Citation preview

BATXILLERAT

I

le ro n o

" MATEMATIQUES

HUMANITATS 1 CIENCIES SOCIALS J. M. Arias 1. Maza

J. Mercadé

Casals

~

Matematiques 1r.

,

Index

CrecJit 1

Unitat 1. Nombres reals .......................................

6

Unitat 2. Equacions i sistemes d'equacions lineals . . .. ..... ...........

36

Unitat 3. Equacions i inequacions .... .. .. ... . . . ........ .... ......

56

Matematica financera ..... .. . ..... .... ....... . . . .......

82

Unitat 4.

Credit 2 Polinomis

102

Unitat 6. Funcions

122

Unitat 5.

Unitat 7. Límits i continu"itat . ...... . .. . . . . . . . .. .. . . . .. .......... 152

Unitat 8.

Derivades

....... ...... ....... . . . ....... .... ........ 174

Credlt 3 Unitat 9. Estadística unidimensional .......................... .... 194

Unitat 10. Estadística bidimensional ............................... 212

Unitat 11 . Distribució binomial ........ . ........ .. ................ 230

Unitat 12.

La distribució normal ............................. . , . . . . 252

Annex l.

. .... .. . ... . .. ..... . ............................... 271

Annex 11. . .... , . . ........ . .......... . .. . .... . .. .... ...... ... 278

Annex 111. . . . ..... . ... . ... . . . ....... ...... ....... .... ....... . 279

3

UNITAT 1

Nombres reals

U ITAT CREDIT 1

Nombres reals

6

Nombres reals

UNITAT 1

,.

I dex

I troducció

Introducció 1. Els nombres reals Experimenta Pagina 1.1 . Conjunt de nombres reals 8 1.2. Raonament matematic 12 1.3. Representació grafíca deis nom­ bres reals 12 1.4. Aproximacions i errors 13 1.5. Notació científica 14 1.6. Nombre factorial 15 1.7. Nombre combinatori 15 Resol

2. Potencies i radicals Experimenta 2.1 Definicions 2.2. Simplificació de radicals 2.3. Operacions amb radicals Resol

18

20 21

3. CaJcul amb logaritmes Experimenta 3.1. Estrategies metodologiques 3.2. Logaritmes 3.3. Propietats deis logaritmes Resol

24 25 26

Arbre de contínguts. Notacions. Evitem errors. Repassem. Problemes. CaJcul men­ tal. Calculadora. Curiositats. TalJerd'investi­ gació. Informatica: Derive.

Alolt abam '111(' ,...,,('és ['fs,..riptllra, I'éssf'l' huma va entir la neres.H/al de romptnr roses u anima/s. Ppr /al de satisJer aqtlfIta nerp.u ilat va inverzta1' eü nombres naiuTals. QU(W va SP7ltir /(/ l1Pressitfl/ de re/JartiT les mIes, per fXt>1n­ plP el pa, un /orm((ige Plr., va inVf"n/nr f'L~ u01l1bre.f mcifr nnL\ JIPI' r('j7.erliT lJndre la mida de la diaf!!J1l.nl d'un pmtagrm. regular cmnpamnl-la (Unb la mida del ('osiat? Hip(l.~ de ¡'vle/aportt, un def.j d{Lrren pitagiJrirs del \F­ glP \ aG, va r/nno,slrm que flIJURsLs problemfs 7/0 tenen SQ­ tunó i va arribar a la conclusió que aquestes mesures no es poden flJmparar. A pani?' d'alesllores. le.\ magrutuds es clru­ sifiqul!n en commensurables. si es poden mesurar, i incom­ mensurabLes si no es poden mesurar. Amb el flPngllatge actual, eLs nombres wmm.ensumbles són els nombres mcionals, 'lile es poden escriure com una raó, i eLs ;ncommmsurables SÓ11 els irraci.onnls, que no es poden expressar com un '{llonenl de dos nombres en~. J

7

UN1TAT 1

Nombres reals

1. Els nombres reals Experimenta 1. Donat el dibuix d'un pentagon regular i les seves diagonals: ~

a) Calcula la mida deis angles del triangle ABO format per dues diago­ nals i un costat.

~

b) Calcula la mida deis angles del triangle COE. ~

e

~

c) Els triangles ABO i COE són semblants? Per que? d) Si de la semblanc;:a deis triangles obtenim la proporció de la mida

deis costats:

AO CO = AB CE

-

-=>

x

1

1

x-

1

Calcula el valor del nombre d'or o aurl, sabent que és I'única solució valida de I'equació anterior. e) Quina mena de nombre és x? 2. Dibuixa i calcula la diagonal d'un quadrat de costat 1 cm.

1.1. ConJunt de nombres reals Els nombres naturals: N

Els nombres enters: Z

o•

= {O, 1, 2, 3 . } = {O, ± 1, ±2, ±3 ... }

•

•

•

Els nombres raclonals: Q =

{~ ; a, bE Z. b ::/; O}

•

-2

-3

-1

o•

- 9/4

•

•

N, Naturals

3

•

2

•

•

•3

•

•

Z, Enters

•

1

2

3/4

13/4

.......................................................................................... ............ Q, Racionals

-3

-2

-1

o

1

2

3

Un nombre racional és el quocient de dos enters, on el denominador és diferent de zero.

Si fem la divisió del numerador pel denominador, se'ns poden presentar dos casos:

a) Nombre decimal exacte .

• Passem a decimal el nombre racional 2; .

27

=:.

"4

=

6,75

b) Nombre decimal periOdic. • Passem a decimal el nombre racional

I@§JG[ill~12.3636363611

=:>

26 11

~~

=

2,363636 .. . = 2,36

Un nombre racional o és decimal exacte o peribdlc.

Nombres reals

UNITAT 1

Els nombres reals Els nombres real s es divideixen en racionals i Irracionals. Un nombre és irracional si la seva expressió decimal no és ni exacta ni periodica

J2 = 1,414213562373095048801688... n

= 3.141592653589793238462643 ...

Nombre pi.

5,6789101112131415161718192021 ...

e

= 2,718281828459045235360287.. .

rjJ =

1+

Nombre e.

J5 = 1,618033988749894848204586...

2

Nombre d'or o auri.

Els nombres irracionals es divideixen en algebraics ¡ transcendents. Un nombre irracional és algebralc si és I'arrel d'una equaclo amb coeficients enters.

J2

és un nombre irracional algebraic perqué és I'arrel de X2 = 2

Un nombre Irracional es transcendent si no es I'arrel d'una equació amb coeficients enters.

e i n: són

nombres irracionals transcendents.

Completesa de la recta real. Intervals És la representació deis nombres reals en una recta. A qualsevol nombre racional correspon un punt de la recta, pero queden alguns punts que no són racionals; aquests corresponen a nombres irracionals. Per aixo die m que el conJunt deis nombres reals completa la recta.

_-_.-_--+--..~ i:-.

.>-_.

e ___ Ir Li2.!:,......J..---4.~:.!t.~_ _..........

-3

-2

-1

O

2

R, Reals

3

La recta real es pot expressar graficament en una recta que va des de els valor de x donada per I'expressió:

-ry:,

fíns a + 00 i representa tots

- x + m.c.m . (8 " 4 12) -

8

!.. + .!.!.. - _ 15 + 72 4

12

24

42 + 34 _ 121 - 42 _ 79 ­ 24 24

1~~~G@]G0~GJG@]~@]01 3J 7 241~[ 79 _ 2iJI J



La calculadora i el nombre mixt Quan el numerador és més gran que el denominador, la calculadora ens dóna el resultat com a nombre mixto Per passar-Io a la fracció corresponent, hem de pitjar la tecla 1dlc l.

b) Multipllcacló El producte de dues fraccions és una altra fraceió que té per numerador el producte deis numera­ dors per denominador el producte deis denominadors.

7 6

• Fem "operació següent: 8 5

7 6

42

21

"8 ' "5:: 40 = 20

10~~0~ca~BI1 J 1 J 20 ]~l21 ./2011

Inversa d'una fraceló La inversa d'una fraccló és una aUra fracció mltjanc;:ant la qual, en multIplicar-la per la primera, s'obté la unttat La inversa d'una fraceió s'oblé canviant el numerador pel denominador I deixant el mateix signe.

• Trobem la inversa de les fraccions La inversa de

~

La inversa de

- "6

~

7 I

6

i en fem la comprovació.

és 4 Comprovació: ~. ~ 3 4 3

4

7 . - 7'6 C es

= 12 = 1 12

.. - 67(6) · - 7 :: 42 1

omprovaclo:

42 ::

e) Dlvlsló Per diVidir una fracció per una allra. mulltphquem la primera per la Inversa de la segona. , .• .. 6 9 • Fem 1operaclo seguent: "5: 7

6 9

6 7

42

14

Comptel Quan operem amb nombres racionals hem de simplificar sempre els resultats.

11

UNITAT 1

Nombres reals

1.2. Raonament matemidic Proposició Una proposició és una expressló matematica que afirma alguna cosa que es pot demostrar. Un teorema i una praposició són el mateix; la diferencia rau en la se va importancia. Si és forya impor­ tant, s'anomena teorema, i si ha és menys, proposició. Demostració per reducció a I'absurd És un tipus de demostració que consisteix a admetre com a hipotesi exactament el contrari del que pretenem demostrar; després seguim un raonament correcte I arribem a una contradicció; per tant, com­ provem que la hipótesi de que partíem és falsa. Proposició L'

2 és un nombre Irracional.

Demostració Ho demostrarem per reducció a I'absurd: suposarem que contradicció. Suposem que

)2 és un nombre racional i arribarem a una

j2. és un nombre racional, és a dir, que es pot rep resentar per J2 =E'

Podem suposar que a i b són nombres enters primers entre ells, és a dir, tible. De I'expressió

~ és

una fracció irreduc­

J2 = ~ deduTm que a = b)2.

Si elevem al quadrat els dos membres, tenim que a 2

=2b2 •

Veiem que a 2 és divisible per 2; com que és un quadrat, ha de ser divisible per 2 2 = 4; com que a = 2b 2 , aleshores 2b 2 també és divisible per 4; per tant, b 2 també és divisible per 2 i, consegüentment, b ha de ser divisible per 2. 2

En acabat, tenim que a i b, ambdós, són divisibles per 2, contrariament al que havíem suposat; per tant, hem arribat a una contradicció. Així dones, la hipótesi és falsa. D'acord amb aixo,

J2. no és un nombre racional ; és a dir, v2 és un nombre irracional.

.,

1.3. Representaci6 grMica deis nombres reals Hem vist que els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals no periódiques, i també hem de­ no és un nombre racional ; de forma analoga, es demostra que, si I'arrel quadrada d'un mostrat que nombre natural no és un nombre enter, lIavors és irracional.

J2

Així tenim un pracediment molt senzlll per trabar nombres irracionals:

)2, )3,

S,

j6. )7, ...

Per representar aquests nombres a la recta real , apliquem el teorema de Pitagores. Dibuixem un trian­ gle rectangie de manera que la hipotenusa en sigui I'arrel quadrada, i mitjanyant el campas transportem la hipotenusa sobre la recta real.

12

Nombres reals

• Representa graficament els nombres reals:

J2

és la longitud de la hipo­ tenusa d'un triangle rectan­ gle , els catets del qual me­ suren 1 i 1. 2

J2, fi,

J5

fi és la longitud de la hipo­ tenusa d'un triangle rectan­ gle, els catets del qual mesuren i 1.

J2

J5

és la longitud de la hipotenusa d'un triangle rectangle, els catets del qual mesuren 2 i 1.

22 +1 2 =5

(J2)2+ 1 2 ~3

2

1 +1 = 2

UNITAT 1

, .­ , /

,

I

I

•

Jjj,'.~

o

-..(2

, .­

,

,

,

I

..(2

Y2

/

2{}\

I

- >/3

o

,

,,

"

I

I

I

•

3

• -rs

,,

;;1\rs

o

Quan és molt difícil de trabar un metode geometric per representar un nombre real, el que fem és passar al decimal corresponent i representar-lo de manera aproximada.

1.4. Aproximacions i errors A la practica, quan treballem amb nombres racionals periodics o nombres irracionals només apreciem uns quants decimals; és a dir, fem servir aproximacions. L'aproximació és un procés que s'utilitza molt sovint, pero matematicament és un canvi molt substan­ cial. Conslsteix a canviar un nombre racional periodic o irracional per un nombre decimal exacte. Aproximar un nombre consisteix a substituir-ne el valor exacte per un nombre praper. Si el valor aproximat és més gran que I'exacte, I'aproximació s'anomena per excés; si és més petit, per detecte. Existeixen dues menes d'aproximació: arrodoniment i truncament. Arrodoniment

Si el valor de la primera xlfra que volem suprimir és O, 1,2, 3 o 4, I'anterior queda igual; si és 5, 6, 7, 8 o 9, augmenta en una unitat. Per arrodonir amb la calculadora, escollim I MODE 1IFIX l. que sol ser el 0 . i després escollim el

I

nombre de decimals. A la pantalla apareix FJX. Per tornar al mode normal, pitgem MODE 1I NORM 1, que sol ser el @J, i de la pantalla desapareix FIX. • Arrodonlm a dos decimals els nombres

J2 = 1,41421356... ; Js = 2,23606797...

.fi= 1,41421356... ~

1,41

I I MODEI0~~[ZJ@] ~[IiD 1

j5 =2,23606797.. . ~

2,24

I[ZJ ~~~I MODE I@JI

Alerta! , en les calculadores antigues primer cal pitjar el nombre i després I JI. Truncament

Consisteix a tallar i treure les xifres que no interessen.

13

UNITAT 1

Nombres reals

• Trunquem a dos decimals els nombres

J2 =1,41421356... ; Js = 2,23606797... 2

=:

1,41421356...

~

1,41

J5 = 2,23606797... ~ 2,23 Error absolut És la diferencia, en valor absolut, entre el valor exacte I I'aproximat. • Trobem I'error absolut que cometem en aproximar

J2. = 1,41421356.. . per 1,41 .

lfi- 1,411 = 0,00421356... Error relatiu És el quocient entre I'error absolut i el valor exacte. • Trobem I'error relatiu que cometem en aproximar

fi = 1,41421356... per 1,41 .

O,OOfi 356 = 0,00297943... L'arrodonlment és una aproximació millor que el truncament. En un arrodoniment I'error que come­ tem és sempre més petit que mitja unitat del primer ordre que negligim.

1.5. Notaci6 clentfflca Consisteix a representar un nombre real com a producte d'un nombre decimal, on la part entera estígui compresa entre 1 i 9, per una potencia de 10. • Expressem els nombres 5 656700000 i 0,0007895 en forma científica:

5656700000 = 5,6567 . 10 9 0,0007895 = 7,895 . 10- 4 Notació científica 8mb la calculadora

IEXP IÉs la tecla de notació científica.

Les calculadores científiques avanyades ho indiquen amb una E seguida del signe i de I'exponent.

• Calculem: 123456789 2

111234567891~~11.524157875E+1611 Les calculadores antigues ho indiquen escrivint I'exponent, de mida més petita, a dalt i a la dreta. • Calculem: 123456789 2

11 1234567891~11.5241578751611 Si I'exponent és negatiu, per escriure'l cal pitjar les tecles II.] o I+1-1· Les operacions amb notació científica les utilitzem per expressar quantitats molt grans o molt petites, ja que en fer-hi c9Jculs ens permeten apreciar rapidament I'ordre del resultat.

14

Nombres reats

UNITAT 1

1.6. Nombre factorial El factorial d'un nombre és el producte d'aquest nombre per tots els nombres naturals más petlts que ell fins a 1'1. El representem aixf: nI

nI = n . (n - 1) . (n - 2) .. 3 • 2 . 1 • Calculem el factorial de 6:

61 = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Casos partlculars Hi ha dos casos particulars en els quals no es pot aplicar la definició de factorial, i es prenen per definició:

O! = 1 1! == 1

1.7. Nombre comblnatori El nombre combinalori (;) es lIegeix m sobre pies defineix per la fórmula:

/m) mi (p = pl(m - p) l

8) 81 8 . 7 . Q. ~ - ( 3 -- 31 . 51 - ~ 1 . -

a-z-.1 -56 a-~

­

A I'hora de calcular un nombre combinatori, a la practica no s'aplica la fórmula, ja que el (m - p)! del denominador se simplifica sempre amb els darrers termes del numerador. Apliquem la regla següent:

En el numerador s'escriuen tanls factors com indiqui el nombre de la part inferior, comen~nt pel nombre de dalt I disminuint cada vegada una unitat. En el denominador s'escriu el factorial de la part inferior. Si apliquem la regla al nostre exemple, tenim: en el numerador hi ha tres factors, el primer deis quals és 8, i en el denominador hi ha el 31

8) 8 · 7 · 6 ( 3 =.3-:-2- t = 56 Casos partlculars

15

UNITAT 1

Nombres reals

Propietats deis nombres combinatorls

4

9·8= (9) = (9) = M 7

2

36

Utilitzem aquesta propietat sempre que el nombre inferior sigui més gran que la meltat del superior, Ja que en redueix molt el calcul. Demostració Si desenvolupem la fórmula deis dos membres, veiem que obtenim la mateixa expressi6:

(m) (m m) p

mI

= p!(m - p)!

m! m! p = (m - p)1 [m - (m - p)}! = (m - p)l(m - m + p)1

mi p)!p!

= (m -

Utilitzem aquesta propietat en algunes demostracions matematiques i quasl sempre en ordre invers, passant del segon membre al primer. Un exemple numeric és:

G) G) +

= (:)

~ 35 + 21 = 56

Demostració Si desenvolupem la suma del segon membre, veiem que obtenim el mateix valor que el primer:

(

mP

1)+ (m - 1) = P- 1

(m - 1)1

(m - 1)1

p!(m - 1 - p)! + (p - 1)I[m - 1 - (p - 1)]!

(m - 1)1

= p!(m-p =

1)

+

(m - 1)! (p-1)!(m - 1-p+ 1)!

(m-1)! (p-1)I(m - p-1)1

=:

16

=

(m - 1)! (m - 1)1 + = p!(m - p - 1)1 (p - 1)!(m - p) !

= =

=

(~+ _ 1 _) =

\P

m - p;

(m - 1)! .m- p+p (p - 1)I(m - p - 1)1 p(m - p) m(m - 1)1 p(p - 1)!(m - p)(m - p - 1)1

= mi

=:

p!(m - p)1 =

( m) P

Nombres reals

UNITAT 1

Resol 1. Fes les operacions següents:

3 5 4 6

7 12

a) - - - - 5 + -

b)

b) Trunca'l a dos decimals I calcula I'error ab­ solut I relatiu que cometem .

~: ~- 4 · ~ 8 10

c) Quina de les dues aproximacions-és millor?

6

2. Representa en la recta real els nombres següents i després ordena' ls de més petit a més gran :

3,

- 2,

5

3'

3. Donat el nombre

3

4

o,

fi,

- j6

J7:

a) Arrodoneix-Io a dos decimals i calcula I'error absolut i relatiu que cometem.

4. Calcula el volum de la Terra en m3 , i dóna'n el resultat en notació científica.

4 R = 6400 km, V = 3 nR 3 5. Calcula el valor de: a) 5!

b) 10!

d)

17

(~)

UNITAT 1

Nombres reals

2. Potencies i radicals Experimenta 1. Volem construir recipients de cartró per a lIet. Hem estudiat quina forma és la que té más capacitat i menor superfície i hem obtlngut que és la cúbica, és a dir, amb totes les cares quadrades. a) Per a un litre de lIet, quina mida té I'aresta? Expressa-ho en cm.

b) Per a dos litres de lIet, quina mida té I'aresta? Expressa-ho en cm.

2. Calcula totes les solucions reals de les arrels següents. Si no existeix I'arrel, explica el perqué.

a)

J25

b)

J -49

c)

r-a

d)

va

V1

e)

2.1. D flnlcions Amb I'ús de les calculadores i deis ordinadors les operacions amb radicals i la racionalització estan en decadéncia. No obstant aixo. encara tendim a expressar els resultats finals deis problemes mitjanyant radicals, especialment en fórmules aplicades a la física.

La potencia enesima es I'operació de multiplicar n vegades un nombre.

a" = a ~"!. a • Expressa els nombres 64; 0,00001 i 288 en potencies : 64

=2"

111

0,00001

=100000 = 10S =25 . 55 288 = 25 . 32

Quan multipliquem a n . a m, els exponents de la mateixa base se sumen:

32 • 34 = (3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) = 36

::::

32 + 4

• Simplifica i expressa el resultat en potencies: 54 . 48 = (2 . 33 ) (a 3 b 5 )

Quan dlvidim

•

(2 4 • 3) = 25 (a 2 b 3 ) = a 5 b s •

•

34

~ , els exponents de la mateixa base es resten: a" a n - m _:;:: am

5

3 = 3 . 3 . 3 ' 3 . 3:::: 33

32

3·3

= 35 - 2

a és la base n és "exponent

Nombres reals

UNITAT 1

Un nombre elevat a zero és 1.

En efecte, si partim de I'expressió:

Un nombre elevat a un exponent negatlu es pot escriure en positiu segons :

En efecte, si considerem I'expressió:

a3 a

5 =

a .a .a 1 3 -5 -2 a . a . a . a . a = -a 2 =a = a

• Simplifica i expressa el resultat en potencies positives: 3

54 = 2.3

2" . 3

48

= 21 - 4 • J3 -1 = ~3. 32 = 33

2

2

Quan potenciem (a")m els exponents es multipliquen:

(a")m =a n . m

(7 2)4

= 78

• Simplifica i expressa el resultat en potencies: 94

•

2]3 = (32 t

(6a 3 b)3. (12a- 1b 2 )4

. (33)3 = 38 • 39 =317

= (23 • 33 a 9 b3 )

•

(28 • 34 a-4b a) = 211

L'arrel eneslma és I'operació Inversa de la potencia. ~

a= b-= a = b"

Quan I'fndex és 2, no s'escriu i es lIegeix «arrel quadrada» . 9

=

±3

L'arrel quadrada de 9 és més i menys 3.

•

37 a+5 b 11

signe radical

a

radicand

n

index

b

arrel enésima de a

• Calculem I'arrel cúbica de 125 i en fem la comprovació .

~ 125 = 5

-= 53 = 5 . 5 . 5 = 125

Interpretacló geometrica d'una arrel La interpretació geometrica d'una arrel quadrada és trobar la longitud d'un costat d'un quadrat conei­ xent-ne I'area, i la d'una arrel cúbica és trobar I'aresta d'un cub coneixent-ne el volum.

19

UNITAT 1

Nombres reals

Nombre d'arrels reals d ' un radical a) Si I'índex de I'arrel és senar, té una sola arrel real del mateix signe que el radicando

zra =2

Fa =- 2

b) Si I'índex de I'arrel és parell, se'ns presenten dos casos; si el radlcand és positiu, té dues arrels reals aposades 1, si és negatiu, no té arrel real.

fs1 =±3 Escrlptura d 'una arrel com a potencia

Escrlptura d ' una arrel com a potencia, la qual té en el radicand una altra potencia

Escriptura d 'una arrel que es troba en el denominador

p

n

Escrivim com a base el radi­ cand ¡ com a exponent I'invers de I'índex.

2 .2. Slmplltlcació d

a P = añ

Escrivim com a base la base del radicand i com a exponent una fracció que té par numerador I'ex­ ponant i per denominador I'índex.

En aquest cas, I'exponent és ne­ gatiu.

radicals

Per simplificar un radical dívidim I'fndex í "exponent del radicand pel m.c,d. d'ambdós.

Aquesta simplificació és valida sempre que hí hagl els dos radicaJs . • Simplifi quem:

~

El M.C.D. (6, 4)

=2 ~ ~ = ~

Com treure factors del radicand En un radical hem de treure tot5 els factors que puguem fora del signe radical. El procediment que cal seguir és el següent: a) Descomponem en factors pnmers el radicando b) Dlvidím I'exponent de cada factor per I'index. El quocient I'escrivim com a exponent del factor fora del radical ¡ el residu queda d'exponent del factor dins el radical e) Tots els exponents que quedin dins el radical han de ser més petits que I'índex. • Traiem tots els factors que puguem del radical : ;)2 000a 4 b 8 c

;)2 OOOa 4 b ac =

VZ4 . 5 a b sc = 2 . 5ab 3

20

4

2

V 2ab 2 c

Nombres reals

UNITAT 1

Com Introduir factors en el radlcand

És I'operació inversa de treure factors del radicand i és molt útil a vegades ,

Per introduir un factor en un radicand, I'elevem al nombre que indiqull'índex i el multipliquem pel radicando • Introdu'im dins el radical el nombre que és davant seu: 5

5 ~ = V 2 ' 53 =

V2

V2. 125 ::: V250

Racionalització Consisteix a eliminar les arrels del denominador ¡transformar I'expressió en una altra d'equivalenl Procediments per raeionalitzar a) Si en el denominador només hi ha una arrel quadrada Mul ipliquem i dividim per I'arrel quadrada.

..

5J3 = _v_ 5 13 = 5~ 13 J3 J3 J3J3 ft- 3 5

• Raclonahtzem: _

=> _

5 =

v

b) Si en el denominador només hi ha una arrel I és d'índex superior a 2 Multipliquem i dlVldjm per I'arrel del mateix Index, i d'exponentescrivim la diferencia entre I'índex I I'exponent

• Racionalitzem :

2

z!53

=>

2 ~53 -

2 if54 z!53 ' !j5

-

4 -

if54 ­ 2 z!54

2 ~

-

-5­

e) Sí en el denominador hi ha una suma o una diferencia Mulfipliquem i dividim pe nombre conjugat del denominador .

• Racionalitzem:

9

=>

Ji + 2

9 ::: 9( fi - 2) ::: 9( fi - 2) ::: 9{J7 - 2) = 3(Ji _ 2) Ji + 2 (ti + 2)( fi - 2) 7- 4 3

Alerta! Donat un radical, cal simplificar-lo sempre, treure'n els factors que puguem del radicand i racio­ nalitzar-Io.

2.3. Operaclons amb radlcals a) Suma I resta de radicals RadJcals semblants són aquells radicals que. un cop slmplificats, tenen el mateix índex i el mate ix radicando

21

UNITAT 1

Nombres reals

Fa, fo, Fa J18 =~ = 3 J2

• Deis radicals següents esbrinem quins són semblants:

J50=~

=

5

2,

fi5 =~ =5 )3,

=;>

són semblants

J50 i fiB

Per poder sumar o restar radlcals han de ser semblants; aleshores se sumen o resten els coeficients. • Sumem i restem els radicals següents:

J12 - fo + J 300 = J 22 . 3 -

J3'

J12 - fo + J 300

52+ ~ =2yÍS - 5)3 + 10yÍS = (2-5 + 10))3= 7)3

Si els radicals no són semblants, hem de calcular directament cada una de les arrels i després sumar o restar els valors que n'obtinguem. • Sumem I restem els radicals següents: ~/i

- J5 + ~

ifi - J5 + ~ = 1,91 - 2,24 + 2,88 = 2,55898 1~[1J[i][J[ZJ~GJ0[L]~[ill]1 2.55 ... 11

10~~B~[z]GJ~~W~[ 2.55... 11 b) Producte de radleals El producte de radicals del mateix fndex és un altre radical que té el mateix índex i com a radicand el producte deis radicands.

• Multipliquem els radicals:

y.4, -V'1o

=;>

.y¡ .-V'1o =.lf4O = V~ . 5 =2 V5

e) Dlvisló de radleals La dlvlsió de dos radicals del mateix índex és un altre radical que té el mateix índex i com a radicand el quocient deis dos radicands .

"' ~= J~b

n'b ../

...

