• Author / Uploaded
• Edwin Tiñini

Citation preview

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS MATEMÁTICOS EN MECÁNICA DE FLUIDOS

César A. Yépez

Introducción a los modelos matemáticos en mecánica de fluidos César Augusto Yépez Gómez 4.0, CC-BY-NC-ND

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Primera edición digital Número de registro IEPI: 040416 ISBN-978-9942-28-873-8

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

s modelos matemáticos en mecánica de fluidos

Esta obra ha sido creada bajo licencia Creative Commons 4.0, CC, BY, NC, ND: Reconocimiento –No Comercial-Sin derivar; la cual permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines de lucro comerciales y no se permiten obras derivadas. https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.es Julio, 2017

2

El presente trabajo titulado “Introducción a los modelos matemáticos en mecánica

ÍNDICE

Presentación de fluidos”, es una investigación bibliográfica que pretende formar en el estudiante

a la vez interesante. Se aclara que algunos de los temas investigados comprenden modelos matemáticos que requieren una formación matemática elevada, razón por la cual en el primer capítulo se presentan las definiciones necesarias que se utilizan

ANÁLISIS VECTORIAL

y los lectores interesados, una visión general y superficial de un tema extenso, pero

básicos en mecánica de fluidos, luego se analiza la presión de un fluido en reposo y la variación de ésta con la altura. Se analiza el principio de Arquímedes y la fuerza de flotación. Por último, se presentan algunas aplicaciones de la estática de fluidos.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

en los próximos capítulos. En el segundo capítulo se consideran los conceptos

deduce el teorema de transporte de Reynolds, el cual permite cambiar de un enfoque de sistema a un enfoque de volumen de control. Luego se trata el principio de la conservación de la masa y la ecuación de continuidad. Se considera también los

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

El tercer capítulo trata de las formas de descripción cinemática de un fluido. Se

matemáticos. En el cuarto capítulo se deducen las ecuaciones de Euler, la ecuación de conservación de energía, la ecuación de Bernoulli y las ecuaciones de Navier Stokes. Por último, en el capítulo 5 se introducen definiciones importantes que se utilizan en la metodología de la enseñanza. Luego se tratan ciertos tópicos en la

DINÁMICA DE FLUIDOS

modelos matemáticos de diferentes tipos de flujos y la importancia de los modelos

enseñanza de matemática, así como también algunas recomendaciones metodológicas, además se toman en cuenta el uso de programas computacionales y las calculadoras gráficas. Se considera el uso de dos programas computacionales para la enseñanza de matemática: Matemáticas de Microsoft y MATLAB.

César A. Yépez

3

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

enseñanza de matemática como por ejemplo un análisis de la problemática en la

ÍNDICE

CONTENIDO 1. RESULTADOS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL

2. MODELOS MATEMÁTICOS EN ESTÁTICA DE FLUIDOS 2.1. Algunos conceptos básicos en mecánica de fluidos…………………………. 2.2. Presión de un fluido en reposo………………………………………………. 2.3. Variación de la presión con la altura en un fluido compresible e

39 42

incompresible………………………………………………………………... 2.3.1. Variación de la presión con la elevación para un fluido estático incompresible. …………………………………………………………... 2.3.2. Variación de la presión con la elevación para un fluido estático compresible. …………………………………………………………... 2.3.2.1.Gas a temperatura constante…………………………………………….. 2.3.2.2.Gas a temperatura variable ……………………………………………… 2.4. Teorema de Arquímedes y cuerpos flotantes………………………………... 2.5. Algunas aplicaciones prácticas……………………………………………… 2.5.1. Batiscafo………………………………………………………………… 2.5.2. Manómetros …………………………………………………………….. 2.5.3. Hidrómetro……………………………………………………………… 2.5.4. Máquinas multiplicadoras de fuerzas…………………………………..

42

4

42 46 47 48 50 51 51 53 54 55

ESTÁTICA DE FLUIDOS

15 15 16 17 17 18 18 21 23 25 26 27 30 30 30 34 35 36 37

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

13

ANÁLISIS VECTORIAL

9

DINÁMICA DE FLUIDOS

de funciones reales. Algebra de derivadas. Resultados importantes…………………………………………………………………... 1.2. Integral de Riemann de funciones reales. Resultados importantes ………….. 1.3. Derivada direccional. Derivadas parciales. Gradiente. Divergencia. Rotacional…………………………………………………………………… Funciones de varias variables ………………………………………………. Derivadas parciales …………………………………………………………. Diferenciabilidad …………………………………………………………… Diferencial total ……………………………………………………………... Regla de la cadena ………………………………………………………….. Derivada direccional ………………………………………………………... Gradiente ……………………………………………………………………. Campos vectoriales …………………………………………………………. Rotacional……………………………………………………………........... Divergencia. ………………………………………………………………... 1.4. Integrales dobles triples …………………………………………………….. 1.5. Integrales de línea. Integrales de superficie…………………………………. Integrales de línea ………………………………………………………….. Integrales de línea en el espacio ……………………………………………. Integrales de línea de campos vectoriales ………………………………….. Integrales de superficie …………………………………………………….. Superficies paramétricas……………………………………………………. 1.6. Teoremas de transporte de Reynolds………………………………………...

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

1.1. Derivada

69 70 70 71 73 74 75 75 76 78 78 78 80 81 81 82 83 83 84 85

4. DINÁMICA DE FLUIDOS NO VISCOSOS 4.1. Ecuación de Euler ………………………………………………………….. 4.2. Conservación de la energía. Ecuación de Bernoulli………………………… 4.3. Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli…………………………..

87 88 92 92 Minería………………………………………………………………………. 93 Aeronáutica y automóviles………………………………………………….. 94 Agua rociada en el aire………………………………………………………. Cálculo de la velocidad de flujo que sale de un tanque……………………… 95 95 4.4. Ecuación de Navier-Stokes………………………………………………….. 4.5. Algunas aplicaciones en la industria………………………………………… 102 Turbo máquina simple ……………………………………………………… 102 Turborreactor………………………………………………………………… 102 4.6. Simplificación de algunos modelos………………………………………..... 103 Ecuación de la continuidad en un flujo estacionario y unidimensional……... 103

5

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL ESTÁTICA DE FLUIDOS

59 60 61 62 63 63 68 69

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

3.1.1. Descripción lagrangiana…………………………………………………. 3.1.2. Descripción euleriana……………………………………………………. 3.1.3. Campo de aceleraciones………………………………………………… 3.1.4. Derivada material………………………………………………………... 3.1.5. El teorema de transporte de Reynolds…………………………………… 3.2. Conservación de masa. Ecuación de continuidad…………………………… 3.3. Diferentes tipos de flujos……………………………………………………. 3.4. Flujos estacionarios. Incompresibles. Irrotacionales 2d y 3d de un fluido no viscoso……………………………………………………………………….. 3.4.1. Flujo estacionario………………………………………………………... 3.4.2. Flujo incompresible……………………………………………………… 3.4.3. Flujo irrotacional ……………………………………………………….. 3.4.4. La función corriente……………………………………………………... 3.4.5. Potencial de la velocidad………………………………………………… 3.4.6. Relación entre la función corriente y el potencial de velocidad………… 3.4.7. Flujo uniforme…………………………………………………………… 3.4.7.1. Flujo uniforme bidimensional…………………………………………... 3.4.7.2. Flujo uniforme tridimensional………………………………………….. 3.4.8. Fuentes y sumideros …………………………………………………….. 3.4.8.1.Fuentes y sumideros bidimensionales…………………………………… 3.4.8.2.Fuentes y sumideros tridimensionales…………………………………... 3.4.9. Dobletes…………………………………………………………………. 3.4.9.1.Doblete bidimensional…………………………………………………... 3.4.9.2.Doblete tridimensional………………………………………………….. 3.5. Flujo de un fluido alrededor de una esfera y de un obstáculo cilíndrico…… 3.5.1. Flujo alrededor de un obstáculo cilíndrico……………………………… 3.5.2. Flujo alrededor de una esfera…………………………………………… 3.6. Importancia de los modelos matemáticos. …………………………………..

DINÁMICA DE FLUIDOS

3.1. Descripción cinemática de un fluido…………………………………………

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

3. CINEMÁTICA DE FLUIDOS NO VISCOSOS

DE

5.1. Metodología de la enseñanza………………………………………………..

5.1.1. Definiciones generales………………………………………………….. 5.1.2. Metodología en la enseñanza de Matemática…………………………… Análisis de la problemática de la enseñanza de la matemática………… Recomendaciones metodológicas………………………………………. Uso de programas computacionales y calculadoras gráficas……………. 5.2. Fundamentos de Matemáticas de Microsoft. Prácticas de matemática con Matemáticas de Microsoft…………………………………………………… Geometría, coordenada y recta……………………………………………… Graficas de ecuaciones de segundo grado……………………………………

107 107 110 110 111 115 116 118 120

5.3. Fundamentos de MATLAB. Prácticas de matemática con MATLAB.

Resolución de problemas aplicados en mecánica de fluidos………………...

121

LISTADO DE FIGURAS

Figura 1.1. Gráfica de una función real f y de rectas secantes que pasan por el punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )). Figura 1.2 Región S ubicada bajo la gráfica de f. Figura 1.3 Cálculo del área bajo la gráfica de 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ).

ANÁLISIS VECTORIAL

ENSEÑANZA

ESTÁTICA DE FLUIDOS

LA

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

EN

DINÁMICA DE FLUIDOS

5. PROPUESTA METODOLÓGICA MATEMÁTICA

ÍNDICE

Conservación de la energía en un flujo permanente, unidimensional y sin 104 fricción……………………………………………………………………….

Figura 1.5 Campo vectorial 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑗⃗, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 . ⃗⃗⃗⃗ Figura 1.6. Campo vectorial de velocidades 𝑣⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑘. Figura 1.7 Una rueda pequeña con paletas en la parte inferior no girará cuando se está ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = moviéndose en un fluido con un campo de velocidad 𝑉

𝑦 𝑥 𝑖⃗ − 2 2 𝑗⃗ . 𝑥 2 +𝑦 2 𝑥 +𝑦

Figura 1.8 Interpretación de una integral doble . Figura 1.9 Interpretación de una integral triple. Figura 1.10 Interpretación de una integral en línea . Figura 1.11 La partición de [a, b] que determina una partición en C . Figura 1.12 Superficie S y su proyección R sobre el plano XY. Figura 1.13 Superficie paramétrica S.

6

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Figura 1.4 Interpretación geométrica de la derivada direccional.

Figura 2.2 Fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen. Figura 2.3 Cuerpo sumergido en un fluido estático.

ÍNDICE

Figura 2.1 Algunos esfuerzos aplicados en un elemento diferencial de volumen.

Figura 2.5 Batiscafo Trieste Figura 2.6 Manómetro de tubo abierto

Figura 2.7 (a) Hidrómetro sencillo (b) Hidrómetro que mide la densidad del ácido de una batería.

ANÁLISIS VECTORIAL

Figura 2.4 Fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen.

Figura 2.10 a) Gato hidráulico. b) Máquina compactadora de autos. c) Máquina para la construcción. Figura 3.1 Línea de corriente para un flujo en dos dimensiones. Figura 3.2 Descripción lagrangiana de tres partículas. Figura 3.3. Un sistema en movimiento y un volumen de control fijo. Figura 3.4 a) Superficie diferencial dA en la superficie de control en el tiempo t b)Volumen diferencial dV en el tiempo t+∆t.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Figura 2.9 Ejemplo de aplicación de una fuerza multiplicadora.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Figura 2.8 Principio de aplicación de la fuerza multiplicadora.

Figura 3.6 Flujo uniforme bidimensional. Figura 3.7 Fuente bidimensional. Figura 3.8 Red de flujo para un doblete.

DINÁMICA DE FLUIDOS

Figura 3.5 Rotación de un elemento de fluido.

Figura 3.10 Idealización del flujo alrededor de una esfera. Figura 4.1. Flujo permanente a lo largo de una línea de corriente. Figura 4.2 Algunos esfuerzos normales y de deformación en la dirección del eje x. Figura4.4 Turbo máquina. Figura 4.5 Algunos tipos de turborreactores. Figura 4.6 Volumen de control con una entrada y una salida de flujo estacionario y unidimensional. Figura 4.7 Volumen de control con flujo unidimensional. Figura 5.1 Interfaz de Matemáticas de Microsoft. Figura 5.2 Gráfica de la recta 𝑦 = 2𝑥 − 3.

7

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Figura 3.9 Idealización del flujo alrededor de un cilindro.

Gráficas de las ecuaciones de distintas rectas. Figura 5.4 Gráficas de la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 2 en 2D (izquierda) y en 3D (derecha).

ÍNDICE

Figura 5.3 (a) Ecuaciones de distintas rectas. (b) Sección Controles de la gráfica. c)

Figura 5.5 La gráfica de la ecuación 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 en 2D representa una circunferencia (izquierda) y en 3D representa un cilindro (derecha). Figura 5.7 Interfaz de MATLAB versión 7.8.0.347.

ANÁLISIS VECTORIAL

Figura 5.6 Grafica de la ecuación 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑧 2 = 1 en 3D.

Figura 5.10 Variación de la presión para un gas a temperatura variable. ⃗⃗ = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗. Figura 5.11 Campo de velocidades 𝑉 ⃗⃗ = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + Figura 5.12 Campo vectorial y líneas de corriente para el flujo 𝑉 (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗. Figura 5.13 Campo de aceleraciones 𝑎⃗ = (0.4 + 0.64𝑥 )𝑖⃗ + (−1.2 + 0.64𝑦)𝑗⃗. ⃗⃗ = (𝑢, 𝑣) = Figura 5.14 Grafica del campo de presión del campo de velocidad 𝑉

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Figura 5.9. Variación de la presión para un gas a temperatura constante.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Figura 5.8 Gráfica de la función seno elaborada en MATLAB.

LISTADO DE TABLAS Tabla 4.1 Relaciones de Stokes para la viscosidad.

DINÁMICA DE FLUIDOS

(0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗.

Tabla 5.2 Método heurístico (buscar o descubrir la verdad o solucionar problemas). Tabla 5.3 Método inductivo. Tabla 5.4 Método deductivo. Tabla 5.5 Técnica de solución de problemas.

8

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Tabla 5.1 Proceso didáctico para la enseñanza de la matemática.

RESULTADOS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL

ÍNDICE

CAPITULO 1

En este capítulo se introducen los aspectos matemáticos necesarios para abordar el estudio de la mecánica de fluidos que se tratan en los siguientes capítulos. Se inicia con una revisión de la derivada de funciones reales, luego se analiza la integral de

ANÁLISIS VECTORIAL

Resumen

integrales de línea e integrales de superficie, y por último se introduce el teorema de transporte de Reynolds. En cada tema tratado se indica la bibliografía utilizada y los textos recomendados para aclarar y profundizar el presente trabajo. 1.1.- Derivada de funciones reales. Algebra de derivadas. Resultados

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

divergencia, rotacional, cálculo vectorial, integrales dobles, integrales triples,

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Riemann, el cálculo en varias variables como: derivada direccional, gradiente,

Derivada de funciones reales El estudio de la derivada de funciones reales inicia con el cálculo del límite de una función. La ampliación de los temas tratados se la puede encontrar en la siguiente

DINÁMICA DE FLUIDOS

importantes.

Sean 𝐴 ⊂ ℝ, f una función real definida en A y 𝑥0 ∈ 𝐴. El grafo de f se define como 𝐺 (𝑓 ) = {(𝑥, 𝑓(𝑥))/𝑥 ∈ 𝐴} . Este conjunto se representa en el sistema de coordenadas rectangulares XY (figura 1.1). La pendiente entre dos puntos de la curva está definida como 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 = 𝑡𝑔(𝜃) =

∆𝑦 𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) = . ∆𝑥 ℎ

La pendiente 𝑚𝑡 de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑥0 se define como:

9

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

bibliografía: ([1] págs.379-395)

(1.1)

ÍNDICE

𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 ) , ℎ→0 ℎ

𝑚𝑡 = 𝑡𝑔𝛼 = lim

Definición1.1..- Sea 𝑓 una función definida en 𝐴 ⊂ ℝ y 𝑥 𝜖 𝐴, se llama derivada de 𝑓 en 𝑥 y se escribe 𝑓´(𝑥) al límite: 𝑓 (𝑥 + ℎ ) − 𝑓 (𝑥 ) , ℎ→0 ℎ

ANÁLISIS VECTORIAL

siempre que el límite exista. Más aun se tiene la siguiente definición.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑓 ′(𝑥 ) = lim

Figura 1.1. Gráfica de una función real f y de rectas secantes que pasan por el punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )). A continuación se calculan algunas derivadas de funciones reales. 1. Derivada de la función constante: Si 𝑓 (𝑥 ) = 𝑐 ∀𝑥 ∈ ℝ , entonces 𝑓 (𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑐−𝑐 = lim = lim 0 = 0. ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ 2. Derivada de la función identidad: Si 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ , entonces 𝑓 ′ (𝑥 ) = lim

𝑓 (𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥+ℎ−𝑥 ℎ = lim = lim = lim 1 = 1. ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ 3. Derivada de la función lineal: Si 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ∀𝑥 ∈ ℝ, entonces 𝑓 ′(𝑥 ) = lim

10

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

siempre que el límite exista.

ÍNDICE

𝑓 (𝑥 + ℎ ) − 𝑓 (𝑥 ) 𝑎(𝑥 + ℎ) + 𝑏 − (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎ℎ = lim = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ

𝑓 ′ (𝑥 ) = lim

= lim 𝑎 = 𝑎. ℎ→0

derivada se tiene: 𝑓 (𝑥 + ℎ ) − 𝑓 (𝑥 ) (𝑥 + ℎ)𝑛 − 𝑥 𝑛 = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ

𝑓 ′(𝑥 ) = lim

[(𝑥 + ℎ) − 𝑥][(𝑥 + ℎ)𝑛−1 𝑥 0 + (𝑥 + ℎ)𝑛−2 𝑥 1 + ⋯ … + (𝑥 + ℎ)0 𝑥 𝑛−1 ] = lim ℎ→0 ℎ

ℎ[(𝑥 + ℎ)𝑛−1 + (𝑥 + ℎ)𝑛−2 𝑥 1 + ⋯ … + (𝑥 + ℎ)1 𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 ] ℎ→0 ℎ

= lim

ESTÁTICA DE FLUIDOS

definida por 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 𝑛 ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ 𝑍 + entonces por la definición de

ANÁLISIS VECTORIAL

4. Derivada de la función potencia de exponente entero positivo: Sea f la función

= lim [(𝑥 + ℎ)𝑛−1 + (𝑥 + ℎ)𝑛−2 𝑥 1 + ⋯ … + (𝑥 + ℎ)1 𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 ] = (𝑥 + 0)𝑛−1 + (𝑥 + 0)𝑛−2 𝑥 1 + ⋯ … + (𝑥 + 0)1 𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 = 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑥 1 + ⋯ … + 𝑥 1 𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 = 𝑛𝑥 𝑛−1 . A continuación se presentan las derivadas de algunas funciones, las cuales se obtienen mediante el mismo procedimiento de las derivadas anteriores. 5. Derivada de la función seno: Sea f la función definida por 𝑓 (𝑥 ) = sen 𝑥

𝑥∈

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ℎ→0

𝑓 ′(𝑥 ) = cos 𝑥. 6. Derivada de la función coseno: Sea f la función definida por 𝑓 (𝑥 ) = cos 𝑥 𝑥 ∈ ℝ, entonces 𝑓 ′ (𝑥 ) = − sen 𝑥. 7. Derivada de la función logarítmica: Si 𝑓 (𝑥 ) = log 𝑎 𝑥 𝑥 > 0 entonces 𝑓 ′ (𝑥 ) =

1 𝑥 ln 𝑎

𝑥 > 0.

Notación: A la derivada 𝑓 ′(𝑥 ) la podemos escribir de diferentes formas y que representan lo mismo, así: Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) entonces la derivada 𝑓 ′(𝑥 ) =

11

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑦´.

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

ℝ, entonces

Una vez establecidas las definiciones elementales sobre derivadas, podemos ahora

ÍNDICE

Algebra de derivadas

establecer ciertas reglas de derivadas que se aplican en el estudio del cálculo más

textos se presentan como teoremas, los cuales se los demuestra

utilizando la definición de derivada como el límite de una función. A continuación se resumen algunas propiedades tomadas de ([1] págs. 379-395) Sean f, 𝑔 funciones reales definidas en 𝐴 ⊂ ℝ y derivables en 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ ℝ. 1. Si 𝐹 = 𝑐 𝑓 , entonces: 𝐹´(𝑥 ) = 𝑐𝑓´(𝑥 ).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

mayoría de

ANÁLISIS VECTORIAL

avanzado. Presentaremos estas reglas como definiciones, aunque en realidad en la

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

2. Derivada de la suma de funciones: si 𝐺 = 𝑓 + 𝑔 , entonces: 𝐺´(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥 ) + 𝑔′(𝑥 ). 3. Si G= 𝑓 − 𝑔, entonces: 𝐺´(𝑥 ) = 𝑓 ′(𝑥 ) − 𝑔′ (𝑥 ).

𝑓

5. Derivada del cociente de funciones: Si 𝐹 = 𝑔 con 𝑔 ≠ 0, entonces : ′(

𝐹 𝑥) =

𝑔 (𝑥 )𝑓 ′ (𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 )𝑔 ′ ( 𝑥 ) (𝑔(𝑥))

2

.

6. Derivada de la función compuesta: Si 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 es la función compuesta definida por 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) y si 𝑔´(𝑥) y 𝑓´(𝑥 ) existen, entonces 𝐹´(𝑥) existe y está definida como: 𝐹´(𝑥 ) = 𝑓´(𝑔(𝑥 ))𝑔´(𝑥 ). Como ejemplo calcularemos la derivada de la función tangente. Si 𝑓 (𝑥 ) = 𝑡𝑔(𝑥 ) entonces 𝑓 (𝑥 ) =

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)

con cos(𝑥) ≠ 0, luego, aplicando la derivada del cociente

de funciones tenemos: 𝑓´(𝑥 ) =

cos(𝑥 ) (cos(𝑥 )) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥 ) + 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) 1 = = = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥 ). 2 2 (cos(𝑥)) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

12

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝐹 ′ (𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑔 ′ ( 𝑥 ) + 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑓 ′ ( 𝑥 ).

DINÁMICA DE FLUIDOS

4. Derivada del producto de funciones 𝐹 = 𝑓𝑔 , entonces:

La integral de Riemann surge del problema del cálculo del área de una región

ÍNDICE

1.2.- Integral de Riemann de funciones reales. Resultados importantes.

general S ubicada bajo una función 𝑓 como se ilustra en la figura 1.2, donde

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. El siguiente resumen lo encontramos en ([2] págs. 267-

Figura 1.3 Cálculo del área bajo la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) Calculamos el área de la región general S de la siguiente manera: En el intervalo [𝑎, 𝑏] (figura 1.3) ubicamos puntos de división 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 tales que 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < . . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 . subdividen al intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos:

Estos puntos de partición [𝑥0 , 𝑥1 ], [𝑥1 , 𝑥2 ], [𝑥2 , 𝑥3 ],

. . . , [𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 ] de longitud ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 . Escogemos el subintervalo de mayor longitud al cual lo llamamos norma de P y lo denotamos con ‖𝑃‖, así: ‖𝑃‖ = 𝑚𝑎𝑥 {∆𝑥1 , ∆𝑥2 , . . . 13

, ∆𝑥𝑛 }.

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

275).

𝑅𝑖 de base ∆𝑥𝑖 y altura 𝑓(𝑥𝑖∗ ), Obtenemos el área de 𝑅𝑖 mediante el producto 𝐴𝑖 = 𝑓 (𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 ,

∑ 𝐴𝑖 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 = 𝑓 (𝑥1∗ )∆𝑥1 +. . . . +𝑓 (𝑥𝑛∗ )∆𝑥𝑛 , 𝑖=1

𝑖=1

finalmente, si tomamos un mayor número de particiones n, es decir cuando n tiende al infinito, esto es cuando ‖𝑃‖ → 0 entonces llegaremos al límite de la suma de los rectángulos de aproximación 𝑅𝑖 para calcular el área de la región S, es decir: 𝑛

𝑎(𝑆) = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 , ‖𝑃‖→0

𝑖=1

(1.2)

siempre que este exista.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑛

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑛

ANÁLISIS VECTORIAL

luego, el área de S que se escribe 𝑎(𝑆) se aproxima mediante la suma:

ÍNDICE

Escogemos números 𝑥𝑖∗ en cada subintervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] para construir rectángulos

división 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … . , 𝑥𝑛 tales que 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏. Sean 𝑥𝑖∗ ∈ [ 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖 ] , ∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 y ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥{∆𝑥𝑖 } .

Si existe

lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 , se le llama integral definida de f desde 𝑎 hasta 𝑏 y se lo nota

‖𝑃‖→0

DINÁMICA DE FLUIDOS

Definición 1.2.- Sea f una función definida sobre un intervalo [𝑎, 𝑏] con puntos de

𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 . ‖𝑃‖→0

𝑎

𝑖=1

a la función f se le llama función integrable en [𝑎, 𝑏].

Propiedades de la integral definida A continuación se presentan las propiedades básicas de la integral definida. Las mismas que las encontramos en ([2] págs. 281-282).

14

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑏

con ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . Es decir,

ÍNDICE

Sean 𝑐 ∈ ℝ, f, 𝑔 funciones reales integrables en [𝑎, 𝑏], entonces 𝑏 𝑏

𝑏

ANÁLISIS VECTORIAL

1. ∫𝑎 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎). 𝑏

2. ∫𝑎 [𝑓 (𝑥 ) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑏

𝑏

3. ∫𝑎 𝑐𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥. 𝑏

𝑏

𝑏

4. ∫𝑎 [𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑐

𝑏

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑏

5. ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥. 𝜋

Por ejemplo, para evaluar ∫0 (𝑥 + 2 cos(𝑥 )) 𝑑𝑥 aplicamos la propiedad 2: 𝜋

𝜋

𝜋

∫0 (𝑥 + 2 cos(𝑥 )) 𝑑𝑥 = ∫0 𝑥𝑑𝑥 + ∫0 2cos(𝑥)𝑑𝑥, luego la propiedad 3: 𝜋

𝜋

𝜋

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝜋

∫0 𝑥𝑑𝑥 + ∫0 2cos(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫0 cos(𝑥)𝑑𝑥. A la integral definida se le llama también integral de Riemann.

DINÁMICA DE FLUIDOS

1.3.- Derivada direccional. Derivadas parciales. Gradiente. Divergencia. Rotacional. Funciones de varias variables.

una función real definida en A, escribimos 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 es la variable independiente mientras que 𝑦 es la variable dependiente, la representación geométrica de ésta función se la hace en el plano XY. Una función de dos variables es aquella que tiene dos variables independientes, así, si Ω ⊂ ℝ2 y 𝑓 una función real de Ω en ℝ escribimos 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦); 𝑥, 𝑦 son las variables independientes, su representación geométrica se la hace en el espacio de las tres dimensiones 𝑥𝑦𝑧. Una función de tres variables como 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡) tiene tres variables independientes;

su

representación geométrica no es posible. Las funciones de varias variables tienen mayor significado real, ya que las cantidades físicas por lo general, dependen de dos o más variables.

15

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Una función de una variable, es aquella que tiene una variable independiente, así,

de varias variables

ÍNDICE

A continuación se desarrollan algunos conceptos básicos del cálculo de funciones

Una ampliación de éste tema y los relacionados al mismo se la encuentra en la

Derivadas parciales Las derivadas parciales son la generalización de la derivada de la función de una

ANÁLISIS VECTORIAL

siguiente bibliografía: ([3] págs. 125-209).

función de una sola variable 𝑥; su derivada en 𝑥 = 𝑥0 es llamada la derivada parcial 𝜕𝑓

de 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑥, la cual se denota por 𝜕𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ).

Recordando que la

derivada de la función de una variable 𝑦 = 𝑓(𝑥) se expresa como el límite 𝑓 (𝑥 + ℎ ) − 𝑓 (𝑥 ) , ℎ→0 ℎ

𝑓 ′(𝑥 ) = lim

acoplaremos esta definición a la función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces tenemos los dos límites siguientes: 𝜕𝑓 𝑓 (𝑥0 + ℎ, 𝑦0 ) − 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim , ℎ→0 𝜕𝑥 ℎ 𝜕𝑓 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim , ℎ→0 𝜕𝑦 ℎ siempre que los límites existan. Si 𝑓 es una función de tres variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 entonces para calcular la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑥, consideramos a las variables 𝑦, 𝑧 como constantes, en este caso se tiene el siguiente límite: 𝜕𝑓 𝑓 (𝑥0 + ℎ, 𝑦0 , 𝑧0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = lim , ℎ→0 𝜕𝑥 ℎ siempre que el límite exista. 16

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑓(𝑥, 𝑦). Si 𝑦 es considerada como constante e igual a 𝑦0 , entonces 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) es una

DINÁMICA DE FLUIDOS

Sean Ω ⊂ ℝ2 , f una función de Ω en ℝ de dos variables x e y que escribimos 𝑧 =

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

derivadas parciales del siguiente texto: ([3] págs. 147-148; 151).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

variable a una función de varias variables. Resumiremos una introducción a las

𝜕𝑓 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 + ℎ, 𝑧0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = lim , ℎ→0 𝜕𝑦 ℎ siempre que el límite exista.

