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MATEMÁTICA V Victor Daniel Rojas Cerna Profesor principal área de matematicas FIEE

Índice general 1. Límites y derivadas 1.1.

1.2.

1.3.

3

Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1.

Conjugada de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2.

Parte real e imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3.

Módulo

6

1.1.4.

Argumento

1.1.5.

Potenciación

1.1.6.

Radicación

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1.

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2.

Ejercicios

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conceptos topológicos del plano complejo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1.

Distancia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2.

Disco abierto (Vecindad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3.

Disco cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.4.

Punto de acumulación

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.5.

Punto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.6.

Punto exterior

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.7.

Punto forntera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.8.

Conjunto abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.9.

Conjunto cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.10. Conjunto acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.11. Conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.12. Cubrimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.13. Teorema de Heine-Borel

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.14. Teorema de Bolzano-Weierstrass

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Denición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.3.15. Diametro 1.4.

Ejercicios 1

1.5.

Funciones

1.6.

Límites 1.6.1.

1

ÍNDICE GENERAL

1.7.

1.8.

2

1.6.2.

Proposición 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.3.

Proposición 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.4.

Ejemplos

27

1.6.5.

Explicación del simbolo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∞

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.7.1.

Condición necesaria:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.7.2.

Condición necesaria y suciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.7.3.

Función analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.7.4.

Funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.7.4.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Aplicaciones

Problemas propuestos

en

C.

Victor D. Rojas Cerna - FIEE-UNI

Capítulo 1

Límites y derivadas Preliminares: Para poder estudiar funciones de valor y variable compleja, es necesario traer a la memoria algunos conceptos básicos acerca del conjunto

C

de los números complejos es decir de:

C = {(a, b)/a, b ∈ R} De igual manera:

Cn = {(z1 , z2 , ..., zk , ..., zn )/zi ∈ C; i = 1, 2, ..., k, ..., n} A cada elemento de

C denotado z, w, ... se les llaman números complejos. En C se hallan denidas

dos operaciones internas, además de la igualdad en

C.

Igualdad: (a, b) = (c, d) =⇒ a = c ∧ b = d Suma:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Producto: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) División:

(a, b)(c, −d) (a, b) = = (c, d) (c, d)(c, −d)



ac + bd −ad + bc , c2 + d2 c2 + d2

 /(c, d) 6= (0, 0)

En estas operaciones tenemos:

 (0, 0)

: Elemento neutro aditivo de

 (1, 0)

: Elemento neutro multiplicador de

C C

Es decir:

(a, b) + (0, 0) = (a, b) (a, b)(1, 0) = (a, b)

3

CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

4

Proposición: Existe una función inyectiva entre

R

y el eje real dada por:

x −→ (x, 0)

ψ: Se ha comprobado que

ψ

es una función biyectiva y que además satisface para todo

x, y

en

R:

C

se le

ψ(x + y) = ψ(x) + ψ(y) ψ(x + y) = (x, 0) + (y, 0) = ψ(x) + ψ(y) Esto permite identicar

Es decir que

a = (a, 0),

R

con el eje real.

1

así tenemos

(0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Denotemos la unidad imaginaria

”i”

como:

i = (0, 1) Donde llama

i2 = −1,

es por eso que incorrectamente se expresa

número complejo

i=

√

−1.

A todo elemento de

y generalmente se le denota:

z1 , z2 , ... Consecuencia de esto:

z = (a, b) ∈ C =⇒ z = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) =⇒z = a + bi.

Esto nos permite escribir:

C = {a + bi/a, b ∈ R} 1

Eje real:

(x, 0)/x ∈ R

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

5

1.1. Deniciones 1.1.1. Conjugada de Z Si:

z = a + bi

, denimos la conjugada de

z

como

z¯ = a − bi Interpretación:

Propiedades: 1.

z + w = z¯ + w ¯

2.

(z.w) = z¯.w ¯ z z¯ = , W 6= 0 w w ¯

3.

1.1.2. Parte real e imaginaria Si:

z = a + bi,

denimos:

  . < 0, 1 >

entonces, la frontera

(∂A)

son los lados.

1.3.8. Conjunto abierto Si

A ⊂ C, A

es abierto si y solo si todo punto de

A

es punto interior de

A.

1.3.9. Conjunto cerrado Si

A ⊂ C, A

es cerrado si y solo si el complemento de

A (C − A)

es abierto.

Propiedades 1.

La reunión de toda familia de conjuntos abiertos es abierto.

2.

La intersección de una familia nita de conjuntos abiertos es abierto

3.

La intersección de toda familia de cerrados es cerrado

4.

La unión nita de conjuntos cerrados es cerrado

1.3.10. Conjunto acotado Si

A ⊂ C,

se dice que

A

es un conjunto acotado si

∃ M > 0/|z| ≤ M ∀z ∈ A

1.3.11. Conjunto compacto Si

A ⊂ C,

diremos que es compacto si es cerrado y acotado

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

16

1.3.12. Cubrimientos La familia

α ∈ I.

