• Author / Uploaded
• Javier Chaparro

Citation preview

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

TEORÍA DE ARITMÉTICA UNIDAD 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos numéricos se han constituido a partir de necesidades tanto humanas como matemáticas en la siguiente forma: Números Imaginarios Números Complejos ℂ

Números Irracionales Números Reales ℝ

Números Fraccionarios Números Racionales ℚ

Naturales N Números Enteros, Z

Cero Negativos

CURSILLO GAONA SAE

1.1NOCIONES FUNDAMENTALES 1.1.1 CONJUNTOS Concepto Llamamos conjunto a toda colección bien definida de objetos. Para que un conjunto esté bien definido, debe ser posible determinar si un objeto cualquiera es un elemento del conjunto. Conjunto es la reunión, agrupación o colección de objetos o entidades de cualquier naturaleza, pero claramente diferenciados entre sí, a los que se denominan elementos”. Observación: a los conjuntos se los representan por letras en mayúscula y a sus elementos con letras minúsculas o con números. Son ejemplos de conjuntos:  Los alumnos de un aula.  Las vocales.  Los números pares o impares. FORMAS DE EXPRESAR LOS CONJUNTOS 1. Por extensión o en forma constructiva: se declara en forma individual cada elemento del conjunto. Ejemplo: Sea V, el conjuntos de las vocales. Entonces 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}. 2. Por comprensión o en forma simbólica: se declara la propiedad que caracteriza a todos los elementos. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 1

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Ejemplo: sea V el conjunto de las vocales, entonces 𝑉 = {𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠} o 𝑉 = {𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}, se lee sea V el conjunto cuyo elemento es x, tal que x es una vocal. El símbolo “/” se lee tal que. NOCIÓN DE PERTENENCIA Cada uno de los elementos de un conjunto pertenece a dicho conjunto. Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto se emplea el símbolo ∈ que se lee pertenece. Para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto se emplea el símbolo ∉ que se lee no pertenece. Por ejemplo en el conjunto de las vocales 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}, 𝑎 ∈ 𝑉 y 𝑏 ∉ 𝑉. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B se dice que B es subconjunto de A y se denota por 𝐵 ⊂ 𝐴 si todo elemento de B pertenece al conjunto A, se dice también que B está incluido en 𝐴 o que A incluye a 𝐵. CUANTIFICADORES. a. CUANTIFICADOR UNIVERSAL(∀): se lee “para todo o para cualquiera”. Ejemplo: ∀𝑥 ∈ 𝐴 se lee “para todo 𝑥 que pertenece al conjunto 𝐴”. b. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL(∃): se lee “existe al menos un”. Ejemplo: ∃𝑥 ∈ 𝐴 se lee “existe al menos un elemento 𝑥 perteneciente al conjunto𝐴”. IGUALDAD DE CONJUNTOS. Dos conjuntos son iguales si poseen los mismos elementos. Se simboliza como 𝐴 = 𝐵, y se lee el conjunta 𝐴 es igual al conjunto 𝐵. CURSILLO GAONA SAE

CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no poseen ningún elemento en común. ALGUNOS SÍMBOLOS UTILIZADOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS ∈ :𝑃𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 ⊄:𝑁𝑜𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 ∴ :𝑃𝑜𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∉ :𝑁𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 ⊃ :𝐼𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 :𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑞𝑢𝑒 ⊂ :𝐼𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∀:𝑃𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜 :𝑆𝑖𝑦𝑠ó𝑙𝑜𝑠𝑖 CLASES DE CONJUNTOS. CONJUNTO UNIVERSAL: tiene todos los elementos posibles en un caso particular que se encuentra bajo consideración. Se denota por 𝑈. Ejemplo: si 𝐴 = {𝑥 𝑥𝑒𝑠𝑢𝑛𝑎𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}, entonces: 𝑈 = {𝑥 𝑥𝑒𝑠𝑢𝑛𝑎𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜} CONJUNTO FINITO: es aquel que consta de cierto número de elementos distintos cuyo proceso de conteo tiene término. Ejemplo: 𝐴 = {1,2,3} CONJUNTO INFINITO: es cuando su número de elementos es infinito. Su proceso de conteo nunca acaba. Ejemplo: el conjunto de los números reales. CONJUNTO VACÍO: es el conjunto que carece de elementos. También se lo denomina por conjunto nulo y se simboliza por ∅. Por ejemplo si A es un conjunto vacío, entonces A=∅. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 2

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

SUBCONJUNTO. Un subconjunto B es un subconjunto de un conjunto A, si todos los elementos de B están en A. Se denotan 𝐵 ⊂ 𝐴. 1.1.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión entre conjuntos: la unión de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 (se simboliza por 𝑨 ∪ 𝑩)es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de 𝐴 con todos los elementos de 𝐵. Notación: 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 ∈ (𝑨 ∪ 𝑩)|𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩} Ejemplo: Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4} y 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}, se tiene que 𝐴𝑈𝐵 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}. Intersección entre conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B (Se simboliza por 𝑨 ∩ 𝑩), es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. Ejemplo: Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4} y 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}, se tiene que 𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 4}. Propiedades de la unión e intersección de conjuntos 1. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 2. 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 3. 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 4. 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 5. Si 𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 6. 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 7. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 8. 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 9. 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 10.𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 11.Si 𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 3

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

1.1.3 NÚMEROS NATURALES El conjunto ℕ de los números naturales surgió de la necesidad de contar. Se describe así: ℕ = {1,2,3,4,…} Numeración es la parte de la matemática que enseña a expresar y a escribir los números, esta puede ser hablada (enseña a expresar los números) y escrita (enseña a escribir los números). Cifras o guarismos son los signos que se emplean para representación de los números. El cero recibe el nombre de cifra no significativa o cifra auxiliar y las demás son cifras significativas. El cero representa los conjuntos nulos o conjuntos que carecen de elementos. Así pues la cifra cero carece de valor absoluto y se emplea para escribirla en el lugar correspondiente a un orden cuando el número que se escribe no hay unidades de ese orden. Número dígito: es el que consta de una sola cifra, como 2, 3, 4, 8. Número polidígito: es el que consta de dos o más cifras como 18, 526. Sistema de numeración es el conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir los números. BASE de un sistema de numeración es el conjunto de unidades de un orden que forman una unidad del orden inmediato superior. Así, en el sistema decimal empleado por nosotros, la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenas forman una centena; etc. CURSILLO GAONA SAE

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN DECIMAL HABLADA Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediatamente superior. NOMENCLATURA La nomenclatura decimal consta de órdenes y subórdenes. ORDENES. Si al número 1, que es la unidad de primer orden, añadimos sucesivamente, y una a una, unidades, formaremos los números dos, tres, cuatro, cinco, etc., hasta diez unidades, que ya forman una decena o unidad del orden superior inmediato. Decena es la unidad de segundo orden y es la reunión de diez unidades. A una decena añadimos los nombres de los nueve primeros números y obtenemos el once, doce, trece, etc., hasta llegar al veinte o a las dos decenas; a este añadimos otra vez los nombres de los nueve primeros números y formamos veintiuno, veintidós, veintitrés, etc., hasta treinta o tres decenas y procedemos de modo semejante obtenemos el cuarenta o cuatro decena, cincuenta o cinco decenas, etc., hasta llegar al cien o diez decenas que ya forman una unidad del orden superior inmediato. Centena es la unidad de tercer orden y es la reunión de diez decenas y cien unidades (desde aquí hacemos el mismo análisis hecho anteriormente hasta llegar a diez centenas o mil que ya forman una unidad del orden superior inmediato). Millar es la unidad de cuarto orden y es la reunión de diez centenas o mil unidades (desde aquí hacemos el mismo análisis hecho anteriormente hasta llegar a diez millares o diez mil que ya constituyen una unidad del orden superior inmediato). ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 4

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Decena de millar es la unidad de quinto orden y es la reunión de diez millares o diez mil unidades (… hasta llegar a diez decenas de millar o cien mil que ya constituyen una unidad del orden superior inmediato). Centena de millar es la unidad de sexto orden y es la reunión de diez decenas de millar. De modo semejante llegaremos al millón o unidad de séptimo orden que consta de diez centenas de millar o mil millares; decena de millón o unidad de octavo orden, que costa de diez millones; centenas de millón o unidad de duodécimo orden; billón o unidad de décimo tercer orden y que es la reunión de un millón de millones; trillón o unidad de décimo noveno orden que es la reunión de un millón de billones; cuatrillón o unidad de vigésimo quinto orden que es la reunión de millón de trillones; quintillón o unidad de trigésimo primer orden; etc. CLASES Y PERIODOS es la reunión de tres órdenes, comenzado por las unidades simples, constituye una clase; así las unidades, decenas y centenas forman la clase de las unidades; las unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar forman la clase de los millares; y así sucesivamente. La reunión de dos clases forma un periodo. Así la clase de las unidades y la clase de los millares forman el periodo de las unidades; la clase de los millones y la de los millares de millón forman el periodo de los millones; la clase de los billones y la de los millares de billón forma el periodo de los billones, y así sucesivamente. SUBÓRDENES: del mismo modo que la decena consta de diez unidades, la centena de diez decenas, etc., podemos suponer que la unidad simple o de primer orden está dividida en diez partes iguales a que reciben el nombre de décimas y que constituyen el primer suborden; cada décima se divide en otras diez partes iguales llamadas centésimas y que forman el segundo suborden; cada Centésima se divide en otras diez partes llamadas milésimas que forman el tercer suborden; y así sucesivamente se van obteniendo las diezmilésimas o cuarto suborden; las cienmilésimas o quinto suborden; las millonésimas o sexto suborden; etc. CURSILLO GAONA SAE

1.1.4 NÚMEROS REALES. CLASIFICACIÓN Cualquier definición inicial de número real carece de rigor mientras no se vean algunas de sus propiedades:  En los números reales se puede establecer una relación de orden entre los números positivos, los números negativos y el cero.  El cero no tiene signo.  El valor absoluto de un número real es el que obtiene al prescindir de un signo.  El opuesto de un número real es el número con el mismo valor absoluto pero con distinto signo.  El inverso (o recíproco) de un número real es el número tal que al multiplicar un número por su inverso, el resultado es la unidad. Para comparar números reales, debemos tener en cuenta:  Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.  Cualquier número negativo es menor que cero.  Entre dos números positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto; es decir el que este más lejano a 0 en la recta numérica.  Entre dos números negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; es decir el que este más próximo a 0 en la recta numérica. Los números reales se clasifican en:

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 5

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Números enteros: está constituido por la unión de los números naturales, el cero y los números negativos, se representa por ℤ. Números racionales: son números que se pueden representar como el cociente de dos números enteros, es decir,

𝑎 𝑏

donde 𝑎,𝑏 ∈ ℤ, se simboliza por Q, es decir 𝑎 ℚ = 𝑥 𝑥 = ,𝑎,𝑏 ∈ ℤ, 𝑎 ≠ 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ℤ ⊂ ℚ 𝑏

{

}

Números irracionales: son los números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Este conjunto se simboliza por ℚ´. Ejemplos de Números Irracionales: El número pi: = 3,14159256… El número de Euler: e=2,718281828… La razón de Oro =1,618033989… La unión del conjunto de los números racionales con la de los irracionales, se simboliza por ℝ. 1.1.5 NÚMEROS COMPLEJOS El conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a,b ∈ ℕ, e i es la raíz positiva de la unidad negativa denominada unidad imaginaria, se simboliza como: ℂ = {𝑥⁄𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖,𝑎,𝑏 ∈ 𝑅, 𝑖 = ( ‒ 1)} 1.2 NÚMEROS REALES 1.2.1 OPERACIONES ELEMENTALES

CURSILLO GAONA SAE

LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS SE CLASIFICAN EN:  Operaciones de composición o directas: suma , multiplicación, potenciación, y  Operaciones de descomposición o inversas: resta, división, radicación y logaritmación. (A) SUMA SUMA DE CONJUNTOS: dados dos o más conjuntos que no tienen elementos en común, es reunir en un solo conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos dados y solo ellos. SUMA DE NÚMEROS NATURALES Es el número cardinal del conjunto suma de los conjuntos cuyos números cardinales son los números dados. LEYES DE LA SUMA, son cincos: LEY DE UNIFORMIDAD (TIENE TRES FORMAS EQUIVALENTES): a. Las sumas de varios números dados tiene un valor único o siempre es igual. b. Las sumas de números respectivamente iguales son iguales. c. Suma de igualdades. Sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta una igualdad. LEY CONMUTATIVA: El orden de los sumandos no altera la suma. LEY ASOCIATIVA: La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 6

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

LEY DISOCIATIVA: La suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumandos en dos o más sumandos. LEY DE LA MONOTONÍA (CONSTA DE DOS PARTES): a. Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades resulta una desigualdad del mismo sentido. b. Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido. Observación: Si se suman desigualdades de sentidos contrarios, el resultado no puede anticiparse, pudiendo resultar una igualdad, una desigualdad del mismo sentido que la primera desigualdad o mismo sentido que la segunda. TEOREMAS a. (EA) “En toda suma si un sumando aumenta o disminuye un número, la suma aumenta o disminuye el mismo número”. b. (EA) “En toda suma si un sumando aumenta y otro sumando disminuye el mismo número, la suma no varía”. (B) RESTA. SU OBJETIVO COMO INVERSA DE LA SUMA. La resta es una operación inversa de la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia). La resta sumada con el sustraendo tiene que dar el minuendo. CURSILLO GAONA SAE

LEYES DE LA RESTA, son dos: la ley de la uniformidad y la ley de monotonía. LEY DE LA UNIFORMIDAD (TIENE DOS MODOS EQUIVALENTES): a. La diferencia entre dos números tiene un valor único y siempre es igual. b. Restando miembro a miembro dos desigualdades, resulta otra igualdad. LEY DE LA MONOTONÍA (CONSTA DE TRES PARTES): a. Si de una desigualdad (minuendo) se le resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se puede efectuar, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo. b. Si de una igualdad (minuendo) se resta una desigualdad (sustraendo), siempre que la resta se puede efectuar, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo. c. Si en una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido contrario, siempre que la resta sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la del minuendo. TEOREMAS. ALTERACIONES DEL MINUENDO Y EL SUSTRAENDO. a. (EA) "En toda resta si el minuendo aumenta o disminuye un número y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en el mismo número". b. (EA) "En toda resta si el sustraendo aumenta o disminuye un número y el minuendo no varía, la diferencia queda disminuida o aumentada en el mismo número". c. (EA) “En toda resta si el minuendo y el sustraendo aumenta o disminuyen a la vez un mismo número, la diferencia no varía”. OPERACIONES INDICADAS DE SUMA Y RESTA.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 7

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Operaciones indicadas de suma y resta en que no hay signos de agrupación, estas operaciones se efectúan en el orden que se hallan. Operaciones indicadas de suma y resta en que hay signos de agrupación, deben efectuarse es este orden: primero, las operaciones encerradas dentro de los paréntesis, luego las que están entre corchete y finalmente las que están entre llaves, hasta convertirlas en un solo número y luego efectuar las operaciones que queden indicadas. (C) MULTIPLICACIÓN. SU OBJETO. La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un número llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad. RELACIÓN ENTRE EL PRODUCTO Y EL MULTIPLICANDO. I. Si el multiplicador es cero, el producto es cero. II. Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando III. Si el multiplicador es >1, el producto es > que el multiplicando. IV. Si el multiplicador es b>c, A>B>C, luego podemos formar con estas cantidades una serie de razones iguales: 𝐴 𝐵 𝐶 = = 𝑎 𝑏 𝑐 Y por el teorema que dice que “En toda serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente” tendremos: 𝐴+𝐵+𝐶 𝐴 𝑁 𝐴 𝑁.𝑎 =  = ∴𝐴= 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 𝐴+𝐵+𝐶 𝐵 𝑁 𝐵 𝑁.𝑎 =  = ∴𝐵= 𝑎+𝑏+𝑐 𝑏 𝑎+𝑏+𝑐 𝑏 𝑎+𝑏+𝑐 𝐴+𝐵+𝐶 𝐶 𝑁 𝐴 𝑁.𝑎 =  = ∴𝐶= 𝑎+𝑏+𝑐 𝑐 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 Se deduce que para repartir un número 𝑁 en partes proporcionales a otros varios se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los otros números y se divide por la suma de éstos. CURSILLO GAONA SAE

REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO: 2. Repartir un número 𝑁 en partes (𝐴,𝐵,C) directamente proporcionales a varios números enteros a, b, c se multiplica el número que quiere repartir por cada uno de los otros y se divide por su suma. 𝑁𝑥𝑎

𝑁𝑥𝐵

𝑁𝑥𝐶

O sea: 𝑎 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 : b= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ; c = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3. Repartir un número A, en partes directamente proporcionales a varios quebrados: se reducen los quebrados a un común denominador y se divide el número dado en partes proporcionales a los numeradores. REPARTO PROPORCIONAL INVERSO: Regla General: se invierten los números dados y se reparte el número que se quiere dividir en partes directamente proporcionales a estos inversos. Repartir un número N en partes (𝐴,𝐵,C) inversamente proporcionales a varios números enteros a, b, c. 1 1 1 𝑁. 𝑁. 𝑁. 𝑎 𝑏 𝑐 ∴ 𝐴= ;𝐵= ;𝐶= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 35

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

REPARTICIÓN COMPUESTA: es aquel en que hay que repartir una cantidad en partes proporcionales a los productos de varios números. Repartir un número 𝑁 en partes (𝐴,𝐵,C) directamente proporcionales a varios números enteros 𝑥, 𝑦, z y que sean también inversamente proporcionales a a, b, c. Se reparten proporcionalmente al producto de 𝑥, 𝑦 y 𝑧 con los inversos de 𝑎,𝑏 y 𝑐. 𝑥 𝑦 𝑧 𝑁. 𝑁. 𝑎 𝑏 𝑐 ∴ 𝐴= ;𝐵= ;𝐶= 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 + + + + + + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑁.

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 36

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

TEORIA DE ALGEBRA UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Parte 11

2.1 INTRODUCCIÓN.

ALGEBRA. Es la parte de la matemática que estudia a la cantidad del modo más amplio posible generalizando a la aritmética por medio de las letras del abecedario y el alfabeto. En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de las letras, las cuales pueden representar todos los valores posibles: enteros, fraccionarios, positivos, negativos, reales, imaginarios y complejos. FÓRMULA ALGEBRAICA. Solo explicar Es la representación, por medio de letras, de una regla o un principio en general. Los signos empleados en el álgebra son tres: signos de operación, signos de relación, signos de agrupación. SIMBOLISMO DE CANTIDADES. Solo explicar Las cantidades conocidas o constantes se representan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, etc.; y las cantidades desconocidas o incógnitas por las últimas letras w, x, y, z. SIGNO DE RELACIÓN. Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: Mencionar nada mas o El signo = que se lee (es igual a), así tenemos 𝑚 = 𝑛, el cual se lee “𝑚𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑛” o El signo ≠ se lee (distinto de); es decir si tenemos 𝑚 ≠ 𝑛, el cual se lee “𝑚𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑛”. o El signo ≤ se lee (menor o igual a); así 𝑚 ≤ 𝑛 lo leeremos “𝑚𝑒𝑠𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑜𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛”. o El signo ≥ se lee (mayor o igual a); así 𝑚 ≥ 𝑛 se dice “𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑜𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛”. o El signo > se lee (mayor que); así 𝑚 > 𝑛 se dice “𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒𝑛”. o El signo < se lee (menor que); así 𝑚 < 𝑛, el cual se lee “𝑚𝑒𝑠𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒𝑛”. CURSILLO GAONA SAE

SIGNOS DE OPERACIONES. Los signos empleados en el álgebra para indicar las operaciones son los mismos que los usados en Aritmética, ellas son la suma, la resta, la multiplicación, la división la potenciación, la radicación y la logaritmación, etc. SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Son los símbolos utilizados en el Algebra y en la aritmética para separar las operaciones básicas entre sí. Así podemos citar: 1. El paréntesis ordinario ( ). Mencionar 2. El paréntesis angular o corchete [ ]. 3. Las llaves { }. COEFICIENTE. En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor, y los mismos pueden ser coeficientes numéricos o literales. Ejemplo: 4𝑥2 donde 4 es el coeficiente de 𝑥2; 3𝑦5 donde 3 es el coeficiente de 𝑦5; z donde 1 es el coeficiente de z. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 37

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por los signos + o -. Ejemplo: 𝑎, 3𝑏, 28𝑥𝑦; 𝑧58𝑡99𝑤2012 EXPRESIÓN ALGEBRAICA: es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Ejemplo: 𝑎 , 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑦(𝑧 + 𝑘) 2.2 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Pueden clasificarse en expresiones algebraicas propiamente dichas y expresiones trascendentes. 2.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES o Las expresiones algebraicas propiamente dichas son las que solo contiene letras sometidas a seis operaciones elementales a saber, la suma, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación; no incluyendo las potencias de exponentes variable y las raíces de índice variable. 3𝑎𝑥2 ‒ 7𝑎2 𝑥 + 5𝑎3, 2𝑎𝑏 – 𝑥 𝑚𝑛 , 3𝑙𝑜𝑔(2) + 5𝑥 ,

Así:

𝑥 2 ‒ 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎2

, son expresiones algebraicas

propiamente dichas. Las expresiones trascendentes son aquellas en donde las letras están sujetas a otras operaciones, tales como las que contienen funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 – 1) ; 5𝑡𝑔 (2𝑥 – 3) ; 𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 3𝑦 ; 𝑎𝑥 + 3 Así: son expresiones algebraicas trascendentes. o

CURSILLO GAONA SAE

2.2.2 EXPRESIONES RACIONALES E IRRACIONALES. o Las expresiones racionales son aquellas que simplificadas no tienen radicales o exponentes fraccionarios afectando a las letras. x+y Explicar, no copiar la teoria Así tenemos: 2x2–5a2x + 4a3 ; x ‒ 2y ; 3x ‒ y o Las expresiones irracionales son las que contienen letras en el radicando o con exponentes fraccionarias una vez simplificada la expresión. 𝑥‒ 𝑦

Así podemos tener:𝑥 +

𝑌

3

; 𝑥 𝑥 ‒ 2 𝑥 ‒ 12 ; 𝑥

1 4

–𝑥

4 2

𝑦 + 𝑦314

2.2.3 EXRESIONES ENTERAS Y FRACCIONARIAS. o Las expresiones enteras son las que no contienen letras en el denominador o con exponente negativo una vez simplificada la misma. Así tenemos: 3𝑥2𝑦10, 25𝑥4𝑦𝑧2 o Las expresiones fraccionarias son las que contienen letras en el denominador o bien con x+y

exponentes negativos, así tenemos: 3x ‒ y , 𝑥 ‒ 5 + 𝑦 ‒ 2009 , 𝑒𝑡𝑐 2.2.4 EXPRESIONES REALES E IMAGINARIAS. Son reales cuando los términos poseen coeficientes reales, e imaginarias cuando los mismos son imaginarios. 2.2.5 MONOMIO Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplo: 408𝑥107𝑧428𝑦5042, 2 𝑥 , 3

4𝑥

4

MONOMIO SEMEJANTES O TÉRMINOS SEMEJANTES. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 38

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Dos o más términos semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Ejemplo: 2𝑎𝑦𝑎; ‒ 2𝑏𝑦 8𝑏; ‒ 5𝑎3𝑏2𝑦 ‒ 8𝑎3𝑏2; 𝑥𝑚 + 1𝑦3𝑥𝑚 + 1 Los términos 4ab y 𝑎2𝑏 no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, estas no tienen los mismos exponentes, ya que a del primero tiene exponente 1 y la a del segundo tiene exponente 2. Los términos ‒ 𝑏𝑥4𝑦𝑎𝑏4 no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales. GRADO DE UN MONOMIO. Pueden ser:  ABSOLUTO: es la suma de los exponentes de sus factores literales. Ejemplo: 408𝑥107𝑧428𝑦1477 tiene grado: 2012  RELATIVO A UNA LETRA: es el exponente de dicha letra. Ejemplo: 408𝑥107𝑧428𝑦1477 respecto a 𝑥 tiene grado 107, respecto a 𝑦 tiene grado 1477. EL GRADO DE UN MONOMIO RACIONAL ENTERO: Es la suma de los exponentes de las letras que en el figuran. Ejemplo: 5𝑥4𝑦2𝑧 es de séptimo grado. EL GRADO DE UN MONOMIO RACIONAL FRACCIONARIO: Es la diferencia entre el grado del numerador y el del denominador. Ejemplo:

𝑥5 𝑦3

es de segundo grado; 𝑦4𝑧 ‒ 3es de primer grado.

