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• JUANKARLOS70

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MATRICES 1.

⎛ 1 − 2 0⎞ 2 ⎜ ⎟ Dada la matriz A = − 2 − 1 3 , calcula A . ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 0 ⎟⎠ ⎝

2.

Dadas las matrices A = ⎜ ⎜

3.

Determina dos matrices X e Y tales que 5 X − Y = ⎜ ⎜ − 10 ⎝

⎛8 0 ⎞ y ⎛ 0 − 4 ⎞ , halla una matriz X que cumpla 8 X − A = 2 B . ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 6 − 2⎠ ⎝9 3 ⎠ ⎛ 3

4.

Halla a y b de la matriz A = ⎛⎜ ⎜

5.

Dadas las matrices

6.

Calcula las inversas de: a) A = ⎜ ⎜

13 ⎞ ⎛ 5 − 4⎞ . ⎟⎟ ⎟⎟ y X + 2Y = ⎜⎜ − 2⎠ ⎝− 2 4 ⎠

a 0 ⎞ para que se cumpla que ⎟⎟ ⎝ 0 b⎠

A2 = I .

⎛6⎞ ⎛0 2 0⎞ ⎜ ⎟ , calcula una matriz X que cumpla ⎜ ⎟ y A = ⎜ − 1 1 − 1⎟ B = ⎜ 3 ⎟ ⎜7⎟ ⎜2 2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 1 1⎞ ⎛ 4 − 1⎞ ⎟⎟ ; b) B = ⎜ 3 1 1 ⎟ ; c) C = ⎜ ⎟ ⎝2 0 ⎠ ⎜ 1 4 3⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 − 4 6 − 2⎞ ⎟ ; b) Halla el rango de las matrices: a) ⎜ ⎜ 3 − 6 9 − 3⎟ ⎜ −1 2 − 3 1 ⎟ ⎝ ⎠

7.

A⋅ X = B .

⎛ 1 − 1 − 1⎞ 1 ⎞ ⎛1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟; 0⎟ ⎜ 2 − 1 2 ⎟ D = ⎜1 0 ⎜1 1 2 ⎟ ⎜ 3 2 − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 0 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ; c) ⎜ − 2 3 − 1⎟ ⎜ 1 −2 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 − 2 1 ⎞ . ⎜ ⎟ ⎜ 3 0 −1 ⎟ ⎜ 2 1 − 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ en función de los valores de a. A = ⎜ 2 3 − 2⎟ ⎜ a 2 − 4⎟ ⎝ ⎠

8.

Estudia el rango de la matriz

9.

Si A = ⎛⎜ 1 2 ⎞⎟ , B = ⎛⎜ − 1 1 ⎞⎟ y C = ⎛⎜ 0 − 1 ⎞⎟ , halla una matriz X que cumpla ⎜1 − 2⎟ ⎜ 2 3⎟ ⎜ − 1 − 1⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10.

Dadas las matrices A = ⎜

A⋅ X − B = C .

⎛1 − 2⎞ , ⎛ 2 − 1⎞ y ⎛ 3 − 12 ⎞ , halla X sabiendo que A 2 ⋅ X − B = C . ⎜ 0 1 ⎟⎟ B = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ C = ⎜⎜ 0 5 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

⎛ 0 3⎞ 1 2 ⎞ , encontrar una matriz B tal que ⎜⎜ ⎟⎟ . A ⋅ B = ⎟ ⎜2 1⎟ ⎝ 3 0⎠ ⎝ ⎠

11. Dada una matriz A = ⎛⎜

12. Dada la matriz

⎛ 1 1 2⎞ ⎜ ⎟ , calcula, si existen, las matrices siguientes: A = ⎜ 2 0 − 1⎟ ⎜− 6 −1 0⎟ ⎝ ⎠

a) Una matriz X tal que

X . A = (1 0 − 1)

b) Una matriz Y tal que A . Y = ⎛⎜1 0 1 ⎞⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎠ ⎝

⎛ 2 1 −1 ⎜−1 m 2 ⎜ 1 0 1 ⎝

13. Hallar el rango de la matriz A en función de los valores de m: A⎜=

1⎞ ⎟ 1⎟ 2 ⎟⎠

SOLUCIONES 1.

0 − 6⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ . 2. A = ⎜ 0 14 − 3 ⎟ ⎜−6 −3 9 ⎟ ⎝ ⎠ 2

⎛ 6. a) ⎜ 0

⎜ −1 ⎝

⎛1 X =⎜ ⎜3 ⎝

−1 ⎞ ⎟ 1 ⎟. 2⎠

3.

