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1. Determinar la ecuación diferencial de movimiento para el sistema vibratorio amortiguado que se muestra. ¿Qué tipo de movimiento ocurre? Considere K = 100 N/m, C = 200 N.seg/m, m = 25 kg.

/////////////////////////////////////////

K

K

K

M ////////////////////////////

C

-

C

/////////////////////////////////////////

Solución chef. De amortiguamiento viscoso.



c  200



m  250kg



K = 100 N/m.

N .S : m

Diagrama del sistema. /////////////////////////////////////////

y

Kx

Kx

Kx

x

m .

.

Cx

Cx

- Aplicando ecuación del movimiento de manera que el peso del cuerpo se equilibra con la deflexión estática del resorte .

..

3kx  2c x  m x ..

.

m x  2c x 

3 fx x0 25

. ..

2c x 3 fx x  x  0......................(1) m 25

Reemplazando los datos en (1) . ..

2 x200 . 3x100 x x x0 25 25

Deduciremos que: 16  2n  n  8 j2 

3k  f  3k m m

 100  f  3   25 

f  3.46 rod / s n2  f 2  0  82  3.462  0

2. En el sistema que se muestra la masa (m) esta inicialmente en reposo con el resorte sin estirar en t=0 se aplica una fuerza 60sen (10t) si la masa w = 20kg y K=15N/m y B=12Nseg/m determine la ecuación del movimiento en función del tiempo

Solución: 𝑃𝑠𝑒𝑛𝐴𝑡 − 𝐶𝑋´ − 𝐾𝑋 = 𝑤𝑋´´

𝑃 𝑤

𝑠𝑒𝑛𝐴𝑡 −

𝐵𝑋` 𝑤

−

𝐾𝑋 𝑤

= X´´

X´´ +

𝐵𝑋` 𝑤

+

𝐾𝑋 𝑤

=

𝑃 𝑤

𝑠𝑒𝑛𝐴𝑡 … . 𝐼

𝑋´´ + 2𝑛𝑋´ + 𝜌2 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝑊𝑡 … 𝐼𝐼 𝑛=

𝑋=

𝐵 2𝑤

;

𝐾

𝑃

𝑤

𝑤

𝜌=√ ; 𝐹=

60 𝑤√(𝐾−𝑤𝐴2 )2 +(𝐴𝐶)2

; 𝑊 = 𝐴=10

Amplitud

𝜑 = tan−1 (

𝐵 𝐾−𝐴2 𝑤

)

Remplazando lós valores del. Enunciado obtenemos La siguiente expresión.

X=Xsen (Wt- 𝜑)

x=0.3508sen(10t+0.34)

3.Un bloque de 50 Kg de peso esta sometido por medio de unos resortess según las disposiones que muestran la figura. La constante K1 es igual a 300 Kg/m y la constante K2 es igual 500 Kg/m. si se mueve el bloque . determinar a)La ecuacion de movimiento del sisitema. b)El periodo y la frecuencia del movimiento resultante.

a) en la figura observamos que los resortes de 300 Kg/m están en paralelo r lo cual la constante equivale de dichos resortes será: ke= k1 + k1=(300+300) Kg/m = 600 Kg/m de la figura observamos que si le damos un desplazamiento x al bloque , las fuerzas recuperadoras de los resortes son las que se demuestran en dicha figura y aplicando la ecuación tenemos 𝑚𝑥̈ + k 𝑒 𝑥 + 𝑘2 𝑥 = 0 O sea 𝑚𝑥̈ + (k 𝑒 +𝑘2 )𝑥 = 0 Dónde : 𝑚=

𝑊 50𝐾𝑔 = = 5.102 𝐾𝑔. 𝑠 2 /𝑚 2 𝑔 9.8𝑚/𝑠

k 𝑒 +𝑘2 = (600 + 500)Kg/m Luego : 5.102𝑥̈ + 1100𝑥 = 0 es la ecuación de movimiento del sistema

b) de la ecuación anterior tenemos: 𝜔2 =

𝑘 1100Kg/m = = 215.605𝑠 2 𝑚 5.102 𝐾𝑔. 𝑠 2 /𝑚

𝜔 = 14.26𝑟𝑎𝑑/𝑠 Por lo tanto el periodo es : 𝑇=

2𝜋 2𝜋 = = 0.427𝑠 𝜔 14.68

La frecuencia será : 𝑇=

1 1 = = 2.4𝑠 𝑇 0.427

4.En el siguiente sistema considerado q posee una vibración libre críticamente amortiguada, determinar : a) El valor de la frecuencia natural del sistema y el valor de la constante “c” de amortiguamiento del oscilador mostrado b) La ecuacion de posicion en funcion del tiempo X(t). considerar para t =o, X =0.35 y v =1m/seg

. 1. Realizaremos el D.C.L para el sistema 𝑐 𝑘 𝑥̈ + ( ) 𝑥̇ + ( ) 𝑥 = 0 𝑚 𝑚 Pero 𝜌2 =

𝑘 𝑚

𝑦 𝑐/𝑚 = 2𝑛 𝑥̈ + 2𝑛𝑥̇ + 𝜌2 𝑥 = 0

2. Para nuestro caso en particular de amortiguamiento crítico, tenemos n=p y remplazando los valores de la ec. Diferencial homogénea: 𝑥̈ + 2𝑛𝑥̇ + 9𝑥 = 0 3. Luego a) 𝜌2 =

𝑘 𝑚

𝑦

𝑐 𝑚

= 2𝑛

𝜌 = 3𝑠 −1 𝒄 = 𝟔𝟎 𝑵. 𝒔/𝒎 4. Como el sistema posee amortiguamientos crítico, su solución general es: X(t)=𝐶1 𝑒 −𝜌𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒 −𝜌𝑡 5. Para t=0 y X=0.35m

0.35=𝐶1 𝑒 0 + 0

𝐶1 = 0.35

6. Para t=0 y v=1m/seg 𝑥̇ = −3𝐶1 𝑒 −3𝑡 + 𝐶2 𝑒 −3𝑡 − 3𝐶2 𝑡𝑒 −3𝑡 1 = −3(0.35)𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 0 𝐶2 = 2.05 7. Finalmente la ecuación de posición es: X(t)=𝐶1 𝑒 −𝜌𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒 −𝜌𝑡 𝑥(𝑡) = (0.35 + 2.05𝑡)𝑒 −3𝑡