• Dividim els radicals: Multiplleaeió i dlvlsió de radicals que no tenen el mateix índex

Primer els reduim al mínim índex comú (m.l.c.), Que és el m.c.m. deis Indexs. Després dívidim aquest rndex per cada un deis (ndexs i el resultat el multipliquem per ('exponent. Finalment, multipli­ quem els radicals que ja tenen index comú.

22

Nombres reals

UNITAT 1

=3

=2

% . i75

• Muttipliquem ets radicals:

m.Le. (4, 6)

= m.e.m. (4, 6) = 12

12: 4

12; 6

d) Potencia d'un radical

La potencia d'un radical és el radical de la potencia.

'ij7

• Elevem al quadrat el radical:

e) Arrel d'un radical L'arrel d'un radical és un altre radicall'fndex del qual és el producte deis índexs i el radicand del qual és el mateix .

nr::=zo/B p' a-­ npa

'\/ V

• Fem I'arrel 5 del radical:

'ij7

Resol 1. Calcula totes les solucíons reals deis radicals següents. 1.1. Mentalment:

a) ~

e)

b) V -125

ifa1

d)

.y -81

e) JO.0025

1.2. Fent servir la calculadora, arrodoneix a dos decimals: a) ~23

b)

i75

e) ~

d)

1

fo

e) \/0,007

2. Eseriu en forma de potencia:

a)~

J113

b)

d)

9

ifi2

3. Escriu en forma de radical : 4

e) 5

3

4. Fes les operaeions següents: a)

Js + 2J'45 - J20

b) ~ . ~

e)

v'5;3 96

d)

ffs

'\i

5. Racionalitza: a) -

2

6

b)

-1: ~a

5

c)

J3 + J2

d)

7 3 - J2

23

UNITAT 1

Nombres reals

3. Cldcul amb logaritmes Experimenta 1. Un cotxe e5portiu costa 96161,94 € i cada any es devalua un 15 % . Om­ pIe la taula del marge fins que el preu sigui menor de 30050,61 € . Quants anys han transcorregut? Tingues en compte que si es deva­ lua un 15 % cada any, el seu valor queda en el 85 % ; per tant, has de multiplicar per 0,85 cada vegada. 2. Una cel·lula es reprodueix cada hora per bipartici6. Fes una taula de va­ lor5 per calcular quant de temps tarda a sobrepassar el miler. Quants dies tardaria a sobrepassar el bili6?

Calculadora clentfflca avan98da P~=~....; re u

Anys 96161,94 €

EXE 96161 ,94 1

1 2 3

2 3 4

4

5

9 10

EXE

10

3.1. Estrategles metodologiques

Transferencia És un procés mental segons el qual som capavos d'aplicar un coneixement a situacions substan­ cialment diferents. a) Volem trobar el valor de

x que verifica la ¡gualtat 2" ==

128.

Per resoldre aquesta qüesti6 hem de pensar en una altra d'analoga, encara que sembli substancial­ ment diterent. b) Provem de trobar el valor de p que verifica la igualtat 2 7

= p.

Per trobar p multípliquem 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 Per tant, per trobar la x de I'apartat anterior multipliquem 2 . 2 . 2 ... tins a arribar a 128 I després comptem la quantitat de dosos.

Processos mentals directes I inversos En matematíques utilitzem processos inversos amb malta freqüencia. Aquests processos hem d'inter­ pretar-Ios globalment I ser capacos d'aplicar-Ios en els dos sentits, és a dir, hem d'esforcar-nos per tal que es produeixi transferencia. Hem de tenir present que «la intel·lígencia és I'habilitat de combinar idees i obtenir-ne conclusions» . Els processos a) i b) anteriors s6n inversos. A I'apartat a) ens donen la base 2 i I'exponent 7 i n'hem de calcular el resultat. A I'apartat b) ens donen la base 2 i el resultat 128 I n'hem de calcular I'exponent.

24

Nombres reals

UNITAT 1

3.2. Logaritmes En aquest apartat estudiarem els logaritmes. Hem d'interpretar-Ios com el procés invers de les poten­ cies. A la seva dreta sempre escriurem la propietat corresponent de les potencies. La idea clau deis logaritmes és: logarltme = exponent

Ellogaritme de base a (on a > OI a i= 1) d'un nombre p> O és I'exponeot x al qual cal elevar la base a per obtenir aquest nombre p. El representem per loga P :::: x. log8 p

=X

~

a X :::: p

• Calculem el logaritme de base 2 de 128:

109:? 128 = 7 .;;. 27 = 128 Logarltmes decimals S6n els logarltmes la base deis quals és 10. En aquest cas, la base 10 no s'escriu . log p

=x

• Calculem ellogaritme decimal de: 1 000 ; 1

10" = p 0,0001

log 1000:::: 3

.;;.

10 3

log 1 :::: O

.;;.

10° :::: 1

log 0,0001 :::: -4

.;;.

10- 4

::::

::::

1000

0,0001

Si ellogaritme decimal no és un nombre enter, fem servir la calculadora; la tecla corresponent és [ log l. En les calculadores científiques, primer pitgem la tecla [ log I i després escrivim el nombre. En les calcu­ ladores antigues ho hem de fer al revés. • Calculem el logaritma decimal de 497: log 497 :::: 2,696... .;;. 1Q2.696

rr=1~=9=t=~=9 =¡ 7 r= ~ = XE:: : ¡-r= I ?= .69=63=5== 63 89=il11

::::

497

1~~1 2.696356389 1 1

Logaritmes oeperiaos Són els logaritmes la base deis quals és el nombre e

o lo. L p::::

X

=-

=2,71828182... Els representem per L, Ln

e ~ ::::

p

• Calculem ellogaritme naperia de 34: L 34 :::: 3,526... .;;. a3 .526

1~[E]~1 3.526360525 1 1

.::::

34

1[E][!6J13.526360525 11

25

UNITAT 1

Nombres reals

Casos partlculars

=O loga a = 1

a) log" 1

=y

loga P == 109a q

= loga P + 109a q

log a (p . q)

a!' "" P

aY = q

El logaritme d'un producte és la suma deis logaritmes. El logaritme d'un quocíent és la diferencia deis logaritmes.

log

"

p"

=

n 109" p

El logaritme d'una potencia és I'exponent multiplicat pellogantme de la base .

., - 1 loga ~I p =- 109a P

El logaritme d'una arrel és el logaritme del radicand dividít per I'fndex de I'arrel. __ __ __________________

n

~

__________________

~J~~

~

~

~~

______

~

______

~

Demostració Obtenim la demostracíó aplicant les propietats de les potencies . a) loga (p ' q)

p b) 109.. -

=loga (a x • aY) =109a a + y = x + y = log.. P + log X

a

= log.. Ya = log, a q

e) 109a p" = loga (a"')"

X

-

Y

=x -

y= 1098 P -Ioga q

=109a a nx = nx = n loga P x X

d) loga

q

"

X

1

iP = 109a ::.fiX =109Ban=Ti =Ti 109a P

Fórmula del canvl de base de logaritmes

log b

p= 109a P 109a b

Aquesta fórmula ens permet trabar el logaritme de qualsevol nombre de base qualsevol, simplement passanHo a base 10 o a base e.

26

Nombres reals

UNITAT 1

Demostració Donat un nombre

Com que

a" = p,

p > O, tenim

i també, bY

=>

a X = p ~ X = log p { bY = P ~ y = 10g a P b

= p, tenim que:

a X = bY

~

Apliquem logaritmes de base a als dos membres; tenim :

Substitu"im

x= y ' log.. b ,

x i y pels seus valors.

lag.. p = logl> P 109a b 10g

Aiflem 109b p i tenim:

b

p = loga P

109a b

• Calculem : log5 1 267 És igual al logaritme del nombre dividit pel logaritme de la base. log5 1 267 =

log 1267 log 5

= 4,439 ...

Resol

o

Calcula el valor de x per als casas següents:

a) 2"=512 b) log 32

=5

c)

e) 53 = x

x4 = 10000

d) log 1000000 = x

f) log5

X=

- 2

2. Calcula els logaritmes següents: a) log 10

c) log 100

e) log 1000

g) lag 10000

b) lag 1

d) lag 0,1

f) log 0,01

h) log 0,001

3. Calcula els logaritmes sagüents: a) log 500

d) log 34596

g) log 0,873

j) log 84,35

b) L 25

e) La

h) L 234,87

k) L 0,0234

c) log2 100

f) log5 25 ,36

i) log30,05

1) 10gB 36

4. Sabent que log 2 = 0,3010, calcula els logaritmes següents sensa utilitzar la calculadora. a) log 4

b) log 5

c) log 8

d) log 500

27

--­

UNITAT 1

Nombres reals

ARBRE DE CONTINGUTS NOMBRES REALS NcZcQcR ARRElS

NOTACIÓ CIENTÍFICA

NEPERIA NOMBRE

COMBINATORI

SIMPUACACIO

CANVI DE BASE

NOTACIO S N Z

Nombres naturals. Nombres enters.

2,36 1I

Període. Valor absolut.

O

Nombres racionals, fraccions.

ni

Factorial.

R

Nombres reals. Pertany.

(;)

Nombre combinatorio

E

c:

Signe de contingut.

J

Radical.

i=

±

Diterent, desigual . Signe de más, menys.

log

Ir

Nombre pi.

e

Nombre e

loga L

=

1+

J5

2

EVITE

v'

= 2,71 ...

Arrel enesima. Logaritme decimal. Logaritme de base a. Logaritme neperia. Signe d'equivalencia o doble implicaci6.

Nombre d'or o auri.

ERRORS

Qualsevol nombre enter és racional, 6 =

~8.

Per dividir nombres racionals cal multiplicar el primer per I'invers del segon . D'aquesta manera evitem molts errors. L'oposat d'un nombre s'obté canviant el signe. L'invers, canviant el numerador pel denominador i dei­ xant el mateix signe. Quan fem un arrodonlment, si la primera xífra que es negligeix és superior o igual a 5, s'augmenta en una unitat I'anterior. L'arrel d'índex parell d'un radicand negatiu no és real : -V- 64 ¡f. R

J a + b i= Ja + Jb

J

Ja - Jb

y a - b -# log (a + b) i= log a + log b i log (a - b) -# log a - log b A I'hora de sumar o restar radicals que no s6n semblants hem de ter servir directament la calculadora. Els nombres negatius no tenen logaritme, i log O --> - oo.

28

Nombres reals

UNITAT 1

REPASSEM 1. Escriu els nombres de cadascun deis apar­ tats següents:

8. Representa graticament els nombres se­ güents:

a) Cinc nombres naturals.

a)

b) Cinc nombres enters no naturals.

b)

c) Cinc nombres racionals no enters.

c)

Fa J17

J8

9. Expressa amb notació científica el resultat de

d) Cinc nombres reals no racionals.

les operacions següents:

2. Donat el nombre irracional :

J3

)2 = 1,414213... a) Escriu els cinc primers termes d'una successió monotona creixent que defi­ neixi )2. b) Escriu els cinc primers termes d'una successió monotona decreixent que defi­ neixi

b) )4598. V23400

a) 0,00002

fi.

J15

10. Arrodoneix

amb dos decimals. Calcula I'error absolut i relatiu amb %.

11. Calcula i simplifica: a) 24 b) (1/2)-3

c) 2° + 2 + 22 + 23

3. Donat el nombre irracional:

d) (1 /2)° + (1 /2) + (1/2)2 + (1 /2t' + (1 /2t2 e) (23)4

J3 = 1,73205... a) Continua la successió d'intervals tancats [1;2] ~ [1,7; 1,8] ~ [1 ,73; 1,74]:::J ... de manera que cada un contingui el següent i Representa grafi­ que en tots hi hagi cament els dos primers intervals.

J3.

b) Fes el mateix per a

J5 =2,236067...

4. La velocitat de la lIum és de 300.000 kmls. SI sabem que la lIum del Sol tarda 8,31 minuts a arribar a la Terra, quina distancia hi ha de la Terra al Sol? Escriu el resultat en notació científica.

12. Calcula i simplifica: a) 13 +

:)2;

b) 2-2

2)-3 . (3

.

5-3 . 52; 2 5

:

(1)4 6 ; 5- (1)-4 5 3

1

1

0,001' 10 000 14. Simplifica:

63 • 35 . 8 2 a)

a) (2, 5)

c) (2, 7]

12 4 .182

143

c) 11

6. Expressa en un entom E(Xo, " (-3,9) .

•

152

214. 10

3

(éi'-bC)3 d) (éfth::- 1)4

(3, 5) I'interval

7. Escriu cinc nombres reals que pertanyin a I'interval (-n, n/2 ).

•

13. Escriu en forma de potencies de base 10 els nombres següents : 10 000; 0,0001; 100; 0,1;

5. Representa graficament els intervals se­ güents:

b) [3,5)

22

(éi'-bc- 1)2(atic)3 e) (éi'-b¿)4

f) [(éftic)2ab] 3 [(abc)3 alí 1c]2

A

29

UNITAT 1

Nombres reals

15. Calcula i simplifica:

a)

b)

(iJ -

c)

1

GJ -GJ

[(1_ ~)2

d) [(2 -

,23.

-1J

J- J

~

1

.

Fes les operacions següents: a)

J50 - sj18 + J9a

b)

i3 .ifi.7

e) VS25

2

3}

e) 5x-10y= 3x - 6y = 1

El sistema és compatible determinat. Té una solueió.

10 => El' . T'e .mf'mltes . '

= 20 sistema é s eompa t'bl I e .In determmat. so luelons.

',

3 => El' = -_10 6 #- "1 sistema é' s Ineompatl'bl e. No té sol uelo.

Resol 1. Indica quin deis parells següents, (2, 6), (6, -2), (6,2) són la solució del sistema d'equaeions:

lO}

2x- y= x+4y= 14

2. Resol els sistemes següents grafieament

b) 2x + y= 8}

a) x + y = 1 }

4x - y= 6

x -y = - l

3}

e) 2x + y= 3x - y = 2

d) 4x + y = 12} 2x - y = 6

3. Indica, sense resoldre'ls, de quin tipus és cada sistema d'equaeions: a) 2x + y = 5

b) 4x+ y= lO}

}

x- y

6x +3y=15

42

.

1I

= 10

c) 5x + 2y = 1 } 10x + 4y =- 1

Equaclons I slstemes d'equaclons IIne81s

UNITAT 2

2. Resolució algebrica de sistemes lineals Experimenta 3X+2Y = 12 } 1. Donat el sistema: 6x + y = 15 comprova que (2, 3) és la solució del sistema esmentat. 2. Planteja un sistema per resoldre el problema següent: a) La suma deis dos nombres x i y és 12. b) El doble de x menys el triple de y és 4.

Existeixen metodes algebraics per resoldre un sistema lineal amb dues incognites : reducció, substitu­ ció i igualació. El primer que has de fer quan vagis a resoldre un sistema és escollir el metode més facl l d'aplicar.

2.1 . Metode de reduccl6 a) Obtenim un sistema eqUlvalent en que una de les incognites tingui, en cada equació, els coeficients oposats Per aixo multipliquem cada equació pels nombres que convingUl. b) Sumem membre a membre les equaeions. e) Resolem l'equaei6 resultant de primer grau amb una incognita, d) Substitu'im el valor obtingut en una de les equaeions inleials.

• Resol el sistema:

-7}

x- 4y= 2x+ 3y = B

14}

a) Multipllquem la primera equació per -2.

x-4y=-71 ==­ - 2x+By= 2x + 3y = B 2x + 3y: B

b) Sumem membre a membre totes dues equacions.

- 2x+ By: 2x + 3y= B

í

14}

l1y=22 e) Resolem I'equaeió resultant.

l1y= 22 ==­ y= 2

d) Substitu'im el valor obtlngut en una de les equaeions Inicials.

y= 2 } =>x - 4 '2=-7=x=1 x - 4y=-7

La solució és: x= 1, y= 2

43

UN ITAT 2

Equaclons I slstemes d'equaclons lineal s

2.2. Metode de substituci6

a) ATllem la incógnita més facil en I'equació més senzilla.

b) Substitu'im el seu valor en I'altra equació.

e) Resolem I'equació de primer grau que obtenim.

d) Substitu"lm el valor de la incógnita trabada en I'equació on era la primera incognita aHlada .

• Resol el sistema:

x + 2y = 5 }

3x + y= 10

a) Aillem la

5 1=> x = 5 _ 2

x de la primera equació .

x + 2y = 3x + y = 10J

b) Substit "im el valor de x a la segona equa­

3(5 - 2y) + Y

Y

= 10

CiÓ.

15 - 6y + y = 10 -5y =- 5 y=1 d) Substitulm el valor de ya la primera equació amb xa"lllada La solució és:

y= 1 } =x = 5-2 ' 1= 3 x= 5 - 2y

x = 3,

Y =1

2.3. Metode d'lgualacl6

a) Aillem la mateixa incbgnita, la que resu lti més filcil . en tates dues equaclons.

b) Igualem els resultats obtinguts

e) Resolem I'equació de primer grau resultant.

d) Substitu"im el valor de la Incognita trabada en I'equacló més senzllia de la primera incógnita.

• Resol el sistema:

5x + y= 14}

2x+ y= 5

44

Equacions i sistemes d 'equacions lineals

UNITAT 2

a) AHlem la yen tates dues equacions.

5x + y = 14 ~ ~ y = 14 - 5x 1.

2x + y = 5 ) Y = 5 - 2x .,

b) Igualem els dos resultats obtinguts.

14 - 5x = 5 - 2x

c) Resolem I'equació de primer grau resul­ tant.

-3x = - 9

x=3

d Substituim el valor de la incógnita trobada

en I'equacló més senzilla de la primera in· cognita amada.

x= 3 Y = 5 - 2x

1 í

5

=;>

y= ­

2 3 = -1

La solució és: x = 3, Y = -1

2.4. Resoluci6 d'un sistema Uneal de tres equaclons amb tres incognites a) Alllem la incognlta més senzllla en I'equacio més facil.

b) Substltu'im aquest valor en les altres dues equacions, amb el qual obtenim un sistema de dues

equacions amb dues incógnites. c) Resolem el sistema resul ant per qualsevol metode deis anteriors . d) Substitu'im el valor de les incógnites trobades en I'equació de la primera incógnita a'illada

• Resol el sistema:

2}

3x+ 2y - z= 4x- 3y+ 5z= 9

2x + 4y - z = 1

a) Aillem la

z = 3x + 2y -

z en la primera,

b) Substitu'lm aquest valor en les altres dues equacions

2

4x - 3y + 5(3x + 2y - 2) = 9} 2x + 4Y - (3x + 2y - 2) = 1

19x + 7y = 19t

- x + 2y= -1 J

c) Resolem el sistema resultant.

x = 1. y = O

d) Substitu"im el valor de les incognites traba­ des en I'equació de la primera incognita a'j­ liada

x= 1 y=o t=z = 3+0 - 2=1 z = 3x + 2y - 2 J

La solució éso x = 1, Y = O, z

I

=1 45

UNITAT 2

Equacions I sistemes d'equaclons lineal s

Resol 1. Resol per substitució els sistemes següents:

a) x + 2y = S

}

4x - 3y = - 2

b) Sx + 2y = 1} x - 3y = 1

e) Sx - y = 1S} x + 2y = 20

2. Resol per reducció els sistemes següents: a)

7x - y 16} b) 3x + y 7} =

=

x+y = 8

x - 3y=8

e) 3x - 2y = 4 } 4x + Sy= 20

3. Resol per igualació els sistemes següents: a) 8x+ y= 3S}

b) 3x+ Sy = 28} 4x - y = 22

x - y =1

e) 2x + 3y = 10} 7x - Sy = 4 ,

4. Resol els sistemes següents:

+ z =2 } 2x+3y+Sz = 12 x - Sy+ 6z= 23

a) x + y

46

b) 7x - Sy - z = 11 }

x+ 2y + 4z = 7

8x - 3 Y - Sz = 18

Equaclons I sistemes d'equacions lineals

UNITAT 2

3. Reso ució de problemes Experimenta 1. Entre la Sonia i l'Oscar tenen 12 € . Si la Sonia té el doble que l'Oscar, quants diners té cadascú? Completa el quadre següent en el teu quadern . Primerament fes el problema treballant per colum­ nes i després fes les ratlles horitzontals.

Relació entre les dades I les incognites

Incognlles i dades X. € de la Sonia. y: € de I'Oscar.

Entre tots dos tenen 12 €

La Sonia té el doble que l'Oscar.

Traducció algebraica (Equaclons)

• La quantitat de la Sonia més la de !'Oscar és 12 € . • La quantitat de la Sonia és el doble que la de l'Oscar.

Estimacló del resultat: Han d'ésser dues quantitats que

sumin 12 € . Per exemple:

x=8€

y=4€

Resolució

Comprovacló

Solució

Dlscussió:

La utilitat de I'algebra i, en concret, la resolució d'equacions i sistemes, rau en la resolució de proble­ mes que, de no ser tradu"its a un lIenguatge algebraic, la se va resolució seria molt costosa. Expressar' situacions verbalitzades en un codí algebraic és quelcom que haunls de fer en moltes ocasions. Per aixo, és bo que t'acostumis a pensar amb srmbols i a usar-los amb destresa.

3.1. Estrategia de resolucl6 de problemes Com a norma general, pots seguir els passos següents per plantejar equacions I resoldre problemes: a) Llegeix I'enunciat tins a comprendre'l bé. b) Identifica els elements del problema: escriu les dades í les incognites. c) Si pots, fes una grafica en la qual puguis escrl ure incognites i dades. d) Escriu les relacions entre les dades i les incognites, i tradueix-Ies al codi algebraic, escrlu les equacions.

e) Resolles equacions o slstemes d'equacions.

f) Comprova i dlscuteix la solució obtlnguda.

47

UNITAT 2

Equacions I sistemes d'equacions lineal s

• En una comunitat de ve"ins ha de fer-se una obra. Cada veí ha de pagar 160 € . Pero 3 ve·ins no valen col·laborar. Els al!res calcu len que prescindint d'aquests tres hauran de pagar 200 € . Quants ve"ins hi ha? Quant vall'obra?

Fem el mateix procés completant, primer, una taula:

Incognites i dades

Relació entre es dades

¡les íncognltes

Traducción algebraica (Equacions)

x: nombre de vefns de la comuni­ tal. y: Import de I'obra.

• El que paga cada veí pel nom­ bre de vei·ns és I'import de I'obra.

y = 160 · x

SI hi partlclpessin tots, cada veí pagaria 160 €

• El que paga cada veí pel nom­ bre de ve'ins, descomptats els tres ve"ins, és I'import de robra,

y = 200(x - 3)

Amb tres veYns menys es pagaria

200 € . Estimació del resultat: La quantitat de I'obra ha d'esser un múltiple de 160 € . Si. per exemple, hl haguessin 10 veins paga ríen 1 600 €

Resolució y := 160x y = 200(x - 3) . 200(x - 3)

El resultats:

x = 15, Y =2400

y = 160 . 15 = 2 400

= 160x

200x - 600 = 160x 40x == 600 =- x - 15

Y = 160 . 15 = 2400

Y := 200 12:; 2 400 verifiq uen les equacions planteja­

des

Oiscussl6:

El resultat és raonable i compleix

les condiclons del problema.

48

Solució

Comprovació

La solució és: x = 15 ve"ins = 2400 €

y

Equaclons 1sistemes d'equaclons Ilneals

UNITAT 2

• Una finca rectangu lar I'hem encerclada amb 30 rotlles de reixat de filferro de 10 metres cadascun. Si la finca és 20 metres més l1arga que ampla, calcula les seves dimensions.

Incognites I dades

x: lIargada de la finca .

Relació entre les dades I les ¡ncognites

Traduccló algebraica (equacíons)

y : amplada de la finca.

• La diferencia entre el lIarg i I'ample és de 20 m.

x - y= 20

De lIargada fa 20 m més que d'amplada.

• El perímetre de la finca és de 300 m.

2x + 2y.:;; 300 x + y= 150

S'han utilltzat 30 rotlles de 10 m cadascun És a dir, s'han gastat 300 metres en encerclar la fi nca. Fem un dibuix:

y x

Estimacló del resultat: El l1arg i I'ample han de sumar 150 m. Per exemple: 90 m i 60 m. Resolució X -

Y =20}

x + y = 150 2x

x= 85

= 170

= y= 65

Comprovació 8s resultats x= 85, y - 65 verifiquen les equacions plantejades.

Díscussió: El resu ltat és raonable i compleix les condicions del problema.

La solució és:

x = 85 m de lIarg. y = 65 m d ample.

Resol 1. Calcula dos nombres la suma deis quals sigui 467 i la seva diferencia 217. 2. Un pare reparteix 18000 € entre els seus dos fil1s de forma que el menor rep els 3/5 del que

rep el gran . Quant els dóna a cadascun?

3. Hem comprat, per 90 € unes sabatilles esporti­ ves i un parell de jerseis que costaven 135 € . En les sabatilles ens han rebaixat un 20 % i en els jerseis un 40 %. Quin era el preu de cada article?

4. Les edats d'un pare i d'un fill sumen 54 anys I d'aquí a 16 anys el fill tindra un ter9 de I'edat del pare. Calcula I'edat actual de cadascun. Ajuda't d'una taula com aquesta:

O'aquí a 16 anys x

x + 16

y

y + 16

49

UNITAT 2

Equacions I slstemes d'equacions IIne81s

ARBRE DE CONTINGUTS

I SISTEMES LlNEALS I

I CLASSIFICACIÓ I -

COMPATIBLE DETERMINAT

COMPATIBLE INDETERMINAT

I RESOLUCIÓ I

HGRAFICA 1

IALGEBRAICA I -1 REDUCCIÓ I

ISUBSTITUCIÓ1­

IINCOMPATIBLE I

y

IGUALACIÓ

1

OTACIONS ax+ by= e

Equació lineal amb dues incognites.

ax + by = e } a'x + b'y = e'

Sistema lineal de dues equacions amb dues incognites.

ax + by + ez = d }

a'x + b'y + e'z = d i a" x + b" y + e"z = d"

Sistema lineal de tres equacions amb tres incognites.

EVITEM

RRORS

La solució d'un sistema ha de satisfer totes les equacions. No solament una.

Un sistema pot tenir una, infinites o cap soluciÓ.

50

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Equaclons I slstemes d'equaclons Jlneals

UNITAT 2

REPASSEM

1. Resol les equaeions següents:

8. Resol gnl ficament els sistemes següents:

a) 3x + 10 = 5x - 70

= 9(x + x x

b) 7(x - 3)

a) x + 2y = 13} 5x - y = 5

1) - 38

e) x + - + - = 11

e) 7x - 5y = 6} 5x + 2y

d)X+~Y == 2}

b) 3x + 2y = 2 } 5x - y = - 14

2 3

5x - 3y == 10

2. Resol les següents equaeions:

a) 3(x - 1) + 4(x - 2) = 6 - 5 (x + 2)

9. Sense resoldre els sistemes següents, indica de quin tipus són, ates el nombre de solu­ cions:

b) 1 _ x - 2 = 4 + 3x + 5

3

6

a) 3x + 2y = 13}

5x - y = 15

e) 2(x - 1) + 3(x - 2) == 1

3

2

b) 4x + 7y == 2

(3X) 8

4 - x d) 3 - -6=4 - 2 1 -

7

a) 24 - 2x

4

}

12x + 21y = - 14

e) 7x - 5y = 6

}

14x - 10y == 12

3. Resol les següents equaeions:

13

15

=9

10. Escriu:

1

=4

a) Un sistema compatible determinat.

3+5

b) Un sistema incompatible.

x - -5

2 x- 8 3x 49

b) x + 8 _ 8 + -2- + x = 2 + 16

e) Un sistema compati ble indeterminat.

