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MÓDULO MATEMÁTICAS GRADO ONCE

ABRIL DE 2020 INSTITUCIÓN EDUCATIVA Y DE TRABAJO SAN JOSÉ POR: DOCENTE ZAMIR PINZÓN RESTREPO

CORPORACIÓN CENDI 2020

OJETIVOS DEL CURSO     

   

Conocer la naturaleza, métodos y fines de las matemáticas, con una cierta perspectiva histórica para su desarrollo. Reconocer la presencia de la Matemática subyacente en la Naturaleza, en la Ciencia, en la Tecnología y en el Arte. Reconocer a la Matemática como parte integrante de la Educación y la Cultura. Desarrollar las capacidades analíticas y de abstracción, la intuición y el pensamiento lógico y riguroso a través del estudio de la Matemática. Capacitar para la utilización de los conocimientos teóricos y prácticos adquiridos en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales. Preparar para posteriores estudios especializados, tanto en una disciplina matemática como en cualquiera de las ciencias que requieran buenos fundamentos matemáticos Analizar y estudiar a profundidad las relaciones y funciones más importantes. Analizar la continuidad y discontinuidad de una función. Aplicar correctamente los conceptos de lógica matemática en la solución de problemas tipo.

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1.

UNIDAD UNO

LÓGICA MATEMÁTICA 1.1 NUCLEO INTERDISCIPLINARIO Aplicar las propiedades de los diferentes conectores lógicos y sus respectivas tablas de verdad en la aplicación de problemas

1.2 ESTÁNDARES 

Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

 Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición

1.3 COMPETENCIAS COMPETENCIAS COMUNICATIVA

DESCRIPCION Genera alternativas para comprender los diferentes conceptos expuestos en aulas

RAZONAMIENTO

Aplica correctamente las tablas de verdad en la solución de problemas de lógica matemática. Tiene capacidad para resolver problemas a partir de contextos matemáticos.

SOLUCION PROBLEMA

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1.4 PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿Cómo alcanza el hombre el hombre la conceptualización de infinito para dar respuestas finitas a las situaciones cotidianas? En su perfil profesional, ¿En qué forma considera que el concepto de derivada le contribuye?

1.5 INTEGRACIÓN CURRICULAR Competencias ciudadanas, preparación pruebas ICFES

1.6 CONTENIDO 1.6.1 Definiciones y conceptos:

a). Lógica matemática: Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

b). Proposición: Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez. Denominadas a través de letras minúsculas (usualmente p,q,r…), las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad o la falsedad de su enunciado). Ejemplo: proposición p: está lloviendo (puede ser verdadero o falso) proposición q: está de noche (puede ser verdadero o falso)

c). Conector lógico: En lógica, una conectiva lógica, o también conectiva, (también llamado operador lógico o conectores lógicos) es un símbolo o palabra que se utiliza para conectar dos fórmulas bien formadas o sentencias (atómicas o moleculares), de modo

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que el valor de verdad de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las proposiciones en cuestión.

d). Sentencia: Es el resultado de unir varias proposiciones con conectores lógicos, el valor de una sentencia puede ser verdadero o falso.

1.6.2 Conectores lógicos a). Conector lógico “y” o conjunción (Ʌ): El símbolo del conector lógico “y” o también llamado conjunción es el que se muestra dentro del paréntesis (Ʌ); la sentencia de unir dos proposiciones con el conector lógico “y” será verdadera sólo si las dos proposiciones son verdaderas, en cualquier otro caso, la sentencia será falsa. La Tabla 1 muestra la tabla de verdad para el conector lógico “y” o conjunción.

Valor proposición p

Valor proposición q

Sentencia conector (Ʌ)

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

TABLA 1. TABLA DE VERDAD DEL CONECTOR LÓGICO “Y” O CONJUNCIÓN

Veamos varios ejemplos: p: el 2 es un número entero (verdadero) q: el 2 es un número impar (falso) r: el 2 es un número par (verdadero)

vamos a unir éstas dos proposiciones con el conector lógico “y” o conjunción:



el 2 es un número entero y el 2 es un número impar, lógicamente sería: p Ʌ q, según la tabla de verdad mostrada en la Tabla 1, la sentencia será falsa, ya que una proposición es verdadera y la otra es falsa. (p Ʌ q = F)



p Ʌ r sería: el 2 es un número entero y el 2 es un numero par; como las dos proposiciones p y r son verdaderas, entonces, según la tabla de verdad del conector lógico “y” o conjunción la sentencia será verdadera. (p Ʌ r = V).