(Aα )α∈I

se dice que es un cubrimiento de

I = {1, 2}

,se tiene:

si todo

A⊂ Aα , entonces (Aα )α∈I F α∈I A⊂ Aα = A1 ∪ A2

En términos más simples, si

Así con

A

F

z ∈ A

está en algún

es un cubrimiento de

Aα

para

A.

α∈I De igual manera

(Aα )α∈I

donde

I = {1, 2, 3}, es un cubrimiento de A conforme podemos apreciar

en la gura:

1.3.13. Teorema de Heine-Borel Si

A ⊂ C

z1 , z2 , z3 , ..., zn

compacto y tales que

V (z)z∈A

una familia de discos con centro en

V (z1 ), V (z2 ), ..., V (zn )

cubran al conjunto

z ∈ A

entonces existen

A.

1.3.14. Teorema de Bolzano-Weierstrass Todo

A⊂C

innito y acotado posee un punto de acumulación.

1.3.15. Diametro Si

A⊂C

y

A 6= ∅

el diametro de

A

denotado

∂(A)

se dene por:

∂(A) = supremo{|z − m| /z, m ∈ A}

Ejemplo Sea

A el conjunto de puntos interiores de la elipse de centro cualquier punto con

a = 5 y b = 4 , entonces ∂(A) = 10.

1.4. Ejercicios 1 1 p { x + |z| + 2

Ejercicio.(1) Si z = x + iy , comprobar que las raices cuadradas de z son: w = ± √ p iSen(y) −x + |z|}, donde x ∈ R+ .

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

17

Solución:

2 Veamos que w = z : p p w2 = 12 [ x + |z| + iSen(y) −x + |z|]2 p w2 =12 [x + |z| + 2iSen(y) −x + |z| − 2Sen2 (y)(−x + |z|] 1   (x + |x|), y = 0  2 w = 12 (x + |z| + 2iy + x − |z|), y > 0 entonces:     1 (x + |z| + 2iy + x − |z|), y < 0 2  1 (x + |x|), y = 0 , de donde: w= 2 z, y 6= 0

, esto es:

w2 = z

Ejercicio.(2) Solución:

Hallar y gracar el lugar geométrico dado por: z + Sea:

z = x + iy

donde

z 6= 0

1 ≤2 z

(esto es indiscutible), luego:

2 z + 1 ≤ 2 |z| 2 x − y 2 + 2ixy + 1 ≤ 2 |x + iy| (x2 − y 2 + 1)2 + 4x2 y 2 ≤ 4(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 − 1)2 − 4y 2 ≤ 0 (x2 + y 2 − 1 − 2y)(x2 + y 2 − 1 + 2y) ≤ 0 Identicamos las fronteras de nuestro lugar geométrico:

(x2 + y 2 − 1 − 2y) = 0 =⇒ x2 + (y − 1)2 = 2 (x2 + y 2 − 1 + 2y) = 0 =⇒ x2 + (y + 1)2 = 2 El gráco es el siguiente:

Ejercicio.(3) Identicar y gracar el lugar geométrico dado por: (3 − |z − i| − |z − 2i|)(3 − |z|) ≤ 0.

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

Solución:

18

Gracando las fronteras:

3 − |z − i| − |z − 2i| = 0 =⇒ |z − i| − |z − 2i| = 3 elipse de focos

(0, 1)

y

(0, 2)

con

a=

3 . 2 3 − |z| = 0 =⇒ |z| = 3

circunferencia de radio

3

con centro en el origen. El gráco:

z + 1 = c representa una circunferencia si c > 0 y Ejercicio.(4) Demostrar que la ecuación: z − 1 c 6= 1.

Solución:

En tanto

z 6= 1

tenemos:

|z + 1| = c |z − 1|

, así si

z = x + iy

tendremos que

|x + 1 + iy| = c |x − 1 + iy| (x + 1)2 + y 2 = c2 [(x − 1)2 + y 2 ] x2 + 2x + 1 + y 2 − c2 x2 + 2c2 x − c2 − c2 y 2 = 0 (1 − c2 )x2 + (2 + 2c2 )x + (1 − c2 )y 2 = c2 − 1  2  2 1 + c2 c2 − 1 1 + c2 2 x+ +y = + 1 − c2 1 − c2 1 − c2   2 4c2 1 + c2 2 x+ + y = 1 − c2 (1 − c2 )2 Es una circunferencia siempre que

c 6= 1.

Ejercicio.(5) Vericar las siguientes expresiones: 1.

2.

3.

Pn

k=0 z

k

=

1 − z n+1 1−z

Pn

k=0 Cos(kθ)

Pn

k=0 Sen(kθ)

,

z 6= 0, 1

=

Sen 2θ + Sen(n + 12 )θ

=

Cos 2θ − Cos(n + 12 )θ

2Sen 2θ 2Sen 2θ

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

19

Solución: 1.