ÍNDICE

las variables 𝑥,𝑧 , por lo tanto:

ANÁLISIS VECTORIAL

Para calcular la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑦 , consideramos constantes

𝜕𝑓 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = lim , ℎ→0 𝜕𝑧 ℎ siempre que el límite exista. Se recomienda una revisión sobre las derivadas parciales de orden superior en ([3] págs.147-154).

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑥, y a la variable 𝑦 como constantes, por lo tanto:

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Para calcular la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑧 , consideramos a la variable

Si f es una función de una variable tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ 𝐴 ⊂ ℝ, la diferencial de de 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) se define como 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 , y 𝑑𝑦 se puede utilizar como una aproximación del valor del incremento ∆𝑦 = 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓(𝑥) para ∆𝑥

DINÁMICA DE FLUIDOS

Diferenciabilidad

dice que es diferenciable. Diferencial total Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y ∆𝑥, ∆𝑦 son los incrementos de 𝑥 𝑒 𝑦 , las diferenciales de las variables independientes de 𝑥 𝑒 𝑦 son 𝑑𝑥 = ∆𝑥 𝑑𝑦 = ∆𝑦 y la diferencial total de la variable independiente 𝑧 es 𝑑𝑧 =

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

La definición de la diferencial total se encuentra en ([11] pág. 1136)

17

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

pequeños. Una función de dos variables que admite una aproximación similar se

ÍNDICE

Definición.- Una función f dada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable en (𝑥0 , 𝑦0 ) si ∆𝑧

∆𝑧 =

𝜕𝑓 𝜕𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) + (𝑥 , 𝑦 ) + 𝜀1 ∆𝑥 + 𝜀2 ∆𝑦, 𝜕𝑥 𝜕𝑦 0 0

donde 𝜀1 y 𝜀2 tienden a cero cuando ∆𝑥 y ∆𝑦 tienden a cero. La función f se dice

ANÁLISIS VECTORIAL

puede expresarse como

La regla de la cadena proporciona una técnica para obtener la derivada de una función compuesta, por ejemplo: si 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑥 = 𝑔(𝑡) , donde f y 𝑔 son funciones diferenciables, entonces 𝑦 es indirectamente una función diferenciable de 𝑡 y 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = . 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Una de las técnicas para obtener la derivada para funciones de más de una variable se presenta a continuación:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Regla de la cadena

DINÁMICA DE FLUIDOS

La definición precedente se la ha tomado de ([11] pág. 1136).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R.

son funciones diferenciables de 𝑡. Entonces 𝑧 es una función diferenciable de 𝑡 y 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = + . 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 Derivada direccional Recuérdese a las derivadas parciales como razones de cambio, así, si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) entonces 𝜕𝑧/𝜕𝑥 representa la razón de cambio de 𝑧 con respecto a 𝑥 considerando a 𝑦 constante. De la misma forma 𝜕𝑧/𝜕𝑦 es la razón de cambio de 𝑧 con respecto a 𝑦, cuando 𝑥 es fija (constante). La definición de derivada dirección la tomaremos de ([2] págs. 775-776).

18

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Sea 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función diferenciable de 𝑥 e 𝑦 en donde 𝑥 = 𝑔(𝑡) y 𝑦 = ℎ(𝑡)

cambio de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en la dirección del vector unitario 𝑢 ⃗⃗. Considérese la figura 1.4 en el espacio tridimensional XYZ, una superficie S definida por la ecuación 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , el punto 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) en S y 𝑃′ su proyección sobre el plano XY, la curva C intersección de S con el plano vertical que pasa por P en la dirección de 𝑢 ⃗⃗. Entonces la pendiente de la recta tangente T a

ÍNDICE

(𝑥0 , 𝑦0 ) en la dirección de un vector unitario 𝑢 ⃗⃗ = (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 , es decir la razón de

ANÁLISIS VECTORIAL

La derivada direccional surge de analizar el comportamiento de 𝑧 en el punto

Figura 1.4 Interpretación geométrica de la derivada direccional.

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

la curva C en el punto P es la razón de cambio de 𝑧 en la dirección de 𝑢 ⃗⃗.

proyecciones de P y Q sobre el plano XY forman el vector ℎ𝑢 ⃗⃗ = (ℎ𝑎, ℎ𝑏), luego: 𝑥 − 𝑥0 = ℎ𝑎, entonces 𝑥 = 𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦 − 𝑦0 = ℎ𝑏, entonces 𝑦 = 𝑦0 + ℎ𝑏, con estos resultados obtendremos la razón de cambio de 𝑧 con respecto a h así: ∆𝑧 𝑧 − 𝑧0 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = = = , ℎ ℎ ℎ ℎ luego tomando el límite cuando h tiende a cero, 𝑓 (𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) , ℎ→0 ℎ lim

19

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Sea 𝑄 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) otro punto de C y 𝑄′ su proyección sobre el plano XY. Las

direccional de 𝑓 en la dirección de 𝑢 ⃗⃗.

ÍNDICE

es la razón de cambio de 𝑧 en la dirección de 𝑢 ⃗⃗ que la llamaremos derivada

vector unitario. La derivada direccional de 𝑓 en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) en la dirección de 𝑢 ⃗⃗ que se denota 𝐷𝑢 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), se define como 𝑓 (𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) , ℎ→0 ℎ

𝐷𝑢 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = lim

ANÁLISIS VECTORIAL

Definición 1.3.-Sea f una función de dos variables 𝑥, 𝑦, sea 𝑢 ⃗⃗ = (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 un

Teorema1.1.- Sea 𝑓 una función diferenciable de 𝑥 e 𝑦. La derivada direccional de f en la dirección del vector unitario 𝑢 ⃗⃗ = (𝑎, 𝑏) es: 𝐷𝑢 𝑓 (𝑥, 𝑦) =

𝜕 𝜕 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑎 + 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑏. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Demostración:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Definición tomada de ([2] pág. 776).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

siempre que el límite exista.

Se nota que

𝑥 = 𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦 = 𝑦0 + ℎ𝑏.

Además

𝑔(0) = 𝑓(𝑥0 − 0𝑎, 𝑦0 − 0𝑏) = 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ).

(I) Calculamos la derivada de la función 𝑔 aplicando la definición 𝑔(0 + ℎ) − 𝑔(0) 𝑔(ℎ) − 𝑔(0) = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 𝑓 (𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = lim = 𝐷𝑢 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ). ℎ→0 ℎ

𝑔´(0) = lim

(II) calculamos 𝑔´(ℎ) utilizando la regla de la cadena 𝑔´(ℎ) =

𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦 𝜕 𝜕 + = 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑎 + 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑏. 𝜕𝑥 𝑑ℎ 𝜕𝑦 𝑑ℎ 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Ahora, si ℎ = 0 se tiene

20

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑔(ℎ) = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏)

DINÁMICA DE FLUIDOS

Sea la función 𝑔 de una variable h definida como:

𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦 𝜕 𝜕 + = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )𝑎 + 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 )𝑏. 𝜕𝑥 𝑑ℎ 𝜕𝑦 𝑑ℎ 𝜕𝑥 𝜕𝑦

ÍNDICE

𝑔´(0) =

𝐷𝑢 𝑓 (𝑥, 𝑦) =

𝜕 𝜕 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑎 + 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑏. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

La demostración precedente se la ha tomado de ([2] pág. 776)

ANÁLISIS VECTORIAL

Concluyendo, por los resultados de (I) y (II) tenemos:

𝑥⃗ ∙ 𝑦⃗ = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑, y su norma se nota ‖∙‖ y se define como ‖𝑥⃗ ‖ = √𝑎2 + 𝑏2 . El ángulo entre los vectores 𝑥⃗ e 𝑦⃗ se define como 𝜃 ∈ [0, 𝜋] mediante cos(𝜃 ) =

𝑥⃗ ∙ 𝑦⃗ , ‖𝑥⃗ ‖‖𝑦⃗‖

𝑥⃗ ≠ 0 , 𝑦⃗ ≠ 0,

entonces:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Sean 𝑥⃗ = (𝑎, 𝑏), 𝑦⃗ = (𝑐, 𝑑 ) ∈ ℝ2 , el producto escalar en ℝ2 está definido como:

DINÁMICA DE FLUIDOS

La base canónica de ℝ2 se designa con {𝑖⃗, 𝑗⃗}, donde 𝑖⃗ = (1,0), 𝑗⃗ = (0,1).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Gradiente

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑥⃗ ∙ 𝑦⃗ = ‖𝑥⃗ ‖‖𝑦⃗‖ cos(𝜃 ), 𝜋

Si 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 , 0 ≤ cos(𝜃) ≤ 1, luego 𝑥⃗ ∙ 𝑦⃗ ≥ 0. Si

𝜋 2

< 𝜃 ≤ 𝜋, −1 ≤ cos(𝜃) < 0, entonces 𝑥⃗ ∙ 𝑦⃗ < 0.

⃗⃗ } con 𝑖⃗ = (1,0,0), 𝑗⃗ = (0,1,0), 𝑘 ⃗⃗ = (0,0,1). La base canónica de ℝ3 se nota {𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘 Sean 𝑢 ⃗⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝑣⃗ = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) ∈ ℝ3 . El producto vectorial de 𝑢 ⃗⃗ por 𝑣⃗ se nota 𝑢 ⃗⃗ × 𝑣⃗ y se define como: 𝑦1 𝑢 ⃗⃗ × 𝑣⃗ = |𝑦 2

𝑧1 𝑥1 𝑧2 | 𝑖⃗ − |𝑥2

21

𝑧1 𝑥1 𝑧2 | 𝑗⃗ + |𝑥2

𝑦1 𝑦2 | 𝑧⃗.

𝜕𝑓 𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑓

gradiente de 𝑓 denotado con ∇𝑓, es el vector ∇𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝜕𝑥 , 𝜕𝑦) = 𝜕𝑥 𝑖⃗ + 𝜕𝑦 𝑗. ⃗⃗

ÍNDICE

Definición 1.4.- Sea 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) una función de dos variables, entonces el

∇=

𝜕 𝜕 𝜕 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑧⃗. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Combinando la definición de derivada direccional y vector gradiente de una función 𝑓, obtenemos la fórmula de la derivada direccional 𝐷𝑢 𝑓 (𝑥, 𝑦) como el producto escalar de dos vectores 𝐷𝑢 𝑓 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓 𝜕𝑥

𝑎+

𝜕𝑓 𝜕𝑦

𝜕𝑓 𝜕𝑓

𝑏=(

,

𝜕𝑥 𝜕𝑦

) ∙ (𝑎, 𝑏) = ∇𝑓 (𝑥, 𝑦) ∙ 𝑢 ⃗⃗.

Una propiedad muy importante del vector gradiente la presentamos en el siguiente teorema. Teorema 1.2.- Sea 𝑓 una función diferenciable en el punto (𝑥, 𝑦), el valor máximo de la derivada direccional 𝐷𝑢 𝑓 (𝑥, 𝑦) es ‖∇𝑓 (𝑥, 𝑦)‖ y se presenta cuando 𝑢 ⃗⃗ y el vector gradiente ∇𝑓 (𝑥, 𝑦) tienen la misma dirección.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

mientras que en dimensión 3 se tiene:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝜕 𝜕 𝑖⃗ + 𝑗⃗, 𝜕𝑥 𝜕𝑦

DINÁMICA DE FLUIDOS

∇=

ANÁLISIS VECTORIAL

El operador gradiente en dimensión 2 se nota y define como:

De la definición de derivada direccional tenemos: 𝐷𝑢 𝑓 (𝑥, 𝑦) = ∇𝑓 (𝑥, 𝑦) ∙ 𝑢 ⃗⃗. De la definición de producto escalar de dos vectores tenemos 𝐷𝑢 𝑓 (𝑥, 𝑦) = ‖∇𝑓 (𝑥, 𝑦)‖‖𝑢 ⃗⃗‖ cos 𝜃. Sabemos que la norma de 𝑢 ⃗⃗ es 1, por lo tanto 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) = ‖∇𝑓(𝑥, 𝑦)‖ cos 𝜃. El máximo valor de cos 𝜃 es 1, esto ocurre cuando 𝜃 = 0 , es decir cuando 𝑢 ⃗⃗ tiene la misma dirección de ∇𝑓(𝑥, 𝑦) y en consecuencia: 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) = ‖∇𝑓(𝑥, 𝑦)‖. La demostración del teorema 1.2 se la encuentra en ([2] pág. 780).

22

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Demostración

Los campos vectoriales constituyen funciones de importante aplicación en la física.

ÍNDICE

Campos Vectoriales

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑁 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)) (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω. El campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) se puede escribir simplemente como ⃗⃗⃗⃗ 𝐹 = 𝑀𝑖⃗ + 𝑁𝑗⃗ + 𝑃𝑘. Son ejemplos de campos vectoriales, los campos de velocidades, los campos electromagnéticos y los campos gravitatorios Los campos vectoriales constan de una cantidad infinita de vectores, por lo tanto se dibujan vectores representativos que ayudan a visualizar el campo.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

luego, existen M, N, P funciones reales definidas en Ω (campos escalares) tales que:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Sea Ω ⊂ ℝ3 , F una función de Ω en ℝ3 . Para cada (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω, 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ,

ANÁLISIS VECTORIAL

Se recomienda revisar éste tema en el siguiente texto: ([2] págs. 872-903).

En este campo vectorial 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 , 𝑁 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 y 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. En la figura 1.5 se muestran algunos de los vectores del campo vectorial 𝐹.

DINÁMICA DE FLUIDOS

Ejemplo 1. Sea el campo vectorial definido como 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑗⃗, ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 .

(0,0,1) (1,0,1)

(0,1,1)

(1,1,1) y

(1,0,0) (1,1,0) x

Figura 1.5 Campo vectorial 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑗⃗, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 . Así por ejemplo se tiene: Para el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,1) se tiene el vector

23

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

z

Para el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,1) se tiene el vector

ÍNDICE

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (0,0,1) = 𝑦𝑗⃗ = 0𝑗⃗.

Para el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,1,0) se tiene el vector 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (1,1,0) = 𝑦𝑗⃗ = 𝑗. ⃗⃗

ANÁLISIS VECTORIAL

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 (0,1,1) = 𝑦𝑗⃗ = 𝑗. ⃗⃗

⃗⃗ ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 , un campo de velocidades en donde 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 16. El vector 𝑦 2 )𝑘 𝑣 describe la velocidad de un fluido a través de un tubo de radio 4. Algunos vectores representativos los calculamos remplazando valores de 𝑥, 𝑦, 𝑧 en la ecuación del

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Ejemplo 2. Considérese el campo vectorial definido como 𝑣⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (16 − 𝑥 2 −

⃗⃗ , 𝑣(3,0,0) = 7𝑘 ⃗⃗ , 𝑣(0,3,0) = 7𝑘 ⃗⃗ , 𝑣 (4,0,0) = 0𝑘 ⃗⃗ , 𝑣(0,4,0) = 0𝑘 ⃗⃗ , 𝑣(0,0,0) = 16𝑘 de los cuales como se observa (figura 1.7) existen mayores velocidades en la zona

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

campo vectorial, así se obtienen los vectores de velocidad:

DINÁMICA DE FLUIDOS

central que en los bordes del tubo. Este ejemplo se encuentra en el texto ([4] página

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

1057) de la bibliografía.

⃗⃗⃗⃗ Figura 1.6. Campo vectorial de velocidades 𝑣⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑘.

24

Tanto el rotacional y la divergencia son generalizaciones de la derivada que se

ÍNDICE

Rotacional

aplican a campos vectoriales. Para abordar éste tema tomaremos en cuenta el

𝜕𝑁

𝜕𝑃

𝜕𝑀

𝜕𝑁

) 𝑗⃗ + ( 𝜕𝑥 − 𝜕𝑧

𝜕𝑀 𝜕𝑦

⃗⃗⃗⃗ ) 𝑘,

(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω. 𝜕 𝜕 ⃗⃗ 𝜕 , el El símbolo ∇ es un operador diferencial definido como ∇= 𝑖⃗ 𝜕𝑥 + 𝑗⃗ 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕𝑧

cual tiene sentido cuando se aplica a una función escalar 𝑓 para producir el vector gradiente de 𝑓 𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑓

⃗⃗ = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘 ⃗⃗ . ∇𝑓 = 𝑖⃗ 𝜕𝑥 + 𝑗⃗ 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Si F es un campo vectorial que representa el flujo de un fluido entonces 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 0 significa que el fluido está libre de rotaciones o es irrotacional.

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Ejemplo

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝜕𝑃

𝑟𝑜𝑡𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ × 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝜕𝑦 − 𝜕𝑧 ) 𝑖⃗ − (𝜕𝑥 −

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

El rotacional del campo vectorial 𝐹 = 𝑀𝑖 + 𝑁𝑗 + 𝑃𝑘 se define como:

DINÁMICA DE FLUIDOS

⃗⃗ un campo vectorial definido en Ω ⊂ ℝ3 , Definición 1.5.- Sea 𝐹 = 𝑀𝑖⃗ + 𝑁𝑗⃗ + 𝑃𝑘

ANÁLISIS VECTORIAL

siguiente texto: ([4] pág.1060).

Figura 1.7 Una rueda pequeña con paletas en la parte inferior no girará cuando se ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = está moviéndose en un fluido con un campo de velocidad 𝑉 𝑥 𝑗⃗ 𝑥 2 +𝑦 2

𝑦 𝑖⃗ − 𝑥 2 +𝑦 2

( [5] página 163). 𝑦

𝑥

⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 2 𝑖⃗ − 2 2 𝑗⃗, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 que representa Sea el campo vectorial 𝑉 𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦 el campo de velocidad del agua en movimiento circular. Algunos de los vectores de

25

⃗⃗ = 0 como se comprueba a continuación. ya que 𝑟𝑜𝑡 𝑉

ÍNDICE

velocidad se dibujan en el plano (figura 1.7), este campo vectorial es irrotacional

⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ × 𝑉 ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑟𝑜𝑡𝑉 = (𝑖⃗

=(

𝜕 𝜕 𝜕 ⃗⃗ ) × (𝑀𝑖⃗ + 𝑁𝑗⃗ + 𝑃𝑘 ⃗⃗ ) + 𝑗⃗ + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑃 𝜕𝑁 𝜕𝑃 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀 )𝑖 −( − )𝑗 +( ) 𝑘, − − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦

reemplazando M,N, y P tenemos: ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑟𝑜𝑡𝑉

𝜕0 𝜕 𝑥 𝜕0 𝜕 𝑦 )) 𝑖 − ( − ( 2 )) 𝑗 − (− 2 2 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑥 +𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑥 + 𝑦 2

+(

𝜕 𝑥 𝜕 𝑦 (− 2 )− ( 2 )) 𝑘. 2 𝜕𝑥 𝑥 +𝑦 𝜕𝑦 𝑥 + 𝑦 2

ESTÁTICA DE FLUIDOS

por la definición de rotacional se tiene:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑥

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑦

𝑀 = 𝑥2 +𝑦2 , 𝑁 = − 𝑥2 +𝑦2 , 𝑃 = 0,

ANÁLISIS VECTORIAL

⃗⃗ ) = 2 𝑦 2 𝑖⃗ − 2 𝑥 2 𝑗⃗ entonces ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑀𝑖⃗ + 𝑁𝑗⃗ + 𝑃𝑘 Si 𝑉 𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦

⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0 − 0)𝑖 − (0 − 0)𝑗 𝑟𝑜𝑡𝑉 −(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 2𝑥 2 −(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 2𝑦 2 +( + )𝑘 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑥2 + 𝑦2 = 0𝑖 − 0𝑗 + ( ) 𝑘 = 0. (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 Divergencia El rotacional de un campo vectorial F es un campo vectorial, mientras que la divergencia es una función escalar.

26

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

calculando las derivadas parciales resulta:

𝐹 = 𝑀𝑖 + 𝑁𝑗 + 𝑃𝑘 se define como

Si 𝑑𝑖𝑣 𝐹 = 0, entonces se dice que el campo vectorial F es de divergencia nula. La divergencia es un tipo de derivadas del campo F, por ejemplo, para campos de velocidades de partículas, la divergencia mide el flujo de partículas por unidad de volumen en un punto. En hidrodinámica si un campo de velocidades tiene divergencia nula, entonces se le llama flujo incompresible. Para profundizar sobre éste tema se recomienda revisar el texto ([4]pág. 1062) de la bibliografía.

Figura 1.8 Interpretación de una integral doble ( [2] pág. 809). Integrales dobles. Comprenderemos la definición de la integral doble, mediante una idea intuitiva que surge del problema de hallar el volumen V de una región en el espacio ([4] pág. 990), acotada por una función de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦), su dominio: un rectángulo R, y los cuatro planos verticales 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 (figura 1.8), de la misma manera que para la integral de Riemman, haremos una partición P del rectángulo R cuyos lados son los intervalos [𝑎, 𝑏] y [𝑐, 𝑑 ] de manera que: 27

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

1.4.- Integrales dobles, triples.

ANÁLISIS VECTORIAL

𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑃 + + . 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

ESTÁTICA DE FLUIDOS

=

𝜕 𝜕 𝜕 ) 𝑖 + ( ) 𝑗 + ( ) 𝑘] ∙ (𝑀𝑖 + 𝑁𝑗 + 𝑃𝑘 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑑𝑖𝑣𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ ∙ 𝐹 (𝑥, 𝑦) = [(

ÍNDICE

Definición 1.6.- Sean Ω ⊂ ℝ3 , F un campo vectorial de Ω en ℝ3 . La divergencia de

y c= 𝑦0 < 𝑦1 < 𝑦2 < . . . . < 𝑦𝑛−1 < 𝑦𝑛 = 𝑑 . Luego, la región rectangular R

ÍNDICE

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < . . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏

Definiremos a la norma de P que se denota ‖𝑃‖ como la longitud de la diagonal más larga de los n rectángulos. Escogemos un punto (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) en cada rectángulo y se forma un prisma rectangular de altura 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) y volumen 𝑉𝑖 = 𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐴𝑖 .

ANÁLISIS VECTORIAL

queda subdivida en nxn rectángulos de área ∆𝑥∆𝑦 = ∆𝐴𝑖 .

de todos los n-prismas mediante: 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐴𝑖 .

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Luego, el volumen de la región sólida se puede aproximar por la suma de Riemann

Concluimos observando que si tomamos particiones más finas, se obtendrán mejores aproximaciones del volumen y, el volumen exacto se obtendrá tomando el límite cuando‖𝑃‖ → 0, es decir,

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑖=1

𝑉 = lim ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐴𝑖 , ‖𝑃‖→0

𝑖=1

siempre que el límite exista.

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑛

del plano XY, entonces la integral doble de f sobre R se define como: 𝑛

∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐴𝑖 , ‖𝑃‖→0

𝑅

𝑖=1

siempre que el límite exista, en tal caso se dice que f es integrable en R La definición 1.7 se encuentra en ([4] pág. 992). Integrales triples Para dar una definición de la integral triple utilizaremos el mismo procedimiento que para la integral doble, como se indica en el siguiente texto: ([4] pág. 1024). Trataremos de evaluar la integral sobre una región sólida Q (figura 1.9). 28

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Definición 1.7.- Sea f una función definida sobre una región cerrada y acotada R

acotada Q, en donde formaremos una partición interna P de cubos de volumen:

ÍNDICE

Sea f una función continua de tres variables, definida sobre una región sólida

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

∆𝑉𝑖 = ∆𝑥𝑖 ∆𝑦𝑖 ∆𝑧𝑖 .

La norma de P denotada ‖𝑃‖ la definimos como la longitud de la diagonal más larga en los n cubos de la partición. Eligiendo un punto (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) en cada cubo formaremos la suma de Riemann:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Figura 1.9 Interpretación de una integral triple ([4] pág. 1024).

∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 )∆𝑉𝑖 . 𝑖=1

Luego, tomamos el límite cuando ‖𝑃‖ → 0, obtendremos

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑛

lim ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 )∆𝑉𝑖 ,

‖𝑃‖→0

𝑖=1

siempre que el límite exista. Definición 1.8.- Si f es una función continua sobre una región sólida acotada Q, entonces la integral triple de f sobre Q se define como: 𝑛

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = lim ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 )∆𝑉𝑖 , ‖𝑃‖→0

𝑄

𝑖=1

siempre que el límite exista. El volumen de la región sólida Q está dado por : 𝑉 = ∭ 𝑑𝑉. 𝑄

29

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑛

Integral de línea.

ÍNDICE

1.5.- Integrales de línea. Integrales de superficie

𝛼⃗ = (𝛼1 , 𝛼2 ), y para 𝑡 ∈ 𝐼, 𝛼⃗ (𝑡) = (𝛼1 (𝑡), 𝛼2 (𝑡)) = 𝛼1 (𝑡)𝑖⃗ + 𝛼2 (𝑡)𝑗⃗. El conjunto Γ = {𝛼⃗(𝑡) ∈ ℝ2 /𝑡 ∈ 𝐼 } se llama camino o curva generada por la función vectorial 𝛼⃗ Si 𝛼⃗ es continua, el camino Γ se dice camino continuo. En el caso en que 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y 𝛼⃗ es continua tal que 𝛼⃗ (𝑎) = 𝛼⃗ (𝑏) = 0, el camino Γ se llama camino cerrado continuo. Ejemplos

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Sean 𝐼 ⊂ ℝ, 𝛼⃗ una función de I en ℝ2 , 𝛼⃗ se llama función vectorial. Escribiremos

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

integral sencilla que se integra en un intervalo [𝑎, 𝑏].

ANÁLISIS VECTORIAL

Una integral de línea es aquella que se integra en una curva C, a diferencia de la

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

[−1,1]. Entonces Γ = {𝛼⃗ (𝑡) = (𝑡, 𝑡 2 )/𝑡 ∈ [−1,1]} es un camino continuo

DINÁMICA DE FLUIDOS

1. Sean 𝐼 = [−1,1], 𝛼⃗ la función vectorial definida como 𝛼⃗ (𝑡) = (𝑡, 𝑡 2 ) 𝑡 ∈

2. Sean 𝐼 = [−𝜋, 𝜋], 𝛼⃗ la función vectorial definida como 𝛼⃗ (𝑡) = (cos 𝑡 , sen 𝑡 ) y

𝑡 ∈ [−𝜋, 𝜋],

Γ = {(cos 𝑡 , sen 𝑡)/𝑡 ∈ [−𝜋, 𝜋]}

Entonces Γ es un camino cerrado, continuo que representa a una circunferencia de centro (0,0) y radio 1.

30

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL ⃗⃗ . 𝛼⃗ (𝑡) = (𝛼1 (𝑡), 𝛼2 (𝑡), 𝛼3 (𝑡)) = 𝛼1 (𝑡)𝑖⃗ + 𝛼2 (𝑡)𝑗⃗+𝛼3(𝑡)𝑘 El conjunto Γ = {𝛼⃗(𝑡) ∈ ℝ3 /𝑡 ∈ 𝐼 } se llama camino o curva generada por la función vectorial 𝛼⃗. Si 𝛼⃗ es continua, el camino Γ se dice camino continuo. En el caso en que 𝐼 = [𝑎, 𝑏] y 𝛼⃗ es continua tal que 𝛼⃗ (𝑎) = 𝛼⃗ (𝑏) = 0, el camino Γ

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝛼⃗ = (𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼2 ), y para 𝑡 ∈ 𝐼:

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Sean 𝐼 ⊂ ℝ, 𝛼⃗ una función de I en ℝ3 , 𝛼⃗ se llama función vectorial. Escribiremos

Ejemplo Sean 𝐼 = [0, ∞[, 𝛼⃗ la función vectorial definida como 𝛼⃗ (𝑡) = (cos 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑘𝑡)

DINÁMICA DE FLUIDOS

se llama camino cerrado continuo.

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑡 ≥ 0. Entonces Γ = {𝛼⃗ (𝑡)/𝑡 ≥ 0} describe una curva en el espacio (tornillo).

A continuación se resumen las definiciones de integral de línea del texto ([2] págs.876-877).

31

curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando 𝑓(𝑥) ≥ 0 , en forma semejante interpretaremos a una

ÍNDICE

Recordemos que la integral ordinaria se puede interpretar como un área bajo la

integral de línea de una función positiva como un área entre la curva C y la función

⃗⃗⃗ una función de I en ℝ2 tal Sea Ω ⊂ ℝ2 y f un campo escalar definido en Ω, 𝐼 ⊂ ℝ y ∝ ⃗⃗⃗ (𝑡) ∈ Ω ∀𝑡 ∈ 𝐼, es decir que Γ⊂ Ω. Ponemos { que ∝

𝑥 = 𝑥(𝑡) o bien 𝛼⃗(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝑦 = 𝑦(𝑡)

donde 𝑥 e y son funciones definidas en I.