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b). Conector lógico “o” o disyunción (V): El símbolo del conector lógico “o” o también llamado disyunción es el que se muestra dentro del paréntesis (V); la sentencia de unir dos proposiciones con el conector lógico “o” será verdadera si mínimo una de las dos proposiciones es verdadera, en cualquier otro caso, la sentencia será falsa (las dos proposiciones sean falsas). La Tabla 2 muestra la tabla de verdad para el conector lógico “o” o disyunción.

Valor proposición p

Valor proposición q

Sentencia conector (V)

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F



TABLA 2. TABLA DE VERDAD DEL CONECTOR LÓGICO “O” O DISYUNCIÓN

Veamos varios ejemplos: p: el 2 es un número entero (verdadero) q: el 2 es un número impar (falso) r: el 12 es un número primo (falso) vamos a unir éstas dos proposiciones con el conector lógico “o” o disyunción: 

el 2 es un número entero o el 2 es un número impar, lógicamente sería: p V q, según la tabla de verdad mostrada en la Tabla 2, la sentencia será verdadera, ya que una proposición es verdadera y la otra es falsa. (p V q = V)



p V r sería: el 2 es un número impar o el 12 es un numero primo; como las dos proposiciones p y r son falsas, entonces, según la tabla de verdad del conector lógico “o” o disyunción la sentencia será falsa. (p V r = F).

c). Conector lógico condicional ( ): El símbolo del conector lógico condicional es una flecha a la derecha como se muestra dentro del paréntesis ( ); la sentencia de unir dos proposiciones con el conector lógico condicional será falsa si la primera proposición es verdadera y la segunda proposición es falsa, en cualquier otro caso la sentencia será verdadera. La Tabla 3 muestra la tabla de verdad para el conector lógico condicional.

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Valor proposición p

Valor proposición q

Sentencia conector (

V

F

F

F

V

V

V

V

V

F

F

V

)

TABLA 3. TABLA DE VERDAD DEL CONECTOR LÓGICO CONDICIONAL

Ejemplos de oraciones con conectores condicionales

Es cierto aunque sé que no me crees. Aunque dudes de ti mismo, sé que has estudiado y podrás aprobar. No me enojaré contigo, con tal de que cumplas con tu parte del trato. Si ella llama, te lo comunicaré. La guerra finalizará a condición de ceder una parte del territorio.

d). Conector lógico bicondicional ( ): El símbolo del conector lógico bicondicional es una flecha doble como se muestra dentro del paréntesis ( ); la sentencia de unir dos proposiciones con el conector lógico condicional será verdadera si las dos proposiciones tiene en mismo valor, en cualquier otro caso la sentencia será falsa. La Tabla 4 muestra la tabla de verdad para el conector lógico condicional.

Valor proposición p

Valor proposición q

Sentencia conector (

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

)

TABLA 4. TABLA DE VERDAD DEL CONECTOR LÓGICO BICONDICIONAL

La Figura 1, muestra algunos ejemplos de aplicar el conector lógico bicondicional a dos proposiciones dependiendo de sus valores.

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FIGURA 1. EJEMPLOS DE CONECTOR LÓGICO BICONDICIONAL.

e). Conector lógico negación ( ~ o ¬ ): El símbolo del conector lógico negación puede ser cualquiera de los dos como se muestra dentro del paréntesis ( ~ o ¬ ); el conector lógico negación se aplica a sólo una proposición o al resultado de unir varias proposiciones entre si; el conector lógico negación simplemente cambia el valor de la proposición, es decir, se la proposición es verdadera y se le aplica el conector lógico negación, pasaría a ser falsa y si la proposición es falsa y se le aplica el conector lógico negación, pasaría a ser verdadera. La Tabla 5 muestra la tabla de verdad para el conector lógico negación.

