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1

NÚMEROS REALES

Página 27 REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de ■

ZaQ

Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números racionales, Q. a) –5x = 60

b) –7x = 22

c) 2x + 1 = 15

d) 6x – 2 = 10

e) –3x – 3 = 1

f) –x + 7 = 6

Se pueden resolver en Hay que recurrir a

El paso de ■

Z a), c), d) y f).

Q para resolver b) y e).

QaÁ

Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 2 – 9 = 0

b) 5x 2 – 15 = 0

c) x 2 – 3x – 4 = 0

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0

e) 7x 2 – 7x = 0

f) 2x 2 + 3x = 0

a) x 2 – 9 = 0 8 x = ±3 b) 5x 2 – 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = ± √3 c) x 2 – 3x – 4 = 0 8 x =

3 ± √9 + 16 3±5 = = 2 2

4 –1 —

—

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 8 x =

5 ± √17 5 ± √25 – 8 = = 4 4

5 + √17 — 4— 5 – √17 — 4

e) 7x 2 – 7x = 0 8 x 2 – x = 0 8 x = 0, x = 1 f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –

Unidad 1. Números reales

3 2

1

Números irracionales ■

Demuestra que √2 es irracional. Para ello, supón que no lo es: √2 =

p . Eleva q

al cuadrado y llega a una contradicción. Supongamos que √2 no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:

√2 =

p p2 8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2 q q

En p 2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad. Suponiendo que √2 =

p llegamos a una contradicción: q

“p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2”. Por tanto, √2 no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.

■

Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado. 1 F–1

F

F 1 = 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0 1 F–1 —

F=

1 ± √1 + 4 = 2

1 + √5 — 2 — 1 – √5 — (negativo) 2

Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =

2

√5 + 1 2

.

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 28 1. Sitúa los siguientes números en el diagrama: 3

3

√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8

)

Á

Q

Z

Á

N

Q

— √3

) 7,3 4,5

3 — – √6

Z

N

5 — √ 64 = 8

–2

— √ –8

— √–27 = –3

3

2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla. NATURALES, ENTEROS,

N

Z

RACIONALES, REALES,

Q

Á

NO REALES

Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla. NATURALES, ENTEROS,

N

REALES,

—

Á

3

—

5; –2; √ 64; √ –27

Z

RACIONALES,

—

5; √ 64

Q

3

—

—

5; –2; 4,5; 7, 3; √ –27; √ 64

)

—

—

—

—

√ 3; 5; –2; 4,5; 7,3; –√6; √ 64; √ –27

)

3

3

—

NO REALES

Unidad 1. Números reales

√ –8

3

Página 29 3. Representa los siguientes conjuntos: b) [4, + @)

a) (–3, –1)

a) c)

–3

b)

–1 0 3

0

6

d) (– @, 0)

c) (3, 9] 0

4

d)

9

0

4. Representa los siguientes conjuntos: a) { x / –2 Ì x < 5}

b) [–2, 5) « (5, 7]

c) (– @, 0) « (3, +@)

d) (– @, 1) « (1, + @)

a)

–2

c)

0 0

b)

5

–2

d)

3

0

5

7

0 1

Página 30 1. Halla los siguientes valores absolutos: a) |–11|

b) |π|

c) |– √5|

d) |0|

e) |3 – π|

f) |3 – √2|

g) |1 – √2 |

h) |√2 – √3 |

i) |7 – √50 |

a) 11

b) π

c) √5

d) 0

e) |3 – π| = π – 3

f) |3 – √2 | = 3 – √2

g) |1 – √2 | = √2 – 1

h) | √2 – √3 | = √3 – √2

i) |7 – √50 | = √50 – 7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

4

a) |x| = 5

b) |x| Ì 5

c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| Ì 2

e) |x – 4| > 2

f ) |x + 4| > 5

a) 5 y –5

b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]

c) 6 y 2

d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@)

f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 31 1. Simplifica: c) √y 10

9

f) √81

b) √x 8

6

e) √64

d) √8 12

5

12

12

a) √x 9

8

12

a) √ x 9 = √ x 3 4

5

6

6

8

8

d) √ 8 = √ 23 = √ 2

c) √y 10 = y2 3

3

9

9

3

b) √x 8 = √ x 2

f ) √ 81 = √ 34 = √ 3

e) √ 64 = √ 26 = √ 22 = √ 4

3

4

2. ¿Cuál es mayor, √31 o √13 ? Reducimos a índice común: 12

4

√31 = √29 791 ;

12

3

√13 = √28 561

4

Por tanto, es mayor √31 .

