menores.

Cuadro 4.1: Perdidas menores para algunos accesorios t´ıpicos. Longitud equivalente, Tipo de Acessorio Coeficiente de p´erdida Le /D V´alvula de globo - abierta 340 10.0 V´alvula de ´angulo - abierta 150 5.0 V´alvula de compuerta - abierta 9 0.2 V´alvula de compuerta - abierta 3/4 35 V´alvula de compuerta - abierta 1/2 160 V´alvula de compuerta - abierta 1/4 900 V´alvula de mariposa - abierta 45 Codo de 90o - est´andar 30 0.9 o Codo de 90 - radio largo 20 0.6 o Codo de 45 - est´andar 16 0.4 Te est´andar - flujo directo 20 0.6 o Te est´andar - flujo desviado a 90 60 1.8 Entrada - tubo saliente 0.8 Entrada - tubo al raz 0.5 Entrada - boca poco redondeada 0.2 Entrada - boca bien redondeada 0.04

´ DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBER´IAS 4.5. SOLUCION

4.5.

79

Soluci´ on de problemas de flujo en tuber´ıas

En general, cuando deseamos resolver el problema del flujo de un fluido a trav´es de una tuber´ıa tenemos que resolver la siguiente ecuaci´on generalizada: Q = Φ(∆P, D, L, e, ∆Z, ρ, µ, configuraci´on) , De esta lista de variables podemos considerar que algunas de ellas, son en realidad par´ametros. Por ejemplo, las propiedades del fluido (ρ, µ), normalmente no cambiar´an para una instalaci´on dada. De manera similar, el tipo de tubo (e) y la configuraci´on (∆Z y accesorios) tampoco var´ıan. Si para un problema dado podemos considerar que los par´ametros son constantes, entonces tenemos que: Q = Φ(∆P, D, L) . Con estas cuatro variables podemos considerar la soluci´on de 4 tipos de problemas: 1. ∆P desconocida; Q, D, L conocidos (encontrar el tama˜ no de la bomba necesaria para entregar un gasto Q en una tuber´ıa de di´ametro D entre dos puntos separados por una distancia L). 2. L desconocida; Q, D, ∆P conocidos (para una bomba dada y un gasto Q conocido en una tuber´ıa de di´ametro D, calcular la distancia L para la cual se puede satisfacer esta condici´on). 3. Q desconocida; ∆P, D, L conocidos (para una bomba y tuber´ıa dada de tama˜ no y largo conocidos, encontrar el gasto que se puede entregar) 4. D desconocida; Q, L, ∆P conocidos (para una bomba, gasto y distancia conocidos, calcular el di´ametro de la tuber´ıa).

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

80

4.5.1.

Ecuaci´ on general de flujo en tuber´ıas

La ecuaci´on 4.4 se puede escribir como: 2 2 P2 V¯2 P1 V¯1 + + gZ1 = + + gZ2 + ρ 2 ρ 2

2 V¯i L f 2 D | {z }

P´ erdidas Mayores

+

2 2 V¯i V¯i Leq f +κ (4.5) 2 D 2 | {z } P´ erdidas Menores

Dependiendo de que datos son los que se proporcionan de entrada, se debe seguir una t´ecnica de soluci´on diferente. El aspecto mas importante en este ´ caso es el c´alculo del factor de fricci´on f . Este depende, en general, del n´ umero de Reynolds, Re y de la rugosidad relativa. Recordemos que Re = V¯ Dρ/µ. Si se desconoce la velocidad media del flujo (si se desconoce Q de entrada), no se puede calcular el Re de manera directa y por lo tanto tampoco se puede obtener f . De manera similar, si D no es un dato de entrada, no se puede inferir V¯ aunque se conozca Q y tampoco se conoce el valor de la rugosidad relativa por lo que tampoco se puede conocer f . Caso 1: ∆P desconocida Este es el caso de c´alculo m´as directo. La ecuaci´on (4.5) se puede reescribir como: 2 2 2 2 2 V¯2 − V¯1 V¯i L V¯i Leq V¯i P1 − P2 = + g(Z2 − Z1 ) + f+ f +κ . ρ 2 2 D 2 D 2 2 2 Si D es constante, esta expresi´on se simplifica ya que V¯1 = V¯2 :   P1 − P2 Leq V¯ 2 L = g(Z2 − Z1 ) + f+ f +κ . ρ 2 D D

Ya que se conocen Q y D, la velocidad media se obtiene directamente. Asi el numero de Reynolds Re y la rugosidad relativa se calculan y se puede leer f del diagrama de Moody.

´ DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBER´IAS 4.5. SOLUCION

81

Ejemplo: Determinar la ca´ıda de presi´on en un flujo de agua a trav´es de una tuber´ıa de 150 mm de di´ametro a lo largo de una distancia de 10 m, que entrega un gasto volum´etrico de 0.1 m3 /s. Suponga que la tuber´ıa tiene una rugosidad relativa de ǫ/D = 0.0002.

Soluci´on: Considerando que no hay cambios de nivel (tuber´ıa horizontal), entonces Z1 = Z2 . Si adem´as suponemos que no hay perdidas menores, la ecuaci´on a resolver se simplifica a: P1 − P2 V¯ 2 L = f. ρ 2 D La velocidad media se calcula como V¯ = 4Q/(πD 2 ) = 4(0.1)/(π(.15)2) = 5.66 m/s. La raz´on L/D = 10/.15 = 66.67. El factor de fricci´on se lee del diagrama de Moody, sabiendo el valor de Re y ǫ/D. El n´ umero de Reynolds es Re = V¯ ρD/µ = (5.66)(1000)(.15/0.001) = 8.49 × 105 ; y ǫ/D = 0.002. Con estos datos leemos, del diagrama de Moody, un valor f = 0.015. Por lo tanto: (5.66)2 (66.67)(0.015) 2 ∆P = 16.02 kPa.

P1 − P2 = 1000

Caso 2: L desconocida Cuando unicamente se desconoce la distancia L, el c´alculo tambi´en es directo. La ecuaci´on 4.5 se puede reescribir como (si D es constante):     2D P1 − P2 Leq κ L = ¯2 . + g(Z1 − Z2 ) + D + ρ D f fV Lo cual se calcula de manera directa.

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

82 Ejemplo: Determinar

Caso 3: Q desconocida Por otro lado, si se desconoce el gasto Q, no se puede calcular V¯ 2 y por lo tanto no se sabe, de entrada, el valor de f . Para una tuber´ıa de di´ametro constante, tenemos: v   u P1 −P2 u2 + g(Z − Z ) 1 2 ρ u  . V¯ = t  L f + LDeq f + κ D En este caso se debe de llevar a cabo un proceso iterativo. Entonces, de inicio se debe suponer un valor de factor de fricci´on. Usualmente se supone que que el flujo es completamente turbulento. Entonces, del diagrama de Moody (Figura 4.1) se lee el valor de f para el Re mas alto correspondiente a la rugosidad relativa, e/D de la tuber´ıa (valores en el extremo derecho del diagrama). Con este valor supuesto de f , se calcula la velocidad media, V¯ usando la ecuaci´on anterior. Con este valor se calcula un n´ umero Reynolds y, por tanto un nuevo valor de f . Se debe continuar iterando hasta que V¯ converja a un valor constate. Ejemplo: Determinar

Caso 4: D desconocida Este es el caso mas tedioso, pues no se puede calcular ni la rugosidad relativa ni en numero de Reynolds (que se necesitan para calcular, f ). La ecuaci´on se reescribe como: D=

2 V¯



f (L + Leq ) P1 −P2 ρ

. + g(Z1 − Z2 ) − κ

´ DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBER´IAS 4.5. SOLUCION

83

Para este c´alculo se debe suponer que el flujo es turbulento y adem´as completamente rugoso. Por tanto se debe escoger el valor m´aximo posible de factor de fricci´on, f , del diagrama de Moody (la l´ınea superior para Re > 4000), cuyo valor aproximado es f = 0.072. Adem´as se debe suponer un valor del di´ametro con el cual se puede calcular una velocidad media. Usando la ecuaci´on anterior, se calcula un primer valor del di´ametro. Una vez obtenido, se puede comenzar a iterar hasta la convergencia. Ejemplo: Determinar

4.5.2.

Bombas

Las bombas son dispositivos que se usan para mover fluidos. Pueden ser clasificadas en dos grandes grupos: las que inducen un incremento en presi´on (bombas centr´ıfugas) o las que desplazan mec´anicamente un cierto volumen (bombas de desplazamiento positivo. Una bomba de desplazamiento positivo hace que el fluido se mueva ‘atrapando´ un cierto volumen de fluido, el cual es desplazado mec´anicamente hacia una tuber´ıa de descarga. Ejemplos de estas bombas son las de tornillo (muy usadas para bombear fluidos viscosos), el coraz´on (que de hecho son dos bombas que alimentan a dos circuitos distintos), etc. Una caracter´ıstica importante de este tipo de bombas es que el gasto que entregan es independiente de la diferencia de presiones que se le imponen. Las bombas centr´ıfugas, por otra parte, tienen un elemento rotatorio que incrementa la energ´ıa cin´etica del fluido. Esta energ´ıa, a su vez, hace que se incremente la presi´on en el fluido que induce un gradiente que hace que el fluido se mueva. A diferencia de las bombas de desplazamiento positivo, el gasto que pueden entregar las bombas centr´ıfugas depende de la carga que se le impone. Entonces, para este caso es necesario consultar la llamada curva de desempe˜ no de la bomba en cuesti´on.

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

84 Ejemplo: Determinar

4.5.3.

Redes de tuber´ıas

Las redes de flujo en tuber´ıas se deben de resolver de manera similar a como se resuelven las redes el´ectricas. Es decir, cada rama se debe de resolver de manera simult´anea. Para n ramas que llegan a un mismo nodo debemos de considerar que Q = Q1 + Q2 + · · · + Qn . Para n ramas que se conectan entre los dos mismos nodos, quizas con distancias diferentes, tenemos que ∆P = ∆P1 = ∆P = · · · = ∆Pn . Debe de tomarse en cuenta que mientras para el caso el´ectrico la relaci´on entre corriente y diferencia de voltage es lineal, para el caso hidr´aulico la relaci´on es no-lineal (∆P ∼ Q2 ). Por tanto, no es posible utilizar las herramientas usuales (´algebra lineal y matricial) para el caso hidr´aulico.

4.5.4.

Tuber´ıas de secci´ on no-circular

Aunque las tuber´ıas de secci´on transversal circular es, por mucho, el caso mas com´ unmente usado, en ocasiones es necesario utilizar conductos de otra forma. Una correlaci´on emp´ırica que suele usarse para resolver el flujo en conductos de secci´on transversal no circular es considerar un di´ametro efectivo equivalente. El di´ametro hidr´aulico se calcula como: Dh =

4A P

donde A y P son el area y el per´ımetro de la secci´on transversal, respectivamente.

´ DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBER´IAS 4.5. SOLUCION

85

Una vez que se calcula el di´ametro Dh se procede al c´alculo del flujo, empleado este di´ametro.

86

´ DE BERNOULLI CAP´ITULO 4. ECUACION

Cap´ıtulo 5 An´ alisis de Volumen de Control Una t´ecnica muy importante en mec´anica de fluidos es el an´alisis a trav´es de vol´ umenes de control. Esta consiste en re-expresar las leyes b´asicas de conservaci´on para un volumen fijo (con respecto a un sistema de referencia). As´ı, evaluando los flujos a trav´es de las parades del volumen podemos calcular fuerzas, cambios de masa, etc. Estas ecuaciones, en particular la conservaci´on de masa y momentum lineal, se derivaron en uno de los cap´ıtulos anteriores. En esta secci´on se volver´an a derivar utilizando el teorema de transporte de Reynolds.

5.1.

Definiciones b´ asicas: sistema y volumen de control

Un sistema es la colecci´on arbitraria de masa de identidad fija. Es decir, una masa de las mismas part´ıculas para todo t. Seguir a un sistema corresponder´ıa a una descripci´on lagrangiana. Un volumen de control es una colecci´on de puntos fijos en el espacio. En dicha regi´on espacial, existe una masa de part´ıculas que, en general, cambia con t; es decir, las part´ıculas de fluido son capaces de atravesar libremente la superficie del volumen de control. Un an´alisis del movimiento a trav´es de 87

´ CAP´ITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

88

un volumen de control es una descripci´on euleriana.

5.2.

Ecuaciones de conservaci´ on para un sistema

Las ecuaciones de conservaci´on fundamentales est´an expresadas, originalmente, para un sistema. Las ecuaciones fundamentales son: 1. Conservaci´on de masa. La masa del sistema debe ser constante:   DM =0 Dt sistema Podemos escribir Msistema =

Z

dM =

sistema

Z

ρdV

V

donde ρ es la densidad de la material dentro del volumen V . 2. Segunda ley de Newton. Para un sistema que se mueve relativo a un marco de referencia inercial, la suma de las fuerzas externas que act´ uan sobre el sistema es igual a la raz´on de cambio con respecto al tiempo del momentum lineal del sistema. ! ~ D P F~ = Dt sistema donde F~ es la fuerza total y P~ es el momentum lineal del sistema definido como Z Z ~ ~ ~ ρdV P = Udm = U sistema

V

~ es la velocidad de las part´ıculas del sistema dentro del volumen donde U V.

´ PARA UN SISTEMA 5.2. ECUACIONES DE CONSERVACION

89

3. Conservaci´on del momentum angular. La raz´on de cambio del momentum angular es igual a la suma de los torques (pares), T~ , que act´ uan sobre el sistema: ~ DH | T~ = Dt sistema El momentum angular del sistema esta definido como Z ~ sistema = ~ ρdV H ~r × U V

4. Primera ley de la termodin´amica. La conservaci´on de energ´ıa para un sistema esta dada por la relaci´on ˙ = DE | Q˙ − W Dt sistema donde Esistema = donde

Z

edm =

m

e= u+

Z

eρdB

V

|V |2 + gz 2

u es la energ´ıa interna. 5. Segunda ley de la termodin´amica. Si cierta cantidad de calor δQ se transfiere a un sistema a una temperatura T , su entrop´ıa, S, satisface dS ≥

δQ T

o para un proceso

∂S δ Q˙ ≥ ∂t T donde Q˙ es la tasa de transferencia de calor. La entrop´ıa del sistema es Ssistema =

Z

sdm = m

Z

donde s es la entrop´ıa por unidad de masa.

V

sρdV

90

5.3.

´ CAP´ITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

Teorema de Trasporte de Reynolds

Una propiedad es la cuantificaci´on de un atributo o una cualidad esencial del estado de un sistema. Una propiedad extensiva, N, es aquella cuya medida es absoluta (el valor de una propiedad extensiva puede sumarse, Nt = N1 + N2 ). Una propiedad intensiva, η, es la medici´on de una caracter´ıstica del sistema por unidad de masa (el valor de una propiedad intensiva NO puede sumarse, ηt 6= η1 + η2 ). As´ı, Z Z Nsistema =

ηdm =

m

ηρdV

V

Naturalmente, existe una propiedad intensiva por cada propiedad extensiva. Por ejemplo, si N =M ⇒ η=1 N = P~ ⇒ η = ~v

N =E⇒ η=e

Podemos analizar como es que una propiedad extensiva cambia con respecto al tiempo para un sistema contenido dentro de un volumen de control. Considere el siguiente esquema: sistema VC

VC sistema

III II I

x t=to y

t=to+ t

z

Un volumen de control esta fijo en el espacio, inmerso en un flujo. En el instante t = to , un sistema (un conjunto de part´ıculas) esta completamente contenido dentro del la superficie del volumen de control V C.

5.3. TEOREMA DE TRASPORTE DE REYNOLDS

91

Sea N una propiedad extensiva del sistema y sea η su correspondiente propiedad intensiva. Si consideramos un elemento diferencial de volumen, dV dentro del volumen de control entonces dNsistema = ηρdV As´ı, Nsistema =

Z

ηρdV

Vsistema

NV C =

Z

ηρdV

VV C

Note que en t = to la suma total de N en el sistema y el volumen de control son iguales debido a que en ese momento el sistema y el VC coinciden: Nsistema (to ) = NV C (to ) Sin embargo, en t = to + ∆t el sistema y el VC no ocupan el mismo espacio. Entonces podemos decir que Nsistema (to + ∆t) 6= NV C (to + ∆t) De la figura, la regi´on I representa Nentra (to + ∆t), y la region III representa Nsale (to + ∆t), correspondiente a las cantidades de N que entra y salen del VC respectivamente. N´otese adem´as que puesto que N puede tambi´en estar cambiando con respecto al tiempo, en general, Nsistema (to ) 6= Nsistema (to + ∆t). De la figura podemos entonces deducir que NV C (to + ∆t) = Nsistema (to + ∆t) − Nsale (to + ∆t) + Nentra (to + ∆t) Restando Nsistema (to ) a ambos lados de la ecuaci´on y dividiendo entre ∆t tenemos Nsistema (to + ∆t) − Nsistema (to ) NV C (to + ∆t) − Nsistema (to ) = ∆t ∆t Nsale (to + ∆t) Nentra (to + ∆t) − + ∆t ∆t

´ CAP´ITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

92

Del lado izquierdo de la ecuaci´on podemos sustituir Nsistema (to ) por NV C (to ). Adem´as podemos restar Nsale (to )/∆t y Nentra (to )/∆t del lado derecho de la ecuaci´on. (note que Nsale (to ) = Nentra (to ) = 0). Tenemos entonces, tomando el l´ımite en que ∆t → 0: Nsistema (to + ∆t) − Nsistema (to ) ∆t→0 ∆t Nsale (to + ∆t) − Nsale (to ) − l´ım ∆t→0 ∆t Nentra (to + ∆t) − Nentra (to ) + l´ım ∆t→0 ∆t

NV C (to + ∆t) − NV C (to ) = ∆t→0 ∆t l´ım

l´ım

Por lo tanto DNsistem d dNV C = − (Nsale − Nentra ) dt Dt dt La notaci´on D/Dt representa la raz´on de cambio de un conjunto de part´ıculas espec´ıficas (descripci´on Lagrangiana). Rearreglando la ecuaci´on anterior tenemos,  Z Z  d D d ηρdV + (Nsale − Nentra ) ηρdV = Dt Vsistema dt CV dt El u ´ ltimo t´ermino de esta ecuaci´on representa la tasa neta a la cual N esta saliendo del volumen de control a trav´es de la superficie de ´este. Podemos hacer una an´alisis m´as detallado de un elemento diferencial de la superficie del VC, dS. La componente de flujo que puede arrastrar una propiedad hacia afuera del VC a trav´es de dS es ~v · n ˆ . Note que ~v es la velocidad del flujo con respecto al VC. El elemento diferencial de volumen de fluid que sale del VC a trav´es de dS en el tiempo ∆t es: ˆ dV = (~v · n ˆ )∆tdS = (~v · dS)∆t Podemos entonces definir un flujo volum´etrico infinitesimal a trav´es de dS ˆ dQ = ~v · dS

93

5.3. TEOREMA DE TRASPORTE DE REYNOLDS

V

n dS

(V n) t

VC sistema

Entonces, d (Nsale − Nentra ) = dt

Z

ηρdQ =

S

Z

S

ˆ η(ρ~v · dS)

Por lo tanto la ecuaci´on para describir el cambio total de una propiedad de un sistema que atraviesa un VC se puede escribir como: D Dt

Z

Vsistema

ηρdV



∂ = ∂t

Z

CV



ηρdV +

Z

S

ˆ η(ρ~v · dS)

(5.1)

Esta ecuaci´on es el Teorema de Trasporte de Reynolds (TTR). El t´ermino de la izquierda representa la tasa de cambio de la propiedad N dentro del sistema. El primer t´ermino de la derecha representa la raz´on de acumulaci´on de N dentro del VC; el segundo t´ermino de la derecha representa el flujo neto de N a trav´es de la superficie S que envuelve al V C.

´ CAP´ITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

94

5.4.

Ecuaci´ on de conservaci´ on de masa

La ecuaci´on de conservaci´on de masa para un sistema es DM | =0 Dt sistema Para este caso N = M y por lo tanto η = 1. Sustituyendo estas cantidades en el TTR tenemos Z  Z DM ∂ ˆ ρdV + ρ~v · dS | = Dt sistema ∂t CV S por lo tanto ∂ 0= ∂t

Z



ρdV +

CV

Z

S

ˆ ρ~v · dS

(5.2)

que es la ecuaci´on de conservaci´on de masa para un VC.

5.4.1.

Casos especiales

Flujo incompresible En este caso ρ = constante. Por lo tanto la ecuaci´on de conservaci´on de masa se puede simplificar: Z  Z ∂ ˆ dV + ~v · dS 0= ∂t CV S Por definici´on, el VC no cambia como funci´on del tiempo. Por lo tanto: Z ˆ 0 = ~v · dS S

Si definimos el flujo volum´etrico Q como Z ˆ Q= ~v · dS A

´ DE CONSERVACION ´ DE MOMENTUM LINEAL 5.5. ECUACION

95

entonces la ecuaci´on de conservaci´on de masa se puede escribir como 0=

N X

Qi

i1

Tambi´en podemos definir la velocidad media a trav´es de una superficie, A:

Q 1 U¯ = = A A

Z

A

ˆ ~v · dS

Flujo estacionario compresible Para este caso ∂/∂t = 0, entonces Z ˆ 0= ρ~v · dS S

5.4.2.

Ejemplos

Aun no escrito.

5.5.

Ecuaci´ on de conservaci´ on de momentum lineal

La ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal para un sistema es D P~ | F~ = Dt sistema Para este caso N = P~ y por lo tanto η = ~v . Sustituyendo estas cantidades en el TTR tenemos Z  Z  Z ∂ D ˆ ~v ρdV = ~v ρdV + ~v (ρ~v · dS) Dt Vsistema ∂t CV S Por lo tanto

´ CAP´ITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

96

∂ F~ = ∂t

Z



~v ρdV + CV

Z

S

ˆ ~v (ρ~v · dS)

(5.3)

que es la ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal para un VC. El primer t´ermino del lado derecho representa la acumulaci´on de momentum dentro del VC, mientras que el segundo representa el flujo neto de momentum a trav´es de la superficie del VC. La fuerza neta sobre el VC puede separarse en dos tipos F~ = F~S + F~V donde F~S =

Z

~ −P dS

Z

~ ρBdV

A

y F~V =

V

~ puede ser un campo gravitacional, magn´etico, etc. donde B

5.5.1.

Algunas observaciones

Recuerde que la ecuaci´on de conservaci´on de momentum es una ecuaci´on vectorial. Entonces, de hecho, son en realidad tres ecuaciones. Sin consideramos que ~v = (u, v, w) en las coordenadas (x, y, z), entonces Z  Z ∂ ˆ uρdV + u(ρ~v · dS (FV )x + (FS )x = ∂t CV S Z  Z ∂ ˆ (FV )y + (FS )y = vρdV + v(ρ~v · dS ∂t CV S Z  Z ∂ ˆ (FV )x + (FS )x = wρdV + w(ρ~v · dS ∂t CV S Debe siempre tenerse en cuenta que la velocidad ~v que aparece en al ecuaci´on de conservaci´on de momentum es una velocidad relativa con respecto al VC.

´ 5.6. ANALISIS PARA UN VC QUE SE MUEVE A UNA VELOCIDAD CONSTANTE97 La derivaci´on del TTR se llev´o a cabo considerando que el VC estaba fijo en el espacio (o que se trasladaba a una velocidad constante). Es decir, para un sistema de referencia inercial. Si el VC se esta acelerando (sistema de referencia no inercial), el TTR no es aplicable. Existe una derivaci´on generalizada para el TTR para este caso. Para resolver un problema cd VC se debe ser cuidadoso. recuerde: 1. Dibuje el VC sobre el cual se aplicar´a la ecuaci´on de conservaci´on 2. Indique el sistema de referencia 3. Escriba expl´ıcitamente las suposiciones 4. Haga un diagrama de cuerpo libre 5. Escriba la ecuaci´on e indique el valor de cada termino Aunque estas indicaciones pueden parecer triviales e innecesarias, seguir estos pasos reduce la posibilidad de equivocaci´on.

5.5.2.

Ejemplos

Aun no escrito.

5.6.

An´ alisis para un VC que se mueve a una velocidad constante

Para este caso simplemente debemos hacer un cambio de variables. Si la velocidad a la que se desplaza el VC es constante, entonces el sistema referencia sigue siendo inercial. El teorema de trasporte de Reynolds se escribe entonces como:   Z Z Z ∂ D ˆ ηρdV = ηρdV + η(ρ~vc.r.V C · dS) (5.4) Dt Vsistema ∂t CV S donde ~vc.r.V C es la velocidad del flujo con respecto al volumen de control.

´ CAP´ITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

98

5.6.1.

Ejemplos

Calcule la fuerza que se ejerce sobre el carro mostrado en la figura si ´este se esta moviendo a una velocidad constante VC .

5.7.

Conservaci´ on de momentum para un VC con aceleraci´ on rectil´ınea

Consideremos la conservaci´on de momentum lineal para un sistema ~ Z D PXY F~ = Dt ~ Z esta evaluado para un sistema de referencia inercial XY Z. Podonde PXY demos escribir la ecuaci´on anterior tal que Z D ~ Z dm F~ = VXY Dt masa mas aun F~ =

Z

masa

Z ~ Z D VXY dm = aXY ~ Z dm Dt masa

Si el volumen de control para el cual se desea aplicar las leyes de conservaci´on se esta acelerando (sistema no inercial), debemos expresar vecaXY Z como funci´on de las coordenadas no inerciales, xyz: aXY ~ Z = axyz ~ + a~rf donde a~rf es la aceleraci´on lineal del sistema de referencia xyz con respecto a XY Z. Entonces podemos escribir Z ~ F = axyz ~ + a~rf dm masa

´ 5.8. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA ´o F~ − Sabemos que axyz ~ = F~ −

Z

Z

a~rf dm = masa

~ D Vxyz Dt

entonces

masa

F~ −

axyz ~ dm

masa

a~rf dm =

por lo tanto

Z

99

Z

Z

masa

D P~xyz D V~xyz dm = Dt Dt

a~rf ρdV =

V

D P~xyz Dt

Utilizando en teorema de trasporte de Reynolds, podemos reescribir el ultimo t´ermino de la ecuaci´on anterior. Z  Z D P~xyz ∂ ˆ vxyz ~ ρdV + vxyz ~ (ρvxyz ~ · dS) = Dt ∂t CV S Por lo tanto Z  Z Z ∂ ˆ ~ vxyz ~ ρdV + vxyz ~ (ρvxyz ~ · dS) F− a~rf ρdV = ∂t CV S V

5.7.1.

