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MODALIDAD SEMIPRESENCIAL

Te rc e r C i c l o d e E d u c a c i ó n G e n e ra l B á s i c a p a ra Ad u l t o s

Matemática

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Matemática

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Matemática

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Tercer Ciclo de Educación General Básica para Adultos MODALIDAD SEMIPRESENCIAL

Ministro de Educación de la Nación Lic. Andrés Delich

Subsecretario de Educación Básica Lic. Gustavo Iaies

[email protected]

Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación.

Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires. Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina. ISBN 950-00-0294-9. Primera Edición. Primera Reimpresión.

Índice Introducción

.........................................................

5

Cuadriláteros

........................................................

Cuadriláteros convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Romboides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otros paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 9 9 13 16 18 18 20

Perímetros

31

............................................................

Superificies

...........................................................

¿Cómo se miden las superficies? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Cómo se calculan las superficies? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficie del triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficie del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficie del romboide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Volúmenes

41 45 46 48 52 54

¿Cómo se mide el volumen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Cómo se calcula el volumen de los cuerpos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 60 62

El lenguaje matemático

.........................................

66

Ecuaciones e inecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 76 82

............................................................

¿Cómo se resuelven las ecuaciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Cómo se resuelven las inecuaciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Probabilidad

.........................................................

La estadística y la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Claves de Corrección Anexos

85 94

.............................................

101

.................................................................

129

Introducción

E

n el Libro 4 se trabajó con las operaciones en el conjunto de los números racionales, completando de este modo lo estudiado en el Libro 3 sobre las operaciones con números naturales y enteros. En este Libro se retoman algunos temas trabajados en los Libros 1 y 2 sobre cuadriláteros, particularmente, casos especiales de uso frecuente para la resolución de problemas cotidianos. Asimismo, se profundizará y ampliará lo estudiado sobre perímetros, superficies y volúmenes. Le sugerimos que disponga de los Libros anteriores para resolver las actividades que aquí se plantean. Siga las referencias que se incluyen en el margen de las hojas pues le ayudarán a repasar algunos conceptos que resultan necesarios para la comprensión de otros nuevos. Finalmente, estudiará el concepto de probabilidad que se utiliza para poder analizar situaciones que tienen resultados inciertos, es decir en las que interviene el azar.

5

Cuadriláteros

E

n el Libro 3 se trabajó sobre diferentes cuerpos geométricos: prismas, cubos, pirámides, octaedros, cilindros, cuerpos cóncavos y convexos. También se estudiaron los elementos que conforman esos cuerpos: caras, aristas y vértices. Las caras de los cuerpos pueden tener distintas formas planas. Por ejemplo, el triángulo, que se desarrolló en el Libro 4, es la forma de las caras laterales de las pirámides y la base de los prismas rectos.

pirámides

prismas

Si observamos el marco de una ventana, la forma de una puerta, las hojas de nuestros cuadernos, algunos barriletes, etc. notaremos que todas estas formas están constituidas por cuatro lados. Es por ello que se las denomina cuadriláteros.

6 P l a n

S o c i a l

E d u c a t i v o

Considere la habitación en la que se encuentra. Es posible que sea un prisma rectangular. ¿Qué forma tienen las paredes, el piso, el techo? La forma de las caras de este cuerpo es una figura muy común, se encuentra en las puertas, ventanas, bancos, cuadernos, libros. Es el rectángulo. Por poseer cuatro lados pertenece a la familia de los cuadriláteros. El cuadrado también es un cuadrilátero, que se encuentra, por ejemplo, en las caras de los dados cúbicos.

Si observa atentamente ciertos mecanismos comprobará que están formados por sistemas articulados de cuatro barras.

7

Repase en el Libro 3 el concepto de poligonal cerrada.

En el Anexo I encontrará varillas para recortar. Forme con cuatro de ellas, de iguales o diferentes longitudes, una poligonal cerrada. Observe que puede obtener diferentes cuadriláteros.

Como sucede con los cuerpos poliedros, los polígonos en general, y los cuadriláteros en particular, pueden ser cóncavos o convexos.

Actividad Nº1 Utilizando las varillas arme: • cuadriláteros que tengan dos lados iguales de a pares; • cuadriláteros que no tengan los lados paralelos; • un cuadrilátero con las varillas de 2 cm, 2 cm, 3 cm y 10 cm.

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Cuadriláteros convexos

A

lgunos cuadriláteros convexos tienen características especiales, por ejemplo poseer dos pares de lados paralelos, poseer todos los lados iguales, poseer los ángulos interiores iguales, etc. Por tener los lados paralelos, o porque los lados son iguales, o porque los ángulos son iguales, o porque tienen varias de estas propiedades a la vez reciben un nombre que los diferencia del resto de los cuadriláteros.

Paralelogramos Si observamos un perchero como el de la siguiente figura, podremos detectar a un cuadrilátero, el paralelogramo, que tiene los lados opuestos paralelos.

Como todo cuadrilátero los paralelogramos se nombran a partir de sus vértices: paralelogramo ABCD.

A igual que el resto de los cuadriláteros el paralelogramo tiene cuatro lados, cuatro ángulos interiores y dos diagonales.

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Comenzamos observando sus lados:

__ __ __ Note que__el lado BC es igual al lado AD y que el lado AB es igual al lado CD.

Observando paralelogramos de diferentes medidas podemos observar que todos guardan la misma relación entre sus lados. Se puede demostrar que:

Los paralelogramos poseen sus lados opuestos de igual medida.

Analice ahora la medida de sus ángulos interiores.

^ son iguales entre sí. Los ángulos B^ y D

10

Los ángulos A^ y C^ son iguales entre sí. Si observa varios paralelogramos advertirá que:

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.

Actividad Nº2 ¿Qué propiedad cumplen los ángulos consecutivos de un paralelogramo? Recuerde que los ángulos de un polígono cualquiera son consecutivos cuando tienen un lado en común.

Analice ahora las diagonales del paralelogramo.

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Como notará las diagonales no son iguales, aunque podrían serlo. El paralelogramo es un cuadrilátero que no necesariamente tiene sus diagonales iguales. En este caso, el paralelogramo ABCD posee su diagonal AC más corta que la diagonal BD. Observe que al trazar las diagonales de un paralelogramo, el punto común a ambas es su punto medio. En el paralelogramo ABCD, el punto O es punto medio de la diagonal BD y lo es también de la diagonal AC.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Actividad Nº3 a El capot de un tractor posee la forma de un paralelogramo, uno de sus lados es de 80 cm y su perímetro -suma de los lados de una figura- es de 4 metros. ¿Cuál es la medida de cada uno de los lados? b Un carpintero es contratado para hacer una biblioteca amurada a una pared. Al tomar las medidas detecta que el muro sobre el que debe asegurar el mueble está en falsa escuadra. Si el ángulo entre el piso y la pared es de 78º, ¿cuál será la amplitud que debe tener cada uno de los tres ángulos restantes del mueble?

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Rectángulos Si observa el marco de las ventanas, las puertas, la tapa de un libro, el lomo de las guías de teléfono, las sendas peatonales en las esquinas de la calles, etc., notará que todos estos objetos son cuadriláteros que reciben el nombre de rectángulos.

Dibuje en una hoja un rectángulo cualquiera.

Nombre sus vértices como A, B, C y D; así el rectángulo se llamará: rectángulo ABCD.

__ __ Prolongue todo lo que pueda los lados BC y AD.

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Prolongue todo lo que pueda los lados. Mida con una escuadra la distancia entre ambas rectas. Encontrará que es la misma. __ __ Notará de este modo que el lado BC y el lado AD son paralelos entre sí. __ __ Prolongue ahora los lados AB y CD . Notará que también son paralelos.

Si prueba con muchos rectángulos observará la misma relación. Podemos demostrar que:

Los rectángulos poseen sus lados opuestos paralelos entre sí.

Actividad Nº4 Complete: Si un rectángulo es un cuadrilátero que posee lados opuestos paralelos podemos afirmar que todo rectángulo es .....................................................

¿Cómo son las longitudes de los lados de cualquier rectángulo? Compruébelo con una regla graduada o un compás en el siguiente rectángulo.

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Los rectángulos poseen lados opuestos iguales.

Analice ahora la medida de los ángulos interiores. Para ello recor^ C^ y D^ del rectángulo previamente dibujado. ^ B, te los ángulos A, Cuide de cortar en forma irregular la región interior del modo que señala la figura (así evitará confundir los vértices del rectángulo). Con el ángulo recto de una escuadra superpóngalos unos sobre otros. Verá que cada uno de ellos mide un recto. Observará que los cuatro ángulos son iguales. Por ello se dice que:

Todo rectángulo es equiángulo.

El prefijo equi significa igual, por lo tanto afirmar que el rectángulo es equiángulo implica que sus cuatro ángulos interiores miden lo mismo. También se puede demostrar que un rectángulo es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos interiores iguales (son todos rectos).

Actividad Nº5 ¿Cuál es la medida de cada lado de un terreno rectangular cuyo largo es de 80 m y su perímetro de 300 m?

