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• Julio Chavarri

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MATEMÁTICA FINANCIERA

Becquer Nicky Bendezu Boza

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto. De esta edición: © Universidad Continental S.A.C 2012 Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18 Teléfono: 213 2760 Derechos reservados ISBN: 978-612-4196-11-9 Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú con N°: 2013-10291 Primera Edición: julio 2013 Tiraje: 500 ejemplares Autor: Becquer Nicky Bendezu Boza Oficina de Producción de Contenidos y Recursos Impreso en el Perú por Inversiones y Representaciones Nakasone E.I.R.L. Pasaje San Jorge 115 Huancayo Fondo Editorial de la Universidad Continental Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, en todo ni en parte, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.

ÍNDICE IINTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA



9

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA 9 UNIDADES DIDÁCTICAS 9 TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO 9 UNIDAD I: PROCESO ADMINISTRATIVO: PLANEACIÓN Y ORGANIZACIÓN

11

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I

11

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

11

Tema N°1: Interés Simple

12

1.1 Las propuestas porcentuales

12

1.2 El valor del dinero en el tiempo

15

1.3 El interés

15

1.4 El interés simple

19

1.5 Interés y monto con capital y tasa constante

20

1.6 Capital en función de monto con tasa constante

21

1.7 Tiempo en función del monto con tasa constante

22

1.8 Tasa en función del monto con tasa constante

22

1.9 Interés y monto con capital constante y tasa variable

23

1.10 Interés y monto con capital variable y tasa constante

23

1.11 Interés y monto con capital y tasa variable

24

1.12 Ecuaciones de valor equivalente

25

Lectura seleccionada Nº 1





27

ACTIVIDAD N° 1

29

Tema N° 02: El Interés Compuesto

29

2.1 La capitalización

29

2.2 El capital en interés compuesto

30

2.3 Periodo o tiempo en interés compuesto

31

2.4 Interés y monto con capital y tasa constantes

31

2.5 Interés y monto con capital constante y tasa variable

32

2.6 Interés y monto con capital variable y tasas variables

33

2.7 Ecuaciones de valor equivalente

33

Lectura seleccionada nº 2 ACTIVIDAD N° 2



34 35

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I

35

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I

35

UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

39

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD ii

39

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

39

Tema N°1: El Descuento

40

1.1 Tipos de descuento



40

1.2 Descuento racional simple



41

1.3 Descuento racional compuesto



43

1.4 Descuento bancario simple



44

1.5 Descuento bancario compuesto



45

1.6 El descuento comercial



46

Lectura seleccionada Nº 1



47

ACTIVIDAD N° 1

48

Tema N° 2: Las Tasas de Interés

48

2.1 Clasificación de las tasas de interés

49

2.2 Las tasas de interés y los criterios de clasificación



50

2.3 Tasa nominal y tasa efectiva

50

2.4 Tasa activa y tasa pasiva

51

2.5 Tasa vencida y tasa adelantada 2.6 Tasa compensatoria y tasa moratoria



51



2.7 Tamn, tamex, tipmn y tipmex

52

52

2.8 Tasa de inflación

Lectura seleccionada Nº 2

52



53

ACTIVIDAD N° 2

54

BIBLIOGRAFÍA de la unidad ii

54

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II

55

UNIDAD III: ANUALIDADES O RENTAS Y AMORTIZACIÓN DE DEUDA

57

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD iiI

57

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

57

Tema N°1: ANUALIDADES O RENTAS

58

1.1 Valor actual y valor futuro

59

1.2 Anualidad vencida simple - uniforme

59

1.3 Anualidad anticipada simple – uniforme

61

1.4 Anualidad diferida simple - uniforme

62

Lectura seleccionada nº 1 Tema N°2: Sistema de Amortización de Deudas







2.1 Amortización

64 64



64

2.2 Sistema de amortización francés – cuotas uniformes



65

2.3 Sistema de amortización alemán - cuota principal uniforme



67



67



68

2.4 Sistema de amortización inglés - cuota interés uniforme 2.5 Sistema de amortización cuotas variables – suma de dígitos

2.6 Sistema de amortización flat



69

Lectura seleccionada nº 2



69

ACTIVIDAD N° 1

70

BIBLIOGRAFÍA de la unidad iii

70

AUTOEVALUACIÓN de la unidad iii

71

UNIDAD IV: Perpetuidades e Indicadores financieros



73

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD ii

73

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

73

tema Nº 1: Perpetuidades

74

1.1 Monto de una perpetuidad



74

1.2 Valor presente de una perpetuidad



74

1.3 Renta de una perpetuidad



75

1.4 La depreciación

Lectura seleccionada Nº 1

75



Tema Nº 2: Evaluación de Inversiones

79 80

2.1 Valor actual neto (van)



80

2.2 Tasa interna de retorno (tir)



81

Lectura seleccionada Nº 2



82

ACTIVIDAD N° 4

84

BIBLIOGRAFÍA de la unidad iv

84

AUTOEVALUACIÓN de la unidad iv

84

ANEXO: CLAVEs DE las AUTOEVALUACIONES

85

6

INTRODUCCIÓN

E

l curso de Matemática Financiera en su modalidad de

estudio de los fundamentos básicos de la matemática financiera

Educación Virtual es un curso diseñado para facilitar

en el que se tratarán temas de interés simple e interés compues-

la solución de problemas financieros cotidianos de una

to. Como segunda unidad se ha visto por conveniente el estudio

manera sencilla y práctica, cuya dinámica va por la vía de aplicar

del descuento y la tasas de interés, operaciones cotidianas del

los conceptos y las fórmulas de matemática financiera; siendo

mundo financiero y comercial. Para la tercera unidad se con-

este manual autoformativo el principal material didáctico que

sideró la aplicación práctica de las anualidades y amortización

acompañará el desarrollo del mismo.

de deudas, usuales en el sistema financiero de nuestro entorno analizando problemas de la vida real. Y finalmente, en la cuarta

Para el correcto desarrollo y el logro de los objetivos trazados, se sugiere que en primer lugar pueda revisar los conceptos de cada uno de los temas planteados en el presente manual, además se

unidad se consideró el análisis de los indicadores financiero los que nos permitirán realizar la evaluación y el análisis correspondiente de las inversiones.

cuenta con lecturas seleccionadas que le permitirán afianzar la aplicación de los acápites tratados; seguidamente podrá desa-

No sabemos a ciencia cierta cuando apareció la matemática fi-

rrollar las autoevaluaciones a manera de preparación para la

nanciera, pero de lo que si estamos seguros es que la Matemática

prueba final de la asignatura. De igual manera, se cuenta con

Financiera es una derivación de las matemáticas aplicadas que

ciertas actividades programadas cada semana, todo ello guiado

estudia el valor del dinero en el tiempo y que a través de una serie

por la asesoría constante de un docente Tutor.

de modelos matemáticos llamados “criterios” permiten tomar las decisiones más adecuadas en el ámbito Financiero.

Sabemos que las Matemáticas Financieras tienen como objetivo ayudar al usuario a resolver los problemas de índole financiero

El lector debe establecer y analizar el concepto de Matemáti-

y del quehacer cotidiano del sistema financiero formal e infor-

ca Financiera, así como sus principios y elementos básicos. Del

mal con un tratamiento particular; por ello se ha visto conve-

mismo modo, debe eslabonar el estudio de las matemáticas fi-

niente dividir el curso en cuatro unidades: iniciaremos con el

nancieras con la práctica empresarial.

8

Desarrollo de contenidos

PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA Diagrama

Objetivos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Inicio

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Reconoce los fundamentos algebraicos necesarios para el cálculo financiero. Define y clasifica el interés, calcula el interés simple, analiza operaciones utilizando el inteDesarrollo Actividades Autoevaluación derés contenidos compuesto. Efectúa el cálculo financiero en operaciones de descuento. Reconoce, estima y analiza las tasas en el sistema financiero local, define, clasifica y analiza las series financieras uniformes. Reconoce, clasifica y analiza los sistemas de amortización de deudas calcula la depreciación Lecturas y clasifica Glosario Bibliografíade los activos. Calcula valores presentes y evalúa seleccionadas las inversiones.

UNIDADES Recordatorio DIDÁCTICAS Anotaciones UNIDAD I Fundamentos básicos, interés simple e interés compuesto.

UNIDAD II El descuento y las tasas de interés.

UNIDAD III

UNIDAD IV

Rentas, anualidades Perpetuidades e y amortización de indicadores finandeuda. cieros.

TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO UNIDAD I

UNIDAD II

UNIDAD III

UNIDAD IV

1a y 2a Semana

3a y 4a Semana

5a y 6a Semana

7a y 8a Semana

16 horas

16 horas

16 horas

16 horas

MATEMÁTICA FINANCIERA Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

9

10

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

Anotaciones

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Inicio

UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas Diagrama

Actividades

Diagrama Recordatorio

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Glosario

Bibliografía

Objetivos

Inicio

Anotaciones Actividades

EJEMPLOS

Glosario

ACTIVIDADES

Autoevaluación

AUTOEVALUACIÓN Lecturas seleccionadas

Lecturas seleccionadas

Autoevaluación

CONTENIDOS Recordatorio Desarrollo de contenidos

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Objetivos

MATEMÁTICA FINANCIERA Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Inicio

Anotaciones

CONOCIMIENTOS

Tema Nº 1: Interés simple 1 Fundamentos algebraicos Desarrollo Actividades Autoevaluación de contenidos iniciales 2 El valor del dinero en el Tiempo. 3 El interés. Glosario 4 Lecturas El interés simpleBibliografía seleccionadas 5 Interés y monto con capital y tasa constante. 6 Capital en función de monto con tasa constante. Recordatorio Anotaciones 7 Tiempo en función de monto con tasa constante. 8 Tasa en función de monto con tasa constante. 9 Interés y monto con capital constante y tasa variable. 10 Interés y monto con capital variable y tasa constante. 11 Interés y monto con capital y tasa variable 12 Ecuaciones de valor equivalente. Lectura Seleccionada N° 01: Vidaurri, H. M. (2002, Jun 10). Portal financiero/ interés simple comercial y real. Mural. Tema Nº 2: El interés Compuesto 1 La capitalización. 2 El capital en Interés compuesto 3 Periodo o tiempo en interés compuesto 4 Interés y monto con capital y tasa constante. 5 Interés y monto con capital constante y tasa variable 6 Interés y monto con capital variable y tasas variables 7 Ecuaciones de valor equivalente. Lectura Seleccionada Nº 2: Gonzalez, I. (1996, Nov 26). El poder del interés compuesto. La Opinión. Autoevaluación Nº 1

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

1 Calcula el interés simple ordinario y comercial. 2 Formula procedimientos de solución a casos de interés simple utilizando simuladores en Excel.

Muestra una actitud crítica reflexiva en torno a las herramientas utilizadas en el entorno office que le sean útiles para su desarrollo profesional.

Actividad N° 1: 1 Desarrolla ejercicios de aplicación en interés simple en distintos casos de aplicación real. 3 Reconoce los elementos del interés compuesto, calculando los valores presentes y futuros. 4 Aplica el interés compuesto en base al análisis de valores presentes y futuros utilizando simuladores. Actividad N° 2: Da solución a problemas de índole financiero en distintos escenarios e instituciones bancarias del entorno, interiorizando lo aprendido. Control de Lectura N° 1:

Bibliografía

11

12

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

Anotaciones

UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

UNIDAD I: Fundamentos Básicos, Interés Simple e Interés Compuesto OBJETIVO DE LA UNIDAD I Esta Unidad tiene como finalidad de cimentar la capacidad del estudiante, de utilizar los recursos lógicos inherentes a las diversas operaciones aritméticas, así como reforzar sus conocimientos sobre interés simple e interés compuesto pilares básicos en las matemáticas financieras.