Valor proposición p

Sentencia conector ( ~ o ¬

V

F

F

V

TABLA 5. TABLA DE VERDAD DEL CONECTOR LÓGICO NEGACIÓN

1.6.3 Definiciones y conceptos:

1

)

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Veamos ahora algunos ejemplos de la solución de lógica matemática. Ejemplo 1: realizar la tabla de verdad para el siguiente ejercicio: (p V ~ q)

( ~ p Ʌ q)

Para resolver un ejercicio de éste tipo, se debe proceder como la solución de un polinomio, es decir, primero solucionamos el primer paréntesis, luego solucionamos el segundo paréntesis, y por último, solucionamos la respuesta de los dos paréntesis uniéndolos con el conector lógico bicondicional. Comencemos con las posibles combinaciones entre dos proposiciones p y q, así:

p

q

V

F

F

V

V

V

F

F

Para calcular el primer paréntesis, ya tenemos el valor de “p”, pero hace falta calcular el valor de “~ q”, lo que vamos a hacer aplicando la tabla de verdad mostrada en la Tabla 5 a la proposición “p”, así:

p

q

~q

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

Ahora si podemos calcular el valor del primer paréntesis, aplicando el conector lógico “V” o disyunción mostrado en la tabla 2, entre p y ~ q, así:

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p

q

~q

(p V ~ q)

V

F

V

V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

Ahora vamos a calcular el segundo paréntesis, ya tenemos el valor de q en la segunda columna de las tablas, pero nos hace falta el valor de la negación de “p”, vamos a calcularla en una columna adicional a la tabla anterior.

p

q

~q

(p V ~ q)

~p

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

Ahora tenemos todo para calcular el valor del segundo paréntesis ( ~ p Ʌ q) , aplicando el conector lógico “y” o conjunción entre “q” negación de p (~ p) , para ello adicionamos otra columna a la tabla anterior.

p

q

~q

(p V ~ q)

~p

( ~ p Ʌ q)

V

F

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

F

V

V

V

F

Ahora ya podemos aplicar el conector lógico bicondicional entre los dos paréntesis calculados anteriormente como lo indica el ejercicio (p V ~ q) ( ~ p Ʌ q) Para ello añadimos una columna al final de la tabla anterior, quedando así:

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p

q

~q

(p V ~ q)

~p

( ~ p Ʌ q)

(p V ~ q)

( ~ p Ʌ q)

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

Siendo entonces la última columna la respuesta final del ejercicio. Ejemplo 2: determinar la tabla de verdad del siguiente ejercicio ~ (p ~q) Aunque éste ejemplo es más sencillo que el anterior, se debe tener en cuenta una cosa, existe una negación fuera del paréntesis, por lo tanto, hay que calcular primero lo que hay dentro del paréntesis y por último, negar el resultado, veamos: Se comienza con las 4 posibles combinaciones entre 2 proposiciones p y q p

q

V

F

F

V

V

V

F

F

Para calcular lo que hay dentro del paréntesis, ya tenemos el valor de “p” en la primera columna, pero no tenemos el valor de la negación de “q”, por lo tanto, necesitamos agregar una columna más a la derecha para calcular la negación de “q”

p

q

~q

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

Ya que tenemos la negación de “q”, ahora si podemos calcular lo que hay dentro del paréntesis (p ~q) , aplicando el conector lógico condicional entre “p” y negación de “q”

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p

q

~q

(p

~q)

V

F

V

V

F

V

F

V

V

V

F

F

F

F

V

V

Por último, ya se puede calcular la negación que se encuentra por fuera del paréntesis en el ejemplo ~ (p ~q) , es decir, hay que negar el resultado que nos dio al calcular lo que se encuentra dentro del paréntesis; añadimos una columna más a la derecha.

p

q

~q

(p

~q)

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

La última columna contiene la respuesta final del ejercicio.

