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• ramonramirez929

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Texto del Estudiante

Jóvenes Estudiantes: El Estado de Honduras, a través de la Secretaría de Educación, les ofrece este Texto de Matemáticas, con el propósito de estimularles com petencias y habilidades para utilizar y relacionar los núm eros, sus operaciones básicas, sím bolos y forma de razonamiento; con la intención de mejorar el rendim iento académ ico en séptim o, octavo y noveno grados. Con estos textos, presentam os los contenidos del DCNEB de forma accesible y amena, perm itiéndole apreciar la Matemática com o quehacer hum ano y com o m edio para desenvolverse en la vida cotidiana y profesional. Con la resolución de los problemas que se le plantean, podrá dominar operaciones básicas, comprender y aplicar conceptos, recolectar y organizar información; valorando los recursos del entorno com o apoyo a la construcción de sus conocim ientos. Aprender es un proceso en el cual los educandos construyen significados sobre los diversos contenidos, también es relacionar lo que cada uno sabe con lo nuevo que presentam os en este libro, los m otivam os a mostrar su entusiasm o, interés y actitudes en la tarea de aprender matemáticas. En la búsqueda del cam ino hacia una Nueva Honduras, el recurso hum ano es la Nación, es el único capaz de generar riqueza a través de la aplicación de sus conocim ientos, capacidades y acción, lo que obliga a la Secretaría de Educación, que mejore en cada generación y para ello, es imprescindible avanzar en la m eta de elevar la escolaridad prom edio a nueve años apoyada con recursos textuales físicos y virtuales; culminar sus estudios de Educación M edia con las com petencias requeridas para continuar estudios superiores e incorporarse al mercado laboral.

CUADERNO DE TRABAJO'

Grado

Unidad 1: Polinomios Lección 1: Potenciación.......................................................................................

2-41 2- 5

Lección 2 Polinomios...........................................................................................

6-18

Lección 3 Productos notables .......................................................................

19 - 25

Lección 4: Factorización de polinomios.......................................................

26 - 33

Lección 5: División de polinomios...................................................................

34 - 36

Lección 6 Aplicación de la factorización..................................................

37

...................................................................................................................

38 - 40

V

on .................................................................................................................

41

Unidad 2: Números reales

42 - 63

Lección 1: Números reales.................................................................................

42 - 49

Lección 2: Operaciones con raíces cuadradas.........................................

50 - 57

Lección 3: Raíz cúbica..........................................................................................

58

Lección 4: Intervalos en la recta numérica...............................................

59

................................................................................................................... .................................................................................................................

60 - 61 62 - 63

Unidad 3: Expresiones racionales algebraicas

64 - 75

Lección 1: Expresiones racionales algebraicas;....................................... Lección 2: Multiplicación y división de ERAs............................................

6 4 - 65 66 - 67

Lección 3: Adición y sustracción de ERAs.................................................

68 - 71

Lección 4: Despeje de variables en fórmulas...........................................

72 - 73

...................................................................................................................

74

..................................................................................................................

75

Unidad 4 Triángulos

76 - 99

Lección 1: La suma de los ángulos de un polígono...................................

76 - 78

Lección 2: Congruencia de triángulos...........................................................

79 - 83

Lección 3: Triángulo isósceles y rectángulo.............................................

84 - 89

Lección 4: Puntos notables del triángulo....................................................

90 - 95

................................................................................................................... ..................................................................................................................

96 - 97 98 - 99

Unidad 5: Cuadriláteros

100 -113

Lección 1: Cuadriláteros

100 -109 110 - 111

...................................................

112-113

Unidad 6: Semejanza de triángulos

114-133

Lección 1: Semejanza de triángulos

114 -130 131 -132

.............................................

133

Unidad 7: Teorema de Pitágoras

134 -143

Lección 1: Teorema de Pitágoras

134 -141 142

.............................................

143 Unidad 8: Tanto por ciento

144 -147

Lección 1: Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1

144 -145

................................................................................................

146 147

Unidad 9: Organización y presentación de datos

148 -161

Lección 1: Organización y presentación de datos

148 -152

Lección 2 Extracción de la información.................

153 -157

:

..............................................................................

158 -159

...............................................................................

160-161

á

É Polinomios

@ Lección 1: Potenciación Sección 1: Propiedades de ios exponentes

A

Encuentre el número en la casilla. (1) 23x 24 = 2 °

(2)25- 2 3 = 2D

(3) (23)4 = 2 °

\ / ( 1 ) 23x 24 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 3 veces 2

4 veces 2

7 veces 2

5 veces 2

(2) 25+ 23 = í x ¿ x ¿ x 2 x 2 = 2 x 2 = 22 X¿ x i 3 veces 2

2 veces 2

4 veces ( 2 x 2 x 2 )

(3) (23)4 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)= 212 3 veces 2

3 veces 2

3 veces 2

3 veces 2

Propiedades de los exponentes Para un número negativo o positivo “a y dos números naturales m y n se tiene que: (2) am+ a = a " ; m > n y a ¿ 0

1

Calcule aplicando las propiedades de los exponentes. (1) (1.2)4 x (1.2)2

(2) [(3.14)7]4

(4) (-1.8)22 + (-1.8)1

(5) ((-5.1 )4)4

(7) (205)4

w f |)* + (- | (11) (4.2)15 -i- (4.2)1

(13) (-5)5x (-5)7

&

(3) («")"= fl"-

(3) 85x 82

fM fr (9) (-0.1 )3x (-0.1 )3

(12)

7 4

(15)

_4 \2 5

B

Supongamos que la propiedad a + a = a"' es válida aún cuando m=nOm)x (7i j .)

(2)(5>y)x(-2/y)

(3) (-|!)x (l2 a !)

(4) (-0.5OÍ) x (4oV)

( 5 ) ( - |m V ) x ( - | m V )

(6) (2.1a) x (1.204’)

Ejemplo (1)

(-2a)2 = (-2a) x (-2a) = (-2) X (-2) x a X a = 4a2

(2) -(2a)2 = -(2a) X (2a) = -2x2 x a xa = -4a2

Calcule.

(1)(-3¿)2

(2) -(8mj

(4) (-4a2)2

(5)-^d

(6)-(2.3kf

H

Calcule 6ab + 2a.

/

Hay dos maneras de calcularlo. (1) Convertir la división en una multiplicación.

(2) Expresar el cociente como fracción. 3

6ab + 2a = 6ab x J 3 2a tídb =_2T 1

6a6 + 2a = - ^ V

= 36

= 3b ll* Calcule. (1) 10xy + 5bty

(2) -2 0 / + 5x

(4)

(5) 32mn +

25«62+ 5a62

(3) 21/?^r + Ipr 2

2

(6) 1OOxVz + 25x>’

1 Ejemplo

6a6 * y a = 6a6 * ^ = £Íéí6 x =3x3x6

= 96 Calcule.

. 10

5

11 2 . 22 2

g-X^+^g*^

-

(2) - 1 /p + -|x/?

/Q\ 2

(5) y fl6 c 2 +

IC\

2 2

. 4

(o)yW n o - ^ m n o

c2

7

2 2 2 .

14

(6)-yx^ z ^ 27XFZ

a e ró lo - Gafe ~ ? ir 'tf -■(1 3a) 1 i -- — ™ b x 26 x 26

(2) 6a6 + 26 x 3a = ^ x 3a

= -2 x 2 x 6 x 6

_ éab'x 3a

= -462

= 9a2

C a c je

(2) 8a6 + 66 x 4ac

(3) 12a26 + 8a + -|-a6

x

El área del rectángulo es ax

En la gráfica anterior tratamos de visualizar el producto (x - a f. 1. Para encontrar el área de (x - a f separamos los dos rectángulos de área ax (el largo es x y el ancho es a). 2. Ambos rectángulos se traslapan en un cuadrado de área a2, por lo que al separar los dos rectángulos estamos quitando dos veces el área a2 3. Como los rectángulos se traslapan en el cuadrado de área a2, uno de estos dos cuadrados se quita con uno de los rectángulos pero el otro cuadrado debe quitarse del cuadrado de área (x - a f que es el que queda. 4. Como lo que se anda buscando es (x - a f y está incompleto, para completarlo debe sumarse nuevamente el cuadrado de área a2 que es el que se le ha quitado. (x-^af^jc2 - 2ax + a2

El cuadrado grande

Los dos rectángulos

El cuadrado que se agrega

Fórmula II: (x + a f = x + 2ax + a Fórmula III: (x - a f = x2 - 2ax + a2

Ejemplo Multiplicar por dos (Doblar)

(x + 3)2 = x + 2 x 3 x x + 32 = x + 6x + 9

(x + 3)2 = x + 6x + 9 Elevar al cuadrado (Cuadrar)

2 Ejemplo (x - 3)2= x2- 2 x 3 x x + 32 = x2 - 6x + 9

3 Ejemplo

. !x - 32 x J 16

A las expresiones de la forma (x + a)2 se le llama el cuadrado de la suma de un binomio. Ejemplo: (x + 4)2; (y + 5)2. A las expresiones de la forma (x - a)2 se le llama el cuadrado de la diferencia de un binomio. Ejemplo: (x - 4)2; (y - 5)2.

2

Desarrolle aplicando las fórmulas II y III según corresponda. (1)(x + 5)2

(4) (x - 8)2

(5) (x * T f

(6) ( I - 3 f

(7) (x - 4)2

(8) (x - 5 f

(9 ) ( x - 9 f

(1 0 )(x -6 )2

(13) (x -1 )2

(11

(x + Í ) ( ' - i H - ( í F

= x2- 9

= x2- - ^ x

Desarrolle.

25

( 1) ( jc - 1) ( x + 1)

(2) {x + 7) (je - 7)

(4) (x + 6) (x - 6)

(5) (* + 8) (x - 8)

(6) (* - 2) (x + 2)

(7) [x + 4) (x - 4)

( 8 ) ( r - 5 ) ( i + 5)

(9) ( x - 14) (x + 14)

( 3 ) ( i - 9 ) ( j + 9)

( i o ) U } ) t - | )

(ii)(x + |)L -|)

(i + t ) I1 " ? )

(1 3 )(^ l)(-{ )

( * + Í )

)2

............................ Aplicando la fórmula III

= 4x2- 12xy + 9y2

■¡r< Desarrolle aplicando las fórmulas de los productos notables. (1) (3x + y ) (3x + 2y)

(2) (5x + 2y)2

(3) (7x - 4y f

(4) (6x - y) (6x + y)

(5) (5x - 2y ) (8x + 3y)

(6) (4x y - 2x) (4x y + 2x)

(7) (3ab2 + 2 y f

(8)(x2y - x y 2)2

(9) (4abe + 2d){4abc - 2d)

F

(10) (5x + 2y) (6x + 3y)

Calcule (2x - 3) (x + 4) - 2(x + 1) (x -1). (2x - 3) (x + 4) - 2(x + 1) (x -1) = 2x2 + (2 x 4 - 3 x 1)x -12 - 2(x2 -1) ... F. V y IV

= 2x2+ 5x -12 - 2x2+ 2 = 5x -10 6

Calcule.

