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• Eduardo Lascano Tacuri

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 Nombre: Anahí Acurio.  Curso: 3 B.G.U

Para determinar la altura de los árboles

Por lo general, en la naturaleza se puede encontrar diferentes señales de cambio de ciertas características físicas, tales como el tamaño y la edad de las plantas y de los animales. En el caso de los árboles, algunas especies logran crecer hasta más de 100 metros y pueden permanecer por cerca de 2500 años en condiciones ideales como la secuoya.

El crecimiento de los arboles no se presenta en forma lineal, y para calcular su altura pasados t años, se utiliza la razón del cambio de su altura con respecto al tiempo. La siguiente expresión muestra la razón de cambio en centímetros por año de la altura h de un árbol con respecto al tiempo t: 4 𝑑ℎ = 0.5𝑡 3 + 0.3√𝑡 𝑑𝑡

Para obtener la expresión de la altura del árbol en función del tiempo, es necesario hallar la integral de la anterior expresión. 4

∫ 𝑑ℎ = ∫[0.5𝑡 3 + 0.3√𝑡]dt

Primero, se aplica la propiedad de la integral de una suma, con lo cual se obtiene: 4

∫ 𝑑ℎ = ∫ 0.5𝑡 3 𝑑𝑡 + ∫ 0.3 √𝑡 𝑑𝑡 Segundo, se extraen las constantes de integral y se expresa la raíz cuadrada con un exponente racional.

4

1

∫ 𝑑ℎ = 0.5 ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡 + 0.3 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡

Luego, se expresan las integrales, de donde se obtiene la expresión para calcular la altura en función del tiempo. 7

1

ℎ(𝑡) = 0.21𝑡 3 + 0.2𝑡 3 + 𝐶

Finalmente, se expresan las potencias como radicales. 3

ℎ(𝑡) = 0.21 √𝑡 7 + 0.2√𝑡 3 + 𝐶

como la expresión depende de la constante C, es necesario conocer el tamaño inicial del árbol en el momento que se planta, es decir, cuando t = 0. Si se supone que el árbol tenía una altura de 15 cm, entonces, h (0) = C.=15.

1. ¿Por qué es importante controlar el crecimiento de los arboles? Al controlar el crecimiento los arboles pueden desarrollarse completamente y a la vez purifican el aire. 2. Supón que la expresión que se plantea en la lectura representa la altura de una palmera, ¿Qué altura alcanzara la palmera en 10 años? Alcanzaría la altura de 10 metros 3. Un ingeniero ambiental monitorea anualmente la razón de cambio de la altura de una secuoya y encuentra la siguiente expresión: 𝟏 𝟏 𝒅𝒉 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟑 + 𝟔𝒕𝟐 𝒅𝒕

Para no trasladar el árbol del lugar donde se encuentra, su altura no debe sobrepasar los 80 metros al cabo de 100 años de edad. Si su altura inicial era 30 cm, ¿es necesario trasladar el árbol de su posición inicial?

Si por que puede crecer más de metros en condiciones ideales. 4. Consulta sobre los arboles más grandes del mundo. Luego, explica a tus compañeros los cuidados y precauciones que hay que tener cuando crecen de forma desmedida en lugares poblados. Hyperón es el árbol más grande del mundo actualmente con una altura de 115,55 metros Ambientes ideales para su total desarrollo.

También sirve para calcular la fuerza que ejerce el agua en la columna de una represa hidroeléctrica

La represa es una barrera artificial construida por el hombre para almacenar grandes cantidades de agua en un lugar específico. Estas mega construcciones son hechas con el fin de generar energía eléctrica a partir del movimiento del agua.

En la construcción de una represa, los ingenieros deben tener en cuenta diferentes fuerzas que debe resistir la mole de concreto, tales como la fuerza producida por la presión del agua en la base y la presión lateral cuando el agua está en contacto con la estructura de hormigón. Como la presión lateral del agua depende de la profundidad, las represas se hacen más anchas en la parte inferior que en la superior, ya que en esta parte la estructura debe ser más resistente. Para diseñar una que resista, es importante calcular la fuerza lateral ejercida por el agua en cualquier punto. Para esto, si la sección transversal de la represa es un rectángulo de z unidades de largo, entonces, la fuerza se calcula mediante la siguiente expresión: 𝑏

𝐹 = 𝑝𝑔 ∫ 𝑧𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

En donde: P es la densidad del agua. Z es la longitud de la represa. f(x) es la profundidad. G es la aceleración de la gravedad que equivale aproximadamente a 9.8m/s2 Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra una represa para calcular la fuerza ejercida por el agua, tomando como punto de referencia uno de sus extremos inferiores.

Para este caso la integral definida se calcula desde 0 hasta la altura del agua que es 40m, y la profundidad desde la superficie del agua es f(x)=40-x, por tanto, se tiene: 𝟒𝟎

𝑭 = 𝒑𝒈 ∫ 𝒛 (𝟒𝟎 − 𝒙)𝒅𝒙 𝟎

Resolviendo la integral definida se obtiene: 𝟒𝟎

𝒙𝟐 𝟒𝟎 𝑭 = 𝒑𝒈𝒛 ∫ (𝟒𝟎 − 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒑𝒈𝒛 [𝟒𝟎𝒙 − ] ∫ 𝟐 𝟎 𝟎

Evaluando la integral entre 0 y 40 su resultado es:

402 𝑝𝑔𝑧 𝐹= 2 Suponiendo que la represa tiene una longitud de z=80m y la densidad del agua es p=1000kg/m3, entonces, la fuerza es: 402 × 9.8 × 1000 × 80 𝐹= = 627 200 000𝑁 2 Así, la fuerza que debe soportar la represa es aproximadamente 627 200 000 N.

1. ¿Qué riesgos se tomarían si no se calcula la fuerza que ejerce el agua sobre la represa?

El hormigón debe soportar la fuerza que ejerce el líquido de la represa por consecuencia podría ocurrir un hundimiento de presas o embalses.

2. La expresión para calcular la fuerza generada por una represa de sección transversal triangular está dada por la expresión:

𝟏𝟏𝟎

𝑭= ∫ 𝟏𝟎

𝟏 𝒑𝒈𝒙(𝟏𝟏𝟎 − 𝒙)𝒅𝒙 𝟐

¿Cuál es la fuerza que resiste la represa? 19600 Pascales 3. Calcula la fuerza que debe soportar una compuerta de una represa que tiene 90 m de altura y 200 m de longitud, si esta se encuentra a 25 m de profundidad.

4. Consulta sobre los diferentes tipos de represas que existen y escribe, en tu cuaderno, acerca de la importancia de su forma cuando se construyen.

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Represas de gravedad

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Represas de arco

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Represas de núcleo



Represas homogéneas

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