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Máquinas Eléctricas Armengol Blanco Benito Facultad Nacional de Ingeniería Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Electrónica 16 de diciembre de 2014

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Prefacio Este apunte tiene el objeto de proporcionar un background a los alumnos de la asignatura Máquinas Eléctricas del Programa de Ingeniería Electrónica de la Facultad Nacional de Ingeniería sobre la teoría de máquinas eléctricas. Se hace énfasis en la modelación matemática del motor de inducción con vistas al control del mismo. Es un compendio de la asignatura. Se consultaron varios textos clásicos. En el texto, se incluyen ejemplos y problemas resueltos para claricar y aplicar los conceptos expuestos. La edición del texto, se preparó en el ambiente LATEX 2ε mediante el editor WinEditr v. c 9a y para los cálculos se utilizó el asistente 6,0 y las simulaciones se realizaron en Matlab matemático Deriver 6,1 Armengol Blanco

Índice general 1. Generador de Corriente Continua

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Características Constructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Generador Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Entrehierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Componentes Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Fuerza Electromotriz Inducida, FEM . . . . . . . . . . . . . 1.5. Modelo del Generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Tipos de Generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Generador en Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Ecuaciones del Generador en Derivación . . . . . . . 1.6.3. Generador Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Ecuaciones del Generador Serie . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Generador Compuesto Aditivo . . . . . . . . . . . . . 1.6.5.1. Ecuaciones del Generador Compuesto Corto 1.6.5.2. Ecuaciones del Generador Compuesto Largo 1.6.6. Generador Compound Sustractivo . . . . . . . . . . . 1.7. Reacción de Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Pérdidas en el Generador de CC . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Interpolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Características de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Motor de Corriente Continua

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Características Constructivas . . . . . . . . Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . Fuerza Contraelectromotriz Inducida, FCEM Circuito Equivalente del Motor . . . . . . . iii

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21 21 21 21 22 22

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ÍNDICE GENERAL

2.7. Par Desarrollado por un Motor . . . 2.8. Potencia Mecánica . . . . . . . . . . 2.9. Tipos de Motor . . . . . . . . . . . . 2.9.1. Motor en Derivación . . . . . 2.9.2. Motor Serie . . . . . . . . . . 2.9.3. Motor Compound Acumulado 2.9.4. Motor Compound Diferencial 2.10. Características del Torque . . . . . . 2.11. Pérdidas en el Motor de CC . . . . . 2.12. Control de Motor de CC . . . . . . . 3. Generador Síncrono

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Introducción . . . . . . . . . . Características Constructivas Principio de Funcionamiento . Estator . . . . . . . . . . . . . Ciclo de Histéresis . . . . . . 3.5.1. Corrientes de Eddy . . 3.6. Ranuras . . . . . . . . . . . . 3.7. Rotor . . . . . . . . . . . . . 3.8. Clasicación . . . . . . . . . . 3.9. Ventilación . . . . . . . . . . . 3.10. Materiales Aislantes . . . . .

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4. FEM y FMM en Devanados de CA

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

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Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Características Fundamentales de la FEM . . . . . . . . . . . . . . Paso Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de Faraday-Henry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. FEM en un Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Paso Completo . . 4.6. FEM de una Espira de Devanado Distribuido y Paso Completo . . . 4.7. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Paso Fraccionario 4.7.1. Factor de Devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Expresión General de la FEM inducida en Máquinas de CA . . . . 4.8.1. Armónico de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Ecuaciones de las Ondas Pulsantes y Progresivas . . . . . . . . . . . 4.9.1. Onda Progresiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2. Onda Móvil Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.3. Onda Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.4. Campo Giratorio Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. FMM en Devanados de CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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23 23 23 23 24 26 26 27 28 29 31

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39 39 40 40 41 42 42 43 44 45 45 45 46 46 46 47 48

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ÍNDICE GENERAL

4.10.1. FMM de un Devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2. Componente Fundamental de la FMM de Armadura . . . . . . . . . . 5. Regulación y Funcionamiento de los Generadores Síncronos

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Inductancia de la Bobina de Campo . . . . . . . . . . . 5.2.2. Inductancia de la Reacción de Armadura del Inducido . 5.2.3. Inductancia de Dispersión del Inducido . . . . . . . . . 5.3. Diagrama Fasorial de un Generador de Rotor Liso . . . . . . . 5.4. Diagrama Fasorial de un Generador de Polos Salientes . . . .

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6. Operación en Paralelo de Generadores Síncronos

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Operación en Paralelo de Generadores Síncronos . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Ventajas de la Operación en Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Desventajas de la Operación en Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Condiciones para la puesta en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Métodos de Sincronización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Método de las Lámparas Apagadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Método de las Lámparas Encendidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Método de las Lámparas Giratorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4. Método del Sincronoscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Reparto de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Diagrama Fasorial de Generadores idénticos conectados en Paralelo 6.6. Características Frecuencia vs Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Características Tensión vs Potencia Reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Características en Vacío y Cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1. Ensayo en Vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2. Ensayo en Cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3. Determinación de la Reactancia Síncrona . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.4. Medición de la Resistencia del Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Características P-Q de un Generador de Rotor Liso . . . . . . . . . . . . . 6.9.1. Potencia Activa y Reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Características P-Q de un Generador de Polos Salientes . . . . . . . . . . . 6.10.1. Restricciones en la Operación de Máquinas Síncronas . . . . . . . .

7. Transformadores

7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

Introducción . . . . . . . . . . Denición . . . . . . . . . . . Características Constructivas Tipos de Transformador . . .

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79 79 79 80

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ÍNDICE GENERAL

7.5. Transformador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Transformador Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Circuito Eléctrico Equivalente . . . . . . . . . . . . . 7.7. Diagrama Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Pérdidas y Rendimiento del Transformador . . . . . . . . . . 7.8.1. Pérdidas Óhmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2. Pérdidas en el Núcleo Magnético . . . . . . . . . . . 7.8.2.1. Pérdidas Debidas a las Corrientes Parásitas 7.8.2.2. Pérdidas por Histéresis . . . . . . . . . . . . 7.8.3. Rendimiento de un Transformador . . . . . . . . . . 7.9. Ensayos en Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1. Ensayo en Circuito Abierto . . . . . . . . . . . . . . 7.9.2. Ensayo en Corto Circuito . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Transformadores Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11. Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12. Comparación de un Transformador y Autotransformador . .

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8. Motor de Inducción Trifásico

8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Motor de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Características Constructivas de una Máquina de Inducción Rotatoria 8.3.1. Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2.1. Rotor Jaula de Ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2.2. Rotor Devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Fuerza Magnetomotriz Giratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Frecuencia en el Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Circuito Eléctrico Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Par Motor y Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1. Característica Par - Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Par - Velocidad de un Motor de Rotor Devanado . . . . . . . . . . . . 8.11. Pérdidas en el Motor de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12. Ensayos en Motores de Inducción [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.1. Ensayo en Vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.2. Rotor Bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13. Métodos Arranque de los Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.14. Control del Motor de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.14.1. Coordinación de Protecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 84 84 86 86 87 87 87 87 88 89 89 89 90 91 91 93

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93 93 94 94 95 95 96 96 97 98 98 99 100 100 101 102 103 103 104 106 107 108

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ÍNDICE GENERAL

9. Motor de Inducción Monofásico

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . Características Constructivas . . . . . Campo Magnético Giratorio Elipsoidal Motor de Fase Partida . . . . . . . . . Motor con Arranque por Condensador Motor Universal . . . . . . . . . . . . .

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10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Antecedentes Históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Características Constructivas del Generador de Inducción . . 10.4. Principio de Funcionamiento de un Generador de Inducción . 10.5. Generador de Inducción de Rotor Devanado . . . . . . . . . 10.6. Generador de Inducción de Rotor Jaula de Ardilla . . . . . .

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10.Generador de Inducción

A. Modelo del Motor de Inducción

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A.1. Modelo de un Motor de Inducción Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Transformación de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. Transformación de Park Preservando Amplitudes . . . . . . . . . . . A.2.2. Transformación de Park Preservando Energía . . . . . . . . . . . . . A.2.3. Modelos Bifásicos de los Motores de Inducción . . . . . . . . . . . . . A.2.3.1. Ecuaciones Eléctricas en Coordenadas dq . . . . . . . . . . A.2.3.2. Ecuaciones de Flujos en Coordenadas dq . . . . . . . . . . . A.2.3.3. Ecuaciones Mecánicas en Coordenadas dq . . . . . . . . . . A.2.3.4. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Coordenadas General dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3.5. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Coordenadas Fijas αβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3.6. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Referencia Orientado d − q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3.7. Modelo del Motor de Inducción de Rotor Devanado . . . . . A.2.4. Identicación de los Parámetros del Motor de Inducción . . . . . . .