(1) 2(x - 2)2+ (x + 2)2

(2) (2x-1) (2x + 3) - (2x-1) (2x + 1)

(3) 4(2x -1) (2x + 1) - (3x + 1) (3x + 2)

(4) (5x - 2) (5x + 3) - (6x + 5)2

(5) [2x - 1) (4x + 3) + (2x - 3)2

(6) (x + 4)(x - 7) - (3x - 5) (3x + 5)

Vamos aplicar las fórmulas aprendidas al cálculo de los números. Ejemplo 952 = (100 - 5)2 = 1002 - 2 x 100 x 5 + 52 = 10000- 1000 + 25 = 9025

Ejemplo 31 x29 = (30 + 1) (30- 1) = 302- 12 = 900-1 = 899

Ejemplo 20.22 = (20 + 0.2)2 = 202+ 2 x 20 x 0.2 + 0.22 = 400 + 8 + 0.04 = 408.04

Ejemplo 18x 44 = (20-2) (40 + 4) =20x40+ ( 2 0 x 4 - 2 x 4 0 ) - 2 x 4 = 800 + 0 - 8 = 800-8 = 792

Calcule. (1) 10.12

(2) 112

(3)6x14

(4) 192

(5) 18x 14

(6 )1 7 x 2 3

(7 )3 5 x 2 5

(8) 9902

é

Lección 4: Factorización de polinomios é Sección 1: Factorización

A

Forme un rectángulo colocando los 8 rectángulos siguientes.

¿Cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo formado? Exprese su área.

El largo mide X

+1

jc

+3

El ancho mide x + 1 El área es (x + 3) (x + 1) -x + 3El área del cuadrado grande es x x x = x2, el de cada uno de los rectángulos es x x 1 = x y el de cada uno de los 3 cuadrados pequeños es 1 x 1 = 1 . De la suma de todas estas áreas se forma el polinomio x2 + 4x + 3.

4

^

La suma de las áreas de los 8 rectángulos es igual al área del redángulo formado por estos 8 rectángulos. Por lo tanto x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1). Ésta es una expresión obtenida cambiando los lados de la expresión del desarrollo (x + 3)(x + 1) = x2 + 4x + 3. Esta igualdad representa al polinomio x2 + 4x + 3 como el producto de (x + 3) y (x + 1). A (x + 3) y (x + 1) se les llama factores de x2 + 4x + 3 . Ejemplo: (1) En 3xy; 3, x e y son factores. (2) Como x2 + x = x(x + 1); entonces x y x + 1 son factores de x2 + x.

Factorizar es descomponer un polinomio como el producto de sus factores. Factorización í * x + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) 2

^__________________ j

Desarrollo Más adelante veremos los pasos que se siguen para factorizar polinomios.

Sección 2: Factorización por factor Común Cuando todos los términos de un polinomio :-enen un factor común, se les saca este ;actor común y se factoriza el polinomio aplicando la propiedad distributiva. De la gráfica anterior se sabe que Ax + Ay = A(x + y) y 51 factor común es A ya que A es factor tanto de Ax como de Ay. Ejemplo 1Oax + 5ay = 5a(2x + y) ..........

5 y a son los factores comunes

¡_os términos que van en el paréntesis se encuentran dividiendo cada -.érmino entre el factor común, es decir, 10ax + 5a = 2x; 5ay + 5a =y. Para factorizar hay que sacar todos los factores comunes de una sola" vez. 10ax + 5ay = 5(2ax + ay) Ó 10ax + 5ay = a(10x + 5y) no están completamente factorizados. 4

B v

2

Factorice. (1) 8xy + 12xz

(2 ) x 2y - x y

(3) b m n + 15m2n

(4)12a6c - 30ac

(5) 24 ab2c + 21 ab

(6) Amn - 10mp + 16mp2

(7) 9xv’ + 15xV

(8) 8m2p - 12mp2 + 28mp

(9) 18a b + 3a2¿2 - 42a¿3

Ejemplo 10ac - 2ad + 5be - bd = (10ac - 2ad) + (5be - bd)

(1)

= 2a(5c - d) + b(5c - d) ....

(2 )

= (2a + b) (5c - d) .............

(3)

El procedimiento para factorizar polinomios como el anterior es: (1) agrupar los términos que tengan un factor común (2) factorizar esas agrupaciones y (3) aplicar la propiedad distributiva.

Note que en (2) el factor común es 5c - d. I

Factorice. (1) 3ac - 26c + 3ad - 2bd

(2) 2xw - xz - 2wy + yz

(3) 3a6 + a - Qbd - 2d

(4) 2ac + 6be + 5a + 156

(5) 15xy - 3x + 10y - 2

(6) 4ad - Aab -c d + be

9

C

Sección 3: Factorización p or tanteo Vamos a usar la fórmula I de la lección 3 en dirección inversa.

x + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

1 Ejemplo Factorice x2 + 5x + 6. Si x + 5x + 6 es factorizable, el producto tendrá la forma (x + a) {x + b). Como (x + a) (x + b) - x + (a + b)x + ab, entonces x + 5x + 6 = x + (a + b)x + ab, por tanto, al igualar los coeficientes lineales y los constantes nos queda que a + b = 5 y a b - 6 (es decir, necesitamos encontrar dos números cuya suma sea 5 y al mismo tiempo que el producto sea 6). El producto es 6 1y6 2y3 -1 y -6 -2 y -3

¿La suma es 5? No (1 + 6 = 7) Sí (2 + 3 = 5) No (-1 + (-6) = -7) No (-2 + (-3) = -5)

De la tabla de la izquierda, se sabe que los dos números cuyo producto es 6 y la suma es 5 son 2 y 3.

Por tanto x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

¿5?

No se distingue (x + 2)(x + 3) de (x + 3)(x + 2) por lo que4^ . x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ó x + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2). .

A este tipo de factorización se le llama factorización por tanteo.

Para que un polinomio se pueda factorizar con este tipo de tanteo, éste debe cumplir dos condiciones: (1) el coeficiente del término cuadrático igual a 1 y (2) la existencia de dos números que multiplicados sean igual al término constante y sumados sean igual al coeficiente del término lineal. Factorice. (1)x2 + 11x + 24

(2) x2 + 10x + 9

(3)x2 + 16x + 48

(4) x2 + 7x + 6

(5)x2 + 8x + 12

(6)x + 17x + 72

(7) x2 + 5x + 4

(8)x2 + 16x + 63

(9)x2 + 7x + 10

(10) x2 + 9x + 20

(11) x2 + 9x + 14

(12)x2 + 15x + 44

El producto es 6

-actorice x2 - 5x + 6 xmpletando la tabla :e la derecha.

El producto es 6 1y6 2y3 -1 y -6 -2 y -3

V

¿La suma es -5?

¿La suma es -5? No (1 + 6 = 7) No (2 + 3 = 5) No (-1 + (-6) = -7) Sí (-2 + (-3) = -5)

3or tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

=actorice. (1)x2 - 11x + 18

(2) x2 - 12x + 35

(3)x2-

(4) x2 - 1 3x + 40

(5)x2 - 17x + 70

(6) x2 -

(7)x2 - 22x + 120

(8)x2 - 15x + 50

(9) x2 -

(11) x2 - 10x + 21

(12) x2-

• *1

10) x2 - 16x + 48

El producto es -6

-actorice x2 - 5x - 6 completando la tabla :e la derecha.

El producto es -6 -1 y 6 -2 y 3 1 y -6 2 y -3 Por tanto x2 - 5x - 6 =

¿La suma es -5?

¿La suma es -5? No (-1 + 6 = 5) No (-2 + 3 = 1) Sí (1 + (-6) = -5) No (2 + (-3) = -1)

■6)(x + 1).

-actorice. (1) x2- 7 x - 18

(2 ) x2- 5 x - 14

(3) x2 - 3x - 28

(4) x2 - 3x - 54

(5)x2 - 3x -1 8

(6)x2- 4x - 21

(7) x2 - 3x -1 0

(8) x2 - 3x - 4

(9 ) x2- 4 x - 12

(11)x2 - x -1 2

(1 2 )x -2 x -4 8

(10)x2- x - 2

$ Sección 4: Factorización por trinomio cuadrado perfecto

D

Vamos a usar las fórmulas II y III de la lección 3 en dirección inversa. x2 + 2ax + a = (x + a f

x - 2ax + a = (x - a f

En ambas fórmulas el término lineal (±2ax) es el doble de los productos de las raíces cuadradas de los otros dos términos (x2; a que siempre son positivos) diferenciándose únicamente por el signo. Esas raíces son los términos del binomio de la derecha. Equivalentemente, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal del lado izquierdo es igual a la constante.

1

^

^

x2 + 2ax +

=

(x - a f

Cuadrado

Ejemplo Mitad

Factorice x2- 6x + 9. x - 6x + 9 = (x - 3)

Raíces x cuadradas

x - 6x + 9^= ( x - 3)

3

Cuadrado

A este tipo de factorización se le llama factorización por trinomio cuadrado perfecto.

67 Factorice. (1)x2- 8 x + 1 6 (4) x2 - 2x + 1 (7)x2 + 18x + 81

(2)x2-4 x + 4 ( 5 ) x - 2 2 x + 121 (8)x2 + 10x + 25

(3) x2-1 6 x + 64 ( 6 ) x + 1 2 x + 36 (9)x2-1 4 x + 49

Ejemplo Factorice 9x2 - 30x + 25. 9x2 - 30x + 25 = (3x)2 - 2 x 5 x (3x) + 52 = (3x - 5)2

Note que: V 9? = 3x; V25 = 5; 2(3x)(5) = 30x

Factorice. (1) 16x2 + 24x + 9

(2) 81x2 + 90x + 25

(3) 144x2 - 264x -

(4) 64x2 + 112x + 49

(5) 36x2 + 12x + 1

(6) 100x2 - 180x -

(7) 9x2- 48x + 64

(8) 25x2 - 20x + 4

(9) 49x2 - 56x + 16

10) 4x2 + 60x + 225

(11) 25x - 70xy + 4 9 /

(12) 36x2 + 12xv + í

Secc/ón 5; Factorización por diferencia de cuadrados Z

/amos a usar la fórmula IV de la lección 3 en dirección inversa.

x2 - a = (x + a) (x - a)

!

1 Ejemplo ............... - 4 = x - 22 = (x + 2Xx-2)

Expresando 4 como la potencia 22

A este tipo de factorización se le llama diferencia de cuadrados.

Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas.

1

Factorice.

(1)x2- 144

(2)x2 - 100

(3) x - 324

(4) x - 289

(5) x - 81

( 6) x - 2 56

(7) x2- 400

(8)x2 - 196

(9)x2- 169

(11) x2- 361

(12) x -225

(10) x2- 121

2

Ejemplo

4x2- 9 / = (2 x f-(3 y f = (2x + 3y)(2x - 3y)

^

4 x = 2 x 2 x x x x = (2x)x(2x) = (2x)2 ^ 9 / = 3 x 3 x j ; x j = ( 3 j) x (3y) = (3y)2 ^

Factorice.

