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• Alexis Isai Carrillo

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La Representación Matemática y sus Aplicaciones Asignatura Básica

Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones.

Unidad 1: Trigonometría básica Actividad 1. Triángulos rectángulos y oblicuángulos (Introducción)

Resultado de aprendizaje: Explica sus ideas relacionadas con triángulos rectángulos y oblicuángulos, de manera argumentada. Valor: 17 puntos Tiempo presencial: 40 minutos Tiempo Independiente: 0 minutos Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO I. Información importante de la asignatura La Representación Matemática y sus aplicaciones. II. De forma individual, tomar nota sobre los datos generales de la asignatura y de los criterios de evaluación. Sesión Construye T y Actividad propuesta Instrucciones: Antes de comenzar el tema, participa en la actividad didáctica que el profesor tiene preparado. No olvides poner en juego tus habilidades, destrezas y conocimientos para el desarrollo de la actividad.

c.

57,238.2 ∗ 6.78 =

(8 puntos)

d.

5, 767.55 ÷ 24.5 =

(8 puntos)

e.

f.

Nombre del (a) alumno (a):______________________________________________________ Grado: ____ Grupo: _____ Fecha: _____________Calificación: _______ Nombre del facilitador: _______________________________________ ______________

b.

32, 014.75 − 6, 789.27 =

(8 puntos)

4

(5𝑎𝑎 5 𝑏𝑏6 )3 =

a.

(2𝑥𝑥 − 3)(−2𝑥𝑥 − 3)=

b.

(3𝑥𝑥𝑥𝑥 − 4)2 =

c.

(3𝑚𝑚2 𝑛𝑛 − 5)(3𝑚𝑚2 𝑛𝑛 + 8) =

d.

2𝑦𝑦 2 − 3𝑦𝑦 − 20 =

e.

10𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 2 − 15𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 + 5𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 =

Firma de conformidad

Instrucciones: • Realiza cada uno de los siguientes apartados que se te presentan a continuación. • Realiza tus operaciones a lápiz y escribe con bolígrafo la respuesta correcta. • Queda prohibido el uso de la calculadora. 1. Resuelve cada una de las siguientes operaciones: a. 3, 465.7 + 4, 689.5 + 5, 569.08 + 4, 567.3 = (8 puntos)

6

+ 8 − 15 =

(8 puntos)

(10 puntos)

2. Desarrolla cada producto notable sin efectuar la multiplicación y/o realiza las siguientes factorizaciones. (10 puntos c/u, total 50 puntos)

1.De forma individual, resolver la siguiente prueba diagnóstica propuesta por el docente. Universidad Autónoma de Yucatán Bachillerato con Interacción Comunitaria La Representación Matemática y sus Aplicaciones Prueba Diagnóstica

5

10

3. De forma no presencial, acceder a la plataforma Bachillerato Virtual de la UADY y realizar la matriculación al curso La Modelación Matemática I.

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DESARROLLO 4. En equipos colaborativos y de manera presencial, realizar una investigación en relación a los triángulos, la cual incluya los conceptos solicitados a continuación. • Definición de triángulo. • Elementos de un triángulo • Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus lados y a sus ángulos. • Propiedades de los triángulos (Teorema de Pitágoras, Teoremas relacionados con las medidas de los ángulos interiores). • Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. CIERRE 5. En plataforma, publicar el documento terminado 6. Evaluar los documentos presentados por sus compañeros, emitiendo sus observaciones en el foro, siguiendo los lineamientos dados por el profesor. Recursos y materiales • Presentación del Programa de Estudio_LRMyA • Lectura Geometría. • Lectura Funciones trigonométricas_Ortíz. • Lectura complementaria Funciones trigonométricas_Ruíz. • Computadora. • Ligas de consulta Evidencia de aprendizaje: • Documento en Word con la investigación Instrumento de evaluación: Lista de cotejo

Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones.

Unidad 1: Trigonometría básica Actividad 1. Triángulos rectángulos y oblicuángulos (Funciones trigonométricas de ángulos agudos)

Resultado de aprendizaje: Resuelve ejercicios relacionados con funciones trigonométricas de ángulos agudos, utilizando la calculadora científica. Tiempo presencial: 160 minutos Tiempo Independiente: 160 minutos Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO 1.Realiza la siguiente lectura:

La trigonometría La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones numéricas entre los elementos del triángulo, con especial atención a sus lados y ángulos. Se basa en el hecho de que un triángulo es una figura cerrada, delimitada por tres lados y tres ángulos Generalmente empelamos el símbolo de ∆ para referirnos a un triángulo y ∆´𝑠𝑠 para varios. De modo similar a lo que ocurre con los ángulos, a los triángulos podemos nombrarlos de varias formas: por las letras de los vértices o por el número romano situado en el interior del mismo, es decir:

En caso de utilizar las letras de los vértices de un triángulo para indicar un triángulo se puede tener las siguientes notaciones: ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑜𝑜 ∆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑜𝑜 ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, sin importar el orden de las letras. Los triángulos poseen nueve elementos a saber: 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos. Lados: a, b, c. Ángulos: ∡𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, ∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑜𝑜 ∡ ∝, ∡𝛽𝛽 𝑦𝑦 ∡𝛾𝛾

Vértices: A, B y C. ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 En un triángulo, generalmente, el lado que se opone a un ángulo indicado con la misma letra del vértice, pero minúscula. Por la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:

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• • •

Triángulo Equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados y tres ángulos congruentes (iguales). Triángulo Isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados congruentes (iguales) y uno desigual, llamado base. El ángulo opuesto a la base se le conoce como ángulo vértice. Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo que tiene tres lados desiguales; es decir, ninguno de sus lados es congruente.

Por la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en: • Triángulo Acutángulo: Son los triángulos que tienen tres lados ángulos agudos. • Triángulo Rectángulo: Son aquellos que tiene un ángulo recto. En este triángulo, los lados perpendiculares (los lados que conforman el ángulo recto) se le llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa.

De toda la clasificación de los triángulos de acuerdo a sus ángulos, nos enfocaremos a los triángulos rectángulos. Para ello, trabajaremos con el teorema de Pitágoras, recordando los dos elementos importantes del triángulo rectángulo: • •

El lado mayor es el opuesto al ángulo recto y se llama hipotenusa. Lo lados menores son perpendiculares y les llamamos catetos.

Teorema de Pitágoras: “En un todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (lado mayor) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (lados menores)”.

𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

• •

• • • •

Triángulo Obtusángulo: Es un triángulo que posee un ángulo obtuso; es decir mayor de 90° pero menor de 180°. Triángulo Oblicuángulo: Son todos aquellos triángulos que no son rectángulos. Propiedades de los triángulos La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°. En todo triángulo, los lados iguales se oponen a ángulos iguales y viceversa. La suma de los ángulos externos de cualquier triángulo es 360°. Cada ángulo externo de cualquier triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.

Tradicionalmente las funciones trigonométricas se han definido en relación a los lados del triángulo rectángulo. Se utilizan básicamente seis funciones del ángulo 𝛼𝛼 que le hacen corresponder ciertos valores numéricos relacionados con los lados del triángulo, es decir:

2. De manera individual, determina si las siguientes oraciones son verdaderas o falsas: a. b. c. d. e. f. g.

Afirmaciones Todos los triángulos rectángulos son isósceles Los triángulos isósceles también pueden ser rectángulos. Los triángulos acutángulos son triángulos rectángulos. Los triángulos equiláteros son triángulos acutángulos. Todos los triángulos acutángulos son equiláteros. Todos los triángulos obtusángulos son isósceles. Los triángulos isósceles pueden ser obtusángulos.

FoV ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎 = 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 ℎ

cot ∝ =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎

cos ∝ =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 ℎ

sec ∝ =

ℎ ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏

tan ∝ =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏

sin ∝=

csc ∝ =

ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ℎ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎

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Los valores de las funciones cotangente, secante y cosecante son, respectivamente recíprocos de las funciones tangente, coseno y seno, respectivamente. 3. En plenaria, a partir de la definición y la presentación de función trigonométrica, determinar las razones trigonométricas de ángulos agudos conocidos (30º, 45º y 60º), utilizando triángulos equiláteros y rectángulo-isósceles, con las medidas indicadas por el profesor:

Las razones trigonométricas para cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo como valor de una razón formada por los lados del mismo, que no dependen del valor de los lados sino del propio ángulo de referencia. El valor de cada razón trigonométrica es un valor único que le corresponde al ángulo agudo en cuestión, por lo tanto podemos decir que las razones trigonométricas son correspondencia únicas entre el valor del ángulo y la razón entre los lados del triángulo.

 Funciones de 30º y 60º A partir del argumento anterior, las razones trigonométricas se definen como funciones trigonométricas, que asocian el valor del ángulo de un triángulo rectángulo con los correspondientes valores reales de las razones trigonométricas. Es importante que centren su atención en lo anterior, ya que las funciones trabajan sobre un ángulo y lo relación con un número real: Ángulo Función Número real 45°

∆ es equilátero

 Funciones de 45º

Seno

√2 2

Los valores de las funciones trigonométricas para cada ángulo pueden obtenerse a partir de un triángulo rectángulo. 4. En plenaria, presentar los resultados obtenidos y discutir sobre la facilidad de obtener las razones trigonométricas de cualquier Angulo agudo (si no se conocen las dimensiones del triángulo rectángulo).

∆ es isósceles Organiza tu información en la siguiente tabla: Ángulo Funciones 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪

𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 Csc

30º

DESARROLLO 5. Revisar la presentación Uso de la calculadora. 45º

60º

6. Posteriormente, calcular el valor (usando 4 decimales) de las siguientes funciones trigonométricas de ángulos agudos: a)

Cos 68° =

d)

Sec 66°22' =

g)

Tg 21°10' =

b)

Tg 48.6° =

e)

Csc 52°18' =

h)

Sen 31°21' =

c)

Sen 81°16' =

f)

Cot 72°51' =

i)

Cos 25°57 ' =

7. El facilitador expondrá el proceso inverso al cálculo de una razón trigonométrica, introduciendo el concepto de función trigonométrica inversa. 8. Posteriormente, con el uso de la calculadora encontrar la medida de los ángulos, en grados y minutos, correspondientes a las siguientes relaciones trigonométricas

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1)

4)

Cos α = 0.2525 ∝=

Tg α = 0.0035

2)

5)

∝=

Sen α = 0.9933 ∝=

Cos α = 0.1501

∝=

3)

6)

Tg α = 13.0015 ∝=

Sen α = 0.0606

∝=

Funciones

∝

𝜷𝜷

Observación

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 72° 51′

b) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 17° 9′

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 72°51′ = c) 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 17° 9′

d) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 27° 9′

12. De manera individual, expresa la función como la cofunción de su ángulo complementario. a) b)

9. De manera individual, selecciona el valor de dos ángulos complementarios, calcula para cada uno de ellos, el valor de sus funciones trigonométricas, utilizando la calculadora, y organiza tu información en la siguiente tabla. Ángulo

a)

c) d)

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 0° 72′ =_______________________

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 31°21′ =_______________________ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 66°22′ =_______________________

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 48.6° =_______________________

Actividad complementaria: BASTA En binas de trabajo resolver la basta trigonométrica propuesto por el profesor del material de evidencias.

𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻

CIERRE 14. En plenaria, hacer la retroalimentación de los ejercicios resueltos. Recursos y materiales • Presentación Funciones trigonométricas_Uso de la calculadora. • Lectura complementaria Funciones trigonométricas_Ortíz. • Lectura complementaria Funciones trigonométricas_Ruíz. • Calculadora científica.

𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺

Evidencia de aprendizaje: • Tabla con las funciones trigonométricas de ángulos especiales (30º , 45º y 60º) • Actividad complemetariaBasta trigonométrica

𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 Csc

Criterios de evaluación: ¿Qué pudiste observar? 10. En plenaria discutir los resultados obtenidos en la actividad anterior, presentara lo relacionado al concepto de cofunción de un Angulo agudo.

CRITERIO DE EVALUACIÓN Participación

Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo son iguales a la COFUNCIÓN de su ángulo complementario. 11. Considerando lo anterior, de manera individual selecciona la opción correcta: a)

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 57° 17′

b) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 32°43′

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 57°17′ = c) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 32° 43′

d) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 32° 43′

a)

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 8° 44′

b) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 81°16′

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 81°16′ = c) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 8° 44′

d) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 8° 44′

INDICADOR Realizar los ejercicios indicados por el profesor. Disponer de calculadora científica.

VALOR 2

Instrumento de evaluación: • Lista de cotejo

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Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones.

Unidad 1: Trigonometría básica Actividad 1. Triángulos rectángulos y oblicuángulos (Resolución de triángulos rectángulos)

Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas relacionados con triángulos rectángulos, aplicando las funciones trigonométricas de ángulos agudos. Tiempo presencial: 320 Minutos Tiempo Independiente: 160 Minutos Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO 1. Realiza la lectura de la resolución de ejemplos de triángulos rectángulos que a continuación se te presenta:

Resolución de triángulos rectángulos Recordemos que la Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que se presentan entre los lados y ángulos de un triángulo, y de manera particular las relaciones que se establecen en un triángulo rectángulo. El estudio de éste triángulo, propone situaciones es los cuales involucra la aplicación del Teorema de Pitágoras y/o las Funciones Trigonométricas. Para poder resolver dichas situaciones, es necesario realizar un bosquejo para poder identificar cada uno de los elementos presentes y faltantes en el triángulo, y de esa manera, poder comprender las relaciones que se generan entre los lados y ángulos presentes del triángulo rectángulo. Ejemplos: a. Hallar la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 3 y 7 metros respectivamente. 3m

Para poder determinar la medida de la diagonal, se utilizará el Teorema de Pitágoras: 𝐶𝐶 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

Donde 𝑎𝑎 = 7 y 𝑏𝑏 = 3, sustituyendo los valores:

𝑐𝑐 2 = 72 + 32 𝑐𝑐 2 = 49 + 9 𝑐𝑐 2 = 58 𝑐𝑐 = √58 𝑐𝑐 = 7.5157 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 7.5157 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

b. La hipotenusa de un triángulo mide 14.8 cm y uno de sus ángulos agudos mide 𝟒𝟒𝟒𝟒°𝟏𝟏𝟏𝟏’. Halla la medida de los catetos. Solución: Se tiene los siguientes datos: la medida de la hipotenusa y uno de sus ángulos agudos, que puede ser cualquiera de los dos, es decir:

Para determinar la medida de los catetos, no podremos utilizar el teorema de Pitágoras, ya que para poder aplicarla se debe conocer al menos dos de sus lados y en esta ocasión solo se tiene un lado. Al conocer solo un lado y un ángulo, recurriremos a utilizar una de las funciones trigonométricas; para ello, podemos utilizar una función trigonométrica, en la cual se involucre el valor de la hipotenusa, es decir puede ser la función seno o coseno.

Cateto adyacente al ángulo A 7m

Solución: Los lados del rectángulo en conjunto con la diagonal, representan un triángulo rectángulo, cuyos lados hacen referencia a los catetos del triángulo y, la diagonal a la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Aplicando la función trigonométrica Seno A, se Cateto tiene: opuesto al ángulo A 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 sin 𝐴𝐴 = ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

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Sustituyendo los valores: sin 42°15´ = 0.6723 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 14.8

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 14.8

(0.6723)(14.8) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

9.9500 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜

Para hallar la medida del otro cateto, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras o la Función trigonométrica Coseno de A, es decir: Aplicando la función Coseno cos 𝐴𝐴 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

cos 42°15´ = 0.7402 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 14.8 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 14.8 𝑐𝑐𝑐𝑐

(. 7402)(14.8𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 10.9549 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Aplicando el Teorema de Pitágoras 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

14.82 = 9.952 + 𝑏𝑏2

219.04 = 99.0025 + 𝑏𝑏2 219.04 − 99.0025 = 𝑏𝑏2 120.0375 = 𝑏𝑏2

Con esos valores, se tiene que la base del triángulo es 2x y la altura es x. Recordando que el área del triángulo es: 𝑏𝑏 ∗ ℎ 𝐴𝐴 = 2 Sustituyendo los valores se tiene: (2𝑥𝑥)(𝑥𝑥) 49 = 2 49 = 𝑥𝑥 2

√49 = 𝑥𝑥 7 = 𝑥𝑥

Por lo que, el valor de los catetos son: 7cm y 14 cm, respectivamente.