Ejemplos

Calcule las condiciones para el despegue de un cohete a propulsi´on a chorro, que se acelera a una tasa constante.

5.8.

Primera ley de la termodin´ amica

Sabemos que

˙ = DE | Q˙ − W Dt sistema La energ´ıa de un sistema es Z Esistema = eρdV VC

´ CAP´ITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL

100

donde e es la energ´ıa espec´ıfica dada por e=u+

V2 + gz 2

donde u es la energ´ıa interna, V es el m´odulo de la velocidad y z es la altura con respecto a una referencia. Utilizando el TTR, considerando N = E y η = e, tenemos Z  Z ∂ ˆ ˙ ˙ eρdV + e(ρ~v · dS) Q−W = ∂t CV S ˙ , o potencia, es positiva Podemos considerar que la raz´on de trabajo, W cuando el trabajo es realizado por el volumen de control sobre sus alrededores (convenci´on). Adem´as es usual dividir a la potencia en ˙ =W ˙ par + W ˙ normal + W ˙ corte + W ˙ otros W donde ˙ normal = − W ˙ corte = − W Entonces ˙ W ˙ par −W ˙ normal −W ˙ corte −W ˙ otros Q−

5.8.1.

Ejemplos

Aun no escrito.

Z

SC

~ P ~v · dS,

SC

~ τ~v · dS

Z

∂ = ∂t

Z

CV

 Z V2 ˆ eρdV + (u+ +gz)(ρ~v ·dS) 2 S

Cap´ıtulo 6 Escalamiento y an´ alisis dimensional 6.1.

Introducci´ on

El t´ermino escalamiento describe una situaci´on muy sencilla: la existencia de una relaci´on tipo ley de potencia ente algunas variables, x y y por ejemplo, y = Axα donde A, α son constantes. Este tipo de relaciones aparecen en el modelado matem´atico de muchos fen´omenos, no solo en f´ısica e ingenier´ıa sino tambi´en en biolog´ıa, econom´ıa, etc. Estas leyes de escalamiento no son solo un tipo simple de una clase m´as general de relaciones. De hecho son excepcionales pues nunca aparecen de forma fortuita. Las leyes de escalamiento revelan una propiedad importante sobre el fen´omeno que describen: su auto-similaridad. La auto-similaridad significa que el fen´omeno se reproduce a si mismo en diferentes escalas de tiempo y/o espacio. Podemos introducir este tema bas´andonos en un primer ejemplo, que de hecho ejemplifica el descubrimiento de las leyes de escalamiento y el fen´omeno de auto-similaridad. Analicemos el estado intermedio de una explosi´on nuclear. En este estado, una onda de choque intensa se propaga en la atm´osfera 101

102

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

Figura 6.1: Fotograf´ıa y esquema de una explosi´on at´omica. y el gas dentro de la onda de choque puede suponerse adiab´atico. Este problema fue resuelto por G.I. Taylor en 1940. La pregunta que deb´ıa resolver era ¿cu´al es el efecto mec´anico que se espera de una explosi´on de gran intensidad? Para responder a esta pregunta Taylor ten´ıa que entender y calcular el movimiento del gas ambiental despu´es de dicha explosi´on. Era claro que despu´es de un per´ıodo inicial corto, una onda de choque aparece. Podemos suponer que el movimiento es esf´ericamente sim´etrico. Para este estado inicial de la explosi´on es posible despreciar los efectos viscosos y se puede suponer que el gas se mueve en forma adiab´atica. Para construir un modelo matem´atico debemos considerar: 1. la ecuaci´on de conservaci´on de masa: 1 ∂ 2
∂ρ r ρu = 0 + 2 ∂t r ∂r

2. la ecuaci´on de conservaci´on de momentum: ∂u 1 ∂P ∂u +u =− ∂t ∂r ρ ∂r

3. la ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa:     ∂ P ∂ P +u =0 ∂t ργ ∂r ργ

(6.1)

(6.2)

(6.3)

´ 6.1. INTRODUCCION

103

obviamente, ´estas deben de ir acompa˜ nadas por condiciones de frontera y condiciones iniciales. Condiciones iniciales: ρ(r, 0) = ρ0

(6.4)

P (r, 0) = P0

(6.5)

u(r, 0) = 0

(6.6)

ρ(r, 0) = ρi (r)

(6.7)

P (r, 0) = Pi (r)

(6.8)

u(r, 0) = ui (r)

(6.9)

para r ≥ ro . y

para r < ro . El problema es en extremo complicado. No se puede resolver. Taylor, usando an´alisis dimensional, y suponiendo que la energ´ıa de la explosi´on, E, se soltaba de manera concentrada en r0 = 0, argument´o que: Pf = f (E, t, r0 , ρo , γ, Po )

(6.10)

Si, r0 = 0 y Po ≪ Pf entonces Pf = f (E, t, ρo , γ)

(6.11)

y lleg´o a la conclusi´on de que Pf = C(γ)E 2/5 t−6/5 ρ3/5 o

(6.12)

Lo cual es muy cercano a lo que se encontr´o experimentalmente. En esta parte del curso aprenderemos a utilizar esta t´ecnica.

104

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

6.2.

An´ alisis Dimensional

Primero comenzaremos definiendo algunos conceptos fundamentales. Una medici´on es la comparasi´on de una cantidad f´ısica con un est´andar. La medici´on se d´a en t´erminos de unidades. Las unidades pueden ser fundamentales (masa, tiempo, distancia) o derivadas (sin combinan unidades fundamentales, velocidad por ejemplo). Si un grupo de unidades fundamentales tiene suficientes elementos para describir a un sistema f´ısico, lo llamamos sistema de unidades. Por ejemplo: Un sistema de unidades con un solo elemento, distancia L, mide propiedades geom´etricas. Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T , mide propiedades cinem´aticas. Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T , y masa, M, mide propiedades din´amicas. Una clase de sistema de unidades es la que posee unidades similares. Por ejemplo los sistemas cm-gr-s y km-ton-s son de la misma clase. Es importante notar que se puede ‘crear´otro sistema sustituyendo la unidad M por la unidad F . Para esto se emplea la segunda ley de Newton para hacer la equivalencia entre masa y fuerza: F = MLT −2 .

6.2.1.

Dimensi´ on de una variable f´ısica y Funci´ on Dimensi´ on

Las unidades fundamentales L, M y T son siempre n´ umeros positivos. Pueden interpretarse como los factores para cambiar de un sistema a otro. Por ejemplo, si la unidad de distancia es reducida por un factor L y la unidad de tiempo es reducida por un factor T , entonces la unidad de velocidad es LT −1 veces menor que la unidad original.

´ 6.2. ANALISIS DIMENSIONAL

105

As´ı, el cambio del valor num´erico de una cantidad f´ısica al pasar de un sistema de unidades a otro en la misma clase esta dado por su dimensi´on. La funci´on que determina el factor se denomina funci´on dimensi´on. Ejemplo: La funci´on dimensi´on de la densidad en el sistema MLT es: ρ[=]ML−3 y en el sistema F LT es: ρ[=]F L−4 T 2 . Una cantidad f´ısica que tiene el mismo valor en diferentes sistemas de unidades se dice que es ‘adimensional’. Su funci´on dimensi´on es unitaria (φ[=]1). Para que una ecuaci´on tenga significado f´ısico, ambos lados de la ecuaci´on ´ deben de tener la misma funci´on dimensi´on. Esto se ver´a mas adelante. Funci´ on de potencia Se puede demostrar que la funci´on dimensi´on, que represente a una variable f´ısica, es una funci´on de potencia tipo Lα M β T γ , donde α, β y γ son n´ umeros reales cualesquiera. En otras palabras las funci´on dimensi´on es un monomio de potencias de cada una de las unidades fundamentales. Por ejemplo, la masa, m en el sistema LMT tiene una funci´on dimensi´on: m[=]M 1 o en el sistema LF T : m[=]L−1 F T 2 . La energ´ıa, E tiene la funci´on dimensi´on: E[=]F L en el sistema LF T y en el sistema LMT es: E[=]L2 MT −1 . No puede existir una funci´on dimensi´on de la forma:

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

106

L + M2 exp(M)L M cos(T ) log(L) ¿Porqu´e? Es posible demostrar que si la funci´on dimensi´on no tiene esta forma polinomial de potencia entonces no se puede asegurar que todos los sistema de unidades dentro de una misma clase son equivalentes. Demostraci´ on Supongamos que la funci´on dimensi´on de la variable f´ısica A esta dada por: A[=]φ(L, M, T ) Elijamos ahora dos sistemas de unidades dados por: Sistema 1: L1 , M1 , T1 Sistema 2: L2 , M2 , T2 . Ahora por definici´on: A1 = Aφ(L1 , M1 , T1 ) A2 = Aφ(L2 , M2 , T2 ) Entonces: A=

A1 A2 = φ(L1 , M1 , T1 φ(L2 , M2 , T2 )

y por lo tanto: φ(L2 , M2 , T2 ) A2 = ) A1 φ(L1 , M1 , T1 ETC.

´ 6.2. ANALISIS DIMENSIONAL

6.2.2.

107

Cantidades con dimensiones independientes

Las cantidades A1 , A2 , . . . , Ak se dicen que tienen dimensiones independientes si ninguna de ´estas tiene una funci´on dimensi´on que pueda representarse como el producto de las funciones dimensi´on restantes. Por ejemplo: ρ[=]ML−3 U[=]LT −1 F [=]MLT −2 tienen dimensiones independientes porque ninguna de ´estas puede representarse como una combinaci´on multiplicativa de las otras. Para demostrarlo podemos suponer lo contrario: solo dos de las tres cantidades tienen dimensiones independientes. Notemos que tanto ρ como F tienen M es sus funciones dimensi´on. Podemos entonces suponer que: F [=](ρ)x (U)y por lo que MLT −2 [=](ML−3 )x (LT −1 )y Podemos igualar los exponentes para cada una de las dimensiones fundamentales, L, M, T : Para L → 1 = −3x + y

Para M → 1 = x

Para T → −2 = −y

No hay soluci´on. Esto indica que la suposici´on de que F se pod´ıa expresar como una multiplicaci´on de potencias de ρ y U es falsa. Es importante notar que ninguna de las cantidades Ai que tengan dimensiones independientes pueden ser adimensionales. La dimensi´on de una cantidad adimensional es 1, lo cual se puede obtener como el producto de todas las demas cantidades elevadas a la potencia cero.

108

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

6.3.

An´ alisis Dimensional

Un modelo matem´atico busca establecer relaciones entre variables f´ısicas. Este modelo deber´a entonces de ser capaz de representar a un cierto fen´omeno f´ısico real. Entonces podemos decir que A = f (A1 , A2 , . . . , Ak , B1 , B2 , . . . , Bm )

(6.13)

La cantidad A es aquella que deseamos determinar en funci´on de n = k + m cantidades f´ısicas. Los argumentos de la funci´on f est´an separados tal que A1 , A2 , . . . , Ak tienen dimensiones independientes y B1 , B2 , . . . , Bm no. Entonces podemos adem´as escribir: B1 = (A1 )p1 . . . (Ak )r1 .. . Bi = (A1 )pi . . . (Ak )ri .. . Bm = (A1 )pm . . . (Ak )rm Podemos tener casos en que m = 0, pero en general k ≥ 1 y m > 0. La funci´on dimensi´on de A tambi´en se puede escribir como: A = (A1 )p . . . (Ak )r

6.3.1.

Homogeneidad Generalizada

Podemos definir a las siguientes cantidades: Π= Π1 =

A (A1 )p ...(Ak )r B1 (A1 )p1 ...(Ak )r1

.. .

Πi =

Bi (A1 )pi ...(Ak )ri

.. .

Πm =

Bm (A1 )pm ...(Ak )rm

´ 6.3. ANALISIS DIMENSIONAL

109

donde los exponentes de los par´ametros con dimensiones independientes son tales que las cantidades Π, Π1 , . . . , Πi , . . . , Πm son todas adimensionales. La ecuaci´on (6.13) se puede entonces reescribir en t´erminos de las cantidades Π, Π1 , . . . , Πi , . . . , Πm y los par´ametros A1 , A2 , . . . , Ak : Π=

f (A1 , A2 , . . . , Ak , B1 , B2 , . . . , Bm ) (A1 )p . . . (Ak )r

entonces Π=

f (A1 , A2 , . . . , Ak , Π1 ((A1 )p1 . . . (Ak )r1 ), . . . , Πm ((A1 )pm . . . (Ak )rm )) (A1 )p . . . (Ak )r

y finalmente, nos lleva a Π = F(A1 , A2 , . . . , Ak , Π1 , . . . , Πm ) Ahora, es importante hacer notar que la expresi´on anterior es adimensional del lado izquierdo, pero tiene argumentos dimensionales del lado derecho. Si quisi´eramos hacer un cambio de unidades, el lado derecho se ver´ıa afectado pero el lado izquierdo no. Entonces, podemos argumentar que para que la expresi´on sea v´alida en general la funci´on F no puede depender de los argumentos A1 , A2 , . . . , Ak . Por lo tanto podemos escribir: Π = Φ(Π1 , . . . , Πm )

(6.14)

En otras palabras, cualquier funci´on f , que es dimensionalmente correcta y que tiene k + m argumentos, puede reescribirse de forma adimensional, Φ con solo m argumentos:

f (A1 , A2 , . . . , Ak , B1 , B2 , . . . , Bm ) = (A1 )p . . . (Ak )r Φ(Π1 , . . . , Πm )

6.3.2.

Teorema Π

Los argumentos anteriores nos llevan a formular el teorema general del an´alisis dimensional:

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

110

“ Una relaci´on f´ısica entre una cantidad dimensional y varios par´ametros dimensionales, que influyen su comportamiento, puede reescribirse como una relaci´on entre un par´ametro adimensional y varios productos adimensionales” Adem´as: “El n´ umero de productos adimensionales es igual al n´ umero de par´ametros menos el n´ umero de par´ametros con dimensiones independientes.” El an´alisis adimensional puede usarse de forma u ´ til para: 1. El an´alisis preliminar de un fen´omeno f´ısico 2. El procesamiento de datos experimentales 3. Para simplificar e interpretar el modelo matem´atico de un problema f´ısico, si ´este se conoce.

6.3.3.

Ejemplos

P´ endulo Utilizando an´alisis dimensional es posible determinar el per´ıodo de oscilaci´on de un p´endulo libre. Consideremos un p´endulo libre, de masa m, en un cable de largo l, que oscila bajo la acci´on de la gravedad, g. Podemos establecer una relaci´on funcional entre el per´ıodo de oscilaci´on, θ, y el resto de las variables relevantes al problema. El per´ıodo debe de depender de: la gravedad g la masa, m el largo del cable l.

´ 6.3. ANALISIS DIMENSIONAL

111

l

g

m T

Entonces: θ = f (m, l, g) Funciones dimensi´on: T [=] T m [=] M l [=] L g [=] LT −2 Podemos notar que las variables g, l y m tienen dimensiones independientes (ninguna se puede expresar como un producto de potencias de la otras). Para este caso k = 3 y m = 0. Entonces el n´ umero total de variables es k +m = 3, y el n´ umero de variables con dimensiones independientes es k = 3. Del teorema Π podemos calcular el n´ umero de grupos adimensionales: No. de grupos adimensionales = (k + m) − k = m = 0 No hay ning´ un grupo adimensional! Entonces θ = f (m, l, g) se transforma en: Π = constante

112

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

Resta entonces determinar Π: Π=

θ g α lβ mγ

o θ = Cg α lβ mγ lo cual el t´erminos de las funciones dimensi´on se escribe como: T [=](LT −2 )α (L)β M γ Igualando exponentes para cada una de las dimensiones fundamentales: Para T : 1 = −2α

Para L : 0 = α + β

Para M : 0 = γ Por lo tanto:

√ θ g Π= √ l Puesto que Π = constante tenemos que: s l θ=C g La constante debe de determinarse experimentalmente. Soluci´ on formal exacta: La fuerza sobre la masa m es: F~ = −mg sen θ Si el ´angulo es peque˜ no sin θ ≈ θ, por lo que F~ = −mgθ. Ademas θ ≈ x/l. Entonces, d2 x x m 2 = −mg dt l

´ 6.3. ANALISIS DIMENSIONAL cuya soluci´on es:

113

r g g t) + C2 cos( t) x = C1 sin( l l Con las condiciones de contorno se pueden encontrar las constantes C1 y C2 . Es claro que la soluci´on es peri´odica y que la frecuencia de oscilaci´on es p ω = g/l, y el per´ıodo de oscilaci´on es: r

2π ω Lo que finalmente da como resultado: s θ=

θ = 2π

l . g

Flujo en tuber´ıas Sabemos de flujo en tuber´ıas que se puede relacionar al gradiente de presi´on con la velocidad media del flujo y el resto de las propiedades del fluido. La soluci´on de Poiseuille (soluci´on exacta a las ecuaciones de Navier-Stokes) es: U ∆P = 32µ 2 L D Intentemos resolver este problema usando u ´ nicamente an´alisis dimensional. Podemos plantear la siguiente relaci´on funcional: ∆P = f (U, µ, ρ, D, . . .) L Las funciones dimensi´on de todas la variables son: ∆P /L [=] U [=]

L T

µ [=]

M LT

M L2 T 2

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

114

ρ [=]

M L3

D [=] L Variables con dimensiones independientes: U, ρ, D (k=3) Numero total de variables k + m = 4 N´ umero de grupos adimensionales = 1. Entonces: Π = Φ(Π1 ) Solo falta determinar Π y Π1 . Se determinan usando la t´ecnica de variables repetidas (mas adelante): Π=

(∆P/L)D ρU 2

y Π1 = Por lo tanto:

ρDU µ

  ∆P ρU 2 ρDU = Φ L D µ

Teorema de Pit´ agoras

6.4.

M´ etodo de variables repetidas

El teorema Π, a pesar de su profundidad e importancia, u ´ nicamente nos dice que se puede escribir una relaci´on entre n´ umeros adimensionales con una dimensionalidad reducida. El teorema no dice cuales son estas variables adimensionales. El m´etodo de variables repetidas puede usarse para determinar de forma met´odica los grupos adimensionales.

´ 6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS

6.4.1.

115

Algortimo del MVP

1. Haga una lista de todas las variables f´ısicas involucradas en el problema. a) Este punto puede ser el m´as dif´ıcil pues requiere experiencia e intuici´on. b) Algunas variables comunes son la presi´on la velocidad, la viscosidad, la aceleraci´on gravitacional, etc. c) Identifique las variables independientes (evite variables que sean el producto de otras). 2. Determine la funci´on dimensi´on de cada variable, en t´erminos de las variables fundamentales. a) Para el caso de flujo de fluidos, las dimensiones fundamentales son LMT (o LF T ). Ocasionalmente, se debe considerar tambi´en la dimensi´on fundamental de temperatura, Θ. b) Recuerde que la notaci´on para funciones dimensi´on es, tomando a la densidad como ejemplo: ρ [=]

M L3

3. Use el teorema Π para determinar el n´ umero de grupos adimensionales que se pueden obtener: N´ umero de grupos Π =

(k + m) | {z }

n´ umero total de variables

−

(m) |{z}

n´ umero de variables con dimensiones dependientes

a) Es muy importante determinar el n´ umero de variables con dimensiones independientes, k, pues este ser´a el n´ umero de grupos adimensionales que se pueden formar. b) Se puede determinar cuantas variables con dimensiones independientes por prueba y error. Es importante notar que, en general, el n´ umero de variables con dimensiones independientes es igual al n´ umero de dimensiones fundamentales.

116

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

4. Elija un conjunto de variables repetidas. El n´ umero de variables de este conjunto debe de ser igual a k (el n´ umero de variables con dimensiones independientes). a) Obviamente, el conjunto de variables repetidas debe de ser un subconjunto de conjunto total de variables. b) Las variables repetidas tendr´an, consecuentemente, dimensiones independientes. De esta manera, todas las dimensiones fundamentales deben de aparecer en las funciones dimensi´on de este subconjunto. c) La variable dependiente no debe de elegirse como parte de este subconjunto. 5. Encuentre cada grupo Π multiplicando cada una de las variables norepetidas (VNR) por un producto de potencias de las variables repetidas (V R1 , . . . , V Rk ). Las potencias deben de calcularse tal que todo el grupo sea adimensional. Πi = VNRi (V R1 , . . . , V Rk ) Encuentre un grupo adimensional para cada variable no-repetida. Encuentre tambi´en un grupo adimensional para la variable dependiente. 6. Verifique que los grupos obtenidos sean adimensionales. 7. Escriba la nueva relaci´on funcional en t´erminos de los n´ umeros adimensionales. Ejemplos Deformaci´on de la base un tanque lleno de l´ıquido. Considere un tanque cil´ındrico de di´ametro D esta lleno de un fluido

´ 6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS

117

con peso espec´ıfico γ = ρg. Su base se apoya u ´ nicamente en la periferia de la circunferencia de la base. Por lo tanto, el centro de la base de deforma una cierta longitud, δ. Encuentre la relaci´on funcional adimensional entre la deflecci´on y todos los par´ametros f´ısicos relevantes. 1. Podemos argumentar que δ depende de: δ = f (D, h, d, γ, E) donde d es el espesor de la placa de la base y E su m´odulo el´astico. 2. Las funciones dimensi´on de cada variable es: δ [=] L h [=] L D [=] L d [=] L γ [=] F/L3 E [=] F/L2

3. El n´ umero de grupos adimensionales es: No. de grupos adimensionales = No. variables−No. variables c/dims. independientes por lo tanto: No. de grupos adimensionale = 5 − 2 = 3 Importante: note que en este caso el n´ umero de variables con dimensiones independientes es diferente. 4. Escojamos las variables repetidas: D y γ.

118

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL 5. Calculamos los n´ umeros adimensionales

Π = δD α γ β Igualando los exponentes de las funciones dimensi´on llegamos a que α = −1 y β = 0. Por lo tanto: Π= De manera similar:

δ D

h D d Π2 = D Π1 =

Finalmente: Π3 = ED α γ β Para este caso: α = −1 y β = −1, por lo que Π3 =

E Dγ

6. Verificamos que los grupos sean adimensionales: Π [=] L/L Π1 [=] L/L Π2 [=] L/L Π3 [=] (F/L2 )(1/L)(L3 /F ) 7. Finalmente:

δ =Φ D



h d E . , D D Dγ



´ EN FORMA ADIMENSIONAL119 6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION

L´ıquido que se derrama en una superficie horizontal. Un cierto volumen de fluido se derrama sobre una placa horizontal. Suponga que el tiempo requerido para el fluido recorra una cierta distancia horizontal, d, depende del volumen, V, la gravedad, g, la viscosidad, µ y la densidad ρ. Escribir 0 = f (t, d, V, g, µ, ρ) y proceder. Se encuentran tres grupos adimensionales: r g Π1 = t d V Π2 = d√ ρd gd Π3 = µ Y por lo tanto

6.5.

r √ g V ρd gd = Φ( , ) t d d µ

Ecuaciones de Conservaci´ on en Forma Adimensional

Si consideramos escalas caracter´ısticas para un problema de flujo de fluidos cualquiera de distancia, L, velocidad, U y tiempo, D/U, podemos adimensionalizar las ecuaciones de flujo de fluidos haciendo cambios de variables. Por ejemplo: x∗ =

x L

u∗i =

ui U

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

120

t∗ =

tU L

P∗ =

P ρU 2

Las derivadas se pueden reescribir de forma adimensional. Por ejemplo: 1 ∂ ∂ = ∂x L ∂x∗ As´ı, la ecuaci´on de conservaci´on de masa es: ∇∗ u~∗ = 0

(6.15)

Y las ecuaciones de Navier-Stokes son: ∂ u~∗ 1 1 + (u~∗ · ∇∗ )u~∗ = −∇∗ P ∗ + (∇∗ )2 u~∗ + ∂t Re Fr

(6.16)

donde Re es el n´ umero de Reynolds y F r es el n´ umero de Froude. De esta manera es f´acil simplificar la forma de esas ecuaciones para dos casos extremos: Re > 1.

6.5.1.

N´ umeros adimensionales relevantes en Mec´ anica de Fluidos

En flujo de fluidos aparecen frecuentemente grupos adimensionales que ´ caracterizan ciertas propiedades del flujo. Estos siempre tienen una interpretaci´on f´ısica y su valor revela ciertos aspectos del problema en estudio. N´ umero de Reynolds: Re =

UρD µ

Es una comparaci´on entre las fuerzas inerciales (ρU 2 D 2 ) y las fuerzas viscosas (µDU) de un cierto flujo. Su valor determina si un flujo puede ser laminar o turbulento.

