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• Miguel Garcia

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Matemática para CPN y Lic en Adm.

UNIDAD Nº 1

Guía de trabajos Teórico- Práctico Nº 1

UNIDAD I: 1.1 Lógica proposicional. Proposición. Tipos de proposiciones. Conectivas Lógicas. Simbología. Tablas de verdad. Negación. Conjunción. Disyunción. Condicional. Condición necesaria y suficiente. Condicionales asociados Bicondicional. Fórmulas Lógicas:tablas de verdad. Leyes Lógicas 1.2. Funciones Preposicionales. Conjuntos de verdad. Cuantificadores. Negación de Cuantificadores. 1.3. Conjuntos. Pertenecia e inclusión. Operaciones. Problemas de conteo. 1.4. Producto cartesiano. Relaciones. Dominio y Codominio. Funciones. Dominio e Imagen. 1.5. Ley de composición interna. Posibles propiedades de una ley de composición interna. 1.6. Ejercicios Complementarios.

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UNIDAD Nº 1

1.1 Lógica proposicional La Lógica es una ciencia formal, que no se interesa ni por los contenidos del pensamiento, ni por el contenido de las expresiones del pensamiento, sino por sus formas, por sus estructuras. La lógica proposicional es la parte más elemental de la Lógica moderna y estudia aquellas relaciones formales existentes entre las proposiciones ( y no las que se dan dentro de ellas).

Ejemplos de proposiciones: “Las empresas premiaran a los usuarios que consuman menos luz” “Ecuador cayó 13 casillas en el índice de competitividad”

Proposición: “Aquellas oraciones aseverativas de las cuales tenga sentido decir si son verdaderas o falsas.” Ejemplo de expresiones que no son proposiciones: ¿Cuál es el premio?

Un paquete de velas

¡ Prepárate porque ya mismo nos cae el índice de pobreza! (no se pueden saber si son V o F) Nota: Una proposición es una oración pero no toda oración es una proposición. En general , No son proposiciones, las siguientes expresiones: a) Las oraciones interrogativas. Imperativas o exhortativas. Desiderativas. Exclamativas o admirativas. y las Dubitativas.

Ej: ¿ Qué es la lógica? Ej: Debemos honrar el bicentenario Ej. Sea en hora buena Ej. ¡Que suerte! ¡Casi me saco el monobingo! Ej. Quizás llueva mañana

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b) Los juicios de valor.

Ej: Mariano es bueno

c) Las pseudoproposiciones.

Ej. El cuadrado es inteligente

d) Las funciones proposicionales.

Ej. 2X + 6 = 14

e) las descripciones definidas.

Ej. El actual presidente del Banco Central

f) Los filosofemas.

Ej. La materia se mueve en un ciclo eterno.

Ejemplo 2: Proposición compuesta

Los modelos son una simplificación o abstracción de la realidad que intentan explicar un determinado comportamiento de los fenómenos económicos. Por lo tanto estas representaciones sencillas no reflejan la realidad misma. En este texto se pueden advertir tres proposiciones:. Ellas son:

Los modelos son una simplificación de la realidad que intentan explicar un determinado comportamiento de los fenómenos económicos Los modelos son una abstracción de la realidad que intentan explicar un determinado comportamiento de los fenómenos económicos. Las representaciones sencillas reflejan la realidad misma. Estas proposiciones están vinculadas por términos de enlace que destacamos con negrita: (

) o(

) . Por lo tanto………. no (

)

En general en Lógica: Los términos "y" , "no" , "o" , "si...entonces" y "si y solo si" , que pueden figurar en una proposición son llamados CONECTIVOS LOGICOS. Observación: Hay proposiciones que contienen los términos de enlace expresados de otra forma, pero que en esencia tienen el mismo significado que las definidas, pues no cambian la estructura de la oración.

Clase de proposiciones: Pueden ser simples (o atómicas) y compuestas ( o moleculares) . Las simples carecen de conectivas mientras que las compuestas si los tienen (al menos una). En el ejemplo dado, el texto mismo es una proposición compuesta Nota: La forma de las proposiciones moleculares (PM) construidas, depende del término de enlace utilizado y no del contenido de la proposición o proposiciones atómicas.

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Actividad 1: Indica cuales de las siguientes expresiones son proposiciones. En el caso afirmativo señala además cuales son compuestas y cuales atómicas: a) “La coparticipación en Sgo del Estero creció 27% en febrero y un 283% desde 2002” b) “El pan podría aumentar un 15% en Santiago.” c) ¡Qué calor que hace esta mañana! d) “Hemos recibido varias denuncias de vecinos que han ido de compras y los listas de precios no están en exhibición o los precios acordados no se respetan”

SIMBOLIZACIÓN Los ejemplos dados están expresados en un lenguaje coloquial mientras que la LÖGICA tiene su propio lenguaje. Es el lenguaje simbólico. Las proposiciones se representan con las letras p, q, r...... que se denominan variables proposicionales y las operaciones o los conectivos con los signos:  ,  ,  ,  ,  , u otros, según las convenciones adoptadas por cada autor (nosotros elegiremos la de Scholz) En el ejemplo 2 dado: Si designamos con letras : p, q y r a las proposiciones simples , se tendrá la siguiente expresión simbólica:

pvq  r En el cuadro siguiente se presentan todos los conectivos lógicos, el nombre que reciben y su identificación o significado en una oración, suponiendo que se tengan dos proposiciones cualesquiera p y q .

CONECTIVO 

OPERACIÓN ASOCIADA conjunción o producto lógico

SIGNIFICADO p y q, (pero, aunque, no obstante sin embargo)



p o q (en sentido incluyente)

disyunción

p o q, o ambos



condicional implicación material,

si p entonces q; p implica q, p solo si q; q si p; cuando p, q



doble implicación, bicondicional

p si y solo si q



disyunción exclusiva

p ó q (en sentido excluyente) O p o q pero no ambos



no p, no es cierto que p, no ocurre que p

negación

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Actividad 2: Identifique las proposiciones simples y expréselas en lenguaje lógico utilizando para ello los conectivos que correspondan.

I.

En un proyecto de investigación una hipótesis es una suposición tentativa pero además una posible solución a un problema.

II.

Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son asociativas

III.