(1) 121m2- 81«2

(2) 100x2 - Ay

(3) 196í2 - 400?2

(4) 9x2 - 256z2

(5) 4b2-169c2

(6) 324m2- 144«2

(7) 1 6 / - 25x2

(10) 64a2c2 - 25b2

(8) 49z2- 81 w2

(9) 49c2- 100d2

(11) 36x2y2- 16a2

(12) 64xV - 144/62

@ Sección 6: Factorización por tanteo con coeficiente principa! distinto de uno Vamos a usar la fórmula V de la lección 3 en dirección inversa.

acx2 + (ad + bc)x + bd= (ax + b) (ex + d)

1 Ejemplo Factorice 2x2 - x - 3. Si 2x2- x - 3 es factorizable se da que2x2- x - 3 = {ax + b) {ex + d )y 2x2 - x - 3 = acx2 + (ad + bc)x + bd. De esto se deduce que ac = 2,bd= -3 y ad + be = -1. Para este caso los valores ú e a , b , c y d se encuentran siguiendo los pasos: (1) Encontrar a y c (números naturales) tal que a c - 2 (2) Encontrar b y d (números enteros) tal que bd = -3 (3) Con las parejas de (1) y (2) encontrar a , b , c y d tal que ad + bc = -1 Los 4 números a probar se colocan así:

2

^ b------►be

c ^ ^ d ------>ad bd ad + be

--------- ^ _ 2

X

as ac

►3 -3

1 .............. Como no es igual a -1 hay que probar con otra combinación. , 1 ------► 2

U X

.

■>-3

2

-3

- i ) .............. Es igual a -1 como se quería, por tanto a = 1,6 = 1, c = 2 y d = -Z.

Luego la factorización es 2x2 - x - 3 = (x + 1)(2x - 3). 10

2

Factorice. (1)6 x2 + 7x - 5

(2) 10x2 + 3x -1

(3)15x2 + 8x + 1

(4 )2 x + x -3

(5) 12x2 - 19x + 4

(6)2x2- 3 x - Z

(7) 8x2 - 26x + 15

(8) 7x2 + 9x + 2

(9 )9 x + 3 x -2

Ejemplo Factorice 2x - x y - 3y .

2

2x2 -xy - 3y = (x + y ) (2x - 3y).

11

"jj

y ---- ► 2y _g ____ ^

^

Factorice. (1) 12x2 + 11xy + 2y

(2)4x2- 3 x y - /

(3) 6x2- 5xy - f

¿ Sección 7: Factorización de un polinomio varias veces

G

Vamos a utilizar el proceso de factorización varias veces en un polinomio. Ejemplo Factorice 6ax +10 ax- 4a. 6ax2 + 10ax ■4a = 2a(3x2 + 5x - 2) ........... Factor común = 2a(3x -1 )(x + 2) .......... Fórmula V Ejemplo Factorice 4x2 + 12xy + 9y2- 49. 4.x2 + 12xy + 9 / - 49 = (4x2+12xy + 9 / ) - 49 ...... Agrupación = (2x + 3y)2- 49 .....................Trinomio cuadrado perfecto = (2x + 3y + 7) (2x + 3y - 7).. Diferencia de cuadrados

r actorice completamente.

h

(1) ax2 + bx2 - a- b

(2) 42x2 + 7x - 7

(3) 18x3- 8xy2

(4) 20x3v + 60x y + 45xv'3

(5) x - 81

(6) 15x3 - 35x>; -1 5 xy

(7) x4 - 2r2- 8

(8) m2 + 2mn + n - p2

(9) 1 - x2 - 9y2 - 6xy

(10) (x2 + 2x + 1) - 81

11) 5xy - 125x

(12) 9a2 + Ab2 -p 2 -

'l 2ab - 25r - 10pr

, amos aplicar la factorización al cálculo de números. Calcule 632- 622. ^

53^ - 622 = (63 + 62) (63 - 62) = 125x1 = 125 lalcule usando la factorización.

[

‘ -72 + 5(7) + 6

(2) 3 x 4 + 3 x 7

(3) 4472 - 4532

4) 122 - 5(12) + 6

(5) 132- (2 x 3) x 13 + 9

(6) 782- 822

(7) 9 x 52- 2 x (3 x 5) + 25

(8) 72 + (3 + 13) x 7 + 3 x 13

(9) 822 - 782

■é Lección 5: División de polinomios ^

La multiplicación 3 x 2 = 6 con números naturales equivale a la división 6 + 2 = 3. En el mismo sentido la multiplicación (x + 3) {x + 2) = x + 5x + 6 de polinomios equivale a la división (x2 + 5x + 6) + {x + 2) = x + 3. Se le llama dividendo a x + 5x + 6, divisor a x + 2 y cociente a jc + 3. Vamos a encontrar la forma de calcular el cociente.

1

Ejemplo Calcule (3x3 + 5x2 - jc + 2) + (x + 2) Como los grados del dividendo y del divisor son 3 y 1 respectivamente, el del cociente debe ser 2, es decir, que el cociente tiene la forma ax2 + bx + c. Esto significa que la división equivale a la multiplicación. (x + 2) (ax2 + bx + c) = 3x3 + 5x2 - x + 2 ax3 + (2a + b)x2 + (2b + c)x + 2c = 3x3 + 5x2 - x + 2

Al igualar los coeficientes de los términos del mismo grado obtenemos: a=3

2a + b = 5

2b + c = -1

2c = 2

2(3) + 6 = 5

2(-1) + c = -1

c= 1

6+6=5

-2 + c = -1

6 = -1

c=1

Al sustituir a = 3, b = -1 y c = 1 en ax2 + bx + c queda 3x2 - x + 1.

De esto se deduce que (3x3 + 5x2 - x + 2) + (x + 2) = 3x2 - x + 1. Para facilitar el cálculo se utiliza la siguiente forma vertical. 3x -x + 1 x + 2 3x3 + 5x2 - x + 2 3x3 + 6x2 -x2 - x + 2 -x - 2x x+2 x+2

O

a (1) Calcular (3x ) + x = 3x y colocarlo arriba de 5 x . (Es el cálculo del cociente entre los términos de mayor grado del dividendo y del divisor) (2) Calcular (x + 2) x (3v2) = 3x3 + 6x2y colocarlo debajo del dividendo. (Es el cálculo del producto del cociente anterior por el divisor) (3) Restar este producto (3x3 + 6.t2) del dividendo. (Es restar el producto anterior del dividendo) (4) Repetir los pasos (1) a (3) con los dividendos parciales hasta bajar el último término del divider

Calcule. (1) (2v4 + 5x3 + 4x2 - x - 1) + (2x + 1)

(2) ( 2 x + 5 x - 3 ) * ( x + 3) (4) (3x3 + 5x2 + 3x + 1) + (x + 1)

3 ) (.v3 + x + x - 3) + (x - 1) (5) (9x3 + 3x2 + 4x + 4) + (3x + 2)

(6) (28x2 + 3x - 1 ) + (4x + 1)

*7) (-5x2 + 7x + 6) + (- x + 2)

(8) (2x3-5 x 2+ 1 2 x - 5 ) + ( x - 2 x + 5) (10) (5x3 - 13x2 + 4x + 4) + (5x + 2)

9) (9x2 + 12x + 4) + (3x + 2)

En ciertos casos, si el dividendo no está completo, es aconsejable completarlo zara evitar errores en el cálculo.

2

E.emplo Calcule (-1 +x3) + ( x - 1). Al polinomio -1 + x3 le falta el término cuadrático y el lineal por lo que hay que completarlo y ordenarlo en forma descendente como x3 + 0x2 + 0x - 1. Luego se procede a realizar el cálculo. X +X+ 1 x -1 x3 + Ox2 + Ox -1 3

2

x - X

x2 + Ox - 1

X

- 1

x- 1

~Ó El cociente es x2 + x + 1 y el residuo es 0. r

Calcule. (I) (6x4 - 9x3 - 4x + 6) * (2x - 3)

(2)( x4- 1 ) + (x - 1 )

(3) (x3 + 1) + (x+ 1)

(4) (2x5 + x + 2 x2 + 1 ) - ( x3 +1)

(5) (x5- 1) + ( x - 1)

(6) (x3 - 8) -í- (x - 2)

(7) (-x4- x 2 + 2 ) - ( x + 1 )

(8) (x5 - 3x3 - 2x2 - 1 8x - 6) + (x2 + 3)

(9) (x5 + 2x + x2 + x + 1) * (x2 + 1) (II) x - 3x5 + 2x4 - x3 - 6x2 + 3x * (x2 - 3)

(10) (x5 - 6x4 - x2 + 6x) -5- (x - 6)

3

Ejemplo Calcule (- x2 + 6x3 + 7 - 5x) + (-1 + 2x).

'xjjPara comenzar hay que ordenar en forma descendente los polinomios dados. 3x2 + x - 2 2x -1 6x3 - x - 5x + 7 6x3- 3x2 2x2- 5x + 7 2x2- x

- 4x + 7 - 4x + 2

Como el grado del polinomio 5 es 0, ya no se puede seguir dividiendo y 5 se convierte en el residuo. Esta división equivale a 6x3 - x2- 5x + 7 = (3x2+ x - 2) (2x - 1 ) + 5

La relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo es: Dividendo = (divisor) x (cociente) + (residuo) El proceso de dividir polinomios termina cuando el grado del polinomio residuo es menor que el grado del polinomio divisor.

Calcule. (1) (6x2 - x - 3) + (3x + 1)

(2) (7x2 + 3x -1 ) + (x + 4)

(3) (x4 - 2x3 + 6x - 2x + 5) + (x2 + 3)

(4) (3x3 - 2x2 - x + 3) + (x - 2)

(5) (3x3 + 4x2 + 2x + 6) * (x2 + x + 1)

(6) (3x2 - 2x + 5) * (x - 2)

(7) x + 3x3 + x2 + 1) + (x2 + 1)

(8) (x2 + x + 1) + (x + 1)

(9) (2x2+ 5x + 5) + (2y -1 )

(10) (5x3 - 13x2 + 4x -1 ) + (x2 - 3x)

(11) (a3- a + 3a + 2) + (a2 - a + 1)

(12) (a2 + 7 a+ 10) + (a + 6)

(13) (a3 + 4a2 - 5a + 8) + (a2 + 2a + 1)

(14) (a2 - 5a + 7) + [a - 4)

(15) (n - 1V + 30) + (n - 3)

(16) (n - 3n + 9n + ln - 4) + (n - 3n + 2)

Lección 6: Aplicación de la factorización Demuestre que la suma de tres números naturales consecutivos es un múltiplo de 3. Siga los pasos dados a continuación.

[1] Representando el primer número con n, exprese el segundo y el tercero en términos del primero. [2] Demuestre que la suma es múltiplo de 3.

*1] Si n es el primer número, el segundo es n + 1 y el tercero es n + 2. [2] La suma es n + [n + 1) + (n + 2) = 3« + 3 = 3(« + 1).

