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• César Yurimagüino

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MAS

A x=0

M B

M C

x

°

M x

°

En el MAS la masa M oscila alrededor del punto de equilibrio. Figura B M se ha movido hacia la derecha. El resorte se estira y jala al bloque hacia la izquierda. Figura C M se ha movido hacia la izquierda. El resorte se ha comprimido y empuja al bloque hacia la derecha. La oscilación se debe a la fuerza elástica del resorte sobre el bloque. Antes de entrar en más detalles sobre el MAS, definiremos alguna terminología útil. Período (T): es el tiempo que se tarda en una oscilación completa. Frecuencia (f): es el número de oscilaciones completas o ciclos en cada unidad de tiempo.

La frecuencia equivale a la inversa del período. f 

1 T

La frecuencia se mide en hertz, que se abrevia Hz y equivale a un ciclo por segundo.  Desplazamiento ( x ) : es la desviación del bloque de su posición de equilibrio x = 0.

x=0 A x

Amplitud (A) : es la desviación máxima del bloque de su posición de equilibrio. Movimiento circular uniforme (MCU) y movimiento armónico simple (MAS)

Existe una relación estrecha entre el movimiento armónico simple (MAS), que se mueve a lo largo de una línea (eje x), y el movimiento circular uniforme (MCU). El MAS es la proyección del MCU sobre una línea recta. Rayos paralelos de luz O

N R M

P Q

S R

P' Q' O' R' N' S' M'

A Sombra del MCU sobre una pantalla

* * *

Los rayos paralelos de luz iluminan al móvil siguiendo una circunferencia. La sombra del móvil sobre la pantalla se mueve a lo largo de una línea recta describiendo un MAS. El radio (R) de la circunferencia es igual a la amplitud (A) del MAS. R=A

Inicio del MAS Si tenemos un bloque unido al extremo libre de un resorte existe 3 maneras de iniciar el MAS: I. Estirando el muelle y soltando el bloque desde uno de sus extremos. II. Lanzando el bloque desde el punto de equilibrio. III. Estirando parcialmente el muelle y lanzando el bloque.

Un parámetro  se emplea en el MAS para

caracterizar

su

inicio.

Este

MCU

R

 Inicio del MAS

MAS

* El valor de  nos indica como empezó el MAS. * Si  = 0°, empezó en el extremo derecho. * Si  = 90°, empezó en el punto de equilibrio, desde donde fue lanzado. * Si  = 180°, empezó en el extremo izquierdo.



Desplazamiento del MAS ( x )

Es la proyección del radio (R) del MCU sobre una línea recta horizontal (H).

F R  x



O H

x

O: inicio del MAS De la figura: x = R cos (  + ) Pero R = A (amplitud) y

........ (I)  = r

Reemplazando en (I): x = A cos (wt + ) En donde: x : desplazamiento A : amplitud  : frecuencia angular (en el MCU es llamada velocidad angular) t +  : fase



Velocidad del MAS ( v )

 Es la proyección de la velocidad tangencial ( v t) del MCU sobre una línea recta horizontal (H). Descomponemos la velocidad tangencial (vt) v = - vt sen ( + ) ......... (2) 

Vt V

R 

F



H

V

El signo (-) se debe a que apunta hacia la izquierda: Del MCU se sabe que: * * *

vt = R  = t R=A

Reemplazando en (2):

v   A sen (t  )



Aceleración del MAS ( a )

 Es la proyección de la aceleración centrípeta ( a c) del MCU sobre una línea recta horizontal (H). Descomponemos la aceleración centrípeta (ac) a = - ac cos ( + ) ....... (3) El signo (-) se debe a que la aceleración a apunta hacia la izquierda.

a  ac  H

a

Del MCU se sabe que : * ac = 2R * =t * R=A Reemplazando en (3) : a = - 2A cos ( t + ) RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD () Y EL DESPLAZAMIENTO (x). Sabemos que :  = -A sen ( t + ) Elevando al cuadrado : 2 = 2 A2 sen2 ( t + ) 2 = 2 A2 [1 - cos2 ( t + )] 2 = 2 [A2 - A2 cos2 ( t + )] 2 = 2 [A2 - (A cos ( t + ))2 ] x 2 = 2 [A2 - x2] 2 =  

A2 - x 2

RELACIÓN ENTRE LA ACELERACIÓN (a) Y EL DESPLAZAMIENTO (x) Sabemos que : a = – 2 A cos ( t + ) x Luego :

a = -2 x

El signo (-) indica que al aceleración ( a ) tiene dirección contraria que el desplazamiento ( x ). RESUMEN:

En el siguiente recuadro mostramos las fórmulas cinemáticas del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) N°

Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

1

x = A cos ( t + )

2

 = – A sen ( t + )

3

a = – 2A cos ( t + )

4

2 =  

5

a = – 2 x

A2 - x 2

* En el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) las fórmulas cinemáticas más usuales son (1), (4) y (5). DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Observemos el comportamiento de un bloque de masa “m” unida al extremo de un resorte elástico.

En la Figura 1 : El bloque se encuentra en reposo en el punto de equilibrio (PE). En la figura 2: Si el bloque es desplazado hacia la derecha, en el resorte, al estirarse, aparece la fuerza elástica (–kx) hacia la izquierda, esta fuerza es llamada recuperadora. Fig 2 PE x

-kx

En la figura 3: Si el bloque es desplazado hacia la izquierda, en el resorte, al comprimirse, aparece la fuerza elástica recuperadora (–kx) hacia la derecha.

Fig 3 PE x -kx

El signo (–) en la fuerza recuperadora (–kx) significa que la fuerza recuperadora siempre se apone al desplazamiento (x). Usando la segunda ley de Newton cuando la masa “m”, opone al desplazamiento (x).

 F  ma –kx = ma...................... (1) PE x a -kx

Recordemos que :  = – 2 x. Reemplazando en (1) –kx = m (– 2 x) de donde: 

k m

De esta ecuación se deduce que : La frecuencia de oscilación de una masa unida al extremo de un resorte es independiente del desplazamiento (x). Calculo del periodo (T) k

Sabemos que :   Reemplazando :

2 T

además que  

m 

Despejando : T  2 

2 T

k m

m k

El periodo de (T) de un MAS es independiente del desplazamiento (x) de la partícula.

ASOCIACION DE MUELLES ELASTICOS Varios muelles o resortes pueden ser conectados a las masas de dos maneras distintas, en serie y en paralelo. La asociación de resortes puede ser sustituido por un solo resorte equivalente a cuya constante de rigidez llamamos constante equivalente( k e ) ASOCIACION EN SERIE Cuando los resortes se instalan unos a continuación de otros: k

1 k

k

k

e

2

3

m m

Equivalente

El resorte equivalente haría el mismo trabajo que los tres resortes en serie. La constante equivalente ( k e ) se hallará con: 1 ke



1 k1



1 k2



1 k3

ASOCIACION EN PARALELO Cuando los resortes al ser instalados quedan unidos por ambos extremos.

k

1

k 2

k

3

ke

m m Equivalente

El resorte equivalente haría el mismo trabajo que los tres resortes en paralelo. La constante equivalente ( k e ) se hallara con: k e  k1  k 2  k 3

PRÁCTICA DE CLASE 01. Un objetos describe un MAS de manera que su desplazamiento es: x = 04 cos (4t + 30°) La unidades están escritas en el SI. Hállese:

a) La constante de fase. b) La frecuencia circular c) La amplitud 02.