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109 109 110 110 111 112

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ÍNDICE GENERAL

Índice de cuadros 1.1. 1.2. 1.3. 8.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . Característica de funcionamiento en carga. . . . . . . . . . . . . . . . Tabla de valores para el problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Característica de funcionamiento en vacío.

Ensayos del motor asíncrono

9 9 10

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ÍNDICE DE CUADROS

Índice de guras 1.1. Estructura de una máquina de CC [9] . . . . . . 1.2. Generador elemental de corriente continua [9] . 1.3. Estructura del estator . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Laminas del rotor [9] . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Estructura del colector [9] . . . . . . . . . . . . 1.6. Generador elemental de corriente continua [9] . 1.7. Modelo del generador de CC . . . . . . . . . . . 1.8. Generador elemental de corriente continua [9] . 1.9. Generador derivación [9] . . . . . . . . . . . . . 1.10. Característica en vacío del generador de CC . . 1.11. Generador serie [9] . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Generador compuesto aditivo [9] . . . . . . . . . 1.13. Generador compuesto aditivo [9] . . . . . . . . . 1.14. Generador compuesto sustractivo [9] . . . . . . 1.15. Reacción de armadura. [9] . . . . . . . . . . . . 1.16. Pérdidas en un Generador de CC. . . . . . . . . 1.17. Devanados de conmutación y compensación. . . 1.18. Características de carga de generadores de CC. .

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2 2 3 4 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 19 19

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Circuito equivalente del motor de CC . . . . . . . . . . Par - motor de un motor de CC [9] . . . . . . . . . . . Características Par-Velocidad de un motor de CC [9] . Características Par-Corriente de armadura de un motor Pérdidas en un motor de CC. . . . . . . . . . . . . . . Control de un motor de CC [18] . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . de CC [6] . . . . . . . . . . . .

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22 23 27 27 28 30

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Un tubo de ujo magnético . . . . . . . Curva de magnetización . . . . . . . . . Tipos de ranuras . . . . . . . . . . . . . Tipos de Rotores . . . . . . . . . . . . . Generador de rotor liso y polos salientes

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32 33 34 35 36

4.1. Líneas de inducción y supercies equipotenciales [9] . . . . . . . . . . . . . .

40

xi

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xii

ÍNDICE DE FIGURAS

4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Inducción magnética y forma del entrehierro Devanado distribuido y paso completo . . . Devanado concentrado y paso fraccionario . Fuerza Magnetomotriz de una bobina . . . .

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41 43 44 48

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Diagrama fasorial del Generador de Rotor Liso . . . . . . . Efecto de la reacción de armadura en el interpolo . . . . . Relaciones angulares de corrientes, ujo y tensión inducida Diagrama fasorial del generador de polos salientes . . . . . Diagrama fasorial para determinar δ . . . . . . . . . . . .

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53 56 57 57 58

6.1. Curva de carga diaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Generadores en paralelo [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Sistema y Generador en paralelo [12] . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Esquema de conexiones de lámparas apagadas . . . . . . . . . . . 6.5. Forma de onda de tensión en bornes del disyuntor . . . . . . . . . 6.6. Esquema de conexiones de lámparas encendidas . . . . . . . . . . 6.7. Forma de onda de tensión en bornes del disyuntor . . . . . . . . . 6.8. Esquema de conexiones de lámparas giratorias . . . . . . . . . . . 6.9. Forma de onda de tensión en bornes del disyuntor . . . . . . . . . 6.10. Característica frecuencia vs potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Diagrama casa para los generadores del ejemplo (6.2) . . . . . . . 6.12. Característica frecuencia vs potencia para generadores en paralelo 6.13. Característica tensión vs potencia reactiva . . . . . . . . . . . . . 6.14. Esquema para el ensayo en vació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15. Esquema para el ensayo en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . 6.16. Características en vacío y cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . 6.17. Esquema para la medición de resistencia del inducido . . . . . . . 6.18. Curva de capacidad del generador de rotor liso . . . . . . . . . . . 6.19. Curva de capacidad del generador de polos salientes . . . . . . . .

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61 63 63 65 65 66 67 68 68 70 71 72 73 74 74 75 76 77 78

7.1. Transformador acorazado monofásico . . . . . . . . . . . . 7.2. Transformador de columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Sección del núcleo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Esquema del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Circuito equivalente del transformador . . . . . . . . . . . 7.7. Circuito equivalente del transformador en alta frecuencia . 7.8. Circuito equivalente del transformador referido al primario 7.9. Diagrama fasorial del secundario . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Diagrama fasorial del primario . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11. Curva de histéresis del transformador . . . . . . . . . . . . 7.12. Esquema para el ensayo en vacío . . . . . . . . . . . . . . .

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81 82 82 83 84 85 85 85 86 87 88 89

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xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

7.13. Esquema para el ensayo en cortocircuito . . . 7.14. Corte de un transformador trifásico . . . . . . 7.15. Esquema de un transformador trifásico ∆ − Y 7.16. Transformador y Autotransformador . . . . .

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89 90 91 92

8.1. Partes de un motor de inducción . . . . . . . . . . . . . 8.2. Tipos de ranuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Motor con rotor jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . 8.5. Rotor devanado con reóstato . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Motor con rotor devanado . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Interacción de campo magnéticos en el motor . . . . . 8.8. Campo magnético giratorio en el entrehierro del motor 8.9. Circuito equivalente del motor de inducción . . . . . . 8.10. Características de un motor de inducción [9] . . . . . . 8.11. Torque inducido vs velocidad mecánica . . . . . . . . . 8.12. Par motor vs velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13. Par motor vs velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.14. Pérdidas en el motor de inducción . . . . . . . . . . . . 8.15. Esquema para el ensayo en vacío . . . . . . . . . . . . . 8.16. Pérdidas en vacío en función de la tensión [12] . . . . . 8.17. Esquema del ensayo del ensayo de rotor bloqueado . . . 8.18. Circuito equivalente en cortocircuito . . . . . . . . . . 8.19. Diagrama multilar del arranque directo [17] . . . . . . 8.20. Control de un motor de inducción [26] . . . . . . . . . 8.21. Coordinación fusible y relé de sobrecorriente . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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94 95 95 96 96 97 97 98 100 101 101 102 102 103 104 104 104 105 106 107 108

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7.

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109 110 111 111 112 112 113

de Inducción [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Inducción con Rotor Devanado [16] . . . . . . . . . de Inducción con Rotor Devanado [15] . . . . . . . . . de Inducción con Jaula de Ardilla Aislado [15] . . . . . de Inducción con Jaula de Ardilla conectado a red [15]

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

116 117 117 118 118

Estructura del motor de inducción monofásico . . . . Devanados del motor monofásico [17] . . . . . . . . . Conexiones del motor de fase partida [9] . . . . . . . Torque del motor con arranque por condensador [17] Torque del motor con arranque por condensador [9] . Circuito equivalente del motor universal . . . . . . . Torque del motor universal . . . . . . . . . . . . . .

10.1. Generador 10.2. Generador 10.3. Generador 10.4. Generador 10.5. Generador

. . . . . . .

A.1. Sistema trifásico [iabc ] y el sistema bifásico equivalente [idq ]. Ambos sistemas crean la misma F M M [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

xiv

ÍNDICE DE FIGURAS

A.2. Ángulos entre los marcos de referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Capítulo 1 Generador de Corriente Continua 1.1. Introducción En este capítulo, se describe las características constructivas y operativas de las máquinas de corriente continua (CC).

1.2. Denición El generador transforma la energía mecánica en energía eléctrica. Tiene un movimiento de rotación. El generador de corriente continua transforma la energía mecánica en energía de eléctrica de CC. El generador está accionado por un motor primario que puede ser un motor diesel o una turbina térmica.

1.3. Características Constructivas El generador de corriente continua, denominada históricamente como la dínamo, es una máquina rotativa que se compone de dos partes: Un estator donde se tiene el inductor que son los polos magnéticos con sus devanados de campo; un rotor que es un cuerpo cilíndrico giratorio, donde se tiene los conductores del devanado del inducido, denominado también como armadura. El estator y el rotor está separado por el entrehierro es un espacio donde están presentes los campos electromagnéticos. En la Fig. (1.1), se muestra las partes de un generador de corriente continua.

1.3.1. Generador Elemental En la Fig. (1.2), se muestra un modelo simple del generador de corriente continua. Es un generador de dos polos y se representa el rotor por una bobina de dos espiras, el colector 1

2

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

Figura 1.1: Estructura de una máquina de CC [9] tiene dos segmentos y dos escobillas. Se requiere de un par mecánico con una velocidad de rotación ω .

Figura 1.2: Generador elemental de corriente continua [9]

1.3.2. Estator El estator del generador de CC tiene al exterior la carcasa que es de hierro fundido y al interior está el yugo, es de material ferromagnético, los polos principales, el devanado de excitación, los interpolos, el devanado de interpolo y el devanado de compensación. En la Fig. (1.3), se muestra el estator de un generador de CC con sus diferentes elementos que constituyen el estator.

