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MATEMÁTICA 2 Laura Covelo María Eugenia Covelo

MATEMÁTICA 2 Laura Covelo; María Eugenia Covelo 1ª edición, febrero de 2019 ISBN: 978-987-4490-76-6 Ilustración de tapa: Ernesto Bertani Diseño de tapa y diagramación: Mariana Cravenna Corrección: Vanesa García

Covelo, Laura Matemática 2 / Laura Covelo ; María Eugenia Covelo. - 1a ed. - Ituzaingó : Maipue, 2019. 232 p. ; 27 x 19 cm. ISBN 978-987-4490-76-6 1. Geometría. 2. Ecuaciones. 3. Álgebra. I. Covelo, María Eugenia II. Título CDD 510.712

© Editorial Maipue, 2019 Tel/Fax: 54 (011) 4624-9370 / 4458-0259 / 4623-6226 Zufriategui 1153 (1714) – Ituzaingó Pcia. de Buenos Aires – República Argentina Contacto: [email protected] / [email protected] www.maipue.com.ar

Impreso en el mes de febrero de 2019, en Latingráfica S.R.L. Rocamora 4161 - CABA

Queda hecho el depósito que establece la Ley 11.723 Libro de edición argentina. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por otro cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización u otros métodos, sin el consentimiento previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.

Índice CAPÍTULO 1 NOS PONEMOS EN MARCHA ............................................................................................................................6 CAPÍTULO 2 NÚMEROS ENTEROS ......................................................................................................................................... 9 RECORDAMOS LO APRENDIDO ................................................................................................................................ 10 La leyenda de LO SHU ......................................................................................................................................... 10 Ley de cierre ........................................................................................................................................................ 11 Propiedad conmutativa ....................................................................................................................................... 11 Propiedad asociativa ........................................................................................................................................... 11 CAMINANDO EN LÍNEA RECTA ................................................................................................................................. 12 Opuesto .............................................................................................................................................................. 14 Módulo o valor absoluto ..................................................................................................................................... 14 Orden en los números enteros ............................................................................................................................. 15 OPERANDO CON ENTEROS ...................................................................................................................................... 18 Adición y sustracción .......................................................................................................................................... 18 SUMAS ALGEBRAICAS .............................................................................................................................................. 22 Ley de cierre ........................................................................................................................................................ 22 Asociativa ........................................................................................................................................................... 22 Conmutativa ....................................................................................................................................................... 22 Cancelativa ......................................................................................................................................................... 23 Elemento neutro ................................................................................................................................................. 23 Multiplicación y división ..................................................................................................................................... 26 Cálculos combinados ........................................................................................................................................... 29 POTENCIA Y RADICACIÓN ........................................................................................................................................ 31 Potencia .............................................................................................................................................................. 31 Radicación .......................................................................................................................................................... 32 NÚMEROS ENTEROS Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS .............................................................................................. 35 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ................................................................................................................................ 37

CAPÍTULO 3 ECUACIONES E INECUACIONES EN ENTEROS ........................................................................................... 39 RECORDAMOS LO APRENDIDO ................................................................................................................................ 40 ECUACIONES EN ENTEROS ....................................................................................................................................... 42 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA ....................................................................................................................................... 45 INECUACIONES CON ENTEROS ................................................................................................................................. 46 ECUACIONES Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS .......................................................................................................... 49 ECUACIONES Y PROGRESIONES ............................................................................................................................... 50 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ................................................................................................................................ 52

CAPÍTULO 4 GEOMETRÍA ........................................................................................................................................................ 55 RECORDAMOS LO APRENDIDO ................................................................................................................................ 56 SISTEMA SEXAGESIMAL ........................................................................................................................................... 59 Suma ................................................................................................................................................................... 60 Resta ................................................................................................................................................................... 60 Multiplicación ..................................................................................................................................................... 60 División ............................................................................................................................................................... 60 RELACIONES ENTRE ÁNGULOS ................................................................................................................................. 61 ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL .......................... 64 BISECTRIZ Y MEDIATRIZ .......................................................................................................................................... 68 Mediatriz (Mz) .................................................................................................................................................... 68 Bisectriz (Bz) ....................................................................................................................................................... 69 CIRCUNFERENCIA ..................................................................................................................................................... 71 Elementos ........................................................................................................................................................... 71 TRIÁNGULOS ............................................................................................................................................................ 74 Propiedades ........................................................................................................................................................ 74 Suma de ángulos interiores de triángulos ........................................................................................................... 77 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................................................................................... 80 Teorema de Pitágoras .......................................................................................................................................... 81 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ................................................................................................................................ 88

CAPÍTULO 5 NÚMEROS RACIONALES ................................................................................................................................. 90 RECORDAMOS LO APRENDIDO ............................................................................................................................... 91 CAMINANDO EN LÍNEA RECTA ............................................................................................................................... 93 OPERACIONES CON RACIONALES .......................................................................................................................... 100 Suma y resta ...................................................................................................................................................... 100 Multiplicación .................................................................................................................................................... 103 División .............................................................................................................................................................. 104 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ............................................................................................................................... 107 Potencia de una fracción .................................................................................................................................... 107 RADICACIÓN ............................................................................................................................................................ 109 CÁLCULOS COMBINADOS Y ECUACIONES ............................................................................................................... 110 RACIONALES Y ESTADÍSTICAS ................................................................................................................................. 111 RACIONALES Y PROBABILIDAD ............................................................................................................................... 114 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ............................................................................................................................... 116

CAPÍTULO 6 UNIDADES ........................................................................................................................................................... 118 RECORDANDO LO APRENDIDO ................................................................................................................................ 119 UNIDADES DE LONGITUD ......................................................................................................................................... 120 UNIDADES DE SUPERFICIE ....................................................................................................................................... 123 UNIDADES DE VOLUMEN ......................................................................................................................................... 127 UNIDADES DE CAPACIDAD ....................................................................................................................................... 129

UNIDADES DE MASA ............................................................................................................................................... 130 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ............................................................................................................................... 134

CAPÍTULO 7 CUERPOS GEOMÉTRICOS: SUPERFICIE Y VOLUMEN ............................................................................. 137 RECORDANDO LO APRENDIDO ................................................................................................................................. 138 CUERPOS GEOMÉTRICOS .......................................................................................................................................... 139 SUPERFICIE LATERAL Y TOTAL .................................................................................................................................. 147 VOLUMEN ................................................................................................................................................................ 150 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ............................................................................................................................... 154

CAPÍTULO 8 NÚMEROS IRRACIONALES ............................................................................................................................. 155 RECORDANDO LO APRENDIDO ................................................................................................................................. 156 NOCIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES ..................................................................................................................... 157 IRRACIONALES EN LA RECTA .................................................................................................................................... 159 APROXIMACIÓN ....................................................................................................................................................... 161 NOTACIÓN CIENTÍFICA .............................................................................................................................................. 163 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ............................................................................................................................... 166

CAPÍTULO 9 FUNCIONES ......................................................................................................................................................... 168 RECORDANDO LO APRENDIDO ................................................................................................................................. 169 COORDENADAS CARTESIANAS ................................................................................................................................. 169 INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS ............................................................................................................................... 172 NOCIÓN DE FUNCIÓN ............................................................................................................................................... 176 Unicidad y existencia ......................................................................................................................................... 176 FUNCIONES DEFINIDAS POR FÓRMULAS .................................................................................................................. 179 FUNCIÓN LINEAL ...................................................................................................................................................... 186 PROPORCIONALIDAD ................................................................................................................................................ 190 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS .......................................................................................................................................... 193 Gráficos de barras .............................................................................................................................................. 194 Gráfico de sectores circulares ............................................................................................................................. 194 Gráfico de líneas o tendencias ........................................................................................................................... 195 ACTIVIDADES INTEGRADORAS ............................................................................................................................... 197

CAPÍTULO 10 TRABAJOS INTEGRADORES ........................................................................................................................... 199 UN CUMPLEAÑOS ESPECIAL ..................................................................................................................................... 200 SE ACERCAN LAS VACACIONES ................................................................................................................................. 201 INTEGRANDO DESAFÍOS .......................................................................................................................................... 202 EN FUNCIÓN DE LO APRENDIDO .............................................................................................................................. 204

ANEXO ................................................................................................................................................................. 208 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................... 231

Capítulo 1

Nos ponemos en marcha

Nos ponemos en marcha Una sucesión es un conjunto ordenado de números, objetos, imágenes etc. Para encontrar cada elemento (o término), se debe seguir un patrón, si son números habrá que descubrir qué operaciones se deben hacer. En cambio, si es una imagen tendremos que encontrar la lógica de la secuencia. Por ejemplo:  4, 8, 16, 32

En este caso, cada término se obtiene de multiplicar al anterior por dos

 2, 5, 8, 11

Aquí se suma tres al número anterior

1. Dada la siguiente lista de números naturales, respondan: • 1, 2, 3 , 4, …

a. ¿Tienen un orden especial?

• 1, 3, 5, 7, …

b. ¿Existe algún patrón para crear ese orden?

• 1, 2, 4, 8, … • 3, 7, 11, 15, …

c. En cada caso, ¿qué número seguiría?

2. En la siguiente sucesión de números, encuentren una fórmula que les permita calcular el número que ocupa el décimo lugar. ¿Y el lugar veinte? 5, 8, 11, 14, 17, 20, … 3. Den los primeros 10 términos de las sucesiones que se obtienen a partir de las siguientes fórmulas. a. 5 . (n + 2) =

b. 4 . n + 1 =

c. n2 + n =

4. Indiquen la figura que continúa en la serie: a.

b.

5. Escriban los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones y luego, respondan: a. 2 . (n + 4)

b. 2 . n + 8

• Comparen los resultados obtenidos. ¿Cómo son? • ¿Por qué ocurre esto? • ¿Qué propiedad se usó? 6. Encuentren una expresión equivalente a las dadas: a. 3 . n + 6 =

b. 5 . n - 5 =

c. 12 . n + 2 = 7

Capítulo 1 LECTURA La sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci consta de una serie de números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Cada término se obtiene sumando siempre los últimos dos números. (Todos los números presentes en la sucesión se llaman números de Fibonacci). 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Fibonacci fue un matemático italiano del siglo XIII y el primero en describir esta sucesión matemática. Ya hablaba de la sucesión en 1202, cuando publicó su primer libro. Era hijo de un comerciante y se crió viajando, en un medio en donde las matemáticas eran de gran importancia. Se dice que sus conocimientos en aritmética y matemáticas crecieron enormemente con los métodos hindúes y árabes que aprendió durante su estancia en el norte de África y luego de años de investigación. Algunos de sus aportes refieren a la geometría, la aritmética comercial y los números irracionales, además de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero. Un espiral de Fibonacci es una serie de cuartos de círculo conectados que se pueden dibujar dentro de una serie de cuadros regulados por números de Fibonacci para todas las dimensiones. Entre sí, los cuadrados encajan a la perfección como consecuencia de la naturaleza misma de la sucesión, en donde cualquier cifra es igual a la suma de las dos anteriores. El espiral o rectángulo resultante es conocido como el espiral dorado y el rectángulo de oro. Lo asombroso de esta secuencia o sucesión matemática tan simple es que está presente prácticamente en todas las cosas del universo, tiene toda clase de aplicaciones en matemáticas, computación y juegos, y que aparece en los más diversos elementos biológicos. a

b

a

Algunos ejemplos son la disposición de las ramas de los árboles, las semillas de las flores, las hojas de un tallo, otros más complejos y aún mucho más sorprendentes es que también se cumple en los huracanes e incluso hasta en las galaxias enteras.

Desde arquitectos y escultores de la Antigua Grecia a pintores como Miguel Ángel y Da Vinci, a compositores como Mozart y Beethoven o, más próximo a nuestros días, las composiciones de artistas como Béla Bartók y Olivier Messiaen, o la gloriosa banda de rock: Tool, también han trabajado de forma conceptual con esta secuencia matemática de acuerdo a la sucesión de notas y estructuras musicales. a+b a ——— = — = φ = 1,61803 a b

Actividad Dibujen en cada caso el siguiente número y busquen la fórmula que nos permitiría calcular cualquiera de ellos

a.

b.

c.

1

1, 5, 12, 22, 35,... Números pentagonales

8

1

3

6

10

4

9

16

Capítulo 2

Números enteros

Capítulo 2 Recordamos lo aprendido La leyenda de LO SHU Alrededor del año 2200 a. C., en China, se produjo una gran inundación por el desborde del río LO. El emperador fue hasta el río y vio salir de él a una inmensa tortuga que, en su caparazón, llevaba puntos amarillos que simbolizaban los números del 1 a 9. Un sabio le hizo notar que si sumaba las filas, las columnas o las diagonales, siempre obtenía el mismo número: 15. El emperador interpretó esto como un mensaje divino, e inmediatamente ordenó copiarlo. Nació así el primer cuadrado mágico del que se tiene noticia: el cuadrado mágico de LO SHU. 1. Completen el cuadrado mágico de LO SHU, ubicando las cifras del 1 al 9, sin repetirlas, de modo que al sumar en forma vertical, horizontal o diagonal el resultado sea siempre 15.

1 3 5

2 4 6

8 9

7 2. ¿Hay solo una forma de completar el cuadro mágico? Comparen sus respuestas con la de sus compañeros. 3. Seguramente, habrán descubierto que hay más de una forma. ¿Por qué será? 4. Los siguientes cuadros fueron completados por dos alumnos de segundo año:

Cuadro A

Cuadro B

2 9 4 7 5 3 6 1 8

4 9 2 3 5 7 8 1 6

Hagan un cálculo algebraico con los números de la primera fila:

10

Cuadro A

Cuadro B

…. + … + … = 15

… + … + … = 15

Números enteros El conjunto de los número naturales (N) está formado por el cero y todos los números positivos. Además, cumple propiedades que son muy importantes de recordar antes de seguir avanzando con nuevos conocimientos. Analizaremos las diferentes operaciones y algunas de sus propiedades.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} El cero siempre fue un problema para los matemáticos, algunos decían que no era un número, porque no representaba una cantidad, pero otros planteaban que era necesario un símbolo que indicara la ausencia, la “nada”. En la actualidad, es muy importante para todos los sistemas de numeración, pero sigue siendo un punto en el que los matemáticos no logran ponerse de acuerdo, encontrarán algunos autores que no lo consideran un número natural y otros que sí. En el desarrollo de esta unidad, vamos a tomar el criterio de que el cero es un número natural. Los naturales forman un conjunto de números infinitos, el más pequeño es el cero, pero no hay un último elemento. Por eso, decimos que es infinito.

Ley de cierre Esta propiedad nos indica que cada vez que realicemos una operación en un conjunto numérico el resultado también pertenece a ese conjunto. En lenguaje simbólico: A ‫ ܭ‬N En lenguaje coloquial: A pertenece al conjunto de los números naturales. El resultado de operar con A y B también es un número natural: B ‫ ܭ‬N El símbolo‫ ܭ‬significa “pertenece”.

Propiedad conmutativa

VOCABULARIO

El orden de los elementos puede ser conmutado al operar y el resultado no cambia.

Conmutar: invertir o permutar dos elementos.

En lenguaje simbólico:

Asociar: unir o juntar varios elementos.

A*B=B*A * representa una operación cualquiera

Propiedad asociativa Al operar con tres o más elementos asociándolos de diferentes maneras, el resultado no cambia. En lenguaje simbólico:

A * B * C = A * (B * C) = (A * B) * C 11

Capítulo 2 ¡A PENSAR! 1. Completen el cuadro de ser posible con un ejemplo que verifique cada una de las propiedades indicadas y de no ser posible con un contra ejemplo que demuestre que no se cumple. Suma

Resta

División

Multiplicación

Ley de cierre Conmutativa Asociativa 2. Respondan: ¿Todas las operaciones cumplen la ley de cierre? La …… y la …… no cumplen la ley de cierre. 4 - 1 = 3 pero

4-7=?

El 3 pertenece a los números naturales, pero el resultado de 4 - 7 no es un número natural. 4 : 2 = 2 pero

4:3=?

El dos es un número natural, pero el resultado de 4 : 3 no lo es. Analicemos la propiedad conmutativa y asociativa. La …… y la …… no cumplen la propiedad conmutativa y asociativa. Conmutativa:

3-4≠4-3

Asociativa:

10 - 2 - 3 ≠ 10 - (2 - 3)

8:2≠2:8 (20 : 10) : 2 ≠ 20 : (10 : 2)

Que una operación no cumpla una propiedad no quiere decir que no se pueda hacer, pero para poder llevarla a cabo vamos a necesitar conocer otros conjuntos numéricos.

Caminando en línea recta

Ese día la temperatura en Buenos Aires fue de 1 °C

12

Mientras que la temperatura en Ushuaia fue de -12 ºC

Números enteros Para ocasiones como esta última, o para resolver restas que en el conjunto de los números naturales no tienen solución, fue creado el conjunto de los números enteros, que se representan con la letra Z.

Z+ = {1, 2, 3,...} {0}

Z=

N

Z- = {-1, -2, -3,...} Los números enteros positivos pueden escribirse con un signo + adelante. Por ejemplo: 8 puede escribirse como +8. Los números enteros negativos se escriben con el signo - adelante. Por ejemplo: -8. 1. Con un compañero de banco, en forma alternada, deben decir un número, con la única condición que cada uno diga uno que sea mayor al del otro. Por ejemplo: si Juan dice 15, el de Pedro deberá ser cualquiera que sea mayor a 15. Ahora juguemos al revés, cada uno debe decir uno más pequeño que el de su compañero. a. ¿Quién gana el juego? Expliquen las conclusiones obtenidas. b. ¿Cuál es el número entero más pequeño y cuál el mayor? El conjunto de números enteros está formado por infinitos números, no tiene ni primer ni último elemento ya que siempre podemos encontrar uno más grande o uno más pequeño.

Z={… -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}

2. Miren el termómetro y respondan: a. ¿Cuántos números hay entre el 9 y el 12? ¿Y entre el -4 y el 2? Al igual que los números naturales es un conjunto discreto, quiere decir que entre dos números enteros hay una cantidad finita de enteros.

0

1

2

3

4

5

6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

7

8

9 10

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

b. ¿Qué diferencia hay entre las dos rectas? c. ¿Cuántos números enteros hay entre el -4 y el 0? ¿Y entre el 4 y el 0?

°C +12 +11 +10 +9 +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12

Números positivos

Números negativos

13

Capítulo 2 d. Completen con la distancia al cero en cada caso: Números

Distancia

5 -5 8 -8 25 -25

Opuesto Todo número entero tiene un opuesto, que se encuentra a igual distancia del cero y tiene signo contrario. El cero no es positivo, ni negativo. En lenguaje simbólico: a es el opuesto de -a.

0 -a

a

3. Completen: Número

Opuesto

-6 5 4 -3 0

Módulo o valor absoluto Se denomina así a la distancia que hay entre un número y el cero. Como es una distancia, este valor es siempre positivo y se escribe entre dos barras verticales.

14

|a| = a

|-a| = a

Se lee: módulo de a

Se lee: módulo del opuesto de a

Números enteros Ejemplos: |5| = 5 |-5| = 5

Tanto el 5 como su opuesto están a 5 lugares del cero; por lo tanto, tienen igual módulo.

4. Completen: Número

Opuesto

Módulo

4 5 -3 -15 125 300 5. Si el módulo de un número es 10, ¿de qué número estamos hablando? 6. Las siguientes temperaturas se registraron en Argentina. Ordénenlas de menor a mayor. Mendoza: -8 °C

San Luis: 10 °C

Tierra del Fuego: -10 °C

Jujuy: 7 °C

Buenos Aires: 4 °C

La Pampa: 15 °C

Bariloche: -1 °C

La Rioja: 0 °C

7. Ubiquen las temperaturas anteriores en la siguiente recta numérica:

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Orden en los números enteros Si un número está a la izquierda de otro, es menor.

a según corresponda. a. -10 … -12

c. -5 … 0

e. 8 … 10

b. 1 … -1

d. -1 … -15

f. |8| … -2

10. Completen: Anterior

Número

Posterior

0 -5 2 -15 0 11. Respondan lo pedido a partir de los números dados. Si A = 13

y

B = -11

-A =

-B =

|-A| =

|A| =

|-B| =

|B| =

12. Escriban un número entero que corresponda a cada situación. a. Un avión vuela a 200 metros de altura. … b. Roma se fundó en 753 a. C. … c. La temperatura fue de 12 grados bajo cero. … d. Un equipo de fútbol terminó con cinco goles en contra. … e. Felipe gastó $300 en un pantalón. … f. A Camila le regalaron ocho figuritas para su álbum. … g. Abril se sumergió 4 metros en la pileta. …

16

Números enteros 13. Escriban < o > según corresponda. a. -3 … -10

c. -11 … -12

e. |-6| … -6

b. 9 … -15

d. 0 … -10

f. -5 … 0

14. Ubiquen en la recta los siguientes números: 0, -2, 7, 5.

-7

-1

15. Dada la siguiente recta, ¿cuál es la ubicación del 0?

-b

b

¡A JUGAR! Jugamos al Chinchón Formen grupos. Cada jugador llevará el registro en su carpeta de los puntos obtenidos por él y sus compañeros. El Chinchón es un juego de naipes de dos a ocho jugadores. Se usa un mazo de 40 cartas españolas. Al iniciar la partida, se establece un número de puntos al que se jugará la misma. Los jugadores que sobrepasen estos puntos van siendo eliminados. Se juegan tantas manos como sea necesario hasta que solo quede un jugador tras eliminar a todos sus rivales. El objetivo en cada una de las manos (o repartos de cartas) para cada jugador es sumar el menor número de puntos posible. Para ello, deberá formar sus juegos antes que sus rivales. Las combinaciones de cartas que pueden formarse son: escalera (tres o más cartas del mismo palo consecutivas), pie o trío (tres o cuatro cartas del mismo número) y Chinchón (siete cartas consecutivas, del mismo palo). El valor de las cartas, en caso de no poder armar los juegos es: Comodín (as de oros): 25 puntos Rey, Caballo y Sota: 10 puntos Las cartas restantes tienen su propio valor, por ejemplo: el 4 vale cuatro puntos. Tras repartir siete cartas a cada jugador, se situará una carta boca arriba. El resto se dejará en el mazo boca abajo para robar. En cada ronda, el jugador en su turno puede tomar una carta del mazo o la última carta boca arriba de la mesa. Luego, deberá descartar la carta que más le convenga, quedándose nuevamente con siete cartas. Este procedimiento se repite hasta que un jugador cierra la mano. Si todos los jugadores han 17

Capítulo 2 descartado al menos una vez, un jugador puede “cerrar” y dar por concluida la mano. Para ello, coloca la carta de la que se descarta boca abajo en lugar de boca arriba, indicando al resto de jugadores que el juego ha finalizado. Para poder “cerrar” la mano el jugador, debe cumplir uno de los requisitos siguientes: Al cerrar tiene que mostrar las combinaciones antes de sumar los puntos. Las siete cartas están combinadas en juego (las siete juntas o bien en grupos de tres y cuatro). Seis cartas están combinadas en juego (las seis juntas o bien en grupos de tres), y la carta restante va de 3 a 5 (según los puntos de cierre elegido en la opción de juego). Una vez que se ha cerrado la mano, cada jugador muestra sus combinaciones, y se le suma un número de puntos igual a la suma del valor de las cartas que le queden sin combinar. Si el jugador que cerró lo hizo con una carta sin combinar de 5 puntos o menos, este valor se suma a su puntuación. Si lo hizo combinando las siete cartas, se le descuentan 10 puntos. A esto se le denomina “cerrar con -10”. Si hizo chinchón “sin comodín” gana la partida, si hizo chinchón “con comodín” se le restan 50 puntos. Si en el momento que un jugador cierra, otro de los jugadores tiene una carta en su mano que sirva para continuar el juego de quien ha cortado, puede “acomodarla” uniéndola al juego. De este modo, esa carta no sumará puntos. No se pueden “acomodar” cartas en las jugadas del jugador que haya cerrado con -10.

INTEGRANDO LAS TIC Para repasar lo aprendido y empezar a pensar cómo haremos para operar con enteros, busquen "Los números enteros y la vida cotidiana" en YouTube.