3. Reduce a índice común: 3

18

12

b) √51

a) √a 5 y √a 7

9

9

3

36

18

36

12

9

y √132 650

b) √51 = √132651 ; √132650

a) √a 5 = √a 15 ; √a 7 = √a 14

4. Simplifica: —

(√√√—k )8 8 a) ( √ k ) = k

5 3

—

3

15

b) √x 10 = √ x 2

8

—

c) √(√x )6

b) √√x 10

a)

6

3

c) √ x 6 = x

Página 32 5. Reduce: 3

3

5

15

4

6

8

c) √2 · √2 · √2

b) √9 · √3

a) √2 · √2

4

3

d) √8 · √4

15

15

a) √25 · √23 = √28 6

6

6

8

8

8

12

12

b) √ 34 · √ 3 = √ 35 8

c) √ 24 · √ 22 · √ 2 = √ 27 12

12

12

d) √83 · √44 = √(23)3 · (22)4 = √217 = 2 √25

Unidad 1. Números reales

5

6. Simplifica: 5

a)

√

x3 = x5

c)

√

a3 = a4

6

√

√ 6

1 = √ x –2 x2

6 1 = √ a –1 a

4

6

√a3 c) 3 √a2

√a · b b) 3 √a · b

√x a) 3 √x

d)

b)

6

√

6 a3 b3 = √a b a2 b2

d)

√

a3 b5 c = a2 b6 c6

4

√ 4

√a3 · b5 · c √a · b3 · c3

a 1 = c b c5

√ 4

a bc

7. Reduce: 3

√32 a) √3 a)

c)

4

5

√16 c) √2

√9 b) 3 √3

d

√729 √3

√

6 34 = √3 33

b)

6

√

3 6 36 = √ 34 = √ 32 32

√

10 10 28 = √ 23 = √ 8 25

d)

√

4 36 = √ 34 = 3 32

10

4

8. Suma y simplifica: a) 5 √x + 3 √x + 2 √x b) √9 · 2 + √25 · 2 – √2 c) √18 + √50 – √2 – √8 d) √27 – √50 + √12 + √8 e) √50a – √18a a) 10 √x b) 3 √2 + 5 √2 – √2 = 7 √2 c) √18 + √50 – √2 – √8 = √2 · 32 + √2 · 52 – √2 – √23 = = 3 √2 + 5 √2 – √2 – 2 √2 = 5 √2 d) √33 – √2 · 52 + √22 · 3 + √23 = 3 √3 – 5 √2 + 2 √3 + 2 √2 = 5 √3 – 3 √2 e) √2 · 52 · a – √2 · 32 · a = 5 √2a – 3 √2a = 2 √2a

6

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

1

Página 33 9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) c) e)

5

√7

√

3

√4 1

√a3 4

f)

2

i)

3

d)

√50 3

a)

7 3

3

g)

3

b)

√18 1

h)

√25 3

√40 2

j)

√36

3

3

√100

5 = 5√ 7 7 √7 3

b)

3 3 3 √2 = 3 = 3 2 2 √2 √4

c)

√

d)

1 1 √a = = 3 a2 a √a √a

e)

3 3 3 3√ 2 = = = 2 10 5√ 2 √ 50 √ 2 · 5

f)

4 4 4 = = = 4√ 2 = 2√ 2 2 3 6 3√ 2 √2 · 3 √ 18

g)

2 2 2 √5 = 3 = 3 2 5 √5 √ 25

h)

1 2 1 = 3 = 3 = 3 3 2√ 5 √2 · 5 √ 40

i)

