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• Edison Leon

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GUIA DE EJERCICIOS

4

GUIA DE EJERCICIOS

PRACTICA 1

1 2

Deducir el procedimiento por el cual una ecuación de Riccati se transforma en una ecuación lineal.

2

Anote un ejemplo de una ecuación diferencial de cuarto grado y tercer orden.

3

Halle la ecuación diferencial que tiene por solución: y =

4

Si una familia de curvas en coordenadas polares se da por F ( r , θ ) = C anote la condición que se necesita para hallar las trayectorias ortogonales de esta familia

5

6

(

)

4 4 Resolver la ecuación diferencial: 3dx = x tan y − x cos y dy

Resolver la ecuación diferencial: conoce µ = µ ( x + y )

7

C + 3x 2 x4

( x + 2xy − y ) dx − ( x − 2xy − y ) dy = 0 2

2

2

2

si se

Determinar una expresión para φ ( x ) en la ecuación: φ ( x ) = e 4 x + ∫ e x −tφ ( t ) dt x

0

8 La recta normal en un punto P(x,y) de una curva corta al eje X en M y al eje Y en N. Hallar la ecuación de la curva que pasa por Q(1,5) si se conoce que el segmento PM se divide en la mitad por N.

147

GUIA DE EJERCICIOS

PRACTICA 2 1

Anote un ejemplo de una ecuación de bernoulli y explique como resolverla

2

Anote por lo menos una solución particular de la ecuación de Ricatti: y '+ xy 2 − 2 x 2 y + x 3 = x + 1

3

Explique qué tipo de soluciones se generan al resolver una ecuación de Clairaut

4

Determinar el valor de “n” para que la ecuación x 2 + y 2

(

) ( xy dx − x ydy ) = 0 n

2

2

sea exacta; luego resolverla.

5

En la ecuación diferencial:

( 2 y cos x − x f ( y ) sin x ) dx + 2 x cos xdy = 0

determinar f ( y ) de modo que la ecuación admita un factor integrante del tipo µ ( x , y ) = x f ( y ) , f ( 0 ) = 0 ; luego resolverla. x 3 + 2 xy 2 − x x2 y + y3 + y

6

Resolver la ecuación diferencial y ' =

7

Conocida la familia de curvas x 2 + y 2 = Cy hallar otra familia g ( x , y ) = k de modo que en sus intersecciones las respectivas rectas tangentes formen un π ángulo de 3

PRACTICA 3

148

1

Anote el teorema de existencia y unicidad de soluciones para una ecuación diferencial de primer orden

2

Anote un ejemplo de una ecuación de Ricatti y luego explique brevemente el método que debe seguirse para hallar la solución de este problema

GUIA DE EJERCICIOS

3

Deducir con claridad el procedimiento por el cual una ecuación de Lagrange se transforma en una ecuación lineal de primer orden

4

Resolver la ecuación diferencial: 3v 2 ( t + 2 ) dv + ( 8v3 − 3 + 4tv3 ) dt = 0 ; v ( 0 ) = 3

5

Resolver la ecuación diferencial:

6

3 3 2 4 Resolver la ecuación diferencial: x y − 2 y dx + xy − x = 0 si se conoce que

2

dy = tan ( x + y − 4 ) ; y ( 0 ) = 4 dx

(

(

m n el factor integrante es del tipo µ = µ x y

7

)

)

(

)

Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y =

2C C − x3

PRACTICA 4

1

Deducir el procedimiento por el cual una ecuación de Lagrange se transforma en una ecuación lineal.

2

Anote un ejemplo de una ecuación diferencial de orden 3 y grado 4.

3

Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y = Ax 2 + cot 2 x − x

4

Explique cómo se construyen las trayectorias ortogonales de una familia de curvas en coordenadas polares f ( r , θ ) = C

5

Resolver la ecuación diferencial:

 sin 2 y sin y cot x dx = 1 − − cos 2 sin x sin x 

 y  dy ; 

149

GUIA DE EJERCICIOS

6

Hallar la solución completa de la ecuación diferencial:  x ; 0 ≤ x