11; Resol per substitució els sistemes següents:

•

2

a) 4x + y = 12} 5x - y = 5

3x - 7 3x- 14

e) 4x + 2 ,;..4x - 13

4. Calcula k en "equació 3x - k(2 - x) = 8 perque tingui per solució 3. 5. Resolles equaeions literals, és a dir, determi­ na x en funció d' a, b, c.

x x a) - + - = e a b

e)

a b -- = --' b-x a -x

b) 6x - 7y = ll } 2x + 3y = 9

.12. Resol per reducció els sistemes següents: a) 3x + y = 12} 5x - y = 4

b) 6x - 7y = 14} 5x + 3y = 20

. 13. Resol per igualació els sistemes següents:

1}

• a) 3x + y = 2x - y = 5

b) 6x + 5y = 15}

2x - 3y = 6

b) x + a _ x + b = 1

a .

b

6. Indica quin deis parells (3, -2), (2, O) és la so­ lució del sistema:

.2x + y = 4 }

5x - y == 10

7. Escriu un sistema que tingui com a solució

(4, - 2) .

•

14. Resol els sistemes següents amb el metode més senzill: a) 3x = 9

}

3y

2x + 4" = 24 b) 2(x + 3) + 5y = 15}

x - 3(2 - y) = 20

51

UNITAT 2

Equacions I slstemes d'equacions lineals

PROBLEMES

y +1 = 12 } c) -3x + -

4

2

Y

2x - 4

17. Troba dos nombres que sumats fan 24 i res­ • tats, 6.

=6

d) 3(x - 2) _ 5(y + 1) 5

10

= }

x

2(x + 3) - 3y = Y

18. En dividir dos nombres, obtenim de quocient 4 i de residu 6. Calcula els nombres, sabent que la suma excedeix la diferencia en 70 uni­ tats.

3; ": }

19. Un nombre esta compost de dues xifres la suma de les quals és 14. Invertint I'ordre de les xifres, obtenim un nombre major en 18

e)

2x + - = 2 4

unitats. Calcula el nombre inicial.

f) 3(x + 1) + 5y = 10}

3

~

4

- 3(2 + y)

= 14

g) x _ y + 1 =

12X}

6

2

2x -

Ajuda't d'una taula com aquesta:

Cafe

~ = 6y 3

Qullos

15. Resol els slstemes d'equacions següents: .

3}

a) x + y= x+z = 4

y+z = 5

c)

b) siguin inversament proporcionals a 4 i 7 i que sumin 44.

=

-3}

22. Traba la solució de la recta ax + by 6, sa­ bent que passa pels punts A(2, 2) I 8(5, -4) .

y - z=2

z- x= 1

16. Resol els sistemes de tres equacions amb tres incbgnites següents:

5}

a) 4x + 2y - 3x = 3x - 3y + 2z = - 4

2x - y +

b)

c)

kg

a) sigui n directament proporcionals a 3 i 5 i que sumin 16.

x+y=5

x - y= -1

x- y=

€

21. Troba dos nombres que :

b) x + y+ z = 4}

.

20. Hem mesclat café del Brasil de 16 € / kg amb cafe de Colombia de 20 € /kg, havent obtingut 80 kg de mescla a un preu de 18 € /kg . Quants kg de cada tipus de cafe hem mesclat?

z =- 3

x + 3y - 2z = 23}

4x - 4y + 4z = -12

x + 3y + 52 = 13

3}

x + 7y - z = 3x - y + 5z = '- 13 2x + 3Y - 3z = - 5

52

23. Compro un vestit per 120 € amb un descomp­ • te del 15 %. Quin era el preu abans de les re­ baixes? 24. Un pare té 39 anys i el seu fill, 15. Quant • temps ha de passar perque I'edat del pare si­ gui el triple que la del fill. 25. Un persona gasta la meitat del que guanya en - alimentació i la tercera part en altres despe­ ses; després de 40 dies ha estalviat 300 € . Quant guanya cada dia? 26. Traba el nombre de conills I de gallines que hi • ha en una granja, sabent que hi ha 100 cap s i 300 potes. 27. Un comerciant barreja 5 kg de cafe natural, que té un preu de 5,5 € / kg, amb 8 kg de torre­

Equacions i slstemes d'equacions lineals

facte , que va a 6,25 € / kg. A quin preu paga el kg de café? 28. Un botiguer té 40 L de vi a 1,25 € /L i el barreja amb un altre vi de qualitat inferior, que va a 0,72 € /L, de manera que la mescla val 0,95 € /L. Quants litres ha de posar del vi de qualitat inferior.

UNITAT 2

ment sol ·licita tantes unitats com el segon i el te rcer plegats, mentre que el segon establi­ ment demana un 20 % més que la suma de la meitat de la comanda del primer més la terce­ ra part de la comanda del tercer. Quines són les quantitats sol·licitades pels tres establi­ ments?

29. Un comerciant va comprar ciment en una fa­ brica i després el va vendre d'aquesta mane­ ra: una tercera part amb un 15 % de beneficl i la resta amb un 20 % de benefici. Si va guan­ yar en total 150 € , quants diners va invertir en la compra?

30. Determina k del sistema d'equacions sabent que x = 2. Quina és la solució de y? 3x

+

14}

2y = 5x+ ky = -2

CALCUL MENTAL 1. Troba tres solucions de eadaseuna de les se­ güents equacions:

a) 3x - y==2

b) x + 2y == 8

e) 4x + 3y = 5

2. Resol els sistemes següents:

3} b)

a) 2x + y == 3x - y == 2

3x + 2y == x== y

10}

31. La suma de les edats de tres persones és 85 •

anys, determina I'edat de cadascun, tenint en compte que la segona té el doble d'anys que la primera i que la tercera té 15 anys menys que la segona.

32. Un diposit té tres claus: la clau A omple el di­

posit en 12 h; la clau B, I'omple en 8 h: i la e buida el diposit en 6 hores. Sí obrim les tres claus simultaniament, en quant temps s'om­ plira el diposit?

33. Tres operaris han cobrat per una obra 676 € . El primer hi ha dedicat 9 hores i el segon hi ha invertit el doble d'hores que el tercer. Si el se­ gon operari ha cobrat 360 € , quantes hores hi ha dedicat cadascun d'ells?

3. Classifica els sistemes següents segons el nombre de solucions: a) 2x + 7y = 43}

x - 5y = 25

b) 5x + 3y = 13 }

10x + 6y = 26

e) 6x -

2y 3}

= 3x - y = 2

CALCULADORA

34. Un automobil puja les costes a 54 km/h. Les

CASIO

baixa a 90 km/h i en pla marxa a 80 km/h . Per anar d' A a S triga 2 hores i 30 minuts, i per tomar de S a A, 2 hores i 38 minuts. Quina és la longitud del camí pla entre A i S, si se sap que A i S disten 192 km? 35. L'edat d'una mare és ara el triple de la del seu fill. La suma de les edats del pare, de la mare i del fill és 80 anys i, d'aquí a 5 anys , la suma de les edats de la mare i el fill sera de 5 anys més que la del pare. Quants anys tenen ara el pare, la mare i el fill? 36. Una fabrica d'electrodoméstics té una pro­ ducció setmanal fixa de 42 unitats . La fabrica abasta tres establiments que demanen tota la producció. Una setmana, el primer establi­

Y=

Graph Eseriu la funció EXE

GRAPH

Cls

1. Resol graficament eadaseun deis sistemas se­ güents, representant eadascuna de les rectes. Per fer-ho a'illa préviament y.

a) 5x + y = x - y = 2

10} b) 3x + y = 7} x - 2y = 7

53

.

UNITAT 2

Equacions I slstemes d'equacions IIneals

equaeió més la primera multiplicada previa­ ment per - 2.

CURIOSITATS

Eliminem la x de la tercera equació substi­ tuint-Ia per la resultant de sumar la tercera equació més la primera multiplicada per 3.

El sistema graonat és un sistema de la forma: ax + by + cz = d } b'y + c'z = d ' , c" z = d " que és molt senzill de resoldre, ja que a la tercera equació es calcula el valor de z de forma immedia­ tao És interessant saber que qualsevol sistema es pot transformar en un sistema equivalent graonat utilitzant repetidament el metode de reducció. La generalització d'aquest proeés es eoneix amb el nom de metode de Gauss . En els sistemes de tres equaeions, aquest metode es redueix a: a) Eliminem el terme en x de la tercera equació utilitzant el metode de redueció entre la pri­ mera i la segona equació. Eliminem el terme en x en la tercera equació utilitzant el metode de reduceió entre la pri­ mera i la tercera equaeió. b) Eliminem el terme en y de la tercera equació utilitzant el metode de reducció entre la se­ gona i la tercera. e) Resolem el sistema graonat. Vegem-ne un exemple:

-

1} -11

x + y - 3z = 2x - 4y + z = 3 - 3x + 3y - 5z =

a) Elíminem la x de la segona equaeió substi­ tuinHa per la resultant de sumar la segona

1}

x + y - 3z = - 6y + 7z = 1 6y - 14z = - 8

b) Eliminem la y de la tercera equació substi­ tuint-Ia per la resultant de sumar la segona i tercera equació.

1}

x + y - 3z = - 6y + 7z = 1 - 7z = - 7

e) De la tercera equació z = 1. Substitu'im la se­ gona i obtenim: - 6y + 7 = 1, d'on y = 1. Substituínt en la primera x = 3.

TALLER DE RECERCA Resol, graonant el sistema, els sistemes se­ güents de tres equacions amb tres incógnites:

-14}

a) 3x + 2y - 4z = x - 3y + 2z = 1

2x + y - 3z = - 12

b)

4}

2x + y + 2z = 3x - 4y - z = -6 x + 3y + z = 2

Equaclons I slstemes d'equaclons IIneals

UNITAT 2

INFORMATICA: DERIVE EXPERIMENTA

Casos que es poden presentar

1. Resol gratieament el sistema:

Y=3}

X+ 3x - y = 1

a) Si el sistema és compatible determina1, eseriu la solueió. b) Si el sistema és compatible Indetermlnat, deixa la solució en funció d'un parametre, @.

Salució: eserivim x+y=3 Eseollin Representar, s'obre la finest ra de grafies. Seleecionem en el menú Flnes­ tral Mosalc Vertical. Des de la finestra de grafics eseoUln OpcionslGrlds... l posem en Horltzontal: 12 1 en Vertical: 13

I tomem a eseollir Representar. Llavors, eserivim a la finestra Algebra I'altra equaei6. 3x - y

=1

e) Si el sistema és incompatible, eseriu [ per Indicar que no té salució.

ACTIVITATS

1. Donats els sistemes següents, representa'ls . gratieament i digues de quin tipus s6n, i troba la solució en els que siguin compatibles de­ terminats.

Eseollin dues vegades Representar.

a) 4x + 3y = 9 } 5x ­ 2y = -1

La solueió és el punt d'intersecció (x = 1, Y = 2) .

b) 5x -

2. Resol algebraieament el sistema:

-7} =

x ­ 4y = 2x + 3y

8

Salució: eseollim Resoldre/Slstemes. En nombre d'equaeions pitgem 2. A la fl­ nestra que apareix hi eserivim les equaeions i pitgem en el quadre de variables, automatica­ ment eseriu x, y, pitgem el botó Simplificar. [x = 1, Y = 2]

APAEN

e) 3x + 2y = 10} 6x + 4y = 20

3}

d) x + 2y = 5 } 3x + y = 10

10y = 3x - 6y = 1

2. Resol algebraieament els sistemes següents i a la vista del resultat, digues de quin tipus són: a) 5x + 2y= x ­ 3y = 2

1}

b) 2x + 3y = 10} 7x - 5y = 4 7x - 5y - z = 11 } e) x + 2y + 4z = 7

8x - 3Y ­ 5z = 18

Resolucló de slstemes lineals Eseollim I'opeló: Resoldre/Sistemes En el nombre d'equaeions posem el corres po­ nent al nostre sistema. A la finestra que apareix hi eserivim eada equaei6 en una línia. Pitgem en el quadre de variables, automaticament eseriu les nostres variables x, y, ... pitgem el botó Sim­ plificar.

1

d) 4x ­ 2y = -14} -2x + y = 7 e) 3x - y = 5 - 6x + 2y =

1

-2J

f)x +y+ z=2 } 2x + 3y + 5z = 12

x - 5y + 6z = 23

55

UNITAT 3

Equacions Ilnequaclons

UNITAT

Equac·ons i inequacions

Partenó (Alene. ),

56

Equaclons Ilnequacions

,

UNITAT 3

Introduccló

Index

Introducció

Bls an/in gren vnn estudiar el que mmi

ro?ll'ixnnom

a

dlgdna, d/'s dPi /tuttt de visla de la gl'ow/ria, pe,. aixó tmim

torfa ¡n-oblemes n (ldmelre p)..,'/ffe.uionJ que avui escrittim

1. Equacions E pe me" a

1.1. Equacions de segon grau 1.2. Equacions biquadrades 1.3. Equacions racionals 1.4 Equacions irracionals esol

Pagina

58 59

60 60

2. Sistemes I Inequacions Expenmenta 2.1. Sistemes d'equacions no lineals 2.2. Inequacions Reso

62 63

3. Inequacions lineals amb dues incognlles Expe Imenta 3.1 . Inequació lineal amb dues inc6g­ nites 3.2. Sistemes d'inequacions lineal s amb dues inc6gnites

66 68

4. Equaclons i sistemes exponenclals i logarítmics Experimenta 4.1. Equacions exponencials 4.2. Sistemes d'equacions exponen­ cials 4.3. Equacions logarítmiques 4.4. Sistemes d'equacions logarítmi­ ques Resol

69 70 71

nixi:

x~

J-15

5 + X2 =

72

Arbre de continguts. Notacions. Evitem errors. Repassem. Problemes. Calcul men­ tal. Calculadora. Curiositats. Taller d'investi­ gació. Informatica: Derive.

+x

Pensavl'11 que TIV era rnalemaliramPll/ gair" ro,..recu su­ mar ['area d'un quadral amb el ro tal rlel mateix quadra/. Perque ting¡¿é,s sentit i les TTUlgniluds Jossin homugenies, veien la nostra variable x com la mesura d'un segmnd mul­ tiplica! pe'/" la unital quadrada de mesura. Per estudiar I'dlgebra des del punt de vista de ['anlmetira, lunn de remunlar-nos ver.; l'any 15UO, quan a EuntjJa, a jJartir de /r,,!Ja/l,:, iirabs i indis, es comeneen a resoldre equa­ cúms algeúmu/ues. Les nt'CI!ssitals pnlctiques i rientífiques de la citlilització mropea van donar llo( a un gran avení', tant en l'iílgelJra rom en l'arilmiliw. al e.smentar I!l desenvolupament de ['astronomía, df / 'activilat bancaria i comercial i dl'l treball temie deL~ artesans, tanl en l'arquilecl'ura com en la falrrha­ rió de CmlO7lS i 1'[ llan{:mnent de projeclils. L evOlllrió de l'iilgellra semprf' ha estal lligadn a la de fa seva simbología. Aban del J 500, llomé. J)i~ranl d 'A!Pxan­ dria (s. ru) hauir: utilitzal el simboliHlIf' per resoldre prob"'­ mes algebmics. Es en el Renaixemenl, i e:,pecialment en els segles XV! i .'(1'11, quan es comenam a ulilitzar les abrevia/u1'('S p per fl més i m ¡)er a men."Is, mentre que els símbols + i ­ van ser introduils pels alemanys per assenyalar excessos i de/fetes en eú ¡JeJas de cofres i arques. f-l signe", el va intTO-­ duzr RoIJert &corde el 1557 perque deia que no hi ha dues rose mis iguaL~ que dues rectes paraUelRs. Vegnn WI exemple d 'esmptum de ['ipoca de Cm'dano (1501-/576) : 4x + 32

. p : Rm . 15 quadrat igual 4 cose

p : 32

Car(úl7lo f..~ molt rOTlegul perqlle 11(1 esmure Iln traetal d 'iílgebm titUÚlt Ar Magna, en que ,-e:,ol fi'J equarions de tercer i quart grau, i Teconeix que el primer fl resoldre fe:> de lercer grau va ser Tartaglia (1500-1557) i les de quar/ grau, }t¡!17'(¿r¡ (1522-1565) . ,1lló que no esmenla ,al'dano é,~ eljurament solemne que va Jer a Tartaglia de no desvetllar el secret, ja que 7'arlaaüa volia arribar a ser un f:,J7'an matema­ tic pu.blicanl un traclal d 'algl'bra, en el qual la pwt mis important j(J.I la solurió de l'e.quació cÚbira. Cardano, Tar­ tflglirt i Ff'Tmn f!Tt'n italiar/s.

57

UNITAT 3

Equaclons i Inequacions

1. Equacions Experimenta 1. Planteja les equacions corresponents als enunciats següents: a) L'area d'un quadrat más el seu perfmetre és igual a 45. b) El perímetre d'un triangle equilater més el doble d'un costat és igual a 10. e) En un triangle rectangle, les mesures deis costats són nombres enters consecutlus. 2. Traba mentalment les arrels de les equacions següents: a) x + 5 = O

=9

b)

X2

c)

jX= 6

d) x - 3 = O

g) 2x == 5

e)

h)

X2

=O

X2

j)x+3 = 5

=-25

k) (x - 5)2 = O 1 4 1) - =­

x 3

=Osón els punts de tall de la funció y =f (x)

La Interpretació grafica de les arrels d'una equació f( x) amb I'elx OX de les abscisses.

1.1. Equacions de segon grau Una equacló de segon grau amb una incognita és una expressló de la forma.

a.x 2 + bx + e =O;

a

'* O

Equacions incompletes de segon grau Una equació incompleta de segon grau és una equaeió de segon grau a la qual falta el terme indepen­ dent, el de primer grau o tots dos.

a)

5x 2 + 4x= O

a) Resolució de I'equació incompleta • Resoll'equaeió: 3x 2 = 0=

X2

b) 4x 2

9

-

=O

c)

3x 2

=O

ax 2 =O

=O = x = O

b) Resolució de I'equació incompleta 2 8X + bx= O Es resol traient la x factor eomú. Una solueió és sempre x = O • Resol I'equaeió: 2x + 5x = O

e)

Resolució de I'equació Incompleta 2 + e =O

8X

Es resol aHlant X2 i fent I'arrel quadrada. 25x2

• Resol I'equaeió:

4

-

=O

2

x(2x + 5)

=O =

Solueions:

I

Xl

25x

x= O

{ 2x + 5 :=: O

=O

58

1I

X:!

= -~

I

2

:=:

4

Solueions: I

=

X2 :=:

Xl

=

~

2~ = 1I

x=±

X:!

~ = ±~

=-~

I

Equaclons Ilnequaclons

UNITAT 3

Resolucló de I'equació completa de segon grau Les solucions s'obtenen aplicant la fórmu la:

x

- b -----'---­ ± ...; b 2 - 4ac

x=2a

• Resoll'equació 3x2 + 5x - 2

= O: 2

x - -

BJ

1

-5 ± J 25 + 24 - 5 ± 7 / 6 = "3 Solucions: -- ---.. -2 6 -6

x,

= -3

y =-3x' + 5x - 2

I JI2 =. -2 I .

=

Les solucions reals d'una equació de segon grau són dues, una o cap, segons que el discriminant l\ b 2 - 4ac sigui positiu , zero o negatiu . Una funció de segon grau és una parabola I pot tallar I'eix QX d'abscisses en dos punts, en un o en cap. Suma i producte de les arrels La suma i el producte de les arrels d'una equació de segon grau es dóna per:

s= - bla

p= da

En efecte, les dues solucions que poden donar I'equació de segon grau ax2 + Xl

bx + e = O són:

- 4ac _ -b - Jti - 4ac :-- -­ = -b+ Jti JI2 2a 2a -_.>C.

la suma i el producte de les arrels són, per tant

+ x2

Xl

x .

, JI2

=

-b + J ti - 4ac -b - J ti - 4ac - b 2a + 2a =

a

= (-b + ) ti - 4ac) . (/-b - ) ti - 4ac) = ti - ti + 4ac = ~ 2a

2a

a

4#

1.2. Equacions biquadrades Una equació és biquadrada si és de la forma:

ax 4

+ bx2 + e = O

Les equacions biquadrades es resolen a'illant X2; després s'ha de calcular X trobant la seva arrel qua­ drada. En general, tenen 4 solucions . • Resol I'equació: x 4

5X2

-

+4=O y

5

2

x

± }25 -

=

Solucions:

16

2 1

Xl =

5 ± 3 ...--" 4 a) x2=4 = x=±J4=±2 = - 2-="""""'1 b) x2=1 x= ±}1=±1

=

2

11

x2

=- 2

11

x:¡ = 1

11

x4

=- 1

x 1

També es resolen de manera anaJoga a les biquadrades les equa­ cions que són de forma: ax6 + bx3 + e = O. A'illem x J i després fem I'arrel cúbica.

y=X' -

59

5x" + 4

UNITAT 3

Equaclons I lnequacions

1.3. Equacions racionals

Una equació és racional si té la Incógnita en el denominador.

Per resoldre una equació racional, es multiplica tata pel m.c.m. deis denomlOadors.

x-1 + -x +-12 = -3 14 :;.

, .. • ResoI 1equaclo: -

x+

x­

3(x - 1)x+ 3(x + l)(x+ 2) 3x 2

3x + 3x 2 + 9x + 6

-

(

m.c.m.

= 14(x2 = 14x 2 -

x + 1, x -1 , 3 ) = 3 (x2 -

1) :;. 3x 2

-

3x + 3(x 2 + 3x+ 2)

14 = - 8x2 + 6x + 20

19 + 160 x = 3 -+

1)

=O=

Solucions:

4x 2

Xl

= 14x2 -

14

-

3x - 10

=2

8

11

=:>

=O

x2 =

~I

1.4. Equacions irracionals Una equació és Irracional si la Incógnita esta sota el signe radical.

x= 2 + J 3X - 6

El procediment per resoldre l'equació irracional és:

a) Ai'IIem el radical i el delxem nomes en un membre.

b) Elevem tots dos membres a I'índex de I'arrel.

c) Comprovem la solucló o les solucions.

En aquesta classe d'equacions és obligatori fer la comprovació , Ja que en elevar al quadrat poden apareixer solucions que no serveixen. • Resol I'equació: 6 +

2x + 3 = x

J2x+ 3 X2 _

=x -

6 :;. 2x + 3 = (x - 6) 2 =:> 2x + 3

14x + 33

= O =- x = 14 ±

J 196 2

Possibles solucions:

XI

= X2 -

132 = 14

±

2

12x + 36 8

=­

=~

11

----.. 3

= 11 , X2 = 3

Comprovació:

a)

Xl =

11

b) "2 = 3

~ =:>

6 + J 22 + 3 = 6 + 5 = 11 :;. Sí val

6 + J 6 + 3

60

=

} L'"unlca so IUCI ' ó es ' 6 + 3 = 9 =F 3 :;. No val

8x

=

1

Equaclons Ilnequacions

UNITAT 3

__ Resol 1. Resol les equaeions següents:

a) 5x 2 b)

X2 -

45

-

36

=O

=O

e) 3x2 ­ 9 = O

e) 3x2 - 6x= O

d) x 2 - 4x = O

f) 2x 2 -

X =

O

2. Resol les equaeions següents:

a) x2 - 3x ­ 10 = O

b) x2 - 1Ox + 25

=O

e)

x2 + x + 1 = O

3. Resol les equaeions següents:

a)

.x4 + 5x2 ­ 36 = O

b) x4 + x2 - 12 = O

e) 2x" -

x3 - 3 = O

4. Resol les equacions següents:

6 x +2 a) - - --= x+ 5 x x­ 3 b) -

2.x

x- 1

3

= ­ +5

x

e) 2 +

d)

3x - 6 = x

vi x + 1 + 1 = x + 2

61

UNITAT 3

Equaclons Ilnequaclons

2. Sistemes I inequacions Experimenta 1. Planteja en un sistema d'equacions I'enunciat següent: L'area dOun rectangle és de 30 cm 2 i el seu perímetre és de 22 cm. 2. Quants nombres compleixen la desigualtat

x+

1 < 2? Representa'ls en la recta real.

y, compleixen que x < Yo com són ets seus oposats? I els inversos?

3. Si dos nombres reals, x i

2.1. Sistemes d'equacions no IIneala La Interpretació graflca de les arrels d'un sistema són els punts comuns de les funcions correspo­ nents, és a dir, els punts on una funció talla I'altra. Classificació deis slstemes Un sistema és compatible si té solucló. Un sistema és incompatible si no té solució. Un sistema d'equacions no lineals és un sistema en que almenys una de les Incognites esta elevada a una potencia superior a 1, o bé una de les Incognites multiplica I'altra.

1}

b) x -

a) 2x - Y = r-y=4

3y == xy=6

-3}

El procediment per resoldre un sistema d'equacions no li neals és:

a) Aíllem la incognita més facil en I equació més senzilla.

b) Substituim aquesta incognita en I'altra equació. • Resol el sistema següent:

x - 2y + 5 = O X2 +

y _ 4x _

}

2y _ 20

A"illem x en la primera equació:

=O

x

= 2y -

5

SubstituIm aquest valor en la segona equació.

(2y - 5)2 + y 2 - 4(2y - 5) - 2y - 20 = O

4 y2

- 20Y + 25 + y2 - 8Y + 20 - 2Y - 20

=O

5y2 - 30y + 25 = O

y 2 _ 6y + 5 = O => Y = 6

± ) 36 - 20 = 6 ± 4 = ____ 5

2

Substituint a

x = 2y -

x

-..... 1

5, tenim:

y = 5=>x=5 } y= 1 =x =- 3

62

2

x = 50y= 5 Solucions:

x = -3, Y = 1

X~ + I~- 20::0

Equaclons Ilnequacions

UNITAT 3

2.2. Inequaclons La Interpretacló graflca d'una inequació és I'estudi del signe de la funció corresponent; si la funció és positiva, la grafica esta per sobre de I'eix OX de les abscisses i, si és negatIva, esta per sota. Resolució d'una inequacló de primer grau Les ínequacions es resolen de manera sembJant a res equacions, excepte en dos casos: a) SI canviem els dos membres de signe, hem de canviar el sentit de la desiguaJtat.

- 5x> 3

=- 5x el primer membre és negatiu = val.

x = O => x = 4 =>

el primer membre és positiu => no val.

x= 6

el primer membre és positiu

=>

el primer membre és negatiu => val.

=>

no val.

Solucló: (- ,x, -3J u (2, 5J - 3 -5

-4

-3

2

-2

-1

o

5 1

2

3

4

5

6

Procedlment per resoldre un sistema d'inequacions d'una incognlta a) Calculem les solucions de cada equació independentment de I'altra.

b) Les representem sobre la recta real i escollim per solució només les solucions comunes.

64

Equaclonsllnequaclons

UNITAT 3

• Resol el sistema:

3x- 2(x- 1) < 4(x - 2)} x2 - 6x- 7 ::;; O => 3x - 2x + 2 < 4x - 8 => -3x < -lO =>

a) 3x - 2(x - 1) < 4(x - 2)

x>

~ => (~O, 00 )

x2 - 6x + 7

~ O =>

X2 -

6x - 7

=O

=>

z = -1 ; x =7

Si escollim el valor d'x = O, i la substitu'i m en I'equació, observe m que és la solució, i, per tant, la so lució de I'equació és [-1, 7]. b) Representem sobre la mateixa recta real els Intervals:

La solució del sistema és:

Resol 1. Resol els sistemes d'equacions següents:

1}

a) 2x - Y = x2-y=4

b)

3y = -3}

x xy=6

2 . Resol els sistemes següents:

a) ; ; :

~ = 53}

b)

~ - ~ = ~} xy = 24

3, Resol les inequacíons segOents: a) -5x ~ 3

b) 3x- 4 < 5x+ 2

2x- 3

4 . Resolles inequacions següents:

a) -x2 ~ 3x

b)

X2

+ x- 6 < O

5. Resol els sistemes d'inequacions d'una incógnita següents:

a) 5x- 2(x-1) ~ 8

2x - 3(x + 2) ~ 3 - 3(x - 1)

}

x

c) - - > - + 1 4 2

b) X2 - 2x- 3 ~ O}

2x - 5 < O

UNlTAT 3

Equaclonsllnequaclons

3. Inequacions lineals amb dues incognites Experimenta 1. Acoloreix tots els punts del pla que verifiquin: x ~O y~O

2. Et converteixes en empresari i llagues un autobús de 55 places per portar joves a esquiar al part de Candanxú. El lIaguer de I'autobús et costa 300 € amb tot inclos, conductor I gasoil. A cada viatger Ii cobres 12 € . a) Si portes 10 viatgers, guanyes o perds diners? Quants?

b) Si portes 40 viatgers, guanyes o perds diners? Quants?

e) Si omples I'autobús. Quants diners guanyes?

d) Escriu una funció que et doni els diners que cobres en funció del nombre de viatgers, i representa-la

en un pla. e) Escriu una funció que et doni els diners que et costa I'autobús en funció del nombre de viatgers, í representa-la en un pla. f) Quin significat té el punt on es tallen les dues grafiques? g) Calcula el nombre de viatges que hauries de fer per no guanyar ni perdre-hi diners.

