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• Sandra Milena

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ASOCIACIÓN MATEMÁTICA DE VENEZUELA

ASOCIACIÓN VENEZOLANA DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

Olimpíada Recreativa de Matemática

PRUEBAS CANGURO PRUEBAS FINALES REGIONALES PRUEBAS FINALES NACIONALES AÑO 2005

OLIMPÍADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA

2005

CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

TERCER GRADO 1) Un ratoncito se para sobre un número de un ejercicio correctamente resuelto: 2005 – 205 = 1300 + ¿Qué número está cubriendo el ratoncito? A 250 B 400 C 500 D 910 E 1800 2) Carmen compró galletas a Bs. 250 cada galleta. Dio Bs. 1000 y le dieron de vuelto Bs. 250. ¿Cuántas galletas compró Carmen? A 6

B 5

C 4

D 3

E 2

3) Ana vive en su hogar con su padre, su madre, un hermano, un perro, dos gatos, dos loros y cuatro peces. ¿Cuál es el total de piernas y patas en la casa de Ana? A 22

B 24

C 28

D 32

E 40

4) Hay ocho canguros en las celdas de la tabla, según se observa en la figura. Determina el menor número de canguros que deben brincar a otras celdas de tal forma que queden exactamente dos canguros en cada fila o en cada columna de la tabla. A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

5) Pedro gira el triángulo sombreado, en el interior del cuadrado, alrededor del punto P, como se observa en las figuras: 0 P

P 1

,

P 2

,

,...

¿En cuál posición estará el triángulo después de siete movimientos?

A

7 P

B

P 7

C

P 7

D

7

P

7 E

P

6) En el campamento vacacional “Canguro”, Alejandro resuelve 5 problemas cada día y Sergio resuelve 2 problemas cada día. ¿En cuántos días Sergio resuelve la misma cantidad de problemas que Alejandro hace en 6 días? A 19 B 18 C 15 D 16 E 17 7) Imagínate que tienes dos dados normales como los de la figura (la suma de los puntos en las caras opuestas es siete). Si lanzas los dados y la suma de los puntos en las caras superiores es cinco, ¿cuál es la suma de los puntos en las caras opuestas a ellas? 0 P

P 1

P 2

A 9

B 8

C 7

D 6

E 5

8) Cinco compañeros compran una pizza grande y la mandan a cortar en diez pedazos iguales. Se reparten la pizza en forma equitativa (cada quien recibe la misma cantidad de pizza). ¿Cuánta pizza recibe cada uno de ellos? A un décimo

B

dos quintos

D un medio

C un cuarto

E dos décimos

9) En un primer acto, los monos de un circo se arreglan en forma rectangular formando 6 filas, con 4 monos en cada fila. En el segundo acto, los mismos monos se arreglan en 8 filas, con el mismo número de monos por fila. ¿Cuántos monos hay en cada fila? A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

10) Entre los cinco números de abajo, elijo el número par con todos sus dígitos diferentes de tal forma que el dígito en la posición de la centena es el doble del dígito en las unidades y el dígito en la decena es mayor que el dígito en las unidades de mil. ¿Qué número elegí? A 1246

B 3874

C 4683

D 7854

E 8462

11) Una pieza cuadrada de papel se corta en tres partes. Observa dos de las partes: ¿Cuál es la tercera parte?

12) Un ascensor acepta una carga máxima de 150 kilogramos. Cuatro amigos pesan: 60 kg, 80 kg, 80 kg y 80 kg. ¿Cuál es el menor número de veces que el ascensor debe subir para llevar a los cuatro amigos al piso más alto? A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

13) Tres hormigas caminan a lo largo de una recta numérica. Cuando se cansan, la hormiga María se sienta sobre el número 24, la hormiga Ana se sienta en el número 66 y la hormiga Carmen se sienta justo en el medio entre María y Ana. ¿En cuál número está Carmen sentada? A 48

B 33

C 42

D 35

E 45

14) Una tienda compra 58 pares de zapatos en tres colores: negros, blancos y marrones. El número de zapatos negros es igual al número de zapatos blancos y el número de pares de zapatos marrones es 16. ¿Cuántos pares de zapatos blancos compró la tienda? A 42 B 37 C 29 D 21 E 16 15) En un baúl hay 5 cofres, en cada cofre hay 3 cajas y en cada caja hay 10 monedas de oro. El baúl, los cofres y las cajas tienen cerradura con llave. ¿Cuál es el menor número de cerraduras que deben ser abiertas con el fin de obtener 50 monedas de oro? A 9

B 8

a 8

C 7

D 6

b 10

E 5

c 11

d

13

16) 2005 unidades más 2005 centenas es igual a: A 2025,05

B 2005,2005

D 2205,5

C

2007005

E 202505

17) Se tienen 9 hojas de papel de carta. Algunas de ellas se cortan en tres partes y así tenemos entonces en total quince piezas de papel. ¿Cuántas hojas de papel se cortaron en tres partes? A 3

B 2

C 1

D 4

E 5

18) Con seis fósforos puedes construir sólo un rectángulo. Observa el mismo rectángulo en dos posiciones. ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes construir con 14 fósforos? A 2

B 3

C 4

D 6

E 12

19) A la entrada de un puente se encuentran las dos señales de tránsito de la derecha. Estas señales indican el ancho máximo y el peso máximo permitido. ¿Cuál de los siguientes camiones puede pasar el puente?

3,25 m

4300 kg A Uno que tiene 315 cm de ancho y pesa 4307 kg B

Uno que tiene 330 cm de ancho y pesa 4250 kg

C

Uno que tiene 325 cm de ancho y pesa 4400 kg

D

Uno que tiene 322 cm de ancho y pesa 4298 kg

E

Imposible determinar cuál camión pasa

20) Miguel elige dos números: uno de tres dígitos y otro de dos dígitos. La diferencia de esos números es 989. ¿Cuál es la suma de esos números elegidos por Miguel? A 1000

B 1001

C 1009

D 1010

E 2005

21) Observa las balanzas en equilibrio 20 g

16 g

¿Cuánto pesa el cubo? A 5g B 7g C 9g D 10 g E 12 g 22) En una recta numérica, el punto B está 1 cm a la derecha del punto A. El punto C está 2 cm a la izquierda del punto A. El punto D está 3 cm a la derecha del punto B y el punto E está 12 cm a la izquierda del punto D. ¿Cuántos centímetros separan el punto A del punto E? A 8 cm

B 7 cm

C 6 cm

D 5 cm

E 4 cm

23) ¿De cuántas formas diferentes se puede obtener la suma 9 al lanzar tres cubos en cuyas caras están los números del 1 al 6?

A 2

B 4

C 5

D 6

E 9

24) ¿Cuál de los siguientes cubos es obtenido al doblar la plantilla de la derecha?

A

B

D

C

E

OLIMPÍADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA 2005 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

CUARTO GRADO 1) Una mariposa se para sobre un número de un ejercicio correctamente resuelto: 3.– Observa las siguientes figuras:

2  2005 – 2005 = 1004 +

¿Qué número está cubriendo la mariposa? A B C D ¿Cuáles de ellas escogerías para tener una figura sombreada completa a Ay B

b

ByD

c ByC

d

Ay C

A 2005

B 1400

C 1001

D 910

E 1800

2) Carmen compró galletas a Bs. 350 cada galleta. Dio Bs. 2000 y le dieron de vuelto Bs. 250. ¿Cuántas galletas compró Carmen? A 2

B 3

C 4

D 5

E 6

3) Ana vive en su hogar con su padre, su madre, un hermano, un perro, dos gatos, dos loros y cuatro peces. ¿Cuántas piernas y patas hay en total en la casa de Ana? A 22

B 24

C 28

D 32

E 40

4) Hay ocho canguros en las celdas de la tabla, según se observa en la figura. Determina el menor número de canguros que deben brincar a otras celdas de tal forma que queden exactamente dos canguros en cada fila o en cada columna de la tabla. A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

5) Pedro gira el triángulo sombreado, en el interior del cuadrado, alrededor del punto P, como se observa en las figuras: 0 P

P 1

,

P 2

,

,

¿En cuál posición estará el triángulo después de diecisiete movimientos? 17 P

A

17 P

B

C

P 17

D

P 17 E

17 P

6) 2005 unidades + 2005 centésimas es igual a A 2005,002005

B 2007,005

C 2025,05

D 2005,2005

7) Juan tiene una tableta de chocolate formada con piezas cuadradas de 1cm  1cm. Él se come algunas piezas en una esquina de la tableta, como muestra la figura. ¿Cuántas piezas de chocolate le 6 cm quedan a Juan? A 60

B 61

C 62

D 64

E 2205,5 11 cm 4 cm 8 cm

E 65

8) Daniel quiere llenar el tanque de agua de su tortuga que tiene capacidad de 4 baldes de agua y está vacío. Él llena el balde de agua en una toma de agua, pero bota la mitad del agua al llevar el balde desde la toma de agua al tanque de la tortuga. ¿Cuántos viajes debe hacer Daniel para llenar el tanque de agua? A 4

B

5

C

6

D 7

0 P

E 8

P 1

P 2

9) En un primer acto, los monos de un circo se arreglan en forma rectangular formando 6 filas, con 4 monos en cada fila. En el segundo acto, los mismos monos se arreglan en 8 filas, con el mismo número de monos por fila. ¿Cuántos monos hay en cada fila? A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

10) Entre los cinco números de abajo, elijo el número impar con todos sus dígitos diferentes de tal forma que el dígito en la posición de la centena es el triple del dígito en las unidades y el dígito en la decena es mayor que el dígito en las unidades de mil. ¿Qué número elegí? A 4341

B 2973

C 4683

D 5672

E 8662

11) Dieciocho estudiantes están cruzando una calle en parejas. Se numeran del 1 al 9 las parejas de estudiantes. Las parejas con número par están formadas de una hembra y un varón. Las parejas con número impar están formadas de dos varones. ¿Cuántos varones cruzan la calle? A 16

B 14

C 12

D 10

E 8

12) Se tienen 9 hojas de papel de carta. Algunas de ellas se cortan en cuatro partes y así tenemos entonces en total quince piezas de papel. ¿Cuántas hojas de papel se cortaron en cuatro partes? A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

13) Tres hormigas caminan a lo largo de una recta numérica. Cuando se cansan, la hormiga María se sienta en el número 24, la hormiga Ana se sienta en el número 66 y la hormiga Carmen se sienta entre María y Ana, a dos tercios de la distancia de María a Ana, quedando más cerca de Ana. ¿En cuál número está Carmen sentada? A 45

B 42

C 60

D 35

E 52

14) En una sección de cuarto grado, todos los alumnos tienen en total 39 lápices. Ocho de los

alumnos tienen un lápiz cada uno. Cinco alumnos tienen tres lápices cada uno. El resto de los alumnos tienen dos lápices cada uno. ¿Cuántos alumnos hay en la sección? A 17

B 18

C 19

D 21

E 22

15) En un baúl hay 5 cofres, en cada cofre hay 3 cajas y en cada caja hay 10 monedas de oro. El baúl, los cofres y las cajas tienen cerradura con llave. ¿Cuál es el menor número de cerraduras que deben ser abiertas con el fin de obtener 90 monedas de oro? A 12

B 13

C 14

D 15

E 16

16) Dos gatos Tini y Toni y dos perros Dini y Doni se encuentran ocasionalmente. Tini le tiene miedo a los perros y Toni le tiene miedo a Dini pero es amigo de Doni. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? A Cada gato le tiene miedo a algún perro B Algún gato no le tiene miedo a algún perro C

Hay un perro al que le tiene miedo ambos gatos a 8

b 10

c 11

d

13

D

Cada perro asusta algún gato

E

Existe un perro amigo de ambos gatos

17) Un ascensor acepta una carga máxima 150 kilogramos. Cuatro amigos pesan lo siguiente: uno, un tercio de la carga máxima; otro, dos quintos de la carga máxima; un tercero, un medio de la carga máxima y el cuarto, dos tercios de la carga máxima. ¿Cuál es el menor número de veces que el ascensor debe subir para llevar a los cuatro amigos al piso más alto? A 2

B 3

C 4

D 5

E 6

18) Con seis fósforos puedes construir sólo un rectángulo. Observa el mismo rectángulo en dos posiciones. ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes construir con 22 fósforos? A 3

B 5

C 6

D 8

E 10

19) Se construye un jardín como el de la figura. Las regiones de color gris son de igual tamaño y las medidas del jardín están señaladas en la figura. Si se quiere colocar listones de madera alrededor de cada región gris, ¿cuántos metros de listones se necesitan para cada región gris? A 4

B 8

C 16

D 24

16 m

E 30

20 m

20) Observa las balanzas en equilibrio 20 g

15 g

¿Cuánto pesa el cubo? A 5g

B 7,5 g

C

10 g

D 8,5 g

E 8g

21) En una recta numérica, el punto B está 1 cm a la derecha del punto A. El punto C está 2 cm a la izquierda del punto A. El punto D está 3 cm a la derecha del punto B y el punto E está 12 cm a la izquierda del punto D. ¿Cuántos centímetros separan el punto A del punto E? A 4 cm

