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• Demetrio Ccesa Rayme

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5. ° grado: Matemática

SEMANA 5

Resolvemos situaciones sobre sistemas de ecuaciones DÍA 4

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvemos problemas 5_día 4, páginas 33, 35, 36 y 38. Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Estimadas(os) estudiantes iniciaremos el desarrollo de las actividades de las páginas 33, 35, 36 y 38 de tu cuaderno de trabajo Resolvamos problemas 5 (disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma)

Situación 1 – Página 33 El director de una institución educativa organizó un proyecto de presentación teatral con sus estudiantes de quinto grado, con la finalidad de reunir fondos y terminar de construir el comedor estudiantil, por lo cual recibió el apoyo de los padres de familia y el de la Municipalidad, que le brindó gratuitamente su anfiteatro. El costo de las entradas fue de 30 soles para los adultos y 20 soles para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248 personas y se reunieron 5930 soles, ¿cuántos adultos y cuántos niños, respectivamente, asistieron a esa función? a) 151 adultos y 97 niños b) 124 adultos y 124 niños

c) 97 adultos y 151 niños d) 69 adultos y 179 niños

Resolución • Representamos los datos y las preguntas de la situación: Cantidad de adultos: x Costo de la entrada por adulto: 30 soles

Cantidad de niños: y Costo de la entrada por niño: 20 soles

El total de personas que asistieron el sábado fue:

x + y = 248

El total de dinero reunido fue:

30x + 20y = 5930

• Calculamos la cantidad de adultos y niños: Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 248 30x + 20y = 5930

α β

Multiplicamos por 30 la ecuación α:

x + y = 248 x + 151 = 248 x = 97

30(x + y) = (248)30 30x + 30y = 7440

Reemplazamos el valor de y en la ecuación α:

µ

Por lo tanto, los adultos que asistieron son 97 y los niños asistentes son 151.

Restamos las ecuaciones µ y β:

30x + 30y = 7440

Respuesta:

30x + 20y = 5930

Asistieron a la función 97 adultos y 151 niños.

0 + 10y = 1510 y = 151

Clave c).

Situación 2 – Página 33 Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda, en cada una de las siguientes proposiciones. I. Cuando dos rectas se cortan en un punto, es totalmente seguro que encontramos una solución al sistema de ecuaciones, al cual se denomina sistema compatible determinado. ( ) II. Cuando dos rectas son paralelas en un plano, se encuentran infinitas soluciones al sistema lineal, al cual se denomina sistema indeterminado. ( ) III. En un sistema de ecuaciones lineales, cuando hay más incógnitas que ecuaciones, existe más de una solución. ( ) a) V V V b) V F V c) F F F d) F V F

Resolución •

▪ Sistema de ecuaciones ax + by = c dx + ey = f

▪

Compatible (Sí hay solución)

Incompatible (No hay solución)

a b c =  d e f

L1

L2

Recordamos sobre el sistema de ecuaciones:

▪

Determinado (Única solución) a b  d e ▪ Indeterminado (Infinitas soluciones) L1 L2 a b c = = d e f Las rectas no se cortan, son paralelas.

L2

Las rectas se cortan en un punto.

•

De los enunciados y el esquema podemos afirmar que: I. (V)

L1

II. (F) III. (V)

Las rectas coinciden

Respuesta: VFV Clave b).

Situación 3 – Página 35 Un comerciante de algodones de azúcar gana 40 céntimos por cada algodón vendido, pero si no logra venderlo pierde 50 céntimos. Un día en que fabricó 120 algodones, obtuvo una ganancia de 39 soles. ¿Cuántos algodones no logró vender ese día? a) 10 algodones

b) 7 algodones

c) 9 algodones

d) 12 algodones

Resolución • Representamos los datos y las preguntas de la situación: Sabemos que: 40 céntimos = S/ 0,40 y 50 céntimos = S/ 0,50.

120 algodones fabricados

Ganancia por los algodones vendidos

(0,40) x

y

x Cantidad de algodones vendidos

Cantidad de algodones no vendidos

La cantidad de algodones fabricados es:

x + y = 120

(0,50) y Pérdida por los algodones no vendidos La ganancia final es:

39 soles Ganancia final

(0,40)x – (0,50)y = 39

• Calculamos la cantidad de algodones no vendidos: Reemplazamos el valor de x en la ecuación α:

Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 120

α

(0,40)x – (0,50)y = 39

β

x + y = 120 110 + y = 120

Multiplicamos por (0,50) a la ecuación α:

y = 10

(0,50)(x + y) = (120)(0,50) (0,50)x + (0,50)y = 60

µ

Por lo tanto, la cantidad de algodones vendidos es de 110 y la cantidad de algodones no vendidos es 10.

Sumamos las ecuaciones µ y β:

(0,50)x + (0,50)y = 60 (0,40)x – (0,50)y = 39 (0,90)x + 0 = 99 x = 110

Respuesta: El comerciante no logró vender 10 algodones.

Clave a).