EL GRADO DE UN MONOMIO IRRACIONAL: Se calcula el grado del radicando, se divide por el índice 3 de la raíz y se suma el cociente al grado del factor literal exterior a la raíz ( 𝑥2𝑦3𝑧4)𝑥2 es de grado 5. Grado del radicando 2 + 3 + 4 = 9, el índice de la raíz es 3 y por tanto el grado del radical es 9 ÷ 3 = 3. Luego el grado del factor literal del monomio exterior de la raíz es 2. Finalmente el grado del monomio racional es 3 + 2 = 5 CURSILLO GAONA SAE

2.2.6 POLINOMIO. Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término. En particular al polinomio de dos términos se le llama binomio; al de tres, trinomio y al de cuatro, cuatrinomio. Ejemplo: 3𝑎𝑥2 ‒ 7𝑎2𝑥 + 5𝑎3(𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜), 2𝑎𝑏 – 𝑥 𝑚𝑛(𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜), 3𝑙𝑜𝑔(2) + 5𝑥(𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜) POLINOMIO RACIONAL Y ENTERO EN RELACIÓN A UNA LETRA. Es el polinomio que no contiene dicha letra en el radicando, ni en el denominador, ni con exponentes fraccionarios, ni negativo. POLINOMIO HOMOGÉNEO. Cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto. Ej.: 4𝑎3 + 3225𝑎𝑏2 ‒ 45𝑏3 POLINOMIO HETEROGÉNEO: cuando sus términos no son del mismo grado. POLINOMIO COMPLETO. Con relación a una letra, es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra desde cero hasta la más elevada. Ejemplo:𝑥4 ‒ 3 + 𝑥5 ‒ 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 POLINOMIO ORDENADO.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 39

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Con relación a una letra, es el polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. Ej.: 𝑥4 ‒ 58𝑥3 + 48𝑥2 ‒ 9𝑥 + 1990 donde respecto de x el polinomio es ordenado en forma decreciente. El polinomio 𝑥4 ‒ 𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 ‒ 𝑥𝑦3 + 𝑦4 está ordenado de forma descendente respecto de x y de forma ascendente respecto de y. TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO. Es el término que no contiene dicha letra o cuyo grado absoluto es cero. Ejemplo: sea el término 𝑎. 𝑥0 pues 𝑥0 = 1, luego 𝑎.𝑥0 = 𝑎 POLINOMIO GENERAL. Un polinomio es general en relación a una letra, cuando su grado es representado por una letra o por una expresión literal. Se representa según la siguiente simbología: 𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝑎2𝑥𝑛 ‒ 2 + …𝑎𝑛 ‒ 1𝑥 + 𝑎𝑛 Es un polinomio general en relación de la letra 𝑥. La simbología 𝑃(𝑥) equivale a decir que es un polinomio cuya variable es la letra x. Si el polinomio es general y completo en relación a una letra considerada, el número de término es siempre uno más que el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. GRADO DE UN POLINOMIO. Pueden ser: GRADO ABSOLUTO: El grado absoluto de un polinomio es el grado del término de mayor grado, por ejemplo,𝑥5 ‒ 2𝑥3𝑦 + 4, el primer término es de quinto grado y el segundo de cuarto grado; por lo tanto el polinomio es de quinto grado. CON RELACIÓN A UNA LETRA: el grado de un polinomio con respecto a una letra es el mayor exponente de esa letra o literal, por ejemplo, 4𝑥4 + 𝑥3 + 𝑦5 si buscamos el grado con respecto a la letra x, el polinomio será de grado cuatro; de igual forma el grado del polinomio con respecto a la letra y será de quinto grado. CURSILLO GAONA SAE

2.2.7 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por ciertos valores numéricos dados y efectuando luego las operaciones indicadas. Ejemplo: Sea el polinomio 6𝑥3 ‒ 𝑥2 + 5𝑥 ‒ 10, su valor para 𝑥 = 2 es 6 × 23 ‒ 22 + 5 × 2 ‒ 10 que es igual a 53. 2.3 EXPRESIONES RACIONALES 2.3.1 EXPRESIONES ENTERAS (NO FRACCIONARIAS) 2.3.1.1 OPERACIONES ELEMENTALES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. (A) SUMA DE MONOMIOS Y DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS. Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas llamados sumados, en una sola expresión más simple llamada suma. Así la suma de 3𝑚 y 5𝑛 es 3𝑚 + 5𝑛 porque está última es la reunión de los sumados 3𝑚 y 5𝑛. También la suma de 𝑚 y –𝑛 es 𝑚 ‒ 𝑛 porque es la reunión de los sumandos 𝑚 y – 𝑛. En este punto podemos hacer una observación importante que en el álgebra la suma tiene un concepto más general que en la aritmética, es decir que la adición puede significar aumento como en el primer ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 40

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

ejemplo o disminución como en el segundo ejemplo a diferencia de la aritmética en donde la suma siempre significa aumento.

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 41

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

REGLAS GENERALES PARA LA SUMA:

Explicar con un ejercicio º1

1) Para sumar dos monomios entre sí, se escriben todos los sumandos uno a continuación del otro con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si es que las hay. 2) Para sumar polinomios con monomios, o dos polinomios entre sí, una alternativa interesante sin colocar todos los términos uno a continuación del otro, se suele colocar los polinomios uno debajo del otro teniendo el cuidado de colocar todos los términos semejantes de cada uno de los polinomios bajo una misma columna. En el caso de colocar un polinomio con uno o más términos del mismo que no sean semejantes con los ya colocados, se los ubica a la derecha o bien a la izquierda de los términos colocados anteriormente para continuar con la suma. (B) RESTA DE MONOMIOS Y DE POLINOMIOS, CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS. Es una operación que tiene por objetivo dadas dos expresiones llamadas (minuendo y sustraendo) hallar la expresión más simple que sumada con el sustraendo de él minuendo. Este resultado se llama resto o diferencia. Si de 𝑚 minuendo queremos restar 𝑛 sustraendo, la diferencia será 𝑚 ‒ 𝑛. En efecto 𝑚 ‒ 𝑛 es la diferencia ya sumada con el sustraendo 𝑛 reproduce el minuendo 𝑚 es decir 𝑚 ‒ 𝑛 + 𝑛 = 𝑚 REGLA GENERAL PARA RESTAR: Para restar una expresión algebraica de otra se escribe los términos del minuendo conservándose los signos de los mismos para luego colocar los términos del sustraendo con los signos contrarios. Posteriormente se reducen los términos semejantes si es que existen y se escribe finalmente el resultado final. Así podemos restar a) monomio con monomio b) polinomio con monomio, o bien monomio con polinomio c) polinomio con polinomio. En el caso “c” conviene colocar el minuendo y el sustraendo uno debajo del otro así como en la suma de polinomios. (C) SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS, CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS. 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del minuendo 5. Se efectúa la suma indicada CURSILLO GAONA SAE

(D) USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Regla para suprimirlos. Regla General: 1) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que tenga a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 2) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. Ejemplo: Cuando signos de agrupación están incluidos dentro de otros, como en este ejemplo, se suprime uno de cada paso empezando por el más interior: 𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 ⇒ 3𝑎 + { ‒ 5𝑥 ‒ [ ‒ 𝑎 + (9𝑥 ‒ 𝑎 ‒ 𝑥)]} 𝑆𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 = 3𝑎 + { ‒ 5𝑥 ‒ [ ‒ 𝑎 + 9𝑥 ‒ 𝑎 ‒ 𝑥]} 𝑆𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑐ℎ𝑒𝑡𝑒, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 = 3𝑎 + { ‒ 5𝑥 + 𝑎 ‒ 9𝑥 + 𝑎 + 𝑥} 𝑆𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑣𝑒𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 = 3𝑎 ‒ 5𝑥 + 𝑎 ‒ 9𝑥 + 𝑎 + 𝑥 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 5𝑎 ‒ 13𝑥 (E) MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS, DE MONOMIO CON POLINOMIOS Y DE POLINOMIOS ENTRE SÍ. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 42

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS LEY DE LOS SIGNOS. La multiplicación de dos factores del mismo signo da (+), y signo distintos da (-). En la multiplicación de varios factores es (+) cuando la cantidad de factores negativos es par o no existen, y es (-) cuando es impar. LEY DE LOS EXPONENTES PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES. Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base. Considera que m y n son enteros positivos: SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia. Si m y n son enteros positivos: Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos los exponentes. TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores. Simbólicamente:

CURSILLO GAONA SAE

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO Si se multiplican un polinomio por un monomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos. Para multiplicar dos polinomios se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y se reducen los términos semejantes. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS CON EXPONENTES LITERALES. Se tiene en cuenta la Ley de los exponentes de la multiplicación. Ejemplo: El producto de 𝑥𝑚 + 2 + 4𝑥𝑚 ‒ 2𝑥𝑚 ‒ 3 por 𝑥2𝑚 ‒ 2𝑥: →𝑥𝑚 + 2(𝑥2𝑚) + 4𝑥𝑚(𝑥2𝑚) ‒ 2𝑥𝑚 ‒ 3(𝑥2𝑚) + 𝑥𝑚 + 2( ‒ 2𝑥) + 4𝑥𝑚( ‒ 2𝑥) ‒ 2𝑥𝑚 ‒ 3( ‒ 2𝑥) →𝑥𝑚 + 2 + 2𝑚 + 4𝑥𝑚 + 2𝑚 ‒ 2𝑥𝑚 ‒ 3 + 2𝑚 ‒ 2𝑥𝑚 + 2 + 1 + 4( ‒ 2)𝑥𝑚 + 1 ‒ 2( ‒ 2)𝑥𝑚 ‒ 3 + 1 →𝑥3𝑚 + 2 + 4𝑥3𝑚 ‒ 2𝑥3𝑚 ‒ 3 ‒ 2𝑥𝑚 + 3 ‒ 8𝑥𝑚 + 1 + 4𝑥𝑚 ‒ 2 Hasta

aca parte 11

Parte 12

(F) DIVISIÓN DE POLINOMIOS, DE MONOMIOS CON POLINOMIOS Y DE POLINOMIOS ENTRE SÍ. Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividiendo 𝐷(𝑥) y uno de ellos divisor 𝑑(𝑥), hallar el otro factor llamado cociente 𝐶(𝑥)que es el resultado de la división. Se deduce que el cociente multiplicado con el divisor reproduce exactamente el dividendo, es decir, 𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥) × 𝐶(𝑥) Explicar que la definicion es igual que en algebra ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 43

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

LEY DE LOS SIGNOS. Al dividir cantidades de signos iguales el resultado siempre es positivo y la división de cantidades de signos contrarios siempre es negativo. LEY DE LOS EXPONENTES Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes del dividendo y del divisor. Ejemplo: 𝑎𝑚 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚 ‒ 𝑛 o 𝑎5 ÷ 𝑎3 = 𝑎2

DIVISIÓN DE MONOMIOS Se dividen los coeficientes del dividendo y el divisor entre sí, siendo dicho resultado el coeficiente del cociente y como parte literal se colocan las letras elevadas a un exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el divisor de dichas letras. Ejemplo: Dividir

2 2 3 3𝑎 𝑏 𝑐

‒

5 2 6𝑎 𝑏𝑐

4

=‒ 5𝑏2

DIVISIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO Se efectúa dividiendo todos los términos del polinomio por el monomio, simplificando como lo hicimos en el caso anterior y luego se forma el polinomio cuyos términos son los cocientes así obtenidos. Ejemplo: Dividir 3𝑎3 ‒ 6𝑎2𝑏 + 9𝑎𝑏2 entre 3𝑎. 3𝑎3 ‒ 6𝑎2𝑏 + 9𝑎𝑏2 3𝑎2 6𝑎2𝑏 9𝑎𝑏2 (3𝑎 ‒ 6𝑎 𝑏 + 9𝑎𝑏 ) ÷ 3𝑎 = = ‒ + = 𝑎2 ‒ 2𝑎𝑏 + 3𝑏2 3𝑎 3𝑎 3𝑎 3𝑎 3

2

2

CURSILLO GAONA SAE

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO Hacer directo el ejemplo  Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.  Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor y tendremos el primer término del cociente.  Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se cambia de signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.  Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.  Este segundo término del cociente se multiplica con todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.  Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero o un polinomio de menor grado que el divisor.  En caso que unos de los polinomios esté incompleto, una alternativa es la de completar su lugar con cero o bien dejar dicho lugar libre, para efectuar las divisiones.  Si los polinomios tienen exponentes literales, se procede de la misma forma, ordenando cada polinomio en forma descendente. Ejemplo: Dividir:3𝑚7 ‒ 11𝑚5 + 𝑚4 + 18𝑚3 ‒ 3𝑚2 ‒ 8𝑚 + 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑚4 ‒ 3𝑚2 + 4

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 44

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

(G) DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON EXPONENTES LITERALES. Se desarrolla como una división de polinomios con exponentes reales tienen en cuenta la Ley de Exponentes en la división. Ejemplo: Dividir 3𝑎𝑥 + 5 + 19𝑎𝑥 + 3 ‒ 10𝑎𝑥 + 4 ‒ 8𝑎𝑥 + 2 + 5𝑎𝑥 + 1 entre 𝑎2 ‒ 3𝑎 + 5 3𝑎𝑥 + 5 ‒ 10𝑎𝑥 + 4 + 19𝑎𝑥 + 3 ‒ 8𝑎𝑥 + 2 + 5𝑎𝑥 + 1𝑎2 ‒ 3𝑎 + 5 ‒ 3a𝑥 + 5 + 9𝑎𝑥 + 4 ‒ 15𝑎𝑥 + 3 3𝑎𝑥 + 3 ‒ 𝑎𝑥 + 2 + 𝑎𝑥 + 1 ‒ 𝑎𝑥 + 4 + 4𝑎𝑥 + 3 ‒ 8𝑎𝑥 + 2 𝑎𝑥 + 4 ‒ 3𝑎𝑥 + 3 + 5𝑎𝑥 + 2 ‒ 3𝑎𝑥 + 2 + 5𝑎𝑥 + 1 𝑎𝑥 + 3 ‒ 5𝑎𝑥 + 1 ‒ 𝑎𝑥 + 3 + 3𝑎𝑥 + 2 (0)

(H) DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. TEOREMA DEL RESTO POLINOMIO GENERAL. Un polinomio general en relación a un grado, cuando su grado es representado por una expresión literal, o sea: 𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝑎2𝑥𝑛 ‒ 2 + … + 𝑎𝑛 ‒ 1𝑥 + 𝑎𝑛es un polinomio general de grado n en x. Si n es entero y positivo, el polinomio se llama entero y racional en x, en donde los coeficiente son: 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2,…, 𝑎𝑛 ‒ 1, 𝑎𝑛. Debe recordarse que “todo polinomio completo de grado n tiene n+1 términos”. POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO: Un polinomio es idénticamente nulo cuando sus valores numéricos son nulos para todos los valores atribuidos a la variable. CURSILLO GAONA SAE

CONDICIÓN: Para que un polinomio racional entero es x sea idénticamente nulo en relación a una variable, es necesario y suficiente que los coeficientes de todas las potencias de la variable, inclusive el de la potencia cero sean nulos. Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝑎2𝑥𝑛 ‒ 2 + … + 𝑎𝑛 ‒ 1𝑥 + 𝑎𝑛, entonces para que sea idénticamente nulo la condición es 𝑎0 = 𝑎1 = 𝑎2 = …𝑎𝑛 ‒ 1 = 𝑎𝑛 = 0 POLINOMIO IDÉNTICOS. Dos polinomios son idénticos entre si cuando sus valores numéricos son iguales para todos los valores atribuidos a la variable o a las variables que en ellos figuran. CONDICIONES:Para que dos polinomios racionales, enteros sean idénticos entre sí, en relación a una variable, es necesario y suficiente que: Sean los polinomios 𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝑎2𝑥𝑛 ‒ 2 + … + 𝑎𝑛 ‒ 1𝑥 + 𝑎𝑛 y 𝑄(𝑥) = 𝑏0𝑥𝑚 + 𝑏1𝑥𝑚 ‒ 1 + 𝑏2𝑥𝑚 ‒ 2 + … + 𝑏𝑚 ‒ 1𝑥 + 𝑏𝑚 1. Sean del mismo grado. Entonces 𝑚 = 𝑛. 2. Los coeficientes de las potencias del mismo grado de las variables sean iguales. Entonces se verifica que: 𝑎0 = 𝑏0; 𝑎1 = 𝑏1; 𝑎2 = 𝑏2;…;𝑎𝑛 = 𝑏𝑚 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES A DETERMINAR (MÉTODOS DE DESCARTES) Se aplica para determinar el coeficiente y resto de una división, para realizar operaciones con polinomios que cumplan ciertas condiciones, etc. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 45

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Consiste en lo siguiente: 1. Se toman los resultados hipotéticos de acuerdo con las condiciones exigidas, dándoles coeficientes arbitrarios a determinar (conociendo los grados del polinomio dividendo y divisor, se puede saber el grado del cociente y el posible grado del resto) 2. Se forman una identidad relacionando los elementos dados y los resultados hipotéticos; 3. Por operaciones algebraicas se transforma a polinomios idénticos o uno idénticamente nulo; 4. Se resuelve el sistema obteniendo los valores buscados. Anteriormente, por la definición de división, teníamos que si el dividendo era igual al producto entre el divisor por el cociente, entonces la división es exacta pero esto no sucede siempre, al igual que en aritmética puede existir un resto que será un polinomio, generalmente. Se cumple además, al igual que en aritmética, que: 𝑃(𝑥) = 𝑑(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) donde 𝐷, 𝑑, 𝑄 𝑦 𝑅 son polinomios enteros y racionales en 𝑥. Se trata de formar una identidad con las condiciones pedidas por el problema, de modo que aplicando la condición necesaria para que los dos polinomios sean idénticos, se puedan determinar dichos coeficientes. Esto tendrá sentido siempre y cuando el número de incógnitas no sea mayor que el grado del polinomio aumentado en la unidad. Si los polinomios son: 𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝑎2𝑥𝑛 ‒ 2 + … + 𝑎𝑛 ‒ 1𝑥 + 𝑎𝑛 y 𝑑(𝑥) = 𝑏0𝑥𝑝 + 𝑏1𝑥𝑝 ‒ 1 + 𝑏2𝑥𝑝 ‒ 2 + … + 𝑏𝑝 ‒ 1𝑥 + 𝑏𝑝 ; debe cumplirse lo siguiente: 1. El grado de 𝑄(𝑥), es igual a la diferencia entre los grados de𝑃(𝑥) y de 𝑑(𝑥), o sea el grado de 𝑄( 𝑥) es igual a 𝑛 ‒ 𝑝 2. El grado de𝑅(𝑥), es igual al grado de 𝑑(𝑥) restado en uno, esto es, el grado de R(x) como máximo es igual a p-1. CURSILLO GAONA SAE

Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de la división entre: 2𝑥4 + 3𝑥2 + 12y𝑥3 ‒ 3𝑥2 + 2 por el método de Descartes. Se tiene que: 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 + 3𝑥2 + 12 y 𝑑(𝑥) = 𝑥3 ‒ 3𝑥2 + 2 Se observa que 𝑃(𝑥) es de cuarto grado y 𝑑(𝑥) de tercer grado, luego 𝑄(𝑥) debe ser de grado 4 ‒ 3 = 1, 𝑄(𝑥) es de primer grado, o bien 𝑄(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵. No se sabe si la división es exacta, entonces asumimos que hay un resto 𝑅(𝑥) que tiene grado máximo igual a 3 ‒ 1 = 2, entonces 𝑅(𝑥) es de segundo grado y 𝑅(𝑥) = 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸. Se escribe entonces: 𝑃(𝑥) = 𝑑(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥), esto es: 2𝑥4 + 3𝑥2 + 12 = (𝑥3 ‒ 3𝑥2 + 2) ∙ (𝐴𝑥 + 𝐵) + (𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸) Resolviendo: 2𝑥4 + 3𝑥2 + 12 = 𝐴𝑥4 ‒ 3𝐴𝑥3 + 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥3 ‒ 3𝐵𝑥2 + 2𝐵 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸 Agrupando en el segundo miembro los coeficientes de términos semejantes: 2𝑥4 + 3𝑥2 + 12 = 𝐴𝑥4 + (𝐵 ‒ 3𝐴)𝑥3 + ( ‒ 3𝐵 + 𝐶)𝑥2 + (2𝐴 + 𝐷)𝑥 + (2𝐵 + 𝐸) Por identidad de polinomios, se deduce que: 𝐴 = 2 ; 𝐵 ‒ 3𝐴 = 0 ; ‒ 3𝐵 + 𝐶 = 3 ; 2𝐴 + 𝐷 = 0 ; 2𝐵 + 𝐸 = 12 Resolviendo cada uno, se llega a: 𝐴 = 2 ; 𝐵 = 6 ; 𝐶 = 21 ; 𝐷 =‒ 4 ; 𝐸 = 0 Entonces: 𝑄(𝑥) = 2𝑥 + 6