Una partícula experimenta un MAS con u desplazamiento. x = 0,5 cos (t + 90°) con unidades en el SI. Encuentre el periodo de las oscilaciones.

03. El desplazamiento de una partícula con MAS viene dada por: x = 0,3 cos(6t + 20°) Encuentre la ecuación de la velocidad. 04. Un sistema oscila con una frecuencia de 4 Hz con una amplitud de 2m. Escriba la ecuación del desplazamiento considerando una constante de fase  = 30° 05. Una masa oscila unida a un resorte con un desplazamiento descrito por la siguiente ecuación: 

x = 0,25 cos  4 t  

  3 

Calcule la frecuencia de oscilación, x está en metros y t en segundos. 06. Se muestra la oscilación de un bloque con una frecuencia de 2Hz. Halle la aceleración del bloque cuando pasa por un punto ubicado a x = 25 cm del punto de equilibrio.

PE x

07. En un MAS, cuya frecuencia es de 10 Hz, la amplitud es de 50 cm. Determine la velocidad de la partícula cuando el desplazamiento es x = 30 cm. 08.

El desplazamiento en un MAS está dado por la siguiente ecuación: x = 5 cos (2t + 40°) en donde x está en metros y t en segundos. ¿Cuál es la velocidad cuando el desplazamiento de la partícula es x = 4m?

09. El oscilador armónico que se muestra está constituido por un muelle elástico (k=100 N/m) y un bloque de 4kg. Halle:

k m

a) La frecuencia angular

b) El periodo de oscilación. 10. Determine el periodo de oscilación de un ladrillo de 10 kg de masa, unido a dos muelles arreglados en paralelo cuyas constantes de rigidez son: k1 = 250 N/m y k2 = 110 N/m

k1

k2 m

PROBLEMAS PROPUESTOS N° 2 01. Se muestra dos osciladores armónicos. Sus periodos son T1 y T2, estos periodos cumplen que:

k m

k m

a) T1 < T2 d) T1  T2

b) T1 = T2 e) N.a.

c) T1 > T2

02.

El desplazamiento de un MAS está descrito por la siguiente ecuación: x = 0,25 cos (0,4 t + /3) en donde; x está en metros y t en segundos, calcule la amplitud y la frecuencia angular. a) 0,4 m y 0,25 rad/s 

b) 0,25 m y

3

rad/s

c) 0,25 m y 0,4 rad/s d) 0,4 m y e)

 3

 3

rad/s

m y 0,25 rad/s

03. En la siguiente ecuación las unidades están escritas en el SI y describe el desplazamiento de un MAS: x = 0,18 cos ( t + /2) Halle el periodo de las oscilaciones:

a) 1s d) 4s

b) 2s e) 5s

c) 3s

04. Una masa en el extremo de un resorte oscila con un desplazamiento descrito por la siguiente ecuación:   t  30  5  

x = 0,26 cos 

Halle la frecuencia de las oscilaciones en Hz. a) 0,1 d) 0,4

b) 0,2 e) 0,5

c) 0,3

05. La ecuación que describe una vibración armónica es: x = 2 cos (3t + 50°) Señale con verdadero (V) o falso (F). Las unidades están escritas en el S.I. I. La amplitud es de 2 m. II. La frecuencia angular es 3 rad/s III. La constante de fase es 50° a) VVF d) VVV

b) VFV e) VFF

c) FVV

06. La frecuencia circular de una oscilación armónica es de 5 rad/s. Halle el módulo de la aceleración de la partícula cuando su desplazamiento es de 20 cm. a) 1 m/s2 d) 4 m/s2

b) 2 m/s2 e) 5 m/s2

c) 3 m/s2

07. En un MAS se observa una amplitud de 0,5 m y una frecuencia angular de 4 rad/s. Halle la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio (x = 0) a) 1 m/s d) 4 m/s

b) 2 m/s e) 5 m/s

c) 3 m/s

08. Halle la frecuencia angular de una masa de 2 kg que oscila verticalmente soldada al extremo de un resorte cuya constante de rigidez es de 288 N/m. a) 12 rad/s b) 14 rad/s c) 16 rad/s d) 18 rad/s e) 20 rad/s 09. Calcule el periodo de oscilación de la masa de 3 kg. La constante de rigidez del resorte es 300 N/m.

a)  s d)

 4

b) e)

s

 2  5

c)

s

 3

s

s

10. Una masa de 2,4 kg oscila pegada a dos resorte en serie. Halle el periodo si k1 = 80 N/m y k2 = 240 N/m. k1

k2 m

a) d)

 s 5 4 5

b) s

2 5

s

c)

3 5

s

e)  s

11. ¿Con qué periodo oscila el bloque de 7,5 kg unida a dos resortes en paralelo? k = 30 N/m

k

a)  s d)

 4

b) s

e)

 2  5

s

c)

 3

3k

s

s

12. La vibración armónica se registra según la siguiente ecuación: x = 0,4 cos (1,5 t +  /3) Halle el módulo de la velocidad cuando la partícula pasa por el punto de equilibrio. Las unidades están escritas en el SI. a) 0,6 m/s d) 1,2 m/s

b) 0,8 m/s e) 1,4 m/s

c) 1,0 m/s

13. En el problema anterior, calcule el módulo de la aceleración de la partícula en el extremo del MAS. a) 0,6 m/s2 d) 0,9 m/s2

b) 0,7 m/s2 e) 1,0 m/s2

c) 0,8 m/s2

14. Una partícula en el extremo de un resorte oscila con una frecuencia de 3Hz. Halle el módulo de la aceleración de la partícula cuando el desplazamiento es 10 cm.

a) 1,6 2 m/s2 c) 3,6 2 m/s2 e) 5,6 2 m/s2

b) 2,6 2 m/s2 d) 4,6 2 m/s2

15. En un MAS el periodo es de 4s, el máximo desplazamiento 30 cm y la constante de fase 20°. La ecuación que muestra el desplazamiento en función del tiempo es: a) 0,3 cos (t + 20°)   t  20 2 

b) 0,3 cos 

  t  30   3 

c) 0,3 cos 

  t  40  2 

d) 0,3 cos 

   t  20   4 

e) 0,3 cos 

16. La amplitud de un MAS es de 0,4 m. La partícula pasa por el punto d equilibrio con una velocidad de a) 1,4 s d) 2,0 s

 2

m/s. Calcule el período de las oscilaciones.

b) 1,6 s e) 2,2 s

c) 1,8 s

17. El periodo de una MAS es de  segundos. Halle la amplitud de esta oscilación si se observa que la velocidad de la partícula es de 8 cm/s cuando su desplazamiento es de 3 cm. a) 8 cm d) 5 cm

b) 7 cm e) 4 cm

c) 6 cm

18. Calcule el periodo de oscilación de la masa de 8kg unida a un grupo de resortes. k1 = 400 N/m, k2 = 200 N/m y k3 = 300 N/m

k2

k1

k3

a) d)

 s 5 2 3

b) s

e)

 3 2 7

s

c)