3.1. Inequacló lineal amb dues Incognltes

Una inequació de primer grau amb dues ¡ncognltes és una expressió algebraica de la se­ güent forma:

ax+ by < e on el signe < pot ésser tambe

~, > o ~.

La solucló d'una inequació de primer grau amb dues incógnites és el conjunt de parells de nombres reals que la verifiquen , i és un semipla, que conté la recta de separació si el signe de desigualtatés ~ o ~ i no la conté si és < o > .

66

Equaclons Ilnequaclons

UNITAT 3

Procediment de resolució d'una inequació lineal amb dues Incognltes Si la inequació que ens demanen és molt senzilla, la resolem mentalment. En cas contrari, apliquem el procediment següent:

3x - 2y ::;; 4

• Resol la inequació seguant: a) SubstltuYm el signe < , ::;;, :> o par la Igualtat =.

~

3x- 2y= 4

-2y = -3x + 4 2y = 3x- 4

3

y=2 x ­ b) Representern en el pla la recta que obtenim ,

y

2

(4,4)

Taula de valors:

rn y

O

-2

4

4

Provem a la inequació del punt P(O.O) que no és a la recta. e) Provem en la mequacio un punt del pla que no estlgul a la recta.

3x ­ 2y::;; 4 Obtenim' O~4

Que és cert, lIavors és aquesta part del pla.

d) Si el punt verifica la Inequacio, la solució és el semiplá IImitat per la recta i que conté el punt oSI no la verifica, es el semipla limitat per la recta I que no conté el punt.

Com que el signe de deslgualtat és ~ J la recta també és solueló.

e) Els punts de la recta són solució si el signe de desigualtat és ~, ~ . En aquest cas, en ratllar el conjunt soludó, arribem fins a la rec­ ta. Si és < o:> , els punts de la recta no 56n solució. En ratllar el conjunt solucio. no arri­ bem fins a la recta .

67

UNITAT 3

Equaclons Ilnequacions

3.2. Sistemes d'inequaclons IIneals amb dues incognltes Apliquem el procediment següent:

a) Resolem cada inequació j les representem en els mateixos eixos de coordenades.

b) La solució és la regió del pla que verifica totes dues condicions, és a dir, la que resti dues vegades

ratllada. • Resol el sistema següent:

x+y>2

3x - y

~

}

5 ~

x+y>2

3x- y

x+y=2

3x- y= 5

y = -x+ 2, recta r

-y= -3x+ 5

5

y= 3x ­ 5, recta s Taula de valors :

rn

Taula de valors:

O 5

2 -3

rn

x

y

y

A(O, 2)

8(5. -3)

Provem (O. O):

O

-5

3

4

C(O, -5) D(3,4)

Provem (O, O) :

3x- y

x+y>2

~

5

O> 2, no la verifica.

O ~ 5. sI que la verifica.

Es I'altra part del pla.

És aquesta part del pla .

Com que el signe és >, la recta no és solució.

Com que el signe és ~ , la recta és solució.

La solució és la part del pla que esta ratllada dues vegades ¡arriba tíns a la Hnja vermella, pero no fins a la blava.

Resol 1. Representa en el pla les inequacions següents:

a)

x< 2

e) 2x - 3y

b) y> - 3

~

d) x< y

1

2. Resol en el pla els sistemes d'inequacions següents:

a) x ~

-2}

b) Yx 3} < > O

y < 3

68

.

e) y ~ x 2x - y

} ~

4

d) 3x +

x-

y < 4 }

3y

~

5

Equaclons I inequacions

UNITAT 3

4. Equacions i sistemes exponencials i logarítmics Experimenta 1. Calcula el valor de x en els casos següents sense calculadora:

d) 2" = 8

a) 2J( = 2

b) 3 x

1

=1

e) 3 x = 27 f) 10x

c) 1(Y=10

= 1 000

)')

h) 3 x = 3

k) 3x = 81

i) 1CY = 0 ,0001

2. Calcula el valor de x en els casos següents: a) log x = 6 e) log x = -2 b) log2 x= 3 d) 1093 x= -2

e) log

2J(

=-41

g) 2" = 1

1) 10x = 1 000000

x =1

g) log

f) log5 x= 1/ 5

x=O

h) 10g,12

X

=3

4.1. Equaclons ellponencials

Propietats de les potencies : Recordem les propietats de la potencia.

Bases iguals

Exponents iguals

(a · b) "

Una equacio

Casos partlculars

= a" · b "

es exponencial SI la Jncognlta aparelx com a exponent.

Per resoldre les equacions exponencials, podem agrupar-les en tres tipus:

a) Podem posar ambdós membres com a potencies de la mateixa base. Per resoldre-Ies, posem ambdós membres com a potencies de la mateixa base i n'igualem els exponents . • Resoll'equació exponencial:

2 x+2

+ 2XT 1 + 2" = 56

2. { X

I

X¿

El valor XI Solució:

= O no serveix, perque lag

O

­

=2

°

no és un nombre real.

x=2

71

UNITAT 3

Equaclons i inequacions

4.4. Slstemes d'equaclons logarfbnlques Per tal de resoldre sistemes d'equacions logarítmlques, apliquem les propietats deis logaritmes en cada una de les equacions fins a transformar el sistema en un altre d'equivalent que no tmgui logaritmes

• Resol el sistema d'equacions logarítmiques:

30 - 2}

lag log x + lag y =: 2 lag x - lag y ::; 2 lag 3

lag - lag 5

Aptiquem les propietats deis logaritmes en cada equaci6: lag (xy)

x2

lag -

y

Si x

=:

30}

10g"2

=>

32

=:

xy

30}

=:"2

32

X2

lag -

-

Y

5

=: -

5

=>

xy = 15 X2 -

Y

9 =: ­

}

=>

xy

15 }

=:

5x 2

::;

9y

=>

5

= 3, substituint a y = 15/x, tenim que y = 5.

Soluci6:

x =: 3, Y =5

"'~i:!iul 1. Resolles equacions següents: a)

3x+2

+ 3 x+ 1 +3"' = 117

b) 3 x+ 1 + 3x + 3"'-1

=:

39

1 e) _ =

32

d) 5 x

-

~-5'"

5 X- 1 + 25'"

=!5

2. Resol les equacions següents: a) 2 log x - 1 ::; lag 4x

e) log (x + 5) - lag (x ­ 3)

b) lag (3x + 5) + 1 = log (3x ­ 2)

d) L (x + 2) + L x

=2

=2 L x

3. Resol les equacions següents: a) 7'" - 6 . 2 Y

=1}

7" - 2 Y ;;:;: 41

72

b) lag x + log Y = 1 2 log x = lag (y2

}

+ 21)

Equaclons Ilnequacions

UNITAT 3

ARBRE DE CONTINGUTS

EQUACIONS

OESEGON

GRAU

S/STEMES

O'EQUAC/ONS

S/STEMES

O'/NEQUACIONS

EQUACIONS EXPONENCIALS

eOUACIONS LOGARITMIQUES

OT CIONS


Más gran que.

~

Més gran que o igual a.

ax2 + bx + e = O aJé' + bX2 + e =O

Equaci6 racional.

x +..¡;¡-;1 = 5 3x..1 + 3 X + 3 x- 1 = 39

Equació de segon grau.

log (x + 9) + log x

Discriminan!.

2x + 5> 3x - 4

=1

Equació irracional. Equaci6 exponencial. Equació logarítmica. Inequació.

Equació biquadrada.

EVlTEM ERRORS Si Ll =b 2 - 4ac < O. l'equaci6 de segon grau no té solucions reals . En les equacions irracionals, sempre hem de fer la comprovació. En les inequacions racionals, els intervals solució pels pols són sempre oberts. log x + log Y = log (xy) ~ 1~· 10" = 10X+Y log

x-

log

x Y = log ­ _ Y

1~ lOY

=10

X-

Y

73

UNITAT 3

Equacions Ilnequaclons

REPASSEM 1. Resol les equaeions següents:

a) ~ _ 2x + 3 = _~

a) x 2 + 7x + 12::: O

,

x-l

= 12

b) X2

e) 9x

2

f) X2

-

g)

X2

x-S x+ x+ 3 =1

e)

x _ 2 + x + 2 =X2

x

1 =O

-

=O

1 e) 2x _ 3 + 4

2

h) x -12x=0 2. Resol les equaeions següents:

7. Resolles equaeions següents: a) x2+2 =41 X

8x2

1

8

b) -Y-4 + --2=0 x x+

b) x+ x_3=5

x

e)

e) - - +--= 1 x+ 1 x+ 4

~+~=6 x- l

x+3

4x-7 3. Calcula el valor de k en les equaeions eonei­

xent-ne una arrel:

a)

X2

+ kx +8 = O;

Xl

=4

b) kx2 + 6x + 1 = O; Xl = 1

e)

X2 -

x- 2 3

= 2x -

400

x x9 -3= 2

a)

x

x-l - 4

3

x+ 1 2

d) - x- - x + 1 = 3x

6x + 9 = O

+ 3x - 10

2

b)

4x + 5 ::: O

X2 -

x-2

4

e) 2x 2 +7x=0

d)

6. Resol les equacions següents:

3x + k = O;

Xl

= -2

d)

x_ 1

5x - 7

+

X+"'1 = x

8. Resol les equaeions següents: a)

x+

JX+1 =5

b) 1 +X=2Jx

=1

3 = 4 - JX=2

e) 2x - J2x - l 4. Reso.l'es equacions següents: X2

+1

a) ~=LJ(3

b)

5·

x2 _ 1 + X2 + 1 = 2

5. Resol les equaeions següents: a) x 4

b)

-

d)

J4x + ·1 -

" ..2

5x 2 + 4 = O

x 4 - 7X2 - 18 = O

9. Resol les equaeions següents:

a) x6 - 9.x3 + 8 = O

b) x6 - 28.x3 + 27 = O e)

x 10 - 33XS + 32 = O

10. Resolles equacions següents:

a)

Jx+ 4

=7

x2 = 7

e) x" - 3x 2

-

4=O

b) x + J 25 -

d) x 6

-

8 =O

e) x+J5x+10=8

-

7x 3

Equacions i Inequaclons

15. Resol les inequaeions següents:

11. Resol les equaeions següents:

a) 3x + 8 < 2x - 4

a) ~ +JX:;9=5

b) e)

J x + 3 + J 2x + 7 = 5 .J x - 1 - x - 4 = 1

d) J X+3=4-

UNITAT 3

/ X-5

b) 3(x - 3)

~

2x - 6

e) 2(x - S)

~

2(x - 4)

d)

x

x

~ 2

3-"5

x+ 1 x x -1 e) 1 - - - >"2+ - 3 ­

12. Eseriu les equaeions de segon grau que tin­ guin per arrels:

6

a) 2; - 7

f) x+

b) 3; O

2 1 - 3x

s+ -

s-

~

2x - 1 - 3­

16. Resolles inequaeions donant el resultat en in­ tervals:

e) 4; -4

d) 8; -15

a) 3(x - 1) + 2(x + 2) 13. Resol els slstemes d'equacions següents: a) -1 + -1

x y

2

=5

x - 1 3x + 1 b) - 2- - - 4~ 5

}

x-1 2x - 1 e) x - - 4- + 2x < 3 - - 5­

= 10 17. Resol els sistemes d'inequaeions i dóna el re­ sultat en intervals:

b) X2 + y2 = 25}

2x - y = 3 e) X2 + y2

=

a)

8}

x2 _y2 =6

x 4 3x - 5 < 7

x = a; vr::y = b

/-

eanvl ~

b)

"1 1 eanvl X= a; = b

y

y2

{

~ + 3(x -

1) > 4

x- 2(x -

3) ~

4x

3

3(X - 1) 4(x + 1) 1 ~ 2 3 e) 2(x+ 1) 5(x-1) { 3 2 I,Ilf'/P,// TPwl.tlrp pm­ Memi's aZgebmics impartan/s, J:.'n aqupsla unital solurionn­ mil tJrob1p'/II/'s d.' n/atrma/im jinrwI'(>1'(l. (AiculaT els intPl't'ssos !Janmr;s que f'n,1 ha de donar IUI bant m dilJOsitn­ hi I'l~ r/O.~trl's rliIlP?'S, (}fIPl'mÍ/Lar eü dine/'.\ qur 17U!'1lsualme'1lt hnn d.e fJnf{aT /Jer lamar UlI f,)'é.\ler, eS/I/1l1fU quina me1/.W(I­ {¡tat ms mm l " pstalvial' PfI /JOdpr roml/tm lllllb un !'aPila[ '¡'nquí fl u ns ll1/)'S, etc. Aqul!sta. 1111'11(1 de pro/Jlnnes allt/'­ brcucs. f¿{5 q/Ull5 I'ns l'1l.frontnTz, ,Ión molt snu.¡{!:. d/' reso!dre mitjancantles progresslOns geometnque:; 1 ln suma del~ seus le7mes.

83

UNITAT 4

Matematica financera

1. Progressions geometriques Experimenta 1. Atesa la successi6 de nombres 4, 12, 36 ... , escriu els dos termes següents. Quina regla de formaci6 segueixen els termes de la successi6? 2. Un determinat bacteri es duplica per minut. Quants bacteris hi haura al cap de cinc minuts? I al cap de 10 minuts? Podries determinar una f6rmula que ens permetés calcular el nombre de bacteris havent transcorregut qualsevol nombre de minuts?

1.1. Progresslons geometrlques Una progressló geometrica és una successió de nombres reals en qué cada terme s'obté multi­ plicant ¡'anterior per un nombre constant, anomenat raó de la progressi6 .

• Indica si la successi6 2, 10,50,250.. . és una progressi6 geometrica i troba'n la ra6. Efectivament, cada terme s'obté multiplicant per 5 I'anterior. La ra6 és

r = 5.

Progressió geometrlca decrelxent És una progressió geometrica en que cada terme és més petit que I'anterior . • Calcula els 10 primers termes d'una progressió geométrica en qué decreixent. Els prlmers termes s6n: 8,4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ...

Cada terme és més petit que I'anterior. Per tant, és decreixent.

1.2. Tenne general d'una progressi6 geometrtca El terme general d'una progressió geometrica es: an = a, . ,n- 1

Atesa una progressió geométrica

a" 8:1 , ..., an , tenim:

a, 8:1 = a, . ( 8:! = 8:1 . r = a, . (2

a4 =8:! . r = a, . ( 3 a n = an_ , . r= .. , = al . r n - 1

84

a,

= 8; (= 1/2. Comprova que és

Matematlca flnancera

UNITAT 4

• Troba els termes alO ' aso i el terma general, an , de la progressi6 geométrica de primerterme. a, = 4, i ra6, r = 3.

a lO = a, ' r 10 - ' = 4'3'0-' = 4 · 3 9 ~o = a, . ,-50 - ' = 4 . 350 - 1 = 4 . 349 an = a, . r n -, ;::: 4· 3 n ­ 1 Un terme qualsevol d'una progressi6 geométrica es pot obtenir a partir d'un altre terme qualsevol per mitja de l'expressi6 am = an ' r m - n• • Troba el terme ajo . d'una progressi6 geométrica el quart terma de la qual és a4

;:::

81 i la seva ra6 és r= 3

1.3. Suma deis tennes d'una progressi6 geometrica Atesa la progressi6 geométrica

a"

~,

....

ano

la suma deis n primers termes és:

a . r- a, S =n-- - ­ r- 1

n

Demostració: Sigui:

Sn = a, +

~

+ 8a + ... + an_1 + an

Multipliquem els dos membres de la igualtat per la ra6

r.

Restant membre a membre les dues iguaitats:

Sn

r ;:::

~

+ Ba + .. . + an _ , + an + an

a1 + ~ + a3 + '"

Sn =

+

.

r

an _ 1 + an

O'on:

Sn (r - 1) ;::: an . r - a,

s = an n

.

r - a,

r- 1

• Troba la suma dais 7 primers termes d'una progressi6 geométrica el primer terme de la qual és ra6. r= 3. Primerament, trobem:

a7

;:::

5 . 36 = 3645

s, = ~ . r - a, = 3 645 r- 1

. 3 - 5 ;::: 5 465 3- 1

85

a, =5 i la

UNITAT 4

Matematiea flnaneera

Suma deis termes d'una progressió geometrica decreixent

°

En les pragressions geometriques decreixents el valor absolut de la raó es traba entre i 1 i els seus termes decreixen en valor absolut fins a esdevemr insignificants. En aquestes progressions, com que an ' r és més petit que a" la fórmula de la suma s'acostuma a escriure:

s = al -

an . r 1- r

per tal que el numerador i el denominador siguin positius. El terme an r = anterior, tenim:

a,

~ esdevé Insignificant per a valors n grans. Si substitu'im a n . r = 0, a la fórmula

s= ­1a-

r 1 1 1

• Traba la suma deis infinits termes de la progressió geometrica: 1 - , - , - ... ' 3 9 27 La raó de la pragressió és

r = ~,

per tant,

s= - al =_ 1 ·=-1 =­3 1-r

1- ~

~

3

3

2

Resol 1. De les successions següents assenyala les que són progressions geometriques i traba'n la raó: a) 1, 5. 10, 50, 55 .. . b) 3, 12,48,192 ... c) 5, 1/5, 1/25, 1/125 .. .

d) 3, 7, 15, 31 ... e)

2,2, 2j2, 4 ...

2. Atesa una pragressió geometrica en que

a,

=4 i r= 6, traba: as, a12 , an0

3 Atesa una progressió geometrica en que 8.¿ = 8 I a4 = 120, calcula an i la suma deis 25 primers termes.

4 Sigui una progressió geometrica en que pragressió.

86

a, = 10 I r = 0,1 . Calcula

la suma deis infinits termes de la

Matematica financera

UNITAT 4

2 . Interes compost Experimenta Si el banc et dóna un 3 % anual:

1. En una lIibreta d'estalvis diposites 600 € .

a) Quants diners produeix al cap d'un any sense descomptes ni retencions? b) Quants diners tlndras aleshores tenint en compte que, deis interessos produ"its, Hisenda es queda un 25%?

2. Diposites en una entitat financera 600 € durant 3 anys i et donen un 4 % d'interes anual i Hisenda s'emporta un 25% deis interessos. Quants diners tindras en acabar els tres anys si els interessos que vas cobrant anualment s'acumulen als 600 € ? Ajuda't completant una taula com la següent. Observa que si del 4 % que ens donen d'interessos, Hisenda se n'emporta un 25 %. ens en queda un 75 %, aixo és, 4 · 0,75 = 3%. Interes

Capital Inicial 600

3

2.1. Interes compost Quan dipositem una quantilat de diners en un banc, aquest ens dóna un intereso Amb els diners dipo­ sitats, el banc inverteix I negocia. Un deis seus negocis és prestar diners pels quals cobra, també, un intereso En aquest apartat resoldrem problemes de capitalització, és a dir, dipositem un capital i recollim, trans­ corregut un temps, a més del capital dipositat, uns interessos que ens hem guanyat. A I'apartat segúent veurem els problemes relacionats amb el pagament de préstecs i hipoteques. L'lnferes compost és una forma de capitalització en que efs intaressos que obtentm en acabar un perroda s'acumulen al capital per produir nous interessos en el perlode següent. El període de capltalltzacló és I'interval de temps al final del qual els interessos s'acumulen al capital. Aquest perlode de capitalització pot ser anual, semestral, trimestral o mensual.

2 .2 . Calcul de I'interes compost anual Un capital inicial. e, dipositat en una entitat financera al R% durant final:

t anys.

ens produira un capital

C=:' C(1 + ~)' 100

Si anomenem r

=:.

R/100, que és el tant per u, podem escriure la fórmula aixf:

e = c (1 + r)/ 87

UNITAT 4

Matematlca flnancara

Demostració: Dipositem un capital inicial, c, al R%. En acabar el primer any, tindrem un capital final que sera l'lnicial a més deis interessos : C + c · r = c(1 + ". Si anem completant la taula següent i observem la se va lIei de formació, ens adonarem que tenim una progressió geométrica de raó (1 + r) i com a primerterme el capital inicial c.

+ Interes

Any

Capital Inicial

1

c

2

c(l + r)

c(l + r) + c(l + r)r= c(l + r'f

3

c(l + r)2

c(l + r)2 + c(l + r)2r= c(l + r)3

c(l + r)3

...

...

..,

...

t

c(l + r) '- l

c(l + r)'-1 + c(l + r)'-1r= c(l + r)'

c(l + r)l

Capital inicial

c + cr= c(l

CapltaJ final

+ r)

c(l + r)

:~

~,

• Troba el capital final que obtenim per mitja d'una imposició de 30.000 € 5 anys. Hísenda s'endú el 25 % deis interessos. Observa que I'interes net que n'obtenim és 6 . 0,75 El capital final:

e = c(l

=--­ .--'

c(l + r)2

'=

al 6 % d'interés compost durant

= 4,5%.

+ r)t = 30000(1 + 0,045)5 = 37385,46 € .

1

3 ~8J011.04510[§J~137.385,461 1

Períodes de capitalltzació no anuals La taxa nominal és la taxa d'interes expressada en tant per cent anual. És freqüent que els interessos que s'acumulen al capital es paguin cada semestre, cada trimestre o en altres períodes de temps. En aquests casos s'ha de calcular el capital final per a aquest període atorgant a t els valors expressats pel nombre de perrodes anuals. És a dir, si es capitafitza n vegades I'any amb un redit r, essent t el nombre d'anys de capitalltzació, el capital final és:

C=

( ,)Ill

e 1 +(1

La laxa anual equtvaJent. TAE, és la taxa d'interes que produiria el mateix capital final si els periodes de capitalitzacló fossin anuals. I és:

• Calcula la TAE d'una taxa nominal del 6% si els períodes de capitalització s6n trimestrals: TAE = [(1 +

88

0,~6J -

1}100 = 6,14%

Matematlca "naneera

UNITAT 4

Quan dipositem un capital en un banc, els interessos que ens donen són beneficis que han de ser declarats a Hisenda ¡deis quals hem de pagar una parto Segons el producte financer on hagim dipositat els diners, la retenció deis interessos es fa mensualment, trimestralment o, fins i tot, després d'uns quants anys. En els fons d'inversió, Hisenda té previst donar un tractament especial a aquests beneficis. El per­ centatge que cobra depen del nombre d'anys a que hagin estat dipositats els diners.

• Troba el capital fix final que s'obté en un fans d'inversió en que s'han dipositat 18000 € al 7 % d'interas compost amb períodes de capitalització mensual durant 5 anys, sabent que, en acabar aquest període, Hisenda es quedara amb un 20 % net deis interessos aconseguits.

Capital final:

07)12 .5 e = e(1 + ñr)nl = 18000(O 1 + i2 =25517,25 €

Els interessos són : 25517,25 - 18000 = 7517,25 €

Hisenda s'emporta: 7517,25 · 0,2

= 1503,45 €

El capital final és: 25517,25 - 1 503,45 = 24013,80 €

2.3. Anualltats de capltalitzaci6

Pertal de capitalitzar-se no sempre és possibledisposard'un capital inicial prou gran. Hi ha vegades en que es vol estalviar una quantitat amb la idea de recuperar un capital determinat al cap d'uns anys. Un exemple d'aixo és un fons de pensions. Consisteix a dipositar anualment una quantitat a interas compost i, en arribar a I'edat de jubilació, tenim un capital fix estalviat. Vegem com podem calcular aquest capital.

Una anualltat de capltslltzació és una quantitat que es diposita al comenyament de cada any en una entitat financara a interes compost per aconseguir després d'un cert temps un capital deter­ minat.

El capital final que s'aconsegueixi imposant una anualitat de a pessetes, durant t anys al R % d'interas compost, és:

e = a[(1

+ r)'+ I

-

(1 + r)]

r

89

UNITAT 4

MatematJca flnancera

Demoslracló:

Anualitat en €

Anys que produehc:

Capital

1a anualilat: a

tanys

a(l + r)1

2a anualitat: 8

t- 1 anys

8(1 + r}t-I

3a anualitat:

a

t- 2

anys

penúltima anualitat: 8

2 anys

8(1 + r)2

última anualitat: 8

1 any

a(l + r)

El capital final és la suma deis capitals de cada anuaJitat i aquests formen una progressió geometrica de raó (1 + r), el primer terme de la qual és 8(1 + r} i el darrer 8(1 + r)f. Per tant, la suma sera:

e= 8(1

+ r)/(l + r) - 8(1 + r) = 8[{1 + r)I+1 - (1 + r)] (1 + r) - 1

r

De vegades I'anualitat a pot lIIurar-se mensualment, trimestralment, etc. En aquest cas hem de tenir en compte el que hem assenyalat en I'apartat anterior. • Un treballador comenca un pla de pensions als 35 anys amb quotes mensual s de 100 € . amb el banc li garanteix un 8 % d'interes De quin capital disposara als 65 anys? Com que les quantitats es paguen rnensualment:

)I2J

r )12(1 1) - ( 1 + - r 8 [( 1 + C= 12 . 12

r

12

100

=

[( 1 + -0,08)12(30+1) ( 0,08)12J - 1 + -­ 12

12 0,08 12

El seu contracte

= 161405,85€

Resol 1. Traba el capital final obtingut mitjanyant un díposit de 12000 € al 3,5 % d'interes compost amb períodes de capitalització trimestral durant 2 anys, sabent que Hisenda reté el 2,5 % deis interessos a cada pagament. 2 . Dipositem en una lJibreta 12000 € al 3,5 % d'interes compost amb períodes de capitalització mensuals. Sabent que Hisenda reté el 25 % deis interessos a cada pagament, calcula el capital final que obtin­ drfem al cap de sis anys. 3. Calcula el capital que obtindrem després de 15 anys si anualment dipositem 1 500 € 5,75 %. Hisenda reté el 25 % deis interessos a cada pagamento

amb un interes del

4. Una persona necessita un capital de 18000 € per invertir en un negoci oSi anualment és capae d'estal­ viar 720 € , quants anys transcorreran per obten!r el capital desitjat si en el banc Ii garanteixen un 5,5 % d'interes compost? Hisenda li reté el 25 % deis interessos finals.

90

Matematica flnaneera

UNITAT 4

3. Credits i hipoteques Experimenta 1. Ens presten 1 200 €

a un 12 %. Quant hem de tornar?

a) Si el retomem en un sol pagament després d'un any. b) Si el retomem en un sol pagament després d'un parell d'anys. 2. Ens presten 500000 € al 9 %, que hem de tornar en 4 anys, de manera que cada any paguem els interessos del que devem a més d'una quarta part del capital prestat. Completa la taula següent per resoldre I'exercici:

Pagament d'interessos + Pagament de capital = Pagament anual

Capital pendent

Anys

500000

1

500000 009

125 000

=:

=

Deute pendent

1 70 000

375000

.L

2 ;;=-.