1.3.

CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS

3

Figura 1.3: Estructura del estator

1.3.3. Rotor El rotor del generador de CC está construido por láminas circulares ferromagnéticas ranuradas de 0.35 mm de espesor, tiene en la parte periférica el devanado de armadura constituido por espiras incrustadas en las ranuras y a un extremo del rotor se dispone del colector (denominado también como conmutador), el cual tiene una serie de delgas y entre delga y delga hay un espacio de aislamiento eléctrico (mica). El devanado de la armadura se conecta a las delgas del conmutador.  En la Fig. (1.4), se muestra un sector de la lámina que conforman el rotor.Y en la Fig. (1.5), se muestra la estructura del colector.

1.3.4. Entrehierro El entrehierro del generador de CC, es un espacio de separación entre el estator y el rotor de aproximadamente de 3 mm de espesor. En este entrehierro, se produce la mayor parte de la conversión de electromagnética, aproximadamente del 90 % [11].

1.3.5. Componentes Auxiliares Los otros componente auxiliares, son: Las zapatas de sujeción de la máquina, la caja de borneras para las conexiones al exterior, las portaescobillas y sus escobillas, las aspas del ventilador, los rodamientos de las tapas en la que descansa el eje.

4

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

Figura 1.4: Laminas del rotor [9]

Figura 1.5: Estructura del colector [9]

1.4. Fuerza Electromotriz Inducida, FEM

Donde:

E =

φnZ P 60 a

E =

ZP φωm = ka φωm 2πa

1.4.

FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA, FEM

5

Figura 1.6: Generador elemental de corriente continua [9] Z P φ n ωm a m

= = = = = = =

Número de conductores activos en la armadura Número de campos polares Flujo magnético por polo en Weber Velocidad de rotación de la armadura en rpm Velocidad angular del rotor en rad/seg. Número de trayectorias paralelas de corriente en la armadura Números de devanados completos independientes (1, 2, 3, etc.)

El número de conductores Z del inducido está dado por: Z = 2CNc

Donde:

Número de bobinas de la armadura Número de espiras de una bobina El número de ramas en paralelo a en el inducido, según la naturaleza del devanado, está dado por: a = mP Para el devanado imbricado a = 2m Para el devanado ondulado m = Números de devanados completos independientes (1, 2, 3, etc.) C = Nc =

Un inducido con devanado imbricado dúplex se utiliza en una máquina de 6 polos con seis grupos de escobillas, cada una de las cuales abarca dos segmentos de conmutación. En el inducido de cada una de ellas hay 72 bobinas de 12 espiras. EL ujo por polo en la máquina es 0.043 Wb, y la máquina rota a 450 rpm. Cuál es su tensión inducido E. Ejemplo 1.1

6

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

Solución 1.1

a Z

= mP = 2 · 6 = 12 Trayectorias de corriente = 2CNc = 2 · 72 · 12 = 1728 Número de Conductores

ka = E

ZP 1728 · 6 = = 14,4 60a 60 · 12

= ka φn = 14,4 · 0,043 · 450 = 278,64V

1.5. Modelo del Generador Como toda bobina que está conformada por un cierto número de espiras y una cierta longitud de conductor de cobre, al circular una corriente por la bobina existe una caída de tensión, por tanto, la bobina tiene una inductancia y resistencia. Las espiras del inducido constituyen una bobina, por tanto, se representa por una inductancia y resistencia. Las espiras del campo polar constituyen una bobina, por tanto, se representa por una inductancia y resistencia. En la Fig. (1.7), se muestra el circuito equivalente de un generador de CC modelado en base a las ecuaciones de la FEM.

Figura 1.7: Modelo del generador de CC

1.6.

TIPOS DE GENERADOR

7

1.6. Tipos de Generador De acuerdo a la forma de excitación los generadores de CC, se clasican como: 1. Imán Permanente 2. Autoexcitada 3. Excitación independiente 4. Derivación 5. Serie 6. Compuesta 7. Compuesta diferencial 8. Compuesta acumulativa 9. Compuesta derivación larga 10. Compuesta derivación corta En la Fig. (1.8), se muestra el esquema de la clasicación de los generadores de CC tomando en cuenta la forma de creación del campo magnético.

Figura 1.8: Generador elemental de corriente continua [9] Los generadores de CC utilizadas en las industrias, en gran parte son autoexcitadas.

8

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

1.6.1. Generador en Derivación En el generador en derivación, también se denomina generador shunt, la energía para la alimentación del campo polar se toma de la FEM generada por el mismo generador mediante la conexión en paralelo del devanado de campo con la armadura. En la Fig. (1.9), se muestra el esquema de conexión del generador.

Figura 1.9: Generador derivación [9]

1.6.2. Ecuaciones del Generador en Derivación V Rd

Corriente del campo derivación

Id

=

Ia

= IL + Id

V

= E − Ia Ra

PE = EIa

Corriente de armadura Tensión en terminales

Potencia desarrollada en la armadura

PL = V I L =

Potencia entregada a la carga

Un generador en derivación de 50 kW, 250 V, tiene una resistencia del circuito de campo igual a 62.5 Ω, una caída de tensión en escobillas de 3 V y una resistencia del circuito de armadura igual a 0.025 Ω. Cuando se suministra la corriente nominal a la velocidad y a la tensión nominal. Calcular: a) Las corrientes de carga, de campo y de armadura, b) La tensión generada en la armadura y c) La potencia desarrollada en la armadura. Ejemplo 1.2

1.6.

9

TIPOS DE GENERADOR

Solución 1.2

a) Las corrientes de carga, campo y de armadura PL = V I L 50000W P IL = = = 200A V 250V Id Ia

V 250V = = 4A Rd 62,5Ω = IL + Id = 200 + 4 = 204A

=

b) La tensión generada en la armadura E = V + Ia Ra + CE = 250 + 204 · 0,025 + 3 = 258,1V

c) La potencia desarrollada en la armadura PE = EIa = 258,1 · 204 = 52652,4W

Un generador shunt de 450 V, 45 kW, cuya resistencia de armadura incluyendo escobillas es Ra = 0,30Ω y la resistencia del devanando de excitación es Rf = 300Ω, tiene las siguientes características a la velocidad nominal:

Ejemplo 1.3

Cuadro 1.1: E If

147 278 374 425 476 485 512 523 V 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,5 A

Cuadro 1.2: V IL

Característica de funcionamiento en vacío.

Característica de funcionamiento en carga.

450 440 433 426 416 393 379 346 V 0 20 30 40 50 70 80 100 A

a) En que valor está el reóstato variable, Rx , que está en serie con el devanado de excitación, b) Determinar la caída de tensión debido a la reacción de armadura (Suponer que la reacción de armadura es independiente de la corriente de campo If ) y c) Regulando la corriente de excitación, se desea mantener en 450V la tensión en bornes del generador para todas las cargas comprendidas entre 0 y 100A. Determinar los límites entre los que debe ser variado el reóstato variable Rx para tal n. [23] Solución 1.3

a) En vacío Va = Vf = (Rx + Rf )If

10

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

De la característica en vacío para Va = 450V , se tiene: If 0 = 0,95A. Por tanto, se tiene: Rx +Rf =

450 = 473Ω, de donde: Rx = 473−Rf = 473−300 = 173Ω. 0,95

En la Fig(1.10), se muestra la gráca de la características en vacío del generador.

Figura 1.10: Característica en vacío del generador de CC

b) Bajo Carga Cuando el generador trabaja en vacío, se tiene: V0 = Ea0 Cuando el generador trabaja en carga, se tiene: Ea = V + Ra IL ∆E0 = Ea0 − Ea = E0 − V − Ra IL

Cuadro 1.3:

Tabla de valores para el problema.

V0 450 440 434 426 416 393 379 346 V IL 0 20 30 40 50 70 80 100 A If = V0 /473 0,95 0,93 0,915 0,90 0,875 0,83 0,80 0,73 A Va0 450 447 445 443 437 431 425 410 V IL Ra 0 6 9 12 15 21 24 30 V ∆E0 0 1 3 5 8 17 22 34 V

La ultima la se tiene la caída de tensión debido a la reacción de armadura. c) En vacío: Rx = 173Ω, IL = 0; bajo carga cuando I = 100A. Ea0 = ∆Ea + Va + Ra IL Ea0 = 34 + 450 + 30 = 514V

1.6.

11

TIPOS DE GENERADOR

Con el valor, 514V , en la curva de la característica en vacío: IF = 1,45A. Por lo tanto, se tiene: Rx0 + Rf =

Vf 450 = = 310 If 0 1,45

Entonces: Rx0 = 10Ω, el reóstato varia entre (10 − 173)Ω.