Operando con enteros Adición y sustracción 1. Resuelvan pensando en los saltos de la pelota sobre la recta numérica. a. ¿Cuánto hay que sumarle a -6 para obtener 4? b. ¿A -5 para obtener -3? c. ¿Y a -2 para obtener -4?

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 18

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Números enteros 2. Expresen un cálculo para cada una de las situaciones anteriores. a. ………………………………… b. …………………………………. c. ………………………………….. 3. Resuelvan los siguientes cálculos. Recuerden los saltos de la pelota, los que están hacia la derecha se expresan sumando y los de la izquierda, restando. a. 14 - 11 =

c. -22 + 22 =

e. -8 + 10 =

g. -15 + 5 =

b. 8 - 10 =

d. -15 - 10 =

f. 18 + 21 =

h. 120 – 121 =

Al sumar números enteros, nos podemos encontrar con dos posibilidades:

a + (+b)

o

a + (-b)

En el primer caso, estamos desplazándonos hacia la derecha en la recta numérica, mientras que en el segundo caso nos desplazamos hacia la izquierda. Por ejemplo: -4 + (+3) = -1

partimos de -4 y nos desplazamos a la derecha tres lugares

7 + (+9) = 16

partimos del 7 y nos desplazamos a la derecha nueve lugares

-4 + (-3) = -7

partimos del -4 y nos desplazamos a la izquierda tres lugares

7 + (-9) = -2

partimos del 7 y nos desplazamos a la izquierda nueve lugares

En la suma de números enteros, podemos suprimir los paréntesis.

a + (+b) = a + b

y

a + (-b) = a - b

Ejemplos: -5 + (+3) = -5 + 3 = -2 -7 + (-9) = - 7 - 9 = -16 En el caso de la resta de números enteros, debemos pensar que es lo mismo que sumar su opuesto.

a - (+b) = a + (-b) = a – b

a - (-b) = a + (+b) = a + b

Ejemplo: -3 - (+5) = -3 + (-5) = - 3 -5 = -8

-5 - (-4) = -5 + (+4) = -5 + 4 = -1

19

Capítulo 2 ¡A PENSAR! 1. Resuelvan las siguientes sumas y restas, eliminando los paréntesis. a. 14 - (-11) =

d. -20 + (+50) =

g. -3 - (-8) =

j. 98 - (-8) =

b. -3 + (-8) =

e. 98 + (-8) =

h. -22 - (-20) =

k. -3 - (+8) =

c. -22 + (-20) =

f. 14 - (+11) =

i. -20 - (+50) =

l. -22 + (+20) =

2. Escriban un cálculo para cada una de las siguientes situaciones y resuelvan. a. ¿Cuántos pisos debe subir un ascensor para pasar del segundo subsuelo al quinto piso? b. La temperatura de un lugar pasó de 15 °C a 3 °C bajo cero. ¿Cuánto bajó la temperatura? c. Un filósofo nació en el año 4 a. C. y murió en el 52 d. C. ¿Cuántos años vivió? d. Un pez que se encuentra a 54 metros de profundidad, nada hasta llegar a los 20 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuántos metros ascendió? 3. El gráfico muestra las ganancias y pérdidas de una empresa, expresada en miles. Respondan: a. ¿En qué meses la empresa tiene ganancias? ¿En cuáles pérdidas? b. ¿En qué meses la empresa no tuvo ni ganancias ni pérdidas? ¿Cómo se dieron cuenta? c. ¿Cuál es el mes con mayor ganancia? ¿Y con mayor pérdida?

y (ganancias en miles $) 6 5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4

20

E

F

M

A My J

Jl Ag

S

O

N

D

x (meses)

Números enteros 4. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. Justifiquen las respuestas falsas. a. La suma de dos números positivos siempre es otro positivo. b. La resta de dos números positivos siempre es otro positivo. c. La suma de dos números negativos siempre es otro negativo. d. La resta de dos números negativos siempre es otro negativo. 5. Resuelvan las siguientes operaciones: a. |-3| + |-2| =

b. -4 + |+5| =

c. 7 - |-10| =

d. |-18| - |-30| =

Una regla práctica para sumar y restar números enteros: Si tienen distinto signo, al de mayor módulo se le resta el de menor módulo y el signo que queda es el correspondiente al de mayor módulo. Ejemplo: +25 - 33 = Como tienen diferente signo resto 33 - 25, que da como resultado 8 y como el de mayor módulo es negativo, entonces el resultado es negativo. +25 - 33 = -8 Si ambos tienen igual signo, se suman los módulos y queda el signo de la operación. Ejemplos: +25 + 11 = +36

-25 - 11 = -36

6. Resuelvan el siguiente desafío. Lograr que cada círculo sume 0.

6

3

-5

0

-3 4 -2

5 -4

-1

-6

1

7

2

21

Capítulo 2 Sumas algebraicas El balance de un kiosco indica: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Ganancia Pérdida Pérdida Ganancia Ganancia Pérdida

$150 $80 $20 $40 $20 $200

1. Escriban un cálculo que represente la situación y analicen si al cierre del balance, el kiosco quedó con ganancias o pérdidas. ¿Cuál es el monto? La sucesión de sumas y restas recibe el nombre de sumas algebraicas. Para trabajarlas previamente vamos a analizar algunas propiedades de los números enteros.

Ley de cierre Siempre que sumemos o restemos números enteros, obtenemos por resultado un nuevo número entero.

c‫ܭ‬z

a±b=c El símbolo‫ ܭ‬significa “pertenece”.

Asociativa a+b+c=d

a + (b + c) = d

a-b-c=d

a - (b - c) = d

Pensemos en un ejemplo que no cumpla la propiedad asociativa: 5 + 6 + 8 = 19

5 + (6 + 8) = 19

10 - 4 - 20 = -14

0 - (4 - 20) = 26

11 + 8 =

5 + 14 =

6 – 20 =

10 - (-16) =

19

19

-14

10 + 16 = 26

Este último se llama contra ejemplo, ya que nos permite verificar que la propiedad no se cumple.

Conmutativa

22

a+b=c

b+a=c

-8 + 3 = -5

+3 - 8 = -5

Números enteros Cancelativa 2. Antes de analizar esta propiedad, completen el siguiente cuadro: Número

Opuesto

Número + opuesto

Número - opuesto

8 -15 12 A -a

a+d-a=d

Podemos cancelar “a” y simplificamos el cálculo.

5 + 20 - 5 =

5 + 20 - 5 =

5 + 20 - 5

25 - 5 =

20

20

Como la suma y la resta son operaciones contrarias se pueden cancelar, ya que al sumar los opuestos, el resultado es cero.

Elemento neutro 3. Calculen: a. 6 + 0 =

b. -8 + 0 =

c. 0 - 6 =

d. 0 + 8 =

El cero es el elemento neutro en la suma y en la resta.

a+0=a

0 - a = -a

4. El siguiente es el balance del kiosco entre los meses de julio a diciembre. Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Ganancia Ganancia Pérdida Pérdida Pérdida Ganancia

$300 $150 $10 $35 $25 $10

El cálculo que representa esta situación es: 300 + 150 - 10 - 35 - 25 + 10

23

Capítulo 2 Vamos a resolverlo empleando diferentes caminos. 300 + 150 - 10 - 35 - 25 + 10 = Iremos sumando o restando de izquierda a derecha. 450 - 10 - 35 - 25 + 10 = 440 - 35 - 25 + 10 = 405 - 25 + 10 = 380 + 10 = = 390 Averiguaremos el total de ganancias y el total de pérdidas y se lo restamos. 300 + 150 - 10 - 35 - 25 + 10 = (300 + 150 + 10) - (10 + 35 + 25) = -70 = = 390 Verificamos si hay números que se puedan cancelar, en nuestro caso, el +10 y -10. 300 + 150 - 10 - 35 - 25 + 10 = 300 + 150 - 35 - 25 = 450 - 35 - 25 = 415 - 25 = = 390 5. Identifiquen y expliquen qué propiedades se aplicaron en cada caso. a. …………………………………………………………………………………… b. …………………………………………………………………………………… 6. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas. a. -10 + 5 + 6 + 9 - 8 + 2 - 4 =

c. 45 - 8 + 8 + 7 + 6 - 2 =

b. 11 + 5 + 8 - 8 - 5 + 2 =

d. -10 - 8 - 3 - 7 + 5 + 10 =

7. Para cada situación, planteen un cálculo y resuelvan. a. Un ascensor sube cinco pisos, se detiene y luego continua hacia arriba cuatro más, para luego bajar ocho pisos, detenerse y ascender nuevamente dos. Si partió de planta baja, ¿en qué piso quedó? b. Tiempo más tarde, el ascensor, que estaba en planta baja, desciende tres pisos, luego sube siete y, por último, baja cuatro, ¿en qué piso quedó? 24

Números enteros c. Un día de julio la temperatura al amanecer era de 8 ºC, luego bajó 5 ºC, pero al mediodía ascendió 10 ºC, al atardecer se mantuvo, pero al anochecer bajó 15 ºC. ¿Cuál fue la temperatura al finalizar el día? Podemos encontrarnos con sumas algebraicas que presentan paréntesis, en estos casos, es muy práctico suprimirlos y luego operar. Si delante de un paréntesis hay un signo positivo (+), se suprime el paréntesis y quedan los signos de dentro (sin cambiar):

a + (-b + c) = a - b + c Se suprime el paréntesis y el signo positivo que lo precede. Pero si delante de un paréntesis hay un signo negativo (-), se lo suprime y se invierten los signos de adentro del paréntesis, ya que se transforma en la suma del opuesto:

a - (+b - c) = a - b + c Ejemplo: -8 + (-5) - (-3) + 6 + (+8 - 4) - (+5 - 9) = -8 - 5 + 3 + 6 + 8 - 4 - 5 + 9 = -5 + 3 + 6 - 4 - 5 + 9 = -2 + 6 - 4 - 5 + 9 = 4-4-5+9= -5 + 9 = 4 8. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas suprimiendo los paréntesis previamente. a. -8 + (-8) + (+15 - 2) =

c. -6 - (-8) + (-13 - 6) =

b. 6 + (-8) - (-15 + 2) =

d. -15 - 17 + (+13 + 20 - 6) =

9. Resuelvan los cálculos anteriores, haciendo primero las operaciones de adentro de los paréntesis y luego suprimirlos. Por ejemplo: 4 + (-5 + 8) - 5 - (-3 + 2) = 4 + (+3) - 5 - (-1) = 4+3-5+1= 7-5+1= 2+1= 3 ¿Qué sucedió al resolver de esta manera? 25

Capítulo 2 10. Respondan: a. Al sumar un número y su opuesto, el resultado es … b. Al restar un número y su opuesto, el resultado es … c. El anterior de -5 es … d. El siguiente de 9 es … e. El siguiente de -9 es … f. El anterior de 0 es …

INTEGRANDO LAS TIC Para repasar y revisar todo lo trabajado hasta ahora, busquen "Las aventuras de Troncho y Poncho: números naturales y enteros" en YouTube.

Multiplicación y división El siguiente cuadro hay que completarlo realizando las multiplicaciones correspondientes, el cruce de los números positivos ya lo podemos hacer, porque es lo que aprendimos en la primaria. X

-3

-2

-1

0

1

2

3

1

1

2

3

2

2

4

6

3

3

6

9

-3 -2 -1 0

El cero en la multiplicación recibe el nombre de elemento absorbente. Cualquier número multiplicado por cero (0) da como resultado cero (0).

a.0=0 Esta propiedad también se cumple en el conjunto de los números enteros. Recordando esto, la columna y la fila que corresponden a multiplicar por cero, dan como resultado 0.

26

Números enteros El uno (1) en la multiplicación recibe el nombre de elemento neutro, ya que cualquier número multiplicado por uno (1), da el mismo número que se multiplica.

VOCABULARIO Neutro: no toma posición por ninguna de las partes. Su presencia no modifica al elemento.

a.1=a Esta propiedad también se cumple en los números enteros. Por lo tanto, multiplicar por uno (1) a un número negativo, da por resultado el mismo número negativo que multiplicamos.

-a . 1 = -a 1. Ya podemos completar la fila y columna del 1. X

-3

-2

-1

0

1

-3

0

-3

-2

0

-2

-1

0

-1

2

3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

2

0

2

4

6

3

0

3

6

9

A partir de lo que completamos utilizando las propiedades que conocíamos del 0 y el 1, vamos a sacar algunas conclusiones. 2. Completen las siguientes multiplicaciones mirando el cuadro anterior. a. 1 . (-3) =

e. 1 . (-1) =

i. 1 . 3 =

b. -3 . 1 =

f. -1 . 1 =

j. 3 . 1 =

c. 1 . (-2) =

g. 1 . 1 =

d. -2 . 1 =

h. 1 . 2 =

3. Completen: a. La multiplicación de números enteros cumple la propiedad …, esto quiere decir que puedo invertir los factores y el resultado es el mismo. En lenguaje simbólico, es a . b = … b. Al multiplicar dos números positivos, el resultado tendrá signo …, pero si los números que multiplico tienen diferente signo el resultado será …

27

Capítulo 2 Solo nos falta descubrir que sucede al multiplicar dos números negativos. Si analizamos la tabla vemos que en cada fila y columna los números quedan ordenados en forma creciente o decreciente. Por lo tanto, para que quede de forma correcta al multiplicar dos números negativos, el resultado debe ser positivo.

En símbolos:

(+) . (+) = (+) (-) . (+) = (-) (+) . (-) = (-) (-) . (-) = (+)

Si los signos de los factores son distintos, el signo del producto es …

Regla de signos para la multiplicación y división

Si los signos de los factores son iguales, el signo del producto es … La regla de los signos que aprendimos también se emplea para la división.

¡A PENSAR! 1. En grupos, piensen si sería posible construir un cuadro como el anterior, pero para la división. Justificar la respuesta. (Pueden mirar las propiedades trabajadas en otras operaciones, por ejemplo, ley de cierre, elemento neutro, absorbente). 2. Resuelvan las siguientes operaciones, cuando sea posible. a. -4 . 7 =

e. -11 . (-2) =

i. 9 . 0 =

b. 6 . (-8) =

f. -71 . (-1) =

j. -9 . 0 =

c. 15 : (-3) =

g. 142 : (-1) =

k. -25 : (-5) =

d. -18 : (-6) =

h. 15 : 0 =

l. -12 . 3 =

3. Unan con flechas cada cálculo con su respuesta. a. 125 . 3 =

1

-375

b. 63 : (-3) =

144

21

c. -12 . 12 =

-21

-1

d. -42 : (-42) =

-144

375

4. Dar los posibles valores de a, b, c y d para que el resultado sea el pedido. a. a . b = 40

28

b. c : d = 33

Números enteros Cada alumno deberá traer tapitas de botellas, y al azar escribir cinco números positivos, cinco negativos y las cuatro operaciones. Luego, juntará sus tapitas con la de sus compañeros separando un sector de números y otro de operaciones, las pondrán boca abajo para que no se vean los números escritos. De a uno por vez tendrán que dar vuelta dos tapitas del sector de números y una del sector de operaciones. De ser posible harán el cálculo, escribiéndolo en sus carpetas, de no ser posible, explicarán qué propiedad es la que no se está cumpliendo .Todos los alumnos llevarán el registro de las operaciones de sus compañeros. Al concluir cinco vueltas, se sumarán los resultados obtenidos, el jugador con mayor puntaje será el ganador.

Cálculos combinados Si a las sumas algebraicas le agregamos la multiplicación y la división, estamos en presencia de un cálculo combinado. Juguemos nuevamente con las tapitas, pero ahora cada participante tiene que sacar cinco tapitas y cuatro operaciones. Imaginemos que, en una primera ronda, un jugador saca los siguientes números y operaciones en el orden en el que aparecen: Números: +2, -11, +18, +21, -7

Operaciones: (.), (-), (+), (:)

El cálculo sería el siguiente: +2 . (-11) - (+18) + (+21) : (-7) = Es importante recordar que al igual que en el conjunto de los números naturales hay un orden para resolver y una prioridad en las operaciones (jerarquía de las operaciones): 1. Separar en términos. Los términos son las operaciones que quedan determinadas entre los (+) y (-). En este caso, los signos de suma y resta separan los siguientes términos: 4 . 3 + 5 -15 : 3. 2. Si hubiera paréntesis, dentro de ellos también se separa en términos. 3. Hacer las multiplicaciones y divisiones. 4. Hacer las sumas y restas de izquierda a derecha. +2 . (-11) - (+18) + (+21) : (-7) = -22 -18 + (-3) = -40 - 3 = -43 29

Capítulo 2 ¡A PENSAR! 1. Resuelvan los siguientes cálculos combinados: a. (-11) + 42 : (-21) + (-11) . 4 =

c. (18 - 3 . 5) : (-3) + 63 : (-9) =

b. (7 . 4 + 14) : (-7) - (-12) : 3 + 8 =

d. -3 + (-75) . 2 : (-5) + 4 =

2. Cada uno de los siguientes cálculos tiene uno o varios errores, encuéntrenlos, expliquen cuáles son y luego, resuelvan de forma correcta. a. 25 + (-3) . (-8) - (5 - 42 : 3) + (+11) . (-2) =

b. -28 : (-7) . (-3) - (-30 + 70) : (-4) + 18 =

22 . (-8) - (5 - 14) + 22 =

-4 . (-3) - (+40) : (-4) + 18 =

-176 - 8 - 9 + 22 =

12 - 10 + 18 =

-171

20

3. Completen los espacios vacíos de forma que den el resultado indicado. a. -3 + (-5 . …) + 11 = -2

b. 16 - (-5 . 3 + 4) - … = 30

{[( )]}

c. (-4 . 5) + (8 . …) = -20

En algunos casos, es necesario utilizar otros símbolos aparte de los paréntesis, esto ocurre cuando hay varias operaciones. En estos casos, se utilizan los corchetes [ ] y las llaves { }. Por ejemplo: 4 . [-5 + (-8)] =

No sería correcto escribir 4 . (-5 + (-8)) ya que podríamos confundirnos y no saber dónde concluye cada paréntesis. El orden correcto de resolución es: paréntesis, corchetas y llaves. Ejemplo: 5 - {-5 + 4 . [18 : (-3 . 2) + 1] - 4} = 5 - {-5 + 4 . [18 : (-6) + 1] - 4} = 5 - {-5 + 4 . [-3 + 1] - 4} = 5 - {-5 + 4 . [-2] - 4} = 5 - {-5 - 8 - 4} = 5 - {-17} = 5 + 17 = 22

30

Números enteros 4. Resuelvan los siguientes cálculos: a. -5 : (-8 + 3) + [-4 + (-6 + 5 . 3) : (-3)] = b. -12 : (-3 + 6) + {4 . (-2) : (-1) - [-100 : (-10)]} = c. 5 - {125 : (-25) . (-3) + 4 . [64 : (-8) + 11} = d. 121 : 11 - 2 . {400 : 100 + [2 . (-2 + 120) + 4] - 141} = e. -{-[-(18 : 3)] - 6} = 5. Unan los cálculos con el resultado correcto. a. -{-[-(-1)]} =

1

b. {-(-1) . (-1) . [1 . (-1)]} = c. (-1) . {-1 . [-1 . 1]} =

-1

Potencia y radicación 1. Completen: Producto de factores

Potencia an

Resultado

3.3.3.3

81

5.5.5 (-2)3 (-2) . (-2) . (-2) . (-2) -125 100 (-6)2

Potencia

an = a . a . a … a n veces

a es la base y n el exponente a es un número entero ( a ‫ ܭ‬z) n≥0

a0 = 1 si ɑ ≠ 0 Analicemos las respuestas del cuadro anterior, si ɑ > 0 el resultado tendrá signo … independientemente de la potencia a la que elevamos, pero si ɑ < 0 el signo del resultado cambia.

31

Capítulo 2 Si la potencia es par, como multiplicamos una cantidad par de veces el número y el signo negativo, entonces el resultado es … En cambio, si el exponente es impar el resultado será … Para a > 0 apar = positivo

aimpar = positivo

En cambio, para a < 0 apar = positivo

aimpar = negativo

Otra forma de pensarlo: (-2)4 =

(-2)5 =

(-2) . (-2) . (-2) . (-2) =

(-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) =

+4 . (-2) . (-2) =

+4 . (-2) . (-2) . (-2) =

-8 . (-2) =

-8 . (-2) . (-2) =

+16

+16 . (-2) = -32

2. Resuelvan las siguientes potencias: a. (-1)1 =

c. (-1)3 =

e. (-1)15 =

b. (-1)2 =

d. (-1)4 =

f. (-1)40 =

Radicación n

si bn = a

a=b

donde n es el índice a es el radicando b es la raíz 3

√8 = 2

porque

23 = 8

3

√-8 = -2

porque

(-2)3 = -8

2

porque

22 = 4

√4 = 2

√-4 = Ø no tiene solución en enteros ya que no hay ningún número (de los que conocen hasta ahora) que elevado al cuadrado de -4. Par

32

Negativo = Ø no tiene solución en enteros

Números enteros Las propiedades ya se trabajaron con los números naturales, pero se repasarán nuevamente.  Potencia y Producto de potencias de igual base

an . ab = an + b y Cocientes de potencias de igual base

an : ab = an - b y Potencia de otra potencia

(an)b = an . b y Distributiva de la potencia en la multiplicación o división

(a . b)n = an . bn y Distributiva de la potencia en la suma o resta

(a ± b)n = an ± bn No se puede aplicar. La potencia no es distributiva respecto de la suma y la resta.  Radicación y Raíces consecutivas n

b

a=

n.b

a

y Distributiva de la raíz en la multiplicación o división n

n

n

a.b= a. b

y Distributiva de la raíz en la suma o resta n

n

n

a±b= a± b

No se puede aplicar. La radicación no es distributiva respecto de la suma y resta.

3. Comprueben las siguientes propiedades: a. (-3)2 . (-3)5 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = (-3)7

b. (-2)5 : (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = (-2) . (-2). (-2) (-2)... 33

Capítulo 2 3

c. ((-4)2) = 2

PARA SABER MÁS 2

2

(-4) . (-4) .(-4) = Recordemos que la línea de fracción es una división.

(-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) . (-4) =

(-4)... 4. Resuelvan las potencias y raíces: a. (-4)2 =

d. -22 =

g. 4√16 =

j. -110 =

b. (-4)3 =

e. 5√-32 =

h. √100 =

k. 110 =

c. (-2)2 =

f. 3√-1000 =

i. (-1)10 =

l. (-1)6 =

5. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible. PARA SABER MÁS

a. (-2)8 . (-2)2 : [(-2)4]2 = b. -6 . (-6)4 : (-6)5 =

En los cálculos combinados con potencia y raíz, se resuelven primero las potencias y raíces, luego las multiplicaciones y divisiones, y por último, las sumas y restas.

c. 4 . √25 + (-3) = d. (-1) . 3√(-8) + 12 : (-1) = e. 3√(-1) + 4 . ( 32 - 42 ) + (8 - 6) : (-2) = f. 4 . (-2) + (-1) + 20 : (-2) = g. √2 . √8 = h. √16 + √-1 . √-25 = i. √64 = 3

6. Completen: a

b

3

-2

a3

3 -1

a2

a3 - b2

-a

(-a . b)2

4 49

INTEGRANDO LAS TIC Para repasar lo visto hasta ahora, busquen "Las aventuras de Troncho y Poncho: potencias" en YouTube.

34

Números enteros Números enteros y parámetros estadísticos

y (temperatura en °C)

El siguiente gráfico muestra las temperaturas mínimas de una ciudad, los siete días de una semana.