⎛ 1 2⎞ ⎛ 2 − 3⎞ ⎟⎟ , Y = ⎜⎜ ⎟⎟ . X = ⎜⎜ ⎝ − 2 0⎠ ⎝0 2 ⎠

⎛ − 1 11 7 ⎞ 0 ⎞ ⎛ −1 1 1 ⎞ 2 ⎟ , b) 1 ⋅ ⎜ − 8 − 1 3 ⎟ , c) 1 ⎜⎜ 12 − 6 0 ⎟⎟ , d) ⎜ ⎟ 2 ⎟⎠ 42 ⎜ 3 ⎜ ⎟ 7 − 7 ⎟⎠ 11 1 − 3 ⎝7 ⎝ ⎠

⎛ − 5 − 2⎞ ⎟. X = ⎜⎜ 1 ⎟⎠ ⎝ 2 12. a) X = (1, 3, 1)

10.

13. para

a = b = ±1 .

5.

⎛1⎞ ⎜ ⎟ X =⎜ 3 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

1 0⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ 7. a) 1; b) 2; c) 3. 8. Si a=–2, rg(A)=2; si a≠–2, rg(A)=3. 9. ⎜ − 2 3 − 1⎟ ⎜ 1 −2 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 9 11⎞ ⎟⎟ . 11. B = ⎛⎜⎜ 2 − 1⎞⎟⎟ . X = ⎜⎜ 1 6 ⎠ ⎝ ⎝ −1 2 ⎠

b) Y no puede existir.

4.

⎧m = −1 ⎨ ⎩m ≠ −1

r=2 r =3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales y los clasificas:

x + 3y + 2z = 1 ⎫ x + 2y + z = 5 ⎫ x− y =5 ⎫ 2 x − y + 2 z = 3⎫ x + 2y + z = 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a) 2 x − y − 2 z = −2 ⎬ ; b) ⎬ ; c) 2 x − 3 y − 5 z = −4 ⎬ ; d) 5 x − y = 4 ⎬ ; e) x + y + z = 3 ⎬ 2 x − 3 y − 5 z = 0⎭ − x + 2 y + z = −2⎪⎭ − 3x + y + 4 z = −1⎪⎭ 6 x + 3 y = 1⎪⎭ x − 2 y + z = 1 ⎪⎭ 2. Discute los sistemas según el valor del parámetro y resuélvelos en el caso de SCI:

2x − y =

x + y − 2z = 1 ⎫ x+ y−z =2 ⎫ 1 a) 2 x + y = 1 ⎪⎬ b) x − 2 y + 2mz = 0⎪⎬ c) − x + y = 2 3x + y + az = 1⎪⎭ 2 x − y + z = 1 ⎪⎭ x + ky =

4⎫ x + y + z = a − 1⎫ x + y − z = λ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎬ e) x − y + 2 z = 1 ⎬ − 2⎬ d) 2 x + y + az = ⎪ x + ay + z = 1 ⎪⎭ 2 x + y + λz = 0⎪⎭ 2⎭

3. Reparte 17200 € entre Alberto, Bernardo y Carlos de forma que por cada 2 € que reciba Alberto ha de recibir Bernardo 3, y por cada 5 € de Bernardo, ha de recibir Carlos 6. 4. Un número de tres cifras es tal que si lo leemos al revés el número que resulta es inferior al primitivo en 99 unidades; además, la cifra de las centenas es doble que la cifra de las unidades. ¿Cuál puede ser ese número? ¿Cuántas soluciones hay? 5. Un inversor compra acciones de tres tipos por un importe total de 3500 €. Pasado un año, las acciones del primer tipo reparten un 6% de beneficios, las del segundo un 8% y las del tercero un 10%. La cuantía total de los beneficios es de 300 €. ¿Cuánto ha invertido en cada uno de los tipos si sabemos que lo invertido en el tercer tipo es 1000 € menos que lo invertido en los otros dos juntos? 6. Ana se ha comprado dos pantalones, una blusa y un jersey; María, un pantalón, dos blusas y un jersey; y Eva, un pantalón, una blusa y dos jerseys. Se han gastado 130, 120 y 150 euros, respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada uno de los artículos? 7. Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95, y la media de los dos últimos sea 80. 8. En una compañía envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g, y 1 kg de peso. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kilo de bombones está a 40 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros, ¿cuántas cajas se han envasado de cada tipo? 9. Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con 20 euros. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? 10. La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda (centenas y decenas), el número aumenta en 90 unidades. Finalmente, si se intercambian la segunda y la tercera (decenas y unidades), el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número. 11. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. a) Plantea un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resuelve el problema. 12. Un señor acertó cinco números en la lotería primitiva, dos de los cuales eran el 23 y el 30. Propuso a sus hijos que si averiguaban los otros tres, se podrían quedar con el premio. La suma del primero con el segundo excedía en dos unidades al tercero; el segundo menos el doble del primero era diez unidades menor que el tercero y la suma de los tres era 24. ¿Cuáles son los tres números que faltan? SOLUCIONES 1. a)