Sigue mas adelante

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 46

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑅(𝑥) = 21𝑥2 ‒ 4𝑥 TEOREMAS DE DIVISIBILIDAD. PRIMER TEOREMA. Cuando un polinomio racional entero en 𝑥 es divisible separadamente por dos o más binomios de primer grado en 𝑥, es divisible por el producto de ellos. Sea 𝑃(𝑥) un polinomio racional entero en 𝑥, divisible por 𝑥 ‒ 𝑎, por 𝑥 ‒ 𝑏 y por 𝑥 ‒ 𝑐, siendo 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐; entonces: 𝑃(𝑥) = (𝑥 ‒ 𝑎)(𝑥 ‒ 𝑏)(𝑥 ‒ 𝑐).𝑄(𝑥)donde 𝑄(𝑥) es el cociente de la división. Consecuencia: Para obtener el cociente de la división de 𝑃(𝑥) por el producto (𝑥 ‒ 𝑎)(𝑥 ‒ 𝑏) (𝑥 ‒ 𝑐) se determina el cociente 𝑄1(x) de la división de 𝑃(𝑥) por 𝑥 ‒ 𝑎; se determina el cociente 𝑄2(x) de la división de 𝑄1(𝑥) por 𝑥 ‒ 𝑏; y se determina finalmente el cociente 𝑄3(𝑥) de la división de 𝑄2(𝑥) por 𝑥 ‒ 𝑐; el ultimo cociente obtenido es el buscado. Teorema reciproco: Cuando un polinomio racional entero en 𝑥 es divisible por el producto de dos o más binomio de primer grado en 𝑥, es divisible separadamente por los factores. SEGUNDO TEOREMA. Cuando un polinomio racional entero en x, de grado n, es divisible separadamente por (𝑥 ‒ 𝑎)𝑚 y por (𝑥 ‒ 𝑏)𝑛, entonces tambien es divisible entre (𝑥 ‒ 𝑎)𝑚(𝑥 ‒ 𝑏)𝑛. TERCER TEOREMA. Cuando un polinomio racional entero en 𝑥, de grado 𝑛, se anula (valor numérico del polinomio es igual a cero) para 𝑛 valores distintos de 𝑥, es igual al producto del coeficiente de su primer término por los 𝑛 factores binomios que se obtienen sustrayendo de 𝑥 cada uno de esos valores, es decir: 𝐴0𝑥𝑛 + 𝐴1𝑥𝑛 ‒ 1 + ... + 𝐴𝑛 ≡ 𝐴0(𝑥 ‒ 𝑎1)(𝑥 ‒ 𝑎2)…(𝑥 ‒ 𝑎𝑛) CURSILLO GAONA SAE

CUARTO TEOREMA. Cuando un polinomio racional entero en 𝑥, de grado 𝑛, se anula para más de 𝑛 valores distintos de 𝑥, es idénticamente nulo. QUINTO TEOREMA. Cuando dos polinomios racionales enteros en 𝑥, de grado 𝑛, tiene valores numéricos iguales para más de 𝑛 valores distintos de 𝑥, son idénticos entre sí. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. TEOREMA DEL RESTO. Primer Caso: el resto de dividir un polinomio𝑃(𝑥) entero y racional en 𝑥, por un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑎, es el valor numérico que toma el polinomio para el valor 𝑥 =∓ 𝑎 , o sea, si 𝑃(𝑥) es entero y racional en 𝑥, entonces 𝑃( ∓ 𝑎) = 𝑅. Segundo Caso: El resto de la división de un polinomio racional entero a x, por un binomio de la 𝑎

( 𝑎)

forma 𝑏𝑥 ± 𝑎, es el valor numérico del dividendo para 𝑥 =∓ 𝑏, es decir, 𝑃 ∓ 𝑏 = 𝑅 Por tanto se sustituye en el dividendo la 𝑥 por el segundo término del divisor tomado con signo contrario y dividido por el coeficiente del primer término. Ejemplo 1: Hallar sin efectuar la división el residuo de dividir 𝑎4 ‒ 5𝑎3 + 2𝑎2 ‒ 6 entre 𝑎 + 3. Por el teorema del resto: 𝑎 + 3 = 0 →𝑎 =‒ 3 , reemplazando este valor en el dividendo dado: ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 47

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

( ‒ 3)4 ‒ 5( ‒ 3)3 + 2( ‒ 3)2 ‒ 6 = 228 Entonces el resto de dividir la expresión dada por el divisor dado es 𝑅 = 228 Ejemplo 2: Hallar sin efectuar la división el residuo de dividir 5𝑥4 ‒ 12𝑥3 + 9𝑥2 ‒ 22𝑥 + 21 entre 5𝑥 + 2. 2

Por el teorema del resto: 5𝑥 + 2 = 0 →𝑥 =‒ 5 , reemplazando este valor en el dividendo dado: 2 2 2 2 4017 5 ‒ 4 ‒ 12 ‒ 3 + 9 ‒ 2 ‒ 22 ‒ + 21 = 5 5 5 5 125

( )

( ) ( )

( )

Entonces el resto de dividir la expresión dada por el divisor dado es 𝑅 =

4017 125

CASO ESPECIALES DE LA DIVISIÓN ENTRE UN POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL EN X, POR UN BINOMIO DE LA FORMA 𝒙 ± 𝒂: i. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 ‒ 𝑎𝑛, siempre es divisible entre 𝑥 ‒ 𝑎. ii. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 ‒ 𝑎𝑛 es divisible por 𝑥 + 𝑎, si n es par. iii. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 nunca es divisible por 𝑥 ‒ 𝑎 iv. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 es divisible por 𝑥 + 𝑎, si n es impar Todas las afirmaciones anteriores pueden demostrarse mediante el teorema del resto. (I) FORMACIÓN DEL COCIENTE EN BASE AL ESQUEMA DE RUFFINI-BRIOT O (HÖRNER). DIVISIBILIDAD POR𝒙 ± 𝒂. Ley de la formación del cociente: El cociente de la división de un polinomio racional entero en 𝑥, completo y ordenado, por un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑎, es un polinomio cuyo grado es igual al del dividendo menos uno, y en el cual: 1. El coeficiente del primer término es igual al del primer término del dividendo. 2. El coeficiente de cualquier otro término es igual al producto del coeficiente del término precedente por el 2° término del divisor tomado con signo contrario, sumado algebraicamente al coeficiente del término del mismo orden del dividendo. El esquema utilizado para la división se debe a Ruffini-Briot. CURSILLO GAONA SAE

Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de 2𝑥6 ‒ 8𝑥4 ‒ 19𝑥 ‒ 4𝑥5 + 10𝑥3 ‒ 7𝑥2 + 13 por 𝑥 ‒ 3 1° paso: se ordena el polinomio: 2𝑥6 ‒ 4𝑥5 ‒ 8𝑥4 + 10𝑥3 ‒ 7𝑥2 ‒ 19𝑥 + 13, 2° paso: se colocan los coeficientes del dividendo alineados en una tabla, y a la izquierda el 2° término del divisor con signo cambiado, 3° paso: en una tercera línea se baja el 1° coeficiente del dividendo, 4° paso: se multiplica el anterior por el 2° término del divisor cambiado de signo y el resultado se suma algebraicamente al 2° coeficiente del dividendo. Se sigue hasta el final. Observaciones: 1. El cociente así obtenido es de grado igual al del dividendo menos 1. 2. El resto de la división es el último valor hallado.

DIVISIBILIDAD POR𝑏𝑥 ± 𝑎. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 48

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Ley de Formación del cociente: El cociente de la división de un polinomio racional entero en x, completo y ordenado por un binomio de la forma 𝑏𝑥 ± 𝑎, es un polinomio cuyo grado es igual al del dividendo menos uno, y en el cual: 1. El coeficiente del primer término es igual al del primer término del dividendo dividido por el primero del divisor. 2. El coeficiente de cualquier otro termino es igual al producto del coeficiente del termino procedente por el segundo término del divisor tomado con signo contrario, sumado algebraicamente al coeficiente del término del mismo orden del dividendo y dividiendo el resultado por el coeficiente del primer término del divisor. Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de 6𝑥4 + 5𝑥3 ‒ 12𝑥2 ‒ 5𝑥 + 6 𝑝𝑜𝑟 2𝑥 + 3

De la tabla, los 4 primeros valores del último reglón son los coeficientes del cociente de la división. Es decir: 3, ‒ 2, ‒ 3 𝑦 2. Por tanto, como ya sabemos que el cociente es de un grado menor que el dividendo, su grado es de 3. El cociente debe tener la siguiente forma 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, y de la tabla sacamos que 𝑎 = 3;𝑏 =‒ 2;𝑐 =‒ 3 𝑦 𝑑 = 2. Entonces el cociente de la división es: 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 ‒ 2𝑥2 ‒ 3𝑥 + 2 Y el último valor del último reglón representa el resto de la división, que en este caso es igual a cero. CURSILLO GAONA SAE

Otro método: Tomando 3/2 en lugar de 3:

Hasta aca la parte 12

Observaciones: 1. El cociente así obtenido es de grado igual al del dividendo menos 1. 2. En la formación de los coeficientes, después de hallar el producto y su suma con el coeficiente del dividendo, se divide el resultado por el coeficiente del primer término del divisor. Sin embargo para la formación del resto no se hace esa división. (J) RAÍCES DE UN POLINOMIO. La raíz de un polinomio en 𝑥 es aquel número a, tal que el valor numérico de dicho polinomio para 𝑥 = 𝑎 es igual a cero. Esto es, dado 𝑃(𝑥), se obtiene 𝑃(𝑎) = 0. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA. “Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja)”. TEOREMA DE LAS RAÍCES RACIONALES. Sea 𝑝(𝑥) = 𝐴0𝑥𝑛 + 𝐴1𝑥𝑛 ‒ 1 + ... + 𝐴𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝐴𝑛 ≠ 0 un polinomio de grado n con coeficientes enteros 𝑃

Si 𝑞 es un raíz racional de 𝑝(𝑥) = 0 entonces 𝑝 es divisor de𝐴𝑛 y 𝑞 es divisor de 𝐴0 ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 49

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

TEOREMA DE LAS 𝒏 RAÍCES. Si 𝑝(𝑥) es un polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 entonces 𝑝(𝑥) = 0 tiene exactamente 𝑛 raíces, siempre y cuando una raíz se repite 𝑘 veces se cuente la misma 𝑘 veces. (K) RAÍCES REALES Y COMPLEJAS. Las raíces obtenidas en un polinomio pueden ser reales o complejas. Si una de las raíces es compleja, necesariamente otra de las raíces debe ser su compleja conjugada, esto se analizará posteriormente. 2.3.1.2 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.

Parte 13

FACTOR COMÚN. Cuando todos los términos de un polinomio tiene un factor en común. Ejemplo 1:𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 en este caso los términos 𝑎𝑥 y 𝑏𝑥 tiene en común el factor 𝑥. Para factorizarlo se coloca el factor común (en este caso 𝑥) multiplicado por un paréntesis en donde se tendrá la suma de los cocientes obtenidos de dividir cada término del polinomio entre el factor común, es decir 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) Ejemplo 2:100𝑎2𝑏3𝑐 ‒ 150𝑎𝑏2𝑐2 + 50𝑎𝑏3𝑐3 ‒ 200𝑎𝑏𝑐2 en este caso, como se tiene parte numérica y parte literal. Se debe de determinar el MCD de la parte numérica, por tanto el MCD entre 100, 150, 50 y 200 es 50. Como en la parte literal se tiene como factor común las letras 𝑎, 𝑏 y 𝑐 se consideran con su menor exponente. Por tanto el factor común para la parte literal es 𝑎𝑏𝑐 El factor común a extraer (parte literal mas parte numérica) es 50𝑎𝑏𝑐. Siguiendo el principio explicado en el caso anterior se tendría: 100𝑎2𝑏3𝑐 ‒ 150𝑎𝑏2𝑐2 + 50𝑎𝑏3𝑐3 ‒ 200𝑎𝑏𝑐2 = 50𝑎𝑏𝑐(2𝑎𝑏2 ‒ 3𝑏𝑐 + 𝑏2𝑐2 ‒ 4𝑐) CURSILLO GAONA SAE

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Cuando no existe un factor común entre todos los términos de un polinomio pero si entre algunos de ellos. Entonces se agrupan los términos del polinomio, según los factores comunes existentes entre ellos. Ejemplo: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 en este caso se puede observar que no existe factor común entre los 4 términos. Pero si existe factor común entre los dos primeros (que es 𝑥) y entre los dos últimos (que es 𝑦). Se realiza el factor común en eso casos y queda: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥 (𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) en donde se observa que nuevamente existe un factor común entre los términos 𝑥(𝑎 + 𝑏)e 𝑦(𝑎 + 𝑏). Por tanto, se factoriza de nuevo quedando: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales. Así 4𝑎2 es un cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de 2𝑎 . Analizando el caso del cuadrado de un binomio, se tiene: (𝑎 ± 𝑏)2 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎 ± 𝑏) = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 Por tanto, un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio. Como se ha mostrado en el caso anterior. Pasos para verificar si un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado en relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y el tercer término son cuadrados perfectos y son del mismo signo, el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 50

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Ejemplo: 1 ‒ 2𝑎3 + 𝑎6 en este caso se puede observar que el polinomio se encuentra ordenado respecto de 𝑎, en forma decreciente. El primer y tercer términos son cuadrados perfectos, cuyas raíces son 1 = 1 y 𝑎6 = 𝑎3. Y el segundo término es el doble producto de las raíces del primer y tercer término: 2 × 1 × 𝑎3 = 2𝑎3 Entonces 1 ‒ 2𝑎3 + 𝑎6 = (1 ‒ 𝑎3)2 = (𝑎3 ‒ 1)2 DIFERENCIA DE CUADRADOS. Si se multiplican la suma de dos términos por la diferencia entre los mismos se obtiene: (𝑎 ‒ 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 ‒ 𝑏2 Que es la diferencia entre los cuadrados de los términos. Entonces, si tenemos dos términos cuadrados perfectos que se restan, eso equivale a tener el producto de la suma de sus raíces por la diferencia de las raíces de los mismos. Ejemplo: 16𝑥2 ‒ 25𝑦2 en este caso, se extrae la raíz cuadrada de ambos términos, es decir, 16𝑥2 = 4𝑥 y 25𝑦2 = 5𝑦, luego: 16𝑥2 ‒ 25𝑦2 = (4𝑥 + 5𝑦)(4𝑥 ‒ 5𝑦) TRINOMIO CUADRADO POR ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN. Existen trinomios en los cuales se tiene dos términos que son cuadrados perfectos pero el tercer término no es igual al doble producto de las raíces de dichos cuadrados perfectos. Entonces se les puede adicionar o sustraer una cierta cantidad de veces del tercer término de manera a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto y que luego quede una diferencia de cuadrados. Ejemplo:Sea el trinomio𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4. Extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término se tiene: 𝑥4 = 𝑥2 y 𝑦4 = 𝑦2 se tiene que el doble producto de dichas raíces es: 2𝑥2𝑦2 que no es igual al tercer término del trinomio dado. Podemos sumar y restar 𝑥2𝑦2 al trinomio como sigue: 𝑥4 + 𝑥2 𝑦 2 + 𝑦 4 = 𝑥4 + 𝑥2 𝑦 2 + 𝑦 4 + 𝑥2 𝑦 2 ‒ 𝑥2 𝑦 2 Que luego nos queda →𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4 ‒ 𝑥2𝑦2En donde los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto. Luego que da una diferencia cuadrados: → (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 ‒ 𝑥 2 𝑦 2 Factorizando, finalmente, resulta: (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦)(𝑥2 + 𝑦2 ‒ 𝑥𝑦) CURSILLO GAONA SAE

TRINOMIO DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Teniendo el producto de dos binomios cualquiera como por ejemplos: (𝑥 ± 𝛼)(𝑥 ± 𝛽) = 𝑥2 ± 𝛼𝑥 ± 𝛽𝑥 ± 𝛼𝛽 = 𝑥2 ± (𝛼 + 𝛽)𝑥 ± 𝛼𝛽 Haciendo que 𝑏 =± (𝛼 + 𝛽) y 𝑐 =± 𝛼𝛽 queda la expresión 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Por tanto: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝛼)(𝑥 + 𝛽) Si 𝑏( + ) y 𝑐( + ) o 𝑏( ‒ ) y 𝑐( + ): en ambos casos se buscan dos números que multiplicados den el valor absoluto de 𝑐 y sumados den el valor absoluto de 𝑏. Entonces: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝛼)(𝑥 + 𝛽) y 𝑥2 ‒ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 ‒ 𝛼)(𝑥 + 𝛽), en ambos casos el signo de α es el mismo que el de 𝑏 y el signo de β es igual al producto del signo de 𝑏 con el signo de 𝑐. Observación: se considera 𝛼 > 𝛽.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 51

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Si 𝑏( + ) y 𝑐( ‒ ) o 𝑏( ‒ ) y 𝑐( ‒ ): en ambos casos se buscan dos números que multiplicados den el valor absoluto de 𝑐 y restados den el valor absoluto de 𝑏. Entonces: 𝑥2 + 𝑏𝑥 ‒ 𝑐 = (𝑥 + 𝛼)(𝑥 ‒ 𝛽) y 𝑥2 ‒ 𝑏𝑥 ‒ 𝑐 = (𝑥 ‒ 𝛼)(𝑥 + 𝛽), en ambos casos el signo de α es el mismo que el de 𝑏 y el signo de β es igual al producto del signo de 𝑏 con el signo de 𝑐. Observación: se considera 𝛼 > 𝛽. Ejemplo: Factorizar 𝑥2 ‒ 5𝑥 ‒ 14 Como 𝑏 =‒ 5 y 𝑐 =‒ 14, como ambos son negativos entonces se deben buscar dos números que multiplicado den 14 y restado den 5. Los números buscados son 𝛼 = 7 y 𝛽 = 2. Entonces 𝑥2 ‒ 5𝑥 ‒ 14 = (𝑥 ‒ 7)(𝑥 + 2). TRINOMIO DE LA FORMA𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. La diferencia con el caso anterior es que el coeficiente del término que es cuadrado perfecto es distinto de 1. En este caso, se convierte el trinomio dado a uno equivalente que sea un trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. El primer paso es multiplicar y dividir el polinomio entre el coeficiente del primer término (al multiplicar y dividir por la misma cantidad no se altera el polinomio, simplemente se lo expresa de otra forma), entonces: 𝑎 1 1 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = (𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐) = [(𝑎𝑥)2 + 𝑏(𝑎𝑥) + 𝑎𝑐] 𝑎 𝑎 𝑎 2 ( ) ( ) Entonces 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑎𝑐 es un trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, esto se observa mejor 1

con el siguiente cambio de variable 𝑦 = 𝑎𝑥, 𝛿 = 𝑎𝑐, entonces: 𝑎(𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝛿) Donde el trinomio dentro del paréntesis corresponde al del caso anterior: 1 1 1 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝛿) = (𝑦 + 𝛼)(𝑦 + 𝛽) = (𝑎𝑥 + 𝛼)(𝑎𝑥 + 𝛽) 𝑎 𝑎 𝑎 Luego: (𝑎𝑥 + 𝛼)(𝑎𝑥 + 𝛽) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 Donde se cumple: 𝛼𝛽 𝑏 = (𝛼 + 𝛽 ) ; 𝑐 = 𝑎 2 Ejemplo: Factorizar18𝑎 ‒ 13𝑎 ‒ 5. Se multiplica el trinomio por 18: 18(18𝑎2 ‒ 13𝑎 ‒ 5) = 182𝑎2 ‒ 13(18𝑎) ‒ 90 Luego: (18𝑎)2 ‒ 13(18𝑎) ‒ 90 Aplicando el caso anterior: (18𝑎)2 ‒ 13(18𝑎) ‒ 90 = (18𝑎 ‒ 18)(18𝑎 + 5) Factorizando (18𝑎)2 ‒ 13(18𝑎) ‒ 90 = 18(𝑎 ‒ 1)(18𝑎 + 5) Dividiendo entre 18 para no alterar la expresión queda: 18𝑎2 ‒ 13𝑎 ‒ 5 = (𝑎 ‒ 1)(18𝑎 + 5) CURSILLO GAONA SAE

CUBO DE UN BINOMIO. Sea el cubo del binomio (𝑎 ± 𝑏)3, esto equivale a multiplicar el binomio tres veces por sí mismo. Es decir: (𝑎 ± 𝑏)3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎 ± 𝑏)(𝑎 ± 𝑏)

(𝑎 ± 𝑏)3 = (𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 ± 𝑏) = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3 En sus dos formas: (𝑎 + 𝑏) = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 (𝑎 ‒ 𝑏) = 𝑎3 ‒ 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ‒ 𝑏3

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 52

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Por tanto, ordenando la expresión con respecto a una letra tenemos que el cubo de un binomio cumple las siguientes condiciones:  Tiene cuatros términos.  El primer y cuarto término son cubos perfectos.  Que el segundo término sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.  Que el tercer término sea más o menos el triple de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del último término. Ejemplo: Factorizar 1 + 12𝑎 + 48𝑎2 + 64𝑎3. Como el polinomio esta ordenado respecto a la letra 𝑎, verificamos las siguientes condiciones: 3 3 El primer y último término son cubos perfectos: 1 = 1 y 64𝑎3 = 4𝑎. El triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término es 3 × 12 × 4𝑎 = 12𝑎. El triple de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado la raíz cúbica del último término es 3 × 1 × (4𝑎)2 = 48𝑎2. Como cumple las condiciones, entonces: 1 + 12𝑎 + 48𝑎2 + 64𝑎3 = (1 + 4𝑎)3 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS. Por el teorema del resto se sabe que 𝑥3 + 𝑦3 es divisible entre 𝑥 + 𝑦 y que 𝑥3 ‒ 𝑦3 es divisible entre 𝑥 ‒ 𝑦, entonces tenemos que: 𝑥3 + 𝑦 3 𝑥+𝑦

𝑥3 ‒ 𝑦 3

= 𝑥2 ‒ 𝑥𝑦 + 𝑦2 ; 𝑥 ‒ 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 Por la definición de división exacta, dividendo es igual producto del división por el cociente, es decir: 𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥).𝑄(𝑥) Se tiene que: 𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 ‒ 𝑥𝑦 + 𝑦2) 𝑥3 ‒ 𝑦3 = (𝑥 ‒ 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) Ejemplo: factorizar27𝑎3 + 𝑏6. Se puede expresar el polinomio de la siguiente forma: 27𝑎3 + 𝑏6 = (3𝑎)3 + (𝑏2)3 Aplicando la propiedad queda 27𝑎3 + 𝑏6 = (3𝑎)3 + (𝑏2)3 = (3𝑎 + 𝑏2)[(3𝑎)2 ‒ 3𝑎𝑏2 + (𝑏2)2] CURSILLO GAONA SAE

27𝑎3 + 𝑏6 = (3𝑎 + 𝑏2)(9𝑎2 ‒ 3𝑎𝑏2 + 𝑏4) SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES. Se tiene en cuenta las afirmaciones: i. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 ‒ 𝑦𝑛, siempre es divisible entre 𝑥 ‒ 𝑦. ii. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 ‒ 𝑦𝑛 es divisible por 𝑥 + 𝑦, si n es par. iii. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 nunca es divisible por 𝑥 ‒ 𝑦. iv. Un polinomio de la forma 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 es divisible por 𝑥 + 𝑦, si n es impar. Así de las divisiones de 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 o 𝑥𝑛 ‒ 𝑦𝑛 por 𝑥 + 𝑦 o 𝑥 ‒ 𝑦, en los casos que son válidas las divisiones exactas por las afirmaciones anteriores, se realiza la factorización teniendo en cuenta que el dividendo de una división exacta es igual al producto del divisor por el cociente. Ej.: Luego:

𝑥7 + 𝑦 7 𝑥+𝑦

= 𝑥6 ‒ 𝑥5𝑦 + 𝑥4𝑦2 ‒ 𝑥3𝑦3 + 𝑥2𝑦4 ‒ 𝑥𝑦5 + 𝑦6 𝑥7 + 𝑦7 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥6 ‒ 𝑥5𝑦 + 𝑥4𝑦2 ‒ 𝑥3𝑦3 + 𝑥2𝑦4 ‒ 𝑥𝑦5 + 𝑦6) ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 53

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Generalizando:

𝑥𝑛 ± 𝑦𝑛 = (𝑥 ± 𝑦)(𝑥𝑛 ‒ 1 ∓ 𝑥𝑛 ‒ 2𝑦 + … ∓ 𝑥𝑦𝑛 ‒ 2 + 𝑦𝑛 ‒ 1)p/ 𝑛 impar

Cuando n es par, 𝑥𝑛 ‒ 𝑦𝑛 cumple el caso de diferencias de cuadrados, sin embargo en 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 no se puede realizar la factorización debido a las afirmaciones iii yiv.