Santiago será ordenado en el tránsito si y solo si, los conductores no andan siempre apurados y se respeten las normas de tránsito. Tablas de Verdad de una proposición:

Una tabla de verdad es una disposición que permite asignar a cada variable proposicional dos valores de verdad ( V) o ( F) cuando es simple, y 2n valores de verdad cuando se tienen n variables distintas P V V F F

P V F

q V F V F

Si la proposición es molecular la verdad o falsedad de la misma dependerá de la verdad o falsedad de las atómicas que la componen y de los términos de enlace que las ligan. Por convención cada conectivo tiene definido el valor de verdad que le corresponde cuando se combinan los valores de verdad de cada proposición atómica. Definimos cada uno:

NEGACION: ( ) Dada una proposición p verdadera, su negación es p es Falsa; y recíprocamente. Ejemplo: p : “El pan ha aumentado el 15% en santiago “ es verdadera (V)

p : “El pan no ha aumentado el 15% en santiago” es obviamente falso (F) En general cualquiera sea la proposición p se cumple la siguiente tabla de verdad: P V F

p F V

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CONJUNCIÓN:.

Fórmula: p  q Ejemplo considerando la primera viñeta de la figura y usando las variables p y q , tenemos: p: Yo antes iba al psicoanalista en taxi q: Yo ahora me tengo que conformar con contarle todo al taxista Si ambas proposiciones son verdaderas la proposición compuesta conjunción es Verdadera. Cualquier otro caso la hace falsa. (definición semántica) En el ejemplo dado también tenemos otra conjunción si sustituimos pero por y: “Yo ahora tengo un taxi y en realidad soy psicoanalista” Otro ejemplo: Un informe del banco HSBC señala que el peso argentino debería terminar el año en $ 4,30, con una devaluación de más del 10% con respecto al valor actual.

Actividad 3: Completa la tabla de verdad siguiente, de acuerdo a la definición de conjunción. (cuatro combinaciones posibles de los valores de V ,F) p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

pq

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DISYUNCIÓN Se pueden presentar en dos sentidos, para dos proposiciones p , q: 1. Disyunción incluyente( debil): admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Simbolizaremos en este caso con 

Ej.: La inflación baja o se frena la suba de precios.

p  q

2. Disyunción excluyente(fuerte): No admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Simbolizamos en ese caso con .

p  q

Ej.: Raúl esta en el ciber o en la Universidad Para cualquier caso de disyunción, se define:

Si una de las proposiciones dadas es V y la otra es F, la proposición compuesta es V ; y si ambas proposiciones son falsas la compuesta es Falsa. Pero en la incluyente si ambas son verdaderas la compuesta también es verdadera, no así en la excluyente que da como resultado proposición Falsa.

Actividad 4: De acuerdo a lo definido en la disyunción, completa las tablas de verdades siguientes: p

q

V

pq

r

s

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

rs

Actividad 5: Escribe en forma simbólica las siguientes proposiciones compuestas: a) La materia es teórica o práctica o ambas a la vez. b) Se le enviara el diploma por correo hoy o mañana. c) Carlos va directamente en colectivo o en bicicleta a su trabajo. d) El gobierno busca consenso o no asistirá al Congreso. e) El afiliado puede optar por el IOSEP o por PAMI, pero no ambos.

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CONDICIONAL (p  q)

Los condicionales son frecuentemente usados en Matemática y economía. Este conectivo vincula dos proposiciones, la primera se denomina antecedente y la segunda consecuente, de la siguiente forma: “Sí...............entonces (implica)..........”

Ej. 1:

“ p solo sí q ”

Si 2+2 < 8 entonces 2 < 6

condicional de tipo formal

Ej. 2: Cuando Lucía apruebe el examen de admisión ingresará a la Universidad. Ej.3 “Si aumenta el precio de la entrada, se despedirá al titular del INDEC” condicional material (El consecuente no se deriva del antecedente) El condicional es verdadero en cualquier caso excepto cuando el antecedente es V y el consecuente es F.

Actividad 6: De acuerdo a la definición de condicional para dos proposiciones dadas, completa las tablas de verdades siguientes:

r

pq



t

p

q

V

V

F

V

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

F

Actividad 7: De acuerdo a la ilustración dada, escribe en forma simbólica la proposición dada e indica antecedente y consecuente.

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Actividad 8: En las siguientes condicionales identifica con variables proposicionales el antecedente del consecuente : i) Si las tasas de interés se mantienen fijo, los clientes podrán ampliar sus créditos. ii) El número 432 es par puesto que es divisible entre 2. iii) La huelga continua, pues no hay solución al conflicto. Condición necesaria y suficiente Dado un condicional de antecedente p y consecuente q , Verdadero ,decimos que p es condición suficiente para q q es condición necesaria para p Ejemplo:

“Si el tipo de cambio es bajo y los atractivos naturales siguen vigentes, se favorecerá el crecimiento del turismo en Argentina.” Podemos expresar en forma equivalente: Que el tipo de cambio sea bajo y los atractivos naturales sigan vigentes es condición suficiente para favorecer el crecimiento del turismo en Argentina. Que sea favorable el crecimiento del turismo en Argentina es condición necesaria para que el tipo de cambio sea bajo y los atractivos naturales sigan vigentes

Actividad 9: Sea p la variable que sustituye a la proposición “La función de demanda es creciente” y q que represente a la proposición “la función de oferta es decreciente”, Escribe en forma coloquial el condicional: p  q en términos de condición suficiente y Condición necesaria. CONDICIONALES ASOCIADOS( Conjugados)

Dado un condicional de antecedente p y consecuente q (que se toma como directo), es posible armar otros condicionales a partir de éste por permutación y /o negación de p y q . Estos reciben el nombre de condicionales asociados o conjugados del primero: Condicional Directo

pq

Condicional Contrario p  q

qp

Condicional Recíproco

q  p Condicional contrarrecíproco

Ejemplo de directo y recíproco: Si la cotización del dólar sube, el ingreso de las importaciones disminuirá Si el ingreso de las importaciones disminuye, el precio de la cotización del dólar sube

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Actividad 10: Dado el condicional :

Si la inflación de noviembre en el país fue del 0,9% , en Mendoza fue del 1,5 % a) Si llama con r al antecedente y con s al consecuente, expresa simbólicamente el condicional dado. b) Escribe coloquial y simbólicamente el recíproco del condicional c) Escribe coloquial y simbólicamente el contrario del condicional d) Escribe coloquial y simbólicamente el contrarrecíproco del condicional

BICONDICIONAL ( p  q ) Muchas definiciones y teoremas matemáticos tienen la forma de un bicondicional Ejemplo 1: “La función costo medio alcanza el punto crítico si y solo si la función de

costo medio es igual a la función de costo marginal” Ejemplo 2: “Una función es contínua cuando y solo cuando la función es contínua en

cada uno de sus puntos” ** * El bicondicional, solo es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Actividad 11: De acuerdo a la definición de bicondicional, completa la tabla de verdad siguiente:

p



q V

V

V

F

F

V

F

F

pq

Notas: Esta conectiva también nos permite decir cuando dos fórmulas son equivalentes.