En 3(n + 1) si n es un número natural entonces n + 1 también es un número natural. 3(« + 1) es múltiplo de 3 porque todo número natural multiplicado por 3 es un múltiplo de 3.

Demuestre que: C i La diferencia del cuadrado de dos números enteros consecutivos es igual a la suma de estos dos números. I La suma del producto de dos números pares consecutivos y 1 es el cuadrado de un número impar. 3 El producto de dos números naturales consecutivos es un número par. - Si se resta 1 del cuadrado de un número impar se obtiene un múltiplo de 8. 5 La suma de 2 números impares es par.

Ejercicios Aplique las propiedades de los exponentes para calcular lo siguiente. (1) 27x 2 3 (2) (-3)'5+ (-3)" (3) (-3.4)3x (*3.4)'9 (4) (4‘10)10 Escriba en notación científica los siguientes números. (1) 3658764 (2)682954 (3)0.0000546

(4)0.00000000000012

Escriba en notación ordinaria las siguientes notaciones científicas. (1)5.243x 104 (2) 1.004x 10'10 (3) 8.203x 106 (4) 9.50 x 10'2

(5) 4.298 x 103

(6) 5.558 x 10'5

Escriba 5 ejemplos de monomio, binomio, trinomio y polinomio (de 4 ó más términos). ¿Cuál es el grado en los siguientes polinomios? (1 ) 5x2y + 6xy (2) x -1Ox4 + 5x2 - 7

(3) x - 3x2y - 3xy - y

Identifique los términos de los polinomios de | j | .

Ordene los siguientes polinomios en forma ascendente y descendente con respeca a cada una de las variables. /a\ , 2 3 4 4 2 3 , c / 3, 2 5 ,6 2 , 7, 4 4 . 2, 3 3 4, : ' ( I ) xyz + x y z - x y z + 5 (2) a b c - a b c + a b c + a b c - a b e Calcule. (1) (3a+ 2 b - c) + ( 2 a + 3b+ c) (3) (x2 + 3x) + (-2x + 2jc2)

(2) (4.x2- 4 xy+ 2y2) + (-4xy+ 5x2- (4) (a3 + 2a) + (-a2 + 4)

(5) [a + b) c

(6) (3a3 - a2) (-2x)

(7) 3xy (x3 - Ax2 + 6x)

(8) (a3 - a2b) * a2

(9) (4b* - m s - 564) + 2b3

(10) 4 [a + 3) + 5 [a + 2)

( I I ) 6 ( a 2 + 4 ) - 3 (o! + 1) + 5{a2 + 2)

(1 2 )|< i! * |

(13) (x2- y - 3xy) - (-5x2- / + 6 xy) (14) (5x3 - 9y3 + 6 x y - 8x}2) - (14xy - 2 \ x y + 5y - 18) (15) (x3>> - y 4 + x y) + (-2 x y + 4 xy + 2 y ) +

[5x3y - 4 xy - 6 x y - y - 6 )

16)14iV + ( - V )

{n ) l ± bK l . b\ + í b .2 3 / 3 (19) (- 7 * -3 ) (-11 + 2x)

+

20) (x: + r + 1 ) ( j * . x - 1 )

(21) (a! + 2a’ - a) (a‘ ■2a + 5)

22) (x4- x 2 - 2 x - 1) + (x + x + 1)

(23) (2x3 - 4x- 2) - (2x + 2)

-alie el valor numérico de las siguientes expresiones si a = 2, b = 1 y c = 3. 1) a2 - 2ró + ¿>2

(2) 3a - 4a2¿? + 3ab2 - 63

3) a - 3a + 2ac - 3bc

(4) abe + a2b2c2 - a3b3c3

Desarrolle aplicando las fórmulas de los productos notables. (1) (x + 3)2

(2) (7m + 11)2

(3) (1 + 3a2)2

(4) (1 - 8x) (1 + 8x)

(5) (3 + x) (3 - x)

(6) (x2 + 3) (x2- 3)

(7) (x -11) (x + 10)

(8) (x2 + 7) (x2 + 3)

(9) (x + 8) (x -1)

10) (x - 1)2

(11) (2x- 5)2

(12) (x -10 )2

13) ( 2 x - 1) (3x + 2)

(14) (5x+ 1) ( 4 x - 1)

(15) (x + 3) (2x + 4)

r actorice. (1) 3x3-x2

(2) a3 + a2- a7

.4) a(x + 1) + b (x + 1)

(5) 4x3-12xy - x2 + 3y

(7) x2- 2x + 1

(8) 49x2 - 14x + 1

10) 25x2/ - 49

(11)4x 2- 9

(3)5x2+ 15x3 (6) 4x3-1 - x2 + 4x (9) 9x2 + 30^ + 25y (12)4 x2- 9 /

(13)x2 + 7x + 10

(14) x2- 6x - 40

(15)x2- 2x -168

(16) 20x2 + x -1

(17) 12x2 - 7x -12

(18) 15x2-xy - 2y

lemuestre que la diferencia del cuadrado de dos números enteros consecutivos es igual al doble del mayor menos 1.

j^¡| La siguiente gráfica muestra la explicación desde el punto de vista geométrico ae producto notable [x + a) {x - a) = x - a . ¿Cómo la explica?

x- a

' x -a

Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones. (1) a'16'V 1

...... ......... Cuando a = 2, b = 3 y c - 4

(2) abA + ca"1

................ Cuando a = 4, b - 3 y c = 5

(3) a *

................Cuando a = 4, 6 = 3 y c = 5

+c * a

(4) a ' -í- ¿>'1+ c'1

.................Cuando a = 2, 6 = 3 y c = 4

Verifique que a'1+ 6'1+ c 1 = t k para a = 2, b = 3 y c = 4.

La distancia de un año luz está dada por 9467280000000 km. Escriba esta cantica en notación científica. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año.

“l a ~

II

11

Oí

II

CO

■ 3> H =

CM

CM

ü L

LO

II

CM

LO

CM

* n25 j2=

Encuentre el valor de los siguientes números. * VToo

(2) -V64

(6)(-V4l)2 - I f í í

(3) (V is )'

( ü )

E~ esta unidad no se considera la raíz cuadrada de un número negativo.

B

Encuentre la raíz cuadrada de 2025. Aplicaremos el siguiente método. (1)

V20725

Dividir el número dado en grupos de dos cifras comenzando por la derecha. El primer grupo de la izquierda puede tener una cifra, los demás siempre tendrán dos.

(2)

V 20'25 4 _ ....................

Calcular la raíz cuadrada entera del primer grupo de la izquierda (20) que es 4.

(3)

V 20'25 4 _ ..................... Restar del primer grupo el cuadrado de la -16 raíz hallada anteriormente (42 = 16) y bajar 425 el siguiente grupo.

(4)

V 20'25 4 _ .................... -16 8 425

Calcular el doble de la raíz hallada que es 4 x 2 = 8 y separar las unidades en el radicando.

(5)

V 20'25 45__________ 85 x 5 = 425 =16. 42,5 -425 0

Estimar la siguiente cifra de la raíz cuadrada dividiendo el grupo del radicando entre el doble de la raíz cuadrada (42 * 8 = 5 residuo 2). Se prueba esta cifra (5) restando del radicando el producto 85 x 5 = 425. Si la resta es posible, la cifra encontrada es parte de la raíz cuadrada, sino hay que disminuir en 1 la cifra estimada hasta encontrar la cifra adecuada.

R: V2Ó25 = 45

Si en el radicando hubieran más grupos de dos cifras, se baja el siguiente grupo > se repiten los pasos (4) y (5) hasta bajar el último grupo de cifras. Si el cociente en el paso (5) es mayor que 9 se prueba con 9.

4

Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números. (1) 324

(2) 676

(3) 2601

(4) 5184

(5) 6889

(6) 1089

(7) 10609

(8) 59049

4 Sección 2: Relación de orden con raíces cuadradas

Encuentre el área de los cuadrados (a) y (b) cuyos ados miden V2 cm y V3 cm respectivamente. y

(a) -----

E área de (a): lado x lado = V2 x V2 = (V2) = 2

R:2cm 2

El área de (b): lado x lado = V3 x V3 = (V3 ) = 3

R: 3 cm2

(b)

^ V3

2

^Cuál es mayor V2cm ó V3cm?

L # Como el cuadrado (b) tiene más área que el cuadrado (a), la medida del ado de (b) es mayor que el de (a), por tanto, V3 > V2.

Cuanto mayor es el área de un cuadrado, mayor es la medida de sus lados. Por tanto, cuanto mayor es un número, mayor es su raíz cuadrada positiva.

Si a < b entonces Va < V¿, donde a, b, Va y V¿> son positivos.

Eemplo:

I0 y V¿ - Va >0 entonces (V¿ + Vaj (V¿ - Va j > 0 :or lo tanto b - a > 0 lo que implica que V¿ > Va.

3

Compare 5 y V26. = 25;

= 26 como 25 < 26 se tiene que V25 < V26

: sea que 5 < V26. Compare. ft) ^4__ VTT

( 2 )7 _ V 5 Ó

(3) ^ _ V 1 Í

(4) V25/T___5

(5)6.

I3 i

i

fe Sección 3: Valor de la raíz cuadrada de un número

D

Muestre lo siguiente (Puede usar calculadora). (1) 1 < V2 < 2

(2)1.4 < V2 0 y b > 0 se da que V¿?6 = aJb

y Jj\

E--:rese los siguientes números en la forma aJb o^ j-. *

>12

= >245 —— — — — — —

>81

(2) V27 (6 )

(10)

V2 V9

V io V ióó

(3) V48

(4) V50

(7) í Vl6

(8)

V7 V25

(72; V7000

Cuando el número dentro del signo V~es muy grande se utiliza la descomposición de éste en factores primos. La forma de [B] de la lección 1 la emplearemos únicamente para raíces cuadradas exactas.

504

2

Ejemplo

_______

V504 = V23 x 32 x 7 = V22x

2

32 x 2 x 7

252 2

= 2 x 3 xV2 x 7

126 2

63

= 6 VÍ4 3^ 21

3

7

Exprese los siguientes números en la forma a-íb.

❖

(1) V2420

(2) V 2205

(3)V243

(4) Vi 350

(5) V 112

(6) V704

(7)Vi 331

(8) V 588

(9) V720

(10) Vi 89

(11) V1008

(12) V2800

Ejemplo

2V 3 X 8V6 = 2 x 8 x V 3 x V 6

ó

= 16VÍ8 = 16 x 3V 2 = 48V2

2V3x

8V6

= 2V3 x 8V2V3 = 2 x 8 x(V3 )2 x V2 = 2 x 8 x 3 xV2 = 48V2

Calcule.

•

(1) 2V5 x 3VÍ5

(2) 4 V6 x 5 VTo

(3)3V2x4V6

(4) 7^3 x 3 V2 T

(5) 5 V 7 x 3 V 2 1

(6) 3 / 3 x 5 V 5

¿De qué forma se puede eliminar el

V-

del denominador en ^

.

vi'Multiplicando por V3 tanto el numerador como el denominador

y V2 ? V3 5V3

porque V3 xV3 =3.