2 1 L

-1

Ma

Mi

J

V

S

D

x (día de la semana)

-2 -3 -4

¿Cuál fue la temperatura media durante esa semana? Media (x) o promedio: resultado de la división entre la suma de todos los valores registrados y la cantidad de registros efectuados. En nuestro caso: (x) =

-3 + 0 + (-3) + (-3) + 0 + (-4) + 1 7

= -

12 7

= -1,714 = aproximadamente

La temperatura media o promedio de temperaturas es de -1,714. Con este resultado, podemos analizar que, durante esa semana, la temperatura, por lo general, fue menor a cero grados. Moda (Mo): valor que más veces se repite. En nuestro caso: Mo = -3 Mediana (Me): ordenando los datos en forma creciente, es el valor que ocupa la posición central. Si la cantidad de valores es impar, para saber qué lugar ocupa podemos hacer: = cantidad de registros + 1 2 En nuestra actividad: 7 registros + 1 = 4 el valor que ocupa el 4º lugar es la mediana 2 Me = -3

-4; -3; -3; -3; 0; 0; 1

Si la cantidad de valores registrados es par, no existe un valor que ocupe el lugar central, entonces la mediana es el promedio de los dos valores centrales. Por ejemplo: -4; -3; -3; -3; -1; 1; 1; 2

Me = 35

Capítulo 2 ¡A PENSAR! 1. El siguiente es un registro de gastos o ganancias diarias de un kiosco durante la primera semana de febrero. Día

Ganancia/Pérdida

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

-20 -40 80 70 100 80 -30

Completen a partir de los datos de la tabla anterior: Media (x) Moda (Mo) Mediana (Me)

2. Un delfín fue marcado para su estudio con un instrumento que permitió seguirlo durante diez días y medir la profundidad máxima que alcanzó en cada uno de ellos. Se registró:

-20 m -10 m

-30 m -40 m

-5 m -5 m

-15 m -10 m

-5 m -10 m

Calculen: a. La profundidad media alcanzada. b. La profundidad máxima que alcanza más veces en esos diez días. ¿Qué parámetro estadístico tienen que calcular? c. Calcular la Me. 3. Los siguientes datos corresponden a las temperaturas medidas en un laboratorio, al hacer un cultivo de cierta bacteria. Muestra Temperatura

A 2

B 0

C -1

D 2

E 2

F 0

G -1

H -2

Completen: a. Mo =

b. Me =

c. x =

d. Hagan una pregunta en el contexto del problema cuya respuesta sea la moda y otra que sea la media.

36

Números enteros ACTIVIDADES INTEGRADORAS 1. Ordenen los años de nacimiento de los siguientes matemáticos. Expliquen el criterio usado. a. Cantor 1845

c. Arquímedes 287 a. C. e. Coulomb 1736

b. Aristóteles 384 a. C.

d. Copérnico 1473

2. Indiquen el signo del resultado de las siguientes operaciones:

f. Euclides 300 a. C. Operación

Positivo

Negativo

-1548 + 32 -548 . (-854) (-54)10 3

√64

(-3)7 3

√-27

3510 - 215 -5421 : (-321) 3

√36

3. Respondan: a. ¿Cuál es el opuesto de -45?

c. ¿Cuál es el anterior de -127?

b. ¿Qué números tienen por módulo 11?

d. ¿Cuál es el posterior de -1?

4. Resuelvan los siguientes cálculos: a. (-45 + 11) : 17 - (-2)4 + 16 : (-4) =

d. (-2)15 : ((-2)7)2 + 4√8 . 4√2 =

b. 3√-8 . 5 + [4 - (-5 . 4) : 2] =

e. 18 . (-3) : (-6) - 3√-27 + (-7)2 : (-1)3 =

c. 5 + 8 . (-3) - {5 : [1 . (-145)0 : (-1)} =

f. 15 + (-11) : (-1) - 125 : (-5) + [32 - 321 : (-3)]0 =

5. Completen, para que el cálculo dé lo pedido: a. (5...)2 : 55 = 5

c. 8 . 85 . 83 : (82 . 8…) = 82

b. (-2)3 . (-2)4 : (-2)… = 1

d. [(-15)3 . (-15) . (-15)] . (-15) = (-15)3 ...

6. Dados los siguientes valores, indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: -10; -5; 6; 4; 0; -6; 0; -5; 4; 1; 0; -6; 0; 1; -6 a. La moda es 0 y la media es -1.

c. La media es -1,47 y la moda es 0.

b. La moda es -6 y la mediana -1,47

d. La moda y la mediana son 0. 37

Capítulo 2 7. Una persona nació en el año 7 a. C., se casó en el año 20 d. C. y tuvo su primer hijo cuatro años después. Cuando nació su segundo hijo, el primero cumplía nueve años. a. ¿Qué edad tenía cuando se casó? b. ¿Qué edad tenía cuando nació su primer hijo? c. ¿Cuántos años tenía al nacer su segundo hijo? 8. Completen la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que el número de cada casilla es la suma de los dos números de las casillas inferiores.

-33

-57 -35

-48 113

-76

-9 -2

+11

-29

9. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire ha variado -81 ºC? 10. Un repartidor de pizzas gana $360 por día y gasta, un promedio de $5 en gasoil y $10 en reparaciones de la moto. Si además recibe $100 de propina, a. ¿Cuánto ahorra diariamente?

b. ¿Cuánto tiene de gastos al cabo de un mes?

11. Completen: a. √... = -3

c. ...3 = 8

e. ...√81 = 3

g. 7... = 1

b. ...2 = 25

d. √ = 16

f. -2... = -32

h. (...4)3 = -64

12. Se les pide a 13 personas que digan un número comprendido entre -10 y 10, y se obtienen las siguientes respuestas: 0 ; 10 ; 1 ; 5 ; -10 ; 0 ; -10 ; 3 ; 7 ; -1 ; -10 ; 8 ; 7 Indicar los tres parámetros aprendidos: Mo, Me y x. 13. Con los siguientes números, creen un cálculo para cada uno de los resultados indicados. -4; 10; 11; -23; 0; 1 a. 1

b. 0

c. 14

d. 9

14. Se tiene el siguiente registro de datos, pero uno de ellos se ha borrado, sabiendo que la moda es 5. -5; 4; 0; -5; 5; …; 3; 4; 1; 5 a. ¿Cuál es el dato faltante? b. Con todos los datos, ahora calculen la media y la mediana. 38

Capítulo 3

Ecuaciones e inecuaciones en enteros

Capítulo 3 Recordamos lo aprendido Una ecuación es una igualdad en la que hay por lo menos un valor desconocido. Resolverla, implica encontrar todos los valores posibles de la incógnita que hagan la igualdad verdadera. Para resolver ecuaciones con números enteros, se aplican las mismas propiedades que fueron usadas en el conjunto de los naturales.

Miembros

Términos

2x + 11 = x - 3

2x + 11 = x - 3

A continuación, resolvemos la misma ecuación por dos caminos, que si bien parecen diferentes llevan al mismo resultado.

-8x + 2 = 10 -8x + 2 - 2 = 10 - 2 -8x : (-8) = 8 : (-8) -8x : (-8) = -1 x = -1

Restamos miembro a miembro -2 Dividimos ambos miembros por -8

Pasamos restando - 8x + 2 = 10 el que suma - 8x = 10 - 2 x = 8 : (-8) Pasamos dividiendo el que multiplica x = -1

Es muy importante saber que en matemática las cosas no “pasan” porque sí. Como verán, aplicamos las propiedades de los números enteros, de forma explícita, mientras que a la derecha ahorramos pasos, pero también aplicamos las propiedades. “Al pasar” de miembro, en realidad, estamos aplicando la propiedad cancelativa. Por eso, tenemos la idea de que desaparecen de un miembro y aparecen en el otro con el signo cambiado. Otra forma sería pensar las ecuaciones como un acertijo, que para descubrirlo hay que recorrerlo de forma inversa. -8x + 2 = 10

A la incógnita primero la multiplico por -8. Luego, le sumo 2 y eso da por resultado 10

Vamos a hacer el camino inverso: -8x = 10 - 2

40

Al 10 le restaremos los 2 que sumamos

x = 8 : (-8)

y ahora a ese resultado lo dividiremos por -8.

x = -1

De esta forma, obtenemos -1 que era el valor del que partimos.

Ecuaciones e inecuaciones en enteros Verificar el resultado de una ecuación es comprobar que el valor de la incógnita (x) que hallamos hace verdadera la igualdad. En nuestro caso, si decimos que x = -1 -8x + 2 = 10

Remplazamos la incógnita por el valor hallado

-8 . (-1) + 2 = 10 8 + 2 = 10 10 = 10 Queda demostrada nuestra igualdad. ¿Pero si decíamos que el valor de x era 2? -8 . 2 + 2 = 10

PARA SABER MÁS Símbolo /

‫ܭ‬ ‫ܭ‬ ^

-16 + 2 = 10 -14 ≠ 10 Vemos que llegamos a una contradicción esto surgió de pensar que 2 era la solución de la ecuación.

= ≠ > < ≤ ≥

Se lee Tal que Pertenece No pertenece y o Igual que Distinto que Mayor que Menor que Menor o igual que Mayor o igual que

1. Matías le pide a Federico que piense un número, luego que lo multiplique por 2 y le sume 100, al resultado obtenido lo divida por 5 y le reste 50. Al concluir, le pregunta qué número obtuvo y Federico responde -8. Rápidamente, Matías le dice que había pensado en 55. a. ¿Cómo hizo Matías para obtener ese número? b. Escriban en sus carpetas el cálculo que hizo Federico y el que llevó a Matías al resultado correcto. c. Comparen los resultados y extraigan conclusiones.

INTEGRANDO LAS TIC Para repasar lo aprendido, jueguen a "Del lenguaje escrito al lenguaje algebraico" en el portal de Educar.

41

Capítulo 3 Ecuaciones en enteros ¡A JUGAR! Estrella mágica de seis puntas La siguiente es una estrella de seis puntas. Como esta estrella es mágica, al sumar entre sí los cuatro círculos que están en línea dan lo mismo. Los números de las casillas de la estrella original han sido escondidos y sustituidos por expresiones donde aparecen dos letras, x e y. Tienen que encontrar los valores de estas letras para poder volver a colocar esos números. Observen que hay dos líneas, donde solo aparece la incógnita x. Al igualarlas, obtendrán una ecuación en función de x que podrán resolver. Cuando tengan el valor de x, sustitúyanlo en las casillas correspondientes y obtengan los números que estaban escondidos. De la misma forma, deberán encontrar el valor de la incógnita y. Cuando tengan todos los valores numéricos de las casillas, podrán comprobar que efectivamente se trata de una estrella mágica. y

x-1

12

10x - 9

5x - 2

2x

x

y+2

7

3y

3x

2x + 6

¡A PENSAR! 1. Calculen el valor del número desconocido en cada caso y verifiquen la solución.

42

a. -2 . x + 7 = 5

c. 15 - 3 + x = 10

e. 5 . x - 8 = 2 . x - 11

b. 6 . x : (-3) = 4

d. 3 . x = (-3) - 3 . 5

f. 5 . x + 2 . 11 = 23 . 5 : (-5)

2

Ecuaciones e inecuaciones en enteros ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación? x2 + 7 = 32

3.x+2=8 3.x=8-2

x2 = 32 - 7

3.x=6

x2 = 25 x = √25

x=6:3

x = 5 y x = -5

x=2 En este caso, obtenemos una única solución. Esto quiere decir que solo el 2 verifica la igualdad:

En este caso, obtenemos dos soluciones ya que tanto el 5 como el -5 verifican la igualdad:

S = {2}

S = {5; -5} 5.x+3-5.x=3

3.x+2-x-2.x=5

5.x-5.x=3-3

3.x-x-2.x=5+2 0.x=7

0.x=0

0=7

0=0 En este caso, la ecuación tiene infinitas soluciones. Esto implica que cualquier valor que le demos a la incógnita verifica la igualdad: S=z

Esto es un absurdo. Ocurre en las ecuaciones que no tienen solución. No hay ningún número que verifique la igualdad: S=Ø n

xn = |x| si n es par

n

xn = x si n es impar

Ejemplo: x2 = 49

x3 = 27

√x2 = √49

3

|x| = 7

√x3 = 3√27

por que 72 = 49 y (-7)2 = 49

x=3

por que 33 = 27

a. El perímetro de un rectángulo es de 36 cm. Calculen la medida de sus lados.

3.x-6

2. Planteen la ecuación y resuelvan.

2 . x - (-4) b. El triple de la diferencia entre un número y 8 es el opuesto de 9. ¿Cuál es el número? 43

Capítulo 3 c. El doble de un número es igual a la suma de su siguiente y su anterior. ¿Cuál es el número? d. La suma entre un número y su anterior da por resultado 37. ¿De qué número hablamos? e. El triple del anterior de un número da por resultado el opuesto de 69. ¿Cuál es el número? f. El anterior del cuadrado de un número es igual al producto de su anterior y su siguiente. ¿De qué número hablamos? 3. Unir con flechas cada ecuación con su resultado. PARA SABER MÁS

a. 4√x = 2

x=4

b. 2√x = 4

x = -2

c. x = 16

x=3

d. x5 = -32

x=2

e. x2 = 1

x = -4

• Siempre entre un número y una letra si no hay ningún signo, es porque hay una multiplicación.

f. x5 = 1

x = 16

• Diferencia = resta

g. 4√x = -1

x = -1

• Producto = multiplicación

h. √x = 1

x = -3

• Cociente = división

i. √x = -1

x=1

• Doble, triple, cuádruplo. Se multiplica por 2, 3 o 4.

4

3

Para recordar:

4. Apliquen las propiedades y resuelvan para calcular el valor de x.

• Mitad, tercera parte, cuarta parte. Se divide por 2, 3, o 4.

a. x . x2. x = 16

d. 3√2√x = 64

Es muy útil recordar que: x : 2.

b. x7 : x5 = 169

e. 6√x2. x = 49

También, se puede expresar como

c. x4 : x = -27

f. x3 : x4 = 36

Lo pueden encontrar también como

2

5. Calculen el valor desconocido. a. 6 . x + 30 - 5x = -60

h. 3 . (x3 - 1) = -27

b. x - 44 - 3x = -10 + 6

i. 2 .3√x + 2 = -4

c. 5x - 15 = 4x + 16

j. 4 x2 - 7 = 29

d. -3x + 9 = -3 + 2x - 4 . 2 e. -x -√9 - 5x = -27

k. 4√5x + 1 = 2 l. 3 - 2x = -5

f. 2x - 6 = 3x - 36 + x

m. 3√1 - 3x = -2

g. x - 8x - 4 + 7 = -2 . (-9) + 3x + 5

n. (2 . x + 4)2 = 16

6. Expliquen por qué son correctas las siguientes igualdades. a. x . 2 = 2 . x 44

b.

x=x:3

o

Ecuaciones e inecuaciones en enteros Propiedad distributiva

a . (b + c) = a . b + a . c

a . (b - c) = a . b - a . c

Como la multiplicación es conmutativa, la propiedad distributiva en la multiplicación se puede aplicar tanto a la izquierda como a la derecha. Esto no ocurre en la división donde solo se puede aplicar a la derecha.

(b + c) : a = b : a + c : a

(b - c) : a = b : a - c : a

1. Completen los espacios para que las igualdades sean verdaderas. a. 5 . (4 + 3) = 5 . 4 + ... . 3

c. -3 . (5 -...) = -3 . 5 - (-3) . 6

b. (6 - 8) . 7 = 6 . ... - 8 . ...

d. -2 . (-2 - 6) = -2 . (-2) - ... . ...

2. Calculen el valor de x: a. 5 (x - 3) = 4 (x + 4)

c. -3 (x - 1) + 4 = 6(x - 1) - 5

b. 3 (3 - x) + 9 = 2(x - 4) + 6

d. (4 + x) 3 = (x + 4) 5 + 1 - 3x

3. Resuelvan los siguientes ejercicios planteando previamente las ecuaciones correspondientes: a. El triple de la suma de dos números consecutivos es igual a 45. ¿Cuáles son los números? b. Dentro de 20 años, Raquel tendrá la mitad de la edad de su abuela que actualmente tiene 90 años. ¿Cuál es la edad actual de Raquel? c. La suma de tres números pares consecutivos es 42. ¿Cuáles son esos números? d. La suma de tres números impares consecutivos es 39. ¿Cuáles son esos números? 4. Todo cambia por una coma. En cada enunciado, falta una coma. Escríbanla en el lugar correcto, para que sea verdadera la afirmación. a. El doble de 10 más 5 es 25. b. El doble de 10 más 5 es 30. c. La tercera parte de 18 aumentado en 3 es 9. d. La tercera parte de 18 aumentado en 3 es 7. 5. El orden en el que decimos las cosas también modifica el resultado. Planteen los siguientes enunciados. a. El doble de la suma de un número y 10. b. La suma entre el doble de un número y 10. c. El cuadrado de la diferencia entre un número y 15. d. La diferencia del cuadrado de un número y 15. e. La raíz cúbica del siguiente de un número. f. El siguiente de la raíz cúbica de un número. 45

Capítulo 3 6. En un ascensor, la carga máxima es de 180 kg. Si suben dos amigos y uno de ellos pesa 98 kg, ¿cuál puede ser el peso del otro para no superar la capacidad del ascensor? 7. El opuesto del doble de un número aumentado en 10 unidades es menor a 30. ¿Qué número puede ser?

¡A JUGAR! Jugamos al Dominó de ecuaciones. a. Recortar las fichas del Anexo. b. Para jugar, seguimos las mismas reglas que las del Dominó tradicional en donde para que dos fichas se puedan colocar juntas, deberán tener el mismo número. En nuestro juego, una ficha es una ecuación y su resultado es la ficha que la acompaña. Para comenzar: • Uno de los jugadores reparte 7 fichas a cada compañero. Las restantes quedarán boca abajo. • Una queda en el centro boca arriba para iniciar el juego. • El jugador de la derecha del que repartió inicia la partida, si tiene una ficha que pueda ser la respuesta de la que está en la mesa o tiene la ecuación correspondiente a dicho número la baja. Si no tiene la ficha adecuada, levanta una de las sobrantes y pasa el turno. • Gana el juego el participante que se queda sin fichas.

INTEGRANDO LAS TIC Para repasar lo aprendido hasta ahora, busquen "Alterados por Pi" en el portal de Educar.

Inecuaciones con enteros Una inecuación es una desigualdad entre dos miembros donde hay por lo menos una incógnita. A diferencia de las ecuaciones, no usamos el signo =, si no que se emplean , ≥, ≤. Las inecuaciones dan por resultado un conjunto de números, el cual lo podemos representar en la recta como un intervalo de números. Cuando decimos los números mayores a 3, nos referimos al 4, 5 , pero el 3 no está incluido. En cambio, cuando decimos, los números mayores o iguales a 3, nos referimos al 3, 4, 5, ..., ∞. Esta diferencia la representamos con paréntesis ( ) cuando el número no está incluido o con corchetes [ ] cuando sí lo incluye. El símbolo infinito siempre lleva paréntesis. Todo intervalo tiene dos extremos, que pueden ser números reales o infinitos. Decimos que un intervalo es cerrado, si incluye ambos extremos, abierto si no incluye a ninguno de sus extremos y semiabierto, si incluye a uno solo de sus extremos. 46

Ecuaciones e inecuaciones en enteros Lenguaje coloquial

Inecuación

Intervalo

)

Todos los números menores que a

xa

Todos los números mayores o iguales que a

x≥a

Todos los números mayores que a y menores o iguales a b

Recta numérica

(-∞; a)

a ] (-∞; a]

a (

(a; +∞)

a [ [a; +∞)

a (

]

a 20 : (-2) x > -10

47

Capítulo 3 Pueden ser todos los números mayores a -10. Las inecuaciones al igual que las ecuaciones se pueden verificar, reemplazando la incógnita por alguno de los valores del conjunto solución. En el ejemplo anterior, obtuvimos que los números deben ser mayores a -10. Entonces, podemos tomar del -9 en adelante. -2x + 10 < 30 -2 . (-9) + 10 < 30 18 + 10 < 30 28 < 30 Se cumple la desigualdad ya que 28 es menor a 30. Tomemos un valor que no pertenezca a la solución, por ejemplo, -11. -2 . (-11) + 10 < 30 22 + 10 < 30 32 < 30 Esto es un absurdo ya que 32 no es menor a 30. El -11 no verifica la inecuación ya que no pertenece al conjunto solución.

¡A PENSAR! 1. Representen en la recta las siguientes desigualdades. a. x > -3

b. x < -7

c. x ≥ -2

d. 4 ≥ x

e. 5 < x ≤ 12

2. Resuelvan, representen la solución en la recta como intervalo e indiquen la solución en N, Z y 5. Ejemplo:

6x + 5 ≤ x - 15 6x - x ≤ -15 - 5 5x ≤ -20 x ≤ -20 : 5 x ≤ -4

S en N = { Ø }

S en Z = { -4, -5, -6, -7,……… }

] -4

48

S en R = ( -∞ ; -4 ]

Ecuaciones e inecuaciones en enteros a. -3x + 2 > 2

d. 6x : (-2) ≥ 9

b. 7x < 2 (x - 5)

e. 5x - 4 > 2x - 10

c. 4x : (-8) < -8

f. 3x < 8x + 10

g. El duplo de la suma entre un número y 7 es menor que 10. ¿Qué números cumplen esa condición? h. La tercera parte de la suma entre un número y 7 es mayor que el opuesto de 1. ¿Qué números cumplen esta condición?

Ecuaciones y parámetros estadísticos 1. El siguiente cuadro muestra la cantidad de hermanos que tienen los 33 alumnos en un curso del colegio, pero alguno de esos datos faltan.

Cantidad de alumnos 3 4 A 8

a. Calculen los datos faltantes A y B sabiendo que x = 2,15.

Cantidad de hermanos 1 0 2 B

b. Hallen la moda y la mediana. 2. Federico recibió su boletín con una mancha que tapa la nota de dos materias.

Año Div. a 1° 4

50

7

50

8 8

50

9 8

50

8

3

-

FIRMA DE DIRECTOR o VICEDIRECTOR

FIRMA DEL PADRE, MADRE, O TUTOR

PR:

Medidas Disciplinarias

7

INASISTENCIAS

8

TEATRO

8

PLÁSTICA

MATEMÁTICA

8

INGLÉS

LENGUA

9

INFORMÁTICA

HISTORIA

7

EDUCACIÓN FÍSICA

GEOGRAFÍA

10

MÚSICA

FORM. ÉTICA Y CIUD.

1a Etapa

FÍSICA-QUÍMICA

Asignaturas

ESCUELA SECUNDARIA

BIOLOGÍA

Períodos

2 N°................. 11 Ciclo Lectivo 20......

Federico Pérez

Alumno/a:........................................................................................................................................

a

2 Etapa Calificación Final Apoyo y Rec.Dic

Observaciones:

Calificación Final Consulta y Ev. Marzo Calificación Definitiva

Promovido a:

Año

Promedio:

a. Calculen las calificaciones faltantes, sabiendo que el promedio alcanzado es de 8,23, que en total son 13 materias y las que no se ven tienen igual nota. b. Si no fueran iguales, ¿qué notas podrían ser?

49

Capítulo 3 3. Hallen: a. La quinta nota que Bianca obtuvo en Matemática, si tres de ellas son 8, una es 9 y el promedio es 7,8. b. ¿Cuál es la moda y la mediana de las notas de Bianca? 4. Sabiendo que la moda de las notas de Camila es 8, que fue calificado 5 veces, en una de ellas obtuvo un tres. ¿Cuáles pueden ser las notas para que su trimestre quede aprobado?

Ecuaciones y progresiones Una progresión aritmética es una sucesión en la cual cada término se puede obtener del anterior, sumando un mismo número, llamado diferencia. 1, 4, 7, 10, 13, 16, … Cada término se obtiene de sumar 3 al anterior. 4-1=3 7-4=3 10 - 7 = 3 13 - 10 = … 16 - 13 = … Al restar dos términos consecutivos, obtenemos tres que es la diferencia de esta progresión. Una progresión geométrica es una sucesión en la cual cada término se puede obtener del anterior, multiplicándolo por un mismo número, llamado razón. -2, -6, -18, -54, -162, ... Cada término se obtiene al multiplicar por 3 al anterior. La razón se obtiene dividiendo dos términos consecutivos. -6 : (-2) = 3 -18 : (-6) = 3 -54 : (-18) = 3 -162 : (-54) = …

¡A PENSAR! 1. Analicen si las siguientes sucesiones son geométricas o aritméticas. Den una explicación de cómo se obtiene cada término.