TEMA 1: Interés Simple Las matemáticas financieras se basan en los fundamentales de la matemática esencialmente en el álgebra; es así que en el presente acápite se tocan algunos fundamentos que permitirán afianzar los conocimientos adquiridos en la matemática. 1.1 Las proporciones porcentuales Muchos autores los denominan “tanto por ciento”, otras veces se denomina “porcentaje” otros la llaman “alícuota”, pero cual sea la denominación que se adopte, se trata de la centésima parte de la unidad que se toma de referencia para comprender las partes de un total. Su expresión algebraica es:

Cantidad porcentual conociendo el total y el porcentaje Una práctica usual en las operaciones financieras es la de calcular la cantidad porcentual que representa un porcentaje de un total; es decir conocemos el importe total al que se aplicará un porcentaje o alícuota para determinar una centésima parte. • Ejercicio 1: Se desea determinar el IGV 1 o IVA 2 del 18% de un electrodoméstico que tiene un valor de venta (precio sin incluir el impuesto) de 800um. Solución En este ejemplo se desea obtener el 18% de 800

Entonces el impuesto es de 144um; que representa el 18% del valor del electrodoméstico. Porcentaje si se conoce el total y la cantidad porcentual Las prácticas matemáticas buscan dar soluciones a situaciones en los que conocemos la cantidad porcentual y el total. Para el desarrollo de este tipo de casos se aplica un criterio sencillo de interés simple como se muestra en el siguiente ejercicio:

1 Impuesto General a las Ventas; impuesto grabado dentro del Perú aplicado al valor agregado generado por las ventas. 2 Impuesto al Valor Agregado; nombre correcto que debería dársele al IGV. 3 Unidades monetarias; término que se utilizará en el curso para denotar un monto con valor económico monetario.

Desarrollo UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO de contenidos

• Ejercicio 2:

Lecturas seleccionadas

Las respuestas correctas dadas en un examen por un estudiante son 42 de un total de 50 preguntas. ¿Qué porcentaje, del total de preguntas, representan las respuestas correctas? Recordatorio Solución En este ejemplo se sabe que el X% (X por ciento) de 50 es 42, sea X% el porcentaje de respuesta correcta.

Observamos que al dividir 42/50 se obtiene 0.84 que en porcentaje representa 84% (0.84*100). Entonces las respuestas correctas respondidas por el estudiante representan un 84% del total de 50 preguntas. El total si se conoce la cantidad porcentual y el porcentaje En estos casos en que se conoce la cantidad porcentual el tanto por ciento y desconocemos el total al que se aplicó la tasa o porcentaje podemos aplicar el mismo criterio de regla de tres simple como se explica en el ejercicio: • Ejercicio 3 El precio de venta (valor del artículo incluido los impuestos) de una camisa que se encuentra en oferta es de 15um, que es un 25% menos que su precio original. ¿Cuál es el precio original de la camisa? Solución En este ejemplo se desea buscar el número cuyo 75% (100%-25%) sea 15. Siendo X el número buscado, tenemos:

La camisa tiene un precio original de 20um sobre el cual se aplica el porcentaje de la oferta 25%. Si al total (100%) que es 20um se le aplicará el 25% obtenemos 5um y restamos este importe o descuento obtenemos el valor con descuento que es 15um 75% del total. La diferencia entre dos números como porcentaje En ocasiones se desea determinar el porcentaje que representa el incremento o la disminución de un valor en determinados momentos, por ejemplo las ventas en el año anterior fue de 1000um y para el presente año es de 1500um significa que se incrementaron en 500um los cuales representan un 50% mas del año anterior. En estos casos la resolución de casos es muy sencilla como se muestra en el ejercicio: • Ejercicio 4: Una empresa obtiene utilidades, el mes anterior por 12,000um, este mes por 14,400um. ¿Cuál es el cambio porcentual que sufrió las utilidades de esta empresa en estos dos meses? Solución Este ejemplo consiste en determinar el porcentaje que representa el incremento suscitado en el segundo mes con relación al primer mes. Incremento = 14,400 - 12,000 = 2,400um

MATEMÁTICA FINANCIERA Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Anotaciones

Bibliografía

13

14

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

Anotaciones

UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

Ahora determinemos cuanto representa en porcentaje 2,400um de los 12,000um iniciales.

Entonces las utilidades para el segundo mes en relación al primer mes se incrementaron en un 20%. En caso el resultado sea negativo se mostrará una disminución. Incrementar o disminuir un número en un porcentaje Los fundamentos de interés se basan en la aplicación de intereses cada cierto periodo; en consecuencia para incrementar un porcentaje a un importe determinado simplemente se calcula dicho porcentaje y se vuelve a sumar al valor inicial, en caso sea una disminución se restaría. Veamos el siguiente ejercicio: • Ejercicio 5: Imaginemos que invertimos un promedio de 25um cada semana en alimentos, deseamos reducir dichos gastos semanales en comida en un 25%. ¿Cuánto debe ser el gasto semanal para conseguir dicho objetivo? Solución El ejercicio trata de la reducción en un 25% a un 100% o total que es 25um, entonces solo nos quedarían en la primera semana el 75% (100% - 25%); así expresando en términos decimales obtendremos: (1 – 0.25). En forma general (1 - %disminución).

Incremento de porcentajes sucesivos Cuando los porcentajes se presentan en forma sucesiva, el cálculo aritmético suele extenderse y ponerse engorroso. Entonces existe un método de aplicación muy sencilla que permite esta limitación. El porcentaje que sustituye a los incrementos sucesivos se puede determinar:

• Ejercicio 6: Determinado artículo eléctrico viene experimentando un incremento, sucesivo durante los últimos meses en su precio; originalmente asciende a 1,500um; los incrementos sucesivos fueron de: 3%, el primer mes, 5.5% el segundo mes, 8.75% el tercer mes, 11.25% el cuarto mes y 22.35% el quinto mes. Se desea determinar el precio al final de los incrementos sucesivos.

Entonces el porcentaje que sustituye a los incrementos sucesivos es 60.850696%; por lo que el nuevo precio será: 1500um x (1+60.850696%)= 2,412.76um Descuentos Sucesivos El porcentaje que sustituye a los descuentos sucesivos se puede determinar:

• Ejercicio 6: Determinado artículo eléctrico viene experimentando una disminución sucesiva durante los últimos meses en su precio; originalmente asciende a 1,500um; los descuentos sucesivos fueron de: 3%, el primer mes, 5.5% el segundo mes, 8.75% el tercer mes, 11.25% el cuarto mes y 22.35% el quinto mes. Se desea determinar

Desarrollo UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO de contenidos

el precio al final después de aplicar los descuentos sucesivos.

MATEMÁTICA FINANCIERA Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

El precio final se verá disminuido en un 42.3579% es decir: 1,500umx42.3579% que es igual a: 635.3691um. Así el precio final es 864.6308um. 1.2 El valor del dinero en el tiempo Uno de los principios más importantes en el mundo financiero es la relación entre lo que valdrá S/.1 en el futuro y lo que vale hoy. Para la mayoría de personas S/.1 en el futuro tiene menos valor; además S/.1 de aquí a dos años será menos valioso que S/.1 dentro de un año. Esta relación es lo que se conoce como el valor del dinero en el tiempo y se encuentra en cada rincón y grieta de las finanzas. En consecuencia, debemos concluir que en las finanzas 1um hoy día no tiene el mismo valor que 1um en el pasado o en el futuro; esto a raíz de el tiempo, el costo de oportunidad, la inflación, etc. Variables que distorsionan el valor del dinero en el tiempo; estas variables son agentes externos que hacen que el valor del dinero en el tiempo sea distinto. Variables que distorsionan el valor del dinero en el tiempo • El costo de oportunidad Si una persona deja de utilizar 1um hoy a cambio de mantenerlo guardado por todo el año, está sacrificando la oportunidad de consumir dicho importe a cambio de consumirlo dentro en un año y obtener otro nivel de satisfacción, este es el denominado costo de oportunidad. Usted preferirá la liquidez hoy y a cambio de ello buscara un crédito que haga posible la oportunidad del disfrute de sus beneficios. • La Inflación El cambio constante en el nivel de precios es lo que se define como inflación; afecta el poder adquisitivo del dinero considerando que la inflación es un fenómeno temporal su existencia altera el valor del dinero en el tiempo. Durante las décadas de los 70’s y 80’s constituyeron quizá la variable de mayor impacto sobre el valor del dinero. • Otras variables Dentro de las otras variables más importantes que distorsionan el valor del dinero podemos nombrar: la especulación financiera, el tipo de cambio, la devaluación y otros factores entre los cuales se incluyen inclusive los factores políticos. 1.3 El interés 1.3.1 El interés El interés es el costo o precio pagado por el capital ajeno utilizado en un determinado intervalo de tiempo. El interés acumulado al capital o principal se denominado monto; en consecuencia podemos deducir que el Interés es la diferencia entre el monto y el capital o principal.

Bibliografía

15

16

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

Anotaciones

UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

La figura 1.1 muestra en forma gráfica la relación existente entre el capital inicial o principal y el monto final, que es igual al principal adicionado los intereses generados en un tiempo determinado. Para la generación del interés la condición fundamental es el tiempo; además de otras variables entre las que podemos mencionar: 11 La magnitud del capital o principal 12 La tasa de interés 13 El tiempo u horizonte temporal, un mayor tiempo genera mayor interés considerando una misma tasa y un mismo capital. 14 El riesgo que conlleva la operación; a un mayor riesgo se asume un mayor interés. En consecuencia se podrá afirmar que el interés se encuentra en función del capital o principal, la tasa de interés, el tiempo, el riesgo, etc. I = f (principal; tasa de interés; el tiempo; el riesgo; etc.) Si designamos como “P” al principal y suponemos que las demás variables se encuentran reflejadas en la tasa de interés “i”; el interés “I” puede calcularse con la siguiente fórmula:

I=P×i (1.1)

Donde: I = Interés P = Principal i = Tasa de Interés La fórmula (1.1) permite realizar el cálculo del Interés en función del Principal o capital y la tasa de interés para un determinado periodo de tiempo.

1.3.2 Teoría del interés El interés está ligado al concepto del capital, el tiempo y el riesgo. Puede decirse que es la compensación que el dueño del capital recibe de parte de quien usa los fondos. Esta compensación puede adoptar diversos nombres, según la naturaleza del bien capital: Alquiler o renta, dividendo, flete e interés, este último aplicado a los capitales monetarios. En términos teórico el interés que recibe el dueño de los fondos que intervienen en el proceso productivo ha sido objeto de controversial discusión por todos aquellos que de alguna manera hacen un esfuerzo por conducir los senderos de la ciencia económica. • La teoría del sacrificio Sostiene que la retribución al dinero, mediante un interés es un premio a la postergación del consumo. • La teoría de escasez Los abanderados de la teoría de escasez sostienen que el uso de los valores cuya manifestación es escasa, implica un precio que hay que pagar para disfrutar de lo que no se posee. • La teoría de la productividad La teoría de la productividad sostiene que el capital implica una aportación productiva, por lo que debe participar del valor creado en la producción. • La teoría del riesgo La teoría del riesgo señala, por su parte, que este interés es el premio que debe recibir el que arriesga su capital confiando en la parte que lo usará.