1

Ejemplo = V3

V3V3 _

_ V6_ 3

... Multiplicando por V3 tanto el numerador como el denominador

^ ^ ¡ f = 5V 3 V3 _ V6

5x3 _ V6 15

El convertir expresiones que llevan el signo y - en el denominador en la forma cuyo denominador no contiene el signo

se le denomina

racionalización.

Racionalice.

l

(2) - p V3

i

( 3 ,t

CO

2V2

i5)4

a , 3V5

(1 1 )i

El conjunto que se obtiene quitando los puntos a y b en el segmento del inciso Q . {xlx G R , a < x < b},

]a, b[

O {a, b),

y

* ^

y

A os 4 conjuntos anteriores se les conoce como intervalos y se clasifican en: |

Intervalo cerrado (incluye los extremos a y b).

■ y

El Intervalos semiabiertos (no incluyen uno de los extremos).

3 Intervalo abierto (no incluye los extremos a y b). Escriba los intervalos dados en las otras dos formas. h2, 5]

(2) «

8 3) {%

g

R, -V3 < x

j denominadores. Es decir,

C* + 1 )2 _ x2 + 2x + 1 ^ — tt = —y— — — (x - 3)(x - 1 ) x - 4x + 3

2 r\

=

=

=

- Igualando denominadores

.........................

Sumando ERAs con igual denominador

q

7~ x(x + 1 )(x -1 )

...........................

Desarrollando el numerador

+ V,

.................................

Factorizando el numerador

x(x + 1 ) ( x - 1)

f '8

x(x -1)

............................................

Simplificando

Se suman o restan ERAs con distinto denominador después de igualar sus denominadores (Es conveniente usar el denominador común cuyo grado es el mínimo posible). Se simplifica el resultado si se puede. Calcule. 1 , 1 l1) jc+ 1 + x - 1

/ox jc + 3 ^ + x +2 ^ x -3 ' x -2

3a___

____ a____

m

O* 9a - 9O

3a + 3

W

n v

____ * ____ +

c\ 1 X . X+ 5 ,5) t ~- 5T + x - 4 x - 5 + x + 2 x + 1T

/c\ 1 (6) x - 4

rr\ 1 - x (') 7 1 +x

\V )

i

a

n\

'

to\

1 +X 1-x A

m+1 m2 + m + 1

m-1 m2 - m + 1

x +

4■- 2-x

a 2 a -1

A

2

2x

2 2x-x

x-3 a+1 a \2 (a -1)

~ ,

/ aq\ 2x - 3______ x - 1 6x + 9 4x2 + 12x + 9

4

A1

2

Lección 4: Despeje de variables en fórmulas Represente el área A (cm2) de un triángulo cuya base y altura miden b (cm) y h (cm) respectivamente.

Encuentre la expresión que representa la medida de la base de un triángulo conociendo el área y la altura. A por -2 ambos lados de la fórmula A = - j b h tenemos que: h

La medida de la base b conociendo la altura h y el área A se encuentra con la fórmula: b = ^ f . h En una fórmula al proceso de encontrar la expresión equivalente de ura de las variables en términos de las otras variables se le llama despeje para esa variable.

3

Encuentre la medida de la base de un triángulo si se sabe que la altura mide 20 cm y el área 80 cm2.

x jj Sustituyendo h = 20 y A = 80 en la fórmula anterior se obtiene: , _ 2A _ 2 x 80 _ 160 _ p v" ” on “ on “ 0 La base b mide 8 cm.

4

Encuentre la medida de la altura de un triángulo si se sabe que la base mide 7 cm y el área 10.5 cm2. 2A b = 7 y A = 10.5 en la fórmula h = -^~se obtiene: , _2 A _ 2x1 0 .5 _ 21 _ o

La altura h mide 3 cm.

1

1

En la fórmula ~ j

1

+ j - despeje para R, y R2.

Despejando para i?, nos queda: - j {RR,R2) =

+ j-)

^ R2

R,R2 = RR2+RR,

.........

Multiplicando por el mcm de los denominadores

.... (1)

RJt 2 - RRj —RR2 R.(R2-R) = RR2 rr2 R' = r 2- r

-ara despejar R2 partimos de (1) R\R2 —RR2+RR: r .r 2- r r 2= r r , R2{Rr R) = RR, RR, R* = R, - R

r> 2e cada una de las siguientes fórmulas, deduzca la expresión que representa la . ariable que está entre corchetes.

1) S = ab] [a]

(3)

5) /=

7) /=

(2) A =

[V], [P]

[C], [71, l«\

(11)

(4) V=at; [a], [t]

(6) V= a + (n -1 )r¡ [a], [r]

Pa

tei' in

>9) C = 2nr, [r]

[A], [b]

[a]

(10) P = 2/1 + 1; [«]

(12) 5=

[/]

Simplifique a su mínima expresión.

^ ^ x + 2x- 3 x + 6x + 9 3

(4)

X -x

(5)

2x + 3x - 5x

-2x2 + 7 x -3 2x - 5x + 3

(3)

5x2-2 0 x-1 0 5 10x2 + 130x + 300

(6) (x + 3)(x2 + 3x + 2¿ (x + 2)(.v2 + 4x + 3

x2-1 x + 5x - 6

si x toma

Encuentre el valor numérico para las ERAs simplificadas de los siguientes valores. (1)4, -3,1 y 3

(2) 3, 0, 0.5 y 4

(3) 1, -1, 5 y 2

(4) 0,1 , 2 y 3

(5)10, 7, 5 y 3

(6) 1, 2, 3 y 4

Para cuáles de los valores de x en simplificadas.

no están definidas las ERAs respectiva

Calcule.

a - a y 2a + 6 1 ’ 2a2 + 6a 5a2- 5a

(2 )

(3 ) 4x - 6 x 15x3+ 15x2 x+ 1 2x - 3x

(4)

^

x2 - 6x + 9 x 2x2 + 17x + 8 4x -1 X + 5x - 24

(7) 4 + iq \

1J

4 x -1

x2+ 7x - 8 ^ (x + 8)(x2- x) x2- 25 ' x2 + 8x + 15

(11> I T s + T W

x2-1

í!

j ' j h ' T n

m2 - m - 30 m + m - 42 \ - 15x + 56 x x2 + 12x + 35

x + 6x + 5

(6 )

5 x+1

(8 )

3x+ 1 + 3x+ 1 2x + 8 ’ x + 4

x - x - 56

2x-2 15

(10)

2x2+ 5x - 7 + 2x2+ 3x -14 x 5x

(12)

2x2 (2x + 7)(x - 2)

-3 x + 14 (2x + 7)(x - 2)

2x -1 (14) A + 2 - 3x x 3x -1 - x(3x -1 )

Despeje para la variable indicada. y-y

(1) ax + by + c = 0 para y

(2) x

(3 )2 x + l = P para x y l

^ J

1

_ x

1

= m para x

e y

1

+T

= z Para^ y x

Escriba si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). •
Semejanza de triángulos 2 Lección 1: Semejanza de triángulos % Sección 1: Figuras semejantes

A

La figura dada en la cuadrícula tiene su tamaño original. (1) Redúzcala a la mitad. (2) Amplíela al doble.

- ¥ 'V -

(3) ¿Qué se conserva en las tres figuras? ¿Qué cambió en ellas?

■

(3) En las tres figuras se conserva la forma y lo que cambió fue el tamaño. Las tres figuras anteriores conservan la misma forma aunque sus tamaños son distintos

Las figuras que tienen la misma forma son figuras semejantes.

El proceso anterior de ampliar la figura (al doble) o de reducirla (a la mitad) es muy fácil si utilizamos una fotocopiadora. Con una fotocopiadora se pueden ampliar o reducir las figuras al tamaño deseado utilizando los por cientos.

Una figura en su tamaño original está al 100%. Si se amplía, su tamaño es mayor que 100%. En el caso anterior como se amplió al doble, significa que su tamaño está al 200%. Cuando se reduce, su tamaño es menor que 100%. Para el caso en mención al reducir la figura a la mitad, ésta se redujo al 50%.

Las figuras ampliadas o reducidas son semejantes a la original. Las figuras semejantes conservan la forma aunque no necesariamente el tamaño.

División Política

El Salvador Océano Pacifico A ~ \

% Sección 2: Triángulos semejantes

B

Comparemos la forma de los siguientes triángulos.

G/ A

D f \

/ < B

/

©

(i) C

E

F

H

I

(1) Ordene de mayor a menor los lados de cada triángulo. \f

© B C , CÁ.ÁB

© E F .F D , DE

© H¡, ¡G, GH

(2) ¿Cuáles son las razones de las medidas del lado más largo de © a © ? ¿y © a ® ? 7

B C :EF = 3:4

BC:HI = 3:6 = 1:2

(3) ¿Cuáles son las razones de las medidas del lado más corto de © a © ? ¿y© a© ? /

AB:DE = 1:1

AB:GH = 1:2

(4) ¿Cómo son las razones entre © y © ? ¿y entre © y © ? Entre © y © son diferentes, mientras que entre © y ©

son iguales.

Además entre © y © la razón CA:IG = 1:2, o sea que entre © y © las razones de los lados correspondientes son iguales. Asimismo se da que Z A = Z G , Z B s Z H y Z C =Z l. Por todo lo anterior podemos decir que los triángulos © y © tienen la misma forma. A estos triángulos quetienenla misma forma se les llama triángulos semejantes. Los triángulos © y © son triángulos semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando: 1. Las tres razones de los lados correspondientes son iguales y 2. los ángulos correspondientes son respectivamente congruentes.

Cuando dos triángulos A ABC y A DEF son semejantes y los vértices A, B y C se corresponden con los vértices D, E y F respectivamente, se escribe como A ABC ~ A DEF y se lee “El triángulo A ABC es semejante al triángulo A DEF”.

D

Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma.

&

1 Ejemplo

D

H En la figura de arriba el A ABC ~ A DEF. Si se le da media vuelta (Giro de 180°) al A DEF se obtiene el A GHI y de esta forma el A ABC ~ A GHI. El triángulo A DEF = A GHI y al mismo tiempo el A DEF ~ A GHI. La congruencia de triángulos es un caso especial de la semejanza de triángulos. La razón de los lados correspondiente es: AB:DE = BC :EF = CA:FD = 4:6 = 2:3 Los ángulos correspondientes son congruentes, es decir: m Z F = m Z I = m Z C = 70°. En la figura, el A ABC ~ A DEF. Encuentre la medida del lado EF. y

AB:DE = BC :EF si el lado EF mide x cm se tiene: D \

3:5 = 4\x _ 5 x 44 * 3

5cm A 3 cm'

_ 20 *

3 B c-

x' 6 3

-4 cm

Encuentre la medida del lado AC.

/

' 3 cm

d Sección 3: Criterios de semejanza de triángulos

D

Sea A ABC un triángulo. Construya un triángulo A DEF de modo que el AABC-ADEFyque BC :EF = 1:2.