√120.0375 = 𝑏𝑏 10.9556 = 𝑏𝑏

Cualquiera de los dos resultados es correcto, ya que varían según en los decimales. ∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 9.95 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 10.95 𝑐𝑐𝑐𝑐

c. Un cateto de un triángulo mide el doble del otro. Si el área del triángulo es 49 m2, halla la medida de sus ángulos agudos y la longitud de la hipotenusa. Solución: Se sabe que se está trabajando con un triángulo rectángulo, en el cual se desconocen los valores tanto de los catetos como de la hipotenusa. Lo único que se conoce es el valor de área y que uno de sus catetos mide el doble que el otro. Bosquejando los datos, se tiene: Sea 𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴 2𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎 á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴

Falta determinar los valores de los ángulos agudos, para ello se tendrá que utilizar una de las funciones trigonométricas, ya que se conocen los valores de los dos catetos, en su caso la función Tangente.

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Ángulo A tan 𝐴𝐴 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 14 𝑐𝑐𝑐𝑐 tan 𝐴𝐴 = 7 𝑐𝑐𝑐𝑐

Ángulo B Para determinar el valor del ángulo B, se puede utilizar la función Tangente o el complemento del ángulo A. Utilizando la función Tangente: tan 𝐵𝐵 =

tan 𝐴𝐴 = 2

𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎

tan 𝐵𝐵 =

𝐴𝐴 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 2

𝐴𝐴 = 63.4349

tan 𝐵𝐵 =

𝐴𝐴 = 63° 26′ 5.82"

7 𝑐𝑐𝑐𝑐 14 𝑐𝑐𝑐𝑐

1 = 0.5 2

𝐵𝐵 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 0.5 𝐵𝐵 = 26.5650

Utilizando el complemento de A, se tiene: Sustituyendo los valores:

𝐵𝐵 = 26° 33′ 54.18"

c) Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 20º más que el otro, y su cateto opuesto a éste mide 20 cm. Halla la longitud de la hipotenusa. d) La longitud de la hipotenusa de un triángulo mide 35 cm. Si uno de los ángulos agudos mide 36º 30’, halla el perímetro y el área del triángulo. DESARROLLO 3. En binas de trabajo y de forma no presencial, realizar la actividad “crucigrama trigonométrico” y “¿cuánto mide este lado?, presentada en el material de evidencias. 4. En plenaria, retroalimentar el crucigrama trigonométrico y la actividad de ¿cuánto mide este lado?. 5. En plenaria revisar la presentación Resolución de triángulos rectángulos. 6. En plenaria, revisar la Lectura Aplicaciones de triángulos rectángulos.

Aplicaciones de triángulos rectángulos Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y Luna. La trigonometría tiene su aplicación a la resolución de problemas sencillos y aplicativos. Dentro de la tecnología moderna, la trigonometría del triángulo mantiene su importancia en la aplicación de los vectores a la mecánica y a la electricidad.

∡𝐴𝐴 + ∡𝐵𝐵 = 90° 63° 26′ 5.82" + ∡𝐵𝐵 = 90° ∡𝐵𝐵 = 90° − 63° 26′ 5.82" ∡ 𝐵𝐵 = 26° 33´45.18"

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∡𝐴𝐴 = 63°26´5.82" 𝑦𝑦 ∡𝐵𝐵 = 26° 33´45.18". Ejercicios para practicar:

2. En parejas colaborativas y de manera presencial, resolver los siguientes ejercicios. a) Los catetos de un triángulo miden 25 cm y 18 cm. Halla la longitud de la hipotenusa y las medidas de sus ángulos agudos. b) Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 19° 35’ y su cateto adyacente mide 9.65 cm. Halla las longitudes de los lados restantes.

Como habrás notado, para llegar a resolver situaciones que se te plantean requiere emplear el teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas, las cuales se definen entre los ángulos y lados del triángulo rectángulo. Un ejemplo se encuentra en el desarrollo de las mediaciones que los arqueólogos han realizado en la pirámide de Kukulcán, en Chinchen Itzá. Te preguntarás cómo es que saben con exactitud la altura de la pirámide o el ángulo que forma con la sombra. Pues bien, esas medidas no fueron realizadas con cinta métrica, sino que fueron empelando métodos matemáticos que nos proporcionando con exactitud dicha valores y uno de esos métodos es la utilización de las relaciones trigonométricas (lados-ángulos). Para explicar claramente este proceso determinemos que el edificio de Kukulcán es una pirámide de cuatro lados que culmina en un templo en la cúspide, se asienta sobre un

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plataforma cuadrada de 55.5 metros de lado, tiene una altura de 24 metros más 6 metros de templete, con lo que alanza una altura máxima de 30 metros. ¿Cuál es la sombra que forma la pirámide si sabemos, por las aportaciones de los investigadores, que le ángulo de inclinación de la pirámide respecto al piso es de 47°13´?

•

•

• • •

•

Solución: Analizando la situación anterior y observando la figura proporcionada, descubrimos que el teorema de Pitágoras no es suficiente para resolver el problema. Sin embargo, al proporcionarlos la medida un ángulo, el cual es opuesto a la medida del lado que también nos mencionan, podemos utilizar una función trigonométrica que relaciones las medidas dadas, en su caso será la función Tangente, es decir:

Sustituyendo los datos:

tan 𝐵𝐵 =

𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵

tan 47°13′ = 1.0805 =

30𝑚𝑚 𝑑𝑑

30 𝑑𝑑

Debes tener cuidado de que la figura geométrica en cuestión sea un triángulo rectángulo, de otro modo las funciones trigonométricas no se aplicarían ni el teorema de Pitágoras. En el caso de situaciones reales, debes leer cuidadosamente y hacer una representación gráfica de la misma. Debes colocar en ella los datos que tiene el problema. Toma en cuenta el teorema de Pitágoras y las propiedades geométricas aplicables a ángulos, triángulos y demás figuras geométricas. Recuerda que las funciones trigonométricas trabajan con ángulos y representa un valor real. Se recomienda no hacer supuestos que correspondan a elementos de los que carezcan de evidencia, por ejemplo: suponer que tienes lados o ángulos iguales sólo porque sí, ya que carecen de la representación gráfica. Las herramientas a emplear contienen tres elementos del triángulo rectángulo, en su caso, serán necesario dos conocer dos datos (además del ángulo recto) para trabajar con ellas. Entre esos datos podemos mencionar cuatro posibles casos: dos catetos, cateto-hipotenusa, cateto-ángulo e hipotenusa-ángulo.

Cuando se trata de triángulos rectángulos basta conocer dos de sus elementos para poder hallar los otros tres elementos. A menudo cuando se resuelven situaciones trigonométricas, es necesario utilizar el ángulo de elevación, que es el ángulo medido desde la horizontal, al que una persona tendría que elevar su línea de visión para ver un objeto. De manera semejante, el ángulo de depresión es el ángulo, medido desde la horizontal, al que una persona tendría que bajar su línea de visión para ver un objeto. Ángulo de Elevación Ángulo de Depresión

(1.0805)(𝑑𝑑) = 30𝑚𝑚 𝑑𝑑 =

30𝑚𝑚 1.0805

𝑑𝑑 = 27.76 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝á𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 27.76 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

A continuación se te presentan una guía, que debes considerar al momento de resolver una situación en la que intervienen aspectos trigonométricos. Además te permitirá analizar, observar y adaptar para que mejores:

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Ejemplo: a. Un turista que se encuentra de paseo en París observa la torre Eiffel a una distancia de 191 metros de la base. El ángulo de elevación hacia la torre, desde donde se encuentra parado a la altura de sus ojos, es de 60°. Determina la altura de la torre effel si se sabe que la altura del turista es de 1.70 metros.

b. Desde la cúspide de un faro de 50 metros de altura sobre el nivel del mar se observa con un ángulo de depresión a un bote velero es de 20°. Calcula la distancia horizontal del faro al bote.

Datos: Altura del faro= 50 metros Ángulo de depresión= 20° Distancia=?

Datos: Distancia= 191 metros Altura del turista= 1.70 metros Ángulo de elevación= 60° Altura de la torre= ? Solución: Encontrando una parte de la longitud de la altura de la torre Eiffel, se tiene: tan 𝛼𝛼 =

Sustituyendo los valores conocidos:

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

tan 60° = 1.7320 =

𝑥𝑥 191 𝑚𝑚

𝑥𝑥 191 𝑚𝑚

𝑥𝑥 = (191𝑚𝑚)(1.7320) 𝑥𝑥 = 330.812 𝑚𝑚

La altura de la torre= altura que encontramos + la altura del turista La altura de la torre= 330. 812𝑚𝑚 + 1.70 𝑚𝑚 = 332.512 𝑚𝑚

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 332.512 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

Solución: Aplicando la función tangente tan 𝛼𝛼 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Sustituyendo los valores conocidos: tan 20° = 0.3639 =

50𝑚𝑚 𝑥𝑥

50𝑚𝑚 𝑥𝑥

(0.3639)(𝑥𝑥) = 50𝑚𝑚 𝑥𝑥 =

50𝑚𝑚 0.3639

𝑥𝑥 = 137.4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 137.4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚.

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Situaciones contextuales para practicar 7. De manera individual y en forma presencial, resolver 5 problemas relacionados con triángulos rectángulos, propuestos por el profesor. 1) La longitud del hilo que sostiene en el aire a un papagayo es de 250 metros con un ángulo de elevación de 40°. Halla la altura a la que se encuentra el papagayo. 2) Desde un punto situado a 200 metros del pie de una torre, medidos sobre una horizontal, se observa que el ángulo de elevación de la cúspide es de 60°. Calcula la altura de la torre. 3) Si una cuerda de un circunferencia mide 41.36 cm, y subtiende un arco de 145°38’ ¿cuál es el radio de la circunferencia? 4) Para alcanzar la ventana de un edificio se utiliza una escalera de 12m de longitud, conservando su pie de apoyo se hace girar hacia la ventana de otro edificio que se encuentra al frente con una altura de 6metros. ¿Qué distancia separa a los dos edificios? 5) Desde la parte superior de una torre de 120 metros de altura se observa un objeto con ángulo de depresión de 27°43’ respecto al mismo nivel la base de la torre. Determina: a) la distancia del objeto a la punta de la torre. b) la distancia del objeto a la base de la torre. 6) Una persona se encuentra volando en un globo aerostático, en cierto momento observa dos torres separadas entre sí por una distancia horizontal de un kilómetro. Si las visuales de la persona hacia las bases de la torre forman un ángulo de 70° y el globo aerostático se encuentra elevando sobre la vertical del punto medio de las distancias entre las dos torres, calcula la altura que alcanza el globo aerostático.

9. En equipo colaborativo, resolver 6 problemas contextuales relacionados a la aplicación de triángulos rectángulos asignados por el docente y presentados en el material de evidencias. 10. Actividad complementaria: CRUCIGRAMA En binas de trabajo resolver el crucigrama propuesto por el profesor del material de evidencias.

CIERRE 11. De manera presencial, realizar la coevaluación y retroalimentación de los 8 problemas. Recursos y materiales • Presentación Resolución de triángulos rectángulos. • Lectura Aplicaciones de triángulos rectángulos. • Lectura complementaria Funciones trigonométricas_Ortíz. • Lectura complementaria Funciones trigonométricas_Ruíz. • Ejercicios y problemas de triángulos rectángulos. • Calculadora científica. Evidencia de aprendizaje: • Basta trigonométrica. • Crucigrama trigonométrica. • 6 Problemas relacionados con triángulos rectángulos. Instrumento de evaluación: • Lista de cotejo

7) Una lancha ubicada mar adentro, mantiene un ángulo de elevación de 15° hacia la parte más alta de un faro de 120 metros de altura sobre el nivel del mar. Calcula la distancia que hay del faro a la embarcación. 8) Dos observadores distan 250 m entre sí. Si uno de ellos viera un globo en su cenit, es decir, en la vertical del lugar de observación, y el otro lo viera con un ángulo de elevación de 40°20’, ¿cuál sería la altura que alcanza el globo? 9) Desde la azotea de una casa de 10 metros de altura, una persona observa a un niño que se encuentra sentado en el piso de la calle. Si el ángulo de depresión del observador es de 25°, calcula la distancia de: a) el niño a la casa b) del niño al observador. 8. De manera presencial, realizar la coevaluación y retroalimentación de los 5 problemas.

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Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones.

Unidad 1: Trigonometría básica Actividad 1. Triángulos rectángulos y oblicuángulos (Resolución de triángulos oblicuángulos)

Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas relacionados con triángulos oblicuángulos, aplicando la Ley de los senos y/o la Ley del coseno. Tiempo presencial: 360 Minutos Tiempo Independiente: 160 Minutos Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO 1. Lee la siguiente situación y realiza lo que se te indica: Desde lo alto de un helicóptero, se observa a dos personas en lados opuestos del mismo. Los ángulos de depresión hacia dichas personas son de 65° y 55°, respectivamente. Además la distancia dese el helicóptero a la primera de ellas es de 120 metros, ahora responde las siguientes preguntas:

a.

¿A qué clasificación de los triángulos pertenece el que nos presenta en el planteamiento del problema?

b.

¿Qué datos conocemos en el problema?

c.

¿se pueden aplicar las funciones trigonométricas o el teorema de Pitágoras para resolver el problema? ¿por qué?

d.

¿Cuál es la distancia del helicóptero a la otra persona?

e.

¿Cómo calculaste la distancia solicitada? Describe el proceso que empleaste.

2. En plenaria comparte con tus compañeros de clase tus observaciones y realicen una lluvia de ideas que retroalimenten los procesos empelados. 3. Responde la siguiente pregunte: ¿Alguno pude determinar la distancia trabajando con triángulos oblicuángulos? ¿existe algún procedimiento o regla que nos permita obtener el valor de algún lado o ángulo en un triángulo oblicuángulo sin utilizar las funciones trigonométricas? La resolución de triángulos de cualquier índole tiene como base dos propiedades de los triángulos conocidos como Ley de Senos y Ley de Cosenos. La Ley de senos se basa en el hecho de que la altura de un triángulo es igual al producto del seno de cualquier ángulo de la base por el lado restante. Es decir:

Ley de senos. En cualquier triángulo ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡:

Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Es útil en la resolución de triángulos cuando se conocen: • Dos lados de un triángulo y el ángulo opuesto a uno de ellos. • Dos ángulos de un triángulo y el lado opuesto a uno de ellos. La ley de los senos es aplicable en los triángulos oblicuángulos que son los que no tienen un ángulo recto (90°), estos se dividen en: • Acutángulos

•

Obtusángulos

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Mientras que la ley de cosenos, se generaliza del teorema de Pitágoras, la cual menciona que en un triángulo la longitud de cualquier lado se puede calcular conociendo la longitud de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto.

Ley de senos. Para todo triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, se tiene:

Esta ley es útil en la resolución de triángulos cuando se conocen: • Dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos. • Los tres lados de un triángulo. DESARROLLO 4. En binas de trabajo, elaborar un cuadro comparativo de la ley de seno y la ley de coseno, cuyas instrucciones se encuentran en el material de evidencias. 5. En plenaria, revisar la lectura de la resolución de triángulos oblicuángulos, aplicando la ley de seno y ley de coseno. 6. Actividad complementaria: CRUCIGRAMA En binas de trabajo resolver el crucigrama propuesto por el profesor del material de evidencias

Resolución de triángulos oblicuángulos.