B 5 cm

C 6 cm

D 7 cm

E 8 cm

22) Cinco cartas están sobre una mesa en el orden 5, 1, 4, 2, 3. Se considera un movimiento el intercambio de dos cartas cualesquiera. ¿Cuál es el menor número de movimientos que se deben realizar para colocar las cartas en el orden 1, 2, 3, 4 ,5? A 4

B 6

5

1

4

2

3

1

2

3

4

5

C 5

D 2 E 9 3.– Observa las siguientes figuras: 23) A cada número de dos dígitos, le determinamos primero el producto de sus dígitos y luego la suma de los dígitos del producto. ¿Cuál es la mayor suma que se puede obtener? A B C D ¿Cuáles de ellas escogerías para tener una figura sombreada completa a Ay B

b

ByD

c ByC

d

Ay C

A 11

B 14

C 12

D 13

E 15

24) ¿Cuál de los siguientes cubos es obtenido al doblar la plantilla de la derecha? A

B

D

C

E

OLIMPÍADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA 2005 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

QUINTO GRADO 1) El canguro resolvió correctamente el ejercicio, pero se sentó en un número. ¿Cuál es ese número? 2005 – 205 = 25 + A 250

B 1800

C 1775

D 1825

E 2185

2) Entre Carmen y Ana tienen diez mangos, pero Carmen tiene dos mangos más que Ana. ¿Cuántos mangos tiene Carmen? A 3

B 4

C 5

D 6

E 7

3) Un cuadrado tiene de lado 20 cm. En el vértice M del cuadrado hay dos hormigas. Ellas comienzan a moverse simultáneamente, en sentidos opuestos a lo largo de los lados del cuadrado. Una de ellas recorre 1 cm cada segundo y la otra recorre el doble cada segundo. Después de 21 segundos, ¿a qué distancia se encuentran separadas? A 21cm

B 17cm

C 18cm

D 32cm

M

E 15cm

4) Se reparten equitativamente dos pizzas entre cinco niños. ¿Qué fracción de una pizza le corresponde a cada niño? A Dos quintos B Un medio D Cinco medios

C Un quinto E Dos medios

5) Pedro gira el triángulo sombreado, en el interior del cuadrado, alrededor del punto P, como se observa en las figuras:

0 P

P 1

,

P 2

,

,...

¿En cuál posición estará el triángulo después de treinta y siete movimientos?

A

37 P

B

37 P

P 37

C

D

P 37

37 E

P

6) (100  2005 + 2005)  2005 = A 200500

B 20,05

C 101

D 10,10

E 2005

7) El dibujo muestra un cubo de lado 12 cm y una hormiga caminando desde el punto A al punto B siguiendo la ruta de las flechas. ¿Qué distancia recorre la hormiga? A 60 cm

B 65 cm

D 24 cm

C 36 cm E Imposible determinar

8) Juan tiene una tableta de chocolate formada con piezas cuadradas de 1cm  1cm. Él se come algunas piezas en una esquina de la tableta, como muestra la 8 cm figura. ¿Cuántas piezas de chocolate le quedan a Juan? A 118

B 114

C 112

D 110 11 cm

E 102

0 8 cm P

P 1

5 cm 9 cm

4 cm

6 cm

15 cm

P 2

9) Daniel quiere llenar el tanque de agua de su tortuga que tiene capacidad de 4 baldes de agua y está vacío. Él llena el balde de agua en una toma de agua, pero bota un tercio del agua al llevar el balde desde la toma de agua al tanque de la tortuga. ¿Cuántos viajes debe hacer Daniel para llenar el tanque de agua? A 4

B 2

C 6

D 5

E 9

10) Alrededor de un jardín de forma rectangular se construye una calzada de igual ancho en todas sus partes, según la figura. El perímetro del borde exterior de la calzada es exactamente 8 metros más que el perímetro de la parte interna de la calzada. ¿Cuál es el ancho de la calzada? A 5m

B 1m

C 2m

D 3m

E 6m

11) Petra toma una hoja de papel y la corta en diez piezas. Toma una de las piezas de papel y la corta en diez piezas y repite dos veces más el proceso. ¿Cuántas piezas de papel tiene Petra? A 40

B 37

C 47

D 50

E 57

12) Cinco cartas están sobre una mesa en el orden 1, 3, 5, 4, 2. Se considera un movimiento el intercambio de dos cartas cualesquiera. ¿Cuál es el menor número de movimientos que se deben realizar para colocar las cartas en orden creciente? A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

1

3

5

4

2

1

2

3

4

5

13) Vanesa elige un número entero y lo multiplica por 3. ¿Cuál de los siguientes números no puede ser el producto? A 105

B 513

C 201

D 504

E 103

14) En un baúl hay 5 cofres, en cada cofre hay 3 cajas y en cada caja hay 10 monedas de oro. El baúl, los cofres y las cajas tienen cerradura con llave. ¿Cuál es el menor número de cerraduras que deben ser abiertas con el fin de obtener 90 monedas de oro? A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

15) Tres hormigas caminan a lo largo de una recta numérica. Cuando se cansan, la hormiga María se sienta en el número 20, la hormiga Ana se sienta en el número 65 y la hormiga Carmen se sienta entre María y Ana, a tres quintos de la distancia de María a Ana, quedando más cerca de Ana. ¿En cuál número está Carmen sentada? A 60

B 47

C 40

D 35

E 28

16) Los siguientes cinco rectángulos, con sus lados numerados, se trasladan sin rotar a las posiciones I, II, III, IV y V de tal forma que los números, de los lados que se tocan de dos rectángulos, sean iguales. ¿Cuál rectángulo se coloca en el sitio I? A 5 7 8 4

A E

B D

a 8

C A

B 8 3 5 0

C 0 9 7 2

I

II

IV

V D B

b 10

D 2 1 3 6

E 1 6 4 9

III

E C

c 11

d

13

17) Wamwa necesita en total 40 minutos para ir caminando de su casa al mar y regresar en un elefante. Si hace el camino de ida y vuelta en el elefante tarda sólo 32 minutos. ¿Cuántos minutos tardaría en ir y venir caminando? A 48

B 46

C 45

D 44

E 42

18) ¿Cuántas horas hay en la mitad de un tercio de un cuarto del día? A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

19) ¿Cuál de los siguientes cubos es obtenido al doblar la plantilla de la derecha?

A

B

D

E

C

20) Con seis fósforos puedes construir sólo un rectángulo. Observa el mismo rectángulo en dos posiciones. ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes construir con 32 fósforos? A 5

B 6

C 8

D 10

E

3

21) En la figura hay 7 cuadrados. ¿Cuántos triángulos hay más que cuadrados?

A hay igual cantidad

B 4

C 1

D 2

E 3

22) Si a la banda formada con las bandas azul y verde le asignamos el número 2, ¿qué número le asignamos a una sola banda roja? A

1 2

B

1 4

C

1 8

D

1 3

E

1 6

23) Observa las balanzas en equilibrio:

25 g

17 g

¿Cuánto pesa el cilindro? A 5,75 g

B 7,5 g

C 8g

D 8,25 g

E 10 g

Azul Roja

Roja

Verde Roja

Roja

24) María compra una torta y la divide en partes iguales entre sus cuatro hijos. Ana y Benito se comen sus trozos completos, pero Carlos se come sólo la mitad de su parte y Diana sólo un quinto del de ella. ¿Cuánta torta quedó? A

13 40

B

9 40

C

4 5

D

3 10

E

11 40

25) El promedio de los pesos de tres niños es 52 kilogramos. Cuando uno de ellos se va, el promedio de los pesos es 48 kilogramos. ¿Cuál es el peso del que se fue? A 48 kg

B 52 kg

C 54 kg

D 58 kg

E 60 kg

26) Hay 25 alumnos en una fila. Julia está en el puesto 19 desde el frente y Jenny está en el puesto 14 desde el final. ¿Cuántos alumnos hay entre Julia y Jenny? A 9 B 6

C

7

D 8

E 5

27) Cuatro metros de tela es dividido por cuatro cortes en piezas de igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada pieza? A 0,4m

B 1m

C 0,8m

D 0,5m

E 0,6m

28) En la siguiente multiplicación letras diferentes corresponden a dígitos diferentes:

1 A B C D E  3 A B C D E 1 ¿Que dígito corresponde a la letra A? A 8 B 7

C 6

D 5

E 4

29) Considera cada triángulo pequeño como unidad de superficie. ¿Cuál es el área del mayor trapecio que puedes dibujar en la rejilla formada de triángulos? A 9

B 16

C 21

D 24

E 25

?

30) ¿Qué número va en el vértice superior del arreglo triangular? A 82 D 50

B 70

C

55

27

E 32

15

7 2

5

6

3.– Observa las siguientes figuras:

A B C D ¿Cuáles de ellas escogerías para tener una figura sombreada completa a Ay B

b

ByD

c ByC

d

Ay C

OLIMPÍADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA 2005 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

SEXTO GRADO 1) El canguro resolvió correctamente el ejercicio, pero se sentó en un número. ¿Cuál es ese número? (2005 + 5002)  7 = 2005  A 1250

B 1800

C 1004

D 1005

E 1805

2) Vanesa elige un número entero y lo multiplica por 6. ¿Cuál de los siguientes números no puede ser el producto? A 108

B 504

C 102

D 104

E 510

3) Un cuadrado tiene de lado 20 cm. En el vértice M del cuadrado hay dos hormigas. Ellas comienzan a moverse simultáneamente, en sentidos opuestos a lo largo de los lados del cuadrado. Una de ella recorre 1 cm cada segundo y la otra recorre el triple. ¿Después de cuántos segundos se encuentran por primera vez? A 10 s

B 20 s

C 30 s

D 40 s

M

E 60 s

4) Se reparten equitativamente tres pizzas entre cuatro niños. ¿Qué fracción de una pizza le corresponde a cada niño? A Tres cuartos B Un medio D Tres medios

C Dos quintos E Un cuarto

5) Pedro gira el triángulo sombreado, en el interior del cuadrado, alrededor del punto P, como se observa en las figuras:

0 P

P 2

P 1

, , , ... ¿En cuál posición estará el triángulo después de ciento treinta y siete movimientos? A

137 P

137 B

P 137

C

P

D

137 P

E

137 P

6) ¿Cuál es el dígito en la posición de las centenas del menor número de cuatro dígitos diferentes? A 4

B 2

C 3

D 0

E 1

7) El dibujo muestra un cubo de lado 12 cm y una hormiga caminando desde el punto A al punto B siguiendo la ruta de las flechas. ¿Qué distancia recorre la hormiga? A 72 cm D 48 cm

B 65 cm

C 60 cm

E Imposible determinar

B

8) Juan tiene una tableta de chocolate formada con piezas cuadradas de 1cm  1cm. Él se come algunas piezas en una esquina de la tableta, como muestra la figura. ¿Cuántas piezas de chocolate le quedan a Juan? A 118

B 144

C 162

11 cm D 210

E 212

0 8 cm P

P 1

6 cm

14 cm 13 cm

4 cm

6 cm

18 cm

P 2

9) Daniel quiere llenar el tanque de agua de su tortuga que tiene capacidad de 5 baldes de agua y está vacío. Él llena el balde de agua en una toma de agua, pero bota un quinto del agua al llevar el balde desde la toma de agua al tanque de la tortuga. ¿Cuántos viajes debe hacer Daniel para llenar el tanque de agua? A 8

B 4

C 7

D 6

E 5

10) Alrededor de un jardín de forma rectangular se construye una calzada de igual ancho en todas sus partes, según la figura. El perímetro del borde exterior de la calzada es exactamente 16 metros más que el perímetro de la parte interna de la calzada. ¿Cuál es el ancho de la calzada A 6m

B 2m

C

3m

D 5m

E 4m

11) Petra toma una hoja de papel y la corta en diez piezas. Toma una de las piezas de papel y la corta en diez piezas y repite ocho veces más el proceso. ¿Cuántas piezas de papel tiene Petra? A 87

B 91

C 72

D 97

E 81

12) Cinco cartas están sobre una mesa en el orden 4, 3, 5, 1, 2. Se considera un movimiento el intercambio de dos cartas cualesquiera. ¿Cuál es el menor número de movimientos que se deben realizar para colocar las cartas en orden creciente? A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

4

3

5

1

2

1

2

3

4

5

13) ¿Cuál es el menor número posible de hijos en la familia de Juan si cada hijo o hija tiene al menos

una hermana y un hermano? A 2

B 4

C 3

D 1

E 5

14) En un baúl hay 5 cofres, en cada cofre hay 3 cajas y en cada caja hay 10 monedas de oro. El baúl, los cofres y las cajas tienen cerradura con llave. ¿Cuál es el menor número de cerraduras que deben ser abiertas con el fin de obtener 110 monedas de oro? A 12

B 13

C 14

D 16

E 17

15) Tres hormigas caminan a lo largo de una recta numérica. Cuando se cansan, la hormiga María se sienta en el número 35, la hormiga Ana se sienta en el número 75 y la hormiga Carmen se sienta entre María y Ana, a cinco octavos de la distancia de María a Ana, quedando más cerca de Ana. ¿En cuál número está Carmen sentada? A 45