50

a. 1, 4, 9, 25, …

c. 1, 2, 3, 4, 5, …

e. 13, 20, 27, 34, 41, …

b. 1, -1, 1, -1, …

d. 4, 5, 6, 7, 8, …

f. 2, 6, 18, 54, …

Ecuaciones e inecuaciones en enteros 2. El tercer término de una sucesión aritmética es 85 y cuarto es 70. Hallen el primero. 3. Encuentren tres números a, b y c tales que 20, a, b, c, 52 sean los cinco primeros términos de una sucesión aritmética. 4. Se desea construir una escalera de 16 escalones cuyas longitudes decrecen uniformemente de 50 cm en la base a 30 cm en la parte superior. Encuentren una fórmula para saber cuánto mide el escalón n. 5. La cantidad de bacterias en cierto cultivo es inicialmente 500 y el cultivo se duplica todos los días. a. Encuentren la cantidad de bacterias después de uno, dos y tres días. b. Den una fórmula para hallar la población bacteriana después de n días. En una progresión aritmética, cada término se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

an = a1 + (n - 1) . d an = es el término general a1 = es el primer término n = es el número de término d = diferencia 6. a. Sabiendo que el primer término es 8 y la diferencia es 5, calculen el décimo término. b. ¿Qué lugar ocupa el -5, en una sucesión cuyo primer número es 3 y la diferencia -2? c. El noveno término de una sucesión es -240, sabiendo que la diferencia es 6, ¿cuál es el primer término? 7. Den los primeros cinco términos de una sucesión definida por la siguiente fórmula:

PARA SABER MÁS Sucesión:

An = 10 + (n - 1) . 5 8. En la siguiente sucesión, encuentren la regla de formación: 5; 5; 6; 8; 11; 15; 20 9. Dada la sucesión, calculen la suma de los primeros ocho términos: 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29

3, 5, 7, 9, ... 1er término 2o término 3er término

los tres puntos significan que nunca acaba

4o término

(“término”, “elemento” y “miembro” significan lo mismo)

51

Capítulo 3 ACTIVIDADES A T V D DE INTEGRADORAS I T GR DO AS 1. Escriban una ecuación o inecuación, según corresponda que cumpla lo pedido en cada caso. a. Solución única

b. x > 2

c. S = Ø

d. -8 = x

e. S = {-3; 3}

2. Hallen el o los valores de x. a. 17 - 7x ≤ -3x + 1

c. (30 + 3x) : 2 = 3

e. √7 . √x = 14

b. 4 (x2 - 3) = 24

d. 2 (x - 7) + 8 > x + 1

f. 7 – 3 (-4 + x) ≤ 3x + 1

3. Planteen y resuelvan. a. El doble de un número disminuido en cuatro unidades es igual a dicho número aumentado en 9. b. La tercera parte de la suma entre un número y 5 da por resultado 4. c. La raíz cúbica de la suma entre un número y tres es el opuesto de 1. d. La suma entre la edad de Gastón y el triple de la que tenía hace cinco años es 85. ¿Qué edad tiene Gastón? e. El cubo de un número aumentado en cinco unidades es menor al opuesto de 3. f. El siguiente del triple del opuesto de un número es mayor o igual al doble de cinco. 4. Completen:

Recta

Inecuación

Intervalo

Lenguaje coloquial

5 o = según corresponda. a.

c.

e.

b.

d.

f.

13. Ordenen de mayor a menor las siguientes fracciones.

14. Completen: Fracción

Expresión decimal

Fracción decimal

99

Capítulo 5 a. ¿Hay algún caso en el que no han podido completar lo pedido? ¿Por qué? b. Completen: Una fracción es decimal, cuando su ……………… es una potencia de 10, en el caso de las expresiones ……………… no se puede expresar de esta forma. 15. Escriban una fracción decimal comprendida entre los siguientes números: a. -1 y 1

b. -3,2 y 1,4

c. -5 y -4,5

d. 2 y 3

Operaciones con racionales Suma y resta Para sumar y restar fracciones, debemos convertir a fracciones equivalentes con igual denominador y luego sumar o restar sus numeradores. Ejemplo: Para encontrar fracciones equivalentes de igual denominador, debemos hallar un múltiplo en común de estos denominadores. MCM (7; 3) = 21

Multiplicamos por 3 al numerador y denominador

Multiplicamos por 7 al numerador y denominador

Ahora:

Esta cuenta es equivalente a la dada, por lo tanto, El mismo procedimiento lo podemos emplear para la resta o recordar que la sustracción es la inversa de la suma:

100

Números racionales ¡A PENSAR! 1. Mateo y Abril están juntando dinero para comprarse una tablet. Mateo ya ahorró y Abril

del precio

. ¿Pueden comprarse la tablet? ¿Por qué?

2. En un curso,

de los alumnos aprobaron una evaluación con 8,

con 7 y

obtuvieron 10.

El resto de los alumnos desaprobó. a. ¿Qué parte de los alumnos aprobó? b. ¿Qué parte de los alumnos desaprobó? c. ¿Qué fracción de los alumnos obtuvo una calificación mayor de 8? 3. Para hacer un trabajo práctico grupal, los integrantes se dividieron las preguntas de la siguiente manera: Integrante 1 =

Integrante 3 = el resto

Integrante 2 =

a. ¿Qué parte le corresponde al tercer integrante? b. ¿Cuál de los tres hará la mayor parte del trabajo? 4. La sangre está compuesta por diferentes elementos, entre ellos el plasma y células. Si el corresponde al plasma. ¿Qué parte de nuestra sangre está formada por células sanguíneas? 5. Resuelvan: a.

c.

e.

g.

b.

d.

f.

h.

6. Analicen las siguientes propiedades y completen: Propiedad

Lenguaje simbólico

Ejemplo

Elemento neutro

101

Capítulo 5 7. Resuelvan: a.

c.

e.

g.

b.

d.

f.

h.

8. Resuelvan aplicando la propiedad asociativa y suprimiendo los paréntesis. a.

PARA SABER MÁS

2 1 1 1 - — + - — - - — + — - (+1) = 5 3 5 3

b.

=

≠

Signos

2 1 -— - — 5 3

c.

+

≠ 1 1 — + — -1 = 5 3

Fracciones equivalentes con denominador 15

-6 - 5 + 3 + 5 - 15 ————————— = 15

d.

Asociamos negativos y positivos

e.

(3 + 5) - (6 + 5 + 15) 8 - 26 —————————— = ——— = 15 15

9. Planteen y resuelvan la siguiente situación:

Operamos y simplificamos

En un colegio, trabajan 150 docentes, de los cuales

asisten en moto,

en colectivo y

6 18 - —— = - — 5 15

el resto en auto. a. ¿Cuántos viajan en moto? b. ¿Cuántos viajan en colectivo? c. ¿Qué fracción de los docentes viajan en auto? ¿Qué cantidad representan? d. ¿Qué fracción del total no viajan en moto? e. Si ingresan cinco docentes nuevos que caminan hasta la escuela, ¿qué fracción representan? PARA SABER MÁS En muchos casos, es práctico aplicar la propiedad cancelativa. Suprimir paréntesis Cancelar números opuestos

102

Números racionales 10. Abril le regaló a su hermano

de sus figuritas y a su prima Camila

.

a. ¿Con qué parte de las figuritas se quedó Abril? b. ¿Cuántas tenía al comienzo si al final se quedó con 64? 11. De los 24 alumnos de segundo año,

practican habitualmente deportes.

a. ¿Qué parte de los alumnos no realizan ningún deporte habitualmente? b. ¿Cuántos practican deporte?

Multiplicación 1. Todos los meses Matías ahorra

de su sueldo.

a. ¿Qué parte tendrá ahorrada a los cinco meses? b. Si su sueldo es de $7000, ¿cuánto dinero tiene al cabo de esos cinco meses? Desde primaria, hemos aprendido que la multiplicación es una forma de abreviar las sumas. La actividad anterior seguramente lo han resuelto de diferentes formas, pensemos juntos alguna de ellas. Camino 1: Mes 1

Mes 2

Si sumamos todo, obtenemos

Mes 3

Mes 4

Mes 5

que al simplificarlo nos da 2 enteros.

Esto quiere decir que luego de cinco meses logró ahorrar dos sueldos enteros de $7000 cada uno, en total $14.000 Camino 2: Sabemos que ahorra

durante cinco meses.

.5= .

=

Todo número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1. = Simplificando Ahorra dos sueldos de $7000 cada uno, un total de $14.000.

103

Capítulo 5 Multiplicación

Ejemplo: Simplificando el numerador y denominador por 5 obtenemos do por 3 y llegar a

que se puede seguir simplifican-

que es irreducible. Pero se podría simplificar antes de resolver la cuenta.

simplificando por 3 obtenemos

también podemos hacerlo por 5

2. Resuelvan: a.

c.

e.

g.

b.

d.

f.

h.

3. Hallen la fracción faltante para que el resultado indicado sea correcto. a.

b.

c.

d.

e.

División La división es la operación inversa a la multiplicación. Por esta razón, es que podemos transformar la división en una multiplicación. Para dividir, multiplicaremos por el inverso de la segunda fracción. El inverso de un número es aquel que al multiplicar da como resultado 1. Analicen los resultados de la actividad 2 y completen: Para obtener el inverso de una fracción, debemos invertir el …………………. y el …………………. El inverso de

es

; el inverso de 8 es

.

En lenguaje simbólico, definimos a la división de la siguiente forma:

Seguramente, recordarán que hay una regla práctica en la cual para dividir hay que multiplicar cruzado, esto es consecuencia de invertir la segunda fracción. Ejemplos: a.

104

b.

Números racionales 4. La decoración para la fiesta de fin de año en la escuela se repartirá en partes iguales entre seis cursos. a. ¿Qué parte del trabajo le corresponde hacer a cada curso? b. Los alumnos de segundo año se dividieron en cuatro grupos ¿Qué parte de la decoración le corresponde hacer a cada uno de ellos? c. Maylen y sus cuatro amigas son de un grupo de segundo año. ¿Qué parte de la decoración le corresponde a cada una? d. Si para adornar el patio hay que hacer 120 flores. ¿Cuántas le corresponden a cada curso y cuántas a Maylen? 5. Para una reunión, se compraron cinco pizzas. Si hay 20 invitados, ¿qué parte del total de pizzas le corresponde a cada uno de ellos? 6. Calculen: a.

b.

c.

a.

c.

e.

b.

d.

f.

d.

7. Resuelvan:

El conjunto de los números racionales es un conjunto denso. Esto quiere decir que entre dos de ellos hay infinitos números, lo que no ocurre en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros. Por ejemplo: Entre el 2 y el 3, no hay ningún otro natural. Entre el -2 y el -1, no hay ningún número entero. Pero, ¿qué pasa entre el

y el

?

Podemos encontrar el promedio de ellos, sería un número que se encuentra en el punto medio:

105

Capítulo 5 Entonces, Busquen ahora un número que esté entre

y

.

¿Cuántas veces podríamos repetir este procedimiento? 8. Demuestren empleando el método anterior que el conjunto de los naturales no es denso. 9. Encuentren tres números comprendidos entre los dados. a.

b.

10. Calculen el perímetro de un triángulo equilátero, cuyo lado mide

.

11. Hallen la base media de un paralelogramo, sabiendo que la mayor mide

y la menor

.

12. Recorten del Anexo y resuelvan el rompecabezas. Comiencen por el hexágono que tiene el 1, resolviendo las operaciones y busquen en los triángulos las respuestas correspondientes, de esta forma podrán ir intercalando los triángulos y hexágonos. PARA SABER MÁS En el conjunto de los números naturales, cuando multiplicamos dos números el resultado es mayor a cada uno de los factores (excepto si uno de los factores es cero). 3 . 5 = 15

15 > a 3 y a 5

¿Y en el conjunto de los números enteros? 3 . (-5) = -15

-15 < a los factores 3 y -5

-3 . (-5) = 15

15 > a -3 y -5

Como vemos, en el conjunto de los números enteros, no ocurre como en los números naturales. Pensemos ahora en el conjunto de los números racionales: es mayor a

, pero menor a 5

Es común pensar que siempre que multiplicamos obtendremos un número mayor, pero… ¡cuidado! Con ayuda de la calculadora, investiguen qué pasa cuando se multiplica a un entero por una fracción comprendida entre 0 y 1. Luego, repitan el procedimiento para una fracción mayor a 1. Escriban las conclusiones en sus carpetas y compartan las respuestas con sus compañeros.

106

Números racionales Potenciación y radicación 1. Recordando la definición, expresen las siguientes multiplicaciones como potencias. a.

b.

c.

Potencia de una fracción Elevar una fracción a un exponente, significa elevar el numerador y el denominador a dicho exponente.

¿Qué diferencia hay entre

y

?

El paréntesis es muy importante, ya que nos indica a qué números afecta la potencia.

2. Hallen las siguientes potencias: a.

d.

b.

e.

PARA SABER MÁS La potencia de fracciones cumple las mismas propiedades que en los números enteros. Al elevar una base negativa a un exponente par, el resultado será positivo. Pero si el exponente es impar, será negativo el resultado.

f.

c.

3. Completen con los números necesarios, para que la igualdad sea verdadera: a.

c.

e.

b.

d.

f.

4. Unan con flechas según corresponda. a. b. c. d. 107

Capítulo 5 5. Calculen aplicando propiedades. a.

b.

c. ¿Cómo son las potencias que se obtuvieron en los puntos anteriores? El exponente negativo nos indica elevar a la potencia dada el número inverso.

O dicho de otra forma: elevar en número inverso al módulo del exponente. Por ejemplo:

¡Cuidado! El exponente negativo no modifica el signo de la fracción, solo nos pide que trabajemos con el inverso. El signo de la fracción depende de que el exponente sea par o impar. 6. Completen: Número

Opuesto

Inverso

7. Expresen, en lenguaje simbólico, y luego resuelvan: a. El doble del inverso de tres quintos disminuido en dos séptimos b. El inverso del opuesto de cuatro tercios c. La suma entre el opuesto del doble de seis séptimos y el inverso de un quinto d. La diferencia entre doce octavos y la mitad de seis novenos e. El inverso del cociente entre nueve y dos tercios 108

Números racionales Radicación La raíz de una fracción es equivalente a calcular la raíz del numerador y del denominador. Esto se cumple ya que la radicación es distributiva con respecto a la división. Recuerden que la línea de fracción representa una división.

Ejemplos:

La radicación cumple las mismas propiedades que en los números enteros.

1. Calculen, cuando sea posible, las siguientes potencias y raíces: a.

e.

i.

b.

f.

j.

c.

g.

d.

h.

El perímetro de cualquier figura se halla sumando todos sus lados, excepto en el círculo en la que debemos aplicar la fórmula , donde d indica el diámetro. Para calcular la superficie de una figura, se usan diferentes fórmulas. En el caso del cuadrado y el rectángulo, recordemos la expresión b . h y en los triángulos es .

2. Algunas más… a.

c.

e.

b.

d.

f.

PARA SABER MÁS

3. Hallen el perímetro y la superficie en cada caso. a. Cuadrado

b. Rectángulo

c. Triángulo isósceles

109

Capítulo 5 Cálculos combinados y ecuaciones 1. Resuelvan aplicando propiedades. a. b. c.

PARA SABER MÁS Al trabajar en el conjunto de los racionales con cálculos combinados, debemos seguir y tener presentes las propiedades que ya conocemos de otros campos numéricos. Recuerden separar en términos, priorizar el orden de las operaciones y aplicar reglas de los signos. Cuando sea posible, apliquen la propiedad distributiva, recuerden que también admite su inversa.

d. La igualdad se lee en los dos sentidos.

2. Unan con flechas cada cálculo con su resultado. a.

b.

c.

3. Calculen el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones:

110

a.

e.

i.

b.

f.

j.

c.

g.

k.

d.

h.

l.

Números racionales 4. Planteen en cada caso la ecuación que resuelve lo pedido. a. Hallen el valor de la base y altura del siguiente rectángulo cuyo perímetro es de 40 cm.

b. Calculen la longitud de las diagonales de un romboide, sabiendo que su superficie es de 18 cm2, que la diagonal menor es

y la mayor

.

c. Grafiquen un rectángulo de 35 cm de perímetro y cuya altura sea igual a

de la base.

d. Construyan un rectángulo, tal que su diagonal sea de 10 cm y uno de sus lados de 8 cm. PARA SABER MÁS Siempre entre una letra y un número cuando no haya ninguna operación, se da por entendido que hay una multiplicación. Lo mismo ocurre entre un número y un paréntesis.

Racionales y estadísticas Al realizar una encuesta o relevamiento de datos, trabajamos con variables. Estas reciben este nombre porque pueden variar su valor. Depende como sea este dato que obtenemos, podemos clasificarlas en variables cualitativas o variables cuantitativas. Las primeras hacen referencia a cualidades (bueno, malo, grande, etc.), mientras que las segundas refieren a cantidades (valores numéricos). Las variables cuantitativas pueden diferenciarse en continuas o discretas, esto tiene que ver con el conjunto numérico en que trabajen. Las variables discretas solo admiten números enteros, mientras que las continuas contemplan también los racionales. Ejemplos: • Si analizamos la cantidad de autos que pasan por un peaje a una hora determinada, obtendremos como respuesta un número que será entero. No podrán pasar 3,5 autos, por lo tanto, la variable “Cantidad de autos” es cuantitativa y discreta.

111

Capítulo 5 • La variable “Tiempo que tardó en llegar a la escuela”, es cuantitativa y continua, ya que podríamos tardar 1.30 hs. • En el caso de tener una encuesta sobre la calificación de una obra de teatro donde los espectadores deban decidir entre: buena, mala o regular, estaríamos frente a una variable cualitativa. Cuando se hace un relevamiento de datos, puede pasar que algunos de ellos se repitan. Se denomina frecuencia absoluta (fi) a la cantidad de veces que se reitera un determinado valor de una variable. La frecuencia relativa (hi) es la fracción del total que representa cada valor de la variable. El porcentaje de la variable analizada se obtiene al multiplicar por 100 a la variable relativa.

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LOS PROS DE HACER EJERCICIO Mejora la circulación.

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Fortaleces músculos y pantorrillas.

Oxigena todo el cuerpo.

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Despeja la mente y fomenta la creatividad.

Relaja y libera tensiones emocionales y musculares.

Previene enfermedades: diabetes, infartos y derrames cerebrales.

En una encuesta, hecha a 30 alumnos del curso, sobre la práctica de deportes se obtuvieron las siguientes respuestas: Frecuencia absoluta (fi)

112

Frecuencia relativa (hi) hi =

Porcentaje % = hi . 100

Practican deportes

19

= 0,63

63,3

No practican deportes

11

= 0,36

36,6

Total (n)

30

1

100

Números racionales 1. Completen la tabla, sabiendo que se realizó una encuesta a un curso de 40 alumnos, consultándoles sobre si tenían hermanos. Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia relativa fraccionaria

Frecuencia relativa decimal

Porcentaje

Tienen hermanos No tienen hermanos

20%

Total

2. Luego de una clase de biología, donde se trabajó sobre alimentación saludable, los alumnos descubrieron que el desayuno es la principal comida del día y es muy importante que sea nutritivo y no se saltee. Un grupo de ellos realizó una encuesta a los 120 alumnos de la secundaria sobre si realizaban el desayuno habitualmente o lo evitaban. Los resultados obtenidos fueron:

Mejora el rendimiento físico e intelectual Aporta energía para el resto del día

Ayuda a mantener el peso

• 45 alumnos respondieron que habitualmente desayunaban. • 20 alumnos dijeron que a veces lo hacían. • El resto respondió que nunca desayunaban. a. Realicen un cuadro que incluya la frecuencia absoluta, relativa y el porcentaje.

Ayuda a controlar la ansiedad

b. Indiquen cuál es la moda.

Nos da buen humor

c. Clasifiquen la variable. 3. Los siguientes datos fueron tomados en una esquina durante una hora, donde se registraron la cantidad de personas que cruzaban por la senda peatonal y las que no lo hacían. • 125 cruzaron por la senda

• 301 cruzaron por otra zona

a. Completen: Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

%

Cruzan por la senda No cruzan por la senda Total

113

Capítulo 5 4. Los alumnos de segundo año son muy curiosos y decidieron consultar a sus padres el año de su nacimiento. Obtuvieron los siguientes datos: 1975, 1980, 1974, 1981, 1975, 1982, 1969, 1975, 1980, 1973, 1975, 1981, 1975, 1968, 1975, 1980, 1975, 1981, 1980, 1969, 1973, 1975, 1991, 1970, 1980, 1975, 1969, 1981, 1973, 1975, 1981, 1968 Realicen un cuadro de frecuencias. Luego: a. Indiquen la moda, media y mediana. b. Clasifiquen la variable.

Racionales y probabilidad La probabilidad es una medida que expresa la posibilidad de que suceda un evento. Al no ser intencionales dependen del azar y los llamamos sucesos aleatorios. (Sabemos qué posibles resultados se pueden dar, pero no cual se obtendrá al realizarlo). Por ejemplo, al tomar una carta de un mazo de naipes españoles y que salga una carta de oro, es un suceso aleatorio. Todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria forman un conjunto que se denomina espacio muestral. A cada resultado posible, suceso de esa experiencia y la cantidad de veces que ocurre ese suceso es su frecuencia. La probabilidad de que suceda un hecho aleatorio se puede calcular como:

En nuestro ejemplo: Probabilidad de que salga una carta de oro:

Para hallar el porcentaje de una probabilidad, se multiplica por 100. Porcentaje = 0,25 . 100 = 25% Esto nos indica que tenemos un 25% de probabilidad de sacar una carta de oro de un mazo de 40 naipes.

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta de cualquier palo de una baraja de 40 naipes españoles? 2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta de corazón de un mazo de 40 naipes españoles? 114

Números racionales 3. Completen: Al calcular una probabilidad, el valor que obtenemos será un número comprendido en el intervalo [...;...], esto ocurre, ya que si no hay ningún caso favorable, la probabilidad de que un hecho suceda es ................. , decimos que es un suceso imposible. En el caso de que los casos favorables sean iguales a los casos posibles, la probabilidad nos dará ................., y aquí estamos hablando de un suceso seguro. 4. En una bolsa, hay cinco bolas rojas y dos azules. Respondan: a. Al sacar una bola sin mirar, ¿qué es más probable, que salga una azul o una roja? b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola amarilla? 5. Al lanzar un dado, calculen la probabilidad de que: a. Salga un 1. b. Salgan dos 4. c. ¿Qué porcentaje de probabilidad existe de que salga un 3? 6. En una sala, hay 20 mujeres y 12 hombres y se elige uno al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea un hombre? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida no sea un hombre? 7. Se realiza un sorteo con números del 0 al 25 y la probabilidad de cada suceso se clasifica según la siguiente tabla: Imposible P=0

Poco probable 0 < P < 0,35

Probable 0,35 ≤ P < 0,75

Muy probable 0,75 ≤ P < 1

Seguro P=1

Clasifiquen cada suceso: a. Que el número ganador sea menor de 25. b. Que el número ganador sea mayor de 25. c. Que el número ganador tenga dos cifras iguales. d. Que el número ganador tenga un cero entre sus cifras. e. Que el número ganador tenga cifras distintas. 8. Redacten una situación en la cual la probabilidad de que un evento suceda es del 0,5. 9. En un programa de televisión, hay un juego en el cual se debe elegir la llave que abre la puerta de un auto. Si hay 50 llaves, ¿qué probabilidad hay de ganar el auto?

115

Capítulo 5 ACTIVIDADES INTEGRADORAS 1. Calculen el valor de x en cada caso: a.

d.

b.

e.

c.

• Expliquen, fundamentando sus respuestas con las propiedades vistas, cuál es la diferencia entre el cálculo a y b, y entre el c y d.

2. Planteen y resuelvan cada situación. a. La diferencia entre las tres cuartas partes de un número y sus tres quintas partes, es un décimo. ¿Cuál es el número? b. La diferencia entre las tres cuartas partes de un número y sus tres quintas partes, es un décimo. ¿Cuál es el número? c. Calculen el número tal que la sexta parte del producto entre la tercera parte de un número y tres medios es un cuarto. d. El producto entre la sexta parte de un número y tres medios es un cuarto. ¿Cuál es el número? 3. Resuelvan aplicando propiedades. a.

b.

c.

b.

c.

4. Calculen: a.

5. Realicen en grupos la encuesta del Anexo sobre bullying (cada uno encuestará a 10 compañeros de otros cursos). a. Tabulen todos los resultados obtenidos por el grupo para cada pregunta realizando una tabla de frecuencia. b. Cada grupo elegirá una pregunta y realizará un afiche con los resultados obtenidos. Realizar una encuesta nos permite conocer mejor la realidad que nos rodea, que no siempre es evidente para nosotros. Conversen entre todos los resultados obtenidos y propongan (de ser necesario) algunas ideas para mejorar la convivencia en la escuela.

