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Toda matriz A ∈ Rn×n sim´etrica es diagonalizable ortogonalmente. 1. Probar que si A ∈ Rn×n ∧ AT = A ⇒ ∃λ ∈ R, ∃v ∈ Rn , v 6= 0 tales que Av = λv. 2. La demostraci´ on se hace por inducci´on, se podr´ıa arrancar en n = 1 conviene hacer un par de pasos desde n = 2 para entender la idea.

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, pero

a) Probar que si A ∈ R2×2 es sim´etrica, ∃P ∈ R2×2 ortogonal /P T AP = D con D diagonal. Pistas: Por (1), ∃v ∈ R2 , λ ∈ R/kvk = 1 ∧ Av = λv. Sea w ∈ R2 /w ⊥ v ∧ kwk = 1. Mostrar que P T AP es una matriz diagonal, siendo P = [v w]. Recordar que si S es un subespacio invariante por A sim´etrica, entonces S ⊥ es invariante por A. b) Ahora para n = 3. Considerar λ, v En las condiciones de (1), y w1 , w2 ∈ R3 T tales que   P = [v w1 w2 ] es una matriz ortogonal. Mostrar que P AP = λ 0 con M ∈ R2x2 sim´etrica. Por lo tanto ∃Q ∈ R2×2 ortogonal / QT M Q 0 M es una matriz diagonal.   1 0 T . Mostrar que Q es ortogonal y que Q P T A P Q es Considerar Q = 0 Q diagonal, y que por lo tanto toda matriz A ∈ R3×3 sim´etrica es ortogonalmente diagonalizable. c) Seguramente a esta altura ya entendiste la idea y est´as en condiciones de dar el salto inductivo: probar que si la propiedad es verdadera para n×n entonces es verdadera para (n+1)×(n+1), con lo que la demostraci´on queda completa. Comentarios: 1. Esta es, en el fondo, la misma idea que sigue el Hoffman. 2. Esta misma demostraci´ on, con ligeros cambios, sirve para matrices normales. 3. El Grossman toma un camino distinto: intenta mostrar directamente que la multiplicidad geom´etrica coincide con la algebraica. Para mi gusto le falta una vuelta de rosca o dos...

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Toda matriz A ∈ R1×1 es (trivialmente) sim´etrica y diagonalizable ortogonalmente.