Hacemos uso del principio de inducción matemática:

(i) Si

Pn

n = 1,

k=0 z

k

se cumple (1):

= z0 + z1 = 1 + z

y

1 − z 1+1 (1 − z)(1 + z) = =1+z 1−z 1−z (ii) Suponemos que comple para

, pues

n = h,

es decir:

Probemos que la igualdad se cumple para

h+1 X k=0 h+1 X k=0 h+1 X

zk = (

Ph

k k=0 z =

n = h + 1:

h X

1 − z h+1 + z h+1 1−z

zk =

1 − z h+1 + z h+1 − z h+2 1−z

zk =

1 − z (h+1)+1 1−z

Luego, por el primer principio de inducción matemática

Apelamos a la parte (1) haciendo

n X (eiθ )k = k=0 n X

(hipótesis inductiva)

z k ) + z h+1

zk =

k=0

2.

1 − z h+1 1−z

k=0

k=0 h+1 X

z 6= 0.

(Coskθ + iSenkθ) =

k=0

z = eiθ ,

queda demostrada dicha propiedad.

entonces:

1 − (eiθ )n+1 1 − eiθ 1 − (eiθ )n+1 iθ

iθ

iθ

e 2 (e− 2 − e 2 ) iθ

= n X

(Coskθ + iSenkθ) =

i(e− 2 − ei(n+1/2)θ ) 2Sen 2θ Sen 2θ + Sen(n + 21 )θ + i Cos 2θ − Cos(n + 12 )θ




2Sen 2θ

k=0

Luego, tomando las partes real e imaginaria obtenemos las igualdades (2) y (3) solicitadas.

Ejercicio.(6) Demostrar que: 1.

Cos(nθ) =

Pn

2.

Sen(nθ) =

Pn

k/2 Cos−k θ.Senk θ , para k=0 (−1)

k : par

(k−1)/2 Cosn−k θ.Senk θ , para k=0 (−1)

k : impar

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

Solución:

20

(1) y (2):

Recordando la fórmula de Moivre:

(Cosθ + iSenθ)n = Cos(nθ) + iSen(nθ) Usando el teorema del binomio: Además:

(i)2k = (−1)k

n

(Cosθ + iSenθ) =

Pn

k=0

n

(−1)(k−1)/2

!

k

Cosn−k θ.(i)k Senk θ

, entonces:

Cos(nθ) + iSen(nθ) =

n X

(−1)k/2 Cos−k θ.Senk θ + i.

|k=0

n X

(−1)(k−1)/2 Cosn−k θ.Senk

k=0

{z

}

k:P ar

{z

|

}

k:Impar

Luego tomando partes reales e imaginarias a ambos miembros obtenemos las identidades solicitadas.

Ejercicio.(7) Resolver el siguiente sistema usando varaiable compleja: x = x(t), y = y(t)  x0 = x2 − y 2 y 0 = 2xy

Solución:

Completando y simplicando el sistema:

x0 + iy 0 = x2 − y 2 + i2xy

,

entonces:

z 0 (t) = z 2 (t) 1 = t + k1 + ik2 z(t) −1 x + iy = (t + k1 ) + ik2 − ((t + k1 ) + ik2 ) x + iy = (t + k1 )2 + ik22

Ejercicio.(8) Dado:

A ∈ C , denimos: −A = {−z/z ∈ A}. Demostrar que si A es abierto −A

también es abierto.

Solución: Como

Sea

w ∈ −A

, veamos que existe una vecindad de centro

w ∈ −A ∃a ∈ A / w = −a

. Probaremos que

w

contenida en

−A.

V (w, r) ⊂ −A.

z ∈ V (w, r) =⇒ |z − w| < r |−w − (−z)| < r |a − (−z)| < r Entonces:

−z ∈ V (a, r) =⇒ −z < r =⇒ −(−z) ∈ −A

. Luego,

−A es abierto.

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

21

Ejercicio.(9) Analogamente al ejercicio anterior demostrar que si A es abierto A es abierto, donde: A = {z/z ∈ A}.

Ejercicio.(10) Si

p ∈ C, denimos: p + A = {p + a/a ∈ A}. Probar que si A es abierto p + A es

abierto. (Sugerencia: Sea y ∈ p + A =⇒ ∃a ∈ A/y = p + a, y como a ∈ A =⇒ ∃r > 0/V (a, r) ⊂ A )

Solución: w ∈ V (y, r)

Veamos que

V (y, r) ⊂ p + A

, lo cual signicaría que es un punto interior de

p + A.

entonces:

|w − y| < r |w − (p + a)| < r |(w − p) − a| < r Entonces de donde:

w − p ∈ V (a, r) ⊂ A =⇒ w − p ∈ A =⇒ ∃a1 ∈ A/w − p = a1 =⇒ w = p + a1 , a1 ∈ A

,

w ∈p+a

Ejercicio.(11) Si A, B ⊂ C son abiertos demostrar que A + B es abierto. Solución:

Sea

y ∈A+B

y

, veamos que

es un punto interior de

A + B.

∃a ∈ A, b ∈ B/y = a + b , ∃r1 , r2 > 0/V (a, r1 ) ⊂ A, V (b, r2 ) ⊂ B . Sea

r = min{r1 , r2 },

ahora veamos que

V (y, r) ⊂ A + B .