116

Números racionales 6. Matías y Nehuen organizaron una rifa para juntar dinero y poder comprarse un juego de luces nuevas para las fiestas. Tienen para vender 250 números. Calculen: a. Federico les compró un número, pero les dijo que quería que fuera de tres cifras, porque tenía mayor probabilidad de ganar. ¿Es verdad? ¿Por qué? b. Bianca y Abril escucharon al comprador anterior y pidieron también números de tres cifras pero Bianca pidió uno que comience con 1 y Abril uno que comience con dos. ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar? c. Camila tenía muchas ganas de ganar el sorteo. Por eso, usó sus ahorros y compró 10 números elegidos al azar. ¿Qué probabilidad tiene de ganar? d. Ordenen los nombres de los compradores de mayor a menor, según la probabilidad que tengan de ganar la rifa. 7. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as de un mazo de cartas inglesas (52 naipes)? 8. Lean atentamente y luego, respondan: Al elevar un número natural a una potencia, siempre obtenemos como resultado un número mayor. Con las fracciones, esto no siempre ocurre. a. Den un ejemplo de lo planteado. b. Con las fracciones, ¿cuándo ocurre esto? c. Con los números enteros, ¿qué sucede? d. ¿Se puede elevar un número natural a una potencia y obtener un racional? Den un ejemplo. e. ¿Se puede elevar un número racional y obtener un natural? Expliquen cómo lo pensaron. 9. Completen con ‫ ܭ‬o ‫ܭ‬según corresponda: a.

d.

b.

e.

c.

f.

10. Completen para que la suma de todos los números dentro de cada circulo den un entero.

-2

1 — 3 4

2 -— 3

117

Capítulo 6

Unidades

Unidades Recordando lo aprendido 1. Resuelvan con la calculadora las siguientes multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de 0. a. 4 . 10 =

e. 0,03 . 10 =

i. 6000 : 10 =

m. 0,2 : 10 =

b. 4 . 100 =

f. 0,03 . 100 =

j. 6000 : 100 =

n. 0,2 : 100 =

c. 4 . 1000 =

g. 0,03 . 1000 =

k. 6000 : 1000 =

o. 0,2 : 1000 =

d. 4 . 10.000 =

h. 0,03 . 10.000 =

l. 6000 : 10.000 =

p. 0,2 : 10.000 =

2. En grupos, escriban una regla práctica para multiplicar o dividir por unidad seguida de ceros. a. Al multiplicar b. Al dividir

INTEGRANDO LAS TIC Para recordar algunos conceptos que por usarlos habitualmente ya conocen, pero tal vez nunca se han detenido a pensar en ellos, busquen “En su justa medida / ¿Qué es medir?” un documental de Canal Encuentro. 3. Respondan: a. ¿Qué es medir? b. Cuando medimos, ¿qué obtenemos como resultado? c. ¿Cómo se llaman aquellas propiedades que pueden ser medidas? d. ¿Qué se necesita para poder medir una magnitud? 4. Indiquen para cada caso cuál es el instrumento adecuado para medir: a. El ancho de una hoja b. El ancho del pizarrón c. El peso de una naranja d. El tiempo que se tarda en cocinar un bizcochuelo e. La amplitud de un ángulo 5. Dibujen el contorno de su mano en una hoja y pinten con azul el perímetro y con rojo la superficie.

119

Capítulo 6 6. Ubiquen las siguientes palabras en el cuadro según corresponda: distancia - litros - 15 cm - 1,5 - reloj - 5 km - 2 hs - longitud - jarra graduada - kilómetros - horas tiempo - centímetros - regla - cuenta kilómetros del auto - 15 - 2 - 5 - capacidad - 1,5 L Situación

Magnitud Medida

Unidad

Valor de la cantidad

Instrumento de la medición

Distancia al trabajo Largo de un papel Duración de una obra de teatro Cantidad de líquido de una botella

Unidades de longitud Llamamos longitud a la distancia que hay entre dos puntos. Por ejemplo, la distancia que hay de mi casa a la escuela o la que hay entre los bordes de una hoja o entre la Tierra y la Luna. La unidad principal para medir la longitud es el metro pero, ¿sería práctico medir la distancia a la Luna o el ancho de una hoja en metros? Los múltiplos son las unidades de medida más grandes que el metro. Son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro. Hay más, pero por ahora vamos a trabajar estos. Los submúltiplos son las unidades de medida más pequeñas que el metro. Son el decímetro, el centímetro y el milímetro. El sistema de medición es decimal, por lo tanto, para pasar de una unidad a otra deberemos, multiplicar o dividir por una potencia de 10. Un metro es diez veces más pequeño que un decámetro 1 m = 0,1 dam

km

pero diez veces más grande que un decímetro

hm

0

m

Por ejemplo:

dm

Pasemos 4,5 m a cm km hm dam m dm cm mm . 10

. 10 = 100 = 102

4,5 m . 10 = 45 dm 45 dm . 10 = 450 cm Por lo tanto, 4,5 m = 450 cm Podríamos haber multiplicado por 100 directamente. 120

x1

dam

1 m = 10 dm

cm

:1

0

mm

Unidades Para pasar a una unidad menor, multiplicamos por una potencia de 10 equivalente a la cantidad de unidades que implique el pasaje. En el ejemplo anterior, como el pasaje implicaba dos unidades, se multiplicó por 102 o 100. Para pasar a una unidad mayor, vamos a dividir por una potencia de 10 equivalente a la cantidad de unidades que implique el pasaje. Por ejemplo: 4,5 m a km km

hm

dam

m

dm

cm

mm

4,5 : 1000 = 0,0045 Por lo tanto, 4,5 m = 0,0045 km

1. Completen los recuadros con la unidad de medición más adecuada para cada situación. a. La distancia de Buenos Aires a Madrid

c. El ancho de una habitación

b. El largo de una hormiga

d. La distancia de la Tierra a la Luna

2. Realicen los siguientes pasajes de unidades: a. 25 km a m =

c. 0,0045 dam a mm =

e. 16,2 mm a dm =

b. 15,45 hm a km =

d. 12 cm a dam =

f. 200 m a hm =

3. Camila se fue de vacaciones con sus amigas. Tomaron un micro que las llevó 385 km hasta la playa, allí pasaron cinco días y emprendieron una caminata de 28.000 m, descansaron dos días y continuaron en bicicleta por 211 hm. ¿Cuántos km recorrieron en total Camila y sus amigas? 4. Una empresa de papel fabrica rollos de 1322,5 cm de largo. Sabiendo que el metro cuesta $12, ¿cuál es el costo de cada rollo? 5. Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Recuerden que el perímetro es la suma de sus lados.

b = 3 cm 4 dm c = 4 cm

d = 5 cm

7 dm 4 dm

a = 6 cm

12 dm

121

Capítulo 6 20 hm

20

00

m

5 km

30.000 dm 100 dam 80 hm

6. Calculen el perímetro de un triángulo rectángulo si la base mide 10 cm y la altura 0,8 dm. 7. Las ruedas de una bicicleta para adultos tiene un diámetro de 559 mm. Calculen cuántas vueltas debe dar, para recorrer 10 km. Recuerden que la longitud de una circunferencia es ʌ . d, ʌ= 3,14. 8. Completen: a. 123 cm = ………….. m y ………….. cm

d. 4512 hm = ……….. km y …………. hm

b. 168 cm = ………….. m y ………….. cm

e. 0,0215 m = ………. cm y …………. mm

c. 1244 m = …………. km y …………. m

f. 0,458 m = ………… cm y …………. mm

9. En la clase de Ciencias Naturales, los alumnos realizaron una germinación, al cabo de dos semanas cada uno anotó en el pizarrón la altura alcanzada por su semilla.

2 cm 3,1 cm 0 cm 3 cm 2 cm

3,4 cm 2,5 cm 0 cm 2 cm 3 cm

3 cm 2,4 cm 3 cm 2,2 cm 2 cm

2 cm 0 cm 0 cm 3 cm 2,5 cm

a. Construyan una tabla de frecuencias con los datos del pizarrón, donde figure la media, la moda y la mediana. 10. Indiquen la respuesta correcta en cada caso. a. ¿Cuánto mide un tren de 85 m y 35 dm de largo? 853 cm

835 cm

8850 cm

8350 cm

b. ¿Cuál es la longitud de un avión de 48 m y 72 dm? 482 cm

7248 cm

4872 cm

5520 cm

c. ¿Cuál es la altura de un árbol es 3 m y 30 dm? 600 cm 122

330 cm

3000 cm

3300 cm

Unidades 11. Completen: a. Para pasar de metros a decímetros, se ……………………………. por …………………… b. Para pasar de centímetros a metros, se ……………………………… por ………………….. c. Para pasar de metros a milímetros, se …….…………… por …………………. d. Para pasar de centímetros a decímetros, se ……………………….. por ………………. e. Para pasar de milímetros a metros, se ……………………….. por ………………… f. Para pasar de decímetros a milímetros, se ………………………. por …………………… 12. Indiquen o = según corresponda. a. 15 km …… 452 hm

c. 1254 dm …… 0,01254 km

e. 0,45 dm …….. 42 mm

b. 0,03 dam …… 250 mm

d. 1250 m …….. 12,5 hm

f. 154 cm ………. 2 m

Unidades de superficie La medida de una superficie se llama área y es todo aquello que está contenido por el perímetro de la figura.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Unidad de medida

1. Pinten con azul el perímetro de cada una de las figuras anteriores y contesten: El área de cada figura es de ………… cuadrados. Para calcular la cantidad de cuadrados de la Figura 1 podríamos multiplicar los cuatro cuadrados de base por los dos de altura y así obtener los ocho cuadrados. La unidad de área es el metro cuadrado (m2) y equivale a un cuadrado de 1 m de lado.

1m

1 m2

1m 1 m . 1 m = 1 m2 (el dos del exponente surge de sumar las potencias 1 m . 1 m = m2)

123

Capítulo 6 Al igual que con las unidades de longitud, también tenemos múltiplos y submúltiplos. Un m2 es 100 veces más pequeño que un decámetro cuadrado.

km2 hm2

1 m2 = 0,01 dam2, pero 100 veces más grande que un decímetro cuadrado 2

dam2

x1

00

m2

2

1 m = 100 dm

dm2

Por ejemplo:

cm2

:1

00

15 m2 a cm2

mm2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 . 100 . 100 = 10.000 = 104 15 m2 . 10.000 = 150.000 cm2 Para pasar a una unidad menor, multiplicamos por una potencia de 100 equivalente a la cantidad de unidades que implique el pasaje. Para pasar a una unidad mayor, vamos a dividir por una potencia de 100 equivalente a la cantidad de unidades que implique el pasaje. En conclusión, al calcular el área de una figura estamos averiguando cuántos cuadrados entran en ella. Si el cuadrado es de 1 cm por 1 cm, el área quedará expresada en cm2, pero si probamos con cuadrados de 1 m por 1 m. Entonces, el resultado será en m2.

2. Grafiquen y respondan: a. ¿Cuántos cm2 hay en 1 dm2? 3. Unan con flechas cada situación con su valor aproximado: a. El frente de una casa

1 hm

b. El largo de una cuadra

1 dam

c. La superficie de una cuadra

1 dm2

d. La superficie de una cama

1m

e. La superficie de un papel glasé

1 hm2

f. La altura de un niño de siete años

2 m2

4. Abril tiene un terreno de 30 m de frente por 20 m de profundidad, quiere construir en él una casa que ocupe la tercera parte del terreno y una pileta de 4 m por 10 m. a. ¿Qué superficie del terreno destina para la casa?

124

Unidades b. ¿Cuántos m2 de terreno le quedan libres, luego de construir la casa y la pileta? c. Si quisiera ponerle un cerco a todo el terreno, ¿cuántos metros de cerco necesitaría comprar? 5. Nehuen quiere pintar su casa y compra un balde de 20 L de pintura, en las indicaciones dice que cada litro de pintura rinde 4 m2. Sabiendo que los techos están a una altura de 2,5 m, las dimensiones del baño son 2,5 m por 6 m, la habitación de 6 m por 5 m, la cocina de 4 m por 3 m y la sala de estar, de 4 m por 4,5 m. Calculen si los 20 L de pintura alcanzan para darle una mano a toda la casa. ¿Cuántos litros sobran o faltan?

PARA SABER MÁS Recuerden que para calcular la superficie de las diferentes figuras geométricas, hay fórmulas que nos permiten hacerlo. Es fundamental que todas las medidas estén expresadas en la misma unidad. Por ejemplo, no se puede tener la base en centímetros y la altura en metros. Antes de aplicar la fórmula, debemos elegir en qué unidad trabajar y hacer los pasajes necesarios. Rectángulo

Paralelogramo

Cuadrado

Trapecio

Triángulo

b h

l

h

B Sup.

h

B

=B.h

Rombo

= l2

Sup.

Sup.

Romboide

=B.h

h

B Sup.

Polígonos regulares

=

B (B + b) . h 2

Polígonos irregulares

Sup.

=

r D 1

Ap.

Sup.

=

D.d 2

2

Círculo

d d D

B.h

Sup.

=

D.d 2

Sup.

=

Per . Ap 2

Sup.

2

= Sup. 1 + Sup. 2

Sup.

= ʌ . r2

INTEGRANDO LAS TIC Para practicar las fórmulas de área, busquen "Fórmulas de área" en el portal de Educar.

125

Capítulo 6 6. Calculen la superficie de las siguientes figuras:

40 cm

150 mm

7 dm 80 dm 2,5 hm

10 m 0,016 km

35 dam

7. Hallen el área sombreada en las siguientes figuras: a.

b.

c.

r = 10 cm

r = 2,5 cm

20 cm 4 dm

10 dm

8. Calculen el número de baldosas, de 10 cm de lado, necesarias para poner en una habitación de 4 m por 3 m. 9. El perímetro de un triángulo equilátero es de 0,9 dm y la altura mide 2,598 cm. Calculen el área del triángulo. 10. Calculen el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base el triple de la altura. 11. Planteen la ecuación necesaria para hallar lo pedido. a. El área de una circunferencia es de 7065 cm2. ¿Cuál es su diámetro? b. Calculen la hipotenusa de un triángulo, sabiendo que su altura es de 5 cm y su área de 87,5 mm2. c. El área de un polígono regular de seis lados es de 36 cm2. Si la apotema mide 0,3 dm, ¿cuál es la longitud del lado?

126

Unidades Unidades de volumen Cuando nos referimos al volumen que ocupa un líquido, fluido, gas o sólido, hacemos mención al espacio que estos utilizan.

1m

El metro cúbico (m3) es la unidad principal del volumen, corresponde al volumen de un cubo que mide un metro en todos sus lados.

km3 hm3 m

00

Al calcular el volumen de cualquier cuerpo, vamos a averiguar cuantos cubos de 1 m3 entran en él.

0

3

dm3 = L cm3 = mL

:1

00

0

1m Cubo de 1 m de alto por 1 metro de ancho por 1 m de profundidad.

Para calcular su volumen, debemos hacer 1 m . 1 m . 1 m = 1 m3

x1

dam3

1m

mm

3

Al igual que en las otras unidades, tenemos múltiplos y submúltiplos.

1 mm

Para pasar a una unidad menor, multiplicamos por una potencia de 1000 equivalente a la cantidad de unidades que implique el pasaje. Para pasar a una unidad mayor, dividimos por una potencia de 1000 equivalente a la cantidad de unidades que implique el pasaje.

1 dm

1 cm

1m

1m

1m

¿Cuántos cubos hay en la figura anterior? Podemos ver como en un cubo de 1 m de arista (lado) entran 1000 cubos de 1 dm de arista. Un metro cúbico es 1000 veces más pequeño que un decámetro cúbico. 1 m3 = 0,001 dam3, pero 1000 veces más grande que un decímetro cúbico 1 m3 = 1000 dm3 Por ejemplo: 15 m3 a cm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 X 1000 x 1000 = 1.000.000 = 106 15 m3 . 1.000.000 = 15.000.000 m3 = 15 . 106 127

Capítulo 6 1. Construyan lo pedido en cada caso. a. Un segmento de 1 dm

b. Un cuadrado de 1 dm de lado

c. Un cubo de 1 dm de arista

2. ¿Cuántos cm3 entran en 20 m3? 3. Realicen los siguientes pasajes. a. 25 cm3 = ……. mm3

c. 1478 dm3 = ……. hm3

e. 0,0048 hm3 = ……. dam3

b. 0,05 km3 = ……. dam3

d. 8 m3 = ……. mm3

f. 98 mm3 = ……. cm3

PARA SABER MÁS Las diferentes unidades que estamos trabajando nos permiten calcular el perímetro, el área y el volumen de figuras y cuerpos. Para no confundirse, es importante recordar que las figuras al ser planas no tienen volumen, a diferencia de los cuerpos que al tener profundidad admiten su cálculo (ya que ocupan un lugar en el espacio). Recuerden que las figuras tienen dos dimensiones (2D) (alto y ancho), mientras que los cuerpos son en tres dimensiones (3D) (alto, ancho y profundidad). Figuras → Perímetro

Cuerpos → Perímetro

→ Superficie

→ Superficie lateral → Volumen

4. En la siguiente imagen, hay un error. Indiquen cuál y corríjanlo justificando.

8m 7m

6m 7 m . 8 m . 6 m = 336 m 5. Indiquen o = según corresponda.

128

a. 11 dm3 ...... 11.000 cm3

d. 150.000 mm3 ...... 15 cm3

b. 4501 m3 ...... 5 dam3

e. 0,00013 km3 ...... 120.000 m3

c. 0,0009 hm3 ...... 900.000 dm3

f. 3,2 hm3 ...... 320 dam3

Unidades 6. En una encuesta, se le preguntó a diez personas elegidas al azar sobre su preferencia con respecto al tamaño de botella de vino que compraban y se obtuvieron los siguientes resultados. 750 cm3 750 cm3

1000 cm3 1500 cm3

1500 cm3 750 cm3

1000 cm3 750 cm3

1000 cm3 3000 cm3

a. Construyan una tabla de frecuencia. Hallen la moda, la mediana y la media e indiquen el porcentaje para cada elección. 7. Busquen envases de gaseosas, vino, jugos, aceite, leche o vinagre y registren el volumen que indica cada uno. Luego, cada uno de ellos exprésenlo en m3 y mm3.

Unidades de capacidad Como habrán descubierto, muchos envases expresan su volumen en cm3, pero también habrán notado que aparece una unidad nueva que es el litro (L).

1 litro

3

= 1 dm

El litro es la unidad de capacidad y posee su equivalente con el volumen.

1 dm 1 dm

Como vemos en la imagen, un cubo de un decímetro de lado puede contener un litro de líquido. Volumen

m3

dm3

cm3

Capacidad

kl

L

ml

Las unidades de capacidad son muy utilizadas, no solo para los envases de bebidas, sino también para indicar cuánto puede contener una heladera o un microondas. También, en la industria automotriz, se usa para referirse a las dimensiones del baúl de un auto. Las unidades de capacidad tienen múltiplos y submúltiplos. Al igual que en las unidades de longitud, para hacer los pasajes, se deberá multiplicar o dividir por una potencia de 10.

kl hl

:1

0

dal l

dl cl

.1

0

ml

1. Calculen la capacidad de una pecera de 13 m3. 2. Indiquen cuántos litros puede contener un tanque de agua de 2 m3 de volumen. 3. ¿Qué capacidad tiene una cacerola de 1000 cm3?

129

Capítulo 6 4. Unan con flechas los recipientes que poseen la misma capacidad.

0,08 hl

0,8 dl

800 L

800 dl

0,008 dal

0,8 cl

8

dl

8000 cl

8

8

L

800 cl

0,8 kl

8

ml

kl

5. Resuelvan las siguientes situaciones: a. ¿Cuántos vasos de 250 cm3 se pueden llenar con una botella de gaseosa de 2,25 L? ¿Y con 4 L? b. ¿Cuántos viajes deberá hacer un albañil para transportar 1 m3 de arena si tiene un balde de 25 L en cada mano? c. Se llena la mitad de un tanque de aceite con 20 baldes de 0,012 m3 cada uno. ¿Cuál es la capacidad del tanque? 6. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. En el caso de ser falsas, corregirlas para que sean verdaderas (manteniendo la unidad dada). a. 700 cm3 = 7 dal

c. 0,0007 dam3 = 7 dl

e. 7 dm3 = 70 hl

g. 7 cm3 = 700 cl

b. 7 m3 = 0,7 kl

d. 70.000 cm3 = 70 ml

f. 70.000 mm3 = 70 hl

h. 2,6 dm3 = 26 dl

7. El siguiente es un registro de las cargas de combustible de una estación de servicio durante la hora pico. 58 L

78 L

45 L

68 L

45 L

60 L

75,5 L

70 L

50 L

70 L

48 L

70 L

Hagan una tabla de frecuencias e indiquen la moda, la media, la mediana y el porcentaje.

Unidades de masa La unidad de masa es una unidad de medida que se utiliza para mensurar la cantidad de materia que poseen los cuerpos. En el sistema internacional, se toma como unidad al kilogramo (kg), aunque el método de múltiplos y submúltiplos que veremos a continuación se estableció a partir del gramo (g). 1 kg equivale a 1000 gramos 100 gramos = 100.000 miligramos 130

kg hg

:1

0

dag g

dg cg

.1

0

mg

85 L

Unidades PARA SABER MÁS La masa y el peso suelen ser conceptos que se confunden con facilidad. El peso es la fuerza con que un cuerpo es atraído por la gravedad y dependerá de la masa del mismo. La masa de un cuerpo no depende del lugar dónde se encuentre. En cambio, el peso varía según la gravedad del lugar. La masa de un kilogramo de madera es la misma en la Tierra que en la Luna. Sin embargo, su peso es seis veces menor porque la aceleración de la gravedad en la Luna es de 1,62 m/seg2, frente a 9,80 m/seg2 en la Tierra. Como el peso es una fuerza, se mide en unidades de fuerza. Sin embargo, las unidades de peso y masa tienen una larga historia compartida, en parte porque su diferencia no fue bien entendida cuando dichas unidades comenzaron a utilizarse. Según el sistema en el que se trabaje, las unidades de fuerza son: Sistema internacional = Newton (N) Sistema técnico = Kilogramo fuerza (Kgf) CGS = Dinas (D) 1. Completen los espacios vacíos para que la igualdad sea verdadera. a. 20 kg = ….. g

c. 1500 mg = …. g

e. 849 cg = ….. mg

b. 0,5 dag =

d. ……. hg = 7,7 kg

f. ….. kg = 0,20 dg

dg

2. En el almacén de Don Matías, hay una oferta de 250 g de jamón a $28 y, en el supermercado, 1 kg cuesta $130. Indiquen en cuál de los dos comercios sería más conveniente comprar ½ kg de jamón y cuál sería el precio a pagar. 3. Sabiendo que 1 litro de agua tiene una masa de 1 kg, respondan: a. ¿Qué volumen tiene 1 kg de agua? b. ¿Cuál es la masa de 750 cm3 de agua? c. Si se tiene un vaso de 300 cm3 de agua, ¿qué capacidad tiene? d. Un vaso tiene una masa de 250 g y una capacidad de 0,4 dm3. Indiquen la masa total del vaso lleno de agua. e. Una pileta tiene 50.000 L de agua. ¿Qué masa y volumen de agua contiene? 4. Ordenen de menor a mayor. 0,45 kg

142 g

3500 dg

20 hg

400.000 mg

1458 dag

5. En física y química, es usual que se hable de la densidad. Es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia. Por lo general, la densidad se simboliza mediante la letra rho (ȡ) del alfabeto griego.

131

Capítulo 6 Calculen: a. La densidad del agua. b. La densidad del aceite, sabiendo que 1 litro tiene una masa de 0,920 kg. c. El volumen de 450 gramos de una sustancia cuya densidad es de 2,70 g/ml. d. La masa de aire contenida en un globo de 230 cm3, si la densidad del aire es de 0,0013 g/cm3. 6. El siguiente cuento narra la historia de Arquímedes y el problema de la corona de oro del rey Hierón.