Los lados correspondientes del triángulo A DEF miden el doble de los lados del trián­ gulo A ABC y los ángulos correspondientes de ambos triángulos son congruentes. Para construir un segmento que mide el doble de BC se hace lo^ siguiente: (1) Trazar un segmento.---------------------------------(2) Usando el compás con una abertura igual a BC trazar un arco con centro en el punto P del segmento que lo corte en el punto Q. P

:Q PQ = BC

(3) Con centro en el punto Q y la misma abertura trazar un arco que corte al segmento_en un punto R distinto a P. El segmento PR mide el doble de BC. P

:Q

;R

Encontrando los tres segmentos pedidos se procede a trazar el triángulo. En este caso están dados todos los datos (la medida de los lados y la medida de los ángulos) para trazar el A DEF, pero en realidad no se necesitan todos. Según el criterio de congruencia basta uno de los siguientes conjuntos de datos pa*que dos triángulos sean congruentes (y puedan trazarse): (1) Las medidas de los tres lados. (2) Las medidas de_dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Ejemplo: DE; EF y Z E. (3) La medida_de un lado y los dos ángulos adyacentes a éste. Ejemplo: EF, Z E y Z F.

De lo visto anteriormente sabemos que, sin tomar en cuenta el tamaño, los triángulos A ABC y A DEF son semejantes cuando se cumple una de las condiciones siguientes: (1) AB:DE = BC :EF = CA:FD (2) AB:DE = BC :EF y Z B = Z E (3) Z B s Z E y Z C s Z F

E

Dos segmentos se cortan en un punto como Demuestre lo siguiente: (1) A CAB ~ A CED (2 )ÁB II DE

\ / ( 1 ) A CAB ~ A CED 1. CA:CE = 3:6 = 1:2 1 :2 ................... Cálculo 2. CB:CD = 4:8 = 1 1:2 :2 ........... Cálculo 3. CA:CE = CB:CD ..

Por 1 y 2

4. Z A C B s Z E C D . .

Ángulos opuestos por el vértice

5. A C A B - A CED ..

. Por 3 y 4 (criterio de semejanza [2])

(2) AB II DE 1 ,/ A s Z

Semejanza A CAB y A CED

E

2...AB II D E ...................................... Por 1 y ángulos alternos internos

3

En cada uno de los siguientes dibujos indique los triángulos semejantes y el criterio de semejanza utilizado.

(1)

(2)

J

(3)

,

En el A ABC, BD y CE son alturas sobre AC y AB respectivamente. Demuestre que BD:CE = AB:AC. 1. m Z BOA = m Z CEA = 90°........ Definición de altura 2. m Z DAB = m Z E A C ................... Es un mismo ángulo 3. A ABD ~ A A C E ............................. Por 1 y 2 (criterio de semejanza [3]) 4. BD:CE = A B :A C .............................

¿

Por semejanza

En la figura AB s AC y BC s BD. Demuestre que A ABC ~ A BDC.

En la figura A ABC ~ A DEF y los puntos K y L son los puntos medios de los lados BC y EF respectivamente. Demuestre que A ABK ~ A DEL.

D

|G

En la figura AB II DE, BC II EF y CAII FD. Demuestre que A ABC ~ A DEF.

Demostración: En la figura de la derecha los rayos_AG y DH son extensiones de los lados BA y FD respectivamente y se cortan en un punto I. De la_misma manera, los rayos __ __ CJ y EK son extensiones de los lados BC y DE respectivamente y se cortan en el punto L.

1. AB II DE y C A I I F D ......... ........ Hipótesis 2. GB II D E ................................. ........ Por 1 y las extensiones 3. CAII F H ...........................................Por 1 y las extensiones 4. Z BAC - Z B I F .................... .......

Por 3 (ángulos correspondientes)

5. Z BIF - Z E D F .................... ......

Por 2 (ángulos correspondientes)

6. Z BAC - Z E D F .................. ........ lgualando4y5 7. ÁB II DÉ y BC II E F ........... ......

Por hipótesis

8. B T l I E F .................................. ........ Por 7 y extensiones 9. ÁB II D K ............................... ........ Por 7 y extensiones 10. Z ABC - Z D L J ................... ........ Por 9 (ángulos correspondientes) 11. Z DLJ - Z D E F ................... ........ Por 8 (ángulos correspondientes) 12. Z A B C ^ Z D E F .................. ........ Igualando 10 y 11 13. A A B C - A D E F ................ ......... Por 6 y 12 (criterio de semejanza [3])

,'V '>E En los_triángulos A A B C y A DEF, A B lD E , B C lE F y C A lF D , Demuestre que A ABC ~ A DEF.

9 Sección 4: H

Rectas paralelas y proporción

En el dibujo BC II DE. Demuestre que AB:AD = AC:AE = BC:DE. Demostración: 1. BC II D E ........................................ Hipótesis 2. Z ABC = Z A D E ........................ Por 1 (ángulos correspondientes) 3. Z ACB = Z A E D ........................ Por 1 (ángulos correspondientes) 4. A ABC ~ A A D E ........................ Por 2 y 3 (criterio de semejanza \3\) 5. AB:AD = AC:AE = B C :D E ...... Por semejanza

En el dibujo BC II DE. Encuentre las medidas de DE y AC.

En el dibujo BC II DE y DF IIAC Demuestre lo siguiente: (1) A A D E - A DBF (2) AD:DB = A E:EC

y f (1)AADE~ADBF 1. BC II D E .................................................................Hipótesis 2. DF IIÁ C .................................................................. Hipótesis 3. Z ADE = Z A B C ..................................................Por 1 (ángulos correspondientes) 4. Z EAD 5 Z F D B ..................................................Por 2 (ángulos correspondientes) 5. A ADE ~ A D B F ...................................................Por 3 y 4 (criterio de semejanza \3\) (2) AD:DB = AE:EC 1. El cuadrilátero DFCE es paralelogramo ... Por 1 y 2 de la demostración (1) 2. DF = É C ................................................................. Por 1 3. DF = E C .................................................................Definición de congruencia 4. AD:DB = A E :D F ...................................................Semejanza de triángulos demostración (1) 5. AD:DB = A E :E C ...................................................Sustituyendo 3 en 4

En el dibujo DE II BC. __ Encuentre la medida de EC.

8

En [H], demuestre que AB:DB = AC:EC.

Las relaciones de los problemas [H]_e [I] son válidas aún cuando los puntos D y E estén en las extensiones de AB y AC respectivamente. Demuestre que: 1. AB:AD = AC:AE en los casos (1) y (2). 2. AD:DB = A E:EC en los casos (1) y (2). En (2) utilice el último de la derecha. E ,--------- ,D

E .--------- „D

J

En la figura AB:AD = AC:AE. Demuestre que BC II DE.

A

Demostración: 1. AB:AD = A C :A E .............Hipótesis 2. Z EAD = Z C A B ........... Es el mismo ángulo 3. A ABC ~ A A D E ........... Por 1 y 2 (criterio de semejanza [2j) 4. ZABC_= Z ADE............. Por semejanza 5. BC II D E ........................... Por 4 (ángulos correspondientes) B

Hay otra forma de demostrarlo. Se traza un segmento DF paralelo a BC desde el punto D hasta el lado AC. Del problema H se sabe que AB:AD = AC:AF. Como la hipótesis dice que AB:AD = AC:AE, se obtiene que AC:AF = AC:AE, de lo cual se deduce que AF = AEJo ^ que implica que F = E, por tanto DE II BC.

En el dibujo AD:DB = AE:EC. Demuestre que BC II DE siguiendo la estrategia presentada a continuación. (1) Trazar un segmento CF paralelo a BA desde el punto C hasta la extensión de DE y demostrar que A EAD ~ A ECF. (2) Deducir que AD:CF = AD:DB del inciso (1) y de la hipótesis. (3) Deducir que CF = DB del inciso (2). (4) Deducir que el cuadrilátero_DBCF es un paralelogramo y que DE II BC. Hay otras dos maneras de resolver ¡1 AD AE tomando las recíprocas Ud tU DB _ EC se obtiene Sumando 1 en ambos lados AD AE DB+AD EC+AE . . se obtiene es decir, AD AE AR Ar ^ ^ o sea que AB:AD = AC:AE.

Manera I. De la hipótesis

Del problema [J] se concluye que BC II DE. Manera

Se traza un segmento DG paralelo_a_ BC desde el punto D hasta el lado AC y se aplica la misma técnica que en [J],

A

F

Relación entre triángulo y proporción En el A ABC sean D y E puntos en los lados AB y AC respectivamente. _ _ A 1. Si BC II DE, entonces tenemos que: AB:AD = AC:AE = BC:DE. También AD:DB = AE:EC. 2. Si AB:AD = AC:AE entonces BC II DE. Si AD:DB = A E:EC entonces BC II DE.

12

(1) En la figura AD = DB yA E = EC. Demuestre: a) DE II BC. b) DE = j

BC.

(Compare con [E] de la unidad 5). (2) En la figura AD = 2DB y AE = 2EC. Demuestre que: a) DE II BC. b) DE = - | BC.

13

En el dibujo ÁD II BC, EF II BC y ÁE = EB Halle la medida del segmento EF. ^ — 5 cm

9 cm 14

En la figura, la bisectriz del ángulo Z A del A ABC corta el lado BC en el punto D y la recta paralela al segmento AD que pasa por C corta la extensión del lado AB en el punto E. Demuestre: 1. AC = AE. 2. AB:AC = BD:DC.

K

En la figura, las tres rectas p , q y r son paralelas. Demuestre lo siguiente: (1) AB:BC = AG:GF; GF:AG = EF:D E (2) AB:BC = DE:EF ^ ( 1 ) AB:BC = AG:GF; GF:AG = EF:D E En el triángulo A ACF 1. BG II C F ............................... Hipótesis 2. AB:BC = A G :G F ................ Por 1 y relación entre triángulo y proporción En el triángulo A FDA 3. AD II G E ...............................Hipótesis 4. GF:AG = E F :D E ................ Por 3 y relación entre triángulo y proporción (2) AB:BC = D E:EF 1. AD II G E ...............................Hipótesis 2. GF:AG = E F :D E ................Por relación entre el triángulo y proporción (A FAD) 3. AG:GF = D E :E F .................Razones inversas de 2 4. AB:BC = D E :E F .................Igualando 2 (de la demostración 1) y 3

R e la c ió n e n tre p a ra le la s y p ro p o rc ió n

Si p II q II r se da que AB:BC = DE:EF.

15

Demuestre [K (2)] utilizando una recta n paralela a la recta m que pasa por el punto A.

En cada una de las figuras de abajo las recta p, q y r son paralelas. Encuentre el valor x. rD AC = 12 cm BD = 15 cm

Divida el segmento AB en tres partes iguales usando sólo compás y regla. Haga la demostración.

0

Trazar el rayo AC.

0

En el rayo AC marcar ® Unir F con B. con el compás tres __ Trazar líneas paralelas segmentos AD, DE y EF a FB que pasen por con la misma longitud. D_y E y que corten a AB en G y H respectivamente.