Como

w ∈ V (y, r)

, entonces:

|w − y| < r |w − a − b| < r |(w − a) − b| < r2 w − a ∈ V (b, r2 ) ⊂ B

Entonces

=⇒V (y, r) ⊂ A + B así :

por lo tanto

y

, luego

∃b1 ∈ B/w − a = b1 =⇒ w = a + b1 =⇒ w ∈ A + B

es punto interior de

A+B

osea

(A + B)o = A + B

(notación);

A + B es abierto.

Ejercicio.(12) Sea A ⊂ C/A es abierto, B = {1 + i − z/z ∈ A}. Ver si B es abierto. Solución: Sea

Como

A

es abierto todos sus puntos son interiores.

p ∈ B =⇒ ∃ a ∈ A/p = 1 + i − a,

V (p, r) ⊂ B ,

sea

w ∈ V (p, r)

y como

A

es abierto

∃ r > 0/V (a, r) ⊂ A.

Veamos que

entonces:

|p − w| < r |1 + i − a − w| < r |(1 + i − w) − a| < r Entonces

(1 + i − w) ∈ A

por lo tanto :

V (p, r) ⊂ B

, si tomamos un

asi

a1 ∈ A / 1 + i − w = a1 =⇒ w = 1 + i − a1 =⇒w ∈ B

B es abierto. Victor D. Rojas Cerna - FIEE-UNI

CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

22

Ejercicio.(13) Si A = {z ∈ C/ |z| − |z − i| ≥ 2

arg(z) ∈ [0; 2π]}. Ver si A es cerrado.

∧

Ejercicio.(14) Gracar, determinar las fronteras y analizar si son abiertos o cerrados los siguientes conjuntos: 1.

π A = {2z + z/arg(z) ∈ [0; ]} 2

2.

B = {z − 2z/arg(z) ∈ [0; 2π]}

3.

C = {z 2 /arg(z) ∈ [π; 2π]}

4.

D = {(|z|)−1 z/z 6= 0}

Ejercicio.(15) Si A = {z ∈ C/0

siempre tendrá elementos

es un punto frontera (no es exterior ni interior) y como

z

es

arbitrario:

∂A = C

Ejercicio.(16) Si tenemos: B = {z+|z| / 0 ∃δ = δ(ε, z0 ) > 0/z ∈ Vδ '(z0 ) ∩ Df =⇒ f (z) ∈ Vδ (L)

z→z0

Denición: Una función

f : E −→ C, E ⊂ C

se dice que es acotada si

∃M > 0/ |f (z)| ≤ M ∀z ∈ E .

1.6.2. Proposición 1 Si 1. 2.

z0 ∈ E1 ∩ E2 , f : E1 −→ C, g : E1 −→ C , E1 , E2 ⊂ C

∃ lim f (z) ∧ lim g(z)

y

z→z0

z→z0

, entonces:

lim (f + g)(z) = lim f (z) + lim g(z)

z→z0

z→z0

z→z0

lim (f.g)(z) = lim f (z). lim g(z)

z→z0

3. Si

z→z0

z→z0

  lim f (z) f z→z0 lim g(z) 6==⇒ lim (z) = z→z0 z→z0 g lim g(z) z→z0

Cuestión previa:

Si:

f : E −→ C, E ⊂ C

, sea

f (x + iy) = µ(x, y) + iν(x, y)

z = x + iy

donde:

entonces la función

µ, ν : E −→

C2 ,

E⊂

f

se puede expresar como

f (z) =

C2 .

1.6.3. Proposición 2 Si

z0 ∈ E , f : E −→ C,

entonces:

∃ l´ım f (z) ⇐⇒ ∃ z−→z0

l´ım (x,y)→(x0 ,y0 )

µ(x, y) ∧ ∃

l´ım

ν(x, y)

(x,y)→(x0 ,y0 )

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

Donde

z0 = x0 + iy0

27

, además en caso armativo:

 l´ım f (z) =

z−→z0

l´ım



µ(x, y) + i

(x,y)→(x0 ,y0 )

l´ım

ν(x, y)

(x,y)→(x0 ,y0 )

Ejemplo Analicemos el caso siguiente y apliquemos lo descrito anteriormente. Sea f (z) = z y z0 = 0.

Solución:

Df = C

f (z) = f (x + iy) = (x + iy) = x − iy z0 = 0 + i0 =⇒ x0 = 0 ∧ y0 = 0,

, entonces:

luego:

µ(x, y) = 0 ∧

l´ım

µ(x, y) = x ∧ ν(x, y) = −y

(x,y)→(0,0)

l´ım

ν(x, y) = 0

(x,y)→(0,0)

=⇒ l´ım f (z) = 0 + i0 = 0 z→z0

Corolario Si

l´ım(x,y)→(0,0) µ(x, y)

no existe ó

l´ım(x,y)→(0,0) ν(x, y)

no existe

=⇒ l´ımz→z0 f (z)

NO existe.