** Así: “ la función es contínua “ equivale a “función contínua en cada uno de sus puntos El bicondicional puede definirse también como la conjunción de un condicional y su recíproco. De este modo la tabla de valores de verdad de p  q, es equivalente a obtener la tabla de verdad de la siguiente forma:

( p  q )  (q  p ).

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Actividad 12: En base a la definición dada para condicional y para la conjunción, completa la siguiente:

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

pq

qp

(p  q)  (q  p)

Fórmulas Lógicas Una fórmula lógica es una cadena de símbolos construida según reglas establecidas por el lenguaje de la Lógica desde un punto de vista formal, es decir, lo único que le interesa son las relaciones entre los símbolos .En ese sentido la sintaxis lógica, permite la construcción de Fórmulas Bien Formadas ( FBF) estableciendo con tal objeto, reglas para usar y combinar símbolos. Ejemplo:

Proposición: Samuelson no es contador, sino economista; luego dicta cátedra. Forma lógica: Samuelson no es contador y Samuelson es economista entonces dicta cátedra p: Samuelson es contador q: Samuelson es economista r: Samuelson dicta cátedra. Fórmula lógica:

p  q  r

esta es una Fórmula bien formada (FBF)

Algunas de las reglas de la sintaxis lógica que permiten construir o identificar una FBF: i - Una FBF tiene un nombre y esta depende de su operador de mayor jerarquía. ii - El operador de mayor jerarquía es aquel que esta libre de los signos de agrupación: ( ), [ ] iii- Los signos de agrupación se usan cuando la fórmula es susceptible de doble interpretación. iv- Un conectivo u operador afecta a las letras proposicionales inmediatas o a algún conjunto de letras y símbolos inmediatos a ellos entre paréntesis. v – Jerarquía: A los efectos de reducir el uso de los ( ) como así también de poder construir una tabla de verdad para evaluar una fórmula dada, se conviene en establecer el siguiente orden de los operadores (de la mas débil a la mas fuerte)



NIVEL1





NIVEL2

,



NIVEL3





NIVEL 4 

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La fórmula dada en el ejemplo es un condicional. Para obtener su valor de verdad , construimos una tabla de verdad con tantos renglones según posibilidades de combinación de V o F por cada variable, y tantas columnas según proposiciones y conectivos estén presentes:

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

p F F F F V V V V

p  q F F F F V V F F

p  q  r

V V V V V F V V

Si el resultado obtenido en la ultima columna de tabla es siempre Verdadero, la fórmula se llama Tautología. si es Falso la fórmula se llama Contradicción. Y si es al menos una es F y una es V la fórmula recibe el nombre de Contingencia. En el ejemplo dado tenemos una contingencia.

Actividad 13: Indica cuales de las siguientes fórmulas son FBF escribiendo el nombre de cada una. Aquellas que no lo sean, explica por que no lo son: a) p  q   r

b) p  ( q v  r)

c) p v q  r

d) p  q  r

Actividad 14: Las empresas privadas y las publicas de energía participan en el desarrollo económico del país, pero las publicas no tienen fundaciones i- Si llamamos con p , q, etc. , a cada una de las supuestas variables proposicionales que intervienen, indica cual es la fórmula lógica correcta, de las opciones siguientes:

a) p  q   r

c) p  q  q

b) p  q  r

d) p  q  q

ii- Si tuvieses que construir una tabla de verdad para esta fórmula lógica. ¿Cuántos renglones tendría? iii- Supongamos se sabe que en la fórmula : p es V , q es F , se puede saber el valor de de verdad de la proposición compuesta? iv- Evaluando todas las posibilidades, ¿Que tipo de fórmula es?

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Actividad 15: Construye aparte una tabla de valores para cada fórmula y observa los resultados de la última operación realizada :

a)  ( p)

b) (p  q )  ( q  p )

c) (p  q )   ( q  p )

d) ( p  q )   p  q

Actividad 16: Probar que las fórmulas que se dan a la izquierda son equivalentes a las de la derecha construyendo tablas de verdad y asignando en el mismo orden los valores de V y F de las variables proposicionales que intervienen:

a)  (p  q )

b)  p  q

c)  (p  q )

d)  p  q

e) ~ ( p  q )

f) p  ~ q Leyes lógicas

Como en la actividad anterior, existen fórmulas cuyos resultados de los valores de verdad son iguales para una misma forma de asignación de los valores de las variables proposic. Diremos que son equivalentes y lo simbolizaremos con



o con

.

Estas fórmulas se conocen como Leyes lógicas y alguna de ellas son: (p)  p

i.

Involutiva:

ii.

Conmutativa: de la conjunción

y

pq  qp iii.

pq  qp

Asociativa: de la conjunción

y

(p  q)  r  p  (q  r) iv.

de la disyunción

(p  q)  r  p  (q  r)

Distributiva:  con respecto a la 

p  (q  r)  (p  q)  (p  r) v.

de la disyunción:

y

de la  con respecto a la 

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

Leyes de De Morgan:

 (p  q )  ( p  q )

 (p  q )  ( p  q )

vi.

Definición del Condicional : p  q   p  q

vii.