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Romboides

E

ntre los barriletes que los chicos remontan hay dos formas que con mucha frecuencia se ven en el cielo: los barriletes hexagonales y los romboidales.

¿Cuáles son las propiedades de un romboide? Para armar un barrilete romboidal se suele utilizar dos cañas o varillas muy livianas. Éstas son las diagonales del romboide que, como puede notar en la figura, son perpendiculares y una corta a la otra en su punto medio.

Luego se colocan los piolines, bien tensos, en los extremos de las varillas.

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De este modo hay dos piolines cortos de igual longitud y dos piolines largos de igual longitud.

__ __ __ __ Simbólicamente: AD = AB y DC = BC

Todo romboide tiene dos pares de lados consecutivos iguales.

^ Notará que son iguales. Observe ahora los ángulos B^ y D.

Todo romboide tiene al menos un par de ángulos interiores iguales entre sí.

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Otros paralelogramos Rombos Si observa los logotipos que utilizan muchas empresas automotrices notará la importancia que les dan a las formas geométricas. Una de estas empresas en sus publicidades se refiere a sus productos como "Los autos del Rombo". Indudablemente es una de las formas más familiares que vemos a nuestro alrededor: observando sus lados resulta agradable la armonía de sus formas.

Mida los lados de varios rombos. Verá que todo rombo es equilátero.

Los cuadriláteros equiláteros se denominan rombos.

Dibuje un rombo ABCD de cualquier medida. __ __ Como lo hizo con el__rectángulo, prolongue los lados AB y CD. No__ tará que los lados AB y CD son paralelos entre sí. __ __ Prolongue luego los lados BC y AD. Notará que también son paralelos entre sí. Como todo rombo es paralelogramo es posible afirmar que:

Los lados opuestos de un rombo son paralelos entre sí.

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Por tener lados opuestos iguales y paralelos, todo rombo es un paralelogramo. Se puede afirmar entonces que sus diagonales se cortan en su punto medio.

A^ = C^ B^__= D^ __ AO __ __ = OC BO = OD

Como el rombo es equilátero, podemos afirmar que AB = BC y CD = DA, es decir que todo rombo posee lados consecutivos iguales. Por lo tanto se puede afirmar que:

Todo rombo es romboide.

Si todo rombo es romboide debe tener diagonales perpendiculares. Le proponemos que lo compruebe colocando el ángulo recto de su escuadra sobre las diagonales de cualquier rombo.

Actividad Nº6 Se quiere alambrar una plazoleta con forma de rombo con tres vueltas de alambre. Para ello se necesitarán 600 m. • •

¿Cuál es el perímetro de la plazoleta? ¿Cuánto mide cada lado?

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Cuadrado El cuadrado es una forma que se encuentra en un sinnúmero de los objetos que nos rodean, las rejillas de nuestras casas, la zona de saque en una cancha de tenis, una hoja de papel glasé, los frentes de las cajas de disquetes de computación, las manzanas de las ciudades vistas desde un avión, etc.

El cuadrado es un cuadrilátero regular porque posee: • todos sus lados iguales, • todos sus ángulos iguales.

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• sus lados opuestos son paralelos. • sus diagonales son iguales y perpendiculares y se cortan en su punto medio.

Actividad Nº7 Complete las siguientes afirmaciones. • Por ser equilátero todo cuadrado es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Por ser equiángulo todo cuadrado es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A modo de síntesis observe en el siguiente cuadro los diferentes tipos de cuadriláteros y las condiciones que cumplen cada uno.

Trapezoide

No tiene lados paralelos.

Romboide

Es un trapezoide con dos pares de lados consecutivos iguales.

Trapecio

Tiene un sólo par de lados paralelos. Estos se denominan bases.

Paralelogramo

Tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.

Rombo

Paralelogramo con sus cuatro lados iguales.

Rectángulo

Paralelogramo con sus cuatro ángulos rectos.

Cuadrado

Rectángulo con sus cuatro lados iguales. Ministerio de Cultura y Educación de la Nación

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A continuación se analizará la formación de cuadriláteros a partir de triángulos y la descomposición de cuadriláteros en triángulos. En matemática es muy frecuente resolver problemas a partir de triangular las figuras para determinar los posibles triángulos cuya suma constituya el polígono que se está analizando.

Si se los dibuja haciendo coincidir el lado que tienen igual se forma un cuadrilátero.

Actividad Nº8 Construya otro triángulo para obtener en cada caso el cuadrilátero que se menciona. Le sugerimos usar papel de calcar para facilitar su tarea.

romboide

cuadrado

22

paralelogramo

rombo

Actividad Nº9 a Observe la fotografía sobre el trabajo que realizan artesanos japoneses del bambú. ¿Qué polígonos encuentra?

b Dibuje tres de ellos y descríbalos.

Bruno Munari El Triángulo, más de 1000 ejemplos ilustrados sobre el triángulo equilátero. Ediciones G. Gili, México, 1999.

Actividad Nº10 En una hoja cuadriculada dibuje por lo menos un cuadrilátero que tenga: a Sólo un par de lados paralelos y ningún par de lados iguales. b Los dos pares de lados iguales y ningún par de lados paralelos. c Sólo un par de lados paralelos y sólo un par de lados iguales. d Los dos pares de lados paralelos y ningún par de lados iguales.

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El cuadrado en la historia del hombre

Curral das Letras. Las primeras apariciones del cuadrado en los signos rupestres de los pueblos primitivos del período neolítico, en Curral das Letras, Tua-Braganza, Portugal. Estos signos aparecerán después también en las escrituras cretenses y en las prehistóricas americanas.

Anaguitá. Algunos signos extraídos de los petroglifos americanos de Anaguitá.

Bet. Signos extraídos de los jeroglíficos, valor fonético: bet.

Bauhaus. Uno de los primeros experimentos de distintas agrupaciones de nueve cuadrados. Bauhaus, Weimar.

Bruno Munari El cuadrado, más de 300 ejemplos ilustrados sobre la forma cuadrada, Ediciones G. Gili, México, 1999)

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Situación 1976, pintura de Diana Baylon.

Recorte varillas iguales y arme un cuadrilátero. Modifique sus ángulos interiores y observe que de pronto tiene un cuadrado, luego un rombo no cuadrado.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas figuras? • Tienen los lados respectivamente iguales. • Varían las medidas de los ángulos interiores respectivos. Observe que el cuadrado tiene los cuatro ángulos iguales y rectos o sea que cada uno de ellos mide 90°, por lo tanto la suma de los cuatro es: 90° x 4 = 360° En el rombo no cuadrado dos de los ángulos miden más de 90° y los otros dos menos de 90°. ¿Cuánto suman los cuatro? En vez de usar el transportador para medirlos y luego sumarlos recurriremos a la misma estrategia que utilizamos en el Libro 3 para analizar cuánto suman los ángulos interiores del triángulo. Analizaremos entonces cuánto suman los ángulos interiores del rombo y de otro cualquiera de los cuadriláteros.

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Para ello recorte los cuadriláteros que figuran en el Anexo II. Luego recorte los ángulos de cada uno de ellos y péguelos en forma consecutiva.

De este modo usted acaba de verificar que la suma de los ángulos interiores de todos los cuadriláteros que usted recortó es 360°. Pero esto sólo muestra qué sucede en estos casos.

¿Sucederá en cualquier caso y con todos los cuadriláteros? Para contestar a estas preguntas es preciso dar una explicación y justificación más general que efectivamente abarque a todos los cuadriláteros. En matemática esto se llama demostración. En este caso se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°. Usted ya sabe que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto se puede usar esta propiedad si se logra formar triángulos en el cuadrilátero. Para poder considerar mejor el problema que se quiere resolver es útil apelar a una representación gráfica. Por ello se dibuja una figura de análisis.

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Dibuje un cuadrilátero cualquiera y márquele una diagonal. Por ejemplo:

El cuadrilátero quedó dividido en dos triángulos. Cuando se hacen demostraciones es preciso recurrir a conocimientos previos sobre el tema en cuestión. En este caso usted ya conoce la propiedad de los ángulos interiores del triángulo. En cada uno de los dos triángulos se cumple la propiedad: la suma de sus ángulos interiores es 180°. Para identificar a qué ángulo nos referimos les pondremos nombres. Para diferenciar los ángulos del triángulo de los del cuadrilátero nombraremos a cada ángulo del triángulo con un número: ^ 6^ ^ 4, ^ 5, ^ ^2, 3, 1,

^ Observe que el ángulo A del cuadrilátero es igual a la suma de 1^ y 6, ^ y C^ es igual a la suma de 3^ y 4.

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Como se observa en el gráfico

3^ + 4^ = C^ ^ 1^ + 6^ = A ^ 5^ = D 2^ = B^

4^ + 5^ + + ^ ^ 3+ 2+

6^ ^1

= 180° + = 180°

^ + A ^ ^C + ^5 + 2

=

180° + 180°

^ + A ^ ^ + B C^ + D

=

360°

¿Qué sucedería si se hubiera dibujado otro cuadrilátero? Con cualquier cuadrilátero podría hacerse el mismo razonamiento. Estas deducciones podrían hacerse con cualquier cuadrilátero que se hubiese dibujado, entonces se dice que se demostró en forma general. Para hacerlo se recurrió a: • considerar qué conocimientos ya se tenían sobre suma de ángulos interiores (en este caso ya se conocía la suma de los ángulos interiores de los triángulos); • dibujar una figura de análisis (un cuadrilátero cualquiera); • dividir la figura en triángulos para aplicar una propiedad ya conocida; • obtener mediante sumas el resultado deseado; • considerar si lo demostrado responde a un caso particular o sirve para cualquier situación general (en este caso para cualquier cuadrilátero).