3 3 3 √6 3 √2 · 3 = 3 = = = 3 2 2 6 2 · 3 √2 · 3 √ 36

7 √ 7 = √ 21 = 3 3 √3

3

3

3

√ 52 = √ 25 10

10

3

3

3

3

3

√6 2 3

2 2 √ 10 2 √ 2 · 5 2 √ 10 j) 3 = 3 = = = 2 2 5 10 2 · 5 √2 · 5 √ 100

Unidad 1. Números reales

7

10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) c) e) g)

1

b)

—

√2 + 1 —

√a – 1 1

—

f)

—

2 √3 – √5

√2

+

—

—

—

√x + √y

√x + √y d) — — √x – √y

a–1

1

x+y

—

1

—

√2 – 1

+

1

√2 + 1

—

—

—

—

3 √2 – 2 √3

h)

—

—

3 √2 + 2 √3

—

1

—

√x – √y

+

—

1

—

√x + √y

—

√2 – 1 √2 – 1 a) = = √2 – 1 — — (√ 2 + 1) (√ 2 – 1) 2–1 — — — — — — — — (x + y) (√ x – √ y ) x √x – x √y + y √x – y √y (x + y) (√ x – √ y ) b) = — — — — = x–y x–y (√ x + √ y ) (√ x – √ y )

— — (a – 1) (√ a + 1) (a – 1) (√ a + 1) c) = = √a + 1 — — (√ a – 1) (√ a + 1) (a – 1) — — — — — (√ x + √ y) (√ x + √ y) x + y + 2 √xy d) — — — — = x–y (√ x – √ y ) (√ x – √ y )

— — — — — — 2 √3 + √5 2 √3 + √5 2 √3 + √5 e) = — — — — = 7 12 – 5 (2 √ 3 – √ 5 ) (2 √ 3 + √ 5 )

f)

— — — — 2 30 + 12 √ 6 18 + 12 + 12 √ 6 (3 √ 2 + 2 √ 3 ) = = = 5 + 2 √6 18 – 12 6 6

g)

5 √3 √2 + √2 + 1 + √2 – 1 = √2 + 2 √2 = 2

—

h)

—

—

√x + √y + √x – √y x–y

2

1

1

—

—

—

—

=

2

— 2 √x x–y

Página 36 1. Halla:

8

a) log2 16

b) log2 0,25

c) log9 1

d) log10 0,1

e) log4 64

f ) log7 49

g) ln e 4

h) ln e –1/4

i ) log5 0,04

j ) log6

( ) 1 216

Unidad 1. Números reales

UNIDAD

a) log2 16 = log2 24 = 4

b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2

c) log9 1 = 0

d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1

e) log4 64 = log4 43 = 3

f) log7 49 = log7 72 = 2

g) ln e4 = 4

h) ln e–1/4 = –

i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2

j) log6

1

1 4

( )

1 = log6 6–3 = –3 216

2. Halla la parte entera de: a) log2 60

b) log5 700

c) log10 43 000

d) log10 0,084

e) log9 60

f ) ln e

a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64 5 < log2 60 < 6 8

log2 60 = 5,…

b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125 4 < log5 700 < 5 8

log5 700 = 4,…

c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000 4 < log10 43 000 < 5 8

log10 43 000 = 4,…

d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1 –2 < log10 0,084 < –1 8

log10 0,084 = –1,…

e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81 1 < log9 60 < 2 8

log9 60 = 1,…

f) ln e = 1 3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log2 1 500

b) log5 200

c) log100 200

d) log100 40

En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. a)

log 1500 = 10,55; 210,55 ≈ 1500 log 2

b)

log 200 = 3,29; 53,29 ≈ 200 log 5

c)

log 200 = 1,15; 1001,15 ≈ 200 log 100

d)

log 40 = 0,80; 1000,80 ≈ 40 log 100

Unidad 1. Números reales

9

4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula: a) log5

√ 3

A2 25B

b) log5

5 √A3 B2

a) log5

√

b) log5

5 √ A3 3 3 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1 2 2 B2

3

A2 – 0,8 1 1 = [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ – 0,27 25B 3 3 3

5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y = 2x – ln 5 ln y = 2x – ln 5 8 ln y = ln e2x – ln 5 2x ln y = ln e 5

2x 8 y= e 5

Página 38 1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2. b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 19 000 € al año. a) |Error absoluto| < 0,05 m2 |Error relativo|