B 60

C 55

D 54

E 50

16) Los siguientes cinco rectángulos, con sus lados numerados, se trasladan sin rotar a las posiciones I, II, III, IV y V de tal forma que los números, de los lados que se tocan de dos rectángulos, sean iguales. ¿Cuál rectángulo se coloca en el sitio IV? A B C D E 0 2 1 5 8 6 7 8 4 3 5 9 7 1 3 4 0 2 6 9

A E

I

II

IV

V

B C

III

C A

D B

E D

17) En la figura hay 7 cuadrados. ¿Cuántos triángulos hay más que cuadrados? A 3 D

B 4

2 E

a 8

C

1

hay igual cantidad

b 10

c 11

d

13

18) El planeta Mercurio tarda 88 días en dar la vuelta completa al Sol, es decir, un año en Mercurio es de 88 días. Si tienes 12 años, ¿cuántos años tendrías en Mercurio? A 50

B 49

C 42

D 2

E 1

19) ¿Cuál de los siguientes cubos es obtenido al doblar la plantilla de la derecha? A

B

D

E

C

20) Con seis fósforos puedes construir sólo un rectángulo. Observa el mismo rectángulo en dos posiciones. ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes construir con 64 fósforos? A 20

B 18

C 16

D 15

E

12

21) La suma de cinco números naturales consecutivos es 2005. ¿Cuál es el mayor de esos números? A 400

B

401

C 2001

D 405

E

403

22) Si a la banda formada por las bandas azul y verde le asignamos el número 3, ¿qué número le asignamos a una sola banda roja? 3 A 4

B

1 4

C

3 8

1 3

D

E

Azul Roja

Roja

Verde Roja

Roja

1 6

23) Cuando Jorge tomó su lugar en la banda observó que él era el décimo desde el frente, el séptimo desde atrás, el tercero de la izquierda y el octavo de la derecha, en la formación rectangular. ¿Cuántas personas hay en la banda? B 100

C 150

D 160

E 170

24) El diagrama corresponde al jardín de la familia Pérez. En total tiene un área de 30m2 y está dividido en tres regiones rectangulares. La región de las flores tiene un lado que mide 2m y un área de 10m2. La región de las fresas tiene un lado que mide 3m. ¿Cuál es el área de la región de los vegetales? A 8m2

B 6m2

C 4m2

D 2m2

E 1m2

2m vegetales flore s

A 75

3m

fresas

25) ¿Cuál número debes eliminar de la siguiente lista de tal forma que el promedio de los números restantes sea 6,1? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 A 8

B 4

C 6

D

3

E 5

26) ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 100?

3.– Observa las siguientes figuras:

A 8

B 9

C 12

D 16

E 20

A B C D ¿Cuáles de ellas escogerías para tener una figura sombreada completa a Ay B

b

ByD

c ByC

d

Ay C

27) La figura está formada de láminas cuadradas de lado 1cm. ¿Cuál es el menor número de láminas que debes agregar a la figura para obtener una figura de 16cm de perímetro? Las láminas que agregues deben tener en común con la figura al menos un lado. A 4

B 5

C 2

D 3

E

6

?

28) ¿Cuál número va en el vértice superior del arreglo triangular? A 32

B 50

D 70

C

55

27

E 82

15

7 2

5

6

29) La figura está formada de cinco círculos, tangentes uno con otro, de radio 1cm y un cuadrado cuyos vértices coinciden con los centros de cuatro de los círculos. Determina el área de la superficie sombreada de los círculos que está en el interior del cuadrado. A 4 cm2

B 5 cm2

D 2 cm2

C 6 cm2

E 3 cm2

30) Pedro tiene un candado de combinación con un código de tres dígitos. Él olvidó el número del código, pero recuerda que los dígitos son diferentes y que el primer dígito es igual al cuadrado del cociente del segundo dígito entre el tercero. ¿Cuántas combinaciones en total debe probar Pedro para abrir el candado? A 4

B 3

C 2

D

1

E 8

OLIMPÍADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA 2005 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

SÉPTIMO GRADO 1) ¿Cuál es el menor número posible de hijos en la familia de Juan si cada hijo o hija tiene al menos

una hermana y un hermano? A 2

B 1

C 4

D 5

E 3

2) Entre Carmen y Ana tienen veinticuatro mangos, pero Carmen tiene el triple de mangos que Ana. ¿Cuántos mangos tiene Carmen? A 6

B 9

C 12

D 18

E 20

3) La figura está formada de láminas cuadradas de lado 1,5cm. ¿Cuál es el menor número de láminas que debes agregar a la figura para obtener una figura de 24cm de perímetro? Las láminas que agregues deben tener en común con la figura al menos un lado. A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

4) En un colegio, el 50% de los alumnos tienen bicicletas. De los que tienen bicicletas, el 30% tienen patines. ¿Qué tanto por ciento de los alumnos de la escuela tiene bicicletas y patines? A 15%

B 20%

C 25%

D 40%

E

80%

5) La suma de cinco números naturales consecutivos es 2005. ¿Cuál es el mayor de esos números? A 400

B

401

C

402

D 403

E 2001

6) ¿Cuál es el dígito en la posición de las centenas del menor número de cuatro dígitos diferentes? A 2 B 1 C 0 D 4 E 3 7) El dibujo muestra un cubo de lado 12cm y una hormiga caminando desde el punto A al punto B siguiendo la ruta de las flechas. ¿Qué distancia recorre la hormiga? A 84cm D 60cm

B 72cm

A

C 65cm

E Imposible determinar

8) Juan tiene una tableta de chocolate formada con piezas cuadradas de 1cm  1cm. Él se come algunas piezas en las esquinas de la tableta, como muestra la figura. ¿Cuántas piezas de chocolate le quedan a Juan? A 118

B

B 144

C 162

D 212

18 cm 8 cm

14 cm

E 222 13 cm

9) Dos niñas y tres niños se comieron 16 barquillas de helados entre todos. Cada niño comió dos veces más de lo que comió cada niña. ¿Cuántas barquillas se comerán en total tres niñas y dos niños si cada uno se come la misma cantidad de helados que los anteriores? A 12

B 13

C 14

D 15

E 16

10) ¿Cuál número debes eliminar de la siguiente lista de tal forma que el promedio de los números restantes sea 6,1? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 A 4

B 5

C 6

11 cm

D 7

E 10

4 cm

6 cm 0 8 cm P

P 1

P 2

11) Petra toma una hoja de papel y la corta en diez piezas. Toma una de las piezas de papel y la corta en diez piezas y repite dieciocho veces más el proceso. ¿Cuántas piezas de papel tiene Petra? A 191

B 181

C 169

D 187

E 157

12) Cinco cartas están sobre una mesa en el orden 4, 3, 5, 1, 2. Se considera un movimiento el intercambio de dos cartas cualesquiera. ¿Cuál es el menor número de movimientos que se deben realizar para colocar las cartas en orden creciente?

4

3

5

1

2

1

2

3

4

5

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 13) Varias garzas se paran sobre unos postes que se encuentran en el fondo de un jardín, de manera que hay exactamente una garza en cada poste. Desafortunadamente, queda una garza sin poste sobre el cual pararse. Más tarde, las mismas garzas se colocan en pares sobre los postes y ahora queda un poste sin ninguna garza. ¿Cuántos postes hay en el fondo del jardín? A 2

B 3

C 4

D 5

E 6

14) Un vigilante trabaja 4 días seguidos y descansa el quinto día. Descansó el día domingo y comenzó a trabajar el lunes. ¿En cuántos días volverá a descansar un día domingo? A 30

B 36

C 12

D 34

E 7

15) Un cartel de tiro al blanco es como el de la figura. El puntaje obtenido es inversamente proporcional al área de la región. Si el dardo cae en la región B se gana 10 puntos. ¿Cuántos puntos se ganan si el dardo cae en la región C? A 24

B 20

C 16

D 8

D C B A

E 5

16) Los siguientes cinco rectángulos, con sus lados numerados, se trasladan sin rotar a las posiciones I, II, III, IV y V de tal forma que los números, de los lados que se tocan de dos rectángulos, sean iguales. ¿Cuál rectángulo se coloca en el sitio V? A 5 7 8 4

B 9 3 5 0

C 0 9 7 2

I

II

IV A E

B D

C A

D 2 1 3 6

E 1 6 4 9

III V

D C

E B

17) Pedro tiene un candado de combinación con un código de tres dígitos. Él olvidó el número del código, pero recuerda que los dígitos son diferentes y que el primer dígito es igual al cuadrado del cociente del segundo dígito entre el tercero. ¿Cuántas combinaciones en total debe probar Pedro para abrir el candado? A 4

B 3

C 2

D 1

E 8

18) Si a la banda formada con las bandas azul y verde le asignamos el número 5, ¿qué número le asignamos a una sola banda roja? A

1 4

B

5 4

C

3 8

D

1 3

E

Azul Roja

Verde

Roja

Roja

1 6

19) Con seis fósforos puedes construir sólo un rectángulo. Observa el mismo rectángulo en dos posiciones. ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes construir con 64 fósforos? A 22

B 20

C 18

D 16

1

l

E

2

12

3

4 d

n-1

n

Roja

20) Cuando Jorge tomó su lugar en la banda observó que él era el décimo desde el frente, el séptimo desde atrás, el tercero de la izquierda y el octavo de la derecha, en la formación rectangular. ¿Cuántas personas hay en la banda? A 75

B 100

C

160

D 150

E 120

21) El diagrama corresponde al jardín de la familia Pérez. En total tiene un área de 30m2 y está dividido en tres regiones rectangulares. La región de las flores tiene un lado que mide 2m y un área de 10m2. La región de las fresas tiene un lado que mide 3m. ¿Cuál es el área de la región de los vegetales? B 2m2

C 4m2

D 6m2

vegetales flore s

A 1m2

2m

E 8m2

3m

fresas

22) La figura está formada de cinco círculos, tangentes uno con otro, de radio 1cm y un cuadrado cuyos vértices coinciden con los centros de cuatro de los círculos. Determina la razón entre el área de la superficie sombreada de los cinco círculos y el área de la superficie no sombreada de los cinco círculos A 2:3

B 3:2

C 4:1

D 1:4

E 2:2

23) Dos gatos Tini y Toni y dos perros Dini y Doni se encuentran ocasionalmente. Tini le tiene miedo a los perros y Toni le tiene miedo a Dini pero es amigo de Doni. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? A Cada gato le tiene miedo a algún perro B Algún gato no le tiene miedo a algún perro C

Hay un perro al que ambos gatos le tienen miedo

D Existe un perro amigo de ambos gatos E Cada perro asusta algún gato 24) Un grupo de estudiantes está planificando un viaje. Si cada uno de ellos hace una contribución de Bs. 14000 para los gastos del viaje, faltarán Bs. 4000 para cubrir los gastos totales. Pero, si cada uno de ellos hace una contribución de Bs. 16000, tendrán Bs. 6000 más de lo que necesitan. ¿Con cuánto debe contribuir cada uno de los estudiantes para recolectar exactamente la cantidad de dinero que necesitan para el viaje? A 14800

B 14600

C 14400

D 14200

E 14100

a

25) El diagrama corresponde al plano de una habitación. Las paredes son perpendiculares unas a otras. Las letras a y b corresponden a las dimensiones de la habitación. Determina el área de la habitación. A 2ab + a (b – a) C 3a(a – b) + a

2

2

D 3a b

a

b

B 3a(a + b) – a2

a

E 3ab

a

a

26) En un triángulo ABC, el ángulo A es tres veces la medida del ángulo B y la mitad de la medida del ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo A? A 36º

B 54º

C 60º

D 75º 1

l

E 80º 2

3

4 d

n-1

n

27) Desde el mediodía a la medianoche, el gato Tom duerme su siesta y desde la medianoche al mediodía está comiendo. En un árbol está colocado un cartel que dice: “Hace dos horas que el gato Tom está haciendo lo mismo que hará en una hora”. ¿Cuántas horas al día el cartel dice la verdad? A 6

B 12

C 18

D

3

E 21

28) La cuerda l se enrolla en los n círculos iguales, según la figura:

1

2

3

n-1

n

d

l ¿Cuál es la longitud de la cuerda A dn

B dn

l

?

C 2dn

D d

E

 2

d

29) Se define longitud de un número natural n al número de factores en la representación de n como un producto de números primos. Por ejemplo, la longitud del número 90 = 2  3  3  5 es 4. ¿Cuántos números impares menores que 100 tienen longitud 3?

A 2

B 3

C 4

D 5

E 7 F

30) Observa en la figura los rectángulos ABCD y DBEF. ¿Cuál es el área del rectángulo DBEF?