Negación de un condicional ( No es lo mismo que el contrario)

~( p  q )

 p~q

Nota: Para probar si una fórmula es una ley lógica se debe construir una tabla y obtener una tautología

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Actividad 17: Reducir las siguientes fórmulas, aplicando las leyes lógicas en forma conveniente:

a)  ( p   q ) 

b)  (p v q )

c)  ( p  q  r ) 

d)  [ p  (q  r)] 



Actividad 18: Dados los siguientes condicionales, formular los condicionales asociados tanto en forma simbólica como coloquial. Además, probar que el directo y el contrarrecíproco son equivalentes siempre ( usar Tabla de valores)

a) “Si el Banco Central y el Banco Nación no compran dólares, la inflación deberá bajar y se frenará el alza de precios de la canasta familiar”· b) “Se genera inflación y suba de precios , si se aumentan los sueldos y no baja el

precio del petróleo según el mercado” ¿Son también equivalentes el recíproco y el contrario? Justifica.

1.2 FORMA O FUNCIÓN PROPOSICIONAL En economía hay funciones que llamamos de Costos y de Ingresos. Por ejemplo: C(q) = 10q2 – 5q

e

I(q) = 6q2 + 18q

donde q representa el nº de unidades.

De hecho no son proposiciones pues no se puede decir de ellas si son Verdaderas o Falsas. Son funciones proposicionales y dependen (como toda función) de un valor numérico de q. Analicemos la función I(q) Si q = 10

I(10) = 780

es una proposición y Verdadera

En cambio si q = -2 I(-2) = -12 ,

es una proposición Falsa ( I no puede ser negativo )

También son funciones proposicionales los siguientes ejemplos: “ x es par “

;

“ x + y < 2000 “

;

“ y = 3x – 5” ;

“x>3 x 9 c) r (x) : x < 7 i)

Encontrar el conjunto de verdad correspondiente a cada función proposicional.

ii)

¿Se puede encontrar proposiciones falsas para algún valor del Universal?

iii)

Cuantificar cada función para que resulte una proposición V.

Actividad 22: Escriba en forma simbólica las siguientes estructuras lógicas, usando cuantificadores e identificando las funciones proposicionales que intervienen. i)

Algunos comerciantes expenden bebidas alcohólicas después de las 23 hs

ii)

Algunas fábricas no pueden competir con las importadoras o siempre arrojan pérdidas.

iii)

Ningún comestible ha bajado de precio y alguno no se consigue.

v)

No todos los estudiantes tienen un método de estudio. Por lo tanto algunos estudiantes no obtienen buenos resultados.

Para reflexionar: Si realmente tuviese que opinar en forma crítica respecto de las expresiones dadas ¿Cuál proposición sería Verdadera? ¿Cuál falsa? ¿Cuál no se podría saber? ¿Qué modificación haría para saber si es V o F?

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Actividad 23: Niegue las funciones proposicionales del ejercicio anterior en forma simbólica y coloquial.

Actividad 24: Propone en forma coloquial ejemplos de expresiones de tipo económicos o social que tengan la siguiente forma:

a) x : (p(x) v q(x)) b)  x / (p(x)  q(x)) c) x : p(x)   x / q(x) Niegue en forma simbólica y coloquial las expresiones a y b del ejercicio. Obtenga el contrarrecíproco del condicional c

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1.3 De los Conjuntos a las Funciones Problema: Lee atentamente el siguiente texto Análisis de consumo En un estudio de 100 consumidores realizado en un centro comercial un dia viernes , 75 consumidores indicaron que compraban la marca M de cierto shampoo, 60 compraban la marca P y 40 adquieren ambas marcas. Determine la cantidad de consumidores participantes en el estudio, quienes compraban: a) Solo la marca M b) Al menos una de las marcas. c) Exactamente una de estas marcas. d) Otra marca que no sea P ni M

Antes de poder aplicar matemáticas a la solución de problemas reales, hay que formular estos problemas en el lenguaje de la matemática. Este proceso se conoce como MODELACIÓN MATEMÁTICA. Un modelo matemático puede describir si no con precisión, con una aproximación aceptable, el problema en cuestion. Para explicar y resolver el problema dado vamos a aplicar algunos términos, conceptos y operaciones que se utilizan en la Teoría de conjuntos ( ver anexo al final de la guia) Rta: En el problema se presentan tres conjuntos de personas que lo expresaremos con:

U = { personas de un centro comercial consumidores de shampoo} (universal) A = { x  U / x es consumidor de la marca M } B = { x  U / x es consumidor de la marca P } Esta forma de presentar o definir los conjuntos se llama por comprensión. La otra posibilidad de definir es por extensión si se sabe el nombre de las personas que conforman cada conjunto, lo cual no es posible en este caso. A los conjuntos los podemos representar utilizando recintos cerrados , llamados diagramas de Venn. Esta representación varía y depende de la información del problema. En este caso:

U

A

B

Tanto A como B estan incluidos en U. Esto se simboliza

AU , BU ( donde  significa incluido )

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Para hacer referencia a la cantidad de elementos de cada conjunto emplearemos el símbolo  (se le: ”cardinal” ) de un conjunto. Para nuestro caso se tendrá:  U = 100

 A = 75

 B = 60

El problema dado corresponde a los denominados Problemas de conteo pues requiere obtener el número de elementos de un conjunto de consumidores que cumplan con una condición. En el gráfico distinguiremos con I, II, III y IV las regiones que cumplen una determinada condicion:

U II

I

III

IV Región I: formada por consumidores en comun a ambos conjuntos, pues cumplen la misma condición: la de adquirir ambas marcas. Definimos para esta region el conjunto INTERSECCION de A y B ( en símbolos A  B) :

A  B = { x  U / x es un consumidor de la marca M y de la marca P} (Utilizamos la conjunción de funciones proposicionales) A este conjunto intersección le asociamos el cardinal 40. O sea : # (A  B) = 40

U

A

B

Para obtener los conjuntos de las regiones II, III y IV, utilizamos las operaciones conjuntistas a partir de los conjuntos dados y luego le asociamos el cardinal , mediante sumas o restas. En general las operaciones entre conjuntos son: Interseccion, Union y Diferencia ( además del complemento de un conjunto). Region 2 : significa que hay una persona que consume exclusivamente M (y no otra). En el lenguaje conjuntista se puede intepretar como una

A

diferencia entre A menos B , A – B Como hay elementos que estan en A y B , tambien se puede hacer: A – (A  B) a) Luego: # [ A – (A  B) ] = # A – # (A  B) = 75 – 40 = 35 consumidores.