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 54

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES POR EL MÉTODO DE EVALUACIÓN. En la divisibilidad de entre 𝑥 ‒ 𝑎 hemos demostrado que si un polinomio entero y racional en x se anula para 𝑥 = 𝑎el polinomio es divisible entre 𝑥 ‒ 𝑎. Aplicaremos ese principio a la descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación. Ejemplo: descomponer por evaluación 𝑥3 + 2𝑥2 ‒ 𝑥 ‒ 2 Los valores que daremos a 𝑥 son los factores del término independiente 2 que son + 1, ‒ 1, + 2 𝑦 ‒ 2. Veamos si el polinomio se anula para 𝑥 = 1, 𝑥 =‒ 1, 𝑥 = 2, 𝑥 =‒ 2 y si se anula para alguno de estos valores, el polinomio será divisible entre x menos ese valor. Aplicando la división sintética, veremos si el polinomio se anula para estos valores de x y simultáneamente hallamos los coeficientes del cociente de la división. En este caso tendremos

El residuo es 0, o sea, que el polinomio dado se anula para x=1, luego es divisible entre (x-1). Dividiendo 𝑥3 + 2𝑥2 ‒ 𝑥 ‒ 2 entre x-1 el cociente será de segundo grado y sus coeficientes 1, 3 y 2, luego el cociente es 𝑥2 + 3𝑥 + 2 y como el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos: 𝑥3 + 2𝑥2 ‒ 𝑥 ‒ 2 = (𝑥 ‒ 1)(𝑥2 + 3𝑥 + 2)Factorizando el trinomio = (𝑥 ‒ 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) . CURSILLO GAONA SAE

Hasta aca la parte 13 2.3.1.3 CONCEPTO DE FACTORIAL DE UN NÚMERO. PRODUCTO DE STEVIN. BINOMIO DE NEWTON FACTORIAL DE UN NÚMERO. Se representa de la siguiente manera 𝑛!, y se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. También se podría definir como el producto de los primeros n números naturales. 1! = 1 2! = 1 ∙ 2 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ⋮ (𝑛 ‒ 1)! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙∙ (𝑛 ‒ 2) ∙ (𝑛 ‒ 1) 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙∙ (𝑛 ‒ 1) ∙ 𝑛 Para todo número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad: 𝑛! (𝑛 ‒ 1 )! = ⇒𝑛! = (𝑛 ‒ 1).𝑛 𝑛 Si utilizamos 𝑛 = 1 se puede notar que 𝑛 ‒ 1 = 0 , entonces: 1! 0! = = 1 1

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 55

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

COMBINACIONES Son los distintos grupos de r elementos que se pueden formar con los elementos de un conjunto de n elementos de manera que estando en cada grupo r elementos, los mismos difieren entre sí en por lo menos un elemento. Las combinaciones de n elementos, tomados de a r se representa mediante 𝐶𝑛𝑟 en donde r es el número de elementos de cada grupo y n es el número de elementos del conjunto original. Fórmula representativa: 𝑛! 𝐶𝑛𝑟 = (𝑛 ‒ 𝑟)! ∙ 𝑟! Ejemplo: sea el conjunto {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, las de combinaciones de 4 elementos tomados de a 3 son: [𝑎𝑏𝑐,𝑎𝑏𝑑,𝑎𝑐𝑑,𝑏𝑐𝑑], esto significa que hay cuatro combinaciones (no importa el orden de cada combinación, esto significa que 𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑐𝑏 = 𝑏𝑎𝑐, etc.). Hallando por la fórmula: 4! 3! ∙ 4 4 𝐶43 = = = =4 (4 ‒ 3)! ∙ 3! 1! ∙ 3! 1 PRODUCTO DE STEVIN Consideremos el producto (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑)… teniendo n factores. La ley de formación se obtiene multiplicando el primer factor por el segundo, el resultado con el tercero y así sucesivamente. Es decir: (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐) = 𝑥3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑎𝑏𝑐 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑) = 𝑥4 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)𝑥3 + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑)𝑥2 + + (𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑑 + 𝑎𝑐𝑑 + 𝑏𝑐𝑑)𝑥 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 Y así sucesivamente. Se observa que término a término, se obtiene las siguientes propiedades: - El coeficiente en 𝑥 en el primer término de cada producto es siempre igual a la unidad. - El coeficiente de 𝑥, en los segundos términos, de cada producto es igual a la suma algebraica de los segundos términos de los factores. - El coeficiente de 𝑥, de los terceros términos de cada producto, es igual a la suma algebraica, de los productos binarios distintos, de los segundos términos de los factores. - El coeficiente de 𝑥, de los cuartos términos en cada uno de los factores es igual a la suma algebraica de los productos terciarios distintos de los segundos términos de los factores. - Es decir que el coeficiente de cualquier término es igual a la suma algebraica de los productos distintos de los segundos términos de los factores, combinados en una cantidad igual al número de términos precedentes. - El último término de cada producto, es igual al producto de todos los segundos términos de los distintos factores. Sean: 𝑆1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + … 𝑆2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + … 𝑆3 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑑 + 𝑏𝑐𝑑 + … ⋮ 𝑆𝑛 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 ∙∙∙ CURSILLO GAONA SAE

{

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + 𝑆1𝑥 + 𝑆2 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐) = 𝑥3 + 𝑆1𝑥2 + 𝑆2𝑥 + 𝑆3 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑) = 𝑥4 + 𝑆1𝑥3 + 𝑆2𝑥2 + 𝑆3𝑥 + 𝑆4 ⋮ ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 56

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Y así sucesivamente. Después de analizar estos productos se puede inducir la expresión del producto de los primeros n factores, siendo n un número entero y positivo cualquiera. Luego se tiene: (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)⋯ = 𝑥𝑛 + 𝑆 1 𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝑆 2 𝑥𝑛 ‒ 2 + ⋯ + 𝑆 𝑝 𝑥𝑛 ‒ 𝑝 + ⋯ + 𝑆 𝑛 ‒ 1 𝑥 + 𝑆 𝑛 ⋯ (1) En donde las 𝑆𝑝(𝑝 = 1;2;3;⋯;𝑛) representan las sumas algebraicas de las combinaciones distintas de los segundos términos de los n factores binomiales de primer grado de 1 en 1, 2 en 2,…, de 𝑛 𝑒𝑛 𝑛. FÓRMULA DE NEWTON O BINOMIO DE NEWTON Consideremos el producto de n factores binomiales de primer grado (Producto de Stevin):

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)⋯ = 𝑥𝑛 + 𝑆1𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝑆2𝑥𝑛 ‒ 2 + ⋯ + 𝑆𝑝𝑥𝑛 ‒ 𝑝 + ⋯ + 𝑆𝑛 ‒ 1𝑥 + 𝑆𝑛… (1) en el cual se cumple:

{

𝑆1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + … 𝑆2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + … 𝑆3 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑑 + 𝑏𝑐𝑑 + … ⋮ 𝑆𝑛 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 ∙∙∙

Si se hace 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = ⋯ el primer miembro se transforma en el producto de n factores de la forma 𝑥 + 𝑎, es decir queda reducido a (𝑥 + 𝑎)𝑛 y los coeficientes 𝑆1, 𝑆2,𝑆3,⋯ queda: CURSILLO GAONA SAE

{

𝑆1 = 𝑎 + 𝑎 + ... + 𝑎 = 𝐶𝑛1𝑎 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑎2 + ... + 𝑎2 = 𝐶𝑛2𝑎2 𝑆3 = 𝑎3 + 𝑎3 + ... + 𝑎3 = 𝐶𝑛3𝑎3 ⋮ 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 = 𝐶𝑛𝑛𝑎𝑛

Llevando cada uno de estos en (1) se obtiene:

(𝑥 + 𝑎 )𝑛

= 𝐶𝑛0𝑥𝑛 + 𝐶𝑛1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑥𝑛 ‒ 1 + 𝐶𝑛2 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑥𝑛 ‒ 2 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑝 ∙ 𝑎𝑝 ∙ 𝑥𝑛 ‒ 𝑝 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑛‒ 1 𝐶𝑛𝑛 ∙ 𝑎𝑛 Expresión conocida como fórmula de Newton o binomio de Newton. Propiedades:  Los coeficientes de los términos extremos son iguales a la unidad.  Los coeficientes de cualquier término excepto los extremos es igual al número de combinaciones de 𝑛 elementos, tomados de a una cantidad igual al número de términos precedentes.  El término de orden 𝑝 + 1 se acostumbra asignar por 𝑡𝑝 + 1 y es denominado término general del binomio de Newton.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 57

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

 El término 𝑡𝑝 + 1 es un término cualquiera del desarrollo del binomio de Newton, dándole valores a 𝑝, tales que 𝑝 = 0; 1; 2; … ; 𝑛.  El binomio de Newton fue deducido para 𝑛 entero y positivo, pero se puede aplicar cualquiera sea la naturaleza de 𝑛, es decir negativo, fraccionario, porque todas las operaciones instituidas en algebra para exponentes enteros y positivos son extensibles a los exponentes negativos o fraccionarios.  Cuando 𝑛 es entero y positivo, el número de términos en el desarrollo es limitado e igual a 𝑛 + 1, cuando 𝑛 es negativo o fraccionario, el número de términos es ilimitado (infinito) porque disminuyendo en una unidad sucesivamente un número negativo o fraccionario, no es posible obtener resto cero.  El término general del binomio de Newton para un binomio de la forma (𝑥 + 𝑎)𝑛 es: 𝑡𝑝 + 1 = 𝐶𝑛𝑝 ∙ 𝑎𝑝 ∙ 𝑥𝑛 ‒ 𝑝  La cantidad de elementos en las combinaciones coincide con el exponente de a y es el complemento de 𝑥, en relación a 𝑛.  El orden de cada término es igual a la cantidad de elementos de las combinaciones aumentada en una unidad y recíprocamente, la cantidad de elementos en las combinaciones es igual al orden del término disminuido en una unidad.  La suma de los coeficientes binomiales de la potencia n de 𝑥 + 𝑎 es la potencia de n de 2: 2𝑛. El término general Tn+1 con p términos precedentes está dado por:

𝑇𝑝 + 1 = 𝐶𝑛𝑝.𝑥𝑛 ‒ 𝑝.𝑎𝑝

Observaciones:  Los números: 𝐶𝑛0;𝐶𝑛1;𝐶𝑛2…;𝐶𝑛𝑝…𝐶𝑛 𝑛‒ 2;𝐶𝑛 𝑛‒ 1;𝐶𝑛𝑛 son llamados coeficientes binomiales.  El teorema binomial es válido para (𝑥 ‒ 𝑎)𝑛 pues es equivalente a: (𝑥 + ( ‒ 𝑎))𝑛 CURSILLO GAONA SAE

TÉRMINOS PARTICULARES EN EL DESARROLLO DE BINOMIO DE NEWTON. TÉRMINOS CENTRALES. Cuando n es par: el número 𝑛 + 1 de términos en el desarrollo del binomio es impar, de modo que 𝑛

hay un solo término central, cuya posición dentro del desarrollo del binomio es 2 + 1, por tanto el término central ocupa la posición para 𝑝 = 𝑛/2 . Luego el término central viene dado por: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛‒ 𝑡𝑝 + 1 = 𝑡𝑛 = 𝐶𝑛2 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑥 2 = 𝑡𝐶 +1 2 𝑛 𝑛 𝑛 𝑡𝐶 = 𝐶𝑛2 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑥2

Cuando n es impar: el número 𝑛 + 1 de términos en el desarrollo del binomio es par, de modo que hay dos términos centrales, cuyas posiciones dentro del desarrollo del binomio son

(𝑛 +2 1 + 1), por tanto los términos centrales se obtienen para 𝑝 = 𝑛 2‒ 1

𝑦 𝑝=

(𝑛 2‒ 1 + 1) y

𝑛+1 2 .

Luego los

términos centrales vienen dados por:

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 58

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑡𝐶 = 𝑡𝑝 + 1 = 𝑡𝑛 ‒ 1 1

𝑛‒1 𝑡𝐶 = 𝐶 𝑛2 ∙ 𝑎 1

2 𝑛‒1 2

∙𝑥

𝑡𝐶 = 𝑡𝑝 + 1 = 𝑡𝑛 + 1 2

𝑛+1 𝑡𝐶 = 𝐶 𝑛2 ∙ 𝑎 2

+1

2 𝑛+1 2

𝑛‒1 𝑛‒1 𝑛‒1 𝑛‒ 2 2 2 =𝐶 𝑛 ∙𝑎 ∙𝑥

𝑛+1 2

+1

∙𝑥

1° 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙

𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1 𝑛‒ 2 2 2 =𝐶 𝑛 ∙𝑎 ∙𝑥

𝑛‒1 2

2° 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 59

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS. Consideremos un término 𝑡𝑝 + 1 cualquiera en el desarrollo del binomio (𝑥 + 𝑎)𝑛 con 𝑛 entero y positivo. El término equidistante de los extremos con respecto a 𝑡𝑝 + 1, ocupará la posición 𝑡(𝑛 ‒ 𝑝) + 1 en el desarrollo del mismo. Es decir: 𝑡𝑝 + 1 = 𝐶𝑛𝑝 ∙ 𝑎𝑝 ∙ 𝑥𝑛 ‒ 𝑝 ( ) ( ) 𝑡(𝑛 ‒ 𝑝) + 1 = 𝐶 𝑛 𝑛‒ 𝑝 ∙ 𝑎 𝑛 ‒ 𝑝 ∙ 𝑥𝑝 Los términos 𝑡𝑝 + 1 y 𝑡(𝑛 ‒ 𝑝) + 1 son términos equidistantes o simétricos de los extremos en el desarrollo del binomio (𝑥 + 𝑎)𝑛. El concepto de término central y de términos equidistantes de los extremos solo puede hablarse para binomios con exponentes enteros y positivos. Pues en los de exponente negativo o fraccionario no tiene sentido pues el desarrollo es ilimitado y por tanto no existe término central y término simétrico. OTRAS PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON. El o los términos de mayor coeficiente binomial (se refiere a 𝐶𝑛𝑝) en el desarrollo del binomio de Newton, son los que ocupan la posición del término central.  El hecho de que el coeficiente binomial del término central sea el mayor en el desarrollo del binomio, no es suficiente para decir que es el mayor término en dicho desarrollo, para ellos tiene que verificarse. Si 𝑇𝑝 + 1 es el mayor en el desarrollo de (𝑥 + 𝑎)𝑛 entonces 𝑇𝑝 + 1 > 𝑇𝑝 𝑇𝑝 + 1 > 𝑇𝑝 + 2  Los coeficientes binomiales de los dos términos equidistantes de los extremos son iguales (𝐶𝑛𝑝 = 𝐶𝑛 𝑛‒ 𝑝). 

CURSILLO GAONA SAE

COEFICIENTES DEL BINOMIO. A los símbolos combinatorios 𝐶𝑛𝑝 se los denomina con frecuencia coeficientes binomiales. Si desarrollamos los binomios (𝑥 + 𝑎)𝑛; para valores crecientes de 𝑛 enlistándose solo los coeficientes, resulta una disposición triangular de números compuestos por los coeficientes binomiales llamados “Triángulo de Pascal”. El triángulo de Pascal nos permite apreciar claramente que el desarrollo de un binomio con exponente natural tiene un número limitado de términos. Si analizamos vemos que cualquier número en el triángulo es la rama de los dos números más cercanos del renglón arriba del número.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 60

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

CASO GENERAL DE LA FORMA: (𝒂𝒙𝒑 + 𝒃𝒚𝒒)𝒏 Se aplica la formula dada anteriormente, tomando como primero y segundo términos del binomio los productos dados. Ejemplo: Desarrollar usando el teorema binomial: (3𝑥2 + 𝑎)4 = 𝐶04(3𝑥2)4 + 𝐶14(3𝑥2)3𝑎 + 𝐶24(3𝑥2)2𝑎2 + 𝐶34(3𝑥2)1𝑎3 + 𝐶44𝑎4 = 81𝑥3 + 108𝑥6𝑎 + 54𝑥4𝑎2 + 12𝑥2𝑎3 + 𝑎4 2.3.1.4 POTENCIACIÓN. Potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces. Ejemplo: (2𝑎)3 = (2𝑎)(2𝑎)(2𝑎) = 8𝑎3en este caso 8𝑎3 es potencia de 2𝑎 porque es el resultado de tomarlo como factor 3 veces. La forma general de expresar una potencia es: 𝑎 = 𝑏𝑛 En donde 𝑎 es la potencia (el resultado de multiplicar 𝑏, 𝑛 veces por sí mismo), 𝑏 se denomina base de la potencia y 𝑛 se denomina exponente de la potencia e indica cuantas veces la base se toma como factor para que resulte 𝑎. SIGNOS DE LA POTENCIA.  Cualquier potencia de una cantidad positiva es positiva, porque equivale a un producto donde todos los factores son positivos.  Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva.  Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa. Así, un ejemplo de los dos últimos casos es: ( ‒ 2𝑎)4 = 16𝑎4 El resultado es positivo porque el exponente es 4, es decir, par. ( ‒ 2𝑎)5 =‒ 32𝑎5 El resultado es negativo porque el exponente es 5, es decir, impar. CURSILLO GAONA SAE

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN. LEY DISTRIBUTIVA: La potenciación es distributiva de la multiplicación y de la división exacta. POTENCIA DE UN NÚMERO FRACCIONARIO: para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se elevan su numerador y denominador a dicha potencia. 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛 𝑏 𝑏 POTENCIA DE UN PRODUCTO: para elevar un producto a una potencia cualquiera se elevan todos los factores al exponente de la potencia del producto. (𝑎 × 𝑏 × 𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 × 𝑐𝑛 Observación: la potencia no es distributiva respecto a la suma o diferencia. Es decir: (𝑎 + 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 y (𝑎 ‒ 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 ‒ 𝑏𝑛. PRODUCTOS DE POTENCIAS DE UNA MISMA BASE: para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes. 𝑎𝑚.𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 + 𝑛 COCIENTES DE POTENCIAS DE BASES IGUALES: Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 61

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑎𝑚 𝑎

𝑛

= 𝑎𝑚 ‒ 𝑛

POTENCIA DE POTENCIA: Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base, poniéndole el producto de los exponentes. (𝑎𝑚)𝑛 = (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑚 × 𝑛 TEORÍA DE LOS EXPONENTES. EXPONENTE CERO. El exponente cero proviene de dividir potencias iguales de la misma base. Así: 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 ‒ 𝑛 = 𝑎0 INTERPRETACIÓN DEL EXPONENTE CERO. Toda cantidad elevada a la cero equivale a 1. Es decir: 𝑎0 = 1 Esta última igualdad resulta de lo demostrado anteriormente: 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 ‒ 𝑛 = 𝑎0 y además, según las leyes de la división, toda cantidad dividida por sí misma es igual a 1. Luego 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑛 = 1. Por la propiedad transitiva de la igualdad se tiene que 𝑎0 = 1. EXPONENTE NEGATIVO. El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base cuando el exponente del dividendo es menor que el del divisor. Así: 𝑎3 ÷ 𝑎4 = 𝑎3 ‒ 4 = 𝑎 ‒ 1 INTERPRETACIÓN DEL EXPONENTE NEGATIVO. Toda cantidad elevada a un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador, la misma cantidad con el exponente positivo. CURSILLO GAONA SAE

1

Entonces 𝑎 ‒ 𝑛 = 𝑎𝑛 PASAR LOS FACTORES DEL NUMERADOR DE UNA EXPRESIÓN AL DENOMINADOR Y VICERVESA. Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y viceversa con tal de cambiarle el signo su exponente. 5 3 ‒6

𝑎 𝑏

=

5𝑏6 𝑎3

En este caso, el factor 𝑏 ‒ 6 del denominador se pasó al numerador cambiando el

signo su exponente. POTENCIA DE UN MONOMIO. Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia. Ejemplo: ( ‒ 7𝑎𝑏3𝑐4)3 = ( ‒ 7)3(𝑎)3(𝑏3)3(𝑐4)3 =‒ 21𝑎3𝑏9𝑐12 CUADRADO DE UN POLINOMIO. El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el duplo de las combinaciones binarias que con ellos puede formarse. Ejemplo: Sea el trinomio (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 Si algunos de los términos es negativo entonces: (𝑎 ‒ 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ‒ 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 ‒ 2𝑏𝑐 Si se tiene un cuatrinomio: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑑 + 2𝑐𝑑 Y así se puede generalizar para cualquier polinomio con cualquier número de términos. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 62

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS. La potencia de un polinomio se puede obtener por la fórmula de Newton. Para ello es necesario agrupar los términos del polinomio en dos formando un binomio. Así, para obtener el desarrollo de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑛, hacemos 𝑎 + 𝑏 = 𝑥, desarrollamos (𝑥 + 𝑐)𝑛, sustituimos en el resultado x= a+b, desarrollamos las diversas potencias de (a+b) que aparecen en la sustitución y efectuamos los productos. Este método se generaliza para más de tres términos de polinomio. 2.3.1.5 MCD y MCM DE EXPRESIONES RACIONALES. FACTOR COMÚN O DIVISOR COMÚN: de dos o más expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que está contenida exactamente en cada una de las primeras. Así 𝑥 es divisor común de 2𝑥 y 𝑥2; 5𝑎2𝑏 es divisor común de 10𝑎3𝑏2 y 15𝑎4𝑏. Una expresión algebraica es prima cuando solo es divisible por ella misma y por la unidad. Así, 𝑎, 𝑏,𝑎 + 𝑏 y 2𝑥 ‒ 1 son expresiones primas. Dos o más expresiones algebraicas son expresiones primas entre sí cuando el único divisor común que tienen es la unidad, como 2𝑥 y 3𝑏, 𝑎 + 𝑏 y 𝑎 ‒ 𝑥. MÁXIMO COMÚN DIVISOR. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (O MCD): de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está contenida exactamente en cada una de ellas. Así el mcd de 10𝑎2𝑏 y20𝑎3 es 10𝑎2; el mcd de 8𝑎3𝑛2, 24𝑎𝑛3 y 40𝑎3𝑛4𝑝 es 8𝑎𝑛2. MCD DE MONOMIOS: Se halla el 𝑀𝐶𝐷 de los coeficientes y a continuación de este se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas. Ejemplo: Hallar el mcd de 36𝑎2𝑏4, 48𝑎3𝑏3𝑐 y 60𝑎4𝑏3𝑚 Descomponiendo en factores primos los coeficientes y resolviendo, tenemos: 36𝑎2𝑏4 = 22 ∙ 32 ∙ 𝑎2𝑏4 48𝑎3𝑏3𝑐 = 24 ∙ 3 ∙ 𝑎3𝑏3𝑐 60𝑎4𝑏3𝑚 = 22 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 𝑎4𝑏3𝑚 CURSILLO GAONA SAE