Tomando en cuenta la interpretación del área, ahora llegaremos a una definición

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

formal de la integral de línea.

DINÁMICA DE FLUIDOS

Figura 1.10 Interpretación de una integral en línea ( [2] página 877).

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) como se ilustra en la figura 1.10.

Figura 1.11 La partición de [𝑎, 𝑏] que determina una partición en C ( [2] página 876).

32

curva C una partición P con puntos 𝑃𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), los cuales dividen a la curva C en n subarcos de longitud ∆𝑠𝑖 . Ubicamos un punto 𝑡𝑖∗ perteneciente al intervalo [𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖 ]

ÍNDICE

Particionamos el intervalo [𝑎, 𝑏] (figura 1.11) con puntos 𝑡𝑖 que determinan en la

(𝑥𝑖∗ , 𝑦𝑖∗ ) y multiplicando por cada longitud ∆𝑠𝑖 se obtiene la sumatoria 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ , 𝑦𝑖∗ )∆𝑠𝑖 .

ANÁLISIS VECTORIAL

que determina en la curva C el punto 𝑃𝑖∗ (𝑥𝑖∗ , 𝑦𝑖∗ ). Luego evaluamos f en cada punto

⃗⃗⃗ definida en 𝐼 ⊂ ℝ . Ponemos contenido en Ω generado por la función vectorial ∝ 𝛼⃗(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)).

Entonces la integral de línea de f a lo largo de la curva C= Γ es 𝑛

∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ , 𝑦𝑖∗ )∆𝑠𝑖 . ‖𝑃‖→0

𝐶

𝑖=1

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Definición 1.9.- Sea Ω ⊂ ℝ2 y f un campo escalar definido en Ω, Γ un camino

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑖=1

arco, la integral de línea se evalúa y se expresa en la forma: 𝑏

∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√( 𝐶

𝑎

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 ) + ( ) 𝑑𝑡. 𝑑𝑡 𝑑𝑡

En forma vectorial tenemos: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝛼⃗ (𝑡))|𝛼⃗´(𝑡)| 𝑑𝑡. 𝐶

𝑎

Integrales de línea en el espacio Las integrales de línea en el espacio las resumiremos de ([2] pág. 881). Sea f una ⃗⃗⃗ una función vectorial de 𝐼 ⊂ ℝ en ℝ3 tal que Γ = {𝛼⃗(𝑡)/𝑡 ∈ función de Ω ⊂ ℝ3 en ℝ, ∝ 𝐼} ⊂ Ω. Ponemos 𝛼⃗ (𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)).

La integral en línea de f a lo largo de Γ se define como: 33

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Expresando las variables en función de t y aplicando la fórmula de la longitud de

DINÁMICA DE FLUIDOS

siempre que el límite exista.

∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = lim ∑ 𝑓 (𝑥𝑖∗ , 𝑦𝑖∗ , 𝑧𝑖∗ )∆𝑠𝑖 . ‖𝑃‖→0

Γ

𝑖=1

ÍNDICE

𝑛

función de dos variables, así: 𝑏

∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥 (𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑦))√( 𝐶

𝑎

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 2 ) + ( ) + ( ) 𝑑𝑡. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

mientras que en forma vectorial se tiene 𝑏

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Esta integral se evalúa en forma similar a la integral sobre la curva C cuando f es

ANÁLISIS VECTORIAL

siempre que el límite exista.

𝐶

𝑎

Integral en línea de campos vectoriales Se ha revisado las integrales en línea de un campo escalar f definido en Ω ⊂ ℝ2 y en

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝛼⃗ (𝑡))|𝛼⃗´(𝑡)| 𝑑𝑡.

campo vectorial Definición 1.10.- Sea F un campo vectorial continuo definido en una curva suave C descrita mediante una función vectorial 𝑟(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Entonces la integral de

DINÁMICA DE FLUIDOS

Ω ⊂ ℝ3 . En esta sección se extiende la definición de la integral en línea para un

𝑏

∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) ∙ 𝑟´(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝐹 ∙ 𝑇𝑑𝑠, 𝐶

𝐶

𝑎

donde T representa los vectores unitarios tangentes a la curva C. Las integrales en línea se han resumido de: ([2] págs. 876-877).

34

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

línea del campo vectorial F a lo largo de la curva C es:

Mientras la integral en línea extiende la integral simple sobre un intervalo a una

ÍNDICE

Integral de superficie

curva en dos o tres dimensiones, la integral de superficie extiende la integral doble

Sea Ω ⊂ ℝ2 , 𝑔 una función de Ω en ℝ y 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦)/(𝑥, 𝑦) ∈ Ω} . El conjunto S representa una superficie. Ponemos 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) ∈ Ω , su

ANÁLISIS VECTORIAL

sobre una región plana a una integral sobre una superficie en dos dimensiones.

𝜕𝑔

𝜕𝑔

de S y supongamos que 𝑔, 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 son continuas en todos los puntos de R (figura

Definición 1.11.- Sea f una función de tres variables sobre una superficie S, la integral de superficie de f en S se denota ∬𝑠 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 y se define como 𝑛

∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = lim ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 )∆𝑆𝑖 . ‖𝑝‖→0

𝑆

𝑖=1

Siempre que el límite exista. Una integral de superficie de S se calcula mediante la integral doble evaluada sobre la proyección R así:

35

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Figura 1.12 Superficie S y su proyección R sobre el plano XY.

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

1.12).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

proyección R sobre el plano XY, una función f que asigna un número a cada punto

𝑆

𝑅

ÍNDICE

∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦))√1 + (

𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 2 ) + ( ) 𝑑𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Superficies paramétricas Una superficie S se puede describir mediante la función vectorial 𝑟(𝑢, 𝑣 ) =

ANÁLISIS VECTORIAL

El tema desarrollado se ha resumido de ([4] pág. 1108).

puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el espacio definidos mediante las ecuaciones paramétricas 𝑥 =

Figura 1.13 Superficie paramétrica S ([2],página 910). Definición 1.12.- Sea S una superficie paramétrica con dominio en todo punto (𝑢, 𝑣 ) ∈ 𝐷 , definida por la ecuación vectorial 𝑟⃗(𝑢, 𝑣 ) = 𝑥 (𝑢, 𝑣 )𝑖⃗ + 𝑦(𝑢, 𝑣 )𝑗⃗ + ⃗⃗ entonces la integral 𝑧(𝑢, 𝑣)𝑘

∬|𝑟𝑢 × 𝑟𝑣 |𝑑𝐴 = 𝐴(𝑆), 𝐷 𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧

⃗⃗ , 𝑟⃗𝑣 = es el área de superficie de S, donde 𝑟⃗𝑢 = 𝜕𝑢 𝑖⃗ + 𝜕𝑢 𝑗⃗ + 𝜕𝑢 𝑘 La definición 1.12 se la ha tomado de [2] pág. 91.

36

𝜕𝑥 𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝑖⃗ + 𝜕𝑣 𝑗⃗ +

𝜕𝑧 𝜕

⃗⃗ 𝑘

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑥 (𝑢, 𝑣 ), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣 ), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) forman la superficie paramétrica S (figura 1.13)

ESTÁTICA DE FLUIDOS

⃗⃗ definida en una región D del plano uv. Todos los 𝑥 (𝑢, 𝑣 )𝑖⃗ + 𝑦(𝑢, 𝑣 )𝑗⃗ + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝑘

En mecánica de fluidos se estudia el movimiento de fluidos sin analizar las fuerzas

ÍNDICE

1.6.- Teoremas de transporte de Reynolds.

que lo producen. El movimiento de fluidos se describe mediante dos formas; la

del fluido, y, la descripción euleriana en la cual se define un volumen de control (VC) a través del cual el fluido entra o sale.

ANÁLISIS VECTORIAL

descripción lagrangiana que sigue la trayectoria de la partícula o grupo de partículas

de un volumen de control, así la ecuación: 𝑑𝑁𝑠𝑡 𝑑𝑁𝑉𝐶 = + 𝑁𝑠𝑎𝑙 − 𝑁𝑒𝑛𝑡 , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 indica que: la razón de cambio con respecto al tiempo de la propiedad N del sistema(st) es igual a la razón de cambio con respecto al tiempo de N en el volumen de control más el flujo neto de N hacia afuera del volumen de control debido a la

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ecuaciones del movimiento de la descripción lagrangiana a la descripción euleriana

ESTÁTICA DE FLUIDOS

El teorema de transporte de Reynolds (TTR) se utiliza para transformar las

La propiedad N, llamada también propiedad extensiva como la masa, la energía, el volumen, la cantidad de movimiento, pueden transformarse en propiedades intensivas ,mediante mediciones distributivas como por ejemplo el volumen por 𝑉 𝑚

o la energía por unidad de masa

𝐸 𝑚

. La distribución de la 𝑁

propiedad N por unidad de masa se la llamará 𝜂, es decir 𝜂 = 𝑚, luego la cantidad total de N dentro del volumen de control será 𝑁 = ∭ 𝜌 𝜂𝑑𝑉 donde 𝑑𝑉 representa un elemento de volumen. Con estas consideraciones la ecuación anterior, como se probará en el capítulo 3 conduce al TTR para un volumen de control fijo: 𝑑𝑁𝑠𝑡 𝑑 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 + ∬ 𝜂𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑆𝐶

𝑑

Si la derivada respecto al tiempo 𝑑𝑡 de la integral triple, se la introduce dentro de la integral, debido a que el volumen de control no varía con el tiempo, ésta se transforma en una derivada parcial

37

𝜕 𝜕𝑡

ya que tanto la densidad (ρ) como la

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

unidad de masa

DINÁMICA DE FLUIDOS

masa que cruza la superficie de control(SC).

entonces se tiene una forma alternativa del TTR para un volumen de control fijo:

ÍNDICE

propiedad (𝜂) pueden depender de la posición dentro del volumen de control,

Luego si el volumen de control esta en movimiento o sufre deformación, la velocidad absoluta (𝑣⃗) se reemplaza por la velocidad relativa 𝑣⃗𝑟 = 𝑣⃗ − 𝑣⃗𝑆𝐶 , así se obtiene el TTR para un volumen de control no fijo: 𝑑𝑁𝑠𝑡 𝑑 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 + ∬ 𝜂𝜌𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑟 ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝑆𝐶

y su forma alternativa 𝑑𝑁𝑠𝑡 𝜕 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 + ∬ 𝜂𝜌𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑟 ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑉𝐶

𝑆𝐶

Por último, si la propiedad N dentro del volumen de control permanece constante, su razón de cambio respecto al tiempo es cero, este es un tipo de flujo se llama

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑆𝐶

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑉𝐶

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑑𝑁𝑠𝑡 𝜕 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 + ∬ 𝜂𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝜕𝑡

𝑑𝑁𝑠𝑡 = ∬ 𝜂𝜌𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑟 ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝑆𝐶

Una explicación más detallada del TTR la encontraremos en ([6] pág. 121-127; [7]

DINÁMICA DE FLUIDOS

permanente o estacionario, entonces se tiene el TTR para un flujo estacionario:

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

pág. 148-156).

38

MODELOS MATEMÁTICOS EN ESTÁTICA DE FLUIDOS.

ÍNDICE

CAPITULO 2

Se inicia este capítulo considerando los conceptos básicos en mecánica de fluidos con las definiciones de fluido, estática de fluidos, el continuo, la densidad, el esfuerzo en un punto, luego se analiza la presión de un fluido en reposo y la

ANÁLISIS VECTORIAL

Resumen

como son el batiscafo, el manómetro, el hidrómetro y las máquinas multiplicadoras de fuerzas. En cada tema tratado se indica la bibliografía utilizada y los textos recomendados para aclarar y profundizar el presente trabajo. 2.1.- Algunos conceptos básicos en mecánica de fluidos.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

flotación. Por último se presentan algunas aplicaciones de la estática de fluidos

ESTÁTICA DE FLUIDOS

variación de ésta con la altura. Se analiza el principio de Arquímedes y la fuerza de

se le aplica un esfuerzo cortante. Son ejemplos de fluidos, los líquidos y gases, pero otros materiales como el vidrio también se consideran fluidos aunque su deformación es tan lenta que no es práctico considerarlo como un fluido.

DINÁMICA DE FLUIDOS

Fluido.- Un fluido es toda aquella sustancia que se deforma constantemente cuando

equilibrio. Se basa en la primera y tercera leyes de Newton. Dinámica de fluidos.- Estudia los fluidos en movimiento. Es una de las ramas más complejas de la mecánica Continuo.- El “continuo” es un fluido considerado como una distribución continua de materia. Esta consideración se la hace de acuerdo al caso de estudio y siempre que el volumen de fluido contenga un número suficiente de moléculas como para realizar cálculos estadísticos. Densidad en un punto.- La densidad de un fluido es la cantidad de masa por unidad de volumen, entonces la densidad en un punto se define como:

39

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Estática de fluidos.- Es el estudio de fluidos en reposo o en situaciones de

∆𝑚 , ∆𝑉→𝛿𝑉 ∆𝑉 lim

(2.1)

ÍNDICE

𝜌=

ANÁLISIS VECTORIAL

donde: ∆𝑚 = cantidad de masa (en kg). ∆𝑉= volumen (en 𝑚3 ).

Se asume que la densidad 𝜌 es una función definida en Ω ⊂ ℝ3 al igual que la masa m.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝛿𝑉= mínimo volumen para el cual tienen sentido los promedios estadísticos.

constante cuando la presión y la temperatura varían como el agua, se les llama incompresibles, el aire no cumple esta propiedad, por lo tanto se considera un fluido compresible.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Fluido compresible e incompresible.- Los fluidos cuya densidad permanece

superficie, por unidad de área se llama esfuerzo normal, y la componente tangencial de una fuerza que actúa sobre una superficie, por unidad de área se llama esfuerzo cortante. . Se supone que 𝐹 es una función definida en Ω ⊂ ℝ3 , es decir

DINÁMICA DE FLUIDOS

Esfuerzo en un punto.- La componente normal de una fuerza que actúa sobre una

Se define al esfuerzo en un punto como: ∆𝐹 , ∆𝐴→𝛿𝐴 ∆𝐴 lim

donde: ∆𝐹 = fuerza aplicada sobre una superficie (en néwtones N). ∆𝐴= Área considerada (en 𝑚2 ). 𝛿𝐴= Mínimo valor del área para el cual tienen sentido los promedios estadísticos. Si el esfuerzo es perpendicular a la superficie, se tiene un esfuerzo normal (𝜎𝑖𝑖 ). 40

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝐹 = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⊂ Ω.

Esfuerzo normal

∆𝐹𝑛 = 𝜎𝑖𝑖 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆𝐴→𝛿𝐴 ∆𝐴

2.2a

Esfuerzo cortante

∆𝐹 = 𝜏𝑖𝑗 𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆𝐴→𝛿𝐴 ∆𝐴

2.2b

lim

lim

Figura 2.1 Algunos esfuerzos aplicados en un elemento diferencial de volumen.

ÍNDICE DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Las ecuaciones del esfuerzo normal y cortante se proponen en: ([8]págs. 23-25)

ANÁLISIS VECTORIAL

cortante ( 𝜏𝑖𝑗 ), así, tenemos los siguientes límites:

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Si el esfuerzo es paralelo a la superficie del fluido, entonces se tiene un esfuerzo

asociado con el esfuerzo, el segundo indica la dirección del eje del esfuerzo mismo. Por ejemplo en la figura 2.1 se grafican algunos de los esfuerzos correspondientes a un elemento diferencial de volumen, así, 𝜎𝑥𝑥 es el esfuerzo normal al plano 𝑦𝑧 (primer subindice) en la dirección del eje x (segundo subindice); 𝜎𝑦𝑦 es el esfuerzo normal al plano 𝑥𝑧 (primer subindice) en la dirección y (segundo subindice); 𝜏𝑦𝑥 es el esfuerzo aplicado en el plano 𝑥𝑧, que tiene la dirección del eje x. El esfuerzo cortante 𝜏𝑦𝑥 |𝑦 está aplicado en la posición y, mientras que 𝜏𝑦𝑥 |𝑦+∆𝑦 está aplicado en la posición y+∆y. Se supondrá que 𝜎𝑖𝑖 y 𝜏𝑖𝑗

𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 son funciones definidas en el conjunto

Ω ⊂ ℝ3 . 41

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Se utilizan dos subíndices, el primero indica la dirección de la normal al plano

En un fluido en reposo; el esfuerzo normal se llama presión, y no existen esfuerzos

ÍNDICE

2.2.- Presión de un fluido en reposo.

cortantes. Las fuerzas que actúan sobre un elemento de un fluido en reposo son las

ANÁLISIS VECTORIAL

que se deben a los esfuerzos normales, además de la gravedad. Tomaremos un

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

elemento de la forma de la figura 2.2.

𝑊 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑉𝑔 = 𝜌𝑔 (

∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 ). 2

La fuerza 𝐹 = (𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹𝑧 ) donde 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹𝑧 son funciones definidas en Ω ⊂ ℝ3 . Por simplicidad 𝐹𝑥 = 𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω ⊂ ℝ3 . Para todo cuerpo en reposo se tiene Σ𝐹𝑥 = 0, luego, Δ𝐹𝑥 − Δ𝐹𝑠𝑥 = 0, Δ𝐹𝑥 − Δ𝐹𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0, Δ𝐹𝑥 − Δ𝐹𝑠 42

Δy = 0. Δs

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

El peso de este elemento es

DINÁMICA DE FLUIDOS

Figura 2.2 Fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen

volumen posible, para conseguir esto tomaremos el límite cuando el volumen del elemento tiende a cero, previamente dividiremos la ecuación anterior para 𝛥𝑦 𝛥𝑧,

ÍNDICE

Nos interesa calcular la presión en un punto, lo cual implica tener el mínimo

∆𝑉→0

Δ𝐹𝑥 Δ𝐹𝑠 ] = 0, − Δy Δz ΔzΔs

Δ𝐹𝑥 Δ𝐹𝑠 − lim = 0, ∆𝑉→0 Δy Δz ∆𝑉→0 ΔzΔs lim

𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑠𝑠 = 0, por último resulta 𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑠𝑠 .

ESTÁTICA DE FLUIDOS

lim [

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Δ𝐹𝑥 Δy − Δ𝐹𝑠 = 0, Δy Δz Δy ΔzΔs

ANÁLISIS VECTORIAL

tenemos:

∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 ) = 0, 2 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 ) = 0, Δ𝐹𝑦 − Δ𝐹𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑔 ( 2 𝛥𝑥 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 ) = 0, Δ𝐹𝑦 − Δ𝐹𝑠 − 𝜌𝑔 ( 𝛥𝑠 2 Δ𝐹𝑦 − Δ𝐹𝑠𝑦 − 𝜌𝑔 (

dividiendo por 𝛥𝑥 𝛥𝑧 resulta 𝛥𝐹𝑦 𝛥𝑥 𝜌𝑔 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 ( ) = 0, − Δ𝐹𝑠 − 𝛥𝑥 𝛥𝑧 𝛥𝑠 𝛥𝑥 𝛥𝑧 Δx Δz 2 𝛥𝐹𝑦 𝛥𝐹𝑠 𝜌𝑔∆𝑦 − − = 0, 𝛥𝑥 𝛥𝑧 𝛥𝑠 𝛥𝑧 2 tomamos el límite cuando el volumen del elemento tiende a cero: 43

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Σ𝐹𝑦 = 0,

DINÁMICA DE FLUIDOS

De la misma forma tenemos:

ÍNDICE

𝛥𝐹𝑦 Δ𝐹𝑠 𝜌𝑔∆𝑦 − lim − lim = 0, ∆𝑉→0 𝛥𝑥 𝛥𝑧 ∆𝑉→0 𝛥𝑠𝛥𝑧 ∆𝑉→0 2 𝜌𝑔(0) 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑠𝑠 − = 0, 2 lim

Se observa que el esfuerzo normal en un punto no depende de la dirección, pues el ángulo 𝜃 no forma parte de estos resultados 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑠𝑠 = 𝜎𝑥𝑥 . Concluiremos que

ANÁLISIS VECTORIAL

𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑠𝑠 .

el esfuerzo normal en un punto es una cantidad escalar, esta cantidad escalar es la

ESTÁTICA DE FLUIDOS

presión la misma que es una función definida en Ω ⊂ ℝ3 . La deducción anterior se encuentra en ([8] págs. 25-26).

2.3.1.- Variación de la presión con la elevación para un fluido estático incompresible Consideremos un cuerpo sumergido en un fluido estático (figura 2.3), las fuerzas que actúan sobre éste se deben a la presión del medio circundante: -(∇𝑝)∆𝑉 y, a la fuerza de gravedad: 𝛾∆𝑉, donde 𝛾 es el peso específico. En la dirección y del elemento de volumen considerado actúan la presión p en la cara inferior y, 𝑝 + 𝜕𝑦

∆𝑦 en la cara superior, de esta manera, la fuerza resultante sería 𝑑𝐹𝑦 = 𝜕𝑝

∆𝑝(∆𝑥∆𝑧) = − 𝜕𝑦 𝑑𝑦(𝑑𝑥𝑑𝑧), de la misma forma calculamos las componentes de la fuerza 𝑑𝐹𝑥 y 𝑑𝐹𝑧 , luego la fuerza resultante tiene la forma: ⃗⃗ = − ( 𝑑𝐹 = 𝑑𝐹𝑥 𝑖⃗ + 𝑑𝐹𝑦 𝑗⃗ + 𝑑𝐹𝑧 𝑘

𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 ⃗⃗ ) 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧, 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

así, por la definición del gradiente tenemos: 𝑑𝐹 = (−∇𝑝)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 = −(∇𝑝)∆𝑉.

(2.3)

El gradiente es el vector que indica la máxima rapidez de cambio de la variable dependiente con respecto a la distancia, entonces en la dirección del eje y, la

44

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝜕𝑝

DINÁMICA DE FLUIDOS

incompresible.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

2.3.- Variación de la presión con la altura en un fluido compresible e

una mayor claridad sobre la ecuación 2.3 se recomienda revisar de la bibliografía,

ÍNDICE

máxima rapidez de cambio de la presión con respecto a la elevación es – ∇𝑝. Para

ANÁLISIS VECTORIAL

el texto: ([6] págs.45-47).

y

x γ∆V z

Figura 2.3 Cuerpo sumergido en un fluido estático . En el elemento de volumen de la figura 2.3 se tiene:

ESTÁTICA DE FLUIDOS

d

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

(- ∇p )∆V

−(

𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 ⃗⃗ ) = 0𝑖⃗ + 𝛾𝑗⃗ + 0𝑘 ⃗⃗ , 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

luego tenemos, las siguientes ecuaciones escalares 𝜕𝑝 = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝑝 = −γ, 𝜕𝑦 𝜕𝑝 = 0. 𝜕𝑧 De estos resultados se observa que la presión p solo varía en la dirección 𝑦, por lo tanto podríamos utilizar derivadas ordinarias para obtener la siguiente ecuación diferencial:

45

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

(−∇ 𝑝) − 𝛾𝑗⃗ = 0,

DINÁMICA DE FLUIDOS

Σ𝐹𝑦 = (−∇ 𝑝)∆𝑉 − 𝛾𝑗⃗∆𝑉 = 0,

(2.4)

ÍNDICE

𝑑𝑝 = −γ, 𝑑𝑦 estableciendo límites de integración tendremos:

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑦0

𝑑𝑝 = ∫ −𝛾𝑑𝑦,

𝑝

𝑦

donde: patm es la presión atmosférica en la superficie libre en una posición y0 p es la presión buscada en cualquier posición y. La gravedad es constante y el líquido es incompresible, por lo tanto podemos tomar

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑝𝑎𝑡𝑚

∫

𝑝𝑎𝑡𝑚 − 𝑝 = −𝛾(𝑦0 − 𝑦),

(2.5)

reemplazando 𝑦0 − 𝑦 = 𝑑 y 𝑝 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝𝑚𝑎𝑛 en la ecuación 2.5 se obtiene la

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

el peso específico 𝛾 como constante, luego integrando tenemos:

𝑝𝑚𝑎𝑛 = 𝛾𝑑.

(2.6)

Las ecuaciones resultantes se las encuentra en el siguiente texto: ([6] págs.53-55).

DINÁMICA DE FLUIDOS

siguiente ecuación

compresible. Un fluido sería compresible si consideramos el peso específico como variable en la ecuación diferencial: 𝑑𝑝 = −γ. 𝑑𝑦 En los resultados previos se lo consideró constante, ya que se analizó para distancias pequeñas, pero ahora se estudiará la presión afectada por distancias grandes como por ejemplo la atmósfera, en la cual se presentan dos casos, el primero cuando la temperatura del fluido permanece constante y cuando la temperatura del fluido varía linealmente con la elevación. 46

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

2.3.2.- Variación de la presión con la elevación para un fluido estático

En un gas a temperatura T constante, se cumple la ecuación de estado de la

ÍNDICE

2.3.2.1.- Gas a temperatura constante

𝑝𝑉 = 𝑅𝑇 = 𝐶 = 𝑝0 𝑉0 ,

(2.7)

donde V es el volumen específico que es el inverso de la densidad, R es la constante del gas que depende sólo del peso molecular del fluido. Por lo tanto la ecuación

ANÁLISIS VECTORIAL

siguiente forma:

𝑝𝑉 = 𝑝

ESTÁTICA DE FLUIDOS

anterior se transforma así: 1 1 𝑔 = 𝑝 𝛾 = 𝑝 = 𝐶, 𝜌 𝛾 𝑔

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

1 1 𝑔0 = 𝑝0 𝛾 = 𝑝0 = 𝐶, 0 𝜌0 𝛾0 𝑔0

𝑝0 𝑉0 = 𝑝0 luego,

𝑝

𝑔 𝑔0 = 𝐶 = 𝑝0 , 𝛾 𝛾0

mismo valor entonces obtenemos las ecuaciones siguientes: 𝑝 𝑝0 = 𝐶1 = , 𝛾 𝛾0 resolviendo 𝛾 y 𝛾0 en la ecuación anterior tenemos, 𝑝 𝛾= , 𝐶1

𝛾0 =

𝑝0 . 𝐶1

Conocemos la ecuación diferencial de la presión con relación a la altura (ecuación 2.4), en la cual reemplazamos 𝛾 de la siguiente forma: 𝑑𝑝 𝑝 = −γ = − , 𝑑𝑦 𝐶1 𝑑𝑝 𝑑𝑦 =− , 𝑝 𝐶1 para resolver esta ecuación diferencial, tomamos como límites de integración las presiones 𝑝0 , 𝑝 y las posiciones 𝑦0 , 𝑦 , se obtiene 𝑝

𝑦 𝑑𝑝 𝑑𝑦 = −∫ , 𝑝0 𝑝 𝑦0 𝐶1

∫

47

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

si suponemos que la elevación no es muy grande consideraremos a 𝑔 y 𝑔0 del

aplicando las propiedades de los logaritmos y reemplazando 𝐶1 = ln

𝑝0 𝛾0

ANÁLISIS VECTORIAL

1 (𝑦 − 𝑦0 ), 𝐶1 :

𝑝 𝛾0 = − (𝑦 − 𝑦0 ), 𝑝0 𝑝0

por último resolvemos la ecuación anterior para p y se obtiene 𝑝 = 𝑝0 𝑒

𝛾 [− 0 (𝑦−𝑦0 )] 𝑝0 .

(2.8)

Este último resultado indica la presión en función de una presión conocida 𝑝0 para un fluido con un peso específico 𝛾0 y una elevación 𝑦0 .