1.6.3. Generador Serie En el generador serie, la energía para la alimentación del campo polar se toma de la FEM generada por el generador mediante la conexión en serie del devanado de campo con la armadura. En la Fig. (1.9), se muestra el esquema de conexión del generador.

Figura 1.11: Generador serie [9]

1.6.4. Ecuaciones del Generador Serie Corriente de armadura

Ia

= Is = IL

V

= E − Ia (Ra + Rs ) Tensión en terminales

PE = EIa

Potencia desarrollada en la armadura

PL = V Ia = [E − Ia (Ra + Rs )]Ia = EIa − Ia2 (Ra + Rs ) Potencia entregada a la carga

Un generador de CC serie de 10kW , 125V tiene una caída de tensión en escobillas igual a 2V , una resistencia del circuito de armadura igual a 0,1Ω y una resistencia de campo en serie de 0,05Ω. Cuando suministra la corriente nominal a la velocidad nominal. Calcular: a) La corriente de armadura, b)La tensión generada en la armadura.

Ejemplo 1.4

12

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

Solución 1.4

a) La corriente de armadura P = 10000W = 80A Ia = Is = IL = V 125V

b) La tensión generada en la armadura E = V + Ia (Ra + Rs ) + CE = 125 · (0,1 + 0,05) + 2 = 138V

1.6.5. Generador Compuesto Aditivo En el generador compuesto aditivo, la energía para la alimentación del campo polar se toma de la FEM generada por el generador mediante la conexión en paralelo del devanado de campo derivación y la conexión en serie del devanado de campo serie. Los devanados de campo serie y campo derivación están devanados sobre el mismo núcleo del campo magnético. El devanado serie tiene un conductor de cobre de mayor sección como para soportar la corriente nominal del generador, mientras que el devanado derivación es un conductor de menor sección para ser alimentado por la tensión nominal. En la Fig. (1.12), se muestra el esquema de los devanados serie y derivación.

Figura 1.12: Generador compuesto aditivo [9] En la Fig. (1.13), se muestra el esquema de conexión del generador compuesto aditivo.

1.6.

13

TIPOS DE GENERADOR

Figura 1.13: Generador compuesto aditivo [9] 1.6.5.1.

Ecuaciones del Generador Compuesto Corto

Corriente del campo serie

Is

= IL

Id

=

Ia

= IL + Id

V

= E − Ia Ra − Is Rs

V + Is Rs Rd

PE = EIa

Corriente de armadura Tensión en terminales

Potencia desarrollada en la armadura

PL = V I L = 1.6.5.2.

Corriente del campo derivación

Potencia entregada a la carga

Ecuaciones del Generador Compuesto Largo

V Rd

Corriente del campo derivación

Id

=

Is

= Ia = IL + Id

V

= E − Ia (Ra + Rs ) Tensión en terminales

PE = EIa

Corriente de armadura

Potencia desarrollada en la armadura

PL = V I L =

Potencia entregada a la carga

14

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

Un generador compuesto en derivación corta de 10kW , 240V , tiene una caída de tensión en escobillas igual a 5V , resistencia del campo en serie de 0,02Ω, una resistencia del circuito del campo en derivación igual a 200Ω y una resistencia del circuito de armadura igual a 0,04Ω. Cuando suministra la corriente nominal a la velocidad nominal de 1200rpm, calcular a) La corriente de armadura, b) Las corrientes de campo serie y en derivación.

Ejemplo 1.5

Solución 1.5

a) La corriente de armadura Psal 10000 = = 41,66666666A Va 240 = Va + Rs IL 240 + 0,02 · 41,66666666 Va + Rs IL = = = 1,204166666A Rf 200 = IL + If = 41,66666666 + 1,204166666 = 42,87083333A

IL = Rf If If Ia

b) Las corrientes de campo serie y en derivación If = 1,204166666A Is = IL = 41,66666666A

1.6.6. Generador Compound Sustractivo

Figura 1.14: Generador compuesto sustractivo [9]

1.7. Reacción de Armadura Cuando no circula corriente en los conductores en la armadura, el neutro magnético de la armadura (MNA) coinciden con el neutro geométrico de la armadura (GNA). Sin embargo,

1.8.

PÉRDIDAS EN EL GENERADOR DE CC

15

cuando uye corriente en los conductores de la armadura se crea un ujo magnético de armadura, la acción combinada del ujo magnético principal y el ujo magnético de armadura desplaza el MNA desde el GNA en dirección de rotación del generador. En la Fig. (1.15), se muestra los efectos de la reacción de armadura, en a) se tiene el diagrama esquemático de generador de CC en coordenadas cartesianas, en b) se tiene el ujo magnético principal cuando la corriente de armadura es nula, en c) se muestra la forma de onda del ujo magnético debido a la corriente de armadura y en d) se muestra la forma de onda de la acción combinada del ujo magnético principal y el ujo magnético de armadura y se ve que el neutro magnético desplazada en dirección del movimiento de la armadura.

Figura 1.15: Reacción de armadura. [9]

1.8. Pérdidas en el Generador de CC Las pérdidas que se presentan en un generador de CC, se clasican en:

16

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

1. Pérdidas mecánicas

a ) Fricción en los cojinetes b ) Fricción en el aire c ) Fricción en las escobillas 2. Pérdidas magnéticas 3. Pérdidas en el devanado 4. Pérdidas eléctricas en las escobillas 5. Pérdidas por dispersión por la carga En la Fig. (1.16), se muestra el diagrama esquemático de la distribución de pérdidas en un generador.

Figura 1.16: Pérdidas en un Generador de CC.

Un generador compuesto largo de 870rpm, 120V y 100kW tiene una resistencia de armadura, Ra = 0,008Ω , resistencia de campo serie de Rs = 0,01Ω, caída de tensión en las escobillas de 1.2 voltios y la resistencia del circuito shunt de campo, Rd = 30Ω. Las pérdidas rotacionales a la velocidad nominal son 4,5kW . Se pide: a) La eciencia y cada una de las pérdidas como una función de la corriente de carga, b) Calcular la eciencia a media y plena carga y c) La eciencia máxima y la corriente de armadura a estas condiciones. [23]

Ejemplo 1.6

1.8.

PÉRDIDAS EN EL GENERADOR DE CC

17

Solución 1.6

a) Se tiene que: η =

Psalida Psal = Pentrada Pent + ∆Pperd

Ignorando las pérdidas magnéticas y las adicionales, se tiene: ∆Pperd = ∆Prot + ∆Pmag + ∆Pelect + ∆Padic ∆Pperd = ∆Prot + ∆Pcus + ∆Pcua + ∆Pcuf + ∆Pesc  ∆Padic =

10 % Psal 0,5 % Psal

Por otra parte:

Sin devanados de compensación Sin devanados de compensación

Psal 100000 = = 833,3333333A Va 120 Vf 120 = = = 4A Rd 30

IL = If

Además: Ia = IL + If = 833,3333333 + 4 = 837,3333333 ∆Pcus ∆Pcua ∆Pcuf ∆Pesc

= = = =

Ra IL2 = 0,008(833,3333333)2 = 5555,555555W Rs Ia2 = 0,01(837,3333333)2 = 7011,271111W Rd If2 = 30 · 42 = 480W ∆Ve scIa = 1,2 · 837,3333333 = 1004,8W

El rendimiento, es: η =

η =

Pent + ∆Prot + ∆Pcus

Psal + ∆Pcua + ∆Pcuf + ∆Pesc

100000 = 0,8435143642 = 84,35 % 100000 + 4500 + 5555,555555 + 7011,271111 + 480 + 1004,8

Psal 100000 = = 416,6666666A 2Va 2 · 120 Además: Ia = IL + If = 416,6666666 + 4 = 420,6666666A

b) A media carga: IL =

∆Pcus ∆Pcua ∆Pcuf ∆Pesc

= = = =

Ra IL2 = 0,008(416,6666666)2 = 1388,888888W Rs Ia2 = 0,01(420,6666666)2 = 1769,604444W Rd If2 = 30 · 42 = 480W ∆Ve scIa = 1,2 · 420,6666666 = 504,8W

El rendimiento, es: η =

50000 = 0,8526124158 = 85,26 % 50000 + 4500 + 1388,888888 + 1769,604444 + 480 + 504,8

18

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

c) La eciencia máxima: ηmx Considerando que IL  If , entonces Ia ≈ IL . La eciencia de generador está dado por: η=

Va IL Va IL + 4500 + (Ra + Rs )IL2 + ∆Vesc IL + Rf If2

Para obtener el máximo de la función η , es necesario que

dη = 0, por tanto: dIL

Va [Va IL + 4500 + (Ra + Rs )IL2 + ∆Vesc + Rf If2 ] − Va IL [Va + 2(Ra + Rs )IL + ∆Vesc ] dη =0 = dIL [Va IL + 4500 + (Ra + Rs )IL2 + ∆Vesc IL + Rf If2 ]2

de donde: 4500 + Rf If2 = (Ra + Rs )IL2 , por tanto, para la máxima conclusión se llega a la conclusión: ∆Prot + ∆Pcuf = ∆Pcua + ∆Pcus s

Por tanto: IL =

η =

4500 + Rf If2 = Ra + Rs

s

4500 + 30 · 42 = 525,9911279A 0,008 + 0,01

120 · 525,9911279 120 · 525,9911279 + 4500 + 0,008 · (525,9911279)2 + 1,2 · 525,9911279 + 30 · 42

η = 0,8897076220 = 88,97 %

1.9. Interpolos En la Fig. (1.17), se muestra el esquema de conexión de los devanados de conmutación y conmutación.

1.10. Características de carga Para la elección de un generador a emplear en una determinada aplicación en la industria, se requiere el análisis de sus características de carga, es decir, por ejemplo el comportamiento de la tensión en terminales en función de la carga. En la Fig. (1.18), se muestran las características de los distintos tipos de generadores.