{

𝐸𝑙 𝑚𝑐𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠:22 ∙ 3 𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠:𝑎 𝑦 𝑏 ⇒ ⇒𝑀𝐶𝐷 = 22 ∙ 3 ∙ 𝑎2𝑏3 = 12𝑎2𝑏3 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎:2 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑏:3 𝑐 𝑦 𝑚 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠

{

MCD DE POLINOMIOS: Al hallar el 𝑀𝐶𝐷 de dos o más polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorearse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el 𝑀𝐶𝐷 factorando los polinomios dados; en el segundo caso se halla el mcd por divisiones sucesivas. MCD DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES. Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El mcd es el producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo: Hallar el 𝑀𝐶𝐷 de 9𝑎3𝑥2 + 9𝑥2 ; 6𝑎3𝑥2 ‒ 12𝑎2𝑥2 ‒ 18𝑎𝑥2 ; 6𝑎4𝑥 + 21𝑎3𝑥 + 15𝑎2𝑥. 9𝑎3𝑥2 + 9𝑥2 = 9𝑥2(𝑎3 + 1) = 32𝑥2(𝑎 + 1)(𝑎2 ‒ 𝑎 + 1) 6𝑎3𝑥2 ‒ 12𝑎2𝑥2 ‒ 18𝑎𝑥2 = 6𝑎𝑥2(𝑎2 ‒ 2𝑎 ‒ 3) = 2 ∙ 3 ∙ 𝑎𝑥2(𝑎 ‒ 3)(𝑎 + 1) 6𝑎4𝑥 + 21𝑎3𝑥 + 15𝑎2𝑥 = 3𝑎2𝑥(2𝑎2 + 7𝑎 + 5) = 3𝑎2𝑥(2𝑎 + 5)(𝑎 + 1) Los factores comunes son: 3, 𝑥 y (𝑎 + 1), luego: ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 63

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑀𝐶𝐷 = 3𝑥(𝑎 + 1) MCD DE POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS. Cuando se quiere hallar el MCD de dos polinomios que no pueden descomponerse en factores fácilmente, se emplea el método de divisiones sucesivas, de acuerdo con la siguiente regla: Se ordenan ambos polinomios con relación a una misma letra y se divide el polinomio de mayor grado entre el de grado menor. Si ambos son del mismo grado, cualquiera puede tomarse como dividendo. Si la división es exacta, el divisor es el MCD; si no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta conseguir una división exacta. El último divisor es el MCD buscado. Todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término del residuo sea del grado inferior al primer término del divisor. OBSERVACIONES:  Si el residuo obtenido es independiente de la variable principal, los polinomios dados inicialmente son primos entre sí.  Antes de iniciar el método, se deben extraer, si los hay, factores comunes de cada polinomio y seleccionar los factores comunes a ambos polinomios con su menor exponente. Estos formaran parte de MCD buscado;  Al final de cada división se debe extraer factores comunes de cada residuo para simplificar las divisiones;  Este método se aplica para más de dos polinomios tomando dos inicialmente, luego el MCD hallado con el siguiente y así sucesivamente. Ejemplo: Hallar por divisiones sucesivas el mcd de: 16𝑥3 + 36𝑥2 ‒ 12𝑥 ‒ 18 y 8𝑥2 ‒ 2𝑥 ‒ 3 Ambos polinomios están ordenados con relación a 𝑥. Dividimos el primero, que es de tercer grado, entre el segundo que es de segundo grado: CURSILLO GAONA SAE

3

2

16𝑥 + 36𝑥 ‒ 12𝑥 ‒ 18 -16𝑥3 + 4𝑥2 + 6𝑥2𝑥 + 5 40𝑥2 ‒ 6𝑥 ‒ 18 ‒ 40𝑥2 + 10𝑥 + 15 4𝑥 – 3

2

8𝑥 ‒ 2𝑥 ‒ 3

Aquí detenemos la división porque el primer término del residuo, 4𝑥, es de grado inferior al primer término del divisor 8𝑥2. Ahora dividimos el divisor 8𝑥2 ‒ 2𝑥 ‒ 3 entre el residuo 4𝑥 ‒ 3: 8𝑥2 ‒ 2𝑥 ‒ 3 ‒ 8𝑥2 + 6𝑥 4𝑥 ‒ 3 ‒ 4𝑥 + 3 (0 )

4𝑥 ‒ 3

Como esta división es exacta, el divisor 4𝑥 ‒ 3 es el 𝑀𝐶𝐷. REGLAS ESPECIALES. En la práctica de este modo hay que tener muy en cuenta las siguientes reglas: i. Cualquiera de los polinomios dados se puede dividir por un factor que no divida al otro polinomio. Ese factor, por no ser factor común de ambos polinomios, no forma parte del mcd. ii. El residuo de cualquier división se puede dividir por un factor que no divida a los dos polinomios dados. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 64

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

iii. Si el primer término de cualquier residuo es negativo, puede cambiarse de signo a todos los términos de dicho residuo. iv. Si el primer término del dividendo o el primer termino de algún residuo no es divisible por el primer término del divisor, se multiplican todos los términos del dividendo o del residuo por la cantidad necesaria para hacerlo divisible.

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 65

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

MCD DE TRES O MAS POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS. En este caso, igual que en Aritmética, hallamos el 𝑀𝐶𝐷 de dos de los polinomios dados; luego el 𝑀𝐶𝐷 del otro de los polinomios dados y el 𝑀𝐶𝐷 hallado anteriormente, y así sucesivamente. El último 𝑀𝐶𝐷 es el 𝑀𝐶𝐷 de las expresiones dadas. Ejemplo: Hallar por divisiones sucesivas el 𝑀𝐶𝐷 de: 2𝑥3 ‒ 11𝑥2 + 10𝑥 + 8; 2𝑥3 + 𝑥2 ‒ 8𝑥 ‒ 4 y6𝑎𝑥2 + 11𝑎𝑥 + 4𝑎. Hallemos el 𝑀𝐶𝐷 de las dos primeras expresiones:

Dividiendo el residuo por ‒ 6 queda 2𝑥2 ‒ 3𝑥 ‒ 2. Dividiendo el divisor por esta expresión:

El mcd de las dos primeras expresiones es 2𝑥2 ‒ 3𝑥 ‒ 2. Ahora hallamos el 𝑀𝐶𝐷 del tercer polinomio dado 6𝑎𝑥2 + 11𝑎𝑥 + 4𝑎 y de este MCD. Dividiendo 6𝑎𝑥2 + 11𝑎𝑥 + 4𝑎 entre 𝑎 queda 6𝑥2 + 11𝑥 + 4, luego:

Dividiendo el residuo por 10 queda 2𝑥 + 1: CURSILLO GAONA SAE

El 𝑀𝐶𝐷 de las tres expresiones es el último divisor, esto es: 2𝑥 + 1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Común múltiplo de dos o más expresiones algebraica es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Así, 8𝑎3𝑏2 es común múltiplo de 2𝑎2 y 4𝑎3𝑏 porque 8𝑎3𝑏2 es divisible exactamente por 2𝑎2 y 4𝑎3𝑏; 3𝑥2 ‒ 9𝑥 + 6 es común múltiplo de 𝑥 ‒ 2 y de 𝑥2 ‒ 3𝑥 + 2 porque 3𝑥2 ‒ 9𝑥 + 6 es divisible exactamente por 𝑥 ‒ 2 y por 𝑥2 ‒ 3𝑥 + 2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM): de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Así el MCM de 4𝑎 y 6𝑎2 es 12𝑎2; el mcm de 2𝑥2, 6𝑥3, y 9𝑥4 es 18𝑥4. La teoría del mcm es de suma importancia para las fracciones y las ecuaciones. MCM DE MONOMIOS. Regla: Se halla el MCM de los coeficientes y a continuación de este se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes, dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 66

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 67

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Ejemplo: Hallar el MCM de 36𝑎2𝑏4, 48𝑎3𝑏3𝑐 y 60𝑎4𝑏3𝑑 Descomponiendo en factores primos los coeficientes y resolviendo, tenemos: 36𝑎2𝑏4 = 22 ∙ 32 ∙ 𝑎2𝑏4 48𝑎3𝑏3𝑐 = 24 ∙ 3 ∙ 𝑎3𝑏3𝑐 ⇒ 60𝑎4𝑏3𝑑 = 22 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 𝑎4𝑏3𝑑

{

{

𝐸𝑙 𝑚𝑐𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠:24 ∙ 32 ∙ 5 𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠:𝑎, 𝑏,𝑐, 𝑑 ⇒𝑀𝐶𝑀 = 24 ∙ 34 ∙ 5 ∙ 𝑎4𝑏4𝑐𝑑 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎:4 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑏:4 𝑐 𝑦 𝑑 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 1

Luego 𝑀𝐶𝑀 = 6480𝑎4𝑏4𝑐𝑑. MCM DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. Regla: Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El 𝑀𝐶𝑀 es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente. Ejemplo: Hallar el 𝑀𝐶𝑀 de 24𝑎2𝑥 ;18𝑥𝑦2 ;2𝑥3 + 2𝑥2 ‒ 40𝑥 ;8𝑥4 ‒ 200𝑥2. Se descompone cada término: 24𝑎2𝑥 = 23 ∙ 3 ∙ 𝑎2𝑥 ; 18𝑥𝑦2 = 2 ∙ 32 ∙ 𝑥𝑦2 2𝑥3 + 2𝑥2 ‒ 40𝑥 = 2𝑥(𝑥2 + 𝑥 ‒ 20) = 2𝑥(𝑥 + 5)(𝑥 ‒ 4) 8𝑥4 ‒ 200𝑥2 = 8𝑥2(𝑥2 ‒ 25) = 23 ∙ 𝑥2(𝑥 + 5)(𝑥 ‒ 5) 𝑀𝐶𝑀 = 23 ∙ 32 ∙ 𝑎2𝑥2𝑦2(𝑥 + 5)(𝑥 ‒ 5)(𝑥 ‒ 4) Luego: 𝑀𝐶𝑀 = 72𝑎2𝑥2𝑦2(𝑥2 ‒ 25)(𝑥 ‒ 4) CURSILLO GAONA SAE

2

3

2

Ejemplo: Hallar el 𝑀𝐶𝑀 de 8𝑎 𝑏 ;4𝑎 ‒ 4𝑎 ;6𝑎 ‒ 12𝑎 + 6. Se descompone cada término: 8𝑎2𝑏 = 23 ∙ 𝑎2𝑏 4𝑎3 ‒ 4𝑎 = 4𝑎(𝑎2 ‒ 1) = 22 ∙ 𝑎(𝑎 ‒ 1)(𝑎 + 1) 6𝑎2 ‒ 12𝑎 + 6 = 6(𝑎2 ‒ 2𝑎 + 1) = 2 ∙ 3 ∙ (𝑎 ‒ 1)2 𝑀𝐶𝑀 = 23 ∙ 3 ∙ 𝑎2𝑏(𝑎 ‒ 1)2(𝑎 + 1) Luego: 𝑀𝐶𝑀 = 24𝑎2𝑏(𝑎 ‒ 1)2(𝑎 + 1) III. MCM DE POLINOMIOS La regla es la misma del caso anterior. Ejemplo: Hallar el mcm de (𝑎 ‒ 𝑏)2 ;𝑎2 ‒ 𝑏2 ;(𝑎 + 𝑏)2 ; 𝑎2 + 𝑏2. Se descompone cada término, siempre que sea necesario: (𝑎 ‒ 𝑏 )2 = (𝑎 ‒ 𝑏 )2 2 𝑎 ‒ 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 ‒ 𝑏) ⇒ 𝑀𝐶𝑀 = (𝑎 + 𝑏)2(𝑎 ‒ 𝑏)2(𝑎2 + 𝑏2) (𝑎 + 𝑏 )2 = (𝑎 + 𝑏 )2 𝑎 2 + 𝑏 2 = (𝑎 2 + 𝑏 2 )

{

Ejemplo: Hallar el 𝑀𝐶𝑀 de (𝑥 ‒ 𝑦)3; 𝑥3 ‒ 𝑦3 ; 𝑥3 ‒ 𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 ‒ 𝑦3 ;3𝑎2𝑥 + 3𝑎2𝑦. Se descompone cada término: (𝑥 ‒ 𝑦 )3 = (𝑥 ‒ 𝑦 )3 𝑥3 ‒ 𝑦3 = (𝑥 ‒ 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 68

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑥3 ‒ 𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 ‒ 𝑦3 = 𝑥(𝑥2 ‒ 𝑦2) + 𝑦(𝑥2 ‒ 𝑦2) = (𝑥2 ‒ 𝑦2)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ‒ 𝑦)(𝑥 + 𝑦)2 3𝑎2𝑥 + 3𝑎2𝑦 = 3𝑎2(𝑥 + 𝑦) 𝑀𝐶𝑀 = 3𝑎2(𝑥 ‒ 𝑦)3(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2)(𝑥 + 𝑦)2 Luego: 𝑀𝐶𝑀 = 3𝑎2(𝑥 + 𝑦)2(𝑥 ‒ 𝑦)3(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) Ejemplo: Hallar el 𝑀𝐶𝑀 de 15𝑥3 + 20𝑥2 + 5𝑥 ;3𝑥3 ‒ 3𝑥 + 𝑥2 ‒ 1 ;27𝑥4 + 18𝑥3 + 3𝑥2 Se descompone cada término: 15𝑥3 + 20𝑥2 + 5𝑥 = 5𝑥(3𝑥2 + 4𝑥 + 1) = 5𝑥(3𝑥 + 1)(𝑥 + 1)3𝑥3 ‒ 3𝑥 + 𝑥2 ‒ 1 = 3𝑥(𝑥2 ‒ 1) + (𝑥2 ‒ 1) = (𝑥2 ‒ 1)(3𝑥 + 1) = (𝑥 ‒ 1)(𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) 27𝑥4 + 18𝑥3 + 3𝑥2 = 3𝑥2(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) = 3𝑥2(3𝑥 + 1)2 𝑀𝐶𝑀 = 3 ∙ 5 ∙ 𝑥2(3𝑥 + 1)2(𝑥 ‒ 1)(𝑥 + 1) Luego: 𝑀𝐶𝑀 = 15𝑥2(3𝑥 + 1)2(𝑥2 ‒ 1) 2.3.2 EXPRESIÓN FRACCIONARIA 2.3.2.1 FRACCIONES ALGEBRAICAS. Una fracción es denominada algebraica cuando sus términos son expresiones algebraicas o, por lo menos, uno de ellos es una expresión algebraica. Ejemplo:

𝒙+𝒚 𝒙𝟐 + 𝟐

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. Los principios fundamentales demostrados en la aritmética se aplican a las fracciones algebraicas y son de importancia:  Si al numerador de una fracción algebraica se le multiplica o divide una cantidad, sin alterar el denominador, la fracción queda multiplicada o dividida por dicha cantidad.  Si al denominador de la fracción se le multiplica o divide por una cantidad, sin variar el numerador, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo caso por dicha cantidad.  Una fracción algebraica no se altera cuando sus términos son multiplicados o divididos por la misma expresión. CURSILLO GAONA SAE

SIGNOS DE LA FRACCIÓN Y SUS TÉRMINOS. En la fracción algebraica se considera tres signos: el signo de la fracción, el signo del numerador y del denominador. Por tanto, se dan las siguientes equivalencias. Si la fracción es positiva: 𝑎 𝑎 ‒𝑎 ‒𝑎 =‒ =‒ = 𝑏 ‒𝑏 𝑏 ‒𝑏 Sin la fracción en negativa: 𝑎 ‒𝑎 +𝑎 ‒𝑎 𝑎 ‒ =‒ =‒ = = 𝑏 ‒𝑏 +𝑏 +𝑏 ‒𝑏 CAMBIOS DE SIGNOS CUANDO EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN SON PRODUCTOS INDICADOS.  Se puede cambiar el signo de un número par de factores sin cambiar el signo de la fracción. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 69

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑎𝑏



( + )𝑎 ( ‒ )𝑏

( ‒ )𝑎 ( ‒ )𝑏

( ‒ )𝑎 ( ‒ )𝑏

Ejemplo:𝑐𝑑 = ( ‒ )𝑐( + )𝑑 = ( + )𝑐( + )𝑑 = ( ‒ )𝑐( ‒ )𝑑 Se puede cambiar el signo a un número impar de factores, cambiando el signo a la fracción algebraica. 𝑎𝑏

( + )𝑎 ( ‒ )𝑏

( ‒ )𝑎 ( ‒ )𝑏

Ejemplo: 𝑐𝑑 =‒ ( + )𝑐( + )𝑑 =‒ ( ‒ )𝑐( + )𝑑

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 70

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

2.3.2.2 SIMPLIFICACION Y REDUCCIÓN DE FRACCIONES REDUCCIÓN DE FRACCIONES. Reducir una fracción es cambiar su forma sin cambiar su valor. Se realiza multiplicando o dividiendo ambos términos de la fracción por una misma cantidad (de esa forma no se altera su valor). Ejemplo: Sea la fracción

3𝑎2𝑏3𝑐 5𝑥𝑦𝑧3

, si multiplicamos al numerador y al denominador entre 4𝑎𝑏𝑥, se

3 4

12𝑎 𝑏 𝑐𝑥

obtiene 20𝑥2𝑎𝑏𝑦𝑧3, con lo cual se cambió la forma de la fracción original sin variar su valor. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Simplificar una fracción algebraica (cuyo numerador y denominador ya están convenientemente factorizados)es convertirla en una fracción equivalente a la dad, cuyos términos sean primos entre sí. Para transformar una fracción a fracción irreducible, basta con suprimir de sus términos todos los factores comunes, lo que equivale a dividir los dos términos por el MCD. Ejemplos: Simplificación de monomios: 4𝑎2𝑏5

Simplificar:6𝑎3𝑏3𝑚 tendremos que: 4𝑎2𝑏5

=

6𝑎3𝑏3𝑚

2.1.𝑏2 3.𝑎.1.𝑚

Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; 𝑎2 y 𝑎3 entre 𝑎2 y obtuvimos los cocientes 1 y 𝑎, 𝑏5 y 𝑏3 y obtuvimos los cocientes 𝑏2 y 1. Como 2𝑏2 y 3𝑎𝑚 no tiene ningún factor común, esta fracción ya es irreducible. Simplificación de fracciones cuyos términos sean polinomios: Se factorizan los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes la numerador y denominador. Ejemplo: CURSILLO GAONA SAE

8𝑎3 + 27

Simplificar: 4𝑎2 + 12𝑎 + 9 Se factorizan los términos de la fracción. 8𝑎3 + 27 = (2𝑎 + 3)(4𝑎2 ‒ 6𝑎 + 9) 4𝑎2 + 12𝑎 + 9 = (2𝑎 + 3)2 8𝑎3 + 27

Luego 4𝑎2 + 12𝑎 + 9 =

(2𝑎 + 3)(4𝑎2 ‒ 6𝑎 + 9) (2𝑎 + 3)2

=

4𝑎2 ‒ 6𝑎 + 9 2𝑎 + 3

Simplificación de fracciones cuyos términos no pueden factorizarse fácilmente: Se determina el MCD entre el numerador y el denominador por divisiones sucesivas y luego, se dividen el numerador y el denominador por su MCD. Simplificar:

𝑥6 ‒ 2𝑥5 + 5𝑥4 ‒ 𝑥3 + 2𝑥2 ‒ 5𝑥 𝑥5 ‒ 2𝑥4 + 6𝑥3 ‒ 2𝑥2 + 5𝑥

Se extrae factor común 𝑥 tanto en el numerador como en el denominador: 𝑥(𝑥5 ‒ 2𝑥4 + 5𝑥3 ‒ 𝑥2 + 2𝑥 ‒ 5)

(𝑥5 ‒ 2𝑥4 + 5𝑥3 ‒ 𝑥2 + 2𝑥 ‒ 5) = (𝑥4 ‒ 2𝑥3 + 6𝑥2 ‒ 2𝑥 + 5) 𝑥(𝑥4 ‒ 2𝑥3 + 6𝑥2 ‒ 2𝑥 + 5)

Por divisiones sucesivas se obtiene que el MCD entre ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 71

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑥5 ‒ 2𝑥4 + 5𝑥3 ‒ 𝑥2 + 2𝑥 ‒ 5 y 𝑥4 ‒ 2𝑥3 + 6𝑥2 ‒ 2𝑥 + 5 es 𝑥3 ‒ 2𝑥2 + 5𝑥 (𝑥5 ‒ 2𝑥4 + 5𝑥3 ‒ 𝑥2 + 2𝑥 ‒ 5) ÷ (𝑥3 ‒ 2𝑥2 + 5𝑥)

𝑥3 ‒ 1

Luego (𝑥4 ‒ 2𝑥3 + 6𝑥2 ‒ 2𝑥 + 5) ÷ (𝑥3 ‒ 2𝑥2 + 5𝑥) = 𝑥2 + 1 2.3.2.3 OPERACIONES CON FRACCIONES. SUMA Y DIFERENCIA DE FRACCIONES. Se deben de convertir las fracciones en fracciones equivalentes con denominador común. Se factorizan los denominadores de cada fracción y se determinar el 𝑀𝐶𝑀 entre los denominadores. Se divide el 𝑀𝐶𝑀 entre los denominadores y el cociente se multiplica por cada uno de los numeradores respectivos, se realiza las operaciones indicadas en el numerador. Se factoriza luego, para simplificar factores comunes entre el nuevo numerador y el denominador (que es el 𝑀𝐶𝑀 obtenido). 2

3

4𝑥 ‒ 7

Ejemplo: Sumar 𝑥 ‒ 3 + 𝑥 + 2 ‒ 𝑥2 ‒ 𝑥 ‒ 6 Se factoriza los denominadores, en este caso solo 𝑥2 ‒ 𝑥 ‒ 6 es factorizable. 𝑥2 ‒ 𝑥 ‒ 6 = (𝑥 ‒ 3)(𝑥 + 2) Entonces el MCM entre (𝑥 ‒ 3)(𝑥 + 2), (𝑥 ‒ 3) y (𝑥 + 2) es (𝑥 ‒ 3)(𝑥 + 2) 2 3 4𝑥 ‒ 7 2(𝑥 + 2) + 3(𝑥 ‒ 3) ‒ (4𝑥 ‒ 7) + ‒ 2 = 𝑥‒3 𝑥+2 𝑥 ‒𝑥‒6 (𝑥 ‒ 3)(𝑥 + 2) Resolviendo las operaciones indicadas en el numerador: 2(𝑥 + 2) + 3(𝑥 ‒ 3) ‒ (4𝑥 ‒ 7) 2𝑥 + 4 + 3𝑥 ‒ 9 ‒ 4𝑥 + 7 𝑥+2 = = (𝑥 ‒ 3)(𝑥 + 2) (𝑥 ‒ 3)(𝑥 + 2) (𝑥 ‒ 3)(𝑥 + 2) 2 3 4𝑥 ‒ 7 1 + ‒ = 𝑥 ‒ 3 𝑥 + 2 𝑥2 ‒ 𝑥 ‒ 6 (𝑥 ‒ 3) CURSILLO GAONA SAE

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Se factorizan los numeradores y lo denominadores, todo lo posible. Se multiplican los numeradores de las fracciones y se divide entre el producto de los denominadores. Se simplifican los factores comunes. 𝑎2 ‒ 1

𝑎2 ‒ 𝑎 ‒ 6

Por ejemplo: Multiplicar 𝑎2 + 1 ; 3𝑎2 + 7𝑎 + 4 y

3𝑎 + 4 𝑎2 ‒ 4𝑎 + 3

.