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ln 𝑝 − ln 𝑝0 = −

𝑦 𝑦 | , 𝐶1 𝑦0

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑝

ln 𝑝 |𝑝0 = −

ÍNDICE

integrando resulta,

Recordando la ecuación diferencial

𝑑𝑝 𝑑𝑦

= −γ que nos dice que la presión varía solo

en la dirección 𝑦 , además la ecuación de estado, que relaciona la presión, el volumen y la temperatura absoluta 𝑝𝑉 = 𝑅𝑇; tomaremos en cuenta la variación

DINÁMICA DE FLUIDOS

2.3.2.2.- Gas a temperatura variable

𝑇 = 𝑇0 + 𝐾𝑦. Asumimos que T es una función definida en Ω ⊂ ℝ3 En la ecuación anterior calculamos el diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑇 = 𝑑𝑇0 + 𝑑𝐾𝑦,

luego obtenemos: 𝑑𝑦 = 48

𝑑𝑇 , 𝐾

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

de la temperatura T con la elevación y de la siguiente forma:

1

𝑔

𝑝𝑔

𝑔

podemos reemplazar en el resultado anterior así, 𝑑𝑝 𝑝𝑔 = −γ = − . 𝑑𝑇 𝑅𝑇 𝐾 Se nota que resultado es una ecuación diferencial de variables separables, además los valores K, R y 𝑔 son constantes lo cual escribiremos 𝑑𝑝 𝑔 𝑑𝑇 =− . 𝑝 𝐾𝑅 𝑇 Plantearemos la solución integral de la ecuación precedente tomando en cuenta los límites de integración de 𝑝0 a 𝑝 y de 𝑇0 a 𝑇 , donde 𝑝0 y 𝑇0 son valores conocidos en la elevación 𝑦 = 0. Así tenemos: 𝑝

resulta

𝑔

ln(𝑝) − 𝑙𝑛(𝑝0 ) = − 𝐾𝑅 (ln(𝑇) − ln(𝑇0)),

tomando en cuenta las propiedades de los logaritmos se obtiene la siguiente

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑑𝑝 𝑔 𝑇 𝑑𝑇 ∫ ∫ =− , 𝐾𝑅 𝑇0 𝑇 𝑝0 𝑝

ESTÁTICA DE FLUIDOS

1

pero 𝑝𝑉 = 𝑝𝑉 = 𝑝 𝜌 = 𝑝 𝛾 = 𝑝 𝛾 = 𝑅𝑇 de donde 𝛾 = 𝑅𝑇 , ecuación que la

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑑𝑝 = −γ, 𝑑𝑇 𝐾

ANÁLISIS VECTORIAL

ÍNDICE

𝑑𝑝

reemplazamos en 𝑑𝑦 = −γ obteniendo:

ecuación METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

g

𝑝 T0 KR 𝑙𝑛 = ln ( ) , 𝑝0 T resolvemos la ecuación anterior para 𝑝 y obtenemos: g

T0 KR 𝑝 = 𝑝0 ( ) , T luego, reemplazando 𝑇 = 𝑇0 + 𝐾𝑦 se tiene g

KR T0 ) . 𝑝 = 𝑝0 ( T0 + Ky

(2.9)

La última ecuación determina la presión, conociendo los valores iníciales 𝑝0 y 𝑇0 en una elevación y.

49

2.4.- Teorema de Arquímedes y cuerpos flotantes.

ÍNDICE

El desarrollo de las ecuaciones anteriores se lo ha tomado de ([6] págs.56-59).

Un cuerpo sumergido en el agua parece pesar menos que en el aire, si el cuerpo es

Según el principio de Arquímedes: “Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, este ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.” A ésta fuerza hacia arriba la llamaremos fuerza de flotación y para demostrar el principio de Arquímedes

DINÁMICA DE FLUIDOS

Figura 2.4 Fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

menos denso que el agua, flota.

las cuales se deben a la presión y a su variación de un punto a otro. Para determinar la fuerza de flotación analizaremos la parte pertinente del siguiente texto citado en la bibliografía: ([8]págs.44,45) Determinaremos la fuerza neta de flotación considerando una columna infinitesimal en el cuerpo con áreas de sección transversal 𝑑𝐴𝑦 (figura 2.4) 𝑑𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 − 𝑝𝑒𝑠𝑜, 𝑑𝐹 = 𝑝1 𝑑𝐴𝑗⃗ − 𝑝2 𝑑𝐴𝑗⃗ − 𝑚𝑔⃗, = (𝑝1 − 𝑝2 )𝑑𝐴𝑗⃗ − 𝜌𝑐 𝑉𝑔⃗.

50

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

deberemos analizar antes, las fuerzas en general, sobre las superficies sumergidas,

volumen V del cuerpo se puede expresar como ℎ𝑑𝐴𝑦 , se obtiene.

ÍNDICE

Sabemos que la diferencia de presiones 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑔ℎ (Ecuación 2.6), además el

𝑑𝐹 = ( 𝜌𝑔ℎ)𝑑𝐴𝑗⃗ − 𝜌𝑐 (ℎ𝑑𝐴)𝑔𝑗⃗,

ANÁLISIS VECTORIAL

= (𝜌 − 𝜌𝑐 )𝑔ℎ𝑑𝐴𝑗⃗, luego,

2.10

Esta es la fuerza hacia arriba igual al peso del fluido desplazado (principio de Arquímedes). Con este resultado se observa que la fuerza resultante 𝐹 = 𝜌𝑔𝑉𝑗⃗ − 𝜌𝑐 𝑔𝑉𝑗⃗ está formada por la fuerza de flotación 𝜌𝑔𝑉𝑗⃗ y el peso del cuerpo −𝜌𝑐 𝑔𝑉𝑗⃗, además, si la densidad del líquido es mayor que la densidad del cuerpo, esto es 𝜌 > 𝜌𝑐 , éste flotará en la superficie, entonces, 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜌𝑔𝑉𝑠 𝑗⃗,

2.11

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝐹 = (𝜌 − 𝜌𝑐 )𝑔𝑉𝑗⃗.

DINÁMICA DE FLUIDOS

consecuentemente,

ESTÁTICA DE FLUIDOS

∫ 𝑑𝐹 = ∫(𝜌 − 𝜌𝑐 )𝑔ℎ𝑑𝐴𝑗⃗ = (𝜌 − 𝜌𝑐 )𝑔ℎ ∫ 𝑑𝐴𝑗⃗,

2.5.- Algunas aplicaciones prácticas. 2.5.1.- Batiscafo Un batiscafo

es un pequeño vehículo

de inmersión profunda sumergible,

especialmente diseñado para llegar a grandes profundidades bajo el océano, soportando la enorme presión del agua. Son pequeños submarinos tripulados con propulsión autónoma que permiten alcanzar grandes profundidades en el mar con fines militares o científicos. El batiscafo Trieste fue desarrollado por el físico suizo Piccard y fue construido en Italia en 1959 ; estaba basado en el principio de que hay unos elementos más ligeros 51

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

donde 𝑉𝑠 es el volumen sumergido.

decidió utilizar el mismo principio para su sumergible sustituyendo en este caso el gas por un líquido más liviano que el agua, la gasolina. De este modo el cuerpo

ÍNDICE

que otros. Así como el hidrógeno o el helio son más ligeros que el aire, Piccard

metal relleno de nafta, del que prendía una barquilla blindada donde se alojaban los tripulantes. En el interior de este globo, dos cilindros de acero que lo atravesaban de arriba hacia abajo llevaban el lastre consistente en granalla de hierro. Una vez el

ANÁLISIS VECTORIAL

principal del batiscafo era en realidad un globo construido con una fina capa de

se activaban las compuertas de deslastrado que permanecían cerradas por un sistema de electroimanes y la gasolina contenida en el cuerpo principal hacía que

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

este ascendiera como un globo hasta la superficie.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

sumergible en el agua el peso del lastre lo hacía descender y cuando llegaba al fondo

Figura 2.5 Batiscafo Trieste En la figura 2.5 se presentan tres imágenes que ilustran de mejor manera este vehículo de inmersión. La primera, una fotografía real en blanco y negro en el momento en que es remolcado, la segunda indica las parte principales de las cuales se compone y, en la tercera se indican cinco momentos importantes durante la inmersión.

52

La manometría es una técnica utilizada en la medición de presiones, el medidor de

ÍNDICE

2.5.2.- Manómetros

presión más sencillo es el manómetro de tubo abierto, el tubo en u contiene un

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

líquido de densidad ρ, con frecuencia mercurio o agua.

En la figura 2.6 se desea medir la presión en el punto C, el fluido del tanque llega al manómetro en el punto A, la misma altura del punto A’, sabemos por resultados anteriores que la máxima rapidez de cambio de la presión ocurre en la dirección

DINÁMICA DE FLUIDOS

Figura 2.6 Manómetro de tubo abierto

𝑑𝑝 = −𝜌𝑔 = −γ, 𝑑𝑦 integrando esta ecuación entre los puntos B y A’ se obtiene: 𝑝𝑎𝑡𝑚

∫ 𝑝𝐴′

𝐵

𝑑𝑝 = ∫ −𝜌𝑔𝑑𝑦, 𝐴′

es decir, 𝑝𝑎𝑡𝑚 − 𝑝𝐴′ = −𝜌2 𝑔(𝐵 − 𝐴′) = −𝜌2 𝑔𝑑2 , donde ρ2 es la densidad del fluido que se encuentra en el tubo.

53

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

del vector gravitación es decir,

A y C, tenemos:

𝑝𝐴

𝐶

𝑑𝑝 = ∫ −𝜌𝑔𝑑𝑦, 𝐴

se obtiene:

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑝𝐶

∫

ÍNDICE

𝑑𝑝

De la misma forma integramos la ecuación 𝑑𝑦 = 𝜌𝑔 = −γ, ahora entre los puntos

donde ρ1 es la densidad del fluido que se encuentra en el recipiente. Luego, la presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos que tengan la misma elevación, estos son los puntos A y A’ por lo tanto 𝑝𝐴 = 𝑝𝐴′ .

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑝𝐶 − 𝑝𝐴 = −𝜌1 𝑔(𝐶 − 𝐴) = −𝜌1 𝑔𝑑1 ,

𝑝𝐶 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝜌2 𝑔𝑑2 − 𝜌1 𝑔𝑑1 . De esta forma se obtiene la presión manométrica que es la diferencia entre la presión

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

El resultado final de combinar las ecuaciones anteriores será:

es igual a la presión atmosférica, el neumático está desinflado, la presión dentro del neumático debe ser mayor para sostener el vehículo, ésta es la presión absoluta, mientras que el exceso de presión por encima de la atmósfera se llama presión

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

manométrica.

DINÁMICA DE FLUIDOS

absoluta y la presión atmosférica. Por ejemplo si la presión dentro de un neumático

2.5.3.- Hidrómetro

54

del ácido de una batería.( [9] página 433).

ÍNDICE

Figura 2.7 (a) Hidrómetro sencillo (b) Hidrómetro que mide la densidad

Es un aparato útil para medir la densidad de los líquidos, un hidrómetro sencillo

fluido que desplaza es igual a su propio peso, de esta manera se undirá menos en líquidos más densos. El hidrómetro de la figura 2.7b sirve para medir la densidad del líquido de la batería

ANÁLISIS VECTORIAL

(figura 2.7a) consiste en un flotador calibrado que se unde hasta que el peso del

la lee directamente mediante la escala del hidrómetro, la cual da una lectura de 1,0 en agua pura.

2.5.4. Maquinas multiplicadoras de fuerzas La hidráulica es la rama de la física que estudia el comportamiento de los líquidos en reposo o en movimiento. La hidrodinámica estudia los líquidos en movimiento.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

hidrómetro, expulsando aire al apretar la perilla de la parte superior, la densidad se

ESTÁTICA DE FLUIDOS

o anticongelante de un automóvil, se introduce el líquido en el tubo que contiene el

energía hidroeléctrica al manipular el flujo de un líquido para impulsar las turbinas. Estas plantas de energía abastecen de electricidad a más de mil millones de personas en el mundo.

DINÁMICA DE FLUIDOS

Los ingenieros civiles utilizan este tipo de sistemas hidráulicos en las plantas de

Al multiplicar la profundidad de un fluido por su peso inherente. Pascal creó la fórmula para determinar la presión de un fluido, esto conllevo al aspecto más importante de la hidrostática, la multiplicación de la fuerza. El principio de Pascal constituye la base de todo lo que hacemos con la hidráulica. 𝑑𝑝

De la ecuación 2.4 𝑑𝑦 = −𝛾, la cual indica que si y aumenta, p disminuye; es decir, la presión disminuye cuando se sube en el fluido. Si 𝑝1 y 𝑝2 son las presiones en las alturas 𝑦1 , 𝑦2 , y el peso específico es constante entonces: 𝑝2 − 𝑝1 = −𝛾(𝑦2 − 𝑦1 ), es la ecuación de la presión en un fluido de densidad constante.

55

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

En el siglo diecisiete el francés Blas Pascal hizo un descubrimiento sin precedentes.

posición, así mismo sea la posición 2 la superficie del fluido, en donde la presión es 𝑝0 . Sea ℎ = 𝑦2 − 𝑦1 la profundidad del punto 1, luego la ecuación anterior se

ÍNDICE

Si tomamos la posición 1 en cualquier nivel dentro del fluido y p la presión en ésta

𝑝0 − 𝑝 = −𝛾ℎ, 𝑝 = 𝑝0 + 𝛾ℎ.

ANÁLISIS VECTORIAL

convierte en

principio lo reconoció pascal, formulándolo de la siguiente forma: “la presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminución a todas partes del fluido y a las partes del recipiente.”

La hidrostática estudia los líquidos en reposo. Los ingenieros mecánicos utilizan estos sistemas para producir energía al presurizar líquidos incompresibles.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

fluido, la presión p a cualquier profundidad aumenta en la misma cantidad. Este

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Esta última ecuación indica que si aumentamos la presión 𝑝0 en la superficie del

2.8), cualquier fuerza aplicada al pistón A, será transferida completamente al pistón B. uno de los beneficios de un sistema hidráulico cerrado es la habilidad para multiplicar la fuerza.

DINÁMICA DE FLUIDOS

Si se cuenta con dos pistones en el interior de un sistema hidráulico cerrado (figura

se moverá una unidad por cada diez unidades que se desplace el pistón A pero con una fuerza diez veces superior. Por lo tanto una fuerza de 100 kg aplicada al pistón A proporcionará suficiente presión al pistón B para mover un objeto que pese 1000 kg (figura 2.9).

Figura 2.8 Principio de aplicación de la fuerza multiplicadora.

56

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Si el área de superficie del pistón B es diez veces superior al pistón A, el pistón B

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL Figura 2.9 Ejemplo de aplicación de una fuerza multiplicadora. 𝐹

𝑝 = 𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 , 𝐴

𝐵

así, la fuerza en el pistón B será 𝐹𝐵 =

𝐴𝐵 𝐹. 𝐴𝐴 𝐴

De una simplicidad extraordinaria la fuerza multiplicadora de la hidráulica posee una capacidad impresionante y es lo que proporciona la fuerza bruta a casi todas las

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝐹

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Matemáticamente, se tiene

Uno de los dispositivos más comunes que utiliza la multiplicación de fuerza es el gato hidráulico. Algunas de las aplicaciones de los sistemas hidráulicos se basan exclusivamente en

DINÁMICA DE FLUIDOS

máquinas pesadas.

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

la fuerza hidráulica por ejemplo las máquinas que compactan automóviles trituran de cinco a seis autos apilados verticalmente.

a

b

Figura 2.10 a) Gato hidráulico. b) Máquina compactadora de autos. c) Máquina para la construcción

57

c

la faz de la tierra, el mejor ejemplo de la fuerza bruta que proporciona la hidráulica puede encontrarse en la industria de la construcción. A lo largo de los años, las

ÍNDICE

El impacto de la hidráulica en la industria de la construcción, literalmente cambio

exponencialmente en tamaño alcanzando una eficiencia y poder sin igual El desarrollo de la industria automotriz se bebe en gran parte a los sistemas

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

hidráulicos en los frenos, la dirección y la suspensión.

ANÁLISIS VECTORIAL

excavadoras, grúas y camiones que han construido nuestro mundo, han crecido

58

CINEMÁTICA DE FLUIDOS NO VISCOSOS.

ÍNDICE

CAPÍTULO 3

descripción lagrangiana y euleriana. Se deduce el teorema de transporte de Reynolds, el cual permite cambiar de un enfoque de sistema a un enfoque de volumen de control. Luego se trata el principio de la conservación de la masa y la ecuación de continuidad. Se considera también los modelos matemáticos de diferentes tipos de flujos como son: flujos estacionarios, incompresibles, irrotacionales 2d y 3d de un fluido no viscoso, flujo de un fluido alrededor de una

ESTÁTICA DE FLUIDOS

En éste capítulo se consideran las formas de descripción cinemática de un fluido; la

ANÁLISIS VECTORIAL

Resumen

En cada tema tratado se indica la bibliografía utilizada y los textos recomendados para aclarar y profundizar el presente trabajo. 3.1.- Descripción cinemática de un fluido. La cinemática de fluidos, explica como fluyen los fluidos y cómo describir su movimiento. Existen dos maneras de describir un fluido en movimiento, la

DINÁMICA DE FLUIDOS

modelos matemáticos.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

esfera y de un obstáculo cilíndrico. Por último se habla de la importancia de los

enfoques está en la forma de identificar la posición en el campo, lo cual se refiere a una cantidad física definida como función. En el movimiento de fluidos existen patrones de flujo que se pueden visualizar, entre ellos se tiene una línea de corriente que es una curva que, en toda su trayectoria, es tangente a la velocidad local instantánea. La trayectoria real recorrida por una partícula de fluido se llama línea de trayectoria; un tubo de corriente es un conducto hecho de todas las líneas de corriente que pasan por una curva cerrada pequeña.

59

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

descripción lagrangiana y la descripción euleriana, la diferencia entre ambos

ÍNDICE

𝑦

Línea de corriente (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦)

𝑣⃗

ANÁLISIS VECTORIAL

(𝑥, 𝑦) 𝑣𝑦

𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑣𝑥

arco infinitesimal 𝑑𝑟⃗ a lo largo de una línea de corriente (figura 3.1), por la definición de línea de corriente, 𝑑𝑟⃗ es paralelo al vector velocidad instantánea, así por semejanza de triángulos obtenemos la siguiente relación: (3.1)

de la cual se puede obtener la ecuación diferencial para una línea de corriente en el plano: (

𝑣𝑦 𝑑𝑦 )= . 𝑑𝑥 𝑣𝑥

(3.2)

De la solución de la ecuación 3.2 se obtiene la familia de curvas que representa las líneas de corriente del campo de flujo. Se propone un ejemplo en la página 117. La deducción precedente, así como las ecuaciones de una línea de corriente se las ha resumido de: ([7] págs.129-130) 3.1.1.- Descripción lagrangiana Se utiliza este procedimiento para estudiar cualquier partícula en el flujo indicando ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) su posición en algún instante, así, en el campo de velocidad 𝑉

𝑥, 𝑦, 𝑧

deben variar continuamente, por ejemplo, consideremos el movimiento de las

60

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = = , 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Obtenemos una ecuación para una línea de corriente, considerando una longitud de

DINÁMICA DE FLUIDOS

Figura 3.1 Línea de corriente para un flujo en dos dimensiones.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑥

una 𝑥⃗𝐴 , 𝑥⃗𝐵 , 𝑥⃗𝐶 y los vectores velocidad 𝑣⃗𝐴 , 𝑣⃗𝐵 , 𝑣⃗𝐶 como funciones del tiempo.

ÍNDICE

partículas 𝐴, 𝐵, 𝐶 (figura 3.2) en donde deberá indicarse el vector posición de cada

𝑥𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

Figura 3.2 Descripción lagrangiana de tres partículas. ([7] pág. 122) El análisis lagrangiano equivale al análisis de sistemas en donde se considera fija a la masa. Este método de descripción es muy complejo, ya que, involucra definir e identificar partículas de flujo conforme se desplazan en todas direcciones al igual

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑥𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑣𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑣𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑣𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗

continua a medida que se mueven en el flujo, aunque las ecuaciones del movimiento siguiendo las partículas por separado, se conocen bien como por ejemplo la segunda ley de Newton.

DINÁMICA DE FLUIDOS

que las interacciones entre las parcelas de fluido que se deforman de manera

Es el método más común de descripción del flujo de fluidos, en este, se define un volumen finito, llamado volumen de control a través del cual un fluido fluye hacia dentro y hacia afuera. No se define la posición y velocidad de una masa fija sino, las llamadas variables de campo que son funciones del espacio y tiempo dentro del volumen de control, estos campos son por ejemplo: campo de presión, campo de velocidad, campo de aceleración. El campo de presión se llama campo de variable escalar, mientras los campos de velocidad y aceleración son de variable vectorial. En la descripción euleriana las variables de campo se definen en cualquier lugar y cualquier instante en el volumen de control.

61

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

3.1.2.- Descripción euleriana

Describiremos el movimiento de una partícula de fluido mediante un enfoque

ÍNDICE

3.1.3.- Campo de aceleraciones

lagrangiano, para luego, mediante alguna manipulación matemática, expresarlo en

Se asume ahora que la velocidad es una función definida en Ω ⊂ ℝ4 en ℝ3 donde 𝑣⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) es el vector velocidad de la partícula en el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) del espacio en el tiempo t. Luego, la velocidad de la partícula en un tiempo t es la misma que ⃗⃗ en la posición (𝑥, 𝑦, 𝑧), además, sabemos que las la del campo de velocidad 𝑉 coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 son dependientes del tiempo t, por lo tanto en la ecuación anterior utilizamos el valor del campo de velocidad y por la regla de la cadena tenemos:

𝑎⃑ =

⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑉 ⃗⃗ 𝑑𝑥 𝜕𝑉 ⃗⃗ 𝑑𝑦 𝜕𝑉 ⃗⃗ 𝑑𝑧 𝜕𝑉 ⃗⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑉 = = + + + . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑡

La derivada de la posición con respecto al tiempo representa la velocidad, entonces las derivadas

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

,

,

𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

son las componentes escalares de la velocidad en las

coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧, a las cuales las notaremos como, 𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧 , luego,

𝑎⃑ =

⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 = = (𝑉𝑥 + 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 ) + . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

⃗⃗ es una variable de campo en función de 𝑥, 𝑦, 𝑧 y t, también la aceleración Como 𝑉 está en función de estas coordenadas y del tiempo, por lo tanto, es una variable de campo que expresada en forma vectorial se escribe de la siguiente manera: 𝑎⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =

⃗⃗ ⃗⃗ 𝑑𝑉 𝜕𝑉 ⃗⃗ ∙ ∇)𝑉 ⃗⃗ + = (𝑉 . 𝑑𝑡 𝜕𝑡

(3.3)

Al igual que la velocidad de una partícula y el campo de velocidad, se concluye que la aceleración es una función definida en Ω ⊂ ℝ4 en ℝ3 . 62

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑑𝑣⃗ . 𝑑𝑡

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑎⃑ =

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

la derivada de la velocidad 𝑣⃗ con respecto al tiempo 𝑡, así:

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

el enfoque euleriano. Por definición, la aceleración 𝑎⃑ de una partícula de fluido es

124-126)

ÍNDICE

El campo de aceleraciones descrito se lo encuentra en ([6] págs. 110-111; [7] pág.

𝐷 𝑑 𝜕 ⃗⃗ ∙ ∇) + , = = (𝑉 𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡

(3.4)

que es un operador que se aplica a algunas propiedades escalares o vectoriales de ⃗⃗ de Ω ⊂ ℝ4 en ℝ3 , asociado con los fluidos, así, para cualquier campo vectorial 𝐻 un flujo se tiene: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝐷𝐻 𝑑𝐻 𝜕𝐻 ⃗⃗ ∙ ∇)𝐻 ⃗⃗ + = = (𝑉 . 𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡

(3.5)

ESTÁTICA DE FLUIDOS

flujo, se utiliza la llamada derivada material.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Cuando se quiere seguir a una partícula de fluido que se mueve por un campo de

ANÁLISIS VECTORIAL

3.1.4.- Derivada material

⃗⃗ 𝑑𝑉 ⃗⃗ ⃗⃗ 𝐷𝑉 𝜕𝑉 ⃗⃗ ∙ ∇)𝑉 ⃗⃗ + = = (𝑉 = 𝑎⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡

(3.6)

y la derivada material del campo escalar de la presión: 𝐷𝑃 𝑑𝑃 𝜕𝑃 ⃗⃗ ∙ ∇)𝑃 + . = = (𝑉 𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡

(3.7)

Podemos verificar las ecuaciones anteriores en las páginas siguientes: ([6] págs.111; [7] pág. 127,128) 3.1.5.- El teorema de transporte de Reynolds El teorema de transporte de Reynolds (TTR) permite cambiar de un enfoque de sistema a un enfoque de volumen de control. Consideremos un campo de flujo arbitrario (figura 3.3) en el cual se observa un sistema de masa finita en los tiempos 𝑡 y 𝑡 + ∆𝑡, el volumen del espacio ocupado por el sistema en el tiempo 𝑡 es un 63

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

ecuación 3.5 resultan: la derivada material de la velocidad o aceleración material

DINÁMICA DE FLUIDOS

⃗⃗ (campo de velocidad) y P (campo de presión) por 𝐻 ⃗⃗ en la Si reemplazamos 𝑉

contenido en el volumen de control, la sección I que forma parte del VC es la

ÍNDICE

volumen de control fijo (VC), además en el tiempo 𝑡 el sistema es idéntico al fluido

sección descubierta cuando el sistema se mueve de izquierda a derecha, la sección

Sistema en el instante t+∆t

Figura 3.3. Un sistema en movimiento y un volumen de control fijo Representaremos con N, cualquier propiedad extensiva para relacionar la tasa de cambio de esta propiedad para el sistema, con las variaciones de la misma propiedad

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Volumen de control (VC) fijo en el instante t y t+∆t, y sistema en el instante t

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

sistema consiste en el mismo fluido pero ocupa la región VC +II- I.

ANÁLISIS VECTORIAL

II no forma parte del VC y está cubierta por el sistema. En el instante 𝑡 + ∆𝑡 el

correspondiente de N por unidad de masa m. Asumimos también que N y 𝜂 son funciones definidas en Ω ⊂ ℝ4 en ℝ3 .

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑁

asociadas con el volumen de control, así 𝜂 = 𝑚 representa la propiedad intensiva

𝑁𝑠𝑡,𝑡 = 𝑁𝑉𝐶,𝑡 ,

(3.8)

𝑁𝑠𝑡,𝑡+Δ𝑡 = 𝑁𝑉𝐶,𝑡+Δ𝑡 + 𝑁𝐼𝐼,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝐼,𝑡+Δ𝑡 ,

(3.9)

restando (3.8) de (3.9) se tiene: 𝑁𝑠𝑡,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑠𝑡,𝑡 = 𝑁𝑉𝐶,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑉𝐶,𝑡 + 𝑁𝐼𝐼,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝐼,𝑡+Δ𝑡 , dividiendo para Δ𝑡: 𝑁𝑠𝑡,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑁𝑉𝐶,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑉𝐶,𝑡 + 𝑁𝐼𝐼,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝐼,𝑡+Δ𝑡 = , Δ𝑡 𝛥𝑡

64

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

En los instantes 𝑡 𝑦 𝑡 + Δ𝑡 la propiedad extensiva N se expresa como

ÍNDICE

𝑁𝑠𝑡,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑁𝑉𝐶,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑉𝐶,𝑡 𝑁𝐼𝐼,𝑡+Δ𝑡 𝑁𝐼,𝑡+Δ𝑡 = + − , Δ𝑡 𝛥𝑡 Δt Δ𝑡

𝑑𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑑𝑁𝑉𝐶,𝑡 𝑁𝐼𝐼,𝑡+Δ𝑡 𝑁𝐼,𝑡+Δ𝑡 = + lim − lim , ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Δt reemplazando los valores de 𝑁 = 𝜂. 𝑚 = 𝜂(𝜌. 𝑉) en las regiones I y II en el instante 𝑡 + ∆𝑡: 𝑑𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑑𝑁𝑉𝐶,𝑡 𝜂2 𝜌2 𝑉𝐼𝐼,𝑡+Δ𝑡 𝜂1 𝜌1 𝑉𝐼,𝑡+Δ𝑡 = + lim − lim . ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Δt Δ𝑡 El volumen 𝑉 en las regiones I y II en el instante 𝑡 + Δ𝑡 se reemplaza con la fórmula del volumen de fluido que atraviesa la sección A con velocidad v, así 𝑉 =

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Por la definición de derivada tenemos:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑁𝑠𝑡,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑁𝑉𝐶,𝑡+Δ𝑡 − 𝑁𝑉𝐶,𝑡 𝑁𝐼𝐼,𝑡+Δ𝑡 𝑁𝐼,𝑡+Δ𝑡 = lim + lim − lim . Δ𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 Δ𝑡 Δ𝑡 𝛥𝑡 Δt lim

ANÁLISIS VECTORIAL

luego,

DINÁMICA DE FLUIDOS

(𝑣. Δ𝑡)𝐴, reemplazando en la ecuación anterior resulta 𝑑𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑑𝑁𝑉𝐶,𝑡 𝜂2 𝜌2 (𝑣2 Δ𝑡𝐴2 ) 𝜂1 𝜌1 (𝑣1 Δ𝑡𝐴1 ) = + lim − lim , ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Δt Δ𝑡

𝑑𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑑𝑁𝑉𝐶,𝑡 = + 𝜂2 𝜌2 𝑣2 𝐴2 − 𝜂1 𝜌1 𝑣1 𝐴1 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Los términos 𝜂1 𝜌1 𝑣1 𝐴1 y 𝜂2 𝜌2 𝑣2 𝐴2 representan el flujo de entrada y de salida respectivamente de la propiedad N en el volumen de control de la figura 3.3, por lo tanto: 𝑑𝑁𝑠𝑡,𝑡 𝑑𝑁𝑉𝐶,𝑡 = + 𝑁𝑠𝑎𝑙 − 𝑁𝑒𝑛𝑡 , 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(3.10)

indica que: “la razón de cambio con respecto al tiempo de la propiedad N del sistema es igual a la razón de cambio con respecto al tiempo de N en el volumen

65

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

aplicando el límite se tiene

masa que cruza la superficie de control”.