1.6.4. Ejemplos z 3 + (z)3 =0 z→0 z + (z)2

Ejemplo.(1) Demostrar que lim Solución:

Usemos la denición:

z 3 + (z)3 |z|3 + (z)3 2 |z|3 ≤ ≤ z + (z)2 |z| + (z)2 |z| − |z|2 Tomemos un

δ1 = 1/2 , |z − 0| < 1/2 =⇒ |z| − |z|2 < 1/2 − 1/4 = 1/4 =⇒

1 0/8 |z| < ε , luego 2 z + (z) z 3 + (z)3 p p < ε , tal que 0 < |z − 0| < 1/2 y |z| < 3 ε/8 , ahora elijamos δ = min{1/2, 3 ε/8} 2 z + (z) tendremos que: z 3 + (z)3 0 < |z − 0| < δ =⇒ − 0 1 =⇒ |z| + 1 < 2 |z|

Tomemos:

 z + 1 1 2 |z|   = − 0 =  2 2  z z   2 |z|  z + 1 z 2 − 0 < ε     z + 1    2 − 0 < ε z Tomemos

M = m´ ax{1, 1/ε}

si : |z| > 1 1 1 ∧ |z| < ε si : |z| > 1 ∧

así tendremos que:

z + 1 |z − 0| > M =⇒ 2 − 0 < ε z Así hemos demostrado que el límite es cero.

Ejemplo.(3) Demostrar que: limz 2 = ∞ z→0

Solución:

Dado

N > 0, ∃M > 0/ |z| > M ∧ z ∈ Df =⇒ z 2 > N

(denición)

|z| ≤ |z|2 2 z > N, si |z|2 > N √ 2 z > N, si |z| > N Tomamos

M=

√

N

, así la denición del límite mencionado se cumple:

|z| > M =⇒ |z| >

√

N =⇒ |z|2 > N =⇒ z 2 > N

Ejemplo.(4) Analizar y calcular en caso existan los siguientes límites:  lim

z 2 .Sen

z→0



π |z|



z3 + 1

z (z)2 + (z)2 z z→0 z3 + 1   zSen(z)  lim z→∞ z2 + 1

 lim

 lim (z 2 − z) z→∞

z 8 + 10z 2 + 40z + 100 z→i |z − i|10

 lim

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

29

z+1 z→∞ z + 1   z+2 √ √  lim z→2 z 2 + (1 − i 3)z − i2 3   z 4 + 16 √  lim z→2eiπ/4 z − z − i2 2  lim

Ejemplo.(5) ¾Podria hallarse un A de manera que ∃

lim f (z) donde:

z→4+3i

 Az f (z) = z + 21 − 3i

|z| ≥ 5 |z| ≤ 5

Ejemplo.(6) Ver si existe o no limf (z) donde: z→0

  cos z − cos z z f (z) = 0

0 0/∃ f 0 (z) ∀z ∈ V (z0 , r).

Una función que es analítica

se llama función entera.

Ejemplo

Sea:

f (z) = (z)3 ,

responder:

0 a) Existe f (0) ? b)

f

es analítica en

Solución: a) Si

z=0

?

Veamos:

z = x+iy =⇒ f (z) = (x − iy)3 = (x3 −3xy 2 )+i(y 3 −3x2 y) = µ(x, y)+iν(x, y) , derivando: µx (0, 0) = 0 = νy (0, 0) = 0 µy (0, 0) = 0 = −νx (0, 0) = 0

Además b) Sea

µ, ν , µx , µy , νx , νy

z0 6= 0,

son continuas

=⇒ ∃ f 0 (0) = 0 + i0 = 0

la condición necesaria para que exista

f 0 (z0 )

es que satisfaga las ecuaciones de

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

34

C-R. Entonces deberíamos tener que:

µx (x0 , y0 ) = 3x20 − 3y02 = νy (x0 , y0 ) = 3y02 − 3x20 µy (x0 , y0 ) = −6x0 y0 = −νx (x0 , y0 ) = 6x0 y0 Esto implicaría que

x0 = y0 = 0

, absurdo debido a la condición inicial.

No se cumplen las ecuaciones de C-R por lo tanto

→f

no es analítica en

@f 0 (z0 )∀z0 ∈ C.

z = 0.

Denición: Sea

f : Ω 6= C, Ω

dominio de

C , z0 ∈ Ω

y

A ⊂ C. f

es analítica en

Ω ←→ f

es analítica en

z

∀z ∈ A.

Ejemplo Determinar donde es analítica la función: f (z) = x2 − y2 + i2xy.

Solución: g(z) =



Sea:

z 2 entera

=⇒ f (z) = g(z)

en aquellos

z

x2 − y 2 ≥ 0

tales que

. Entonces

f

es analítica

en la región:

|x| ≥ |y|

Propiedad Sea

f : Ω 6= C, Ω

C.

Si

f

es analítica en

dominio de

C

y

g(z) = f (z).

dominio de

A, A ⊂ Ω ,

entonces

f

es analítica en

Propiedad Sea

f : Ω 6= C, Ω

Si

f

es analítica en

Ω

entonces

f

y

g

son

constantes.