1.7 EVALÚO LO APRENDIDO

1. Simbolizar las proposiciones que se dan. 1

~ (p

~q)

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a) Sergio es doctor y Gustavo es Matemático. b) El árbol es alto y da mucha sombra. c) Si corro entonces no llego tarde. d) 7-2=5 o 2+3=5 e) 16=42 si y sólo si 16=4x4. f) No ocurre que el 3 sea número par e impar. g) No ocurre que si me levanto temprano entonces no llegue a tiempo. h) Si no estudio y no asisto a clases entonces no p asaré el examen. i) Si 2>1 y 1>-4 entonces 2>-4. j) Un número es primo si y sólo si es divisible por si mismo y por la unidad. 2. Hallar el valor de cada proposición según los valores de verdad dados p= F. a) p v q

q= V. r= F. b) ¬p v ¬ q

c) ¬ p v q

d) p v ¬ (q ∧r)

e) ¬(p v q) ∧(¬p v r) 3. Escribe la negación de las siguientes proposiciones a) Todos los alumnos del curso son inteligentes. b) Todas las mujeres son lindas. c) Ninguna mujer es linda. d) Hay un banco que está roto. e) Hay exactamente un hombre inteligente. f) Al menos un hombre es inteligente. g) 4 es múltiplo de 8. h) A veces llueve. i) Me gusta estudiar. j) Me gusta estudair y tomar mate. k) Me gusta estudiar pero no me gusta tomar mate. l) No me gusta estudiar ni tomar mate. m) 7 ≤ 8 n) 2 < 3 ≤ 5 (significa: 2 es menor que 3 y 3 es menor o igual a 5) o) a ∈ A ⋃ B.

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2.

UNIDAD DOS

INECUACIONES Y DESIGUALDADES

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2.1 NUCLEO INTERDISCIPLINARIO Solucionar inecuaciones y desigualdades hallando el intervalo solución que satisfaga le inecuación.

2.2 ESTÁNDARES 

Planteo y resuelvo situaciones problemáticas del contexto real y/o matemático que implican la exploración de posibles asociaciones o correlaciones entre las variables estudiadas.



Aplica los conceptos relacionados con las inecuaciones y desigualdades para calcular los intervalos solución.

2.3 COMPETENCIAS COMPETENCIAS COMUNICATIVA

DESCRIPCION Genera alternativas para comprender los diferentes conceptos expuestos en aulas

RAZONAMIENTO

Plantea y resuelve situaciones problemáticas del contexto real y/o matemático que implican la exploración de posibles asociaciones o correlaciones entre las variables estudiadas. . Gráfica en la recta numérica los diferentes intervalos cerrados, abiertos y semi abiertos que generan la solución de una inecuación.

SOLUCION PROBLEMA

2.4 PREGUNTA PROBLEMATIZADORA. ¿Es lo mismo solucionar una ecuación que una inecuación o desigualdad?, qué resultados se esperan de cada una de ellas?

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2.5 INTEGRACIÓN CURRICULAR Competencias ciudadanas, preparación pruebas ICFES

2.6 CONTENIDO 2.6.1. Definición de inecuación o desigualdad: Una inecuación es una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta, una inecuación se resuelve siguiendo todas las reglas de una ecuación normal, repasemos 1. Lo que está positivo pasa al otro lado de la igualdad a ser negativo 2. Lo que está negativo pasa al otro lado de la igualdad a ser positivo 3. Lo que está multiplicando pasa al otro lado de la igualdad a dividir 4. Lo que está dividiendo pasa al otro lado de la igualdad a multiplicar 5. Hay que unir a un solo lado de la igualdad las variables, y los números al otro lado de la igualdad. Recordemos que los pasos anteriores se utilizan para resolver una ecuación (que también se deben utilizar para resolver una inecuación o desigualdad); para una inecuación ó desigualdad se debe tener en cuenta las siguientes diferencias: 1. Una inecuación tiene como resultado un intervalo 2. En una inecuación NO se utiliza el símbolo de igualdad (=), se pueden utilizar cualquiera de éstos 4 símbolos: ≤ ≥ < > 3. en una inecuación, cuando se pasa a multiplicar o a dividir un número negativo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

Los símbolos utilizados en una desigualdad determinan si el intervalo es cerrado ó abierto, miremos algunos ejemplos:

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≤ intervalo cerrado , se determina con un corchete [ ≥ intervalo cerrado , se determina con un corchete ] < intervalo abierto, se determina con un paréntesis ( > intervalo abierto, se determina con un paréntesis )

Nota: Cuando los intervalos incluyen el + ∞ 0 el - ∞, siempre se utilizarán intervalos abiertos, o sea determinados con paréntesis.

