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1.5 Teoremas de Green y de Stokes. Teorema de Green. En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

Se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C. Relación con el teorema de la divergencia: El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

Donde

es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como

es un vector apuntando tangencialmente a través de

una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser

.

El módulo de este vector es:

. Por lo tanto: . Tomando los componentes de:

El lado derecho se convierte en:

Que por medio del teorema de Green resulta:

Teorema de Stokes. El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición

sobre

la integración de formas

diferenciales que

generaliza

varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes. El teorema función f en

fundamental

del

el intervalo [a, b]

cálculo establece puede

ser

que

calculada

la integral de por

medio

una de

una antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:



Para la F elegida,

. En el lenguaje de las formas diferenciales es

decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes aplica para formas diferenciales mayores 

en vez de F.

En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.



Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente,

el

teorema

de

Stokes

se

aplica

a

variedades

orientadas M con frontera. La frontera ∂M de Mes una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo

da

una

orientación

de

los

dos

puntos

frontera.

Intuitivamente ahereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a). Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:

Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple:

Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el interior del conjunto:

El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una función "derivada" sobre el interior de la región limitada por la frontera.

Formulación General. Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces

aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema. El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define. El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de

Stokes

demuestra

entonces

que

las

formas

cerradas

definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham.

El clásico teorema de Kelvin-Stokes:

que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano. Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia:

Es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano. El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado. La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de más alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son más accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e ingenieros. Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:

Donde Establece

es un campo vectorial cualquiera. que

la

integral

de

superficie

del rotacional de

un campo

vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.