Ii

~

3 ~o::

4

.1

I[

Un problema relativament treqüent és haver de demanar diners prestats per afrontar unes despeses. Quan es demanen diners a una entitat financera per comprar una casa, el crédit s'anomena hipotecari. Si el eradit és per a una altra mena de des pesa s'anomena personal. El pagament d'aquests deutes rep el nom d'amortització del deute o préstec. L'amortització d'un préstec es pot fer de diverses maneres.

3.1. Amortitzacl6 d'un préstec mlt,lan9ant un únic pagament final El capital que hem de pagar d'una quantitat que ens han prestat, e, a un R% d'interes durant t anys, amb un únic pagament final és: 0= c(l +

rr.

• Ens han prestat 1 000000 € tomar?

al 8,5 % d'interes que hem de pagar en 3 anys. Quant hem de re­

0== c(1 + r)t == 1000000(1 + 0,085)3 == 1 277289 € Els bancs acostumen a cobrar, quan concedeixen un préstec, unes comlssions d'obertura, estudi, assegurances, etc. • A quant puja el pagament total del préstec de I'exemple anterior si en concedir-Io ens cobren un 0,5 % de despeses sobre el capital prestat? Despeses: 1 000000 . 0,005 == 5000 € Si el deute total pagat era de 1 2n 289 € , tindrem que el préstec ens va sortir per 1 282289 € .

91

UNITAT 4

Matematica financera

3.2. Amortitzacl6 d'un préstec mitjanc¡ant pagaments anuals iguals

Una anualitat d'amortitzacló és la quantitat que s'abona al final de cada any a un banc per pagar amb aquesta I amb els seus interessos compostos I'import del deute I els interessos compos­ tos recarregats . La representem per a.

L'anualitat a, que s'ha de pagar per tal d'amortitzar un deute D al R% d'interes compost durant t anys, és:

0(1 + r)1 r r)-'-'--'--1

a = -( l--'+-

Demostració En primerlloc, el deute real , 0r' que s'ha de pagar, és el deute D a más deis interessos compostos, ás a dir, Dr 0(1 + r)t.

=

En segon lIoc, les anualitats que anem pagant generen uns interessos compostos que, juntament amb I'anualitat, paguen el deute:

Anualitat en €

Anys que produeix

1a anualitat: a; 2a anualitat:

t ­ 1 anys a(l + r)' -2

a t- 3 anys

3a anualitat a

penúltima anualitat: a euros

a(l + r)

1 any

a

última anualitat a euros

La quantitat total pagada en els t anys és la suma deis termes d'una progressió geometrica de raó ' . a(l +r)f- l(l +r)-a_a(l +r)t- a _ a[(l +r)I-1 J (1 + r. ) A questa suma es. (1) 1 . +r r r I com que la quantitat total pagada és igual al deute real que el banc cobrara, tenim:

D(l + r )

92

' = a[(1 +

ry r

1J ~

a

= D(l + r)t r

(1 + r)/ - 1

Matemiltlea 'Inaneera

UNITAT 4

• Calcula I'anualitat d'amortització que s'ha de pagar per retornar 5 000000 € al 9 % d'interes compost durant 10 anys.

a = 0(1 + r)/r = 5000000(1 + 0,09)10 . 0,09 = n91 00 € (1 + r)l - 1

{1 + 0,09)10 - 1

De vegades I'anualitat 8 pot lliurar-se trimestralment, mensualment, etc. En aquest cas, hem de tenir en compte el que hem dit en els apartats anteriors. • Calcula la mensualitat d'amortització que s'ha de pagar per retornar 1 000000 € al 8 % d'interes com­ post durant 10 anys.

r )12/ r O( 1 + 12 12 a= (

1+

1~

)12/

1 000000 ( 1

0,08)12 '10 . 0,08 + 12 12 (008)12 10 1 + -~-2- 1

= - 1

= 12133€

Generalment, aquests calculs esta n resolts pels bancs i recollits en una taula. Tot seguit adjuntem la taula de les amortitzacions mensuals per milió i els anys que caldria pagar per a préstecs hipotecaris.

Taula de quotes mensuals per 1 000 € i any, per a amortltzacions de credits hipotecaris 5

18,19

6 15,19 15.31 15,42

18.30 18,42 18,53

15,65 15.76

17,97 18.08

111,84

7,00 7,25 7,50 7,75 8,00 8,25

8,50

18.76 18,87 18.99 19,10 19.22 19,33 19.45 19,57 19.68 19.80 19,92 20.04 20,16 20,28 20,40 20,52 20,64 20, 76 20.88 21 ,00 21,12 21,2.5 21 .37 2 1.49 21.62 21,74

15.53

15.87 15,99 16,10 16.22

16,34 16.48

16.57 16.69 18.81 16.93 17.05 17~7

17,2.9 17,41

17.53 17,66 17.78 17,90 18.03 18.1 5 18.27 18.40 18,5.3 18.65 18.78 18.91 19.03

7 13,21 13,33

13.44 13.55 13,67 13,78 la,90 14.02 14. 13 14.25 14,37 14.49 14,61 14.73 14,85 14.97 15.09 15,22

15.34 16,46 15.59 15,71 15,84 15,96

16,09 16.22 16,34 1 47

16.80 16.73 1 .86 16,99 17.12

8 11,73 1 1,84 11,96 12,07 12, 19 12,31 12,42 12,54 12,66 12,78 12,90 13.02 13,1 4 13,26 13,39 13,51 13,63 13,76 13,88 14.01 14,14 14,26 14.39 14.52 14,65 14,78 14,91 15.04 15, 17 15,31 15.44

15,57 15,71

9 10,sa 10.69 10,81 10,92

11 .04 1116

11 ,28 11.40 11.52 11,64 11 ,76 11.88 12.01 12,13 12,25 12.38 12,51 12.63 12,76 12.89 13,02 13.15 13,28 13,41 13,54 13,68 13.81 13,94 14,08 14.21 14,35 14.49 14,63

10 9,66 9,n 9,89 10,01 10,12 10.24 10.36 10,48 10,61 10,73 10,85 10.98 11 ,10 11,23 11,35 1148 11,61 1174 11 ,87 12.00 12.1 3 12.27 12,40 '2,53 12,67 12.80 12.94 13.oa 13,22 13.35 13,49 13.63 13,78

11 8,90 9,02 9.14 9.26 9.38 9,50 9,62 9,74 9.86 9.99 10,11 10,24 10,37 10.49 10,62 10.75 10,88 11 .02 11.15 11 ,28

11,42 11 .55 11 ,69 11,82 11 .96 12.10 12,24 12.38

12.52 12.66 12.80 12,95 13,09

12

13

14

8 ,28

7. 75 7,87

7,30

8.40 8, 51 8,63 8,76 8,66 9,00 9,12 9,25 9,37 9,50 9,63 9,76 9,89 10,02 10,15 10,28 10,42 10,55 10,69 10,82 10,96 11 ,10 11,24 1',SB

11.52 11,66 11,81 11.95 12.10 12,24 12.39 12.54

7.99

7.42 7,54

8, !1 8,23 8,35

7,66

a.4a

8,03 8,16

8,60 8,73

7.78 7,91

8,29

8 ,86

8.42

8,t/9 9,12

8 ,55

9,25

9,38 9,51 9,65 9,78 9,92 10.05 10,19 10,33 10,47 10,61 10,75 10,90

11.04 11,1 9 11,33 11 .48 11.63 11,78

11.92 12.08

8.68 8,81 8,95

9,08 9,22 9 ,35 9,49 9.63 9.77

9.91 10.00 10,20 10.34 10,49 10.64 10,78 10.93 11.08

11.23 11,38 1154 11.69

15 6,91 7,03 7.15 7,27 7.40 7, 52 7,65 7 ,78 7,91 8,04 8.17 8.44 8,57 8.71 8.85 8,99 9.13 9.27 9,41 9.56

16 5,56 6,69 6,81 6,93 7.06 719 7,32 7 45 7,58 7.71 7.84 7,98 8.1 1 8.25 B.39 8.53 8,67 8,81 8. 96 9.10 9.25

9.70

9.40

9 ,85

9.54 9.69 985 10,00 10.15 10,30 10.46 1M2 10.n 10,93 " ,09

8.30

9,99

10,14 10.29 10 ,44 10.59 10.75 10.90 11.05 11.21 11 ,37

17 18 6,26 6.00 6.39 6,12 6,5 1 6,25 6.64 6,37 6,76 6,50 6,89 6,63 7,02 6,76 7 16 6.90 7.29 7,03 7 42 7.1 7 7,56 7, 30 7.69 7 44 7,63 7,58 7.97 7 72 8.1 1 7,87 8.25 8.01 8.40 8,16 8.54 8,30 8.69 8,45 8,33 8.60 8.98 8,75 9, 13 8,90 9,28 9.05 9,43 9,21 9,59 9.36 9,74 9.52 9,90 9.68 10.05 9,84 10,21 10,00 10,37 10.16 10,53 10,32 0.69 10,49 10.85 10.85

93

19 20 5.76 5,55 5.88 5,67 6,01 5,80 6. 14 5.93 6,27 6.06 6.40 6,19 6.53 6,33 8.67 6,46 6 ,80 6.60 6,94 6,74 7,oa 6. 88 722 7,02 736 7,16 7 50 7.31 765 7,46 779 7.60 7.94 7.75 8.09 7,90 8,24 8.06 8.39 8,21 8,55 8.36 8.70 8,52 8,85 8,68 9.01 8.84 9. 17 9,00 9,33 9 ,16 9,49 9,32 9,65 9,49 9.81 9 ,65 9.98 9.82 10.14 9 ,98 10.3110,15 10.4-7 10,32

UNITAT 4

Matematica flnancera

• Calcula la mensualitat d'amortització que s'ha de pagar per retomar 8000000 € compost durant 10 anys.

al 6,75 % d'interes

Si ens fixem en la taula observarem la intersecció de la fila del tipus del 6,75% amb la columna deis 10 anys i trobarem 11 482 € . Com que la taula ens dóna la mensualitat per milió i hem demanat 8000000 € , haurem de pagar 11 482 8 = 91 856 € al mes. Actualment, els bancs concedeixen hIpoteques i ofereixen als seus clients dues possibifitats de con­ tractació. Una manera consisteix a mantenir I'interes fix alllarg del temps que dura la hipoteca. Aquesta és la modalitat com s'han resolt els exercicis d'aquest apartat. Una altra és que ¡'interes pot variar segons l'evolució del preu del diner en el mercat. Aquest preu el fixa el Sanc d'Espanya i si baixa, aleshores els interessos han de baixar i viceversa. Quan es contracta una hipoteca d'aquesta manera, en el cas que ¡'interes es modifiqui. el banc canvia la mensualitat d'amortització d'acord amb el que s'ha pagat fins aquell moment.

Resol 1. Calcula la mensualitat d'amortització que s'ha de pagar per retomar 7000000 € compost durant 15 anys. ¿

Durant quants anys haurem d'estar pagant una hipoteca de 6000000 € la mensualitat que podem pagar és de 32402 € ?

al 7,25 % d'interes

al 6,50 % d'interes compost si

3. Calcula I'anualitat d'amortització que hem de pagar per un préstec hipotecari de 4000000 € d'interes compost durant 8 anys. 4 QUin deute s'amortitzara mitjanyant el pagament de 5 anualitats de 300000 €

al 6,5 %

al 7 % anual?

5 Quants anys seran necessaris per retornar un préstec de 3 500000 € al6 % si les anualitats que podem pagar s6n de 15000 € ? 6. Per comprar I'equip informatic d'una empresa hem demanat un cradit de 500000 € al 5,75 % d'interes compost. Quina quantitat haurem de pagar trimestralment durant 2 anys per retornar el deute?

J

Matematlca f1nancera

UNITAT 4

ARBRE DE CONTINGUTS

ANUALlTAT

DE

CAPITALlTZACIÓ

ANUALlTATS

D AMORTfTZACtÓ

NOTACIONS

al

Primer terme d'una progressió

an

Terme general d'una progressió

n

Nombre de termes.

r

Raó d'una progressió geométrica.

Sn

Suma deis n primers termes d'una progressió

S

Suma deis infinits termes d'una progressió de raó,

e

Capital final.

e

Capital inicial.

R

Redit en tant per cent.

r

Redit en tant per u, r = R/100.

O

Deute.

Dr

Deute total.

a

Anualitat o mensualitat.

t

Nombre d'anys.

Irl
1, la funció és creixent i si O < a < 1, és decreixent.

f) Si a > 1, és convexa, és a dir té la forma

íi

i si O < a < 1, és concava, u.

2.8. Funclons trigonometrlques Funclons trigonometrlques O'

1. Observa el dibuix següent. Considerem I'angle 0:. Completa la taula següent prenent cada quadre cam a unitat. Per trobar la hipotenusa de cada triangle rectangle , aplica- hi mentalment el teorema de Pitagares. Triangle

OAA '

Catet aposat '/

{ Q

A

Hipotenusa

8

e

D

Catet opasa! Hipotenusa

5

4

"5 = 0,8

. . catet opasat ? S'obte sempre el matelx valor en les raons: h. Ipotenusa 2. Dibuixa un triangle que sigui a la vegada rectangle i isosceles. a) Quant fa cadascun deis seus angles? b) Si la hipotenusa fa 1 m, quina mida té cada catet?

135

UNITAT 6

Funcions

Mesura d'angles Els angles es poden mesurar en graus sexagesimals o en radiants. Unitats sexagesimals: 1 recte

= 90

1" = 60'

l ' = 60/1 1 rad

=57

0

17' 45"

Un radiant o radian és la mida de I'angle I'are del qual és Igual

que el radi amb que es tra98 aquest are; fa aproximadament 57 I es

representa per rad.

Per passar de graus a radiants, multipliquem per

~ ~~~, I per passar de radiants a graus multipliquem

0

180 per - - · 7t rad nJ2 = 90°

• Quants radiants són 210°? oo

o JI rad 21 O ~ 7n 210 . 1800 = 180" n rad = 6" rad

11

o

o

1\)

~ ~H+';'->--'----1~ ~

• Quants graus s6n

~

oo

5n

3" rad? 0

5n rad " 180 = 5 · 180" = 3000 3 1< rad 3

3nJ2 = 270·

Definlclons Les raons trigonometriques s6n les raons entre els costats d'un triangle rectangle 1 posen en relació els costats amb els angles.

Sinus d'un angle :t és la raó entre el catet oposat a I'angla i la hipote­

nusa.

sin x =

catet oposat ¡ . = sn hipotenusa

Cosinus d 'un angle nusa.

cos

"1.

"1.

'l.

catet contigu = h" t = cos IpO enusa

= -ab

Cosecant = cosec

'1.

1 = - .­ sin :t

és la raó entre el catet conligu I la hipote­

e

'Y

=-

a

Secant

1

= sec x = cos - ­

"J.

Tangent d ' un angle :t és la raó entre el catet oposat i el catet con­

tigu .

tg :t

b catet oposat = catet =- tg :L = -e con1igu

136

Cotangant

:=;>

cotg :t

1

= ­tg

C(

Catet contigu

Funclons

• Calcu lem les raons trigonometriques de I'angle dibuix:

.

sin

4

':X

=5

cosee

5

IX

= '4

Ci.

3 5

eos

C(

= -

sec

C(

= 3"

del triangle rectangle del

tg

5

UNITAT 6

C(

cotg

4 3

=­

3

(X

= '4

Calculadora Tenim dos ti pus: DEG: Treballa amb graus sexagesimals. Generalment s'obté prement 11 MODE 11]]1 i a la pantalla apareix una D. La tecla de graus, minuts i segons es ~.

Ir

RAD: Treballa amb radiants . S'obté, generalment, prement MODE

[[§JIi apareix a pantalla una R.

Les tecles de les raons trigonometriques són: sin- 1 a == arc sin

(X ;

cos- 1 a == arc cos 1l:;

tan- 1

(X

== are tg

(x .

Introdu'lm primer la raó trigonometrica i després I'angle. A les calculadores antigues s'introdueix primer I'angle i després premem la tecla de la ra6 trigonometrica. S6n les que ens donen el valor de la raó trigonometrica en fundó de I'angle.

y= sin x

y

=cosec x

y = cos x

y= sec x

y= tg x

y= eotg x

Trets generals de les funcions trigonometriques a) La característica fonamental d'aquestes funcions és que són periOdiq ues; el període de y = sin y= cos x, y= sec x i y = cosec xés 2n i el període de y = tg x i y= cotg xés n.

137

x,

UNITAT 6

b) Les funcions y Les funcions Les funcions iguals a 1.

FuncJons

= sin x y = tg x

y = sec x

= cos x estan compreses entre -1 i 1. y = cotg x adopten tots els valors reals.

y

y = cosec x formen tots els valors menors que o igual s a -1 i superiors o

Funcions inverses de les trigonometrlques Són les que ens donen el valor de I'angle en funció de la raó trigonometrica.

y = are sin x

y = are eos x

-

(

y= are tg x

y = arc see x

5

3lI12



y = are t9 x

)(

>


a.

+2

a) Completa la taula següent: y

100

1 000

10000

100000

1000000

x

10000 1000000 990002

b) Quan

x es fa molt gran, aixo és,

tendeix a I'infinit, quin valor creix més de pressa,

c) A quin valor creus que tendira la funció f(x) =

Jé3 - x2 + 2 quan x

->

Jé3 o

X 2?

+ oo?

2.1. Límlts determinats I Indetermlnats Hem vist que una funció és continua en el punt x

=

a quan lim f(x)

=

f(a). Per tant, si ens donen una

X ~ 8.

funci6 contínua i volem trobar el límit en aquest punt quan x

->

a, n'hi ha prou de calcular f(a) .

Si la funció no és contínua en el punt x= a i volem calcularellfmit en aquest punt, hem d'acudir a certes regles que ens permetin calcular el límit, si és que n'hi ha, d'una manera comoda.

Un límit és determinat si és un nombre real o bé és - oc, o + oc. Altrament, ellímit és indelermi­

nat.

Hi ha set tipus d'indeterminacíons:

a) ­

o

b) 'x

O

160

d)

O , oc

e)

V

f)

o

g)

0°

Lfmlts i continuttat

UNITAT 7

2.2. Lim its de funcions polinomiques

a) Límlt quan x

-+

a

Com que les funcions pollnomiques són sempre contín ues. el

11m f(x) = f(a). Per calcularellímit. trobem el valor de la funció en

x

8

el punt fea) .

x~ 2

lim (x3

x ,.2

-

X2 -

4x)

x

= x3 -

• Calcula el lim f(x) essent f(x)

= 23 -

22

•

Ji2 - 4x. 4 ,2

-

= 8 - 4 - S =- 4 p(2, -4)

x -+

b) Límit quan

:1:00

Un p linomi. quan x -T ± CCi. és equivalent al terme de más grau; comparativament, la resta de termes són molt petits i els podem negligir. En efecte:

, axm + bx 11m

x-a:.

= co

m- l + ex

m -2

m(a + -b+ - e

00 2

00

3 + .. , + k = l'1m x +d 'vmA x..... co

+-

m(a + -bX + -X2e + -xd3 + .. , + -xm k ) ==

d + .. , + -cok) = oo (a + O + O + O + , .. + O) =

00

m

3

00

• Calcula el Ifmit de: lim 3x" -

x

Im x-'

= + 00

x-

ja que, per a valors x >

el numerador és positiu

i el denominador lambé.

x2 - 2x + 1 O . .2 A"- -

1

=­ O

El numerador i el denominador són divisibles per x - 1. lim x2 - 2x + 1 = Iim (x - 1)2 = lim x - 1 )(-1 X2 - 1 )(- 1 (x + 1 )(x - -t ) x-·' x + 1

b) Límit quan x

~

x

lim ",.

00 , 00

~=

= ---,--;H--.==x O

2

:00

Sigui una funció racional f(x) la forma

=

=Pq((x)x) . En calcular el xlimoc f(x) ==

lim p((X)) , obtenim una indeterminació de qx

X _+oo

x tendeix a més infinit.

lim ((x)

Límít quan x ---> a de la funció f(x).

lim f(x)

Lfmit quan x ---> a + de la funcló f(x) .

x- a ;e-8

lim f(x)

x-a -

Límit quan

x

---> a- de la funció f(x) .

EVlTEM ERRORS En les funcions entera i decimal, quan el nombre és negatiu, tenim: Ent (-5,23467) = - 6

Dec (-5,23467)

= -5,23467 -

(- 6)

= 0,76533

Quan calculem un límit, hem d'escriure el slmbol lim en tots els passos intermedis del procés del X ~8

calcul. Quan calcu lem un límit i és infinit, hem de determinar el signe fixant-nos en la funció .

~ = O i no ho podem confondre amb ~ ..... ± OO, ni amb~, que és indeterminat. Una successió és una funció discreta que només esta definida per a valors enters positius, per tant, no té sentit calcular ellímit d'una successió quan n ---> ';"00 . Menys infinit, - 00, i més infinit + 00 , no són nombres reals. Una funció racional és discontínua en els valors que anul·len el denominador, i la discontinu'ítat pot ser evitable si també anul·len el numeradoro bé de primera especie si tan sois anu l·len el denominador; en aquest darrer cas tenim una asímptota vertical.

167

I

Límits 1contlnu'l lat

UNITAT 7

5. Donada la f(x) representada en la gratica, cal­ cula: lim f (x), lim f(x), lim f (x) , lim f(x) ,

RE PASSE M

)(

1. Digues en quins punts és discontínua la grafi­ ca següent:

- 00

X

+ 00

J(

x -,. ,.

1-

lim f(x) , lim f(x) i lim f(x). Té algun punt

x - - l -

x - - 1"+

x - o

de discontinui tat?

x

( 2. Representa la funció següent i estudia la seva dlscontinuTtat.

f(x) == {x + 1 )(2 + 2

x

si si

~ 1

- 00

x - +co

x> 1

x • 1-

x- +

X- - r,r

x - - 1+

)( -. - 1-

f(x), lim f(x) , lim f(x) i lim f(x) . Té algun

3. Donada la f(x) representada en la grafica, cal­ cula: lim f(x), lim f (x) , lim f(x), lim f(x), x_

6. Donada la f(x) representada en la gratica, cal­ cula : 11m f(x), lím f(x) , lim f(x) , lim x - ox - o+ punt de discontinu'ltat?

x- o

x - 1+

11m f(x) , lim f(x) i lim f(x) . Té algun punt x_ o+ x o de discontinu'ltat? x- o-

1

x

7. Donada la f(x) representada en la grafica, cal­ cula: lim f(x) , lim f(x) , lim f(x), lim f(x), x_

4. Donada la f(x) representada en la grafica, cal­ cula: lim f(x) , lim f(x), lim f(x), lim x -

- '1J

x -. +:r

)(

~

x _ + c:c

-00

Ji -

)( .....,. - 3+

r

x- o

- x

x 8. Estudia la continuHat de les funcions:

a) f(x) = ­

168

1+

lim f(x) , lim f(x) i lim f(x) . Té algun punt x -ox- o+ x- o de discontinu'itat?

f(x), lim f(x), lim f(x) i lim f(x) . Té algun

x ox - o· punt de discontinu'itat?

x . ,-

6

x-4

b) f(x) = ­

x x-2

Lfmits I contlnuilat

9. Representa la funció, estudia'n la continu"itat i calcula: 11m f(x), lim f (x) , 11m f(x), lim x _ -ce

x-

X

+ 00

2-

f(x) , lim f(x) , li m f(x) i lim f(x) de: x_o-

x-o

x _o+

4

x + quan x< f(x) = >f­ { "4 qua n x ~ 2

c)

x - 2.....

2}

10. Es defineix la funció part entera i la represen­ tem per y = Ent (x) , o y = [ x] , o y= E(x) , a la funció que assigna a cada nom­ bre la seva part entera. Representa la funció i digues els punts en que és discontrnua.

l im~

x- o x + 4

d) lim x+ 3

x- o x2

, 2x - 5

e) 11 m - ­ x ·o

r

15. Calcula els límits següents: X2 -

3x

a) )~~ 4x2 _ 8

x3 - 5x b) )~m 8x2 _ 7

11. Es defineix la funció part decimal i la repre­ sentem per y= Dec (x) , a la funció que assig­ na a cada nombre la seva part decimal. Tenim que Dec (x) = x - Ent (x) . Representa la fun­ ció i digues els punts en que és discontínua.

UNITAT 7

x2 -4

e) lim ..3 JI -

)1[ -

+

4

· 2x+ 1 d) l1m - ­ X - -

3x - 2

12. Representa graticament i estudia la continu'j­ tat de les funcions següents: a) f(x)

= [x9

b) f(x) = [2x]

- x2 + 4

· f) l1m

4x + 1

JI- - te

13. Calcula els límits de les successions se­ güents: a) lim (n 3 n~

b)

-

16. Calcula els límits següents:

x2 - 1

a) liml ){> _ 1

n 2 + 2)

+«l

b)

lim 3ri - 2n + 3

+ OC 3n - 5

IJ -

r

4x + x2

xl..';1 r + 5x2 X2 -

e)

lim

.Á

2

4

x-.j2 )1[­

17. Calcula els segOents límits:

d) lim 2n + 8 n _ + :

1 són iguals,

Límlts I continuitat

UNITAT 7

INFORMÁTICA: DERIVE

EXPERJMENTA 1. Calcula ellfmit seg üent i dibuixa la funció cor­ responent per comprovar en la grafica el valor obtingut.

. 4x+ 2 lIm - ­

x - 3 X2 + 1

Solució: Escrivim al menú Álgebra la fun­ ció: (4x + 2)!(x " 2 + 1) Escollim ltm i en el punt posem 3, pre­ mem Simplificar i ens dóna 7/5. Marquem la funció inicial i la representem . Comprovem que per a x = 3. Y =7/5.

2. Calcula ellfmit lateral per I'esquerra de la fun­ ció f(x) = ~ quan x tendeix a zera. Després

x

representa la funeió per comprovar ellímit.

Solució: Eserivim al menú Álgebra la funció.

És discontínua a x = - 1, on té una disconti­ nuTtat de cinc unitats de salt.

APREN Amb DERIVE podem calcular límits en punts fi nits o en I'infinit. Té tres opcions: 80th, per a tots dos, Left per a lateral per I'esquerra i Right per a lateral per la dreta. També podem repre­ sentar la fundó corresponent a fi de comprovar el valor del límit que hem calculat. Per saber si una funció és eontínua hem de representar-la i, quan veiem la grafica, decidirem si ho éso

floor(x) és la funció part entera. Per tant, la part de decimals és: x - floor(s). sign(x) és la funció signe de

X.

La funció chl(a, x, b) assigna el valor 1 dintre de I'interval (a, b) i O fora; és molt útil per repre­ sentar funcions definides a trossos.

1Ix" 2 Escollim 11m i en el punt posem O, mar­ quem la casella Esquerra, premem SimplifI­ car i ens dóna ct) . Marquem la funció inicial i la representem. Comprovem que per a x = 0-, y -> oo .

3. Representa la funció següent i estudia la seva eontinu"itat:

f(x) = { x + 4

si

x2 - 3

SI

ACTMTATS

1. Dibuixa les funeions següents i calcula'n el domini de continuHat:

a) y

= x 3 - 2x2

X

+3

e) y = Ent(x)

1

b) Y =

d) y= Dee(x)

x_2

x ~ -1 > -1

e) y = signo(x)

X

Solució; Escrivim al menú Álgebra la funció. (x + 4)chi(-oo, x, - 1)+(x " 2 - 3)chi(-1, x, +

-

f) ((x) = {::

~ :x

:: :

~~

)

2. Calcula els límits següents i quan no siguin úníes calcula els límíts laterals. Després di­ bulxa la funció corresponent per eomprovar a la grafica el valor obtíngut. Calcula també les asímptotes en cada un d'ells:

4

1 2

..o¡

-11

-3

-2

-1

1

t

3

..

lim (_x 3

a)

x _+~

-

3x2 + X + 3)

-1 .