2 5

s

s

19. En la siguiente oscilación armónica la rigidez equivalente es: k

a)

k 4

d) 2k

b)

k

e)

k2

2

k

c) k

20. Una masa de 9kg, en el extremo de un resorte (k = 900 N/m), oscila armónicamente con una amplitud de 30 cm. Halle la velocidad de esta masa cuando pasa por el punto de equilibrio, en m/s. a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

TAREA DOMICILIARIA 01. Una masa de 5kg puede oscilar libremente unida a un arreglo de resortes en serie. Las constantes de rigidez son: k1 = 60 N/m y k2 = 180 N/m. Halle el periodo de oscilación. k1

k2 m

02. Una masa de 10 kg oscila conectada a una agrupación de resortes (k = 60 N/m), determine: a) La frecuencia angular. b) El periodo de oscilación.

k k k

03. a) b) c) d) e)

10kg

¿Cuál de los siguientes movimientos nunca es un MAS? Oscilación del péndulo de un reloj. Los autos cuando pasan por un bache. Vibración de una cuerda de violín. Objeto en el extremo de un resorte. caída libre de un cuerpo.

04.

¿Cuáles son las características de un MAS?

I. Son periódicos II. Son oscilatorios III. Retornan a una misma configuración. a) I y II d) Sólo I 05.

b) I y III e) Todas

c) II y III

La fuerza que produce un MAS es:

a) peso c) la fricción e) cualquiera 06.

b) la normal d) la fuerza elástica En un MAS la velocidad es:

a) constante b) cero c) variable d) constante en módulo e) nunca es cero 07. a) b) c) d) e)

En el extremo de un MAS (x = A) la velocidad de la partícula es: cero menor que cero mayor que cero máxima igual que la aceleración

08. Cuando, obedeciendo una MAS, la partícula pasa por la posición de equilibrio (x = 0) su velocidad es: a) cero b) positiva c) igual que la amplitud d) máxima e) negativa 09. a) b) c) d) e)

En un MAS la aceleración es: cero constante variable igual que la velocidad menor que cero

10. En el punto de equilibrio (x = 0) de un MAS, la aceleración es: a) positiva d) máxima

c) cero c) negativa e) igual a la velocidad

PÉNDU PENDULO SIMPLE:LO Un péndulo simple consiste de un objeto pequeño (lenteja), colgado del extremo de un hilo sin peso e inextensible.

 L g m

Elementos del movimiento pendular Longitud (L) Es la longitud del hilo. Se mide desde el punto de suspensión hasta el CG de la masa (m) que oscila. Oscilación completa Es el movimiento realizado por el péndulo desde una de sus posiciones extremas hasta otra, y su vuelta hasta la primera posición. Periodo (T) Es el tiempo que emplea el péndulo en realizar una oscilación completa. Amplitud() Es el ángulo formado por la vertical con el hilo, cuando el péndulo está en una de sus posiciones extremas. LEYES DEL PÉNDULO: Primera Ley: Tomando dos péndulos idénticos (la misma longitud y la misma masa) hacemos oscilar con amplitudes de 5° y 10°, se observará el mismo período.

5° L

T1 = T2

m

10°

L

m

El período de un péndulo simple es independiente de su amplitud. Segunda ley: Supongamos dos péndulos de la misma longitud, pero uno con mayor masa que el otro. Hacemos oscilar con la misma amplitud (8°), se observará el mismo periodo.

L

8°

L

T1 = T2

2m

8°

m

El período de un péndulo simple es independiente de su masa. Tercera Ley: Se observa que cuando más largo es el péndulo, más lenta se hace su oscilación; es decir que a mayor longitud, mayor periodo. Mediante pruebas experimentales se comprueba que:





L1

T1 T2

>

L2

T2

T1

El periodo de un péndulo simple es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud Matemáticamente:

T1



L1

T2 L2

Cuarta Ley: Para comprobar esta ley se requiere un péndulo de hierro y un imán. Hacemos oscilar el péndulo de hierro acercando y alejando el imán, se observará que cuando el imán, está lejos el péndulo oscila más lentamente que cuando el imán está cerca. Se comprueba que:

L

T1



L

L1

T2

g1 T1

El período de un péndulo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad.

>

T2



L2

g2

Matemáticamente: T1

g1  T2

g2

Fórmula del péndulo La tercera y cuarta ley reunidas establecen que el período del péndulo simple es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. Mediante pruebas experimentales se determina la constante de proporcionalidad resultando ser 2. La fórmula para el período del péndulo será:

T  2

L g

En esta fórmula están condensadas las cuatro leyes del péndulo simple. Solamente se emplea cuando las amplitudes son menores que 15°. Semejanza entre el MAS y el Movimiento Pendular Para oscilaciones pequeñas cuyas amplitudes son menores que 15° ( < 15°) la oscilación pendular cumple con las leyes del MAS. Para amplitudes pequeñas ( < 15°) la oscilación pendular es armónica.

PRÁCTICA DE CLASE 01. Halle el período de un péndulo cuyo hilo inextensible mide 2,45 m. a) 2 s d)2 s 02. a) 1,27 m d) 2,45 m

b)  s e) N.a.

c) 2, 1  s

Determinar la longitud de un péndulo simple cuyo período es de 3,1416 s b) 1,54 m e) 3,54 m

c) 2,31 m

03. En un pequeño planeta la aceleración de la gravedad es 3,6 m/s2. Hallar el período y la frecuencia de un péndulo simple cuya longitud es 0,4 m. a) 2,094 s ; 0,48 Hz b) 1,204 s ; 0,62 Hz c) 3,240 s ; 033 Hz d) 1,441 s ; 1,02 Hz e) N.a. 04. Un péndulo de longitud 0,36 m oscila en un lugar en donde g = 2. ¿Cuántas oscilaciones completas hará en 1 minuto?

a) 35 d) 50

b) 40 e) 55

c) 45

05. El período de un péndulo simple es de 1s. Si la longitud se duplicara, ¿cuál será su nuevo período? a) 0,37 s d) 1,41 s

b) 0,92 s e) 1,79 s

c) 1,24 s

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 3 01. El diagrama muestra amplitudes y las masas de dos péndulos simples A y B. Con respecto a sus periodos se cumplirá que: Péndulo A

L

8°

3m

a) TA = TB d) TA > TB 02. a) más rápida c) muy rápida e) N.a. 03. a) se duplica c) no varía e) disminuye 04.

Péndulo B

L

6°

m

b) TA = 3T B c) TA < TB e) TA  TB Si un péndulo simple es llevado a la Luna su oscilación se hace: b) igual d) más lenta Cuando la longitud del hilo de un péndulo simple se duplica, su periodo: b) aumenta d) se reduce a la mitad Si la amplitud de un péndulo simple es de 20° se cumplirá que:

I. La oscilación no es periódica. II. La oscilación no es armónica. III. La oscilación no es pendular.

a) I d) I y II

b) II e) II y III

c) III

05. ¿Qué sucede con el periodo de u péndulo simple cuando duplicamos su masa pendular? a) se duplica b) no cambia c) aumenta d) disminuye e) se reduce a la mitad 06. ¿En qué caso disminuye el período de un péndulo simple que oscila con un amplitud de 10°? a) b) c) d) e)

Aumentando su longitud. Disminuyendo su amplitud. Llevándolo a un planeta más grande que la Tierra. Llevándolo a la Luna. Disminuyendo su masa pendular.