Ejemplo 1: X > 3, en este ejemplo se interpreta que cualquier número debe ser mayor que 3, su representamos esto en la recta numérica, se tiene:

FIGURA 1. PRIMER EJEMPLO DE INECUACIÓN

Como vemos en la Figura 1, los números mayores que tres van desde el 3 (sin incluir el 3, por eso es intervalo abierto), hasta el + ∞, recordemos que en + ∞ todos los intervalos serán abiertos, por lo tanto, la respuesta a ésta inecuación será: X

( 3 , + ∞ ) , que se lee: todas las X pertenecientes al intervalo abierto entre 3 y + ∞

Ejemplo 2: X ≤ 5, en este ejemplo se interpreta que cualquier número debe ser menor o igual que 5, su representamos esto en la recta numérica, se tiene:

FIGURA 2. SEGUNDO EJEMPLO DE DESIGUALDAD

Como todos los intervalos siempre se toman de izquierda a derecha y teniendo en cuenta que en éste intervalo SI se puede tomar el 5 (ya que símbolo dice menor o igual que 5), todos los números menores o iguales que 5 son el 5,4,3,2….hasta - ∞, por lo tanto, el intervalo solución es:

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X

( - ∞ , 5 ], cerrado en 5 (con corchetes) porque SI se puede tomar el valor de 5.

Veamos ahora ejemplos completos de soluciones de inecuaciones: Ejemplo 3: calcular el intervalo locución de la siguiente inecuación: 3 (2X – 1) > 4 + (5X – 1) Primero resolvamos los paréntesis como una multiplicación de monomio por binomio, así: 3 * 2X = 6X 3 * -1 = -3 (recordar ley de signos) Al otro lado de la desigualdad hacemos lo mismo multiplicando por el signo + de afuera: + * + 5X = 5X + * -1 = -1 Por lo tanto, la desigualdad va quedando: 6X – 3 > 4 + 5X – 1 Pasamos todas las variables a la izquierda de la desigualdad y los números a la derecha de la desigualdad, recordar las reglas (lo positivo pasa negativo y lo negativo pasa positivo), quedando de la siguiente manera: 6X – 5X > 4 + 3 – 1 Sumando o restando términos semejantes, tenemos. X > 6, lo que indica todo número estrictamente mayor que 6, en la recta numérica quedaría:

FIGURA 3. TERCER EJEMPLO DE DESIGUALDAD

Como los intervalos siempre se toman de izquierda a derecha, y como lo muestra la Figura 3, el intervalo solución son todos los números desde el 6 (sin tomar el 6 o sea intervalo abierto, hasta el infinito), la solución sería. X

( 6, + ∞ )

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Ejemplo 4: calcular el intervalo solución de la siguiente inecuación: -

3 < 2X – 13 ≤ 15

Notemos que ésta es una desigualdad doble, primero hay que “despejar” la X, para ello pasamos el – 13 a sumas a ambos lados de la desigualdad, así:

-3 + 13 < 2X ≤ 15 + 13, ahora sumando o restando términos semejantes, tenemos: 10 < 2X ≤ 28, ahora, para terminar de “despejar” la X, debemos pasar a dividir el coeficiente 2 que la está acompañando, así:

, dividiendo, tendríamos:

Lo que indica, que el intervalo solución de ésta inecuación, son los números estrictamente mayores que 5 (intervalo abierto en 5) y los números menores o iguales a 14 (intervalo cerrado en 14), como lo indica la Figura 4.