Desarrollo UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO de contenidos

• La teoría del interés como categoría dinámica

Lecturas seleccionadas

La teoría del interés como categoría dinámica, sostiene que el uso de los fondos prestados permite al empresario llevar a cabo los planes de inversión. Es claro pues, que en tales circunstancias el uso de los fondos ajenos debe Recordatorio participar de los beneficios que conlleva el incremento en la productividad de una actividad económica específica. Estas y otras teorías han ofrecido explicaciones variadas acerca de la procedencia del interés o precio del dinero. Incluso hay teorías que relacionan esta retribución del capital con las circunstancias que permiten al empresario explotar al trabajador, son los llamados seguidores del marxismo clásico, muy de moda en décadas pasadas. 1.3.3 Elementos del interés Principal, capital, valor presente o valor actual Es el dinero materia de intercambio, el capital, dado que la obligación se genera al momento de entregar el dinero principal, se considera a este como el valor presente de la obligación. Simbología: existen muchas formas de simbolizar al Principal (P), Capital (C), Valor Presente (VP) y Valor Actual (VA); para efectos del presente texto utilizaremos “P” para denotarlo. El principal para un determinado periodo de tiempo puede calcularse despejando P de la fórmula (1.1), así tenemos:

Donde: P = Principal I = Interés i = Tasa de Interés La fórmula (1.2) calcula el principal P en función del interés y la tasa de interés para un determinado periodo de tiempo. • La tasa de interés La tasa de interés es la alícuota o porcentaje del principal o capital sobre cuya base debe calcularse el interés. Simbología: entre el sinnúmero de denotaciones tenemos: i, j, k, etc. El presente texto utilizaremos “i” para denotar al interés. La tasa de interés se puede calcular utilizando la formula (1.3) obtenida de la fórmula (1.2), que permite realizar el cálculo en función del principal y de la tasa de interés para un determinado periodo de tiempo. Así tenemos:

• Monto, stock final o valor futuro Es el valor final a devolver al propietario original del dinero, esta devolución incluye el principal (P) y los intereses, dado que este flujo se presenta al final del plazo se denominado también valor futuro o monto. Simbología: entre las más importantes formas de denotación encontramos monto (M), stock final (S) y valor futuro (VF); en el presente texto utilizaremos la denotación del monto con “S”.

MATEMÁTICA FINANCIERA Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Anotaciones

Bibliografía

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ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

Anotaciones

UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

El monto es el acumulado entre el principal o capital y el interés generado en un determinado periodo de tiempo; así tendremos la formula (1.4): S=P+I (1.4) Donde: S = Monto P = Principal I = Interés A partir de la fórmula (1.4) podemos calcular el principal P y el interés I, las cuales se presenten a continuación: P=S-I (1.5)

I=S-P (1.6)

La fórmula (1.5) permite calcular el principal P en función del monto S y el interés I La fórmula (1.6) calcula el Interés I en función del monto S y el principal P. • El tiempo, plazo, horizonte temporal o periodo El tiempo es el elemento que determina el valor del interés, genera el costo de oportunidad y constituye el plazo de tiempo en el cual el dinero se transforma. Teóricamente el plazo u horizonte temporal se denotado por cualquier fracción del tiempo; segundo, minuto, hora, día, semana, quincena, mes, bimestre, trimestre, cuatrimestre, semestre, año, etc.; pero no se conoce de casos en el que se aplique intereses a fracciones de tiempo menores de un día; en nuestro país la mínima unidad de tiempo para poder aplicar el interés es un día. En consecuencia, los plazos comprendidos entre dos fechas serán considerados teniendo en cuenta los días terminales; el cual considera como plazo de la operación todos los días posteriores a la fecha inicial de dicha operación. Dicho de otro modo se excluye al día de la fecha inicial como se muestra en el gráfico. Ahora cabe la pregunta, que sucede cuando los meses, que cuentan con diferentes • La capitalización del interés La capitalización del interés es conocida como el incremento periódico que se realiza del interés generado sobre el capital inicial del periodo. Si este proceso se da una sola vez durante el horizonte temporal, entonces el valor final resultante será igual al monto o stock final. Si el proceso de capitalización se da múltiples veces, entonces el monto o stock final será la capitalización del último periodo. 1.3.4 Clasificación del Interés Dependiendo de muchos factores, el desarrollo de las finanzas, ha permitido la aparición de muchas formas de interés, todas ellas en función a un tipo específico de operación. • Por su capitalización - Interés simple; esta clase de interés no se capitaliza. - Interés compuesto; los intereses generados bajo esta modalidad se capitalizan (los intereses generados en un periodo de tiempo se suman al capital para conformar un nuevo capital para el siguiente periodo).

Desarrollo UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO de contenidos

MATEMÁTICA FINANCIERA Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

- Interés continúo; en este modelo teórico se asume que la capitalización se efectúa en periodos muy cortos de tiempo, en segundos, por lo que no tiene uso conocido. • Por la oportunidad de pago o cobro de intereses Dependiendo de la oportunidad de la cobranza o pago de intereses estas pueden ser: -

Interés anticipado; existen operaciones que pagan o cobran intereses al principio del periodo.

- Interés vencido; normalmente las operaciones financieras pagan intereses al finalizar los periodos. • Por su naturaleza legal La naturaleza legal de nuestro país, Perú, tiene previsto el pago de intereses dependiendo de su naturaleza, siempre en cuando estas se encuentren fuera del sistema financiero. -

Interés legal; aplicado a situaciones presentadas fuera del sistema financiero, aplicadas al incumplimiento de obligaciones pecuniarias denominadas “obligaciones de hacer” u “obligaciones de dar”. Art 1244º al art 1250º del Código Civil.

-

Interés Legal Laboral; surge producto de la necesidad de penalizar el incumplimiento de las obligaciones de tipo laboral dentro del país.

-

Interés Moratorio para deudas Tributarias; de acuerdo al código tributario vigente los intereses moratorios por pago extemporáneo son componentes de la deuda tributaria; así como los intereses moratorios por fraccionamientos de deudas tributarias y los intereses provenientes de las multas y sanciones.

• Por su función en la operación financiera Los compromisos financieros mantienen como condición específica el cumplimiento de los pagos del capital más intereses dentro de los plazos pactados; pero cuando estas son incumplidas se generan penalidades por lo cual algunas veces las deudas tienen dos clases de intereses que son: -

El Interés Compensatorio; es el interés que tiene por función remunerar el crédito o el uso del dinero en el tiempo.

-

El Interés Moratorio; su función es la de penalizar el pago inoportuno de las obligaciones, penaliza la falta de pago.

  1.4 El interés simple Es un sistema en el que los intereses generados se calculan sobre un principal que permanece invariable durante el periodo de cálculo de interés. Se calcula usando solamente el monto inicial o principal, ignorando cualquier interés que pueda acumularse en los períodos precedentes. Simbología

No olvidemos que el interés está en función del capital la tasa y el tiempo; es decir para determinar el interés generado por un capital, una tasa que no varias en un horizonte temporal se puede utilizar la fórmula (1.7); por lo tanto: I=Pjn(1.7)

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Podemos derivar otras fórmulas para un cálculo específico:

En el siguiente cuadro se aprecia la forma cómo se calculan el interés y el monto para diferentes periodos. El monto para un primer periodo, seria la suma del capital más el interés generado en dicho periodo; para el segundo periodo, el monto es la suma del capital original más los intereses generado en el primer y segundo periodo.

Entonces siguiendo la secuencia tenemos la fórmula principal derivada del cuadro anterior que permite calcular el monto (S) manteniendo las otras variables constantes es: Podemos derivar otras fórmulas para un cálculo específico:

1.5 Interés y monto con capital y tasa constante Uno de los casos más comunes en el ámbito comercial de las operaciones financieras económicas de nuestro entorno es el cálculo de los intereses y el monto generados por un capital con tasa de interés y tiempo constantes.

Desarrollo UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO de contenidos

• Ejercicio 1

Lecturas seleccionadas

El Sr. Baca posee 2,000um 4 que desea depositar en una cuenta de ahorro de una entidad financiera, la cual retribuye con una tasa de interés simple del 10% cada mes. Si se espera mantener el capital por tres meses: Recordatorio ¿Cuánto serán los intereses generados al final de los tres meses de realizado el depósito? ¿A cuánto asciende el valor o monto acumulado en la cuenta de ahorro al final del periodo? Solución: Datos I=? S=? P=2,000 um j=10%=0.10 al mes n=3 meses Tengamos en cuenta que la tasa “j” y el periodo “n” se encuentra expresada en una misma unidad de tiempo “meses”; de no serlo así tendríamos que hallar las equivalencias correspondientes de “j” o “n” para poder aplicar la fórmula general. Para determinar el interés por una simple lógica podemos deducir que cada mes de transcurrido se genera el 10% de interés (2000x10%=200); de esa forma en tres meses serán 600um (200x3). Otra forma de resolver es utilizando la fórmula (1.7). I=Pjn I=2000×0.10×3 I=600 En el cálculo del monto; una vez determinado el interés (I) éste acumulado al capital (P) es el monto (S). Otra forma de calcular el monto es con fórmula (1.8)

1.6 Capital en función de monto con tasa constante • Ejercicio El Sr. Baca no recuerda el capital que depositó en cierta cuenta de ahorros en una entidad financiera, la cual remuneró con una tasa de interés simple del 10% cada mes. Desea conocer dicho depósito efectuado hace 3 meses, sabiendo que actualmente cuenta con 2,600um de saldo en dicha cuenta de ahorros. Solución Datos S=2,600 um P=? j=10%=0.10 al mes n=3 meses

4 Unidades Monetarias; hace referencia a una unidad monetaria pudiendo ser nuevos soles, dólares o cualquier otra expresión monetaria.

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El ejercicio busca encontrar el principal o capital, no olvidemos que “j” y “n” deben expresarse en la misma unidad de tiempo.

1.7 Tiempo en función del monto con tasa constante • Ejercicio Un depósito de 2,000um realizado en una entidad financiera que remunera con la tasa de interés simple del 10% cada mes (tasa nominal mensual), se convirtió en 2,600um en cierto tiempo. Se desea determinar en qué tiempo los 2,000um se convierten en 2,600um. Solución: Datos S=2,600um P=2,000 um j=10%=0.10 al mes n=?meses El ejercicio trata de hallar el tiempo o periodo “n”, tengamos en cuenta si la tasa “j” se encuentra expresado en meses el resultado de “n” también se expresará en meses. Aplicando la fórmula tenemos:

1.8 Tasa en función del monto con tasa constante • Ejercicio Un depósito de 2,000um realizado en una entidad financiera que remunera con cierta tasa de interés simple mensual (tasa nominal mensual), se convirtió en 2,662um en 3 meses. Se desea determinar cuál es la tasa de interés nominal mensual. Solución: Datos S=2,600um P=2,000 um j= ? al mes n=3 meses El ejercicio trata de hallar la tasa de interés “i”, tengamos en cuenta si el tiempo “n” se encuentra expresado en meses el resultado de “i” también se expresará en meses. Aplicando la fórmula tenemos:

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1.9 Interés y monto con capital constante y tasa variable.