ÍNDICE

de control más el flujo neto de N hacia afuera del volumen de control debido a la

El flujo neto 𝑁𝑛𝑒𝑡 = 𝑁𝑠𝑎𝑙 − 𝑁𝑒𝑛𝑡 de la propiedad N se puede generalizar para un

vector velocidad forma un ángulo ∝ con el vector unitario normal ( 𝑛⃗⃗) a la superficie diferencial dA. (𝑣𝑐𝑜𝑠 ∝)𝑑𝑡

dA

𝑣⃗

∝

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

dA

ESTÁTICA DE FLUIDOS

podría no ser normal a esta superficie, como en el caso de la figura 3.4a donde el

ANÁLISIS VECTORIAL

área superficial diferencial 𝑑𝐴 sobre la superficie de control, además la velocidad

𝑛⃗⃗

Figura 3.4 a) Superficie diferencial dA en la superficie de control en el tiempo t b) Volumen diferencial dV en el tiempo t+∆t.

DINÁMICA DE FLUIDOS

b

a

ha movido una distancia (𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼 )𝑑𝑡 a lo largo de la dirección de la tangente a la línea de corriente, se forma un tubo de corriente de volumen 𝑑𝑉 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 × 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 = (𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑑𝑡(𝑑𝐴) = (𝑣𝑐𝑜𝑠𝛼 )𝑑𝐴𝑑𝑡 = (𝑣. 1. 𝑐𝑜𝑠𝛼 )𝑑𝐴𝑑𝑡 = (|𝑣⃗ ||𝑛⃗⃗| 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑑𝐴𝑑𝑡, luego, por la definición de producto punto 𝑑𝑉 = (𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 𝑑𝑡. Si dividimos para 𝑑𝑡 y multiplicamos por 𝜌 se obtiene: 𝜌

𝑑𝑉 𝑑𝑚 = = 𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 66

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

En la figura 3.4b se observa la interfaz de fluido en el tiempo 𝑡 + ∆t, la cual se

través del área 𝑑𝐴.

ÍNDICE

la tasa instantánea de flujo de masa de fluido, que sale del volumen de control a

La tasa de salida de flujo de la propiedad N a través del área 𝑑𝐴, considerando que

𝜂

𝑑𝑚 = 𝜂𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 𝑑𝑡

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑁 = 𝑚𝜂 será: 𝑑𝑁 = 𝜂𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴. 𝑑𝑡

(3.11) 𝑁𝑛𝑒𝑡 = 𝑁𝑠𝑎𝑙 − 𝑁𝑒𝑛𝑡 = ∬ 𝜂𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴. 𝑠𝑐

La cantidad total de la propiedad 𝑁 dentro del volumen de control la determinamos mediante integración; utilizando la definición de una integral de volumen o integral triple, así:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

la superficie de control mediante una integral doble.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Finalmente, por integración se determina la razón de flujo de salida a través de toda

𝑁𝑉𝐶 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 . 𝑉𝐶

Luego, en la ecuación (3.10) el término

𝑑𝑁𝑉𝐶 𝑑𝑡

, la razón de cambio de la propiedad

DINÁMICA DE FLUIDOS

3.12

𝑑𝑁𝑉𝐶 𝑑 𝜕 𝜕 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑉𝐶

𝑑

𝑉𝐶

(3.13)

𝑉𝐶

𝜕

donde se reemplazó 𝑑𝑡 por 𝜕𝑡 porque la cantidad η y la densidad ρ podrían depender de la posición, además se introdujo dentro de la integral porque el dominio de integración no cambia en el tiempo. El teorema de transporte de Reynolds para un volumen de control fijo, se obtiene de la ecuación (3.10) y las integrales de las ecuaciones (3.11) y (3.13)

67

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑁 con respecto al tiempo en el volumen de control, será:

𝑉𝐶

(3.14)

𝑆𝐶

ÍNDICE

𝑑𝑁𝑠𝑡 𝜕 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 + ∬ 𝜂𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝜕𝑡

Se ha tomado un resumen del teorema de transporte de Reynolds de la siguiente

ANÁLISIS VECTORIAL

bibliografía ([6] págs.121-127; [7] pág. 148-153) 3.2.- Conservación de masa. Ecuación de continuidad.

de control la materia no está identificada y no es sencillo probar que la masa se conserva. La conservación de la masa de un sistema y el teorema de transporte de Reynolds sirven al pasar de un enfoque de sistemas al de volumen de control cuando consideramos a la masa M como la propiedad extensiva N, de esta forma la 𝑀

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

propiedad intensiva η es la unidad ya que 𝜂 = 𝑚 = 𝑚 = 1 . A partir del teorema de transporte de Reynolds 𝑑𝑁𝑠𝑡 𝜕 = ∭ 𝜌𝜂𝑑𝑉 + ∬ 𝜂𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑉𝐶

𝑆𝐶

como la masa M de cualquier sistema es constante, entonces su razón de cambio en 𝐷𝑀 𝐷𝑡

=

𝑑𝑀 𝑑𝑡

= 0 , así tenemos:

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

el tiempo será cero

𝑑𝑀𝑠𝑡 𝜕 = ∭ 𝜌𝑑𝑉 + ∬ 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = 0, 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑉𝐶

𝑆𝐶

luego, 𝜕 ∬ 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = − ∭ 𝜌𝑑𝑉. 𝜕𝑡 𝑆𝐶

(3.15)

𝑉𝐶

Es la ecuación de continuidad que se puede expresar como: “la razón neta de flujo de salida de masa a través de la superficie de control es igual la razón de disminución con respecto al tiempo de masa dentro del volumen de control”.

68

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑁

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Un sistema por definición, conserva la misma cantidad de materia, en un volumen

simplificará esta ecuación para diferentes tipos de flujo.

ÍNDICE

La ecuación de la continuidad se expresó en la forma más general, más adelante se

Se puede profundizar en el estudio de la ecuación de continuidad en las siguientes

3.3.- Diferentes tipos de flujos. El movimiento de fluidos se puede clasificar de diferentes maneras, según sus

ANÁLISIS VECTORIAL

páginas: ([6] págs.137-141; [7] pág. 175-177)

Un flujo es permanente o estacionario cuando las condiciones en todos los puntos del fluido no cambian o son independientes del tiempo. En un flujo permanente no existen cambios en el tiempo de: velocidad, densidad, presión, temperatura, es decir: 𝜕𝑣⃗ = 0, 𝜕𝑡

𝜕𝜌 =0, 𝜕𝑡

𝜕𝑃 =0, 𝜕𝑡

𝜕𝑇 = 0. 𝜕𝑡

Se tiene un flujo no permanente cuando las condiciones del flujo en cualquier punto cambian con el tiempo, así en algún punto

⃗⃗ 𝜕𝑣 𝜕𝑡

≠ 0.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ideales, etc.

DINÁMICA DE FLUIDOS

turbulentos, uniformes o no uniformes, rotacionales o irrotacionales, reales o

ESTÁTICA DE FLUIDOS

características, los flujos pueden ser: permanentes o no permanentes, laminares o

formando aparentemente láminas o capas paralelas que se deslizan suavemente unas sobre otras. Un flujo turbulento se presenta cuando un flujo laminar resulta inestable debido condiciones de baja viscosidad, alta velocidad o conductos de gran dimensión. Un flujo es rotacional cuando las partículas de fluido dentro de una región de interés poseen rotación respecto a un eje cualquiera. Se entiende por rotación al promedio de la velocidad angular de dos elementos infinitesimales de línea fijos en la partícula, que formen un ángulo recto y sean perpendiculares al eje. Un flujo es irrotacional cuando no posee rotación.

69

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Un flujo es laminar cuando las partículas de fluido describen trayectorias regulares

características del flujo se suponen como funciones de una sola variable y el tiempo, así, se desprecian los cambios de velocidad, presión, etc., transversales a la

ÍNDICE

Un flujo unidimensional es una simplificación en la cual todas las propiedades y

En un flujo bidimensional, todas las propiedades y características del flujo son funciones de dos coordenadas cartesianas y el tiempo. Si por ejemplo alguna propiedad del flujo está en función además del tiempo, de las coordenadas 𝑥, 𝑦,

ANÁLISIS VECTORIAL

dirección del flujo, el flujo a través de un tubo se considera unidimensional

tiempo t. 3.4.- Flujos estacionarios. Incompresibles. Irrotacionales 2d y 3d de un fluido no viscoso. 3.4.1.- Flujo estacionario Si el flujo

es estacionario o también llamado permanente en relación a las

coordenadas fijadas al volumen de control, en la ecuación de continuidad (3.15), se 𝜕

tiene ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑑𝑉 = 0 , debido a que las propiedades de un campo de flujo

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

perpendiculares de la velocidad son funciones de las coordenadas x, y, z, y del

DINÁMICA DE FLUIDOS

El caso más general es el flujo tridimensional en donde las tres componentes

ESTÁTICA DE FLUIDOS

entonces ésta propiedad no cambia a lo largo de la dirección 𝑧 en un instante dado.

con respecto al tiempo es cero. Entonces resulta: (3.16) ∬ 𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 = 0. 𝑆𝐶

Se recomienda revisar ([6] pág. 138). 3.4.2.- Flujo incompresible En el flujo incompresible en un volumen de control lleno de fluido, la densidad es 𝜕

constante, entonces en la ecuación de continuidad ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑑𝑉 = 0, luego:

70

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

permanente, incluida la densidad, no varían con el tiempo, así la derivada parcial

ÍNDICE

∬ 𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 = 0, 𝑆𝐶

ANÁLISIS VECTORIAL

y, cancelando la densidad tenemos: (3.17) ∬(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 = 0, 𝑆𝐶

Se ha realizado un resumen de los flujos permanente e incompresible de: ([6] pág. 138, 139). 3.4.3.- Flujo irrotacional Analizando el movimiento en el plano XY (figura 3.5) de un elemento de fluido en el tiempo 𝑡 y luego en el incremento de tiempo ∆𝑡, se observa que además de

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

se reduce a la conservación de volumen.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

lo que indica que para cualquier flujo incompresible, la conservación de la masa

𝛼+𝛽 2

, y la razón de rotación o velocidad angular en

el plano XY es la derivada respecto al tiempo del ángulo promedio de rotación

𝜔𝑧 =

𝛼+𝛽 2

𝑑 𝛼+𝛽 ( ), 𝑑𝑡 2

𝜔𝑧 =

1 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 ( − ). 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦

(3.18)

De la misma forma se tiene la razón de rotación en el plano YZ 1 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑦 𝜔𝑥 = ( − ). 2 𝜕𝑦 𝜕𝑧

(3.19)

Y la razón de rotación en el plano XZ 1 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧 ). 𝜔𝑦 = ( − 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥

71

(3.20)

:

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

ángulo promedio de rotación es:

DINÁMICA DE FLUIDOS

trasladarse, el elemento de fluido se deforma y gira. Los ángulos son positivos, el

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL

Figura 3.5 Rotación de un elemento de fluido ([8] página173). Luego, en tres dimensiones se define el vector de razón de rotación en un punto en

𝜔 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔𝑥 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔𝑦 + 𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑧 (3.21)

La ecuación anterior se la puede expresar mediante el producto vectorial ⃗∇⃗ × 𝑣 ⃗⃗⃗⃗, 𝑗⃗

⃗⃗ 𝑘

⃗∇⃗ × 𝑣 ⃗⃗⃗⃗ = | 𝜕

𝜕

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝑣𝑥

𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑧

|=(

𝜕𝑦

−

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑣

) 𝑖⃗ + ( 𝜕𝑧𝑥 − 𝜕𝑧

𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑣𝑦

) 𝑗⃗ + ( 𝜕𝑥 − 𝜕𝑥

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦

⃗⃗ )𝑘

,

𝑣𝑧

entonces : 𝜔 ⃗⃗ =

1 1 ∇×𝑣 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑜𝑡(𝑣⃗), 2 2

(3.21)

o también ∇×𝑣 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑜𝑡(𝑣⃗) = 2𝜔 ⃗⃗.

(3.22)

Al vector ⃗∇⃗ × 𝑣 ⃗⃗⃗⃗ se conoce como vorticidad la cual indica la medida de la rotación de una partícula de fluido. Si la vorticidad en punto es cero, esto es, si ⃗∇⃗ × 𝑣 ⃗⃗⃗⃗ = 0,

entonces el flujo es irrotacional, luego se tiene que para un flujo irrotacional se requiere que: 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑦 − = 0, 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧 − = 0, 𝜕𝑧 𝜕𝑥

72

𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 − = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

(3.23)

DINÁMICA DE FLUIDOS

así:

𝑖⃗

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

1 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑦 1 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧 1 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜔 ⃗⃗ = ( − ) 𝑖⃗ + ( − ) 𝑗⃗ + ( − ) 𝑘⃗⃗. 2 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

el flujo como:

la partícula de fluido que llegue a ocupar ese punto en el espacio, está girando, se dice que el flujo en esa región es rotacional.

ÍNDICE

Así mismo, si la vorticidad en un punto en un campo de flujo es diferente de cero,

ANÁLISIS VECTORIAL

Para el resumen del flujo irrotacional se ha revisado el siguiente texto: ([8] págs. 173-174) 3.4.4.- La función corriente

∇∙𝑣 ⃗⃗⃗⃗ = 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑦

=−

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑥

(3.33)

𝜕

; luego si 𝑣𝑥 = 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝜕𝑦 𝜓(𝑥, 𝑦)) entonces:

𝑣𝑦 = − ∫

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Lo que significa que

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 + = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

ESTÁTICA DE FLUIDOS

La ecuación de continuidad para un flujo bidimensional incompresible es:

𝜕𝐹 𝑑𝑦, 𝜕𝑥

𝜕𝑣𝑦 𝜕 𝜕𝜓 = − ( ), 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝜓 (𝑣𝑦 + ) = 0. 𝜕𝑦 𝜕𝑥 La condición para la ecuación anterior es que es que: 𝜕𝜓

𝑣𝑦 + 𝜕𝑥 = 0, o también 𝑣𝑦 = −

𝜕𝜓 . 𝜕𝑥

(3.34a)

Así mismo se obtiene: 𝑣𝑥 =

𝜕𝜓 . 𝜕𝑦

(3.34b)

La función 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑦) se le llama función de corriente, la cual representa a las líneas de corriente. La derivada total de 𝜓(𝑥, 𝑦) es: 73

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

luego,

𝜕𝜓 𝜕𝑦

𝜕𝜓

y 𝑣𝑦 = − 𝜕𝑥 tenemos: 𝑑𝜓 = −𝑣𝑥 𝑑𝑥 + 𝑣𝑦 𝑑𝑦.

(3.35)

Si reemplazamos 𝑣𝑥 y 𝑣𝑦 en la ecuación de la velocidad angular en la rotación de

ANÁLISIS VECTORIAL

luego con 𝑣𝑥 =

𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦, 𝜕𝑥 𝜕𝑦

ÍNDICE

𝑑𝜓 =

o también. 𝜕2𝜓 𝜕2𝜓 + = ∇2 𝜓, 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

(3.36)

luego, para un flujo irrotacional: 𝜕 2𝜓 𝜕2𝜓 ∇ 𝜓= + = 0. 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

(3.37)

2

La función corriente y las ecuaciones precedentes se las puede revisar en: ([8] págs.175-176) 3.4.5.- Potencial de la velocidad De la condición de irrotacionalidad (ecuación 3.23)

𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑥

−

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦

= 0,

se observa que es la condición para que la ecuación 𝑣𝑥 𝑑𝑥 + 𝑣𝑦 𝑑𝑦 = 0 sea exacta, es decir, esta ecuación debe ser la derivada total de una función que la denotaremos como ∅, entonces: 𝑣𝑥 𝑑𝑥 + 𝑣𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑∅ =

𝜕∅ 𝜕∅ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Una función escalar 𝜙 se conoce como potencial de velocidad, si las componentes de la velocidad en todos los puntos de una región del flujo expresadas como: 74

DINÁMICA DE FLUIDOS

−2𝜔 =

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

1 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 1 𝜕 𝜕𝜓 𝜕 𝜕𝜓 1 𝜕2𝜓 𝜕2𝜓 ) = − ( 2 + 2 ), ( − ) = ( (− ) − 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝜔𝑧 =

ESTÁTICA DE FLUIDOS

un flujo bidimensional se obtiene:

3.4.6. Relación entre la función de corriente y el potencial de velocidad Para un flujo irrotacional se estableció las velocidades relacionadas con la función de corriente como: 𝜕𝜓 𝜕𝑦

y 𝑣𝑦 = −

𝜕𝜓 𝜕𝑥

además, para el flujo bidimensional, el potencial de la velocidad se definió como: 𝑣𝑥 =

𝜕𝜙 𝜕𝑥

y 𝑣𝑦 =

𝜕𝜙 𝜕𝑦

.

Comparando éstos resultados podemos concluir lo siguiente:

75

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL ESTÁTICA DE FLUIDOS CINEMÁTICA DE FLUIDOS

,

𝜕𝜓 𝜕𝜙 = , 𝜕𝑦 𝜕𝑥

(3.40a)

𝜕𝜓 𝜕𝜙 =− . 𝜕𝑥 𝜕𝑦

(3.40b)

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑣𝑥 =

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜕𝜙 3.38a , 𝜕𝑥 𝜕𝜙 3.38b 𝑣𝑦 = , 𝜕𝑦 𝜕𝜙 3.38c 𝑣𝑧 = , 𝜕𝑧 representan un flujo irrotacional. Luego, en forma vectorial, la velocidad de flujo es: ⃗⃗ , 𝑣⃗ = 𝑣𝑥 𝑖⃗ + 𝑣𝑦 𝑗⃗ + 𝑣𝑧 𝑘 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝜙 ⃗⃗ , 𝑣⃗ = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 o también (3.38) 𝑣⃗ = ∇𝜙. Reemplazando las ecuaciones anteriores en la condición de irrotacionalidad (ecuaciones 3.23), se tiene: (3.39a) 𝜕2𝜙 𝜕2𝜙 − = 0, 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑦𝑧 (3.39b) 𝜕2𝜙 𝜕2𝜙 − = 0, 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑧 (3.39c) 𝜕2𝜙 𝜕2𝜙 − = 0. 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 Las ecuaciones del potencial de la velocidad se encuentran en: ([6] págs. 505-506) 𝑣𝑥 =

⇒

𝜓=∫

∫

𝜕𝜙 𝑑𝑦 + 𝑓(𝑥) , 𝜕𝑥

𝜕𝜓 𝜕𝜙 = −∫ 𝜕𝑥 𝜕𝑦

⇒

𝜓 = −∫

(3.41a)

𝜕𝜙 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦). 𝜕𝑦

(3.41b)

ÍNDICE

𝜕𝜓 𝜕𝜙 =∫ 𝜕𝑦 𝜕𝑥

∫

ANÁLISIS VECTORIAL

Integrando las ecuaciones anteriores resultan:

potencial de la velocidad. Estás ecuaciones se encuentran en: ([6] págs. 511). En coordenadas polares se tienen las siguientes relaciones entre la función de

(3.42a)

𝜕∅ 𝜕𝜓 =− . 𝑟𝜕𝜃 𝜕𝑟

(3.42b)

La demostración formal de de las relaciones de la función corriente y el potencial

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

de velocidades en coordenadas polares se encuentran en: ([6] págs. 516-518).

3.4.7. Flujo uniforme 3.4.7.1. Flujo uniforme bidimensional Cuando la velocidad de flujo es constante, se tiene un flujo uniforme. El potencial de velocidad (definido en Ω ⊂ ℝ2) para un flujo uniforme bidimensional es de la forma: ∅ = 𝑣0 𝑥.

(3.43)

La representación del flujo uniforme se tiene en la figura 3.6, las líneas verticales son las de potencial constante. 76

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜕∅ 𝜕𝜓 = , 𝜕𝑟 𝑟𝜕𝜃

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

corriente y el potencial de velocidades.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Ecuaciones que permiten encontrar la función de corriente, si se conoce el

𝜙 = 𝐶´3 𝜙 = 𝐶´4

ÍNDICE

𝑦

𝜙 = 𝐶´1

𝜙 = 𝐶´5 𝜓 = 𝐶6

𝑣0

𝜓 = 𝐶4

𝑣0

𝜓 = 𝐶3

𝑣0

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑥

𝑣0

𝜓 = 𝐶1

Figura 3.6 Flujo uniforme bidimensional. La función corriente para este flujo se obtiene a partir de las ecuaciones 3.41 y de la ecuación 3.43, de la ecuación 3.41a se tiene: 𝜕𝜙 𝜕(𝑣0 𝑥) 𝑑𝑦 + 𝑓 (𝑥 ) = ∫ 𝑑𝑦 + 𝑓(𝑥 ) = 𝑣0 𝑦 + 𝑓 (𝑥 ), 𝜕𝑥 𝜕𝑥

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜓=∫

luego, de la ecuación 3.41b resulta, 𝜓 = −∫

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑣0

ANÁLISIS VECTORIAL

𝜓 = 𝐶5

𝜕𝜙 𝜕(𝑣0 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) = − ∫ 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) = 0 + 𝑔(𝑦), 𝜕𝑦 𝜕𝑦

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

comparando estos resultados tenemos la igualdad: 𝑣0 𝑦 + 𝑓(𝑥 ) = 0 + 𝑔(𝑦). Lo que indica que la función 𝑔(𝑦) debe ser igual a 𝑣0 𝑦, entonces: 𝜓 = 𝑣0 𝑦,

(3.44)

es la función de corriente para el flujo uniforme bidimensional; las líneas de corriente se obtienen mediante los valores constantes de 𝑣0 𝑦; su representación geométrica son las líneas horizontales de velocidad constante 𝑣0 como se observa en la figura 3.6.

77

Un flujo uniforme tridimensional en coordenadas esféricas con velocidad 𝑣0 tiene

ÍNDICE

3.4.7.2. Flujo uniforme tridimensional

3.45a

𝑣𝛽 = −𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝛽.

3.45b

La función de potencial y la función de corriente son respectivamente: 𝜙 = 𝑅𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛽,

3.46a

𝑣0 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝜓= . 2

3.46b

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Se recomienda verificar las ecuaciones anteriores en: ([6] págs. 550).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑣𝑅 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛽,

ANÁLISIS VECTORIAL

como ecuaciones de velocidad:

3.4.8. Fuentes y sumideros 3.4.8.1. Fuentes y sumideros bidimensionales

representado en la figura 3.7, donde emana fluido desde el origen y se dirige al infinito, si el flujo es hacia el origen entonces se considera un sumidero. La intensidad I de la fuente es el gasto o caudal de fluido a través de la circunferencia de radio r, entonces la velocidad en un punto a una distancia radial r será igual a la

DINÁMICA DE FLUIDOS

Se considera una fuente bidimensional a un patrón de líneas de corriente

atraviesa, es decir: 𝑣=

𝐼 , 2𝜋𝑟

3.47

luego, la velocidad en cualquier dirección es la derivada de la función potencial con respecto a esa dirección así se tiene: 𝑣𝑟 =

𝜕∅ 𝐼 = , 𝜕𝑟 2𝜋𝑟

3.48a

𝜕∅ = 0. 𝜕𝜃

3.48b

𝑣𝜃 =

78

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

intensidad del caudal, dividida entre la longitud de la circunferencia que la

𝐼 ln 𝑟, 2𝜋

(3.49)

donde 𝐼 es la intensidad de la fuente o sumidero, entonces I es el caudal que entra o sale a través de una superficie de control asociada a cualquier banda circular con centro en el origen.

ÍNDICE

∅=

ANÁLISIS VECTORIAL

Integrando la ecuación 3.48a se obtiene la función potencial

𝐼 ln 𝑟 = 𝐶´, 2𝜋

representan círculos concéntricos como se observa en la figura 3.7; así como también los valores constantes de la función corriente están representados por la

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

familia de rectas que salen del origen.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

∅=

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Los valores de potencial constante, es decir

Figura 3.7 Fuente bidimensional La función de corriente la obtenemos a partir de la ecuación 3.34 junto con las ecuaciones que relacionan la función de potencial y de corriente en coordenadas polares; al integrar las ecuaciones 3.42 se tiene: ∫

𝜕𝜓 𝜕∅ =∫ ⇒ 𝑟𝜕𝜃 𝜕𝑟 79

𝜓 = ∫𝑟

𝜕∅ 𝑑𝜃 + 𝑔(𝑟), 𝜕𝑟

𝜕𝜓 𝜕∅ =∫ ⇒ 𝜕𝑟 𝑟𝜕𝜃

𝜓 = −∫

1 𝜕∅ 𝑑𝑟 + ℎ(𝜃 ). 𝑟 𝜕𝜃

ÍNDICE

∫−

𝐼 1 𝜕∅ 1 𝜕(2𝜋 ln 𝑟) 𝜓 = −∫ 𝑑𝑟 + ℎ(𝜃 ) = − ∫ 𝑑𝑟 + ℎ(𝜃 ) ⇒ 𝜓 = 0 + ℎ(𝜃 ). 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 Al igualar estos resultados tenemos:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝐼 𝜃 + 𝑔 (𝑟 ) = 0 + ℎ (𝜃 ), 2𝜋 o también 𝐼 𝜃 = ℎ (𝜃 ), 2𝜋 Lo que indica que la función ℎ debe ser la función de corriente buscada, luego: 𝜓=

𝐼 𝜃. 2𝜋

3.50

De la función de corriente se obtienen las líneas de corriente dadas por las ecuaciones: 𝜓=

𝐼 𝜃 = 𝐶. 2𝜋

El resumen precedente se ha tomado de:([6] págs. 524-525;[10]págs.146-148). 3.4.8.2. Fuentes y sumideros tridimensionales Una fuente tridimensional se constituye en un punto a través del cual emana fluido en todas direcciones, si el gasto es uniforme a través de la superficie que encierra a la fuente, entonces la velocidad en un punto situado a una distancia R será igual a

80

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝐼 𝜃 + 𝑔 (𝑟 ), 2𝜋

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜓=

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝐼 𝜕(2𝜋 ln 𝑟) 𝜕∅ 𝜓 = ∫𝑟 𝑑𝜃 + 𝑔(𝑟) = ∫ 𝑟 𝑑𝜃 + 𝑔(𝑟) ⇒ 𝜕𝑟 𝜕𝑟

ANÁLISIS VECTORIAL

Entonces de obtiene:

en la fuente, entonces: 𝑚 . 4𝜋𝑅2

3.51

Ya que la única componente de velocidad esférica que es diferente de cero es 𝑣𝑅 . Analizando el campo de velocidades se concluye que el flujo sigue radialmente hacia afuera desde el origen, entonces se tiene un flujo desde una fuente

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑣𝑅 =

ÍNDICE

la intensidad m del gasto dividida para el área de una esfera con su centro ubicado

derivada de la función potencial en esa dirección, entonces la velocidad en la dirección radial será: 3.52

de donde al integrar resulta la función de potencial para una fuente tridimensional: 𝑚 . 4𝜋𝑅

3.53

La función de corriente correspondiente a una fuente tridimensional es: 𝜓=−

𝑚 𝑐𝑜𝑠𝛽, 4𝜋

3.54

donde 𝑚 es el caudal o intensidad de la fuente o del sumidero tridimensional. Las ecuaciones de las fuentes y sumideros tridimensionales se las ha tomado de: ([6] págs. 551; [10] págs.146-148). 3.4.9. Dobletes 3.4.9.1. Doblete bidimensional Cuando combinamos o superponemos una fuente y un sumidero bidimensionales, se obtiene un doblete bidimensional; la función de potencial y las líneas de potencial constante, tienen como ecuaciones respectivamente: ∅=

81

𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑟

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜙=−

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝜕∅ 𝑚 = , 𝜕𝑅 4𝜋𝑅2

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Al igual que en el flujo bidimensional, la velocidad en cualquier dirección es la

ESTÁTICA DE FLUIDOS

tridimensional.

ÍNDICE

𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐶´ , 𝑟

que son los valores constantes de la función de corriente, así tenemos: 𝜓=−

𝑋𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑟

𝑋𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐶. 𝑟 En la figura 3.8 se observan los valores constante de la función de potencial que

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Utilizando la ecuación 3.42a, resulta la función de corriente y las líneas de corriente,

ANÁLISIS VECTORIAL

Donde 𝑥 es la intensidad del doblete bidimensional

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

son los círculos con centro en el eje x, mientras, las líneas de corriente son los

Figura 3.8 Red de flujo para un doblete ([6] págs. 531). La explicación más completa del tema precedente se la encuentra en: ([6] págs. 528-531; [10] págs. 450-452). 3.4.9.2. Doblete tridimensional La función de potencial y de corriente para el doblete tridimensional en coordenadas esféricas están dadas respectivamente por las ecuaciones: ∅=− 82

𝜇𝑐𝑜𝑠𝛽 , 𝑅2

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

círculos con centro en el eje y.

𝜇𝑠𝑒𝑛2 𝛽 , 𝑅

ÍNDICE

𝜓=

3.5.- Flujo de un fluido alrededor de una esfera y de un obstáculo cilíndrico. El estudio del flujo alrededor de una esfera y de un obstáculo cilíndrico constituye una idealización matemática que requiere el análisis previo de otros flujos más simples como son: el flujo uniforme, fuentes, sumideros, doblete. 3.5.1.-Flujo alrededor de un obstáculo cilíndrico Se obtiene un modelo matemático del flujo alrededor de un cilindro, cuando combinamos el flujo uniforme y un doblete bidimensionales de la forma indicada en la figura 3.9

ESTÁTICA DE FLUIDOS

553).