Para la resolución de triángulos oblicuángulos, se tiene que tomar en cuenta que los triángulos que lo conforman no son triángulos rectángulos. Con respecto a las problemáticas contextuales, lo importante es leerlas detenidamente para comprender que datos se le están proporcionando, para luego poderlos identificar en el momento de realizar el bosquejo, y al mismo tiempo saber qué ley es más conveniente utilizar, según los datos proporcionados. Por ejemplos: a. En una noche muy nublada, una llamada al 911 movilizó a todo el cuerpo policiaco de la ciudad, un asesinato había ocurrido. Para cercar la escena los policías ataron cinta de “no pasar” como se muestra en la figura. i. ¿Cuál es el área de la calle que ocupa la escena del crimen? ii. ¿Cuántos metros de la cinta necesitaron los policías para cercar la evidencia?

Datos: ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 30° ∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 75° ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 75° ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 300𝑐𝑐𝑐𝑐 Solución: i. Para conocer el área encerrada, es necesario conocer la altura, ya que se conoce la base ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 , para ello se tendrá que particionar el triángulo en dos partes, es decir: tan 𝐶𝐶 =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Sustituyendo los valores que se tienen: 𝑥𝑥 150 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 3.7320 = 150𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 = (3.7320)(150𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑥𝑥 = 559.80 𝑐𝑐𝑐𝑐 tan 75° =

Al tener el valor de la altura, ya podemos conocer el área, aplicando la formula 𝐴𝐴 = Sustituyendo los valores 𝑏𝑏 = 300𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 559.80 𝑐𝑐𝑐𝑐 (300𝑐𝑐𝑐𝑐)(559.80𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝐴𝐴 = 2

167940𝑐𝑐𝑐𝑐2 2 𝐴𝐴 = 83970𝑐𝑐𝑐𝑐2 ∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 83970 𝑐𝑐𝑐𝑐2

𝑏𝑏∗ℎ 2

𝐴𝐴 =

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ii.

Para determinar la cantidad de cinta que se utilizó para cercar la evidencia, es necesario utilizar alguna de las dos leyes. En este caso, se conocen la medida de tres ángulos y un lado opuesto a alguno de los ángulos dados, por lo que se utilizará la ley de senos:

𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐵𝐵 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐶𝐶

𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 2(𝑎𝑎)(𝑏𝑏)(cos 𝐶𝐶)

Sustituyendo los valores, se tiene: 𝑐𝑐 300𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 30° 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛 75° 𝑐𝑐 300 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0.9659 0.5 (0.5)(𝑐𝑐) = (300 𝑐𝑐𝑐𝑐)(0.9659) 289.77𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 = 0.5 𝑐𝑐 = 579.54 𝑐𝑐𝑐𝑐

Sustituyendo los valores, se tiene: 𝑐𝑐 2 = 29002 + 39002 − 2(2900)(3900) cos 110°

𝑐𝑐 2 = 8410000 + 15210000 − (22040000)(−0.3420) 𝑐𝑐 2 = 23620000 + 7736040

𝑐𝑐 2 = 31356040

𝑐𝑐 = √31356040 Debido a que el triángulo que se está trabajando es isósceles, se tiene que ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ���� 𝐵𝐵𝐵𝐵 Es decir, 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 𝑐𝑐 = 5599.64 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Por lo que, la cantidad de cinta que se necesitó hace referente a hallar el perímetro de la figura, es decir: ∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡ú𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 5599.64 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑃𝑃 = 2(579.54 𝑐𝑐𝑐𝑐) + 300𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 = 1459.08 𝑐𝑐𝑐𝑐 ∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ó 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝í𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 1459.08 𝑐𝑐𝑐𝑐. c. Se quiere conocer la anchura de un río, para ello se tomaron las medidas de dos ángulos desde los puntos B y C, si la distancia entre estos puntos es de 354 m. Calcula del ancho del río, del punto A al B. b. Para la construcción de un túnel dentro de una montaña se tomaron las siguientes medidas desde un punto C. Determina la longitud de este túnel.

Solución: Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, por lo que la ley más óptima para resolver este problema es la ley de coseno.

Solución: Se conocen la medida de dos ángulos y un lado; sin embargo, se puede determinar la medida del tercer ángulo, recordando la propiedad de los triángulos: “la suma de los ángulos internos en todo triángulo es 180°”. ∡𝐴𝐴 + ∡𝐵𝐵 + ∡𝐶𝐶 = 180° Sustituyendo los valores: ∡𝐴𝐴 + 112°10´ + 15°20´ = 180°

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∡𝐴𝐴 + 127°30´ = 180° ∡𝐴𝐴 = 180° − 127°30´ ∡𝐴𝐴 = 52°30´ Teniendo los valores correspondientes, ya podemos aplicar la ley correspondiente, la Ley de Seno: 𝑐𝑐 𝑎𝑎 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐴𝐴 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐶𝐶 𝑐𝑐 354𝑚𝑚 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 52°30´ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 15° 20´ 354𝑚𝑚 𝑐𝑐 = 0.7933 0.2644

(354𝑚𝑚)(0.2644) = (𝑐𝑐)(0.7933) 𝑐𝑐 =

93.5976 𝑚𝑚 0.7933

𝑐𝑐 = 117.9851 𝑚𝑚

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟í𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 𝑎𝑎 𝐵𝐵 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 117.9851 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Ejercicios y situaciones contextuales para practicar: 7. Posteriormente, en equipos colaborativos resolver los siguientes ejercicios relacionados con la Ley de Senos: a) Las longitudes de dos lados de un triángulo son 20 cm y 30 cm, y la medida del ángulo opuesto al segundo lado es 52° 36’. Halla la media del ángulo opuesto al primer lado. b) Dos ángulos de un triángulo miden 42º y 35º. Si la longitud del lado comprendido entre ellos es 50 cm, halla la longitud del lado opuesto al ángulo de 35º. c) El ángulo obtuso de un triángulo mide 120º 30’, y la longitud de su lado opuesto es 75 unidades. Si uno de sus ángulos agudos mide el doble del otro, halla las longitudes de los otros lados. 8. Posteriormente, en equipos colaborativos resolver los siguientes ejercicios relacionados con la Ley del Coseno: a) Un ángulo de un triángulo mide 67º y las longitudes de los lados que lo forman son 8 cm y 11 cm. Halla la longitud del tercer lado del triángulo. b) Las longitudes de los lados de un triángulo son 2.3 cm, 3.2 cm y 3.5 cm. Halla la medida del ángulo menor.

c) En un triángulo la longitud de uno de sus lados es 83 cm; si los otros dos lados son tales que uno mide 14 cm más y el otro 12 cm menos que aquél, halla la medida del ángulo menor. 9. De manera individual resolver 5 problemas relacionados con triángulos oblicuángulos, propuestos por el profesor. 1) Al acercarse una patrulla a un edificio abandonado, se observa que el ángulo de elevación a la azotea de dicho edificio es 10º, pero al acercarse 200 metros su ángulo de elevación es de 15º. ¿Cuál es la altura del edificio? 2) El ángulo de elevación hacia la punta de un rascacielos es de 66º23’, y desde un punto situado a 500 metros más allá de la base del rascacielos, el ángulo de elevación es de 31º24’. Hallar la altura del rascacielos. 3) El asta de una bandera de 6 metros de longitud se alza sobre la azotea de una casa. Desde un punto del plano de la base de la casa, los ángulos de elevación a la punta y base del asta son 60º y 45º, respectivamente. Halla la altura de la casa. 4) Los lados de un triángulo miden 3, 8 y 9. Halla la medida del ángulo más pequeño. 5) Las dos diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y forman un ángulo de 49º 18’. Halla la longitud de sus lados. 6) Una viga horizontal de 20m de largo une los extremos superiores de dos planos inclinados, que se apoyan en un mismo punto del suelo; si los ángulos que forman con la viga son de 32° y 41° 50’, respectivamente, halla a qué altura está pasarela. 7) Una escalera de 5.20 m de largo es colocada a 2 m de la base de un muro inclinado y alcanza una longitud de 4.60 m sobre dicho muro. Hallar el ángulo de inclinación de la escalera con respecto al suelo. 8) Desde la azotea de un edificio se observa otro edificio más alto. El ángulo de elevación a la azotea mide 20° 15’, y el ángulo de depresión a la base mide 31º 35’. La distancia horizontal entre los dos edificios es de 1220 metros. Calcula la altura de cada edificio 9) Desde un punto que dista 3 km de uno de los extremos de una isla, y 7 km del otro extremo, se ve la isla bajo un ángulo de 33° 56’ Calcula el largo de dicha isla. A

C

B

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10) Para calcular la distancia entre dos puntos A y B separados por un estanque, se ha escogido una estación C y se han medido las distancias CA = 426 m, CB = 322.4 m, y el ángulo ACB = 68º 42’. ¿Cuál es la distancia AB? C

A

B

10. De manera presencial y de forma individual, resolver 4 problemas aplicativos relacionados a la resolución de triángulos oblicuángulos, propuestos por el profesor y que se encuentran en el material de evidencia. CIERRE 8. En plenaria, realizar la retroalimentación de los ejercicios de los 4 problemas. Recursos y materiales • Material de lectura. • Cuadro comparativo de ley de Senos y Cosenos del material de evidencias. • Ejercicios y problemas de triángulos oblicuángulos del material de evidencias. • Calculadora científica. Evidencia de aprendizaje: • Cuadro comparativo. • Ejercicios y Problemas relacionados con triángulos oblicuángulos. Instrumento de evaluación: • Lista de cotejo

Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones Unidad 2: Lugares geométricos Actividad 2. Conceptos de Geometría Analítica y aplicaciones de la línea recta (Conceptos básicos de geometría analítica) Resultado de aprendizaje: Resuelve ejercicios que involucren los conceptos básicos de Geometría Analítica, de forma clara y ordenada. Valor: 23 puntos Tiempo presencial: 240 Minutos Tiempo Independiente: 200 Minutos Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO 1. Realiza la lectura de Geometría analítica y sus conceptos básicos, subraya lo más importante:

Geometría Analítica y sus conceptos básicos La geometría analítica es parte de las matemáticas que estudia los objetos geométricos por medio del álgebra. Se distingue de la geometría tradicional no por su objeto de estudio sino por el método que utiliza para abordar sus problemas. Se divide naturalmente en dos partes: geometría analítica de dos dimensiones (plana) y la geometría analítica de tres dimensiones. La geometría analítica que estaremos trabajando es la plana, la cual consiste en establecer una correspondencia entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales (sus coordenadas). Tras la correspondencia, las líneas rectas, las circunferencias y otras figuras geométricas quedan descritas por medio de ecuaciones que son satisfechas por las coordenadas de sus puntos y sólo por ellas. La geometría analítica nació en una época en que había que dar cuentas de curvas tales como elipses, hipérbolas y parábolas que describían trayectorias de los planetas y otros cuerpos celestes. Se hacía necesario calcular estas curvar, y la geometría vino a suministrar las herramientas indispensables para ello. Es por ello, que la geometría analítica ocupa de dos problemas en cierto sentido complementario. El primero de ellos consiste en encontrar la ecuación de una curva definida por unas propiedades y el segundo, en representar geométricamente las ecuaciones entre dos o tres variable, ilustrando sus propiedades. Para poder realizar la representación gráfica de las figuras geométricas es necesario la introducción de la noción de las coordenadas, las cuales fueron introducidas por Descartes y Fermat en el siglo XVII. Su uso permitió resolver problemas múltiples problemas geométricos por medio del álgebra, convirtiéndose desde entonces un instrumento indispensable en la matemática en general.

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Hoy en día es muy común el método de las coordenadas, ya que con su ayuda podemos determinar la posición de un punto o un objeto por medio de números u otros símbolos. Es decir, sirve para precisar la posición de los puntos en la recta, en el plano y en el espacio. Las coordenadas son parejas con un orden determinado para representar objetos o personas con base a un sistema de referencia. Los elementos que lo conforman las parejas se colocan dentro de los paréntesis, separados por comas, por ejemplo (3, 5), (−3, 5) 𝑦𝑦 (2,0). Estas combinaciones se denominan parejas de ordenadas y se definen:

Otros ejemplos son:

Una pareja de ordenada o coordenada está constituida por dos términos que llevan un orden (𝑎𝑎, 𝑏𝑏), tiene 𝒂𝒂 como primer elemento, denominado abscisa y se localiza en el eje horizontal de un sistema de coordenadas; mientras que 𝒃𝒃 como segundo elemento, denominado ordenada y se localiza en el eje vertical. Estos elementos o coordenadas se representan con letras mayúsculas y se les llaman puntos. Por ejemplo los puntos: 𝐴𝐴(2, 5) 𝑦𝑦𝑦𝑦(−7, 0).

Para ubicar los puntos o coordenadas que permitan mantener la ubicación correcta, se requiere de un plano cartesiano o un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas, las cuales se obtienen al trazar dos rectas perpendiculares llamadas ejes coordenados, los cuales se cortan en un punto llamado origen, la recta horizontal se denomina eje X y la vertical, eje Y. las rectas dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Un concepto que está íntimamente ligado con el concepto de grafica es el lugar geométrico, el cual es un conjunto de puntos con un a propiedad común a todos ellos, es decir tienen una regla que indican como ha de moverse un punto coordenado, dando lugar a la gráfica buscada de ese lugar geométrico. Por el contrario, dada la trayectoria descrita del punto coordenado, se puede deducir la regla que dio origen al gráfico. Es decir:

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑦𝑦)

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑥𝑥)

Por ejemplo: Para localizar el punto (2, 3)

Un lugar geométrico es una porción del plano coordenado formado por puntos que cumplen una relación matemática estipulada. Los elementos que conforman íntimamente el lugar geométrico son: a) b) c)

Un gráfico Una regla contextual Una relación matemática o analítica.

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Cualquier punto de coordenado (𝒙𝒙, 𝒚𝒚) está o forma parte de la gráfica del lugar geométrico si y sólo si satisface la regla o ecuación matemática del lugar geométrico.

Lugar Geométrico

Por ejemplo: Determina la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) equidistantes del punto 𝑄𝑄(1, 0) y del eje Y.

Relación matemática de las variables 𝑥𝑥 y

Las intersecciones son los valores en donde las gráfica de un lugar geométrico corta o pasa por los ejes X y Y. Para determinar las intersecciones con los ejes, se emplearán las reglas indicadas a continuación: • Para obtener las intersecciones en el eje X, sustituimos a 𝑦𝑦 = 0, en la ecuación y despejamos la variable 𝑥𝑥. • Para obtener las intersecciones en el eje Y, sustituimos a 𝑥𝑥 = 0, en la ecuación y despejamos la variable 𝑦𝑦.

𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑄𝑄) = 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑌𝑌) Condición que cumplen los puntos del lugar geométrico.

Sustituyendo la fórmula de distancia, que satisfaga la condición anterior. �(𝑥𝑥 − 1)2 + (𝑦𝑦 − 0)2 = �(𝑥𝑥 − 0)2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦)2 �(𝑥𝑥 − 1)2 + (𝑦𝑦)2 = �(𝑥𝑥)2 �(𝑥𝑥 − 1)2 + (𝑦𝑦)2 = �(𝑥𝑥)2 (𝑥𝑥 − 1)2 + 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥 2 = 0 Despejando la variable y, se tiene:

−2𝑥𝑥 + 1 + 𝑦𝑦 2 = 0 𝑦𝑦 2 = 2𝑥𝑥 − 1

La cantidad de intersecciones puede ser menor a la potencia de la variable, es decir: Si la ecuación de un lugar geométrico tiene una potencia positiva n en una variable, digamos 𝑥𝑥, entonces la gráfica cortará a lo mucho en n valores distintos al eje X, es decir no necesariamente cortará una cantidad n a dicho eje, ya que puede ser una cantidad de veces incluso menos. Lo mismo se afirma para la variable 𝑦𝑦.

