1 NÚMEROS REALES Página 27 REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de ■ ZaQ Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden r
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1
NÚMEROS REALES
Página 27 REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de ■
ZaQ
Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números racionales, Q. a) –5x = 60
b) –7x = 22
c) 2x + 1 = 15
d) 6x – 2 = 10
e) –3x – 3 = 1
f) –x + 7 = 6
Se pueden resolver en Hay que recurrir a
El paso de ■
Z a), c), d) y f).
Q para resolver b) y e).
QaÁ
Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 2 – 9 = 0
b) 5x 2 – 15 = 0
c) x 2 – 3x – 4 = 0
d) 2x 2 – 5x + 1 = 0
e) 7x 2 – 7x = 0
f) 2x 2 + 3x = 0
a) x 2 – 9 = 0 8 x = ±3 b) 5x 2 – 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = ± √3 c) x 2 – 3x – 4 = 0 8 x =
3 ± √9 + 16 3±5 = = 2 2
4 –1 —
—
d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 8 x =
5 ± √17 5 ± √25 – 8 = = 4 4
5 + √17 — 4— 5 – √17 — 4
e) 7x 2 – 7x = 0 8 x 2 – x = 0 8 x = 0, x = 1 f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –
Unidad 1. Números reales
3 2
1
Números irracionales ■
Demuestra que √2 es irracional. Para ello, supón que no lo es: √2 =
p . Eleva q
al cuadrado y llega a una contradicción. Supongamos que √2 no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción:
√2 =
p p2 8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2 q q
En p 2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad. Suponiendo que √2 =
p llegamos a una contradicción: q
“p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2”. Por tanto, √2 no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.
■
Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado. 1 F–1
F
F 1 = 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0 1 F–1 —
F=
1 ± √1 + 4 = 2
1 + √5 — 2 — 1 – √5 — (negativo) 2
Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =
2
√5 + 1 2
.
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 28 1. Sitúa los siguientes números en el diagrama: 3
3
√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8
)
Á
Q
Z
Á
N
Q
— √3
) 7,3 4,5
3 — – √6
Z
N
5 — √ 64 = 8
–2
— √ –8
— √–27 = –3
3
2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla. NATURALES, ENTEROS,
N
Z
RACIONALES, REALES,
Q
Á
NO REALES
Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla. NATURALES, ENTEROS,
N
REALES,
—
Á
3
—
5; –2; √ 64; √ –27
Z
RACIONALES,
—
5; √ 64
Q
3
—
—
5; –2; 4,5; 7, 3; √ –27; √ 64
)
—
—
—
—
√ 3; 5; –2; 4,5; 7,3; –√6; √ 64; √ –27
)
3
3
—
NO REALES
Unidad 1. Números reales
√ –8
3
Página 29 3. Representa los siguientes conjuntos: b) [4, + @)
a) (–3, –1)
a) c)
–3
b)
–1 0 3
0
6
d) (– @, 0)
c) (3, 9] 0
4
d)
9
0
4. Representa los siguientes conjuntos: a) { x / –2 Ì x < 5}
b) [–2, 5) « (5, 7]
c) (– @, 0) « (3, +@)
d) (– @, 1) « (1, + @)
a)
–2
c)
0 0
b)
5
–2
d)
3
0
5
7
0 1
Página 30 1. Halla los siguientes valores absolutos: a) |–11|
b) |π|
c) |– √5|
d) |0|
e) |3 – π|
f) |3 – √2|
g) |1 – √2 |
h) |√2 – √3 |
i) |7 – √50 |
a) 11
b) π
c) √5
d) 0
e) |3 – π| = π – 3
f) |3 – √2 | = 3 – √2
g) |1 – √2 | = √2 – 1
h) | √2 – √3 | = √3 – √2
i) |7 – √50 | = √50 – 7
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
4
a) |x| = 5
b) |x| Ì 5
c) |x – 4| = 2
d) |x – 4| Ì 2
e) |x – 4| > 2
f ) |x + 4| > 5
a) 5 y –5
b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]
c) 6 y 2
d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@)
f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 31 1. Simplifica: c) √y 10
9
f) √81
b) √x 8
6
e) √64
d) √8 12
5
12
12
a) √x 9
8
12
a) √ x 9 = √ x 3 4
5
6
6
8
8
d) √ 8 = √ 23 = √ 2
c) √y 10 = y2 3
3
9
9
3
b) √x 8 = √ x 2
f ) √ 81 = √ 34 = √ 3
e) √ 64 = √ 26 = √ 22 = √ 4
3
4
2. ¿Cuál es mayor, √31 o √13 ? Reducimos a índice común: 12
4
√31 = √29 791 ;
12
3
√13 = √28 561
4
Por tanto, es mayor √31 .