Hace muchos años vivió en Siracusa, una ciudad de la Antigua Grecia, un inventor y matemático al que acudían todas las personas que necesitaban solucionar algún problema o misterio. Se llamaba Arquímedes. Un día, Arquímedes recibió a un famoso arquitecto llamado Vitruvio. No sabía que esta visita cambiaría la historia para siempre. Vitruvio llevaba consigo una corona que había sido mandada fabricar por el gobernador de la ciudad. El gobernador había encargado una corona de oro puro, pero sospechaba que el orfebre le había engañado mezclando plata con el oro. Vitruvio entregó su corona a Arquímedes y le encargó que solucionara el dilema y descubriera si la corona era de oro puro o si el gobernador había sido engañado. Pero eso sí, no podía estropearla para conseguirlo. —¡Pues en menudo lío me ha metido ahora el tipo este! —exclamó Arquímedes cuando se quedó solo—. ¡A ver ahora cómo soluciono yo este dilema! Me voy a dar un baño, a ver si me relajo un poco, que me ha dicho por ahí un amigo filósofo que relajarse despierta la creatividad. Y eso hizo Arquímedes. Mientras calentaba cubos de agua y los iba echando en la bañera, Arquímedes iba pensando en algo. —Si me dejaran fundir la corona, sería muy fácil averiguar si hay plata o no mezclada con el oro. Porque el oro es más denso que la plata aunque ocupen el mismo espacio. Es como el hierro y la madera. Si tomo un cubo de madera y otro del mismo tamaño, pero hecho de hierro, los dos ocuparán el mismo espacio, pero el de hierro pesará mucho más que el de madera. Y dándole vueltas al asunto se quitó la ropa y se metió en la bañera mientras decía: —Si yo fuera hierro me hundiría hasta el fondo. Entonces se dio cuenta de que, según se metía en la bañera, el agua subía. —¡Por todos los dioses del Olimpo! Pero, ¿qué es esto? Ahora me voy a imaginar que soy de madera. Entonces, flotaría un poco y no llegaría hasta abajo. Arquímedes se levantó un poco, imaginando ser de madera. Entonces, observó que el agua bajaba un poco. Entró y salió de la bañera un montón de veces, unas veces imaginando ser de hierro y otras de madera. El agua siempre subía,

132

Unidades pero en el caso del hierro, que es más denso, el agua subía más que cuando se hacía pasar por un trozo de madera. —Esto tiene que ser por la densidad —pensó Arquímedes. Entonces, Arquímedes se dio cuenta de que había resuelto el misterio. Y olvidando por completo que estaba desnudo, salió a la calle gritando “¡Eureka, Eureka!”, que en griego antiguo significa “Lo he encontrado”. Pero, ¿qué había encontrado Arquímedes? El oro y la plata son como el hierro y la madera: uno pesa más que el otro comparando dos trozos del mismo tamaño. Por lo tanto, para comprobar si la corona era de oro o no, lo que tenía que hacer Arquímedes era introducir en la bañera un trozo de oro equivalente al oro que el orfebre decía haber usado para hacer la corona. Si subía el mismo volumen de agua cuando sumergiera la corona que cuando sumergiera el bloque de oro, significaría que el orfebre había sido honesto. Pero si al introducir la corona subía menos agua, sería señal de que el oro estaba mezclado con plata, que es menos densa y, por lo tanto, levanta menos agua. Desafortunadamente, cuando Arquímedes metió la corona en la bañera descubrió que subía menos agua que cuando metía el bloque de oro. Cuando Arquímedes comunicó a Vitruvio su descubrimiento, él lo felicitó. Acto seguido ordenó arrestar al orfebre, al que castigaron por estafador.

Y así fue como Arquímedes pasó a la historia. A su famoso descubrimiento lo bautizaron como el Principio de Arquímedes, una de las teorías más importantes que se aplican a la ingeniería y a la ciencia moderna. Fuente: Rodríguez, EM. “El misterio de la corona de oro”.

a. Investiguen que otros descubrimientos realizó Arquímedes. b. ¿Por qué Arquímedes relacionó la diferencia de nivel del agua con la densidad? c. En grupos, debatan la siguiente frase. “Para poder solucionar este problema, Arquímedes utilizó su creatividad y capacidad de observar el mundo que lo rodeaba”.

INTEGRANDO LAS TIC Busquen los juegos interactivos "Perímetro y superficie I y II" en el portal de Educar para seguir practicando. 133

Capítulo 6 ACTIVIDADES INTEGRADORAS 1. 1. Dibujen: a. Un decímetro

b. Un dm2

c. Un dm3

2. ¿Cuántos cm3 entran en 1 dm3? 5 km

3. La siguiente figura corresponde a la vista aérea de un terreno. Su dueño necesita cercarlo y luego sembrar en él.

3 km

3 km 7 km

a. Calculen cuántos metros de alambre deberá comprar. b. Hallen la superficie total que podrá sembrar.

6 km 2 km

4. Calculen el área sombreada de la siguiente figura:

As = ? 6 cm

5. El perímetro de un trapecio isósceles es de 1,1 m, las bases miden 40 cm y 30 cm, respectivamente. Calculen los lados no paralelos y el área. 6. Calculen los m2 necesarios para cubrir los caminos de la plaza con piedras.

4m

15 m

26 m

2,5 m

134

2,5 m

Unidades 7. Se pretende llenar una pileta, cuyas medidas son 5 m de largo por 3,5 m de ancho y 2 m de profundidad. a. Calculen los m3 de agua necesarios para llenarla. b. ¿Cuál es la capacidad de la pileta? c. Si por cada 100 L de agua se deben agregar 25 g de cloro granulado, calculen los kilos necesarios para agregarle a la pileta, cuando se la llena hasta su tercera parte. 8. Una canilla que queda mal cerrada, pierde aproximadamente 2 litros de agua por hora. Si no se cierra la canilla, se pierden 3 litros de agua cuando nos lavamos los dientes, 60 litros al lavar los platos y 5 litros por minuto aproximadamente cuando abrimos la ducha antes de bañarnos. Calculen: a. Los litros de agua que se pierden en una noche (aprox. 10 hs), si la canilla queda mal cerrada. ¿Cuántas botellas de 1000 cm3 podríamos llenar? b. Todas las mañanas una familia de cuatro integrantes se lava los dientes y acostumbra no cerrar la canilla. ¿Qué volumen de agua están desperdiciando? c. En grupos, debatan y luego construyan un afiche con las medidas que se podrían tomar para mejorar el consumo de agua, al bañarnos, lavar los platos, etcétera. 9. Lean el siguiente texto y luego realicen las actividades indicadas.

La generación per cápita de residuos sólidos se mide en términos de la cantidad de kilogramos que genera una persona por día. Según los datos de la Evaluación Regional llevada adelante por el BID, OPS y AIDIS, los latinoamericanos generamos 0,63 kg/ hab./ día de residuos sólidos domiciliarios (RSD). Si tomamos en cuenta los residuos sólidos municipales (RSM), es decir, los domiciliarios más otros residuos de origen comercial o que surgen de la limpieza de calles, parques y jardines, el número asciende a 0,93 kg/ hab./ día. Tomando estos datos, si asumimos que un latinoamericano genera 0,63 kg RSD por día, una persona que viviera 75 años, generaría a lo largo de su vida 17,2 toneladas de residuos. Una familia tipo de cuatro miembros casi 70 toneladas, lo que equivale a un volumen aproximado de 1 millón de latas de aluminio. ¿Bastante no? Fuente: Sturzenegger, G. “¿Sabes cuánta basura generas en un día?”.

Hay tres formas de combatir tu “problema” de generación: • La reducción (o minimización), es decir, evitar generar residuos modificando patrones de consumo. • El reúso, es decir, utilizar nuevamente un producto, sin mayor transformación, para darle el mismo u otro uso. • El reciclaje o aplicar algún tipo de tratamiento a los residuos para reintroducirlos en un ciclo de vida. 135

Capítulo 6 a. Investiguen la equivalencia entre toneladas y kilogramos. b. Diferentes investigadores han calculado que solamente en el ámbito de la ciudad de Buenos Aires diariamente se podrían reciclar 297,5 toneladas de desechos. ¿Cuántos kilos de material reciclable se están depositando en los rellenos? c. Investiguen en su localidad si hay algún plan para separar la basura domiciliaria. d. En grupos, elaboren un plan de separación de la basura para el aula y la escuela. 10. Se tiene un cubo de aluminio 25 cm de arista. a. Calculen su volumen. b. La densidad del aluminio es de 2698,4 kg/m3, esto quiere decir que un m3, tiene una masa de 2698 kg. Calculen la masa del cubo dado. c. ¿Qué capacidad tendría si se llenara de agua? d. Si quisiéramos colocar en todas sus aristas un hilo de color, ¿cuántos centímetros de hilo serían necesarios? 11. Los vértices del triángulo sto son los puntos medios de los lados del triángulo abc. a. ¿Cuántos triángulos quedan formados en la figura? b. Calculen el área y perímetro de cada uno. c. ¿Qué fracción del triángulos abc representa el triángulo sto? d. ¿Qué relación hay entre el área del triángulo mayor y la de uno de los menores? e. Comparen los perímetros. f. A partir de los puntos anteriores, elaboren una conclusión y compartan sus respuestas.

b

6 cm s

abc

t

sto o a

136

8 cm

c

Capítulo 7

Cuerpos geométricos: superficie y volumen

Capítulo 7 Recordando lo aprendido 1. Coloquen cada palabra en la columna correcta: cuadrado - cubo - círculo - pirámide - esfera - triángulo - rectángulo - cilindro Figuras

Cuerpos

2. Calculen el perímetro y la superficie de las siguientes figuras. a.

b.

3 cm 6 cm

Radio = 1 cm

3. Dibujen en cada caso lo pedido, luego piensen en un criterio para separarlos en dos grupos, compartan las respuestas con sus compañeros. ¿Todos pensaron el mismo criterio? a. Un dado b. Una pirámide c. Una tarjeta de invitación d. Una pelota de fútbol e. Una hoja de carpeta

INTEGRANDO LAS TIC Busquen en YouTube cómo construir diferentes cuerpos geométricos con la técnica de origami.

138

Cuerpos geométricos: superficie y volumen Cuerpos geométricos

Ancho

Un cuerpo geométrico o sólido es una figura geométrica de tres dimensiones: largo, ancho y alto (o profundidad), que ocupa un lugar en el espacio y, en consecuencia, tiene volumen. Llamemos a las cosas por su nombre. Alto Vértice

Largo

Caras: formadas por figuras geométricas que delimitan al cuerpo.

Cara

Aristas: segmentos de recta que limitan las caras, corresponden a la intersección de dos caras.

Arista

Vértices: puntos de intersección de tres o más aristas.

Los cuerpos se agrupan según las características de sus caras. Poliedros: tienen todas sus caras planas. Cuerpos redondos: tienen al menos una cara curva.

Cuerpos geométricos Poliedros

Prisma

Pirámides

Cuerpos redondos

Cilindro

Cono

Esfera

139

Capítulo 7 Los prismas tienen dos caras paralelas iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Según las bases que tengan, encontramos:

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Las pirámides presentan en su base un polígono y sus caras laterales son triángulos unidos en un punto. Según sus bases, pueden ser:

Pirámide triangular

Pirámide cuadrangular

Pirámide pentagonal

Pirámide rectangular

Dentro de los cuerpos que tienen una cara curva, podemos diferenciar: Cilindro: cuerpo geométrico generado al girar un rectángulo en torno a uno de sus lados, tiene dos bases circulares iguales y una base lateral curva.

Cono: se genera cuando un triángulo rectángulo gira en torno de uno de sus catetos.

Esfera: cuerpo geométrico generado por un semicírculo, al girar sobre su diámetro.

Eje de giro Centro

Radio

140

Cuerpos geométricos: superficie y volumen 1. Escriban el cuerpo que representa cada objeto.

2. Nombren cada uno de los siguientes cuerpos e indiquen si son poliedros o cuerpos redondos.

A

B

C

G

L

H

M

E

D

I

N

F

K

J

O

P

Q

PARA SABER MÁS Los cuerpos que poseen todas sus caras formadas por polígonos regulares, reciben el nombre de poliedros regulares. Propiedad de Euler Todos los poliedros verifican esta propiedad. Número de caras + número de vértices = número de aristas + 2

141

Capítulo 7 3. Recorten del Anexo el desarrollo de algunos cuerpos y constrúyanlos. 4. Completen: Poliedro regular

Desarrollo

Caras

V

Tetraedro

Hexaedro o cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

142

4 triángulos equiláteros

Cuerpos geométricos: superficie y volumen 5. Escriban el nombre de un cuerpo que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso. Indiquen cuáles de ellos son poliedros. a. Una cara no plana

…………………………………….….

b. Ninguna cara plana ……………………………………….. c. 4 caras

………………………………………..……….

d. 6 vértices

……………………………………...…………

e. Todas las caras planas f. 10 vértices

…………………….....…………

…………………………………...……………

6. Completen: Poliedro

Nombre

Número de vértices

Número de caras

Número de aristas

143

Capítulo 7 7. Camila quiere cubrir todas las caras de un cubo de 35 cm de arista con papel. Calculen los metros cuadrados (m2) necesarios para hacerlo. 8. Abril quiere pintar cada una de las caras de un tetraedro de 8 cm de arista. Averigüen cuál es la superficie total a pintar. 9. Mateo trabaja en una empresa que fabrica etiquetas. Le encargaron que diseñe las que se usarán en una lata de tomate. Para ello, tiene que saber las dimensiones de la etiqueta y luego, calcular cuántas entran en cada plancha para imprimir, para así calcular los costos y pasar un presupuesto. Los datos que le pasó el cliente son los siguientes: Alto de la lata: 15 cm Diámetro de la lata: 10 cm a. Calculen las dimensiones de la etiqueta. Hagan un diseño. b. Si las planchas para impresión tienen 0,08 m2, ¿cuántas etiquetas entran? ¿Se desperdicia material? 10. En el Anexo, encontrarán el desarrollo de algunos antiprismas y cuerpos arquimedianos.

PARA SABER MÁS El cubo de Necker es una ilusión óptica, que fue publicada por el cristalógrafo suizo Louis Albert Necker por primera vez en 1832. Se trata de un cubo en perspectiva axonométrica. Esto significa que las aristas paralelas del cubo están dibujadas como líneas paralelas en la representación gráfica.

Cuando se cruzan dos líneas, la imagen no nos permite ver cuál está en frente y cuál detrás. El cerebro no puede identificar cuál es la orientación espacial del cubo porque se pierden los indicadores de la perspectiva. En consecuencia, el dibujo es ambiguo, ya que puede ser interpretado de dos maneras diferentes. Cuando se observa la imagen, la visión suele intercambiar entre las dos interpretaciones válidas. A este fenómeno se le denomina percepción multiestable.

a. Constrúyanlos. b. Describan cada uno de ellos, indicando qué figuras forman sus caras. 11. Completen cada rectángulo con la palabra correspondiente.

Base Cara lateral Arista lateral Vértice

144

Cuerpos geométricos: superficie y volumen Base Cara lateral Arista básica Vértice

12. Marquen las respuestas correctas. ¿Qué verías si observaras desde arriba el siguiente cuerpo geométrico?

¿Qué figura corresponde a la vista desde un lado del siguiente cuerpo geométrico?

A.

C.

A.

C.

B.

D.

B.

D.

¿En cuál de los siguientes cuerpos, si se mira desde arriba y de frente se ve la misma figura? A.

B.

C.

D.

Juan observó un cuerpo geométrico de frente e hizo el siguiente dibujo. ¿A qué cuerpo geométrico puede corresponder? A. Cono B. Cilindro C. Prisma de base cuadrada D. Prisma de base pentagonal

13. La siguiente imagen tiene ejemplos de figuras y cuerpos para construir con plastilina y escarbadientes. En grupos, construyan un prisma y un antiprisma.

145

Capítulo 7 PARA SABER MÁS Antiprisma Un antiprisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales entre sí, llamadas bases (pueden ser cualquier polígono) y caras laterales formadas por triángulos. Son semejantes a los primas, pero difieren en sus caras laterales que en lugar de paralelogramos tienen triángulos

Sólidos arquimedianos Los sólidos arquimedianos o de Arquímedes son un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. Los poliedros (o sólidos) arquimedianos surgen de modificar los cinco poliedros regulares de manera que obtenemos poliedros que tienen todas sus caras formadas por polígonos regulares. Un poliedro o sólido arquimediano tiene las siguientes características: y El segmento determinado por dos vértices cualesquiera es siempre interior al cuerpo (es un poliedro convexo). y Todos sus vértices son puntos de una esfera. y Sus caras son polígonos regulares de, al menos, dos tipos diferentes. y Todas sus aristas tienen la misma longitud. y Los ángulos poliedros determinados por las aristas que convergen en cada vértice son convexos (es un polígono convexo). Es decir, la suma de los ángulos internos de todas las caras con un vértice común es menor que 360°. y Sus caras pertenecen a dos o a lo sumo a tres de las siguientes categorías de polígonos regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, hexágonos, octógonos y decágonos. y Los ángulos poliedros determinados por las aristas que convergen en cada vértice son congruentes, es decir, pueden superponerse exactamente por traslaciones, rotaciones y/o reflexiones. y Satisface (por ser un poliedro convexo) la relación de Euler:

Vértices + Caras = Aristas + 2 y Se pueden obtener siete sólidos arquimedianos truncando sólidos ya conocidos: tetraedro truncado, cuboctaedro, cubo truncado, octaedro truncado, icosidodecaedro, dodecaedro truncado e icosaedro truncado. 146

Cuerpos geométricos: superficie y volumen

POLIEDROS PLATÓNICOS

POLIEDROS ARQUIMEDIANOS Tetraedro

Tetraedro truncado Cubo doblemente truncado

Hexaedro

Cubo truncado

Rombicuboctaedro

Cuboctaedro

Octaedro

Gran rombicuboctaedro

Octaedro truncado Dodecaedro doblemente truncado

Dodecaedro

Dodecaedro truncado

Rombicosidodecaedro

Icosidodecaedro

Icosaedro

Icosaedro truncado

Gran rombicosidodecaedro

Superficie lateral y total La superficie lateral es la suma de las superficies de las caras laterales de un cuerpo. En los prismas, las caras laterales son rectángulos. Se podría calcular la superficie de esos rectángulos (b . h) o el perímetro de la base y multiplicarlo por la altura.

h

h

147

Capítulo 7 Las pirámides tienen por caras a triángulos isósceles. Nuevamente, podemos calcular la superficie de esos triángulos

o bien,

h

h En los cilindros, la cara lateral es un rectángulo, donde la base corresponde al perímetro de la circunferencia. Por lo tanto, para el cálculo de su superficie, debemos hacer: Sup. lateral del cilindro = 2 . ʌ . r . hc

hc = altura del cuerpo

h

h

El cono tiene por cara lateral un sector de una circunferencia. La superficie se calcula siendo g la generatriz del cono. Superficie lateral del cono = ʌ . r . g

g

La superficie total es la superficie de las caras laterales más la superficie de las bases. En el caso de los prismas y cilindros, encontramos dos bases.

Sup lateral + 2 sup base

Sup lateral + 2 sup base 2ʌ.r.h

148

+ 2 ʌ r2

Cuerpos geométricos: superficie y volumen En las pirámides y conos al terminar en un vértice solo, presentan una única base.

g

Sup lateral + 1 sup base

+

π.r.g

π r2

1. Sergio es carpintero y debe comprar madera para construir un zapatero. Calculen los m2 que deberá encargar, sin considerar los cortes y desperdicios. (Consideren el mueble con laterales y fondo). 2. Mailén debe comprar cartulinas para hacer una pirámide cuadrangular, cuya base mide 64 cm2 y su altura es de 10 cm. Calculen los m2 de cartulina que usará. cm

65 cm

35

3. Se acerca el cumpleaños de Bianca y su mamá quiere construir diez gorros con forma de cono de 8 cm de radio y 23 cm de generatriz. ¿Cuántos cm2 de cartulina usará? No tomen en cuenta los desperdicios.

1,5 m

4. Calculen los cm2 necesarios de aluminio para construir una lata de durazno de 8 cm de radio y 12 cm de altura. Indiquen también los m2 que se usarán para hacer una etiqueta que rodee toda la lata. 5. Para confeccionar una pelota de básquet de 34 cm de diámetro, se deberá comprar material. Calculen los m2 necesarios para hacer 15 pelotas. 6. Calculen la superficie total de los siguientes cuerpos:

30 mm

30 mm

1,6 dm 15 cm

0,2 dm

60 mm 0,7 dm

5 cm 60 mm

149

Capítulo 7 INTEGRANDO LAS TIC Para hacer un recorrido por todo lo trabajado hasta ahora y ver cómo estos conocimientos se aplican a la vida cotidiana, busquen "Horizontes Matemática" en el portal de Educar.

Volumen El volumen de una figura es la medida de cuánto espacio tridimensional ocupa. También, podemos pensarlo como cuánta agua (o aire, arena, etc.) podría contener si se llenara por completo. Para encontrar el volumen de un cuerpo, debemos hallar la superficie de la base y multiplicarlo por la altura.

Pero si el cuerpo termina en punta, como es el caso de las pirámides o conos:

Como verán, según el cuerpo que tengamos, deberemos aplicar diferentes fórmulas para calcular la superficie de la base. Cubo de 5 cm de arista La base es un cuadrado de 5 cm de lado. Superficie de la base = 5 cm . 5 cm = 25 cm2 Volumen = superficie de la base . altura = 25 cm2 . 5cm = 125 cm3

Cilindro de 3 cm de radio y 10 cm de altura La base es una circunferencia de 3 cm de radio. Superficie de la base = ʌ .r2 = 3,14 . (3 cm)2 = 28,26 cm2 Volumen = superficie de la base . altura = 28,26 cm2 . 10 cm = 282,6 cm3 150

Cuerpos geométricos: superficie y volumen

En el caso de la esfera, no podemos utilizar las fórmulas vistas ya que no tiene base ni altura.

r

El siguiente cuadro presenta las fórmulas de área y volumen de diferentes cuerpos.

Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos Figura

Área

Esquema

Volumen

r Cilindro

h

Atotal = 2 ʌ r (h + r)

V = ʌ r2 . h

Atotal = 4 ʌ r2

4 ʌ r3 V =— 3

r Esfera

r

Cono

h

Base

h Pirámide Base

Atotal = ʌ r2 + ʌr g

ʌ . r2. h V = ————— 3

A = 6 a2

V = a3

r

a

Cubo

Prisma

g

h

A = (Perímetro de la base . h) + 2 . Área base V = Área base . h

Ap. lat A = Perímetro de la base . Ap. lat + Área base 2

V = Área base . h 3

151

Capítulo 7 1. Felipe está construyendo conos para vender con papas fritas. Si tienen una altura de 25 cm y la base un diámetro de 10 cm, calculen el volumen que puede contener cada uno de los conos. 2. Calculen cuál es el diámetro de los envases de la derecha, sabiendo que pueden contener 350 cm3 de jugo. 3. Las latas de gaseosa son de aproximadamente 355 cm3, si el radio de la base es de 3,5 cm, calculen su altura. 4. Matías está construyendo una pileta en el fondo de su casa. Para eso, hará un pozo de 3,5 m de largo por 2 m de ancho y 2,5 m de profundidad. Calculen la cantidad de volquetes que deberá contratar para retirar la tierra, sabiendo que cada uno tiene una altura de 1,20 m, 1 m de ancho y 1,50 m de largo.

PARA SABER MÁS 1

2

26 ml 22 ml

Hay cuerpos que no tienen una forma definida; por lo tanto, ninguna de las fórmulas vistas nos son de utilidad. Para calcular el volumen de estos cuerpos, podemos recurrir a la experiencia de Arquímedes. ¿Se acuerdan? ¡El de las coronas! Una de las consecuencias de sus teorías plantea que el volumen de líquido desalojado es igual al volumen del cuerpo sumergido.