3cm M A A 12 cm2 B 13 cm2

C 14 cm2

D 15 cm2

1

l

C

D

E

4cm M

B

E 16 cm2

2

3

4 d

n-1

n

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2005 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

OCTAVO GRADO 1) ¿Cuál es el menor número posible de hijos en la familia de Juan si cada hijo o hija tiene al menos una hermana y un hermano? A 2

B 1

C 5

D 4

E 3

2) La suma de cinco números naturales consecutivos es 2005. ¿Cuál es el mayor de esos números? A 403

B 400

C 2001

D 402

E 4001 F

3) Observa en la figura los rectángulos ABCD y DBEF. ¿Cuál es el área del rectángulo DBEF? A 10 cm2 B 12 cm2 D 14 cm2

C

D

C 13 cm2

E

3 cm

E 15 cm2

A

4 cm

B

4) En un colegio, el 70% de los alumnos tienen bicicletas. De los que tienen bicicletas, el 50% tiene patines. ¿Qué tanto por ciento de los alumnos de la escuela tiene bicicletas y patines? A 60%

B 50%

C 35%

D 110%

E 30%

5) ¿Cuál número debes eliminar de la siguiente lista de tal forma que el promedio de los números restantes sea 6,1? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 A 1

B 2

C

3

D 4

E 5

6) ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 100? A 20

B 16

C 12

D 9

E 8

7) Dos niñas y tres niños se comieron 16 barquillas de helados entre todos. Cada niño comió dos veces más de lo que comió cada niña. ¿Cuántas barquillas se comerán en total tres niñas y dos niños si cada uno se come la misma cantidad de helados que los anteriores? A 13

B 17

C 14

D 16

E 15

8) Un cartel de tiro al blanco es como el de la figura. El puntaje obtenido es inversamente proporcional al área de la región. Si el dardo cae en la región B se gana 12 puntos. ¿Cuántos puntos se ganan si el dardo cae en la región A? A 8

B 4

C 6

D 16

E 18

D C B A

9) Miguel es 100 días más joven que su amigo Pedro. En el año 2005, Pedro celebra su cumpleaños un miércoles del mes de octubre. ¿En cuál día de la semana Miguel celebra su cumpleaños? A Lunes D Jueves

B Martes

C

Miércoles

E Viernes

0 P

P 1

P 2

10) En la figura, la unidad de superficie es un triángulo pequeño. ¿Cuál es el área de la región sombreada? A 23,5

B 25

C

D 20

E 22,5

32

11) Un vigilante trabaja 4 días seguidos y tiene un día de descanso el quinto día. Si acaba de descansar el día domingo y comenzó a trabajar el lunes. ¿En cuántos días volverá a descansar un día domingo? A 30

B 32

C 34

D 36

E 42

12) En un triángulo ABC, el ángulo A es tres quintos del tamaño del ángulo B y el 30% del tamaño del ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo A? A 30º B 25º C 20º D 54º E 60º 13) Un grupo de estudiantes está planificando un viaje. Si cada uno de ellos hace una contribución de Bs. 14000 para los gastos del viaje, faltarán Bs. 4000 para cubrir los gastos totales. Pero, si cada uno de ellos hace una contribución de Bs. 16000, tendrán Bs. 6000 más de lo que necesitan. ¿Con cuánto debe contribuir cada uno de los estudiantes para recolectar exactamente la cantidad de dinero que necesitan para el viaje? A 14600

B 14800

C 14400

D 14100

E 14200

14) El diagrama corresponde al plano de una habitación. Las paredes son perpendiculares unas a otras. Las letras a y b corresponden a las dimensiones de la habitación. Determina el área de la habitación. A 2ab + a (b – a) C 3ab

B 3a(a – b) + a2

D 3a2b

a

a

b

a

E 3a(a + b) – a2

a a 15) Desde el mediodía hasta la medianoche, el abuelo Juan duerme su siesta bajo la sombra de un árbol y desde la medianoche al mediodía él cuenta historias. En un árbol está colocado un cartel que dice: “Hace dos horas que el abuelo Juan estuvo haciendo lo mismo que ha estado haciendo hace una hora”. ¿Cuántas horas al día el cartel dice la verdad? A 6

B 12

C 15

D 18

E 21

16) La cuerda l se enrolla en los n círculos iguales, según la figura:

1

2

3

n-1

n

3 4 d

4 d

d

l ¿Cuál es la longitud de la cuerda A dn

B dn

l

?

C 2dn

D

 2

E d

d

17) 6 Sean A, B y C tres puntos en un plano. Si BAC = 2(ABC + ACB), ¿cuánto mide BAC? A 180º

B 100º

C 60º

D 72º

1

a 8

l l b 10

E 120º

1

2

2

c 11

3

d

13

n-1

n

n-1

n

18) Se define longitud de un número natural n al número de factores en la representación de n como producto de números primos. Por ejemplo, la longitud del número 90 = 2  3  3  5 es 4. ¿Cuántos números impares menores que 100 tienen longitud 3? A 3

B 4

C 5

D 6

E 12

19) En la figura están marcados 10 ángulos. Determina la suma de las medidas de los 10 ángulos. A 300º D 600º

B 360º

C 450º

E 720º

20) A la secuencia de letras AGKNORU (escritas en orden alfabético) se le asocia una secuencia de dígitos diferentes colocados en orden creciente. ¿Cuál es el número más grande que puede asociarse a la palabra KANGOUROU? A 536479879 D 987654321

B 597354354C

436479879

E 987654354

21) El promedio de 10 números enteros positivos diferentes es 10. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener el mayor de los diez números? A 30

B 55

C 60

D 40

E 35

22) La figura muestra un triángulo equilátero y un pentágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo x? A 120º D 132º

B 125º

C 130º

x

E 136º

23) ¿Cuántos pares (a, b) de números enteros positivos existen con la siguiente propiedad: su máximo común divisor es 24 y su mínimo común múltiplo es 2496? A 4

B 6

C 2

D 0

E infinitos

24) Hay 64 litros de vino en un barril. Se reemplazan 16 litros de vino por 16 litros de agua: supongamos que el vino y el agua que están en el barril se mezclan uniformemente y el volumen de la mezcla es la suma de los dos volúmenes. Ahora, se reemplazan 16 litros de la mezcla por 16 litros de agua: se espera a mezclar uniformemente y vuelve a realizarse el mismo procedimiento una vez más. Finalmente, ¿cuántos litros de vino quedan en el barril? A 16

B 24

C 27

D 30

E 48

25) Cuando un día Carlos dice la verdad, al día siguiente miente y cuando un día miente, al día siguiente dice la verdad. Hoy, Carlos dijo exactamente cuatro de las siguientes oraciones. ¿Cuál de las siguientes no pudo haberla dicho hoy? A Tengo tantos amigos como amigas. B 288 es divisible por 12 C Tres de mis amigos son mayores que yo. D Siempre digo la verdad. E Tengo un número primo de amigos

26) En el triángulo rectángulo de la figura, a y b son las longitudes de los catetos. Sea d el diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo y D el diámetro de la circunferencia circunscrita en el triángulo. ¿A qué es igual d + D? A a+b D

ab 2

B

C

a2  b2

E 2(a + b)

ab

27) ¿Cuántos números de dos dígitos hay tales que el número obtenido al invertir los dígitos sea mayor que el triple del número? A 33

B

22

C 15

D 10

E 6

28) Veinticuatro niños tienen dos tortas. Una torta pesa 300 gramos y la otra 500 gramos. Las tortas se dividen entre los niños de tal forma que cada niño obtenga la misma cantidad de gramos de torta y que la torta se corte en el menor número posible de pedazos. ¿En cuántos pedazos se cortó la torta de menor peso? A 12

B 11

C 10

D 9

E 8

29) Se construye una maqueta de un edificio con cubos de igual tamaño. Las figuras muestran la vista de frente y la vista lateral del edificio. ¿Cuál es la mayor cantidad de cubos que se pueden haber utilizado para construir la maqueta del edificio? A 24

B 12

C

20

D 9

Frente

Lateral

E 6

30) ¿Cuántos conjuntos de números enteros positivos consecutivos, con un mínimo de dos elementos, existen tales que la suma de sus elementos sea cien? A 7

B 5

C 4

D 3

E 2

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2005

CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

NOVENO GRADO 1) Andrés, Berta, Carolina, Diego y Eduardo participan en una competencia. Ellos obtienen diferentes puntajes en la competencia: 4, 5, 6, 7 y 8 puntos, pero no necesariamente en ese orden. Diego finalizó entre los mejores. Eduardo ni fue el mejor ni fue el peor. Andrés obtuvo 7 puntos y Berta obtuvo un número impar de puntos. ¿Cuántos puntos obtuvo Carolina? A 8B 5

C 7

D 4

E 6

2) Un vigilante trabaja 4 días seguidos y tiene un día de descanso el quinto día. Si acaba de descansar el día domingo y comenzó a trabajar el lunes. ¿En cuántos días volverá a descansar un día domingo? A 34

B 32

C 30

D 36

E 42

3) Observa en la figura los rectángulos ABCD y DBEF. ¿Cuál es el área del rectángulo DBEF? A 10cm2 D 14cm2

B 12cm2

F C

D

C 13cm2

E

3cm

E 15cm2

A

B

4cm M

4) Un grupo de estudiantes está planificando un viaje. Si cada uno de ellos hace una contribución de Bs. 14000 para los gastos del viaje, faltarán Bs. 4000 para cubrir los gastos totales. Pero, si cada uno de ellos hace una contribución de Bs. 16000, tendrán Bs. 6000 más de lo que necesitan. ¿Con cuánto debe contribuir cada uno de los estudiantes para recolectar exactamente la cantidad de dinero que necesitan para el viaje? A 14400

B 14600

C 14800 D 14100

E 14200

5) En un triángulo ABC, el ángulo A es tres quintos de la medida del ángulo B y el 30% del tamaño del ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo A? A 60º

B 54º

C 20º

D 25º

E 30º

6) Una pieza cuadrada de papel se corta en tres partes. Observa dos de las partes: ¿Cuál es la tercera parte?

7) Dos niñas y tres niños se comieron 16 barquillas de helados entre todos. Cada niño comió dos veces más de lo que comió cada niña. ¿Cuántas barquillas se comerán en total tres niñas y dos niños si cada uno se come la misma cantidad de helados que los anteriores A 12

B 13

C 14

D 16

E 17

8) El diagrama corresponde al plano de una habitación. Las paredes son perpendiculares unas a otras. Las letras a y b corresponden a las dimensiones de la habitación. Determina el área de la habitación. A 3ab

B 2ab + a (b – a)

C 3a(a – b) + a2 E 3a(a + b) – a2

a

a

b

a

D 3a2b

a

a

9) Desde el mediodía hasta la medianoche, el abuelo Juan duerme su siesta bajo la sombra de un árbol y desde la medianoche al mediodía él cuenta historias. En un árbol está colocado un cartel que dice: “Hace dos horas que el abuelo Juan estuvo haciendo lo mismo que ha estado haciendo hace una hora”. ¿Cuántas horas al día el cartel dice la verdad? A 6

B 12

C 15

D 18

E 21

10) ¿Cuántos números de dos dígitos hay tales que el número obtenido al invertir los dígitos sea mayor que el triple del número? A 33

B 22

C 15

D 10

E 6

11) La cuerda l se enrolla en los n círculos, según la figura:

1

2

3

n-1

n

d

l ¿Cuál es la longitud de la cuerda

?

d D 2dn E d 2 12) Ana mira la hora en su reloj digital que siempre señala cuatro dígitos en la pantalla: en el caso de 9:25 señala 09:25. Eran las 21:15 y observa que si coloca un espejo en el lugar de los dos puntos, todavía puede ver la hora correcta. A dn

B dn

l



C

:

¿Cuántas veces al día el reloj da una hora con esta propiedad? A 11

B 3

C 7

D 1

E 24

13) Se define longitud de un número natural n al número de factores en la representación de n como producto de números primos. Por ejemplo, la longitud del número 90 = 2  3  3  5 es 4. ¿Cuántos números impares menores que 100 tienen longitud 3? A 4

B 5

C 3

D 6

E

12

14) En la figura están marcados 10 ángulos. Determina la suma de las medidas de los 10 ángulos. A 450º D 300º

B 600º

C 720º

E 360º

15) El promedio de 10 números enteros positivos diferentes es 10. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener el mayor de los diez números? A 30

B 35

C 40

D 55

E 60

16) La figura muestra un triángulo equilátero y un pentágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo x? A 120º D 132º

B 125º E 136º

C 130º

x

17) ¿Cuántos pares (a, b) de números enteros positivos existen con la siguiente propiedad: su máximo común divisor es 24 y su mínimo común múltiplo es 2496? A infinitos

B 6

C 2

D 0

E 4

18) Hay 64 litros de vino en un barril. Se reemplazan 16 litros de vino por 16 litros de agua: supongamos que el vino y el agua que están en el barril se mezclan uniformemente y el volumen de la mezcla es la suma de los dos volúmenes. Ahora, se reemplazan 16 litros de la mezcla por 16 litros de agua: se espera a mezclar uniformemente y vuelve a realizarse el mismo procedimiento una vez más. Finalmente, ¿cuántos litros de vino quedan en el barril? A 16

B 24

C 27

D 30

E 48

19) Sean A, B y C tres puntos en un plano. Si BAC = 2(ABC + ACB), ¿cuánto mide BAC? A 100º

B 72º

C 180º

D 60º

E 120º

20) KLMN es un cuadrado de lado 6 cm. En su interior se dibuja un cuadrado de lado 2 cm. Ambos cuadrados tienen el mismo centro y lados paralelos. ¿Qué fracción del cuadrado mayor está sombreada? A