´ EN FORMA ADIMENSIONAL121 6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION N´ umero de Froude: Fr =

U2 gD

Este grupo compara fuerzas inerciales y gravitacionales de un cierto flujo. Sirve para determinar cuando un flujo esta dominado por inercia o gravedad. N´ umero de Mach Ma =

U c

Este grupo compara la velocidad del un flujo con la velocidad de propagaci´on del sonido c. Como veremos mas adelante, cuando Ma > 1 la fenomenolog´ıa de flujo cambia de manera substancial. N´ umero de Euler Eu =

δP ρU 2

Compara la ca´ıda de presi´on con la presi´on din´amica. Coeficiente de arrastre: CD =

FD ρU 2 D 2

Ga =

gD 3 ρ2 µ2

N´ umero de Galileo:

Se se consideran efectos de tensi´on superficial, σ, se pueden definir muchos otros n´ umeros adimensionales: Weber, capilaridad, Bond, Ohnesorge, Morton, etc. Si se consideran efectos y propiedades t´ermicas, T , Cp ,α,k,h, etc. se pueden definir los n´ umeros: Prandtl, Nusselt, Rayleigh, Grashof, etc.

122

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

6.6.

Teor´ıa de Modelos y Similaridad

Otra de las herramientas de gran importancia del an´alisis dimensional es la teor´ıa de similaridad. Esta idea nos permite estudiar sistemas modelo, en condiciones de laboratorio, que reproducen fielmente el comportamiento de sistemas reales.

6.6.1.

Similaridad

Se dice que dos sistemas son similares si el valor de los n´ umeros adimensionales que los representan son iguales. Esta idea es muy f´acil de entender en sistemas geom´etricos y se puede generalizar para sistemas cinem´aticos y din´amicos.

Similaridad geom´ etrica La similaridad geom´etrica se d´a entre dos figuras si una es una reproducci´on a escala de la otra. En otras palabras, se dice que dos figuras geom´etricas son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tama˜ nos entre ellos. En el contexto de an´alisis dimensional, podemos demostrar que dos figuras geom´etricas son similares si sus grupos adimensionales son iguales. En la similaridad geom´etrica u ´ nicamente aparece la dimensi´on fundamental L. Los mapas a escala son el mejore ejemplo de sistemas geom´etricos bidimensionales similares. Ejemplo: tri´angulos similares.

Similaridad cinem´ atica La similaridad cinem´atica requiere que todos los n´ umeros adimensionales que contengan dimensiones fundamentales L y T sean iguales.

6.6. TEOR´IA DE MODELOS Y SIMILARIDAD

123

Similaridad din´ amica o total Para el caso de sistemas f´ısicos en los cuales las dimensiones fundamentales son LMT , se requiere que todos los n´ umeros adimensionales para dos sistemas sean iguales para poder asegurar que ´estos son similares.

6.6.2.

Teor´ıa de Modelos

Los modelos son replicas a ‘escala’ de sistemas reales que se usan para estudiar un fen´omeno f´ısico en condiciones de laboratorio. Al sistema real com´ unmente se denomina ‘prototipo’, mientras que al sistema escalado se denomina ‘modelo’. As´ı, para que un prototipo y un modelo sean similares se debe de cumplir que: Πmodelo = Πprototipo 1 1 .. . Πmodelo = Πprototipo i i .. . Πmodelo = Πprototipo m m

donde m es en n´ umero de grupos adimensionales u ´ nicos para dicho sistemas. Es importante notar que no siempre se puede satisfacer que todos los grupos adimensionales sean iguales. Ejemplos Ejemplo 1. Se desean estudiar la fuerza de empuje generada por de un rotor de motor de barco. El rotor de de cuatro aletas y se desean caracterizar con un prototipo a escala 10:1. El modelo tiene un di´ametro de 2 m y gira a una velocidad angular de 600 RPM y el barco se desplaza a una velocidad de 10 m/s. Calcule las condiciones necesarias para hacer

124

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

pruebas en un t´ unel de viento. Primero debemos de identificar las variables importantes: FE = f (U, ω, D, ρ, µ) donde FE es la fuerza de empuje, U es la velocidad del barco, ω es la velocidad angular del rotor, D es el di´ametro, y µ y ρ las propiedades del fluido. Considerando las funciones dimensi´on y el teorema Π tenemos: FE ρU 2 D 2 ρUD = µ ρωD 2 = µ

Π = Π1 Π2

Para que la fuerza de empuje en el modelo tenemos que:   FE = ρU 2 D 2 prototipo   ρUD = µ prototipo   ρωD 2 = µ prototipo

prototipo sea representati va del 

 FE ρU 2 D 2 modelo   ρUD µ modelo   ρωD 2 µ modelo

Si el prototipo es una r´eplica a escala 1:10 del modelo entonces Dmodelo = 10Dprototipo . Adem´as, µmodelo = µaire y ρmodelo = ρaire . Igualando los n´ umeros Π1 podemos encontrar la velocidad del flujo a la que debe de probarse el prototipo: Uprototipo =

Dmodelo ρmodelo µprototipo Dprototipo ρprototipo µmodelo

6.6. TEOR´IA DE MODELOS Y SIMILARIDAD

125

E igualando los n´ umeros Π2 podemos encontrar la velocidad de rotaci´on del rotor: ωprototipo =

2 Dmodelo ρmodelo µprototipo 2 Dprototipo ρprototipo µmodelo

.

Ejemplo 2. Clavados. Se desea modelar el salpicado de un clavado en condiciones a escala de laboratorio. Hs = f (L, D, µ, ρ, σ, H, g) donde σ es la tensi´on superficial. 8 variables, 3 variables con dimensiones independientes. Por lo tanto, tenemos 5 grupos adimensionales: Π1 = Π2 = Π3 = Π4 = Π5 =

Hs H L H D H √ gHDρ µ (gH)Dρ σ

Considere un modelo a escala: Lmodelo = Lprototipo /10 y Dmodelo = Dprototipo /10. ¿Es posible empatar todos los n´ umeros adimensionales?

126

´ CAP´ITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

Cap´ıtulo 7 Flujo Viscoso: Soluciones Exactas a NS 7.1.

Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes

Debido a la complejidad de las ecuaciones de N-S, ´estas solo se pueden resolver en casos especiales. En general, buscamos que la geometr´ıa del flujo se tal que algunos de las partes de la ecuaci´on se cancelen. Lo que se busca en cada problema es encontrar el campo de velocidades: ~v = f (x, y, z, t). Para toda esta secci´on consideraremos u ´ nicamente flujos newtonianos, incompresibles, isot´ermicos y de propiedades constantes. Para esto consideraremos las siguientes ecuaciones: D~v = ρf~ − ∇P + µ∇2~v Dt ∇ · ~v = 0 ρ

(7.1) (7.2)

Tambi´en consideraremos, para la mayor´ıa de los casos, problemas en coordenadas cartesianas tal que ~v = (u, v, z). 127

128

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

7.1.1.

Flujo de corte simple o de Couette

Flujo entra dos placas paralelas infinitas (2-D) Consideremos el flujo en la siguiente figura: U

Pared movil

H y

Pared fija

x

Para este caso ~v = (u, v). Consideraremos las ecuaciones 11.1 y 11.1 para el caso 2-D: Ecuaci´on de continuidad: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y Ecuaciones de Navier-Stokes:     2 ∂P ∂u ∂u ∂u ∂ u ∂2u = − ρ + ρgx +u +v +µ + ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x2 ∂y 2   2   ∂P ∂v ∂v ∂ v ∂2v ∂v = − +u +v +µ + + ρgy ρ ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x2 ∂y 2 Caracter´ısticas del flujo: 1. Flujo estacionario (no cambia como funci´on del tiempo): ∂/∂t = 0 2. Flujo desarrollado (no cambia con la posici´on x, placas infinitas): ∂/∂x = 0 3. La gravedad esta alineada con la direcci´on y − y ′ : ~g = (0, gy ).

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

129

4. No hay gradiente de presi´on en la direcci´on x − x′ : ∂P/∂x = 0 Condiciones de contorno: 1. ~v (x, 0) = (0, 0) 2. ~v (x, H) = (U, 0) Considerando la caracter´ıstica de flujo (2) en la ecuaci´on de conservaci´on de masa, tenemos: ∂v 0+ =0 ∂y Esta expresi´on implica que v = constante De la primera condici´on de contorno sabemos que v = 0 en y = 0. Puesto que v es constante, podemos inferir que v=0 en todas partes. Esto es un resultado muy importante. Significa que el flujo es unidireccional : ~v = (u, 0). Consideremos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on y − y ′. Si v = 0 en todas partes, entonces los u ´ nicos t´erminos que sobreviven son: ∂P + µ (0 + 0) + ρgy ρ (0 + u(0) + 0(0)) = − ∂y Reescribiendo,

∂P = ρgy ∂y que es la ecuaci´on de la hidrost´atica. Consideremos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on x − x′ :     ∂2u ∂u ρ 0 + u(0) + 0( ) = −(0) + µ 0 + 2 + ρ(0) ∂y ∂y

130

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

entonces:

∂2u ∂y 2 Esta expresi´on se puede integrar directamente: 0=

u = Ay + B Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = 0 y u = U en y = H: B=0 y A=

U H

Por lo tanto

U y H Es una distribuci´on de velocidades lineal: u(y) =

U

Pared movil

H u(y)=U/H y y

Pared fija

x

Otra resultado que podemos obtener de este resultado es el esfuerzo cortante en la pared. La relaci´on constitutiva newtoniana es σij = −P δij + λδij Dkk + 2µDij El esfuerzo cortante en la pared es τxy |y=o :   ∂u ∂v + τxy = 2µDxy = µ ∂y ∂x

131

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES Para el flujo cortante simple: τw = µ

U ∂u =µ ∂y H

N´otese que el esfuerzo es constante a trav´es de todo el campo de flujo.

7.1.2.

Flujo en una tuber´ıa o de Poiseuille

Consideremos el flujo en la siguiente figura: P1

P2

Pared fija

y

H/2

x

H/2

L

Pared fija

Para este caso ~v = (u, v). Consideraremos las ecuaciones 11.1 y 11.1 para el caso 2-D: Ecuaci´on de continuidad: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y Ecuaciones de Navier-Stokes:     2 ∂u ∂P ∂u ∂u ∂ u ∂2u ρ = − + ρgx +u +v +µ + ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x2 ∂y 2    2  ∂P ∂v ∂v ∂ v ∂2v ∂v = − + ρgy +u +v +µ + ρ ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x2 ∂y 2 Caracter´ısticas del flujo: 1. Flujo estacionario (no cambia como funci´on del tiempo): ∂/∂t = 0

132

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

2. Flujo desarrollado (no cambia con la posici´on x, placas infinitas): ∂/∂x = 0 3. La gravedad esta alineada con la direcci´on y − y ′ : ~g = (0, gy ). 4. El gradiente de presi´on en la direcci´on x − x′ es: ∂P/∂x ≈ (P1 − P2 )/L = −G Esta cantidad es constante. Esta cantidad se define negativa porque para que exista un flujo de izquierda a derecha la presi´on P2 debe se mas baja que P1 . Condiciones de contorno: 1. ~v(x, H/2) = (0, 0) 2. ~v(x, −H/2) = (0, 0) Paredes fijas. Considerando la caracter´ıstica de flujo (2) en la ecuaci´on de conservaci´on de masa, tenemos: ∂v =0 0+ ∂y Esta expresi´on implica que v = constante De la primera condici´on de contorno sabemos que v = 0 en y = 0. Puesto que v es constante, podemos inferir que v=0 en todas partes. Esto es un resultado muy importante. Significa que el flujo es unidireccional : ~v = (u, 0). Consideremos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on y − y ′ . Si v = 0 en todas partes, entonces los u ´ nicos t´erminos que sobreviven son: ∂P + µ (0 + 0) + ρgy ρ (0 + u(0) + 0(0)) = − ∂y

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES Reescribiendo,

133

∂P = ρgy ∂y

que es la ecuaci´on de la hidrost´atica. Consideremos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on x − x′ :     ∂u ∂P ∂2u ρ 0 + u(0) + 0( ) = − + µ 0 + 2 + ρ(0) ∂y ∂x ∂y entonces: −G = µ

∂2u ∂y 2

Esta expresi´on se puede integrar directamente: u=−

G 2 y + Ay + B 2µ

Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = H/2 y u = 0 en y = −H/2: A=0 y G B= 2µ Por lo tanto u(y) =

G 2µ





H 2

H 2

2

2

− y2

!

Es una distribuci´on de velocidades parab´olica: Podemos calcular la velocidad del fluido en el centro de la tuber´ıa:  2 G H umax = u(y = 0) = 2µ 2 Podemos tambi´en calcular el campo de esfuerzos cortantes: τxy = µ

G ∂u =− y ∂y µ

134

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS Esfuerzo

Velocidad

P1

P2

Pared fija

y

H/2

x

H/2

Pared fija

L

N´otese que el esfuerzo es var´ıa linealmente a trav´es de y. El esfuerzo en la pared es GH ∂u =− . τw = µ ∂y µ 2 Podemos calcular el gasto Q que pasa a trav´es de la tuber´ıa. Sabemos que Z Q = udA a

Puesto que es un problema en 2-D, podemos simplificar al elemento diferencial de ´area como dA = dydz = dy(1), por unidad de z. As´ı, tenemos Q = = =

7.1.3.

Z Z

H/2

u(y)dy −H/2 H/2 −H/2

G 3 H 12µ

G 2µ



H 2

2

− y2

!!

dy

Pel´ıcula de fluido que escurre sobre una pared inclinada

Consideremos el flujo en la siguiente figura:

135

gc os

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

g

gs

en

y superficie libre x

H

Para este caso ~v = (u, v). Consideraremos las ecuaciones 11.1 y 11.1 para el caso 2-D. Ver en los ejemplos anteriores. Caracter´ısticas del flujo: 1. Flujo estacionario (no cambia como funci´on del tiempo): ∂/∂t = 0 2. Flujo desarrollado (no cambia con la posici´on x, placa y pel´ıcula infinitas): ∂/∂x = 0 3. La gravedad act´ ua en las dos direcciones x − x′ y y − y ′ : ~g = (s sen α, g cos α). 4. No hay gradiente de presi´on en la direcci´on x − x′ : ∂P/∂x = 0 Condiciones de contorno: 1. No deslizamiento en la pared: ~v(x, 0) = (0, 0) 2. Superficie libre de esfuerzo: τxy (x, H) = 0

136

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

Considerando la caracter´ıstica de flujo (2) en la ecuaci´on de conservaci´on de masa, tenemos: v = constante De la primera condici´on de contorno sabemos que v = 0 en y = 0. Puesto que v es constante, podemos inferir que v=0 en todas partes. Esto es un resultado muy importante. Significa que el flujo es unidireccional : ~v = (u, 0). Consideremos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on y − y ′ . Si v = 0 en todas partes, entonces los u ´ nicos t´erminos que sobreviven son: ρ (0 + u(0) + 0(0)) = −

∂P + µ (0 + 0) + ρg cos α ∂y

Reescribiendo,

∂P = ρg cos α ∂y que es la ecuaci´on de la hidrost´atica. Consideremos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on x − x′ :     ∂2u ∂u ρ 0 + u(0) + 0( ) = (0) + µ 0 + 2 + ρg sin α ∂y ∂y

entonces:

∂2u + ρg sin α ∂y 2 Esta expresi´on se puede integrar directamente: 0=µ

u=−

ρg y2 sin α + Ay + B µ 2

Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = 0 y τxy = 0 en y = H: B=0

137

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES y τyx = µ entonces

∂u (y = H) = 0 ∂y

ρg ∂u = 0 = − sin αH + A ∂y µ

y A= Por lo tanto

ρg sin αH µ

  y2 ρg sin α Hy − u(y) = µ 2

Podemos calcular la velocidad del fluido en la superficie libre:  2 ρg H umax = u(y = H) = sin α µ 2 Podemos tambi´en calcular el esfuerzo en la pared: τw = µ

7.1.4.

∂u ρg (y = 0) = − sin αH. ∂y µ

Otros problemas unidireccionales estacionarios

Flujo cortante simple de dos l´ıquidos inmiscibles U

y

H x H

138

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

Resolver el flujo para cada lado. En las paredes considerar condici´on de no-deslizamiento. En la interfaz, el esfuerzo cortante debe ser el mismo. As´ı para el fluido 1 (superior), tenemos u1 (y) = C1 y + C2 en y = H, u = U y en y = 0, τxy = τint . Entonces, U = C1 (H) + C2 y

∂u1 τint = µ1 = µ1 C1 ∂y Para el fluido 2 (inferior), tenemos u2 (y) = C3 y + C4

en y = −H, u = 0 y en y = 0, τxy = τint . Entonces, 0 = C3 (−H) + C4 y

En la interfaz, τint−1

∂u2 = µ2 C3 τint = µ2 ∂y = τint−2 : µ1 C1 = µ2 C3

y u1 (y = 0) = u2 (u = 0), lo que implica que, C2 = C4 Entonces 1 +1 1 = U µ2 +1 µ1 U 1 = H µµ12 + 1 1 = U µ2 +1 µ1

C1 = C2 C3 C4

U H

µ1 µ2

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

139

Por lo tanto u1 = u2 =

  y µ1 U + µ1 + 1 H µ2 µ2  U y +1 µ2 +1 H µ1

Podemos calcular el esfuerzo cortante: τ1 = µ1 C1 = µ1

U H

µ1 µ2

1 +1

τ2 = µ2 C3 = µ2

U H

µ2 µ1

1 +1

y

Notemos que τ1 = τ2 =

U µ1 µ2 . H µ1 + µ2

As´ı podr´ıamos calcular una viscosidad efectiva del medio: U τ¯xy = µef 2H entonces µef = 2

µ1 µ2 µ1 + µ2

Flujo de Poiseuille en una tuber´ıa circular Este problema es muy parecido al problema de flujos de Poiseuille entre dos placas (ver secci´on 3.1.2). La u ´ nica diferencia es que debemos considerar un sistema de coordenadas cil´ındricas: ~v = (ur , uθ , uz ) En este caso la ecuaci´on de conservaci´on de masa, ∇ · ~v = 0, se escribe en forma expl´ıcita como: 1 ∂ 1 ∂ ∂ (rur ) + uθ + uz = 0 r ∂r r ∂θ ∂z

140

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

Por ser un flujo desarrollado (∂/∂z) y (∂/∂z) axisim´etico (∂/∂θ), tenemos: 1 ∂ (rur ) = 0 r ∂r Por lo tanto: ur = 0 Flujo unidireccional. El vector de velocidad se reduce a ~v = (0, 0, uz ). Resolviendo la ecuaci´on de conservaci´on de momentum u ´ nicamente en la direcci´on donde el componente de velocidad no es cero, direcci´on z − z ′ . Para coordenadas cil´ındricas tenemos:       ∂uz ∂P ∂uz 1 ∂ 2 uz ∂ 2 uz ∂uz uθ ∂uz ∂uz 1 ∂ ρ =− r + 2 +ρgz + ur + + uz +µ + ∂t ∂r r ∂θ ∂z ∂z r ∂r ∂r r ∂θ2 ∂z 2 Considerando las mismas caracter´ısticas del flujo que en la secci´on 3.1.2 y adem´as que el flujo es axisim´etrico e unidireccional, la ecuaci´on anterior se reduce a :   ∂uz 1 ∂ G r − = µ r ∂r ∂r donde G = −∂P/∂z = constante Integrado una vez tenemos: G C1 ∂uz =− r+ ∂r 2µ r Integrado una vez mas: uz = −

G 2 C1 r + r + C2 4µ ln

Sabemos que la velocidad en r = 0 debe ser finita, por lo tanto C1 = 0. Tambi´en sabemos que la velocidad del fluido en la pared debe de ser cero (condici´on de no deslizamiento): uz (r = R) = 0. C2 =

G 2 R 4µ

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

141

Por lo tanto, el campo de velocidades para una tuber´ıa circular bajo un gradiente de presi´on constante es: uz =


G R2 − r 2 4µ

Podemos calcular el flujo volum´etrico como: Z Z R Q= uz dA = uz (2πrdr) A

0

As´ı: Q=

πG 4 R 8µ

La velocidad media, U¯ = Q/A, es G 2 U¯ = R 8µ Podemos calcular el esfuerzo en la pared es: ∂uz τpared = τrz |r=R = µ ∂r Entonces, el esfuerzo en la pared es: GR τpared = 2 Podemos calcular el coeficiente de fricci´on sobre la tuber´ıa: Cf =

Ff 1 ¯2 ρU A 2

El area de contacto A es 2πRL. La fuerza de fricci´on Ff sobre la tuber´ıa se puede calcular directamente del esfuerzo en la pared como Ff = τpared A: Ff = πR2 LG Por lo tanto Cf =

16µ 16 = ¯ Re (2R)ρU

142

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

donde Re = ρD U¯ /µ es el n´ umero de Reynolds. Factor de fricci´ on: Podemos reeinterpretar el resultado del gasto volum´etrico como: G=

8µQ πR4

como la ca´ıda de presi´on que ocurre el una tuber´ıa de radio R bajo el flujo Q de un fluido de viscosidad µ. Si escribimos este resultado como p´erdida de carga (altura) tenemos: hf =

8µQ 1 ∆P = L ρ πR4 ρ

El factor de rozamiento f para una tuber´ıa es una cantidad usada muy frecuentemente por INGENIEROS para calcular p´erdidas en tuber´ıas. El factor de rozamiento se define como: hf = f

L U¯ 2 D 2

donde D = 2R. Entonces, reescribiendo la expresi´on anterior tenemos: ¯ 2 1 2µπ UD L πD 4 /16 ρ ¯ L Uµ = 32 2 D ρ   64µ L U¯ 2 = ρU¯ D D 2

hf =

Por lo tanto f=

64 64µ = ¯ Re ρU D

Diagrama de Moody: Flujo con lineas de corriente circulares Consideremos el siguiente flujo:

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

143

Figura 7.1: Diagrama de Moody. Tomado de Fox, Macdonald Una vez mas consideramos flujo estacionario, bidimensional, axisim´etrico: ~v = (ur , utheta, 0) De la ecuaci´on de conservaci´on de masa podemos demostrar que la velocidad ur = 0, por lo que tenemos un flujo unidireccional (l´ıneas de corriente circulares). Si resolvemos la ecuaci´on de conservaci´on de momentum para la direcci´on r − r ′ tenemos:   ∂ur ∂P ∂ur uθ ∂ur u2θ ∂ur ρ =− + ur + − + uz + µ∇2 ur + ρgr ∂t ∂r r ∂θ r ∂z ∂r La mayor´ıa de los t´erminos son cero ya que ur = 0. Sin embargo sobreviven: u2θ ∂P = r ∂r

144

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS Espacio entre los dos cilindros lleno de un fluido viscoso

W2

W1 R1

R2

Existe un gradiente de presi´on en la direcci´on radial como resultado de la !fuerza centr´ıfuga! Ahora si, resolviendo para la direcci´on acimutal θ − θ′ : ρ



∂uθ ∂uθ uθ ∂uθ uθ ur ∂uθ + ur + + + uz ∂t ∂r r ∂θ r ∂z



1 ∂P = − r ∂θ     1 ∂ 2 uθ ∂ 2 uθ ∂ 1 ∂(ruθ ) + 2 + ρg + + µ ∂r r ∂r r ∂θ2 ∂z 2

Eliminando t´erminos tenemos:   ∂ 1 ∂ (ruθ ) = 0 ∂r r ∂r Integrando dos veces tenemos: ∂ (ruθ ) = C1 r ∂r C1 C2 uθ = r+ 2 r Las condiciones de frontera son en r = R1 , uθ = ω1 R1 . en r = R2 , uθ = ω2 R2 . Resolviendo para C1 y C2 tenemos:

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

145

2(ω2 R22 − ω1 R12 ) R22 − R12 ω2 − ω1 = −R12 R22 2 R2 − R12

C1 = C2 As´ı, uθ =

ω2 R22 − ω1 R12 R12 R22 ω2 − ω1 r − R22 − R12 R22 − R12 r

Aplicaci´ on: viscosimetr´ıa. Consideremos el caso en que cilindro exterior se mantiene fijo y el interior gira a una velocidad angular constante. Para dicho caso el perfil de velocidades es: R 2 R 2 ω1 ω1 R 2 uθ = − 2 1 2 r + 2 1 2 2 R2 − R1 R2 − R1 r

para el cual el campo de esfuerzos cortantes es:

∂  uθ  ∂r r R 2 R 2 ω1 = −µ 2 1 2 2 R2 − R1 r

τrθ = µr

Si calculamos el torque sobre el cilindro interno tenemos: T = τrθ AR1   R12 R22 ω1 (2πR1 L) R1 = −µ 2 R2 − R12 R1 R2 R2 = −µ 2 1 2 2 2πω1 R1 L R2 − R1 Si medimos el torque en el cilindro interno podr´ıamos utilizar este sistema para medir la viscosidad del fluido: µ=

R22 − R12 T 2πω1 R1 L R12 R22

146

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

7.1.5.

Flujos no-estacionarios

Hasta ahora solo hemos visto soluciones exactas para el caso de flujos estacionarios (∂/∂t = 0). Existe tambi´en una clases de flujos que tienen soluciones exactas pero que no son estacionarios: flujo unidireccional ~v = (u, 0, 0) pero ∂u/∂t 6= 0. Para flujos newtonianos incompresibles consideramos las ecuaciones: ∇ · ~v = 0 D~v ρ = ρf~ − ∇P + µ∇2~v Dt

(7.3) (7.4)

Para el caso unidireccional, desarrollado y no estacionario, estas ecuaciones se reducen a: ∂v = 0 ∂y ∂u µ ∂2u = G+ ∂t ρ ∂y 2

(7.5) (7.6)

= constante. donde G = − ∂P ∂x Primer problema de Stokes Consideremos el problema de una placa infinita, inicialmente en reposo, sobre la cual hay un fluido viscoso. Las condiciones de frontera e iniciales para u=u(x,y,t) son: u(x, y, 0−) = 0 u(x, 0, 0+) = U u(x, ∞, t) = 0 Para este problema en particular, consideramos que G = 0, no existe gradiente de presi´on en la direcci´on x − x′ . De la misma manera que para el caso de flujo uni-direccionales estacionarios, utilizando la ecuaci´on de continuidad podemos deducir que u = u(y, t).