-2

-3 .

b) lim x

1

x+2 X2 -

e) lim x- 3



1

4~ +2 x +

1

d) lim X2 -2 2x + 1 x-1 X - 1

173

UNITAT 8

Derlvades

UNITAT

••

Derivades

Sistema olar.

174

De Y - 3

=2x - a => y = 2x -

4

5

177

..x

UNITAT 8

Derivadas

b) Interpretaeló física de la derivada

La derivada d'una funció e ~ f(/), que descriu I'espai recorregut en funció del temps, en un punt, és la velocitat Instantanla o velocitat en aquest punt.

Efectivament, tenim que la TVM en I'interval [10 , to + h] és: t + h] = f(ta o' o

TVM [ t

+ h) - f(to) h

que és I'espai recorregut, f(fo + h) - f( fa) , en el temps h dividit entre el temps que ha trigat, h; és a dir, la velocitat mitjana en el temps h. D'altra banda, la derivada de f(t) en t = to és ellímit de la TVM [10, 10 + hJ quan h la velocitat mitjana quan h -+ O I aixo és la velocitat instantania, o velocitat.

O; és a dir, el lfmit de

-+

• Suposem que I'espai en metres, en funció del temps en segons, que recorre una moto quan arrenca, ve donat per la fórmula e = (2 . Troba la ve locitat a I'instant t = 3 segons.

f '(3)

= lim

(3 + h) - f(3)

h

h - O

= lim

2

(3 + h)2 - 3 = lim 9

h-O

h

+

6h

h- O

+

h

2 -

9

=

h

= ,.1m h2 + 6h = l'1m (h + 6 ) = 6 h~O

h

Per tant, per a t = 3 s tenim que

h_ O

v = 6 mis.

1.4. ContinuTtat i derivabllitat y

a) Per tal que una funció sigui derivable en un punt ha de ser contínua, ja que, si no ho és, no té sentit trobar la TVM en un interval que conting ui aquest punt.

y = 4+ Ix- 31

b) Una funció pot ser contrnua en un punt i no ser derivable. Per exemple, si té una dent de serra, és a dir, un pie. Si a la funció del dibuix del marge trobem la derivada abans del punt P, veiem que el pendent és - 1, i si la trobem després és 1; pero, que passa en el punt P? Dones que no podem dlbuixar la recta tangent i, en conseqüEmcia, no existeix la denvada en aquest punt. e) La idea grafica d'una funció variable en un interval és la d'una corba contrnua que no té pies.

178

x

Derlvades

UNITAT 8

Funció derivada La funció derivada d' una funci ó y = f(x) és una funció que assocía a cada valor de la variable x el valor de la derivada en aquest punto La represente m per f '( x ) o per y ' i ve donada per: f '(x) = lim f(x + h) -

f(x)

h

11-. 0

La funció derivada té una gran util itat per dues raons: a) Quan volem calcular la derivada d'una funció en diversos punts_ Si obtenim I'expressió general de la funció derivada, només haurem de substituir-hi els valors de la x que vu lguem trabaro b) Quan coneixem el valor k de la derivada i volem trobar el corresponent valor Xo

En aquest cas, eserivi m la funció derivada igualada a k i resolem I'equació resu ltant.

=

• Calcula la funció derivada de y x2 , tot seguit calcula la derivada en els punts valor de x per tal que la derivada sigui 5.

a) f

'() X

1°

= 1m

f(x + h) - ' (x)

h

h - O

:=

l1m 2xh h+ h o

11_0

2

:=

'0

1m

(x + h? -

X2

h

,.,~ O

= hl'1mo (2x + h) =

Per tant, la funció derivada és "(x)

:=

10

1m

X2

h ~O

+ 2xh + h h

2

-

x2

x =3, x =-1

=

2X

= 2x­

b) Per a x:= 3 => "(3) = 2 . 3 = 6.

e) Per a x= -1 d) f'(x) = 5

.;o>

=:>

f'(- 1)

=2 · (- 1) = - 2.

2x = 5 => x

-=

5/2.

Resol 1. Calcula la TVM [2, 5] en les fun cions següents: a) f(x ) = 3x + 4

b) f(x)

= X2 + 3x -

e) f(x)

3 =2 x+

1

2. Calcula, aplicant la definició, la derivada en x := 1 de les funeions següents. a)

y = 12x - 2

b) Y = 25 -

e) y

=x

3

X2

+2

3. En quin valor de x la derivada de la funció f(x) 4. Calcula la recta tangent a la corba y

-=

X2 -

= = 2x 2 -

2x + 5 es fa igual a 2?

4 en el punt x := 3.

179

i després el

UNITAT 8

Derivades

2. Regles de derivació Experimenta ._____________ 1. Completa la taula següent i expressa una regla per calcular la funció derivada de f (x) = x n , essent n un nombre enter diferent de -1 .

f(x) f '(x)

2 . Completa la taula següent i expressa una regla per calcular la derivada de f(x) = 3x n .

3x3

3. Podries generalitzar una regla per calcular la derivada de f(x) = kx n , essent k un nombre real?

4. Sigui f(x) = x 4 i g(x) = 2x 2 • Considerem la funció h(x) = f(x) + g(x), sabent que h '(x) expressa una regla per a la derivada d'una suma de funcions.

= 4x3 + 4x,

2.1. Taula de derivades En els exemples anteriors hauras comprovat que per a algunes funcions és relativament senzill calcu­ lar la derivada d'una funció en un punt. Per a d'altres no ho és tant i, en qualsevol cas, sempre es triga un temps que és necessari economitzar. Per a aixb, disposem de certes reg les que ens permeten calcular comodament les funcions derivades de les funcions elementals.

Regla de la cadena Aquesta regla ens permet calcular la derivada de la funció composta, és a dir, la derivada d'una funció que, al seu torn, és funció d'una altra.

(f o u)'(x ) = f'( u(x )) u'(x )

Derlvades

UNITAT 8

Taula de derivades

Les lIetres ui v representen funcians a x, y = u(x ), y:= v(x); escrivim namés u i vper camaditat. La lIetra k representa una canstant. Funció

Derivada

Exemples

Constant

y= k

y' = O

y=5

Y' =0

=1

y=x

y' = 1

Identifaf

y=x

y'

Potenclals

­ !~ Y -"

y' = mx m- 1

y=

Y = mum-,u'

y= (3x+

u'

y ' = --=

y=

x4

y' = 4x'l

Sr

f9X

2"\1 u

y= 5¡7x

y'

=21 (3x + 5)6

(

Y

9 :=

2,,19x

'

7

Y =S-V(7X)4

Exponencials

y = e(

y ' = el
0, f'(x) < 0, que haguem de resoldre no sigui de primer grau, aplicarem el procediment següent: a) Farem una taula amb tres fi les, a la primera col·locarem ordenades de menys a més, - 00, + 00 , les discontinuTtats i les abscisses deis maxims i mfnims. A les files segona i tercera posarem una franja vertical a sota de les discontí nu'itats í una barra vertical a sota de les abscisses deis maxims i mínims. b) A la segona fila posarem la derivada, f'(x), provarem un punt de cada intervall col·locarem el signe

(+) o (- ). e) A la tercera fila escriurem la monotonia i a sota deis signes (+) posare m el símbol de creixent (/') i a sota deis signes (-) posarem el símbol de decreíxent (" ,.). • Troba la monotonia de la funció següent: y = X2 - 4

La funció és discontínua a

x = - 2 i a x = 2.

f'(x) = - (x2

~ 4)2 -==--+--r-~~=- X

La funció f(x) té un maxim a (O, O): x

-

o

-2

00

('( x) Monotonía

+

..?'

JI

+

11 ..?'

+ 00

2

- Jl ~

11

~

És creixent a (/') : (- 00 , -2) u (- 2, O). És decreixent a (\,) : (O, 2) u (2, + (0). Curvatura i punts d'in11exió Estudiar la curvatura d'una funció consisteix a trobar els íntervals en que és cóncava, u, i convexa, (1 . Les definicions de concavitat i convexí­ tat no esta n unificades dintre de les matematiques. El que nosaltres anomenem cóncau, v, d'altres poden anomenar-ho convex, (1, i al revés. Nosaltres seguirem la forma més estesa. Sempre al costat de la paraula posarem la forma u o (1 . Una funció és concava en un ¡nterval si és de la forma u.

Una funció és convexa en un mtervaJ si és de la forma

(1.

Un punt d'lnflexló és un punt on canvía la concavitat d'una fun­ ció. En els punts en que la funció és cóncava, u , la recta tangent esta per sota de la corba; quan és convexa, (1 , esta per sobre i en els punts d'inflexió la recta tangent travessa la corba.

185

UNITAT 8

Derivades

3.2. Apllcaclons a la Usica

3.3. Apllcacions a altres Arees

Atesa una funció e = f(t) que ens dóna I'espai que recorre un mabil en funció del temps.

D'igual manera podem aplicar el concepte de velocitat a qualsevol area.

La velccltat és la derivada de I'espai res­ pecte al temps.

Medicina: Quan subministrem un medicament a un malalt, la concentració del medicament a la sang varia amb el temps. La velocitat amb la qual varia la concentració ve donada per la deri­ vada.

L'acceleració és la derivada de la veloci­ tat respecte al temps, es a di r, la segona de­ rivada de e ::; ((t) .

• La posició d'un mabil, mesurada en m, ve dona­ da per la fórmula e(t) = t3 - 3(2 + 4t + 1.

• La concentració d'un determinat medica­ ment en funció del temps ve donada per la fór­ mula:

a) Calcula la fórmu la que ens dóna la velocitat. v(t)

= 3t2 -

61 + 4

b) Calcula la velocitat a I'instant v(2) = 3 . 2 2

-

(=

2 s.

6 . 2 + 4 =3 . 4 - 12 + 4

=6t -

6

= 12 -

v(t) = 12 - 2t

b) Calcula la velocitat a ,'instant t = 3 i t = 8. v(3) = 12 - 2 . 3 = 12 - 6

d) Calcula I'acceleració a I'instant t =2 s. a(2) = 6·2 - 6

t2

a) Calcula la funció que ens dóna la velocitat d'eliminació.

=4 m/s

c) Calcula la fónnula que ens dóna I'acceleració. a(t)

c(t) ::; 12t ­

=6

v(8) = 12 - 2 . 8 ::; 12 - 16 = -4

6::; 6 m/s2

Resol 1. La grafica següent representa la primera deri­ vada d'una funció. Fes la taula per estudiar la monotonia i calcula els intervals de creixement, decreixement, maxims i mínims. y

3. Calcula els maxims i mínims de les funcions següents: a) y= _x 3 + 9x2 - 27x+ 23

b) Y = 3x" - 8x 3 + 6x 2 + 2

4. Determina la monotonia i els maxims i mrnims de les funcions següents:

x+1 e) y==-­ x-2

2. Contesta raonadament: a) D'una funció fsabern que 1'(5) > O. Qué po­ dem afirmar sobre la funció f en el punt

x= 5?

X2

b) Se sap que f'(x) és contínua en R i que no s'anul·la maL Que podem afirmar sobre la funció f?

186

+ 1

8x

e) y = - ­ g) y = X2 + 1 x d) L (x 2 + 1)

h) y= Ixl

Derlvades

UNITAT 8

ARBRE DE CONTINGUTS

I DERIVADA EN UN PUNT

I

DERIVADES

1

FUNCIÓ DERIVADA

SIGNIFICAT rGEOMETRIC

I REGLESDJ DERIVACI

l

I

APLlCACIONS

REPRESENTACIÓ DECORBES

SIG~IFICAT

FSIC

l

I

t-

ALTAES ÁREES

J

OTACIONS

TVM[a, b]

Taxa de variació mitjana.

'( a + h) - f(a)

Increment de la funció .

h

Increment de la variable independent.

f( a)

Derivada de la funció en el punt a.

f"(a)

Derivada segona de la funció en el punt a.

("'(a)

Derivada tercera de la funció en el punt a.

f'V(a)

Derivada quarta de la funció en el punt a. Creixent. Decreixent.

u

Concava. Convexa.

EVITEM ERRORS No s'ha de confondre la derivada en un punt amb la funció derivada. No s'ha de confondre la derivada en un punt amb la tangent en un punt.

La condició necessaria parque existeixi un maxim o un mínim en un punt és que la primera derivada s'anul·1j en el punt, pero no és suficient. Hi pot haver valors que facin zero per a la primera derivada i no ser ni maxims ni mínims. No s'ha de confondre el valor de x que s'obté en fer la derivada igual a zera amb el valor de I'ordenada, que és maxim o mínim o

187

UN ITAT 8

Derivades

REPASSEM

3

-x

1. Calcula la TVM [2, 3] en les funcions:

8. Dibuixa la grafica de la funció:

a) f(x) = 3x - 4

2

b) f (x) = - 5x + 8

g (x) = { x 2x + 1

c) f(x) = X2

a) f(x) = 2x + 4

b) f(x) = - 3x + 2

e) f (x) = _x 2 + X - 4

d) f(x) = ­

3x x +5

3. Calcula, aplicant la definieió, la derivada a x = 2 de les funcions següents: a) y = - x + 3

b) Y = X2 - X + 6

4. Aplicant la definieló de la derivada, calcula la derivada de les funcions següents en els punts indicats : x= 2

Jx; x = 2

b) f(x) =

X2 -

8 en y = 1.

e) f(x) = 4x + 8 en el punt de tal! en I'eix x. d) f (x) = X2 - 6x + 8 en el vertex de la paréIDola. e) f (x) =

x2 - 4 en el punt de tal! en I'eix y.

10. Troba I'equació de la recta tangent a la corba y = x" - 6x2 + 5 en el punt d'abscissa, x = 2. 11. Determina I'equació de la recta tangent de les funcions següents:

x2 + 3x - 10 en x = 2 .

e) f(x) = X2 + 4 en y = O.

d) ((x) =

x2 -

5x en el vertex.

12. Determina les equacions de les rectes tan· gent a les funcions:

4

b) f(x)~; x= 2

a) f(x) = x2 - 5 i sigui paral·lela a 2x - Y + 4 = O.

x

4

6. En quin valor de x la derivada de la funció y = Jf - 2x - 2 es fa igual a 6? 7. Determina en quins valors de x, de les fun­ cions següents, no és derivable: a) f (x) = X2 - 3x

b) f(x) = ­

4 1 -

e) f (x) = ----=-­ 2

b) f(x) = -1 -

- x

i sigui paral·lela a y = 4x - 8.

e) ! (x) = 5x2 - 1 i sigui perpendicular a 2x+ 5y + 1 = O. d) f(x) = 3x2 + 4 i passi per I'origen de coor· denades. 13. En quins punts la recta tangent a la corba

x

x .

y=2x + 3 es paral·lela a la recta 3x-2y+15 = 0?

5x -

­

X - 5x+ 4

d) f(x)

O

4x

b) f(x) = - - en x = 1. x+ 1

5. Aplicant la definició de la derivada, calcula la derivada de les funcions següents en els punts indicats: a) f(x) =

~

> O

a) f(x) == X2 - 4 en x = 2.

a) !(x) =

= Xl; x = 1

f(x) =4/X; x= 2

b) f(x)

e)

X

9. Calcula la derivada de les funcions següents:

31en les funcions:

2. Calcula la TVM [1,

x2;

s~

SI X

Explica en quin punt no és derivable.

d) f(x) = 1/x

a) f(x) =

-2}

2X + quan x < 4 + x

{ - - quan x ;?: - 2

e) f (x) =

= í xquan x

< 1 l2x+ 1 quan x 188

}

;?: 1

14. Calcula la velocitat i I'acceleració, a I'instant t = 3, del moviment definit per la funció e(t) = _ ( 3 - 2t 2 - t + 2. /

Derlvades

15. Calcula les derivades utilitzant només I'ex­ pressió y = u m y ' = mu m - 1u' en les funcions següents:

=

a) y == Jf - 5x

_Jx+2 X2

3

y=

19.6. Y == cos (Jf + 7t) 19.7. Y == L (X' + 2x) 3x 19.8. y= Jf _ 4

ifX

1 e) y = -=

;}x

19.9. Y = (3~ + 5) eX 2x 19.10. y= - ­

4x

f) y=

JX

cosx

x­

Jx + ~x

minims de les funcions següents:

= X2 -

-1

19.12. y== t9 x 19.13. y= ex 2 + 5

6. Determina la monotonia i els punts maxims i a) f(x)

x

19.11 . y == -

1 1 g) Y = Jf + 3x + 8 + - + ­ X X2 h) y=

y=fr

19.5. y-

c) y= 5x3 d)

19.1. Y = X2 - 10x + 8 19.2. Y = (x - 3) cos x 2x + 3 19.3. y= Jf + 4x- 1 19.4.

4 x

b) y== ­

UNITAT 8

4x

19.1 4. y =- ~ 19.15. y = x;6 - 10x4 + ax - 3 19.16. Y == (5~ - 2x) eX X' - x+1 19 .17. y= 3

x­

b) f(x) = - Jf + 6x

19.18. y = p

c) f(x) = X' + 8

19.19. y = xtg x 19.20. y = sin (3~ - x + 1)

d) f(x) =

~4 x­

19 . 21 . y== ~ + L ~ X2

5

19.22. y = Jf _ 25

-x

19.23 . y= eX L x

x

19.24. y= ~

e) f(x) == -5 ­

f) f(x) == - 4 x+

P

19.25. Y = cos x 19.26. Y = L (x + 2)

17. Determina la monotonia i els maxims i mínims de les funcions següents: a) y = 3Jf - 6x-2

b) y = 2x3 + 3Jf - 12x- 1

c) y == L (Jf + 4)

1 19.27. y =­

x

19.28 . y= 5x4 + x3 - x + 6 19.29. Y = eX L (x - 2) 4x + 5 19.30 . y = - . ­ Sin

18. Determina la monotonia i els maxims i mínims de les funcions següents:

19.31 . y= jX7 19.32 . y =

a)

y = xe X

b)

y_

3

- Jf - 6x + 10

19. Calcula, aplicant les regles de derivació, les derivades de les funcions següents:

x

~+p x

19.33. Y = sin 5x + cos (3x - 5) 19.34. y= e2Jt3 + s 19.35. y = x4 - 10~ + a

189

UNITAT 8

19.36. y=

Derlvades

28. La part escrita d'una pagina d'un lIibre ocupa 380 cm 2 ; els marges superior i inferior han de ser de 2,5 cm j 2,8 cm. Quines han de ser les dimensions de la pagina per tal d'aconseguir la maxima economla de paper?

x2+x-2 1

x+

ifX y= ~ + .Ji
f> - 3x4 + 5x2

Seguim el procediment corresponent donat en teoria.

-

1Ox + 3

Solució: Escrivim al menú Algebra la funció : xl'l5 - 3xl'l4 + 5x 1'1 2 - 10x + 3 Triem nim:

a

i premem Simplificar. Obte­

5x4 - 12.il + 1Ox - 1O

2. Calcula la derivada de la funció de I'exercici anterior en el punt x = 2. Solució: Marquem la derivada i triem Substi­ tuir la variable x per 2 i premem Simplificar. Obtenim -6.

3. Troba on és creixent la funció següent i repre­ senta-la per comprovar-ho. y= X2 - 4x + 1

Solució: Escrivim al menú Algebra la funció:

\r

!

\ 2 \

1

+

\

xl'l2 ­ 4x + 1

, 1

\

a

-~

Triem i pitgem Simplifi­ car, i obtenim 2x - 4.

2

, "

-2

3 / 4

)

IntroduTm la in­ -3 equació 2x - 4 > O, triem Resoldre, premem Simplificar I obtenim, x> 2,

Podem dibuixar la corba per comprovar: mo­ notonia, mrudms i mínims, Funcions trlgonometriques sin x cos x tan x

ese x see x cot x

Sinus. Cosinus. Tangent.

Cosecant. Secant. Cotangent.

Si I'are és quelcom més que x hem de posar-lo entre parentesis. Funclons logarítmlques Logaritme neperia. Logaritme x en base b.

In (x) log (x, b)

ACTMTATS

1. Calcula les derivades següents:

Y= x + 3

a) y = 3x2 - 1Ox + 3

f)

3 b) y= 5X 6 + ¡ x4 - 2.il+x

g) y= L x2

e) y=(10x+3)sinx

h) y= e2 X+ 7

x2 - 1

i) y = sin (x 2 + 1)

d) y = # e) y = eos (5x+ 4)

j) y = 5!r(x2 + 3x- 1)

2. Calcula la derivada de les funeions següents en el punt que s'indiea: a) y = x6 - 5x + 3 a

x= 1

APR~N

b) y=L(x+3)

a

x= 2

Calcul de la funeió derivada

c) y= cos (5x + 4)

a

x= n

Introdu'im al menú Algebra la funció sen­ se y =, després triem CillcullDerivar/... , o premem a la ieona

a.

Calcul de la derivada en un punt

x =a

Calcule m la derivada í després substituTm la variable x pel valor a.

3. Determina la monotonia, els maxims i els mí­ nims de les funcions següents. Representa-la per eomprovar-ho.

=x+1 x- 2

a) y = -x2 + 4x + 3

d)

b) Y = XI - 6x 2 + 5

e) y = 3" .il+x2 - 3x- 4

e) y = x2 + 1

8x f) y=x2 + 1

Y

1

Cillcul de la monotonia Calculem la primera o segona derivada i des­ prés resolem la inequaeió eorresponent.

x

193

UNITAT 9

Estadistica unidimensional

UNITAT CREDIT 3 • Estadística unidimensional

Londre . L'estacli tica e tudia les poblacions.

194

Estadística unidimensional

UNITAT 9

,

Index

I trod cció

Introducció

L 'inici de l'pstad{slica es relaáona amb la idea de fer un censo és a dir, un recomple. Des de les ávilitzacions mis anti­ gues hi ha hagut la. lradició de censar els recursos i les perso­ nes. Hom té constancia de ansas efecluaL~ a la Xina sobre tan 2238 a. de C. A Egipte se censaven les riqueses, i a Roma PS realitzaven censos del nombre d 'habitants i llur dzs­ lrilruciá pel lemtorz . Sobre 1540 va apareixe a Alemanya l'olrra Cosmografia Universal de Sebastiii Hünster, on es recollien practiwment 10lS els coneixemenls anterior. rf'estadístia¿. EIs e 11 os van prendre un nou valor i lIan cmnen car a Il ar-se pn' inter¡mtar fenomel1s socials. L 'any 1662, ¿'an­ gles Graunt va publicar un estudi sollre obsemaáons de les rladps de 1!Imtn..litat de LondTes qIte pot con ideraHe ol l117­ mer treball fonaml:nta t sol1rc la poblatió. Naixia, donts , la nm!(l ciencia rlnom~n ada estadística. L 'estadística, que en princiPi e~ a definir com «la ''len r;ia de les coses '¡ue pertanyen a l'Estal", s'enlén avui com u na ciencia que estudia eLs fenómens sociaLs, ecanomics i fisics a partir de dades numbiques. A aquesl fet va contribuir pode­ rosamenlla u nió de l'estadística amó la teoria de la prohabi­ lita/o Griicies a aquesta unió>['estadútica perm.et de resoldre p'roblemes en la maj ar pm·t de camps del sethp/,: compmta­ mmls dp grups de població, cdlculs de polisses d 'asseguran­ ces, flallilitat deis traclamen ls, tmdmcies polítiqws, ptr.

1. Mostres i tecniques de mostreig Experimenta 1 1. Població i mostra 1.2. Tecniques de mostreig , 3. Conclusions d'una mostra qesol

Pagina

196 197 198

2. Taules 1 graflques Experimenta 2.1. Taules estadístiques 2.2. Grafiques estadístiques esol

199 201

3. Parametres estadístlcs Experimenta 3. 1. Parametres de centralització 32 . Parametres de dispersió esol

203 204

Arbre de continguts. Notacions. Evitem erra­ des. Repassem. Problemes. Calcul mental. Calculadora. Curiositats. Taller d'investiga­ ció. Informatica: Full de calcul EXCEL.

1

195

UNITAT 9

Estadistica unidimensional

1. Mostres i tecniques de mostreig Experimenta 1. El gerent de la cafeteria d'una facultat esta interessat a coneixer els gustos de I'alumnat a I'hora de menjar. Vol esbrinar-ho preguntant a 150 alumnes, deis 1 500 que hi ha, i li han proposat tres maneres diferents: a) Preguntar als 150 primers alumnes que arribin a la facultat un dia determinat. b) Numerar de I'u al 1 500 i triar-ne 150 a I'atzar. c) Com que sap que hi ha 500 alumnes a primer, 400 a segon, 300 a tercer, 200 a quart i 100 a cinque. ha de triar-ne a I'atzar 50 de primer, 40 de segon, 30 de tercer, 20 de quart i 10 de cinque. Quina de les tres maneres 11 permetra obtenir una informació més fiable?

1.1. Població I mostra

Poblacló és el conjunt de tots els elements o Individus que són objecte d'un estudi estadfstic.

Es realitza un cens quan preguntem a tota la població.

Prendre informació de tota la població, encara que fiable, resulta diffcil, car i lent. Per aquest motiu,

quan fem un estudi estadístic prenem mostres. Una mostra és un conjunt d'individus de la població que seleccionem per fer I'estudl estadístico Les mostres només serveixen si les conclusions que traiem són fiables. Per tant, I'important és saber com cal triar la mostra, quants individus la componen i quin grau de fiabilitat tenen les conclusions a que arribem. La mida mostral és el nombre d'individus que formen la mostra. El tipus de mostreig és el procediment pel qual triem la mostra. Ellímit d'error és ,'estimació que fem de I'error maxim comes.

Estadística unidimensional

UNITAT 9

1.2. Tecnlques de mostrelg Les tecniques de mostreig són procediments per seleccionar una mostra. Depenent de I'estudi que vulguem realitzar, triarem un mostreig o un altre. El mostreig aleatori simple consisteix a seleccionar n individus de la població tenint tots eUs la mateí· xa probabilítat de ser triats. El mostreig aleatori estratificat consisteix a seleccionar un nombre d'individus de cada estrat en que tinguem dividida la població. El mostreig aleatorl estratificat amb repartiment proporcional és aquel! en que la mida de la mos­ tra és proporcional a la població de cada estrat. És a dir:

Estrats

Total

E,

Núm. d'lndlvidus en la població

N

n1

Núm. d'individus en la mostra

n1

n

n

= - 2 = .. . = - k NI N2 Nk

de manera que: -

n

n

=-. N

• Desitgem saber el nombre d'hores que veuen la televisió els 800 alumnes d'un centre escolar estudiant una mostra de 100 alumnes. Quina tecnica de mostreig creus que és millor? Tria una mostra estratificada per trams d'edat. En el centre escolar els alumnes es reparteixen de la manera següent:

12 i 13

14 i 15

500

300

Un mostreig estratificat és aconsellable ja que els gustos televisius canvien amb ,Jedat. Una mostra seria:

Edat

12 i 13

14 i 15

16 i 17

Total

Núm. d'aJumnes en el centre

500

200

1000

Núm. d'alumnes en la mostra

50

20

100

197

UNITAT 9

estadistica unidimensional

1.3. Conclusions d'una mostra Realitzant I'estudi estadístic sobre els individus d'una mostra, hem de donar les conclusions amb un nivell de confian~a i amb un límit maxim d'error. El nlvell de conflanf;a és la probabilitat que tenim que cada cop que fem una estimació, en les matei­ xes condicions en que hem fet I'estudi, obtindríem els mateíxos resultats. Quan ens donen els resultats d'una enquesta, sempre ens han de donar la fitxa tecnica de I'estudi, que consisteix a donar les característiques de la població, la mostra i el grau de fiabilitat. • Analitza el resultat que ens oferelx un estudi on ens diuen que el 40 % de la població té una opinió favorable sobre el president del Govern, amb la fitxa técnica següent: POblació: població espanyola major de 18 anys. Mostra: 1 200 individus. Tipus de mostreig: aleatori per mitja d'entrevistes personals seguínt un metode estratificat per re­ gions j habitats. Límlt maxim d'error: s'estima en ±2% amb una probabilitat del 90%. La població són els ciutadans amb dret a vot. El tipus de mostreig és logic perque I'opinió pot ser molt diterent en un territorio un altre, si es tenen presents els problemes socials I economics que s'hl donen . Fins i tot en un mateix territori , I'estrat social deis individus que el conformen és una variable important. Ellímlt maxim d'error ens dlu que entre un 38 % (40 - 2) I un 42 % (40 + 2) de ciutadans majors de 18 anys tenen una opinló favorable sobre el president. Aixo ho afirmem amb un nivell de confian~a del 90 %.