x = 1 , y = −2 , z = 3 , SCD; b) x = α , y = −α , z = α , SCI; c)

2. a) Si

x = 1+ α ,

y = 2 − α , z = α , SCI; d) SI; e) SI.

a ≠ 2 SCD, (0,1,0); si a = 2 SCI, x = −2α , y = 1+ 4α , z = α ; b) Si m ≠ 1 SCD, si m = 1 SI; c) Si k = − 1 , SCI, 2

1 1 1 (α ,2α − 4) ; si k ≠ − , SCD, (2,0); d) Si a = 1 , SI, si a ≠ 1 , SCD; e) Si λ = − , SI, si λ ≠ − , SCD. 2 2 2

3. Alberto 4000 €,

Bernardo 6000 € y Carlos 7200 €. 4. Es de la forma 2y1, siendo y=0,1,2,...,9. 5. 250 €, 2000 € y 1250 €. 6. 30 € el pantalón, 20 € la blusa y 50 € el jersey. 7. A=50, B=120 y C=40 8. 25, 20 y 15 cajas, respectivamente. 9. 10 €, 17’5 € y 32’5 €. 10. 123. 11. 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. 12. Los números son el 4, 9 y 11.

PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Un autobús Murcia–La Coruña ofrece dos tipos de plazas: unas, al precio de 40 €, y otras más caras al precio de 50 €. En las primeras se puede llevar hasta 25 kg de equipaje y en las segundas hasta 35 kg. Si el autobús tiene 60 plazas y admite un equipaje de hasta 1750 kg, ¿cuántas plazas debe sacar la compañía de cada tipo para maximizar el beneficio? 2. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos tendrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 3. Un grupo de alumnos formado por 20 chicas y 10 chicos organizan un viaje. Para que el viaje les salga más económico deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía que se dedica a realizar encuestas y que contrata a equipos de jóvenes de dos tipos. Tipo A: parejas (una chica y un chico). Tipo B: equipos de cuatro (tres chicas y un chico). La compañía paga 30 € por la tarde de la pareja y 50 € por la tarde del equipo de cuatro. a) ¿Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad de dinero posible? b) ¿Y si les pagara 30 € tanto por la tarde de la pareja como por la tarde del equipo de cuatro? 4. Una fábrica de tableros de madera pintados produce dos tipos de tableros: tableros normales (una mano de imprimación más otra mano de pintura) y tableros extras (una mano de imprimación más tres manos de pintura). Disponen de imprimación para 10 000 m2, pintura para 20 000 m2 y tableros sin pintar en cantidad ilimitada. Sus ganancias netas son: 3 € por m2 de tablero normal y 5 € por m2 de tablero extra. a) ¿Qué cantidad de tablero de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas? b) ¿Y si ganara 1 euro por m2 de tablero normal y 4 € por m2 de tablero extra? 5. Una persona tiene 500 000 € para invertir de dos tipos de acciones A y B. Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las acciones del tipo B son bastantes seguras con un interés anual del 7%.Decide invertir como máximo 300 000 € en las de tipo A y como mínimo 100 000 € en las de tipo B, e invertir en las de tipo A por lo menos tanto como en las de tipo B. ¿Cómo debería invertir su 500 000 € para maximizar sus intereses anuales? 6. Para la elaboración de dos tipos de refrescos R1 y R2 se utilizan (además de agua) dos tipos de productos A y B. Cada refresco R1 contiene 3 g de A y 3 g de B, y cada refresco R2 contiene 3 g de A y 6 g de B. Se dispone en total de 120 g del producto A y 180 g del B. ¿Cuántos refrescos de cada clase se han de elaborar para obtener un beneficio máximo sabiendo que con los refrescos R1 la ganancia es de 3 € y con los refrescos R2 la ganancia es de 4 €? 7. Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas de bombones: tipo A y tipo B. Cada caja A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas, mientras que cada caja B contiene 2 kg de chocolate, 1’5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas A y B son 130 € y 135 € respectivamente. a) ¿Cuántas cajas se debe fabricar de cada tipo para maximizar su ganancia? b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido? 8. En un taller de chapa se pueden fabricar dos tipos de carrocerías A y B. Cada carrocería de tipo A necesita 4 horas de pintura y cada carrocería de tipo B necesita 6 horas, disponiéndose de un máximo de 500 horas mensuales para la pintura de las carrocerías. Si los beneficios de cada carrocería son de 2000 € y 3500 € para los tipos A y B respectivamente: a) Calcular el número de carrocerías de cada tipo que deben producirse para obtener el máximo beneficio si tienen que fabricar un mínimo de 80 y un máximo de 100 carrocerías de tipo A. b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

9. Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 € y sortijas adornadas a 6 €. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas ni más de 300 adornadas, ni tampoco más de 500 en total. a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Suponiendo que se vende toda la producción, ¿cuántas unidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos beneficios? 10. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 15000 € y el modelo B a un precio de 20000 €. La oferta está limitada por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos, tantas unidades del modelo B como del modelo A. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos, de 60000 €. a) Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe? 11. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2 , que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas: Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 € y el de un bote A B C del producto P2 es de 160 €, averiguar: P1 4 1 6 a) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta P2 1 6 10 deseada con el mínimo precio? b) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible? 12. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transportes dispone de 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande es de 80 € y el de uno pequeño de 60 €. a) Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. b) ¿Cuántas plazas sobrarán? Identificar en el planteamiento las variables, las restricciones y la función a optimizar.

SOLUCIONES PROGRAMACIÓN LINEAL 1) 35 plazas baratas y 25 caras. 2) 50 folletos de la empresa A y 100 de la B. 3) a) 5 equipos de cada tipo. b) con 10 parejas o con 5 parejas y 5 cuádruplos se obtiene el mismo beneficio. 4) a) 5000 m2 de cada tipo de tablero. b) 6666’67 m2 de tablero extra. 5) 300000 € en acciones del tipo A y 200000 € en acciones del tipo B. 6) 20 refrescos de cada tipo. 7) a) 30 cajas de bombones de tipo B y 55 de tipo A. b) 11200 €. 8) a) 80 carrocerías de tipo A y 30 de tipo B. b) 265000 €. 9) b) 200 sortijas sencillas y 300 adornadas. Beneficio de 2700 €. 10) b) 10 coches de cada modelo. Beneficio de 350000 €. 11) a) Ha de mezclar medio bote de P1 con dos botes de P2, y le costará 370 €. b) Tomará 4 unidades de A, 12’5 de B y 23 de C. 12) a) 5 autobuses pequeños y 4 grandes; costará 620 €. b) No sobrarán plazas.

FUNCIONES. LÍMITES. CONTINUIDAD.

Audiencia (en miles)

1. Halla el dominio de las siguientes funciones: x2 − 4 x a) f ( x ) = 6 − 2 x b) f ( x) = 2 c) f ( x) = 2 x +4 x − 5x − 6 2. El número de personas afectadas por una cierta enfermedad viene dado por la función f ( x) = −3 x 2 + 72 x + 243 , siendo x el Audiencia de una emisora de radio número de días transcurridos desde que apareció la enfermedad. 9 8 ¿Cuántos días han de pasas para que 7 desaparezca totalmente? 6 5 3. La audiencia (en miles de oyentes) de 4 una emisora a lo largo de un día 3 2 viene recogida en el gráfico adjunto. 1 Indica el dominio, la imagen, los 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 máximos y mínimos relativos y Horas del día absolutos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 4. Durante el periodo de rebajas, todos los artículos de una tienda se encuentran a un 15 % de descuento sobre el precio inicial. a) ¿Qué función describe la relación existente entre el precio inicial y el precio final rebajado? Encuentra su expresión analítica y represéntala gráficamente. b) ¿Cuánto habrá que pagar por un pantalón cuyo precio inicial era de 40 €? c) Si una camiseta nos ha costado 17 €, ¿cuál era su precio inicial? 5. Al revisar dos facturas del agua, observamos que el mes pasado, con un consumo de 6 m3, pagamos 13 €, mientras que este mes hemos consumido 8 m3 y hemos pagado 14 €. Si sabemos que la tarifa se calcula con una cuota fija más una cantidad por cada m3 consumido, calcula la expresión analítica de la función que relaciona el consumo de agua y el pago, y realiza su representación gráfica. 6. Representa gráficamente la función f ( x) = − x 2 + 6 x − 8 e indica sus características. 7. Un coche recorre una distancia de 200 km que separa entre sí dos ciudades. La relación entre la velocidad media, x, y el tiempo, y, empleado en cubrir dicha distancia es una función de k proporcionalidad inversa del tipo y = . a) Encuentra la expresión de la función. b) Si viajamos a x 100 km/h, ¿cuánto tardaremos en ir de una ciudad a otra? c) Si hemos tardado 4 h, ¿a qué velocidad media hemos circulado? si x ≤ −1 ⎧ 4 ⎪ 2 8. Dada la función f ( x) = ⎨ x − 3x si − 1 < x < 3 , estudia su continuidad y represéntala ⎪ x − 1 si x≥3 ⎩