1.10.

CARACTERÍSTICAS DE CARGA

Figura 1.17: Devanados de conmutación y compensación.

Figura 1.18: Características de carga de generadores de CC.

19

20

CAPÍTULO 1.

GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

Capítulo 2 Motor de Corriente Continua 2.1. Introducción En este capítulo, se describe el principio de funcionamiento del motor eléctrico de CC, la fuerza contraelectromotriz (FCEM), el circuito equivalente, la potencia y par mecánico, la característica del torque y el control del motor.

2.2. Denición El motor eléctrico transforma la energía eléctrica en energía mecánica. Tiene un movimiento de rotación. El motor de CC transforma la energía eléctrica de CC en energía mecánica.

2.3. Características Constructivas En general toda máquina eléctrica es reversible. Las características constructivas del motor de CC es la misma del generador de CC, por tanto el generador de CC puede trabajar como motor de CC o viceversa. En el caso del motor de CC, es necesario alimentar con energía eléctrica de CC y en su eje se tiene energía mecánica.

2.4. Principio de Funcionamiento Un motor de CC convierte la potencia eléctrica de CC en potencia mecánica. Esta operación esta basada sobre el principio que cuando circula una corriente por un conductor dentro de un campo magnético, el conductor experimenta una fuerza. La dirección de esta fuerza está dado por la regla de la mano derecha de Fleming y la magnitud está dado por: F = BIl

21

Newton

22

CAPÍTULO 2.

MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

2.5. Fuerza Contraelectromotriz Inducida, FCEM Las ecuaciones que determinan la FCEM, en un motor de CC, están dados por: Vt = E + Ia Ra Vt − Ia Ra Vt − Ia Ra = k1 φ kIf

n

=

φ

= kf If

k1 = k

ZP 60a

= k1 kf

2.6. Circuito Equivalente del Motor En la Fig. (2.1), se muestra el circuito equivalente para el motor de CC. Este modelo permite hallar la función de transferencia para realizar el control del motor de CC.

Figura 2.1: Circuito equivalente del motor de CC

2.7.

PAR DESARROLLADO POR UN MOTOR

23

Figura 2.2: Par - motor de un motor de CC [9]

2.7. Par Desarrollado por un Motor EIa = Te ωm ωm

=

2πn 60

Te

=

ZP φIa = ka φIa 2πa

ka

=

ZP 2πa

2.8. Potencia Mecánica La potencia desarrollada por el motor de CC esta dado por las siguientes expresiones: Pa = Ia2 Ra Pm = V Ia − Pa = V Ia − Ia2 Ra = (V − Ia Ra )Ia = EIa

2.9. Tipos de Motor 2.9.1. Motor en Derivación En un motor de CC en derivación, el torque es proporcional a la corriente de armadura: T = kIa

24

CAPÍTULO 2.

La velocidad está dada por: n=k Ejemplo 2.1

MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

V − Ia Ra φ

Un motor de CC de 120 V en derivación tiene una resistencia de armadura

Ra = 0,2Ω y una caída de tensión en escobillas de 2V . La corriente nominal de armadura a plena carga es 75A. Calcular: a) la corriente en el instante del arranque y b) el porcentaje

respecto a la corriente nominal. Solución 2.1

a) V Ia Ia

= E + Ia Ra + CE V − (E + CE) = en el arranque E = 0 Ra CE = 120 − 2 = 590A = V − 0,2 R a

b)

590 100 % = 786 % 75

2.9.2. Motor Serie En un motor de CC serie, el torque es proporcional a la corriente de armadura en forma cuadrática: T = k1 Ia2

La velocidad está dada por: n = k1

V − Ia (Ra + Rs ) φ

Un motor de CC tipo serie de 20Hp, 240V y 600rpm, su resistencia de armadura es de 0,16 Ωy la de campo es de 0,04Ω. Con la máquina trabajando como generador de excitación independiente en vacío se ha registrado los siguientes valores (a 600rpm):

Ejemplo 2.2

If E

12 17 25 34 50 70 80 A 70 100 130 160 200 227 235 V

Las pérdidas rotacionales son 800W que son aproximadamente constantes en el rango de 600 rpm ±10 %. a) Calcular la corriente absorbida en condiciones nominales y la eciencia, b) Respecto a las condiciones anteriores se reduce la carga mecánica y se observa una corriente de 55A. Calcular la velocidad y el toque mecánico de la carga. [23] Solución 2.2

a)

EIL = V IL − (Ra + Rs )IL2 = ∆Prot + Peje 240IL − (0,16 + 0,04)IL2 = 800 + 20 · 746

2.9.

25

TIPOS DE MOTOR

0,2IL2 − 240IL + 15720

Es una ecuación de 2o grado, las dos soluciones, son: IL1 = 69,52851160A IL2 = 1130,471488A

Un cálculo aproximado de la corriente absorbida, es: IL ≈ 62,16666666, entonces se tiene que IL = 69,52851160A

Hp · 746 20 · 746 = = V 240

b) IL = 55A, entonces T =? y ωm =? 0

Se sabe que E = kφωm = V − (Ra + Rs )IL de donde: kφ =

kφ =

V − (Ra + Rs )IL ωm

240 − (0,16 + 0,04)69,52851160 = 3,598402508 2π · 600 60

Como : V = E 0 + (Ra + Rs )IL 0

240 = 0,2 · 55 + E 0

Se tiene: E 0 = 229 Voltios. E 0 = kφω 0

de donde:

E0 229 = = 63,63935093 rad/seg kφ 3,598402508 60 60 = ω = 63,63935093 = 607,7110365 rpm 2π 2π

ω0 = n0

Por otra parte: Peje = E 0 IL − ∆Prot = 229 · 55 − 800 = 11795 W 0

0

Pero: Peje = T ω 0 , entonces: 0

0

Peje 11795 T = 0 = = 185,3412994N · m ω 63,63935093

26

CAPÍTULO 2.

MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

2.9.3. Motor Compound Acumulado En un motor de CC compound acumulado, el torque está dado por: T = k(φd + φs )Ia

La velocidad está dado por:

V − Ia (Ra + Rs ) φd + φs Ejemplo 2.3 Un motor compuesto acumulado de 230V , 10hp y 1250rpm, tiene una resistencia de armadura Ra = 0,25Ω y una caída de tensión en escobillas de 5V , una resistencia combinada de compensación y de interpolos de 0,25Ω, la resistencia de la resistencia serie de Rs = 0,25Ω y la del campo en derivación es de Rd = 230Ω. Cuando el motor se conecta en derivación, la corriente nominal de la línea a plena carga es 55A y la corriente de la línea sin carga es 4A. La velocidad sin carga es 1810rpm. Sin tomar en cuenta la reacción n = k1

de armadura a la tensión nominal, calcular a) la velocidad a la carga nominal b) la potencia interna que se desarrolla, en vatios y en caballos. Solución 2.3 a) IL If Ia E E E IL Ia E n

= = = = = = = = =

Ia + Id V = 230V = 1A = Id = R 230Ω d IL − Id = 4 − 1 = 3A V − (Ia Ra + CE) sin carga 230 − (3 · 0,50 + 5) = 223,5 a 1810 rpm V − (Ia Ra + CE) a plena carga IN = Ia + Id IN − Id = 55 − 1 = 54A V − (Ia Ra + CE) = 230 − (54 · 0,5 + 5) = 198V E1 kn1 EN = kn E n = 198 1810 = 1603rpm = E 1 223,5 1

b) P = EIa = 198 · 54 = 10700W hp = 10700W = 14,3Hp 746W/Hp

2.9.4. Motor Compound Diferencial En un motor de CC compound diferencial, el torque está dado por: T = k(φd − φs )Ia

La velocidad está dado por: n = k1

V − Ia (Ra + Rs ) φd − φs

2.10.