Factorizando: 𝑎2 ‒ 1 = (𝑎 + 1)(𝑎 ‒ 1) 𝑎2 ‒ 𝑎 ‒ 6 = (𝑎 ‒ 3)(𝑎 + 2) 3𝑎2 + 7𝑎 + 4 = (9𝑎2 + 7(3𝑎) + 12) ÷ 3 = (3𝑎 + 4)(3𝑎 + 3) ÷ 3 = (3𝑎 + 4)(𝑎 + 1) 𝑎2 ‒ 4𝑎 + 3 = (𝑎 ‒ 3)(𝑎 ‒ 1) Luego: (𝑎 ‒ 1)(𝑎 + 1) 𝑎2 + 1

×

(𝑎 ‒ 3)(𝑎 + 2) 3𝑎 + 4 × (3𝑎 + 4)(𝑎 + 1) (𝑎 ‒ 3)(𝑎 ‒ 1)

Simplificando factores comunes entre el numerador y el denominador se tiene:

(𝑎 + 2 ) 𝑎2 + 1 ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 72

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 73

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Se multiplica la fracción dividendo por la fracción divisor invertido. Ejemplo: Dividir

𝑎2 ‒ 6𝑎 + 5

𝑎2 + 2𝑎 ‒ 35

𝑎2 ‒ 15𝑎 + 56

entre 𝑎2 ‒ 5𝑎 ‒ 24

Factorizando los términos de las fracciones se tienen: 𝑎2 ‒ 6𝑎 + 5 = (𝑎 ‒ 5)(𝑎 ‒ 1) 𝑎2 ‒ 15𝑎 + 56 = (𝑎 ‒ 8)(𝑎 ‒ 7) 𝑎2 + 2𝑎 ‒ 35 = (𝑎 + 7)(𝑎 ‒ 5) 𝑎2 ‒ 5𝑎 ‒ 24 = (𝑎 ‒ 8)(𝑎 + 3) Luego se multiplica la fracción dividendo por el inverso del divisor: (𝑎 ‒ 5)(𝑎 ‒ 1) (𝑎 ‒ 8)(𝑎 + 3) × (𝑎 ‒ 8)(𝑎 ‒ 7) (𝑎 + 7)(𝑎 ‒ 5) Simplificando queda: (𝑎 ‒ 1)(𝑎 + 3) (𝑎 ‒ 7)(𝑎 + 7) 2.3.2.4 FRACCIÓN COMPLEJA Es una fracción en la cual el numerador o el denominador, o ambos, son fracciones algebraicas. Ejemplo: 𝒂 𝒙 𝒙 ‒ 𝒂en donde el denominador es una fracción y también el numerador. 𝒂𝒙 CURSILLO GAONA SAE

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES COMPLEJAS Se resuelven las operaciones combinadas en el numerador y en el denominador luego, se convierte a una fracción algebraica simple multiplicando los extremos y dividiendo dicho producto por el producto de los medios. Se factoriza los términos de la nueva fracción y se simplifica los factores comunes al denominador y al numerador. 12

Ejemplo: Simplificar

𝑥 ‒ 1 ‒ 𝑥‒2 16

𝑥 + 6 + 𝑥‒2

Se resuelve las operaciones indicada en el numerador y denominador. Numerador: (𝑥 ‒ 1)(𝑥 ‒ 2) ‒ 12 𝑥2 ‒ 3𝑥 + 2 ‒ 12 𝑥2 ‒ 3𝑥 ‒ 10 12 𝑥 ‒ 1 12 𝑥‒1‒ = ‒ = = = 𝑥‒2 1 𝑥‒2 𝑥‒2 𝑥‒2 𝑥‒2 12 (𝑥 ‒ 5)(𝑥 + 2) = 𝑥‒2 (𝑥 ‒ 2) Denominador: (𝑥 + 6)(𝑥 ‒ 2) + 16 𝑥2 + 4𝑥 ‒ 12 + 16 𝑥2 + 4𝑥 + 4 16 𝑥+6 16 𝑥+6+ = + = = = 𝑥‒2 1 𝑥‒2 𝑥‒2 𝑥‒2 𝑥‒2 𝑥‒1‒

16 (𝑥 + 2)2 𝑥+6+ = 𝑥‒2 𝑥‒2 Finalmente nomas queda ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 74

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

12 (𝑥 ‒ 5)(𝑥 + 2) 𝑥‒2 (𝑥 ‒ 2) (𝑥 ‒ 5)(𝑥 + 2)(𝑥 ‒ 2) 𝑥 ‒ 5 = = = 16 𝑥+2 (𝑥 ‒ 2)(𝑥 + 2)2 (𝑥 + 2)2 𝑥+6+ 𝑥‒2 𝑥‒2 𝑥‒1‒

2.3.2.5 DESCOMPOSICIÓN DE UNA EXPRESIÓN FRACCIONARIA EN FRACCIONES PARCIALES. Descomposición en fracciones simples Sean 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) dos polinomios enteros y racionales en x. El objetivo es descomponer la fracción

𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)

en una suma de fracciones parciales en donde cada uno de los términos de las fracciones sean primos entre sí. Además los denominadores deben ser de la forma (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 con 𝑛 tomando valores correspondiente al conjunto de los números naturales; o bien (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 siendo 𝑏2 ‒ 4𝑎𝑐 < 0 es decir (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) no se puede escribir en la forma 𝑎(𝑥 ‒ 𝛼)(𝑥 ‒ 𝛽) con 𝛼 𝑦 𝛽 que pertenecen a los naturales. Es decir las soluciones de (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) son imaginarias o son irracionales. Entre 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) pueden darse las siguientes posibilidades en base a sus grados. (1) En este caso iniciamos la descomposición 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) (2) 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) > 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥) (3) Para estos dos casos (2 y 3) deberá tenerse en cuenta que 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) < 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥)

𝑃 (𝑥 ) 𝑄 (𝑥 )

= 𝐶 (𝑥 ) +

𝑅 (𝑥 ) 𝑄 (𝑥 )

(4)

CURSILLO GAONA SAE

En otras palabras habrá que hallar el cociente 𝐶(𝑥) y el resto 𝑅(𝑥) y poner la expresión en la forma 𝑅 (𝑥 )

(4), pasando seguidamente a efectuar la descomposición de 𝑄(𝑥) recordando que el grado del resto es por lo menos un grado menor que el divisor. Casos posibles. 1. El divisor 𝑄(𝑥) se puede descomponer en el producto indicado de varios factores binomicos no repetidos. Así si 𝑄(𝑥) = (𝑥 ‒ 𝑎)(𝑥 ‒ 𝑏)(𝑥 ‒ 𝑐)…(𝑥 ‒ 𝑛) se cumple 𝑃 (𝑥 ) 𝑄 (𝑥 )

=

𝐴 𝐵 𝐶 𝑁 + + + ... + (𝑥 ‒ 𝑎 ) (𝑥 ‒ 𝑏 ) (𝑥 ‒ 𝑐 ) (𝑥 ‒ 𝑛 )

Luego mediante operaciones entre fracciones calculamos los valores de A, B, C, …, N. 2. El divisor 𝑄(𝑥) se puede descomponer en el producto indicado de factores binomicos en donde por lo menos uno de ellos se repite en más de una ocasión. Así sí 𝑄(𝑥) = (𝑥 ‒ 𝑎)3(𝑥 ‒ 𝑏)(𝑥 ‒ 𝑐)…(𝑥 ‒ 𝑛) se cumple 𝑃 (𝑥 )

=

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑁 + + + +…+ (𝑥 ‒ 𝑎 ) (𝑥 ‒ 𝑎 )2 (𝑥 ‒ 𝑎 )3 (𝑥 ‒ 𝑏 ) (𝑥 ‒ 𝑛 )

𝑄 (𝑥 ) Luego se procede de la misma forma anterior.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 75

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

3. El divisor 𝑄(𝑥) se puede descomponer en el producto indicado de factores en donde por lo menos uno de ellos es de la forma (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)con (𝑏2 ‒ 4𝑎𝑐 < 0) Así si 𝑄(𝑥) = (𝑥 ‒ 𝑎)(𝑥 ‒ 𝑏)2(𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)…(𝑥 + 𝑛) entonces 𝑃 (𝑥 ) 𝑄 (𝑥 )

=

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝑥 + 𝐸 𝐹𝑥 + 𝐻 𝑁 + + + + + ... + 2 2 2 (𝑥 ‒ 𝑎 ) (𝑥 ‒ 𝑏 ) (𝑥 ‒ 𝑏 ) (𝑥 + 𝑛 ) (𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑟) (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)

4. El divisor 𝑄(𝑥) además de los factores conocidos se puede descomponer en factores cuadráticos repetidos es decir (𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟)𝑛 Así sí 𝑄(𝑥) = (𝑥 ‒ 𝑎)(𝑥 ‒ 𝑏)2…(𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟)2…(𝑥 ‒ 𝑛) se tiene 𝑃 (𝑥 ) 𝑄 (𝑥 )

=

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝑥 + 𝐸 𝐹𝑥 + 𝐻 𝑁 + + + + + ... + (𝑥 ‒ 𝑛 ) 𝑥 ‒ 𝑎 (𝑥 ‒ 𝑏) (𝑥 ‒ 𝑏)2 (𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟) (𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟)2

2.4 EXPRESIONES IRRACIONALES 2.4.1 RADICAL. Raíz 𝑛 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 de un número o de una expresión algebraica A es el número o la expresión 𝑛 algebraica que, elevada a la potencia n, reproduce A. Notación: 𝐴 donde 𝐴 es el radicando, 𝑛 es el índice. Así 3𝑥 es la raíz cubica de 27𝑥3 porque (3𝑥)3 = 27𝑥3. SIGNOS DE LOS RADICALES.  Las raíces de índices impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad subradical. Ejemplo: 3 27𝑎3 = 3𝑎 𝟓 2 ‒ 𝑥10 =‒ 𝑥  Las raíces de índices pares de una cantidad tienen doble signo: + y -. Ejemplo: 2 2 2 25𝑥2 =± 5𝑥 Porque (5𝑥) = ( ‒ 5𝑥) = 25𝑥 CURSILLO GAONA SAE

RAÍZ DE UNA POTENCIA. Para extraer la raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. 𝑚

Decimos que: 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 Ejemplos: 𝑛

4 2

4

𝑎 =𝑎 =2 5

𝑥=𝑥

1 5

RAÍZ DE UN PRODUCTO DE FACTORES. Para extraer la raíz a un producto de varios factores se extrae la raíz a cada uno de los factores. Es decir: 𝑛 𝑎𝑏𝑐 = 𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐 Análogamente para las fracciones:

𝑛

𝑎 𝑏

=

𝑛

𝑎

𝑛

𝑏

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 76

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Observación:  Es la propiedad que se emplea para extraer la raíz de monomios.  La radicación NO es distributiva respecto de la suma o resta de dos o más términos. 𝑛 𝑛 𝑛 Ejemplo: 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑎 + 𝑏 GRADO DE UN RADICAL. El grado de un radical es el índice de la raíz. Así 2 es de grado 2 pues el índice es 2. RADICALES SEMEJANTES. Son radicales del mismo índice y que tienen el mismo radical. 1 Ejemplos: 2 𝑥 y 6 𝑥 son radicales semejantes. Ambos tiene índice 2 y como subradical 𝑥 con exponente igual a la unidad. 13 Los términos 3 𝑥3 y 3 𝑥 no son semejantes pues la cantidad subradical a pesar de tener como base a 𝑥 no tienen los exponentes iguales. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES. Simplificar un radical es reducirlo a su forma más simple. Un radical esta reducido a su forma más simple cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible. CASOS PARA LA SIMPLIFICACIÓN. Caso 1. Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice. 1

Ejemplo: Simplificar 7 49𝑥3𝑦7. Como el índice es 2, los factores del sub radical se pueden expresar como siguen: 49 = 72 𝑥3 = 𝑥2.𝑥 𝑦7 = 𝑦6.𝑦 En donde el exponente de 7 es divisible entre 2, de 𝑥2 y de 𝑦6 también lo son. 1 1 1 Por tanto:7 49𝑥3𝑦7 = 7 72.𝑥2.𝑥.𝑦6.𝑦 = 7 × 7.𝑥.𝑦3 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦3 𝑥𝑦 CURSILLO GAONA SAE

Caso 2. Cuando los exponentes de los factores de la cantidad subradical y el índice del radical tienen un divisor en común. 15 Ejemplo: simplificar 27𝑥3𝑦6. 15 15 Se puede expresar como sigue 27𝑥3𝑦6 = 33𝑥3𝑦6 se observa que los tres factores del subradicando tienen exponentes divisibles entre 3 y el índice, que es 15, también es divisible entre 3. 15 5 Se divide el índice y los exponentes entre 3 y resulta 27𝑥3𝑦6 = 3𝑥𝑦2 quedando en su forma más simple. INTRODUCIR CANTIDAD BAJO EL SIGNO RADICAL. Para introducir el coeficiente de un radical bajo el signo radical se eleva dicho coeficiente a la potencia que indique el índice del radical. 3 Es decir, por ejemplo, si se tiene 3𝑎2 𝑎2𝑏 y se desea introducir 3𝑎2 bajo el radical, debemos 2 3 2 3 3 3 elevarlo al cubo, pues el índice del radical es 3. Entonces 3𝑎2 𝑎2𝑏 = (3𝑎 ) 𝑎 𝑏 = 27𝑎6𝑎2𝑏 3 3 que finalmente resultaría 3𝑎2 𝑎2𝑏 = 27𝑎8𝑏.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 77

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE. Se determinar el MCM entre los índices, que será el índice común, y se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice del radical. 4 6 Ejemplo: Reducir al mínimo común índice 8𝑎2𝑥3 y 3𝑎5𝑚4. Se determina el MCM entre los índices que son 4 y 6. El 𝑀𝐶𝑀(4;6) = 12, entonces queda 4 12 8𝑎2𝑥3 = (8𝑎2𝑥3)3 En donde se dividió en MCM entre el índice, resultando como cociente 3 y se eleva la cantidad subradical a una potencia de exponente 3. 4 12 6 12 Finalmente 8𝑎2𝑥3 = 512𝑎6𝑥9 y 3𝑎5𝑚4 = 9𝑎10𝑚8 REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES. Los radicales semejantes, o sea los radicales del mismo grado que tiene igual cantidad subradical, se reducen como términos semejantes que son, hallando la suma algebraica de los coeficientes y poniendo esta suma como coeficiente de la parte radical común. Ejemplo: 3𝑎 5 ‒ 𝑏 5 = (3𝑎 ‒ 𝑏) 5 2.4.2 OPERACIONES CON LOS RADICALES. SUMA Y RESTA DE RADICALES. Se simplifican los radicales dados; se reducen los radicales semejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo. Ejemplo: Simplificar 2 450 + 9 12 ‒ 7 48 ‒ 3 98 Simplificando los radicales: 2 450 = 2 2.32.52 = 30 2 9 12 = 9 22.3 = 18 3 7 48 = 7 24.3 = 28 3 3 98 = 3 2.72 = 21 2 30 2 + 18 3 ‒ 28 3 ‒ 21 2 = (30 ‒ 21) 2 + (18 ‒ 28) 3 = 9 2 ‒ 10 3 CURSILLO GAONA SAE

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE. Se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, colocando este último bajo el signo radical común y se simplifica el resultado. 23 Ejemplo: Multiplicar 3 4 por 23 3 2 3 1 1 4 × 3 6 = × × 3 4 × 6 = 3 23.3 = .23 3 = 3 3 3 4 3 4 2 2

( ) ( ) ( )

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES DE ÍNDICES DISTINTOS. Se reducen los radicales al mínimo común índice y se multiplican como radicales del mismo índice. 3 Ejemplo: Multiplicar 𝑥. 2𝑥2 Se determinar el MCM de los índices 𝑀𝐶𝑀(2;3) = 6. Luego se tiene: 𝑥 = 6 𝑥3 3 6 2𝑥2 = 4𝑥4 6 3 6 6 6 6 6 Entonces 𝑥. 2𝑥2 = 𝑥3. 4𝑥4 = 𝑥3.4.𝑥4 = 4𝑥7 = 4𝑥6.𝑥 = 𝑥 4𝑥 DIVISIÓN DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE. Se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica. Ejemplo: Dividir2 81𝑥7 entre 3 3𝑥2 3

3

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 78

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

2 81𝑥7

2 3 81𝑥7 2 3 2 3 2 3 3 3 2 5 5 2 81𝑥 ÷ 3 3𝑥 = 3 2 = × = × = × = × 3 .𝑥 .𝑥 27𝑥 27𝑥 3 3 3 3𝑥2 3 3 3𝑥 3 2 81𝑥7 2 3 3 = × 3.𝑥. 𝑥2 = 2𝑥 𝑥2 3 2 3 3 3𝑥 3

7

3

2

3

DIVISIÓN DE RADICALES DE ÍNDICES DISTINTOS. Se reducen los radicales a mínimo común índice y se dividen como radicales del mismo índice. 4 3 Ejemplo: Dividir 4𝑎2 entre 2𝑎 4 3 12 12 El MCM de los denominadores es 12. Luego 4𝑎2 = 256𝑎8y 2𝑎 = 8𝑎3, dividiendo: 3 4

4𝑎2 2𝑎

12

=

256𝑎8 12

8𝑎

3

=

12

256𝑎8 8𝑎

3

=

64𝑎5

12

2.4.3 RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN. Es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional. RACIONALIZANTE DE UNA EXPRESIÓN IRRACIONAL. Es la expresión simple por la cual es preciso multiplicar la expresión dada para obtener un producto racional. EXPRESIONES IRRACIONALES CONJUGADAS. Dado un binomio en el cual al menos uno de los términos es un expresión irracional, la conjugada es igual a los términos del binomio dado en que se cambia el signo a uno de ellos. CURSILLO GAONA SAE

Ejemplo: 𝑎 + 𝑏 y 𝑎 ‒ 𝑏 o 𝑎 + 𝑏 y 𝑎 ‒ 𝑏 Casos de racionalización: 1. Racionalizar el denominador de una fracción cuyo denominador es monomio. Se multiplica ambos términos de la fracción por el radical, del mismo índice que el denominador, que multiplicado por este de un producto racional. Ejemplos: Racionalizar el denominador

3 2𝑥

3 2𝑥 = × = 2𝑥 2𝑥 2𝑥 2𝑥

3

3

2𝑥

Racionalizar el denominador de

2 3

9𝑎

3 El denominador 9𝑎 = 32.𝑎 para que el denominador sea una raíz exacta debemos multiplicar 3 3 32.𝑎 por 3𝑎2 y para que la fracción no varíe se multiplica ambos términos de la fracción por dicho radical. 3 3 3𝑎2 2 3𝑎2 2 2 = × = 3 3𝑎 9𝑎 3 9𝑎 3 3𝑎2 3

Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador de es un binomio que contiene radicales de segundo grado. Se multiplica ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 79

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

4‒ 2

Ejemplo: Racionalizar2 + 5

2

La conjugada de su denominador se obtiene cambiándole el signo a cualquiera de sus términos, es decir, la conjugada de 2 + 5 2 es 2 ‒ 5 2. Multiplicamos ambos términos de la fracción por 2 ‒ 5 2 4‒ 2 2 ‒ 5 2 8 ‒ 22 2 + 10 18 ‒ 22 2 18 ‒ 22 2 9 ‒ 11 2 11 2 ‒ 9 × = 2 = = = = 4 ‒ 50 ‒ 46 ‒ 23 23 2+5 2 2‒5 2 2 ‒ (5 2 )2 Racionalizar

𝑥+𝑦 𝑥‒ 𝑦

𝑥+𝑦 𝑥‒ 𝑦

=

𝑥+𝑦

(

𝑥+ 𝑦

𝑥‒ 𝑦 𝑥+ 𝑦

)

=

(𝑥 + 𝑦)( 𝑥 + 𝑦) 𝑥‒𝑦

Racionalizar el denominador de una fracción que contiene tres radicales de segundo grado. Se aplica agrupa los términos del denominador de manera a que se considere a la suma de dos de ellos como un solo termino. Y de esta forma se vuelve al caso anterior. Ejemplo: Racionalizar

2‒ 5 2+ 5+ 6

Se agrupa de la siguiente manera: 2 + 5 + 6 = ( 2 + 5) + 6 en donde 2 + 5 se considera como un solo término. Entonces: ( 2 + 5) ‒ 6 2‒ 5 × 2 + 5 + 6 ( 2 + 5) ‒ 6 ( 2)2 ‒ ( 5)2 ‒ 12 + 30 2 ‒ 5 ‒ 2 3 + 30 30 ‒ 2 3 ‒ 3 = = = 2 + 2 10 + 5 ‒ 6 1 + 2 10 ( 2 + 5 )2 ‒ ( 6 )2 CURSILLO GAONA SAE

Esta última expresión hay que volverla a racionalizar, pues en el denominador hay una expresión irracional. La conjugada de 1 + 2 10 es 2 10 ‒ 1, luego 30 ‒ 2 3 ‒ 3 1 + 2 10

×

=

2 10 ‒ 1

2 10 ‒ 1 2 300 ‒ 4 30 ‒ 6 10 ‒ 30 + 2 3 + 3

20 3 ‒ 5 30 ‒ 6 10 + 2 3 + 3 40 ‒ 1 (2 10)2 ‒ 1 30 ‒ 2 3 ‒ 3 22 3 ‒ 5 30 ‒ 6 10 + 3 = 39 1 + 2 10 =

2.5 EXPRESIÓN COMPLEJA Los números complejos son expresiones que están constituido por un número real y un número imaginario, es decir, es de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎,𝑏 ∈ ℝ e 𝑖 = ‒ 1. En donde 𝑎 es la parte real y𝑏𝑖 es la parte imaginaria. Se tiene que:  Si 𝑎 = 0, la expresión queda 𝑧 = 𝑏𝑖, el número se llama imaginario puro.  Si 𝑏 = 0, la expresión queda 𝑧 = 𝑎, que es un número real. Es decir, los números reales también son complejos. 3 Ejemplos: las expresiones 2 ‒ 4𝑖; (2𝑥 ‒ 3) + (4𝑥 ‒ 1)𝑖 MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO. Es la expresión: |𝑧| = 𝑎2 + 𝑏2 ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 80

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 81

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

2.5.1 UNIDAD IMAGINARIA. Es la raíz cuadrada positiva del número -1, es decir: 𝑖 =+ POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA. De la definición de 𝑖 = ‒ 1 se tiene: 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 =‒ 1 3 𝑖 = 𝑖2.𝑖 = ‒ 𝑖 𝑖4 = 𝑖2.𝑖2 = 1