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Por otro lado, otros conceptos que se trabajan en geometría analítica son:

2

𝑑𝑑 = ��−7 − (−3)� + (1 − 5)2 𝑑𝑑 = �(−7 + 3)2 + (−4)2 𝑑𝑑 = �(−4)2 + (−4)2 𝑑𝑑 = √16 + 16 𝑑𝑑 = √32 𝑑𝑑 = 4√2

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (−3, 5) 𝑦𝑦 (−7,1), 𝑒𝑒𝑒𝑒 4√2𝑢𝑢

EL punto medio de un segmento es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera otros dos puntos o extremos de un segmento, es decir es el punto que se encuentra localizado exactamente a la mitad de dos puntos. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

Por ejemplo: Determina la distancia entre los puntos: a)

(−4, −3) 𝑦𝑦 (2, 5):

𝐴𝐴𝐴𝐴, se define el punto Sean los puntos A(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ) y 𝐵𝐵(𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), los extremos del segmento ���� medio 𝑷𝑷𝒎𝒎 como:

𝑑𝑑 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 )2

Sustituyendo los valores: 𝑥𝑥1 = −4, 𝑥𝑥2 = 2; 𝑦𝑦1 = −3, 2

𝑦𝑦2 = 5 2

𝑑𝑑 = ��2 − (−4)� + �5 − (−3)� 𝑑𝑑 = �(2 + 4)2 + (5 + 3)2

b)

𝑑𝑑 = �62 + 82 𝑑𝑑 = √36 + 64 𝑑𝑑 = √100 𝑑𝑑 = 10 ∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (−4, −3) 𝑦𝑦 (2, 5), 𝑒𝑒𝑒𝑒 10𝑢𝑢

(−3, 5) 𝑦𝑦 (−7,1)

𝑑𝑑 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 )2

Donde:

Sustituyendo los valores: 𝑥𝑥1 = −3, 𝑥𝑥2 = −7; 𝑦𝑦1 = 5, 𝑦𝑦2 = 1

Ejemplos:

𝑴𝑴 = (𝒙𝒙𝒎𝒎 , 𝒚𝒚𝒎𝒎 )

𝒙𝒙𝒎𝒎 =

𝒙𝒙𝟏𝟏 +𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐

y

𝒚𝒚𝒎𝒎 =

𝒚𝒚𝟏𝟏 +𝒚𝒚𝟐𝟐 𝟐𝟐

Determina el punto medio de los siguientes segmentos: a) 𝐴𝐴(−3, 5) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(−7, 1)

𝑃𝑃𝑚𝑚 = (𝑥𝑥𝑚𝑚 , 𝑦𝑦𝑚𝑚 )

Sustituyendo los valores:

𝑥𝑥1 = −3, 𝑥𝑥2 = −7; 𝑦𝑦1 = 5, 𝑦𝑦2 = 1

𝑥𝑥𝑚𝑚 =

𝑥𝑥𝑚𝑚 =

𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2 2

y

−3+(−7)

𝑥𝑥𝑚𝑚 =

2 −3−7 2

y

𝑦𝑦𝑚𝑚 = y

𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2 2

𝑦𝑦𝑚𝑚 =

𝑦𝑦𝑚𝑚 =

5+1

2 5+1 2

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𝑥𝑥𝑚𝑚 =

−10

y

2

𝑥𝑥𝑚𝑚 = −5

𝑦𝑦𝑚𝑚 =

6

Dado el ángulo de inclinación, el valor de la pendiente puede tomar los siguientes valores:

2

𝑦𝑦𝑚𝑚 = 3

y

∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 , 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑃𝑃𝑚𝑚 (−5,3)

b) 𝐴𝐴(1, 2) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(4, 4)

Sustituyendo los valores:

𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = 4; 𝑦𝑦1 = 2, 𝑦𝑦2 = 4

𝑥𝑥𝑚𝑚 =

𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2

y

1+4

y

𝑥𝑥𝑚𝑚 =

2

2

𝑥𝑥𝑚𝑚 =

5 2

𝑥𝑥𝑚𝑚 = 2.5

y

𝑦𝑦𝑚𝑚 =

𝑦𝑦𝑚𝑚 =

𝑦𝑦𝑚𝑚 =

y

𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2 2

2+4

6 2

2

𝑦𝑦𝑚𝑚 = 3

5 ∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑃𝑃𝑚𝑚 � , 3� 2 Pendiente de una recta La pendiente (m) es la razón de cambio entre dos puntos cualesquiera de la recta. También, se define como una medida de inclinación de la línea recta respecto a la horizontal. Para determinar el cálculo de la pendiente se tiene: •

•

Si se conocen dos puntos, A(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ) y 𝐵𝐵(𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), la pendiente se define como:

∆𝒚𝒚 𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒎𝒎 = = ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 Si se conoce el ángulo de inclinación 𝜃𝜃, el cual forma con el eje X del plano cartesiano y la recta girando en sentido contrario a las manecillas del reloj, la pendiente se define como: 𝒎𝒎 = 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝜽𝜽

Ejemplos: Determina la pendiente de: 𝐵𝐵(0, 1) 𝑦𝑦 𝐶𝐶(3, 0)

∆𝒚𝒚 𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏 = ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 Sustituyendo los valores 𝒎𝒎 =

𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 3; 𝑦𝑦1 = 1, 𝑦𝑦2 = 0 𝑚𝑚 =

0−1 3−0

𝑚𝑚 =

−1 3

∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚 = −

1 3

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a) 𝐴𝐴(−3, 1) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(0, 2)

Se define a la recta como el lugar geométrico de todos los puntos que tiene la misma pendiente y pasan por un punto dado.

Sustituyendo los valores:

𝑥𝑥1 = −3, 𝑥𝑥2 = 0; 𝑦𝑦1 = 1, 𝑦𝑦2 = 2 2−1 𝑚𝑚 = 0 − (−3)

∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚 =

Las rectas paralelas son aquellas que, extendidas de manera infinitas, no se cruzan ni se cortan. • Si 𝐿𝐿1 𝑦𝑦 𝐿𝐿2 dos rectas paralelas, con pendientes 𝑚𝑚1 𝑦𝑦 𝑚𝑚2 , respectivamente. Entonces se cumple que las pendientes de las rectas son iguales, es decir:

1 𝑚𝑚 = 0+3 1 𝑚𝑚 = 3

Propiedades de las rectas:

𝒎𝒎𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟐𝟐 1 3

b) Determina el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos 𝐴𝐴(−1, 2)𝑦𝑦 𝐵𝐵(4, −2): Sustituyendo los valores:

𝑥𝑥1 = −1, 𝑥𝑥2 = 4; 𝑦𝑦1 = 2, 𝑦𝑦2 = −2 𝑚𝑚 =

−2 − 2 4 − (−1)

𝑚𝑚 =

−4 4+1

𝑚𝑚 =

−4 5

Entonces, recordemos que 𝑚𝑚 = tan 𝜃𝜃, es decir: 4 − = tan 𝜃𝜃 5

De donde:

Las rectas perpendiculares son aquellas rectas que se cortan formando ángulos rectos (90°) entre sí. • Si 𝐿𝐿1 𝑦𝑦 𝐿𝐿2 son dos rectas perpendiculares, con pendientes 𝑚𝑚1 𝑦𝑦 𝑚𝑚2 , respectivamente. Entonces se cumple que las pendientes de las rectas son recíprocas y con signo contrario, es decir: O bien:

(𝒎𝒎𝟏𝟏 )(𝒎𝒎𝟐𝟐 ) = −𝟏𝟏

𝒎𝒎𝟏𝟏 = −

𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒐𝒐 𝒎𝒎𝟐𝟐 = − 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏

−0.8 = tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 (−0.8) 𝜃𝜃 = −38° 39´ 35.31"

180° + (−38° 39´35.31") = 141° 20´24.6"

∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 á𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒 141° 20´24.6"

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Ejemplo:

DESARROLLO

a) Calcula el valor de la pendiente de una recta 𝐿𝐿2 , si se sabe que es paralela a la recta 𝐿𝐿1 , la cual está determinada por los puntos 𝐴𝐴(1, −3) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(-2, 3)

Solución:

Como las rectas 𝐿𝐿1 𝑦𝑦 𝐿𝐿2 son paralelas, entonces el valor de sus pendientes son iguales, es decir: 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2

Entonces determinemos la pendiente de la recta 𝐿𝐿1 , es decir:

𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = −2 ∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐿𝐿2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚2 = −2

b) Calcula el valor de la pendiente de la recta 𝐿𝐿3 que es perpendicular a la recta 𝐿𝐿1 del inciso anterior.

Solución:

Como las rectas 𝐿𝐿1 𝑦𝑦 𝐿𝐿3 son perpendiculares, entonces el valor de sus pendientes son recíprocas y con signos contrarios. Es decir: 1 𝑚𝑚1

Sustituyendo el valor de la pendiente de la recta 𝐿𝐿1 , 𝑚𝑚1 = −2 tenemos: 𝑚𝑚3 = −

1 (−2)

𝑚𝑚3 =

1 2

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐿𝐿3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚3 =

3. De manera presencial, con apoyo de la lectura realizada “Geometría Analítica y sus conceptos básicos” y de la presentación “Conceptos básicos de Geometría analítica”, en equipos colaborativos resolver 5 ejercicios de cada tema, propuestos por el profesor. Distancia entre dos puntos Calcula la distancia entre 𝐴𝐴(1,2) y 𝐵𝐵(−3, −4). Calcula la distancia entre 𝐶𝐶(−1,5) y 𝐷𝐷(8, −7). Calcula el perímetro del triángulo con vértices en 𝐴𝐴(3,4), 𝐵𝐵(−2,4) y 𝐶𝐶(2,2). Comprueba si el triángulo con vértices en 𝐴𝐴(−2,5), 𝐵𝐵(−1, −3) y 𝐶𝐶(2,3) es rectángulo. e) ¿Equidista 𝐴𝐴(3,4) de 𝐵𝐵(−2,3) y 𝐶𝐶(4, −1)? f) Encuentra un punto del eje X que equidiste de los puntos 𝐴𝐴(0,5) y 𝐵𝐵(2,3). g) Encuentra un punto del eje Y que equidiste de los puntos 𝐴𝐴(0,5) y 𝐵𝐵(2,3). h) Encuentra un punto del eje X que equidiste de los puntos 𝐸𝐸(−4,5) y 𝐹𝐹(14, −1). a) b) c) d)

3 − (−3) 𝑚𝑚1 = −2 − 1 3+3 𝑚𝑚1 = −3 6 𝑚𝑚1 = −3 𝑚𝑚1 = −2

𝑚𝑚3 = −

2. En plenaria, revisar la presentación “Conceptos básicos de Geometría Analítica” y mediante lluvia de ideas, resolver los ejemplos ahí descritos.

1 2

i)

j)

k)

Encuentra un punto del eje Y que equidiste de los puntos 𝑃𝑃(−2,1) y 𝑄𝑄(4, −3).

La ordenada de un punto P es la mitad de su abscisa, y P equidista de 𝑀𝑀(1, −3) y 𝑁𝑁(−2,2). Calcula las coordenadas de P.

Un punto del primer cuadrante equidista de 𝐴𝐴(3,5) y 𝐵𝐵(−2,4), y su distancia al eje Y es el doble de su distancia al eje X. Calcula sus coordenadas. l) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto 𝑃𝑃(3, −2). Si la abscisa del otro extremo es 6, encuentra su ordenada. m) Los vértices de un triángulo son 𝐴𝐴(3,8), 𝐵𝐵(2, −1) y 𝐶𝐶(6, −1). Si 𝐷𝐷 es el punto ���� , calcula la longitud de la mediana ���� medio del lado 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴. Punto medio

a) b) c) d) e)

Calcula el punto medio del segmento cuyos extremos son 𝐴𝐴(1, −3) y 𝐵𝐵(3,5). Calcula el punto medio del segmento cuyos extremos son 𝐴𝐴(2,7) y 𝐵𝐵(−2,3). El punto medio de un segmento es 𝐴𝐴(2,3) y uno de sus extremos es 𝐵𝐵(1, −5); encuentra las coordenadas del otro extremo. El punto medio y un extremo de un segmento son 𝐴𝐴�3�2 , −1� y 𝐵𝐵(4,7), respectivamente. Encuentra las coordenadas del otro extremo. El punto medio de un segmento es 𝐴𝐴�−3�2 , 1�3� y uno de sus extremos es 𝐵𝐵�−5�2 , 7�3�; encuentra las coordenadas del otro extremo.

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f)

g)

a) b) c) d)

e)

f) g) h)

Los extremos de la diagonal de un paralelogramo de son los puntos 𝐴𝐴(−1,3) y 𝐵𝐵(−3, −3). Un extremo de la otra diagonal es el punto 𝑃𝑃(3,2); encuentra las coordenadas del cuarto vértice. Los puntos A(−2, −3) , 𝐵𝐵(4,3) y 𝐶𝐶(2,5) son vértices de un rectángulo. Calcula las coordenadas del otro vértice.

Recursos y materiales • Presentación Conceptos básicos de Geometría Analítica. • Ejercicios relacionados con distancias entre dos puntos, punto medio, pendiente, y paralelismo y perpendicularidad. • Calculadora científica.

Pendiente, paralelismo y perpendicularidad Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos 𝐴𝐴(−3,2) y B(7, −3). Los vértices de un triángulo se ubican en los puntos 𝑃𝑃(2, −2), 𝑄𝑄(−1,4) y 𝑅𝑅(4,5). Calcula la pendiente de sus tres lados. Una recta de pendiente 3, pasa por el punto 𝐹𝐹(3,2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Halla las coordenadas del segundo punto. Una recta con pendiente – 2, pasa por el punto 𝐺𝐺(2,7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál es la ordenada de B? Una recta L1 pasa por los puntos (3,2) y (−4, −6); y otra recta L2 pasa por el punto (−7,1) y por el punto A cuya ordenada es – 6. Halla la abscisa del punto A, sabiendo que L 1 y L 2 son: i. Perpendiculares. ii. Paralelas. Prueba que los puntos (1,2), (2,1), (0, −3) y (−1, −2) son los vértices de un paralelogramo. Una recta pasa por (5,0) y su pendiente es − 4�5 ; ¿en qué punto corta al eje Y? Calcula el valor de 𝑘𝑘 para que la recta que pasa por los puntos (3,2𝑘𝑘) y (7,14𝑘𝑘) tenga como pendiente el valor 1�3 .

Evidencia de aprendizaje: •

Test de conceptos y ejercicios relacionados con distancias entre dos puntos, punto medio, pendiente, y paralelismo y perpendicularidad.

Instrumento de evaluación: •

Lista de cotejo

CIERRE 4. De manera individual y de manera no presencial, responder el test de conceptos básicos de geometría analítica, que se encuentra en la plataforma, en el apartado de Actividades de evidencia. Consulta el material de evidencias, para seguir las instrucciones relacionadas a esta actividad. 5. En plenaria y mediante lluvia de ideas, realizar la retroalimentación de los ejercicios relacionados con distancias entre dos puntos, punto medio, pendiente, y paralelismo y perpendicularidad.

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Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones Unidad 2: Lugares geométricos Actividad 2. Conceptos de Geometría Analítica y aplicaciones de la línea recta (Línea recta) Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas de la vida cotidiana relacionados con la línea recta, de manera clara y ordenada. Tiempo presencial: 360 Minutos Tiempo Independiente: 120 Minutos Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO 1. En plenaria, revisar la lectura anterior de “Geometría Analítica y sus conceptos básicos” y mediante lluvia de ideas, resolver los ejemplos relacionados con lugares geométricos, con la guía del profesor. Determina la gráfica y ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de manera que: a) Se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje Y. b) Está siempre 4 unidades arriba del eje X. c) Su abscisa es siempre igual al doble de su ordenada. d) Su ordenada es siempre igual a su abscisa incrementada en 2. e) Su abscisa es siempre igual a la recíproca de su ordenada. f) Su distancia al eje Y, disminuida en 3 unidades, es siempre igual al doble de su distancia al eje X. g) Su distancia al origen es siempre igual a 2 unidades. h) Su distancia al punto 𝐴𝐴 (2,3) es siempre igual a 5 unidades. i) Siempre equidista de los dos puntos 𝐴𝐴(1, −2) y 𝐵𝐵(5,4). j) Su distancia al punto 𝐴𝐴(2,4) es siempre igual a su distancia al eje Y, aumentada en 3 unidades. 2. En plenaria y de manera presencial, revisar las soluciones de los ejercicios del punto anterior. DESARROLLO 3. En plenaria, revisar la lectura de “Ecuaciones de una línea recta”, resolviendo los ejemplos con la guía del profesor.