CARACTERÍSTICAS DEL TORQUE

27

2.10. Características del Torque La característica del torque versus la velocidad, el motor serie tiene un torque elevado en baja velocidad. En la Fig. (2.3), se muestra las características del motor serie, motor en derivación y motor compuesto acumulado.

Figura 2.3: Características Par-Velocidad de un motor de CC [9] En la Fig. (2.4), se muestra las características del del par versus la corriente de armadura del motor serie, motor en derivación, motor compuesto acumulado y motor compuesto diferencial.

Figura 2.4: Características Par-Corriente de armadura de un motor de CC [6]

28

CAPÍTULO 2.

MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

2.11. Pérdidas en el Motor de CC Las pérdidas en el motor de CC, son similares a las del generador de CC ya mencionadas. En la Fig. (2.5), se muestra las diversas pérdidas que se presentan en la operación de la máquina de CC como motor.

Figura 2.5: Pérdidas en un motor de CC.

Se dispone de un motor shunt de CC de 120 V, 1800 rpm, cuya reacción de armadura es despreciable. La resistencia de armadura es de 0,28Ω , si es alimentado a tensión nominal, Vn ) con If = 1,8 A y sin carga es el eje, consume una corriente de 53 A (de la fuente) y gira a 1800 rpm, Puede asumirse que las perdidas rotacionales son proporcionales a la velocidad. a) Calcular las pérdidas rotacionales en vacío, b) Sin variar el circuito de campo, el motor es cargado hasta que la corriente de armadura es 250A. Calcular: a) la velocidad y la potencia mecánica en el eje y b) La velocidad y la potencia mecánica en el eje, si el motor es cargado hasta que la corriente de armadura es 25 A, sin variar el circuito de campo. [23] Ejemplo 2.4

a) Considerando que: ∆Prot ∝ velocidad. En el funcionamiento en vacío: Peje = 0. El balance de potencia, es:

Solución 2.4

V IL = V (Ia + If ) = V If + Ra Ia2 + EIa

Reemplazando valores, se tiene: 120(53 + 1,8) = 120 · 1,8 + 0,28 · 532 + 53E

2.12.

CONTROL DE MOTOR DE CC

29

de donde, se tiene: E = 105,16 Por otra parte: E = kφω = 105,16 de donde, se tiene: kφ =

E 105,16 = = 0,5578911271 2π 2π ω 1800 60 60

como: Peje = 0, ∆Prot = Dω = EIa = 105,16 · 53 = 5573,48W b) Como: Ia = 25A E 0 = V − Ra Ia = 120 − 0,28 · 25 = 113 Voltios E 0 Ia = 113 · 25 = 2825W

como E 0 = kφω 0 , entonces: ω0 =

113 E0 = kφ = = 202,5484803rad/s kφ 0,5578911271 n0 == 1934,195511rpm

Por lo tanto, se tiene: 0

∆Prot =

n0 1934,195511 ∆Prot = 5573,48 = 5989W n 1800

2.12. Control de Motor de CC Considerando el circuito equivalente del motor de CC que se muestra en la Fig. (2.1), la forma de conexión para obtener la excitación del campo y las ecuaciones para la velocidad del rotor, el motor podrá ser controlado por corriente de campo y por corriente de armadura. En la Fig. (2.6), se muestra un esquema general del control de un motor de CC.

30

CAPÍTULO 2.

MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

Figura 2.6: Control de un motor de CC [18]

Capítulo 3 Generador Síncrono 3.1. Introducción En este capítulo, se presenta la descripción del generador síncrono y su principio de funcionamiento.

3.2. Características Constructivas El generador síncrono, es una máquina eléctrica rotativa convertidora de energía, es decir, convierte energía mecánica en energía eléctrica de corriente alterna (CA). El nombre histórico del generador síncrono es alternador. La máquina síncrona consiste en un cilindro giratorio, llamado rotor que va a transmitir la acción mecánica a través del eje, apoyado en cojinetes. El rotor gira en el hueco de otro cuerpo jo, llamado estator. La separación casi intersticial entro los dos cuerpos se denomina entrehierro, debido a que el rotor y estator están hechos de hierro en razón a su alta permeabilidad magnética. La transformación de energía mecánica en energía eléctrica, se realiza en el entrehierro como energía electromagnética en forma de campo electromagnético [11]. En la Fig.(3.1), se dibujan dos recorridos de dos líneas de fuerza, si se considera un tubo de ujo, la densidad B varía poco en todo el recorrido. Si δ es la longitud del entrehierro, el tubo tiene un recorrido 2δ en el aire. Si el núcleo de hierro es homogéneo, el tubo recorre una longitud aproximada 2h. Siendo B conocido, se tienen las intensidades del campo magnético: B µ0 B Hh = µ0 µr Hδ =

La Fuerza Magnetomotriz (FMM) en cada el tubo, será: Fδ =

B 2δ µ0

31

32

CAPÍTULO 3.

GENERADOR SÍNCRONO

Figura 3.1: Un tubo de ujo magnético Fh =

B 2h µ0 µr

Considerando la densidad de energía en el campo, se tiene: 1 B 2 µ0 1 B En el hierro: Wh = B 2 µ0 µr

En el aire: Wδ = B

En una máquina síncrona, normalmente, se tiene: h ' 100δ Los tipos de acero y fundición empleados, se tiene: µr ' 1500 Aplicando esos valores, se tiene:

Fδ ' 15 Fh

Fδ + Fh = 100 % 15Fh + Fh = 100 % 100 %

= 6,25 % y Fδ = 100 % − Fh % = 93,75 De donde: Fh = 16 Se concluye que básicamente los fenómenos de conversión de energía se realizan en el entrehierro en forma de campo electromagnético.

3.3. Principio de Funcionamiento La denominación de máquina síncrona se debe al hecho de que la velocidad de rotación del rotor es igual a la velocidad del campo magnético giratorio existente en el entrehierro y está dado por la expresión siguiente: ns =

120f p

3.4.

33

ESTATOR

donde: f Frecuencia en [Hz] de la tensión generada o de alimentación p Número de polos del inductor ns Velocidad síncrona [rpm]

3.4. Estator El estator de una máquina síncrona está compuesta de chapas de acero al silicio (5 %), básicamente es un núcleo magnético que conduce ujos de CA, se ensamblan con láminas de 0,35 mm de espesor, en donde sus supercies están revestidas con un óxido o un barniz aislante para reducir las corrientes de Foucault, debido al ujo variante en el tiempo.

3.5. Ciclo de Histéresis En un material no magnético, el efecto magnético del momento angular de los electrones de lo átomos o giro del electrón en una dirección, es compensado completamente por un momento angular igual de otro electrón en sentido opuesto. En los materiales ferromagnéticos la compensación del momento angular del electrón no es completa y por tanto, existen en los cristales de tales materiales, pequeñas regiones complemente magnetizadas llamadas dominios. La aplicación de bajos valores de intensidades de campo magnético hacen que los dominios sufran un desplazamiento de fronteras, un incremento de la intensidad de campo magnético produce una rápida orientación de los dominios hacia la dirección del campo magnético aplicado. Una aumento posterior tiene como resultado la más lenta orientación de los dominios, el material se satura, puntos 2 y 3. Si se reduce la intensidad del campo magnético, se reduce la inducción magnética y sigue la trayectoria 4 debido a la histéresis del material magnético. En la Fig. (3.2)

Figura 3.2: Curva de magnetización

34

CAPÍTULO 3.

GENERADOR SÍNCRONO

3.5.1. Corrientes de Eddy El núcleo magnético que se emplean en máquinas eléctricas de CA se construyen con chapas magnéticas de 0,35 mm, por ella circula un ujo magnético alterno. Si fuera un núcleo macizo, por la ley de Lenz, se induce una Fuerza Electromotriz (FEM) en la sección transversal del núcleo y se establece una corriente de cortocircuito (denomina corriente de Eddy) por lo que existe una pérdida de potencia que se transforma en calor por efecto Joule, para anular esa corriente, se corta el camino al laminar el núcleo magnético.

3.6. Ranuras Dependiendo de la forma constructiva el estator tiene distintas formas de ranuras. Las máquinas síncronas de inducido jo, se utilizan dos tipos de ranuras, las cuales, son: 1.

Ranura abierta

.- Es la que más se emplea debido a que las espiras se pueden formar y aislar antes de colocarlas en las ranuras, con lo que el devanado sea más barato y efectivo.

2.

Ranura semicerrada

.- La mayor supercie de la cabeza del diente reduce la reluctancia del entrehierro y también las dispersión del ujo que tiene a perturbar la forma de onda de la FEM.

Figura 3.3: Tipos de ranuras En la Fig. (3.3a), se muestran la ranura abierta y en la Fig. (3.3b), se muestra la ranura semicerrada.