Lecturas seleccionadas

Muchas veces la tasa nominal aplicada en el interés simple está sujeta a variaciones de mercado sobre un capital que se mantiene quizás constante en el horizonte temporal; es por ello que el cálculo se debe realizar independientemente para cada Recordatorio momento de cambio de la tasa (j) dentro del horizonte temporal y finalmente acumular los intereses o en su defecto acumular al capital para obtener el monto final. • Ejercicio 1 Una CMAC5 ofrece un servicio de depósito a plazo determinado con las siguientes condiciones: -

Mantener el capital por un periodo mínimo de 6 meses

- Los dos primeros meses se retribuirá una tasa de interés simple del 2% mensual - Los siguientes dos meses se retribuirá una tasa de interés simple del 3% mensual - Los últimos dos meses se retribuirá una tasa de interés simple del 4% mensual Si contamos con un capital de 2500um; ¿qué interés y monto se habrán acumulado al finalizar los 6 meses de depósito? Solución El ejemplo consiste en determinar el interés acumulado al final del horizonte temporal; para ello calcularemos el interés a cada momento de cambio de la tasa. El gráfico representa el horizonte temporal en el que se ha considerado los seis meses del tiempo (n), el capital (P) y los intereses a calcularse cada dos meses porque es en ese tiempo que cambian las condiciones de la tasa. Entonces según la fórmula (1.7) los intereses se calcularían:

Si se analiza lo desarrollado tenemos lo siguiente: el interés total acumulado es la suma individual de los intereses calculados para cada cambio de la tasa, entonces:

“P” se repite en cada cálculo; “n” no necesariamente; por lo que tendríamos la siguiente fórmula que permite calcular de forma resumida el ejercicio:

Para el monto (S); cuidando el mismo criterio, sabemos que: S=P+I Remplazando la fórmula (1.9) tendremos:

Finalmente factorizamos P

1.10 Interés y monto con capital variable y tasa constante Es muy común realizar operaciones de depósitos y retiros constantes dentro de las cuentas de ahorro y cuentas corrientes manteniendo las condiciones de la tasa de interés constantes. En estos casos el cálculo de los intereses y consecuentemente del monto se debe realizar independientemente en cada cambio del capital inicial es decir, cada movimiento que se realice.

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• Ejercicio

Anotaciones

La Srta. Alicia Chávez apertura una cuenta corriente el 01 de agosto con un depósito de 5000um a una tasa de interés simple del 5% nominal mensual; realizando las siguientes operaciones en el mes: -

05-08 retiro de 2500um

-

15-08 deposito de 500um

-

20-08 depósito de 3000um y retiro 1000um

-

31-08 cancela la cuenta

¿Qué interés y monto se habrán acumulado a la cancelación de la cuenta? Solución El Ejemplo consiste en determinar el interés acumulado al final del horizonte temporal; para ello calcularemos el interés a cada momento de cambio del saldo de la cuenta, es decir cada movimiento de depósito o retiro. El gráfico representa el horizonte temporal en el que se ha considerado los cuatro instantes de los movimientos del capital (P) y los intereses (I) a calcularse cada periodo, considerese que la tasa de interés representada en meses, lo cual debemos expresarlos en meses simplemente dividiendo entre 30 días que continene un mes. Entonces según la fórmula (1.7) los intereses se calcularían:

Si se analiza lo desarrollado tenemos lo siguiente: el interés total acumulado es la suma individual de los intereses calculados para cada cambio de la tasa, entonces: “j” se repite y se mantiene constante en cada cálculo; “n” no necesariamente; por lo que tendríamos la siguiente fórmula que permite calcular de forma resumida el ejercicio: Para el monto (S); cuidando el mismo criterio, sabemos que: S=P+I Entonces debemos acumular al capital los intereses calculados, pero considere el último capital acumulado. 1.11 Interés y Monto con capital y tasa variable Dentro de las operaciones cambiantes en el mercado y el sistema financiero, es muy común realizar operaciones de depósitos y retiros constantes dentro de las cuentas de ahorro y cuentas corrientes con tasas interés variable. En estos casos el cálculo de los intereses y consecuentemente del monto se debe realizar independientemente en cada cambio del capital inicial es decir cada movimiento que se realice del capital y en cada cambio de la tasa de interés. • Ejercicio El Sr Juan Valenzuela apertura una cuenta corriente con un depósito de 3000um a una tasa de interés simple del 3% nominal mensual; realizando los siguientes cambios y movimientos:

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-

Al 2 mes retiro de 1000um

-

Transcurridos 2 meses deposito de 500um y la tasa varia a 4% mensual.

-

2 meses después retiro de 1200um y depósito de 700um la tasa cambia a 42% anual.

-

3 meses después se cancela la cuenta.

Recordatorio

¿Qué interés y monto se habrán acumulado a la cancelación de la cuenta? Solución El Ejemplo consiste en determinar el interés acumulado al final del horizonte temporal; para ello calcularemos el interés a cada momento de cambio del saldo de la cuenta y en cada cambio de la tasa de interés. El gráfico representa el horizonte temporal en el que se ha considerado los cuatro instantes de los movimientos del capital (P) y los intereses (I) a calcularse cada periodo, considerese que la tasa de interés representada en meses, en el caso del ultimo tramo la tasa se dividió entre 12 para convertirla a tasa mensual. Entonces según la fórmula (1.7) los intereses se calcularían:

Si se analiza lo desarrollado tenemos lo siguiente: el interés total acumulado es la suma individual de los intereses calculados para cada cambio de la tasa, entonces: Para el monto (S), sabemos que: S=P+I Para determinar el monto final debemos sumar el último capital acumulado a los intereses. 1.12 Ecuaciones de valor equivalente Las ecuaciones de valor equivalente permiten realizar comparaciones y sumas en un punto determinado del horizonte temporal; por lo que tienen diversos valores en distintos puntos del tiempo. Nos basamos en la premisa que dos importes son equivalentes en el presente pero no necesariamente serán equivalente en otro momento. Estas operaciones son usuales dentro del mercado en las siguientes operaciones: - Refinanciamiento de deudas - Sustituir varias deudas que vencen en diferentes fechas con una sola - Realizar pagos anticipados sobre deudas con vencimiento prefijadas - Realizar prorrogas de vencimientos de plazos pactadas. Para un cálculo mas rápido es recomendable indicar una fecha focal (fecha de evaluación o análisis) y plantear una ecuación de equivalencia en la que se igualen las condiciones establecidas y las nuevas a considerar y luego desarrollar la ecuación. Si una fecha focal se considera presente o momento cero, el importe del monto se considera valor presente. Análogamente, si una fecha focal se considera futuro, el importe o monto a esta fecha se denomina valor futuro.

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• Ejercicio 1

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A qué valor futuro equivale un principal de 7000um; el cual se mantuvo en una cuenta del 11 de julio al 24 de septiembre del mismo año; la tasa de interés fue de 24% TNA6 hasta el 28 de agosto y a partir de esa fecha varió a 22% TNA hasta el término del plazo de la operación. Solución Con los datos y la fórmula (1.10) tenemos:

El valor futuro generado por el capital es 7395.50um • Ejercicio 2 Una deuda de 5000um que vence al 30 de diciembre debe cancelarse el 11 de julio del mismo año en forma anticipada. En ese plazo se utilizó una TNA de 18% desde el 11 de julio hasta el 30 de septiembre y a partir de esa fecha hasta el vencimiento del plazo una TNA de 20. Se debe determinar el valor a cancelar el 11 de julio. Solución El ejercicio consiste en calcular el valor presente o capital (P); con los datos y la fórmula (1.10) tenemos:

El valor presente a cancelarse el 11 de julio es de 4,582.71

6 Tasa Nominal Anual

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LECTURA SELECCIONADA N° 1 Lecturas seleccionadas

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El interés simple comercial y real Vidaurri, h. m. (2002, jun 10) No se sabe quién fue el inventor del año comercial; si sabemos que los prestamistas de la Edad Media ya lo utilizaban y, al parecer, su creación estuvo motivada por la facilidad de Recordatorio Anotaciones realización de cálculos aritméticos, ya que el 360 es un número divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etcétera y esto hace que las operaciones aritméticas sean más sencillas que utilizando el 365, algo muy deseable en un época donde no había calculadoras. Actualmente las calculadoras y computadoras nos facilitan los cálculos aritméticos, razón por la cual no debería de existir el año comercial. Si existe y se usa es, básicamente, porque el interés es más alto que el proporcionado por el año real. En nuestro país el interés comercial se utiliza prácticamente en todas las operaciones financieras. Al utilizar días en el cálculo de un interés simple, se vuelve necesario convertir la tasa de interés anual dada en tasa de interés diaria. Para lograr esto es necesario dividir entre 365 (o 366, si el año es bisiesto) o bien entre 360. Al dividir entre 360 se está utilizando el año comercial y el interés que se obtiene se llama interés comercial u ordinario; en cambio, si se divide entre 365 (o 366), se está utilizando el año natural y el interés obtenido se llama interés exacto o real. En nuestro país, el interés comercial se utiliza prácticamente en todas las operaciones financieras. En la práctica es muy común utilizar fechas para indicar el plazo de una operación financiera. Así, por ejemplo, podemos decir lo siguiente: Juan obtuvo un préstamo el 14 de mayo del presente año, el cual deberá ser devuelto el 22 de septiembre de este año. Con el fin de obtener el interés que deberá pagar Juan es necesario calcular el número de días que Juan tuvo en su poder el dinero.Para calcular el número de días comprendidos entre dos fechas, se utilizan diversos métodos. Sin embargo, en la práctica es muy común utilizar el método que consiste en contar los días exactos entre las fechas, excluyendo el primer día e incluyendo el último día. Por ejemplo, el número de días comprendidos entre el 14 de mayo y el 22 de septiembre del presente año es: Mes Número de días Mayo 31-14 = 17 Junio 30 Julio 31 Agosto 31 Septiembre 22 Total 131. Asimismo, en la práctica financiera se manejan dos tipos de año: el año comercial, que consta de 12 meses de 30 días cada uno, dando un total de 360 días, y el año natural o real, que consta de 365 días o 366 si este es bisiesto. Al utilizar días en el cálculo de un interés simple, se vuelve necesario convertir la tasa de interés anual dada en tasa de interés diaria. Para lograr esto es necesario dividir entre 365 (o 366, si el año es bisiesto) o bien entre 360. Al dividir entre 360 se está utilizando el año comercial y el interés que se obtiene se llama interés comercial u ordinario; en cambio, si se divide entre 365 (o 366), se está utilizando el año natural y el interés obtenido se llama interés exacto o real. Ejemplo. Obtenga el interés comercial y exacto de 14 mil pesos prestados el 7 de marzo del 2002 y que vencen el próximo 25 de junio. Suponga una tasa de interés del 22 por ciento anual. En primer lugar, calculamos el número de días entre fechas: Mes Número de días Marzo 31 - 7 = 24 Abril 30 Mayo 31 Junio 25 Total 110 A. Para obtener el interés comercial convertimos la tasa anual de interés en tasa por día, dividiendo entre 360: Tasa de interés diaria = 22% / 360 = 0.061111%

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Una vez obtenida la tasa de interés por día, utilizamos la fórmula del interés simple: I = Pitt = (14,000) (0.00061111) (110) = 941.11 pesos Anotaciones