2 9

B

2 11

C

1 5

D

1 7

3 11

E

21) ¿Cuántos conjuntos de números enteros positivos consecutivos, con un mínimo de dos elementos, existen tales que la suma de sus elementos sea 100? A 7

B 2

C 4

D 3

E 5

22) En el triángulo rectángulo de la figura, a y b son las longitudes de los catetos. Sea d el diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo y D el diámetro de la circunferencia circunscrita en el triángulo. ¿A qué es igual d + D? ab A 2(a + b) B C a2  b2 2 D a+b E ab 23) Cada una de estas dos piezas de alambre es construida con ocho segmentos de longitud 1cm, cada segmento. Si una de las piezas de alambre es colocada parcialmente sobre la otra, ¿cuál es la longitud de la mayor porción de alambre que pueden tener en común? A 5

B 4

C 3

D 2

E 6

24) Una partícula se mueve a través del camino que se muestra en la figura. Durante el primer minuto se mueve desde el origen de coordenadas hasta el punto (1,0) y así, por cada unidad de distancia que avanza, tarda un minuto en recorrer esa distancia. ¿En qué punto del sistema de coordenadas se encontrará la partícula cuando hayan transcurrido exactamente 2 horas desde su partida del origen? A (1, 11)

B (10, 11)

C (10, 0)

D (2, 10)

1

ll

1

E (11, 11)

2

2

3

3 4 d

4 d

n-1

n

n-1

n

25) Se construye una maqueta de un edificio con cubos de igual tamaño. Las figuras muestran la vista de frente y la vista lateral del edificio. ¿Cuál es la menor cantidad de cubos que se pudo haber utilizado para construir la maqueta del edificio? A 24

B 20

C

12

D 9

Frente

Lateral

E 6

26) El primer término de una secuencia es 1 y el séptimo término es 2005. Cada término de la secuencia, después del segundo, es la suma de los dos términos previos. ¿Cuál es el octavo término de la secuencia? A 3258

B 2006

C 3508

D 4010

E 5002

27) María, Dora, Silvia, Elsa y Nelly están sentadas en un banco del parque. María no está sentada en el extremo derecho y Dora no está sentada en el extremo izquierdo. Silvia no está sentada en ningún extremo. Nelly no está sentada cerca de Silvia y Silvia no está sentada cerca de Dora. Elsa está sentada a la derecha de Dora, pero no necesariamente cerca de ella. ¿Quién está sentada en el extremo derecho? A María

B Silvia

C Nelly

D Dora

E Elsa

28) En un cubo cuyas medidas son de 3cm por lado ( 3  3  3 ) y de peso 810 grs., se taladran unos agujeros con forma de paralelepípedos rectangulares y cuyas medidas son 11 3 , como se muestra en la figura. El peso en gramos del sólido que queda es. A 540

B 570

C 590

D 600

E 660

29) Sean a, b y c tres números reales tales que a < b < c y b2 < c2 < a2. ¿Cuántas de las siguientes relaciones son siempre verdaderas para estos números? 1 1 1 1   2 , , a < 0, b < 0, c < 0, 2 a c a c A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

C

30) La figura está compuesta de un triángulo ABC y dos circunferencias de centros K y L. ¿Cuál es la medida del ángulo ABC?

L A

A 68º

B 42º

C 32º

D 35º

E 39º

C L 34º A

K

B

34º

K

B

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2005 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

PRIMER AÑO DE CICLO DIVERSIFICADO x 1) ¿Para cuál de los siguientes valores de x la expresión 3 x A –2

B 1

C –3

2

toma el menor valor?

D –1

E 2

2) ¿Cuántos números de dos dígitos hay tales que el número obtenido al invertir los dígitos sea mayor que el triple del número? A 6B

10

C 15

D 22

E 33

a

3) El diagrama corresponde al plano de una habitación. Las paredes son perpendiculares unas a otras. Las letras a y b corresponden a las dimensiones de la habitación. Determina el área de la habitación. A 2ab + a (b – a)

B

C 3a(a – b) + a2

D 3a2b

3ab

a

b

a

E 3a(a + b) – a2

a

a

4) Juan infla 8 globos cada tres minutos. ¿Cuántos globos habrá inflado después de dos horas si cada décimo globo explota inmediatamente después de haber sido inflado? A 160

B

240

C 288

D 300

E 320

5) Desde el mediodía hasta la medianoche, el abuelo Juan duerme su siesta bajo la sombra de un árbol y desde la medianoche al mediodía él cuenta historias. En un árbol está colocado un cartel que dice: “Hace dos horas que el abuelo Juan estuvo haciendo lo mismo que ha estado haciendo hace una hora”. ¿Cuántas horas al día el cartel dice la verdad? A 15

B 12

C 6

D

21

E 18

6) El primer término de una secuencia es 1 y el séptimo término es 2005. Cada término de la secuencia, después del segundo, es la suma de los dos términos previos. ¿Cuál es el octavo término de la secuencia? A 5002

B 2006

C 3508

D 3258

E 4010

7) La cuerda l se enrolla en los n círculos, según la figura:

1

2

3

n-1

n

d

l ¿Cuál es la longitud de la cuerda

?

d D 2dn E d 2 8) Una compañía recibe una orden de compra para construir bloques en forma rectangular de tamaño 10cm12cm14cm. Por error, la compañía construye bloques con las dimensiones 12cm14cm16cm. ¿Cuál es el tanto por ciento de incremento en el volumen del bloque construido con respecto a los bloques pedidos? A dn

A 60

B dn

l



B 50

C

C 40

D 30

E 20

9) Pedro espera por María, en una estación de autobuses, durante 19 minutos. Los autobuses A llegan cada 3 minutos y los autobuses B cada 5 minutos. Como Pedro estaba aburrido, contó la diferencia entre el número de autobuses A y el de los B que llegaron en ese tiempo de espera. ¿Cuántos diferentes resultados pudo haber obtenido? A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

10) En la figura están marcados 10 ángulos. Determina la suma de las medidas de los 10 ángulos. A 300º D 600º

B 360º

C 450º

E 720º

11) El promedio de 16 números enteros positivos diferentes es 16. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener el mayor de los números? A 24

B 64

C 136

D 256

E 260

12) Pedro le pregunta a la Profesora Petra su edad. Ella le responde: “Si llegara a vivir un siglo, mi edad actual es cuatro tercios de la mitad de lo que me falta para llegar a un siglo”. ¿Cuál es la edad de la profesora? A 40

B 50

C 30

D 20

E 60

13) Si 888111 = 2(2n)2, entonces el entero positivo n es igual a A 444

B 111

C 11

D 8

E 4

14) KLMN es un cuadrado de lado 6 cm. En su interior se dibuja un cuadrado de lado 2 cm. Ambos cuadrados tienen el mismo centro y lados paralelos. ¿Qué fracción del cuadrado mayor está sombreada? 1 5

A

B

2 11

C

2 D 9

1 7

3 11

E

15) Sean a, b y c tres números reales tales que a < b < c y b2 < c2 < a2. ¿Cuántas de las siguientes relaciones son siempre verdaderas para estos números? 1 1 1 1   2 , , a < 0, b < 0, c < 0, 2 a c a c A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

16) Sea a y b las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo. Si d es el diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo y D el diámetro del circuncírculo del triángulo, entonces d  D es igual a: A

ab

B 2 a  b

C

1  a  b 2

Da+b

E

a 2  b2

17) Un rectángulo de largo 24 metros y ancho 1 metro, es cortado en siete rectángulos: cuatro de largo 4 metros, dos de largo 3 metros y uno de largo 2 metros. Estos siete rectángulos se colocan juntos de tal forma de construir un nuevo rectángulo. ¿Cuál es el menor perímetro posible de este nuevo rectángulo?

A 28m

B 22m

C 25m

D 14m

E 20m

18) Una partícula se mueve a través del camino que se muestra en la figura. Durante el primer minuto se mueve desde el origen de coordenadas hasta el punto (1,0) y así, por cada unidad de distancia que avanza, tarda un minuto en recorrer esa distancia. ¿En qué punto del sistema de coordenadas se encontrará la partícula cuando hayan transcurrido exactamente 2 horas desde su partida del origen? A (1, 11)

B (10, 11)

C (10, 0)

D (2, 10)

E (11, 11)

19) ¿Cuántos números enteros positivos n satisfacen la siguiente desigualdad? 2000 < n( n  1) < 2005 A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

20) Se construye una maqueta de un edificio con cubos de igual tamaño. Las figuras muestran la vista de frente y la vista lateral del edificio. ¿Cuál es la menor cantidad de cubos que se pudo haber utilizado para construir la maqueta del edificio? A 20

B 12

C 10

D 16

Frente

Lateral

E 6

21) Si f es una función tal que para todo número entero x es cierto que f(x + 1) = 2f(x) – 2002 y además f (2005) = 2008, entonces f (2004) es igual a: A 2004

B 2005

C 2008

D 2010

E 2016

22) En un cubo cuyas medidas son de 3cm por lado ( 3  3  3 ) y de peso 810 grs., se taladran unos agujeros con forma de paralelepípedos rectangulares y cuyas medidas son 11 3 , como se muestra en la figura. El peso en gramos del sólido que queda es. A 560

B 590

C 570

D 600

E 500

23) En una bolsa se tienen 17 bolas iguales numeradas del 1 al 17. Se sacan algunas bolas al azar, ¿cuál es el menor número de bolas que hay que sacar para garantizar que la suma de dos de ellas sea 18? A 10

B 17

C 7

D 8

E 11 C

24 La figura está compuesta de un triángulo ABC y dos circunferencias de centros K y L. ¿Cuál es la medida del ángulo ABC? A 68º

B 42º

C 39º

D 35º

E 32º

25) La suma de cuatro números enteros positivos y consecutivos, no puede ser igual a: A 2002

B 220

C 202

D 222

L A

34º

B

K

E 22

26) En la figura hay dos semicírculos y un círculo. ABCD es un rectángulo y el radio de cada uno de los semicírculos y del círculo miden 2cm. A y B son los centros de los semicírculos inferiores. El área de la región sombreada en cm 2 es: A 8 B 7 C 2 D 2  1 E 2  2

D

C

A

B

27) Una caja contiene 60 boletos, unos son azules, otros rojos y otros blancos. Si todos los rojos fuesen reemplazados por azules, entonces habría el doble de boletos azules que de blancos. Sin embargo, si todos los boletos blancos se reemplazan con azules, entonces el número de boletos azules sería el triple que el número de boletos rojos. ¿Cuántos boletos azules hay en la caja? A 30

B 20

C 10

D 15

E 25

28) ¿De cuántas formas se puede elegir un cuadrado negro y un cuadrado blanco en un tablero de ajedrez 88 de tal manera que estos cuadrados no estén en una misma fila ni en una misma columna?

A 56

B 504

C 5040

D 768

E 720

29) La suma de los puntos de las caras opuestas de un dado siempre es igual a 7. Si un dado rueda como se indica en la figura y la cara superior tiene 1 punto al comenzar en el punto D, ¿cuántas puntos tendrá la cara superior al llegar al punto A? A 2

B 4

C 5

D 6

E 3

D A

30) Un automóvil se desplaza a velocidad constante de 90 km/h. Cuando el reloj del auto señala 21:00, el contador de kilómetros recorridos (odómetro) señala 116.0, lo que indica que hasta ese momento el auto ha recorrido 116.0 kilómetros. Más tarde el odómetro mostró los mismos números que el reloj. ¿A qué hora ocurrió eso? A 21:30

B 21:50

C 22:00

D 22:05

E 22:10

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2005 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR

SEGUNDO AÑO DE CICLO DIVERSIFICADO x 1) ¿Para cuál de los siguientes valores de x la expresión 3 x A -2

B 1

C -3

D -1

2

toma el menor valor? E 2

2) Considera los números comprendidos entre 2 y 100, ¿cuántos son iguales al cubo de un número entero? A 3

B 4

C 1

D 2

E 5

3) En la figura se muestran cinco tarjetas numeradas del 1 al 5. Si en cada movimiento se permite solamente intercambiar la posición de dos cartas, ¿cuál es el número mínimo de movimientos para ordenarlas de manera creciente? A 1

B 3

C 5

D 4

E 2

4

3

5

1

2

1

2

3

4

5

2 4) Si 888 111  2  2n  , entonces el entero positivo n es igual a A 22 B 11 C 111 D 8 E 444

5) ¿Cuántos pares (a, b) de números enteros positivos existen con la siguiente propiedad: su máximo común divisor es 24 y su mínimo común múltiplo es 2496? A infinitos

B 6

C 2

D 0

E 4

6) Sean A, B y C tres puntos en un plano. Si BAC = 2(ABC + ACB), ¿cuánto mide BAC? A 100º

B 72º

C 180º

D 120º

E 60º

7) La suma de cuatro números enteros positivos y consecutivos, no puede ser igual a: A 2002

B 202

C 220

D 222

E 22

8) En un cubo cuyas medidas son de 3cm por lado ( 3  3  3 ) y su peso es de 810 g., se taladran unos agujeros con forma de paralelepípedos rectangulares y cuyas medidas son 11 3 , como se muestra en la figura. El peso en gramos del sólido que queda es. A 600