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B

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b) Cantidad de consumidores de al menos una de las marcas Significa que consume o una marca o la otra o ambas. Esto siempre define la Union entre los elementos de A y B, y se quiere saber: # (A  B ) Hacemos: # (A  B ) = # A + # B – # (A  B)

B

A

# (A  B) =75 + 60 – 40 = 95 consumidores Un error muy común es: 75 + 60 = 135 ¿Por qué?

Otra forma es obtener el cardinal de # (A  B) es sumando las Regiones II, I y III. c) Cantidad de consumidores de exactamente una de estas marcas : significa que hay una x persona que consume A o B , pero no ambas a la vez. Tendriamos que hacer como en el caso (a) tanto para los x que estan en A exclusivamente, como los que estan unicamente en B. O sea :

B A – (A  B ) Siendo: y

y

A

B – (A  B )

# [A – (A  B)] = 75 – 40 = 35 # [B – (A  B )] = 60 – 40 = 20

Luego la cantidad pedida es:

35 + 20 = 55

Este resultado es la unión de cada una regiones obtenidas. O sea:

[A – (A  B )]  [ B – (A  B ) ]

d) Región 4: Cantidad de consumidores de ninguna de estas marcas: Es el conjunto formado por todos los elementos que no están en la unión de A y B. Es el complemento de AUB. Queda como ejercicio.

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Actividad 25: Sea U el conjunto de todos los estudiantes de la facultad de humanidades y Cs de la Salud Además sean: A= { x / x asistió al curso de contabilidad }

B = { x / x asistió al curso de administración } C = { x / x asistió a un curso de Impuestos } Escriba el conjunto representado por cada enunciado: 1.1. El conjunto de estudiantes que ha asistido al curso de contabilidad e Impuestos 1.2. El conjunto de estudiantes que ha asistido al curso de contabilidad y administración, pero no de Impuestos. 1.3. El conjunto de estudiantes que no ha asistido a los cursos de contabilidad, economía o administración.

Actividad 26: Sean U el conjunto de todos los turistas encuestados durante un período de una semana en Bs As y los siguientes conjuntos : A = { x  U / x utilizo el tren subteraneo }

U A

B = { x  U / x utilizo un taxi}

B 5

C= { x  U / x utilizo un colectivo }

7 6

3

Exprese las regiones indicadas en notación de conjuntos Y por comprensión las siguientes:

1

4

2.1 Region 3

C

2.2 Region 4 y 5 juntas 2.3 Region 5 2.4 Region 5, 6 y 7 juntas 2.5. Region 1

Actividad 27: Análisis económico: Un estudio de las opiniones de 10 economistas líderes en cierto país mostró que, debido a que se espera una baja en los precios del petróleo: 7 redujeron su estimaciónde la tasa de inflación. 8 aumentaron su estimación de la tasa de crecimiento del PBI. 2 redujeron su estimación de la tasa de inflación pero no aumentaron su estimación de la tasa de crecimiento del PBI en ese pais durante los próximos 12 meses. ¿Cuántos economistas redujeron su estimación de la tasa de inflación a la vez que aumentaron su estimación de la tasa crecimiento del PBI para ese período?

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UNIDAD Nº 1

1.4. RELACIONES Y FUNCIONES: Problema 1 : Se desea viajar de Santiago del estero a San Martin de los Andes , y no existe un transporte directo. Solo lo hacen hasta Mendoza y de alli hay otras empresas. Sea A el conjunto de dos empresas que viajan a Mendoza y B el conjunto de tres empresas que hacen el recorrido Mendoza - San Martin de los Andes :

A={ e1 , e2 }

A=2

B ={ s1 , s2 , s3}

B=3

¿De cuántas formas se podrá viajar de Santiago a San Martin de los Andes con estas empresas?

Respuesta:

San Martín de los Andes

Podemos utilizar un diagrama de árbol para visualizar las posibilidades:

Mendoza Santiago Mendoza

Esta claro que son 6 las formas de viajar de Santiago a San martin de los Andes. Esta forma de combinar los transportes los podemos expresar simbólicamente utilizando El PRODUCTO CARTESIANO de los conjuntos dados. A saber :

A X B = { (e1 s1) , (e1 s2) , (e1 s3) , (e2 s1) , (e2 s2) , (e2 s3) } El producto de A por B ( lo notamos AxB) tien por elementos a los pares ordenados donde la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda componente al 2º conjunto. Se puede graficar la situacion de la forma siguiente:

ss

e1

ss

e2

s3

¿Las formas de viajar de San martín de los Andes a Santiago serán las mismas?

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UNIDAD Nº 1

En general: Dados dos conjuntos A y B no vacios :

El producto cartesiano de A por B se define como: el conjunto de todos los pares ordenados tal que la primera componente esta en A y la segunda está en B A x B = { (x,y) / x  A  y  B }

se lee: “par ordenado de primera componente x y segunda componente y”

El producto cartesiano no es conmutativo dado que: AxB ≠ BxA

Actividad 28: Dados los conjuntos siguientes : A = { a,b,c} ( conjunto de tres camisas diferentes: azul, blanca y celeste ) B = { m,n,g} ( conjunto de tres pantalones diferentes: marron, negro y gris) Deseamos conocer de cuántas formas diferentes se pueden combinar los pantalones y las camisas en ese orden.

Problema 2: Sean los siguientes conjuntos:

A = { x/ x es la cara de un dado} y B = { x / x es una carta de bastos del 1 al 12 } a) Si se desea primero arrojar el dado y luego sacar una carta ¿Cuántos resultados posibles se pueden presentar? b) ¿ Y si gana el que tira un dado y luego saca una carta, tal que la suma de 10? c) ¿Y si se gana el que obtenga por suma 6? Define cada una.

2- Definamos relación entre dos conjuntos cualesquiera A y B no vacios.

Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano AxB En símbolos: R es una relación de A en B  R  AxB

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UNIDAD Nº 1

Ejemplo: Supongamos sean: A = { 1,2,3 } ,

B = { 1,2 }

1 1

y la relación R = { (x ,y) / x + y  3 }

2

( que la suma de la 1ª y 2ª componente sea menor o igual a 3)

2

3.

R = { (1,1), (1,2), (2,1)}

Por supuesto se tendrá:

Estas relaciones se pueden representar también mediante ejes cartesianos. Asociado a toda Relación se presentan los conceptos de Dominio y Codominio.