Recuerde que al calcular interés o monto es necesario convertir la tasa de interés a forma decimal, dividiéndola entre 100. B. El interés real se obtiene al convertir la tasa anual de interés en tasa por día, dividiendo entre 365 y, posteriormente, aplicando la fórmula del interés simple: Tasa de interés diaria = 22% / 365 = 0.066274% I = Pitt = (14,000) (0.00060274) (110) = 928.22 pesos Estimado lector, ¿Qué observa usted al comparar los resultados anteriores? exacto. El interés comercial es mayor que el interés real. Esta es una buena razón por la cual los banqueros, los prestamistas y, en general, todos aquellos que cobran intereses utilizan el año comercial. Y digo que es una buena razón porque, en realidad, no hay ningún argumento legal o de otro tipo para utilizar el año comercial en el cálculo de los intereses. El año comercial es un invento totalmente arbitrario y su uso está basado en la costumbre. En realidad, el año comercial no se utiliza en todas las operaciones financieras, pero si en la mayoría de ellas. Asimismo, su uso no es universal; por ejemplo, en Argentina la ley obliga a trabajar siempre con año real. Sin embargo, el ano comercial se utiliza en la mayor parte de los países avanzados. No se sabe quién fue el inventor del año comercial; si sabemos que los prestamistas de la Edad Media ya lo utilizaban y, al parecer, su creación estuvo motivada por la facilidad de realización de cálculos aritméticos, ya que el 360 es un numero divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etcétera y esto hace que las operaciones aritméticas sean más sencillas que utilizando el 365, algo muy deseable en un época donde no había calculadoras. Actualmente las calculadoras y computadoras nos facilitan los cálculos aritméticos, razón por la cual no debería de existir el año comercial. Si existe y se usa es, básicamente, porque el interés es más alto que el proporcionado por el año real. En nuestro país el interés comercial se utiliza prácticamente en todas las operaciones financieras. * Como ya es costumbre, a continuación se le dejan al lector los siguientes problemas: 1. Calcular el interés comercial y exacto que produce una inversión de 22 mil 500 pesos, colocada al 12 por ciento anual durante 30 días. 2. Se compra una computadora a crédito, cuyo precio de contado es de 18 mil pesos, dando un enganche de 3 mil 600 pesos y el resto a pagar dentro de 90 días. Si la tasa de interés es del 30 por ciento anual y se utiliza el año comercial, calcule el monto que liquida la deuda, así como el interés que se está pagando. Copyright Editora El Sol, S.A. de C.V. Jun 10, 2002 Cita - ProQuest Vidaurri, H. M. (2002, Jun 10). Portal financiero/ interés simple comercial y real. Mural. http://search.proquest.com/docview/373989090?accountid=146219

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ACTIVIDAD N° 1 Autoevaluación

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

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TEMA 2: EL Interés COMPUESTO Seguramente entre sus quehaceres económicos del día a día se ha visto obligado a solicitar un préstamo a una entidad financiera y muchas veces no ha entendido la forma de Anotaciones cálculo de los intereses que este le cobrará por dicha operación; pues a diferencia del interés simple que se utiliza en nuestras operaciones rutinarias, el interés compuesto se basa en un concepto más avanzados de cálculo de intereses en el que se cobran o pagan intereses sobre los intereses de un determinado periodo a ello también se le llama capitalización. En consecuencia el interés compuesto es un sistema en el que los intereses generan a su vez intereses, ya que se incorporan periódicamente al capital; este proceso llamado capitalización, es el acto de crear un nuevo capital mediante la incorporación de los intereses al capital en un determinado periodo. 2.1 La capitalización Al proceso de incrementar los intereses generados al capital inicial en un determinado periodo se le llama capitalización y se tienen dos tipos: Capitalización discontínua; la incorporación de intereses se produce en épocas determinadas y con intervalos discontínuos. Capitalización continúa; los intereses se incorporan a la cuenta Capital en forma instantánea. Es decir que el intervalo de tiempo entre capitalizaciones tiende a cero. En un período de tiempo no nulo, habrá infinitas capitalizaciones El capital en el periodo o tiempo “n” es mayor que en el tiempo “n-1”, la diferencia entre los capitales en ambos tiempos nos da el interés generado en el período “n”, luego de lo cual dicho interés pasa a formar parte del capital, para proceder a la generación de un nuevo capital. El interés que genera el capital en el período “n” es mayor al del período “n-1”, la capitalización se produce cada final de período hasta el plazo final de la operación. Entonces se tiene:

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Entonces siguiendo la secuencia tenemos la fórmula principal derivada del cuadro anterior: Donde: S = Monto, Stock Final, Valor futuro, etc. P = Capital, Stock Inicial, Valor Presente, etc. i = Tasa de Interés Efectiva n = Periodo o tiempo Ejemplo: El Sr. Montes cuenta con 2,000um que desea depositar en una entidad financiera, la cual remunera con una tasa de interés compuesta del 10% cada mes. ¿Cuánto recibirá después de tres meses de realizado el depósito? Solución: Datos S=? P=2,000 um i=10%=0.10 n=3 meses Tengamos en cuenta que la tasa “i” y el periodo “n” se encuentra expresada en una misma unidad de tiempo “meses”; de no serlo así tendríamos que hallar las equivalencias correspondientes de “i” o “n” para poder aplicar la fórmula general.

2.2 El capital en interés compuesto Llamado también principal o stock inicial, es el valor presente o valor inicial sobre el cual se calcula los intereses; muchas veces es el valor actual sobre el cuál se calcula un desembolso futuro. Fórmula:

Ejemplo: El Sr. Montes no recuerda el capital que depositó en cierta cuenta de ahorros en una entidad financiera, la cual remuneró con una tasa de interés compuesta del 10% cada mes. Desea conocer dicho depósito efectuado hace tres meses, sabiendo que actualmente cuenta con 2,662um en dicha cuenta de ahorros. Solución Datos S=2,662 um P=? i=10%=0.10 n=3 meses El ejercicio busca encontrar el principal o capital, no olvidemos que “i” y “n” deben expresarse en la misma unidad de tiempo.

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2.3 Periodo o tiempo en interés compuesto El periodo, tiempo o plazo, es el horizonte temporal en el cual el principal genera intereses; ello dependerá del periodo de capitalización. Puede expresarse en días, meses, años, trimestres, cuatrimestres, bimestres u otra unidad de tiempo que se considere necesaria para una operación financiera Fórmula: Despejando “n” de la fórmula general de interés compuesto, tenemos:

Ejemplo: Un depósito de 2,000um realizado en una entidad financiera que remunera con la tasa de interés compuesta del 10% cada mes (tasa efectiva mensual), se convirtió en 2,662um en cierto tiempo. Se desea determinar en qué tiempo los 2,000um se convierten en 2,662um. Solución: Datos S=2,662um P=2,000 um i=10%=0.10 n=?meses El ejercicio trata de hallar el tiempo o periodo “n”, tengamos en cuenta si la tasa “i” se encuentra expresado en meses el resultado de “n” también se expresará en meses. Aplicando la fórmula tenemos:

2.4 Interés y monto con capital y tasa constantes Es muy usual la necesidad de saber cuánto serán los intereses y el monto acumulado que se tendrá que asumir o cobrar en un determinado momento producto de una deuda o un capital depositado, normalmente las condiciones de la tasa de interés se deben mantener constantes y también el capital que no debería varias en el tiempo. En consecuencia el cálculo del monto es bastante sencillo.

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Ejemplo:

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La Srta. Guísela Lavado ha solicitado una crédito de S/.23,000 a una entidad financiera que cobra una TEA7 del 12.682503% para ser cancelada dentro de 5 meses, transcurridos exactamente 3 meses desde la fecha de desembolso del crédito se desea saber cuánto es la deuda total a pagar (monto) y los intereses que deberán asumirse hasta ese instante. Solución: Datos S=? I=? P=23,000 um i=12.682503%=0.12682503 n=3 meses Se había comentado anteriormente que la tasa “i” y el periodo “n” deberán estar expresados en el mismo periodo; de ser así como en el ejemplo debemos convertir bien la tasa a su equivalente o el tiempo en su equivalente. Convirtiendo la TEA de 12.682503% a TEM

Una vez encontrado el equivalente procedemos a desarrollar el ejercicio con la fórmula principal.

EL interés que se deberá asumir en este caso es simplemente la diferencia del monto y el capital inicial. I=S-P I=23,069.07-23,000 I=69.07 2.5 Interés y Monto con capital constante y tasa variable En ocasiones puede tenerse el caso en que en una operación financiera puedan cambiar las condiciones como la tasa que varía cada cierto tiempo. En este tipo de circunstancias es conveniente hacer el cálculo cada vez que cambie las tasa pero cuidando de ir acumulando el capital.

7 TEA: Tasa Efectiva Anual, es una tasa de interés que por si misma denota o indica capitalización es decir se utiliza para el interés compuesto.

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Ejemplo:

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Una deuda de 3,000 impuesta inicialmente al 2% mensual de interés compuesto; transcurridos dos meses se incrementó al 4% TEM; después de cuatro meses se incrementó a 5% TEM. Determine el monto acumulado y los intereses generaRecordatorio dos al finalizar el año desde la obtención de la deuda. Solución: Mostrando el ejercicio gráficamente tendríamos:

Para el desarrollo de este ejemplo debemos calcular los intereses por cada periodo en el que la tasa se mantiene igual e ir acumulando (capitalizando) en cada periodo de cambio de tasa y volviendo a calcularlo hasta obtener el monto final. El monto acumulado al final del año es 4893.18 habiendo acumulado un interés total de 1893.18. En forma sintetizada sería de la siguiente manera:

2.6 Interés y monto con capital variable y tasas variables. Normalmente dentro de las operaciones financieras, el monto se mantiene inalterable pero también puede variar en el horizonte temporal al igual que las tasas de interés. Al igual que en el ítem anterior, se debe ir calculando el monto para cada periodo que cambie tanto la tasa y el capital debe ir acumulando y volviendo a recalcular. Ejemplo: Una cuenta de ahorro aperturada con un capital de 3000 a una TEM 3% sufrió las siguientes variaciones: al primer mes se retiró 1000; dos meses después se depositó 500 y cambio la TEM a 4%; después de dos meses se retiró 500 y la tasa disminuye a 3.5% TEM. Cuanto es el monto acumulado tres meses después y cuanto de interés se acumuló en dicha operación. Solución En este tipo de ejercicio se deberá calcular progresivamente P1, P2, P3 y P4 considerando los depósitos y retiros en cada variacion tanto de tasas y de capital.