‒1

𝑖5 = 𝑖4.𝑖 = 𝑖 𝑖6 = 𝑖4.𝑖2 =‒ 1 𝑖7 = 𝑖4.𝑖3 =‒ 𝑖 𝑖8 = 𝑖4.𝑖4 = 1 𝑖9 = 𝑖8.𝑖 = 𝑖…

En general: para determinar el valor de una potencia de 𝑖, se determina el resto de la división del exponente por 4: si el resto es cero, el valor de la potencia es + 1; si el resto es 1, el valor de la potencia es + 𝑖, si el resto es 2, el valor de la potencia es ‒ 1, si el resto es 3, el valor de la potencia es ‒ 𝑖. 2.5.2 CANTIDADES COMPLEJAS CONDICIÓN DE IGUALDAD DE CANTIDADES COMPLEJAS La condición es que deben tener iguales, en valor absoluto y signo, la parte real e imaginaria. Es decir, dados dos números complejos: 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖, la condición para que ambos sean iguales es: 𝑎 = 𝑐 y 𝑏𝑖 = 𝑑𝑖. COMPLEJOS CONJUGADOS Son aquellos que tienen componentes reales iguales e igual, en valor absoluto y de signo contrario, las componentes imaginarias. Ejemplo: dado el numero complejo en forma binómica 𝑎 ‒ 𝑏𝑖 , su conjugado será 𝑎 + 𝑏𝑖. CURSILLO GAONA SAE

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS. (A) SUMA ALGEBRAICA DE NÚMEROS COMPLEJOS. La suma de varias complejas dadas en forma algebraica es en general, una compleja cuya parte real es la suma algebraica de las partes reales de los complejos sumados y la parte imaginaria es la suma algebraica de las partes imaginarias de los complejos sumados. Es decir (𝑎1 + 𝑏1𝑖) + (𝑎2 + 𝑏2𝑖) + ... + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛𝑖) = (𝑎1 + 𝑎2 + ... + 𝑎𝑛) + (𝑏1 + 𝑏2 + ... + 𝑏𝑛)𝑖 Ejemplo: Sumar ( ‒ 3 + 4𝑖) + (2 ‒ 𝑖) + (5 ‒ 3𝑖) + ( ‒ 1 + 𝑖) Por la definición de suma de suma se tiene ( ‒ 3 + 2 + 5 ‒ 1) + (4 ‒ 1 ‒ 3 + 1)𝑖 = (3 + 𝑖) Observación:  Si𝑎1 + 𝑎2 + ... + 𝑎𝑛 = 0 y 𝑏1 + 𝑏2 + ... + 𝑏𝑛 ≠ 0 la suma sería un imaginario puro  Si 𝑎1 + 𝑎2 + ... + 𝑎𝑛 ≠ 0 y 𝑏1 + 𝑏2 + ... + 𝑏𝑛 = 0 la suma seria un n° real puro  Si 𝑎1 + 𝑎2 + ... + 𝑎𝑛 = 𝑜𝑦𝑏1 + 𝑏2 + ... + 𝑏𝑛 = 0 la suma sería 0. Luego “La suma algebraica de varios números complejos es igual a un número complejo: un número imaginario puro o un número real, inclusive el cero.” En especial si se trata de dos complejos conjugados se tiene (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑎 ‒ 𝑏𝑖) = (𝑎 + 𝑎) + (𝑏 ‒ 𝑏)𝑖 = 2𝑎 + 0𝑖 ‘’La suma de dos complejos conjugados es un número real’’ (B) MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 82

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

a. El producto de un número real por una compleja, es otra compleja. Es decir: Sea 𝑚 un número real cualquiera, se tiene: 𝑚(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑏𝑖 b. Producto de dos complejos. (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 = (𝑎𝑐 ‒ 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 En lo cual, se puede dar los siguientes casos:  Si (𝑎𝑐 ‒ 𝑏𝑑) ≠ 0 y (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) ≠ 0 el resultado es un número complejo.  Si (𝑎𝑐 ‒ 𝑏𝑑) = 0 el producto sería imaginario puro.  Si (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) = 0 el producto sería un número real. En especial si se tienen dos complejos conjugados, su producto será 𝑖2

(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 ‒ 𝑏𝑖) = 𝑎2 ‒ 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 ‒ 𝑏2𝑖2 = 𝑎2 ‒ 𝑏2 ⏟ = 𝑎2 + 𝑏2 ‒1

c. Producto de varias Complejas. Para obtener el producto final, se multiplica la primera compleja por la segunda, obteniéndose en general una compleja, la cual a su vez se multiplica por el tercer factor, dicho resultado con el cuarto y así sucesivamente hasta operar con la última compleja. (C) DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. a. La división entre una compleja y un número real 𝒏, es otra compleja. Así

𝑎 + 𝑏𝑖 𝑛

𝑎

𝑏

= 𝑛 + 𝑛𝑖

b. El cociente de la división de un número real por una compleja es otra compleja. CURSILLO GAONA SAE

𝑛

Así: 𝑎 + 𝑏𝑖 racionalizando se tiene: 𝑛 𝑛(𝑎 ‒ 𝑏𝑖) 𝑛𝑎 ‒ 𝑛𝑏𝑖 𝑛𝑎 ‒ 𝑛𝑏𝑖 𝑛𝑎 𝑛𝑏 = = 2 = 2 = 2 ‒ 2 𝑖 2 2 2 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 ‒ 𝑏𝑖) 𝑎 ‒ (𝑏𝑖) 𝑎 +𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏2 c. Cociente entre dos complejas. Para la división entre dos complejas, como por ejemplo denominador.

𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖,

se debe racionalizar el

Racionalizando obtenemos 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 ‒ 𝑑𝑖) 𝑎𝑐 ‒ 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 ‒ 𝑏𝑑𝑖2 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐𝑖 ‒ 𝑎𝑑𝑖 = = = 𝑐 + 𝑑𝑖 (𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 ‒ 𝑑𝑖) 𝑐2 ‒ (𝑑𝑖)2 𝑐 2 + 𝑑2 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 (𝑏𝑐 ‒ 𝑎𝑑)𝑖 = + 2 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐2 + 𝑑2 𝑐 + 𝑑2 a. Si 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0, el mismo que reducido a b. Si𝑏𝑐 ‒ 𝑎𝑑 = 0, el cociente toma la forma

𝑏𝑐 ‒ 𝑎𝑑

𝑖 un imaginario puro.

𝑐 2 + 𝑑2 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑐 2 + 𝑑2

es decir un número real.

c. Si 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 ≠ 0 y 𝑏𝑐 ‒ 𝑎𝑑 ≠ 0, el cociente es un número complejo. En especial tenemos el cociente entre dos complejos conjugados

𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 ‒ 𝑏𝑖

racionalizando se tiene

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 83

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖) 𝑎2 + 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 + (𝑏𝑖)2 𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑖 ‒ 𝑏2 = = = 𝑎 ‒ 𝑏𝑖 (𝑎 ‒ 𝑏𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖) 𝑎2 ‒ (𝑏𝑖)2 𝑎 2 + 𝑏2 𝑎2 + 𝑏𝑖 𝑎2 ‒ 𝑏2 + 3𝑎𝑏𝑖 𝑎2 ‒ 𝑏2 2𝑎𝑏 = = 2 + 2 𝑖 2 2 2 𝑎 ‒ 𝑏𝑖 (𝑎 + 𝑏 ) (𝑎 + 𝑏 2 ) 𝑎 +𝑏 2𝑎𝑏

Sí 𝑎2 ‒ 𝑏2 = 0 es decir |𝑎| = |𝑏| el cociente es un imaginario para de la forma 𝑎2 + 𝑏2𝑖 Como 2ab no puede ser cero, el cociente de dos complejos conjugadas no puede ser un número real, ya que evidentemente (𝑎2 + 𝑏2) tampoco podrá será igual a cero. (D) POTENCIACIÓN. Sea la potencia (𝑎 + 𝑏𝑖)𝑛 que se desarrolla mediante el concepto del binomio de Newton de la siguiente manera: (𝑎 + 𝑏𝑖)𝑛 = 𝐶𝑛0𝑎𝑛 + 𝐶𝑛1𝑎𝑛 ‒ 1(𝑏𝑖) + 𝐶𝑛2𝑎𝑛 ‒ 2(𝑏𝑖)2 + ... + 𝐶𝑛 𝑛‒ 1𝑎(𝑏𝑖)𝑛 ‒ 1 + 𝐶𝑛𝑛(𝑏𝑖)𝑛 En este desarrollo unos términos son reales y otros términos son imaginarios puros, según que en dichos términos figure el factor (𝑏𝑖) con potencia par o impar. Luego. ‘’ La potencia del exponente natural de una compleja puede ser un número real, un imaginario puro o una compleja”. (E) RADICACIÓN. Si se tiene 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖 el resultado de esta operación ha de ser por definición un número que elevado al cuadrado nos reproduzca la compleja (𝑎 + 𝑏𝑖). Este número no puede ser real, ni un número imaginario puro. Es decir ( 𝑎 + 𝑏𝑖)2 = (𝑎 + 𝑦𝑖)2 elevando al cuadrado. CURSILLO GAONA SAE

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 + (𝑦𝑖)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 ‒ 𝑦2 Es decir 𝑎 + 𝑏𝑖 = (𝑥2 ‒ 𝑦2) + 2𝑥𝑦𝑖 𝑥2 ‒ 𝑦2 = 𝑎…(1) 2𝑥𝑦 = 𝑏… (2)

Que

por

condición

de

polinomios

idénticos

se

tiene

{

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de 𝑥 e 𝑦 3 También podría tenerse 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖 de manera análoga, elevando al cubo se tendría

(3 𝑎 + 𝑏𝑖)3 = (𝑥 + 𝑦𝑖)3 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥3 + 3𝑥2(𝑦𝑖) + 3𝑥(𝑦𝑖)2 + (𝑦𝑖)3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦𝑖 ‒ 3𝑥𝑦2 ‒ 𝑦3𝑖 𝑎 + 𝑏𝑖 = (𝑥3 ‒ 3𝑥𝑦2) + (3𝑥2𝑦 ‒ 𝑦3)𝑖 Que por condición de polinomios idénticos se tiene

{

𝑥3 ‒ 3𝑥𝑦2 = 𝑎…(1) Que resolviendo el sistema también obtendremos x e y 3𝑥2𝑦 ‒ 𝑦3 = 𝑏…(2)

Este concepto se puede entender a 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 + 𝑏𝑖,… etc. Con la salvedad que los sistemas que se van obteniendo son cada vez más complicados. 4

5

1) Ejemplo 1: Demostrar que: (1 + 𝑖)2 = 2𝑖 y colocar en la forma algebraica la expresión: ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 84

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑧=

(1 + 𝑖)80 ‒ (1 + 𝑖)82

𝑖96 2) Ejemplo 2: Demostrar que: (1 ‒ 𝑖)2 =‒ 2𝑖 y calcular (1 ‒ 𝑖)96 + (1 ‒ 𝑖)97

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 85

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

2.6 LOGARITMOS 2.6.1 LOGARITMO DE UN NÚMERO EN UNA DETERMINADA BASE Logaritmo de un número: es el exponente de la potencia a la que es preciso elevar un número fijo, llamado base del sistema, para obtenerlo. Así, siendo 𝑁 el número, 𝑥 su logaritmo y 𝑎 la base del sistema, tenemos, por definición: 𝑁 = 𝑎𝑥. La notación: 𝑥 = log𝑎 𝑁 Conclusiones de la definición: 1. El logaritmo de uno es cero. 2. El logaritmo de la base es uno. 3. Todos los números positivos tienen logaritmos. 4. Todos los números negativos NO tienen logaritmos. 5. Los números mayores que uno tienen logaritmo positivo. 6. Los números menores que uno tienen logaritmo negativo. 7. El logaritmo de cero es el infinito negativo. 8. El logaritmo de infinito positivo es el infinito positivo. 9. Los números que tienen logaritmos enteros son las potencias enteras de la base. SISTEMAS DE LOGARITMOS DE USO MÁS FRECUENTE a. Sistema decimal: también llamado de logaritmos vulgares. La base es 10. Notación: log10 𝑛 = log 𝑛 b. Sistema neperiano o logaritmos naturales o hiperbólicos: es el sistema más empleado, cuya base es un cierto número irracional 𝑒 = 2,718182…, valor que se deduce de: 1 𝑒 = lim 1 + n n→∞

( ) = lim (1 + 𝑛 CURSILLO GAONA SAE

n

1 𝑛 )

𝑛→0

Notación: log𝑒 𝑁 = ln 𝑁 El logaritmo natural de N y el logaritmo decimal de N están relacionados con la siguiente fórmula: ln 𝑁 = 2,3026 log 𝑁 2.6.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. HIPÓTESIS: Sea el logaritmo log𝑎 (𝐴1𝐴2…𝐴𝑛) cuya base es 𝑎. TESIS: log𝑎 (𝐴1𝐴2…𝐴𝑛) = log𝑎 𝐴1 + log𝑎 𝐴2 + … + log𝑎 𝐴𝑛 Designando por 𝑎 la base del sistema y suponiendo: 𝑥1 = log𝑎 𝐴1; 𝑥2 = log𝑎 𝐴2; … ; 𝑥𝑛 = log𝑎 𝐴𝑛; Tenemos por definición: 𝑥

𝑥

𝑥

𝑎 1 = 𝐴1 ; 𝑎 2 = 𝐴2 ; … ; 𝑎 𝑛 = 𝐴𝑛 Multiplicando miembro a miembro estas igualdades, se tiene: 𝑥 + 𝑥 + ... + 𝑥

𝑛 𝑎1 2 = 𝐴1.𝐴2…𝐴𝑛, ( ) Donde por definición: log𝑎 𝐴1.𝐴2…𝐴𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ... + 𝑥𝑛 sustituyendo𝑥1,𝑥2,….,𝑥𝑛, por sus valores tenemos: log𝑎 (𝐴1.𝐴2…𝐴𝑛) = log𝑎 𝐴1 + log𝑎 𝐴2 + ... + log𝑎 𝐴𝑛

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 86

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

2. El logaritmo de un cociente o fracción es igual al logaritmo del dividendo o numerador menos el del divisor o denominador. 𝐴

HIPÓTESIS: Sea el logaritmo log𝑎 𝐵cuya base es 𝑎. 𝐴

TESIS:log𝑎 𝐵 = log𝑎 𝐴 ‒ log𝑎 𝐵 Designando por a la base del sistema y suponiendo: 𝑥 = log𝑎 𝐴, 𝑦 = log𝑎 𝐵 Tenemos por definición: 𝑎𝑥 = 𝐴, 𝑎𝑦 = 𝐵, Dividiendo la primera igualdad por la segunda tenemos: 𝐴 𝑎𝑥 ‒ 𝑦 = 𝐵 𝐴 Donde por definiciónlog𝑎 𝐵 = 𝑥 ‒ 𝑦, sustituyendo 𝑥 e 𝑦 por sus valores 𝐴 log𝑎 = log𝑎 𝐴 ‒ log𝑎 𝐵 𝐵

()

3. El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicada por el logaritmo de la base. HIPÓTESIS: Sea 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑴𝒏 cuya base es 𝑎 TESIS: 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑨𝒏 = 𝒏.𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑨 Designando por a la base del sistema y suponiendo: 𝑥 = log𝑎 𝐴 Tenemos por definición: 𝑎𝑥 = 𝐴 Elevando los dos miembros de esta igualdad a la potencia n, tenemos: 𝑎𝑛𝑥 = 𝐴𝑛 Donde por definiciónlog𝑎 𝐴𝑛 = 𝑛.𝑥, donde sustituyendo x por su valor: log𝑎 𝐴𝑛 = 𝑛.log𝑎 𝐴 CURSILLO GAONA SAE

4. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. 𝒏 HIPÓTESIS: Sea 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑴en donde la base es 𝑎 log𝑎 𝐴

𝑛 TESIS: log𝑎 𝐴 = 𝑛 Designando por a la base del sistema y suponiendo: 𝑥 = log𝑎 𝐴 Tenemos por definición: 𝑎𝑥 = 𝐴 Extrayendo la raíz n de los dos miembros de esta igualdad se tiene: 𝑛 𝑛 𝑎𝑥 = 𝐴 𝑥 𝑛 Donde por definiciónlog𝑎 𝐴 = 𝑛, o sustituyendo x por su valor: log𝑎 𝐴 𝑛 log𝑎 𝐴 = 𝑛

5.

HIPÓTESIS: sea𝒃

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒂

TESÍS: 𝒃 𝒃 =a Sea 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = 𝑥…(1) Por definición de los logaritmos𝑏𝑥 = 𝑎…(2) Por tanto, por (1) y (2): 𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎

= 𝑏𝑥 = 𝑎 ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 87

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Se concluye que: 𝒃

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂

=𝒂

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 88

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

6. CAMBIO DE BASE. HIPÓTESIS: Sea𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂

TESIS: 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄

Suponemos que 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎 = 𝑥 tenemos por definición que: 𝑐𝑥 = 𝑎 𝑥

Donde se cumple que 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑐 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎) Y aplicando la propiedad de los logaritmos de una potencia 𝑥(𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐) = (𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎), despejando x nos queda: 𝑥=

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐

, sustituyendo x por su valor: 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎 =

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 89

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

CAPÍTULO 3 ECUACIONES E INECUACIONES 3.1 IDENTIDADES Y ECUACIONES Dos expresiones algebraicas relacionadas por el signo=forman una igualdad algebraica. Comprende dos tipos: la identidad algebraica y la ecuación. IDENTIDAD ALGEBRAICA. Es un igualdad incondicional, independiente de los valores atribuidos a las letras que en ella figuran. ECUACIÓN. Es una igualdad condicional, dependiente de los valores atribuidos a ciertas letras que ella contiene denominadas incógnitas. RAÍZ DE UNA ECUACIÓN. Es el valor de la incógnita que la transforma en una igualdad numérica o en una identidad algebraica. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN. Es el sistema de valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una igualdad numérica o en una identidad algebraica. RESOLVER UNA ECUACIÓN. Es determinar sus raíces o soluciones.

CURSILLO GAONA SAE

ECUACIONES EQUIVALENTES. Son aquellas que tienen las mismas raíces o las mismas soluciones. TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES. AXIOMAS. 1. “Una igualdad no se altera cuando sus dos miembros sufren las mismas modificaciones” Principio I: Una ecuación no se altera cuando, a sus dos miembros se suma o se resta el mismo n° o expresión algebraica que contenga o no la incógnita. 1° aplicación: Transposición de términos: para pasar un término de un miembro a otro de una ecuación se le cambia de signo. 2° aplicación: Reducción a la forma A=0: al transponer todos los términos de una ecuación al primer miembro se transforma a 𝐴 = 0 5𝑥3 ‒ 2 = 4𝑥2 ‒ 7𝑥 Ejemplo: 3 5𝑥 ‒ 2 ‒ 4𝑥2 + 7𝑥 = 0 3° aplicación: toda ecuación lineal a una incógnita puede ser reducida a la forma 𝐴𝑥 = 𝐵 7𝑥 ‒ 5 = 3𝑥 + 2 Ejemplo: 4𝑥 = 7 Principio 2:“Una ecuación no se altera cuando sus dos miembros son multiplicados o divididos por el mismo número, finito y diferente de cero, o por una expresión algebraica independiente de la incógnita y de valor numérico finito, determinado y diferente de cero. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 90

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

1° restricción: multiplicando los dos miembros de una ecuación por una función de la incógnita la ecuación resultante puede contener raíces que no sean de la primitiva. 2° restricción: dividiendo los dos miembros de una ecuación por una función de la incógnita la ecuación resultante no tiene todas las raíces de la primitiva. (𝑥 ‒ 2)(𝑥 + 3) = (3𝑥 ‒ 2)(𝑥 + 3) + 5(𝑥 + 3) Ejemplo: Dividiendo entre:(𝑥 + 3) (𝑥 ‒ 2) = (3𝑥 ‒ 2) + 5; Resulta: Esta última ecuación más la ecuación 𝑥 + 3 = 0 contienen todas las raíces de la primitiva. 3° restricción: el n° o la expresión por la cual son multiplicados o divididos los dos miembros de la ecuación debe ser finita, diferente de cero y determinada. Principio 3: Elevando los dos miembros de una ecuación a una potencia cualquiera, entera y positiva, generalmente hay introducción de raíces extrañas. Principio 4: Extrayendo la raíz n de los dos miembros de una ecuación, hay supresión de raíces. CLASIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN SEGÚN SU GRADO. El grado de una ecuación algebraica racional, entera es el de las expresiones que constituyen sus miembros, tomando en relación a la incógnita. Si la ecuación tiene una sola incógnita el grado de la ecuación es el mayor exponente de la incógnita. Si la ecuación tiene más de una incógnita se suman los exponentes de cada término y la mayor suma obtendrá, es el grado de la ecuación. CURSILLO GAONA SAE

𝑎𝑥 = 𝑏 𝑎𝑏𝑥2 ‒ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 1 = 0 Ejemplo: 𝑥3 ‒ 2𝑥 + 5 = 0 𝑥2𝑦2 ‒ 3𝑥𝑦 ‒ 4 = 0

𝑒𝑠 𝑑𝑒 1° 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 2° 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑑𝑒 3° 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 4° 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜

ECUACIÓN DETERMINADA E INDETERMINADA. Una ecuación es determinada cuando tiene un número finito de raíces y soluciones; es indeterminada cuando admite una infinita de raíces o de soluciones. ECUACIÓN IMPOSIBLE. Es aquella que no admite ninguna solución, o cuando solo admite raíces infinitas. Ejemplo:

2

0.𝑥 = 2, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 = 0 = ∞

3.2 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA (ECUACIÓN LINEAL) TRANSFORMACIONES. RESOLUCIÓN. Toda ecuación de 1° grado a una incógnita puede ser reducida a la forma 𝐴𝑥 = 𝐵, donde A representa un numero positivo o una expresión algebraica Independiente de 𝑥 . Dividiendo 𝐵

ambos miembros de la ecuación. Por A, resulta 𝑥=𝐴, 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑞𝑢𝑒 𝐴 ≠ 0 . Si tanto A como B son iguales a cero, la ecuación tendrá infinitas soluciones. 3.3ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UN INCOGNITA. (ECUACIÓN CUADRATICA) De la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑏

𝑐

Dividiendo la ecuación anterior entre 𝑎, se obtiene: 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 = 0 ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 91

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑏

𝑐

Haciendo 𝑎 = 𝑝; 𝑎 = 𝑞,𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 La ecuación 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 se denomina ecuación reducida o ecuación simplificada 3.3.1 DEDUCCIÓN DE LA FORMUL A PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Sea la ecuación𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales cualesquiera, con 𝑎 ≠ 0. Trasponiendo para el 2° miembro el término independiente de 𝑥, se tiene: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = ‒ 𝑐 Multiplicando los dos miembros por 4𝑎 se tiene: 4𝑎2.𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 = ‒ 4𝑎𝑐 Sumando 𝑏2 a los dos miembros, se tiene: 4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 = 𝑏2 ‒ 4𝑎𝑐 El primer miembro es el cuadrado de(2𝑎𝑥 + 𝑏), luego tenemos: (2𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 𝑏2 – 4𝑎𝑐 Extrayendo la raíz cuadrada de los dos miembros, se tiene: 2𝑎𝑥 + 𝑏 =± 𝑏2 ‒ 4𝑎𝑐 Trasponiendo 𝑏 para el 2° miembro se tiene: 2𝑎𝑥 =‒ 𝑏 ± 𝑏2 ‒ 4𝑎𝑐 Dividiendo los dos miembros por 2𝑎 tenemos: 𝒙=