gráficamente. Indica sus características y propiedades principales. 9. Representa gráficamente la función f ( x) = x 2 − 2 x − 3 . Indica sus propiedades principales. 10. El precio de un artículo que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo t ⎧ 3t 2 + 4 si 0 ≤ t ≤ 2 (en años) ha seguido la siguiente función: p(t ) = ⎨ . ⎩− 2t + 20 si 2 < t ≤ 6 a) Representa la función precio en los últimos 6 años. b) Estudia cuándo ha crecido y cuándo ha decrecido el precio del artículo. c) ¿Cuál es el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es el precio actual? 11. La función f ( x) = − x 2 + 120 x − 3200 representa el beneficio (en euros) que obtiene una empresa por la fabricación de x unidades de un cierto producto. a) ¿Cuántas unidades ha de fabricar para que no haya pérdidas? (Has de representar la función para poder contestar). b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio?

12. Durante los 60 minutos de duración de cierto programa de radio, su índice de audiencia viene dado por la función I (t ) = at 2 + bt + c . Sabiendo que en el instante en que se inicia el programa (t=0) el índice de audiencia es 20 y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, de 36, se pide: a) calcula los valores de a, b y c. b) Representa gráficamente la función. 13. Calcula los siguientes límites de funciones: x 2 − 3x + 2 x 2 − 5x + 6 x 2 + 3x + 2 x2 −1 a) lim b) lim c) lim 2 d) lim− x→2 x →3 x → −1 x − 3 x − 4 x →1 3x − 1 x−3 x −1 x+2 −2 e) lim x→2 x−2

2

x2 + 3 − 2 f) lim x →1 x −1

−3

1

⎛ 1 ⎞ x −3 ⎛ x ⎞ x−2 ⎛ 2 ⎞x g) lim+ ⎜ ⎟ h) lim− ⎜ i) lim+ ⎜ ⎟ ⎟ x →3 ⎝ x ⎠ x→2 ⎝ 3x − 2 ⎠ x →0 ⎝ 1 − x ⎠ si x ≤1 ⎧ 1− x ⎪ 2 14. Halla los límites de la función definida a trozos f ( x) = ⎨ x − 4 x + 3 si 1 < x < 3 en los puntos: ⎪ x −1 si x≥3 ⎩ a) x = 0 ; b) x = 2 ; c) x = 4 ;d) x = 1 ; e) x = 3 . Represéntala gráficamente e indica si es continua. ⎧⎪− x si x ≤ 0 15. Calcula lim f ( x ) , siendo f ( x) = ⎨ 1 . ¿Es continua la función? Represéntala. si x > 0 x→ 0 ⎪⎩ x 16. Halla los siguientes límites en el infinito: x −1

⎛ x2 ⎛ 2x 2 ⎞ x −1 x2 ⎞ x 3 + 25 3x 2 − x + 5 ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 2 lim − a) lim lim b) c) d) e) lim 2 lim 2 2 ⎜ ⎟ x →∞ x − 1 x →∞ x →∞ 2 x ⋅ ( 2 x − 1) x →∞ x − 5 x → +∞ x + 1 x +1⎠ x +1 ⎝ ⎠ ⎝ 17. Halla las asíntotas de las siguientes funciones: x2 2x 2 x a) f ( x) = 3x 2 − x + 1 b) f ( x) = d) f ( x) = 2 e) c) f ( x) = x−2 x +1 x −9 2x3 f ( x) = 2 x +4 x+3 18. Estudia la continuidad de la función f ( x) = 2 y clasifica sus discontinuidades (si las hay). x −9 x