Demostración: 1. DG II ÉH y EH II F B ......... ..........Por construcción 2. AD = DE = E F .................... .......... Por construcción 3. AD:DE = D E:EF = 1 ......... .......... Por 2 4. AG:GH = A D :D E ................ ..........Relación entre triángulo y proporción 5. AG:GH = 1 ........................... .......... Igualando 3 y 4 6. GH:HB = D E :E F ................ .......... Relación entre rectas paralelas y proporción 7. GH:HB = 1 ........................... .......... Igualando 3 y 6 8. AG = G H .............................. .......... Por 5 9. GH = H B ............................... .......... Por 7 10. AG = GH = H B ................... .......... Por 8 y 9

Trace un segmento AB y construya un punto C en AB de modo que AC:CB = 2:3.

En laflgurajossegmentos AB, PQ y DC sonparajelos. Las medidas de AB y DC son 5 cm y 8 cm respectiva­ mente. Encuentre la medida del segmento PQ.

D

19

D

En la figura, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. AE = EF = FD y BG = GH = HC. Demuestre lo siguiente: 1. El cuadrilátero IJKL es un paralelogramo. 2. JLII BC.

En el dibujo l II m. Demuestre que AC:CE = BD:DF

> m

21

En el dibujo AD IIJ3C, AE = EB y DF = FC. Encuentre la longitud de los segmentos EF y GH.

Se puede demostrar que las tres medianas se cortan en un punto (unidad 4, lección 4, sección con la siguiente estrategia. En la figura dos medianas se cortan en un punto G. Unir los puntos A y G y extender el segmento hasta el punto H de modo que AG s GH. H 1. Demuestre que el cuadrilátero GBHC es un paralelogramo. 2. Si BC y AH se cortan en un punto J, demuestre que J es el punto medio del lado BC.

9 Sección 5: Aplicación de la semejanza de triángulos M

Se quiere medir la altura de una torre, pero es imposible hacerlo directamente. Para ello a la misma hora se midió la sombra que proyecta sobre el suelo un poste de 2 m de altura y la sombra que proyecta la torre. La sombra del poste mide 8 m y la de la torre mide 64 m. ¿Cuánto mide la altura de la torre?

Trazando dos triángulos que ilustren la situación tenemos:

xm

Ambos triángulos son semejantes pues dos de sus ángulos son congruentes (Criterio de semejanza \z\). Si los triángulos son semejantes entonces las proporciones de los lados correspon­ dientes son iguales, por tanto: „ 2\x = 8:64 2x64 x-

8

jc = 16

R: La altura de la torre mide 16 metros.

Re 2^

suelva los siguientes problemas. (1) Una mujer de 6 pies proyecta una sombra de 10 pies. ¿Cuál es la medida de la sombra de un poste de 20 pies?

(2) Los ángulos que forma un rayo de luz al refractarse en un espejo plano son congruentes. Si un hombre de 1.8 metros mira la parte más alta de un edificio en un espejo que está a 2 metros de él y a 16.67 m de la base del edificio. Encuentre la altura del edificio.

(3) Para medir la parte más larga de un lago un ingeniero marcó los puntos A, B, CJD y E como lo muestra el dibujo. Los segmentos AB y CD son paralelos. ¿Cuántos kilómetros mide la parte más larga del lago?

(4) En un mapa, un parque triangular mide 5, 6 y 7 cm. Al ingeniero sólo le falta trazar en el terreno el lado más largo. ¿Cuánto mide éste si los otros dos lados miden 18 y 21.6 metros?

(5) Un niño está a 12 metros de un barco y a 1 metro de la cerca. La cerca le sobrepasa 1 metro y mira que la parte más alta de ella I está en línea con la parte más alta de la v proa del barco. ¿Cuál es la altura M de la proa del barco? '« P i

Determine si la recta / es paralela a un lado del triángulo.

Determine la medida que falta suponiendo que la recta / es paralela a uno de los lados del triángulo. 3 cm ^ i cm xcm

12 cm

10 cm

cm* Dos de las alturas del triángulo A ABC se interceptan en O. Demuestre que: (1)AADO~ACEO. (2) A ABE ~ A CBD. Determine qué parejas de triángulos son semejantes.

En la figura el A BCD ~ A DEA, m Z DBC = 70° y m Z EDC = 80°. Encuentre las medidas de los ángulos que faltan.

12 cm

Divida el segmento AB en siete segmentos de la misma medida.

En el A ABC de la derecha los segmentos DG y EF son las mediatrices de los lados CB y AB respectivamente. Demuestre que los triángulos A EBF y A GBD son semejantes.

B

En la figura ubique los puntos A y B de modo que el segmento AB mida 4 cm. Use compás y una

50/

regla no graduada. 12 cm

Construya un triángulo rectángulo A DEF semejante al triángulo A ABC

7 cm

cuyo lado FE mida 5 cm. ¿Cuánto mide DE? 5 cm

¿Cuál es la distancia x al velero? 175 cm

Escriba si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). 1. (

^ Si los lados de un triángulo son el doble de los lados de otro triángulo entonces son semejantes,

2. (

)> Las medidas 3, 8 y 9 corresponden a los lados de un triángulo. Si las medidas de otro triángulo son 6,16 y 15 entonces los triángulos son semejantes.

3. ((

)| Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo entonces éstos son semejantes.

4. ((

)) Si una recta corta dos lados de un triángulo en forma proporcional entonces es paralela.

5. ([

)) Si dos lados de un triángulo son la mitad de dos lados de otro triángulo y los ángulos que forman son congruentes entonces son semejantes.

¿Cuál es la relación entre los siguientes términos? 1. Triángulos semejantes y razones. 2. Triángulos semejantes y ángulos correspondientes. 3. Triángulos semejantes y su forma. 4. Criterios de semejanza y razones. 5. Criterios de semejanza y ángulos correspondientes. 6. Rectas paralelas y semejanza de triángulos. 7. Triángulo y proporción. 8. Rectas paralelas y proporción. C Si D, E y F son los puntos medios de los lados del triángulo A ABC. Demuestre que A ABC ~ A EDF. E En la figura los triángulos A FDE y A A B E so n semejantes y además AF s FE. Demuestre que AB = 2FD.

Teorema de Pitágoras Lección 1: Teorema de Pitágoras En Egipto construyeron muchas pirámides hace más de 4000 años. Para construirlas necesitaban trazar ángulos rectos y utilizaban cuerdas con nudos con intervalos iguales. Vamos a investigar por qué podían trazar ángulos rectos de esa manera. 4 Sección 1: Teorema de Pitágoras

A

El dibujo muestra azulejos en un corredor. Fijándose en la parte coloreada encuentre la relación entre los tres cuadrados.

Cada uno de los dos cuadrados contiguos a los catetos del triángulo rectángulo lo forman 2 triángulos rectángulos isósceles. El cuadrado grande contiguo a la hipotenusa lo forman 4 triángulos rectángulos isósceles.

En un triángulo rectángulo isósceles la suma de las dos áreas de los cuadrados contiguos a los catetos es igual al área del cuadrado contiguo a la hipotenusa.

1

En el dibujo de la derecha averigüe la relación de las áreas entre los tres cuadrados.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 2 , .2 _

a +b =c

2

Demostración del teorema de Pitágoras: Se traza una altura CD desde el vértice C hasta el lado AB.

1. Z BCA = Z BDC ................................. Ángulos rectos 2. Z ABC = Z CBD ...................................Es un mismo ángulo 3. A A B C - A CBD .................................. Por 1 y 2 (criterio de semejanza BJ) 4. BC:AB = BD:BC ....................................Por 3 5. (BC)2 = AB-BD ............. Por 4 y propiedad fundamental de las proporciones 6. Z B C A = Z C D A .................................. Ángulos rectos 7. Z CAB = Z CAD .................................. Es un mismo ángulo 8. A ABC - A ACD .................................. Por 6 y 7 (criterio de semejanza @) 9. CA:AB = DA:CA ....................................Por 8 10. (CA)2 = AB DA .............. Por 9 y propiedad fundamental de las proporciones 11. (BC)2 + (CA)2 = AB BD + AB DA .... Sumando 5 y 10 12. (BC)2 + (CA)2 = (AB)2 ..........................Simplificando 11 y que AB = BD + DA 13. a2 + b2 = (? ............................................... De 12

7

Si se colocan 4 copias del triángulo rectángulo como en el dibujo de la derecha, los cuadriláteros CDFH y ABEG son cuadrados. Representando el área del último cuadrado en las dos formas siguientes, demuestre el teorema de Pitágoras.

(1) (El área del cuadrado ABEG) = (El área del cuadrado CDFH) - (El área de los 4 triángulos) (2) (El área del cuadrado ABEG) = (lado)2

B I Encuentre el valor de x e y. (1)

3 cm 5 cm

Del teorema de Pitágoras tenemos que: (1)

52 + 32 = x 25 + 9 = x2 34 - x x - 34 x - V34 pues x > 0

(2) / + 52 = 72 / + 25 = 49 y 2 = 49 - 25 y - 24 y = ^ 4 pues y > 0 y = 2V6

R: x = V34 cm cm 3

Encuentre el valor de x en cada dibujo, ( 1)

(3)

(2 )

3 cm 4 cm

4

Encuentre el valor de x.

xcm

5

Encuentre las medidas de PB, PC, PD, PE, P F y P G .

En la primera página de esta lección aparece el dibujo de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5. Estos números satisfacen la conclusión del teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52, y el ángulo comprendido entre los lados que miden 3 y 4 es un ángulo recto. Veamos si se puede decir esto mismo en general.

Recíproco del teorema de Pitágoras Si en el A ABC se da que BC = a, CA = b, AB = c y a2 + b2 = c2 entonces m Z C = 90°.

Demostración del recíproco del teorema de Pitágoras: Sea A DEF un triángulo cuyos dos lados EF y DF miden a y b respectivamente y el ángulo Z F comprendido entre ellos mide 90°. Sea x la medida del lado DE, entonces: 1. a2 + b2 = x2

................... Teorema de Pitágoras

2. a2 + b2 = c2

................... Por hipótesis

3.x 2 = c2 (x> 0, c > 0) .... Igualando 1 y 2

4..x = c

................................ De 3

5. AC = DF, BC = EF ..... Por construcción 6. A ABC = A DEF .......... Por 4 y 5 (criterio de congruencia LLL) 7. m Z C = 90°

.................Por 6

Una proposición que se obtiene intercambiando la hipótesis (en el caso del teorema de Pitágoras: m Z C = 90°) y la conclusión (en este caso a2 + b2 = c2) de un teorema se llama recíproco del teorema.^ Abajo están dadas las medidas de los tres lados de varios triángulos ¿Cuáles triángulos son rectángulos? (1)5cm, 7cm, 8cm

(2) 1 cm, V2 cm, V5 cm

(3) 3 cm, 7.2 cm, 7.8 cm

(4) - |, 5 , ^

(5) 0.3, 0.4, 0.5

(6)12,15,18

(7) V 3, V4, V5

(8)1, V3, 2

(9) 4, 5, 6

(10)2, V8, 2

El cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Encuentre las medidas de los lados del A CEF. ¿Es un triángulo rectángulo?