Situación 4 – Página 35 En el río Amazonas, un bote recorre 76 kilómetros en 1 hora con la corriente a su favor. De regreso, con la corriente en contra, tarda 4 horas para recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad promedio de la corriente sabiendo que la distancia se calcula con d = v ∙ t? (d: distancia, v: velocidad y t: tiempo).

a) 47,5 km/h

b) 28,5 km/h

c) 57 km/h

d) 19 km/h

Resolución •

Calculamos la distancia con la corriente a favor:

•

Calculamos la distancia con la corriente en contra:

hora t1 = 1hora

horas t 2 = 4horas

VBote

VBote VRío

VRío

km d = 76km

km d = 76km

Usamos :

d=v∙t

Reemplazamos:

76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 … (1)

Usamos:

d=v∙t

Reemplazamos:

76 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4 … (2)

• Calculamos la velocidad promedio de la corriente: Resolvemos el sistema de ecuaciones:

76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 … (1)

76 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4 … (2)

Igualamos la ecuación (1) y (2):

𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 = 4𝑉𝐵 − 4𝑉𝑅 5 𝑉𝑅 = 3 𝑉𝐵 5 𝑉 = 𝑉𝐵 … (3) 3 𝑅

Reemplazamos la ecuación (3) en (1):

76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 5 𝑉 + 𝑉𝑅 ∙ 1 76 = 3 𝑅 3(76) = 5𝑉𝑅 + 3𝑉𝑅 228 = 8𝑉𝑅 228 = 𝑉𝑅 8 28,5 km/h = 𝑉𝑅 Respuesta: La velocidad promedio de la corriente es 28,5 km/h.

Clave b).

Situación 5 – Página 36 Sergio contrató dos camiones cuyas capacidades de carga son, respectivamente, 3 y 4 toneladas, los cuales hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de varillas de hierro de construcción. Él necesita saber cuántos viajes realizó cada camión para adicionar los gastos por combustible.

Resolución • Representamos los datos y las preguntas de la situación: Capacidad del camión:

Realiza x viajes

Logra transportar 3x toneladas.

El total de viajes realizados entre los dos camiones es: x + y = 23

Realiza y viajes

Logra transportar 4y toneladas.

El total de varillas de hierro transportado por los dos camiones es: 3x + 4y = 80

3 toneladas

Capacidad del camión: 4 toneladas

• Calculamos la cantidad de viajes realizados por cada camión: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 23

α

3x + 4y = 80

β

Multiplicamos por 4 a la ecuación α:

4 (x + y) = (23) 4 4x + 4y = 92

µ

Reemplazamos el valor de x en la ecuación α:

x + y = 23 12 + y = 23 y = 11 Por lo tanto, el camión de tres toneladas realizó 12 viajes y el de cuatro toneladas realizó 11 viajes.

Restamos las ecuaciones µ y β:

4x + 4y = 92

Respuesta:

3x + 4y = 80

El camión de 3 toneladas realizó 12 viajes y el camión de 4 toneladas realizó 11 viajes.

x + 0 = 12 x = 12

Situación 6 – Página 38 Un empresario textil de Gamarra desea distribuir un bono de productividad entre sus empleados por su buen desempeño en la semana. Haciendo cálculos, se percata de que si entregara a cada uno 800 soles, le sobrarían 200, y si les diera 900 soles, le faltarían 400. ¿Cuántos empleados hay en su fábrica? ¿Cuánto dinero tiene para repartir? ¿Cómo resolverías el problema sin usar ecuaciones?

Resolución • Nos piden calcular el número de empleados y el dinero que tiene el empresario para repartir. • Nos solicitan realizarlo sin ecuaciones. • Si no utilizas ecuaciones, una estrategia de solución sería particularizar, familiarizarte con el problema, de este modo observa el caso más sencillo y trata de llegar a la respuesta.

• Es decir, analiza si es que hubiera 1 empleado, luego analiza para 2 empleados, luego para 3, así sucesivamente hasta que cumpla con los datos de la situación.

Si el n.° de empleados fuera…

Dinero que necesita el empresario para pagar un bono de S/ 800

El dato que le sobra es S/ 200

Si el empresario Dinero que el Realizamos una Lo que le sobra o empresario tiene les diera a cada comparación entre falta al empresario si quiere dar a cada para pagar a sus empleado S/ 900 lo que tiene y lo que empleados necesitaría … necesitaría empleado 900 soles.

1

800(1) = 800

800 + 200

1000

900(1) = 900

1000 – 900 = 100

2

800(2) = 1600

1600 + 200

1800

900(2) = 1800

1800 – 1800 = 0

3

800(3) = 2400

2400 + 200

2600

900(3) = 2700

2600 – 2700 = –100

4

800(4) = 3200

3200 + 200

3400

900(4) = 3600

3400 – 3600 = –200

5

800(5) = 4000

4000 + 200

4200

900(5) = 4500

4200 – 4500 = –300

6

800(6) = 4800

4800 + 200

5000

900(6) = 5400

5000 – 5400 = –400

Respuesta: El empresario tiene 6 empleados y 5000 soles para repartir.

1000 – 900 = 100 Sobra 100 soles 1800 – 1800 = 0 No sobra ni falta 2600 – 2700 = –100 Faltaría 100 soles 3400 – 3600 = –200 Faltaría 200 soles 4200 – 4500 = –300 Faltaría 300 soles 5000 – 5400 = –400 Faltaría 400 soles

Cumple con el dato de la información.

Gracias