Dominio: es el conjunto de las primeras componentes de los pares que están en la relación. El dominio de la relación es el subconjunto del conjunto de partida. DR  A. Codominio ,Imagen o Recorrido: es el conjunto de las segundas componentes de los pares de la relación. Es un subconjunto del conjunto de llegada. CR  B

Siguiendo el ejemplo dado por R , definimos: DR = { 1, 2 }

y CR1 = { 1, 2 }

Actividad 29: Dados los conjuntos

A = {2, 3, 4, 5, 6 }

B = {4, 5, 6, 7, 8, 9 } y las relaciones :

1: “ x  y  x es divisor de y”  2: “ x  y  x > y

a) Se pide definir por extensión la relación 1 b) Se pide definir por extensión la relación 2 c) Define el Dominio y el Codominio de cada una de las relaciones dadas. d) Representar en ejes cartesianos cada una.

Actividad 30: Sea la relación R = { (a,1) , ( b,2) , ( c, 1), ( b,3) } definida de un conjunto A en B a) Determina el Dominio y el Codominio de R. b) Propone por lo menos un conjunto A y otro B cuyos elementos estén relacionados.

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UNIDAD Nº 1

FUNCIÓN (APLICACIÓN) En la vida diaria nos encontramos (a veces) con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un área, a cada número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.

Una función f entre un conjunto A (al que le llamaremos dominio) y otro B es una relación entre A y B en la que a cada elemento de A le corresponde un único elemento en B. Simbólicamente: f : A  B Denotaremos a las funciones con letras f, g, h, t, u.. Por ejemplo: Sean los conjuntos: A = {t, s}

,

B = {k, p, m}

y la función f, definida de la forma:

f = {(t, k) , (s, m)}

A

B t s

 k



.p  m



función que se puede expresar También: f : A  B / f = {(t, k) , (s, m)}

Se llaman imágenes a las segundas componentes de los pares de la función ( en este caso k y m) En ese sentido, simbolizaremos:

f(t) = k y

f(s) = g

En general: Cualquiera A el conjunto, llamamos con x uno cualquiera de sus elementos. Si f es una función de A en B , A = Df , indicaremos la imagen de x con f(x), y se simbolizara:

Se lee: ¨ f es una función de A en B que a cada x perteneciente a A le asigna como imagen f(x) en B¨

f:A B x  f(x) Definición 2:

Sean A y B conjuntos no vacíos y “f” una relación de A en B ( f  A x B ) . f es una función de A en B sí y solo sí se cumplen las condiciones de: i)

Existencia : cada elemento de A le corresponda al menos una imagen en B En símbolos: a  A ,  b  B / (a, b)  f

ii)

Unicidad : la imagen de cada elemento de A debe ser única En símbolos: (a, b)  f  (a, c)  f  b = c

La condición i) exige que : Df = A , aunque no es necesario que Rf = B ii) exige que si hay dos pares que tienen la misma primera componente , las segundas también deberán ser iguales.

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UNIDAD Nº 1

El ejemplo siguiente: R = {(t, p),(s, k),(t, g)}

no es función.¿Por qué?

Actividad 31: Indica cuales de las siguientes relaciones no es función. Justifica: a)

b) a b.

c

-1 

1 .2

-2

3

1 .2 3

Actividad 32: Sean los conjuntos: A = { a , b , c , d } y B = { 1 , 2 , 3 , 4 }, y las relaciones: R1 = {(a,1) , (b,1) , (c ,1) , (d ,1)}

R2 = {(a , 1) , (b , 2) , (d , 4) , (b , 3)}

R3 = {(a,4) , (b ,3) , (c ,1) , (d ,2)}

R4 = {(a ,1) , (b , 4) , (c , 4) , (d ,4) ,(a ,2)}

i)

¿Cuales son aplicaciones o funciones? Justifica.

ii)

Indicar dominio y recorrido de las funciones.

Actividad 33: Sean los conjuntos: A={ -1, 0, 1 , 2 } , B = { 0, 1, 2, 3, 4 } y la función: g = {(x,y) / y = x2 } i- Define por extensión la función f (escribe el conjunto de pares ordenados) ii- Representa en ejes cartesianos.

Actividad 34: Sean A = Z y B = Z ( Conjunto de los números Enteros). Analiza si el siguiente gráfico que representa una parte de un gráfico mas grande es o no una aplicación.

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UNIDAD Nº 1

1.5 . Ley de composición interna Una operación binaria a veces es una función Consideremos los conjuntos: A = { 1, -1 } , B={1, 2, 3, }

y las relaciones particulares :

R1 = { ((x,y) , x.y )

Relación de AxA en A

(a cada par ordenado de elementos de A le asigne el producto de sus componentes) R2 = {((x,y) , x+y )} Relación de BxB en B

(a cada par ordenado de elementos de B le asigne la suma de sus componentes) Si representamos cada una tendremos: AxA

BxB A

(1,1) (-1,-1) (-1,1) (1,-1)

1

-1

Esta relación es función. Es ley interna en A.

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) ......

B 1 2 3

En esta relación hay pares que no tienen imagen. No es ley interna en B

Sea A un conjunto cualquiera no vacío y  una operación. Una ley de composición interna en A es una FUNCION que asigna a cada par ordenado de elementos de AxA un único elemento de A, y lo expresamos simbólicamente: : A x A  A (u,v)   (u,v) Otra forma:

 es un l.c.i en A   : A2 --> A

De manera que :

uAvAuvA

Por ejemplo R1 es función cumple con ambas condiciones: D R = A (existencia ) y de unicidad. Luego es una Ley de composición interna ( l.c.i.) En una tabla de doble entrada podría simplificarse ésta situación. La misma relación R1: · 1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

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UNIDAD Nº 1

POSIBLES PROPIEDADES y ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE UNA LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Sea *: AxA A una ley de composición interna, se pueden cumplir las siguientes propiedades: 1. Asociatividad: * es asociativa si y sólo sí a, b, c  A : (a * b) * c =a * (b * c) 2. Conmutatividad: * es conmutativa sí y sólo sí  a, b  A: (a * b) = (b * a) 3. Existencia de elemento Neutro:  e  A   aA : a * e = e * a = a ( Es único para todos) 4. Existencia de elemento Inverso: sea * una l.c.i. con elemento neutro e;  a  A,  a-1 A  a * a-1 = a-1 * a = e Nota: a-1 recibe el nombre de inverso de a . Este es único por cada elemento. Ejemplos:

1.- En la siguiente tabla de doble entrada se define una ley de composición interna en el conjunto A ={p ,q}  P q

p p q

q q p

Analizaremos algunas propiedades de la operación definida Asociativa: 

(p  p)  p = p  p = p p(pp)=pp=p

(p  p ) p =p  (p  p)



(p  p)  q = p  q = q p  (p  q) = p  q = q ( p  p)  q = p  (pq )  (p  q )  p = q  p = q p(qp)=pq=q (p  q )  p = p  (q  p) (Seguir probando para todos. En total son 8 casos). Conmutativa: pq=q qp=q

pq=qp

Elemento Neutro: es p , pues p  p = p

y qp=q

Inversos: el inverso de p es p , pues p  p = p (neutro) y el inverso de q es q , dado que q  q = p

Si una L.C.I * definida en un conjunto A es asociativa, tiene elemento neutro y admite inverso, se dice que el par (A, *) es un GRUPO. Si además cumple la conmutatividad, es un Grupo conmutativo o abeliano. Por ej.: ( Z , +) , ( Q – {0}, . )

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UNIDAD Nº 1

2.- Dada la operación * definida de la siguiente forma: *:QxQQ (a, b)  a * b = a  b 2

( * es l. c. i. , pues las dos operaciones – y : están definidas en Q )

Analizaremos algunas propiedades considerando tres números racionales x, y, z cualesquiera -

Conmutativa: x * y = x  y

-

Y * x = yx Luego x * y  y * x 2 Elemento Neutro: Planteamos x * e = x

2

xe = x  e = -2x + x  e = -x 2

-

Esto nos indica que el neutro depende de cada valor de x .Absurdo puesto que el neutro es único

Actividad 36: Decide si son leyes de composición interna ( l.c.i.) las operaciones  y  definidas en A = 1,2,3, según las tablas:



1

2

3



1

2

3

1

2

1

3

1

3

2

1

2

1

2

3

2

1

3

2

3

3

3

1

3

1

2

3

Además analizar:

a) la conmutatividad b) la existencia de elemento identico o neutro c) la existencia de inversos.

Actividad 37: Sea A = {2, 3, 4} y  una ley definida en A x A tal que : 4  2 = 3 Confeccionar una tabla para que la aplicación sea l. c. i. , con inverso.

Actividad 38: Sea B = {1, 3, 5} y  una ley definida en B x B tal que : 1  3 = 1 Confeccionar una tabla para que la ley sea l. c. i. con elemento neutro 5 y no sea conmutativa.

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UNIDAD Nº 1

APUNTE ANEXO CONJUNTO: (Es un concepto o término primitivo) Pertenencia: es también un término primitivo y se lo utiliza para expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. Por ejemplo: A ={ 1, 2,3 }

1  A, 2  A y 3  A , pero 4  A Diagramas de Venn: Son recintos planos cerrados en cuyo interior

B m c j f

se ubican los elementos mediante puntos y sirven para representar los conjuntos.

Conjunto finito: Es el conjunto que tiene una cantidad n (natural ) de elementos . Ejemplos : V = {a, e, i, o, u}

M ={0,1,2,3,........,10000}

Cardinal de un conjunto: Dado un conjunto A finito, es la cantidad de elementos que tiene A y lo simbolizamos con: #A Del ejemplo anterior: #A = 5 Existe solo un conjunto sin elementos es el conjunto vacío que notamos con  Conjunto infinito: Es el conjunto que no es finito. Ejemplo

o { }

N0 = {0,1,2,3,4,5,6....}.

En el ejemplo dado se puede observar que el conjunto A esta dentro de otro conjunto B que tiene por elementos a todos los que consumen la marca M. Se dice en ese caso que A esta incluido en B o es un subconjunto de B ( o que B incluye a A)

Inclusión: Un conjunto A está incluido en otro B cuando cada elemento de

A está en B

Esto se expresa simbólicamente con: A  B  x: (x A  x B) B

A

AB ( A es un subconjunto de B; A es parte de B) Propiedades 1) A  A 2)   A

( A es subconjunto de sí mismo). ( El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto)

Conjuntos iguales: A = B  A  B  B A - 31 -

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UNIDAD Nº 1

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Sean dos conjuntos A y B subconjuntos de un Universal U dado. Definimos: Unión: (A  B) La unión es el conjunto cuyos elementos son del primer conjunto o del segundo conjunto o de ambos. El conectivo lógico para la intersección es la disyunción incluyente. Ejemplo:

A = {0,1,2,3}

y

B ={4,5} , luego : A  B = { 0,1,2,3,4,5 }

Intersección: (A  B ) Entre dos conjuntos es otro conjunto formado por elementos que están en el primer y el segundo conjunto. El conectivo lógico para la intersección es la conjunción. Ejemplo:

A = {1,2,3,4,5,}

y

B = {1,3,6,7}

luego :

A  B = {1,3}

Conjunto disjuntos Los conjuntos que no tienen elementos en común se denominan disjuntos Por ejemplo: el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares.

Diferencia de conjuntos: (A – B ) La diferencia de A menos B será un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto de A y no pertenecen al conjunto B. Ejemplo: A = {1,2,3,4,5,6}

B = {1,2,3} , luego

A – B = { 4, 5 }

También definimos:

Complemento: (Ac o CA ) De un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos del U que no están en A.

A

Ac = CA = {x  U  x  A }

Ej:

U = {a,e,i,o,u} y A = {a,e,o} Entonces su complemento es Ac = { i ,u }

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A'

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UNIDAD Nº 1

En resumen: Operación>

Unión

Definición simbólica

AB =

Intersección

AB=

{ x  U / x A  x  B}

{ x  U / x  A  x B }

A

Diferencia

A–B = { x  U / x  A  x B}

A A

B

B

B Representación En diagrama

AB

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UNIDAD Nº 1

1.6 . PARA EJERCITARSE: 1- Analice las siguientes expresiones lingüísticas e indique si son o no proposiciones: a) El presidente de la Republica es el jefe de estado y personifica a la Nación b) Los números irracionales no son inteligentes c) Hace unos años se consideraba a la computadora como una “gran calculadora”, pero hoy habla de sus logros intelectuales. d) El gobierno y la municipalidad obsequiaron una beca a una niña de escasos recursos. e) General Motors despedirá a 3500 personas. g) 7 es el número más importante.