Resol 1. Tria entre el mostreig aleatori simple o aleatori estratificat, indicant els estrats, per estudiar les característiques següents entre e/s alumnes i les alumnes, de 3 a 18 anys, d'un centre:

2. En una empresa tenen quatre categories amb un nombre d'empleats tal com es recull en la tauta següent. Calcula el nombre d'empleats de cada categoria per formar una mostra de 24 per­ sones en un mostreig estratificat proporcional .

a) L'alc;ada. b) El pes.

Categorla

A

B

e

o

c) L'ús d'ulleres.

Núm. d'empleats

20

50

70

100

d) Si té caries o no. e) Gustos musicals. f) Qualificació mitjana. g) Lectures preferides.

198

3. S'ha estimat que la nota mitjana en matemati­ ques deis estudiants de primer de batxillerat és de 5,5 amb un límit maxim d'errorde ±l,5 amb una probabilitat del 95 % . Analitza aquest re­ sultat.

Estadistica unidimensional

UNITAT 9

2. Taules i grafiques Experimenta 1. S'han format quatre grups d'alumnes als quals hem demanat de ter un trebal! d'estadrstica sobre I'alumnat del seu centre. Cada un deis grups ha triat estudiar el següent:

Grup

Característlques que es vol estudiar de "alumnat

A

AI9ada i pes.

B

Preferencies esportíves.

e

Quantitat de calories que prenen al dia.

D

Color del cabell que tenen .

Quines diferencies trobes entre les caracterfstiques que han d'estudiar els quatre grups? Podries classificar-Ies en dues classes? 2. Observa les dues grafiques següents i contesta:

Graflca 2

Graflca 1

Nombre de persones amb feina

Nombre de fills que tenen 120 parelles ~

35 ti! ro 30 a. Q) 25 'O Q) 20 .o 15 E o 10 Z

80

en 70

r-­

Q)

'ü 60 ,~ 50

-

...

5

90

-

en 40

'::J

g40

Lt

r-­

no

1

2

3

4

30

20

nn 5

6

Nombre de fill5

10

16

25

35 45 55 Edat (anys)

65

a) Que signifiquen les barres de la grafica 1? b) Per que estan separades les barres de la grafica 1? c) Que signifiquen les barres de la grafica 2? d) Per que estan juntes les barres de la grafica 2?

2.1. Taules estadfstlques L'estadístlca descriptiva és la ciencia que s'ocupa de la recollida i el tractament de dades sobre una o diverses característiques d'una població, organitzant-Ies en taules, grafiques i calculant valors que resu­ meixín la ínformació per obtenir conclusions.

199

U ITAT 9

EstadIstica unidimensional

Caracter estadístic

Un caracter estadístlc es una qualítat o propietat que observem en els elements d'una població. Modalitat és cadascuna de les classes en que podem organitzar un caracter estadfs1ic. Classificacló del earacter estadrstic:

f Qualitatiu

Caracter estadistic

l

Quantitatiu o Discreta Variable estadística {contfnua

a) Caracter qualltatlu: La característica observada no es pot comptar ni mesurar. • Caracter: color deis eabells. Modalitats: negre, bru, ros, pel-roig, etc. • Caracter: estat civil. Modalitats: casat, solter, vidu. divorciat. b) Caracler quantitatiu: La característica observada podem comptar-Ia o mesurar-la. El carElcter quantitatiu també s'anomena variable estadística, i pot ser: b1) Discreta: Si cada un deis seus valors és el resultat d'un reeompte. Aquest valor és un nombre natural. • Nombre de germans, punts aeonseguits en partits de basquet, etc. b2) Contínua: Si cada un deis seus valors és el resultat d'una mesura. Aquest valor és un nombre real. • Alifada, pes, etc. Organització de les dades en Intervals Per agrupar les dades en intervals, aconsellem els passos següents:

a) Fixem el nombre d'intervals. Un bon nombre és prendre la part entera, bé per defecte o per excés, de I'arrel quadrada de la mida de la població. b) Considerem tots els intervals de la mateixa amplitud. L'amplitud de cada interval la calculem dividínt el recorregut entre el nombre d'intervals. c) Prenem com a marca de classe el punt mitja de cada intervalo FreqüE!ncia absoluta La freqüfmcia absoluta de

x, és el nombre de vegades que apareix. La representem per n, .

FreqüE!ncia relativa La freqüfmcia relativa de x, és el quocient entre la freqüemcia absoluta ni i el nombre total d'observa­ cions N. La representem per f..

f, = 'J N

200

Estadística unidimensional

UNITAT 9

Freqüencia absoluta acumulada La freqüencia absoluta acumulada de Xi és la suma de la freqüencia absoluta del valor esmentat i les freqüelncies absolutes deis valors anteriors. La representem per Ni'

Freqüencla relativa acumulada

La freqüimcla relativa acumulada de x, és la suma de la freqüencia relativa del valor esmentat ¡les freqüencies relatives deIs valors anteriors . La representem per F.. Només pode m calcular les freqüencies acumulades quan el caracter és quantitatiu o qualitatiu ordena­ ble.

Taula estadística és un quadre on es reculJen els valors o modalitats d'un CaTacter ¡les seves freqüen­ cies. Si la variable és continua. els valors els agrupem en intervals.

2.2. Gratlques estadfstlques Les grafiques estadístiques s'ajusten al tipus d'informació que este m tractant.

Diagrama de barres És una representació en uns eixos cartesians en els quals en I'eix d'abscisses representem les modali­ tats i en el d'ordenades, les freqüelncies. L'emprem per a caracters qualitatius i variables discretes . Per aixo, les barres són astretes i separades . • Representa en un diagrama de barres la despesa en farmacs per capitaJany que es recull en la taula següent:

Despesa en farmacs per capita/any

País Japó

450

Franva

325

-'"

EUA

325

a

Belgica

280

Alemanya

250

Espanya

200

Italia

175

450

-

400

'­

ro

350 ·0 300

-ca 2

'"o. a'" Q)

ro­

o

Argentina

-

ro­

r-­

r-­

150

Q)

100

.-­

50 ID

-o

o-

m tII iIJ e» . triem el tipus, pre­ mem Següent>, escrivim els títols i premem Acabar. Després podem modificar la grafica.

&:J,

ACTIVlTATS

Nombre da 111'. qua lenan 120 parellas

2

Asia 30%

a) Seleccionem el rang A3:B9, anem a l'As­

sistent per a grafiques cliquem en el punt on volem insertar la grafica, premem el botó Següenf>, seleccionem el número 6, premem Següenf>, a Usar primeres co­ lumnes posem 1, premem Següenf>, es­ crivim el títol de la grafica j els tftols deis eixos i premem Acabar.

o

Europa

7%

5 3

9

9%

6

Nombre de fllls

2. Representa en un diagrama de sectors la su­ perfície deis continents. Solucló: introdu'im les dades de la taula en dues columnes com s'indica a contlnuació.

1. la superfrcie en milions de km 2 • que ocupen aproximadament els oceans és: Antartic, 20; .Artic, 14; Atlantic, 106; fndic , 75; Pacffic, 180. Representa les dades en una grafica de sec­ torso

2. El pes en kg de 40 persones és el següent: 58,62,88,90,92,58,75,70,67, 48,50,53, 89,82,67, 59,60,79,84,66,77,90,83. 102, 46, 67, 78,86,63,55,72,90,81,67,49,47, 61 , 58, 70, 79. Fes la taula de freqüencia i representa les dades en una grafica adient.

211

UNITAT 10

Estadística bidimensional

UNITAT

Estadística bidimensional

Els ordinadors són eines de gran utilitat per fer ducWs estarusúcs i probabilístics.

Estadistica bidimensional

UNITAT 10

l'

Index

Introducció

Introducció 1. Distribucions bidimenslonals Experimenta 1.1. Variables estadístiques bidimen­ sionals 1.2. Taules de freqüencies 1.3. Calcul de pan':l.metres Resol

Pagina

21 4 215 216

2. Correlació Experimenta 2.1. Correlació 219 2.2. Coeficient de correlació de Pearson 220 Resol

3. Regressió Experimenta 3.1. Unia de regressió 222 3.2. Rectes de regressió deis míníms quadrats 222 3.3. Predicció de resultats 224 Resol Arbre de continguts. Notacions. Evitem erra­ des. Repassem. Problemes. Calcul mental. Calculadora. Curiositats. Taller d'investiga­ ció. Informatica : Full de calcul EXCEL.

Amb Danvin es v a ftrocluir en la lnologia una revolució similar a la que Newton va pmvocar en la física. Els estudis de Danvin sobre l 'euolució de poblacions animals tenien un alractiu especial des del punt de vista estadístic;o Segons els seus estudis eL~ organismes mis ben adap lats sobreviuen mis temps i deixen mis descendenls, per la qual cosa hi ha una con-elació entre les caracferú tiques gen etiques transmissibles i d grau de supervivencia. El primer d'acudir aIs metodes estadístics per contrastar Ü?S learies de Darwin va ser el Se'Ll cosí Calton (1822-1911). Calton va introduir esludis exhaustius d 'estadística que van tmÍ?' u na importdn cia vital posleriormenl i van influir poderosamenl en (tUres átmtíf i cs. Va ser Welclon qu i va se­ guir eü lreballs de Callon i qui v a cerwr la col·labaració d 't tn filósof i malemiUic que es deia Pea?-son (185 7-1936). La co[.laboració d 'aquests dos flOmes va impu,lsar rt 'u na ma­ nera decisiva ['estadística actual. En ellaborat01i de Pearson es vanJer treba[ü d 'estaclística que han desembocat en branques científiques que avui són independenls i que ens penneten e: ludiar qualsevol fen()men dins de quaL~ev o{ camp o materia. Aixf, per exemple, tenirn Z'econornetria que ens p emU!t resoldre problernes tadístics dins de {'econ omia; la investigació operativa consisteix fon a­ mentalmenl a fer simu l.acions soltre programadó que perm.e­ len p-rerzdrf decisions sobre problernes reaL~ sense n ecesSÍlal d'experimentar sol))'e objectes reaLr. Avui dia., l'1Ís d 'ordinadors pemwt tTeballar amb masses monnes de dades perfer preriiccions i re oldre frroblemes esla­ díslics que f a u ns anys eren costosos i !largs. Un problema tipic de ['estadística és establir el grau de relació que hi ha entre du es variables. Per exemple, a una empre a li pOI interessa1' en quin f!!au l'augment (le despeses en publicitat f a a:ugmerttar les vendes rf'un pmdu cte. MoÚS fen omens on intervenen du es v aTiables ~'estu rlüm avui mnb els con c-eples de wnelació i regrf'ssió lineal.

213

UNITAT 10

Estadfstlca bidimensional

1. Dlstrlbuclons bidimenslonals Experimenta 1. Dues empreses tenen unes despeses comerci als, X, i unes vendes, Y, que hi ha recollides a la taula en milers d'€ : Despeses: Xi

30

35

40

45

50

55

60

65

Vendes: y,

60

65

72

69

81

82

84

90

Despeses: X

30

35

40

45

50

55

60

65

Vendes: Yi

50

35

12

69

89

15

64

25

a) Dibuixa en uns eixos cartesians els parells (x" y,) per a cada empresa. b) Quan creix una de les variables, que li passa a I'altra? Creix. minva o no hi ha relació? c) Queden propers els punts o esta n dispersos? Com creus que sera la relació entre aquestes varia­ bles, una relació forta o més aviat una relació feble?

1.1. Variables estadfstiques bidimensionals Una vartable estadística bidimensional és la que obtenlm quan estudlem un fenomen respecte de dues variables estadrstlques un i d¡men~ionals. La representem pel pare" (X, Y) on X i Y són variables unidimensionals. • El nombre de partits guanyats per un equip en una competició i el " oc que ocupa en la classificació és una variable bidimensional , X és el nombre de partits guanyats i Y és el !loc que ocupa I'equip en la c1assificació. Dades de les variables bidimenslonals

Les dades de les variables bldimensionalssón els parells(x,. Yl)' (JI2. Y2) .... (xn, Yn) on XI' ~ .... x"s6n els valors de la variable XI on Yl' Y2 .... Yn són els valors de la variable Y. Els representem en una taula de dues files o dues columnes:

x

x,

Y

y,

Yn

• El pes i "aleada de cinc Jugadors d'un equip de basquet s6n: Pes en kg: x,

100

85

92

95

100

Aleada en cm ; Y.

200

185

192

199

205

214

Estadística bidimensional

Núvol de punts o diagrama de dispersió

UNITAT 10

~ 55 ~1 ..........

. . 54

Un núvol de punts és la representació en un sistema d'eixos carte­ sians deis parells de dades (x" y,) de la variable estadística bidimen· sional.

~--+-

VI

(1)

~ 53 "C

ea. 52 I-r--+--e~~

• Dibuixa el núvol de punts de la distribució donada per la taula se· gOent, nombre d'hores treballades en un taller i nombre de peces produ'ides, 39 40 41 42 43 Nombre d'horas: XI

Nombre d'hores: XI

40 41

Peces pradu'ides: y ,

50 52 51

42 39 40 38 42 43 38 39 40 41

40 42 41

52 53 49 55 54 50 50 52 54 51

42 39

53 53 54 51

1.2. Taules de freqü encles Taulea simples Una taula de 1reqü~,"cles simple és la que recull en files o columnes les freqüencies deis valors (x . y) de la variable • Hem amidat les talles i els pesos de 20 alumnes d'una classe i n'hem obtingut els valors següents: Pes en kg: Xi

60

65

70

Alyada en cm: y.

167 170 180 170 167 170 155 160

4

Freqüencies: n

70

65

68

50

2

2

60

1

Taules de doble entrada Una taula de freqüimcies de doble entrada és la que recull les treqOencies deis valors (Xi' y) de la variable, • Fes una taula de doble entrada per a les dad es de les talles i els pesos deis 20 alumnes de la classe de ,'exerciel anterior:

x

y

50

60

65

68

70

2

2

7

3

6

155 160 167

20

215

UNITAT 10

EstadCstlca bidimensional

1.3. Céilcul de parametres

Les mitjanes marglnaJs s6n les mitjanes de les variables X i Y:

_ rn,' x, rn

- I:n ,' y ¡ y= 'En,

x = -~-'

El centre de gravetat és el parell deis valors de les mitjanes marginals: G(x, Y)

Les desviacions típiques s6n les desviacions típiques de les variables X i Y:

rn

Covarian98

La covarlan~a o varian~a conjunta d'una variable bidimensional (X, Y) és la mitjana aritmetica deis productes de les desviacions deis valors de cada variable per la seva mltjana respectiva . La representem per s~: l: n (x - Xl y¡ - Y) L nx y _ _ sl/)' = = - x· y L n, 1: n,

• Calcula les mitjanes marginals, les desviacions típiques marginals i la covarianca de les dades de I 'al~ada i pes de I'exercici anterior:

ni' x,

n x2

n 'Y

60

3600

3

195

n,

n, ' y2

n/' x · y

167

27 889

10020

12675

510

86700

331 50

70

180

4

280

19600

720

129600

50400

70

170

2

140

9800

340

57 800

23800

65

167

4

260

668

111 556

43420

68

170

3

204

510

86700

34680

50

155

2

100

5000

310

48050

15500

60

160

1

60

3.600

160

25600

9600

20

1299

85047

3385

573895

220570

216 -.lL

x = 1 299 = 64 95 20

'

V = 3 385 = 169 25 20

'

= 5 82

S)(

=

85047 _ 64 95 2 20 '

Sy

=

573895 - 169,25 2 20

S xy

=

,

=7,01

220570 - 64,95 . 169,25 = 20

= 35,71

Estadistica bidimensional

UNITAT 10

Amb calculadora bidimensional a) Posem la calcu ladora en mode LR.

I

I

I

b) Esborrem les dades prement [KAC o [Sel lo SAC o [MCL[.

O

1,

I

I

o [ Xo. Yo escrivim la segona dada i premem DATA lo DTl o c) Escrivim la primera dada, premem lIetra ics. Si la treqüencia és majar que u, hem de prémer enmig la tecla, [J, o bé de multiplicar, tal com s'indica a conti nuació:

0,

0

I~[JIT@I DATA I~D@Q)Dwl DATA 101 d) Obtenim els resultats: Mitjana marginal de les X:

I~[ 64.95 1

Mitjana marginal de les Y:

1[1]1 169.25 11

Desviació típica marginal de les X :

I§J~I

Desviació tfpica marginal de les Y:

I~[IQIJI

Covarian~a: I@t)G~G~

x

[1]~( 35.71

1I

Interpretacló de la covarian~a La covarian~ o varian~a conjunta segons sigui positiva o negativa ens indica:

a) Covarian~a positiva: les variables Xi Yes relacionen de forma directa. És a dlr, que en augmen­ tar els valors de la variable X, augmenten els valors de la variable Y. Podríem dir que el núvol de punts s'orienta a la dreta I cap amunt. b} Covarian~a negativa: les variables X i Yes relacionen de forma inversa. És a dir, que en aug­ mentar els valors de la variable X, disminueixen els valors de la variable Y. Podríem dir que el núvol de punts s'orienta a la dreta i cap aval!.

Efectivament, prenem dos núvols de punts A i B:

217

UNITAT 10

Estadística bidimensional

Calcule m el centre de gravetat G(X", 9) i prenem uns nous eixos amb I'origen en aquest centre.

Si observem la figura, veiem que la majoria deis punts estan en el primer ¡tercer quadrants.

Si observem la figura, veiem que la majoria deis punts estan en el segon I quart quadrants.

Els productes (Xi - X") (y¡ - Y) són positius.

Els productes (x, - X) (y¡ - ji) són negatius.

Resol 1. Representa el núvol de punts de la variable bidimensional següent:

y

10

10

12

11

17

12

17

25

20

25

10

15

25

14

Les dades estan proximes o disperses? 2. Calcula les mitjanes marginals, les desviacions típiques marginals i la covarianoa de les dades se­ güents. Com interpretes la covarianca?

4

15

15

12

17

20

13

12

17

13

10

15

12

20

7

8

5

9

9

6

3

8

5

6

6

6

10

4

2

1

2

3

5

3

3. Calcula les mitjanes marginals, les desviacions típiques marginals i la covarianca de les dades se­ güents. Quin significat té el resultat obtingut de la covarianQa?

1

2

3

3 2

3

4

218

2

3

4 2

Estadrstlca bidimensional

UNITAT 10

2. Correlaci6 Experimenta Una empresa té unes despeses comercials, X, i unes vendes, Y, que recollim a la taula en milers d'€ : Despeses: x,

4

5

8

10

13

15

17

20

24

28

Vendes: y¡

60

65

72

69

81

82

84

90

90

110

1. Dibuixa el núvol de punts de les dades.

2. En créixer una de les variables, que Ji passa a I'altra? De quín signe és la covarian9a?

3. Es troben propers els punts o més aviat dispersos? Com creus que sera la relaci6 entre aquestes variables: gran o torta o més aviat petita o feble?

2.1. Correlae.6 Com hem vist, la covarianga ens indica com és la relaci6 entre dues variables, és a dir, com s'orienta un núvol de punts , pero aquest parametre no ens Indica d'una manera objectiva i concreta la magnitud d'aquesta relaci6. Per aquesta ra6, ens cal definir el concepte de correlació i coeflclent de correlacló .

Correlacló és la relació que hi ha entre les dues variables que intervenen en una variable bidi­ mensional. Podem parlar de diversos tipus de correlacl6.

a) Correlació funcional : existeix una funci6 que satista tot5 els valors de la variable bidimensional, és a dir, quan tots els punts es troben sobre una recta o una corba. • Un venedorguanya una comissió de 60 € tenen les dades següents:

2

10

x

120

600

60x

Núm. d'ordinadors: X i Guanys en € : y,

per cada ordinadorque ven. Es 70000 60000 50 000 40000 30 000 20000 10000

o Observem que la fundó y = 60x x i y

O

219

•

•

•

•

•

•

•

2 34567

lJ NITAT 10

Estadística bidimensional

b) Correlaeió directa: quan augmenta una variable, I'altra també augmenta. • Nombre d'hores transcorregudes i nombre de bacteris, per unitat de volum que hi ha en un cultlu : Nombre d'hores: x,

o

Nombre de bacteris: y

15

•

60 40

30

2

3

4

5

43

50

75

88

e) Correlaeió Inversa: quan augmenta una variable, I'altra disminueix. • Temps d'assecat d'una pintura i concentració d'una substancia en la pintura es- mentada: Concentraci6:

80

x

Temps d'assecat en min: y

O

1

4

5

15

12

4

2

•

•

•

20 0'------+ o 2 345 16 14

•

12

10 8 6

4 2

o o

•

•

•

•

1 2 3 4 5

d) Correlaeió nul·la: no hi ha relació entre les variables. • Producció de peces en un taller i nombre de dies assolellats en una setmana: Nombre de dies assoletlats: Producció: Y.

x

O

1

2

3

4

5

150

700

300

50

750

400

800 700 600

500 400 300 200 100

o 2.2. Coeficlent de correlació de Pearson

o

•

•

• •

1 2 3 4 5

El eoefieient de eorrelaeió de Pearson és el quocient entre la covarianc;:a i el producte de les desviacions marginals:

Ens indica la correlació que hi ha entre tates dues variables, és a dir, si els punts estan molt proxims o allunyats del centre de gravetat. Propletats del eoefieient de eorrelaeió a) És un nombre. No depen de les unitats en que estan expressades les variables x i y. b) Esta compres entre - 1 i 1 amb les implicacions següents: SI r :=o - 1 o r = 1, la relació és perfecta. HI ha correlaeló funcional.

Si

resta proxim a -

loa 1 la eorrelaeió és forta.

Si resta proxim a zero la correlBció és feble.

Si r> O la correlació és positiva o directa

Si r < O la correlació és negativa o inversa.

220

Estadística bidimensional

UNITAT 10

• El nombre d'hores transcorregudes i el nombre de bacteri s, per unitat de volum que hi ha en un cultiu, vén en donats per la tau la següent. Calcula'n el coeficient de correlació: Núm. d'hores:

o

Xi

Núm. de bacteris: y , El coeficient de correlació és:

30

15

r S:~y =

2

3

4

5

43

50

75

88

1,7~~'~~,98 = 0,99

=

La correlació és forta i positiva o directa.

Ús de la calculadora per al calcul del coeflcient de correlacló IntroduIm les dades i premem la tecla:

0

Resol 1. Donada la taula següent, dibuixa el núvol de punts, calcula el coeficient de corre lació i di­ gues si la correlació és forta o feble.

X,

5

6

8

9

y,

4

7

9

9

2. Donada la taula següent, calcula el coeficient de correlació i digues si la correlació és forta o feble.

3. L'estadística d'ingressos de determinades em­ preses, en milers d'€ , i en milers d'empleats, és la següent: Ingressos

5,7

3,8

1,9

1

1

Empleats

16

29

17

6

9

Calcula el coefici ent de correlació entre les variables. 4. S'ha observat una variable bidimensional i s'ha obtingut la taula següent:

x

y

x

3

1

2

100

50

25

8

9

o

18

2

O

22

O

2

O

a) Calcula'n la covarianga.

o

4

b) Obtingues I interpreta el coeficient de corre­ lació lineal.

1

14

221

1

UN ITAT 10

Estadfstica bidimensional

3 . Regressió Experimenta 1. Un tecnic ens cobra 18 €

pe r la visita a casa i 12 €

per cada hora de trebal/. Completa la taula següent:

Núm. d'hores: XI

o

1

Cost: y,

18

30

a) Dibuixa el núvol de punts de les dues variables. b) Com estan els punts? c) Calcula el quocient r =

sxy . SXSy

d) Escriu una funció y = Bx + A que ens relacioni les dues variables anteriors. e) Que és el parametre B? f) Calcu la el quocient entre

Sx¡- Quina relació té amb B? Sx

3.1. Lrnia de regressl6 Hem vist que el coeficient de correlació ens dóna la relació entre les dues variables. Ara estudiarem com ajustar a una línia els punts de la variable bidimensional .

••

7 6

7 6

• s ••

•• •••• •

s 4 3 2

•• ••

4 3

••

1

o

2 1

•··tt·•

o o

O 1 2 3 4 5 6 7

1 23 4 5 6 7

Unla de regressió és la corba que millor s'ajusta a un núvol de punts. És una I/nia ideal entom de ia qual es distribueixen els punts.

3.2 . Rectes de regressl6 deis minims quadrats

L'equació de la recta de regressió de y sobre x és: L'equació de la recta de regressló de

222

x sobre y és:

S"y ( m x-x=-----¿ y-y,.

Sy

EstadIstica bidimensional

UNITAT 10

=

Aquestes rectes es poden expressar de la forma y Bx + A. Ex­ pressem aquesta recta així, ja que les calculadores ens donen els pa­ rametres, generalment, amb aquestes lIetres. Aquestes rectes es determinen fent que es compleixin les condi­ cions següents: a) Han de passar pel centre de gravetat G(x, Y). b) La suma deis quadrats de les distancies, r.d[, ha de ser míni­ ma. Essent di = Y - y¡, y l'ordenada de la recta, Yi I'ordenada de cada punt.

Coeflclents de regressló Els coeficients de regressió són els pendents de les rectes de regress ió: Pendent de la recta y sobre x:

x sobre y;

Pendent de la recta

• Hem amidat les talles i els pesos de 20 alumnes d'una classe i n'hem obtingut els valors següents. Calcula la recta de regressió de y sobre x. Pes en kg:

x

60

65

70

70

65

68

50

60

80

167 170 180 170 167 170 155 160 170 185

Talla en cm: Y.

4

2

Freqüencies: n·

1

3

3

1

Tenim:

Mitjanes marginals: x= 64,

y= 168,75

Desviacions típiques marglnals: Covarianya: sJly

60

5)/

=7,94,

Sy

= 9,39

= 69,25

. sJIy 69,25

Pendent. myx = s; = 7,94 2 = 1,1

La recta de regressió de y sobre x és: y-168,75 = 1,1 (x- 64)

=- y= 1,lx+ 98,41

Ús de la calculadora per trabar els parametres B i A de la recta Introdüim les dades i obtenim els parametres de la recta y = Bx + A:

1~198.40 11

223

UNITAT 10

Estadistica bidimensional

3.3. Predicci6 de resultats Quan prediem resultats amb la recta de regressió, cometem errades. L'errada és més gran com més ens allunyem de la mitjana i si la corre lació és feble. • En el problema anterior deis bacteris, quin nom bre de bacteris hi haura al cap de 7 hores? Núm. d'hores: x.

o

1

2

3

4

Núm. de bacteris: y ,

15

30

43

50

75

El coeficient de correlacló era: r= 0 ,99 La correlació és torta i positiva o directa. Per tant, per fer la previsió, calculem la recta de regressió :

y= 14,49x + 13,95 i sobre ella calculem el valor de y per a

x=

7:

y= 14,49 ' 7 + 13,95 = 115,38 És a dir, aproximadament 115 bacteris. Pode m dir que aquesta predicció és bona, ja que el coeflcient de correla­ ció és 0,99 i el valor que estem buscant x = 7 no es troba gaire lIuny de les dades que tenim .