% Sección 2: Aplicación del teorema de Pitágoras

C1

Encuentre la medida de la diagonal de un rectángulo cuyo largo y ancho miden 8 cm y 5 cm respectivamente. Sea x cm la medida de la diagonal AC. El A ABC es rectángulo y por el teorema de Pitágoras tenemos que: 52 + 82 = x2 25 + 64 = x2

.

89 = x 2 x2 = 89 x =V89

2

puesx>0

R:V89cm

Encuentre la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 4 m. D Sea y m la medida de la diagonal AC. El A ABC es rectángulo y por el teorema de Pitágoras tenemos que: 42 + 42 =y 2 16 + 1 6 = / 32=.y2 y2 = 32 y = V32 pues>> > 0 y = 4^2

8

R : 4V2 m

Encuentre la medida de la diagonal de los siguientes rectángulos.

Encuentre la medida de una altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm. Sea D el punto medio del lado BC. A ABD = A ACD por LLL. De esto los ángulos Z ADB y Z ADC son congruentes y suplementarios por lo tanto son rectos.

En el A ADB si AD = h cm, por el teorema de Pitágoras se tenemos: A h2 + 52 = 102 / h2 = 100-25 10 cm ^ 4= /10 cm h2 = 75 h = V75 pues h > 0 // h = 5^3 B n i i, C R: 5V3cm i cm D 10

Encuentre el área del triángulo A ABC de [D],

1^ En el dibujo AB = AC = 10 cm y BC = 6 cm. (1) Encuentre la medida de la altura sobre el lado BC. (2) Encuentre el área del triángulo A ABC.

12

Encuentre el valor de x e y en cada triángulo. A

A

(2)

x 30° y // B

W

/ 60f 6 cm

13 Encuentre el área del triángulo cuyos lados miden 12 cm, 14 cm y 15 cm siguiendo los pasos dados a continuación: Sea AD la altura sobre la base BC. Sea x cm la medida de BD y h cm la medida de la altura. 1. Aplique el teorema de Pitágoras a dos triángulos rectángulos: A ABD y A ACD. 2. De las dos ecuaciones obtenidas en el paso 1, elimine la variable h y escriba una ecuación en términos de x. 3. Encuentre el valor de x y h, y el área del A ABC.

/ 12 cm L B

h cm cr

D

15 cm

14 cm

El dibujo de la derecha representa un prisma cuyos lados AE, EF y FG miden 3 cm, 5 cm y 4 cm respectivamente. 3 cm

(1) En el triángulo rectángulo A EFG encuentre

la medida x cm del lado EG.

El Z EFG del A EFG es recto, así que por el teorema de Pitágoras: 52 + 42 = x2 x2 = 41 como x > 0

R: V4? cm

x = V4T

(2) En el triángulo rectángulo A AEG encuentre la medida y cm del lado AG. El Z AEG del A AEG es recto así que, por el teorema de Pitágoras: 32 + x2 = y 2

9 + 41 = y 2 y 2 = 50 como y > 0 y = V50 = 5 V2

R: 5^2 cm

Los dibujos (1) y (2) representan un prisma rectangular y un cubo respectivamente. Encuentre la medida de AG en cada caso.

(1)

B

(2 )

D

H

10 cm

/G

x3 cm

' 4 cmy E

El dibujo de la derecha representa un prisma rectangular cuyos lados AE, EF y FG miden 8 cm, 6 cm y 4 cm respectivamente. Si AP = 1 cm y GQ = 2 cm ¿cuál es la medida de PQ?

El dibujo de la derecha muestra una pirámide. La base ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm y la arista OA mide 5 cm. Encuentre la medida de la altura OH (la altura es el segmento que va desde el punto O hasta la base y perpendicular a ésta). El punto H coincide con el punto donde se cortan las diagonales AC y BD. Como m Z ABC = 90° aplicamos el teorema de Pitágoras al A ABC. Si AC mide jc cm, entonces:

42 + 42 = x 2 x2 = 32 comox > 0 x =V32 jc =4V2 El A OHAes un triángulo rectángulo con ángulo recto Z OHAy los lados OÁ y AH miden 5 cm y - j = 2 V2 cm respectivamente. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la medida de la altura. Sea 7 cm la medida de OH,entonces: y 2+ (2V2)2 = 52 y 2 - 17 como y > 0 y - VÍ7

R: VÍ7 cm

Se sabe que AC = x = 4 V2 y que las diagonales AC y BD ^ del cuadrado se bisecan, por lo tanto A C _ j l = 4^2 _ 2 V2 . *r

De esto se deduce que AH = 2 V2. Encuentre la medida de la altura de una pirámide cuya base es un cuadrado de 6 cm de lado y cuya arista OA mide 8 cm.

Encuentre la altura de un cono que tiene las medidas mostradas en el dibujo.

9

9

9

M

¿Cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos?

K

Un señor tiene un terreno con la forma de un triángulo rectángulo y necesita saber la longitud del lado más largo. ¿Cuánto mide éste si los otros dos lados miden 210 m y 280 m?

Encuentre la longitud del lado AB en los siguientes triángulos rectángulos. (1)

(2 )

Explique cómo se demuestra el teorema de Pitágoras empleando la siguiente figura.

(4)

(5)

Encuentre las medidas de los _ segmentos AG, HE, FC, FE y HB que faltan en la siguiente figura. F

Evaluación é

Determine si la relación entre los lados de los triángulos rectángulos siguientes es correcta o no.

(4)

a2 +, b;2 -_ c2 &

e2 +, rf 2 -_ a/2

g2 -_ h7 2 +, i.2

Si el triángulo A ABC es rectángulo determine la medida del lado que falta. (1) Si AB = 4

y BC = 6

entonces AC = _

(2) Si BC = 4

y AC = 10

entonces AB = ___

(3) Si AB = 12

y AC = 16

entonces BC = ___

(4) Si AB = 3

y BC = V7

entonces AC = _

(5) Si AB = VÍO y BC = VlO entonces AC = _ _ Dé 5 ejemplos de tres números que sean las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

¿Qué altura tiene la ventana si la escalera tiene una longitud de 5 m y se apoya en el suelo a 2 m de la pared?

Empleando regla, compás y un cuadrado de 1 cm x 1 cm trace segmentos que tengan una medida de V2 cm, V3 cm, V5cm, Ve cm y V7 cm. Conteste. 1. ¿Qué expresa el teorema de Pitágoras? 2. ¿Qué expresa el recíproco del teorema de Pitágoras?

por ciento

Escribamos el número que va en la casilla. (1) La razón de un número a (2) La razón

se llama por ciento (%'o .

equivale a 1%.

(4) La razón de 28 a 50 es (6) La razón de 12 a

(3) La razón 0.34 equivale a

%.

(5) La razón de

es 30%.

%.

a 40 es 15%.

(7) La razón A equivale a

%

é Lección 1: Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1 9 ) Sección u Tanto por ciento m ayor que 100 y menor que 1

A1

Juan pesa 50 Kg y Alicia pesa 40 Kg. ¿Qué por ciento es la razón del peso de Juan al peso de Alicia? -ioc 50 + 40 = 125 = ] § = 125%

0 40 50 ,---------------------- ,----- ,------Kg

i--------------1--- 1--- % 0 100 g25) R: Juan pesa el 125% del peso de Alicia.

Cuando la cantidad comparada (peso de Juan) es mayor que la cantidad básica (peso de Alicia) el por ciento es mayor que 100.

2

En el aire el 0.93% es argón. Si hay 24 Ib de aire en un neumático ¿cuántas libras de argón hay en el neumático? 100 _ 24 0 93 x

.

. %

_ 0.93 x 24 _ n 00~0 _ n 00 100 "" ~ 0.22 0 (022) 24 Yr------------------------------------- 1----- Ib

R: Hay 0.22 libras de argón.

h— ----------------------------------------------1------- %

0

0.93

100

1

Resuelva.

(1) ¿Cuál es el 125% de 300? (2) ¿Qué por ciento representa 69 de 30? (3) Un número es el 0.2% de 4000. ¿Cuál es ese número? (4) Lesli gana 36 lempiras diarios más que Alicia. Si Alicia gana 120 lempiras ¿qué por ciento gana Lesli con respecto a lo que gana Alicia? (5) En 30000 g de aire hay únicamente 9 g de anhídrido carbónico. ¿Cuál es el por ciento de este gas en el aire? (6) Según lo planeado un viaje duraba 3 horas. Debido a los imprevistos en el viaje, éste se prolongó 36 minutos más. ¿Qué por ciento representa el tiempo real del viaje con respecto a lo planeado? (7) Josué obtuvo 91 puntos que representan el 130% de la calificación obtenida por Carlos. ¿Cuántos puntos obtuvo Carlos?

^ Sección 2: Conversión entre tanto p o r ciento y fracciones

B1

4 2 a y¡

Exprese la razón 235% en forma decimal y como fracción.

235% =

= 2.35;

2.35 = H

Exprese la razón 3.87 y 0.0047 en por ciento. o o7 _ 3.87 x 100 _ _387 _ , fi70/ 3.871Q0 - 10Q - 387/o 0.0047 = QQ041qq-1Q0 =

3 Jf

2

=§

Exprese la razón y

= 0.47%

-4- en por ciento. Redondee la respuesta a décimas.

= 1.3333333... = 1.333 =

= 133.3%

Exprese los por cientos dados en forma decimal y fracción. (1)12.5%

(2)17.5%

(3)72%

(4)92%

(5)0.45%

(6)0.8%

(7)112%

(8)145%

(9)188%

(10)0.75%

(11)310%

(12)0.83%

Convierta a por ciento.

(D |

(2)f

(3)2

(5) |

(6) 1.075

(7)2.26

(8) | 2

(11)0.0013

(12) 1.24

(9)0.65

(10)0.005

(4)|1

|¡H

Resuelva. (1) ¿Qué por ciento representa 98 de 80? (2) ¿Qué por ciento representa 20 de 64? (3) ¿Qué por ciento representa 2 de 400? (4) Gerardo tiene el 135% de la edad de Jorge. ¿Qué edad tiene Gerardo si Jorge tiene 20 años? (5) Luis tiene 27 años y Fabricio 18. ¿Cuál es el por ciento de la edad de Luis respecto a la de Fabricio? (6) Víctor tiene

veces la edad de René. ¿Cuál es la edad de René si Víctor

tiene 39 años? ¿Qué por ciento representa la edad de Víctor con respecto a la de René? (|jj| Convierta a por ciento. (1) —

[ ' 40 (5)1.4

400 (6) 0.004

(7)1.81

(8 ) 0.0021

(2)21%

(3) 348%

(4) 0.6%

(3)500

(4) 150

Convierta a fracción. (1)115% O

¿Qué por ciento representa 400 de...? (1)300

m

(2) 350

¿»