FIGURA 4. CUARTO EJEMPLO DE DESIGUALDAD

Como se puede ver, el conjunto solución es donde se interponen la flecha roja con la flecha negra, en consecuencia, la repuesta final, sería:

X

( 5, 14 ]

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Ejemplo 5: calcular el intervalo solución de la siguiente inecuación: 2X + 13 ≤ 4X + 15 Pasamos las variables al lado izquierdo de la desigualdad y los números al lado derecho de la desigualdad, así. 2X – 4X ≤ +15 – 13, reduciendo términos semejantes, se tiene: -2X ≤ 2 Ahora, para “despejar” la X, el -2 que la está multiplicando, pasa al otro lado a dividir, recordar que, en una desigualdad, cuando se pasa a multiplicar o dividir un número negativo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad, quedando:

Realizando la división indicada, tenemos:

X ≥ -1, representado en la recta numérica, sería como lo muestra la Figura 5.

FIGURA 5. QUINTO EJEMPLO DE DESIGUALDAD

Por lo tanto, el intervalo solución será: X

[ -1, + ∞ )

Ejemplo 6: hallar el intervalo solución de la siguiente desigualdad:

Este tipo de desigualdades son un poco más complejas, llamadas desigualdades racionales, ya que tanto en el numerador como en el denominador se encuentra la variable “X”. Para resolverla, comenzamos garantizando cero “0” en la parte derecha de la desigualdad, es decir todo el fraccionario

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que es positivo, pasa al otro lado de la desigualdad a ser negativo Pasa a ser negativo

Entonces nos queda:

Ahora lo que nos queda al lado izquierdo de la desigualdad es una resta de fraccionarios que se puede resolver por el método de la carita feliz (se multiplican los denominadores entre si y luego se multiplica en cruz), vamos a dejar la multiplicación de los denominadores indicada, así:

Ahora multiplicamos los monomios por binomios expresados en el numerador: Primer monomio por binomio: +1 * +3 = +3 +1 * -X = -X segundo monomio por binomio: -1 * X = -X -1 * +2 = -2 Realizando esto, quedaría.

Reduciendo términos semejantes:

Ahora calculamos los puntos críticos (valores donde tanto el numerador como el denominador se hace igual a cero, se procede asi: Vamos a calcular el punto crítico del numerador, para ello, igualamos el numerador a cero y “despejamos” el valor de X, así: -2X + 1 = 0

el 1 que está sumando pasa a restar

-2X = -1

el -2 que está multiplicando, pasa a dividir

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Como menos sobre menos da como resultado + y ½ da como resultado 0.5, tenemos que 0.5 es un número crítico. Calculemos ahora los números críticos del denominador, por lo tanto, igualamos cada binomio del denominador a cero, así: Primer binomio (X+2) = 0, despejando, pasamos el +2 s restar al otro lado, queda: X=-2 por tanto -2 es un número crítico Segundo binomio (3 – X) = 0 , despejando, pasamos la –X al otro lado a sumar, entonces: 3 = X, por lo tanto 3 es otro número crítico. Graficamos los números críticos en la recta numérica como lo muestra la Figura 6, así:

FIGURA 6. SEXTO EJEMPLO DE DESIGUALDAD

Ahora debemos retomar la desigualdad final y analizar 4 intervalos delimitados por las líneas trazadas en los puntos números críticos (los mostrados en la Figura 6). Retomando la desigualdad final, analicemos el primer intervalo desde -∞ hasta -2, se haría de la siguiente manera: Se toma un número de prueba dentro del intervalo -∞ hasta -2, por ejemplo, puede ser el -5 y se reemplaza en la “X” de la desigualdad final y se analizan los signos, así:

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Desigual final, aquí remplazamos la X por -5, quedaría.

solucionando, nos queda:

continuamos:

No importa los valores, lo importante son los signos, como + sobre – da como resultado menos (-), entonces podemos decir que todo el intervalo comprendido entre -∞ hasta -2 es negativo, como se muestra en la Figura 7.

Figura 7. ANÁLISIS PRIMER INTERVALO EJEMPLO 6

Ahora analizamos el siguiente intervalo entre – 2 y 0.5, tomamos un valor entre ese intervalo (puede ser el cero), y lo evaluamos en la desigualdad final, así:

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desigualdad final

reemplazamos la “X” con el valor de cero

evaluamos

como + dividido + da como resultado +, tenemos que todo el intervalo comprendido entre -2 y 0,5 es positivo como se muestra en la Figura 8.