Visualización: f (z) = µ(x, y) + iν(x, y) g(z) = µ(x, y) + i [−ν(x, y)] Ambas analíticas en

Ω,

luego sea:

z0 = x0 + iy0

un punto arbitrario, entonces:

f (z) :  µ (x , y ) = ν (x , y ) x 0 0 y 0 0 µ (x , y ) = −ν (x , y ) y 0 0 x 0 0 g(z) :  µ (x , y ) = −ν (x , y ) x 0 0 y 0 0 µ (x , y ) = − [−ν (x , y )] y 0 0 x 0 0 Victor D. Rojas Cerna - FIEE-UNI

CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

35

Así:

µx (x0 , y0 ) = 0 µy (x0 , y0 ) = 0 νx (x0 , y0 ) = 0 νy (x0 , y0 ) = 0 =⇒ ∀(x0 , y0 ) ∈ Ω : µ(x, y) = p ∧ ν(x, y) = q

tal que

p, q ∈ R.

f (z) = p + iq g(z) = p − iq

Ejemplo Donde podrán ser analíticas las funciones: f (z) = z 2 Solución:

∧ g(z) = z 2 ?

Por la propiedad anterior ambas deberían ser constantes lo que hace imposible que

sean dos funciones distintas.

Ejemplo Determine donde es analítica la función: f (z) = x2 − y2 + i2 |x| |y|.

Solución:



Se nota que:

∃ f (z) = y 2 − x2 + i2xy ∧ f (z) = x2 − y 2 + i2xy −→f

es analítica en:

(RI )o ∪ (RII )o ∪ (RIV )o

. Satisfacen C-R.

Comentario: Sea:

f (z) = µ(x, y) + iν(x, y)

, si

f

es analítica en

A (A ⊂ Ω, f : Ω 6= C)

se demuestra que

f 0 (z) = µx (x, y) + iνx (x, y) = µy (x, y) + iνy (x, y) Tamnbién es analítica en

A.

Consecuentemente:

f 00 (z) = µxx (x, y) + iνxx (x, y) = νyx (x, y) − iµyx (x, y) = νxy (x, y) − iµxy (x, y) Tanbién es analítica en

A.

Propiedad Si

f : Ω 6= C, Ω

dominio de

C,

es analítica en

Ω

entonces:

f 0 (z) = µx (z, 0) + iνx (z, 0) f 00 (z) = νxy (z, 0) − iµxy (z, 0) Victor D. Rojas Cerna - FIEE-UNI

CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

36

1.7.4. Funciones armónicas Sea:

µ :−→ R, Ω

Rn

es un dominio de

derivadas de orden 2 (es decir,

µ∈

∆µ =

(abierto y conexo), para estas funciones que tengan

C2Ω ) se dene el laplaciano de

n X ∂2µ i=1

∂x2i

Nuestro interés especial es cuando

=

n X

µ xi xi

i=1

n = 2, así tendremos que con µ : Ω → R, µ = µ(x, y), Ω ⊂ R2

∆µ = ∆µ(x, y) = µxx (x, y) + µyy (x, y) = ∆=

∂2 ∂2 + ∂x2 ∂y 2

como:

(x1 , x2 , ..., xn ∈ Ω)

un dominio:

El operador:

µ

es conocido como el operador

∂2µ ∂2µ + 2 ∂x2 ∂y

LAPLACIANO.

La ecuación de Laplace es:

∆µ = µxx (x, y) + µyy (x, y) = 0 (x, y) ∈ Ω

Denición: Diremos que

µ :−→ R

∆µ(x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ Ω.

es armónica en

Ω

si

un dominio simétrico,

µ

es armónica en

Propiedad Sea

µ :−→ R,

armónica

es

Ω.

Visualización: Sea:

Ω ⊂ R2 ⇐⇒ ν(x, y) = µ(−x, −y)

Ida:

ν(x, y) = µ(p, q), p = −x, q = −y

entonces

νx = µp px + µq qx = µp (−1) + µq (0) = −µp νxx = − (µpp px + µpq qx ) También:

νy = µp py + µq qy = µp (0) + µq (−1) = −µq νyy = − (µqp py + µqq qxy ) Así:

νxx + νyy = µpp + µqq = 0 ∀(x, y) ∈ Ω, Ω

simétrico. Es decir:

∆ν(x, y) = 0.

La comprobación de regreso es análoga.

Propiedad Sea:

µ : Ω −→ R, Ω dominio de R2 . µ es armónica en Ω ⇐⇒ µ + k

es armónica con

k

constante.