¿Qué se demostró en este caso? Los ángulos interiores de un cuadrilátero cualquiera suman 360°.

En lenguaje simbólico:

Siendo ABCD un cuadrilátero cualquiera se verifica que ^ +B ^ + C^ + D^ = 360° A

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Actividad Nº11 a Si tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden: 65º, 89º y 135º ¿cuánto mide el cuarto? b Un cuadrilátero tiene al menos un par de ángulos iguales; si uno de ellos mide 70º ¿cuánto miden los restantes?

Actividad Nº12 Es usual que los pisos y las paredes de las habitaciones estén cubiertos con piezas de madera o cerámicas. Muchas veces estas piezas son cuadradas o rectangulares, pero también se utilizan otros polígonos. a ¿Es posible cubrir el suelo utilizando baldosas repetidas de alguna/s de las formas siguientes sin superponerlas y sin dejar espacios en blanco?

Para responder elija la (o las) figuras que considere pueden servir y recorte varias piezas iguales. Le sugerimos utilizar papel de calcar. b ¿Por qué cree que hay formas que sirven y otras no?

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Es posible realizar hermosos diseños repitiendo polígonos. Aquí le mostramos algunos. Trate de hacer usted otros.

Irene Albuerne Vilma Díaz y Zárate Diseños indígenas argentinos, Emecé Editores, Bs. As., 1999. Diseño de nuestros aborígenes

Antigua marca para identificar objetos cerámicos, sólo con triángulos

Bruno Munari El triángulo, más de 100 ejemplos ilustrados sobre el triángulo equilátero, Ediciones G. Gili, México, 1999)

Motivos de patchwork con rombos.

30

Perímetros

E

n muchas situaciones cotidianas tenemos que estimar longitudes para bordear diferentes objetos. Por ejemplo: la cantidad de hilo para hacer un paquete, de alambre para poner alrededor de un cantero, de cinta para hacer el borde de un vestido, etc. En estos casos lo que se está estimando es el perímetro.

En el Libro 1 Módulo 3 repasar perímetros y unidades de longitud.

Por ejemplo, el perímetro de una plaza se expresa generalmente en metros, la cantidad de hilo para atar un paquete pequeño puede indicarse en cm, el borde de la cabeza de un tornillo en mm o cm. El centímetro, el metro, el milímetro son unidades de longitud. Para conocer la medida de cualquier perímetro bastaría bordear con un hilo su contorno y luego medir esa longitud.

Cuando se quiere calcular el perímetro de un polígono resulta más sencillo, porque se puede tomar la medida con una regla, si esto es factible, y luego calcular la suma de los lados. Usted ya ha realizado en el Libro 3 ejercicios en los que aplicó estos conceptos. Ahora considerará un perímetro muy particular: la longitud de la circunferencia.

31

Analice el siguiente problema. En una fábrica de neumáticos se necesita calcular la longitud de cinta de caucho que se utilizará en la última capa de uno de sus productos. Para poder resolver esta situación debemos tener en cuenta la forma del objeto con el que estamos trabajando.

En Libro 2 Módulo 5 encontrará circunferencia y círculo.

La circunferencia es la línea que se forma con todos los puntos que están a igual distancia de otro llamado centro. Es decir, todos los puntos de la circunferencia son equidistantes del centro.

Para dibujar circunferencias se utiliza el compás. Este instrumento permite transportar segmentos. Al dibujar una circunferencia se transporta un mismo segmento infinitas veces, uno por cada punto de la circunferencia.

32

Actividad Nº13 a ¿Qué nombre recibe el segmento que tiene por extremos el centro de la circunferencia y uno cualquiera de sus puntos?

b ¿Cuántos radios tiene una circunferencia? c Es posible determinar otros segmentos en la circunferencia, aquellos en que sus dos extremos son puntos de la circunferencia. ¿Cuál de los segmentos dibujados tiene mayor longitud?

d ¿Cuántos diámetros tiene la circunferencia?

La figura plana que queda delimitada por la circunferencia tiene siempre el mismo ancho, porque tiene infinitos diámetros iguales.

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Esta propiedad es la que le permitió al hombre inventar la rueda, facilitando enormemente el traslado de cosas pesadas.

Para que usted note con mayor claridad la importancia de esta forma tome dos cilindros de igual diámetro (dos lápices) y traslade una caja haciéndolos rodar. Luego tome otros dos lápices pero con forma de prismas y trate de hacer lo mismo. ¿Qué sucede? Por ser las diagonales de mayor longitud que los lados el "ancho", no es constante. Tiene un “ancho" máximo y un ancho mínimo. En las siguientes figuras se observa esta situación considerando la posibilidad de que usted haya elegido un lápiz con base cuadrada o hexagonal.

Esto también lo advertirá si trata de pasar por un pasillo un cuerpo cuyas caras laterales sean estas figuras, depende de cómo ubique el cuadrado, pasa o no. Piense por ejemplo una caja de base cuadrada. Muchas veces al reubicar muebles tenemos en cuenta esta propiedad. Retomemos el problema de la fábrica de cubiertas. Allí necesitan saber la longitud del caucho, que no es otra cosa que la longitud de la circunferencia.

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Hallar la longitud de la circunferencia es medir el largo de dicha línea. Para ello se puede rodear la cubierta con un piolín, estirarlo y luego medirlo.

Actividad Nº14 Tome varios objetos de base circular como platos, latas de duraznos, ollas, baldes, etc. Dibuje los contornos de las bases, es decir las circunferencias. Analice qué sucede con la relación entre la longitud de la circunferencia y la longitud de los diámetros de esas figuras. Complete los valores hallados en una tabla como la siguiente. Puede utilizar un piolín.

Longitud de circunferencia

Ver Módulo 5 Libro 2.

Diámetro

¿Cómo hallar los diámetros? De diferentes maneras. Le proponemos algunas: • apoyar los objetos circulares sobre un papel, bordearlos. Recortar los círculos obtenidos y doblarlos por la mitad, por lo menos dos veces. Así es posible obtener un diámetro.

35

Observe que cualquier doblez que divida en mitades siempre permite obtener un diámetro porque pasa por el centro.

• Con un piolín, apoyar en un punto del borde y tomar diferentes medidas hasta obtener la máxima. Esa corresponde a la del diámetro, por definición de diámetro.

Recuerde proporcionalidad directa en el Libro 2, Módulo 4 y en el Libro 3.

Para que exista proporcionalidad directa entre el diámetro y la longitud de la circunferencia debería haber una constante de proporcionalidad. Para hallar esa constante, si es que existe, divida cada longitud de circunferencia por su correspondiente diámetro. Si usted tomó bien las medidas y efectuó bien los cálculos obtendrá valores muy cercanos a 3.

36

Actividad Nº15 Dibuje un par de ejes. En el horizontal indique los diámetros y en el vertical las longitudes de las circunferencias. Marque los puntos correspondientes a los valores obtenidos en los diámetros y circunferencias de la actividad anterior.

l

Referencias l longitud de la circunferencia d diámetro

d

El siguiente cuadro corresponde a los valores hallados en una actividad similar a la que usted tenía que realizar en la que se utilizó un instrumento graduado en cm y mm.

Diámetro

1 cm

2 cm

3 cm

Longitud de la circunferencia

3 cm

6,3 cm

9,4 cm

4 cm

5 cm

6 cm

7 cm

12,6 cm

15,7 cm

18,9 cm

22 cm

8 cm

25,1 cm

9 cm

28,2 cm

37

A continuación le presentamos el gráfico correspondiente a este cuadro:

Observará que los puntos quedan aproximadamente alineados. Además si una circunferencia tuviese diámetro cero, ¿qué longitud tendría? Considerando los errores en los valores del cuadro, propios de la limitación del instrumento y los errores al medir, se podría decir que el gráfico corresponde a puntos que están sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas. Por lo tanto si la relación que existe entre el diámetro de cada circunferencia y su longitud es una proporcionalidad directa cuya constante es (aproximadamente) tres, se puede afirmar que tiene la forma

y=k.x Donde k (constante de proporcionalidad) es aproximadamente 3.