3. Reduce a índice común: 3
18
12
b) √51
a) √a 5 y √a 7
9
9
3
36
18
36
12
9
y √132 650
b) √51 = √132651 ; √132650
a) √a 5 = √a 15 ; √a 7 = √a 14
4. Simplifica: —
(√√√—k )8 8 a) ( √ k ) = k
5 3
—
3
15
b) √x 10 = √ x 2
8
—
c) √(√x )6
b) √√x 10
a)
6
3
c) √ x 6 = x
Página 32 5. Reduce: 3
3
5
15
4
6
8
c) √2 · √2 · √2
b) √9 · √3
a) √2 · √2
4
3
d) √8 · √4
15
15
a) √25 · √23 = √28 6
6
6
8
8
8
12
12
b) √ 34 · √ 3 = √ 35 8
c) √ 24 · √ 22 · √ 2 = √ 27 12
12
12
d) √83 · √44 = √(23)3 · (22)4 = √217 = 2 √25
Unidad 1. Números reales
5
6. Simplifica: 5
a)
√
x3 = x5
c)
√
a3 = a4
6
√
√ 6
1 = √ x –2 x2
6 1 = √ a –1 a
4
6
√a3 c) 3 √a2
√a · b b) 3 √a · b
√x a) 3 √x
d)
b)
6
√
6 a3 b3 = √a b a2 b2
d)
√
a3 b5 c = a2 b6 c6
4
√ 4
√a3 · b5 · c √a · b3 · c3
a 1 = c b c5
√ 4
a bc
7. Reduce: 3
√32 a) √3 a)
c)
4
5
√16 c) √2
√9 b) 3 √3
d
√729 √3
√
6 34 = √3 33
b)
6
√
3 6 36 = √ 34 = √ 32 32
√
10 10 28 = √ 23 = √ 8 25
d)
√
4 36 = √ 34 = 3 32
10
4
8. Suma y simplifica: a) 5 √x + 3 √x + 2 √x b) √9 · 2 + √25 · 2 – √2 c) √18 + √50 – √2 – √8 d) √27 – √50 + √12 + √8 e) √50a – √18a a) 10 √x b) 3 √2 + 5 √2 – √2 = 7 √2 c) √18 + √50 – √2 – √8 = √2 · 32 + √2 · 52 – √2 – √23 = = 3 √2 + 5 √2 – √2 – 2 √2 = 5 √2 d) √33 – √2 · 52 + √22 · 3 + √23 = 3 √3 – 5 √2 + 2 √3 + 2 √2 = 5 √3 – 3 √2 e) √2 · 52 · a – √2 · 32 · a = 5 √2a – 3 √2a = 2 √2a
6
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 33 9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) c) e)
5
√7
√
3
√4 1
√a3 4
f)
2
i)
3
d)
√50 3
a)
7 3
3
g)
3
b)
√18 1
h)
√25 3
√40 2
j)
√36
3
3
√100
5 = 5√ 7 7 √7 3
b)
3 3 3 √2 = 3 = 3 2 2 √2 √4
c)
√
d)
1 1 √a = = 3 a2 a √a √a
e)
3 3 3 3√ 2 = = = 2 10 5√ 2 √ 50 √ 2 · 5
f)
4 4 4 = = = 4√ 2 = 2√ 2 2 3 6 3√ 2 √2 · 3 √ 18
g)
2 2 2 √5 = 3 = 3 2 5 √5 √ 25
h)
1 2 1 = 3 = 3 = 3 3 2√ 5 √2 · 5 √ 40
i)
3 3 3 √6 3 √2 · 3 = 3 = = = 3 2 2 6 2 · 3 √2 · 3 √ 36
7 √ 7 = √ 21 = 3 3 √3
3
3
3
√ 52 = √ 25 10
10
3
3
3
3
3
√6 2 3
2 2 √ 10 2 √ 2 · 5 2 √ 10 j) 3 = 3 = = = 2 2 5 10 2 · 5 √2 · 5 √ 100
Unidad 1. Números reales
7
10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) c) e) g)
1
b)
—
√2 + 1 —
√a – 1 1
—
f)
—
2 √3 – √5
√2
+
—
—
—
√x + √y
√x + √y d) — — √x – √y
a–1
1
x+y
—
1
—
√2 – 1
+
1
√2 + 1
—
—
—
—
3 √2 – 2 √3
h)
—
—
3 √2 + 2 √3
—
1
—
√x – √y
+
—
1
—
√x + √y
—
√2 – 1 √2 – 1 a) = = √2 – 1 — — (√ 2 + 1) (√ 2 – 1) 2–1 — — — — — — — — (x + y) (√ x – √ y ) x √x – x √y + y √x – y √y (x + y) (√ x – √ y ) b) = — — — — = x–y x–y (√ x + √ y ) (√ x – √ y )