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

La explicación detallada de éstas ecuaciones se la encuentra en: ([6] páginas. 552-

ANÁLISIS VECTORIAL

donde 𝜇 es la intensidad o caudal del doblete.

𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑟

𝜓 = 𝑣0 𝑦 −

𝑋𝑠𝑒𝑛𝜃 . 𝑟

Si analizamos la línea de corriente cuyo valor es cero, es decir: 𝜓 = 𝑣0 𝑦 −

𝑋𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑋𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑋 = 𝑣0 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 − = 𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝑣0 𝑟 − ) = 0. 𝑟 𝑟 𝑟

Se obtienen valores para 𝜃 y 𝑟 que satisfacen esta condición, así, para 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑋

se tiene, 𝜃 = 0 o también 𝜃 = 𝜋, luego, para (𝑣0 𝑟 − 𝑟 ) = 0 se tiene 𝑟 = √𝑋/𝑣0 . Esto indica que 𝜓 = 0 cuando la línea de corriente tiene una dirección de 0 grados y de 180 grados con respecto al eje x, además cuando describe un círculo de radio 𝑟 = √𝑋/𝑣0 como se indica en la figura 3.9 . Esta sería la frontera de un cilindro

83

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

∅ = 𝑣0 𝑥 +

DINÁMICA DE FLUIDOS

El potencial y la función de corriente combinados resultan:

Figura 3.9 Idealización del flujo alrededor de un cilindro ([6] pág. 536).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

de la función corriente.

ÍNDICE

cuyo eje coincide con el eje z, con un flujo representado por los valores constantes

𝑣𝑟 =

𝜕∅ , 𝜕𝑟

𝑣𝜃 =

𝜕∅ , 𝑟𝜕𝜃

luego, la velocidad radial y tangencial para un flujo alrededor de un cilindro son respectivamente: 𝑣𝑟 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜃 −

𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑟2

𝑣𝜃 = −𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝜃 −

𝑋𝑠𝑒𝑛𝜃 . 𝑟2

El resumen anterior se encuentra en: ([6] págs. 535-536). 3.5.2.- Flujo alrededor de una esfera Mediante la combinación de un flujo uniforme con velocidad 𝑣0 y un doblete tridimensional se obtiene un flujo alrededor de una esfera, entonces, la función de corriente combinada será:

84

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

ecuaciones:

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Las velocidades radial y tangencial en coordenadas polares se obtiene mediante las

𝑣0 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝜇𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + . 2 𝑅

ÍNDICE

𝜓=

A partir de ésta ecuación establecemos las condiciones para las cuales la función de

𝜓=

𝑣0 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑣0 𝑏3 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + = 0, 2 2𝑅 𝑣0 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 2 𝑏3 (𝑅 − ) = 0. 2 𝑅

Esta ecuación indica que 𝜓 = 0 cuando 𝛽 = 0 o también cuando 𝛽 = 𝜋, o cuando

ESTÁTICA DE FLUIDOS

esta esfera tendrá como condición inicial 𝜓 = 0, entonces, si 𝜇 = 𝑣0 𝑏3 /2 se tiene:

ANÁLISIS VECTORIAL

corriente forma una superficie en forma de una esfera, sabemos que la frontera de

DINÁMICA DE FLUIDOS

esfera cuando 𝜓 = 0, situación que se indica en la figura 3.10.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑏 = 𝑅, y, precisamente, estas condiciones hacen que la línea de corriente forme una

Se han resumido las ecuaciones del flujo alrededor de una esfera de ([6] pág. 553). 3.6.- Importancia de los modelos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real se llama modelo matemático. Los fenómenos descritos pueden ser físicos, como por ejemplo los modelos matemáticos en mecánica de fluidos, estudiados en este trabajo; sociales como el crecimiento de la población; o económicos como la capitalización continua del interés. El modelado de muchos de los sistemas físicos comprende la obtención de ecuaciones que relacionan los cambios entre las variables que intervienen en el

85

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Figura 3.10 Idealización del flujo alrededor de una esfera ([6] pág. 554).

expresadas como derivadas, entonces el modelo matemático es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales, funcionales lineales o no lineales en dimensión

ÍNDICE

sistema; estas tazas o razones de cambio de una o más variables son las hipótesis

Cuando en un sistema físico se obtiene un modelo matemático que involucra una tasa de cambio, es decir las variables, dependen del tiempo 𝑡, la solución del modelo expresa el estado del sistema, así, se puede establecer la condición del sistema en

ANÁLISIS VECTORIAL

finita o infinita.

estudiar varios aspectos de un sistema físico, sin llevar a cabo experimentos reales o a escala que resultan caros y demoran demasiado. El enfoque experimental de un fenómeno, es decir tomando mediciones y haciendo pruebas tiene la ventaja de ser real, pero además de ser caro y tardado, como se mencionó, es poco práctico en comparación con el enfoque analítico, el cual además de lo mencionado, tiene la ventaja de que no es caro y es mucho más rápido, aunque

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ocurra. Es posible también mediante formulación de un modelo matemático,

ESTÁTICA DE FLUIDOS

el pasado, presente y futuro, haciendo posible predecir un suceso antes de que este

DINÁMICA DE FLUIDOS

los resultados dependen de las hipótesis, idealizaciones y aproximaciones

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

establecidas en el análisis.

86

ÍNDICE

CAPÍTULO 4 DINÁMICA DE FLUIDOS NO VISCOSOS

En este capítulo se deducen las ecuaciones de Euler, la ecuación de conservación de energía, la ecuación de Bernoulli y las ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuación de Euler se deduce a partir de la segunda ley de Newton, la ecuación de energía es

ANÁLISIS VECTORIAL

Resumen

se refiere a la conservación de la energía cinética, potencial y energía de flujo de un fluido a lo largo de una línea de corriente, además se muestran algunas aplicaciones. Las ecuaciones de Navier-Stokes son las formas diferenciales de la segunda ley de

ESTÁTICA DE FLUIDOS

el enunciado del principio de conservación de la energía, la ecuación de Bernoulli

En cada tema tratado se indica la bibliografía utilizada y los textos recomendados para aclarar y profundizar el presente trabajo.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Newton.

Se define el momento lineal de una masa dm al producto vectorial 𝑑𝑚𝑣⃗. La segunda ley de Newton relacionada al momento lineal queda determinada como: 𝑑𝐹 =

𝐷 (𝑑𝑚𝑣⃗ ). 𝐷𝑡

(4.1)

DINÁMICA DE FLUIDOS

4.1.- Ecuación de Euler

𝑑𝐹 =

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Esta ecuación puede escribirse como: 𝐷 𝐷𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ (𝑑𝑚𝑣⃗ ) = 𝑑𝑚 = 𝑑𝑚 (𝑢 +𝑣 +𝑤 + ), 𝐷𝑡 𝐷𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

cuando 𝑣⃗ representa un campo vectorial de velocidades 𝑣⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Luego, dividiendo para dm se obtiene: 𝑑𝐹 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ = (𝑢 +𝑣 +𝑤 )+ . 𝑑𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

(4.2)

Las fuerzas que actúan sobre un elemento infinitesimal de masa dm son las fuerzas debido a la presión (fuerza superficial=−(∇𝑝)𝑑𝑉) y la fuerza debida a la gravedad (peso=−(𝑑𝑚)𝑔𝑗⃗ = −(𝜌𝑑𝑉)𝑔(∇y). Luego se tiene 𝑑𝐹 = −(∇𝑝)𝑑𝑉 − (𝜌𝑑𝑉 )𝑔(∇y), 87

ecuación de Euler: 1 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ − ∇𝑝 − 𝑔∇𝑦 = (𝑢 +𝑣 +𝑤 )+ 𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝐷𝑣⃗ = . 𝐷𝑡

ÍNDICE

𝑑𝐹 −(∇𝑝)𝑑𝑉 − (𝜌𝑑𝑉 )𝑔(∇y) (4.3) = 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝑉 1 = − ∇𝑝 − 𝑔∇y. 𝜌 Con los resultados anteriores; igualando las ecuaciones 4.2 y 4.3, se establece la

ANÁLISIS VECTORIAL

Así tenemos

ESTÁTICA DE FLUIDOS

(4.4)

1 𝜕𝑣⃗ − ∇𝑝 − 𝑔∇y = (𝑣⃗ ∙ ∇)𝑣⃗ + 𝜌 𝜕𝑡

(4.5)

ya que 𝜕

,

𝜕

,

𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

⃗⃗ 𝜕𝑣

⃗⃗ 𝜕𝑣

⃗⃗ 𝜕𝑣

)) 𝑣⃗ = 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑧.

DINÁMICA DE FLUIDOS

(𝑣⃗ ∙ ∇)𝑣⃗ = ((𝑢, 𝑣, 𝑤) ∙ (

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Esta ecuación se la puede escribir como:

La ecuación de Euler se ha tomado de ([6] págs. 240,241). 4.2.- Conservación de la energía. Ecuación de Bernoulli El principio de conservación de energía o balance de energía se expresa como: (4.6)

ecuación que indica que la energía neta transferida a un sistema, o extraída de él durante un proceso, es igual al cambio en el contenido de energía de ese sistema. Se extrae o transfiere energía por medio de calor o trabajo, en la ecuación anterior, 𝐸𝑒𝑛𝑡 es la razón de transferencia de energía hacía dentro y 𝐸𝑠𝑎𝑙 es la razón de transferencia hacia afuera del sistema, E representa la energía total. La primera ley de la termodinámica establece que el calor agregado Q a un sistema, menos el trabajo W realizado por éste depende sólo de los estados inicial y final del sistema. La primera ley de la termodinámica quedará expresada como: 𝑄 − 𝑊 = 𝐸𝑒𝑛𝑡 − 𝐸𝑠𝑎𝑙 = ∆𝐸 , 88

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝐸𝑒𝑛𝑡 − 𝐸𝑠𝑎𝑙 = ∆𝐸,

como se trata de un sistema, utilizamos la derivada sustancial así:

control, se aplica el teorema de transporte de Reynolds (ecuación 3.14) 𝐷𝑁𝑠𝑡 𝐷𝑡

𝜕

= ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝜂𝑑𝑉 + ∬𝑆𝐶 𝜂𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴,

según el cual “la razón de cambio con respecto al tiempo de la propiedad N del sistema es igual a la razón de cambio con respecto al tiempo de N en el volumen de control más el flujo neto de N hacia afuera del volumen de control debido a la masa que cruza la superficie de control”. Se reemplaza N con la energía E y 𝜂 con la energía por unidad de masa e. 𝐷𝐸𝑠𝑡 𝜕 = ∭ 𝜌𝑒𝑑𝑉 + ∬ 𝑒𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴, 𝐷𝑡 𝜕𝑡 𝑉𝐶

(4.8)

𝑆𝐶

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Para obtener una relación de la conservación de la energía para un volumen de

ANÁLISIS VECTORIAL

(4.7)

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝐷𝐸 𝑑𝑄 𝑑𝑊 = − . 𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

ÍNDICE

ecuación que en forma diferencial se expresa mediante 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 = 𝑑𝐸, luego,

𝑑𝑄 𝑑𝑊 𝜕 − = ∭ 𝜌𝑒𝑑𝑉 + ∬ 𝑒𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑉𝐶

(4.9)

𝑆𝐶

DINÁMICA DE FLUIDOS

luego resulta:

de control por calor y trabajo, es igual a la tasa de incremento de energía en el volumen de control más la tasa de flujo de salida de energía desde el volumen de control”. ([6] pág. 203).

El trabajo desarrollado por el sistema sobre sus alrededores se puede descomponer en el trabajo efectuado por las fuerzas de presión sobre las fronteras móviles 𝑊𝑝 y el trabajo de las fuerzas cortantes 𝑊𝑠 , o sea 𝑊 = 𝑊𝑝 + 𝑊𝑠 . El trabajo en principio es fuerza multiplicada por una distancia (𝑊 = 𝐹. 𝑠 = 𝑝. 𝐴. 𝑠), además la distancia recorrida por unidad de tiempo es velocidad, con esto se establece que la razón del trabajo respecto al tiempo de las fuerzas de presión sobre un área infinitesimal 𝑑𝐴 es: 89

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Ecuación que indica que “la tasa neta de energía transferida hacia el volumen

(4.10)

ÍNDICE

𝑑𝑊𝑝 𝑑𝑆 = 𝑝𝑑𝐴 = 𝑝(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴, 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑆𝐶

(4.11)

𝑆𝐶

Desarrollando el miembro izquierdo de la ecuación 4.9 y reemplazando la ecuación anterior (4.11) tenemos:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝑑𝑄 𝑑𝑊 𝑑𝑄 𝑑𝑊𝑝 𝑑𝑊𝑠 𝑑𝑄 𝜌 𝑑𝑊𝑠 − = − − = − ∬ 𝑝 (𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 − , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑡 𝑆𝐶

DINÁMICA DE FLUIDOS

igualando este resultado con la parte derecha de la ecuación 4.9 resulta:

𝑑𝑄 𝜌 𝑑𝑊𝑠 𝜕 − ∬ 𝑝 (𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 − = ∭ 𝜌𝑒𝑑𝑉 + ∬ 𝑒𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴, 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑆𝐶

𝑉𝐶

𝑆𝐶

𝑑𝑄 𝑑𝑊𝑠 𝜕 𝜌 − = ∭ 𝜌𝑒𝑑𝑉 + ∬ 𝑒𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 + ∬ 𝑝 (𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜌 𝑉𝐶

𝑆𝐶

𝑆𝐶

luego, 𝑑𝑄 𝑑𝑊𝑠 𝜕 𝑝 − = ∭ 𝜌𝑒𝑑𝑉 + ∬ ( + 𝑒) 𝜌(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜌 𝑉𝐶

(4.12)

𝑆𝐶

Las ecuaciones de la conservación de la energía se las ha resumido de los siguientes textos: ([6] págs. 203-205; [7] págs. 202-206; [10] págs.126-227). A continuación resumimos la ecuación de Bernoulli del siguiente texto [7] págs. 185-188).

90

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑑𝑊𝑝 𝜌 = ∬ 𝑝(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 = ∬ 𝑝 (𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝜌

ESTÁTICA DE FLUIDOS

tiene:

ANÁLISIS VECTORIAL

luego, aplicando la última ecuación a toda la superficie del volumen de control se

permanente (o estacionario) e incompresible cuando las fuerzas de fricción son

187. Analizaremos el movimiento en el plano XY de una partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente en la dirección s. Las fuerzas que actúan sobre este

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Figura 4.1. Flujo permanente a lo largo de una línea de corriente [7] pág.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

despreciables.

ÍNDICE

La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, velocidad y elevación de un fluido

tenemos: ∑ 𝐹𝑠 = 𝑚𝑎𝑠 , 𝑑𝑣 , 𝑑𝑠 𝑑𝑣 𝑝𝑑𝐴 − (𝑝 + 𝑑𝑝)𝑑𝐴 − (𝜌𝑑𝐴𝑑𝑠)𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = (𝜌𝑑𝐴𝑑𝑠)𝑣 , 𝑑𝑠 𝑑𝑣 𝑝𝑑𝐴 − 𝑝𝑑𝐴 − 𝑑𝑝𝑑𝐴 − (𝜌𝑑𝐴𝑑𝑠)𝑔(𝑠𝑒𝑛𝜃) = (𝜌𝑑𝐴𝑑𝑠)𝑣 , 𝑑𝑠 𝑑𝑦 𝑑𝑣 −𝑑𝑝𝑑𝐴 − (𝜌𝑑𝐴𝑑𝑠)𝑔( ) = (𝜌𝑑𝐴𝑑𝑠)𝑣 , 𝑑𝑠 𝑑𝑠 −𝑑𝑝 − 𝜌𝑔𝑑𝑦 = (𝜌)𝑣𝑑𝑣, 𝑝𝑑𝐴 − (𝑝 + 𝑑𝑝)𝑑𝐴 − 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = (𝜌(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛))𝑣

−𝑑𝑝 − 𝜌𝑔𝑑𝑦 − (𝜌)𝑣𝑑𝑣 = 0, 𝑑𝑝 + 𝑔𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑣 = 0, 𝜌 𝑑𝑝 1 + 𝑔𝑑𝑦 + 𝑑𝑣 2 = 0, 𝜌 2 91

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

componente del peso en la dirección s. Partiendo de la segunda ley de Newton

DINÁMICA DE FLUIDOS

elemento de fluido son la presión que actúa sobre ambos lados (figura 4.1) y la

𝑑𝑝 1 + 𝑔 ∫ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑣 2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝜌 2 𝑑𝑝 1 2 + 𝑣 + 𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝜌 2

(4.13)

Esta es la ecuación de Bernoulli para un flujo permanente, luego, si el flujo es además incompresible (𝜌=constante) se tiene: 𝑝 1 2 + 𝑣 + 𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝜌 2

(4.14)

En términos de energía, la ecuación de Bernoulli indica que en un flujo permanente, 𝑝

ANÁLISIS VECTORIAL

∫

1

la suma de la energía de flujo (𝜌), la energía cinética (2 𝑣 2 ) y la energía potencial

ESTÁTICA DE FLUIDOS

∫

ÍNDICE

integrando la última ecuación tenemos:

si se conocen la presión, densidad, velocidad y elevación, luego, entre dos puntos se tiene la siguiente ecuación: 𝑝1 1 2 𝑝2 1 + 𝑣1 + 𝑔𝑦1 = + 𝑣22 + 𝑔𝑦2 . 𝜌 2 𝜌 2

(4.15)

4.3.- Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli.

DINÁMICA DE FLUIDOS

El valor de la constante se puede calcular en cualquier punto de la línea de corriente,

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

(𝑔𝑦) de una partícula de flujo es constante a lo largo de una línea de corriente.

La minería hidráulica se desarrollo en Estados Unidos debido al descubrimiento de que la energía del agua podía ser enorme. Al tener acceso a fuentes de agua muy elevadas Los mineros construían tuberías de madera y conectaban boquillas a sus extremos, creando mangueras que podían lanzar agua a altas velocidades hacia las laderas, las cuales se desintegraban dejando el oro al descubierto.

92

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Minería

1 𝑝 + 𝜌𝑣 2 = 𝑘, 2 lo que indica que cuando la rapidez de un fluido aumenta, su presión disminuye .

ÍNDICE DINÁMICA DE FLUIDOS

Gracias a la forma de los perfiles aerodinámicos, el ala es curva en su cara superior y está angulada respecto a las líneas de corriente incidentes. El fluido que circula por arriba recorre más distancia que el de abajo en el mismo tiempo: tiene mayor velocidad por lo tanto menor presión. Hay una fuerza neta hacia arriba: la sustentación

ANÁLISIS VECTORIAL

El principio de Bernoulli postula que la suma de la energía potencial más la cinética de un fluido es constante, lo que conduce a obtener la ecuación

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Aeronáutica

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

El principio científico para extraer oro fue establecido por el matemático suizo Daniel Bernoulli en 1738. Bernoulli descubrió que si se hace pasar una cantidad de de agua a través de una pequeña abertura como una boquilla, la presión que se genera detrás de ésta abertura aumentará la velocidad del agua creando un chorro a propulsión.

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Automóviles

En el auto de formula 1 el perfil del ala es invertido. El fluido inferior circula más rápido. El superior más lento. Hay una fuerza neta hacia abajo. En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente.

93

Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas.

ÍNDICE

Chimeneas

Si fluye agua de una manguera conectada a una tubería principal que está a 400kPa de presión manométrica. Un niño coloca su dedo pulgar para cubrir la mayor parte

ANÁLISIS VECTORIAL

Agua rociada en el aire

velocidad y hacia arriba. ¿A qué altura máxima podría llegar el chorro? Solución: Tomamos dos puntos de referencia, el primero a la salida del chorro de agua y el segundo el nivel más alto al cual llega el agua. De esta forma se tiene la

ESTÁTICA DE FLUIDOS

de la salida de la manguera, haciendo que salga un chorro delgado de agua a alta

𝑝1 𝜌

1

+ 2 𝑣12 + 𝑔𝑦1 =

𝑝2 𝜌

1

+ 2 𝑣22 + 𝑔𝑦2

donde:

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ecuación de Bernoulli como sigue:

𝑣1 ≅ 0 es el valor de la velocidad dentro de la manguera y 𝑣2 = 0, 𝑦1 = 0 y 𝑦2 es la incógnita, representa la altura. Reemplazando tenemos: 𝑝1 𝜌

+0+0 =

𝑝2 𝜌

+ 0 + 𝑔𝑦2 ,

𝑦2 =

𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑝𝑚𝑎𝑛 400𝑘𝑃𝑎 = = = 40,8 𝑚. 𝑘𝑔 𝑚 𝜌𝑔 𝜌𝑔 1000 3 (9,8 2 ) 𝑚 𝑠

Ejercicio tomado de [7]pág. 194-195.

94

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑘𝑔

𝜌 = 1000 𝑚3 es la densidad del agua,

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑝1 es la presión absoluta en el punto 1 y 𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 es la presión atmosférica,

tanque. Solución Se tiene un flujo permanente, incompresible, con fuerzas de fricción despreciables, aplicamos la ecuación de Bernoulli para este caso: 𝑝1 1 2 𝑝2 1 + 𝑣1 + 𝑔𝑦1 = + 𝑣22 + 𝑔𝑦2 . 𝜌 2 𝜌 2 Se tiene los siguientes valores 𝑣1 = 0, 𝑦2 = 0 , 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 , así reemplazando en la ecuación de Bernoulli resulta:

𝜌

+ 0 + 𝑔𝑦1 =

𝑝𝑎𝑡𝑚 𝜌

ÍNDICE

1

+ 2 𝑣22 + 0 ,

de donde se obtiene la velocidad de salida del fluido: 𝑣 = √2𝑔𝑦1 . 4.4.- Ecuación de Navier-Stokes. A continuación se deducen las ecuaciones de Navier-Stokes, tomadas del texto: ([8] págs. 157- 163), el mismo que se menciona en la bibliografía. Las ecuaciones de Navier-Stokes son las expresiones diferenciales de la segunda ley de Newton del movimiento correspondientes a un fluido newtoniano, tanto para fluidos compresibles como para incompresibles.

95

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑝𝑎𝑡𝑚

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

un conducto en la parte de abajo, determinar la velocidad de flujo que sale del

DINÁMICA DE FLUIDOS

En el tanque representado en la figura entra flujo por la parte superior, y sale por

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

Cálculo de la velocidad de flujo que sale de un tanque

“la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control es igual a la rapidez neta de flujo de momento, hacia afuera del volumen de control más la

ÍNDICE

La segunda ley de newton correspondiente a un volumen de control establece que

se tiene. 𝜕 ∑ 𝐹 = ∭ 𝜌𝑣⃗𝑑𝑉 + ∬ 𝜌𝑣⃗( 𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴. 𝜕𝑡 𝑉𝐶

(4.16)

𝑆𝐶

ANÁLISIS VECTORIAL

rapidez de cambio de momento dentro del volumen de control”; en la forma integral

ecuación 4.16 entre el volumen de control Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧 y llevando al límite cuando sus dimensiones tienden a cero Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧 → 0 se tiene: 𝜕 ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑣⃗𝑑𝑉 ∑𝐹 ∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗( 𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 lim = lim + lim . ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

𝑦

(4.17)

𝜏𝑦𝑥 |𝑦+∆𝑦

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

volumen de control en forma cúbica como indica la figura 4.2, dividiendo la

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Para hallar las formas diferenciales de esta última ecuación supondremos un

𝜎𝑥𝑥 |𝑥+∆𝑥

𝜏𝑧𝑥 |𝑧+Δ𝑧 𝜏𝑦𝑥 |𝑦

𝑥

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜏𝑧𝑥 |𝑧

𝜎𝑥𝑥 |𝑥

Figura 4.2 Algunos esfuerzos normales y de deformación en la dirección del eje x.

Resolviendo el miembro izquierdo de la ecuación 4.17 se obtiene la suma de límites: Σ𝐹𝑦 Σ𝐹 ΣFx ΣFz = lim + lim + lim . ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 lim

Para hallar

lim

ΣFx

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

consideramos además de la fuerza gravitatoria, las

fuerzas que actúan en la dirección x, que se deben a los esfuerzos normales y cortantes (figura 4.2), luego:

96

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝑧

dividiendo para el volumen y llevando al límite cuando sus dimensiones tienden a

ÍNDICE

Σ𝐹𝑥 = (𝜎𝑥𝑥 |𝑥+∆𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 |𝑥 )Δ𝑦Δ𝑧 + (𝜏𝑦𝑥 |𝑦+∆𝑦 − 𝜏𝑦𝑥 |𝑦 )Δ𝑥Δ𝑧 + (𝜏𝑧𝑥 |𝑧+Δ𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 |𝑧 )Δ𝑥Δ𝑦 + Δ𝑚𝑔𝑥 ,

∆𝑥∆𝑦∆𝑧

,

simplificando y aplicando la definición de la derivada se obtiene la fuerza resultante en la dirección x ΣFx 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥 = + + + 𝜌𝑔𝑥 . ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 lim

En forma similar calculamos

Σ𝐹𝑦

lim

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

y

lim

ΣFz

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

obteniendo la suma

de las fuerzas externas para el volumen del cuerpo de la figura 4.2: Σ𝐹 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 =(

DINÁMICA DE FLUIDOS

(4.17a)

lim

𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥 + + + 𝜌𝑔𝑥 ) 𝑖⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

+(

𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝜏𝑧𝑦 + + + 𝜌𝑔𝑦 ) 𝑗⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

+(

𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝜎𝑧𝑧 ⃗⃗ . + + + 𝜌𝑔𝑧 ) 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Al resolver el primer término del lado derecho de la ecuación 4.17 se tiene: lim

𝜕 ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑣⃗ 𝑑𝑉

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0

∆𝑥∆𝑦∆𝑧

𝜕 𝜕 𝜌𝑣⃗𝑑𝑉 𝜌𝑣⃗∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕 𝜕𝑡 𝜕𝑡 = = = 𝜌𝑣. ⃗⃗⃗ ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑡

Así se obtiene: lim

ESTÁTICA DE FLUIDOS

(𝜎𝑥𝑥 |𝑥+∆𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 |𝑥 )Δ𝑦Δ𝑧 + (𝜏𝑦𝑥 |𝑦+∆𝑦 − 𝜏𝑦𝑥 |𝑦 )Δ𝑥Δ𝑧 + (𝜏𝑧𝑥 |𝑧+Δ𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 |𝑧 )Δ𝑥Δ𝑦 + Δ𝑚𝑔𝑥

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0

𝜕 ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑣⃗ 𝑑𝑉 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

𝜕 𝜕𝜌 = 𝜌 𝑣⃗ + 𝑣⃗ . 𝜕𝑡 𝜕𝑡

(4.17b)

Para el segundo término del lado derecho de la ecuación 4.17 analizamos el flujo de momento a través del volumen del cuerpo de la figura 4.2, En la dirección del eje x: 𝜌𝑣⃗𝑣𝑥 |𝑥+∆𝑥 − 𝜌𝑣⃗𝑣𝑥 |𝑥 . 97

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

=

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ΣFx ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 lim

ANÁLISIS VECTORIAL

cero tenemos:

ÍNDICE

En la dirección del eje y: 𝜌𝑣⃗𝑣𝑦 |𝑦+∆𝑦 − 𝜌𝑣⃗𝑣𝑦 |𝑦 . En la dirección del eje z: 𝜌𝑣⃗𝑣𝑧 |𝑧+∆𝑧 − 𝜌𝑣⃗𝑣𝑧 |𝑧 . Luego: ∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 (𝜌𝑣⃗𝑣𝑥 |𝑥+∆𝑥 − 𝜌𝑣⃗𝑣𝑥 |𝑥 )∆𝑦∆𝑧 = lim ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 (𝜌𝑣⃗𝑣𝑦 |𝑦+∆𝑦 − 𝜌𝑣⃗𝑣𝑦 |𝑦 )∆𝑥∆𝑧 + lim ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 (𝜌𝑣⃗𝑣𝑧 |𝑧+∆𝑧 − 𝜌𝑣⃗𝑣𝑧 |𝑧 )∆𝑥∆𝑦 + lim , ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

lim

aplicando la definición de derivada se tiene:

∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 𝜕 𝜕 𝜕 (𝜌𝑣⃗𝑣𝑥 ) + (𝜌𝑣⃗𝑣𝑧 ), = (𝜌𝑣⃗𝑣𝑦 ) + ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

lim

calculando las derivadas parciales: ∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 lim

𝜕 𝜕 (𝜌𝑣𝑥 ) + (𝜌𝑣𝑥 ) 𝑣⃗) 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 (𝜌𝑣𝑦 ) + (𝜌𝑣𝑦 ) 𝑣⃗) + (𝑣⃗ (𝜌𝑣𝑦 ) + (𝜌𝑣𝑧 ) 𝑣⃗), 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧

DINÁMICA DE FLUIDOS

+ (𝑣⃗

(𝑣⃗

agrupando convenientemente se obtiene:

∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 𝜕 𝜕 𝜕 (𝜌𝑣𝑧 )] = 𝑣⃗ [ (𝜌𝑣𝑥 ) + (𝜌𝑣𝑦 ) + ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 + 𝜌 [𝑣𝑥

𝜕 𝜕 𝜕 𝑣⃗ + 𝑣𝑦 𝑣⃗ + 𝑣𝑧 𝑣⃗], 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

mediante la forma diferencial de la ecuación de la continuidad (que se indica màs adelante) se llega al siguiente resultado:

(4.17c)

∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 lim

= −𝑣⃗

𝜕𝜌 𝜕 𝜕 𝜕 + 𝜌 [𝑣𝑥 𝑣⃗ + 𝑣𝑦 𝑣⃗ + 𝑣𝑧 𝑣⃗]. 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Forma diferencial de la ecuación de la continuidad: 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝜌 (𝜌𝑣𝑥 ) + (𝜌𝑣𝑦 ) + (𝜌𝑣𝑧 ) + = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

98

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

lim

Sumando las ecuaciones 4.17b y 4.17c 𝜕 ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑣⃗ 𝑑𝑉

lim

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0

∆𝑥∆𝑦∆𝑧

+

lim

⃗⃗) 𝑑𝐴 ∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗⃗(𝑣⃗⃗ ∙ 𝑛

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0

∆𝑥∆𝑦∆𝑧

=𝜌

𝜕 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕 𝜕 𝜕 𝑣⃗ + 𝑣⃗ −𝑣 ⃗⃗ + 𝜌 [𝑣𝑥 𝑣⃗⃗ + 𝑣𝑦 𝑣⃗⃗ + 𝑣𝑧 𝑣⃗⃗], 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

+

lim

ANÁLISIS VECTORIAL

ÍNDICE

La deducción de ésta ecuación se encuentra en [6] pág238.