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

147

y

x

U La ecuaci´on de conservaci´on de momentum se reduce a: ∂2u ∂u =ν 2 ∂t ∂y

(7.7)

donde ν = µρ es la viscosidad cinem´atica. Esta ecuaci´on es una ecuaci´on diferencial partial de segundo orden. Esta ecuaci´on es la ecuaci´on de difusi´on. Existen varios m´etodos para resolver este tipo de ecuaciones. 1. M´etodo de Similaridad Consideremos la variable adimensional u = g(η) U donde η = y(νt)−1/2 es la variable de similaridad que tambi´en es adimensional. Debemos proceder a hacer el cambio de variable en la ecuaci´on de conservaci´on de momentum: ∂u ∂η ∂u = ∂t ∂η ∂t

148

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS Podemos calcular ∂ ∂u = (Ug(η)) = Ug ′ (η) ∂η ∂η Entonces

∂u 1 = (Ug ′ (η))(− yν −1/2 t−3/2 ) ∂η 2 simplificando tenemos 1 ∂u = − ηUt−1 g ′(η) ∂η 2 De la misma manera podemos calcular: ∂u ∂η ∂u = = U(νt)−1/2 g ′(η) ∂y ∂η ∂y   ∂2u ∂ ∂u ∂η ∂η = = U(νt)−1 g ′′ (η) 2 ∂y ∂η ∂η ∂y ∂y Sustituyendo en la ecuaci´on de conservaci´on de momentum y simplificando tenemos 1 (7.8) g ′′(η) + ηg ′(η) = 0 2 la cual es una ecuaci´on diferencial ordinaria (a diferencia de la ecuaci´on original que era parcial. Para resolverla solo falta traducir las condiciones de frontera: Para y = 0 y t > 0, u = U, entonces para η = 0, g(0) = 1 Para y → ∞ en cualquier t, u = 0, entonces para η → ∞, g(∞) = 0. Podemos integrar la ecuaci´on 7.8 g ′′ 1 + η = 0 g′ 2 1 ln g ′ + η 2 = C1 4 η2

g ′ = C1 e− 4 Z η η ′2 g = C1 e− 4 dη ′ + C2 0

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

149

Con las condiciones de frontera podemos calcular C1 y C2 C2 = 1 C1 = R ∞ 0

Entonces

−1

2 − η4

e

−1 =√ π dη ′

  Z η ′2 1 − η4 ′ e dη u(y, t) = U 1 − √ π 0

Que se puede reescribir como:   u(y, t) = U 1 − erf

y 2(νt)1/2



donde erf(x) es la funci´on error definida como: Z x x′2 1 erf(x) = √ e− 2 dx′ π 0 2. M´etodo de Transformada de Laplace Aplicando la transformada de Laplace Z ∞ ˆ L[f (t)] = f (s) = e−st f (t)dt 0

a la ecuaci´on 7.7 obtenemos:  2    ∂ u ∂u = νL L ∂t ∂y 2 ∂ 2 uˆ sˆ u = ν 2 ∂y

Esta ecuaci´on es diferencial ordinaria con soluci´on: √ √ uˆ(y, s) = C1 e s/νy + C2 e− s/νy Para encontrar C1 y C2 debemos transformar las condiciones de frontera u(0, t) = U −→ uˆ(0, s) = U/s

150

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS u(y, 0) = 0 −→ uˆ(y, 0) = 0 Considerando que u → 0 en y → ∞, entonces C1 = 0. Considerando la primera condici´on de frontera C2 = U/s. Por lo tanto: uˆ =

U −√s/νy e s

Aplicando la transformada inversa de Laplace Z a+i∞ 1 −1 est f (s)ds L [f (y, s)] = f (y, t) = 2πi a−i∞ (donde s = a + iω) encontramos la velocidad como:   y √ u(y, t) = Uerfc 2 νt    y = U 1 − erf √ 2 νt 3. Separaci´on de Variables. Este m´etodo se ver´a en la resoluci´on del siguiente problema. Segundo problema de Stokes Consideremos ahora el siguiente problema: La ecuaci´on a resolver es la misma que para el caso anterior ∂2u ∂u =ν 2 ∂t ∂y Las condiciones de frontera e iniciales para u=u(x,y,t) son: u(x, y, 0−) = 0 u(x, 0, 0+) = U cos nt u(x, ∞, t) = 0

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES

151

y

x

U cos nt

Se puede resolver utilizando cualquiera de los dos m´etodos anteriores. Aqu´ı usaremos el m´etodo de separaci´on de variables para demostrar su aplicaci´on. supondremos que la soluci´on, u(y, y) es el producto de dos funciones, cada una u ´ nicamente funci´on de una de las variables independientes: u(y, t) = W (y) · T (t) Puesto que la perturbaci´on que se est´a aplicado a la pared es de tipo cos nt podemos esperar que la funci´on T (t) sea del mismo tipo. As´ı u(y, t) = W (y) cos nt M´as aun podemos considerar u(y, t) = W (y)ℜ{eint } Esta expresi´on la podemos sustituir dentro de la ecuaci´on de conservaci´on

152

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

considerando ∂u = W (y)(in)eint ∂t ∂u = W ′ (y)eint ∂y ∂2u = W ′′ (y)eint 2 ∂y entonces ℜ{W (y)(in)eint} = νℜ{W ′′ (y)eint } que simplificando resulta en W ′′ (y) −

in W (y) = 0 ν

que es una ecuaci´on diferencial ordinaria. Resolviendo esta ecuaci´on tenemos 

W (y) = C1 e

−(1+i) √ 2

√n ν

y





+ C2 e

(1+i) √ 2

√n ν

y



Considerando las condiciones de frontera, tenemos que para y → ∞, u → 0, lo que implica que C2 = 0 Entonces, la soluci´on es

  √n   −(1+i) √ y int ν 2 u(y, t) = ℜ C1 e e h √n √n i = ℜ C1 e(− 2ν y) ei(nt− 2ν y) r   √n n y) − 2ν ( cos nt − y = C1 e 2ν Tambi´en sabemos que u(y = 0) = U cos nt, por lo que C1 = U. Entonces la soluci´on al problema es 

u(y, t) = Ue

−1 √ 2

√n

y ν



r   n cos nt − y 2ν

153

7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES P1

P2

Pared fija

y

H/2

x

H/2

L

Pared fija

Flujo puls´ atil entre dos placas Consideremos de nuevo el flujo entre dos placas paralelas, generado por un gradiente de presi´on: Pero ahora, en vez de considerar el que G = constante consideremos un gradiente de presi´on que sea funci´on del tiempo: G = G0 cos nt = ℜ[Go eint ] La ecuaci´on a resolver sera 1 ∂2u ∂u =− G+ν 2 ∂t ρ ∂y Las condiciones de frontera e iniciales para u=u(x,y,t) son: u(x, H/2, t) = 0 u(x, −H/2, t) = 0 este problema se puede resolver f´acilmente usando separaci´on de variables: u(y, t) = ℜ[W (y)Goeint ] Que, al aplicarla a la ecuaci´on a resolver, nos d´a: in Go ∂2W − W = 2 ∂y ν ρν

154

CAP´ITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS

´ que es una ecuaci´on diferencia ordinaria no-homog´enea. Esta se puede resolver f´acilmente: r  r    n n Go + C2 sinh (1 + i) + C1 cosh (1 + i) W (y) = i ρν 2ν 2ν Para las condiciones de frontera (no deslizamiento en las paredes) tenemos: C2 = 0 C1 =

−iGo p n H
ρn cosh (1 + i) 2ν 2

Por lo tanto, el perfil de velocidades esta dado por ) ( pn
! cosh (1 + i) 2ν y Go p n H
eint 1− u(y, t) = ℜ i ρn cosh (1 + i) 2ν 2

Cap´ıtulo 8 Flujo Viscoso: Capa l´ımite 8.1.

Teor´ıa de capa l´ımite

Las ecuaciones de Navier-Stokes son de gran complejidad. Aunque, describe pueden predecir el comportamiento de fluidos newtonianos, su soluci´on puede obtenerse solo en casos limitados. Existen algunas simplificaciones que permiten encontrar soluciones para algunos casos; sin embargo, ´estas pueden dar resultados erroneos o de aplicabilidad limitada (ver flujo ideal o flujo viscoso). Otra simplificaci´on que se puede lograr con consiste en eliminar ciertos t´erminos de las ecuaciones de balance en regiones clave del flujo a resolver. Es particular, y como se demostrar´a en este cap´ıtulo, se sabe que para flujos con un n´ umero de Reynolds considerable los efectos viscosos del flujo son solo importantes en la vecindad cercana a las paredes. As´ı, podemos proponer la soluci´on local de las ecuaciones de Navier-Stokes cerca de las paredes. A distancias grandes de las paredes, la soluci´on que surge del flujo ideal es apropiada. La soluci´on completa del un flujo puede entonces encontrarse haciendo que la soluci´on de pared, concuerde con la soluci´on potencial a una distancia media de la pared. La idea de separar los efectos viscosos, para solo considerarlos importantes cerca de las paredes, surgi´o en la primera d´ecada del siglo XX. Ludwig 155

156

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

Prandtl fue el primero en proponer esta simplificaci´on. Esta teor´ıa se conoce como teor´ıa de la capa l´ımite.

FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)

CAPA LIMITE

FLUJO INTERIOR (VISCOSO)

MMFM:Bondary layers:concepts MMFM:Bondary layers:laminar BL

8.1.1.

Ecuaciones de capa l´ımite laminar

En esta secci´on se deducir´an las ecuaciones de la teor´ıa de la capa l´ımite utilizando la t´ecnica de eliminaci´on por ´ordenes de magnitud. Consideremos el flujo bidimensional mostrado en la figura. En dicho esquema se muestra una placa plana horizontal fija, que esta inmersa en un flujo. La velocidad del flujo aguas arriba de la placa es uniforme, constante e → unidireccional: − v = (Uo , 0). Consideremos que la coordenada x esta alineada con la placa, y que y sea perpendicular a la misma. Puesto que debe de satisfacerse la condici´on de no deslizamiento, la velocidad de las part´ıculas de fluido que estan cerca de la placa deber´a ser menor

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

157

U=Uo

y

x U=0

que la velocidad aguas arriba, y la velocidad de las part´ıculas de fluido adyacentes a la placa deber´a ser cero. Consideremos que la distancia sobre la cual se siente esta disminuci´on de velocidad es de tama˜ no δ. Puesto que vamos a considerar flujos en los cuales el efecto de la viscosidad es peque˜ no (Re ≪1), podemos afirmar que δ ≪1 x As´ı, tambi´en podr´ıamos afirmar que: 1 ∂ ∼ ∂x x y que

1 ∂ ∼ ∂y δ Consideremos adem´as que la velocidad del fluido en la direcci´on x es del mismo orden de magnitud que Uo : u ∼ Uo Con estas consideraciones, tomemos la ecuaci´on de conservaci´on de masa para evaluar el orden de magnitud de cada componente. Si ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

158

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

entonces podemos decir que ∂u ∂v ∼ ∂x ∂y y por tanto ∂u ∂x Sabemos que ∂y ∼ δ y que ∂x ∼ x entonces, ∂v ∼ ∂y

∂v ∼ ∂u

δ x

Eliminado las diferenciales de v y u, y puesto que u ∼ Uo , tenemos v ∼ Uo

δ x

Ahora, consideremos las ecuaciones de conservaci´on de momentum. Supongamos, que tenemos un flujo estacionario y despreciemos el efecto de la gravedad:  2  ∂u 1 ∂P ∂ u ∂2u ∂u +v = − +ν + u ∂x ∂y ρ ∂x ∂x2 ∂y 2   2 ∂v 1 ∂P ∂ v ∂2v ∂v +v = − +ν + u ∂x ∂y ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 Consideremos primero cada t´ermino de la ecuaci´on en la direcci´on x − x′ : ∂u ∂x ∂u v ∂y 1 ∂P − ρ ∂x ∂2u ν 2 ∂x ∂2u ν 2 ∂y u

Uo Uo U2 ∼ o  x  x  Uo Uo2 δ ∼ ∼ Uo x δ x

∼

∼ ? Uo x2 Uo ∼ ν 2 δ

∼ ν

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

159

y cada t´ermino de la ecuaci´on en la direcci´on y: ∂v ∂x ∂v v ∂y 1 ∂P − ρ ∂y ∂2v ν 2 ∂x ∂2v ν 2 ∂y u

δ x2 δ = Uo2 2 x = Uo2

= ? Uo δ x3 Uo = ν δx

= ν

Consideremos primero, la componente x de las ecuaciones de Navier Stokes escritas en orden de magnitud, 1 ∂P Uo Uo Uo2 Uo2 + ∼− +ν 2 +ν 2 x x ρ ∂x x δ Primero, podemos notar que de la primera ecuaci´on, del lado izquierdo, ambos t´erminos son del mismo tama˜ no. El t´ermino de gradiente de presi´on aun no podemos decir nada; de hecho, su tama˜ no puede variar dependiendo las condiciones del flujo. Sin embargo, los dos u ´ ltimos t´erminos de la primera ecuaci´on tienen un tama˜ no muy diferente: ν

Uo Uo ≪ν 2 2 x δ

por lo que podemos despreciarlo. , y comparamos las magSi por un momento ignoramos el t´ermino − 1ρ ∂P ∂x nitudes de los t´erminos restantes en esta misma ecuaci´on tenemos: Uo2 Uo ∼ν 2 x δ por lo que podemos decir que para que estos tengan tama˜ nos similares, y por lo tanto se puedan sumar, se debe de cumplir que r x δ∼ ν Uo

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

160 o escrito como:

δ ∼ x

r

µ 1 =√ ρxUo Reo

Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: para que se satisfaga la condici´on de que el espesor de la capa l´ımite se peque˜ no (δ/x ≪ 1) el n´ umero de Reynolds del flujo debe se grande. Esto, pues, u ´ nicamente impone una condici´on de restricci´on para el uso de la teor´ıa de la capa l´ımite. Entonces, en la direcci´on x, la ecuaci´on se simplifica a:  2  ∂u ∂u 1 ∂P ∂ u u +v =− +ν ∂x ∂y ρ ∂x ∂y 2 Ahora veamos la ecuaci´on, en ´ordenes de magnitud, en la direcci´on y: Uo2

1 ∂P Uo δ Uo δ 2 δ + U ∼ − + ν + ν o x2 x2 ρ ∂y x3 δx

Exceptuando el t´ermino − 1ρ ∂P , cuya magnitud es desconocida, todos los ∂y dem´as t´erminos son de tama˜ no mucho menor al tama˜ no de los t´erminos en la ecuaci´on x: Uo2 δ ≪ x2 x Uo Uo δ ν 3 ≪ ν 2 x δ Uo Uo ν ≪ ν 2 δx δ

Uo2

Entonces de esta ecuaci´on solo podemos concluir que −

1 ∂P ≈0 ρ ∂y

o que la presi´on P es constante en y y solo podr´ıa depender de x. As´ı, las ecuaciones para la capa l´ımite son (incluyendo continuidad y momentum):

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

161

∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y  2  ∂u ∂u 1 ∂P ∂ u u +v = − +ν ∂x ∂y ρ ∂x ∂y 2 ∂P 0 = ∂y

(8.1) (8.2) (8.3)

Las condiciones de frontera necesarias para resolver este conjunto de ecuaciones son: u(x, 0) = 0 v(x, 0) = 0 u(x, y) = Uo , para y grande (lejos de la placa) Podemos adem´as considerar lo siguiente. Nuestro an´alisis arroj´o que la ´ presi´on esta independiente de la coordenada y. Esto significa que la presi´on dentro y fuera de la capa l´ımite deben ser iguales. Si consideramos que el flujo lejos de la placa puede considerarse irrotacional y no viscoso (flujo potencial), entonces podemos aplicar la ecuaci´on de Bernoulli: 1 2 P U + = constante 2 o ρ Podr´ıamos considerar el caso mas general en que Uo sea funci´on de x (sigue siendo independiente de t). Entonces la ecuaci´on de Bernoulli se podr´ıa escribir como: −

∂P ∂x

1 ∂Uo2 2 ∂x ∂Uo = ρUo ∂x = ρ

162

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

Entonces, la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on x para la capa l´ımite se puede escribir como:  2  ∂u ∂u ∂Uo ∂ u u +v = Uo +ν ∂x ∂y ∂x ∂y 2 De esta manera, el t´ermino de gradiente de presi´on deja de ser desconocido y se relaciona con el flujo por fuera de la capa l´ımite.

8.1.2.

Soluci´ on de Blasius

El sistema de ecuaciones para la capa l´ımite sigue siendo un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales, no lineales. Sin embargo, para este caso si se puede encontrar una soluci´on ( o mejor dicho, casi se puede encontrar una soluci´on). Supongamos que Uo =constante, lo que implica que el primer t´ermino del lado derecho de la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on x es cero, ∂Uo /∂x = 0. Las ecuaciones que se deben resolver son: ∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y  2  ∂u ∂ u ∂u +v = ν u ∂x ∂y ∂y 2 Propongamos la existencia de una funci´on de corriente Ψ(x, y) tal que: ∂Ψ ∂y ∂Ψ v = − ∂x

u =

Si sustituimos las velocidades u y v en funci´on de Ψ en la ecuaci´on de continuidad, tenemos ∂2Ψ ∂2Ψ − =0 ∂x∂y ∂y∂x

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

163

la cual se satisface id´enticamente. Si ahora sustituimos, u y v en funci´on de Ψ en la ecuaci´on de conservaci´on de momentum tenemos: ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂3Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ − = ν ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ∂y 3 Utilicemos el m´etodo de similaridad para resolver esta ecuaci´on. Debemos suponer que Ψ(x, y) ∼ f (η) donde η es una variable adimensional que combina las variables x y y en una sola: η = y/xn As´ı podemos encontrar que r Uo y η = 1/2 x 2ν y que Ψ=

p

2νUo xf (η)

El factor de dos no es necesario (de hecho en la soluci´on original de Blasius no aparece), pero se incluye para que despu´es se simplifique. Podemos entonces escribir las derivaras de Ψ con respecto a x y y en t´erminos de f y derivadas de η: r p ∂f ∂η p ∂Ψ Uo ′ 2νUo x = = 2νUo xf = Uo f ′ ∂y ∂η ∂y 2νx  r  p p νUo ∂f ∂η 1 −1/2 ∂Ψ = = + f 2νUo x (−(ηf ′ ) + f ) 2νUo x ∂x ∂η ∂x 2 2x Uo ∂2Ψ = − ηf ′′ ∂x∂y 2x r ∂2Ψ Uo ′′ = Uo f 2 ∂y 2νx Uo2 ′′′ ∂3Ψ = f ∂y 3 2νx

164

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

Sustituyendo todos estos t´erminos en la ecuaci´on, despu´es de simplificar, tenemos: f ′′′ + f f ′′ = 0 que es una ecuaci´on diferencial ordinaria, que debe satisfacer las siguientes condiciones de contorno: f (0) = 0 f ′ (0) = 0 f (η) = 1, para η → ∞ La soluci´on de esta ecuaci´on es num´erica. Cualquier m´etodo sencillo se puede utilizar para ello (Runge-Kutta, por ejemplo). Esfuerzo contante en la pared El esfuerzo sobre la placa es ∂u (x, 0) ∂y ∂2Ψ = ∂y 2 r Uo3 ′′ f (0) = µ 2νx

τw = µ

Escribiendo el esfuerzo en la pared de forma adimensional, podemos llegar a

√ f ′′ (0) τw 2√ = 1 ρUo2 Rex 2

donde Rex = ρxUo /µ. La fuerza de arrastre por unidad de ancho b es Z x FD = b τw (x′ )dx′ 0

lo cual se puede calcular y resulta: FD = 0.664bUo

p ρµUo x

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

165

Este resultado se puede escribir en t´erminos adimensionales, para una placa de largo L, lo que resulta: CD =

FD 1 ρUo2 bL 2

1.328 =√ ReL

Espesor de la capa l´ımite Existen varias maneras de definir de espesor de la capa l´ımite. Espesor 0.99 U Es la distancia a la cual la velocidad horizontal u tiene un valor de 0.99 Uo . De la solucion num´erica de la ecuaci´on de Blasius

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

166

vemos que esto es cierto en η = 5.0. Entonces 5.0 = p

por tanto,

δ νx/Uo

5.0 δ =√ x Rex Espesor de desplazamiento Se mide como la distancia a la cual el flujo uniforme es desplazado. Insertar dibujo. Es el grosor de una capa sin velocidad que tiene el mismo flujo m´asico que la capa l´ımite (el volumen de fluido que falta como resultado de la presencia de la capa l´ımite): Z ∞ ∗ ρUo δ = ρ(Uo − u)dy 0

Por lo tanto: ∗

δ =

Z

∞

0

  u dy 1− Uo

Para la soluci´on de Blasius tenemos que 1.7208 δ∗ = √ x Rex Espesor de momentum Espesor de una corriente uniforme que tiene el mismo flujo de momentum que la capa l´ımite. Entonces: Z ∞ 2 ρUo θ = ρu(Uo − u)dy 0

Por lo tanto: θ=

Z

∞ 0

u Uo



u 1− Uo

Para la soluci´on de Blasius tenemos que 0.6640 θ = √ x Rex



dy

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

167

U=Uo

y

U=0 x

8.1.3.

Flujo de Falkner-Skan

Consideremos ahora el caso mostrado en la figura. Este caso se puede analizar considerando que Uo = Uo (x), entonces la ecuaci´on a resolver es:  2  ∂u ∂Uo ∂ u ∂u +v = Uo +ν u ∂x ∂y ∂x ∂y 2 Para resolverla podemos plantear, tambi´en, una soluci´on tipo similaridad: u(x, y) = Uo (x)f ′ (η) donde η = η(x, y) es adimensional pero no es la misma que la soluci´on de Blasius. Podemos proponer que y η= ξ(x) entonces, la funci´on de corriente debe ser Ψ(x, y) = Uo (x)ξ(x)f (η) Sustituyendo en la ecuaci´on de conservaci´on de momentum tenemos: ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Uo ∂3Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ − = U + ν o ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ∂x ∂y 3

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

168

Los diferentes t´erminos de la ecuaci´on puede evaluarse: ∂Ψ ∂x ∂Ψ ∂y 2 ∂ Ψ ∂x∂y ∂2Ψ ∂y 2 ∂3Ψ ∂y 3

=

∂Uo ∂ξ ∂ξ ξf + Uo f − Uo ηf ′ ∂x ∂x ∂x

= Uf ′ ∂Uo ′ Uo ∂ξ ′′ f − ηf ∂x ξ ∂x Uo ′′ = f ξ Uo ′′′ = f ξ2

=

Sustituyendo en la ecuaci´on original, y despu´es de varios pasos de a´lgebra, tenemos:     2
ξ ∂ ξ ∂Uo ′′′ ′′ f + 1 − (f ′ )2 = 0 (Uo ξ) f f + ν ∂x ν ∂x

Para que exista una soluci´on de similaridad los coeficientes dentro de las llaves deben de ser constantes: ξ ∂ (Uo ξ) ν ∂x ξ 2 ∂Uo β = ν ∂x

α =

Entonces, la ecuaci´on a resolver es:
f ′′′ + αf f ′′ + β 1 − (f ′ )2 = 0

considerando las siguientes condiciones de frontera: f (0) = 0 f ′ (0) = 0

f ′ (η) → 1 cuando η → ∞ Para el flujo sobre una cu˜ na (como el de la figura) debemos considerar el caso en que α = 1 y β es arbitrario.

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

169

La soluci´on de ´este caso se muestra en la figura siguiente. Debemos notar que el perfil de velocidades es muy diferente para diferentes valores de β. Este par´ametro denota si el gradiente de presi´on, ∂P/∂x, (que lo escribimos en t´erminos de ∂Uo /∂x para rsolver la ecuaci´on) es negativo, cero o negativo. Existe, de hecho un valor de β para el cual el gradiente de velocidad se hace cero sobre la pared. (ver figura)

dP 0 dx

dP =0 dx

y

x du =0 dy

flujo de retorno

170

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

Para valores de β que ´este, el perfil de velocidades presentar´ıa un flujo de retorno. Se dice que la capa l´ımite se separa cuando en flujo es de retorno. Ver por ejemplo el flujo alrededor de una esfera. Puesto que ∂P/∂x cambia sobre la superficie de la esfera se espera que, para Re altos, el flujo se separe a determinada distancia sobre la superficie de la esfera. La separaci´on, entre otras cosas, causa que la diferencia de presiones entre las caras anterior y posterior sea muy grande, lo cual se manifiesta como un incremento el el coeficiente de arrstre del cuerpo. Punto de separación

MMFM:Bondary layers:separation

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

8.1.4.