Entonces el monto total acumulado es 2704.18

2.7 Ecuaciones de valor equivalente Dentro del mundo financiero, un monto de dinero ubicado en determinado momento del tiempo puede trasladarse a otro momento y convertirse en un importe equivalente. Para realizar dicho traslado en el tiempo se utiliza una tasa efectiva “i” que se denomina tasa de capitalización cuando se lleva el importe hacia el futuro, y tasa de descuento cuando trae dicho importe hacia el presente. Por ejemplo, en un horizonte temporal de tres meses y con una i = TEM = 5% un importe de 1000 ubicado en el momento cero, tiene muchos valores equivalentes; pero al tomar como fecha focal los momentos 1, 2 y 3 y utilizando el factor de capitalización simple (formula básica del interés compuesto), esos valores en todo caso serían 1050, 1102.50, y 1157.63 respectivamente. Las situaciones recíprocas también son válidas, para estos casos se utilizan el factor de actualización simple (fórmula de interés compuesto para calcular P). Factor de Capitalización Simple (FCS)

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Factor de Actualización Simple (FAS)

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LECTURA SELECCIONADA N° 2 Lecturas seleccionadas

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El poder del interés compuesto. Iván González, especial para La Opinión La semana pasada le preguntaba qué pensaba hacer con su millón de dólares. Recordatorio al Anotaciones Quizás principio le causó sorpresa, ojalá que al menos le haya despertado inquietudes, no quiero que llegue a los 65 años después de trabajar toda su vida y tenga ahorros de cinco ó 10 mil dólares que le van a servir para unos meses nada más, lo que quiero es que llegue a esa edad con una cantidad fuerte, que le permita vivir de los intereses para que esté tranquilo en su retiro. Ahora le voy a dar unos consejos que le pueden ayudar a lograr este objetivo:

1) No importa cuánto gane, ahorre el 10% de sus ingresos como mínimo e inviértalo a largo plazo. 2) Establezca prioridades: es muy importante reconocer qué gastos son necesarios y qué gastos pueden ser reducidos por el bien de toda la familia. 3) Haga un presupuesto y sígalo. 4) Aprenda a vivir dentro de sus posibilidades. Hoy mismo saque esas tarjetas de crédito que trae en la cartera, déjelas en el cajón más obscuro de su casa y no las utilice más, no se apure, no se va a morir sin sus tarjetitas, usted no nació con tarjetas en la mano y le aseguro que estaba más tranquilo cuando no tenía esos créditos. Una vez que implemente estos cuatro sencillos consejos su situación será muy diferente. Veamos ahora cómo invertir sus ahorros, usted tiene dos opciones: inversiones a corto plazo que le pagan hoy día entre 5% y 6% anual y las inversiones a largo plazo como los fondos mutuos que han obtenido un promedio del 10% al 12% anual. ¿Cuál sería la diferencia? A lo largo del tiempo, la diferencia sería muy grande, si por ejemplo usted ahorra cien dólares mensuales por los siguientes 25 años y obtiene un rendimiento anual del 6% su cuenta se elevaría hasta los 69,300 dólares y usted sólo habría puesto de su bolsa ¡30 mil! Si esto le parece bueno, la segunda opción le va a parecer mejor; invirtiendo las mismas cantidades, pero ahora en fondos mutuos, y si obtiene un promedio del 12% anual, ¿cree que obtendría el doble de la cantidad? No, el poder del interés compuesto, esto es, los intereses ganándole más intereses a usted mismo, causaría que el valor de su inversión al cabo de los 25 años fuera de 187,885 dólares, ¡casi tres veces más que la primera opción! ¿Por qué cree que uno de cada tres estadounidenses está invirtiendo en fondos mutuos? Y por el otro lado apenas uno de cada mil latinos está empezando a pensar en invertir. Al menos, yo si estoy invirtiendo para mi futuro, si usted quiere hacerlo también, consulte a un asesor financiero y hágalo ya. Llame al (818) 549-1645 y deme sus comentarios sobre temas que le gustaría que yo tratara en esta columna. ¡Buena suerte!

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Desarrollo UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO de contenidos

Iván González es asesor financiero de American Express Financial Advisors

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Copyright La Opinión Nov 26, 1996 Cita - ProQuest Gonzalez, I. (1996, Nov 26). El poder del interés compuesto. La Opinión. http://search.proquest.com/docview/368099426?accountid=146219   Diagrama

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ACTIVIDAD N° 2 Autoevaluación

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BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I

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Aliaga, C. (2005). Matemática financiera un enfoque práctico. Bogotá: Pearson educación, biblioteca UCCI 511.8 a42.

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Court, A. (2009). Matemática financiera. Cengage learning. Lima: Biblioteca UCCI 5110 C86.

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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I Instrucciones: a continuación se detallan algunos ejercicios propuestos los cuales deberán ser desarrollados en forma precisa y oportuna para su calificación. Glosario

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Proporciones porcentuales 1. Una entidad benéfica brinda apoyo a los damnificados ofreciendo en su farmacia descuentos sucesivos sobre sus productos durante los tres últimos meses; el primer mes sus productos tuvieron un descuento del 1.5%, el segundo mes 2.5% y el tercer mes 5%. a) ¿a cuánto ascienden los descuentos sucesivos sobre un producto cuyo precio fue de 1000 soles? b) ¿Cuál es el precio final después de los tres meses sobre el producto de precio 1000 soles? c) ¿Qué tasa de descuento única se debería aplicar por los tres descuentos sucesivos? 2. El sr José Baca del Prado, ha recibido una oferta de trabajo en el que se le ofreció remunerar inicialmente 10,000 soles; pero luego de una serie de negociaciones se tranzó en un descuento de 17.5% de sus honorarios por no cumplir con los requisitos del puesto. Cumplido el trabajo se le solicita emitir el comprobante correspondiente por la prestación de servicios no personales. a) ¿Cuánto será el moto que percibe el Sr. José si los montos negociados son totales sin retenciones de ley? b) En el caso de que el descuento procediera luego de aplicar los descuentos de ley (impuesto a la renta 10%) ¿a cuánto ascenderá el monto efectivamente percibido por el Sr. José? c) ¿Qué porcentaje único de descuento debería calcular para obtener el mismo monto a percibir? 3. Las hermanas del barrio Nueva Esperanza en las compras de medicamentos realizadas para la caridad solicitan una serie de descuentos sucesivos que ascienden a 2.5%, 3%, 6%, 1%. Por otro lado consiguen una oferta en el que aplica un descuento integral del 11.99%. Determine cuál de las dos alternativas es la que más conviene a las hermanas de la caridad. 4. El costo del pasaje urbano de colectivo en la ciudad de Huancayo ha venido incrementando de 0.50 soles a 0.70 soles, luego a 1.00 soles y finalmente a 1.20 soles.

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UNIDAD I: FUNDAMENTOS BÁSICOS, INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

a) ¿Qué porcentajes fueron los incrementos cada cambio de precio? b) ¿Qué tasa única se incrementó desde el precio original? Anotaciones

Interés Simple 5. ¿En cuántos días una inversión de S/.7,000 se convertirá en un monto de S/. 7,933.34 percibiendo una tasa de rentabilidad anual del 24%? 6. Si un importe depositado a 20 meses genera interés simple que representa ¼ parte del capital inicial. ¿Cuánto es la tasa de interés simple mensual que se paga en dicha operación? 7. Una cuenta de ahorros abierta el 04 de abril con un depósito inicial de 500um tuvo en ese mes el siguiente movimiento:



¿Qué interés simple se acumuló al 30 de abril si se percibió una TNM de 24%?



¿Cuál es el saldo acumulado?

8.

Una deuda de 2000um contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio del mismo año y pactada originalmente a una TNA de 24%, sufre variaciones a partir de las siguientes fechas: 12 junio 2.5% TNM; 24 de junio 9% TNT; 3 de julio 21% TNS. ¿Qué interés y monto se acumularon al final del vencimiento?

9 . ¿Cuánto se colocó a una TNA de 20%, si al cabo de 38 días se convirtió en 5000um en una operación de interés simple? 10. Una inversión de 8000um, colocado durante 5.5 meses a interés simple, rindió una TNM de 3% durante los primeros cuatro meses, el quinto mes rindió una TNA de 48% y la última quincena rindió una TNT de 12%. ¿Cuál fue el interés y el monto acumulado? 11. El Sr. “Zorro” tiene deudas por S/. 15,000 a 9 meses al 14% anual, S/. 14,700 a 6 meses al 18% anual y S/. 35,000 a 01 año al 22% anual. Desea sustituir todas estas obligaciones por dos pagos iguales a pagarse a cuatro y ocho meses pero esta vez al 12% anual. ¿Cuál será el valor de estos pagos iguales? 12. El Señor Raúl Jamones, retira un monto de S/ 15,000 de un banco, después de 45 días de haber sido depositado un capital. Se desea saber: Cual fue ese capital y la tasa de interés mensual si en 20 días el capital había ganado S/.4,583.33 de interés. Interés Compuesto 13. Calcular el monto que genera: a.- S/ 1,300 colocados durante 16 meses al 16% TET. b.- S/ 2,500 colocados durante 16 semanas al 22% TESemanal. c.- S/ 4,500 colocados durante 24 trimestres al 41% TEA. d.- S/ 6,200 colocados durante 2.5 años al 0.4% TED. e.- S/ 2,900 colocados durante 3 semestres al 2.2% TEM. 14. Calcular el tiempo en el que un capital de S/ 1,000 a.- Se convierte en un monto de S/ 1,800 al 24% TEA b.- Acumula un monto de S/ 2,970 al 12% TES. c.- Se constituye en S/ 4,100 al 15% TEB. d.- Alcanza la suma de 3,750 al 4.7% TEM e.- Pasa a ser un monto de S/ 3,477 al 0.15% TED. 15. A que tasa de interés efectiva: a.- S/ 2,000 se convertirán en S/ 4,600 luego de 8 meses b.- S/ 2,500 llegarán a ser un monto de S/ 5,450 luego de 248 días c.- S/ 15,800 acumulará un monto de S/ 33,187.50 luego de 8 meses

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16. ¿A qué tasa de interés TET fue depositada la cantidad de $240 000 si al término de 5 años y 4 meses se han acumulado $ 386 589?

17. Determinar el plazo al que fue depositados $ 88 000 si se han convertido en $ 134 524 con una tasa de TEA del 1.6%. Recordatorio 18. La suma de dos montos es de S/ 180,000 y se sabe que los montos parciales están en la misma relación que sus tasas, los cuales son del 2% TEA y 3% TEA respectivamente, dichos montos se han obtenido después de 15 y 20 años en forma ordenada. ¿Cuáles son los capitales de cada uno de ellos? 19. Dos capitales colocados durante 20 años han dado montos iguales, sabiendo que el primero es menor que el segundo en S/ 15,000 y si la tasa del primero es del 3% TEA y del segundo es del 2% TEA. Hallar los capitales respectivos. 20. ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% capitalizable trimestralmente?

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Bibliografía

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AUTOEVALUACIÓN Lecturas seleccionadas

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UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

CONTENIDOS Recordatorio Desarrollo de contenidos

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Bibliografía

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Objetivos

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CONOCIMIENTOS

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

Tema N°Actividades 1: El descuento Autoevaluación 1.1 Tipos de descuento 1.2 Descuento racional simple 1.3 Descuento racional Lecturas Glosario Bibliografía seleccionadas compuesto 1.4 Descuento bancario simple 1.5 Descuento bancario Recordatorio Anotaciones compuesto 1.6 El descuento comercial

1. Conoce el circuito del descuento comercial y sus relaciones. Calcula el descuento comercial. 2. Comprende el circuito del descuento bancario y sus relaciones. Calcula el descuento bancario. 3. Categoriza y clasifica las tasas en el sistema financiero. 4. Calcula la tasa equivalente nominal, efectiva, a interés simple o a interés compuesto.

Mantiene una postura ética respecto a las condiciones del circuito financiero. Mantiene independencia de criterio al juzgar las operaciones financieras.

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Lectura Seleccionada N° 1 Peugeot vende sus acciones con descuento Tema N° 2: Las tasas de interés 2.1 Clasificación de las tasas de interés. 2.2 Las tasas de interés y los criterios de clasificación. 2.3 Tasa nominal y tasa efectiva 2.4 Tasa activa y pasiva. 2.5 Tasa vencida y tasa anticipada. 2.6 Tasa compensatoria y tasa moratoria. 2.7 TAMN TAMEX TIPMN Y TIPMEX 2.8 Tasa de inflación Lectura Seleccionada N° 2 ¿Cuáles son las verdaderas tasas de interés de los productos financieros? Autoevaluación N° 2

Actividad N° 1: Ejemplifica casos de la vida real utilizando el descuento en situaciones cotidianas. Desarrolla ejercicios propuestos. Actividad N° 2: Investiga en el entorno del sistema financiero los distintos usos y aplicaciones de las diversas tasas de interés. Desarrolla ejercicio propuestos. Tarea Académica N° 1

Bibliografía

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UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

TEMA 1: El Descuento OBJETIVO DE LA UNIDAD II En nuestro quehacer cotidiano es común encontrar situaciones en los que ha obtenido u otorgado descuentos en distintos tipos; el objetivo de la presente unidad es dar a conocer y desarrollar casos de descuentos en sus distintas modalidades más usuales en nuestro entorno, como el descuento racional, descuento bancario y el descuento comercial utilizado en las operaciones mercantiles. Además se tocarán tópicos de las tasas de interés dentro del sistema financiero formal e informal.