La ecuación de una recta es una expresión algebraica en el cual interviene el valor de la pendiente. Dependiendo de los datos que se tengan y el comportamiento de la misma, se puede definir la ecuación, es decir: •

Ecuación de una recta vertical u horizontal. Consideremos una recta 𝑳𝑳 paralela al eje Y. Sea 𝒂𝒂 la distancia (dirigida) que separa a la recta 𝑳𝑳 del eje. La propiedad común a todos los puntos de 𝑳𝑳 es que su abscisa 𝒙𝒙 es igual a 𝒂𝒂. Recíprocamente, si la abscisa 𝒙𝒙 de un punto 𝑷𝑷 es igual a 𝒂𝒂, entonces el punto pertenece a la recta 𝑳𝑳. Es decir, la ecuación de una recta vertical es: 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂

Si te tiene una recta paralela al eje X, la característica común a todos los puntos es su ordenada 𝒚𝒚, es igual a una constante 𝒃𝒃. Por lo tanto, la ecuación de una recta horizontal está dada por: 𝒚𝒚 = 𝒃𝒃 Toda recta vertical tiene una ecuación de primer grado en la que la única variable 𝒙𝒙, y toda recta horizontal tiene una ecuación de primer grado en la que la única variable es 𝒚𝒚.

En particular, las ecuaciones de los ejes son 𝑥𝑥 = 0 (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑌𝑌) 𝑒𝑒 𝑦𝑦 = 0 (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑋𝑋). En general, si sólo se fija el valor de la coordenada, el lugar geométrico correspondiente será una recta paralela a alguno de los ejes coordenados. Por ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos a) (−4, 1) 𝑦𝑦 (−4, 5). Solución: Al graficar los puntos se tiene, que es una recta paralela al eje Y:

Ecuaciones de una la línea recta Recordemos que la pendiente de una línea recta es la medida de su declive, es decir de su desvío respecto a la horizontal. Además de que esta puede hallarse de dos maneras, a partir de dos puntos o conociendo el ángulo de inclinación.

Es decir, es una recta vertical, cuya ecuación está dada por el valor de abscisa -4: 𝑥𝑥 = −4

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b) (0, 3) 𝑦𝑦 (−5, 3) Solución: AL graficar los puntos se tiene una recta paralela al eje X:

Para graficar, hallemos las intersecciones con los ejes: 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒚𝒚, 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 Sustituiremos 𝑦𝑦 = 0: Sustituiremos 𝑥𝑥 = 0: 0 = 𝑥𝑥 − 1 𝑦𝑦 = 0 − 1 Despejemos 𝑥𝑥: Despejemos 𝑦𝑦: 𝑥𝑥 = 1 𝑦𝑦 = −1 El punto de intersección es (1, 0) El punto de intersección es (0, −1)

Localizando los puntos de intersección en el sistema de coordenadas y uniendo los puntos, se obtiene la gráfica de la línea recta: Es decir, es una recta horizontal, cuya ecuación está dada por el valor de la ordenada 3: 𝑦𝑦 = 3

•

Ecuación de la recta punto-pendiente. Geométricamente, la línea recta está determinada a partir de dos puntos. La ecuación algebraica está dada punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), por donde pasa la recta y el valor de la pendiente (𝑚𝑚), es decir: 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒎𝒎(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 )

Por ejemplo: a) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y tiene un ángulo de inclinación de 45°. Solución: Se sabe que pasa por el punto (3, 2) y que su ángulo de inclinación es de 45°. El dato faltante para sustituir en la ecuación punto pendiente es el valor de la pendiente (𝑚𝑚) el cual, dado el valor del ángulo de inclinación, este es igual a: 𝑚𝑚 = tan 𝜃𝜃 Entonces: 𝑚𝑚 = tan 45° 𝑚𝑚 = 1 Ahora sustituiremos los valores en la ecuación punto pendiente, siendo 𝑦𝑦1 = 2 𝑦𝑦 𝑚𝑚 = 1 𝑥𝑥1 = 3, 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒎𝒎(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 ) 𝑦𝑦 − 2 = 1(𝑥𝑥 − 3) 𝑦𝑦 − 2 = 𝑥𝑥 − 3 Despejando 𝑦𝑦 de la ecuación se tiene: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 3 + 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1

En caso de requerir la ecuación general de la recta 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0, la cual se obtiene igualando a cero la ecuación resultante. Es decir, dada la ecuación: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 Igualando a cero, se obtiene: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 0 ∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 0

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴𝐴(−1, 2) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(3,1) Solución: Se tienen los puntos por donde pasa la recta, con lo cual se puede tomar a cualquiera de ellos como 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 𝑦𝑦1 . Se desconoce el valor de la pendiente, pero con los datos podemos determinarla utilizando la fórmula de pendiente a partir de dos puntos, es decir: 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 𝑚𝑚 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

Donde: 𝑥𝑥1 = −1, 𝑥𝑥2 = 3, 𝑦𝑦1 = 2 𝑦𝑦 𝑦𝑦2 = 1 Sustituimos en la fórmula:

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1−2 3 − (−1) 1−2 𝑚𝑚 = 3+1 1 𝑚𝑚 = − 4 Ahora encontremos la ecuación de la línea recta, conociendo 𝑥𝑥1 = −1, 𝑦𝑦1 = 2 𝑦𝑦 𝑚𝑚 =

∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴(−1, 2) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(3,1) 𝑒𝑒𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 7 𝑦𝑦 = 4

𝑚𝑚 =

1

− . Es decir: 4

𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒎𝒎(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟏𝟏 )

1 𝑦𝑦 − 2 = − �𝑥𝑥 − (−1)� 4 Despejando y, se tiene:

•

4(𝑦𝑦 − 2) = −1(𝑥𝑥 + 1) 4𝑦𝑦 − 8 = −𝑥𝑥 − 1

4𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 − 1 + 8 4𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 7 −𝑥𝑥 + 7 𝑦𝑦 = 4 Para graficar, hallemos las intersecciones con los ejes: 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒚𝒚, 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 −𝑥𝑥 + 7 −𝑥𝑥 + 7 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 = 4 4 Sustituiremos 𝑦𝑦 = 0: Sustituiremos 𝑥𝑥 = 0: −𝑥𝑥 + 7 0+7 0= 𝑦𝑦 = 4 4 Despejemos 𝑥𝑥: Despejemos 𝑦𝑦: 7 (4)(0) = −𝑥𝑥 + 7 𝑦𝑦 = 4 0 = −𝑥𝑥 + 7 𝑥𝑥 = 7 7 El punto de intersección es (7, 0) El punto de intersección es �0, 4�

Ecuación de la recta pendiente-ordenada al origen o forma explícita. Para determinar la ecuación de la recta se necesita conocer un punto por donde pase la recta y el valor de pendiente (𝒎𝒎). Esta ecuación se trata de un caso particular, ya que el punto que se requiere es de la forma 𝑷𝑷(𝟎𝟎, 𝒃𝒃) , el cual resulta de la intersección de la línea recta con el eje Y. Es decir: 𝒚𝒚 = 𝒎𝒎𝒎𝒎 + 𝒃𝒃

Por ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴𝐴(0, 5) y el valor de su pendiente es

𝑚𝑚 =

2 3

Solución: 2

Se conoce los valores de 𝑚𝑚 = 3 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 5, ya que el punto que proporcionan es un punto de

intersección con el Eje Y. Sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación se tiene: 𝒚𝒚 = 𝒎𝒎𝒎𝒎 + 𝒃𝒃 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 5 3 2 ∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 5 3

Localizando los puntos de intersección en el sistema de coordenadas y uniendo los puntos, se obtiene la gráfica de la línea recta:

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Sustituimos los valores en: •

La Ecuación General de la recta. Toda ecuación de primer grado en 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒚𝒚, se puede escribir en la forma: 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑩𝑩𝑩𝑩 + 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎

Donde 𝑨𝑨, 𝑩𝑩, 𝒚𝒚 𝑪𝑪 son números reales. Para ello, lo único que se hay que hacer es llevar todos los términos de la ecuación a uno de los miembros de la igualdad y simplificarla. De esta ecuación podemos obtener el valor de su pendiente y la ordenada al origen, definidas como: 𝑨𝑨 𝑪𝑪 𝒎𝒎 = − 𝑦𝑦 𝒃𝒃 = − 𝑩𝑩 𝑩𝑩

Las intersecciones con los ejes utilizando la ecuación general 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑩𝑩𝑩𝑩 + 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 esta definico como �

−𝑪𝑪 𝑨𝑨

, 𝟎𝟎� para el eje X y �𝟎𝟎,

−𝑪𝑪 𝑩𝑩

� para el eje Y.

Por ejemplo: Determina los valores de la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas. a) 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 + 5 = 0 Solución: Se tienes los valores de 𝑨𝑨, 𝑩𝑩, 𝒚𝒚 𝑪𝑪, es decir: 𝐴𝐴 = 4, 𝐵𝐵 = 6 𝑦𝑦 𝐶𝐶 = 5 Sustituimos los valores en: 𝑪𝑪 𝑨𝑨 𝒎𝒎 = − 𝑦𝑦 𝒃𝒃 = − 𝑩𝑩 𝑩𝑩 𝑚𝑚 = −

4 5 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = − 6 6

2 5 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = − 3 6 ∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠: 𝑚𝑚 = −

2

b) 5𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 − 3 = 0

5

𝑚𝑚 = − 3 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = − 6

Solución: Se tienes los valores de 𝑨𝑨, 𝑩𝑩, 𝒚𝒚 𝑪𝑪, es decir: 𝐴𝐴 = 5, 𝐵𝐵 = 6 − 8 𝑦𝑦 𝐶𝐶 = −3

𝒎𝒎 = −

𝑪𝑪 𝑨𝑨 𝑦𝑦 𝒃𝒃 = − 𝑩𝑩 𝑩𝑩

5 −3 � 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = − � � −8 −8

𝑚𝑚 = − �

3 5 𝑚𝑚 = − �− � 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = − � � 8 8

5 3 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = − 8 8 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠: 5 3 𝑚𝑚 = 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = − 8 8 4. En forma individual y de manera no presencial, realizar un mapa conceptual sobre la Línea Recta, cuyas instrucciones se encuentran en el material de evidencias. 5. En equipos colaborativos resolver ejercicios de repaso propuestos por el profesor. Ejercicios de repaso: EJERCICIOS 1 a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴𝐴(−2,3) e inclinación 45°. b) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐵𝐵(2, −3) e inclinación 135°. c) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por 𝐶𝐶(4, −1) y tiene pendiente 0. d) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por 𝐸𝐸(4, −1) y con pendiente 3�4 e) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐻𝐻(1, −2) y 𝐼𝐼(2,1). f) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑄𝑄(1�2 , 3) y 𝑅𝑅(− 2�3 , 0). g) Encuentra la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos 𝐴𝐴(−1,2) y 𝐵𝐵(3, −4). 𝑚𝑚 =

EJERCICIOS 2 a) Encuentra los puntos de intersección de la recta 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 12 con los ejes coordenados. b) Encuentra los punto pendiente os de intersección de la recta 3(𝑥𝑥 − 1) − 4(𝑦𝑦 + 2) = 0 con los ejes coordenados. c) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐵𝐵(−2,4) y es paralela a la recta 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 5 = 0. d) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐶𝐶(−2,4) y es paralela a la recta 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 4 = 0. e) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐷𝐷(−3,2) y es perpendicular a la recta 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 5 = 0.

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f) g)

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐶𝐶(5, −3) y es perpendicular a la recta 5𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 + 1 = 0. Encuentra la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que se forma con la intersección de la recta 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 6 = 0 y los ejes coordenados.

EJERCICIOS 3 a) b) c)

d)

e)

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por 𝐴𝐴�2�3 , 8�3� y por el punto de intersección de las rectas 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 − 11 = 0 y 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 7 = 0. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por 𝐴𝐴(−2,3) y por el punto de intersección de las rectas 𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 + 2 = 0 y 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 5 = 0 . Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 2 = 0 y 5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 4 = 0, y que es perpendicular a la recta 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 7 = 0. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 8 = 0 y 2𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 − 5 = 0, y que es paralela a la recta 6𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 11 = 0. Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto 𝐴𝐴(3,2) y forma con los semiejes positivos un triángulo de área 12 u2.

6. De manera individual y de forma presencial, realizar la actividad del Bingo de línea recta, presentado en el material de evidencia. 7. De manera individual resolver 4 problemas de la siguiente lista, propuestos por el profesor. 1) Don Andrés es un albañil especialista en colocación de pisos. Para la semana próxima necesita determinar la cantidad de ladrillos que requiere para cada una de las cinco secciones diferentes que se describen a continuación. Cada metro cuadrado se cubre con 16 ladrillos. a) Completa la tabla siguiente: Área en m2 Número de ladrillos Sección 𝒙𝒙 𝒚𝒚 A 36 B 50 C 18 D 75 E 64 b) Grafica en el plano cartesiano el lugar geométrico que representa. c) Determina la pendiente de la recta. d) Determina la ecuación que representa la relación entre el número de ladrillos y el área que se cubre.

2) El costo del servicio telefónico es de $250 mensuales con derecho a 100 llamadas, más una cantidad adicional por cada llamada que exceda las 100. El historial telefónico de los últimos 6 meses del Lic. Canul es el siguiente: Número de llamadas Pago mensual Mes 𝑦𝑦 realizadas 𝑥𝑥 Abril 150 350 Mayo 120 290 Junio 100 250 Julio 145 340 Agosto 170 390 Septiembre 125 300 a) b) c) d)

Localiza los puntos en el plano cartesiano y traza la gráfica. Calcula el costo de cada llamada adicional. Escribe la ecuación de dicho lugar geométrico. Calcula el pago que se efectuará en el mes de octubre, si se realizaran 167 llamadas. Utiliza la ecuación.

3) Carla compró una caja con 100 sobres de stevia®. Sabiendo que cada día consume 4 sobres, responde lo siguiente: a) ¿Cuántos sobres quedan en la caja después de 6 días? b) ¿Cuántos sobres quedan en la caja después de 10 días? c) ¿Cuántos días requiere Carla para consumir los 100 sobres? d) Completa la tabla Número de días transcurridos 𝑥𝑥 0 6 10 15 22 25 e) f) g)

Número de sobres que quedan en la caja 𝑦𝑦

Ubica los puntos en el plano cartesiano y traza el lugar geométrico. Determina la pendiente. Determina la ecuación del lugar geométrico.

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Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones Unidad 2: Lugares geométricos Actividad 3. Las secciones cónicas: Circunferencia, Parábola y Elipse (Secciones cónicas y la circunferencia)

4) Toño es el encargado del mantenimiento del parque ecológico del poniente y ha elaborado una gráfica para registrar el número de veces que se ha realizado esa labor.

a) b) c) d)

¿Cuántos días se requieren para dar mantenimiento al parque si Toño emplea sólo dos trabajadores? ¿Cuántos trabajadores se necesitan para darle mantenimiento al parque en 3 días? Calcula la pendiente de la recta. Determina la ecuación de la recta.

CIERRE 8. En plenaria, realizar la retroalimentación de la resolución de los 4 problemas. Recursos y materiales • Material de evidencias. • Ejercicios y problemas relacionados con la línea recta. • Calculadora científica. Evidencia de aprendizaje: • Mapa conceptual de línea recta • Bingo de línea recta. • Problemas relacionados la línea recta, aplicando conceptos y propiedades de dicho lugar geométrico. Instrumento de evaluación: •

Lista de cotejo

Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas reales o hipotéticos relacionados con las secciones cónicas, de manera clara y ordenada. Valor: 25 puntos Tiempo presencial:400 Minutos Tiempo Independiente: 120 Minutos Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO Sesión Construye T Instrucciones: Antes de comenzar el tema, participa en la actividad didáctica que el profesor tiene preparado. No olvides poner en juego tus habilidades, destrezas y conocimientos para el desarrollo de la actividad. 1. En plenaria, revisar la lectura de Secciones cónicas: Circunferencia y la presentación de Las secciones cónicas, donde se analiza la definición de cada una de las secciones cónicas como un lugar geométrico (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola), sus propiedades, sus elementos, y además se deduce su ecuación.