171

Forma integral de las ecuaciones de capa l´ımite

Existe una manera alternativa para obtener el grosor de la capa limite y encontrar el esfuerzo en la pared. Este an´alisis requiere la incorporaci´on de un volumen de control. c b

(x) y

VC

x a

d dx

Consideremos que el flujo es estacionario e incompresible. Analicemos entonces la conservaci´on de masa y momentum a trav´es del volumen de control mostrado en la figura. La conservaci´on de masa para un volumen de control es Z Z ∂ ~ =0 ρdV + ρ~v · dS ∂t V S Para la figura mostrada, solo podemos tener flujos m´asicos a trav´es de las paredes ab, bc y cd, entonces: Z ~ =m 0= ρ~v · dS ˙ ab + m ˙ bc + m ˙ cd S

El flujo m ˙ ab puede calcularse como: Z b m ˙ ab = − ρu(dz)dy a

El flujo en cd puede calcularse como una expansi´on en series de Taylor del flujo en ab: ∂m ˙ m ˙ x+dx = m ˙x+ |x dx ∂x

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

172 entonces: m ˙ cd = −

Z

b

a

∂ ρu(dz)dy + ∂x

Z

a

b

 ρu(dz)dydx

Entonces, el flujo a trav´es de bc se puede calcular como m ˙ bc = −m ˙ ab − m ˙ cd . As´ı, Z δ  ∂ ρudy dxdz m ˙ bc = − ∂x 0

La ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la direcci´on x para dicho volumen de control es: Z Z ∂ ~ FSx + FBx = ρudV + uρ~v · dS ∂t V S El primer t´ermino es cero, porque estamos considerando un flujo estacioR ~ son: nario. Los flujos de momentum S uρ~v · dS Z

δ



f mab = − uρudy dz 0 Z δ   Z δ ∂ uρudy dx dz f mcd = uρudy + ∂x 0 0    Z δ ∂ ρudy dx dz f mcd = Uo m ˙ bc = −Uo ∂x 0 f mad = 0 entonces el flujo neto de momentum ser´a:  Z δ Z δ    ∂ ∂ = uρudy dx − Uo ρudy dx dz ∂x ∂x 0 0 Las fuerzas de superficie FSx son: Fab = +P δdz ∂P dx)(δ + dδ)dz ∂x 1 ∂P = (P + dx)dδdz 2 ∂x = −τw dxdz

Fcd = −(P + Fbc Fad

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

173

entonces la fuerza total es FSx =



 ∂P δdx − τw dx dz − ∂x

Simplificando, la ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa es ∂P ∂ − − τw = ∂x ∂x

Z

0

δ



∂ uρudy − Uo ∂x

Z

δ

ρudy

0

Esta es la forma integral de la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en la capa l´ımite. Una de las ventajas de esta formulaci´on es que puede conocerse el esfuerzo en la pared de forma directa. Lo u ´ nico que necesitamos para conocer todos los otros t´erminos de la ecuaci´on es conocer o suponer el perfil de velocidades. Flujo sobre una placa plana Consideremos el caso en que (∂P/∂x = 0. Tenemos entonces, Z δ  Z δ ∂ ∂ ρudy − uρudy τw = Uo ∂x 0 ∂x 0 Puesto que Uo =constante y ρ = constante, entonces, despu´es de algunos pasos de ´algebra, tenemos: Z δ
τw ∂ = Uo u − u2 dy ρ ∂x 0 De forma adimensional, tenemos   Z δ ∂ u u τw = 1− dy ρUo2 ∂x 0 Uo Uo ∂ = θ ∂x

donde θ es el espesor de momentum de la capa l´ımite.

174

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

Podemos hacer el siguiente cambio de variable y η= δ entonces dy = δdη As´ı

τw ∂ = δ 2 ρUo ∂x

Z

0

1

u Uo



u 1− Uo



dη

Notemos que no se hizo ninguna suposici´on sobre la forma de u(y), por lo que tambi´en se podr´ıa usar para flujos turbulentos. Supongamos un campo de velocidades dentro de la capa l´ımite y u =f Uo δ Esta distribuci´on de velocidades debe de satisfacer ciertas condiciones: u=0

en

y=o

u = Uo ∂u =0 ∂y

en

y=δ

en

y=δ

Una vez que se ha establecido el perfil de velocidades f (y/δ), la integral   Z 1 u u 1− dyη = constante = β Uo 0 Uo Entonces,

∂δ β ∂x por lo que se puede calcular τw = f (δ(x)). Supongamos, por ejemplo, un perfil de velocidades dado por τw = ρUo2

u(y) = a + by + cy 2 Para que esta expresi´on satisfaga las condiciones de frontera a, b y c deben ser tal que  y   y 2 u − =2 Uo δ δ

8.1. TEOR´IA DE CAPA L´IMITE

175

Para este perfil el esfuerzo en la pared esta dado por ∂u |y=0 ∂y µUo ∂(u/Uo ) |η=0 = δ ∂η
µUo ∂ = 2η − η 2 |η=0 δ ∂η 2µUo = δ

τw = µ

Entonces, la ecuaci´on integral de conservaci´on de momentum en la capa l´ımite se puede reescribir como: 2µUo ∂δ = ρUo2 δ ∂x Entonces

Z

0

1


(2η − η 2 ) 1 − 2η − η 2 dη

2 dδ 2µ = δρUo 15 dx

Reearreglando e integrando tenemos δ2 15µ = x + C1 2 ρUo pero sabemos que δ = 0 en x = 0, por lo que C1 = 0. As´ı r 30µ x δ= ρUo entonces

√ 30 5.48 δ ≈√ =√ x Rex Rex

Podemos comparar esta predicci´on con la predicci´on de la soluci´on de Blasius: δ 5.00 =√ x Rex lo cual no esta mal.

176

CAP´ITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA L´IMITE

Calculemos ahora el espesor de desplazamiento para el perfil supuesto Z 1
∗ δ =δ 1 − (2η + η 3 ) dη 0

entonces

δ∗ = 0.333 δ (para el caso de Blasius δ ∗ /δ = 0.351).

Cap´ıtulo 9 Flujo irrotacional ideal A pesar de que las ecuaciones de conservaci´on para un fluido newtoniano existen y que el sistema es cerrado (mismo n´ umero de ecuaciones que de inc´ognitas), su uso es limitado. Solo en casos especiales este conjunto de ecuaciones se puede resolver. Un caso simplificado, el cual se puede resolver anal´ıticamente, es el del fluido inviscido. Si suponemos que los efectos viscosos no son importantes, la complejidad de las ecuaciones se reduce considerablemente y se pueden encontrar soluciones a flujos complicados. Sin embargo, las soluciones que se obtienen se deben utilizar con reservas en el contexto de aplicaciones de ingenier´ıa: suponer que las viscosidad es zero tiene implicaciones f´ısicas considerables. En este cap´ıtulo se ver´a la teor´ıa general del flujo no viscoso. MMFM:dynamics:Potential flow

9.1.

Ecuaciones de Euler

La ecuaci´on que gobierna el movimiento del flujo no viscoso se obtiene directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. Simplemente se supone que la viscosidad es cero (µ = 0); as´ı, el t´ermino que tiene el laplaciano de la 177

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

178 velocidad desaparece:

ρ



∂~v ~v ∇~v +



= −∇P + ρ~g

(9.1)

En este caso, el cambio de momentum en el fluido es resultado u ´ nicamente de dos tipos de fuerzas: fuerzas de presi´on y fuerzas gravitacionales. Este sistema de ecuaciones se conocen las ecuaciones de Euler. Cabe notar que el orden de este sistema de ecuaciones en menor que el de las ecuaciones de Navier Stokes. Matem´aticamente, esto implica que se necesitar´a un numero menor de condiciones de frontera para encontrar soluciones. De hecho, la condici´on que no se requiere satisfacer es la condici´on de no deslizamiento. Esta consecuencia matem´atica es la que, precisamente, causa que las soluciones de estas ecuaciones no sean reales. La ecuaci´on de conservaci´on de masa se mantiene igual, a pesar de haber considerado que los efectos viscosos no son importantes: ∇ · ~v = 0

9.2.

(9.2)

Ecuaci´ on de Bernoulli

Es posible obtener una versi´on simplificada de la ecuaci´on de conservaci´on de momentum para el caso de un flujo ideal. Consideremos, inicialmente, las ecuaciones de Euler. Si consideramos que ~g es un campo conservativo entonces se puede representar como ~g = ∇Φ . Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el t´ermino ~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v :   1 ~v · ~v − ~v × ∇ × ~v (~v∇)~v = ∇ 2 (esta identidad es la definici´on del triple producto cruz).

´ DE BERNOULLI 9.2. ECUACION

179

Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaci´on de N-S para en la ecuaci´on de Euler, tenemos:   ∂~v 1 1 +∇ ~v · ~v − ~v × ∇ × ~v = − ∇P + ∇Φ ∂t 2 ρ Rearreglando t´erminos podemos escribir   P 1 ∂~v +∇ + ~v · ~v − Φ = ~v × ∇ × ~v ∂t ρ 2 Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrotacional ∇ × ~v = 0, entonces la expresi´on anterior se reduce a:   1 P + ~v · ~v − Φ = 0 ∇ ρ 2 Una linea de corriente es aquella l´ınea que es tangente al vector velocidad en cada punto. De la definici´on de una linea de corriente sabemos que: dy dz dx = = u v w P ρ

Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente de + 21 ~v ·~v − Φ sea cero, la u ´ nica posibilidad es que este t´ermino sea constante: 1 P + ~v · ~v − Φ = constante ρ 2

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. Entonces: P 1 + ~v · ~v + gz = constante (9.3) ρ 2 que so conoce como la ecuaci´on de Bernoulli.

9.2.1.

Ejemplos de aplicaci´ on

Secci´on sin completar.

180

9.3.

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

Flujo potencial

El m´etodo mas com´ un para la soluci´on de las ecuaciones de Euler consiste en resolver la ecuaci´on de conservaci´on de masa para un flujo dado. Una vez conocido el campo de velocidades, la ecuaci´on de conservaci´on de momentum se usa solo para obtener el campo de presiones del flujo. En esta secci´on analizaremos este m´etodo detalladamente.

9.3.1.

Vorticidad e irrotacionalidad

Adem´as de suponer que el fluido es inviscido, podemos suponer que no existen ni gradientes de entrop´ıa ni gradientes de densidad. Considerando estas tres suposiciones podemos decir, sin perder generalidad, que el flujo es irrotacional. La vorticidad esta definida como el rotacional de la velocidad: ~ω = ∇ × ~v F´ısicamente, la vorticidad representa la rotaci´on de las part´ıculas de las part´ıculas de fluido. En un flujo irrotacional, la vorticidad es cero el todas partes: ~ω = ∇ × ~v = 0 Entonces, si el fluido es no viscoso las part´ıculas de fluido resbalan una sobre otras. No es existen gradientes de velocidad. El hecho de que el rotacional del campo de velocidades sea cero tiene consecuencias importantes. Recordamos la identidad vectorial: ∇ × ∇φ = 0 (el rotacional del gradiente de cualquier funci´on escalar es siempre cero). Entonces, en base a la identidad anterior, para un flujo irrotacional podemos expresar al campo de velocidades como el gradiente de una funci´on escalar: ~v = ∇φ

181

9.3. FLUJO POTENCIAL FLUJO VISCOSO

FLUJO NO VISCOSO

Particula de fluido

Diferencia de = Rotacion velocidades

La viscosidad produce gradientes de velocidad.

Si no hay efectos viscosos, entonces no hay gradientes de velocidad. Por lo tanto no hay rotacion.

La funci´on escalar φ se conoce como funci´on potencial de velocidades. En coordenadas rectangulares podemos expresar cada componente del campo de velocidades como: ∂φ ∂x ∂φ v = ∂y ∂φ w = ∂z u =

Ahora, si sustituimos la expresi´on ~v = ∇φ en la ecuaci´on de conservaci´on de masa, tenemos: ∇ · ~v = 0

∇ · ∇φ = 0

entonces

∇2 φ = 0

(9.4)

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

182

Entonces, si resolvemos la ecuaci´on anterior y encontramos φ(x, y, z) podemos inferir el campo de velocidades ~v (x, y, z). Una vez conocido el campo de velocidades, podemos calcular el campo de presiones sustituyendo ~v en las ecuaciones de Euler. Mas aun, podemos utilizar la forma simplificada de las ecuaciones de Euler (Ecuaci´on de Bernoulli) para encontrar la presi´on. La ecuaci´on ∇2 φ = 0 se conoce como la ecuaci´on de Laplace. Es una ecuaci´on diferencial parcial lineal de segundo orden. En forma expl´ıcita, para coordenadas rectangulares, ∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z Obviamente, para encontrar soluciones de esta ecuaci´on debemos tener condiciones de frontera. Los dos tipos de condiciones de frontera que, generalmente se consideran son: velocidad aguas arriba: u, v o w conocidas. velocidad normal a la pared es cero: ∂φ/∂n = 0. Esta u ´ ltima condici´on se conoce como condici´on de no-penetraci´on: el flujo no puede penetrar una superficie s´olida. Es importante tener en cuenta que para este tipo de flujos la condici´on de no deslizamiento no se satisface.

9.3.2.

T´ ecnicas de soluci´ on

Para flujos no viscosos la t´ecnica de soluci´on de problemas es muy diferente a la que se utiliza para encontrar soluciones a las ecuaciones de NavierStokes. En este caso se busca, primero, resolver la ecuaci´on de Laplace para encontrar la funci´on potencial de velocidades φ(x, y, z). Una vez que se conoce φ, se pueden calcular las componentes de velocidad; despu´es, utilizando la ecuaci´on de Bernoulli, se puede calcular el campo de presiones. las t´ecnicas m´as comunes para resolver problemas en flujo potencial son: superposici´on de funciones elementales

183

9.3. FLUJO POTENCIAL mapeo (o transformaci´on) conforme analog´ıa mec´anica o el´ectrica an´alisis num´erico

9.3.3.

Funci´ on de corriente

Adem´as de la funci´on potencial de velocidades, φ, podemos definir una funci´on adicional que tambi´en puede servir para obtener soluciones en flujo potencial. Para un flujo plano (2-D), podemos definir una funci´on de corriente ψ tal que, ∂ψ ∂y ∂ψ v = − ∂x

u =

Recordando la condici´on de irrotacionalidad, ∇ × ~v = 0, sabemos que para un flujo plano tenemos, ωz = 0 =

∂v ∂u − ∂x ∂y

Sustituyendo la definici´on de la funci´on de corriente en la expresi´on anterior tenemos:     ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ − − = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂2ψ ∂2ψ + 2 = 0 ∂x2 ∂y entonces

∇2 ψ = 0

(9.5)

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

184

La funci´on de corriente tambi´en satisface la ecuaci´on de Laplace. La ventaja que se tiene al utilizar la funci´on de corriente, en vez de la funci´on potencial de velocidades, es que las l´ıneas ψ =constante representan l´ıneas de corriente en el flujo.

| | =

1

| | =

2

Si ψ = ψ(x, y), entonces ∂ψ =

∂ψ ∂ψ dx + dy ∂x ∂y

Si ψ =constante, entonces ∂ψ = 0 y por lo tanto, 0 = −vdx + udy entonces

v ∂y = ∂x u que es la definici´on matem´atica de una linea de corriente. Una linea de corriente es aquella linea cuya tangente es paralela a ~v para un t dado. De igual manera, para encontrar soluciones a la ecuaci´on ∇2 ψ = 0 debemos tener condiciones de frontera. Podemos considerar, en general, dos tipos de condiciones de frontera: corriente aguas arriba, u, v conocidas

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

185

superficie s´olida, psi conocida (la forma de la superficie s´olida, de hecho, es una linea de corriente, ψ =constante). Para resolver un problema de flujo potencial podemos encontrar ψ o φ o ambas. Notemos adem´as que ψ y φ son perpendiculares: u=

∂ψ ∂φ = ∂y ∂x

y v=−

∂ψ ∂φ = ∂x ∂y

Si encontramos tanto ψ como φ podemos construir la red del flujo.

| = | 1

| | = 1

| =

| | =

|

1

1

| | =

2

| | =

9.4.

3

Soluciones elementales en 2-D

Un m´etodo sencillo para construir soluciones en flujo potencial es el proponer expresiones matem´aticas que satisfagan a la ecuaci´on de Laplace. Posteriormente se busca la interpretaci´on f´ısica de estas funciones.

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

186 Corriente uniforme

Sea φ = ax + by. Considerando un flujo bidimensional, ~v = (u, v) tenemos que: ∂φ =a ∂x ∂φ =b v = ∂y

u =

entonces, ~v = aˆi + bˆj. En este caso la velocidad del flujo es constante en cualquier punto del fluido. Calculemos la l´ıneas de corriente. ∂ψ → ψ = ay + C1 ∂y ∂ψ v = − → ψ = −bx + C2 ∂x

u =

As´ı, −bx + C2 = ay + C1 entonces

−b x+C a que es una linea recta: l´ıneas de corriente rectas. Sea, por ejemplo, b = 0 y a = U. Entonces, y=

φ = Ux ψ = Uy + C1 Para este caso: u = U y v = 0, flujo unidireccional uniforme. Fuente y/o sumidero Supongamos que un punto emite un caudal uniforme: flujo radial.

187

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

y

| = |

1

|2

|n

U

| = | |

1

2

|n

x

Si el flujo es estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie circular de radio r es constante: Q = vr (2πr)L = 2πLm = constante por lo tanto

m r donde m es una constante. Si m 0 entonces tenemos una fuente (lineas de corriente apuntan hacia afuera). Si m0 entonces tenemos un sumidero. Para este caso la velocidad tangencial es cero, vθ = 0. Podemos obtener φ y ψ en coordenados polares: vr =

m 1 ∂ψ ∂φ = = r r ∂θ ∂r 1 ∂φ ∂ψ = = 0=− ∂r r ∂θ

vr = vθ entonces

ψ = mθ y φ = m ln r

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

188

y | = |

1

|n |2 | = |

1

|2

x

|

n

Las funciones φ y ψ pueden expresarse en t´erminos de coordenadas rectangulares: y ψ = m arctan p x φ = m ln x2 + y 2

Puede comprobarse que estas expresiones satisfacen a la ecuaci´on de Laplace. Torbellino o v´ ortice bidimensional Supongamos ahora que vθ 6= 0 y vr = 0. Si ψ = −κ ln r y φ = kθ, entonces vr = 0 y vθ = κ/r. ´este es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que disminuye como 1/r, κ es la intensidad del torbellino. Circulaci´ on El flujo descrito por un torbellino o v´ortice bidimensional es irrotacional en todas partes excepto en el origen donde la vorticidad es finita.

189

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

y | = |

|n 1

|2 |

n

|2 x

| = |

Definamos Γ=

Z

C

~v · d~s =

Z

1

(udx + vdy + wdz)

C

donde C es una curva cerrada. Γ es la circulaci´on del flujo dentro de C.

C

ds V

De la definici´on de φ: ~v · d~s = ∇φ · ~s = dφ

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

190 entonces

Γ=

Z

C

dφ = φf − φi

Puesto que C es una curva cerrada φf = φi , entonces Γ = 0 Para el caso de un v´ortice φ = κθ Esto implica que hay un cambio de φ en una cantidad 2πκ en cada vuelta. Por lo tanto Z 2π κ rdθ = 2πκ Γtorbellino = r 0 En general Γ es igual a la suma de algebraica de todos los remolinos que haya en el interior de una curva cerrada.

9.4.1.

Superposici´ on de soluciones

La consecuencia mas importante que surge de suponer que el flujo es potencial es que la ecuaci´on a resolver (ecuaci´on de Laplace) es lineal. Una de las propiedades de las ecuaciones lineales es que soluciones simples se pueden sumar para obtener una soluci´on compleja: La soluci´on de una suma es igual a la suma de la soluciones individuales. As´ı, podemos encontrar la soluci´on a flujos mas interesantes sumando soluciones simples de φs y ψs . La soluci´on total estar´a dada por φtotal =

n X

φi

i=1

ψtotal =

n X i=1

ψi

191

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D Fuente y sumidero separados una distancia 2a

Consideremos la suma de una fuente y un sumidero de igual intensidad, separados una distancia 2a. Sea φ1 una fuente de intensidad m situada en (a, 0) y sea φ2 un sumidero de intensidad −m en (−a, 0): φ1 = m ln r φ2 = −m ln r y sus correspondientes funciones de corriente: ψ1 = mθ ψ2 = −mθ Para ψ1 el valor de la funci´on aumenta en la direcci´on de las manecillas del reloj. La soluci´on total estar´a entonces dada, en coordenadas rectangulares, por: ψ = m arctan

y y − m arctan x+a x−a

Utilizando la identidad trigonom´etrica arctan α − arctan β = arctan

α−β 1 + αβ

tenemos entonces

2ay + y 2 − a2 La funci´on potencial de velocidades queda dada por ψ = −m arctan

x2

φ = m ln r − m ln r En coordenadas rectangulares, tenemos: s !   1 (x + a)2 + y 2 (x + a)2 + y 2 φ = ln = ln (x − a)2 + y 2 2 (x − a)2 + y 2

192

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

Dipolo Si para el caso anterior consideramos el caso en que la distancia entre la fuente y en sumidero tiende a cero (a → 0). Debemos considerar que la intensidad m de cada elemento debe crecer para hacer que las velocidades se mantengan finitas. As´ı, debemos hacer que el producto 2am = λ se mantenga constante. Para la funci´on de corriente consideremos:   2ay −m arctan 2 ψ = l´ım a→0 x + y 2 − a2 2am=const Entonces ψ = −m arctan

2ay + y2

x2

pero sabemos que para α ≪ 1, arctan α = α. Por lo tanto ψ = −m

2ay −λy = 2 2 +y x + y2

x2

De manera an´aloga, φ=

x2

λx + y2

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

En coordenadas polares psi y psi se escriben como: −λ sin θ r λ cos θ φ = r

ψ =

Sumidero mas torbellino Para este caso debemos considerar, en coordenadas polares: ψtotal = ψsumidero + ψremolino = −mθ + κ ln r Y para la funci´on potencial, φtotal = φsumidero + φremolino = −m ln r + κθ

193

194

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

Cuerpo semi-infinito de Rankine El flujo alrededor de la parte frontal de un cuerpo largo se puede simular superponiendo las soluciones de una corriente uniforme y una fuente. ψtotal = ψcorr.unif. + ψf uente = Uo y + m arctan(y/x) = Uo r sin θ + mθ Tambi´en, φ = Uo r cos θ + m ln r

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

195

De la figura podemos observar que en un punto la velocidad del flujo se hace cero, es decir aparece un punto de estancamiento. En este punto el flujo de la corriente uniforme se cancela con el flujo generado por la fuente. Podemos calcular la posici´on de este punto de estancamiento. Los componentes de velocidad en cada direcci´on, en coordenadas polares, son: m 1 ∂ψ = Uo cos θ + r ∂θ r ∂ψ = − = −Uo sin θ ∂r

vr = vθ

La magnitud al cuadrado de la velocidad es entonces V 2 = vr2 + vt heta2 = (Uo cos θ +

m 2 ) + (−Uo sin θ)2 r

por lo tanto m m2 cos θ + 2 r r En punto de estancamiento, que se encuentra en r = re y θ = ±π, sabemos que V = 0. Entonces, V 2 = Uo2 + 2Uo

0 = Uo2 + 2Uo

m m2 (−1) + 2 re re

Reescribiendo esta expresi´on tenemos re2 Uo − 2mUo re + m2 = 0 Resolviendo la ecuaci´on cuadr´atica, podemos calcular el valor de re : re =

m Uo

En el punto de estancamiento, la presi´on es m´axima. Esto se puede inferir utilizando la ecuaci´on de Bernoulli: 1 2 1 ρUo + Po = ρ(0)2 + Pe 2 2

196

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

por lo que

1 Pe = Po + ρUo2 2 Podemos tambi´en determinar la forma del perfil del cuerpo de Rankine. Sabemos que la forma de cuerpo estar´a dada por una linea de ψ =constante. Sabemos tambi´en que en el punto de estancamiento, coincide con la parte frontal del cuerpo. Entonces en (r = m/Uo , θ = ±π): ψcuerpo = Uo

m sin(±π) ± mπ Uo

Por lo tanto ψcuerpo = ±mπ Podemos tambi´en calcular el grosor del cuerpo de Rankine, aguas abajo del punto donde se localiza la fuente. Sobre el cuerpo sabemos que ψ = ±mπ, entonces podemos escribir, en coordenadas rectangulares por simplicidad: ±mπ = Uo y + m arctan(y/x) Puesto que nos interesa conocer la altura y∗ , lejos del origen, consideremos l´ım = Uo y∗ + m arctan(y∗ /x)

x→∞

Despejando y∗ tenemos el grosor del cuerpo: y∗ = ±

πm Uo

Tambi´en se puede modelar el flujo en la parte posterior del cuerpo de Rankine si consideramos la suma de una corriente uniforme y un sumidero. Corriente uniforme mas torbellino Consideremos la suma lineal de un remolino, ψ = −κ ln r, y una corriente uniforme, ψ = Uo r sin θ: ψ = Uo r sin θ − κ ln r

197

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

El flujo generado por esta superposici´on se muestra en la figura. Para este caso, observamos que tambi´en aparece un punto de estancamiento en un punto del flujo. Para encontrar la posici´on de este punto, debemos primero calcular las componentes de velocidad del flujo: vr = Uo cos θ vθ = −Uo sin θ +

κ r

De la misma manera que en el ejemplo anterior, podemos calcular la magnitud cuadrada de la velocidad: κ κ2 V 2 = Uo2 − 2 Uo sin θ + 2 r r En el punto de estancamiento sabemos que V = 0 y que θ = π/2, entonces: κ κ2 0 = Uo2 − 2Uo + 2 re re por lo tanto κ re = Uo Fila infinita de v´ ortices Consideremos la superposici´on de una fila infinita de remolinos de la misma intensidad κ y separados entre si una distancia a. La funci´on de corriente

198

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

total estar´a dada por ψ = −κ

∞ X

ln ri

i=1

Puede demostrarse que la suma infinita de logaritmos converge a la siguiente expresi´on:    2πy 1 2πx 1 ψ = − κ ln cosh − cos 2 2 a a La comprobaci´on de esta transformaci´on requiere conocimientos de variable compleja. Las l´ıneas de corriente de este flujo forma ojos de gato alrededor de cada v´ortice. Cabe notar que en la figura se uso un n´ umero finito de v´ortices.