Es usual encontrar este tipo de operaciones en las operaciones financieras de toda empresa o persona; siendo comúnmente su uso masificado en el descuento de ciertos títulos y valores como las letras de cambio que están reguladas por la ley de títulos y valores. Esta operación normalmente se aplica para poder inyectar liquidez a la empresa poseedora de documentos o títulos y valores realizables en un tiempo futuro, la necesidad de poder contar con el efectivo con anticipación a la fecha de cobro de dichos documentos obliga a estar dispuesto a pagar un costo por percibir el dinero antes de la fecha de vencimiento; dicho costo se denomina descuento.

Obviamente el valor futuro esperado o valor nominal esperado a percibir se dará en un momento futuro (vencimiento del título) y el valor líquido cobrado o valor presente obtenido con la operación de descuento será mucho menor al valor nominal o valor futuro se dará en el momento de la operación de descuento. 1.1 Tipos de descuento

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1.1.1 Diferencia entre descuento racional, descuento bancario y descuentoco mercial

1.1.2 Fórmulas básicas Como se mencionó anteriormente el descuento es el costo que se deberá asumir por un cobro anticipado de un crédito o cuenta por cobrar antes de la fecha de vencimiento del mismo; por ende se puede deducir que el Descuento (D) es la diferencia entre el valor futuro (S) esperado o también llamado monto y el valor liquido o valor presente (P) percibido al momento de efectuarse el descuento. En tal sentido se podrá afirmar que la fórmula básica del descuento es: Donde: D = Descuento. S = Valor futuro, valor nominal, monto. P = Valor presente, valor líquido, capital. De la fórmula principal podemos deducir las siguientes fórmulas para casos específicos:

1.2 Descuento racional simple El descuento racional se basa en el criterio lógico de aplicar al momento de efectuar el descuento, sea simple o compuesta, la misma tasa de interés que originó el valor nominal o valor futuro. Dicho de otro modo, si se usted aceptó una letra de cambio con una tasa de interés del 2% mensual a 4 meses, firmó dicho documento con los intereses incluidos; 2 meses antes del vencimiento se desea efectuar el descuento a dicho título valor, se deberá utilizar la misma tasa de interés para la operación de descuento; al hacer ello se habla de descuento racional. Si se utilizaron los criterios de interés simple (tasas nominales) o el criterio del interés compuesto (tasas efectivas) se afirmará un descuento racional simple o descuento racional compuesto respectivamente. Se aplica esta definición, al descuento obtenido en la transferencia de un documento, siempre que se use la misma tasa a la que fue originalmente firmada; tasa de interés simple.

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UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

Fórmulas: Sabiendo la fórmula básica de descuento (2.1) y la fórmula principal de interés simple (1.8) Anotaciones

Despejamos “P” de la fórmula (1.8) y remplazamos en la fórmula (2.1), ya que lo normal en una operación de descuento es conocer el valor nominal o valor futuro o también conocido como monto. Así tendremos:

Dónde: D = Descuento. S = Monto o valor final o valor nominal. j = Tasa de descuento nominal. n = Tiempo o periodo de descuento. Ejemplo 1: Una letra de cambio cuyo valor nominal es de 5000 soles es descontado racionalmente faltando 90 días para su vencimiento. Se quiere conocer el importe del descuento racional simple efectuado a dicho documento sabiendo que se aplicó una tasa de interés original de 1.5% TNM Solución: S=5,000 D= ? j=1.5%=0.015 mensual n=90 días=3 meses El primer problema que se presenta en la solución del ejercicio es que la tasa se encuentra en periodos mensuales y el tiempo en días; consecuentemente debemos uniformizar dichos periodos. 90 días equivalen a 3 meses en años comerciales. Entonces, remplazando en la fórmula principal del descuento (2.2) obtendremos:

En consecuencia, si la letra de 5000 soles es cobrada con 90 días de anticipación se le efectuará un descuento de 215.31 soles lo que nos dará un valor líquido recibido de 4784.69 soles. Ejemplo 2: Comercial André SRL vendió una máquina en S/.45,000 al crédito a la Srta. Guísela Lavado, quien firmó una letra de cambio a 120 días aplicándose una TNM de 2%. Transcurridos 60 días se realiza el descuento racional simple sobre dicha letra. Determine: - El valor del descuento. - El importe recibido.

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Solución:

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Primero: deberá de calcularse el valor nominal (valor futuro) de la letra de cambio. Para ello utilizaremos los conceptos estudiados del interés simple. S= ?

Recordatorio

P= 45,000 j=2%=0.02 TNM n=120 días=4 meses Remplazando en la fórmula para calcular el monto o valor nominal de la letra a la que se aplicará un descuento racional simple; así tendremos:

Segundo: se procederá a determinar le valor del descuento 60 días antes del vencimiento de la letra firmada a 120 días, no olvide que en el descuento racional simple se utiliza la mismas tasa de interés aplicada en la operación original en la que se determinó el valor nominal del título valor. S=48,600 D= ? j=2%=0.02 mensual n=60 días=2 meses Utilizando la fórmula principal del descuento racional simple (2.2) tendremos:

1.3 Descuento racional compuesto Al igual que el descuento racional simple, se aplica esta definición, al descuento obtenido en la transferencia de un documento, siempre que se use la misma tasa a la que fue originalmente firmada; tasa de interés compuesto. Fórmulas: Sabiendo la fórmula básica de descuento (2.1) y la fórmula principal de interés simple (1.12)

Despejamos “P” de la fórmula (1.12) y remplazamos en la fórmula (2.1), ya que lo normal en una operación de descuento es conocer el valor nominal o valor futuro o también conocido como monto. Así tendremos:

Dónde: D = Descuento. S = Monto o valor final o valor nominal. i = Tasa de descuento efectiva. n = Tiempo o periodo de descuento.

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UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

Ejemplo 1:

Anotaciones

Una letra de cambio cuyo valor nominal es de 5000 soles es descontado racionalmente faltando 90 días para su vencimiento. Se quiere conocer el importe del descuento racional compuesto efectuado a dicho documento sabiendo que se aplicó una tasa de interés original de 1.5% TEM Solución: S=5,000 P= ? i=1.5%=0.015 TEM n=90 días=3 meses Para poder utilizar la fórmula (2.3) debemos considerar que la tasa y el tiempo deben estar expresados en el mismo periodo; entonces podemos expresar 90 días como 3 meses, luego remplazamos los datos en la fórmula.

El cobro anticipado de la letra de cambio 90 días antes de su fecha de vencimiento origina un descuento racional compuesto de 218.42 soles; por lo que el valor recibido será de 4781.58 soles. Ejemplo 2 Un título valor de 12,020 um que vence dentro de 6 meses se negocia al 12.6825% TEA. Calcule: - El descuento racional compuesto - Valor líquido recibido Solución: S = 12,020 D=? i = 12.6825%=0.126825 TEA n = 6 meses El primer problema que se tiene es el periodo de la tasa de interés que se encuentra en TEA y el periodo se encuentra expresado en meses. En consecuencia convirtiendo la TEA a TEM tendremos:

Determinando el valor del descuento y así el valor líquido utilizando la fórmula (2.3)

1.4 Descuento bancario simple Este caso se presenta cuando el título valor es descontado en una tasa de descuento “d” anticipada e independiente al de la tasa original de la operación. Es decir, se compra a una tasa que el comprador propone sin considerar las expectativas del vendedor o tenedor del título. Muchas veces podría afirmarse que la entidad financiera impone la tasa de descuento.

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Fórmulas:

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El descuento bancario es efectuado en forma anticipada sobre el valor nominal con una tasa de descuento “d”, por ende la fórmula para el descuento bancarios simple obedece a los criterios de interés simple y será la siguiente: Recordatorio Donde: D = Descuento S = Valor nominal o valor futuro d = Tasa de descuento bancario simple n = Tiempo o periodo de descuento. Ejemplo 1: Una letra de cambio cuyo valor nominal es de 5000 soles es descontado en una entidad financiera faltando 90 días para su vencimiento. Se quiere conocer el importe del descuento bancario simple efectuado a dicho documento sabiendo que se aplicó una tasa de interés adelantada de 1.5% TNM Solución: S=5,000 P= ? d=1.5%=0.015 TNM n=90 días=3 meses Remplazando en la fórmula (2.4) tendremos un resultado, pero antes no olvidemos que la tasa y el tiempo deberán expresarse en el mismo periodo, en consecuencia 90 días equivalen a 3 meses (90/30): D=5000×0.015×3 D=225 Ejemplo 2 Una letra de cambio cuyo valor nominal es de 3,800um y que tiene como fecha de vencimiento el 26 de febrero se descuenta en un banco el 18 de enero del mismo año a una Tasa anticipada de 24% anual. Se requiere calcular el importe del descuento bancario simple y el valor líquido percibido. Solución:

Remplazando en la fórmula (2.4) tendremos un resultado, pero antes no olvidemos que la tasa y el tiempo deberán expresarse en el mismo periodo, en consecuencia entre el 10 de enero y el 26 de febrero tenemos 39 días que equivalen a 39/30 meses: D=3800×0.02×39/30 D=98.80 1.5 Descuento bancario compuesto Se afirma que un documento se ajusta a un procedimiento de descuento bancario compuesto, cuando el descuento se efectúa utilizando una tasa efectiva de descuento adelantada “d” que indique ella misma.

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UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

Fórmula: Ejemplo 1 Anotaciones

Una letra de cambio cuyo valor nominal es de 5000 soles es descontado en una entidad financiera faltando 90 días para su vencimiento. Se quiere conocer el importe del descuento bancario compuesto efectuado a dicho documento sabiendo que se aplicó una tasa de descuento anticipada de 1.5% TEM Solución: S=5,000 D= ? de=1.5%TEM=0.049641% TED n=90 días En consecuencia aplicando la fórmula (2.5) obtendremos lo siguiente:

Ejemplo 2 Un título valor cuyo valor nominal es de 10,000um y que tiene como fecha de vencimiento el 26 de Octubre se descuenta en un banco el 18 de agosto del mismo año a una TEA anticipada de 24%. Se requiere calcular el importe del descuento bancario compuesto y el valor líquido percibido. S=3,800 D= ? d=24% TEA =0.059771% TED n=39 días Al aplicar la fórmula (2.5) se podrá resolver el caso sabiendo que en este tipo de ejercicios no se puede expresar el tiempo en los periodos equivalentes de la tasa sino más bien la tasa deberá expresarse en periodos equivalentes del tiempo. 1.6 El descuento comercial Es usual encontrar este tipos de descuento que quizás sea el más común y corriente en cada operación cotidiana que realizamos; al comprar un bien se procede a solicitar un descuento sobre el precio de dicho o existe ofertas aplicando descuentos que implantan las empresas en pos de permitir mayores ventas; en cualesquiera que se den los descuentos siempre disminuyen el valor nominal del bien. Ejemplo 1: Determinado artículo con un precio por unidad de 100 soles se oferta con un descuento de 10% sobre el precio total si compra 3 o más de estos artículos. Determine el valor del descuento y cuánto es el importe a pagar por los tres artículos a comprar. S = 3 x 100

= 300

D = 300 x 10%

= 30

P = 300 – 30

= 270

El precio a pagar sería 270 y el valor del descuento 30.