B 540

C 570

D 630

E 660

9) Si f es una función tal que para todo número entero x es cierto que

f  x  1  2 f  x   2002 y además f  2005   2008 , entonces f  2004  es igual a: A 2004

B 2010

C 2008

D 2005

E 2016

10) En la figura hay dos semicírculos y un círculo. ABCD es un rectángulo y el radio de cada uno de los semicírculos y del círculo miden 2cm. A y B son los centros de los semicírculos inferiores. El área de la región sombreada en cm 2 es: A 2  2 B 7 C 2 D 2  1 E 8

D

C

A

B

11) Una caja contiene 60 boletos, unos son azules, otros rojos y otros blancos. Si todos los rojos fuesen reemplazados por azules, entonces habría el doble de boletos azules que de blancos. Sin embargo, si todos los boletos blancos se reemplazan con azules, entonces el número de boletos azules sería el triple que el número de boletos rojos. ¿Cuántos boletos azules hay en la caja? A 10

B 20

C 25

D 15

E 30

12) Mamá Canguro y su hijo Brincos, están saltando alrededor de un estadio cuyo perímetro es 300m. Ellos dan un salto por segundo pero los saltos de mamá Canguro miden 5m y los de Brincos 2m. Los dos comienzan a saltar a la vez, desde el mismo sitio y en el mismo sentido. Luego de 25 segundos, Brincos se cansa y se detiene, quedándose parado en el mismo sitio esperando a que su mamá llegue de nuevo al lugar donde él se detuvo. ¿Cuánto tiempo tarda mamá Canguro en llegar de nuevo al punto donde Brincos se detuvo? A 24s

B 51s

C 40s

D 15s

E 66s

13) Ana pinta las caras de varios cubos de madera de blanco o de negro, de tal manera que en cada cubo usa los dos colores. ¿De cuántas maneras diferentes puede colorear los cubos? A 64

B 8

C 52

D 16

E 32

14) La suma de los puntos de las caras opuestas de un dado siempre es igual a 7. Si un dado rueda como se indica en la figura y la cara superior tiene 1 punto al comenzar en el punto D, ¿cuántas puntos tendrá la cara superior al llegar al punto A? A 2

B 3

C 5

D 1

D

E 4

A

15) ¿Cuántos números enteros positivos n satisfacen la siguiente desigualdad? 2000 < n( n  1) < 2005 A 4 B 2 C 3 D 5 E 1 16) Se completan en la tabla los cuadrados con números de tal forma que los números en cada fila, en cada columna y en cada diagonal formen progresiones aritméticas. ¿Cuál es el valor de x? A 4

B 28

C 33

D 42

21 16 27

E 49

x

17) En la figura se muestra un bombillo situado sobre una mesa a una altura de 10cm. Un lápiz de 10cm de largo, está haciendo contacto con la mesa, en posición vertical, a 10cm del punto que indica sobre la mesa la posición del bombillo. El bombillo se desplaza verticalmente hacia arriba. Al hacerlo el lápiz produce una sombra sobre la mesa. ¿Cuál es la gráfica que nos indica la longitud de la sombra y en función de la altura x , del bombillo sobre la mesa?

y

y

A

10

y B

10 10

20 x

10

20 x

C

20

y

10

20 10 20 30 x

D

y 30

E

20 10

10 10 20 30

x

10 20 30

x

D 18) Dos botellas de igual volumen se llenan con una solución de agua y ácido. Las razones de los volúmenes de agua a ácido en cada botella son, 2 :1 y 4 :1 , respectivamente. Si vertimos el contenido de ambasAbotellas en una más grande, la razón de agua a ácido será igual a: A 3 :1

B

6 :1

C 8 :1

D 5 :1

E 11: 4

19) La figura muestra un rectángulo ABEF y un triángulo ABC . Sabemos que los ángulos ACF y CBE son iguales. Si FC  6 y CE  2 entonces el área de ABC es igual a: A 12 B 16 C 8 2 D 6 E 8 3

F

C

E

B

A

20) ¿Cuál de los siguientes números puede ser expresado como el producto de cuatro enteros distintos, todos mayores que 1 ? A 2025

B 2187

C 108

D 124

E 625

21) Determina el coseno del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles sabiendo que las medianas trazadas a los lados iguales son perpendiculares. 4 1 2 3 A 0 B C D E 5 2 3 4 22) En la pirámide SABC todos los ángulos planos con vértice S miden 90º . Las S áreas de las caras laterales SAB, SAC y SBC son iguales a 3 , 4 y 6 unidades, respectivamente. A C Determina el volumen de la pirámide SABC. A 8 u.c.

B 5 u.c.

C 6 u.c.

D 4 u.c.

B

E 12 u.c.

23) Si la suma de los dígitos de m es 30 , entonces la suma de los dígitos de m  3 no puede ser: A 21

B 15

C

6

D 24

E 33

24) En una bolsa tenemos 17 bolas numeradas por 5 + k.125, con k  0,1,....,16 , es decir, 5, 130, 255, 380, 505,…, 1755, 1880, 2005. Si seleccionamos varias bolas al azar, ¿cuál es el menor número de bolas que deberemos tomar para garantizar que exista al menos un par de ellas que sumen 2010? A 7

B 8



25) Si log10

C 10

D 11

E 17



2005  1995  n , ¿cuál de los siguientes es el valor de log10

A n 1

B 1 n

D n 1

C





2005  1995 ?

1 n

E Imposible de determinar con la información dada.

26) David tiene un cubo de madera de lado 18cm. Él le hace un hueco en forma de cubo, como muestra el dibujo. El área de la superficie lateral del cubo grande, con el hueco, es un sexto del área de la superficie lateral del cubo grande sin hueco. ¿Cuánto disminuyó el volumen del cubo grande al hacerle el hueco? A En 729 cm3

B En 521cm3

D En 486 cm3

C En 512 cm3

E En 396 cm3

27) El entero A tiene exactamente 2 divisores. El entero B tiene exactamente 5 divisores. ¿Cuántos divisores tiene A  B? A 5

B 6

C 7

D 10

E Hace falta más información. D

C

A

B

28) En el cuadrilátero ABCD la diagonal BD es la bisectriz de ABC y AC  BC . Si BDC  80º y ACB  20º , entonces la medida de BAD es igual a: A 90º

B 100º

C 110º

D 120º

A

E 135º.

D 80º 20º

B

C

29) Henry quiere viajar de la ciudad A a la ciudad B y ha pensado ir a una cierta velocidad. Luego decide que le gustaría llegar más temprano que la hora que había planificado y observa que si viaja a una velocidad de 5km / h mayor de la planificada, llegaría 5 horas antes de lo esperado, pero si viaja a una velocidad de 10km / h mayor a la planificada, llegará 8 horas antes. ¿Con cuál velocidad planificó Henry el viaje? A 10km / h

B 20km / h

D 25km / h

C

15km / h

E imposible de determinar.

30) Dado un número, multiplíquelo por 2 y luego réstele 1. Luego de aplicar este proceso 98 veces más se obtiene el número 2100  1 . ¿Cuál fue el número con el cual comenzamos a calcular? A 1

B 2

C 4

D 6

E ninguno de los anteriores.

PRUEBA REGIONAL DE TERCER GRADO 2005 1.- ¿Cuánto cuesta construir la figura completa? Bs. 30

Bs. 10

Bs. 20

2.- Dibuja en cada geoplano las figuras que te señalan: da nombre a cada vértice y escribe el nombre de cada figura:

Tres rectángulos diferentes con dos lados horizontales

Tres rectángulos diferentes con dos lados verticales

Tres rectángulos diferentes con lados ni horizontales, ni verticales

3.- Observa cómo se puede escribir 25: 25 = 5  3  2 – 5. Escribe de otras 5 formas diferentes el número 25 usando los dígitos 2, 3 y 5 (pueden repetirse) y las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. 4.- En un torneo de béisbol, el equipo que pierda sale de la competencia. Si el equipo campeón del torneo jugó 5 partidos, ¿cuántos equipos había en el torneo? Explica tu respuesta 5.- Observa el triángulo formado con números. Llamamos camino 123456 a una línea formada por segmentos horizontales y verticales que pasa sucesivamente por un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 y un 6. En el dibujo se señala un camino 123456. ¿Cuántos caminos 123456 hay en el triángulo? 1

1

1

2

1

1

2

3

2

1

1

2

3

4

3

2

1

1

2

3

4

5

4

3

2

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

6.- Pedro y José estaban jugando. Al final de cada juego, el que perdía le daba al ganador un bolívar. Después de un rato, José ganó 3 juegos y Pedro tenía 3 bolívares más que con los que había empezado. ¿Cuántos juegos jugaron? Explica tu respuesta.

PRUEBA REGIONAL DE CUARTO GRADO 2005 1.- Observa las balanzas en equilibrio:

¿Cuántos

equilibran un

? Explica

2.- Dibuja en cada geoplano las figuras que te señalan: da nombre a cada vértice y escribe el nombre de cada figura:

Tres triángulos diferentes con un lado vertical

Tres rectángulos diferentes con lados ni horizontales, ni verticales

Tres cuadriláteros diferentes

3.- Se construye un jardín como el de la figura. Las regiones de color gris son de igual tamaño y las medidas del jardín están señaladas en la figura. Si se quiere colocar listones de madera alrededor de cada región gris, ¿cuántos metros de listones se necesitan para cada región gris?

16 m

20 m 4.- Pedro tenía 28 cubos de madera, todos del mismo tamaño. El puso aparte uno de los cubos y con los demás formó un cubo grande. Explica en que se diferencia el cubo pequeño y el cubo grande y en que se parecen. 5.- En una tienda de animales solo se venden gatos y pájaros. Hay 50 gatos y en total contamos 340 entre patas y cabezas. ¿Cuántos pájaros hay? Explica tu respuesta. 6.- Un vidriero está arreglando la ventana de un cliente. La ventana debe tener 9 vidrios cuadrados de colores, arreglados para formar un cuadrado grande. El cliente exige que usen el menor número de vidrios de colores de tal forma que dos ventanas contiguas (el lado de una está al lado de otra) no tengan el mismo color. ¿Cuántos colores podrá usar el vidriero para complacer al cliente? Muestra algunos diseños.

PRUEBA REGIONAL DE QUINTO GRADO 2005 1.- Un cuadrado de 1 m de lado está dividido en cuadraditos de 1 dm de lado. ¿Qué longitud se alcanzaría si estos cuadraditos se colocasen todos en línea recta? ¿Y si el cuadrado estuviese dividido en cuadraditos de 1 cm de lado? Explica tu respuesta en cada caso. 2.- Un tren de mercancías llena sus vagones de gasolina en la refinería. Se pesa después y tiene un peso total de 123 toneladas. En la primera parada deja la mitad de su carga de gasolina. Se pesa entonces y tiene un peso total de 98 toneladas. Continúa marchando y llega a su destino completamente vacío. ¿Cuál es el peso del tren vacío? 3. Un viajero llega a una isla en la que todos sus habitantes dicen la verdad los lunes, miércoles, viernes y domingos, mientras que los demás días de la semana dicen siempre la mentira. El viajero mantiene el siguiente dialogo con un nativo de la isla: Viajero: ¿Qué día es hoy? Nativo: sábado Viajero: ¿Qué día será mañana? Nativo: miércoles ¿Qué día de la semana es realmente? 4.- Mario tiene que tomar un remedio durante 180 días. La receta dice que debe tomarlo 2 días seguidos y descansar 1 día. Empieza a tomarlo un lunes. ¿Cuántas veces, en los 180 días, lo tomará un lunes y el martes siguiente? Explica por qué. 5.- Se tiene un saco con tornillos que pesa 24 kg. Con solo una balanza de dos platillos, ¿cómo puedes hacer para pesar 9 kg de tornillos? Explica gráficamente tu respuesta 6.- Completa la siguiente multiplicación:

2 #  # # 6 # # # # # 0

# # 1 1

PRUEBA REGIONAL DE SEXTO GRADO 2005 1.- Un rectángulo ABCD se divide en 9 rectángulos iguales trazando 2 rectas paralelas a un par de lados y 2 rectas paralelas al otro par de lados. Uno de estos 9 rectángulos se divide en 4 rectángulos iguales trazando 1 recta paralela a un par de lados y una recta paralela al otro par de lados. El perímetro de cada uno de los rectángulos más pequeños es de 5 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD? 2.- Compramos 10 kg de duraznos para hacer mermelada. Al deshuesarlos y pelarlos se pierde un quinto de su peso. Lo que queda se pone a cocer con una cantidad igual de azúcar. Durante la cocción la mezcla pierde un cuarto de su peso. ¿Cuántos kilogramos de mermelada se obtienen? Si quisiera obtener 3 kg de mermelada, ¿cuántos kilogramos de duraznos necesitaría? 3.- Hay 3 montoncitos de caramelos. No se sabe cuántos caramelos hay en cada montoncito pero en total hay 48 caramelos. Si del primer montón paso al segundo tantos caramelos como hay en el segundo, luego paso del segundo al tercero tantos caramelos como hay en este último y luego paso del tercero al primero tantos caramelos como hay en el primero, resulta que queda la misma cantidad de caramelos en los tres montones. ¿Cuántos caramelos había al principio en cada montón? 4.- Unas botas que cuestan Bs. 150.000 el par se reduce su precio en un 40% en una venta especial de fin de semana. ¿En cuál porcentaje debe ser incrementado su precio de fin de semana para venderlas a Bs. 150.000 el par? 5.- Juan armó esta figura con tres fichas cuadradas y dos fichas rectangulares iguales. Las tres fichas cuadradas forman una rectangular La perímetro de la figura que armó Juan?

ficha rectangular tiene 56 cm de perímetro. ¿Cuál es el

6.- Reemplazando x e y por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65x1y que son múltiplos de 12.