∆𝑥∆𝑦∆𝑧

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0

⃗⃗(𝑣 ⃗⃗∙𝑛 ⃗⃗)𝑑𝐴 ∬𝑆𝐶 𝜌𝑣 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0

⃗⃗ 𝜕𝑣

𝜕𝑣 ⃗⃗

𝜕𝑣 ⃗⃗

𝜕𝑣 ⃗⃗

= 𝜌 [ 𝜕𝑡 + 𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑦 + 𝑣𝑧 𝜕𝑧 ].

Expresando este resultado mediante componentes vectoriales tenemos: lim

∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0

𝜕 ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑣⃗ 𝑑𝑉 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

∬𝑆𝐶 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 + lim ∆𝑥∆𝑦∆𝑧→0 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

(4.17d)

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 = 𝜌( + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 ) 𝑖⃗ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 +𝜌(

𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 ) 𝑗⃗ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 +𝜌( + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 ) 𝑘⃗⃗ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

⃗⃗𝑑𝑉 ∭𝑉𝐶𝜕𝑡𝜌𝑣

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜕

lim

ESTÁTICA DE FLUIDOS

de donde se obtiene:

(

𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥 + + + 𝜌𝑔𝑥 ) 𝑖⃗ + ( + + + 𝜌𝑔𝑦 ) 𝑗⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 +(

𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝜎𝑧𝑧 + + + 𝜌𝑔𝑧 ) 𝑘⃗⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

= 𝜌(

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 ) 𝑖⃗ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

+ 𝜌( + 𝜌(

𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧 + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 ) 𝑗⃗ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 ) 𝑘⃗⃗, 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

aplicando las propiedades de igualdad de vectores obtienen las tres igualdades siguientes

99

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Reemplazando las ecuaciones 4.17a y 4.17d en la ecuación 4.17 tenemos:

𝜌(

(4.18b)

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝜎𝑧𝑧 )= + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 + + + 𝜌𝑔𝑧 , 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

(4.18c)

𝜌(

ÍNDICE

𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑣𝑧 + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 )= + + + 𝜌𝑔𝑦 , 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

ANÁLISIS VECTORIAL

(4.18a)

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥 )= + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 + + + 𝜌𝑔𝑥 , 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜌(

Aplicando la definición de la derivada sustancial: 𝐷𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 = + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 𝐷𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝐷𝑣𝑥 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑥 = + + + 𝜌𝑔𝑥 , 𝐷𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

(4.19a)

𝜌

𝐷𝑣𝑥 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝜏𝑧𝑦 = + + + 𝜌𝑔𝑦 , 𝐷𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

(4.19b)

𝜌

𝐷𝑣𝑥 𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝜎𝑧𝑧 = + + + 𝜌𝑔𝑧 . 𝐷𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

(4.19c)

Reemplazando los esfuerzos normales y de deformación por las relaciones de

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝜌

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

en las ecuaciones 4.18 resultan las siguientes ecuaciones:

convenientemente al utilizar las propiedades y definiciones vectoriales , las ecuaciones 4.19 se transforman en las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido newtoniano, tanto para fluidos compresibles como para incompresibles : 𝜌

𝐷𝑣𝑥 𝜕𝑝 𝜕 2 𝜕𝑣⃗ =− − ( 𝜇∇ ∙ 𝑣⃗) + ∇ ∙ (𝜇 ) + ∇ ∙ (𝜇∇𝑣𝑥 ) + 𝜌𝑔𝑥 , 𝐷𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥

(4.20a)

𝜌

𝐷𝑣𝑦 𝜕𝑝 𝜕 2 𝜕𝑣⃗ =− − ( 𝜇∇ ∙ 𝑣⃗) + ∇ ∙ (𝜇 ) + ∇ ∙ (𝜇∇𝑣𝑦 ) + 𝜌𝑔𝑦 , 𝐷𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦

(4.20b)

𝐷𝑣𝑧 𝜕𝑝 𝜕 2 𝜕𝑣⃗ =− − ( 𝜇∇ ∙ 𝑣⃗) + ∇ ∙ (𝜇 ) + ∇ ∙ (𝜇∇𝑣𝑧 ) + 𝜌𝑔𝑧 . 𝐷𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑧 3 𝜕𝑧

(4.20c)

𝜌

100

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Stokes para la viscosidad (tabla4.1), calculando las derivadas, simplificando

𝜎𝑥𝑥 = 𝜇 (2

𝜕𝑣𝑥 2 − ∇ ∙ 𝑣⃗) − 𝑝 𝜕𝑥 3

𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧 = 𝜇( + ) 𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜎𝑦𝑦 = 𝜇 (2

𝜕𝑣𝑦 2 − ∇ ∙ 𝑣⃗) − 𝑝 𝜕𝑦 3

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑥 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = 𝜇 ( + ) 𝜕𝑥 𝜕𝑧

𝜎𝑧𝑧 = 𝜇 (2

𝜕𝑣𝑧 2 − ∇ ∙ 𝑣⃗) − 𝑝 𝜕𝑧 3

𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦

ANÁLISIS VECTORIAL

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 + ) 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇 (

ÍNDICE

Tabla 4.1 Relaciones de Stokes para la viscosidad:

Cuando un flujo de fluido es incompresible, el producto escalar ∇ ∙ 𝑣⃗ = 0, además ⃗⃗ 𝜕𝑣

𝜕

se puede probar que el producto escalar ∇ ∙ (𝜇 𝜕𝑥) = 𝜇 𝜕𝑥 (∇ ∙ 𝑣⃗ ) , entonces las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible resultan: 𝐷𝑣𝑥 𝜕𝑝 =− + ∇ ∙ (𝜇∇𝑣𝑥 ) + 𝜌𝑔𝑥 , 𝐷𝑡 𝜕𝑥 𝐷𝑣𝑦 𝜕𝑝 𝜌 =− − +∇ ∙ (𝜇∇𝑣𝑦 ) + 𝜌𝑔𝑦 , 𝐷𝑡 𝜕𝑦 𝐷𝑣𝑧 𝜕𝑝 =− + ∇ ∙ (𝜇∇𝑣𝑧 ) + 𝜌𝑔𝑧 . 𝐷𝑡 𝜕𝑧

(4.21c)

Aplicando las definiciones del algebra vectorial en la ecuación 4.21a tenemos el siguiente resultado: 𝜕

𝜕

𝜕𝑣

𝜕 2𝑣𝑥

𝜇( 𝜕

𝑥

2

𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦

+

,

𝜕𝑧

𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕𝑦

2

𝜕 𝜕𝑣𝑥

) = 𝜇 (𝜕𝑥

+

𝜕 2𝑣𝑥 𝜕𝑧 2

𝜕𝑥

𝜕 𝜕𝑣𝑥

+ 𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝑣𝑥

+ 𝜕𝑧

𝜕𝑧

)=

),

luego, mediante un procedimiento similar para las ecuaciones 4.21b y 4.21c se tiene: 𝐷𝑣𝑥 𝜕𝑝 𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕 2 𝑣𝑥 𝜕 2 𝑣𝑥 𝜌 =− +𝜇( 2 + + 2 ) + 𝜌𝑔𝑥 , 𝐷𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧

(4.22a)

𝐷𝑣𝑦 𝜕 2 𝑣𝑦 𝜕 2 𝑣𝑦 𝜕 2 𝑣𝑦 𝜕𝑝 =− +𝜇( 2 + + 2 ) + 𝜌𝑔𝑦 , 𝐷𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧

(4.22b)

𝐷𝑣𝑧 𝜕𝑝 𝜕 2 𝑣𝑧 𝜕 2 𝑣𝑧 𝜕 2 𝑣𝑧 =− + 𝜇 ( 2 + 2 + 2 ) + 𝜌𝑔𝑧 , 𝐷𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

(4.22c)

𝜌

𝜌

101

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝜕

∇ ∙ (𝜇∇𝑣𝑥 ) = (𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 , 𝜕𝑧) ∙ 𝜇 ( 𝜕𝑥𝑥 ,

DINÁMICA DE FLUIDOS

(4.21b)

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

(4.21a)

𝜌

𝜌

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Las relaciones de Stokes para la viscosidad se encuentran en [8] pág. 139

ecuaciones 4.23 y 4.24. Ecuación de Navier-Stokes para un flujo incompresible de viscosidad constante

Ecuación de Navier-Stokes para un flujo no viscoso ( 𝜇 = 0 ) e incompresible (Ecuación de Euler) 𝜌

𝐷𝑣⃗ = −∇𝑝 + 𝜌𝑔⃗. 𝐷𝑡

ANÁLISIS VECTORIAL

(4.23)

(4.24)

4.5.- Algunas aplicaciones en la industria

Turbo máquina simple.- Es un aparato en el cual, el movimiento un fluido no

Figura4.4Turbomáquina (http://web.educastur.princast.es/proyectos/grupotecne/archivos/investiga/105trbfan.jpg) Turborreactor.- Es una máquina en la cual se induce a que un fluido experimente un patrón de flujo que produce empuje. El flujo se mantiene mediante la energía que se proporciona al quemar combustible

102

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

confinado, se modifica de tal forma que, crea un empuje propulsor sobre el aparato

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝐷𝑣⃗ = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣⃗ + 𝜌𝑔⃗. 𝐷𝑡

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝜌

ÍNDICE

Por último expresamos las ecuaciones 4.22 como un solo vector para obtener las

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL Un turborreactor está formado por un compresor, una cámara de combustión, una turbina y una tobera de descarga; el empuje se produce de la siguiente forma: 1. Grandes cantidades de aire ingresan al motor y se comprime. 2. El aire comprimido se mezcla con el combustible. 3. Los gases producidos pasan por una turbina de gas, que mueve el compresor.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

(http://html.rincondelvago.com/000158360.png).

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Figura 4.5 Algunos tipos de turborreactores

4.6.- Simplificación de algunos modelos. 1. Ecuación de la continuidad en un flujo estacionario y unidimensional:

DINÁMICA DE FLUIDOS

4. Se produce la propulsión.

masa estacionario y unidimensional como se observa en la figura 4.6

Figura 4.6 Volumen de control con una entrada y una salida de flujo estacionario y unidimensional

103

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Considérese un volumen de control con una entrada y una salida de flujo de

masa en la superficie de control en las posiciones 1 y 2, así:

ÍNDICE

La ecuación de la continuidad para este caso se reduce a la rapidez de flujo de

𝑆𝐶

𝐴1

𝐴2

En la sección 1, el vector normal a la superficie y la velocidad tienen la misma dirección pero sentidos opuestos, por lo tanto el producto 𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ es negativo,

ANÁLISIS VECTORIAL

∬ 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = ∬ 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 + ∬ 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = 0.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

mientras que en la sección 2 es positivo; además 𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ representa la magnitud de la velocidad en cada integral, entonces: ∬ 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 + ∬ 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = − ∬ 𝜌𝑣𝑑𝐴 + ∬ 𝜌𝑣𝑑𝐴 = 0, 𝐴1

𝐴2

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

integrando las expresiones escalares se tiene: − ∬ 𝜌𝑣𝑑𝐴 + ∬ 𝜌𝑣𝑑𝐴 = −𝜌1 𝑣1 𝐴1 + 𝜌2 𝑣2 𝐴2 = 0, 𝐴1

𝐴2

luego, se obtiene la simplificación para el modelo propuesto: 𝜌1 𝑣1 𝐴1 = 𝜌2 𝑣2 𝐴2 .

(4.25)

El modelo precedente se ha simplificado de [6] págs. 139-140.

2. Conservación de la energía en un flujo permanente, unidimensional con fricción:

Considérese el volumen de control con una entrada y una salida de un flujo de fluido estacionario, unidimensional y sin pérdidas debidas a las fuerzas de fricción como en el caso de la figura 4.7. De la expresión de la energía (ecuación 4.12) 𝑑𝑄 𝑑𝑡

−

𝑑𝑊𝑠 𝑑𝑡

𝜕

𝑝

= ∭𝑉𝐶 𝜕𝑡 𝜌𝑒𝑑𝑉 + ∬𝑆𝐶 (𝜌 + 𝑒) 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴;

el primer término del lado derecho es cero debido que en un flujo permanente la energía almacenada dentro de un volumen de control permanece constante con el tiempo, luego, la energía total para este caso será: 104

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝐴2

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

𝐴1

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑆𝐶

ÍNDICE

𝑑𝑄 𝑑𝑊𝑠 𝑝 − = ∬ ( + 𝑒) 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜌

El producto escalar 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 representa la rapidez de flujo de masa; hacia adentro cuando este producto es negativo y hacia afuera cuando es positivo

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Figura 4.7 Volumen de control con flujo unidimensional

𝑝 𝑝 𝑝 ∬ ( + 𝑒) 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = − ∬ ( + 𝑒) 𝜌𝑣𝑑𝐴 + ∬ ( + 𝑒) 𝜌𝑣𝑑𝐴. 𝜌 𝜌 𝜌

𝑆𝐶

𝐴1

𝐴2

La energía total por unidad de masa 𝑒 dentro del volumen de control puede descomponerse en las contribuciones de energía cinética, potencial e interna, es decir: 𝑒 =

𝑣2 2

+ 𝑔𝑦 + 𝑢. Calculando las integrales y remplazando 𝑒 se tiene:

𝑝 ∬ ( + 𝑒) 𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 𝜌

𝑆𝐶

= −[

𝑃1 𝑣12 𝑃2 𝑣22 + + 𝑔𝑦1 + 𝑢1 ] 𝜌1 𝑣1 𝐴1 + [ + + 𝑔𝑦2 + 𝑢2 ] 𝜌2 𝑣2 𝐴2 , 𝜌1 2 𝜌2 2

luego, 𝑑𝑄 𝑑𝑊𝑠 𝑃2 𝑣22 𝑃1 𝑣21 − = [ + + 𝑔𝑦2 + 𝑢2 ] 𝜌2 𝑣2 𝐴2 − [ + + 𝑔𝑦1 + 𝑢1 ] 𝜌1 𝑣1 𝐴1 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜌2 2 𝜌1 2

105

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

resulta:

DINÁMICA DE FLUIDOS

como se analizó en el modelo anterior. La integral de superficie para este caso

𝑃 𝜌

forman la propiedad llamada

𝑃

entalpia, así: ℎ = 𝑢 + . Reemplazando ℎ y reorganizando la ecuación se tiene: 𝜌

ÍNDICE

La suma de la energía interna 𝑢 y el flujo de energía

La ecuación de continuidad para el volumen de control establece que la rapidez de flujo de masa es constante es decir: 𝜌1 𝑣1 𝐴1 = 𝜌2 𝑣2 𝐴2 =

se obtiene la ecuación:

𝑣12 𝑑𝑄 𝑣22 𝑑𝑊𝑠 [ + 𝑔𝑦1 + ℎ1 ] + = [ + 𝑔𝑦2 + ℎ2] + , 2 𝑑𝑚 2 𝑑𝑚 donde

𝑑𝑄 𝑑𝑚

es el calor neto por unidad de masa y

𝑑𝑊𝑠 𝑑𝑚

(4.26)

es el trabajo neto por unidad

de masa.

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

La simplificación para éste modelo se ha tomado de [8] págs. 109-110.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

𝑑𝑚 𝑑𝑡

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

dividiendo la ecuación para

𝑑𝑚 , 𝑑𝑡

ANÁLISIS VECTORIAL

𝑣12 𝑑𝑄 𝑣2 𝑑𝑊𝑠 [ + 𝑔𝑦1 + ℎ1 ] 𝜌1 𝑣1 𝐴1 + = [ 2 + 𝑔𝑦2 + ℎ2] 𝜌2 𝑣2 𝐴2 + . 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

106

PROPUESTA METODOLÓGICA EN LA ENSEÑANZA DE

ÍNDICE

CAPITULO 5

Resumen En éste capítulo se introducen definiciones importantes que se utilizan en la

ANÁLISIS VECTORIAL

MATEMÁTICA

tratan ciertos tópicos en la enseñanza de matemática como por ejemplo un análisis de la problemática en la enseñanza de matemática, así como también algunas recomendaciones metodológicas, además se toman en cuenta el uso de programas computacionales y las calculadoras gráficas. Se considera el uso de dos programas computacionales para la enseñanza de matemática: Matemáticas de Microsoft y MATLAB.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

educativos, los procedimientos, estrategias y técnicas didácticas. A continuación se

ESTÁTICA DE FLUIDOS

metodología de la enseñanza, donde se abordan entre otras cosas los modelos

5.1.1.- Definiciones generales Las siguientes definiciones y algunos elementos pedagógicos que se presentan, se

DINÁMICA DE FLUIDOS

5.1.- Metodología de la enseñanza.

Investigación y Experimentación del Colegio Experimental “Simón Bolívar” y se mencionan el numeral [13] de la bibliografía. 

Un modelo educativo es una representación organizada coherentemente por un cúmulo de intangibles, arreglados en un esquema teórico que funciona como arquetipo y ejemplar. El modelo brinda la unidad e identidad de todo el sistema, y se constituye en una guía para los planeadores, directivos, maestros y alumnos. En el Modelo de enseñanza histórico cultural, el estudiante aprende contenidos, conceptos, explicaciones de fenómenos físicos o sociales, procedimientos para resolver problemas valores y normas de actuación, partiendo de lo cognitivo en la interacción con la realidad social y natural 107

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

encuentran en los documentos pedagógicos elaborados por la Comisión de

que induce a adquirir los conocimientos matemáticos a la brevedad posible y orientada a resolver problemas matemáticos de la vida cotidiana. Su objetivo

ÍNDICE

En el modelo de enseñanza tradicional se propende a una escolaridad corta, lo

El profesor imparte los conocimientos, es el emisor, el proporciona y selecciona los contenidos la evaluación se limita a los contenidos impartidos en forma mecánica y memorística. El estudiante es el receptor en un rol pasivo, no se

ANÁLISIS VECTORIAL

es que el estudiante adquiera algunas destrezas y habilidades que le sean útiles.

En el Modelo de enseñanza activa se da importancia a la participación del estudiante, el profesor busca despertar el interés del estudiante y orientar las actividades y tareas, se planifica, organiza y sistematizan los contenidos, los cuales se integran por estructuras bien definidas como son la lógica matemática, la teoría de conjuntos, el sistema de los números reales y la teoría de funciones.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

memoria.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

consideran los intereses ni capacidades y el estudiante se limita a aprender de

de la inteligencia y, en general, el desarrollo integral del alumno mediante procesos lógicos y de modelación como resultado de la elaboración de conceptos matemáticos con la realidad.

DINÁMICA DE FLUIDOS

En el Modelo de enseñanza creativa se busca el desarrollo de la personalidad,

ecuaciones y relaciones lógicas que representan aproximaciones de interacciones entre los elementos de un sistema dinámico. Estos modelos describen un intercambio de información entre las variables dependientes e independientes de diferente naturaleza, así tenemos por ejemplo modelos económicos, modelos de biomatemática, modelos en mecánica de fluidos, etc.

Los sistemas dinámicos comprenden un conjunto de elementos, objetos o componentes en interacción dinámica, organizada en función de un objetivo. Los sistemas pueden ser de diferentes tipos: vivientes como por ejemplo una colonia de hongos o bacterias, materiales como por ejemplo el sistema de

108

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Los Modelos matemáticos son un conjunto de relaciones matemáticas,

Un límite o fronteras del sistema.

-

Los componentes del sistema, los cuales pueden ser enlistados por categorías.

-

Reservorios, fuentes o acumuladores en los cuales se agrupan o almacenan los elementos del sistema.

Un sistema puede ser influenciado por un aporte de energía, materia o información, así se tienen las entradas, salidas y perturbaciones del sistema. Las variables de estado son todas las magnitudes internas, las cuales pueden evolucionar en el transcurso del tiempo debido al aporte de energía, materia o

ÍNDICE

-

ANÁLISIS VECTORIAL

elementos que componen un sistema son:

ESTÁTICA DE FLUIDOS

transporte de una ciudad, abstractos como un modelo matemático. Los

El sistema educativo es un sistema dinámico que se ajusta a las definiciones anteriores y en donde los procesos educativos se organizan, se planifican, se

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

información.

tres tipos de componentes: vivientes (autoridades, profesores, empleados, estudiantes), materiales (edificios, aulas, laboratorios, etc.) y abstractos (leyes, reglamentos, planes y programas, métodos de enseñanza, etc. 

Competencia es el resultado de la interacción de un conjunto de conocimientos, habilidades y valores que se manifiestan a través de un desempeño eficiente en la búsqueda, identificación y solución de problemas, pudiendo incluso resolver aquellos no determinados.



Metodología es el conjunto de métodos, procedimientos, técnicas y estrategias didácticas para desarrollar el proceso de inter aprendizaje de manera efectiva y que cumple con el modelo educativo. En matemática se pueden aplicar los métodos heurístico, inductivo, deductivo, etc.



Procedimientos didácticos son las de acciones sistemáticas que indican la técnica o el método para alcanzar los objetivos planteados, constituyen los pasos a seguir para implementar el método y se deben considerar en un proceso de 109

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

metodología apropiada. Por ejemplo en el sistema universitario encontramos

DINÁMICA DE FLUIDOS

ejecutan y evalúan de acuerdo a los objetivos y metas propuestos, siguiendo una

analogía, son ejemplos de procedimientos didácticos 

ÍNDICE

inter aprendizaje. La observación, clasificación, análisis, inducción, deducción,

Técnicas didácticas son las posibles formas de actuar en el aula, por ejemplo:



Estrategias didácticas son el conjunto de actividades, técnicas y medios que el maestro planifica de acuerdo a las necesidades de la población a la cual van dirigidas, los objetivos que persiguen y la naturaleza de las distintas áreas des

ANÁLISIS VECTORIAL

las técnicas de aprendizaje cooperativo

Análisis de la problemática de la enseñanza de la matemática Ciertos aspectos a considerar en la enseñanza de matemática involucran la labor docente, por ejemplo: la formación del maestro, la toma de decisiones del maestro en función de la bibliografía a utilizar, la selección de contenidos, entre otros aspectos. Problemas de aprendizaje propios de la edad del alumno o factores

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

5.1.2.- Metodología en la enseñanza de matemática

ESTÁTICA DE FLUIDOS

estudio.

Problemas de dirección: el maestro no comunica a sus estudiantes acerca de las actividades a realizar y los objetivos planteados

DINÁMICA DE FLUIDOS

externos como la implementación de políticas educativas a nivel ministerial.

evaluará los diferentes elementos o aspectos (cognitivo, procedimental, actitudinal). Problemas de sistematización y coherencia de contenidos: los contenidos no guardan una secuencia lógica, están desorganizados y se tiene poca planificación, se destacan las omisiones de muchos argumentos que conducen al desconcierto de los alumnos, ¡no entiendo!, ¡solo sabe para él!, ¡lo que enseña no sirve para nada!, Son ejemplos de algunas frases que muestran ese descontento. Mientras en la realización de tareas, el alumno no entiende lo que tiene que hacer, o lo que hace es con la ayuda de alguien.

110

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Problemas de evaluación: falta de información clara de la forma como el maestro

ÍNDICE

No se observan correctamente los requisitos y los procesos de retroalimentación

ejercicios tipo, sin el debido fundamento. Las aplicaciones son inexistentes y la participación del estudiante es casi nula, limitándose a ser un espectador. Problemas de método: son los que tienen que ver con la motivación, la promoción

ANÁLISIS VECTORIAL

son casi nulos. No se construye la teoría y se limita al ejemplo y la resolución de

clases. Los problemas de método se observan con las actitudes de los estudiantes, el poco interés, la inasistencia, incumplimiento de tareas, malestar de los estudiantes en la clase. Como resultado de los problemas de método, los alumnos

ESTÁTICA DE FLUIDOS

del aprendizaje, las acciones que realizará el profesor para hacer agradables sus

biblioteca, laboratorios, etc., no se utilizan en forma óptima. No se consideran o no se aprovechan las habilidades y capacidades del maestro y de los estudiantes Recomendaciones metodológicas La lógica matemática, la teoría de conjuntos, la teoría de funciones y los sistemas numéricos son los pilares o estructuras en los cuales se basa la matemática. El

DINÁMICA DE FLUIDOS

Problemas de recursos: Los recursos disponibles, como textos de estudio,

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

simplemente no aprenden de en forma adecuada.

las cuales se complementan con las aplicaciones, las cuales deben estar orientadas de manera que el estudiante se desarrolle en forma integral como individuo dentro de un enfoque socio cultural que entiende el lenguaje de las ingenierías. Los instrumentos de evaluación deben reflejar de manera global estos cuatro pilares de la matemática, el núcleo, las aplicaciones y su respectiva orientación. Así se muestran algunos ejemplos de la forma de plantear ejercicios: Forma incorrecta Resolver la siguiente ecuación (𝑎𝑥 + 1)2 = −𝑎2 𝑥 2 − 3

Forma correcta Dado 𝑎 ∈ ℝ+ . hallar si es posible 𝑥 ∈ [0, +∞] tal que (𝑎𝑥 + 1)2 = −𝑎2 𝑥 2 − 3

111

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

núcleo de la matemática lo constituyen las definiciones, teoremas, demostraciones,

A continuación se presentan los métodos, estrategias, técnicas que se recomiendan en la enseñanza de matemática, tomados del documento de apoyo número 7 del Colegio Experimental “Simón Bolívar”, titulado “Estrategias y técnicas para explorar, conceptuar y evaluar el aprendizaje”. Tabla 5.1 Proceso didáctico para la enseñanza de la matemática Etapas

Estrategias

1. Preparación

Examen formal o informal de las habilidades o vocabularios previos.

2. Exploración y descubrimiento

3. Abstracción y organización

Presentación de un problema interesante que exija improvisación del proceso, del concepto (u operación) a modo de solución. Elaboración de generalizaciones acerca de la operación y sus interrelaciones con otras. Memorización de hechos. Organización y memorización de tablas.

4. Fijación de habilidades

Práctica de repetición de la operación. Experiencia en la aplicación de una variedad de situaciones.

5. Aplicación

Problemas reales y simulados. Reconocer las características que exige el empleo de la operación.

112

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Forma correcta Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, se verifica: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Forma incorrecta

DINÁMICA DE FLUIDOS

Forma correcta Dado 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ . Resolver en ℝ 3𝑥 + 𝑎 = 𝑏

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Forma incorrecta Resolver la siguiente ecuación 3𝑥 + 5 = 𝑎

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL ESTÁTICA DE FLUIDOS CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Tabla 5.2 Método heurístico (buscar o descubrir la verdad o solucionar problemas) Etapas Estrategias 1. Presentación Diálogo sobre situaciones socio económicas del medio del problema más otras de índole técnico. Dirigirla atención del estudiante hacia particularidades 2. Exploración del medio. experimental Ordenar las observaciones y enunciar el problema. Organizar las actividades por grupos o individualmente. Orientar el trabajo de los grupos mediante interrogantes. Buscar caminos de solución de acuerdo a las 3. Presentación de interrogantes o respuestas. informes Establecer semejanzas y diferencias entre los procesos y resultados. Codificar los resultados. 4. Abstracción Seleccionar procedimientos y resultados correctos. Identificar los elementos esenciales o relevantes en los procesos. 5. Generalización Formular juicios generales. Elaborar y resolver problemas similares.