FIGURA 8. ANALISIS SEGUNDO INTERVALO EJEMPLO 6

Ahora analizamos el siguiente intervalo entre 0.5 y 3, tomamos un valor entre ese intervalo (puede ser el 1), y lo evaluamos en la desigualdad final, así:

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Desigualdad final

reemplazamos la “X” con el valor de 1

realizamos la operación correspondiente en el denominador

reducimos al máximo términos semejantes

como – dividido + da como resultado - , se tiene que todo el intervalo entre 0.5 y 3 es negativo como lo muestra la Figura 9.

FIGURA 9. ANALISIS TERCER INTERVALO EJEMPLO 6

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Ahora analizamos el último intervalo entre 3 y + ∞, podemos tomar un número entre éste intervalo (puede ser el 4) y lo reemplazamos en la desigualdad final, así: desigualdad final

reemplazamos la “X” por el número 4

realizamos la operación pertinente en el denominador

reducimos al máximo términos semejantes

como – dividido – es igual a +, decimos que todo el intervalo comprendido entre

3 y + ∞ es positivo, como lo muestra la Figura 10.

FIGURA 10. ANALISIS TERCER INTERVALO EJEMPLO 6

Habiendo hecho ya el análisis de todos los intervalos, tenemos que la desigualdad dice que toda la expresión debe ser mayor o igual a cero, miremos:

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Mayor o igual a cero, quiere decir que toda la expresión debe ser positiva, y como hemos visto en el análisis anterior, que se resume en la Figura 10, los intervalos positivos son los comprendidos entre -2 y 0,5 y el intervalo comprendido entre 3 y + ∞. Esos son los dos intervalos que satisfacen la desigualdad inicial, por último, hay que determinar si son abiertos o cerrados los intervalos. los números críticos -2 y 3 se calculan a partir de un denominador, como un denominador NUNCA puede ser igual a cero, entonces los números críticos -2 y 3 NO se pueden tomar dentro de los intervalos, por tanto, son intervalos abiertos en -2 y 3 (con paréntesis); el otro número crítico en 0.5, que es calculado a partir de un numerador, como un denominador SI puede ser igual a cero, entonces el valor de 0.5 SI se puede tomar en el intervalo (intervalo cerrado con corchetes); teniendo todo lo anterior en cuenta, la respuesta final al ejercicio es:

X ( -2, 0.5] U (3, + ∞ ) se lee: todas las “X” pertenecientes el intervalo entre ( -2, 0.5] unido con todas las “X” pertenecientes al intervalo (3, + ∞ ).

Ejemplo 7: calcular el intervalo solución de la siguiente desigualdad.

La desigualdad de éste ejemplo tiene un operador llamado valor absoluto, cuando se tiene una desigualdad con valor absoluto, se tienen 4 casos distintos, mostrados en la Figura 11.

FIGURA 11. CASOS DE DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Como vemos, el ejemplo en cuestión corresponde al caso 3:

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| a | > b = a < - b U a > b donde “a” es la expresión que está adentro del valor absoluto y “b” es el valor independiente, veamos. En el ejemplo “a” = X – 3 “b” = 2 Aplicando la fórmula del caso 3 mostrada en la Figura 11, tendríamos:

| X – 3|

= X–3 2

Resolvamos la primera parte X–3 2 para despejar la X, el -3 que está a la izquierda, lo pasamos sumando a la derecha, así: X

> 2 + 3 reduciendo términos semejantes, tenemos:

X > + 5, que se interpreta como todos los números estrictamente mayores que 5 En la recta numérica, sería como se muestra en la Figura 12:

FIGURA 12. SOLUCIÓN AL EJEMPLO 7

Como los intervalos siempre se toman de izquierda a derecha, los intervalos solución a éste ejemplo serían:

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X

( - ∞, 1) U (5, + ∞ ) se lee: todas las “X” pertenecientes el intervalo entre

(- ∞, 1) unido con todas las “X” pertenecientes al intervalo (5, + ∞).

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2.7 EVALÚO LO APRENDIDO

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