Se se considera un numero muy grande de torbellinos entonces el flujo es pr´acticamente horizontal por encima y debajo de la linea de v´ortices. De hecho se puede comprobar que para |y| ≫ v = 0 πκ a Si consideramos el caso en que a → 0, podemos definir una capa continua de torbellinos. u = ±

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

199

Flujo alrededor de cuerpos cerrados Existe diferentes maneras de modelar el flujo alrededor de cuerpos cerrados en flujo potencial. El mas sencillo, es el caso de un cuerpo ovalado generado por la superposici´on de un par fuente-sumidero (separados una distancia 2a) y una corriente uniforme: 2ay ψ = Uo y − m arctan 2 x + y 2 − a2

La figura muestra las l´ıneas de corriente, lineas de ψ = cosntante, para esta combinaci´on. Se obtiene un cuerpo de forma oval. Las semi-longitudes horizontal y vertical, L y h, respectivamente, dependen de la intensidad relativa del par fuente-sumidero con respecto a la corriente uniforme; es decir, la relaci´on m/Uo a determina la forma del objeto. En general, solo se muestran las l´ıneas por fuera del ´ovalo. Se puede demostrar que la linea de corriente que corresponde al cuerpo es ψ = 0. Podemos tambi´en notar que existen dos puntos de estancamiento sobre el cuerpo, uno el parte frontal y otro en la parte posterior, en los puntos x = ±L, y = 0. N´otese tambi´en que el los puntos x = 0, y = ±h existen

200

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

puntos de presi´on m´ınima, que a su vez corresponden a puntos de velocidad m´axima. La siguientes relacione pueden obtenerse:   h/a h = cot a 2m/Uo a 1/2  2m L = 1+ a Uo a Umax 2m/Uo a = 1+ Uo 1 + h2 /a2 ´ Ovalo de Kelvin Otra manera de simular el flujo alrededor de objetos altos se obtiene superponiendo una corriente uniforme con un par de v´ortices, con direcciones de rotaci´on opuestas, separados verticalmente una distancia 2a.

Para este caso la funci´on de corriente es 1 x2 + (y + a)2 ψ = Uo y − κ ln 2 2 x + (y − a)2

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

9.4.2.

201

Flujo alrededor de un cilindro

El estudio del flujo alrededor de un cilindro ha sido muy importante para el desarrollo de la mec´anica de fluidos moderna. Dada su relativa simplicidad, es posible analizar este flujo con cierto detalle. A continuaci´on, analizaremos este flujo considerando un flujo ideal. La funci´on de corriente para modelar este flujo se puede obtener superponiendo una corriente uniforme con un doblete: λ sin θ r La figura muestra las l´ıneas de corriente para esta caso. ψ = Uo r sin θ −

Los componentes de velocidad para el flujo alrededor del cilindro son: 1 ∂ψ λ = (Uo − 2 ) cos θ r ∂θ r λ ∂ψ = (Uo + 2 ) sin θ vθ = − ∂r r Podemos observar que existen dos puntos de estancamiento (vr = vθ = 0) en θ = π, 0 y en r = R. Para este caso tenemos: vr =

0 = (Uo −

λ )(±1) R2

202

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

entonces, R=

r

λ Uo

es el radio del cilindro (los puntos de estancamiento coinciden con la superficie del cuerpo). Podemos entonces reescribir la funci´on de corriente como funci´on de R:   R2 ψ = Uo sen θ r − r Calculemos la velocidad en la superficie del cilindro: R2 ) cos θ = 0 R2 R2 vθ (r = R) = −Uo (1 + 2 ) sin θ = −2Uo sin θ R vr (r = R) = Uo (1 −

N´otese que, en efecto, en la superficie s´olida no hay flujo a trav´es de la pared (vr = 0) pero si hay deslizamiento (vθ 6= 0). Tambi´en vemos que la velocidad tangencial sobre la pared var´ıa como funci´on de θ, desde cero en los puntos de estancamiento θ = 0, π hasta un valor m´aximo en θ = ±π/2. La magnitud cuadrada de la velocidad sobre la superficie del cilindro es V 2 = 4Uo2 sin2 θ La distribuci´on de presiones en la superficie del cilindro se puede calcular utilizando la ecuaci´on de Bernoulli: 1 1 Po + ρUo2 = Ps + ρ(4Uo2 sin2 θ) 2 2 entonces

1 Ps − Po = ρUo2 (1 − 4 sin2 θ) 2

La distribuci´on de presiones sobre la superficie se muestra en la figura, como funci´on del ´angulo θ.

203

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 1

0.5

−0.5

−1

s

o

o

2 (P −P )/(ρ U 2)

0

−1.5

−2

−2.5

−3 0

0.5

1

1.5 angulo, θ [rad]

2

2.5

3

Arrastre sobre un cilindro en flujo potencial: Paradoja de D´ alambert La fuerza de arrastre sobre el cilindro se puede calcular si se integra en esfuerzo sobre el ´area. Para el caso de un flujo potencial, no hay esfuerzos viscosos. Por lo tanto el u ´ nico esfuerzo que act´ ua sobre la superficie del cilindro es la presi´on. La fuerza, en cada una de las direcciones coordenadas ser´a la integral de la componente del vector de presi´on respectiva sobre el ´area del cilindro. Ver figura. En la direcci´on x el componente de la presi´on es entonces P x = P cos θ La fuerza de arrastre FD es Z Z FD = (P cos θ)dS = (Ps − Po ) cos θdS S

S

Para calcular la integral, debemos expresar dS en t´erminos de θ. Consideremos la figura siguiente. Para un ´angulo peque˜ no, dθ, podemos considerar que dS tan dθ ≈ dθ = R

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

204

P Psin0 Pcos0

0

dS d0 R Entonces, el elemento diferencial de ´area dS, por unidad de profundidad L se puede escribir como: dS = LRdθ As´ı, la fuerza de arrastre se expresa como  Z 2π  1 2 2 ρU (1 − 4 sen θ) cos θLRdθ FD = 2 o 0 entonces 1 FD = ρUo2 LR 2

Z

Por lo tanto

2π 0

 2π (1 − 4 sen2 θ) cos θdθ = f rac12ρUo2 LR sin θ − 2 sin3 θ 0 FD = 0

205

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

Este resultado se conoce como la paradoja de D´alambert. A pesar de que somos capaces de calcular el campo de velocidades para cualquier punto en el espacio, el hecho de haber eliminado los esfuerzos viscosos causa que el flujo no produzca arrastre. Este resultado no es solo caso especial de un cilindro. El arrastre para cualquier objeto, cualquiera que sea su forma, sumergido en un flujo potencial es cero. Podemos tambi´en calcular la fuerza de sustentaci´on, FL (fuerza en la direcci´on perpendicular al flujo). Entonces, de manera an´aloga, tenemos  Z 2π  1 2 2 ρU (1 − 4 sen θ) sin θLRdθ FL = 2 o 0

entonces

2π Z 2π  4 2 1 2 5 cos θ + sin θ cos θ FL = ρUo LR 2 3 3 0 0 No es sorprendente encontrar que FL = 0

Cilindro con circulaci´ on Si a˜ nadimos un v´ortice en el centro del cilindro, es decir a˜ nadimos circulaci´on al flujo, entonces tenemos la siguiente funci´on de corriente r R2 ) − κ ln r a Podemos, de la misma manera que para el cilindro sin circulaci´on, calcular el campo de velocidades, la velocidad y la presi´on en la superficie. El campo de velocidades esta dado por: ψ = Uo sin θ(r −

λ ) cos θ r2 λ κ vθ = (Uo − 2 ) sin θ + r r La velocidad en la superficie es: vr = (Uo −

vr (r = R) = 0 vθ (r = R) = −2Uo sin θ +

κ R

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

206

La presi´on en la superficie es: 1 Ps − Po = ρUo2 (1 − 4 sin2 θ + 4β sin θ − β 2 ) 2 donde β = κ/(Uo R). Si calculamos tanto el arrastre como la sustentaci´on tenemos: Z 2π FD = (Ps − Po ) cos θLRdθ 0

= 0

y FL =

Z

2π

0

(Ps − Po ) sin θLRdθ

= −ρUo (2πκ)L Entonces, la sustentaci´on por unidad de profundidad es FL = −ρU0 Γ L donde Γ = 2πκ.

9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D

9.4.3.

207

M´ etodo de im´ agenes

En muchos ejemplos pr´acticos se debe considerar la presencia de paredes r´ıgidas. Existe una manera para simular el efecto de una pared s´olida fija. Consideremos, por ejemplo, el flujo generado por una fuente situada a una distancia a de una pared horizontal s´olida. Sabemos que la pared debe satisfacer la condici´on de no-flujo a trav´es de ella. Es decir, debemos asegurarnos que la pared corresponda e una linea de corriente del flujo. Para simular la pared, y hacer que esta sea una linea de corriente del flujo, se debe colocar una fuente virtual de la misma intensidad a la misma distancia por debajo de la pared. Por simetr´ıa, las dos fuentes dan lugar a una linea de corriente horizontal entre ellas que representa, entonces, la pared. La funci´on de corriente para este caso ser´a:

ψ = m arctan

y−a y+a + m arctan x x

La misma t´ecnica se puede utilizar para simular el efecto de que tiene una pared en el flujo generado por cualquier otra de las soluciones elementales o sus combinaciones. De la misma manera que para todos los otros ejemplos anteriores, una vez conocida la funci´on de corriente, o la funci´on potencial de velocidades, se puede deducir el campo de velocidades y tambi´en el campo de presiones.

208

CAP´ITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL

Cap´ıtulo 10 Turbulencia Una de las complicaciones mas importantes en el estudio de flujo de fluidos surge del hecho de que a partir de cierto n´ umero de Reynolds critico la estructura del flujo deja de ser laminar. En otras palabras, un flujo no puede ser laminar para altos n´ umeros de Reynolds. El n´ umero de Reynolds representa una medida de la magnitud relativa de los esfuerzos inerciales con respecto a los efectos viscosos. Podemos decir, entonces, que si en flujo los esfuerzos inerciales dominan entonces el flujo no puede ser laminar. La perdida de laminaridad la llamamos simplemente turbulencia. La turbulencia aparece porque los flujos son, en general, inestables bajo perturbaciones peque˜ nas si los esfuerzos viscosos son mas peque˜ nos que los inerciales. La gran mayor´ıa de los flujos en ingenier´ıa son turbulentos. En este cap´ıtulo daremos una descripci´on f´ısica de la turbulencia desarrollada. Tambi´en se discutir´a la transici´on de flujo laminar a turbulento. MMFM:Bondary layers:instability, transition and turbulence

10.1.

Introducci´ on

Se llama turbulencia al estado de un flujo que se caracteriza por su naturaleza fluctuante y aparentemente aleatoria. Es el resultado de la perdida 209

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

210

de estabilidad de un flujo laminar. Los flujos laminares est´an caracterizados por el hecho de que las part´ıculas de fluido se mueven en capas o l´aminas. Las part´ıculas que est´an en cierta l´amina, permanecen en ella. No pueden cambiar de capa. Flujo laminar

Re < 4000

Flujo turbulento

Re > 4000

Para el caso de un flujo con n´ umero de Reynolds mas alto que un cierto n´ umero de Reynolds cr´ıtico, el movimiento de las part´ıculas se vuelve mas tridimensional y agitado. Las capas de fluido se intersectan y se mezclan; adem´as, cambian como funci´on del tiempo de forma aparentemente aleatoria. Es dif´ıcil, por esto, describir matem´aticamente a un flujo turbulento.

10.2.

Experimento de Reynolds

Una de las primeras personas en identificar la transici´on de un flujo laminar a un flujo turbulento fue Oswald Reynolds en (1883). Su experimento, ilustrado en la figura, consisti´o en inyectar tinta en un flujo de un liquido en una tuber´ıa. De esta manera fue capaz de observar que a medida que la velocidad del flujo aumentaba, el movimiento del fluido en el seno del l´ıquido se volv´ıa cada vez mas agitado e irregular. Reynolds observ´o que cuando la relaci´on adimensional UDρ/µ del flujo permanec´ıa por debajo de 2000, el flujo era laminar. Esta relaci´on adimensional es lo que ahora se conoce como n´ umero de Reynolds Consideramos, por ejemplo, la medici´on de la velocidad en un punto fijo en medio de canal. Para un flujo laminar uno esperar´ıa medir una velocidad

Re < 1000 u

t 1000 < Re < 10000 u

10.2. EXPERIMENTO DE REYNOLDS

Medición de velocidad

t

u

Re > 10000

t

211

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

212

constante en dicho punto (ver figura). Para un flujo con un n´ umero de Reynolds mucho mayor a 2000, la medici´on de la velocidad en el mismo punto cambia considerablemente. Puede observarse que la magnitud del vector velocidad fluct´ ua alrededor de un valor medio. Para flujos con n´ umeros de Reynolds ligeramente superiores a 2000, la medici´on se caracteriza por per´ıodos breves de flujo laminar alternados con per´ıodos turbulentos. Esto indica que la transici´on de un flujo laminar a un flujo turbulento no es abrupta; la transici´on es progresiva. A este r´egimen intermedio se le denomina como de transici´on.

10.3.

Descripci´ on f´ısica de la turbulencia

La turbulencia desarrollada puede describirse f´ısicamente por las siguientes caracter´ısticas. Naturaleza fluctuante. Tanto la presi´on como la velocidad fluct´ uan alrededor de un valor medio. Las fluctuaciones son adem´as de naturaleza tridimensional. Aparici´on de remolinos. Las capas de fluido est´an acomodadas en estructuras coherentes llamadas remolinos o v´ortices. Los v´ortices tienen una amplia distribuci´on de tama˜ nos, que van desde la dimensi´on del flujo (tama˜ no del contenedor) hasta el tama˜ no en el cual se disipa el movimiento bajo la acci´on de la viscosidad (escala de Kolmogorov).

10.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA

213

Fluctuaciones pseudo-aleatorias. Aunque a simple vista, la naturaleza de las fluctuaciones de velocidad y presi´on parezcan aleatorias, en realidad estas se distribuyen de una forma caracter´ıstica no enteramente al azar. Turbulencia

frecuencia

frecuencia

Mantenimiento aut´onomo. Un flujo turbulento puede mantenerse turbulento a si mismo. Los remolinos grandes generan remolinos peque˜ nos. Disipaci´on. Puesto que el flujo es aut´onomo, la ruptura sucesiva de v´ortices a escalas m´as peque˜ nas, llevar´a eventualmente a la generaci´on de v´ortices del tama˜ no de la escala de Kolmogorov. Una vez alcanzado este tama˜ no, el movimiento se disipa por el efecto de la viscosidad. En otras, palabras un flujo turbulento decaer´a progresivamente a menos que exista un mecanismo de entrada de energ´ıa. Mezclado. El hecho de que el flujo turbulento sea fluctuante hace que la difusi´on de calor, masa y momentum sean mucho mas efectivos que la difusi´on molecular.

10.4.

Estabilidad y origen de la turbulencia

Los flujos laminares, en un punto cr´ıtico en el tiempo y el espacio, se vuelven inestables bajo perturbaciones peque˜ nas. Se dice que un sistema es inestable cuando al someterlo a una peque˜ na, ´esta se amplifica. Estas perturbaciones, o imperfecciones, surgen de la rugosidad, el ruido ac´ ustico, las vibraciones, etc.

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

214 Inestable

Estable

10.4.1.

Neutro

Teor´ıa de la estabilidad

Este an´alisis, llamado de perturbaci´on, consiste en a˜ nadir matem´aticamente una peque˜ na perturbaci´on a las variables de flujo (velocidad y presi´on). Las variables perturbadas se sustituyen en las ecuaciones de conservaci´on, las cuales se resuelven. El objetivo es averiguar si las soluciones que se encuentran son estables, es decir, si crecen o no como funci´on del tiempo. Este tipo de an´alisis se puede emplear para analizar la estabilidad de cualquier sistema, no solo de mec´anica de fluidos. Consideremos las ecuaciones de conservaci´on para un flujo newtoniano, incompresible: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y D~v = ρf~ − ∇P + µ∇2~v Dt Supongamos que tenemos un flujo unidireccional, ~v = (u, 0, bidimensional y que la presi´on es P = Po . Supongamos tambi´en que las soluciones para la velocidad y presi´on tienen las siguientes relaciones funcionales: ρ

u = U(y, t) P = Po (y, t) Procedamos a a˜ nadir una peque˜ na perturbaci´on a las tres componentes de velocidad y presi´on: u = U + uˆ v = vˆ P = Po + pˆ

10.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA

215

Podemos sustituir estas expresiones de nuevo en la ecuaciones de NavierStokes. Por ejemplo en la direcci´on x, tenemos:  2  ∂u ∂u 1 ∂P ∂ u ∂2u ∂u +u +v =− +ν + ∂t ∂x ∂y ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 entonces ∂U ∂ uˆ ∂(U + uˆ) ∂(U + uˆ) + + (U + uˆ) + (ˆ v) = ∂t ∂t ∂x ∂y  2  ∂ (U + uˆ) ∂ 2 (U + uˆ) 1 ∂(Po + pˆ) +ν + − ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 A la ecuaci´on anterior se le puede restar la ecuaci´on de conservaci´on de momentum para las variables no perturbadas. As´ı, encontramos que ∂ uˆ ∂ uˆ ∂U ∂U ∂ uˆ 1 ∂ pˆ +U + uˆ + vˆ + vˆ =− + ν∇2 uˆ ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ρ ∂x Si suponemos que uˆ ≪ U y que vˆ ≪ U, entonces podemos tambi´en despreciar los productos uˆ y vˆ. M´as aun podemos suponer que las perturbaciones (ˆ u, vˆ, pˆ) tienen soluci´on de la forma (ˆ u, vˆ, pˆ) = [f (y), g(y), h(y)] exp[iα(kx − ct)] Sustituyendo en la ecuaci´on de conservaci´on, tenemos: iαcf + Uiαkf = ν((iαk)2 f + f ′′ ) entonces

c+k f =0 ν Esta es la ecuaci´on de Orr-Sommerfeld, en su versi´on simplificada. Esta ecuaci´on diferencial ordinaria se puede resolver suponiendo algunas condiciones de frontera y valores de los par´ametros k, c, α, ν. La soluci´on ecuaci´on predice que la soluci´on laminar estacionaria se vuelve inestable para cierto valor del n´ umero de Reynolds del flujo. f ′′ − (αk)2 f − iα

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

216

Región estable Región inestable

Recrit 10.4.2.

Re

Desarrollo de la turbulencia

La turbulencia no aparece de manera s´ ubita en un flujo. Para que ´esta se manifieste en su forma completamente desarrollada deben pasar varias etapas. Consideremos la capa l´ımite sobre una placa plana. Ver figura. Conforme se avanza en la direcci´on longitudinal de la placa, va creciendo el valor de Rex , por lo que podemos ver como se desarrolla la turbulencia desde el flujo laminar. 1. Cerca del punto donde el flujo encuentra a la placa se desarrolla una capa l´ımite laminar ordinaria, puesto que el este primer tramo el Rex no es muy grande. 2. Cuando el valor de Rex alcanza un cierto valor cr´ıtico, los primeros indicios de la p´erdida de estabilidad se manifiestan: aparecen las ondas T-S (Tollminen-Schlichting), que son perturbaciones en la direcci´on perpendicular al flujo. Estas son ondas, pero aun son laminares. 3. Un poco mas adelante, aumentando un poco el Rex , estas ondas transversales comienzan a perder estabilidad y pierden su forma transversal. En esta etapa comienza a aparecer un componente de la vorticidad en la direcci´on del flujo.

10.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA

217

4. Aumentando un poco m´as el Rex , el siguiente fen´omeno que se observa es la desaparici´on de la estructura unidireccional del flujo. Se dice que tanto la velocidad y la vorticidad son tridimensionales. 5. Aguas abajo sobre la placa comienza a aparecer paquetes de turbulen´ cia completamente desarrollada. Estos paquetes, o manchas, crecen en tama˜ no y frecuencia de aparici´on. 6. Finalmente, los paquetes se unen y se crea la zona de turbulencia completamente desarrollada.

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

218

10.5.

Turbulencia desarrollada

Puesto que el flujo turbulento es muy complejo, resulta dif´ıcil describirlo con el tipo de funciones matem´aticas utilizadas en el flujo laminar (flujo tridimensional y no estacionario). Por esto para el estudio y descripci´on de la turbulencia se utilizan herramientas estad´ısticas para describirlo. En particular, se usa el concepto de promedio temporal. Cualquier variable, fluctuante o no, puede describirse a trav´es de su promedio en el tiempo.

10.5.1.

Descomposici´ on de Reynolds

La descomposici´on de Reynolds consiste en separar a cualquier variable en dos componentes, una estacionaria y otra fluctuante. Por ejemplo si consideramos la medici´on de la velocidad en el centro de un canal cuyo flujo es turbulento, podemos esperar encontrar una medici´on como la mostrada en la figura.

u

u

t

La velocidad instant´anea de la velocidad en este punto se puede describir como u(t) = u + u′ (t) donde u es el promedio temporal y u′ es la componente fluctuante de la velocidad.

10.5. TURBULENCIA DESARROLLADA

219

Promedio temporal Si consideramos una variable cualquiera f , su promedio temporal esta definido como: Z 1 to +T f (t)dt F = T to Entonces, podemos escribir que f = f + f′ Podemos adem´as demostrar que f′ = 0 y que f =f Estas son algunas reglas de la operaci´on promedio temporal: 1. f ′ g = 0 2. f ± g = f ± g 3. f · g = f · g + f ′ g ′ 4. f · g = f · g 5. 6.

∂f ∂s

R

=

∂f ∂s

f ds =

R

f ds

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

220

10.6.

Ecuaciones de conservaci´ on para un flujo turbulento

10.6.1.

Conservaci´ on de masa

Consideremos, primero, la ecuaci´on de conservaci´on de masa para un flujo incompresible, para el caso bidimensional en coordenadas rectangulares: ∇~v =

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

Consideremos ahora que las variables de flujo son turbulentas y que pueden descomponerse como: u = u + u′ v = v + v′ Sustituyendo estas expresiones en la ecuaci´on de conservaci´on de masa, tenemos, ∂(u + u′) ∂(v + v ′ ) + =0 ∂x ∂y Aplicando la operaci´on promedio temporal a toda la ecuaci´on tenemos: ∂u ∂u′ ∂v ∂v ′ + + + =0 ∂x ∂x ∂y ∂y Aplicando las reglas de la operaci´on promedio temporal sabemos que ∂u′ =0 ∂x y que ∂v ′ =0 ∂y Por lo tanto

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

´ 10.6. ECUACIONES DE CONSERVACION

221

por lo que podemos decir que a´ un el flujo turbulento, la ecuaci´on de conservaci´on de masa se satisface en promedio. Adem´as, si a la expresi´on anterior le restamos la ecuaci´on de conservaci´on, antes de promediar en el tiempo, podemos deducir que ∂u′ ∂v ′ + =0 ∂x ∂y entonces, podemos tambi´en decir que de forma instant´anea, las fluctuaciones de velocidad tambi´en satisfacen la ecuaci´on de conservaci´on.

10.6.2.

Conservaci´ on de momentum

De la misma manera que para la ecuaci´on de conservaci´on de masa, podemos sustituir la presi´on y las velocidades, descompuestas en parte media y fluctuante, en las ecuaciones de Navier Stokes. Consideremos, por simplicidad, u ´ nicamente la componente x de las ecuaciones incompresibles bidimensionales. Tenemos entonces, ∂(u + u′) ∂(u + u′ ) ∂(u + u′ ) + (u + u′ ) + (v + v ′ ) = ∂t ∂x ∂y   2 1 ∂(P + P ′ ) ∂ (u + u′ ) ∂ 2 (u + u′ ) − +ν + ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 Desarrollando todos los productos, y aplicando la operaci´on promedio temporal a toda la ecuaci´on, tenemos: ! 2u 2u ′ ′ ∂u 1 ∂P ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u ∂u +u + u′ +v + v′ =− +ν + ∂t ∂x ∂x ∂y ∂x ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 Los t´erminos u′ ∂u y v ′ ∂u pueden reescribirse de la siguiente manera ∂x ∂x ′

′

∂(u′ )2 ∂u′ ∂u′ = − u′ ∂x ∂x ∂x ′ ′v′) ∂u ∂v ′ ∂(u v′ = − u′ ∂x ∂x ∂x

u′

222

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

entonces, simplificando las operaciones promedio temporal, la ecuaci´on de conservaci´on de momentum puede escribirse como:   2   ∂(u′ v ′ ) 1 ∂P ∂ u ∂2u ∂u ∂u ∂(u′ )2 ′ ∂u′ ∂v ′ ∂u + +u +v + −u + =− +ν + ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂x ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 Utilizando la ecuaci´on de conservaci´on de masa, podemos demostrar que el quinto t´ermino del lado izquierdo es igual a cero. Entonces, podemos escribir   Du ∂ ′ ′ ∂ ′2 2 ρ = −∇P + µ∇ u − ρ (u ) + (u v ) Dt ∂x ∂y La ecuaci´on anterior es muy similar a la ecuaci´on de Navier Stokes con variables promediadas en el tiempo, excepto por la inclusi´on de dos t´erminos ∂ ∂ extra en el lado derecho de la ecuaci´on: ρ ∂x (u′2 ) y ρ ∂y (u′v ′ ). Estos componentes adicionales son los esfuerzos turbulentos. Si, de forma an´aloga, hacemos la deducci´on de la conservaci´on de momentum en la direcci´on y, encontraremos:   ∂ ′2 Dv ∂ ′ ′ 2 = −∇P + µ∇ v − ρ (u v ) + (v ) ρ Dt ∂x ∂y Podemos entonces hablar de un tensor de esfuerzos turbulentos:   u′ u′ u′ v ′ u′ w ′   Σt = −ρ∇u′i u′j = ρ  v ′ u′ v ′ v ′ v ′ w ′  w ′ u′ w ′ v ′ w ′ w ′ Estos esfuerzos extra tienen implicaciones f´ısicas importantes:

Los movimientos no estacionarios u′ , v ′ , w ′ provocan un flujo adicional de momentum. Se pueden interpretar como esfuerzos. A diferencia de los esfuerzos viscosos, los esfuerzos turbulentos dependen de la naturaleza del flujo y no de la naturaleza del fluido. En mucho flujos turbulentos, el tama˜ no de los esfuerzos turbulentos puede ser mas grande que los esfuerzos viscosos.