38

O sea

y = 3. x En este caso la variable independiente x es el diámetro y la variable independiente y es la longitud de la circunferencia, que será distinta para cada valor del diámetro. Queda entonces: Longitud de la circunferencia = 3 . diámetro Este valor 3 es el que usaban los súmero-babilonios para hallar longitudes de circunferencias, por ejemplo el largo de un hierro que al curvarlo diera una rueda de cierto ancho. Pero los matemáticos, mediante otros métodos han calculado con mayor exactitud la constante de proporcionalidad, número al que llamaron π (pi) y que no puede expresarse con todas sus cifras decimales, pues siempre se puede calcular una nueva cifra. Tal como estudió en el libro 4 tanto por truncamiento como por redondeo se la puede indicar por aproximación

 = 3,14

La fórmula para hallar la longitud de la circunferencia: Longitud de la circunferencia =  . d Como el diámetro tiene el doble de la longitud del radio se la puede expresar también como: Longitud de la circunferencia = 2 .  . r Retomemos el problema de los neumáticos. Para resolverlo debemos medir el radio. Si al hacerlo registramos un radio de 50 cm, la longitud de cinta de caucho para el neumático será igual al doble de 50 cm (50.2) por π, que indica la cantidad de veces que “entra" el diámetro en la circunferencia. Así se tiene: Longitud de cinta = Longitud de la cinta = Longitud de la cinta de caucho =

2..r 2 .  . 50 cm 314 cm

39

Lea en el Libro 2, Módulo 5 lo trabajado sobre superficie de círculo.

No todos los problemas en los que participan formas circulares poseen como incógnita la longitud de una circunferencia. Otros pueden referirse a la superficie del círculo.

Actividad Nº16 a En una fábrica de posavasos se quiere averiguar la superficie del material sobrante por cada planchuela que deja una máquina perforadora de planchuelas de corcho. Las dimensiones de las planchuelas son de 50 cm por 60 cm. La máquina realiza 35 agujeros circulares de 5 cm de radio.

Calcular cuánta cinta es necesaria para poner en el borde de los portavasos de cada planchuela, considerando que al total de la cinta necesaria se le agrega un 15% para poder trabajar. b Se quiere atar un paquete cilíndrico del modo que indica el gráfico. Se sabe que la longitud de la circunferencia de las bases del paquete es de 15,7 cm, la altura del paquete es de 9 cm y se desea dejar 8 cm para el nudo. ¿Con qué longitud debe contar el piolín?

Actividad Nº17 a Calcular en forma aproximada la superficie de una moneda de $ 0,25, de una de $ 0,50 y de una de $ 1. b Se quiere enchapar con fórmica la superficie de una mesa circular de 50 cm de diámetro. ¿Qué superficie de fórmica debe comprarse?

40

Superficies El Tangram

E

l Tangram es un juego muy antiguo de origen chino. Consta de siete piezas geométricas. Con él es posible armar una muy variada cantidad de figuras. Algunas resultan figurativas, semejan animales o casas, otras son enteramente geométricas.

Actividad Nº18 Para realizar esta actividad tendrá que recortar las figuras que están en el Anexo III. Le sugerimos que las pegue sobre cartón o cartulina para trabajar mejor. Todas ellas conforman el rompecabezas conocido como Tangram. a Arme las siguientes figuras con las siete piezas del Tangram. (Las piezas se pueden colocar una al lado de otra pero no superponer.)

41 Ministerio de Cultura y Educación de la Nación

b Arme con ellas un cuadrado. c ¿Cómo son entre sí las superficies de las figuras de los items a y b?

Superponga los dos triángulos pequeños con: • el cuadrado pequeño; • el paralelogramo; • el triángulo mediano.

Después de hacerlo observe que se puede decir que el cuadrado pequeño mide (ocupa el lugar de) dos triángulos pequeños. Lo mismo sucede con el paralelogramo y con el triángulo mediano. De este modo podemos afirmar que la pieza con forma de cuadrado, la que tiene forma de paralelogramo y el triángulo mediano tienen superficies equivalentes. O lo que es lo mismo, que tienen la misma superficie. También son figuras equivalentes en superficie las figuras y el cuadrado obtenido en la actividad anterior.

Actividad Nº19 a Arme la pieza triangular grande con: • el paralelogramo y los dos triángulos pequeños; • el triángulo mediano y los dos triángulos pequeños; • el cuadrado y los dos triángulos pequeños. b Arme un triángulo, un paralelogramo y un rectángulo usando las siete piezas cada vez. c ¿Cuántos triángulos pequeños son necesarios para formar el triángulo mediano? ¿Y para formar el triángulo más grande?

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Considere el triángulo pequeño. ¿Cuánto mide el cuadrado que se arma con las siete piezas? Mide 16 triángulos pequeños.

Considere el triángulo mediano. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado? Mide 8 triángulos medianos.

Considere el triángulo grande. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado? Mide 4 triángulos grandes.

La medida de la superficie se llama área y varía dependiendo de qué patrón se usa para medir.

¿Varía de cualquier manera? En los ejemplos del Tangram se puede observar lo siguiente: en cada medición se usó un patrón con el doble de superficie respecto del anterior, y se obtuvo una medida que resultó la mitad en cada uno de los respectivos ejemplos. Patrón usado

Medida obtenida 16

8

4 Ministerio de Cultura y Educación de la Nación

43

Si lo considera necesario repase en el Libro 4 el concepto de inverso multiplicativo.

Puede deducirse que cuando el patrón (unidad) es el doble, la medida obtenida es la mitad; cuando es el cuádruple la medida obtenida es la cuarta parte. La relación entre el tamaño de la unidad y la medida obtenida es de proporcionalidad inversa, porque al variar una de ellas, la otra se modifica según su inverso multiplicativo.

Actividad Nº20 a Corte un trozo de hilo. Esta será una de sus unidades de longitud. Corte otros dos hilos cuyo largo sea el doble y el triple del anterior. Analice qué sucede si mide la longitud del borde de una mesa utilizando sucesivamente estas tres longitudes como unidades. b Busque dos botellas tales que la capacidad de una de ellas sea el doble de la otra. Mida la capacidad de un balde o de una olla dos veces utilizando sucesivamente como unidad estas botellas. c Analice sus respuestas a los items a y b y responda: ¿la relación de proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad y la medida obtenida depende de la magnitud que se mida?

Si queremos forrar un cuaderno, pintar o empapelar una pared, embaldosar un piso, etc. debemos estimar las respectivas medidas de las superficies. Esto se puede hacer de dos formas: por una estrategia de “medición", es decir de comparación -directa o mental- con una unidad o patrón de esa magnitud; • por el cálculo de la medida de la superficie, a partir de analizar la figura y conocer algunas longitudes. •

44 P l a n

S o c i a l

E d u c a t i v o

¿Cómo se miden las superficies?

S

i antes de pintar una habitación, para proteger su piso lo cubrimos con 50 hojas de papel de diario, podríamos afirmar que la superficie del piso es 50 papeles de diario. En este caso se comparó directamente la superficie a medir con la unidad (papel de diario). Pero se sabe que no todas las publicaciones editan sobre un mismo tamaño de papel. Por tal razón no podríamos transmitir a otro la información si previamente no nos ponemos de acuerdo sobre qué diario usar y por lo tanto obtener la misma medida. Para medir superficies la unidad es un metro cuadrado, o sea es la superficie de un cuadrado que tiene un metro de lado. También se necesitan unidades de mayor y de menor superficie. Por ejemplo, la superficie de un país se mide en km2 , la superficie de una hoja de cuaderno en cm2. Para medir campos también suele utilizarse la hectárea (ha) que es una superficie equivalente a 1hm2, es decir a un cuadrado de 1hm de lado. Por ejemplo en las ciudades las cuadras generalmente son de 100 m de largo, cada manzana es 1 hectárea.

Consulte en el Libro 1, Módulo Nº3 las unidades de medida.

Es importante recordar que las unidades patrón se eligen en función de las mediciones que se deben efectuar.

Actividad Nº21 Indique cuál es la unidad adecuada para medir la superficie en cada caso: Objeto que se debe medir

Unidad de superficie elegida

La extensión de su provincia El frente de un edificio La superficie de su mesa de trabajo La hoja de un árbol La palma de su mano La huella que deja su pie

45

Actividad Nº22 Halle el área de la hoja de una planta usando diferentes unidades como por ejemplo, el centímetro cuadrado, el milímetro cuadrado. Para realizar esta actividad puede “calcar" la hoja sobre papel 1 cm y sobre papel milimetrado cuadriculado de 1cm, de _ 2 (Anexos IV , V y VI). Resulta interesante tomar hojas de una misma planta en diferentes estadios de crecimiento y observar qué relación guardan entre sí el largo, el ancho y el área.

¿Cómo se calculan las superficies?

N

o siempre resulta sencillo medir superficies, pero se puede obtener la medida a partir de conocer algunas longitudes. En módulos anteriores usted ha estudiado cómo calcular la superficie del rectángulo, del cuadrado, del rombo, del triángulo y del círculo. Puede consultar los números 2, 3 y 4.

Actividad Nº23 a Se quiere embaldosar un patio rectangular de 4 m de largo por 3 m de ancho utilizando baldosas de 40 cm por 40 cm. ¿Cuántas baldosas serán necesarias? b Una lata de pintura en su etiqueta dice “Rendimiento 5 m2/ litro" esto significa que con un litro es posible cubrir 5 m2). Se desea pintar una habitación que tiene dos paredes de 4 m x 6 m y otras dos de 5 m x 6 m. En una de las paredes pequeñas hay una ventana de 1 m x 2 m; en otra hay una puerta de 1,5 m x 3 m; en una de las paredes grandes hay otra puerta de 2 m x 3 m. (El techo no se pinta con la misma pintura de las paredes.)