Secciones cónicas

Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene: • • • •

Una circunferencia, es decir cuando el plano corta horizontalmente al cono. Una elipse, cuando el corte del plano es paralelo a la generatriz del cono. Una parábola, cuando el plano corta verticalmente al cono. Una hipérbola, cuando se tiene dos conos unidos por el vértice y se realiza un corte vertical a las dos superficies cónicas.

La Ecuación General de una sección cónica es: 𝑨𝑨𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 + 𝑪𝑪𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝑫𝑫𝑫𝑫 + 𝑬𝑬𝑬𝑬 + 𝑭𝑭 = 𝟎𝟎

El tipo de sección puede ser descubierta por el signo de la ecuación siguiente: 𝑩𝑩𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 Si 𝑩𝑩𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 es... < 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 > 𝟎𝟎

La curva es... Una elipse, un círculo, un punto o ninguna curva. Una parábola Una hipérbola o dos líneas intersectadas

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Otra manera de identificar a una sección cónica por medio de su ecuación, es observar e identificar los valores de 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐶𝐶 (los coeficientes de los términos cuadráticos), los cuales nos indican qué tipo de sección cónica representa la ecuación. Ya que solo se estudiará las ecuaciones con 𝐵𝐵 = 0.

Se tienes las siguientes reglas generales para determinar la cónica a partir de los coeficientes 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐶𝐶: • Si 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐶𝐶 tienen signos iguales, se trata de una elipse. • Si 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐶𝐶 son iguales, representa una circunferencia. • Si 𝐴𝐴 𝑜𝑜 𝐶𝐶 es cero, pero no simultáneamente, es decir, tiene un solo termino cuadrático, entonces representa una parábola. • Si 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐶𝐶 tiene signo contrario, representa una hipérbola.

Ecuación de una circunferencia •

Con centro en el origen. Cuando el centro de la circunferencia está en el origen (0, 0), su ecuación se simplifica a: 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 𝑟𝑟 2

Es decir:

Ecuación 2𝑥𝑥 2 + 5𝑦𝑦 2 − 7𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 8 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 21 = 0 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 3𝑥𝑥 2 − 9𝑦𝑦 2 − 5𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 − 12 = 0

Sección cónica que representa Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola

Nota: En cada caso debe cumplirse la regla de los coeficientes correspondientes a cada una de las secciones cónicas. Excentricidad en secciones cónicas:

• • • •

La excentricidad de una circunferencia es 0 (ℯ = 0). La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0 < ℯ < 1). La excentricidad de una parábola es 1 (ℯ = 1). La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (ℯ > 1).

A esta ecuación se le conoce como ecuación canónica o estándar y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto 𝐶𝐶(0, 0), por lo que la expresión ordinaria queda reducida a:

𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐵𝐵(6,3) y cuyo centro se encuentra en 𝐶𝐶(0,0)

Circunferencia

Es el lugar geométrico de todos los puntos que están a una misma distancia de otro punto fijo llamado centro, y a una distancia constante llamada radio de la circunferencia. Es decir, es una línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

Solución:

Para trazar una circunferencia es necesario dos elementos: el centro y su radio.

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•

Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. Es el lugar geométrico descrito por u punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) que se mueve en un plano a una distancia constante de un punto fijo. La distancia constante se le denomina radio y al punto fijo centro de la circunferencia. De la definición anterior se identifica el centro de la circunferencia como el punto 𝑪𝑪(𝒉𝒉, 𝒌𝒌) y un punto cualquiera 𝑷𝑷(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) sobre la circunferencia, cuya ecuación ordinaria o reducida se denota por:

(𝒙𝒙 − 𝒉𝒉)𝟐𝟐 + (𝒚𝒚 − 𝒌𝒌)𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐

•

Ecuación general de la circunferencia. Si se conoce el centro y el radio de una circunferencia, se puede construir su ecuación ordinaria, y de ahí, desarrollando los binomios al cuadrado, se obtendrá la forma general de la ecuación de la circunferencia. Es decir, Sea la circunferencia con centro en 𝐶𝐶(ℎ, 𝑘𝑘) y radio 𝑟𝑟, la ecuación general de la circunferencia está dado por:

𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝑫𝑫𝑫𝑫 + 𝑬𝑬𝑬𝑬 + 𝑭𝑭 = 𝟎𝟎

Donde:

𝑫𝑫 = −𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑬𝑬 = −𝟐𝟐𝟐𝟐

𝑭𝑭 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒌𝒌𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟐𝟐

Por ejemplo: Determina la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto 𝐶𝐶(−2, −1) y su diámetro es 𝑑𝑑 = 10. Solución:

Por ejemplo. Encuentra la ecuación y la gráfica de la circunferencia con centro en 𝐶𝐶(−3, 4) y radio 𝑟𝑟 = 6. Determina la ecuación en su forma ordinaria y general

Se tiene que ℎ = −2, 𝑘𝑘 = −1 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = 5, entonces para determina la ecuación general de la circunferencia podemos utilizar cualquiera de los dos métodos:

(𝑥𝑥 − ℎ)2 + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 𝑟𝑟 2

Sustituyendo los valores:

(𝑥𝑥 − (−2))2 + (𝑦𝑦 − (−1))2 = 52 (𝑥𝑥 + 2)2 + (𝑦𝑦 + 1)2 = 52 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 + 𝑦𝑦 2 + 2𝑦𝑦 + 1 = 25 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 5 − 25 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 20 = 0

La ecuación general de la circunferencia es: 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 20 = 0 Recuerda siempre que una circunferencia está definida si se conocen las coordenadas de su centro y su radio.

Método 2. Utilizando las fórmulas: 𝐷𝐷 = −2ℎ 𝐸𝐸 = −2𝑘𝑘 𝐹𝐹 = ℎ2 + 𝑘𝑘 2 − 𝑟𝑟 2

Método 1. Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.

Sustituyendo los valores en las fórmulas, se tiene: • 𝐷𝐷 = −2(−2) 𝑫𝑫 = 𝟒𝟒 •

𝐸𝐸 = −2(−1)

𝑬𝑬 = 𝟐𝟐

𝐹𝐹 = (−2)2 + (−1)2 − 52 𝐹𝐹 = 4 − 1 − 25 𝑭𝑭 = −𝟐𝟐𝟐𝟐 Sustituyendo los valores en la ecuación general de la circunferencia se tiene: 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 20 = 0 •

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Obtención de los elementos de la circunferencia a partir de su ecuación general 𝟐𝟐

𝟐𝟐

Si se conoce la ecuación general de una circunferencia 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 + 𝑫𝑫𝑫𝑫 + 𝑬𝑬𝑬𝑬 + 𝑭𝑭 = 𝟎𝟎, podemos encontrar lo valores de sus elementos, el centro y su radio, los cuales están asociados a los coeficientes 𝐷𝐷, 𝐸𝐸 𝑦𝑦 𝐹𝐹, de la ecuación general. Es decir: Las coordenadas del centro de la circunferencia está dado por:

Y el valor del radio por:

𝑪𝑪 = �− 𝒓𝒓 =

𝑫𝑫 𝑬𝑬 ,− � 𝟐𝟐 𝟐𝟐

√𝑫𝑫𝟐𝟐 + 𝑬𝑬𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟐𝟐

Por ejemplo: Determina el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación general es 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 3 = 0. Completar los trinomios cuadrados Utilizar las fórmulas para cada uno de los perfectos para llegar a la ecuación ordinaria. elementos. 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 3 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 3 = 0 Agrupar cada variable: Identifiquemos los coeficientes 𝐷𝐷, 𝐸𝐸 𝑦𝑦 𝐹𝐹 de la ecuación anterior: 𝐷𝐷 = −6, 𝐸𝐸 = 4 𝑦𝑦 𝐹𝐹 = −3 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + __ + 𝑦𝑦 2 + 4𝑦𝑦 + __ = 3 Reemplazando los valores en las fórmulas: 𝐷𝐷 𝐸𝐸 Completar los trinomios cuadrados 𝐶𝐶 = �− , − � perfectos: 2 2 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑦𝑦 + 4 = 3 + 9 + 4 (−6) 4 Factorizar los trinomios ,− � 𝐶𝐶 = �− 2 2 2 2 (𝑥𝑥 − 3) + (𝑦𝑦 + 2) = 16 Donde, al compararlo con la ecuación 6 4 ordinaria: 𝐶𝐶 = � , − � 2 2 2 2 2 (𝑥𝑥 − ℎ) + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) = 𝑟𝑟 Tenemos que: 𝑪𝑪 = (𝟑𝟑, −𝟐𝟐) ℎ = 3, 𝑘𝑘 = −2 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = 4 Es decir: √𝐷𝐷2 + 𝐸𝐸 2 − 4𝐹𝐹 El centro es el punto 𝐶𝐶(3, −2) 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = 4 𝑟𝑟 = 2 �(−6)2 + 42 − 4(−3) 2 √36 + 16 + 12 𝑟𝑟 = 2 √64 𝑟𝑟 = 2 8 𝑟𝑟 = 2, 𝒓𝒓 = 𝟒𝟒 El centro es el punto 𝐶𝐶(3, −2) 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = 4 𝑟𝑟 =

DESARROLLO 2. En equipos colaborativos y de forma presencial, resolver 8 ejercicios relacionados con la sección cónica de circunferencia. a) Considera la circunferencia 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 36 . ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a ella? (−4,4) i. �3, 3√3� ii. (5, −3) iii. �2√2 , 2 √7� iv. v. �9�2 , 7�2� vi. �−2√6 , 4� b) Halla la ecuación de la circunferencia en su forma general dadas las condiciones siguientes: i. 𝐶𝐶 (0, −2) , 𝑟𝑟 = 5 ii. 𝐶𝐶 (−5, 0) , 𝑟𝑟 = 4 iii. 𝐶𝐶 (1, −4) , 𝑟𝑟 = 6 𝐶𝐶 (−2, 2) , 𝑟𝑟 = √8 iv. v. 𝐶𝐶 (−3, 4) y pasa por el punto (0, 0) vi. Los extremos de un diámetro son (−3, 5) y (7, −3) c) Halla la ecuación de la circunferencia que sea tangente a los dos ejes coordenados, su radio mide 8 unidades y su centro esté en el primer cuadrante. d) Halla la ecuación de la circunferencia de radio 10, que sea tangente a la circunferencia 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 25 en el punto (3,4). e) Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro sea el punto de intersección de las rectas 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 24 = 0 y 2𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 + 9 = 0. f) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (2, −4) y es tangente a al eje Y. g) Halla la ecuación de la circunferencia de radio 10, que pasa por el origen, y la abscisa de su centro, que está en el tercer cuadrante, es – 6. h) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (−4,3) y es tangente al eje Y. i) ¿Qué representan las siguientes ecuaciones? i. ii. iii. iv. v. vi. vii. j)

3𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦 2 − 12 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 0 4𝑥𝑥 2 + 4𝑦𝑦 2 + 7 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 10𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 6𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 10 = 0 4𝑥𝑥 2 + (𝑦𝑦 + 5)2 − 16 = 0 36𝑥𝑥 2 + 36𝑦𝑦 2 − 48𝑥𝑥 + 36𝑦𝑦 − 119 = 0

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por (−3,4) y es concéntrica a otra cuya ecuación es 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 6 = 0. 3. En equipos de trabajo y de manera presencial, realizar la actividad del “Puzzle de circunferencia” propuesto en el material de evidencia. 4. En plenaria, retroalimentar la actividad del puzzle.

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5. En plenaria, revisar la presentación Aplicaciones de las secciones cónicas, donde se analiza las aplicaciones de cada uno de las secciones cónicas, seleccionando el tema de circunferencia, en situaciones de la vida cotidiana. 6. De manera individual, resolver problemas hipotéticos que a continuación se te presentan, relacionados con la circunferencia. 1. Juan elaboró una bandera de Japón que consta de un círculo rojo centrado en un rectángulo blanco de 1.4 m de largo por 1.0 m de ancho, la cual quedó como se indica en la figura. Su hermano quiso averiguar cuál es la ecuación de la circunferencia que limita al círculo rojo, utilizando como eje X el borde inferior del rectángulo y como eje Y el borde izquierdo del mismo. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?

0.20 m

CIERRE 8. En plenaria, realizar la retroalimentación de la resolución de los 3 ejercicios y 4 problemas reales o hipotéticos relacionados con la circunferencia. Recursos y materiales • • •

Presentación Las secciones cónicas. Presentación Aplicaciones de las secciones cónicas. Ejercicios y problemas relacionados con circunferencia

Evidencia de aprendizaje:

2. Una letra C de grosor uniforme se dibujó con dos semicircunferencias. Si las ecuaciones de las circunferencias menor y mayor usadas para obtener la letra son respectivamente 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 225 y 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 625. a) b)

7. En quipos de trabajo y de manera presencial, resolver 3 ejercicios y 4 problemas reales o hipotéticos relacionados a circunferencia, propuestos en el material de evidencias y seleccionados por el profesor.

• •

Puzzle de Circunferencia Ejercicios y problemas reales o hipotéticos relacionados con la circunferencia.

Instrumento de evaluación • Lista de cotejo.

¿Cuál es el grosor de la letra C? ¿Cuál es su altura?

3. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con una semicircunferencia como se muestra en la figura. Si la base de la ventana mide 4 m y la altura del rectángulo mide la mitad de la base de la ventana, halla: a) La altura del punto más alto de la ventana con respecto a su base. b) La ecuación de la circunferencia utilizada al diseñar la ventana, considerando el origen del sistema de coordenadas cartesianas en el punto O y el eje X en su base. 4. Un arco formado por dos semicircunferencias está sostenido por dos columnas de 6 m de alto y separadas entre sí 4 m, como se muestra en la figura. ¿A qué distancia del eje de simetría del arco se encuentra un punto del mismo, ubicado a 7 m de piso?

O

7

6

4

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Unidad Académica Bachillerato General con Interacción Comunitaria Período: Agosto/Diciembre 2019 Tercer Semestre Secuencia de Actividades de la Representación Matemática y sus Aplicaciones Unidad 2: Lugares geométricos Actividad 3. Las secciones cónicas: Circunferencia, Parábola y Elipse (Parábola, Elipse e Hipérbola) Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas reales o hipotéticos relacionados con las secciones cónicas, de manera clara y ordenada. Tiempo presencial: 760 Minutos Tiempo Independiente: 200 Minutos

El valor de 𝑝𝑝 determina el lado del origen en el que queda el foco y, por consiguiente, hacia donde abre la parábola. Es decir: • Cuando 𝑝𝑝 > 0 𝑦𝑦 𝐹𝐹 (0, 𝑝𝑝), la parábola es vertical abierta hacia arriba, con ecuación 𝑥𝑥 2 = 4𝑝𝑝𝑝𝑝 y directriz 𝑦𝑦 = −𝑝𝑝 • Cuando 𝑝𝑝 < 0 𝑦𝑦 𝐹𝐹 (0, − 𝑝𝑝), la parábola es vertical abierta hacia abajo, con ecuación 𝑥𝑥 2 = −4𝑝𝑝𝑝𝑝 y directriz 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝. • Cuando 𝑝𝑝 > 0 𝑦𝑦 𝐹𝐹 (𝑝𝑝, 0), la parábola es horizontal abierta hacia la derecha, con ecuación 𝑦𝑦 2 = 4𝑝𝑝𝑝𝑝 y directriz 𝑥𝑥 = −𝑝𝑝 • Cuando 𝑝𝑝 > 0 𝑦𝑦 𝐹𝐹 (−𝑝𝑝, 0), la parábola es horizontal abierta hacia la izquierda, con ecuación 𝑦𝑦 2 = −4𝑝𝑝𝑝𝑝 y directriz x= 𝑝𝑝. Es decir:

Descripción de la Secuencia de Actividad: INICIO 1. En plenaria, revisar la presentación Las secciones cónicas, donde se analiza la definición de cada una de las secciones cónicas como un lugar geométrico (parábola, elipse e hipérbola), así como sus propiedades, sus elementos, y además se deduce su ecuación. 2. De manera individual, realiza la lectura de “las secciones cónicas: parábola, elipse e hipérbola. Secciones cónicas: parábola, elipse e hipérbola. La parábola es el lugar geométrico del conjunto de puntos de un plano, cuya distancia es igual a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz. Además de los elementos señalados existen otros importantes como son: • • •

• •

Parámetro 𝑷𝑷, es la distancia dirigida del vértice al foco. Eje focal o eje de la parábola, es la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Ancho focal o lado recto (𝑳𝑳𝑳𝑳), es la cuerda que pasa exactamente por el foco y es perpendicular al eje focal de la parábola, además es paralela a la directriz. 𝐿𝐿𝐿𝐿 = |4𝑝𝑝| Vértice es el punto medio entre el foco y la directriz, pertenece al lugar geométrico de la parábola. Cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de la parábola.