2- Indica si las proposiciones son simples o moleculares. En el caso de ser moleculares, identifica a las proposiciones componentes y sus conectivos. i) Ledesma se quedara con el ingenio la Florida ii) El auto es blanco o es grande, pero no es cómodo. iii) Si Marcelo es joven entonces es rebelde iv) Margarita es soltera o casada v) De salir el sol iremos al parque y escucharemos música. vi) “Si se mantienen los niveles de recaudación, Santiago del Estero no tendrá problemas en cumplir con el presupuesto para este año”

3- Propone: 3.1 Cuatro expresiones que no sean proposiciones. 3.2 Una proposición compuesta que tenga una conjunción y un condicional.

4- Dadas las siguientes proposiciones p , q , r formar con ella mediante los conectivos lógicos vistos, las proposiciones compuestas que se indican: p: El dólar libre se mantiene invariable. q: El gobierno aumenta los sueldos. r: La canasta familiar se mantiene estable.

a) ( p  q ) v  r

b)  p   q

c) r  q  r

d)  r   p   q

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UNIDAD Nº 1

5- Completa las siguientes tablas de verdad: r

s

sr

s

r

s  r

p

q

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

qvp

p

p  q v p

(∼p  ∼ q) ⇒ p

6- En la siguiente expresión: “ El canje de deuda se realizará en más de un 76% , si solo si los bonistas no rechazan la oferta y EE. UU. da un apoyo a la operación.” a) Expresa mediante una fórmula lógica identificando las proposiciones simples que la componen. b) Niegue la fórmula dada y simplifique usando las leyes lógicas.

c) Traduzca en forma coloquial el punto anterior. 7- En el siguiente texto:

La Bolsa porteña no pudo sostener su recuperación inicial y cerró la rueda con un retroceso del 1,44%, en un contexto de alta volatilidad en los principales mercados del mundo. El Merval perdió fuerza con el paso de las horas y estando a tono con los vacilantes movimientos de los mercados extranjeros, cerró en 930,12 unidades a) Identifique todas las proposiciones simples asignándole letras diferentes. b) Escriba una fórmula lógica que vincule todas las proposiciones dadas.

8- En el siguiente texto:

“ ….Es posible que la empresa no advierta que su producto no cumple con las expectativas de sus consumidores, o que los intermediarios no están funcionando en forma adecuada.” a) Identifique todas las proposiciones simples asignándole letras diferentes. b) Escriba una fórmula lógica que vincule todas las proposiciones dadas.

c) Suponiendo que la proposición “los intermediarios no están funcionando en forma adecuada.” Sea verdadera, analice todos los valores de verdad que puedan presentarse en el resto de las proposiciones para que la fórmula resulte verdadera.

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UNIDAD Nº 1

9- Escribir mediante fórmulas lógicas las proposiciones compuestas y analiza si las fórmulas son tautología, contingencia o contradicción

a) Si los gustos del consumidor cambian a favor del bien considerado, a igual precio, se demandará mayor cantidad. De lo contrario, la cantidad demandada diminuirá. b) Como el grupo Techint no necesita fondos para el proyecto, no habrá nuevos socios para construir el edificio mas alto de la ciudad. Sin embargo como hay nuevos socios, necesita fondos para el proyecto.

10- Dadas las siguientes fórmulas lógicas, elija las proposiciones simples y reemplácelas en cada una de ellas, en forma coloquial

a)

(p  q  r)  ~p  q

b)

(p  q)  (q  r)  p  r

11- Sabiendo que en la expresión:

“De aumentar el valor de las tarifas, habrá déficit en la economía. Pero habrá desocupación, si hay déficit en la economía” Una de las proposiciones, llamémosla p: “ El valor de las tarifas aumenta” es F (falsa) ¿Cuál deberá ser el valor de verdad de las otras proposiciones para que toda la proposición compuesta resulte Falsa?

12- Colocar paréntesis (si fuera necesario) para que la fórmula lógica corresponda a la proposición que se indica en cada caso:

a) -Condicional:

p  q 

r p

b) -Conjunción:

p  q 

r s

c) -Negación:

~ p q  r

d) -Disyunción:

p q  r

e)-Negación:

~ p  (q  r)

f) -Disyunción: g) - Conjunción

p  q  r p  q  r

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UNIDAD Nº 1

13- Construya las tablas de verdad de las siguientes formulas lógicas. Clasifíquelas.

a) ( p  q)  r  p  ( q  r)

b) ( r  q )  m  n

c) ( p  s )  ( r  q  p)

d) ( ~ q  p  r)  ~ s

e) ( p  q  r )  ~ p  q

f) ( p  q )  ( q  r )  p  r

14- Si ' p' es falsa ¿qué resulta para?

a. p  p

b. p v p

c. p  (p v -p)

d. (p v p)  (-p  . -p)

e. (p  -q)  (-p  . q) 15 - Expresar en forma simbólica los siguientes condicionales y a partir de ello obtener en forma lógica y coloquial el condicional equivalente correspondiente. a)

Si las retenciones aumentan, el productor tomará una medida de huelga.

b) Cuando el índice de precio llegue a 1% podremos sacar crédito y compraremos un auto. c) Nuestra moneda se devalúa solamente si su valor disminuye y está atada al dólar d) No podrá recuperarse la economía ni el riesgo país disminuirá, si los piqueteros cortan el transito y aumenta la crisis financiera en EEUU. 16- Indique cuál es la condición necesaria y cuál es la condición suficiente en las siguientes proposiciones a)

La rentabilidad aumenta, si se rebajan los costos de producción

b) Se llama isósceles siempre que el triangulo tenga dos lados de igual medida c) Si Jorge es un cliente del banco y solicita crédito, se le otorgará con solo saber su historial crediticio.

d) No será obligatorio la evaluación de la capacidad de pago del prestatario para el otorgamiento de un crédito

17- Simbolizar las siguientes formas proposicionales y determinar sus respectivos conjuntos de verdad:

i-

U=Z ;

x + 10 = 8

ii- U = R ;

x3 - 3 = 5

iii- U = R ;

x2 + 1 = 0

iv- U = N ;

x3x