En la imagen, podemos ver que los tubos pasaron de marcar 22 ml a 26 ml. Esto sucede porque el cuerpo que introdujimos desplazó el líquido 4 ml al agregar un objeto cuyo volumen es de 4 ml. Recordemos que 1000 ml = 1 dm3 entonces 4 ml = 0,004 dm3

5. Calculen el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 24 cm de lado y su arista lateral es de 37 cm. 6. Calculen el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de 12 cm. 7. Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm. Queremos llenarlo hasta los

152

de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?

Cuerpos geométricos: superficie y volumen

15 cm

8. Hallen el volumen de este prisma cuyas bases son triángulos equiláteros.

9 cm

9. Calculen el volumen de los siguientes cuerpos: a.

b. 8 cm

25 cm 25 cm

10

cm

10. El suelo de un depósito cilíndrico tiene una superficie de 50 m2. El agua que contiene alcanza 2,5 metros. Para vaciarlo, se utiliza una bomba que extrae 10 hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?

¡A EXPERIMENTAR! Sigan los siguientes pasos: a. Construyan una pirámide y un prisma que tengan la misma base y altura. b. Eliminen una de las bases del prisma y la de la pirámide. c. Llenen con arena bien fina y seca la pirámide, y viertan el contenido de arena en el prisma. Repitan este paso tantas veces como sea necesario para llenar el prisma. d. Respondan: • ¿Cuántas veces fue necesario llenar la pirámide, para completar el prisma? • ¿Qué relación hay entre el volumen del prisma y la pirámide? Pueden repetir esta experiencia con el cilindro y el cono.

153

Capítulo 7 ACTIVIDADES INTEGRADORAS 1. Nombren y calculen el volumen de los siguientes cuerpos. b.

12 cm

a.

c.

16 cm

7 cm

8 cm

5 cm 8 cm

2. Calculen el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado y su arista lateral es de 29 cm. 3. Una pileta tiene forma de prisma rectangular de 25 por 15 por 3 metros. ¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenarla hasta las partes de su volumen? 4. Para asfaltar una cuadra, se utilizan 2,5 toneladas de material. El ancho de la calle es de 4 m y se sabe que 1 m3 de material pesa 2000 kg. ¿Qué altura en cm tendrá la capa de asfalto que se va a extender? 5. En la caja de la figura, se quieren guardar dos esferas macizas de 10 cm de radio, calculen el volumen que queda libre en la caja.

20 cm 30 cm 50 cm

6. Un depósito cilíndrico tiene un volumen de 1695,60 m3 y el radio de su base es de 6 m. Calculen la altura del mismo. 7. Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen de 125 cm3. ¿Cuál de ellos tiene mayor superficie? 8. Si el área de un tetraedro es de 40 cm2, ¿cuál es el área de su base? 9. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F). Justifiquen sus respuestas. a. Los cilindros son poliedros. b. Un prisma recto regular pentagonal tiene siete caras. c. El menor número de caras que concurren en un poliedro en el vértice, es tres. d. En cualquier poliedro, todas las caras son iguales. 10. Una fábrica envasa leche en cartones de Tetra Brik cuyas medidas son 16,5 cm por 9,5 cm por 6 cm. Quiere hacer paquetes de 12 envases. ¿Cómo debería hacerlo para que el gasto de plástico para envolverlo sea el mínimo? 154

Capítulo 8

Números irracionales

Capítulo 8 Recordando lo aprendido 1. Calculen el perímetro de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 16 y 12 cm.

3m

2. Calculen la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared, si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de la misma.

70 cm

3. La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros. Si Nehuen quiere comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96 por 79 cm, ¿de cuántas pulgadas puede ser? 4. Resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen a qué conjunto numérico pertenecen los resultados. a. 3 . x + 10 = 13

b. 5 . (x - 10) = -60

c. 7 . x - 8 - 5 . x = 9

d. 2 . x2 + 12 = 22

5. Expresen los siguientes números como producto de sus factores primos. a. 320

b. 400

c. 338

6. Indiquen si las siguientes igualdades son correctas. En caso de no serlo, corregirlas. a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3

b. 25 = (23)2

c. 57 = 52 . 52 . 52 . 5

d. 310 = (35)2

e. 75 = 72 . 72 . 70

7. Completen las siguientes oraciones con los ejemplos correspondientes sobre las propiedades de la radicación. a. La radicación es distributiva con respecto a la …………… y ………………… Por ejemplo: √4 . 9 = √

.√

√... . ... = √36 . √4 b. En la ………………… y ……………….., no se puede aplicar la propiedad distributiva, ni en la radicación ni la …………. √(a + b) ≠ √ a + √b

(a + b)c ≠ ac + c

c. Ahora expresen la resta en lenguaje simbólico.

156

Números irracionales 8. Resuelvan los siguientes cálculos. a. 5 . 10

d. 4,2 . 104

g. 1,7 . 108

j. 4,02 . 10

b. 5 . 102

e. 8 . 10-1

h. 4,6 . 10-3

k. 3 . 10-2

c. 7 . 103

f. 1,5 . 10-2

i. 3 . 106

l. 4,6 . 103

Noción de números irracionales En capítulos anteriores, trabajamos con el conjunto de los naturales, enteros y racionales. A pesar de ser conjuntos con elementos infinitos, sigue habiendo números que no pertenecen a ninguno de ellos. 1. Resuelvan la siguiente ecuación y respondan. 5 . x2 - 2 = 13 a. ¿Cuál es el valor de x? b. ¿A qué conjunto numérico pertenece? c. ¿Se puede expresar el resultado como fracción? ¿Por qué? Nos encontramos aquí con que el valor de x es √3, si calculamos esta raíz con una calculadora no nos alcanzarían las páginas de este libro para expresar todas sus cifras decimales. 1,73205080… Una particularidad de sus cifras es que no son periódicas. ¿Podemos decir que √3 pertenece al conjunto de los racionales? Los números con infinitas cifras decimales no periódicas no se pueden expresar como fracción. En consecuencia, no pertenecen al conjunto de los racionales. Los números irracionales son aquellos números que no se pueden expresar como fracción por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Muchos números irracionales surgen al resolver raíces. Para trabajar con mayor exactitud, se dejan expresadas y no se resuelven. Por ejemplo: x2 = 2 x = √2 Así, se deja expresado, ya que necesitaríamos una calculadora para poder resolverlo y para escribirlo necesitaríamos cortarlo (recuerden que tiene infinitas cifras decimales).

157

Capítulo 8 ¡A PENSAR! 1. Resuelvan e indiquen la respuesta correcta. a. La diagonal de un cuadrado de área 1 cm2 mide... 1 cm

1 dm

√2 cm

2

√3 cm

b. La diagonal de un rectángulo de lados 2 y 4 cm mide... √20 cm

√0,3 dm

Ambas respuestas

Ninguna de las anteriores

2. Calculen la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden √2 y √3 . PARA SABER MÁS Irracionales famosos. El número de oro ࢥ (phi) Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los folículos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (ࢥ2 = 2,61803398874988…) y su inverso (1/ࢥ = 0,61803398874988…) tienen las mismas infinitas cifras decimales, que el propio número. Para aprender un poco más sobre estos números, busquen “El número de Oro (1,61803398874988...)” en el canal de YouTube de Academia Play.

ʌ e

Pi (ʌ) es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Es la proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Los primeros son estos: 3,1415926535897932384626433832795... El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son: 2,7182818284590452353602874713527...

158

ࢥ

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son: 1,61803398874989484820...

¥

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3 = 1,7320508075688772935274463415059... √99 = 9,949874371066199547344798100121...

Números irracionales 3. Inventen cinco números irracionales, explicando la regla de formación de las cifras decimales. Ejemplo: 4,1357911131517192123………… sucesión de los números impares a.

b.

c.

d.

e.

4. Completen indicando entre qué números enteros se encuentran los siguientes irracionales. a. ...... √7 ......

c. ...... √28 ......

e. ......3√15 ......

g. ...... -√2 ......

b. ...... -√105 ......

d. ...... √75 ......

f. ......3√100 ......

h. ...... -√200 ......

5. Indiquen Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. Justifiquen sus respuestas. a. √(5 + 9) = √(5) + √9

d. √27 = √23 . 23 . 2

b. √8 = √23

e. √5 . 8 = √5 . √8

c. √29 = 25

f. √3 + √6 = √9

3

4

3

3

3

3

3

3

Irracionales en la recta Como todos los números, los números irracionales también tienen un lugar en la recta. Pero, ¿cómo hacemos si tienen infinitas cifras decimales? Sabemos que √5 va a estar entre el 2 y el 3, pero no podemos determinar con exactitud dónde, si más cerca del 2 o del 3 o justo en el medio. Sin embargo, con la ayuda del Teorema de Pitágoras, es posible representar geométricamente muchos números irracionales como √2, √3, √7, √10, etcétera. Paso 1:

Paso 2: x2 = 12 + 12

Construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de dimensiones 1 cm de ancho 1 cm de alto, y llamamos x a la hipotenusa.

x2 = 2 x = √2

Paso 3: Ya sabemos que la hipotenusa tiene como valor √2. Luego, con la ayuda de un compás, podemos representar en la recta dicho valor de la siguiente manera. Con la punta del compás en el punto cero tomen la dimensión de la hipotenusa, recta OB, y tracen un arco de circunferencia. El punto de corte del arco con la recta numérica será el valor de √2 (longitud desde el punto cero al punto P).

B 1 x

1 P

0

1

√2

2

Este procedimiento nos permite ubicar los irracionales que surgen de resolver raíces cuadradas, no así los que se originan a partir de raíces de otro índice. 159

Capítulo 8 1. Ubiquen los siguientes números en la recta. -3 ; √5 ; 5 ; 0,5 ; √13 ; -√2 2. En una misma recta, ubiquen los siguientes pares de números. a. √5 y √20

b. √18 y √8

c. -√10 y √10

d. √13 y 2 √13

e. √29 y

√29

3. Completen los pasos faltantes en cada caso. a. √8 = √2 = √2 . 2 = √22 . √ b. √50 = √2 ... . ... = √ .√ c. √32 = √

=√

.

.

= ... . √2

=5 .√ =√

.√

.√

= ………. √2

4. A partir de lo trabajado en la actividad anterior, en parejas, realicen un tutorial explicando los pasos a seguir para encontrar raíces equivalentes (un mismo número irracional expresado de dos formas diferentes).

PARA SABER MÁS Extraer factores de una raíz, nos permite encontrar expresiones equivalentes. Vimos que √8 se puede expresar como 2√2. De esta manera, logramos encontrar formas más sencillas, por ejemplo: 3

√3000

1. Factoreamos el 3000. 3000 = 23 . 53 . 3 2. Expresamos la raíz como producto de sus factores primos. 3

3

√3000 = √23 . 53 . 3

3. Al ser una multiplicación, podemos aplicar la propiedad distributiva. 3

3

3

3

√3000 = √23 . √53 . √3

4. Simplificamos la raíz con el exponente cuando sea posible. 3

3

√3000 = 2 . 5 . √3 3

3

√3000 = 10 . √3

160

Números irracionales 5. Extraigan factores, siempre que sea posible. a. √24

b. √80

3

2

c. 7 . √32

d. √192

3

e.

5

3

√100

6. Verifiquen con la calculadora e indiquen cuál de las siguientes igualdades son correctas. a. √128 = 11,3137085… b. √245 = 6,25 3

d.

.√301 = 7,444351424…

e.

. √21 = 4,119620427…

7

c. √1042 = 4,013964653… 5

Aproximación En capítulos anteriores, hemos visto que para calcular el volumen de un cilindro debemos hallar la superficie de la base y multiplicarlo por su altura. Sabemos también que la base es una circunferencia y que la fórmula para encontrar su superficie es ʌ . r2. Pero deberíamos multiplicar todo ese número (ʌ) por el cuadrado del radio. Esto sería imposible. Por eso, para algunos cálculos, los números irracionales se pueden aproximar. En otras áreas como física o química, también se suelen hacer aproximaciones, todo dependerá de cuan exactos seamos con el resultado. Imaginemos que un objeto de 10,1 kg, puede tener dos destinos diferentes: ir en una valija en un micro o formar parte de una nave espacial. ¿Será lo mismo decir que pesa 10 kg y despreciar los 100 gramos? ¿Por qué?

Truncar implica cortar el número en la cifra indicada, sin tener en cuenta las cifras siguientes.

Truncamiento Aproximar

El redondeo consiste en cortar el número en la cifra indicada, pero según la cifra siguiente se deberá o no sumar un número.

Redondeo

Ejemplo

ʌ = 3,141592653…

ʌ

PARA SABER MÁS

3,14159 265358979323

Cada cifra según el lugar que ocupa recibe un nombre.

3,128754315...

84626433832795 028841971693993 751058209749445 9230781640628620 899862803482534211 7067982148086513282306

Enteros

Milésimos Centésimos Décimos

161

Capítulo 8 Tomando el ejemplo del número 3,128754315: Truncado 3 3,1 3,12 3,128

Enteros Décimos Centésimos Milésimos

Redondeado 3 3,1 3,13 3,129

Para redondear, debemos ver la cifra siguiente. Si es 5 o mayor, se le agrega uno. Si es 4 o menor, queda igual.

1. Completen el siguiente cuadro.

Número

Truncado a los enteros

Truncado a los décimos

Truncado a los centésimos

Redondear a los enteros

Redondear a los decimos

Redondear a los centésimos

√2 1,9 2,3546 0,3720 1,3499 √5 2. Resuelvan las siguientes ecuaciones y expresen el resultado redondeando a los centésimos. a. 15x + 10 = 42

b. (3x + 2) . 7 = 5x - 1

c. √x - 3 + 8 = 3

3. Calculen redondeando a los décimos el volumen de un cono cuyo radio es de 15 cm y su altura de 11 cm. 4. Indiquen, en cada caso, qué redondeo se aplicó. a. 3,25184 = 3,25

b. 0,14592 = 0,146

c. 4,62458 = 5

5. Dos alumnos decidieron aproximar de diferentes formas el número 4,294. Matías redondeó a los décimos y Felipe truncó a los décimos. ¿Cuál de los dos trabajó con mayor exactitud? PARA SABER MÁS Al aproximar y no trabajar con el número real, siempre cometemos un error.

Es importante controlar el error que estamos dispuestos a cometer con una aproximación. La diferencia entre un error absoluto y el relativo, es que el segundo tiene en cuenta el tamaño del número en cuestión. No es lo mismo cometer un error de centímetros para un valor expresado en kilómetros que para un valor expresado en metros. 162

Números irracionales 6. Calculen el error absoluto que cometieron Matías y Felipe en la actividad 5. 7. Hallen lo pedido en cada caso. a. El valor exacto, sabiendo que el error cometido es de 0,01 y el valor aproximado de 3,45. b. El valor exacto, si el error relativo es de 0,000635 y el absoluto de 0,002. c. El error absoluto, si el valor exacto es 32,254 y el error relativo de 0,0000144. d. El valor aproximado, si el valor exacto es de 1,4587 y el error absoluto de 0,0003. 8. Completen la tabla con las masas atómicas de la tabla periódica de los elementos (número debajo del nombre) redondeadas a los enteros. Elemento

Masa atómica

Aluminio Cloro Hidrógeno Sodio Oro Oxígeno

Notación científica Miremos nuevamente la tabla que completamos en la actividad 8. En ella, encontramos, por ejemplo, que la masa atómica del oxígeno es 16. ¿Podría un átomo de oxígeno pesar 16 gramos? Si la fórmula de una molécula de agua es H2O, esto quiere decir que está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Por lo tanto, su masa molecular es 16 + 1 + 1 = 18 (16 del oxígeno y 1 de cada hidrógeno). Si cada molécula de agua tuviera un peso de 18 gramos, imaginen una lluvia, cada gota, ¿cuánto pesaría? Como los elementos químicos son tan pequeños, no se trabaja con las unidades clásicas, se usa una unidad de cantidad llamada mol. Un mol equivale a 602.000.000.000.000.000.000.000 unidades, de la misma forma que una decena equivale a 10 y una centena a 100.

6,02 . 1023 Trabajar con estos números tan grandes no es fácil y la calculadora no suele tener un display que admita tantas cifras. Por esta razón, se utiliza el siguiente método: se multiplica por una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo a un número mayor a uno y menor a 10.

163

Capítulo 8 Ejemplo: 602.000.000.000.000.000.000.000 = 6,02 . 1023 0,000000000000000000000602 = 6,02 . 10-23 La forma general de un número en notación científica es:

a . 10n

donde n es un entero y 1< a o (toma un valor positivo) será creciente. a < 0 (toma valor negativo) será decreciente.

Proporcionalidad Las funciones lineales, que poseen ordenada cero, esto quiere decir que pasan por el origen de coordenadas, reciben el nombre de funciones de proporcionalidad directa. Su fórmula es:

y=a.x+0

190

y=a.x

Funciones Por ejemplo:

y

y=3.x 4

x -2 -1 0 1 2

y -6 -3 0 3 6

2 -2

1

-1

2

x

-2 -4

Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y) son directamente proporcionales, si el cociente (división) entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante.

y/x=k -6 : (-2) = 3

-3 : (-1) = 3

3:1=3

6 : 2 = 3 en nuestro ejemplo k = 3

La constante de proporcionalidad es la pendiente de la función.

y=a.x

o

y=k.x

1. Indiquen si las siguientes relaciones pueden corresponder a funciones de proporcionalidad directa. Justifiquen con gráficos o tablas. a. Los kilómetros recorridos y el tiempo que dura un viaje. b. La medida del lado de un cuadrado y su perímetro. c. El tiempo que dura un viaje y la velocidad a la que se viaja. d. La cantidad de obreros y los días que se tarda en terminar una obra. e. La cantidad de alimento que se debe comprar y la cantidad de perros para alimentar. f. La cantidad de días que dura la comida y la cantidad de perros que se alimentan. g. La temperatura y las horas del día. h. El dinero recaudado y la cantidad de personas que asisten a una obra de teatro. 2. Para las situaciones del punto anterior que sean de proporcionalidad directa, inventen una situación problemática y den su fórmula. Cantidad Huevos 3. Felipe utiliza 20 huevos para hacer cuatro tortillas iguales. de tortillas ¿Cuántos huevos necesita para hacer seis tortillas? ¿Y para ha1 cer dos? 2 3 4 5 6 191

Capítulo 9 a. Indiquen cuál es la variable dependiente y cuál la independiente. b. ¿Es una función de proporcionalidad directa? ¿Por qué? c. Hallen la constante de proporcionalidad y den la fórmula. 4. Identifiquen cuáles de estas tablas corresponden a funciones de proporcionalidad directa y completen lo pedido. x

y

x

y

x

y

-2

1

4

-8

-2

-3

6

-12

1

1

-2

5

-2

4

4

-1 2

-1

3

6

K = ……

K = ……

K = ……

Fórmula: y = ……

Fórmula: y = ……

Fórmula: y = ……

Las variables pueden relacionarse de manera inversa. Esto quiere decir que mientras una aumenta su valor, la otra lo disminuye, pero en forma proporcional. Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y) son inversamente proporcionales si el producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante. En este caso, ya no obtenemos al graficar una recta, si no que se determina una curva llamada hipérbola. Su fórmula tiene la forma: k es la constante de proporcionalidad y se obtiene multiplicando las variables (x . y). Ejemplo: x

y

y

50

1 50 2 25 4 12,5 5 10 10 5

30

10 1

50 . 1 = 50 192

25 . 2 = 50

12,5 . 4 = 50

2

3

10 . 5 = 50

4

5

x

5 . 10 = 50

k = 50 y =

Funciones 5. Una empresa empaqueta azúcar en bolsas de 1, de azúcar.

y

kg. Si se tiene una producción de 200 kg

a. ¿Cuántos paquetes se podrían hacer de cada medida? b. La cantidad de paquetes y el peso de cada uno, ¿qué tipo de proporcionalidad es? c. Realicen un gráfico y encuentren una fórmula que relacione las variables. 6. Nehuen tiene una empresa de transporte. Con tres camiones iguales, tendrán que hacer seis viajes para transportar una cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. Si una mañana dispone de tan solo dos camiones, ¿cuántos viajes tendrán que hacer los camiones? 7. Un rectángulo tiene 10 metros de base y 7 metros de altura. Otro rectángulo de igual área tiene 4 metros de base, ¿cuál será la medida de su altura? Realicen una tabla con cuatro combinaciones de base y altura, pero todos de igual área. ¿Qué tipo de proporcionalidad es? ¿Por qué? 8. En física, la fórmula de velocidad es:

a. Completen la tabla con la velocidad correspondiente, según el tiempo que duró cada viaje. Sabiendo que la distancia recorrida es siempre de 100 km. Tiempo Velocidad

1h

2h

4h

5h

10 h

100 km/h

b. Realicen un gráfico con los datos obtenidos en la tabla. c. ¿Qué tipo de relación hay entre las variables tiempo y velocidad? 9. Analicen la siguiente afirmación y justifiquen la veracidad de la misma. En un número racional al aumentar el valor del denominador, la fracción se hace más pequeña. 10. Completen la tabla sabiendo que las variables se relacionan de forma inversamente proporcional. x

-8

4

y

2

1

3

24

12

Completen: K = ……

Fórmula: y = …….

Gráficos estadísticos Cuando tenemos mucha información para analizar, luego de hacer una encuesta o relevamientos de datos, es muy útil organizarla y volcarla en gráficos. Existe una gran cantidad de gráficos para representar datos estadísticos. 193

Capítulo 9 Gráficos de barras Está constituido por barras rectangulares de igual ancho, conservando la misma distancia de separación entre sí. Para elaborarlo, debemos utilizar un sistema de coordenadas cartesianas. Construimos los rectángulos tomando como base al eje de las abscisas, y las alturas quedarán determinadas por las diferentes frecuencias que presentan las variables en estudio. Ejemplo: Se hizo una encuesta en los segundos años sobre el deporte preferido de los alumnos, obteniéndose los siguientes datos. Cant. de alumnos

Fútbol

15 alumnos

Natación

5 alumnos

Vóley

3 alumnos

Patín

10 alumnos

Otros deportes

7 alumnos

15

5 FÚTBOL NATACIÓN VOLEY

PATÍN

OTRO

Deportes

Gráfico de sectores circulares Este tipo también es conocido como gráfico de torta, debido a su forma característica de una circunferencia dividida en partes. Se usa para representar variables cualitativas en porcentaje o cifras absolutas cuando el número de ítems no es superior a cinco. Para calcular cada porción de la torta, se aplica la proporcionalidad directa, a mayor porcentaje, mayor ángulo central. Por ejemplo:

180°

100%

100% le corresponde un ángulo central de 360°.

194

%

100

Ángulo

360°

10

50%

Al 50% un ángulo central de 180°.

75

25

15

Funciones Gráfico de líneas o tendencias Se utiliza para mostrar el comportamiento de una variable cuantitativa a través del tiempo. Ejemplo: El gráfico muestra la cantidad (expresada en millones) de autos vendidos en una determinada región entre los años 2004 y 2007.

y (millones) y 5 4 3 2 1 2004

2005

2006

2007 x (años)

1. Realicen una encuesta entre 30 compañeros de diferentes cursos, consultándolos sobre el uso de cinturón de seguridad. Lo uso

Siempre

A veces

Nunca

Realicen una tabla de frecuencia, luego calculen la moda y hagan un gráfico de barras que muestre la situación real. 2. Una de las causas de accidentes de tránsito es el consumo indebido de alcohol que genera, pérdida de los reflejos y desinhibición, entre otras cosas, lo que hace que el conductor sienta una falsa sensación de seguridad, que lo lleva a ser imprudente en sus decisiones tras el volante. El siguiente gráfico refleja los porcentajes obtenidos en los controles a conductores particulares por rango. Recordemos que por rango entendemos los intervalos de graduación alcohólica, que son cuatro:

7%

• 0,01 g/L a 0,1 g/L • 0,11 g/L a 0,25 g/L • 0,26 g/L a 0,5 g/L • más de 0,5 g/L

7% 0

7%

0,01 - 0,1

4%

75%

0,11 - 0,25 0,26 - 0,5 > 0,5

a. ¿Qué porcentaje de personas dieron positivo al test? b. En total, se realizaron 6622 controles. Indiquen qué cantidad de personas superaron el 0,26 g/L de alcohol en sangre. La ley vigente establece como límite permitido para manejar un vehículo particular 0,5 gramos de alcohol por litro de sangre, para motociclistas 0,2 y para conductores profesionales el límite es 0 gramo por litro. 195

Capítulo 9 c. ¿Qué cantidad de personas superaron el límite de alcohol permitido en sangre? El alcohol afecta la capacidad de respuesta. Por ejemplo: ¿cuál es la capacidad de reacción a 90 km/h? Un conductor sin ingesta de alcohol desde que percibe el peligro hasta frenar por completo el vehículo, recorre 49,5 metros; un conductor con una ingesta de alcohol de 0,8 gramos lo hace en 82,5 metros. d. Podemos pensar que la capacidad de reacción y los g/L de alcohol en sangre, son una función de proporcionalidad inversa. ¿Por qué?