3.7. Rotor Considerando la disposición constructiva de inductor móvil, existen básicamente dos tipos de rotor, los cuales, son:

3.8.

35

CLASIFICACIÓN

1.

De polos salientes

.- Para reducir las pérdidas en las caras polares y al mismo tiempo facilitar sus construcción y montaje, los núcleos de los polos salientes, se hacen de chapas magnéticas.

2.

De rotor liso

.- Los conductores que se hallan cerca de la boca de la ranura tienen menos autoinducción que los que se hallan cerca del fondo. Por consiguiente la corriente tiende a circular por las posiciones más superciales del conductor, para anular ese efecto, se utilizan conductores constituidos por cables multilares, aislándose los hilos con esmalte.

Figura 3.4: Tipos de Rotores En la Fig. (3.4a), se muestran un rotor de polos salientes y en la Fig. (3.4b), se muestra un rotor liso.

3.8. Clasicación La máquina síncrona de clasica, según: ) Su funcionamiento

i

a) Generador o alternador síncrono 1) De polos salientes 2) De rotor liso En la Fig.(3.5), se muestra un corte esquemático de un generador de rotor liso y polos salientes. b) Motor síncrono

36

CAPÍTULO 3.

GENERADOR SÍNCRONO

Figura 3.5: Generador de rotor liso y polos salientes 1) De polos salientes 2) De rotor liso La máquina síncrona es reversible, puede trabajar como generador ó motor. c) Convertidor síncrono 1) De CC a CA 2) De CA a CC d) Condensador síncrono ii

) La disposición constructiva a) De inductor jo (inducido móvil). Los alternadores del laboratorio de máquinas. b) De inductor móvil (inducido jo). Es la disposición constructiva más común. La inducción de una FEM en un conductor del inducido depende solamente del movimiento relativo entre el conductor y el ujo de manera que es indistinto que se mueva el inducido o el inductor ) La velocidad síncrona

iii

a) Bajas velocidades (Turbinas hidráulicas - polos salientes) b) Altas velocidades (Turboalternadores - rotor liso) ) La excitatriz

iv

a) Mecánicamente independiente del alternador b) Mecánicamente dependiente del alternador v

) El número de fases a) Monofásico b) Trifásico

3.9.

VENTILACIÓN

37

3.9. Ventilación La evacuación adecuado del calor producido por las pérdidas en las máquinas eléctricas tiene una importancia fundamental desde el punto de vista de la duración de los aislantes, reducción de las dilataciones excesivas. Los alternadores de polos salientes no tienen problemas de ventilación debido al espacio existente entre polos y el movimiento del aire producido pot los polos salientes asegura la circulación del mismo. Mientras que los alternadores de rotor liso accionados por turbinas de alta velocidad, la ventilación es difícil, por lo cual, es necesario emplear método de enfriamiento. Según el método de enfriamiento, existen: 1. Máquinas con enfriamiento natural 2. Máquinas con autoventilación interior 3. Máquinas con autoventilación exterior 4. Máquinas con refrigeración ajena (Hidrógeno cerrado herméticamente)

3.10. Materiales Aislantes Para la aislación eléctrica de las chapas magnéticas y los conductores eléctricos, se utilizan las sustancias aislantes debidos a la diferencia de potenciales eléctricos entre distintos puntos. Los materiales aislantes se clasican, según su procedencia: 1. Los aislantes minerales, tales como la mica, micalex (mezcla de mica y borato de plomo, pulverizados y comprimidos), porcelana, vidrio, silicio y amianto. 2. Los aislantes orgánicos que son resinos (resina, baquelita, isolemil) o brosos (madera, algodón, telas, papeles y cartones diversos). 3. Los aislantes orgánico-silícicos, tales como las siliconas (compuestos orgánicos mas silicatos inorgánicos.

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CAPÍTULO 3.

GENERADOR SÍNCRONO

Capítulo 4 FEM y FMM en Devanados de CA 4.1. Introducción En este capítulo, se analizan la Fuerza Electromotriz inducida y la Fuerza Magnetomotriz en devanados de CA.

4.2. Características Fundamentales de la FEM Las características fundamentales de la Fuerza Electromotriz (FEM), son: a) La magnitud b) La frecuencia c) La forma de onda La forma de onda sinusoidal de la fem, es dicultoso de obtener. (Para el funcionamiento satisfactorio de los componentes eléctricos de un sistema eléctrico, es necesario una FEM sinusoidal). Al no estar muy saturado el hierro magnético utilizado en las máquinas eléctricas, la permeabilidad del mismo es muy grande con relación a la del aire (unas 200 veces más). Por tanto, las líneas de inducción magnética B en el aire son sensiblemente perpendiculares al hierro, es decir, las líneas de inducción son radiales en el entrehierro. En la Fig. (4.1), se muestra la aplicación de este principio. En las máquinas de CA la distribución del ujo magnético a lo largo del entrehierro es aproximadamente sinusoidal. La fem inducida es proporcional a B , por tanto, la forma de onda de la inducción B en el entrehierro afecta a la forma de onda de la fem inducida en cada espira. La forma de onda de la fem del conductor corresponde exactamente a la curva de distribución de la inducción magnética B en el entrehierro. En la práctica, la forma de onda de la inducción magnética B es una función sinusoidal achatada. Para aproximar a una sinusoide la inducción magnética, 39

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CAPÍTULO 4.

FEM Y FMM EN DEVANADOS DE CA

Figura 4.1: Líneas de inducción y supercies equipotenciales [9] se debe disminuir las armónicas superiores debido a la rotación. Toda función periódica, se puede expresar como una serie de Fourier: B = B1 sen(ωt) + B3 sen(3ωt) + B5 sen(5ωt) + . . . + Bn sen(nωt)

donde: n es la armónica n − esimo. Por ser una función impar, solo contiene armónicas impares. Por eso en las máquinas síncronas de polos salientes, se construyen con un entrehierro irregular. En la Fig.(4.2), se muestra la forma de onda de la inducción magnética B y la conguración de la expansión polar y el entrehierro. Son articios que se utilizan en la construcción para atenuar el cambio brusco del campo magnético así como el alargamiento del entrehierro en los extremos de las expansiones polares. Se tiene un entrehierro mínimo δ y máximo δ 0 = 1,5 − 2δ .

4.3. Paso Polar El paso polar, τ , es la distancia entre polos magnéticos consecutivos, expresado en grados eléctricos se tiene que: τ = 180o . En los alternadores de rotor liso, la parte devanada del rotor, se toma un 75 % del paso polar.

4.4. Ley de Faraday-Henry La ley de Faraday-Henry, la inducción electromagnética, es el principio en que se basan los generadores, transformadores y se expresa como: e=−

dφB dt

FEM

4.4.

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LEY DE FARADAY-HENRY

Figura 4.2: Inducción magnética y forma del entrehierro y maniesta: en un campo magnético variable se induce una FEM en cualquier circuito cerrado, la cual es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del ujo magnético a través del circuito. Una interpretación física está dada por la Ley de Lenz: Una corriente inducida surgirá en una espira con un sentido tal que ella se opondrá a la variación que la produce. Por otra parte, el campo eléctrico es igual a la fuerza por unidad de carga, la integral curvilínea del campo eléctrico: R ε◦dl es igual al trabajo hecho al mover una unidad de carga a lo largo de la Trayectoria L L. Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, tal que la circulación a lo largo de un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del ujo magnético a través de una supercie limitada por el camino . Si se considera un circuito rectangular giratorio inmerso de un campo magnético estacionario.

4.4.1. FEM en un Conductor Sea una inducción magnética sinusoidal denida por: B = Bmax sen(ωt)

La fem instantánea en un conductor dentro de un campo magnético está dado por: e = Blv

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CAPÍTULO 4.