Por ejemplo: a. Halla la ecuación de una parábola con vértice en el origen, cuya ecuación de la directriz es 𝑥𝑥 = −18. Solución: La ecuación de la directriz de esta parábola corresponde al tipo 𝑥𝑥 = −𝑝𝑝. Entonces −𝑝𝑝 = −18, es decir 𝑝𝑝 = 18. Por consiguiente 𝑝𝑝 > 0 y como el eje focal está sobre el eje X y abre hacia la derecha, su ecuación es de la forma 𝑦𝑦 2 = 4𝑝𝑝𝑝𝑝, por lo que la ecuación solicitada es: 𝑦𝑦 2 = 4(18)𝑥𝑥

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𝑦𝑦 2 = 72𝑥𝑥 𝑦𝑦 2 − 72𝑥𝑥 = 0 ∴ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝á𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 2 − 72𝑥𝑥 = 0.

b. Halla el foco, la directriz y el lado recto de una parábola cuya ecuación 𝑦𝑦 2 = −16𝑥𝑥 Solución: Esta ecuación corresponde al tipo 𝑦𝑦 2 = 4𝑝𝑝𝑝𝑝 con foco en 𝐹𝐹(𝑝𝑝, 0), para determinar el valor de 𝑝𝑝 tenemos que: 4𝑝𝑝 = −16 16 𝑝𝑝 = − 4 𝑝𝑝 = −4 Por lo tanto, el foco está en 𝐹𝐹(0, −4). La directriz está dada por 𝑥𝑥 = −𝑝𝑝, es decir: 𝑥𝑥 = −(−4) 𝑥𝑥 = 4 El lado recto es |4𝑝𝑝|. Es decir: |4(4)| 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 16 ∴ 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐹𝐹(0, −4), 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = 4 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑒𝑒 16.

•

Excentricidad (𝓮𝓮): está relacionada con la forma de que toma la curva (elipse) en relación a la distancia de los vértices y los focos. Es decir, es el valor resultante de la razón de la semidistancia focal 𝑐𝑐 entre su semieje mayor 𝑎𝑎: 𝒄𝒄 𝓮𝓮 = , 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝟎𝟎 < 𝓮𝓮 < 𝟏𝟏 𝒂𝒂 Cuando da cantidades pequeñas cercanas a cero, la elipse tiende a tomar formar circulares. Y cuando tiende a valores cercanos a 1, resultan de formas más alargadas o elípticas.

Elipse es el lugar geométrico descrito como un conjunto de puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) en el plano, de manera que la suma de su distancia a dos puntos fijos, llamados focos y que se encuentran en el mismo plano, sea constante. La constante mencionada es igual a la longitud comprendida entre dos puntos fijos llamados vértices y es igual a 𝟐𝟐𝟐𝟐 Otros elementos que podemos encontrar en la elipse son: • • • • • • • •

•

Focos (𝑭𝑭´𝒚𝒚 𝑭𝑭): son los focos de la elipse. Eje focal: recta que pasa por los focos y su longitud es igual a 2𝑐𝑐. Eje normal: recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro. Vértices (𝑨𝑨´𝒚𝒚 𝑨𝑨): son los puntos de intersección de la elipse con su eje focal. Centro de la elipse (𝑪𝑪): es el punto medio del segmento que une los vértices de la elipse. Eje mayor: segmento de recta comprendida entre los vértices (𝑨𝑨´𝒚𝒚 𝑨𝑨) y su longitud es igual a 𝟐𝟐𝟐𝟐. Eje menor: es la cuerda perpendicular (𝑩𝑩´𝒚𝒚 𝑩𝑩), al eje focal, que pasa por el centro de la elipse y su longitud es igual a 2b. Lado recto o ancho focal (𝑳𝑳𝑳𝑳): es la cuerda que pasa por el foco y resulta perpendicular al eje focal de la elipse. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒂𝒂 Radios vectores: son los segmentos 𝑭𝑭´𝑴𝑴 𝒚𝒚 𝑭𝑭𝑭𝑭, donde 𝑀𝑀 es un punto cualquiera de la elipse.

La posición u orientación de la elipse, la cual puede ser horizontal o vertical, dependerá del eje mayor o el eje focal, es decir, si su eje mayor está en el eje X, entonces, será horizontal. Si tiene su eje mayor sobre el eje Y, será vertical. Asimismo hay que tener en cuenta que a elipse es una curva simétrica con respecto a sus dos ejes, lo que permitirá ubicar las coordenadas de los extremos de los ejes o de los focos. Para determinas las ecuaciones canónicas de la elipse, es necesario conocer los valores de los semiejes o semidistancias mayor y menor. En caso de no conocer alguna de ellas, es necesario trabajar con la relación: 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 Las ecuaciones canónicas están dadas de la siguiente manera:

Elipse horizontal

𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐 + = 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐

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Es decir:

Elipse vertical

𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐 + = 𝟏𝟏 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 e)

Ejemplos: a. Se sabe que una elipse tiene por focos 𝐹𝐹´(−3, 0)𝑦𝑦 𝐹𝐹(3, 0), además la longitud de su semieje mayor es 4. Determina: a) La longitud de su eje menor. b) La longitud de su eje mayor. c) La longitud de su eje focal. d) El valor del lado recto. e) El valor de su excentricidad. f) Su ecuación g) Grafica. Solución: Como los focos son los puntos 𝐹𝐹´(−3, 0)𝑦𝑦 𝐹𝐹(3, 0), y sabiendo que la elipse es simétrica con centro en el origen; además, la recta que pasa por los focos es horizontal y, en consecuencia, también la elipse. Se tiene por lo tanto, que c es la distancia del centro al foco, cuyo valor resultante es 𝑐𝑐 = 3. Según los datos, el valor del semieje mayor es 4, es decir: 𝑎𝑎 = 4 De la relación 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 , despejamos 𝑏𝑏 y obtenemos que 𝒃𝒃 = √𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒄𝒄𝟐𝟐 . Esto nos servirá para hallar la longitud del eje menor. a)

b)

𝑎𝑎 = 4 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = 3, sustituyendo en la relación anterior, se tiene 𝑏𝑏 = �42 − 32 𝑏𝑏 = √16 − 9 𝑏𝑏 = √7 Entonces la longitud del eje menor es 2𝑏𝑏, es decir: 2√7

2(√7)2 4 2(7) 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4 14 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4 7 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 2

𝐿𝐿𝐿𝐿 =

f)

El valor de su excentricidad lo hallamos, sustituyendo los valores de 𝑎𝑎 = 4 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = 3 en la fórmula: 𝑐𝑐 ℯ= 𝑎𝑎 Es decir: 3 ℯ = = 0.75 4

g)

𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + =1 16 2 7 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 La ecuación en su fórmula ordinaria es 16 + 7 = 1 La ecuación en su fórmula general es 7𝑥𝑥 2 + 16𝑦𝑦 2 − 112 = 0

Para determinar la ecuación, es necesario determinar cómo es su comportamiento, en este caso se trata de una elipse horizontal, con los valores de los semiejes 𝑎𝑎 = 4 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = √7, sustituyéndolo en la ecuación correspondiente de 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐 + = 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐 Es decir: 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 2 + =1 2 4 (√7)2

La grafica correspondiente a la elipse es:

Eje mayor es igual a 2𝑎𝑎, es decir: Eje mayor 2(4) = 8

c)

Eje focal es igual a 2𝑐𝑐, es decir:

d)

Para determinar la longitud del lado recto, sustituiremos los valores en la fórmula: 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒂𝒂

Eje focal 2(3) = 6

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b. Determina todos los elementos(eje mayor, eje menor, eje focal, lado recto, excentricidad, coordenadas del eje mayor, coordenadas del eje focal, coordenadas del eje menor y grafica) de la elipse: 4𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 − 36 = 0 Solución: Para poder determinar los elementos, es necesario dejar la ecuación general en forma canónica, ello realizaremos lo siguiente: 4𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 − 36 = 0 4𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 = 36 Dividamos todo entre 36, para que la igualdad nos quede 1, y las demás expresiones reducirlas. Es decir: 4𝑥𝑥 2 9𝑦𝑦 2 36 + = 36 36 36 Simplificando, obtenemos la ecuación canónica de la elipse: 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + =1 9 4 De la cual, podemos obtener los valores de los semiejes menor y mayor, respectivamente. Así como el comportamiento de la elipse. Es decir, como el valor más grande está debajo de la variable 𝑥𝑥, entonces indica que es una elipse horizontal; para obtener los demás valores, se realizará lo siguiente: 𝑎𝑎2 = 9 𝑦𝑦 𝑏𝑏2 = 4

𝑎𝑎 = √9 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = √4 𝑎𝑎 = 3 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 2 Obteniendo el valor del semieje focal, a partir de la fórmula 𝑎𝑎 2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 , despejando 𝑐𝑐 se tiene 𝒄𝒄 = √𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒃𝒃𝟐𝟐 . Es decir: 𝒄𝒄 = �𝟑𝟑𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐

La grafica correspondiente es:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en un plano cuya diferencia de distancias(𝑑𝑑1 𝑦𝑦 𝑑𝑑2 ) a los dos puntos fijos, llamados focos(𝑓𝑓1 𝑦𝑦 𝑓𝑓2 ), es constante. El valor de esa constante es la distancia entre los vértices 𝑉𝑉1 𝑦𝑦 𝑉𝑉2 de la hipérbola (2𝑎𝑎). |𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑2 | = 2𝑎𝑎

La hipérbola se define como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje de la generatriz 𝑔𝑔 del cono. Los elementos de la hipérbola son:

𝒄𝒄 = √𝟗𝟗 − 𝟒𝟒 𝑐𝑐 = √5

Entonces:

El eje mayor es 6, con coordenadas 𝐴𝐴´(−3, 0) 𝑦𝑦 𝐴𝐴(3, 0) Eje menor 4, con coordenadas 𝐵𝐵´(0, −2) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(0, 2) Eje focal 2√5, con coordenadas 𝐶𝐶´�−√5, 0� 𝑦𝑦 𝐶𝐶�√5, 0�

El valor del lado recto y de la excentricidad es 2𝑏𝑏2 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿 =

𝑦𝑦 𝑒𝑒 =

𝑐𝑐 𝑎𝑎

• •

2(2)2 √5 𝑦𝑦 𝑒𝑒 = 3 3

•

𝑦𝑦 𝑒𝑒 =

•

𝐿𝐿𝐿𝐿 =

8 3

√5 3

•

Los Focos: son los dos puntos fijos (𝐹𝐹1 𝑦𝑦 𝐹𝐹2 ). Radio vector: es la distancia de 𝑅𝑅 de un punto de la hipérbola 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) a cualquiera de los focos. Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También es llamado eje transverso. Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso. Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (𝑉𝑉1 𝑦𝑦 𝑉𝑉2 ).

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• • •

Distancia focal: es la distancia 2𝑐𝑐 entre los focos. Eje real: es la distancia 2𝑎𝑎 entre los vértices. Eje imaginario: es la distancia 2𝑏𝑏 de los puntos (𝐵𝐵1 𝑦𝑦 𝐵𝐵2 ).

Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal: 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐

La posición u orientación de la hipérbola, la cual puede ser horizontal o vertical, dependerá del el eje focal, es decir, si su eje focal está en el eje X, entonces, será horizontal. Si tiene su eje focal sobre el eje Y, será vertical. Es decir: Ecuación canónica: 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐 − = 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐 Hipérbola Asíntotas: horizontal 𝒃𝒃 𝒚𝒚 = ± 𝒙𝒙 𝒂𝒂 Hipérbola vertical

•

•

•

Las asíntotas 𝐴𝐴1 𝑦𝑦 𝐴𝐴2 : son las dos líneas rectas que se aproximan a la hipérbola en el infinito, es decir que no llegan a intersectarse. Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen los valores del semieje real(𝑎𝑎) e imaginario(𝑏𝑏), respectivamente.

La excentricidad: Mide lo abierta que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real). Es decir: 𝒄𝒄 𝒆𝒆 = , 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆 ≥ 𝟏𝟏 𝒂𝒂 Si la excentricidad se aproxima a 1, la hipérbola tiene a una recta partida. Cuando la excentricidad crece, la hipérbola tiene a dos rectas paralelas al eje no transverso, o dicho de otra forma, las ramas de la hipérbola están abiertas. Lado recto o ancho focal (𝑳𝑳𝑳𝑳): es la cuerda que pasa por el foco y resulta perpendicular al eje focal de la elipse. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒂𝒂

Ejemplo:

Ecuación canónica: 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 − = 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐 Asíntotas: 𝒂𝒂 𝒚𝒚 = ± 𝒙𝒙 𝒃𝒃

a. Se sabe que una elipse tiene por focos 𝐹𝐹´(−5, 0)𝑦𝑦 𝐹𝐹(5, 0), además la longitud de su semieje real es 4. Determina: a) La longitud de su eje real. b) La longitud de su eje conjugado. c) La longitud de su eje focal. d) El valor del lado recto. e) El valor de su excentricidad. f) Su ecuación g) Grafica. Solución: Como los focos son los puntos 𝐹𝐹´(−5, 0)𝑦𝑦 𝐹𝐹(5, 0), y sabiendo que la hipérbola es simétrica con centro en el origen; además, la recta que pasa por los focos es horizontal y, en consecuencia, también la hipérbola. Se tiene por lo tanto, que c es la distancia del centro al foco, cuyo valor resultante es 𝑐𝑐 = 5. Según los datos, el valor del semieje real es 4, es decir: 𝑎𝑎 = 4 De la relación 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 , despejamos 𝑏𝑏 y obtenemos que 𝒃𝒃 = √𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 . Esto nos servirá para hallar la longitud del eje imaginario. a)

𝑐𝑐 = 5 𝑦𝑦 𝑎𝑎 = 4, sustituyendo en la relación anterior, se tiene: 𝑏𝑏 = �52 − 42 𝑏𝑏 = √25 − 16 𝑏𝑏 = √9, 𝑏𝑏 = 3 Entonces la longitud del eje imaginario es 2𝑏𝑏, es decir: 6

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g)

b)

Eje real es igual a 2𝑎𝑎, es decir:

c)

Eje focal es igual a 2𝑐𝑐, es decir:

d)

Para determinar la longitud del lado recto, sustituiremos los valores en la fórmula:

Es decir:

Eje mayor 2(4) = 8 Eje focal 2(5) = 10 𝑳𝑳𝑳𝑳 =

f)

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒂𝒂

2(3)2 4 2(9) 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4 18 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4 9 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 2

𝐿𝐿𝐿𝐿 =

e)

El valor de su excentricidad lo hallamos, sustituyendo los valores de 𝑐𝑐 = 5 𝑦𝑦 𝑎𝑎 = 4 en la fórmula: 𝑐𝑐 ℯ= 𝑎𝑎 Es decir: 5 ℯ = = 1.25 4 Para determinar la ecuación, es necesario determinar cómo es su comportamiento, en este caso se trata de una hipérbola horizontal, con los valores de los semiejes 𝑎𝑎 = 4 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 3, sustituyéndolo en la ecuación correspondiente de 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐 − = 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐 Es decir:

La grafica correspondiente a la hipérbola es:

𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − =1 42 32

𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − =1 16 9

La ecuación en su fórmula ordinaria es

𝑥𝑥 2

16

−

𝑦𝑦 2 9

=1

La ecuación en su fórmula general es 9𝑥𝑥 2 − 16𝑦𝑦 2 − 144 = 0

b. Determina todos los elementos(eje real, eje imaginario, eje focal, lado recto, excentricidad, coordenadas del eje real, coordenadas del eje focal, coordenadas del eje imaginario, asíntotas y grafica) de la elipse: 4𝑥𝑥 2 − 9𝑦𝑦 2 − 36 = 0 Solución: Para poder determinar los elementos, es necesario dejar la ecuación general en forma canónica, ello realizaremos lo siguiente: 4𝑥𝑥 2 − 9𝑦𝑦 2 − 36 = 0 4𝑥𝑥 2 − 9𝑦𝑦 2 = 36 Dividamos todo entre 36, para que la igualdad nos quede 1, y las demás expresiones reducirlas. Es decir: 4𝑥𝑥 2 9𝑦𝑦 2 36 − = 36 36 36 Simplificando, obtenemos la ecuación canónica de la hipérbola: 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − =1 9 4 De la cual, podemos obtener los valores de los semiejes real e imaginario, respectivamente. Así como el comportamiento de la hipérbola. Es decir, como la variable 𝑥𝑥 es positiva nos indica que la hipérbola es horizontal, de lo contrario sería vertical. Para obtener los demás valores, se realizará lo siguiente: 𝑎𝑎 2 = 9 𝑦𝑦 𝑏𝑏2 = 4

𝑎𝑎 = √9 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = √4 𝑎𝑎 = 3 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 2 Obteniendo el valor del semieje focal, a partir de la fórmula 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 , despejando 𝑐𝑐 se tiene 𝒄𝒄 = √𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 . Es decir: 𝒄𝒄 = �𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄 = √𝟗𝟗 + 𝟒𝟒 𝑐𝑐 = √13

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Entonces: El eje real es 6, con coordenadas 𝐴𝐴´(−3, 0) 𝑦𝑦 𝐴𝐴(3, 0) Eje imaginario es 4, con coordenadas 𝐵𝐵´(0, −2) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(0, 2)

Eje focal 2√13, con coordenadas 𝐶𝐶´�−√13, 0� 𝑦𝑦 𝐶𝐶�√13, 0�

El valor del lado recto y de la excentricidad es 2𝑏𝑏2 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿 = La ecuación de las asíntotas son:

2(2) 3

𝐿𝐿𝐿𝐿 =

Es decir:

La grafica correspondiente es:

2

𝑦𝑦 =

8 3

𝑦𝑦 𝑒𝑒 = 𝑦𝑦 𝑒𝑒 =

𝑦𝑦

√13 3

𝑦𝑦 𝑒𝑒~1.20

𝑏𝑏 𝑦𝑦 = ± 𝑥𝑥 𝑎𝑎

2 𝑥𝑥 3

𝑐𝑐 𝑎𝑎

2 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 3

DESARROLLO 2. En equipos colaborativos resolver 4 ejercicios geométricos relacionados con cada una de las secciones cónicas. Total 12 ejercicios. Parábola a) Una parábola horizontal pasa por el punto (𝟑𝟑, −𝟒𝟒). directriz.

Encuentra la ecuación de su

b) Encuentra la ecuación de la parábola horizontal que pasa por el punto (−2, −3).

c) Encuentra la ecuación de la parábola si el foco es 𝐹𝐹(5,0).

d) Encuentra la ecuación de la parábola si la directriz es 𝑦𝑦 + 6 = 0.

e) Dada la ecuación de las siguientes parábolas, determina: las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, la longitud de su lado recto y el bosquejo de su gráfica. 𝑦𝑦 2 + 4𝑥𝑥 = 0 2𝑥𝑥 2 − 9𝑦𝑦 = 0 f) Una parábola vertical pasa por el centro de la circunferencia 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 8𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 9 = 0. Determina la ecuación de la parábola y la de su directriz. i. ii.

Elipse

a) Halla la ecuación de la elipse si: i. Foco (2,0) y vértice (4,0) ii. Foco (0,3) y vértice (0,5) iii. Foco (−4,0) y Eje mayor mide 12 Foco (0,4) y excentricidad 𝑒𝑒 =

iv.

3

5

b) Identifica cada una de las siguientes elipses (menciona si es horizontal o vertical). Además halla los vértices, focos, excentricidad, longitud del eje mayor, longitud del eje menor, distancia focal, longitud del lado recto: a.

𝑥𝑥 2

16

+

2

𝑦𝑦 2

25

=1

b. 25𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 2 − 225 = 0 c. 3𝑥𝑥 2 + 4𝑦𝑦 2 − 12 = 0 c) Un foco de una elipse está en (0, −4) ecuación y su excentricidad.

y el eje mayor es el doble del eje menor. Halla su

d) Halla la ecuación de una elipse si un foco está en (0, −4)

y su excentricidad es 𝑒𝑒 =

2

3

.

e) Encuentra la ecuación de una elipse vertical con excentricidad, 𝑒𝑒 = 0.6 en la cual la distancia de un foco al vértice del eje menor es 4. f) Halla la ecuación de una elipse horizontal cuyo eje mayor es 6 y su excentricidad es 𝑒𝑒 = 1 . 2

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g) Los puntos donde la recta 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 12 = 0 corta a los ejes de coordenadas, son uno de los extremos de los ejes mayor y menor para una elipse. Encuentra su ecuación. h) El diámetro vertical de la circunferencia 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 36 = 0, coincide con el eje mayor de una elipse. Si el lado recto de dicha elipse mide 3, encuentra su ecuación. i) Halla la ecuación de la elipse con semieje mayor cuya longitud sobre el eje y es de 4 9 unidades, y la longitud del lado recto es igual a . 2 El vértice izquierdo de la elipse 5𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 − 180 = 0 es el foco de una parábola, determina la longitud del lado recto de la parábola.

j)

Hipérbola a) Halla la ecuación de la hipérbola si: ii. Foco (5,0) y vértice (3,0) iii. Foco (0,6) y vértice (0, −4) iv. Foco (6,0) y excentricidad 𝑒𝑒 = v.

Foco (0,5) y excentricidad 𝑒𝑒 =

3

𝑥𝑥 2

4 𝑦𝑦 2

−

𝑦𝑦 2

9 𝑥𝑥 2

En plenaria, revisar la presentación Aplicaciones de las secciones cónicas, donde se analiza las aplicaciones de cada uno de las secciones cónicas (parábola, elipse e hipérbola), en situaciones de la vida cotidiana.

5.

De manera individual, resolver al menos 6 problemas reales o hipotéticos relacionados con las secciones cónicas: parábola, elipse e hipérbola. Elipse 1. El Ing. Santos necesita colocar una viga horizontal en un arco cuya forma es de una semielipse vertical como se muestra en la figura. ¿Cuál será la longitud de la viga se debe pasar por uno de los focos de la elipse?

2 7

4

b) Describe cada una de las siguientes hipérbolas (menciona si es horizontal o vertical). Además halla los vértices, focos, excentricidad, longitud del eje real o transverso, longitud del eje imaginario o conjugado, distancia focal, y longitud del lado recto, para cada una: i.

4.

=1

ii. − 16 = 1 16 iii. 16𝑥𝑥 2 − 9𝑦𝑦 2 − 144 = 0 iv. 25𝑥𝑥 2 − 16𝑦𝑦 2 + 400 = 0 c) Encuentra la ecuación de: la hipérbola y sus asíntotas si un foco es (0, −6) y un vértice es (0,4). d) Un foco de una hipérbola es el punto (0, −5) y el eje transverso es el doble del eje conjugado. Halla su ecuación. e) Halla la ecuación de una hipérbola y las ecuaciones de sus asíntotas si un vértice está en (0, −4) y su distancia al foco más alejado es 9. f) Halla la ecuación de una hipérbola y las ecuaciones de sus asíntotas si un foco está en (6,0) y su excentricidad es 𝑒𝑒 = √3. g) Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos focos son (−2,0) y (2,0), además sus 3 asíntotas son 𝑦𝑦 = ± 5 𝑥𝑥 . h) El vértice superior de la hipérbola 3𝑥𝑥 2 − 3 𝑦𝑦 2 + 108 = 0 es el punto donde la directriz de una parábola corta al eje Y. Encuentra la ecuación de la parábola. i) Una elipse y una hipérbola tienen los vértices de cada una en los focos de la otra; si la ecuación de la elipse es 9𝑥𝑥 2 + 16𝑦𝑦 2 − 144 = 0, halla la ecuación de la hipérbola.

2. La tapa de una lata de sardinas tiene la forma de una elipse. Si la parte más ancha de la tapa mide 24 cm y la parte más angosta mide 18 cm, ¿cuál es la longitud del lado recto de la elipse? 3. Un empleado necesita cortar un vidrio en forma de una elipse que tenga una excentricidad de 𝑒𝑒 = 3�5 y la distancia focal de 84 cm. ¿Cuál debe ser la longitud del hilo que utilice para trazar la elipse?

4. Se necesita cortar un espejo de forma elíptica del mayor tamaño posible, de una pieza rectangular de 1.2 m por 0.8 m. ¿Cuál es la distancia focal del espejo?

3. Posteriormente, realizar la coevaluación y dar la retroalimentación en plenaria.

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Hipérbola. 1. Un logotipo consta de una hipérbola y un rectángulo de 8 cm de largo y 6 cm de alto, medidas que corresponden a sus ejes real e imaginario, respectivamente. Si el origen del sistema de coordenadas cartesianas se ubica en el centro del rectángulo, ¿cuál es la ecuación de la hipérbola utilizada en el diseño del logotipo?

5. El espejo del ropero de la abuela de Uriel tiene forma de elipse vertical. Él quiso calcular la excentricidad de esta curva. Si al medir la altura y el ancho del espejo obtuvo 130 cm y 50 cm respectivamente, ¿qué valor de excentricidad obtuvo Uriel?

6. Luis quiere trazar una elipse utilizando un hilo de 3 m. ¿A qué distancia debe sujetar los extremos del hilo si quiere que el eje menor de la elipse tenga una longitud de un tercio de la longitud de su eje mayor? 6. La estructura que soporta un puente tiene forma semielíptica como se muestra en la figura. Si el claro entre los puntos de apoyo del puente es de 18 m y su 2 excentricidad es 3, ¿cuál es la altura máxima que alcanza el puente con relación al nivel de sus puntos de apoyo? 7. El logotipo de una empresa galletera tiene una elipse horizontal con excentricidad igual a 4�5 . Si un obrero va a pintar un anuncio de tal empresa de manera que la longitud del eje mayor de la elipse sea 100 cm, ¿Cuánto debe medir su eje menor? 8. Se quiere diseñar un arco sostenido por dos columnas de 2.4 m de altura que tenga la forma de una semielipse horizontal. Si la distancia entre las columnas es de 3.6 m y se necesita que la altura máxima del arco a partir del suelo sea de 3.2 m, ¿cuál debe ser la distancia focal de la elipse para cumplir estas condiciones?

1

18

2. El arco de un parque tiene la forma de una de las ramas de una hipérbola cuya ecuación es 8𝑦𝑦 2 − 25𝑥𝑥 2 = 200. ¿Cuál es la longitud de una viga horizontal que atraviesa la estructura, pasando justamente por el foco del arco hiperbólico? Parábola 1. El arco parabólico, en el puente de concreto de la figura, debe tener una altura máxima de 15 metros por arriba del agua y una distancia de claro de 60 metros. Encuentra la ecuación de la parábola después de insertar un sistema coordenado con el origen en el vértice de la parábola y el eje y vertical a lo largo de la parábola. 2. Un diseñador de una antena parabólica electromagnética de 5 metros de diámetro, para rastrear espacios de prueba desea ubicar el foco a 2.5 metros por arriba del vértice (ver la figura). Encuentra la ecuación de la parábola usando el eje de la parábola como el EJE Y y su vértice en el origen

200 100 Foco

Vérti

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3. Una pelota es lanzada horizontalmente desde una altura de 1 m. Si la ecuación de su trayectoria es 𝑥𝑥 2 = −400𝑦𝑦, ¿qué distancia horizontal recorre la pelota hasta chocar con el suelo?

8. Los canales de una lámina de asbesto tienen forma de arcos de parábola unidos en los extremos de sus lados rectos correspondientes. Si la longitud de los lados rectos es de 16 cm, ¿cuál es el grosor G de la lámina?

9. 4. La sección de la cubierta de un tragaluz tiene la forma de un arco de parábola. Si su base de 1.6 m coincide con el lado recto de la parábola, ¿cuál es la altura máxima de la cubierta del tragaluz? 5. Supongamos que el cable de un servicio telefónico cuelga en forma de un arco de parábola. Si la distancia entre los postes que lo sostienen es de 30 m y el punto más bajo del cable está 60 cm por debajo del nivel de sus soportes, halla la longitud del lado recto de la parábola de la que forma parte el cable. 6. Un herrero diseñó el adorno de un protector de ventana utilizando dos arcos de parábola que comparten su lado recto, cuya longitud es 24 cm. ¿Cuál es el ancho del adorno? 7. Una casa antigua tiene un arco en forma de parábola cuya base es de 3 m y su punto más alto está a 4 m del suelo. Si desde este punto cuelga una lámpara cuyo centro C coincide con el foco del arco, ¿a qué altura está C?

El foco F de una antena parabólica se localiza a 0.9 m de su vértice. Si su profundidad es 0.58 m, ¿cuál es su diámetro o ancho d?

1.6 m

7. En plenaria, realizar la retroalimentación de la resolución de los 8 problemas reales o hipotéticos relacionados con las secciones cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola 8. En equipos de trabajo y de forma presencial, resolver 6 problemas contextuales relacionados a las secciones cónicas: parábola, elipse e hipérbola, seleccionados por el docente y que se encuentran en el material de evidencia. CIERRE. 9. En plenaria, realizar la retroalimentación de la resolución de los 6 problemas reales o hipotéticos relacionados con las secciones cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Recursos y materiales • • •

Presentación Las secciones cónicas. Presentación Aplicaciones de las secciones cónicas. Ejercicios y problemas relacionados con las secciones cónicas (parábola, elipse e hipérbola). Material de evidencia.

Evidencia de aprendizaje: • Problemas reales o hipotéticos relacionados con las secciones cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola).

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Instrumento de evaluación: • Lista de cotejo Referencias May, A., Pech, J., & Reyna, L. (2003). Matemáticas 3 Trigonometría y Geometría Analítica Básicas. México: Editorial Progreso. Peaterson, J.C. (2005). Matemáticas básicas: Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica (2da ed.). México: Grupo Editorial Patria. Torrecilla D., Molina J. D. (2004). Compendio de problemas de matemáticas para el bachillerato: Aritmética, Álgebra, Trigonometría y Geometría (1era ed.). México: Grupo Editorial Universitario. Guerra M., Figueroa S. (2004). Geometría Analítica (1era ed.). México: McGraw Hill. López L., Valverde A. (2009). Problemas resueltos de geometría analítica plana para bachillerato (1era ed.). México: Editorial Murcia. Ávila K., Trejo P. & Bobadilla E. (2014). Matemáticas III (5𝑎𝑎 ed.). México.

Burgos, J.A., Colonia, N.R. & Pérez, L.E. (2004). Matemáticas 2 Geometría. México: McGraw Hill. Ortiz, F. J., Ortiz, F. J. & Ortiz, F. J. (2009). Matemáticas 2. Serie Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria. Ruiz, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría, Trigonometría, Datos y Azar. Serie Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria. Barnett, R. A., Ziegler, M. R. & Byleen, K. E. (2007). Precálculo. Funciones y Gráficas (1era ed.). México: McGraw Hill.

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