PRUEBA REGIONAL SÉPTIMO GRADO 2005 1.- Iván cobra en un banco un cheque por Bs. 270.000 y le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de billetes de Bs. 1000, 20 veces esa cantidad de billetes en billetes de Bs. 2000 y el resto en billetes de Bs. 5000. ¿Cuántos billetes de cada clase le entrega el cajero?

2.- Las barras de la figura A tienen igual ancho. La más pequeña es un cuadrado y entre dos consecutivas la diferencia de alturas es de 10cm.

A

Reordenándolas se arma la figura B que tiene 270cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de cada una de las barras?

B

3.- Sobre la mesa había un dado blanco, uno rojo, uno verde y 24 fichas iguales. Ana tomó un dado y 1 ficha, Emma tomó un dado y 2 fichas, Olga tomó un dado y 3 fichas. Después, la que tenía el dado verde tomó tantas fichas como ya tenía, la que tenía el dado blanco tomó el doble de las fichas que tenía y la que tenía el dado rojo tomó 4 veces lo que tenía. ¿Es posible que quedaran 4 fichas sobre la mesa? Explica por qué. 4.- Escribe en cada casilla de la pirámide un número natural mayor que 1 de modo que:  La casilla superior tenga escrito el número 10.497.600.  El número escrito en cada casilla sea igual al producto de los números escritos en las dos casillas sobre las que está apoyada.

5.- Un hombre tomó una posada por treinta días, por el precio de un “denario” cada día. Este huésped no tenía dinero, sino cinco piezas de plata, que entre todas ellas valían treinta “denarios”. Con estas piezas pagaba cada día la posada y no le quedaba debiendo nada a la posadera, ni ella a él. ¿Puedes decir cuántos “denarios” valía cada pieza de plata y cómo se pagaba con ellas? 6.- En el triángulo isósceles ABC con AB = AC, P es el punto del lado AB tal que AP = PC. Si la bisectriz del ángulo ABC corta a PC en O de modo que PO = BO, hallar las medidas de los ángulos del triángulo ABC.

Olimpiada Juvenil de Matemática

Prueba Regional Octavo Grado Problema 1.

Se define longitud de un número natural n al número de factores en la representación de n como producto de números primos. Por ejemplo, la longitud del número 90 = 2·3·3·5 es 4. ¿Cuáles son todos los números impares menores que 100 con longitud 3? Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 2. La figura que se muestra a la derecha está conformada por 3 triángulos equiláteros. El triángulo grande tiene 48 cm de perímetro. El lado del triángulo mediano es la mitad del lado del triángulo grande. El lado del triángulo pequeño es la mitad del lado del triángulo mediano. ¿Cuál es el perímetro de la figura? Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 3.

Si definimos el “reverso” de un número entero de dos cifras como el número que se obtiene permutando las dos cifras que lo componen (por ejemplo, el “reverso” de 34 es 43), ¿cuáles son todos los números de dos cifras que sumados a su “reverso” dan un cuadrado perfecto? Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 4. En la siguiente figura, el ángulo BAD mide 40º, AB = AC y AD = AE. ¿Cuánto mide el ángulo CDE? Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 5. Se tiene el siguiente tablero de números:

1 4 7 2 5 8 3 6 9

Una “operación permitida” consiste en elegir una línea horizontal o una línea vertical y sumarle 1 a los tres números de la línea elegida o restarle 1 a los tres números de la línea elegida. ¿Es posible obtener el siguiente tablero a partir del dado inicialmente, mediante una 1 2 3 secuencia de “operaciones permitidas”? Explique. 4 5 6 7 8 9 Problema 6. Un gusano se desplaza verticalmente sobre un árbol. Cada día solamente puede subir o bajar. El primer día recorre 1 cm, el segundo día recorre 2 cm, el tercer día recorre 3 cm, y así sucesivamente, ¿será posible que después de 16 días el gusano se encuentre en el mismo lugar de donde partió? Explica cómo obtuviste tu respuesta Valor de cada Problema: 10 puntos. Tiempo: 2 horas y media.

Olimpiada Juvenil de Matemática Prueba Regional Noveno Grado de Educación Básica Problema 1.

Un triángulo equilátero es dividido en cuatro triángulos equiláteros más pequeños e iguales, como se muestra en la figura. Así, quedan determinados 9 segmentos que son los lados de los triángulos pequeños. Distribuye los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los lados de los triángulos pequeños, sin repeticiones, de manera que la suma, de los tres números correspondientes a los lados de cada triángulo pequeño, sea siempre la misma. Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 2. ¿Cuántos números entre 1 y 2005 sólo utilizan dos dígitos diferentes al escribirlos? (Por ejemplo, 1991 sólo utiliza dos dígitos diferentes: 1 y 9, así que cumple la condición, pero 1231 no la cumple porque utiliza tres dígitos diferentes: 1, 2 y 3). Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 3.

En el número de seis dígitos 33ab2b, las letras a y b representan dígitos. ¿Cuáles son los valores de a y b si se sabe que el número de seis dígitos es divisible entre 275? Explica cómo obtuviste tu respuesta 1 2 3 Se tiene el siguiente tablero de números: 4 5 6 7 8 9 Problema 4.

Una “operación permitida” consiste en elegir una línea horizontal o una línea vertical y sumarle 1 a los tres números de la línea elegida o restarle 1 a los tres números de la línea elegida. 9 8 7 ¿Es posible obtener el siguiente tablero a partir del dado inicialmente, mediante una 6 5 4 secuencia de “operaciones permitidas”? Explique. 3 2 1 Problema 5. Un gusano se desplaza verticalmente sobre un árbol. Cada día solamente puede subir o bajar. El primer día recorre 1 cm, el segundo día recorre 2 cm, el tercer segundo 3 cm, y así sucesivamente, ¿será posible que después de 17 días el gusano se encuentre en el mismo lugar de donde partió? Problema 6. En la figura, el arco AB es una semicircunferencia de radio OA, la medida del ángulo AOD es el doble de la medida del ángulo BOC, CO es perpendicular a DO y el área del triángulo OCD es 50 m2 ¿Cuál es el área de la zona sombreada? Valor de cada Problema: 10 puntos. Tiempo: 2 horas y media.

Olimpiada Juvenil de Matemática Prueba Regional – 29 de abril de 2005 Primer Año de Educación Media y Diversificada Problema 1.

Los números entre el 0 y el 2005 están acomodados en un arreglo de flechas. En la siguiente figura se muestra como inicia dicho arreglo: 0



1  2





3

6







5

8

4



7 

9

12  13







10  11

14

15 





16  17

¿Cuál es la posición de las flechas entre el 2002 y el 2005? Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 2. ¿Cuáles son todos los posibles números de tres dígitos abc que hay que colocar al final del número 579 para que el número 579abc sea divisible entre 5, 7 y 9? Explica cómo obtuviste tu respuesta A

Problema 3. En el triángulo ABC se tiene: BD es mediana del triángulo ABC y M es punto medio del segmento BD. Si el área del triángulo ABC es 30 cm2, ¿cuál es el área del triángulo ABM?

D M B

Problema 4.

C

x

Determina todos los valores de x e y para los cuales x · y, y y x – y tengan el mismo valor. Explica cómo obtuviste tu respuesta Problema 5. Para efectuar un sorteo, varias personas se colocan en círculo y se inicia el conteo “uno, DOS, uno, DOS,…” Todas las personas que dicen “DOS” se van saliendo del círculo, hasta que quede sólo una persona. Si hay 192 personas en el círculo inicial, ¿cuál era la posición de la persona que resulta elegida? (La primera posición es la del primero que dijo “uno”) Problema 6. El tablero de un juego es el siguiente:

___ 59___58___57___56___55___54___53___52___5___1

Alberto y Verónica, cada uno en su turno, colocan un signo "+" o un signo "−", a su elección, en un espacio que aún no haya sido usado, antes de cada potencia. El juego termina cuando se han utilizado todos los espacios. Para determinar al ganador, se realiza la suma algebraica que queda indicada al completar todos los espacios. Si el resultado es múltiplo de 11, gana Verónica y, en caso contrario, gana Alberto. Si Alberto comienza el juego, ¿cuál de los dos jugadores puede elaborar una estrategia ganadora, es decir, una estrategia de juego que le asegure ganar independientemente de lo bien o mal que juegue su oponente? Valor de cada Problema: 10 puntos. Tiempo: 2 horas y media.

Olimpiada Juvenil de Matemática Prueba Regional Segundo Año de Educación Media y Diversificada Problema 1. Doce números enteros se escriben en fila. El cuarto número es 4 y el último es 12. Si se sabe que la suma de tres números colocados consecutivos, cualquiera de ellos, es 2005, ¿cuáles son los números? Problema 2. Un segmento de 1 cm de largo se corta de la siguiente manera: en el primer paso se corta el tercio del medio del segmento, en el segundo paso se corta el tercio del medio de cada uno de los segmentos restantes y así sucesivamente. ¿Exactamente a partir de cuál paso la suma de las longitudes de los segmentos restantes es menor que 0,1 cm? Problema 3. Dos rectángulos congruentes de lados 3 cm y 9 cm aparecen dispuestos como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región común de los dos rectángulos? Problema 4. Para efectuar un sorteo, varias personas se colocan en círculo y se inicia el conteo “uno, DOS, uno, DOS,…” Todas las personas que dicen “DOS” se van saliendo del círculo, hasta que quede sólo una persona. Si hay 320 personas en el círculo inicial, ¿cuál era la posición de la persona que resulta elegida? (La primera posición es la del primero que dijo “uno”) Problema 5. El tablero de un juego es el siguiente:

___ 79___78___77___76___75___74___73___72___7___1

Alberto y Verónica, cada uno en su turno, colocan un signo "+" o un signo "−", a su elección, en un espacio que aún no haya sido usado, antes de cada potencia. El juego termina cuando se han utilizado todos los espacios. Para determinar al ganador, se realiza la suma algebraica que queda indicada al completar todos los espacios. Si el resultado es múltiplo de 11, gana Verónica y, en caso contrario, gana Alberto. Si Alberto comienza el juego, ¿cuál de los dos jugadores puede elaborar una estrategia ganadora, es decir, una estrategia de juego que le asegure ganar independientemente de lo bien o mal que juegue su oponente? Problema 6. Seis músicos participan en un festival. En cada concierto algunos de ellos tocan y otros escuchan. ¿Cuál es el menor número de conciertos que tienen que dar, de tal forma que cada músico escuche a todos los demás? Valor de cada Problema: 10 puntos. Tiempo: 2 horas y media.

Olimpiada Recreativa de Matemática Prueba Nacional Tercer Grado Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas Problema 1. Imagínate que tienes colocadas 16 monedas en los círculos de la derecha (cada moneda en un círculo). Quita seis de esas monedas de tal forma que en cada fila y en cada columna quede un número par de monedas. Hay muchas soluciones: trata de encontrar la mayor cantidad que puedas. Marca en tu hoja de respuesta las seis monedas que vas a quitar en cada solución. Problema 2. Con los dígitos de 1 a 9 puedes escribir tres números de tres dígitos cada uno, usando cada dígito una sola vez. ¿Cómo puedes obtener la mayor suma con estos números? Explica porque es cierto que esa sea la mayor suma Problema 3. Supón que tienes una balanza de dos platillos, una pesa de 50 gramos y un kilogramo de azúcar. Debes pesar exactamente 300 gramos de azúcar, haciendo sólo tres pesadas. Describe cómo puedes hacerlo. Problema 4. Una docena de peras pesan igual a ocho naranjas. Tres manzanas pesan igual a dos naranjas. ¿Cuántas manzanas pesan igual que una docena de peras? Problema 5. Un cubo de madera es pintado de verde. Al secarse se corta en cubos más pequeños mediante cortes verticales y dos cortes horizontales. A continuación se te dan cinco afirmaciones: explica porque son verdaderas cuatro de ellas y porque es falsa una de ellas: a) Hay 8 cubos con 3 caras pintadas de verde b) Hay 27 cubos c) Hay 3 cubos sin ninguna cara pintada d) Hay 12 cubos con 2 caras pintadas de verde e) Hay 6 cubos con 1 cara pintada de verde

Olimpiada Recreativa de Matemática

Prueba Nacional Cuarto Grado Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas Problema 1. Observa las figuras y el valor de ellas según una clave especial: = 15,

= 9,

= 8,

= 6

Descubre la clave especial, explícala y luego determina el valor de Problema 2. A, B, C y D son cuatro puntos alineados tales que:  C es punto medio de AB  A pertenece al segmento DC  Segmento AC es doble del segmento DA ¿Cuántas veces es el segmento AB más grande que el segmento DA? Problema 3. Tres amigos tienen 21 latas de refrescos: 7 de las latas están llenas, 7 están vacías y 7 están llenas hasta la mitad. ¿Cómo pueden repartirse las latas de refresco para que cada uno se lleve la misma cantidad de refresco y la misma cantidad de latas, sin trasvasar líquido de una lata a otra? Problema 4. Se recortan dos piezas cuadradas iguales de una cartulina. Observa una posición de las piezas cuadradas de tal forma que una cubre parte de la otra pero el borde de las dos juntas tiene la forma de un hexágono (polígono de seis lados). Haz dibujos de cómo pueden las piezas cuadradas ser colocadas para que sus bordes tengan la forma de un heptágono (polígono de 7 lados), de un octógono (polígono de 8 lados), de un nonágono (polígono de 9 lados), de un decágono (polígono de 10 lados) y de un polígono de 13 lados. Problema 5. Alberto gastó todo su dinero en cinco tiendas. En cada tienda, gastó Bs. 1.000 más que la mitad de lo que tenía cuando entró a esa tienda. ¿Cuánto dinero tenía Alberto cuando entró a la primera tienda?