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

37

Ejemplo Sea: µ(x, y) = ex cos y Solución:

µxx + µyy = ex cos y − ex cos y = 0

(µ + k)xx + (µ + k)yy = µxx + µyy = 0

Observación: La condción de suciencia para que exista la función armónica µ = φ(x2 + y) nos lleva a considerar el problema en general: Hallemos una armónica

µ = φ(t)/t = t(x, y) µx = µt tx

∧

µxx = µtt t2x + µt txx

µy = µt ty

∧

µyy = µtt t2y + µt tyy

Si es armónica debe cumplir la ecuación de Laplace:

∆µ = µtt (t2x + t2y ) + µt (txx + tyy ) = 0 txx + tyy µtt = h(t) =− 2 µt tx + t2y Así en caso exista una función armónica

µ = φ(t)

se tendría que:

ˆ ln (µ(t)) = ˆ µ=B

´

e

h(t)dt

h(t)dt + A

dt |t=t(x,y) +C

1.7.4.1. Aplicaciones 1.

Veamos si existe una función armónica: µ = φ(x2 + y)

Solución:

Tenemos :

t = x2 + y =⇒ tx = 2x, txx = 2, ty = 1, tyy = 0 −

notamos que no es una función de

2.

t→

. Reemplazamos:

txx + tyy 2 =− 2 2 2 tx + ty 4x + 1

no existe la armónica

µ = φ(x2 + y).

Veamos si existe la función armónica: µ = φ(x2 + y 2 )

Solución:

En este caso:

t = x2 + y =⇒ tx = 2x, txx = 2, ty = 2y , tyy = 2 −

txx + tyy 2+2 1 = − = h(t) =− 2 2 2 2 tx + ty 4 (x + y ) t

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

Así:

´

µ=B

3.

´

e

dt t

dt + C = B

38

´ 1 dt |t=x2 +y2 +C = B ln(x2 + y 2 ) + C t

Sea µ : R2 → R una función armónica, determinar en caso exista ν : R2 → R , ν(x, y) = µ(ax + y, x + 2y) tal que sea armónica.

Solución:

Hacemos:

p = ax + y ∧ q = x + 2y .

Así:

νx = µp px + µq qx = aµp + µq ∧ νxx = a(µpp px + µpq qx ) + µqp px + µqq qx = a2 µpp + 2aµpq + µqq νy = µp py + µq qy = µp + 2µq ∧ νyy = µpp py + µpq qy + 2(µqp py + µqq qy ) = µpp + 4µpq + 4µqq En la ecuación de Laplace:

∆ν = νxx + νyy = (a2 + 1)µpp + (2a + 4)µpq + 5µqq = 0 =⇒ a2 + 1 = 5 ∧ 2a + 4 = 0 =⇒ a = −2

4.

Determinar, en caso exista, una función armónica en R2 µ = α(x)α(y)e−(x+y) donde α: R→R

Solución:

µx = (α0 (x) − α(x)) α(y)e−(x+y)

Igualmente se obtiene:

∆µ =



∧

µxx = (α00 (x) − 2α0 (x) + α(x)) α(y)e−(x+y)

µyy = (α00 (y) − 2α0 (y) + α(y)) α(x)e−(x+y) .

En la ecuación de Laplace:



 α00 (x) − 2α0 (x) + α(x) α(y) + α00 (y) − 2α0 (y) + α(y) α(x) e−(x+y) = 0 α00 (x) − 2α0 (x) + α(x) = 0

De donde:

α(x) = (Ax + B) ex , A, B

constantes. Así:

µ(x, y) = (Ax + B) (Ay + B)

Propiedad Si

f : Ω → C, Ω

∧ ν(x, y)

un dominio de

son armónicas en

Visualización:

C

y

f (z) = µ(x, y) + iν(x, y)

analítica en

Ω

, entonces

µ(x, y)

Ω

Tomar en cuenta que:

µx (x, y) = νy (x, y) ∧ µy (x, y) = −νx (x, y) ∀(x, y) ∈ Ω.

Luego:

∆µ = µxx + µyy = (µx )x + (µx )y = (νx )x + (−νx )y = νyx − νxy = 0 Pues

ν

es continua. Por lo expuesto

Analogamente se demuestra que:

µ(x, y)

es armónica en

∆ν = 0 → ν

Ω.

es armónica en

Ω.

Denición: Dado

µ : Ω → R, Ω ⊂ R2 ,

diremos que

ν : Ω → R

f (z) = µ(x, y) + iν(x, y) ∨ f (z) = ν(x, y) + iµ(x, y)

es una armónica conjugada de

es analítica en

µ

si:

Ω.

Ejemplo Determinar una armónica conjugada de µ(x, y) = ex sin y Victor D. Rojas Cerna - FIEE-UNI

CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

Solución:

Tenemos dos alternativas:

39

f (z) = ex sin y + iν(x, y) ∨ f (z) = ν(x, y) + iex sin y

f (z) = ex sin y + iν(x, y):

1ºAlternativa

(ex sin y)x = νy =⇒ νy = ex sin y =⇒ ν = ex cos y + φ(y) (ex sin y)y = −νx =⇒ νx = −ex cos y =⇒ ν = −ex sin y + ψ(x) Lo cual es inaceptable.

f (z) = ν(x, y) + iex sin y

2ºAlternativa

νx = (ex sin y)y =⇒ νx = ex cos y =⇒ ν = ex cos y + φ(y) νy = − (ex sin y)x =⇒ νy = −ex sin y =⇒ ν = ex cos y + ψ(x) Entonces:

φ(y) = Aψ(x), A

constante. Así:

f (z) = ex cos y + A + iex sin y = A + ez

Ejemplo Dado: µ = Solución:

x(x − 1) + y 2 , hallar una armónica conjugada de µ. (x − 1)2 + y 2

Razonando:

µ(x, y) = 1 + Sabemos:

µy = −νx =⇒ v =

´

x−1 2y(x − 1) =− 2 2 (x − 1) + y ((x − 1)2 + y 2 )2

2y(x − 1) ((x − 1)2 +

dx y 2 )2

+ ψ(y) = −

y + ψ(y) (x − 1)2 + y 2

  x(x − 1) + y 2 y f (z) = +i − + ψ(y) (x − 1)2 + y 2 (x − 1)2 + y 2 f (z) = Donde

k:

constante real. Como

Ejemplo Dada

ν(x, y) =

conjugada para ν .

Solución:

Consideremos:

νy (x, y) =

z=1∈ / Ω, 2xy

(x2 + y 2 )2

z(z − 1) + ik (z − 1)2 entonces:

f (z) =

z + ik z−1

es analítica en

Ω.

, ν : Ω → R, Ω ⊂ R2 − {(0, 0)}. Hallar una armónica

f (z) = µ(x, y) + iν(x, y)

(x2 + y 2 )2 2x − 2xy 2(x2 + y 2 )2y (x2 + y 2 )4


=

2x3 − 6xy 2 (x2 + y 2 )3

= µx (x, y)

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CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

ˆ µ(x, y) =

2x(x2 − 6y 2 ) (x2

+

y 2 )3

ˆ

ˆ

2x

dx + ψ(y) =

µ(x, y) = − f (z) = −

40

(x2

+

y 2 )2

dx − 7y

2x

2

(x2

+ y 2 )3

dx + ψ(y)

1 7y 2 + ψ(y) + x2 + y 2 2 (x2 + y 2 )2

1 7(02 ) + ψ(0) + k + z 2 + 02 2 (z 2 + 0)2 f (z) = −

k : constante real

1 +k z2

1.8. Problemas propuestos Problema(1) Si

A, B ⊂ C diga el valor de verdad de las siguientes armaciones justicando sus

respuestas. 1. Si

A

y

B

son abiertos, entonces

A∩B

es abierto.

2. Si

A

y

B

son cerrados, entonces

A∪B

es cerrado.

3. Si

A ∩ B 6= ∅,

4. Si

A

5. Si

∂A = A,

entonces

A

es cerrado.

6. Si

∂B = ∅,

entonces

B

es abierto.

7. Si

A

y

B

son abiertos entonces

pA + qB

8. Si

A

y

B

son cerrados entonces

(pA) ∪ (qB)

9. Si

A

es conexo, entonces

10. Si

A

y

B

son dos dominios, entonces

11. Si

A

y

B

no son dominios, entonces

12. Si

A

y

B

son acotados, entonces

A+B

13. Si

A

y

B

son acotados, entonces

AB

es acotado. Donde:

14. Si

A

y

B

son convexos, entonces

AB

es convexo.

15. Si

A+B

16. Si

AB

17. Si

∂ (A + B) = A + B ,

18. Si

A

entonces

es abierto y

B

∂ (A ∪ B) = ∂A ∪ ∂B .

es cerrado, entonces

pA

A

es un dominio, entonces

A

entonces

es abierto, entonces

A∩B

y

A

es abierto

A+B

A+B

B

y

∀p, q ∈ C − {0}.

es cerrado

∀p, q ∈ C − {0}.

es un dominio.

nunca son dominios.

es acotado.

AB = {ab/a ∈ A ∧ b ∈ B}.

son acotados.

B

y

es abierto.

∀p ∈ C − {0}.

es conexo

es acotado, entonces

A−B

son dominios.

B

son cerrados.

es abierto

∀B ⊂ C

si

A ∩ B 6= ∅. Victor D. Rojas Cerna - FIEE-UNI

CAPÍTULO 1. LÍMITES Y DERIVADAS

19.

∂ (∂A) = ∂A.

20.

(Ao )o = Ao

Nota:

Problema(2) Sea

Ao = {z/z

es punto interior de

41

A}.

f : Ω → C, Ω un dominio de C, si f es analítica en w (punto interior de Ω).

¾Existirá un punto p de Ω, p 6= w donde f es analítica? Justicar su respuesta.

Problema(3) Sea f

: C → C una función entera, demuestre que se cumple: ∆ |f (z)|2 = 4 |f 0 (z)|2 .

Problema(4) Deduzca la forma compleja del teorema de Green. Problema(5) Determinar si se cumple que: ii ⊂ ii+4 . Problema(6) Resolver: cos(z 2 + 2) = sin(z 2 − 2). Problema(7) Sea: E = {3z + 1/6z − 2 ∈ A}, si A es abierto ver si E es abierto. Problema(8) Sean:

E = {z ∈ C/