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b.1 Haga el dibujo de la habitación. b.2 Determine las dimensiones del techo. b.3 Calcule cuántos litros de pintura serán necesarios para pintar las paredes (descontando las puertas y la ventana).

Actividad Nº24 1 cm2; 1 cm2; Dibuje en el papel cuadriculado triángulos de _ 1 cm2; 2 cm2; 2 cm2 y 3 cm2 respectivamente. 2 1_ 2 1 cm2. Para ello tenga en cuenta que las siguientes figuras miden 1 _ 2

1 cm2 superficie de A = 1 _ 2

1 cm2 superficie de B = 1 _ 2

Actividad Nº25 a Dibuje un cuadrado y recórtelo. Divídalo en dos figuras de igual superficie. Intente varias soluciones. b Dibuje un rectángulo y recórtelo. Divídalo en dos figuras de igual superficie. Intente varias soluciones. c Dibuje un paralelogramo y recórtelo. Divídalo en dos figuras de igual superficie. Intente varias soluciones.

Actividad Nº26 a Dibuje un cuadrado cuya superficie mida 36 cm2. b Dibuje un triángulo cuya superficie mida la cuarta parte de la del cuadrado.

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Actividad Nº27 a Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 24 cm2. Dibuje un triángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo. b Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 24 cm2. Dibuje un triángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo. c Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 21 cm2. Dibuje un triángulo cuya superficie mida la mitad de la del rectángulo. d Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 21 cm2. Dibuje un triángulo cuya superficie mida la mitad de la del paralelogramo. Dibuje otro triángulo cuya superficie sea la mitad de la del mismo paralelogramo.

¿Cómo calcular la superficie de otras figuras? A continuación determinaremos cómo se calcula la medida de las superficies de triángulos, trapecios y romboides. Para ello se utilizarán las superficies de rectángulos y paralelogramos que ya conoce.

Superficie del triángulo

P

ara calcular la superficie del triángulo utilizaremos el rectángulo y el paralelogramo. Le sugerimos revisar sus respuestas a la Actividad Nº 27.

Relea en el Libro 4 las propiedades de los triángulos.

48

Al trazar cualquiera de las diagonales de un rectángulo notará que la figura queda dividida en dos triángulos iguales. La superficie del triángulo deberá ser, entonces, la mitad de la superficie del rectángulo.

Como la superficie del rectángulo es base por altura, la superficie del triángulo será la mitad, o sea, habrá que multiplicar a la base por la altura y dividirla por dos:

base x altura Sup. del triángulo = ____________ 2

¿Cuál será la superficie de un triángulo de 5 cm de base y 3 cm de altura? Consulte los Módulos Nº3 y Nº5 donde se trabajó sobre superficie del rectángulo.

Primero cuente los cuadraditos completos.

Luego las porciones de cuadrados uniéndolas para constituir cuadrados completos.

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Como podemos notar la fórmula interpreta el conteo de centímetros cuadrados realizado por nosotros:

x altura ____________ Superficie del triángulo= base 2 5 cm . 3 cm Superficie del triángulo= ____________ 2 cm2 ______ Superficie del triángulo= 15 2 Superficie del triángulo= 7,5 cm2

El triángulo sobre el que recién trabajamos es rectángulo. ¿Cómo se calcula la superficie del triángulo si es acutángulo u obtusángulo? Considere el siguiente paralelogramo:

Si es necesario revise el Libro 2, Módulo 5 para repasar cómo se calcula la superficie del paralelogramo.

Como puede observar, al trazar cualquiera de las diagonales el paralelogramo también queda dividido en dos triángulos iguales. En este caso también hay que multiplicar la base por la altura para hallarla. Por lo tanto si la superficie de cada triángulo es la mitad de la del paralelogramo, habrá que dividir por 2 el resultado de la multiplicación. Es importante considerar que la altura del paralelogramo coincide con la altura del lado del triángulo que se está considerando como base. Como puede observar la fórmula sirve para calcular la superficie de cualquier triángulo, no importa que éste sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo.

x altura ____________ Superficie del triángulo= base 2

50

Actividad Nº28 Con un hilo elástico (cerrado) fije dos puntos A y B y desplace el tercer punto C por una paralela al lado AB (ver figura).

a ¿Qué elementos de cada triángulo permanecen constantes y cuáles varían? b ¿Qué clases de triángulos pudo obtener? c ¿Cuántos triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos halló? d Identifique los triángulos isósceles encontrados. e ¿Cuál es el triángulo de menor perímetro? f ¿Que conclusión puede sacar respecto de la superficie y del perímetro de cada triángulo?

51

Superficie del trapecio

P

ara que usted pueda seguir la explicación más fácilmente es conveniente que recorte los dos trapecios iguales que encontrará en el Anexo VII. Coloque los nombres a los vértices, como indican las siguientes figuras. Trabajaremos con el trapecio ABCD y con el A’B’C’D’, que son iguales entre sí. Responda las preguntas que se formulan, si tiene dificultades mire la referencia en el pie de página.

Rote uno de los trapecios 180º y haga que el lado CD y el lado C’D’ coincidan. Podrá observar que queda conformado un paralelogramo. Mencione qué paralelogramo queda formado : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

¿Cómo es la superficie del paralelogramo respecto del trapecio? .....................2

Halle la superficie de un paralelogramo.

1

52

El paralelogramo ABA’B

Superficie del paralelogramo ABA’B’ =

...........

x

..........3

O sea la base del paralelogramo por la altura. Pero además la base del paralelogramo es la suma de la base mayor y la base menor del trapecio. Nos referiremos a ellas como Base (base mayor) y base (base menor). Se tiene entonces que AB’ =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

4

La altura del paralelogramo es la misma que la del trapecio, la llamaremos h. Si reemplazamos la base del paralelogramo por la suma de las bases de los trapecios queda: Superficie del paralelogramo ABA’B’ = (. . . . . . + . . . . . . ) x

......5

Como usted sabe que la superficie de cada trapecio es igual a la mitad de la del paralelogramo sólo restará dividir por dos:

(mayor) + base (menor) x H ________________________ Superficie del trapecio = Base 2

2 3 4 5

La superficie del paralelogramo es el doble de la superficie del trapecio. Por lo tanto la superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo. Superficie del paralelogramo ABA’B’= AB’ . AB. AB’= Base (mayor) + base (menor). Superficie del paralelogramo ABA’B’= {Base (mayor) + base (menor)} x h.

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Actividad Nº29 Primero consulte en el Módulo 5 qué son los puntos medios. Luego realice la actividad. Dibuje un rectángulo sobre el papel cuadriculado (Anexo IV o V). a ¿Cuánto mide la superficie de su rectángulo? • •

Trácele los puntos medios a los lados. Una los puntos medios de lados consecutivos.

b ¿Qué figura le quedó formada al unir los puntos medios? c ¿Qué relación encuentra entre esta superficie y la del rectángulo del comienzo?

Superficie del romboide

P

ara facilitar la deducción de la fórmula del romboide recorte del Anexo VIII los dos romboides iguales. En uno de ellos recorte los triángulos que están determinados.

Coloque las letras para poder seguir la deducción.

54

Llamaremos d a la diagonal menor y D a la diagonal mayor. Complete el rectángulo con las piezas triangulares del otro romboide para conseguir formar un rectángulo. Como puede observar, este rectángulo tiene el doble de superficie que cada romboide.

Como usted sabe hallar la superficie de un rectángulo, le bastará con hallar la superficie del rectángulo y luego dividirla por dos para obtener la del romboide. Observe: La diagonal mayor del romboide coincide ¿con qué segmento del rectángulo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Y además la diagonal menor coincide con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 El rectángulo está formado por ocho triángulos. Podríamos formar con ellos dos romboides iguales. Por lo tanto la superficie del romboide es igual a la mitad de la superficie del rectángulo. Entonces:

Sup (rectángulo) Superficie del romboide = _______________ 2

Complete con los datos del rectángulo: Superficie del romboide = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 7 8

La base del rectángulo PL (o bien MN) coincide con D. La altura del rectángulo (BE=MP). PL x MP. 2

55

Usted ya dedujo que esos datos están relacionados con los del romboide, reemplácelos: Superficie del romboide =

....................

9

La superficie del romboide es: Superficie del romboide =

Dxd 2

Actividad Nº30 a Su hijo quiere construir un barrilete que tiene forma de romboide. Para eso usted dispone de dos maderitas de 60 cm y de 80 cm. ¿Cuántos cm2 de papel necesitará si quiere ponerle dos capas, una a cada lado del barrilete? b Un puente que se encuentra sobre un ferrocarril tiene un enrejado fino que forman dos “paredes de hierro" laterales que sirven como seguro. La forma de cada una es la de un trapecio isósceles cuya base mayor mide 15 m, su base menor mide 12 m y la altura es de 8 m. ¿Cuál es la superficie de cada una de esas paredes?