07. Un péndulo simple oscila con un período de 6,28 m. Determine la longitud del hilo del péndulo. a) 9,8 m d) 1,25 m

b) 4,9 m e) 0,62 m

c) 2,45 m

08. Calcule la longitud de un péndulo simple cuyo período es /3 s es un planeta en donde la aceleración de la gravedad es de 7,2 m/s2 a) 0,1 m d) 0,4 m

b) 0,2 m e) 0,5 m

c) 0,3 m

09. ¿Cuál es el periodo de un péndulo simple de 0,4 m en la Luna. Considere que en la Luna la aceleración de la gravedad es 1,6 m/s2?, en segundos . a) d)

 2 2 3

b)  e)

c)

2 5

3 2

10. Calcule la frecuencia de oscilación de un péndulo simple de 0,64m de longitud. Suponer que g = 2 m/s2 a) 3,625 Hz d) 0,625 Hz

b) 2,625 Hz e) 0,025 Hz

c) 1,625 Hz

11. ¿Cuál será la longitud de un péndulo que oscila con un período de 2 s? use 2m/s2 a) 0,50 m

b) 0,75 m

c) 1,00 m

g=

d) 1,25 m

e) 1,50 m

12. Determine el periodo de un péndulo simple que en 8 s da 12 oscilaciones completas. a) 0,27 s d) 0,57 s

b) 0,37 s e) 0,67 s

c) 0,47 s

13. ¿Cuál es la longitud de un péndulo simple que en nuestro planeta oscila con un periodo de 1s? a) d)

g 4 2

g

b) e)

2

g 32

c)

g 22

2g 2

14. Un péndulo simple oscila con un periodo de 0,5 s. Halle el nuevo periodo cuando se triplique s u longitud. a) 0,565 d) 0,865 s

b) 0,655 s e) 0,965 s

c) 0,765 s

15. El periodo de un péndulo simple se triplica cuando aumentamos su longitud en 1m. Halle la longitud inicial del péndulo. a) 0,125 m d) 0,425 m

b) 0,225 m e) 0,525 m

c) 0,325 m

16. Calcule la aceleración de gravedad en un lugar en donde un péndulo simple de longitud "L" da "N" oscilaciones completas en un lapso "t". a) d)

2 N 2 L t

 N L2 t2

b) e)

4 N2 L t2

c)

42 N2 L t2

4 N L t2

17. Un reloj de péndulo, que en la Tierra oscila con un periodo de 2s, es llevado a un planeta en donde la aceleración de la gravedad es 9/16 g. Halle el periodo de oscilación en este planeta. a) 0,67 s d) 3,67 s

b) 1,67 s e) 4,67 s

c) 2,67 s

18. ¿En qué porcentaje aumenta el periodo de un péndulo cuando su longitud es aumentada en un 21% ? a) 5 % d) 21 %

b) 10 % e) 42 %

c) 11 %

19. ¿En qué lugar un péndulo simple oscilaría con mayor rapidez?

a) b) c) d) e)

En la luna. En lo alto de una montaña. En la superficie de la Tierra. En la azotea de un edificio muy alto. En Júpiter

20. Halle el periodo de un péndulo sabiendo que si aumentamos su longitud en 1 m su periodo aumenta en 0,5 s. use g = 2 m/s2 a) 0,75 s d) 3,75 s

b) 1,75 s e) 4,75 s

c) 2,75 s

TAREA DOMICILIARIA 01. Un péndulo simple se halla oscilando con un periodo de 1 s. Si el hilo del péndulo se aumenta en 0,54 m el nuevo periodo del péndulo será de 2s. Halle la longitud inicial del péndulo. a) 0,5 m d) 0,23 m

b) 0,11 m e) 0,29 m

c) 0,18 m

02. En la Tierra, el periodo de un péndulo simple es de 2s. ¿Cuál será el periodo de este péndulo en la Luna en donde la aceleración de la gravedad es la sexta parte que la de la Tierra? a) 3,24 s

b) 4 3 s

d) 3 2 s

e) 2 6 s

03.

c) 5,03 m

La oscilación pendular es un MAS cuando su amplitud es:

a) igual a 15° c) cerca de 15° e) un ángulo agudo 04. Para independiente de:

b) mayor que 15° d) menor que 15° pequeñas

amplitudes

el

periodo

del

péndulo

simple

es

I. La longitud II. La aceleración de la gravedad III. La masa pendular IV. La amplitud a) I y III d) II y III

b) II y IV e) I y IV

c) III y IV

05. Un péndulo simple oscila con una amplitud de 4°; si esta amplitud se duplicara, su periodo:

a) se duplica b) aumenta c) disminuye d) no varía e) puede aumentar 06. Si aumentamos la longitud de un péndulo simple, su oscilación se hace. a) más rápida c) igual e) no oscila 07.

b) más lenta d) muy rápida En lo alto de una montaña el periodo de un péndulo simple:

a) aumenta c) no cambia e) N.a.

b) disminuye d) puede disminuir

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) 1.- CONCEPTO

Se denomina así al proceso mecánico que se repite en forma continua y en intervalos de tiempos iguales.

2.-MOVIMIENTO OSCILATORIO Es aquel movimiento en donde el móvil recorre una trayectoria de ida y retorno en forma continua, es decir en un movimiento de udiben entorno a un punto denominado posición de equilibrio. =0

V=0

V=0 B

VMAX

S.E

B

P.E.

A

A

2.1.- OSCILACIÓN SIMPLE Movimiento para ir de A  B

2.2.- OSCILACIÓN COMPLETA Movimiento para ir de A  B y de B  A

3.-MOVIMIENTO PERIÓDICO

Es aquel movimiento en el cual se repite para intervalos de tiempos iguales. 3.1.- Periodo ( T ) .- Es el tiempo en que se repiten los movimientos u oscilaciones completas.

3.2.- Frecuencia ( f ) .- Mide la rapidez con que se repiten los movimientos u oscilaciones.

4.- CONCEPTO DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) Es un movimiento oscilatorio y periódico que se origina por la acción de una fuerza deformadora y para mantener dicho movimiento actúa continuamente una fuerza recuperadora y su movimiento se encuentra gobernada por las funciones armónicas (Funciones trigonométricas seno y coseno).

A



0



vT

ac + V

x

v =0

t1=t

t=0

k

a

V

V=0

kx

-A

x0 x(t) = (+)

P.E

+A

5. ELEMENTOS DEL M.A.S. 0  Fase inicial =

   =.t t

a) Elongación (x) b) Amplitud (A)  A = xMAX

N.R

Tiempo Total # Osc. Completas

c) Periódico (T)  T = Frecuencia (f): f 

# Osc. Completas Tiempo Total

; f= 1 ; T

1 =Hertz(N). Seg

d) Frecuencia cíclica (): o velocidad angular w

2  2f (rad/seg) T

(Para una vuelta)

6.- ECUACIONES DEL M.A.S. 6.1.- POSICIÓN DEL MÓVIL O ELONGACIÓN (X) x t = Asen (+0)

 x t = Asen (t + 0) 6.2.- VELOCIDAD DEL MÓVIL (V) (del gráfico) V = A Cos(+0) = ACos(wt+0) Donde:  = t 6.3.- ACELERACIÓN ( a ) a = 2Asen(+0)



a = -2Asen(t+0) = -2.x(t). * Condición Dinámica: Por 2da ley. FR = m.a.  -K.xt = -mw2xt  2 = K/m 

=

K m

6.4.- PERIODO ( T ) M.A.S. T = 2

m k

: (Seg)

Donde: K=cte del resorte

7.- PÉNDULO SIMPLE 





T

v=0 x



mqCos

m q

P.E . Para “” muy pequeño  Sen =   Tg =  Además x =  x    Sen Por ser “” muy pequeño.