— — (a – 1) (√ a + 1) (a – 1) (√ a + 1) c) = = √a + 1 — — (√ a – 1) (√ a + 1) (a – 1) — — — — — (√ x + √ y) (√ x + √ y) x + y + 2 √xy d) — — — — = x–y (√ x – √ y ) (√ x – √ y )
— — — — — — 2 √3 + √5 2 √3 + √5 2 √3 + √5 e) = — — — — = 7 12 – 5 (2 √ 3 – √ 5 ) (2 √ 3 + √ 5 )
f)
— — — — 2 30 + 12 √ 6 18 + 12 + 12 √ 6 (3 √ 2 + 2 √ 3 ) = = = 5 + 2 √6 18 – 12 6 6
g)
5 √3 √2 + √2 + 1 + √2 – 1 = √2 + 2 √2 = 2
—
h)
—
—
√x + √y + √x – √y x–y
2
1
1
—
—
—
—
=
2
— 2 √x x–y
Página 36 1. Halla:
8
a) log2 16
b) log2 0,25
c) log9 1
d) log10 0,1
e) log4 64
f ) log7 49
g) ln e 4
h) ln e –1/4
i ) log5 0,04
j ) log6
( ) 1 216
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
a) log2 16 = log2 24 = 4
b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2
c) log9 1 = 0
d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1
e) log4 64 = log4 43 = 3
f) log7 49 = log7 72 = 2
g) ln e4 = 4
h) ln e–1/4 = –
i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2
j) log6
1
1 4
( )
1 = log6 6–3 = –3 216
2. Halla la parte entera de: a) log2 60
b) log5 700
c) log10 43 000
d) log10 0,084
e) log9 60
f ) ln e
a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64 5 < log2 60 < 6 8
log2 60 = 5,…
b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125 4 < log5 700 < 5 8
log5 700 = 4,…
c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000 4 < log10 43 000 < 5 8
log10 43 000 = 4,…
d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1 –2 < log10 0,084 < –1 8
log10 0,084 = –1,…
e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81 1 < log9 60 < 2 8
log9 60 = 1,…
f) ln e = 1 3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log2 1 500
b) log5 200
c) log100 200
d) log100 40
En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. a)
log 1500 = 10,55; 210,55 ≈ 1500 log 2
b)
log 200 = 3,29; 53,29 ≈ 200 log 5
c)
log 200 = 1,15; 1001,15 ≈ 200 log 100
d)
log 40 = 0,80; 1000,80 ≈ 40 log 100
Unidad 1. Números reales
9
4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula: a) log5
√ 3
A2 25B
b) log5
5 √A3 B2
a) log5
√
b) log5
5 √ A3 3 3 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1 2 2 B2
3
A2 – 0,8 1 1 = [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ – 0,27 25B 3 3 3
5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y = 2x – ln 5 ln y = 2x – ln 5 8 ln y = ln e2x – ln 5 2x ln y = ln e 5
2x 8 y= e 5
Página 38 1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2. b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 19 000 € al año. a) |Error absoluto| < 0,05 m2 |Error relativo|