‒ 𝒃 ± 𝒃𝟐 ‒ 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

que es la fórmula general de la resolución de las ecuaciones de 2° grado Cuadro de análisis de la formula general de resolución de las ecuaciones de 2° grado CURSILLO GAONA SAE

C 0 2

ax + bx + c = 0 C>0

b – 4ac=0 b - 4ac b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que". *La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; *La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). *La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; *La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. PROPIEDADES 1. Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Así, dada la desigualdad 𝑎 > 𝑏, podemos escribir 𝑎+𝑐>𝑏+𝑐 𝑦 𝑎‒𝑐>𝑏‒𝑐 Consecuencia:Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo. Así, en la desigualdad 𝑎 > 𝑏 + 𝑐 podemos pasar 𝑐 al primer miembro con signo – y quedara 𝑎 ‒ 𝑐 > 𝑏, porque equivale a restar 𝑐 a los dos miembros. En la desigualdad 𝑎 ‒ 𝑏 > 𝑐 podemos pasar 𝑏 con signo + al segundo miembro y quedara 𝑎 > 𝑏 + 𝑐, porque equivale a sumar 𝑏 a los dos miembros. CURSILLO GAONA SAE

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Así, dada la desigualdad 𝑎 > 𝑏 y siendo 𝑐 una cantidad positiva, podemos escribir: 𝑎 𝑏 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 𝑦 > 𝑐 𝑐 Consecuencia:Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varié el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el MCM de los denominadores. 3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia. Así, si en la desigualdad 𝑎 > 𝑏 multiplicamos ambos miembros por –𝑐, tendremos: ‒ 𝑎𝑐 𝑏 es evidente que 𝑏 < 𝑎. 5. Si se invierten los dos términos, la desigualdad cambia de signo. 1

1

Así, siendo 𝑎 > 𝑏 se tiene que 𝑎 < 𝑏

6. Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, 5 > 3. Elevando al cuadrado: 52 > 32 𝑜 𝑠𝑒𝑎 25 > 9 7. Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Así, ‒ 3 >‒ 5. Elevando al cubo:( ‒ 3)3 > ( ‒ 5)3 𝑜 𝑠𝑒𝑎 ‒ 27 >‒ 125 2 >‒ 2. Elevando al cubo: 23 > ( ‒ 2) 𝑜 𝑠𝑒𝑎 8 >‒ 8 8. Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia. Así, ‒ 3 >‒ 5. Elevando al cuadrado: ( ‒ 3)2 = 9 𝑦 ( ‒ 5)2 = 25 𝑦 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 9 < 25. 9. Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se eleva a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar. Así, 3 >‒ 5. Elevando al cuadrado: 32 = 9 𝑦 ( ‒ 5)2 = 25 y queda 9 < 25. Cambia 8 >‒ 2. Elevando al cuadrado: 82 = 64 y( ‒ 2)2 = 4 y queda 64 > 4. No cambia. CURSILLO GAONA SAE

10. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 𝑛 𝑛 Así, si 𝑎 > 𝑏 y n es positivo, tendremos: 𝑎 > 𝑏. 11. Si dos o mas desigualdades del mismo signo se suman o multiplica miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Así, si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 𝑑 > , tendremos: 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑 𝑦 𝑎𝑐 > 𝑏𝑑. 12. Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad. Así, 10 > 8 𝑦 5 > 2. Restando miembro a miembro: 10 ‒ 5 = 5 𝑦 8 ‒ 2 = 6; luego queda 5 < 6; cambia el signo. Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 > 8 𝑦 5 > 4, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 luego queda 2 = 2, igualdad.

10 5

=2 𝑦

8 4

= 2;

3.8 INECUACIONES Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de la incógnita. Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 96

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades se funda en las propiedades de las desigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de las mismas se derivan. A menos que se diga lo contrario, en este apartado solo trataremos las inecuaciones lineales. Para resolver una desigualdad son útiles las siguientes propiedades: *Para pasar un término de un miembro de una desigualdad a otro, se le cambia de signo, es decir, si está con signo + se le pone en el otro miembro con signo - , y viceversa: 𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑐 ⇔𝑎 ≥ 𝑐 ‒ 𝑏 *Si en una desigualdad existe un miembro con un solo término, se puede pasar un factor de ese miembro como divisor en el otro miembro, y viceversa, considerando: 1. Si el factor es positivo, el sentido de la desigualdad se preserva: 15 5𝑥 ≥ 15 ⇔ 𝑥 ≥ 5 2. Si el factor es negativo, el sentido de la desigualdad se invierte: 18 ‒ 3𝑥 ≥ 18 ⇔ 𝑥 ≤ ‒3 Ejemplo: Resolver la inecuación 2𝑥 ‒ 3 > 𝑥 + 5. Pasando x al primer miembro y el 3 al segundo: 2𝑥 ‒ 𝑥 > 5 + 3→𝑥 > 8 3.9 INECUACIONES SIMULTANEAS

CURSILLO GAONA SAE

Son inecuaciones que tienen soluciones comunes. Resolver un “sistema de inecuaciones simultáneas” es la operación que nos permite determinar los valores de la variable que satisfacen simultáneamente las dos o más inecuaciones que conforman dicho sistema. Ejemplo: Hallar que valores de x satisfacen las inecuaciones 2𝑥 ‒ 4 > 6 3𝑥 + 5 > 14 Resolviendo la primera: 2𝑥 > 6 + 4;→2𝑥 > 10;→𝑥 > 5 Resolviendo la segunda: 3𝑥 > 14 ‒ 5;→3𝑥 > 9;→𝑥 > 3 De ambas soluciones se forma como solución general la primera, luego el límite inferior de las soluciones comunes es 5.

{

3.10 INECUACIONES DE VALORES ABSOLUTO DE FUNCIONES. Para cada número real x, se define su valor absoluto y se denota │x│ de la siguiente manera: │x│=𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 │x│= ‒ 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 Aplicando esta definición o expresiones de la forma ax + b se tiene: 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 |𝑎𝑥 + 𝑏| = ‒ (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑠𝑖 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0

{

En general, tratamos dos tipos de desigualdades de valor absoluto 1. Desigualdades del tipo |𝑎𝑥 + 𝑏| ≤ 𝑀 con M positivo. 2. Desigualdades del tipo |𝑎𝑥 + 𝑏| ≥ 𝑀 con M positivo. Observaciones:ya que |𝑎𝑥 + 𝑏| siempre será positivo, ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 97

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

1. Las desigualdades del tipo |𝑎𝑥 + 𝑏| ≤ 𝑀 con M negativo NO tienen solución. En este caso decimos que el conjunto solución es𝐶𝑆 = ∅ 2. Las desigualdades del tipo |𝑎𝑥 + 𝑏| ≥ 𝑀 con M negativo SIEMPRE tienen solución. En este caso decimos que 𝐶𝑆 = ℝ Ejemplos. 1. Resolver la inecuación |2𝑥 + 3| < 2 1

En primer lugar: 2𝑥 + 3 < 2 →2𝑥 < 2 ‒ 3 →2𝑥 4 ‒ 3 →2𝑥 > 1 → 𝑥 > 2 7

En segundo lugar: ‒ (2𝑥 + 3) > 4 → ‒ 4 > 2𝑥 + 3 → ‒ 3 ‒ 4 > 2𝑥 → ‒ 7 > 2𝑥 → ‒ 2 > 𝑥 1

La solución general es: 𝑥 > 2

7

𝑜 𝑥 𝑗). Para conseguir ‘’triangularizar’’ la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangularizacion el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando las propiedades de los determinantes. 1 1 2 Ejemplo de matriz triangular o escalonada: 0 3 4 0 0 1

( )

5.5 RESOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del mismo tienen igual rango. MATRIZ ASOCIADA O DE LOS COEFICIENTES: Es la matriz que dado un sistema de ecuaciones se toman los coeficientes de las ecuaciones como elementos de la misma. MATRIZ AMPLIADA: Es la matriz asociada en la cual se añade una columna a la derecha cuyo elementos son los términos independientes de las ecuaciones del sistema, tal como figuran como en el segundo miembro de cada ecuación. Se transforma la matriz ampliada en triangular (escalonada). Puede resultar lo siguiente:  Una fila o columna compuesta de ceros: indica que el sistema tiene infinitas soluciones  Una fila o columna en que todos los elementos excepto el último son cero: el sistema es inconsistente o no tiene solución. MÉTODO DE CRAMER. Sea un sistema de ecuaciones lineales con 𝑛 ecuaciones y 𝑛 número de incógnitas tal que el determinante de la matriz del sistema sea diferente de 0 (cero); CURSILLO GAONA SAE

donde 𝐷 es el determinante de la matriz del sistema y 𝐷𝑗 (𝑗 = 𝑥,𝑦,𝑧) es el determinante de la matriz que resulta al sustituir la columna 𝑗de la matriz del sistema por la columna formada por los términos independientes. Para resolver un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas:  Calcule el determinante 𝐷de la matriz del sistema. Si𝐷 ≠ 0, entonces: o Calcule cada uno de los determinantes 𝐷𝑥, 𝐷𝑦, 𝐷𝑧. Recuerde queel determinante 𝐷𝑖(𝑖 = 𝑥, 𝑦 𝑜 𝑧)se obtiene sustituyendo en el determinante 𝐷 la columna de coeficientes de la incógnita 𝑖 por la columna de los términos independientes. o Formule la solución del sistema de ecuaciones, que será de la forma: 𝑥= o o o

𝐷𝑥 𝐷 ;𝑦

=

𝐷𝑦 𝐷;

𝑧=

𝐷𝑧 𝐷,

Si 𝐷 ≠ 0 entonces el sistema es compatible: tiene solución única. Si 𝐷 = 0y todos los 𝐷𝑖(𝑖 = 𝑥, 𝑦 𝑜 𝑧) son iguales a cero, entonces se concluye que el sistema es indeterminado: tiene infinitas soluciones. Si 𝐷 = 0y alguno de los 𝐷𝑖(𝑖 = 𝑥, 𝑦 𝑜 𝑧) es distinto a cero, entonces se concluye que el sistema es incompatible: no tiene solución.

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 105

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

UNIDAD 6 PROGRESIONES 6.1 PROGRESIÓN ARITMÉTICA (PA) Es una sucesión de números, en la cual cada uno es igual al precedente sumado algebraicamente a un número fijo, positivo o negativo llamada razón. Si 𝑟 es positivo, la progresión es creciente Si 𝑟 es negativo, la progresión es decreciente, toda progresión puede ser limitada o ilimitada, según que existan una cantidad finita de términos, o infinita de términos. Notación: ÷ 𝑡1.𝑡2.𝑡3...𝑡𝑛 Consecuencias de la definición: 1. La diferencia entre cualquier término de una𝑃𝐴 y el precedente es constante e igual a la razón. 2. Media Aritmética: Tres términos consecutivos cualesquiera de una 𝑃𝐴 forman una equidiferencia continua, de modo que cada término de la progresión es la semisuma de los términos antecedente y consecuente. Sea la p.a. ÷ 𝑡1.𝑡2.𝑡3…𝑡𝑛 y 𝑟 la razón, entonces por definición tenemos: 𝑡1 + 𝑟 = 𝑡2 ; 𝑡2 + 𝑟 = 𝑡3, Donde, por sustracción miembro a miembro, queda: 𝑡1 ‒ 𝑡2 = 𝑡2 ‒ 𝑡3, Que es una equidiferencia continua. Despejando el valor de 𝑡2 ,tenemos: CURSILLO GAONA SAE

𝑡2 =

𝑡1 + 𝑡3 2

TÉRMINO ENÉSIMO DE UN PROGRESIÓN𝑷𝑨 Sea la p.a. ÷ 𝑡1.𝑡2.𝑡3…𝑡𝑛. y la 𝑟 la razón, entonces por definición tenemos: 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑟, 𝑡3 = 𝑡2 + 𝑟, Reemplazando por la expresión anterior: 𝑡3 = 𝑡1 + 2𝑟 𝑡4 = 𝑡3 + 𝑟, reemplazando por la expresión anterior: 𝑡4 = 𝑡1 + 3𝑟 Generalizando para el término de orden 𝑛: 𝑡𝑛 = 𝑡1 + (𝑛 ‒ 1)𝑟 SUMA DE LOS TÉRMINOS EQUIDISTANTE DE LOS EXTREMOS: En toda 𝑃𝐴 limitada la suma de dos términos cualesquiera, equidistante de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos. Sea p.a. ÷ 𝑡1.𝑡2.𝑡3…𝑡1……𝑡𝑘…𝑡𝑛 ‒ 2.𝑡𝑛 ‒ 1.𝑡𝑛, en la cual 𝑡𝑖 𝑦 𝑡𝑘, representan términos equidistantes de los extremos y cuya razón designamos por 𝑟. Suponiendo que desde 𝑡1 hasta 𝑡𝑖 haya 𝑝 términos de 𝑡𝑘 𝑎 𝑡𝑛 habrá también p términos. Considerando dos progresiones parciales, una comenzando en 𝑡1 y terminando en 𝑡𝑖, la otra comenzando en 𝑡𝑛 y terminando en 𝑡𝑘 la razón de la primera es 𝑟 y la de la segunda es –𝑟, luego: ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 106

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

𝑡 𝑖 = 𝑡 1 + (𝑝 ‒ 1 )𝑟 𝑡 𝑘 = 𝑡 𝑛 ‒ (𝑝 ‒ 1 )𝑟 Sumando miembro a miembro estas dos igualdades, tenemos: 𝑡𝑖 + 𝑡𝑘 = 𝑡1 + 𝑡𝑛 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA 𝑷𝑨 Sea la 𝑃𝐴 ÷ 𝑡1.𝑡2.𝑡3…𝑡𝑛.𝑦𝑟 la razón Designando por 𝑆𝑛 la suma de los 𝑛 términos, tenemos: (1)

𝑆𝑛 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ... + 𝑡𝑛 ‒ 2 + 𝑡𝑛 ‒ 1 + 𝑡𝑛 Invirtiendo el orden de los sumados tenemos:

𝑆𝑛 = 𝑡𝑛 + 𝑡𝑛 ‒ 1 + 𝑡𝑛 ‒ 2 + ... + 𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡1(2) (1) Sumando las igualdades y (2) miembro a miembro ordenadamente, tenemos: ( ) ( 2𝑆𝑛 = 𝑡1 + 𝑡𝑛 + 𝑡2 + 𝑡𝑛 ‒ 1) + (𝑡3 + 𝑡𝑛 ‒ 2) + ... + (𝑡𝑛 ‒ 2 + 𝑡3) + (𝑡𝑛 ‒ 1 + 𝑡2) + (𝑡𝑛 + 𝑡1) Estas sumas binarias son iguales a (𝑡1 + 𝑡𝑛), por ser sumas de términos equidistantes de los extremos, como el número de sumas binarias es n, tenemos: 2𝑆 = (𝑡1 + 𝑡𝑛)𝑛, (𝑡 1 + 𝑡 𝑛 )𝑛 𝑆= 2

dónde:

CURSILLO GAONA SAE

Observación: Siendo 𝑡𝑛 = 𝑡1 + (𝑛 ‒ 1)𝑟, tenemos: 𝑆=

[2𝑡1 + (𝑛 ‒ 1)𝑟]𝑛 2

6.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (𝑷𝑮) Es una sucesión de números, en la cual cada uno es igual al precedente multiplicado por número fijo llamado razón. La progresión puede ser creciente o decreciente, según que vaya aumentando o disminuyendo, también puede ser limitada o ilimitada, según que tenga un número finito de términos; o un número infinito términos. Toda progresión geométrica puede representarse por el símbolo ∷ Notación:∷𝑡1 ∶ 𝑡2 ∶ 𝑡3 ∶ ...𝑡𝑛 ‒ 1 ∶ 𝑡𝑛 Consecuencias de la definición: 1. El cociente de la división de un término cualquiera de una p.g. por el procedente es constante e igual a la razón. 2. Media Geométrica: Tres términos consecutivos cualesquiera de una p.g. forman una proporción geométrica continua, de modo que cualquier término (excepto el primer término y el último) es media proporcional del antecedente y consecuente. Sea la 𝑃𝐺∷𝑡𝑙 ∶ 𝑡2 ∶ 𝑡3 ∶ ...𝑡𝑛 ‒ 1 ∶ 𝑡𝑛𝑞 la razón. Entonces por definición: 𝑡𝑛 ‒ 1 = 𝑡𝑛 ‒ 2𝑞(1) 𝑡𝑛 = 𝑡𝑛 ‒ 1𝑞(2) ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 107

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Dividiendo (1) por (2): 𝑡𝑛 ‒ 1 𝑡𝑛

=

𝑡𝑛 ‒ 2 𝑡𝑛 ‒ 1

y finalmente queda: 𝑡𝑛 ‒ 1 = 𝑡𝑛.𝑡𝑛 ‒ 1 TÉRMINO ENÉSIMO DE UNA 𝑷𝑮: Sea la 𝑃𝐺∷𝑡1 ∶ 𝑡2 ∶ 𝑡3 ∶ ...𝑡𝑛 ‒ 1 ∶ 𝑡𝑛

𝑞 la razón. Entonces por definición:

𝑡2 = 𝑡1𝑞 𝑡3 = 𝑡2. 𝑞, reemplazando la expresión anterior:

𝑡3 = 𝑡1.𝑞2

𝑡4 = 𝑡3. 𝑞, reemplazando la expresión anterior:

𝑡4 = 𝑡1.𝑞3

Generalizando para el término de orden n: 𝑡𝑛 = 𝑡1.𝑞𝑛 ‒ 1 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA 𝑷𝑮. Sea la 𝑃𝐺∷𝑡1 ∶ 𝑡2 ∶ 𝑡3 ∶ ...𝑡𝑛 ‒ 1 ∶ 𝑡𝑛 , 𝑞 la razón: CURSILLO GAONA SAE

Designando por Sn la suma de los n términos, tenemos: 𝑆𝑛 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ...𝑡𝑛(1) Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por 𝑞, tenemos: 𝑆𝑛.𝑞 = 𝑡1𝑞 + 𝑡2𝑞 + 𝑡3𝑞 + ... + 𝑡𝑛𝑞, reemplazando 𝑡1𝑞 = 𝑡2; 𝑡2𝑞 = 𝑡3; …;𝑡𝑛 ‒ 1𝑞 = 𝑡𝑛, tenemos 𝑆𝑛.𝑞 = 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 + ... + 𝑡𝑛 + 𝑡𝑛𝑞(2) (2) Sustrayendo la igualdad de (1) tenemos: 𝑆𝑛 𝑞 ‒ 𝑆𝑛 = 𝑡 𝑛 𝑞 ‒ 𝑡 1 , de donde: 𝑛 𝑡 𝑛 𝑞 ‒ 𝑡 1 𝑡 1 . (𝑞 ‒ 1 ) o bien: 𝑆𝑛 = = (𝑞 ‒ 1 ) 𝑞‒1 𝑡1 ‒ 𝑡𝑛𝑞 𝑆𝑛 = 1‒𝑞 1. En toda progresión geométrica limitada; el producto de los términos cualesquiera equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos. Sea la progresión ∷ 𝑡1,𝑡2,𝑡3,…,𝑡𝑛 ‒ 2,𝑡𝑛 ‒ 1,𝑡𝑛 Como 𝑡3 𝑦 𝑡𝑛 ‒ 2; 𝑡2 𝑦 𝑡𝑛 ‒ 1, son términos equidistantes de los extremos 𝑡1 𝑦 𝑡𝑛 se cumple (𝑡2.𝑡𝑛 ‒ 1) = (𝑡𝑛 ‒ 2.𝑡3) = ... = (𝑡1.𝑡𝑛); pues 𝑡1.𝑡𝑛 = 𝑡1.𝑡1𝑞𝑛 ‒ 1 = 𝑡12𝑞𝑛 ‒ 1 además 𝑡2.𝑡𝑛 ‒ 1 = 𝑡1𝑞.𝑡1𝑞𝑛 ‒ 2 = 𝑡12𝑞𝑛 ‒ 1 y así sucesivamente, sea el par de términos equidistantes de los extremos que se tome. 2. Suma de una progresión geométrica decreciente infinita. ‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 108

SÆ GAONA CURSILLO DE INGRESO (021) 203-723

Sea la progresión ∷ 𝑡1,𝑡2,𝑡3,…,𝑡𝑛 ‒ 2,𝑡𝑛 ‒ 1,𝑡𝑛en donde 𝑞 < 1 (la razón es menor que uno) La suma esta dada por: =

𝑡1 ‒ 𝑡1𝑞𝑛 1‒𝑞

𝑡1

𝑡𝑛𝑞𝑛

⇒distribuyendo 𝑆𝑛 = 1 ‒ 𝑞 ‒ 1 ‒ 𝑞

En donde si 𝑞 < 1 a medida que crece el número de términos, el mismo es cada vez más pequeño, y como la progresión es infinita cuando n tiende al ∞(infinito), el término 𝑛-ésimo se hace despreciable. Luego la suma queda de la siguiente manera. 𝑡1 𝑆∞ = 1‒𝑞 3. Productos de los n términos de una progresión geométrica. Sea la progresión ∷ 𝑡1,𝑡2,𝑡3,…,𝑡𝑛 ‒ 2,𝑡𝑛 ‒ 1,𝑡𝑛En donde el producto de los n primeros términos es. P, luego. 𝑃 = 𝑡1.𝑡2.𝑡3,…, 𝑡𝑛 ‒ 2.𝑡𝑛 ‒ 1.𝑡𝑛 Multiplicando m a m se tiene. 𝑃 = 𝑡 .𝑡 𝑛 𝑛 ‒ 1.𝑡𝑛 ‒ 2…𝑡3.𝑡2.𝑡1

{

como el orden de los factores no altera el producto, se tiene que P se puede escribir 𝑃2 = (𝑡1.𝑡𝑛).(𝑡2.𝑡𝑛 ‒ 1).(𝑡3.𝑡𝑛 ‒ 2)…(𝑡𝑛 ‒ 2.𝑡3).(𝑡𝑛 ‒ 1.𝑡2).(𝑡𝑛.𝑡1) Por la propiedad n°1 se cumple que (𝑡1.𝑡𝑛) = (𝑡2.𝑡𝑛 ‒ 1) = (𝑡3.𝑡𝑛 ‒ 2) = … = (𝑡𝑛 ‒ 2.𝑡3) = (𝑡𝑛 ‒ 1.𝑡2) = (𝑡𝑛.𝑡1) y como se tienen n factores se cumple en (1) 𝑃2 = (𝑡1.𝑡𝑛)𝑛 𝑃=

(𝑡1.𝑡𝑛)𝑛

CURSILLO GAONA SAE

‘’CURSILLO SAE GAONA’’ (021)203-723.pág. 109