Donde :   : longitud de masa  g . aceleración de la gravedad  T : período Por 2da ley: FR = ma mgSen = m2.x(t)  q. = w2.  =

g 

Luego:

=

2  T

g 

Periodo (T) : Péndulo Simple : T  2

 g

Donde g = aceleración de la gravedad10m/s2

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- ¿En qué caso el periodo de oscilación es mayor? Se sabe que en los tres casos los resortes y las masas son idénticos. (I)

(II)

(III )

°

Solución : Como sabemos por teoría el periodo en un M.A.S. depende de las masas del cuerpo y la constante de rigidez (k).

m k En los tres casos las masas son las mismas y las constantes también los son : T = 2

 T1 = T2 = T3 2).- Se observa que el tiempo que tarda un oscilador armónico en pasar de su posición de equilibrio a la de desplazamiento máximo con relación a esta, es 2s. ¿Cuál es su periodo? Solución : t=2s t

P.E.

t t

+ A Sabemos que el periodo del M.A.S. según la figura es : -A

T = 4t  t = 2s  T = 8s 3).- Si la longitud del hilo de un péndulo simple aumentase en 1m, su periodo aumentaría en dos quintos de segundo. ¿Cuál es la longitud del hilo? (2 = 9,8) 

 g

T = 2

 g

Por dato : Tf = Ti = 2/5

2

2

 1  2  2  ; nos piden “  ” g g 5

 1 

2

 2

 

   12   51   +1 =



2

  

2 5

2

2 1 + +  25 5

24 2    25 5

 = 5,76 m

4).- El movimiento de la aguja de una máquina de coser es prácticamente armónico. Si su amplitud es 0,4cm y su frecuencia 20 ciclos/s. ¿Con qué velocidad la aguja penetra en la tela? (en cm/s). Solución : A = 0,4 cm

1 20Hz T V = ¿? Sabemos que : V = A Cos ( t + ) ó f=

V =  A2  x2 La velocidad con que la aguja penetra la tela es con su velocidad máxima es decir cuando x =0  Vmax =  A 2  02 = A  Vmax = 2.f.A = 2.20.

4 = 16.cm/s 10

5).- En un M.A.S., en determinado instante la relación entre la velocidad máxima y la velocidad en dicho instante es igual a 2. Halla la relación entre la elongación y la amplitud. Solución :

V =  A2  x2

En un M.A.S.  Vmax = A

V max 2 V A

Dato :

 A 2  x2

2

Elevando al cuadrado :

A2 A x 2

A2 A  x2 2

x2 A 

2



2

2

 22

 4  4x2 = 3A2

3 4

x 3  A 2

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03 NIVEL I 1).- Un bloque se encuentra sostenido de un resorte, cuya constante elástica es K=20N/m y realiza un M.A.S además la masa del bloque es 200gr. Calcula el período. a)  s 10 d)  s 2

b) 2 s 5

c)  s 5

e) 10s

2).- Según la ecuación del M.A.S. x(t)=4sen(2t + /2)m; calcula la posición del móvil para t=0s a) 0m b) 2m c) 4m d) –4m e) –2m 3).- Con los datos del prob.(2) Calcula el período de movimiento del M.A.S. a) 1s b) 2s c) 0,1s d) s e) 3s 4).- Un bloque de 20kg cuelga de un resorte de k=2000 N/m. Si el sistema se encuentra en equilibrio Calcula la deformación que experimenta el resorte. a) 10m b) 1m c) 10cm d) 0,1cm e) 0,01m

5).- Si en un instante se corta la cuerda que sostiene al bloque del problema anterior. Calcula el período si realiza un M.A.S a)  s

b)  s 3

10 d)  s 5

c)  s 4

e) 5s

6).- Para un bloque de 0,2kg que realiza un M.A.S. sujeto a un resorte de constante K=20N/m. Si su amplitud es 2m. Calcula su velocidad máxima. a) 20m/s b) 10m/s c) 15m/s d) 2m/s e) 5m/s 7).- Con los datos del prob anterior Calcula su aceleración máxima. a) 20m/s2 b) 100m/s2 c) 150m/s2 d) 200m/s2 e) N.A. 8).- Calcula el período de un bloque que realiza un M.A.S. si se sabe que realiza 80 oscilaciones simples en 160s. a) 2s b) 4s c) 3s d) 1s e) 5s 9).- Para el siguiente diagrama de un M.A.S. Calcula la ecuación del movimiento X(t) P.E

t=0

K

m -A

+A

Donde : A=5m; m=25kg; k=100N/m a) x(t) = 5sen (t/2 + /2)m b) x(t) = 5sen (2t)m c) x(t) = 5sen (t + /2)m d) x(t) = 5sen (2t - /2)m e) x(t) = 5sen (2t + /2)m 10).- Si un bloque realiza un M.A.S. Calcula su energía potencial elástica máxima si se sabe que cuándo su aceleración es máxima su deformación es 2m. k=25N/m a) 10J b) 20J c) 50J d) 100J e) 200J 11).- Se tiene un cuerpo atado a una cuerda de 2m de largo. Si realiza un mov. periódico (M.A.S). Calcula dicho período. a) 2 s

b)

 5 s 5

c) 2 5s

d)

2 5 s e)  5 s 5

5

12).- Si una partícula atada a una cuerda de longitud “l” realiza un M.A.S. de período “T”. Si la misma partícula es llevada a otro planeta donde la gravedad es 3 veces la gravedad de la

Tierra. En cuanto se debe aumentar o disminuir la longitud de la cuerda “l ” para que el período no cambié. a) Disminuir en l /2 b) Aumentar en 2 l c) Aumentar en 3 l d) disminuir en 2 l e) Aumentar en l 13).- Según las figuras I y II marca la alternativa correcta si ,  son ángulos muy pequeños: T1 : período (1) T2 : período (2) 



l l

l 2m

T1

3m T2

a) T1T2 c) A mayor masa mayor período d) T1=T2 e) F.D. 14).- Si un péndulo de longitud “ l “ es llevado a un planeta “x” desde la Tierra. Además se sabe que la relación de períodos de la Tierra y del planeta “x” es 2:1. Calcula la gravedad del planeta ”x”. a) 2g b) 3g c) g d) 4g e) 5g 15).- Si una partícula de masa “m” atada a una cuerda de longitud 10cm realiza un M.A.S. Si este mismo sistema es llevado a otro planeta donde su gravedad es 4 veces el de la Tierra. Calcula el período en este planeta. a) s d) 5s

b)  s

5 e)  s 10

c) 10s

NIVEL II 1).- Halla el periodo de un M.A.S. si se sabe que la relación entre la máxima aceleración y su máxima velocidad es 4. a) 0,5s b) 0,2s c) 0.,4s d) 0,1s e) 0,8s 2).- Un cuerpo de 2kg está suspendido de un resorte. Si se aplica una fuerza adicional de 10 Newton el resorte se alarga 5cm. ¿Cuál es el periodo de oscilación si se le suelta? a) /2 b) /3 c) /10 d) /4 e) /5 3).- Una masa de 5kg está animada de un M.A.S., en el que se realiza 3 oscilaciones por segundo. Calcula el valor de la fuerza recuperadora para una elongación de 5cm.