Actividad Nº31 Calcule mentalmente. a ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide 7 cm y su altura mide 8 cm? b Una carpeta cuadrada tiene 25 m2 de superficie, ¿cuál es la medida de cada uno de sus lados? c Un paralelogramo posee 80 m2 de superficie. Si su base mide 10 cm, ¿cuál es su altura? d Un triángulo mide 36 cm2 de superficie si la altura es de 9 cm, ¿cuánto mide su base? 9

56

Diagonal (mayor) x diagonal (menor) 2

A continuación y a modo de síntesis, le presentamos un cuadro con las fórmulas de superficie que usted podrá consultar cada vez que lo necesite.

Figura

Triángulo

Cuadrado

Fórmula de la superficie

b.h 2

2

l

Rectángulo

b.h

Paralelogramo

b.h

Rombo

Romboide

Trapecio

D.d 2

D.d 2

(B + b) . h 2

Círculo

Sup. (círculo) =  . r2

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Volúmenes

S

En el Libro 2, Módulo Nº5 encontrará información más detallada sobre el tema volumen.

i queremos levantar una construcción de hormigón, llenar un camión con la carga, llenar una pileta o un tanque, guardar la vajilla en un armario o la mercadería que compramos (latas de tomates, paquetes de galletitas, etc.), guardar libros en una caja o en un estante, rellenar un pozo con tierra o con material asfáltico debemos estimar los respectivos volúmenes. Para realizar la próxima actividad trabajará con un rompecabezas llamado Soma. El Soma es un rompecabezas espacial creado por el matemático danés Piet Hein. Consta de siete piezas que están formadas por cubos. Con él es posible armar una muy variada cantidad de sólidos. Algunos resultan figurativos y otros son enteramente geométricas como por ejemplo el cubo del dibujo.

Actividad Nº32 Copie en cartón o cartulina fuerte este rompecabezas. Arme los 27 cubitos y con ellos las siete piezas del Soma.

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Arme los siguientes cuerpos con piezas del Soma.

Observe que las piezas se arman con diferente número de cubos. Así como para medir superficies se utiliza una superficie tomada como unidad patrón, para medir volúmenes se considera un volumen como unidad. En este caso un cubo pequeño será la unidad. Analice en cada una de las construcciones cuál es el volumen respecto de esa unidad. Arme tres cuerpos equivalentes en volumen.

59

¿Cómo se mide el volumen?

P

ara medir el volumen de un cuerpo es necesario acordar -tal como se hizo con las mediciones de longitudes y de superficies- y adoptar una unidad de medida común.

En el Libro 2 del Móludo 4 puede encontrar desarrollado lo relativo a las unidades de volumen que se consideran en el Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA).

Si cargamos el baúl de un auto con cajones de gaseosa, y vemos que entran cinco, podríamos afirmar que el volumen interior del baúl es 5 cajones de gaseosa. Pero otra persona podría discutir por un baúl semejante porque él guarda sesenta cajas de gaseosas, entonces podría decir mide sesenta. Un volumen se mide viendo cuántas unidades cúbicas contiene el sólido en cuestión. El metro cúbico (m3) es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista. El centímetro cúbico (cm3) es el volumen que tiene un cubo de 1 cm de arista.

1 cm Si se quiere medir el volumen de agua que puede contener un balde es conveniente medirlo con centímetros cúbicos (cm3) . También se usa esta unidad para indicar la capacidad total de los cilindros de los motores de los coches y las motos. Es común escuchar hablar de la cilindrada de los motores, a mayor cilindrada mayor potencia. En cambio si se quiere medir el volumen de aire que contiene una habitación es mejor hacerlo en metros cúbicos (m3). Muchas veces, la capacidad de los frascos de medicamentos viene indicada en centímetros cúbicos (cm3) o en milímetros cúbicos (mm3). Si considera el siguiente dibujo a escala de 1 dm3 y la cantidad de cubitos de 1 cm de arista (1cm3) necesarios para llenarlo podrá recordar que en las unidades de volumen del SIMELA la relación entre las diferentes unidades es de potencias de 1.000.

60

1 cm

3

1 dm3

Si lo cree necesario arme un m3. Recorte y pegue papeles de diario para armar las caras laterales que tendrán 1m2. Arme el cubo de 1m de arista, en un rincón de una habitación, así podrá utilizar el piso y las paredes como ayuda. Complete con su imaginación el “techo" de este metro cúbico. Si además construye cubos de 1 dm de arista (dm3) verá como efectivamente se necesitarán 1.000 de esos cubos de 1dm3 para completar el m3. También puede armar cubos de 1cm de arista y tratar de completar un cubo de 1dm3 de volumen.

61

Estas equivalencias entres unidades son las que deberá recordar, por ejemplo, si le preguntan ¿a cuantos dm3 equivalen 5m3? Podrá contestar pensando en el cubo que armó de 1m3 que equivalen a 5 000 dm3.

¿Cómo se calculan los volúmenes de los cuerpos? En el Libro 2, Módulo 5 se explica cómo calcular el volumen de cubos, prismas y cilindros. Revéalo.

A

sí como no siempre resulta sencillo medir superficies tampoco lo es medir los volúmenes. La medida se puede obtener calculándola a partir de conocer algunas longitudes. Por ejemplo, la fórmula del prisma es:

Volumen del prisma = superficie de la base x altura. Analice este ejemplo. Se quiere medir el prisma de la siguiente figura. Se utilizan cubos de un cm3.

62

63

Se observa que caben 6 cubos a lo largo, luego 5 cubos a lo ancho. Con lo que se tienen en la base 30 cubos. Luego se observa que en el alto caben 3 cubos. Finalmente se cuentan todos los cubos y se obtiene que hay 30 x 3 = 90 cubos. Por lo tanto el volumen de este prisma se puede obtener directamente multiplicando los valores del largo por el ancho por el alto o lo que es lo mismo, superficie de la base por la altura. Datos: Longitud del largo = 6 cm Longitud del ancho = 5 cm Longitud del alto = 3 cm Volumen del prisma = ? Volumen del prisma = 6 cm x 5 cm x 3 cm = 90 cm3

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Actividad Nº33 Las aristas de una caja de cartón con forma de prisma miden respectivamente 16,5 dm, 18 dm y 30 dm. a ¿Con cuántos cubos de 1 dm de arista se puede rellenar? b ¿Con cuántos cubos de 1 cm de arista se puede rellenar?

Use la fórmula para hallar el volumen en decímetros cúbicos. Use la fórmula para hallar el volumen en centímetros cúbicos. ¿Encontró alguna diferencia con los resultados anteriores?

Actividad Nº34 Las aristas de un envase de leche miden 2 dm, 1,25 dm y 1 dm. ¿Cuántos decímetros cúbicos caben en él?

Actividad Nº35 a El decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un decímetro de arista, pero no es correcto decir que un decímetro cúbico es un cubo de un decímetro de arista. Resuelva el siguiente problema y responda por qué no es correcto. b Las aristas de una caja prismática son 1 dm, 2 dm y 0,5 dm. ¿Cuál es el volumen de esta caja?

65

El lenguaje matemático

P

ara poder organizar nuestro pensamiento, comunicar nuestras ideas, interpretar las ideas de otros, necesitamos usar una representación que sea común a todos. Esta representación es el lenguaje. Este lenguaje ya sea el gestual, con gráficos, con palabras ha ido cambiando a través de la historia del hombre. ¿Qué habrán querido transmitir aquellos hombres que pintaron las paredes de la cueva de Altamira en España o aquellos que lo hicieron en la cueva de las manos en nuestra Patagonia?

Es fundamental que todos entendamos lo mismo con cada símbolo que usemos. Por ejemplo el semáforo debe ser interpretado de cierta manera: luz roja, parar; luz verde, avanzar. Si alguien entendiera lo contrario resultaría muy peligroso. La elección del color es convencional y arbitraria. Convencional quiere decir que las personas que la utilizan se pusieron de acuerdo, y arbitraria que es así por elección pero podría haber sido de otra manera. Del mismo modo las palabras que usamos para hablar y escribir son arbitrarias. Así también sucede con el lenguaje matemático. Es convencional y es arbitrario. Por ello es que debemos acordar qué significan los símbolos que se usan para que todos nos entendamos.

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La matemática usa varios lenguajes: el lenguaje gráfico, el lenguaje aritmético, el lenguaje geométrico, el lenguaje coloquial (habitual), el lenguaje algebraico. María tiene quince años. Es una expresión del lenguaje habitual (en castellano) María tiene 15 años. Ya introduce el lenguaje aritmético. Utiliza un símbolo numérico que forma parte del lenguaje aritmético. Observe que en la Antiguedad un romano lo hubiese escrito: María tiene XV años. Los lenguajes evolucionan de acuerdo con los diferentes momentos históricos con las diferentes civilizaciones. “Quince" se dice diferente en otros países, por ejemplo en inglés “fifteen". Pero, tanto en Inglaterrra como en muchísimos países más, se escribe 15 al usar el lenguaje aritmético, porque el lenguaje aritmético es casi universal. ¿Para qué sirve el lenguaje simbólico de la matemática? Para acortar expresiones. En la Edad Media se escribía “la raíz cuadrada de treinta y seis más sesenta y cuatro es igual a diez". Ahora se indica así: 36 + 64 = 10 Los signos más y menos tal como hoy los usamos ("+" y "-") fueron empleados por primera vez por el alemán Ricardo Widmann en 1489. El signo "=" lo creó el inglés Robert Recorde en 1557. La notación " " para designar a la raíz cuadrada fue introducida por Christoph Rudolff en 1525. Recién en el siglo XV se generalizó a toda Europa el uso del sistema de numeración indoarábigo, que usamos hoy. Piense qué otros símbolos matemáticos conoce. Todos tienen su historia.