Estrategias

1. Observación

Detectar una situación problemática. Describir la situación matemática. Plantear tentativas de solución.

2. Experimentación Manipular y operar con recursos didácticos. Construir, medir, armar. 3. Comparación Graficar la situación problemática.Organizar y resolver operaciones matemáticas concretas. 4. Abstracción Confrontar y cotejar los resultados y elementos matemáticos. 5. Generalización Separar las características esenciales y comunes de las operaciones matemáticas. 6. Comprobación Simbolizar las relaciones. Establecer definiciones. 7. Aplicación Formular la ley que rige a ese universo determinado. Verificar la validez de la definición o ley (razonamiento, demostración). Utilizar la ley en la solución de problemas nuevos. 113

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Etapas

DINÁMICA DE FLUIDOS

Tabla 5.3 Método inductivo

Tabla 5.5 Técnica de solución de problemas Estrategias Planificar y presentar el problema.

problema

Interpretar el problema. Identificar los datos e incógnitas y jerarquizarlos.

2. Identificación del problema

Establecer relaciones entre datos e incógnitas.

Formular oraciones matemáticas.

alternativas de

Matematizar el problema.

solución

Relacionar el problema y operaciones. Fraccionar el problema en operaciones parciales.

4. Resolución

Realizar operaciones. Examinar las soluciones parciales y totales.

5. Verificación

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL

Proponer posibles soluciones. Analizar posibles soluciones.

3. Formulación de

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Leer el problema.

DINÁMICA DE FLUIDOS

1. Enunciación del

Interpretar el resultado, validar procesos y resultados. Rectificar procesos y soluciones erróneas.

114

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Etapas

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Tabla 5.4 Método deductivo Etapas Estrategias Planteamiento y visualización de la ley o problema 1. Enunciación matemático. Análisis de los elementos de la ley o problema. 2. Comprobación Operación matemática. Observación de los resultados. 3. Aplicación Constatar que los resultados sean correctos en cada situación. Relacionar el proceso con otros conocidos. Ejecutar situaciones similares con casos o situaciones específicas.

Entre algunos aspectos a considerar cuando se usan programas computacionales y

ÍNDICE

Uso de programas computacionales y calculadoras gráficas

calculadoras gráficas en la enseñanza de matemática podemos mencionar que

lo cual el estudiante no tiene la oportunidad de aprender las técnicas que permiten producir con papel y lápiz estas gráficas, aspecto que se traduce en un efecto negativo en su conocimiento matemático.

ANÁLISIS VECTORIAL

algunas calculadoras producen “automáticamente” la gráfica de una función, ante

como resultado que los estudiantes se vuelven cada vez más dependientes y llegan a utilizar las calculadoras para hacer operaciones que para muchos de nosotros serían claramente elementales. Sin embargo, podemos aprovechar la potencialidad

ESTÁTICA DE FLUIDOS

En la actualidad el uso de estos programas ha venido extendiéndose, lo que ha dado

Se sugiere presentar los conceptos matemáticos y utilizar la calculadora gráfica para reforzarlos y avanzar más allá en el conocimiento, recordando que la tecnología complementa el curso, pero no es la base del mismo. Los cambios se deben producir

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

de éstos como apoyo en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática.

integrar sin sacrificar la profundidad de los conceptos matemáticos. Las calculadoras gráficas facilitan la exploración y el descubrimiento, favoreciendo una activa aproximación al aprendizaje y, aunque se podría pensar que ellas sólo permiten el trabajo individual, las investigaciones indican que promueven la

DINÁMICA DE FLUIDOS

incorporando la calculadora gráfica dentro del proceso de aprendizaje y se deben

incorporación de la tecnología queda libre el tiempo dedicado a cálculos a mano, es decir, se genera un espacio que puede dedicarse a la resolución de problemas con datos reales y al desarrollo de la comprensión conceptual. El análisis de las distintas investigaciones desde diversas perspectivas realizado en este trabajo, permite concluir que el desempeño de los alumnos en el aprendizaje de la matemática mejora con el uso de las calculadoras gráficas. Esto sugiere la necesidad de incorporarlas cada vez más en la enseñanza y aprendizaje de la matemática durante el último ciclo de la secundaria y el primer ciclo universitario. No obstante, se debe tener en cuenta que los efectos de su uso no son producto de su mera presencia en el salón de clase. Estos efectos dependen del papel que se le asigne a la tecnología dentro del sistema curricular. Además, el comportamiento de 115

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

interacción entre estudiantes y maestros y entre el conjunto de estudiantes. Con la

que produce mejoras en la formación matemática del estudiante.

5.2.- Fundamentos de Matemáticas de Microsoft. Prácticas de matemática con Matemáticas de Microsoft Un excelente programa de matemática y muy sencillo de utilizar es Matemáticas de

ÍNDICE

ellos. La calculadora gráfica es un elemento potenciador del cambio en el sistema,

ANÁLISIS VECTORIAL

este sistema depende de muchos factores que interactúan de manera dinámica entre

“Matemáticas de Microsoft es un conjunto de herramientas matemáticas que puede ayudarle a que su trabajo sea más rápido y sencillo. Lo más destacado de Matemáticas de Microsoft es una compleja calculadora científica con amplias capacidades de representación gráfica y de resolución de ecuaciones. Puede utilizarla como una calculadora de mano, pulsando sus botones, o también puede usar su teclado para escribir aquellas expresiones matemáticas que quiera que la

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

encontraremos las utilidades de Matemáticas de Microsoft :

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Microsoft, cuando se ingresa al programa podemos observar el menú Ayuda donde

Podrá usar Matemáticas de Microsoft para las siguientes tareas: 1.

Cálculos matemáticos estándar, tales como funciones, raíces y logaritmos.

2.

Resolución de triángulos.

3.

Convertir medidas de una unidad a otra.

4.

Calcular funciones trigonométricas como el seno y el coseno.

5.

Interpretar matrices y vectores, inversas y productos cruzados.

6.

Calcular datos estadísticos, como media y desviación estándar.

7.

Interpretar operaciones con números complejos.

8.

Representar gráficas 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas.

9.

Ejecutar operaciones de cálculo de funciones, incluyendo el cálculo de derivadas, integrales y límites, así como sumas y productos de sucesiones.

116

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

o a convertir cantidades de un sistema de unidades a otro.”

DINÁMICA DE FLUIDOS

calculadora evalúe. Otras herramientas adicionales le ayudarán a evaluar triángulos

Resolución numérica y simbólica de ecuaciones.

Cuando abrimos Matemáticas de Microsoft, se observa su interfaz (figura 5.1), en

ÍNDICE

10.

complejos, Estadísticas, Trigonometría, Álgebra lineal, Cálculo, Estándar y Botones favoritos. - La ficha Hoja de cálculo se muestra por defecto, en esta ficha se realizarán la mayoría de los cálculos numéricos. Esta ficha incluye un campo de entrada de datos y otro de salida. Cuando haga clic en los botones de la calculadora, estará construyendo una expresión matemática en el campo de entrada. Cuando haga clic en ENTER, Matemáticas de Microsoft evaluará la expresión de forma simbólica y

ESTÁTICA DE FLUIDOS

- El teclado de la calculadora está dividido en diferentes grupos: Números

ANÁLISIS VECTORIAL

donde podemos ver desplegados los siguientes elementos:

salida de datos. En algunos casos, la salida de datos podrá incluir Resoluciones paso a paso o información adicional acerca de la solución. - La ficha Gráficas se utiliza para crear la mayoría de las gráficas matemáticas. Esta

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

numérica (si procede), y a continuación mostrará los resultados en el campo de

ecuaciones, inecuaciones, conjuntos de datos o ecuaciones paramétricas que quiera representar. Para trabajar con la gráfica después de haber sido representada, la ficha Gráficas incluye una ventana que describe la gráfica representada y una ventana

DINÁMICA DE FLUIDOS

ficha incluye un campo de entrada de datos para introducir las funciones,

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

donde se visualiza la gráfica.

Figura 5.1 Interfaz de Matemáticas de Microsoft 117

Matemáticas de Microsoft:

ÍNDICE

- El botón Herramientas proporciona un acceso rápido a las siguientes utilidades de

frecuencia en ciencias y en matemáticas. Matemáticas de Microsoft las explora gráficamente o las resuelve para una variable concreta. Resolución de triángulos, para calcular las dimensiones de los lados y ángulos de un triángulo en el que las medidas de algunos de sus lados y ángulos son conocidas. Conversor de unidades, para convertir medidas de una unidad a otra.

Geometría coordenada y recta Podemos iniciar el estudio de la ecuación de la recta mediante una motivación

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Fórmulas y ecuaciones, para encontrar ecuaciones que se usan con

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ecuaciones.

ANÁLISIS VECTORIAL

Resolución de ecuaciones, para resolver una ecuación o un sistema de

1. Damos un clic en la ficha 2. Escogemos la categoría

Se abren las opciones de ecuaciones, donde se observan por ejemplo: el botón para seleccionar el tipo de gráfica 2D o 3D, los botones Agregar, Quitar, Gráfica

3. Ingresamos la ecuación

y luego damos un

clic en

118

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

geométrica que se indica a continuación:

Figura 5.2 Gráfica de la recta 𝑦 = 2𝑥 − 3 4. Introducimos el resto de ecuaciones que se indican y damos un clic en el botón . Se observarán las rectas de distintos colores (figura 5.3) y de ésta

ÍNDICE ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

Se observa al lado derecho de la pantalla la gráfica siguiente:

(b)

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

(a)

DINÁMICA DE FLUIDOS

características de cada recta, mediante la sección Controles de la gráfica.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

forma podemos abordar de mejor manera éste tema, identificando las

Figura 5.3 (a) Ecuaciones de distintas rectas. (b) Sección Controles de la gráfica. c) Gráficas de las ecuaciones de distintas rectas. 119

Iniciamos graficando la ecuación de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥 2 en 2D y luego,

ÍNDICE

Gráficas de ecuaciones de segundo grado

cambiándola a 3D utilizando los botones correspondientes. Las gráficas se observan

Figura 5.4 Gráficas de la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 2 en 2D (izquierda) y en 3D (derecha).

Una motivación interesante sería utilizar el botón

y

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

en la figura 5.4:

intervalo [0,2]. Podríamos graficar la ecuación de la circunferencia 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 en 2D, y observar la diferencia cuando se obtiene un cilindro en 3D al cual lo hacemos .

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

girar mediante el botón

DINÁMICA DE FLUIDOS

establecer el comportamiento de la gráfica cuando el parámetro “𝑎” cambia en el

Figura 5.5 La gráfica de la ecuación 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 en 2D representa una circunferencia (izquierda) y en 3D representa un cilindro (derecha).

120

Algunos de los modelos matemáticos de la mecánica de fluidos pueden representarse en Matemáticas de Microsoft, utilizando las herramientas antes indicadas. 5.4.- Fundamentos de MATLAB. Prácticas de matemática con MATLAB. Resolución de problemas aplicados en mecánica de fluidos. MATLAB es un lenguaje de programación interpretado e interactivo, diseñado para

DINÁMICA DE FLUIDOS

Figura 5.6 Grafica de la ecuación 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑧 2 = 1 en 3D.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

una esfera como se observa en la figura 5.6.

ÍNDICE

Por último se podría agregar el término 𝑧 2 a la ecuación 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 para obtener

programa llamado interprete, al cual se le da instrucciones para que realice la acción que se desea para llegar a un resultado, es decir los comandos que se utilizan en MATLAB se comunican con el interprete para la realización de la instrucción dada, en forma similar a una calculadora. Podemos decir que MATLAB es

una

calculadora muy potente. Una característica importante en MATLAB es que no hay distinción entre números reales, complejos, enteros, lo cual hace que cualquier variable contenga números de cualquier tipo sin una declaración especial. Esta característica hace que la programación sea más rápida y productiva, a diferencia de otros lenguajes de programación en donde se requieren distintas subrutinas de declaración de para cada tipo de variable. 121

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

realizar cálculo numérico. Se entiende por interpretado a la utilización de un

matemáticas, en MATLAB, mediante la utilización de unos pocos comandos se puede presentar resultados matemáticos gráficos y objetos gráficos de carácter

ÍNDICE

El análisis visual de los problemas matemáticos ayuda a comprender las

Figura 5.7 Interfaz de MATLAB versión 7.8.0.347. La vista que se observa en la figura 5.7 puede ser diferente, dependiendo de la

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Cuando se ingresa a MATLAB se observa la siguiente ventana (figura 5.7)

ANÁLISIS VECTORIAL

científico que motivan el aprendizaje de los estudiantes.

Desktop. Las componentes individuales orientadas a tareas concretas más importantes del entorno de trabajo de MATLAB son las siguientes: 1.

La ventana de comandos (Command Window): es la ventana en la que se ejecutan interactivamente las instrucciones de MATLAB y en donde se muestran los resultados correspondientes. En cierta forma es la ventana más importante.

2.

La ventana histórica de comandos (Command History) ofrece acceso a las sentencias que se han ejecutado anteriormente en la ventana de comandos. A éstas sentencias también se accede por medio de las teclas ↑ y ↓.

122

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

versión del programa, y puede ser cambiada por el usuario mediante el menú

usuario que en un determinado momento están definidas en la memoria del programa o de la función que se está ejecutando. 4.

El directorio actual (Current Directory), que indica la ruta hacia el directorio donde se encuentra trabajando.

5.

ÍNDICE

El espacio de trabajo (Workspace) es el conjunto de variables y de funciones de

El editor de ficheros y depurador de errores (Editor&Debugger) sirve para trabajar con archivos M o ficheros-M (o M-files). Los archivos M son ficheros

ANÁLISIS VECTORIAL

3.

de comandos y se pulsa ENTER, se ejecutan uno tras otro todos los comandos contenidos en dicho archivo. El poder guardar instrucciones y grandes matrices en un fichero permite ahorrar mucho trabajo de tecleado.

Un aspecto importante en MATLAB son los gráficos, los cuales se pueden generar mediante sencillas instrucciones, por ejemplo, se puede teclear la siguiente línea y pulsar

ENTER:

>>

x=-4:.01:4;

y=sin(x);

plot(x,y),

grid,

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

definición de funciones. Cuando se escribe el nombre del archivo M en la línea

ESTÁTICA DE FLUIDOS

de texto ASCII, con la extensión *.m, que contienen conjuntos de comandos o

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

title('Función seno(x)')

Figura 5.8 Gráfica de la función seno elaborada en MATLAB En la Figura 5.8 se observa una nueva ventana en la que aparece representada la función sin(x). Esta figura tiene un título "Función seno(x)" y una cuadrícula o "grid". La línea anterior contiene también varias instrucciones separadas por comas o puntos y comas. En la primera instrucción (x=-4:.01:4;) se crea un vector x con 801 valores reales entre -4 y 4, separados por una centésima. Luego se crea un

123

vector x (y=sin(x);). Con la instrucción plot(x,y),se dibujan los valores de x e

ÍNDICE

vector y, cada uno de cuyos elementos es el seno del correspondiente elemento del

y. Con la instrucción grid se establece la cuadrícula y con title('Función escribe el título.

Se pueden realizar cálculos sencillos de una sola variable, por ejemplo, para calcular el volumen de una esfera de radio 4, escribimos las siguientes instrucciones en la ventana de comandos.

ANÁLISIS VECTORIAL

seno(x)')se

vol = 268.0826 Para una explicación más detallada de la utilidad y manejo de MATLAB se recomienda el texto número [12] que se menciona en la bibliografía, así como también el uso de un buscador en internet, en el cual se encuentran disponibles manuales gratuitos y videos que pueden descargarse fácilmente. A continuación se presentan los códigos que deben escribirse en MATLAB para

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Luego al pulsar ENTER se observará el resultado:

ESTÁTICA DE FLUIDOS

>> r=4; vol=(4/3)*pi*r^3; vol

1.

Modelo de la variación de la presión con la elevación para un gas a temperatura constante.

En el editor de MATLAB se escriben las siguientes instrucciones y luego lo

DINÁMICA DE FLUIDOS

analizar algunos modelos matemáticos que se revisaron en capítulos anteriores.

% DATOS DE ENTRADA % -p0 La presión inicial (a nivel del mar es 101.235kPa) % -pe peso especifico (a nivel del mar es 11.99N/m^3) % -y0 elevación inicial (a nivel del mar es 0m) % DATOS DE SALIDA % p es la presión resultante % y es la elevación que varia. clc; p0=input('Ingrese la presión inicial: '); pe=input('Ingrese el peso especifico:'); y0=input('Ingrese la elevación inicial: '); y=0:2:100; p=p0*exp(-(pe/p0)*(y-y0)); plot(y,p); grid on; xlabel('Elevación'); ylabel('Presión'); title('Modelo de presión de un gas a temperatura constante');

124

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

podemos guardar como un archivo M

obtiene la gráfica que se indica en la figura 5.9. Se observa que la presión

Figura 5.9. Variación de la presión para un gas a temperatura constante 2.

Modelo de la variación de la presión con la elevación para un gas a temperatura variable.

Obtendremos la gráfica de la relación entre la elevación y la presión para un gas a

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

disminuye exponencialmente con la elevación.

ÍNDICE

Cuando se ejecuta el archivo M que contiene las instrucciones señaladas se

% DATOS DE ENTRADA % -p0 La presión inicial % -T0 La temperatura inicial % -k constante o tasa de lapso que se obtiene de T=T0+ky, para casos % terrestres es negativa % -R constante del gas % DATOS DE SALIDA % p es la presión resultante % y es la elevación que varia. clc; p0=input('Ingrese la presión inicial, a nivel del mar es 101.325Kpa: '); T0=input('Ingrese la temperatura inicial, a nivel del mar es 15ºC=288K:'); k=input('Ingrese la constante K o tasa de lapso, para casos terrestres es negativa: '); R=input('Ingrese la constante del gas R: '); y=0:10:500; p=p0*(T0./(T0+k*y)).^(9.8/(k*R)); plot(y,p); grid on; xlabel('Elevación'); ylabel('Presión'); title('Modelo de presión de un gas a temperatura variable');

125

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

instrucciones y guardándolas en un archivo M.

DINÁMICA DE FLUIDOS

temperatura variable escribiendo en el editor de MATLAB, las siguientes

gráfica que se indica en la figura 5.10. Se observa la disminución de la presión

ÍNDICE

La ejecución del archivo M que contiene las instrucciones anteriores genera la

Figura 5.10 Variación de la presión para un gas a temperatura variable. 3.

Modelo de un campo de velocidad bidimensional, estacionario e incompresible

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

con relación a la elevación.

Podemos observar el campo de velocidades en MATLAB ingresando las siguientes instrucciones: xmin=0; xmax=5; ymin=-2; ymax=6; [X,Y] = meshgrid(xmin:0.5:xmax,ymin:0.5:ymax); U = 0.5+0.8*X; V=1.5-0.8*Y; quiver(X,Y,U,V) title('Campo Vectorial de Velocidad'); xlabel('x'); ylabel('y'); grid on

Ejecutando el archivo M con las instrucciones anteriores se obtiene la gráfica del campo de velocidades mostrado en la figura 5.11

126

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

⃗⃗ = (𝑢, 𝑣) = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗ . representado por la ecuación 𝑉

DINÁMICA DE FLUIDOS

Si se tiene un campo estacionario, bidimensional e incompresible de velocidad

ÍNDICE ANÁLISIS VECTORIAL ESTÁTICA DE FLUIDOS 4.

Líneas de corriente para el flujo estacionario, bidimensional e incompresible ⃗⃗ = (𝑢, 𝑣 ) = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8)𝑗⃗⃗. 𝑉 𝑑𝑦

𝑣𝑦

De la ecuación 3.2: (𝑑𝑥) = 𝑣 , se obtiene la familia de curvas que representan las

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

⃗⃗ = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗. Figura 5.11 Campo de velocidades 𝑉

𝑑𝑦 𝑣 1.5 − 0.8𝑦 )= = ; 𝑑𝑥 𝑢 0.5 + 0.8𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ∫ =∫ , 1.5 − 0.8𝑦 0.5 + 0.8𝑥 𝑐 𝑦= + 1.875 0.8(0.5 + 0.8𝑥) (

Las instrucciones que debemos ingresar en MATLAB se presentan a continuación, y el gráfico que se obtiene se presenta en la figura 5.12 xmin=0; xmax=5; ymin=-2; ymax=6; [X,Y] = meshgrid(xmin:0.5:xmax,ymin:0.5:ymax); U = 0.5+0.8*X; V=1.5-0.8*Y; %subplot(2,2,1) quiver(X,Y,U,V) title('Campo Vectorial de Velocidad'); xlabel('x'); ylabel('y'); grid on x=xmin:0.1:xmax;

127

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

líneas de corriente, así:

DINÁMICA DE FLUIDOS

𝑥

⃗⃗ = Figura 5.12 Campo vectorial y líneas de corriente para el flujo 𝑉

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

ÍNDICE

for i=-3:3 C=0.45*i; y=C./(0.4+0.64*x)+1.875; hold on; plot(x,y,'--r') end

5.

Modelo para un campo de aceleraciones

⃗⃗ = (𝑢, 𝑣 ) = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8)𝑗⃗⃗ , Para el campo de velocidades dado 𝑉 se puede calcular el campo de aceleraciones, mediante la aceleración material en

DINÁMICA DE FLUIDOS

(0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗.

La aceleración se define como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, así: 𝑎⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =

⃗⃗ ⃗⃗ 𝑑𝑉 𝜕𝑉 ⃗⃗ ∙ ∇)𝑉 ⃗⃗ + = (𝑉 . 𝑑𝑡 𝜕𝑡

y, en coordenadas cartesianas se tiene: 𝑎𝑥 = 𝑢

𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 +𝑣 +𝑤 + , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

𝑎𝑦 = 𝑢

𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝑣 +𝑤 + , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

𝑎𝑧 = 𝑢

𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 +𝑣 +𝑤 + . 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

128

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

coordenadas cartesianas:

𝜕𝑢 𝜕𝑡

=

𝜕𝑣 𝜕𝑡

=

𝜕𝑤 𝜕𝑡

= 0 , además el flujo es

bidimensional, por lo cual no existe velocidad en el eje z, es decir 𝑤 = 0

ÍNDICE

El flujo es estacionario, por lo tanto

𝑎𝑥 = (0.5 + 0.8𝑥 )(0.8) + (1.5 − 0.8𝑦)(0) + 0 + 0 = (0.4 + 0.64𝑥 )𝑚/𝑠 2 𝑎𝑦 = (0.5 + 0.8𝑥 )(0) + (1.5 − 0.8𝑦)(−0.8) + 0 + 0 = (−1.2 + 0.64𝑦)𝑚/𝑠 2

ANÁLISIS VECTORIAL

luego,

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

xmin=0; xmax=5; ymin=-2; ymax=6; [X,Y] = meshgrid(xmin:0.5:xmax,ymin:0.5:ymax); AX=0.4+0.64*X; AY=-1.2+0.64*Y; quiver(X,Y,AX,AY); title('Campo Vectorial de Aceleración'); xlabel('x'); ylabel('y'); grid on

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

figura 5.13 se muestra la gráfica del campo de aceleraciones obtenido

ESTÁTICA DE FLUIDOS

En MATLAB se escriben las instrucciones que se muestran a continuación. En la

Figura 5.13 Campo de aceleraciones 𝑎⃗ = (0.4 + 0.64𝑥 )𝑖⃗ + (−1.2 + 0.64𝑦)𝑗⃗. 129

Se requiere calcular el campo de presión para el campo de velocidad: el

cual

es

bidimensional

incompresible y estacionario. En primer lugar verificamos si el campo de velocidad satisface la ecuación de continuidad, así: 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 + + = 0.8 − 0.8 + 0 = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 El campo de velocidad dad satisface la ecuación de continuidad, de no ser así el campo propuesto no sería físicamente posible, y en consecuencia no sería posible

ANÁLISIS VECTORIAL

⃗⃗ = (𝑢, 𝑣) = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗ 𝑉

ÍNDICE

Cálculo del campo de presión para un campo de velocidad conocido.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

6.

𝜌

𝜌(

𝐷𝑣⃗ = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣⃗ + 𝜌𝑔⃗, 𝐷𝑡

𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑝 𝜕2𝑣 𝜕2𝑣 𝜕 2𝑣 ) +𝑢 +𝑣 +𝑤 =− + 𝜇 ( 2 + 2 + 2 ) + 𝜌𝑔𝑦, 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜌(0 + 0 + (1.5 − 0.8𝑦)(−0.8) + 0) = −

𝜕𝑝 + 𝜇 (0 + 0 + 0) + 0, 𝜕𝑦

𝜕𝑝 = 𝜌(1.2 − 0.64𝑦). 𝜕𝑦

(5.1)

Integrando la ecuación 5.1 se obtiene la ecuación del campo de presión: 𝑝 = 𝜌(1.2𝑦 − 0.32𝑦 2 ) + 𝐶 (𝑥 ).

(5.2)

Se requiere ahora calcular la función 𝐶 (𝑥 ). Calculamos la derivada parcial con respecto a x de la ecuación 5.2 obteniéndose 𝜕𝑝 = 𝐶´(𝑥 ). 𝜕𝑥

130

(5.3)

DINÁMICA DE FLUIDOS

de Navier-Stokes:

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

Calculamos la componente en y de la cantidad de movimiento mediante la ecuación

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

el cálculo del campo de presión.

mediante la ecuación de Navier-Stokes así se tiene:

𝜕𝑝 = 𝐶´(𝑥 ) = 𝜌(−0.4 − 0.64𝑥 ) 𝜕𝑥

(5.5)

Integramos la ecuación 5.5 para obtener C(x) 𝐶 (𝑥 ) = 𝜌(−0.4𝑥 − 0.32𝑥 2 ) + 𝐶 Reemplazando 𝐶(𝑥) en la ecuación de la presión 5.2 se tiene: 𝑝 = 𝜌(1.2𝑦 − 0.32𝑦 2 ) + 𝜌(−0.4𝑥 − 0.32𝑥 2 ) + 𝐶, 𝑝 = 𝜌(1.2𝑦 − 0.32𝑦 2 − 0.4𝑥 − 0.32𝑥 2 ) + 𝐶.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Comparando las ecuaciones 5.3 y 5.4 se obtiene la igualdad:

ANÁLISIS VECTORIAL

(5.4)

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

𝜕𝑝 = 𝜌(−0.4 − 0.64𝑥 ). 𝜕𝑥

ÍNDICE

De la misma forma calculamos la componente en x de la cantidad de movimiento,

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

computación, por ejemplo en Matemáticas de Microsoft se obtiene la figura 5.14

DINÁMICA DE FLUIDOS

Por último podemos graficar el campo de presión en algún programa de

⃗⃗ = Figura 5.14 Grafica del campo de presión del campo de velocidad 𝑉 (𝑢, 𝑣) = (0.5 + 0.8𝑥 )𝑖⃗ + (1.5 − 0.8𝑦)𝑗⃗.

131

ÍNDICE

BIBLIOGRAFIA

Matemática

de la U.C.E., Quito, 1998.

[2] James Stewart, Cálculo, Grupo Editorial Iberoamérica s. a. México. 1994. [3] Jorge Lara, Cálculo en Varias Variables, Segunda edición, Centro de

ANÁLISIS VECTORIAL

[1] J. Lara, J. Arroba, Análisis Matemático, Tercera edición, Centro de

edición, Editorial McGraw-Hill, México, 2006. [5] Jerrold E. Mariden, Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial, Editorial Fondo Educativo Interamericano, S.A. , Bogotá , 1981. [6] Irving H. Shames, Mecánica de Fluidos, Tercera edición, Editorial McGraw-Hill, Bogotá, 1995. [7] Yunus A. Çengel, John M. Cimbala, Mecánica de Fluidos-Fundamentos y Aplicaciones, Editorial McGraw-Hill, México, 2006.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

[4] Larson- Hosteller-Edwards, Calculo II de Varias Variables, Octava

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Matemática de la U.C.E., Quito, 2006.

Editorial Limusa, México, 1993. [9] Sears, Zemansky, Young, Freedman, Física Universitaria, Novena edición, Editorial Addison Wesley, México, 1999.

DINÁMICA DE FLUIDOS

[8] James R, Welty, Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa,

Edición, Bogotá,1975. [11] Larson- Hosteller, Cálculo y Geometría Analítica, Sexta Edición, Volumen 2, Editorial McGraw-Hill, Madrid 1999. [12] Shoichiro Nakamura, Análisis Numérico y Visualización Gráfica con MATLAB, Primera edición, Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México, 1997. [13] Colegio Experimental “Simón Bolívar”, Documentos pedagógicos de la Comisión de Investigación y Experimentación Nº 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7, Quito, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009.

132

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

[10] V. Streter – E. Wylie, Mecánica de fluidos, Editorial McGraw-Hill, Sexta

133

METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA

DINÁMICA DE FLUIDOS

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS VECTORIAL

ÍNDICE