a) 56,4N d) 62,8N

b) 48,2N e) 74,5N

c) 88,7N

4).- Un sistema oscila armónicamente con una frecuencia de 10Hz y una amplitud de 4m. Determina la ecuación del movimiento con respecto a su posición en cualquier instante “t” segundos. Considera una constante de fase 30°. a) x=4 Sen(20t+/6) b) x=4 Sen(10t+/6) c) x=4 Sen(20t+/3) d) x=2 Sen(10t+/6) e) x=2 Sen(20t+/3) 5).- Un bloque de 200g de masa cuelga de un resorte ligero cuya constante de fuerza es 20N/m. El bloque es jalado hacia abajo 10cm a partir de su posición de equilibrio. El tiempo, en segundos que tarda en pasar por el punto de equilibrio por primera vez luego de ser soltado es: a) 0,005 b) 0,02 c) 0,05 d) 1,65 e) 6,6 6).- Al suspender un bloque de un resorte, la longitud de este se alarga en 10cm. Halla el periodo de oscilación cuando se tira del cuerpo hacia abajo y se abandonó luego así mismo (en s). (g = 10m/s2) a) /2 b) /3 c) /10 d) /4 e) /5 7).- Si la masa pendular se deja en libertad en la posición mostrada, indique después de qué tiempo regresa a dicha posición inicial. (g = 32pies/s2). (no existen asperezas)

24 pies

7°

a) s

b) 3s

c) /2 s

d)

3 2

32 pies

e) N.A.

8).- Diga en qué caso el periodo de oscilación del péndulo es mayor?

5°

7° L

m1

a) Depende de “m1” y “m2” b) En el caso “I”

L

m2

c) En el caso “II” d) En los dos es el mismo e) N.A. 9).- Si la ecuación x=0,40Cos(2t+/4)m representa la elongación de un oscilador armónico de 5kg de masa. Halla la energía total del sistema en cualquier instante (en J) a) 1,2 b) 1,6 c) 1,8 d) 1,5 e) 2,2 10).- Un cuerpo de masa “m” cuelga del extremo de un resorte realizando un movimiento armónico simple del periodo T. Determina el valor de la masa que se deba colocar en el extremo de este resorte (en lugar de la masa anterior) para que el periodo del movimiento sea 3T. a) 9m b) 6m c) 3m d) m/3 e) m/9 11).- El periodo de oscilación de un péndulo simple es un 10%. Determina su nuevo periodo. a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) N.A.

10 seg, si su longitud disminuye en

12).- Halla el periodo de oscilación de un péndulo simple, el cual se encuentra a una altura sobre la superficie terrestre, igual a la mitad del radio de la Tierra. (longitud=1m y 2=9,8) a) 1s b) 3s c) 2s d) 4s e) 5s 13).- Un reloj de péndulo hecho en la tierra es llevado a un planeta x, donde la gravedad es 4 veces que la de la tierra. Después de 1 hora en la tierra el reloj en el planeta x marcaría. a) 2 horas b) 1/2 hora c) 4 horas d) 15 minutos e) 1 hora 14).- El resorte mostrado se ha deformado 10cm para sostener en equilibrio a los bloques “A” y “B” de 3k-f y 2k-f de peso respectivamente. Si se corta el hilo que sostiene al bloque “B”, indique cuál es la amplitud del MAS que adquiere el bloque “A”. a) 10cm b) 5cm c) 6cm

A

d) 4cm e) 2cm

B

15).- Un sistema masa resorte ejecuta un M.A.S., con un periodo de 4s. Halla la aceleración máxima. Si la velocidad máxima es de 2m/s (en m/s2) a) 2 b)  c) /2 d) 2/ e) 2

NIVEL I :

CLAVES DE RESPUESTAS

1) c

2) c

3) a

4) c

5) d

6) a

7) d

8) b

9) b

10)c

11)d

12)b

13)d

14)a

15)e

NIVEL II : 1) a

2) e

3) c

4) a

5) c

6) e

7) d

8) d

9) b

10)a

11)c

12)b

13)b

14)c

15)b

01.

Una partícula desarrolla un M.A.S., cuya ecuación que lo describe es: π  X t   0,3Sen10π t   m 3 

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Su amplitud es 20cm. II. La frecuencia angular es 5 rad /s III. El período es 0,2s IV. La fase inicial es 60º A) VFFV

B) VVFF

C) FFVV

D) FVFV

E) VFVF

02. Un bloque de 2kg, desarrolla un M.A.S., realizando 40 vibraciones en 5s. Hallar el período de oscilación. A) 0,15s

B) 0,42s

C) 0,125s

D) 0,25s E) 0,075s

03.Un oscilador armónico desarrolla un M.A.S. de amplitud 40cm y frecuencia 5 Hz. Cuál es la rapidez máxima que alcanza el oscilador, en m/s. A) 60π 2

B) 50π 2

D) 30π 2

E) 40π 2

C) 20π 2

 π   04.Un oscilador armónico simple tiene la siguiente ecuación: X t   0,5Sen10 t   i (m) estando “t” segundos. Encontrar su 3  π posición en t  s . 20

A) 0,50m

B) 0,15m

C) 0,45m

D) 0,35m

E) 0,25m

05.Del problema anterior, si la constante de rapidez es K = 400 N/m. Encontrar la masa del oscilador. A) 6 kg

B) 3 kg

C) 5 kg D) 2 kg

E) 4 kg

06.El período de oscilación de una partícula con M.A.S. es π s y su amplitud es 50cm. Hallar su rapidez en x = 30cm. A) 0,2 m/s B) 0,4 m/s

C) 0,6 m/s

D) 0,8 m/s

E) 1 m/s

07. Hallar el período de oscilación del bloque de 4kg. Si: K = 16 N/m

k 3 k

A) π s

B) π / 2 s

liso

C) π / 4 s

D) 2π s E) 3π s

08. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El período depende de la amplitud de las oscilaciones. II. Si un cuerpo parte del origen (P.E.) hacia la izquierda su fase inicial es π rad . III. Un movimiento oscilatorio es periódico.