N° alumnos

3. En el último examen de Matemática, se obtuvieron los siguientes resultados: 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5 6 Nota

7

8

9

10

a. ¿Qué cantidad de alumnos rindieron la evaluación? b. ¿Cuántos obtuvieron una calificación mayor o igual a 7? c. ¿Cuántas calificaciones fueron menor a 4? d. ¿Es correcto decir que más del 50% de los alumnos aprobaron el examen? 4. Realicen una votación en el curso para elegir al mejor compañero. Luego, completen la tabla y grafiquen los resultados obtenidos. Nombre

Frecuencia

%

INTEGRANDO LAS TIC Excel es una planilla de cálculo de Microsoft. Este programa permite hacer gráficos estadísticos de una forma muy sencilla. Busquen en Ayuda cómo "Crear un gráfico de principio a fin".

196

Funciones ACTIVIDADES INTEGRADORAS 1. Para obtener el certificado de inglés, se necesita obtener 7 de cada 10 respuestas correctas en un test de 243 preguntas. Calculen el número mínimo de preguntas correctas necesarias para obtener el certificado. 2. Al abrir una manguera, el nivel del depósito de agua desciende 20 cm cada 5 minutos. Calculen el tiempo que tarda en vaciarse el depósito si su nivel máximo es de 2,3 metros. Realicen un gráfico. 3. Cinco mangueras vierten agua de forma constante llenando un depósito en 6 horas. a. Si usamos seis mangueras para llenar ese depósito, ¿cuánto tiempo tardarán en llenarlo? b. Si solo disponemos de una manguera, ¿cuánto tiempo llevará llenarlo? 4. Dada la función y = -4 . x + 16 a. Calculen: f(2) = …

f(0) = …

f(-2) = …

f(x) = 0

f(x) = 12

b. Grafiquen. c. Completen: Raíz = ……

Ordenada = ……

Pendiente = ……

d. Den la fórmula de una función lineal paralela a la dada cuya ordenada sea -8. e. Escriban la fórmula de una función perpendicular, que pase por el origen de coordenadas. 5. Mailén alquila carpas para campamentos, cobra $100 por carpa, por día y $500 por el flete de todas las carpas. Hay carpas para cuatro personas y otras para seis personas. a. Al campamento de segundo año, que será en la localidad de Tandil, y durará cuatro días asistirán 23 alumnos. Calculen cuanto deberán cobrarles como mínimo por el alquiler y fletes de las carpas. b. Si el alquiler del micro es de $12.000 y, por alumno, para comida por día se calcula un gasto de $180, indiquen cuánto deberá pagar cada alumno para cubrir los gastos de transporte, comida y alquiler de carpas. 6. Encuentren la función que a cada número real le hace corresponder el siguiente de su doble. Grafiquen. 7. Dada la función f(x) = -4: a. Grafiquen.

197

Capítulo 9 b. Respondan Verdadero (V) o Falso (F). Justifiquen sus respuestas. • Es una función decreciente. • Posee ordenada al origen en y = -4. • No posee raíz. • Su pendiente es nula. 8. A partir del siguiente gráfico, completen lo pedido:

y 2 1 -3

-2

-1

1

2

3

4

x

-1 -2

Dominio =

Imagen =

Raíces =

Ordenada =

9. En las siguientes funciones lineales “desordenadas”, encuentren la pendiente y ordenada al origen. a. 4 . x + 2y = 6 b. 2 - y = c.

.x

.y-x=8

10. Analicen las siguientes afirmaciones y justifíquenlas. (Recuerden hacer un gráfico como ejemplo). a. Las gráficas que son rectas paralelas al eje ‘y’ no son funciones. b. El punto de intersección de una función con el eje y se denomina raíz. c. Dos funciones con igual pendiente son perpendiculares. d. Una función con pendiente negativa es decreciente. e. Para que dos funciones sean perpendiculares, es suficiente con que sus pendientes sean opuestas. f. Dos funciones son paralelas si tienen igual ordenada.

198

Capítulo 10

Trabajos integradores

Capítulo 10 Un cumpleaños especial Se acerca fin de año y el cumpleaños de Abril. Su mamá la ayudará a organizar la fiesta. Toman lápiz, papel y comienzan a pensar. Abril arma un grupo de WhatsApp. Consulta a sus ex compañeros de la escuela primaria y a los actuales del secundario, sobre qué día podrían asistir, viernes, sábado o domingo, pregunta también sobre las preferencias respecto de la comida: hamburguesas, panchos o sándwiches. Las respuestas fueron: 15 prefirieron el viernes, 12 el sábado, 7 el domingo y 3 no podrán asistir ese fin de semana. Veinte de los que irán dijeron que prefieren hamburguesas; diez, sándwiches y el resto, panchos. 1. Realicen un gráfico de barras que muestre la decisión que tomaron respecto del día del festejo. 2. Calculen la moda para hacer la lista de las compras. Camila quiere ayudar con la decoración, toma medidas, piensa y hace el siguiente plano para mostrarle a su prima.

Banderines Quincho

Ventanal 3m

3m

5m

Luces

9m

Deciden colocar guirnaldas de luces en los ventanales y banderines en todo el quincho. 3. Calculen: • La longitud de las guirnaldas. • La medida de los triángulos equiláteros que forman los banderines para que entren justo en el largo y ancho del lugar. 4. Saben que las guirnaldas se venden a $40 el metro. Pagarán con $500. Para calcular el dinero sobrante, completen: 500 - (___ . ____) = 5. Piensan que necesitarán 18 cartulinas. Cuando van a la librería, encuentran estas ofertas: • Indiquen cuánto gastarán y escriban el cálculo del vuelto, considerando que abonan con $200. 200 - ( ____________ ) = 200

OFERTA 1 cartulina 50 $

8

5 cartulinas $

40

Trabajos integradores 6. También, deciden hacer triángulos equiláteros de 10 cm de lado. Las hojas de cartulina miden 85 cm de largo y 55 cm de ancho. Calculen cuántos triángulos podrán cortar por cartulina y cuál será el desperdicio por hoja. 7. La mamá de Abril sale con $500 y compra cuatro de las ofertas de las cartulinas y tres marcadores. Regresa con $190. Planteen la ecuación que les permitirá calcular el costo de cada marcador. 8. Para comprar las bebidas, Christian, el papá, estimó que se debe comprar medio litro de bebida por invitado. Si compra gaseosas de dos litros y cuarto: a. Calculen cuántas botellas deberán comprar para los 34 invitados. b. ¿Cuánto gastarán si cada botella cuesta $98 y hacen la compra un día que el supermercado ofrece la segunda unidad con un descuento del 70%. 9. Si compran vasos descartables de 180 cm3, ¿cuántos podrán llenar con cada botella? 10. Felipe, el hermano mayor, calculó que se gastarán $50 por invitado más $500 de gastos fijos para decorar y otros detalles. a. Piensen cuánto gastarán si al cumpleaños va un invitado. ¿Y si van dos? ¿Y si son tres? b. Escriban la fórmula que les permita calcular el gasto g(x) en función de la cantidad de invitados que asistan a la fiesta. c. Grafiquen. d. Escriban y resuelvan la inecuación que les permita saber cuál será el máximo de amigos que podrá invitar Abril, si la madre le indica que el gasto no puede superar los $3000.

Se acercan las vacaciones Sergio comienza a hacer cuentas para organizar las vacaciones en familia. Piensa en distintos destinos. Él sabe que su auto consume 10 litros de nafta cada 98 km. 1. Calculen cuántos litros consumirá para ir y volver, si su destino es Bariloche, que está a 860 km de su casa. 2. Organiza el viaje para hacerlo en etapas. Hace la cuarta parte del camino por la mañana, luego de almorzar, piensa hacer dos tercios del resto, para a estirar las piernas y recorre el tramo final. Calculen cuántos kilómetros hará en cada etapa. 3. Si la velocidad es la relación entre la distancia y el tiempo: a. Calculen a qué velocidad viajaron si demoraron 12 horas en llegar. b. ¿Es la velocidad a la que circularon? ¿Por qué? 4. Matías, su hijo, averiguó que para que el auto no consuma demasiada nafta, la carga máxima no debe superar los 900 kg. Sabiendo que viajan los cuatro integrantes de la familia y, en promedio, pesan 75 kg cada uno, planteen la inecuación que les permita calcular el peso máximo que podrán destinar al equipaje. 201

Capítulo 10 5. Escriban en notación científica la distancia que recorrerán entre ida y vuelta, expresada en milímetros. 6. La casa que alquilaron para las vacaciones tiene un parque con pileta.

a. La superficie de la casa.

PILETA

CASA

Si la casa ocupa la quinta parte del terreno y la pileta la cuarta parte del parque, calculen:

8,6 m

b. La superficie de la pileta.

35 m

c. ¿Qué parte del terreno ocupa la pileta?

7. La pileta tiene una profundidad de un metro y medio. Calculen el volumen para saber cuántos litros de cloro será necesario ponerle, si por cada 8 m3 hay que echarle un litro. 8. Un día de lluvia Matías y Camila fueron al salón de juegos, llevaron $550, compraron 20 fichas de $15 y 20 fichas de $12. Escriban el cálculo que permita saber el vuelto con el que regresaron. 550 - (______________) = 9. Matías sabe que hay una oferta donde el costo por recargar la tarjeta en los juegos es de $30 y cada fichas se cobra a $10. a. ¿Cuánto gastan si solo juegan una vez? ¿Y dos? b. Escriban la fórmula que les permita calcular el gasto g(x) en función de las fichas compradas. c. Grafiquen la situación. d. Con el presupuesto que llevaron, ¿a cuántos juegos podrán ir? 10. Camila anotó las temperaturas de las 7 de la mañana durante los 10 días de su estadía en Bariloche. Su registro decía: -5; 4; 2; -2; 1; -2; 3; -2; 2; 0 a. Calculen la moda, la media y la mediana de este registro. b. Realicen un gráfico de las temperaturas en función de los días transcurridos.

Integrando desafíos 1. Completen: Cada casilla es la suma de las dos inferiores.

8 — 6 7 — 12 1 — 4 202

17 — 12 1 — 3

1 — 2

2 — 3

3 — 6 3 — 4

1 — 6

9 — 6 1 — 2

5 — 6

Trabajos integradores 2. Descubran cuál es el número que sigue en las siguientes sucesiones. ¿Cómo lo pudieron obtener? a.

b.

...

...

3. Encuentren lo pedido en cada caso. a. Tres números consecutivos, cuya suma sea 84. b. Tres números impares consecutivos, cuya suma sea 99. c. La medida del lado del cuadrado, sabiendo que si se duplica su medida, el perímetro aumenta 36 cm. d. Las edades de tres personas, sabiendo que suman 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. 4. Unan con flechas los cálculos con su resultado: a. 1 - 1 b. (-1) . (-1) 1

c. (-1) : (-1)

0

d. (-1) . (-1) . (-1)

-3

e. -1 + 0

-1

f. 1 - 0

-2

g. -1 - 1 - 1 h. 0 - 1

5. Obtengan el resultado de los cálculos y ecuaciones. Luego, búsquenlos en la sopa numérica, pueden estar en forma vertical, horizontal o en diagonal. a. (2 . 7 - 3) . 5 + 53 . 12 - (10 : 2) = b. 6 . √25 - √4 + 23 - 50 =

-1

8

-9

3

1

2

d. 715 : 714 - 7 =

7

-4

0

9

5

0

e. 27 : (-√1 + 23) =

0

6

1

4

3

6

f. 2 . x + 47 = 973

1

2

9

4

5

8

g. 92 + x2 = 85

2

1

3

8

6

6

h. 3 . (x + 2) = 2 . (x + 10) + 5

-2

3

9

6

7

3

c. 4 + (52 - 3 . 4 : 6 + 5) . 14 =

i. √2 . x + 1 = 5 j. 2 . (x - 4)3 = 16 203

Capítulo 10 6. Analicen y decidan si las siguientes igualdades son Verdadero (V) o Falso (F). Expliquen cada caso. a. 72 = 14

c. (-2)6 = 64

e. 130 = 1

g. 50 = 0

b. (-5)5 = 32

d. (-10) . (-10) = -102

f. (-1)10 = -10

h. 18 = 8

7. a. Calculen todos los números enteros que sumados a su anterior dan un número mayor o igual a 110. b. Calculen todos los números enteros que al sumarlos con su siguiente den por resultado un número inferior a 182. 8. Sergio, el carpintero, construye un marco de ventana en forma rectangular. Las dimensiones son de 60 por 80 cm. Para saber si el marco le quedó bien, calcula la diagonal y obtiene 102 cm. ¿Está bien hecha la ventana? Justifiquen la respuesta. 9. Gustavo quiere alquilar un auto para sus vacaciones y busca dos empresas. Empresa A: cobra $1500 por día. Empresa B: factura $300 en conceptos de gastos administrativos y $150 por kilómetro recorrido. a. Encuentren para cada empresa una fórmula que relacione lo que deberá pagar Gustavo en función de los días alquilados y kilómetros recorridos. b. Grafiquen las funciones. c. Si el viaje durará 15 días y se recorrerán aproximadamente 2000 km, ¿cuál de las dos empresas le conviene? d. ¿Para qué situación es indistinto alquilar en cualquiera de las dos? 10. Encuentren la expresión algebraica del perímetro en cada rectángulo. 2a

4m 3a

4my 7y - 2x

En función de lo aprendido

5x + 3y

1. Analicen si las siguientes relaciones son funciones o no. En las que sí lo sean, indiquen qué representan las variables dependientes e independientes. a. A todo número le corresponde su doble más tres. b. A cada estación del año le corresponde un mes del calendario. c. A todo número fraccionario le corresponde su inverso. 204

d. A cada número entero le corresponde sus divisores.

Trabajos integradores 2. Se está forestando un sector de tierra. Para ello, se dispone de 60 árboles, que se van a ubicar en hileras con la misma cantidad en cada una. Cantidad de hileras

3

Árboles por hilera

20

4

5

6

10

15

a. Encuentren la función que relaciona la cantidad de árboles por hilera en función de la cantidad de hileras que se quieran hacer. b. ¿Qué tipo de función es? ¿Por qué? 3. Federico se junta con sus amigos a jugar al fútbol. Alquilan una cancha que les cobra $1200 la hora. La cantidad de dinero que pagará cada jugador, dependerá de la cantidad que sean. Número de amigos

2

5

4

8

Dinero que pagará cada uno

40

20

a. ¿Qué tipo de función es? b. ¿Cómo se dieron cuenta? c. Realicen un gráfico que represente la situación. d. Armen una fórmula que muestre la relación entre la cantidad de amigos y el dinero que deberá pagar cada uno. 4. La siguiente tabla contiene información sobre los continentes y su área expresada en km2. Continente Asia América África Antártida Europa Oceanía

km2 43.810.000 42.330.000 30.370.000 10.180.000 10.180.000 9.008.500

a. Calculen el porcentaje correspondiente a cada continente. b. Vuelquen la información en un gráfico circular y de barras. c. ¿Cuáles son las variables analizadas? d. ¿Cuál es la superficie total del planeta ocupada por los continentes? Expresen este resultado en m2. e. Pasen a notación científica el resultado anterior.

5. Investiguen sobre la composición de la población indígena de Argentina y completen: Pueblo originario

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

%

Mapuches Collas Tobas Wichís

205

Capítulo 10 a. Construyan un gráfico con la información obtenida. b. ¿Cuáles son las variables analizadas? Clasifíquenlas. c. Investiguen cómo evolucionaron a lo largo de los últimos 100 años estos pueblos (número de habitantes, superficie de tierras que ocupan, etc.). Compartan sus respuestas con la clase. 6. Para sostener una antena de 30 metros de altura, se van a tender, desde su extremo superior cuatro tensores, que se amurarán en la tierra a 15 metros de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable serán necesarios para los tensores? 7. El Obelisco, que se encuentra en la ciudad de Buenos Aires, proyecta una sombra de 35 metros de largo a cierta hora del día. Sabemos que la distancia que hay desde el extremo superior del Obelisco al extremo de la sombra es de 76,03 metros.

a. Realicen un esquema para representar la información. b. Hallen la altura del Obelisco. 8. Matías quiere hacer calcomanías de su grupo de parkour. Le pasan un presupuesto de $4 el cm2 y le dan las siguientes posibilidades: a. Triángulo equilátero

b.

8 cm x

2x + 1 Perímetro 21 cm

a. ¿Qué diseño le conviene más? b. ¿Cuál es el gasto por hacer 1000 unidades? 206

c. x

2x - 7 Perímetro 26 cm

Perímetro 25,12 cm

Trabajos integradores 9. Un tanque de agua tiene una capacidad de 2200 litros y su diámetro es de 1,2 metros. a. ¿Cuál es su altura? b. El constructor informa que el lugar donde irá colocado soporta un peso de 1000 kilos por m2. ¿Es seguro colocar el tanque?

10. A partir del siguiente gráfico, respondan lo pedido:

f

a. ¿Cuántos triángulos hay? Clasifíquenlos.

bc || de || fg

b. Sabiendo que ĉ = 27º 18′ 39″, hallen el valor de todos los ángulos restantes. Justifiquen sus respuestas.

d b

a

c

e

c. Si el segmento ac = 5 cm y ab = 7 cm, calculen bc. Expresen el resultado redondeando a los centésimos.

g

1ª DOCENA 1 a 18

PAR

2ª DOCENA

2a1 2a1 2a1

0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

00 2 3 5 6 8 9 11 12 14 15 17 18 20 21 23 24 26 27 29 30 32 33 35 36

11. Mirando el dibujo, contesten que probabilidad existe:

3ª DOCENA IMPAR

19 a 36

a. De sacar un número par. b. De que salga un número de la segunda docena. c. De que salga un número de color rojo. d. De sacar un rojo de la primer docena. e. De que salga el cero. 207

Anexo

Anexo Capítulo 3 ¡A JUGAR! Página 46

-4

x - 6 = -10

3x = -12

-4x + 2 = 18

5x = -15

x+2=0

x+4=6

3x = 9

x+5=1

-x = 4

-x-3 = 0

x = -1 3

9x = -27

-3

5

2x + 2 = 10

-3

5x = -10

3x = 6

-4x = -12

2x + 4 = -2

x+3=0

0=x+2

-6 = 3x

0 = 2x + 4

0 = 6x + 12

4

25 = 5x

-2

12x = 24

5x = 15

-4x = -16

-2

x + 6 = 3x + 2

0 = x-2

2x + 3 = 7

3x + 1 = 4x - 1

3

20 = 4x

x + 6 = 4x

-3x = -9

-x + 3 = -1

2x = 10

0=x-3

3

3

0=x-4

2x + 1 = x + 5

5

2x + 4 = -4

2x = 8

4x = 25 - x

4

-x = -5

4x - 5 = 3x

-4

209

Anexo Capítulo 4 ¡A JUGAR! Página 76

211

Anexo Recordamos lo aprendido Página 56

¡A JUGAR! Página 83

Triángulo isósceles

Triángulo rectángulo

Triángulo escaleno

Trapezoides

Paralelogramo

Rombo

Cuadrado

Rectángulos

213

Anexo ¡A JUGAR! Página 83 (continuación)

3 28

31

28

29 23

26

15

25

23

17

15

26

6 _

3

12

9 _

29

9 _

12

2 6 _

30

31

8

25

14

14

8

30

2

215

17

Anexo ¡A JUGAR! Página 83 (continuación)

20

24

20

4 16

21

24

10 16

13

19

19

10

21

5

32

4

18

11

11

1 32

27

18

7

5

22

22

7

27

1

217

13

Anexo Capítulo 5 Operaciones con racionales Página 106 5 1 —— + —— 6 6 4 5 —— . —— 5 2

5 1 —— + —— 8 12

I

1 3 —— . —— 2 4

21 3 —— + —— 6 2 1 1 —— : —— 2 2

2

6 1 —— + —— 5 10

4

2 2.— — 5

1 —— 3

1

4 2 6 : —— 5

7 1 - —— 6

20

1 —— . 3 3

1 1 —— - —— 7 7

5

7 10 —— . —— 5 14

6 2 —— : —— 2 4

1 3 - —— 4

-9

15 10 + —— 6 2 7 —— - —— 3 3

-6

3 1 - —— 4

1 3 - —— 5

2 - —— 5

1 1 - —— 2 -7

1 1 —— - —— 2 4

2 —— 5

2 5 —— : —— 7 3

3 3

20 2 - —— 7

1 - —— 6

2 5 —— : —— 6 3

18

1 9 —— + —— 4 4 -3

6 6 - —— 17 7 —— 5 24 - —— -1 10 3 5 -21 11 1 —— 1 2 1 —— 5 0 13 1 —— 6 14 4 —— —— 35 5 1

4 —— 11 5 —— 1 3 14 —— 8 1

0 1 - —— -3 6 1 13 —— —— 4 10 5

1 — 1 — 2 3 — -6 — 2 1 3 —— + —— 2 10

-11 15

219

Anexo ACTIVIDADES INTEGRADORAS Página 116

ENCUESTA SOBRE EL BULLYING

Entrevistado:

Edad:

1 ¿Sabés qué es el bullying? Sí No Tal vez

2 ¿Qué información tienes sobre el bullying? Mucha Poca Nada

3 ¿Alguna vez has sido víctima del bullying? Sí No En ocasiones

4 ¿Participaste alguna vez del proceso de bullying? Sí No En ocasiones

4 ¿Cuál es el perfil de la persona que ocasiona bullying? Violento Cariñoso Tranquilo

221

Anexo Capítulo 7 ¡A PENSAR! Página 142

Icosaedro

223

Anexo ¡A PENSAR! Página 142 (continuación)

Dodecaedro

225

Anexo ¡A PENSAR! Página 144

Cuboctaedro 227

Anexo ¡A PENSAR! Página 144 (continuación)

Antiprisma pentagonal

229

Bibliografía Bibliografía

Díaz, A. Enseñar Matemática en la escuela media, Biblos, 2011, p. 142. Diseño curricular Matemática, 1º a 5º, Nueva Escuela Secundaria de la Ciudad de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Buenos Aires, p. 32. Diseño curricular para la educación secundaria resolución N° 2495/07, Dirección General de Cultura y Educación, Gobierno de la provincia de Buenos Aires. Jesé, C. Geometría… ¡Sin Dudas!, Pcia. de Bs. As. Nuevas Propuestas, 2007, p. 147. — Aritmética… ¡Sin Dudas!, Pcia. de Bs. As. Nuevas propuestas, 2007, p. 200. Meirieu, P. Recuperar la pedagogía. De lugares comunes a conceptos claves, [Voces de la educación] Buenos Aires: Paidós, 2016, p. 232. Rodríguez, EM. “El misterio de la corona de oro”, en Cuentos cortos. Disponible: . Saiz, IE.; Acuña, NN. Aportes para la enseñanza en el Nivel Medio, Disponible: . Sturzenegger, G. “¿Sabes cuánta basura generas en un día?”, en Volvamos a la Fuente, 16/5/2014. Disponible: .

Integrando las TIC Alterados por Pi. . Construcción de rectas paralelas y perpendiculares. . Del lenguaje escrito al lenguaje algebraico. . Dibujo Geométrico. .

231

Bibliografía El número de Oro (1,61803398874988...). . En su justa medida / ¿Qué es medir? . Fórmulas de área. . GeoGebra. . Horizontes Matemática. . Icosaedro estrellado. . Las aventuras de Troncho y Poncho: números naturales y enteros. . Las aventuras de Troncho y Poncho: potencias. . Los números enteros y la vida cotidiana. . Microsoft Office Support. . Octaedro estrellado. . Perímetro y superficie I. . Perímetro y superficie II. .

232