FEM Y FMM EN DEVANADOS DE CA

Sea τ el paso polar y f la frecuencia en periodos por segundo, la velocidad está dado por: v=

τ = 2f τ 1 2f

El ujo cortado, es: 2 φ = B 0 lτ = Blτ π πφ B = 2lτ

El valor ecaz de la fem inducida, está dado por: e 1 πφ Ec = √ = √ · · l · 2f τ 2 2 2lτ Ec = 2,22φf

4.5. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Paso Completo Si existen Nc conductores o 2Ne = Nc espiras, la fem del devanado, está dado por: E = 2,22Nc φf E = 4,44Ne φf

4.6. FEM de una Espira de Devanado Distribuido y Paso Completo La construcción de un inducido con un devanado concentrado en una sola ranura (q = 1), es imposible ya que resultaría una ranura ancha y muy profunda. El devanado de muchas espiras se divide entre varias bobinas conectadas en serie y estas se colocan en ranuras espaciadas en la supercie del estator (q > 1). El espaciamiento en grados eléctricos o p mecánicos θe = θm entre ranuras adyacentes se denomina paso de ranura γ del estator o 2 ángulo entre ranuras adyacentes. Los devanados de los generadores síncronos son devanados de doble capa. El factor de distribución, para una armónica ν está dado por: νqγ 2 kd = νγ q sen 2 sen

donde:

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4.7. FEM DE UNA ESPIRA DE DEVANADO CONCENTRADO Y PASO FRACCIONARIO

π Ángulo entre ranuras adyacentes mq Z = Ranuras por polo y fase mp = Número de fases = Número de polos = Número de ranuras = Armónica

γ = q m p Z ν

Figura 4.3: Devanado distribuido y paso completo

4.7. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Paso Fraccionario Considerando un devanado concentrado en una ranura y ancho de la bobina menor al paso polar, τ y q = 1. La razón para utilizar devanados de paso fraccionario es debido a la distribución de la densidad de ujo no sinusoidal en el entrehierro. Si se elige de manera adecuada el paso de devanado, se puede eliminar alguna armónica de la FEM inducida. El factor de paso del devanado para la armónica ν está dado por: kpν = sen(

νβπ νρ ) = sen( ) 2 2

donde: y = Paso de la bobina y β = Paso relativo τ τ = Paso polar ν = Armónica ρ = βπ Ángulo eléctrico cubierto por la bobina

En la Fig. (4.4), se muestra el diagrama de una espira de paso fraccionario.

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CAPÍTULO 4.

FEM Y FMM EN DEVANADOS DE CA

Figura 4.4: Devanado concentrado y paso fraccionario

4.7.1. Factor de Devanado Al considerar un devanando de paso fraccionario y devanado distribuido, la fem E inducida está dado por la expresión:

E=

4,44Ne/f φf kB a

donde: Ne/f φ f kB kd kp a

= Número de espiras por fase = Flujo = Frecuencia = kd kp Factor de devanado = Factor de distribución = Factor de paso = Número de circuitos en paralelo

4.8.

EXPRESIÓN GENERAL DE LA FEM INDUCIDA EN MÁQUINAS DE CA

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4.8. Expresión General de la FEM inducida en Máquinas de CA 4.8.1. Armónico de Inducción 2 τ lBmed1 = τ lBm1 π 2τ τ φ3 = lBmed3 = lBm3 3 π3 ... ... ..................... τ 2τ φν = lBmedν = lBmν ν πν φ1

=

Las fems inducidas por cada armónico, si: f3 = 3f1 , f5 = 3f1 , . . ., fν = νf1 , están dadas por: √ π √ φ1 f1 = 2πlBm1 f1 2 √ π √ π Econ3 = √ φ3 f3 = 2 lBm3 3f1 = 2πlBm3 f1 3 2 ... ... ....................................... √ π √ π Econν = √ φν fν = 2 lBmν νf1 = 2πlBmν f1 ν 2 Econ1

=

El valor ecaz de la FEM en un conductor, está dado por: Econ = Econ

Econ Econ

donde: kB3 =

p

2 2 2 2 Econ1 + Econ3 + Econ5 + . . . + Econν + ...

r E 2  E 2 E 2 con3 con5 conν = Econ1 1 + + + ... + + ... Econ1 Econ1 Econ1 r  B 2  B 2  B 2 m3 m5 mν = Econ1 1 + + + ... + + ... Bm1 Bm1 Bm1 q π 2 2 2 = √ φ1 f1 1 + kB3 + kB5 + . . . + kBν + ... 2 Bm3 B B , kB5 = m5 , . . . , kBν = mν . Bm1 Bm1 Bm1

4.9. Ecuaciones de las Ondas Pulsantes y Progresivas Cuando un campo ξ , en función del tiempo, se propaga en el espacio como una onda sin distorsión y con una velocidad denida v , según las direcciones +X ó −X debe satisfacer la

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CAPÍTULO 4.

FEM Y FMM EN DEVANADOS DE CA

ecuación del movimiento ondulatorio: 2 ∂2ξ 2∂ ξ = v ∂t2 ∂x2

La solución general de la ecuación del movimiento ondulatorio para una onda móvil, está dado por: ξ(x, t) = ξ(x ± vt)

4.9.1. Onda Progresiva Una onda progresiva, es una onda que se mueve en el espacio en el sentido positivo, por ejemplo, las ondas circulares en la supercie de un líquido y la onda longitudinal en una barra metálica. La expresión matemática de dicha onda, está dado por: F (x, t) = Fm sen(ωt −

2π x) Tes

4.9.2. Onda Móvil Inversa Una onda estacionaria, es una onda que se mueve en el espacio en el sentido negativo.La expresión matemática de dicha onda, está dado por: F (x, t) = Fm sen(ωt +

2π x) Tes

4.9.3. Onda Estacionaria Una onda estacionaria, es una onda pulsatoria connada en el espacio, por ejemplo, la vibración de las cuerdas de una guitarra. La expresión matemática de dicha onda, está dado por: F (x, t) = Fm sen(ωt) cos(

2π x) Tes

Empleando la identidad trigonométrica: sen(α) cos(β) =

1 1 sen(α − β) + sen(α + β) 2 2

Manipulando la ecuación de la onda pulsatoria, se tiene: F (x, t) = Fm sen(ωt) cos(

2π 1 2π 1 2π x) = Fm sen(ωt − x) + Fm sen(ωt + x) Tes 2 Tes 2 Tes

De donde se concluye que un campo estacionario, se puede descomponer en campos que giran en sentidos opuestos con amplitudes igual a la mitad de la amplitud máxima. Estos ω ω campos giran en sentidos contrarios con velocidades: v = + 2π y v = − 2π Tes

Tes

4.9.

ECUACIONES DE LAS ONDAS PULSANTES Y PROGRESIVAS

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4.9.4. Campo Giratorio Sinusoidal Tomando un devanado monofásico y alimentandolo con una tensión de CA, se establece una intensidad de corriente de CA, se crea un campo magnético monofásico estacionario dado por: F (x, t) = Fm sen(ωt) cos(

2π 1 2π 1 2π x) = Fm sen(ωt − x) + Fm sen(ωt + x) Tes 2 Tes 2 Tes

Si se tiene tres devanados desplazados en el espacio y se alimenta con un sistema de tensiones trifásico, cada fase crea un campo magnético desplazada en el tiempo y en espacio 2 en π . Las ecuaciones de campos para cada fase, se tiene: 3

2π F1 = Fm sen(ωt) cos( x) Tes 1 2π 1 2π = Fm sen(ωt − x) + Fm sen(ωt + x) 2 Tes 2 Tes 2 2π 2 F2 = Fm sen(ωt − π) cos( x − π) 3 Tes 3 1 2π 1 2π = Fm sen(ωt − x) + Fm sen(ωt + x− 2 Tes 2 Tes 2 2π 2 F3 = Fm sen(ωt − 2 · π) cos( x − 2 · π) 3 Tes 3 1 2π 1 2π = Fm sen(ωt − x) + Fm sen(ωt + x− 2 Tes 2 Tes

4 π) 3 8 π) 3

El campo resultante, esta dado por: F = F1 + F2 + F3 3 2π = Fm sen(ωt − x) 2 Tes 3 2π 2π 4 2π 8 + Fm [sen(ωt + x) + sen(ωt + x − π) + sen(ωt + x − π)] 2 Tes Tes 3 Tes 3 2π

2π

4

2π

8

Como [sen(ωt + x) + sen(ωt + x − π) + sen(ωt + x − π)] = 0 Tes Tes 3 Tes 3 Entonces la resultante, esta dado por la expresión: 3 2π F = Fm sen(ωt − x) 2 Tes Similarmente para un sistema polifásico de m fases, se tiene: F = F1 + F2 + F3 + . . . =

El ángulo entre fases, es:

2π m

m 2π Fm sen(ωt − x) 2 Tes

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CAPÍTULO 4.

FEM Y FMM EN DEVANADOS DE CA

4.10. FMM en Devanados de CA 4.10.1. FMM de un Devanado Considerando un devanado concentrado del inducido de paso completo que tiene N espiras por polo y una intensidad de corriente I , produce una onda rectangular de la Fuerza NI

amperios-vuelta por polo. En la Fig. (4.5), se Magnetomotriz (FMM), de amplitud 2 muestra la fmm creada por una bobina de paso completo y concentrado.

Figura 4.5: Fuerza Magnetomotriz de una bobina Los amperios-vuelta creado, está dado por: N I = H ◦ dl Despreciando el ujo magnético en el hierro, se tiene: H

I NI =

H ◦ dl = 2δH

De donde, La intensidad del campo magnético creado por la bobina, esta dada por: H=

1 NI δ 2

La fmm de la bobina, está dada por: F M M =

NI 2

4.10.2. Componente Fundamental de la FMM de Armadura Si se elige como referencia el eje de la bobina, entonces, se tiene:

F M M (t) =

 NI     2

x≤π

  NI   − 2

π