Olimpiada Recreativa de Matemática

Prueba Nacional Quinto Grado Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas Problema 1. En una exposición de animales hay algunas gallinas y algunos perros. Entre gallinas y perros contaron 22 cabezas y 72 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos perros había en la exposición? Problema 2. Uniendo cubos de madera, cuya arista mide 1 cm, se construye un prisma recto cuya base es un rectángulo de dimensiones 4cm x 5cm y cuya altura mide 3 cm. A continuación se pintan sus caras de negro y, una vez que la pintura está seca, se desmonta el prisma descomponiéndolo en cubos unidad de arista 1 cm. ¿Cuántos cubos tienen sólo tres caras pintadas? ¿Y sólo dos caras? ¿Y sólo una? ¿Y cero caras? Si se mantienen las dimensiones de la base y se varía la altura, ¿es posible construir un prisma recto en el que el número de cubos unidad con cero caras pintadas fuese la cuarta parte del número total de cubos unidad? Problema 3. Un atleta encenderá la antorcha olímpica cuando alcance el final de una escalera de 100 escalones. Pero no puede avanzar a su antojo: está obligado a subir un solo escalón cada día de los meses impares y a bajar un solo escalón cada día de los meses pares. Comienza el 1º de enero de 2005. ¿Qué día encenderá la antorcha olímpica? ¿Qué día encendería la antorcha olímpica si la escalera tuviera 99 escalones? Problema 4. En la multiplicación, las letras representan dígitos diferentes. Calcula la suma de todas las letras.

Problema 5. Lanzamos dos dados y con los números que aparecen formamos una fracción menor o igual que uno. Juan dice que, en la próxima tirada, la fracción será reducible y Pedro que será irreducible. ¿Quién de los dos crees que tiene más posibilidades de acertar?

S A  A U S O S A L NO E

L S S S

Olimpiada Recreativa de Matemática Prueba Nacional Sexto Grado Apellidos y Nombres________________________________________Nº de Cédula ________________ Instituto_____________________________________________Ciudad______________________ _____ Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas Problema 1. En una caja muy grande hay seis cajas de tamaño mediano. Algunas de las cajas de tamaño mediano están vacías y las otras contienen seis cajas de tamaño pequeño. En total hay treinta y una cajas. ¿Cuántas de estas treinta y una cajas están vacías? Explica cómo obtienes tu respuesta Problema 2. Dos planetas giran en el sentido de las agujas de un reloj en las órbitas A y B alrededor del Sol. El planeta de la órbita A tarda 12 años en dar una 270º vuelta completa y el de la órbita B tarda 3 años. Si en este momento están alineados con el Sol, ¿cuánto tardan en estar nuevamente alineados?

315º

0º

A

45º

B 90º 225º

135º

180º

Problema 3. Una niña tenía la curiosidad de saber el año en que murió el matemático Tartaglia y preguntó a su profesor por la fecha. Éste le aportó los siguientes datos: murió en el siglo XVI, la suma de las cifras que forman dicho año es 18 y la cifra de las unidades excede a la de las decenas en dos. ¿Podrías ayudar a la niña diciéndole la fecha? Explica cómo la obtienes Problema 4. Con el trapecio de la figura realiza las siguientes actividades: a) Dividirlo en dos polígonos de igual área. ¿Cuál es el área de cada uno de ellos? ¿Cuál es el nombre de cada uno de ellos? 4 cm b) Dividirlo en cuatro polígonos iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de ellos? c) Dividirlo en dos figuras de igual perímetro Problema 5. María recoge 100 mangos y los coloca en cinco cajas de la siguiente forma:  La caja Nº 1 y la caja Nº 2 juntas contienen 48 mangos  La caja Nº 2 y la caja Nº 3 juntas contienen 34 mangos  La caja Nº 3 y la caja Nº 4 juntas contienen 30 mangos  La caja Nº 4 y la caja Nº 5 juntas contienen 48 mangos ¿Cuántos mangos hay en cada caja?

4 cm

8 cm

Olimpiada Recreativa de Matemática Prueba Nacional Séptimo Grado Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas Problema 1. Se tienen siete monedas: todas iguales en forma y tamaño, pero dos de ellas son un poco más pesadas que las otras cinco. Si tienes una balanza de dos platillos, como la de la figura, ¿cuál es el menor número de pesadas que debes hacer para determinar las dos monedas más pesadas? Problema 2. Juan nació antes del año 2000. El 25 de agosto del 2005 cumple tantos años como la suma de los dígitos del año de su nacimiento. Determina la fecha de su nacimiento. Problema 3. Un rompecabezas tiene 81 piezas cuadradas de 1cm de lado cada una. Usando todas las piezas se arman dos rectángulos distintos de modo que el perímetro de uno de ellos sea el doble del perímetro del otro. ¿Cuáles son el largo y el ancho de cada rectángulo? Problema 4. El abuelo Pinto le ha regalado a sus nietos una estupenda caja de bombones con forma de prisma de base cuadrada y los chicos se han repartido el preciado contenido de una curiosa manera en función de su edad: Abrieron la caja por la parte superior, que era la cuadrada, y por un lateral. A Fermín, que es el mayor, le correspondieron los bombones de la capa superior. A continuación se sirvió Petra, llevándose los bombones que había en el costado abierto. Después fue el turno de Lola, que se sirvió llevándose los de la capa superior. Ahora le tocó a José, el más pequeño, que tomó los que se encontró por la parte lateral, y la última en servirse fue Maruja, quien se llevó los quince bombones que quedaban en la última capa de la caja. ¿Cuántos bombones correspondieron a cada hermano? Problema 5. Considera todos los números naturales desde cero (0) hasta un millardo (1.000.000.000). ¿Cuál es la suma de todos los dígitos utilizados para escribir todos esos números?

TERCER GRADO HOJA DE RESPUESTA PROBLEMA Nº 1 Apellidos y Nombres________________________________________Nº de Cédula ________________ Instituto_____________________________________________Ciudad______________________ _____

Olimpiada Juvenil de Matemática Prueba Nacional

Octavo Grado de Educación Básica Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas 1. El diagrama muestra un crucigrama numérico. Es similar a los crucigramas corrientes, pero las respuestas son números enteros positivos en lugar de palabras. Si conocemos las siguientes pistas: HORIZONTALES VERTICALES 1. Potencia de 2 1. Potencia de 5 2. Potencia de 2 2. Múltiplo de 5 3. Múltiplo de 14. Halla el número que corresponde al Nº 3 de los verticales justificando con detalle los pasos realizados. 2. Sobre una recta se colocan cuatro puntos A, B, C y D en forma consecutiva. Si E y F son los puntos medios de AB y CD , respectivamente, AC = 26 cm y BD = 44 cm, halla la medida del segmento EF . 3. Contando los alumnos de una clase de 4 en 4 sobran 2 y contándolos de 5 en 5 sobra 1. Si sabemos que el número de niñas es 15 y que hay más niñas que niños, ¿cuántos niños hay en la clase? 4. ¿Puede un tablero de ajedrez (de 88 cuadraditos) cubrirse con 15 figuras tipo T y un cuadrado 22 como las que se muestran abajo?

5. Un número de tres cifras es “equilibrado” si una de sus cifras es el promedio de las otras dos. Por ejemplo, el 258 es “equilibrado” porque 5 = cifras hay?

28 2

. ¿Cuántos números “equilibrados” de tres

Olimpiada Juvenil de Matemática Prueba Nacional

Noveno Grado de Educación Básica Problema 1 Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas Una bandera consiste de una cruz blanca con fondo gris. Las franjas blancas tienen el mismo ancho, los rectángulos grises de las esquinas son congruentes y la bandera mide 3  4 m. Si el área de la cruz es igual al área de la región gris, ¿cuál es el ancho de la cruz? Problema 2 Se tienen 5 tachuelas amarillas, 4 verdes, 3 azules, 2 blancas y 1 marrón que se van a colocar en un tablero de corcho como se muestra en la figura. ¿De cuántas maneras se pueden colocar todas las tachuelas en los puntos indicados del tablero de tal modo que ninguna fila (horizontal) y columna (vertical) contenga dos tachuelas del mismo color? Problema 3 ¿Cuántos números de tres dígitos hay tales que cada uno de ellos (los dígitos) sea un número primo y cada uno de estos primos sea divisor del número? Problema 4 Encuentra el número positivo más pequeño que tiene divisores que terminan en 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Problema 5 Un cierto número de cubitos de lado 1 cm se ponen juntos para formar un cubo más grande y algunas de las caras del cubo grande se pintan. Después de pintado se vuelven a separar los cubitos pequeños y nos damos cuenta de que 45 de los cubos pequeños no tienen las caras pintadas. ¿Cuál era la longitud de un lado del cubo grande? ¿Cuántas caras del cubo grande se pintaron?

Olimpiada Juvenil de Matemática Prueba Final Nacional

Primer Año de Educación Media y Diversificada Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas 1. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Considere la altura AD correspondiente a la hipotenusa de ABC y la altura DE correspondiente a la hipotenusa de ABD. Si BD = 13 y DE = 12, calcule todas las razones trigonométricas del ángulo ADC. 2. En una práctica de Matemática, un problema se reduce a encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma x2 + Ax + B = 0. Felipe comete un error al calcular el término constante de la ecuación y obtiene 8 y 2 como raíces. Julia comete un error en el coeficiente del término de primer grado y obtiene −9 y −1 como raíces. ¿Cuáles son las raíces de la ecuación correcta? 3. La sucesión 2,3,5,6,7,10,11,12,13,14,15,… está formada por números que no son cuadrados ni cubos perfectos (por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto porque 9 = 3·3 = 3 2 y 8 es un cubo perfecto porque 8 = 2·2·2 = 23). El número 11 representa el 7º término de la sucesión, el número 15 el 11º término de la sucesión. ¿Cuál es el término de la sucesión que ocupa el 100º término? 4. Rellena la siguiente cuadrícula sabiendo que tanto en las filas (de arriba hacia abajo) como en las columnas (de izquierda a derecha) tenemos una progresión aritmética. 0 13 32 17 5. Carmen olvidó su clave secreta de 5 dígitos, pero en una lista escribió 10 números. Cada uno de estos números tiene en una de las cinco posiciones el mismo dígito que la clave secreta y en las otras cuatro posiciones un número distinto. Si los números son: 07344, 14098, 27356, 36429, 45374, 52207, 63822, 70558, 85237 y 97665, ¿cuál era la clave secreta de Carmen?

Olimpiada Juvenil de Matemática Prueba Nacional

Segundo Año de Educación Media y Diversificada Valor de cada Problema: 7 puntos. Tiempo: 3 horas 1. Considera todos los triángulos isósceles cuyos vértices sean los vértices de un hexágono regular de área 1. ¿Cuál es el promedio de las áreas de estos triángulos? 2. Catia, Ana Laura, Magdalena, Gabriel, Víctor y Edgardo jugaron a los dardos en parejas (una mujer y un hombre). Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo, es decir, si alguien hizo 10 tiros anotó 10 puntos por cada tiro. Cada una de las mujeres ganó 45 puntos más que su pareja; además sabemos que Catia disparó 7 tiros más que Edgardo y Víctor 15 tiros más que Magdalena. ¿Quién era la pareja de Catia? 3. En la figura, BCD es la cuarta parte de un círculo de radio 1. La medida del ángulo BCA es 60º y X es un punto en el segmento CD . Si el área de la región sombreada es la mitad del área del cuarto de círculo BCD, ¿cuánto mide el segmento CX ?

4. Considera dos números positivos de 3 dígitos distintos tales que uno de ellos tenga todos sus dígitos pares y el otro tenga todos sus dígitos impares. ¿Cuál es la menor diferencia positiva posible entre los dos? 5. Un rectángulo de mn (m y n naturales) está dividido en cuadrados de lado uno. Un rayo de luz entra en el rectángulo por uno de los vértices en dirección de la bisectriz del ángulo recto y se refleja en los lados del rectángulo. ¿Cuántos cuadrados son atravesados por el rayo de luz? (En el momento en que el rayo de luz toque nuevamente un vértice del rectángulo se sale.)