O L...-------.

o 1 234 5 67

Resol a) Troba el centre de gravetat i el coefleient de correlació i interpreta el resultat.

1. Donada la taula següent:

b) Troba la recta de regressió de y sobre x. Di­ buixa-Ia.

10 12 14 10 12 15 12 15

20 18

a) Dibuixa el núvol de punts. b) Calcula el centre de gravetat i el coeficient

de correlació.

e) Eseriu i dibuixa la recta de regressió de y sobre x. d) Seria fiable obten ir el valor de y per a x = 20? 2. La taula següent recull les puntuacions que van obtenir sis agents d'asseguranees en un examen d'ingrés en una empresa i el nombre de polisses que van obtenir en el primer any. Puntuació; X

20 40 30 50 30 35

Núm. de polisses: y

4

224

7

5

9

5

5

e) Fes una predieeió sobre el nombre de polls­ ses que faria un agent que obtingués una puntuaeió de 45 punts. 3. En la taula següent s'indiea I'edat, en anys, i la conducta agressiva, en una escala de O a 10, de 10 nens. Edat

6 6,4 6, 7 7 7,4 7,9 8 8,2 8,5 8,9

Conducta agresslva

9

6

7

8

7

4

2

3

2

a) Obtenir la recta de regressió de la conducta agressiva en funeió de I'edat. b) A partir de la recta esmentada, obtenir el va­ lor de conducta agressiva que correspon­ dría a un nen de 7,2 anys.

Estadística bidimensional

UNITAT 10

ARBRE DE CONTINGUTS ESTADISTICA

BIDIMENSIONAL

NÚVOLDE PUNTS

RECTA DE

REGRESSIÓ

COVARIANCA DESVIACJÓ

TlPICA

COEFICIENT DE

REGRESSIÓ

OTACIONS X y (Xi'

n,

yJ

Variable primera.

Sx

Desviació típica de la variable X.

Variable segona.

Sy

Oesviació típica de la variable Y.

Una dada.

s1/)' r

Covarianya.

x,

Freqüencia absoluta de la dada (Xi' Valors de la variable X

y.

Valors de la variable Y.

x

Mitjana de X

¡

Mitjana de Y.

G (x, .Y) Centre de gravetat.

yJ

Coeficient de correlació.

my>
1.

4 1 P(Suma 9) = 36 = "9 = 0,11

e) Taula de contingencia És una taula que ens permet organitzar els elements d'una població segons dues característí­ queso També s'anomena taula de contingencia perqué s'hl presenten totes les possibllitats o contin­ gencies • En un centre de batxillerat de 800 alumnes, sabem que hi ha 420 noies de les quals 310 practiquen esport ¡que 105 nois no practiquen esport.

234

Dlstrlbucló binomial

UNITAT 11

a) Fes la tau la de contingencia. b) Qui fa una vida més sana, els nois o les noies?

310

==::===

Nois

Total esport

275

585

~===~~=~~=~~~===

Total nois es

110

105

215

420

380

800

" ' ) 310 31 P( que una nOla practlqul esport = 420 = 42 = 0.74

. . ) 275 P( que un nOI. practlqul esport = 380

O 2

= 55 76 = ,7

Per tant, les noies fan una vida més sana. Experiencies dependents

Diem que dues experlencies sén dependents si el resultat d'una influeix en el resultat de I'altra. • Calcula la probabilitat d'extreure dues cartes d'espases d'una baralla espanyola de 40 cartes, sense devolució , és a dir, primer una, que deixem afora, i després I'altra; o bé,

traiem tates dues juntes alhora. P(2E) = 10 . ~ = ~ = ~ = 0057 40 39 4 13 52 '

~

ExperiEmcies independents

Diem que dues experiencles son independents I'altra.

e

SI

1

= 16 = 0,0625

no E

el resultat d'una no lnflueix en el resultat de

• Calcula la probabilitat d'extreure dues espases d'una baralla espanyola de 40 cartes, amb devolucló, és a dir, primer n'extraiem una, la mirem, la tome m a la baralla i després n'ex­ traiem I'altra. 10 10 1 1 P(2E) = 40 . 40 = 4 . 4"

10/40

f1QEl

2. .

9/39 ~

no E

GlliJ~ 9E

30noE

l8El

§ ~~

OE

30no E

10 E 30noE

f1QEl

e

~

0/4 oE

10/40

no E

Estrategies de resoluc ió de problemes Hi ha molts problemes de probabllitat d'experiments compostos que es poden descompondre com a producte de problemes de probabilitat d'experiments simples . Llegint atentament I'enunciat hem d'obser­ var si és un cas amb devolució o sense.

235

UNITAT 11

Dlstrlbució binomial

En les extraccions successives sense devolució, el resu ltat de cadascuna depen del resultat de les anteriors. En les extraccions successives amb devolució, el resultat de cadascuna no depen del resul­ tat de les anteriors. De vegades en el problema ens diuen que s'extreuen simultaniament, és a dir, alhora; aquest cas és equivalent al d'extraccions successives sense devolució.

1.4. Probabllltat condicionada La probabllitat del succés B condicionada pel succés A és la probabilítat que es realitzi B sabent que s'ha realitzat A. Es representa per p(a/A) i es té: P(B1A)

= P(A "

a)

P(A)

Les probabilitats condicionades són les segones branques deis arbres i les successives. • En una urna hi ha 6 bales roges i 4 de verdes. Extraiem dues bales sense devolució. Calcula la probabili ­ tat que la segona bala sigui roja amb la condició que la primera també hagi estat roja.

r5R\ %e @) 4V

t6R\ ~

('

~ ~

Tenim els successos A: «extreure bala roja en la 1a extracció» i a: «extreure bala roja en la 2a extracció" . La probabilitat que ens dema­ nen és p(a/A) .

1

6/10

3 1 3 1 5 5 P( BI A) = - = - . - =- .- = ­ 3 3·S 3 3 9

V

-

S

Observem que les probabilitats de les segones branques de I'arbre són en realitat les probabilitats condicionades. Propietats de la probabllitat condicionada a) Els successos A i a són dependents si i només si P(A) :1- p(A/a ) í P(B) :1- p(a/A) . b) Els successos A i B són independents si i només si P(A)

= P(A/B)

í p(a) = p(a/A) .

Proposició Els successos A I B són independents si j només

SI

P(A n a)

= P(A) . p(a) .

Aquesta proposició és la manera més cbmada de comprovar que dos successos són independents. Demostració

Per demostrar una doble implicació, hem de provar les dues implicacions.

«:::::::>>>

Hipbtesi: els successos A i

a són independents.

Aplicant la definició de probabilitat condicionada, tenim:

p(a/A) = Per ser A i

P(~(~) a) = P(A n

a) = P(A) . P(BlA)

a independents, tenim que P(BlA) = P(B) . Substituint, tenlm : P(A n a) = P(A) . P(B)

DIslrlbució binomial

UN ITAT 11

«

Per hipatesi :

P(A n B) = P(A) . P(B/A) P(A n B) = P(A) . P(B )

P(A) . P(B/A ) = P(A) . P(B )

Per tan1:

=

P(B1A)

= P(B)

Així dones, A i B són independents. • D'una baralla espanyola de 40 cartes en traiem , primer una, la tomem i després en traiem una altra. Siguin els successos A: .. treure oros" I B: «treure copes" . Com són els successos A i 8 , dependents o independents? Quina és la probabilitat de treure primer oros i després copes? Els successos A i B són independents ja que, com que hi ha devolució en la segona extracció, tenim les mateixes car­ tes que en la primera extracció.

f10cl f1Ocl%.o~ c

~,

~~ C

10/40

P(A n B)

10 10 1 1 = P(A) , P(B) =40 . -40 =-4 ' _4.= -161 = O' 0625

10 O 30 no O

oO

1.5. Teorema de la probabllitat com posta o del producte És I'estudi de la probabilitat d'un camí d'un arbre, que, com la sabem calcular, és el producte de les probabilitats de les branques que componen el cam í. Totes les probabilitats d'un camí, excepte la primera, són condicionades.

Si Al ' ~, .... A, són n successos dependents d'una experiencia i la probabllitat de la verificació slmultania deis n successos no és nul·la, lIavors:

• Tenim un cofre i sabem que té 25 monedes d'or 175 de plata. Quina és la probabilitat de treure del cofre tres monedes d'or sense devolució? Siguin els successos 0 1 : «treure moneda d'or la primera " , O2 : «treure moneda d'or la segona", i 0 3 : «treure moneda d'or la tercera».

=P(01 ) . P(02 /0, ) . P(03 /0, 25

24 23

23

~

240 75 p

~ 4/99 P

230 75 P

O

25/100

n

O~ =

= 100 . 99 . 98 = 1.617 = 0,014

250 75 P

p

237

Z. ~8

22 O

75 P

UNITAT 11

Dlstribució binomial

1.6. Teorema de la probabilitat total o de la suma És I'estudi de la probabilitat d'un o més camins d'un arbre, que com ja sabe m calcular, és la suma de les probabilitats dei s camins que el formen , Donat un sistema complel de successos Al ' ~. "" An i un succés B qualsevol, la probabilltat total de B ve donada per'

=P(A

P(B)

1) ,

P(BIA I ) + P(A.J ' P(B/~) +

+ P(An) , P(BIA n )

Demostració: Aplicant les propietats de les operacions amb successos, tením:

B = En B = (A,

A2 u ,.. u An) n B = (A l n B) u

(~ n

B) u ... u (An n B)

Aplicant les propietats de la probabilitat simple i condicionada, tenim:

P(B)

U

= P(A,

n B) + P(A¿ n B) + .. , + P(An n B) =

= P(A I )

•

P(BIA,) +

P{~)

, P(BIA¿) + ... + P(An) , P(B/A n)

• Provem tres vacunes A l' A2 1A3 en 100 persones; la vacuna A l' en 30; la A¿, en 20, i la~, en 50, Passat el temps adient, observem que del grup Al' 23 no han contret la malaltia; del A¿, 17, i del ~, 39, Quina probabilitat tenim que agafada una persona a I'atzar estigui sana? Sigui S el succés "persones sanes». Veient I'arbre , tenim:

P(S)

= P(AI )

.

r------. 0,3

P(SIA 1 ) + P(A¿) , P(SIA2 ) + P(A 3 ) 23

17

•

P(S/~) =

39

=0,3 ' 30 + 0,2 ' 20 + 0,5 . 50 = 0,79

~ ~~ 5J ~ ~ 5] ~ ~

1.7. Teorema de Bayes

Donat un sistema complet de successos Ap A¿, ,." An I un succés qualsevol B, la probabilitat que es veritiqui A , condicionat al fet que abans s'hagl verificat el succés B é3:

P

_ (A lB) - P(A ,) . P(BIA f )

P(A) ' P(BIA)

+ P(A¿) . P(B/A¿) + . ,- + P(A,) , P(BIA n)

Les probabilitats P(A;) s'anomenen a priori perque són conegudes. Les probabilitats P(BIA,) s'anomenen versemblances , perque són cre'ibles, ja que no ofereixen cap dubte. Les probabilitats P(A,IB) s'anomenen a posteriorl perque són les que cal calcular, Demostració Per definició de probabilitat condicionada, tenim :

P(A /B) ,

= P(A, n

P(B)

B)

Anem a calcular el numerador i el denominador.

Aplicant la definició de probabilitat condicionada, tenim:

P(B/A,)

238

=

P(A, n B)

P(A,) ==> P(A j n B)

= P(A,) , P(B/A.)

Distribució binomial

UNITAT 11

Pel teorema de la probabilitat total, tenim:

P(B) = P(A ,) . P(B/A ,) + P(A2 )

.

P(B/~)

+ ... + P(An) . P(BIA n)

Substituint, tenim :

P(A l B ) = P(A, " B) , P(B)

= P(A,) . P(B/A,) +

P(A,) . P(BIAi )

. P(BJ~) + .. . + P(An) . P(BIAn)

P(~ )

• En el mateix problema anterior de les probabilitats totals, si prenem una persona a ,'atzar i esta sana, quina probabilitat tenim que procedeix del grup A3? Sigui S el succés "persones sanes» . Ens demanen P(~ /S) . Aplicant la fórmula de Bayes, tenim:

P(A3 ) P(A3 /S) = P(A,) . P(SIA,) + P(A2 )

. P(S/~)

.

P(S/~) + P(~)

. P(S/A3 )

Veient I'arbre anterior, tenlm :

Probabilitats a priori :

P{A,) = 0,3;

P(~)

= 0,2; P(A3 )

Probabilitats versemblances: P(S/A,) = ~~

= 0,77;

=0,5

P(S/A;)

= ~~ =0,85 ; P(S/~) = ~~ = 0,78

Substituínt en la fórmula, tenim :

P(~/S) =

0,5 . 0,78 0,3 ' 0,77 + 0,2 ' 0,85 + 0,5 . 0,78

Per tant, la probabilitat a posterlori és:

P(~ /S)

=0,49

= 0,49

Ajudal Un problema es resol per Bayes quan ens donen una informació complementaria.

Resol 1. Un examen consta de dues proves que cal superar per aprovar. Sabem que la probabilitat de passar la primer prova és de 0,6; i la de passar la segona és de 0,7. a) Calcula la probabllitat d'aprovar I'examen.

b) Calcula la probabilitat de suspendre I'examen en la segona prava.

2. S'extreu una carta d'una baralla espanyola de 40 cartes i es tira un dau de sis cares numerades de 1'1 al 6. Quina és la probabilitat que la carta obtinguda sigui una figura i el número del dau sigui parell? 3. Una urna conté 6 bales vermelles i 3 de negres. Traiem una bala i la substitu'im per dues de I'altre color; després, extraiem una bala. a) Calcula la probabilitat que la segona bala sigui negra.

b) Calcula la probabilitat que les dues bales extretes sigui de color diterent.

4. Un individu va a treballar en transport públic o en el seu vehicle . La probabilitat d'agafar el transport públic és de 0,7. La probabilitat d'arribar tard a la feina quan va amb transport públic és 0,1 i la d'arribar tard amb el seu vehicle és 0,4 . Sabent que avuit ha fet tard, quina és la probabilitat que hi hagi anat amb el seu vehicle?

239

UNITAT 11

Olstrtbucló binomial

2. Distribucions de probabilitat Experimenta 1. Els resultats possibles en el lIan~ment de tres monedes enlaire són:

E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} a) Completa la taula següent:

xxx

Resultat Núm. de cares b) Quants valors diferents pren la variable Núm. de cares? Quins són? e) Completa la taula següent calculant les probabilitats que es demanen: Núm. de ca res:

x

P(X :;;; x) d) Com anomenem el succés corresponent a la darrera casella? Quant val la seva probabilitat? e) Quant val P(X = O) + P(X = 1)? i ¿P(X ~ 1)? Com són els valors obtinguts?

2.1. Variable aleatoria Una variable aleatoria és una funcló de I'espai mostral d un experiment aleatori en el conjunt deis nombres reals; és a dlr, assooia a cada succés elemental un nombre real. Les variables aleatOries poden ser:

Discretes: si prenen cert$ valors enters. Les representem en diagrames de barres.

Contínues: si poden prendre tots els valors possibles en un interval de nombres reals. Les represen­

tem en histogrames. • A I'experiment: «tirar dos daus i anotar la suma deis resultats de la cara superior .. , quina és la variable aleatoria? Quins valors pot prendre la variable? De quin ti pus és? Variable aleatoria: funció que associa a cada resultat de I'experiment la suma deis resultats de les ca res superiors . Valors que pot prendre la variable: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Tipus: discreta.

240

Dlstrlbució binomial

UNITAT 11

• En I'experiment: «sobre una poblacióde 2 000 persones mesurem el seu pes en kg» , quina és la variable aleatoria? Quíns valors pot prendre la variable? De quin tipus és? Variable aleatoria: funció que associa a cada individu el seu pes. Valors que pot prendre la variable: qualsevol quantitat en kg.

Tipus: continua.

2.2. Funció de probabilitat

La funcló de probabilitat d'una variable aleatoria discreta és I'aplicació que associa a cada valor, X,I de la variable la seva probabllitat, P" La representem per f(x) i tenim: f(x) = P(x)

La suma de les probabilitats Pi és u, ja que es tracta de la probabilitat de succés segur.

2.3. Funció de distribució

La 'unció de distribució d'una variable aleatoria discreta és una fundó que mesura la probabili­ tat que la variable aleatoria prengui valors menors o iguals que un detenninat valor x,. La represen­ tem per F(x) 1tenim: F(x)

= P(X :::;

L

x) =

P(X = x)

It oC; lt

'

Una distribució de probabilitat s'obté d'una taula de freqüencies relatives canviant les freqüencies per la probabilitat tebrica de cada resultat. La funció de probabilitat corres pon a la freqüencia relativa i la funció de distribució a la freqüencia relativa acumulada. • En el lIancament de tres monedes, estudia la probabilitat de la variable nombre de cares. Fes una taula que representi, la distribució de probabilitat i després dibuixa els diagrames de barres corresponents, Funció de prebabllllat

F(x) = P(X :s:; X)

1.0

o

1/8

1/8

3/8

1/2

3/8

7/8

E O.91­

~ 0.9 t::

-g

a O,81-

0,8 0,7

r­ ~

-

--o­

1/8

1

----:-=:--i --J

0.7..-­ ----,.1 ~ O,6..----=---i o 51­ - _-r--I

r-: f:--:

r-

.o

~ 0.'1

1:--­

r=-= r-o-

2 3 1 Nombre de cares

O

3

-

-­

l1I

i 0,8 ~ 0.5 :g 0.4

~ 0.3 a.. 0,2 0,1

Ol Funclo de dlstrlbuclo ~ 1.01- -­ - - ....

~ 0.3 ~ 0,2 D 0.1

e

o

a...

1

2

3

Nombre de caras

241

UNITAT 11

DIstrlbucl6 binomial

2.4. Parametres d'una variable aleatoria discreta La mitjana d'una variable aleatoria discreta o esperan~a matematlca la representem per IL i és: n

ft =

L P x = p,x, + P~2 + ..

+ PnXn

1= 1

La varlan{:a d'una variable aleatoria discreta ve donada per la fórmula: n

V = L P (x - 11) 2

n

= ¿ P x2 -

p2

= 1

La desvlacló trpica és I'arrel quadrada positiva de la varianca: (¡

=

IV

• Tenim una urna amb 3 bales numerades amb un u, 5 bales amb un dos, 6 bales amb un tres, 5 bales amb un quatre i 3 bales amb un cinc. Calcula la distribució de probabilitat, I'esperanc;:a matematica, la varianc;:a I la desviació tipica:

p,X,

P.xr-

3/22

3/22

5/22

10/22

20/22

6/22

18/22

54/22

5/22

20/22

80/22

3/22

15/22

75/22

1

66/22

232/22

n

1_ 1

Varianc;:a:

V=

±

;= ,

p.x2, - J1 2 = -232 - 3 2 =1 ,55 22

, ,

La desviació típica és:

=

(J

Resol 1. Sigui la funció de probabilitat següent:

1

3

7

9

0,2

0,2

0,1

0,1

a) Calcula la mitjana i la desviació típica.

b) Escriu la funció de distribució ¡ calcula P(X ~ 5) i P(3 ~ X ~ 7).

242

66

= ¿ p, Xi = 22 = 3

Esperanc;:a matematica: !1

JV = ~ = 1,24

Dlstrlbucló binomial

UNITAT 11

3. Distribució binomial Experimenta 1. Una familia té 3 fi Us. Calcula: a) b) c) d)

La probabilitat que tingui n zero nois.

La probabilitat que ti nguin un noi .

La probabilitat que tinguin dos nois.

La probabilitat que bnguin com a molt dos nois.

3.1. Nombre factorial El factorial d'un nombre és el producte del nombre esmentat per tots els nombres naturals me­ nors que ell fíns a I'u. El representem per n! ni = n (n - 1) . (n - 2) .. . 3 . 2 . 1

• Calcula el factorial de 6.

61

=

6 .5 .4 .3 .2 -1

=

720

Casos particulars Hi ha dos casos particulars en els quals no es pot aplícar la definlció de factorial i es prenen per def/nició: O! = 1 1! = 1

3.2. Nombre combinatori El nombre combinatori (;) es lIegeix m sobre p i el seu valor I'obtenim aplicant la regla següent:

En el numerador es posen tants factors com indiqui el nombre de la part Inferior, comenca,nt pel nombre de dalt I disminuint cada vegada una unítat. En el denominador es posa el factorial de la part inferior

• Calcula (:)­ La regla aplicada al nostre exemple diu: en el numerador hi ha tres factors i el primer és 8 i en el denominador hi ha el 3!

Casos partlculars

(~) = 8

(~) = 1 Propietat deis nombres combinatoris 4

= 36 (79) = (9)2/ = ~ . 1 ~

243

UNITAT 11

Dlstrlbució binomial

Aquesta propletat I'emprem sempre que el nombre inferior sigui més gran que la meitat del superior, ja que redueix molt el calcul.

3.3. Deflnici6 Una distribució binomial és una distribució discreta on cada prova de I'experiment només pot prendre dos valors, exit i fracaso La representem per B(n, p), essent n el nombre de vegades que repetim I'experi­ ment i p la probabilitat de tenir exi! en una prava. Exemples de variables binomials: cara o creu, home o dona, correcte o defectuós, etc. Les caracteristiques d'una distribueió binomial s6n : a) El resultat de cada prova té dues opcions: el succés A, que anomenem exit, i el succés contra­ ri A. fracas o b) La probabilitat d'exit la representem per, P(A) Aquestes probabilitats són eonstants.

=pila de fracas P(A) = q, essent q == 1 -

p.

e) El resultat obtingut a cada prova es ¡ndependent deis resultats obtinguts anterionnenf

Calcul de probabilitats en una distribució binomial SI X és una variable aleatona B(n, p), la probabilitat d'obtenir k exits és: P(X

= k) = (~)

pk qn -k

3.4. Estrategia de resoluci6 de problemes a) Eserivim la variable aleatoria, X

== ...... .

b) Escrivim el tipus de distribució de X.

e) Eserivim les preguntes del problema en fonna de probabilitat.

• La probabilitat de repetir un alumne de 1r de batxillerat és de 0,2. Triem 3 alumnes a I'atzar. Quina és la probabilitat que hi hagi exactament dos alumnes repetidors? a) X

==

P

Núm . d'alumnes que repeteixen.

b) 8(3; 0,2)

n

A

2

o

0,9801 0,90250,81 00 0,7225 0,64000,5625

e) P(X = 2)

P(X = 2) =

G).

0,2 2 . 0,8 = 0,0960

3

3.5. Funci6 de probabilltat binomial La funció de probabilitat ve donada per: Valor de k

o

P(X = k)

244

2

0,0 1 0.05

0,1

0,15

0.2

0,25

1

0,01980,0950 0,1800 0.2550 0.3200 0.3750

2

°

0,0001 0,00250,01000,02250,0400 0,0625 0.9703 0,85740,72900,61410,51200,4219

1

0,02940,1354 0,24300,3251 0,38400,4219

2

0,00030,007 1 0,0270 C.057~ 0,0960 0. 1406

3

0,00000,0001 0,0010 0,0034 0.00800.0156

k

n

Distribució binomial

UNITAT 11

3.6. Funci6 de distribuci6 binomial La funció de distribució ve donada per

L (n).. pi. qn-,

F(x)= P(X ~ x) = x

,=0

I

• Una família té 10 fills. Calcula la probabilitat que tingui com a molt dos nois. a) X

== Nombre de nols.

b) B(10; 1/2) ~

e) P(X

2)

P(X

~

2) :::: P(X:::: O) + P(X:::: 1) + P(X = 2) ::::

: : COa) .GYo + C10 ) . ~ . GJ + (~O). GJ .(~y : : 1~8 = 0,05 3.7. Parametres d'una dlstribució binomial

Mltjana o

esperan~a 11::

matematica

n'P

Varian~a

Desvlació típica

V=n ' p ' q

c;::::vv

• Una fabrica produeix un tipus de peces, i la probabilitat que una sigui correcta és 0,95. Si prenem 50 peces, quina és la mitjana, la varian~a i la desviació típica? a) X

== Nombre de peces correctes.

b) B(50; 0,95)

c) p, V,

CT

MI1Jana o esperan~ matematica J1

:=

50 . 0,95:::: 47.5

Varlan~a

V:::: 50 0,95 ' 0,05 :::: 2,375

Desviació típica t1 ::::

'2,375 ;:; ' ,54

3.8. Ajustament d'un conjunt de dades a una binomial Per estudiar si un conjunt de dades obtingudes experimentalment s'ajusten a un distribució binomial B(n, p) , apliquem el procediment següent: a) Calculem la mitjana de les dades i la igualem a la mítjana d'una teorica binomial B(n, p), J1 :::: n . p, i aIllan!. calculem el valor de p. b) Comparem la distríbució de les dades obtingudes experimentalment amb la distribució de probabili­ tat teorica de la binomial B(n, p), per ter-ho: ,.. Calculem les freqüemcies relatives " de la distrlbució experimental.

>- Calculem les probabilltats P(x:::: k) per als valors de k;;: O, 1, 2 ... , n en la B(n, p).

,.. Calculem les diferencies en valor absolut entre les probabilitats tebriques i les freqüencies relati­

ves i, si les diferencies són prou grans o prou petites, rebutgem o acceptem la hipatesi que les dades s'ajusten a la binomial.

245

UN ITAT 11

Distribució binomial

• Un tecnic vol entrar en una escola d'especialistes i per aixb fa una prova de perícia. Per ter-la tí donen tres oportunitats i a cada oportunitat pot fer-la bé o malament. Per preparar-se, ha realítzat la prova 300 vegades amb els resultats següents: Núm. d'errades: x

2

Núm. de proves realitzades: n

104

130

60

S'ajusten aquestes dades a una binom ial? a) Calculem la mitjana de les dades:

x= 0,893 Igualem aquesta mitjana amb J-I = n . p essent n i p els parametres d'una binomial 8(3, p) i obte­ nimp.

=

0,893 = 3 . P P = 0,3 b) Escrivim en una taula les freqüencies relatives de les dades i les probabilitats tebriques de la binomial 8(3; 0,3) : Núm. d'errades: x

n

Núm. de proves realttzades: Freqüencies relatlves: f, P(X = k)

=(k p.

e) Maxim: el valor maxim I'assoleix en x

=Il i aquest valor maxim és: f(p)

1

=

~

(J

f) Punts d'inflexió: té dos punts d'inflexió en x

256

=O.

V 2n:

= Il -

(J

i en x = p + 0' .

x = Il.

La dlstrlbucló normal

UNITAT 12

g) Area compresa entre I'eix OX i la corba: >-

En (- OC!, + (0) l' area és 1 per ser una funció de densitat.

• En (- 00, ¡.¡.) I'area és 0,5 i a (,"1, +(0 ) I'area és, també, 0,5.

;>o-

En (¡.¡. - a, ¡.¡. + a) I'area és 0,6826.

,. En (¡.¡. - 2Q, ¡.¡. + 2a) I'area és 0,9544.

>

En (¡.¡. - 3u, ¡.¡. + 3u) I'area és 0,9974.

Aquesta funció queda perfectament determinada en coneixer la mitjana ¡.¡. i la desviació tfpica u. La funció es desplace a I'esquerra o a la dreta segons sigui el valor de ¡.¡. I és més alta i estreta o més baixa i ampla segons sigui el valor de u.

x

x

11, < f12

0",

Per als valors majors de la mitjana, la grafica es desplaya cap a la dreta.