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Thomas Harriot creó los signos de desigualdad “>" y “ 3" como cuando encontramos “3 < 7". También es posible escribir “7  9" con lo que se indica que “siete es menor o igual que nueve". Pero también es común encontrar en los textos matemáticos “a < 9" con lo que se quiere expresar “cualquier número menor que nueve". En este caso estamos usando el lenguaje algebraico. En el lenguaje algebraico se utilizan letras en lugar de números. Estas letras pueden estar representando uno, varios o infinitos números.

Veamos algunos ejemplos: • Cuando se dice “un número que sumado a tres de siete" simbólicamente se puede expresar “n + 3 = 7". Con “n" se indica un solo número desconocido al momento de expresarlo pero que es factible hallar. Se dice que ese número es cuatro y se expresa “n = 4". • Cuando se dice en lenguaje coloquial “dos números naturales que sumados den siete" (que es lo mismo que decir “cualquier par de números naturales tales que al sumarlos se obtenga siete") se expresa de este único modo algebraicamente: “a + b = 7" (En realidad se podrían haber usado otras letras pero estaríamos indicando lo mismo). Y “a" y “b" estarían representando varios pares de números: 1 y 7, 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4. • Cuando se escribe “a > 10" se quiere expresar cualquier número que sea mayor que diez. En este caso “a" está representando de modo general a infinitos números. En los Libros 3 y 4 usted ya trabajó con expresiones algebraicas para hacer generalizaciones. Por ejemplo: a tiene por opuesto a –a. En estos casos se utiliza el lenguaje simbólico para representar todos los números, para cualquiera de ellos (por lo tanto son infinitos). Cuando en el Libro 3 usted estudió funciones utilizó expresiones tales como “y = k . x", cuando se trató la proporcionalidad directa

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y se aclaró que quería decir que “y es igual al producto de una constante k por la variable x". En estos casos existen infinitos pares de valores posibles para x y para y. Otro ejemplo visto en el Libro 3 fue: En símbolos: “y = k . x + b" donde b y k son valores dados en cada caso. Y se tradujo como: “Las funciones en las que la variable independiente se multiplica por algún valor y luego se le suma (o resta) otro tienen como gráficas rectas que no pasan por el origen de coordenadas". Un ejemplo de este tipo de función en lenguaje algebraico sería: y=3.x+2 Esa función en lenguaje gráfico sería:

También se indicaron con letras las fórmulas de la superficie de figuras y de los volúmenes de cuerpos.

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Actividad Nº36 Traduzca las siguientes expresiones utilizando símbolos matemáticos: • • •

• •

• •

Siete es menor que quince. Veintitrés no es mayor que cuarenta. Nueve es menor que quince y mayor que tres (lo que es equivalente a decir que nueve está entre tres y quince). Veinticinco es menor o igual que veintisiete. El consecutivo de un número es tres. (Es lo mismo que decir “El siguiente de un número..."). El doble de un número cualquiera. Un número cualquiera disminuido en tres.

Actividad Nº37 El perímetro de este paralelogramo puede hallarse por cualquiera de estas dos fórmulas: P=2.a+2.b P = 2 . (a + b)

Escriba usando sus propias palabras el significado de ambas fórmulas. Verifique que al reemplazar por los valores dados (por ejemplo 9 cm y 5 cm) en cualquiera de las dos fórmulas se obtiene el mismo resultado.

70

Actividad Nº38 Los cuadernos azules cuestan 3 pesos cada uno y los rojos 2,80 pesos cada uno. Si compró algunos cuadernos rojos y otros azules gastó 14,60 pesos. • • •

•

Escriba una letra que simbolice los cuadernos azules. Escriba otra letra que simbolice los cuadernos rojos. Escriba una expresión que simbolice el gasto de 14,60 pesos en cuadernos. Escriba una expresión que simbolice un gasto cualquiera en cuadernos.

Es importante tener en cuenta que cuando se hace referencia a un mismo número siempre se utiliza una misma letra. En cambio, cuando se quiere indicar números diferentes (aunque en algún caso particular puedan ser iguales) se deben utilizar letras diferentes. La aritmética es la parte de la matemática que utiliza los números. El álgebra comienza cuando los matemáticos empiezan a interesarse por simbolizar operaciones que se pueden hacer con cualquier número. Los babilonios alrededor del 1700 a. C. resolvían problemas sin utilizar símbolos. Con un matemático griego llamado Diofanto (250 d. C.) aparecen las primeras abreviaturas. Y así permanece la notación algebraica hasta el siglo XVI. La notación tal como la usamos hoy la inventó el francés Viéte en el siglo XVI. Contribuyó también Descartes (filósofo y matemático) y se convirtió el álgebra en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones.

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Ecuaciones e inecuaciones

U

sted ha escuchado expresiones como las siguientes:

1. Pablo tiene 39 años, ¿en cuánto tiempo tendrá 53 años? 2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie es de 36 m2? 3. Este campo tiene más de 35 hectáreas. 4. Este chico mide menos de 1,5 m. Todas estas expresiones se pueden escribir matemáticamente de alguna manera. 1. Si Pablo tiene 39 años, ¿en cuántos años tendrá 53 años? En los primeros Libros se expresaba este problema indicando con un casillero vacío el lugar del número que se desconocía. En este caso, la cantidad de años que deben pasar para que Pablo cumpla 53 años. 39 + = 53 Hoy lo puede expresar simbólicamente como: 39 + x = 53 ¿Qué representa la “x" en esta expresión? Representa el tiempo que deberá transcurrir para que Pablo cumpla 53 años.

2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie es de 36 cm2? Se expresa así: x2 = 36 cm2 ¿Qué representa la “x" en esta expresión? La longitud del lado del cuadrado cuya superficie conocemos.

3. Este campo tiene más de 35 hectáreas. Se expresa:

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x > 35

¿Qué significa la “x" en esta expresión? Significa que el campo puede tener como superficie cualquier número mayor que 35. 4. Este chico mide menos de 1,5 m. Se expresa así: x < 1,5 ¿Qué significa la “x " en esta expresión? Que el niño en cuestión tiene una altura que es menor que un metro y medio.

Los dos primeros ejemplos: 39 + x = 53

x2 = 36 cm2

Se denominan ecuaciones.

Los dos siguientes: x > 35

x < 1,5 Se llaman inecuaciones.

¿Cuál es la diferencia? 1. La ecuación es una igualdad en la que aparecen una o más incógnitas. Ejemplos: 1. ¿Cuánto me falta para pagar $ 112 si tengo $ 55? x + 55 = 112 En esta ecuación la x representa los pesos que me faltan para tener 112 pesos. El valor que verifica la igualdad es 57. Se dice que 57 es la solución de la ecuación.

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2. El doble de un número menos 35 es igual a 3. 2 . x - 35 = 3 En esta ecuación la expresión 2 . x representa el doble del número x. Mentalmente se puede seguir pensando: ¿a qué número le resto 35 y obtengo 3? A 38. Luego ¿el doble de qué número es 38? De 19. Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto 35 y finalmente me da 3. 19 es la solución de la ecuación.

2. La inecuación es una desigualdad en la que aparecen una o más incógnitas.

Vea estos ejemplos: 1. ¿A partir de qué número natural, sumado a 55, el resultado supera a 112? x + 55 > 112 En esta inecuación la x representa el número a partir del cual sumándole 55, la suma da por resultado un número mayor que 112. Para hallar la solución podemos pensar 55 más qué número da 112. O lo que es lo mismo 112 menos 55. 112 menos 55 es 57. Veamos 57 + 55 = 112 Pero x + 55 debe ser mayor que 112. O sea que en el campo de los números naturales la inecuación se verifica a partir de 58.

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58 + 55 = 113 y 113 > 112, luego 58 + 55 > 112 59 + 55 = 114 y 114 > 112, luego 59 + 55 > 112 60 + 55 = 115 y 115 > 112, luego 60 + 55 > 112 Y vemos que así se verifica para todos los números naturales mayores o iguales que 58. Lo cual se puede indicar x ≥ 58. 2. ¿Qué cantidad de pesos debo poseer si el doble de esa suma menos 35 da por resultado un número menor que 3? 2 . x - 35 < 3 Aquí la expresión 2 . x representa el doble de la cantidad de pesos que estamos buscando. ¿A qué número le resto 35 y obtengo 3? A 38. Luego, ¿el doble de qué número es 38? De 19. Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto 35 y finalmente me da 3. Pero en este caso el resultado no debe ser 3 sino menor que 3. Entonces ¿qué número natural verifica la desigualdad? 2 . 18 - 35 = 36 – 35 = 1 y 1 < 3, luego 2 . 18 - 35 < 3 2 . 17 - 35 = 34 - 35. No tiene solución en los números naturales. La solución debe ser un número natural pues es la cantidad de pesos que debo poseer y no se puede poseer una cantidad negativa. Con un número negativo puedo representar una cantidad faltante o una deuda. Por lo tanto la única solución es 18.