IV. Un movimiento periódico es oscilatorio. A) FVVF

B) FVFF

C) FVVV

D) VFVV

E) VVVV

09. La ecuación del M.A.S. de un oscilador es:    A X t  A Sen(5t  φ o ) i m estando en t en segundos. Si al inicio del movimiento se encontraba en X  i . Hallar su fase inicial, si 2 parte a la derecha. y si parte a la izquierda? π 2π π 4π π 5π π A) ; rad B) ; rad C) ; π rad D) ; rad E) π ; 2π rad 2 5 5 6 6 3 3 π   10. Si la ecuación de un oscilador armónico es : x  50 Sen 5t   i cm 6  



A) 0,45 i m / s

B) – 1,25 i m / s



C) 0,65 i m / s

Su rapidez en t  

π s , es : 10



D) – 0,35 i m / s E) 1,85 i m / s 

11. Del problema anterior, cuál es la rapidez del oscilador cuando se encuentra en la posición x  0,3 i m A) 0,8 m/s B) 1 m/s

C) 1,5 m/s

D) 2 m/s E) 2,3 m/s

12. Una particular de 0,5 kg realiza un M.A.S unido a un resorte de constante rigidez K = 200 N/m, partiendo del extremo π izquierdo de su posición de equilibrio con amplitud igual a 8 cm. Qué aceleración adquiere en t  s . 60 A) 8 m / s 2 B) 4 m / s 2

C) 16 m / s 2

D) 18 m / s 2

13. Un partícula oscila según un M.A.S con frecuencia de A) 3.5 m/s B) 25 m/s

C) 15 m/s

E) 12 m / s 2 5 Hz .Cuál es la aceleración de la partícula en x = -20 cm. π

D) 10 m/s

E) 20 m/s

14. Un bloque de 2 kg unido a un resorte de rígidez 450 N/m, inicia su movimiento a 40 cm del extremo derecho de su posición de equilibrio. La ecuación del M.A.S. del bloque es :  π   A) X t   0,4 Sen 15t   i 3   π   B) X t   0,2 Sen 12 t   i 4 





C) X t   0,4 Cos 15t  i





m

m

 π   D) X t   0,2 Cos 12t   i 3 

E) X t   0,4 Sen 15t  i

m

m

m

15. Un oscilador armónico de 4 kg desarrolla un M.A.S. de 0,5 m de amplitud. Su rapidez máxima es de amplitud. Su rapidez máxima es 5m/s. Hallar la constante de rigidez. A) 800 N/m

B) 500 N/m

C) 600 N/m

D) 900 N/m

E) 400 N/m

16. Hallar el período de oscilación en “s”, del bloque de 2kg, si K1  600 N / m y K 2  300 N / m k 1

k 2 l i s o

A) π / 2

B) π / 3

C) π / 5

D) 2π / 3 E) 3π / 4

17. Un Bloque de un sistema masa – resorte realiza un M.A.S. y emplea 2s en ir de un extremo a otro. Hallar su frecuencia angular en rad/s A) π / 2

B) π / 3

C) π / 4 D) π / 5

E) π / 6

18. Del problema anterior, si la masa del bloque fuese 18 / π 2 kg, la constante de rigidez del resorte sería : A) 4,5 N/m B) 2,5 N/m

C) 3,5 N/m

D) 5,5 N/m E) 6,5 N/m 19. La figura muestra un bloque de 2 kg en movimiento oscilatorio. Hallar la amplitud de las oscilaciones, si V  24 m / s P .E . V

k=200N /m

liso

20cm

A) 0,8 m

B) 0,7 m

C) 0,6 m

D) 0,5 m

E) 0,4 m

MASSSS

El Estudio de las oscilaciones mecánicas es importante no solamente por su aplicación frecuente a la ingeniería, sino porque los resultados obtenidos durante su estudio también pueden ser usados para el estudio y aclaración de los fenómenos oscilatorios en otras ramas de la Física, tales como por ejemplo el estudio de las oscilaciones armónicas que experimentan los electrones en una antena de transmisión o el movimiento de las moléculas en torno a una posición de equilibrio en una red cristalina o el movimiento de las moléculas sobre la superficie libre de los líquidos luego de una perturbación.

Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya que permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios más complejos que se presentan en la naturaleza. Antes de entrar a analizar y describir el M.A.S. conoceremos algunos aspectos previos como lo que es: un movimiento oscilatorio y un movimiento periódico. Movimiento Oscilatorio

Se caracteriza porque el movimiento se repite, siguiendo la misma trayectoria en ida y vuelta. “Se experimenta un movimiento de vaivén”. Por ejemplo, un reloj de péndulo, un columpio, etc. Movimiento Periódico

Es aquel que se repite regularmente en intervalos de tiempo iguales. Por ejemplo, el movimiento rotacional de la tierra, sus clases en el centro pre, etc. Movimiento Armónico

Es aquel movimiento cuya posición está expresada en términos de seno y/o coseno. En la práctica todo movimiento armónico es a la vez periódico. Observaciones: Analicemos el movimiento de una esferita sujeta mediante un hilo, como se muestra:

La esferita oscila en torno de su posición más baja “B”

1ra: La esfera completa una oscilación cuando desarrolla un movimiento completo, es decir, cuando va del extremo “A” hacia el extremo “C” y luego retorna al extremo inicial, “A”. A  B : Un cuarto de oscilación A  C : Media oscilación A  C  A : Una oscilación 2da.: El tiempo que debe transcurrir para que se repita nuevamente el evento se denomina: “Período (T)”. 3ra.: Un movimiento periódico, no es necesariamente oscilatorio y un movimiento oscilatorio no es necesariamente periódico. Fuerza Elástica

Estas fuerzas se generan cuando se deforma un cuerpo. Por lo general se distinguen: a) Fuerza Deformadora (FD): Es aquella fuerza que produce la deformación del cuerpo, siempre tiene el sentido de la deformación. (X = Lf – L0)

Lo

x FR

FD

Lf b) Fuerza Recuperadora (FR): Se genera en los cuerpos deformados. Si la deformación no supera el límite elástico, se cumple la Ley de Hooke. FD (D.P.) X

K 

FD X

 cons tan te

K : constante elástica del resorte Luego, la fuerza recuperadora está dada por:

FR = -KX ¿Qué es un Movimiento Armónico Simple? Es un movimiento oscilatorio, periódico en línea recta. Por ejemplo, analicemos un bloque en reposo ligado a un resorte: Posición de equilibrio P.E. liso

Lo alejamos una distancia (A) de su posición de equilibrio (P.E), por medio de una fuerza deformadora (FD).

V=0 FD

A ¿Qué movimiento desarrolla el bloque al dejar de aplicar la FD?

Mov. de ida (T/2) -A

+A

V=0

FR

N

V

x

M

P.E.

Mov. de vuelta (T/2)



El movimiento se repite cada “T” segundos.

El bloque adquiere movimiento mecánico, debido a la acción de la fuerza recuperadora (F R = kx, la cual disminuye a medida que el bloque se acerca a la P.E.). Elementos del M.A.S.

1.

X  ; posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio llamada también elongación

2. Amplitud (A): Máxima posición o elongación. 3. Período (T): Es el tiempo utilizado para dar una vibración u oscilación completa. 4. Frecuencia (f): Es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo.

f



1 T

Unidad: S-1 = Hertz (Hz)

5. Frecuencia cíclica ():

 

2  2f T

¿Por qué al M.A.S. se le denomina armónico? Se debe a que su movimiento está gobernado por funciones armónicas (seno o coseno). ECUACIONES DEL M.A.S. Para obtener las ecuaciones del M.A.S. trabajaremos con la proyección horizontal de una partícula que experimenta un M.C.U., con el movimiento del bloque.