´ 10.6. ECUACIONES DE CONSERVACION

223

Al aparecer nuevas inc´ognitas en las ecuaciones de conservaci´on, necesitamos mas ecuaciones para cerrar el sistema. Necesitamos un relaci´on constitutiva turbulenta.

10.6.3.

Modelos emp´ıricos para turbulencia

Es claro que la aparici´on de nuevos t´erminos en las ecuaciones de conservaci´on implica que debemos tener mas ecuaciones. Necesitamos, de hecho, una ecuaci´on constitutiva para relacionar los esfuerzos turbulentos con otras variables del flujo. La teor´ıa de flujos turbulentos esta a´ un en desarrollo. A´ un no existen modelos anal´ıticos precisos que est´en ampliamente aceptados. Por esto, el modelado de los esfuerzos turbulentos se hace de forma emp´ırica. Aqu´ı se presentan algunos de los modelos m´as com´ unmente usados: 1. Viscosidad Eddy o de remolino Este modelo considera reemplazar los esfuerzos turbulentos por un esfuerzo tipo viscoso, utilizando una viscosidad turbulenta: ∂u −ρu′ v ′ = ε ∂y donde ε es la viscosidad de remolino. 2. Distancia de mezcla de Prandtl Supongamos que la distancia t´ıpica de mezcla (o flcutuaci´on turbu´ lenta) es L. Esta distancia se extiende desde la pared hasta donde el gradiente de velocidades es grande. As´ı podemos decir que, ∂u ∂y ∂u = L ∂y

u′ = L v′ Entonces 2

−ρu′ v ′ = ρL



∂u ∂y

2

224

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

(a) Estela turbulenta detras de un proyectil. T´ecnica deshadowgraf´ıa

(b) Desarrollo de turbulencia. Flujo sobre una placa. Visualizaci´ on de l´ıneas materiales por medio de generaci´ on de burbujas de hidr´ogeno.

(c) Capa l´ımite turbulenta. Visualizaci´ on por humo.

´ 10.6. ECUACIONES DE CONSERVACION

Figura 10.1: Chorro turbulento. Visualizaci´on por tinta flourescente.

225

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

226

pero sabemos que en y = 0, la distancia de mezcla es cero L = 0, entonces podr´ıamos decir que L = Ky Por lo tanto

2 ∂u −ρu′ v ′ = ρK y ∂y donde K es una constante universal (K = 0.4). 2 2



3. Hip´otesis de similitud de Von Karman Esta hip´otesis propone (a trav´es de argumentos mas complicados) que:  4 −ρu′ v ′

10.7.

2

= ρK 

∂u ∂y

∂2u ∂y 2

2

Capa limite turbulenta

Consideremos, una vez mas el flujo sobre una placa. De la misma manera como se hizo el desarrollo de capa l´ımite laminar, debemos hacer ciertas suposiciones para lograr simplificar las ecuaciones de flujo turbulento. Consideremos las siguientes suposiciones: δ(x) v ∂ ∂x w ∂ ∂z

≪

≪

x

=

u ∂ ∂y 0

=

0

≪

∂w ′2 =0 ∂x As´ı, la ecuaci´on de conservaci´on de masa es w ′2 6= 0 pero

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

10.7. CAPA LIMITE TURBULENTA

227

Considerando un flujo estacionario en promedio, la ecuaci´on de momentum en x se reduce a u

∂Uo 1 ∂τ ∂u ∂u +v = Uo + ∂x ∂y ∂x ρ ∂y

donde Uo (x) es la corriente por fuera de la capa l´ımite y τ es el esfuerzo total dado por ∂u τ =µ − ρu′ v ′ ∂y La ecuaci´on de momentum en y es 0=−

∂P ∂v ′2 −ρ ∂y ∂y

Por lo tanto, para el caso de un capa l´ımite turbulenta, no podemos decir que la presi´on dentro y fuera de la capa l´ımite es la misma. Podemos decir que P = Po (x) − ρv ′2 Sin embargo, esta correcci´on es peque˜ na. De igual manera que para el caso de capa l´ımite laminar, debemos considerar las siguientes condiciones de frontera: u(x, 0) = v(x, 0) = 0 u(x, δ) = Uo (x)

10.7.1.

Estructura de un flujo turbulento

En general, para una capa l´ımite turbulenta podemos analizar su estructura en diferentes regiones, dependiendo de la cercan´ıa con la pared. Podemos diferenciar el comportamiento de la capa l´ımite turbulenta en tres regiones distintas: Capa interna.

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

228

Es la capa que esta en contacto con la pared. Es ´esta, los esfuerzos viscosos dominan. Sabemos que en la pared u, v = 0, y tambi´en podemos argumentar que muy cerca de la pared u′ = v ′ ≈ 0, pues no hay espacio para que el fluido se mueva en forma fluctuante. Por lo tanto, cerca de la pared ρu′ v ′ = 0, no hay esfuerzos turbulentos. Entonces, existe un flujo laminar en la vecindad de la pared: uint = f (τw , ρ, µ, y) Capa externa. A cierta distancia de la pared, los esfuerzos turbulentos dominan. Pero, puesto que el efecto de la pared es reducir la velocidad de Uo a u(y), entonces la estructura de ´esta capa debe de ser funci´on de δ, τw , ∂Po /∂x, pero independiente de µ: Uo − uext = f (τw , ρ, y, δ, ∂Po/∂x) Capa intermedia. En esta regi´on ambos efectos tienen importancia. Las regiones externa e interna deben empatarse en esta regi´on: uint = uext

10.7.2.

Flujo de Couette turbulento

Consideremos un flujo de corte simple, para el caso en que el n´ umero de Reynolds es mayor que el cr´ıtico. Es decir, que el flujo sea completamente turbulento. Una de las ventajas del an´alisis de este flujo simple es que el esfuerzo cortante es constante a trav´es de y. τxy = τv + τt

229

10.7. CAPA LIMITE TURBULENTA U

Pared movil

Perfil laminar

H y Perfil turbulento u(y)=f(y)

Pared fija

x

donde τv = µ ∂u y τt = ρu′ v ′ . ∂y Las ecuaci´on de conservaci´on para este flujo son entonces, ∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y   ∂ ∂u ∂u = ρ u +v (τv + τt ) ∂x ∂y ∂y Consideremos el uso de variables adimensionales: y: distancia a la pared, [L]. ρ: densidad, [ML−1 T −2 ] u(y): velocidad media, [LT −1 ] τw : esfuerzo en la pared, [ML−1 T −2 ] ν: viscosidad cinem´atica, L2 T −1 Para lograr uniformidad dimensional, las variables ρ yτw deben de estar en em mismo (ambas tienen M). Podemos formar un grupo con unidades de velocidad, y as´ı usarlo como velocidad de referencia:  1/2 τw uτ = ρ

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

230

entonces podemos definir una velocidad adimensional como u u∗ = uτ Se puede agrupar otro conjunto de variables con unidades de distancia: r ρ Lτ = ν τw entonces podemos definir

1 y =y ν ∗

r

τw ρ

Capa interna Sabemos que

∂u ∂y Dividiendo entre ρ y suponiendo que ∂u/∂y ≈ u/y, tenemos µu τw = ρ ρy entonces u u2τ = ν y Re-arreglando t´erminos podemos escribir:  1/2 u y uτ y τw ∗ u = = = uτ ν ρ ν τw = µ

Por lo tanto

u∗ = y ∗ De forma experimental se ha comprobado que la capa interna se extiende desde la pared hasta y ∗ ≈ 5. Entonces podemos calcular el espesor de la capa interna, δCI , uτ δCI =5 ν entonces r ρ δCI = 5ν τw Esto representa aproximadamente 0.002 δ, espesor de la capa l´ımite.

231

10.7. CAPA LIMITE TURBULENTA Capa externa

Sabemos que el esfuerzo turbulento domina sobre el esfuerzo viscoso. Entonces τ = −ρu′ v ′ Debemos considerar una de los modelos de turbulencia. Por ejemplo podemos usar el modelo de distancia de mezcla de Prandtl:  2 ∂u τ 2 2 ′ ′ = −u v = K y ρ ∂y

Sabemos adem´as que en un flujo de Couette, el esfuerzo cortante es constante en todo el flujo: τ = τw , para cualquier y. Entonces  2 τ ∂u τw 2 2 2 = = uτ = K y ρ ρ ∂y Simplificando tenemos

uτ = Ky



∂u ∂y



Esta ecuaci´on se puede integrar, dando como resultado uτ ln y + C1 u= K Escribiendo en t´erminos de variables adimensionales tenemos: 1 ln y ∗ + C2 u∗ K1 De forma emp´ırica, se ha encontrado que K1 = 0.4 Y C2 =5.0. Esta expresi´on se conoce como ley de la pared. Capa intermedia En esta regi´on se deben considerar tanto los esfuerzos viscosos como los turbulentos, por lo tanto en esta regi´on no se observa un comportamiento ni lineal ni logar´ıtmico. Se puede demostrar que   1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 3 y = u + exp(−KB) exp(Ku ) − 1 − Ku − (Ku ) − (Ku ) 2 6

232

10.8.

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

Forma integral de las ecuaciones de capa l´ımite para flujos turbulentos

Recordemos la ecuaci´on integral de capa l´ımite (para una placa plana): ∂θ ∂x donde θ es el espesor de momentum definido como:   Z δ u u θ= 1− dy Uo 0 Uo τw (x) = ρUo2

Si despreciamos la capa interna (muy peque˜ na), podemos utilizar la ley de la pared como perfil de velocidad:   1  yuτ  +B ln u = uτ K ν donde B = 5.0 y K = 0.41. Entonces, en el borde superior de la capa l´ımite tenemos     1 δuτ Uo +B = ln uτ K ν

10.8. CAPA LIMITE, FORMA INTEGRAL

233

El coeficiente de fricci´on es 2τw ρUo2

Cf = pero τw /ρ = uτ entonces Cf = 2 o Uo = uτ Adem´as, despejando uτ tenemos





uτ = Uo

uτ Uo

2 Cf



2

1/2

Cf 2

1/2

por lo que podemos escribir δuτ = Reδ ν



Cf 2

1/2

donde Reδ = δUo /ν. Podemos, ahora, sustituir las expresiones para δuντ y Uuτo en expresi´on de la ley de la pared en el borde de la capa l´ımite: #  1/2 !  1/2 " Cf 1 2 +B ln Reδ = Cf K 2 Esta expresi´on nos da una relaci´on funcional entre el coeficiente de fricci´on y el n´ umero de Reynolds (tipo diagrama de Moody). Sin embargo es una ecuaci´on trascendental que se debe resolver num´ericamente. Esta ecuaci´on puede ajustarse aproximadamente a Cf = 0.02(Reδ )−1/6 Calculemos ahora el espesor de momentum de la capa l´ımite, θ. El perfil de velocidades promedio en una capa l´ımite turbulenta se puede aproximar a  y 1/7 u = . Uo δ

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

234 Reδ 104 105 106 107

Cf 0.00493 0.00315 0.00217 0.00158

Este resultado es emp´ırico. Si sustituimos esta funci´on en la definici´on de θ tenemos: Z δ  1/7   y 1/7  y θ= 1− dy δ δ 0 entonces

θ = δ

Z

0

1

η 1/7 (1 − η 1/7 )dη

7 = δ 72 Ahora, de la definici´on de coeficiente de fricci´on sabemos 1 τw = Cf ρUo2 2 por lo que

1 τw = (0.02(Reδ )−1/6 ) ρUo2 2 Tambi´en sabemos que ∂θ τw = ρUo2 ∂x Igualando las dos expresiones anteriores tenemos ρUo2

1 ∂θ = (0.02(Reδ )−1/6 ) ρUo2 ∂x 2

Simplificando tenemos 9.72

∂δ = (Reδ )−1/6 ∂x

9.72

∂δ δUo −1/6 =( ) ∂x ν

pero Reδ = δUo /ν, entonces

10.9. FLUJO TURBULENTO EN TUBER´IAS por lo que 9.72δ

1/6

∂δ =





Uo ν

Uo ν

−1/6

235

∂x

Integrando tenemos 6 9.72δ 7/6 = 7

−1/6

x+C

pero C = 0 porque δ = 0 en x = 0. Entonces podemos decir que Reδ = 0.16Re6/7 x y haciendo rearreglando t´erminos tenemos δ 0.16 = x (Rex )1/7 Es interesante comparar este resultado con el resultado que obtuvimos para capa l´ımite laminar 1 δ ∼ x laminar (Rex )1/2 Podemos entonces re-calcular Cf y ponerlo en funci´on de x, en lugar de en funci´on de δ. 0.0027 Cf = (Rex )1/7 Tambi´en podr´ıamos obtener expresiones para CD y para δ ∗ .

10.9.

Flujo turbulento en tuber´ıas

El flujo en tuber´ıas tiene gran importancia pr´actica. Es posible comparar con la soluci´on exacta para flujo laminar: ulaminar =

(−∂P/∂z) 2 (R − r 2 ) 4µ

CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

236

Cf

experimentos

16/ReD

"teoría" turbulenta

teoría viscosa

transición

flujo laminar

2000

4000

flujo turbulento

ReD

Si calculamos el coeficiente de fricci´on, Cf para el caso laminar tenemos Cf =

2τw ρU

2

El flujo laminar se vuelve inestable alrededor de Re = 2000. Entre 2000 y 4000 se observa una etapa de transici´on. Para Re > 4000 el flujo es completamente turbulento. Para un flujo completamente turbulento, la f´ormula emp´ırica de Blasius nos da 0.0791 Cf = Re1/4 que es v´alida para 4000 < ReD < 105 . Si embargo podemos utilizar en an´alisis sobre capa l´ımite turbulenta visto en la secci´on anterior. Podemos decir, en t´erminos generales que el flujo dentro de una tuber´ıa es para el caso de un gradiente de presi´on favorable. Si el radio de la tuber´ıa es a, podemos hacer un cambio de variables para considerar un eje coordenado sobre la pared: y =a−r por lo que dy = −dr

10.9. FLUJO TURBULENTO EN TUBER´IAS

237

Puesto que se desconoce el perfil de velocidades podemos calcular, en lugar, una velocidad promedio empleando el flujo volum´etrico: Z a 1 Q = 2 Uprom = u2πrdr A πa 0 por lo tanto 2 Uprom = 2 a Si utilizamos la ley de la pared u∗ entonces Uprom

Z

Z



As´ı Uprom

0

a

u(a − y)dy

1 yuτ 1 ln y ∗ + C2 = ln + C2 K1 K1 ν

2 = 2 a

2 = 2 a K1

Z

0 a



0

uτ a

 yuτ 1 ln + C2 (a − y)dy K1 ν

 yuτ yuτ a y ln ln + C2 a − − C2 y dy K1 ν K1 ν

resolviendo tenemos 

Uprom = uτ

auτ 3 1 ln + C2 − K1 ν 2K1

Podemos escribir la definici´on de Cf como Cf =

2u2τ 2 Uprom

por lo tanto

Si definimos

Cf = 

2 1 K1

ln

auτ ν

ReD =

+ C2 −

2aUprom ν

entonces tambi´en podemos escribir Cf =

2u2τ
2 ν Re d 2a

3 2K1

2



CAP´ITULO 10. TURBULENCIA

238 despu´es de un poco de algebra auτ 1 = ν 2

r

Cf ReD 2

que podemos sustituir en la ecuaci´on para Cf : Cf = 

2 1 K1

ln

q

Cf 8

ReD



+ C2 −

3 2K1

2

la cual es una ecuaci´on impl´ıcita que relaciona a Cf con ReD . Esta ecuaci´on concuerda muy bien con la expresi´on emp´ırica. Podemos escribir una expresi´on para el esfuerzo en la pared para un flujo turbulento tal que 7/4 τw ∼ ρ3/4 Uprom µ1/4 D −1/4 ´ Esta puede ser comparada com una expresi´on para flujo laminar τw ∼ ρ0 Uprom µD −1

Cap´ıtulo 11 Fuerzas hidrodin´ amicas: arrastre y sustentaci´ on Una de las ´areas mas importantes en flujos en ingenier´ıa es el estudio de la interacci´on entre un flujo uniforme y un objeto sumergido. MMFM:dynamics:Dependence of forces on..

11.1.

Flujo alrededor de objetos

Para este tipo de flujos nos interesa, principalmente, conocer que tipo de fuerzas el flujo ejerce sobre el objeto. Una vez conocidas estas fuerzas se pueden hacer mejores dise˜ nos. Las fuerzas que un flujo ejerce sobre un objeto se pueden calcular integrando los esfuerzos, tanto normales como cortantes, sobre la superficie: Z Z → − F = τw dS + (−P )dS S

S

Si el cuerpo tiene una forma y orientaci´on no sim´etrica, las fuerzas y momentos que ejerce el fluido tienen componentes en las tres direcci´on coordenadas. Se acostumbra elegir que uno de los ejes coordenados sea paralelo a la direcci´on de la corriente uniforme. La fuerza sobre el cuerpo en la direcci´on de 239

´ ´ 240CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION Empuje vertical Torque Cuerpo de forma arbitraria

Arrastre Torque

V Torque Corriente uniforme

Empuje lateral

este eje se denomina fuerza de arrastre, FD , y el torque se denomina momento de balanceo. Tambi´en, es usual elegir que una de las direcciones perpendiculares a la direcci´on del flujo coincida con la direcci´on de la gravedad. La fuerza de flujo que aparece en esta direcci´on se denomina fuerza de sustentaci´on, FL . En la otra direcci´on coordenada perpendicular, la fuerza que se denomina fuerza lateral. Sin embargo, por lo general, los cuerpos sumergidos poseen por lo menos un eje de simetr´ıa con respecto al flujo. Para estos casos u ´ nicamente aparecen fuerzas de arrastre y sustentaci´on y momento de balanceo. Si el cuerpo tiene dos planos de simetr´ıa, u ´ nicamente aparece la fuerza de arrastre. En principio, se deseamos saber τw y P para poder integrar sobre la superficie del objetos debemos resolver las ecuaciones de Navier Stokes y la ecuaci´on de conservaci´on de masa: D~v = ρf~ − ∇P + µ∇2~v Dt ∇ · ~v = 0 ρ

Sin embargo, sabemos que no es posible resolver estas ecuaciones para un flujo general. Existen soluciones aproximadas tanto para flujo viscoso (Re ≪ 1) como para flujo ideal (Re ≫ 1). Flujos en los cuales la viscosidad es el efecto mas

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS

241

importante son muy limitados. Las soluciones obtenidas bajo la suposici´on de flujo ideal dan predicciones falsas, en particular para el c´alculo de arrastre. Una forma de encontrar soluciones para flujos a alto n´ umero de Reynolds es la combinaci´on de la soluci´on del flujo en dos regiones distintas: la regi´on cercana a la superficie se resuelve a trav´es de la aproximaci´on de capa l´ımite; y el flujo lejos de la superficie se resuelve utilizando flujo potencial.

FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)

CAPA LIMITE

FLUJO INTERIOR (VISCOSO)

Para el caso m´as general, para flujo alrededor de geometr´ıas no simples,la t´ecnica que sigue siendo la m´as ampliamente utilizada, por lo menos antes de que las t´ecnicas computacionales se hicieran de uso com´ un, es la experimental. Simplemente se llevan a cabo experimentos: se coloca un cuerpo con una geometr´ıa dada en una corriente uniforme, bien caracterizada y controlada, y se mide la fuerza directamente. El experimento se repite muchas veces para diferentes condiciones de flujo y se componen gr´aficas o tablas del coeficiente de arrastre en funci´on de par´ametros adimensionales.

´ ´ 242CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION

11.1.1.

Fuerza de arrastre

La fuerza de arrastre es la fuerza que resulta de la interacci´on de un flujo y un objeto, que est´a en la direcci´on del flujo. MMFM:dynamics:Dependence of forces on.. Consideremos el caso de un cuerpo liso con dos planos de simetr´ıa, por ejemplo una esfera, inmerso en un flujo incompresible. Si realizamos experimentos para medir la fuerza de arrastre sobre este objeto encontraremos que FD depende del tama˜ no del objeto L, de las propiedades del fluido, µ y ρ, y obviamente de la velocidad del flujo, V . En forma funcional podemos decir que FD = f1 (L, V, µ, ρ) Si recordamos en teorema de Π-Buckingham, podemos con estas cinco variables formar dos n´ umeros adimensionales independientes. Podemos entonces re-expresar la relaci´on funcional para la fuerza de arrastre en forma adimensional:   ρV L FD = f2 (Re) = f2 ρV 2 L2 µ Si definimos el coeficiente de arrastre como FD CD = 1 2 ρV A 2 donde A es el area del objeto expuesta al flujo, A ∼ L2 . Podemos decir, entonces que CD = f (Re) Si consideramos que existen efectos de compresibilidad, de la cercan´ıa con una superficie libre o una pared, la relaci´on funcional para el coeficiente de arrastre estar´ıa dada por: CD = f (Re, M, F r, Π) donde M es el n´ umero de Mach dado por M = V /c, donde c es la velocidad √ del sonido; F r es el n´ umero de Froude definido por F r = V / gH, donde H es la distancia a la superficie libre; y Π es la relaci´on entre el tama˜ no del objeto y la distancia a una pared s´olida, Π = L/X.

243

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS Arrastre debido a rozamiento

Como se discuti´o con anterioridad, el arrastre sobre un cuerpo es la combinaci´on de esfuerzos viscosos de corte y esfuerzos normales que el flujo ejerce sobre el cuerpo. En general ambos efectos est´an presentes, pero para algunas configuraciones o reg´ımenes de flujo, uno de estos tipos de esfuerzo puede dominar con respecto al otro. Consideremos el caso del flujo sobre una placa plana horizontal.

U=Uo

y

x U=0

Si no existe gradiente de presi´on (placa horizontal), entonces la fuerza de arrastre esta dada por Z FD =

τw dS

S.placa

o

CD =

R

τ dS

S.placa w 1 ρV 2 A 2

Sabemos que τw se puede calcular utilizando un an´alisis de capa l´ımite, tanto para flujos laminares como turbulentos. Para el caso laminar, sabemos de la soluci´on de Blasius que Cf =

τw 1 ρV 2 2

0.664 =√ Rex

´ ´ 244CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION Para calcular CD consideremos una placa de largo L y ancho b. Entonces r Z L 1 ν −0.5 CD = x bdx 0.664 bL 0 V por lo que

1.328 CD = √ ReL

Para flujo turbulento Cf =

0.0027 Rex 1/7

CD =

0.00315 ReL 1/7

entonces

FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)

CAPA LIMITE

FLUJO INTERIOR (VISCOSO)

Arrastre debido a diferencia de presiones Consideremos ahora el flujo alrededor de una placa perpendicular al flujo. Para un flujo a numero de Reynolds alto, aparecen zonas de separaci´on en la parte posterior de la placa. La separaci´on esta caracterizada por generar zonas de baja presi´on. Entonces, para este tipo de flujos el arrastre sobre la placa es resultado, principalmente, de la diferencia de presiones entre la parte anterior y posterior.

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS U=Uo

245

separación

y

x

U=0

Aunque la presi´on en la parte posterior es pr´acticamente constante, ´esta no se puede determinar analiticamente. Se debe recurrir a experimentos para determinar el arrastre. El coeficiente de arrastre para una placa perpendicular al flujo depende de la raz´on del ancho con respecto a la altura (b/h). Para el caso el que b/h = 1.0, es CD alcanza un valor m´ınimo de 1.18. La gr´afica mostrada en la figura es v´alida para el caso en que Reh > 1000.

El coeficiente de arrastre para todos los objetos con aristas agudas resulta esencialmente independiente del n´ umero de Reynolds, debido a que los puntos de separaci´on est´an fijos a la geometr´ıa del objetos. La figura siguiente muestra el CD para varias geometr´ıas, tambi´en para el caso en que Re > 1000.

´ ´ 246CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION

FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)

CAPA LIMITE

FLUJO INTERIOR (VISCOSO)

11.1.2.

Flujo alrededor de una esfera

En la secci´on anterior vimos los casos en que el arrastre es producido ya sea por esfuerzos viscosos o por diferencia de presiones. Para el caso viscoso, la dependencia de CD con el Re era importante; por otro lado, cuando el arrastre era generado por gradientes de presi´on (capa l´ımite desprendida) el CD era pr´acticamente constante. MMFM:Bondary layers:separation Para el caso del flujo alrededor de una esfera, la transici´on entre flujo viscoso y flujo inercial se puede apreciar muy bien. La figura siguiente muestra la gr´afica de CD como funci´on de Re para una esfera lisa. Se pueden distinguir varios reg´ımenes de flujo:

1. Re ≪ 1. En este caso en flujo es dominado enteramente por esfuerzos viscosos. De hecho, para este caso se puede encontrar una soluci´on

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS

247

anal´ıtica para el arrastre resolviendo las ecuaciones de Stokes: FD = 3πµDUo por lo tanto

24 Re Esta expresi´on es la linea recta a la izquierda de la figura. El flujo tiene simetr´ıa aguas arriba-aguas abajo. CD =

2. Para Re > 1 la expresi´on obtenida para el arrastre viscoso comienza a fallar. Hasta Re ≈ 25 el flujo no se separa en la parte posterior de la esfera, pero es ligeramente asim´etrico. El CD continua disminuyendo monot´onicamente conforme Re aumenta, hasta Re ≈ 1000. A partir de Re ≈ 25, se observa claramente un desprendimiento de la capa l´ımite en la parte posterior de la esfera. La estela de recirculaci´on se mantiene laminar y estable para flujos de hasta 3. Para el rango de flujos entre 25 < Re < 130, la estela de recirculaci´on es estacionaria. La estela crece.