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3. Si salgo a pasear puedo gastar entre 15 y 20 pesos. 15 < x < 20 ¿Qué cantidad de pesos puedo gastar? 16, 17, 18 ó 19. Por eso decimos que la solución de esta inecuación es en realidad un grupo de números y no un número solo. También se podrían considerar los valores intermedios considerando los centavos.

¿Qué significa resolver una ecuación o una inecuación? Resolver una ecuación significa hallar el valor o los valores numéricos con los que al reemplazar la incógnita se verifica la igualdad (o la desigualdad en el caso de la inecuación).

¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

E

l hijo de Juan, de 12 años pregunta: - Papá: ¿cuántos años tenés? Y el padre, como le gustan los acertijos, contesta: - La mitad de mi edad menos 6 años es igual a tu edad. ¿Cuántos años tengo? ¿Cómo se puede hacer para averiguar la edad del padre? En primer lugar es conveniente escribir en forma matemática, es decir mediante una ecuación, la respuesta del padre. Llamamos “x" a la edad del padre, porque no la conocemos, es la incógnita. “La mitad de mi edad" significa que la edad debe dividirse por 2 x _ 2 “La mitad de mi edad menos 6", al resultado anterior hay que restarle 6. x _ -6 2

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“La mitad de mi edad menos 6 es igual a tu edad" que es 12, según la afirmación anterior. x _ - 6 = 12 2 Podríamos pensar como hicimos antes, o probar con diferentes números hasta obtener la solución. Pero usaremos otro camino que nos servirá en casos en los que no sea tan sencillo resolver la incógnita. La ecuación es una igualdad. Lo que está antes del signo igual se llama primer miembro y lo que está detrás segundo miembro. Comparemos esta igualdad con una balanza de platillos, con los dos brazos iguales. (Cada uno de los platillos representa un miembro de la igualdad.)

Si en la balanza colocamos el mismo peso en ambos platillos ésta se mantendrá en equilibrio. En cambio, si se coloca un objeto más pesado en uno de los platillos la balanza se inclinará hacia el lado que pesa más.

7 kg

5 kg

2 kg

5 kg

Para equilibrar la primera balanza deberé colocar un peso de 2 kg en el platillo de la derecha; para equilibrar la segunda uno de 3 kg en el platillo de la izquierda. Usando lenguaje aritmético quedaría indicado: 7 = 5 + 2

2 + 3 = 5

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Si una balanza está en equilibrio y agrego (o quito) el mismo peso en ambos platillos, el equilibrio se mantiene. En las igualdades numéricas sucede algo parecido; decimos que hay una analogía. Tenemos una igualdad. Por ejemplo:

3 kg

3 kg

3 = 3

Si agrego 2 kg en cada platillo, el equivalente numérico consistiría en sumar 3 a cada miembro de la igualdad.

3 + 2=3 + 2=5

La balanza queda en equilibrio. La igualdad se mantiene. Del mismo modo si multiplicamos (o dividimos) ambos miembros de una igualdad por un mismo número -que no sea cero- la igualdad se conserva. ¿Para qué nos sirve sumar (o restar) y multiplicar (o dividir) ambos miembros de las igualdades por un mismo número? Esto le permitirá resolver la ecuación. Lo que significa, hallar el valor de la incógnita. O lo que es lo mismo, despejar la incógnita.

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¿Qué significa despejar la incógnita? Significa lograr que quede sola antes o después del signo igual, es decir que en uno de los miembros queden expresados los cálculos que deben realizarse para hallar el valor de la incógnita. Para ello deben ejecutarse una serie de pasos algebraicos, garantizando que en todos ellos se mantenga la igualdad. Por ejemplo: x + 12 = 30 En este caso se tratará de lograr que la x quede “sola” en el primer miembro. Para ello tengo que tratar de sacar de allí el 12 que está sumando; la forma de hacerlo es restarle 12 (para que quede 0 al hacer la cuenta), pero como hay que mantener la igualdad debe restársele a ambos miembros de la igualdad 12. Así se tiene: x + 12 - 12 x + 0 x

= 30 - 12; operando queda10 = 18 = 18, que es la solución. Efectivamente 18 + 12 = 30

43 -14 = x - 37 En este caso la x está en el segundo miembro, se encuentra afectada por una operación de resta (en este caso -37), para despejarla hay que lograr que el -37 se cancele, para ello es necesario sumarle 37, pero si se le suma en el segundo miembro también hay que hacerlo en el primero para mantener la igualdad. 29 = x - 37 29 + 37 = x - 37 + 37 66 = x + 0 Luego: 66 = x 10

Tengamos en cuenta que si a un número le sumamos otro y al resultado le restamos ese mismo número, el primer número no cambia. Decimos que se cancela el que suma con el que resta.

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O lo que es lo mismo x = 66 x = 28 __ 4 Acá, ¿qué operación debe efectuarse en ambos miembros para despejar x?11 Siga solo:

Retomemos el problema inicial que es una ecuación más compleja: x - 6 = 12 __ 2 Si lo necesita relea en el Libro 3 cómo se resuelven los cálculos combinados.

En este caso hay dos operaciones que están afectando a la incógnita. Recuerde el orden en que se realizan las operaciones en los cálculos combinados. Las últimas operaciones que debe resolver en los cálculos son las primeras a las que les deberá aplicar la propiedad cancelativa o la simplificación. Por ello: x - 6 + 6 = 12 + 6 __ 2 Cancelamos en el primer miembro los dos números 6 porque el resultado es igual a cero. 11

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Si multiplica ambos miembros por 4 obtendrá el valor de x. Tengamos en cuenta que si a un número lo multiplicamos por otro (distinto de cero) y al resultado lo dividimos por ese mismo número, el primer número no cambia ya que significa haber hecho una simplificación.

x = 18 __ 2 Multiplicamos por 2 ambos miembros de esta igualdad: x . 2 = 18 . 2 __ 2 Para resolver el primer miembro simplificamos en él los dos números 2 porque el resultado es igual a uno. x = 36 Ya tenemos la respuesta: el padre tiene 36 años.

Será útil recordar las siguientes propiedades: Si sumamos y restamos un mismo número a otro, el resultado es el mismo número. Ejemplo: 9 + 15 - 15 = 9 Si multiplicamos y dividimos por un mismo número a otro (distinto de 0), el resultado es el mismo número. 7 = 9 Ejemplo: 9 . __ 7

Actividad Nº39 Resuelva las siguientes ecuaciones: a x + 255 = 1.000 b x + 221 = 55 c 100 - x

= 200

x -7 d __ 3

= 15 + 59

x e 234 + 57 = 27 - __ 3

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Actividad Nº40 a Un campo tiene la forma de un rectángulo. Se sabe que el perímetro es de 400 metros y la base es de 90 metros. ¿Cuánto mide la altura? b En una fiesta organizada por la cooperadora de una escuela se cobraba $ 5 la entrada a los hombres; $ 3 las damas y $ 1 los chicos menores de 12 años. Se sabe que se recaudaron $ 480 y que asisitieron 40 damas y 110 chicos. ¿Cuántos hombres asistieron? c Un empleado gana $ 328 por semana. En este sueldo se incluyen $ 20 por presentismo. Si trabaja 8 horas por día de lunes a viernes y cuatro horas los sábados, ¿cuánto le pagan por hora trabajada?

¿Cómo se resuelven las inecuaciones?

A

nalice la siguiente inecuación:

x + 38 > 99 12

Si restamos 38 a ambos miembros de esta desigualdad y luego cancelamos en el primer miembro, obtenemos: x + 38 - 38 > 99 - 38 x > 61 Entonces la respuesta es que a partir del 61 la suma va a superar a 99. En este caso, a diferencia del ejemplo en el que se consideraba que el resultado debía ser un número natural, nada se explicitó sobre el conjunto numérico. Todos los números mayores que 61 cumplirán con la condición. Esto se puede observar en la siguiente recta numérica:

12

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Esto puede hacerse porque no se modifica el sentido de la desigualdad al sumar o restar el mismo número a ambos miembros.

En la recta numérica se marcó el número 61 con un círculo pequeño pero no se lo pintó, porque el número 61 no verifica la desigualdad: 61 no es mayor que 61 Analice este otro ejemplo: La inecuación planteada es: 3 . x - 20 < 4 Sumamos 20 en ambos miembros de la desigualdad y resolvemos: 3 . x - 20 + 20 < 4 + 20 3 . x < 24 Dividimos ambos miembros de la desigualdad por 4 y resolvemos: x < 24 __ 4 . __ 4 4 x

< 6

La respuesta indica que con cualquier número menor que 6 se verificará la desigualdad. Verifique con algunos de ellos: 3 . 2 - 20 ¿