  



x t P.E. t=t

x= 0

tf = t

t=0

Xo

x A De t0 = 0 a tf= t, la partícula barre un ángulo “”, y del M.C.U. se tiene que: =.t

Ecuación de la posición: A partir del

se deduce que:

X = A sen ( t + )  : Fase Inicial; su valor depende de las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial) Se expresa en “rad” Ejemplo: Sea la ecuación del movimiento de un oscilador armónico: X = 0,2 Sen (t +  ) m 4 Determinar su amplitud, la frecuencia cíclica, fase inicial, período, frecuencia de oscilación y su posición para el instante t = 0,25 s Solución: Sabemos que la ecuación de movimiento del M.A.S. es: X = A sen ( t + ) Luego, por dato: X = 0,2 sen (t +  ) 4 Comparando ambas ecuaciones tenemos que: *

A = 0,2 m = 20 cm

*

 =  rad/s

Frecuencia cíclica

*

 =  rad 4

Fase inicial

*

T = 2 = 2    T=2s

Amplitud

En cada oscilación el oscilador emplea 2s

* f= 1 T 

= 1 2

f = 0,5 s

En cada segundo el oscilador desarrolla media oscilación

* Ahora, en t = 0,25 s su posición será: X = 0,2 sen ( (0,25) +  )m 4 X = 0,2 sen  2 1 

X(t = 0,25) = 0,2 m

Es decir, en t = 0,25 s el oscilador se encuentra 0,2 m a la derecha de la P.E. Ecuación de la Velocidad

V(t) =  A Cos (t + ) Esta ecuación nos permite hallar la velocidad del móvil en cualquier instante de tiempo. También:

V   A2  X2 Esta ecuación sólo nos permite conocer el módulo de la velocidad conociendo la posición del móvil. De esto se deduce: VMÁX = A VMÍN = 0

.......... (en la P.E.) .......... (en los extremos) Ecuación de la Aceleración

a

(t)

= -2 A Sen (t + )

Para cualquier instante de tiempo. De esto se deduce que:

a

(t)

= -2 x

El signo (-) indica que a y x son de dirección contrarias. Luego:

a(t) = 2 x

a

*  MÁX = 2 A .... (en los extremos)

a

*  MÍN = 0

.... (en la P.E.)

¿El período de oscilación, depende de la amplitud? ¡NO!, depende de la masa y de la rigidez del resorte. El período (T) se evalúa así:

T  2

m k

Recuerde que:

 

2  2 f T

Ejemplo: El bloque de 4 kg que se muestra está en reposo. De pronto se le desplaza hacia la izquierda y luego se suelta. Determine la ecuación de su movimiento, si en cada oscilación el bloque recorre 100 cm. (k = 100 N/cm)

P.E. K

Solución:

liso

Se sabe que: X = A sen (t + ) ………. (1) El dato dice que en cada oscilación el bloque recorre 100 cm, pero también podemos deducir que en cada oscilación el móvil recorre cuatro veces la amplitud (A). Es decir:

100 = 4 A A = 25 cm = 0,25 m

Además:

 

k 100  m 4

 = 5 rad/s Para hallar la fase inicial, evaluamos la ecuación (1) para t = 0 -A = A Sen ( (0) + ) -1 = Sen    =  2 

X = 0,25 sen (5 t +  ) 2

En el M.A.S. ¿La energía mecánica se conserva? ¡SÍ! Porque la fuerza que mantiene el M.A.S. es una fuerza conservativa (fuerza elástica). La energía mecánica del sistema masa-resorte de un M.A.S. se evalúa así:

EM

2 m VMÁX kx 2 mV 2 kA 2     2 2 2 2

en cualquier en un posición extremo

en la P.E.

PÉNDULO SIMPLE Consiste de una masa de dimensiones muy pequeñas, suspendida mediante un hilo inextensible y de peso despreciable de un punto fijo. Al ángulo que forma el hilo con la vertical en la posición extrema se le denomina amplitud de la oscilación.

L

 

L

g

Para el período del péndulo simple se cumplen las siguientes leyes: 1.

Es independiente de la masa.

2.

Es independiente de la amplitud, si esta es pequeña (  5º)

3.

Es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

4.

Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad.

T  2

L 1  g f

PROBLEMAS

1.

La ecuación del movimiento de una partícula con M.A.S. es:

  X  0,4 Sen  t   3 2 Determine el período de oscilación, posición y velocidad inicial. Rpta.: ______________ 2.

Un oscilador armónico de amplitud 40 cm, es observado inicialmente en X0 = -20 cm. Si realiza 60 oscilaciones por minuto. Determine el ángulo de fase inicial; la ecuación del movimiento y la velocidad inicial. Rpta.: ______________

3.

Un

oscilador

realiza

un

M.A.S.

cuya

  y  A Sen  t   m, en forma vertical. 6 6

¿En qué instante el oscilador está en y   Rpta.: ______________

ecuación

de

movimiento

A 3 descendiendo? 2

está

dado

por

4.

Una partícula que desarrolla un M.A.S. tiene una velocidad de 5 cm/s y aceleración de 10 cm/s2 cuando se encuentra en X = 2 cm. Determine su amplitud. Rpta.: ______________

5.

Un cuerpo es impulsado desde la posición de equilibrio con una velocidad de 0,4 m/s. Si su

  3

amplitud es 0,08 m. Calcular su velocidad después de   seg. de haber partido.

P.E .

Rpta.: ______________ 6.

El bloque M = 100 g de la figura oscila sin fricción con una amplitud de 3 cm. En el instante que pasa por su posición de equilibrio, cae verticalmente sobre él una masa “m” de 44 g, la cual queda adherida. Determine la nueva amplitud de oscilación.

m K

M

Rpta.: ______________ 7.

Un reloj péndulo es llevado a un planeta en donde la aceleración de la gravedad es un 10% menor que en la Tierra. Si la longitud del péndulo es de 20 cm. ¿Cuál debe ser la nueva longitud del péndulo para que en ese planeta funcione correctamente? Rpta.: ______________ ADICIONALES

1.

Determine la ecuación del movimiento de un oscilador armónico que realiza 120 oscilaciones en 2 minutos. La amplitud del movimiento es de 7 cm, e inicia su movimiento en el extremo izquierdo.

   3  3   X  7 Sen  t   2  3   X  7 Sen  2t   2  3   X  7 Sen  2t   2    X  2 Sen  2t   3 

a) X  2 Sen  2t  b) c) d) e)

2.

El oscilador armónico, oscila a lo largo del eje X. Si la posición de tal oscilador varía según muestra la gráfica. ¿Qué ecuación gobierna dicho movimiento?

 5 t  4  5 t b) X  3 Sen   4  5 t c) X  4 Sen   4 a) X  2 Sen 

  4   4   4

  5 t  4  4

d) X  5 Sen 

5   5 t  6   4

e) X  4 Sen  3.

El anillo de 0,8 kg se sostiene sobre una mesa lisa y se sujeta a dos resortes de constantes K1=30N/m y K2=50N/m. Se empuja el anillo a lo largo de la línea que une a los extremos fijos A y B, y después se suelta. Calcular el período de oscilación del sistema.

K1

K2 B

A a)  s

b)

 s 2

c) 2 s d)

 s 5

e)

 s 3