´ ´ 248CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS

249

4. Entre 130 < Re < 400 la estela se vuelve inestable. Existe una competencia entre la generaci´on y la difusi´on y la convecci´on de la vorticidad. Se observa que v´ortices se desprenden de manera peri´odica de la parte posterior de la esfera. Para estos tres u ´ ltimos reg´ımenes de flujo, el arrastre es una combinaci´on de esfuerzos viscosos y de presi´on. 5. En Re = 1000 el rozamiento viscoso es u ´ nicamente 5 % del arrastre. Para flujo con Re > 1000 el coeficiente de arrastre se mantiene pr´acticamente constante , CD ≈ 0.4. Para 1000 < Re < 350000, el flujo es no estacionario y asim´etrico. Ocurre el desprendimiento peri´odico de v´ortices. 6. Para Re > 200000, la caracter´ısticas del flujo cambian por completo. Para Re ≈ 280000, la capa l´ımite se vuelve turbulenta. Puesto que para este r´egimen existe una mayor agitaci´on del flujo, la capa l´ımite se readhiere y disminuye la diferencia de presiones entre la parte frontal y la posterior. Por tanto, el CD cae precipitadamente. El comportamiento del flujo alrededor de un cilindro es muy parecido al de la esfera.

´ ´ 250CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION

Re=0.16

Re=8.15

Re=118 Re=26.8

Re=15000

Re=30000

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS

11.1.3.

251

Perfiles aerodin´ amicos

Una forma de reducir el arrastre hidrodin´amico es eliminando las zonas de recirculaci´on para disminuir el arrastre por diferencia de presiones, que tiene a dominar para flujo con n´ umero de Reynolds elevado. La zonas de recirculaci´on, o de desprendimiento, se pueden eliminar o reducir se la forma del cuerpo es suave y se evitar las esquinas y cambios abruptos de direcci´on. Sin embargo, al a˜ nadir regiones s´olidas para disminuir las orillas, se aumenta tambi´en el area superficial, y por tanto, se aumenta el arrastre por fricci´on. Se han realizado muchas investigaciones para determinar la forma de ideal de un perfil. La mayor´ıa de estas de forma experimental. La forma o´ptima es aquella que produce el m´ınimo de arrastre.

El m´ınimo coeficiente de arrastre que puede producirse es de aproximadamente 0.06, que representa tan solo el 20 % del valor encontrado para un cilindro.

´ ´ 252CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION

11.1.4.

Fuerza de sustentaci´ on

La sustentaci´on es la fuerza que el flujo ejerce sobre el cuerpo en al direcci´on perpendicular al flujo. Por lo general, esta direcci´on es la de la gravedad. Esta fuerza aparece cuando el segundo plano de simetr´ıa con respecto al flujo. El coeficiente de sustentaci´on esta definido como CL =

FL 1 ρV 2 Ap 2

donde Ap es el ´area proyectada del objeto frente al flujo.

U=Uo

FL

FD

Ap

L

Podemos decir que tanto el coeficiente de arrastre con el de sustentaci´on son funciones del n´ umero de Reynolds, Re = LUo /ν. Adem´as de tambi´en tambi´en depender de la geometr´ıa, son funciones importantes del a´ngulo de ataque, α. Este ´angulo esta definido como el ´angulo entre la cuerda del perfil y el vector velocidad de la corriente libre. Debe notarse que el a´rea proyectada es tambi´en una funci´on de α. La figura muestra un ejemplo de CL y CD para un perfil aereodin´amico de clasificaci´on NACA. Puede notarse que CL aumenta como funci´on de alpha, hasta llegar a un valor m´aximo. Si se continua aumentado el a´ngulo de ataque, el coeficiente de sustentaci´on decrece r´apidamente. Se dice que el

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS

253

flujo alrededor del perfil esta ahogado, si el coeficiente de sustentaci´on decrece de esta manera. El ahogamiento ocurre cuando el flujo se separa sobre la mayor parte de la cara superior del perfil. Conforme el ´angulo de ataque crece, el punto de estancamiento se mueve sobre la superficie del perfil. Podemos tambi´en mencionar que para perfiles finitos, el coeficiente de sustentaci´on es menor que el calculado par perfiles bi-dimensionales. Aviones Para dise˜ no de aviones necesitamos considerar dos factores: El arrastre debe ser bajo. Un alto arrastre implica una potencia mas alta para mover el avi´on. La sustentaci´on debe ser alta. Si la sustentaci´on es grande, el avi´on puede transportar pesos m´as grandes. Tambi´en debemos considerar las siguientes condiciones: Durante el despegue y el aterrizaje, la sustentaci´on debe poder controlarse. Por ejemplo, durante el aterrizaje, necesitamos tener una alta sustentaci´on a velocidades no muy grandes. Para vuelo permanente tenemos 1 Wavion = FL = CL ρUo2 A 2 La velocidad m´ınima se puede calcular de la expresi´on anterior cuando CL = CL (max): s 2W Umin = ρCL (max)A por tanto la velocidad m´ınima se puede disminuir si se aumenta A o CL . CL se puede varias con alas de geometr´ıa variable.

´ ´ 254CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION Sustentaci´ on por giro Otra manera de generar fuerzas de sustentaci´on es por el giro del objeto. La aparici´on de una fuerza perpendicular al flujo como resultado del giro de una esfera o cilindro se conoce como efecto de Magnus. Este efecto se una ampliamente en los deportes.

11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS

255

´ ´ 256CAP´ITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION

Cap´ıtulo 12 Introducci´ on a flujo compresible Un muchos casos de inter´es pr´actico no es razonable suponer que la densidad del fluido se mantiene constante. En este cap´ıtulo discutiremos algunos conceptos para determinar cuando podemos suponer que es correcto suponer que la densidad es constante. Cuando no lo es, se debe de extender el an´alisis de flujo para tomar en cuenta este efecto. Cuando la variaci´on de densidad es importante y se debe considerar, las ecuaciones de conservaci´on son las siguientes: ∂ρ + ~v · ∇ρ + ρ(∇ · ~v ) ∂t   ∂~v ρ + (~v · ∇)~v ∂t   ∂T ρCp + (~v · ∇)T ∂t P

= 0

(12.1)

= ρ~g − ∇P + (λ + µ)∇(∇ · ~v ) + µ∇2~v (12.2) = ∇ (k∇T ) + Φ

(12.3)

= ρRT

(12.4)

Este sistema de 6 ecuaciones (1 de masa, tres de momemtum lineal, 1 energ´ıa y 1 de estado) y 6 inc´ognitas (densidad, presi´on, temperatura y velocidad, 3) esta cerrado. En principio, se podr´ıa resolver pues se tiene un 257

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

258

n´ umero de inc´ognitas igual al n´ umero de ecuaciones disponibles. Sin embargo, como se ha discutido ampliamente, no existen m´etodos matem´aticos para encontrar la soluci´on. Por lo tanto, se deben de hacer simplificaciones importantes. En este cap´ıtulo analizaremos el caso de flujo compresible unidimensional y no-viscoso. Antes de arrancar es importante hacer un repaso breve de algunos conceptos importantes de la termodin´amica de gases ideales.

12.1.

Repaso de termodin´ amica de gases ideales

La ecuaci´on de estado para un gas ideal es: P = ρRT ´ donde R es la constante del gas. Esta es: R=

RU Mm

donde RU = 8314 J/(Kgmol K) es la constante universal de los gases y Mm es la masa molecular. Usualmente en termodin´amica se usa el inverso de la densidad, v = 1/ρ, llamado volumen espec´ıfico. La energ´ıa interna, u, de una sustancia se puede expresar como funci´on de otras dos variables termodin´amicas: u = f (v, T ). Por lo tanto, du =



∂u ∂T



v

dT +



∂u ∂v



T

dv

´ 12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES

259

lo cual puede escribirse como du = Cv dT +



∂u ∂v



dv

T

dondeCv es la capacidad calor´ıfica a volumen constante. Para un gas ideal se puede demostrar que la energ´ıa interna no depende del volumen espec´ıfico, es decir ∂u/∂v = 0. Entonces, du = Cv dT En otras palabras, el cambio de energ´ıa interna depende u ´ nicamente de los cambios de temperatura. Podemos tambi´en definir la propiedad termodin´amica, h, entalp´ıa como: h= u+

P ρ

De igual manera, podemos escribir a la entalp´ıa como una funci´on de otras dos variables termodin´amicas. h = g(P, T ). Por lo tanto, los cambios de entalp´ıa se pueden calcular como:     ∂h ∂h dh = dP + dT ∂P T ∂T P pero ∂h/∂P = 0 por lo que dh = CP dT donde CP es la capacidad calor´ıfica a presi´on constante. De la definici´on de entalp´ıa tenemos h = u + RT. Entonces dh = du + RdT

260

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

y usando las expresiones anteriores podemos escribir: CP dT = Cv dT + RdT por lo tanto: r = CP − Cv Si definimos k = CP /Cv , entonces, kR k−1 R = k−1

CP = Cv

Sabemos que tanto CP como Cv son aproximadamente constantes para un amplio rango de temperaturas. Por lo tanto podemos calcular el cambio de energ´ıa interna y entalp´ıa como: ∆u = Cv (T2 − t1 )

∆h = CP (T2 − t1 ) Tambi´en es u ´ til definir el concepto de entrop´ıa: Z δQ ∆s = rev T Esta ecuaci´on representa la segunda ley de la termodin´amica. Para proceso no reversible tenemos: ds ≥

δQ T

y para uno reversible:

dQ m Si el proceso es adiab´atico dQ = 0, entonces en un proceso adiab´atico reversible ds = 0 (proceso isentr´opico). De otra manera, ds > 0. De la primera ley de la termodin´amica sabemos que T ds =

∆u = Q − W

´ 12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES

261

por lo tanto du = δQ − δW. Entonces, T ds = du + P dv y T ds = dh − vdP Por lo tanto ds = Cv dT + R dv T v dP − R ds = CP dT T P

(12.5)

Si el proceso es isentr´opico para un gas ideal, entonces 0 = Cv dT + P dv 0 = CP dT − vdP

(12.6)

Por lo tanto, dT =

P dv vdP =− CP Cv

y f racdP P +

CP dv =0 Cv v

Esta expresi´on se puede integrar: ln P + ln v k = constante y finalmente: P = constante. ρk Para un proceso isentr´opico de un gas ideal la relaci´on P/ρk se mantiene constante: P2 P1 = k. k ρ1 ρ2

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

262

12.2.

Propagaci´ on de una perturbaci´ on peque˜ na de presi´ on

Consideremos que existe un dominio que est´a originalmente en reposo, a una presi´on P y a una densidad ρ. Supongamos que en una regi´on de ese dominio la presi´on crece s´ ubitamente (una peque˜ na explosi´on). Por lo tanto la densidad y la velocidad se ver´an afectadas:

P ρ

P+dP ρ + dρ

Vx =0

dVx

c

y x

Como resultado del gradiente de presi´on el fluido tender´a a moverse. Por lo tanto, la frontera entre el fluido sin moverse y el que se esta moviendo se desplazar´a. Para el caso mostrado en la figura, el desplazamiento se dar´a hacia la izquierda. Si suponemos que la frontera se desplaza a una velocidad constante podemos realizar un an´alisis de volumen de control que se desplaza a una velocidad constante c hacia la derecha. La ecuaci´on de conservaci´on de masa para este volumen de control es: Z Z d ρdV + ρ~v · ~ndS = 0 dt V S

Si el flujo es estacionario la primera integral es cero. Si consideramos un flujo uniforme tenemos Z Z ρ~v · ~ndS + ρ~v · ~ndS = 0 Sizq

Sdere

´ DE UNA PERTURBACION ´ PEQUENA ˜ DE PRESION263 ´ 12.2. PROPAGACION entonces −(ρcS) + (ρ + dρ)(c − dVx )S = 0 por lo tanto −ρcS + ρcS − ρdVx S + cdρS − dVx dρS = 0 si despreciamos los t´erminos que involucran productos de cantidades diferenciales, tenemos dρ dVx = c ρ La conservaci´on de momentum, en la direcci´on x, para el mismo volumen de control es: Z Z d ρVx dV + ρVx~v · ~ndS = Fsx + FV x dt V S Si el flujo es estacionario y no hay fuerzas volumetricas en x, tenemos Z ρVx~v · ~ndS = Fsx S

Por lo tanto −(ρc)cS + (ρ + dρ)(c − dVx )(c − dVx )S = P S − (P + dP )S Simplificando tenemos: −ρcdVx S = −dP S lo que se puede reescribir como: dVx =

1 dP ρc

Usando el resultado de la ecuaci´on de conservaci´on de masa c

c dρ = dP ρ ρ

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

264 y por lo tanto

c2 =

dP dρ

Si consideramos un gas ideal y que el proceso de compresi´on se llev´o a cabo de manera isentr´opica tenemos: P = constante. ρk Por tanto, dP dρ −k = 0. P ρ Entonces

P dP = k = RT dρ ρ

Finalmente c=

√

kRT

Para aire a temperatura ambiente, k = 1.4, R = 286.9 J/(Kg K), T = 293 K, c = 343.1 m/s. De forma mas general, para otros fluidos y s´olidos podemos emplear la definici´on del coeficiente de compresibilidad, Ev : Ev = Por lo tanto, c=

∂P . (∂ρ)/ρ s

Ev ρ

Para agua, ρ = 1000 Kg/m3 , Ev = 2.2 × 109 , c = 1483 m/s.

12.2.1.

Emisi´ on s´ onica y tipos de flujo

Si consideramos la existencia de una fuente de sonido (perturbaciones de presi´on), ´esta viajar´a a la velocidad c en todas las direcciones. Esto se muestra esquem´aticamente en la figura abajo. Si cada pulso de sonido esta

´ DE UNA PERTURBACION ´ PEQUENA ˜ DE PRESION265 ´ 12.2. PROPAGACION separado por un instante de tiempo ∆t, la separaci´on entre los diferentes pulsos de presi´on estar´a dado por una distancia radial cδt. El frente de cada onda ser´a entonces un c´ırculo cuyo radio crecer´a el en tiempo. Los frentes de onda consecutivos ser´an entonces c´ırculos conc´entricos. Objeto (V=0) Posici´on de un pulso s´onico despu´es de un tiempo ∆t.

b

c(∆t) c(3∆t) c(2∆t)

Ahora supongamos que el objeto que est´a emitiendo pulsos s´onicos se mueve a una velocidad V de izquierda a derecha, como se muestra en la figura. El objeto se mueve a V < c. El pulso s´onico se emitir´a de lugares distintos pero la propagaci´on se dar´a de la misma manera, radialmente uniforme. Note que los pulsos est´an menos espaciados en la direcci´on de movimiento del objeto. Por lo tanto la frecuencia del sonido enfrente al objeto se incrementa, mientras que detr´as del objeto la frecuencia es menor. Este es el efecto Doppler. V(3∆t)

Objeto se mueve (V c). El objeto se adelanta a los frentes de sonido que va generando. La frontera de frentes de onda se inclina, formando un cono de Mach. Por fuera de esta regi´on no se escucha sonido (zona de silencio). V(3∆t)

Objeto se mueve (V>c)

V(2∆t) V(∆t) α b b

b

b

c(∆t) c(3∆t)

c(2∆t) Frontera de avance

El a´ngulo del cono de de Mach se puede calcular usando trigonometr´ıa: sin α =

c c∆t = V ∆t V

. La raz´on entre la velocidad del objeto (o del flujo) y la del propagaci´on del sonido sirve entonces para caracterizar la fenomenolog´ıa de flujos compresibles. El n´ umero adimensional, Ma, se define como: V c Asi podemos definir diferentes reg´ımenes de flujo: Ma =

Ma < 1, flujo subs´onico. Ventiladores. Ma > 1, flujo supers´onico. Compresores, aviones. 0.9 < Ma < 1.1, flujo trans´onico. Ma > 5, flujo hipers´onico. Entrada a la atm´osfera.

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

268

12.3.

Flujo compresible unidimensional estacionario

Un flujo unidimensional es aquel en que la velocidad unicamente cambia en una de las direcciones coordenadas. Es decir ~v = ~v (x; t) o ~v (x; t) En este caso, por lo tanto, consideramos que el flujo es uniforme en la direcci´on perpendicular al movimiento. Consideremos un flujo a trav´es de un canal mostrado esquem´aticamente en la figura: ˙ δW

δ Q˙

ρV A+d(ρV A)

ρV A

P A + d(P A)

PA τ P dx

(P +dP /2)dA

dx x Considerando un volumen de control de tama˜ no infinitesimal en x, podemos realizar balances de masa, momentum y energ´ıa. Conservaci´ on de Masa Para la conservaci´on de masa tenemos, para el caso estacionario: Z ρ~v · ~ndS = 0 S

12.3. FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIO 269 Entonces −(ρV A) + (ρV A) + d(ρV A) = 0, por lo tanto d(ρV A) = 0 ⇒ m ˙ = constante Conservaci´ on de Momentum Lineal Si consideramos un flujo estacionario y sin fuerzas volum´etricas tenemos para el volumen de control mostrado: Z ρux v~rel · ~ndS = Fx S

El lado izquierdo de la ecuaci´on da: Z ρux v~rel · ~ndS = −[ρV 2 A] + [ρV 2 A + d(ρV 2 A)] = d(ρV 2 A), S

el cual, usando el resultado de la ecuaci´on de conservaci´on de masa, se puede escribir como: d(ρV 2 A) = d(mV ˙ ) = mdV ˙ = ρV AdV. Las fuerzas en x, Fx , son: Fx = [P A] − [P A + d(P A)] + [(P + dP/2)dA)] − [τ P dx] Simplificando y eliminado productos de diferenciales tenemos: Fx = −d(P A) + P dA − τ P dx = −AdP − τ P dx. El u ´ ltimo t´ermino de la expresi´on anterior representa la p´erdidas por ´ fricci´on viscosa. Este se puede reescribir usando el factor de fricci´on para flujo en tuber´ıas, f :  2  ρV 4f A τ P dx = dx 2 Dh donde Dh es el di´ametro hidr´aulico, Dh = 4A/P .

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

270

Por lo tanto, la ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal resulta en:  2  ρV 4f dP + ρV dV + dx = 0 (12.7) 2 Dh Si el flujo es inviscido, sin fricci´on, la ecuaci´on anterior se simplifica a: dP + ρV dV = 0 o

Z

dP V2 + = constante (12.8) ρ 2 la cual es, de hecho, la ecuaci´on de Bernoulli para un fluido compresible. Si el fluido es incompresible, entonces recuperamos la ecuaci´on cl´asica de Bernoulli: P V2 + = constante ρ 2 Para la ecuaci´on de Bernoulli compresible, podemos considerar la ecuaci´on de gas ideal, P = ρRT para evaluar la primera integral: RT ln

V2 P + =C Po 2

donde Po es una presi´on de referencia. Esta ecuaci´on es, entonces, la ecuaci´on de Bernoulli para un flujo compresible isot´ermico. Si consideramos en caso de un flujo isentr´opico, sabemos que P/ρk = R constante. Entonces, la integral dP /ρ se puede escribir como:   Z Z k−1  k−1 k dP −1/k 1/k 1/k k P P dP = C =C − Po k ρ k−1

pero la constante C esta dada por C = P/ρk = Po /ρko , entonces   P V2 k + = constante k−1 ρ 2 y finalmente,

V2 = constante 2 es la ecuaci´on de Bernoulli para el flujo isentr´opico de un gas ideal. Cp T +

(12.9)

´ 12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UN GAS IDEAL271 Conservaci´ on de Energ´ıa La ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa para un volumen de control es: Z Z d ˙ ρedV + ρ(h + V 2 /2 + gz)v~rel · ~ndS = Q˙ − W dt V S Si el flujo es estacionario, la primera integral es cero. Despreciando los efectos gravitacionales, el flujo de energ´ıa neto a trav´es de las paredes del volumen de control es: Z   2 ρ(h+V 2 /2)v~rel ·~ndS = m ˙ −[(h + V 2 /2)] + [(h + V 2 /2) + d(h + V 2 /2)] = md(h+V ˙ /2) S

Por lo tanto:

d(h + V 2 /2) = δ q˙ − δ w. ˙ Para un flujo adiab´atico y sin trabajo (o sea isentr´opico): h+

V2 = constante 2

lo cual es consistente con la ecuaci´on obtenida a trav´es de la conservaci´on de momentum lineal ya que h = CP T para un gas ideal.

12.4.

Relaciones para flujo isentr´ opico de un gas ideal

La ecuaci´on de Bernoulli para el flujo isentr´opico de un gas ideal se puede reescribir como: V2 = constante CP T + 2 Considerando la definici´on del n´ umero de Mach, podemos reescribir esta relaci´on como: (kRT )Ma2 CP T + = constante 2 y de la relaci´on: k−1 R= CP k

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

272 podemos escribir:

  k−1 2 T 1+ Ma = constante 2 Considerando que P = constante ρk podemos escribir k

P = (constante)T k−1 y 1

ρ = (constante)T k−1 para dar: P y



k−1 Ma2 1+ 2

k  k−1

= constante

1   k−1 k−1 2 ρ 1+ = constante. Ma 2

12.4.1.

Propiedades isentr´ opicas de estancamiento

Es u ´ til tener propiedades de referencia en un flujo compresible. Estas se pueden obtener de las relaciones anteriores suponiendo que toda la energ´ıa cin´etica del flujo se transforma en energ´ıa t´ermica o de presi´on. Para esto podemos hacer el balance entre dos puntos del flujo y suponemos que en uno de los puntos la velocidad del flujo es cero: Entonces:     k−1 2 k−1 2 Ma = To 1 + (0) T 1+ 2 2 por lo tanto: T = To

−1  k−1 2 1+ Ma 2

´ 12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UN GAS IDEAL273 y de manera an´aloga: k  1−k

P = Po



ρ = ρo

1   1−k k−1 2 1+ Ma 2

k−1 1+ Ma2 2

y

12.4.2.

Propiedades s´ onicas

De manera similar, podemos calcular otra condici´on de referencia que corresponda a punto del flujo en el cual Ma = 1. Estas condiciones se identifican con el super´ındice ‘*’. Entonces, T∗ = To



P∗ = Po



ρ∗ = ρo



y

y

k−1 1+ 2

k−1 1+ 2

k−1 1+ 2

−1

k  1−k

1  1−k

Es interesante notar que las propiedades s´onicas u ´ nicamente dependen del tipo de gas (el valor de k). Entonces para aire (k = 1.4): T∗ = 0.8333 To y P∗ = 0.5283 Po y ρ∗ = 0.6339 ρo

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

274 Ejemplo

Suponga que existe un flujo isentr´opico de aire de un punto 1 a un punto 2 en un ducto. Si en el punto 1: Ma = 0.3 A=0.001 m2 P=650 kPa T=62 o C calcule las propiedades del flujo en el punto 2, considerando que Ma2 = 0.8. Soluci´on. Si el flujo entre 1 y 2 ocurre de manera isentr´opica, las condiciones de estancamiento son las mismas para ambos puntos: k−1 (To )1 = (To )2 = T1 (1 + Ma2 ). 2 Al sustituir valores, tenemos (To )1 = (To )2 = 341K. Una vez conocida la condici´on de estancamiento, podemos inferir las propiedades en el punto 2 (pues se conoce Ma2 ): T2 =

(To )2 = 302K 2 Ma 1 + k−1 2 2

Consecuentemente: c2 = y

p

kRT2 = 348m/s

V2 = Ma2 c2 = 278m/s La presi´on P2 se puede calcular de la relaci´on isentr´opica: k   k−1 T2 = P1 (0.696) = 452kP a. P2 = P1 T1

El ´area en 2 es

A2 = A1

ρ1 V1 = ρ2 V2

´ 12.5. FLUJOS CON CAMBIO DE AREA

275

Comparasi´ on con un flujo incompresible

12.5.

Flujos con cambio de ´ area

Una parte interesante del flujo compresible es el efecto del cambio de a´rea en las propiedades del flujo. Consideremos la ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal (Eqn. xx) obtenida anteriormente: dP + V dV = 0 ρ entonces dV dP =− 2 ρV V De la ecuaci´on de conservaci´on de masa (Eqn. xxx), tenemos que m ˙ = ρV A = textconstante. Esta ecuaci´on se puede reescribir ln ρ + ln A + ln V = ln(constante) que al diferenciar da:

dρ dA dV + + =0 ρ A V

o

dA dρ dV =− − A ρ V Usando la ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal podemos reescribir: dP dρ dA = − A ρV 2 ρ El u ´ ltimo t´ermino del lado derecho se puede reexpresar como: dρ dP = 2. ρ ρc Por lo tanto:


dP dA 2 = 1 − Ma A ρV 2

CAP´ITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

276 o en t´erminos de la velocidad


dA dV 1 − Ma2 =− A V

(12.10)

Con base en las expresiones anteriores podemos analizar el comportamiento del flujo para el caso subs´onico y supers´onico. Para Ma < 1 tenemos que (1 − Ma2 ) > 0 (positivo), entonces: • Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV ser´a positivo: la velocidad aumenta. Tambi´en dP ser´a negativo, la presi´on decae. • Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV ser´a negativo: la velocidad disminuye. En este caso dP ser´a positivo: la presi´on crece. Para Ma > 1 tenemos que (1 − Ma2 ) < 0 (negativo), entonces: • Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV ser´a negativo: la velocidad disminuye. Tambi´en dP ser´a positivo, la presi´on aumenta. • Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV ser´a positivo: la velocidad crece. En este caso dP ser´a negativo: la presi´on decrece. ¿Que pasa si Ma=1? Para este caso dA =0 dV Esto lo podemos interpretar como un m´ınimo en el a´rea. En otras palabras Ma = 1 unicamente se puede alcanzar en la garganta de un canal convergente-divergente.

12.6. TOBERA CONVERGENTE-DIVERGENTE

V