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LECTURA SELECCIONADA N° 1 Lecturas seleccionadas

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Peugeot vende sus acciones con descuento

“Esto acelerara nuestra expansión internacional y nos moverá más rápido hacia modelos de alta gama de lo que habríamos sido capaces de hacer por nosotros mismos”, dijo el presidente financiero de Peugeot, Jean-Baptiste de Chatillon. Recordatorio Anotaciones Analistas se mostraron divididos sobre el descuento. Un analista en Londres dijo que era “muy pronunciado”. “Supongo que ese es el precio para que sea suscrito”, agregó. Entre tanto, la familia Peugeot se ha comprometido a ejercer 32.8 millones de derechos de suscripción preferencial por un total de casi 140 millones de euros. [Tras] el incremento de capital, la familia Peugeot tendrá 25.2% del capital y 37.9% de los derechos de voto. (c) 2012 Noticias Financieras - Expansión - All rights reserved. La automotriz anuncio los términos de la venta de papeles por 1,300 mdd para su alianza con GM; los papeles que ofrecerá Peugeot implican un descuento de 42% respecto al cierre del viernes. PARIS (Reuters) -- La automotriz francesa PSA Peugeot Citro en anuncio los términos de una venta de acciones por 1,000 millones de euros (1,300 millones de dólares), una operación con un fuerte descuento que financiara su alianza con General Motors. Peugeot dijo el martes que ofrecería 16 nuevas acciones por cada 31 de las que ya están en manos de los inversores a 8.27 euros cada una, lo que implica un descuento de 42% frente al precio de cierre del lunes. La ampliación de capital, coordinada por un sindicato de bancos encabezado por BNP Paribas, Morgan Stanley, Societe Generale y HSBC, se realizara entre el 8 y el 21 de marzo. La familia Peugeot y General Motors se han comprometido a suscribir el 31% de las acciones que se emitan, dijo la empresa. “Esto acelerara nuestra expansión internacional y nos moverá más rápido hacia modelos de alta gama de lo que habríamos sido capaces de hacer por nosotros mismos”, dijo el presidente financiero de Peugeot, Jean-Baptiste de Chatillon. Peugeot también anuncio que no pagara un dividendo por el ejercicio 2011 porque quiere “dar prioridad a colocar recursos financieros en el desarrollo del grupo”. Consultado por el descuento en la venta de acciones, de Chatillon dijo que está dentro de los parámetros normales para una emisión de derechos. Analistas se mostraron divididos sobre el descuento. Un analista en Londres dijo que era “muy pronunciado”. “Supongo que ese es el precio para que sea suscrito”, agrego. Pero Gaetan Toulemondo, analista de Deutsche Bank, dijo que muchas emisiones de derechos en los dos últimos años han sido realizados con ese tipo de descuento, apuntando a una similar hecha con un descuento de casi 25 a 30% por el fabricante de neumáticos Michelin a finales del 2010. A las 1206 GMT, las acciones de Peugeot caían 4.61% a 13.55 euros. General Motors El aumento de capital se está realizando como parte de la alianza anunciada por Peugeot y General Motors el 29 de febrero, que busca ahorrar 2,000 millones de dólares al compartir gastos para adquisiciones, de investigación y desarrollo y también para armar vehículos en plataformas compartidas.

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UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

GM y Peugeot desarrollaran en conjunto al menos cuatro vehículos para el 2016, dijo GM el lunes en documentos enviados a la Comisión de Valores (SEC, por su sigla en inglés). El plazo de la alianza es de diez años. Tras el incremento de capital, GM tendrá una participación de 7% en Peugeot, por la cual pagara casi 320 millones de euros. Entre tanto, la familia Peugeot se ha comprometido a ejercer 32.8 millones de derechos de suscripción preferencial por un total de casi 140 millones de euros. Tras el incremento de capital, la familia Peugeot tendrá 25.2% del capital y 37.9% de los derechos de voto. (c) 2012 Noticias Financieras - Expansión - All rights reserved. Peugeot vende sus acciones con descuento. (2012, Mar 07). Noticias Financieras. Retrievedfrom. http://search.proquest.com/docview/1011463074?accountid=146219

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ACTIVIDAD N° 1 Autoevaluación

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TEMA Nº 2: Las Tasas de Interés Anotaciones

Si designamos Co al valor original de una variable en el momento 0, y Cn al valor de la misma variable Co pero en el momento n, la tasa “T” puede expresarse como:

Formula: Si la cantidad ubica en el momento 0 es un capital “P” y la cantidad ubicada en el momento n es un monto “S”, la tasa de interés “i” que se generó en ese cambio seria:

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2.1 CLASIFICACIÓN DE LAS TASAS DE INTERÉS

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EJEMPLO 1 Una empresa tiene la información siguiente respecto a sus niveles de ventas durante los últimos seis meses

Se pide calcular las tasas de variación para cada mes: Solución: En este ejemplo se debe determinar cuánto varió las ventas en cada uno de los meses. En consecuencia aplicando la fórmula (2.6) tendremos: La variación o tasa positiva significa un crecimiento o incremento y la variación o tasa negativa significa una disminución o decremento. En resumen siguiendo la fórmula propuesta tendremos el cuadro:

Ejercicio 2 Se muestra el precio promedio de una canasta familiar mes a mes por dos años. Calcule el % de Inflación para cada mes y el índice de inflación para cada año considerando como mes base Enero.

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EJERCICIO 3 Se muestra las ventas mensuales de la empresa Mantaro SRL. Calcule el % de variación para cada mes y el índice mensual. Anotaciones

2.2 LAS TASAS DE INTERÉS Y LOS CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN 2.3 TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA Interés nominal (r): La tasa de interés del período por el número de períodos. “Nominal” significa “aparente o pretendido” es decir, una tasa nominal no es real, por lo que se debe convertir a una tasa efectiva. Interés efectivo (i): Aquella que mide realmente el interés otorgado o cobrado.



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2.4 TASA ACTIVA Y TASA PASIVA

2.5 TASA VENCIDA Y TASA ADELANTADA

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2.6 TASA COMPENSATORIA Y TASA MORATORIA

2.7 TAMN, TAMEX, TIPMN y TIPMEX

2.8 Tasa de inflación La inflación se calcula en base a los índices generales de precios, en el caso peruano se utiliza el índice de precios de Las peyres y cuyos valores son publicados mensualmente por el INEI Cálculo de la inflación Una vez publicado y conocido el IPC se tiene la fórmula para calcular la inflación.

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LECTURA SELECCIONADA N° 2 Lecturas seleccionadas

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¿Cúales son las verdaderas tasas de interés de los productos financieros? UPC http://blog.pucp.edu.pe/item/7762/cuales-son-las-verdaderas-tasas-de-interes-de-losproductos-financieros. Recordatorio Anotaciones No es novedad. La gran cantidad de quejas ante el regulador de la competencia son la clara señal de que no funciona bien. Varios intermediarios financieros tienen una “singular” práctica para calcular sus intereses. Poco importa cuántos cursos y estudios de finanzas se hayan tomado, no nos servirán para determinar lo que nos cobrarán. Pueden decir que cobran 60% de tasa efectiva anual por la tarjeta de crédito (lo cual ya es muy caro), pero en realidad pueden estar cobrando intereses que corresponden a una tasa anual equivalente de 120%, 500% o más. ¿Cómo es esto posible? La única forma de entenderlo es estudiando las “finanzas propias aplicadas por cada intermediario”. Increíble. Si bien, los intermediarios pueden cobrar los intereses que deseen porque se supone que estamos en un “libre mercado”, también tienen la obligación de decir “cuánto nos están cobrando” y en un lenguaje y una simbología fácil de interpretar y mediante la cual que todos sepan lo que significa. La publicación de metodologías para estimar “los intereses cobrados”, como pide el aprobado “Reglamento de Transparencia de Información a la Contratación con Usuarios del Sistema Financiero”, no es suficiente. Por el contrario, sólo genera más confusión al ciudadano de a pie y permite legalizar el cobro de “tasas de usura” con la publicidad de tasas de interés en las que no se reflejan el costo efectivo equivalente de los créditos (¿publicidad engañosa?). En las tarjetas de crédito, las estrategias más comunes para incrementar el cobro de intereses son: a) Si uno se atrasa un día, nos cobran intereses no sólo por ese día sino además por ¡todos los días transcurridos entre las fechas de consumo y la fecha de pago! y b) Si uno no paga completo, no sólo nos cobran intereses por el saldo, sino también por todos los otros consumos realizados con la tarjeta ¡a pesar de haberlos cancelado! Es decir, los intereses no están en función del saldo de deuda, del plazo transcurrido y de la tasa de interés como se enseña en cualquier colegio o universidad, sino de “reglas especiales”, las cuales desafían las leyes básicas de las finanzas. Y eso que no estamos hablando de las penalidades, comisiones y otros cobros “ocultos”. No es una novedad que en una transacción no siempre haya coincidencia entre la recepción del bien o servicio y el pago por éste, pero ello no implica cobro de intereses a menos que haya un crédito explícito de por medio. Así, si uno compra una refrigeradora y nos la entregan la semana siguiente, habremos dado un crédito implícito al vendedor, pero no le cobramos intereses. Y si uno se suscribe a una revista semanal y paga a fin de mes, habremos recibido un crédito del vendedor, pero no nos cobrarán intereses. Es decir, se tratarán de pagos al contado, “adelantados” y “diferidos” respectivamente, pero no de créditos financieros. En el caso de una tarjeta de crédito ocurre lo mismo, los consumos se pagan al contado, “diferidos” en la última fecha de pago. De lo contrario no tendría sentido una tarjeta de crédito: ¡sería una tarjeta de débito! Por tanto, recién a partir de la fecha de pago se generan las deudas y, por tanto, los intereses. Además, tanto en el caso de los créditos como en el de los depósitos, la tasa de interés tampoco refleja el costo ni el rendimiento equivalentes debido al cobro de los diferentes gastos y comisiones (mensuales, trimestrales, etc.). Por ejemplo, un depósito puede ofrecerle pagar 4% de tasa efectiva anual y en realidad pueden estar pagándole 2%, 0% o -1%, es decir, ¡puede que inclusive que le estén cobrando por ahorrar! aunque la publicidad diga lo contrario. Esto hace terriblemente difícil la comparación de precios, tanto del costo equivalente de los créditos como del rendimiento equivalente de los depósitos. La facilidad de comparación de precios y calidades es requisito básico de cualquier economía de mercado e ingrediente fundamental para que generar competencia. Por ello, para evitar esta torre de babel de tasas de interés, se hace necesario que los reguladores financieros “normalicen” el cálculo de una “tasa anual equivalente” como

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se hace en otros países. Su cálculo no es otra cosa que estimar la tasa interna de retorno que iguala el valor presente del producto financiero involucrado con el flujo futuro de intereses, gastos, seguros y comisiones durante el plazo transcurrido. Así, dicha tasa, al tener en cuenta todo el conjunto de variables que afectan a una determinada operación, permite resumir en “una sola cifra” el rendimiento o el costo total de cualquier producto financiero. Y esa facilidad permite comparar diferentes operaciones y opciones de inversión o de endeudamiento con independencia de sus condiciones particulares y del capricho de los que lo ofrezcan. Si alguna vez ha tratado de comparar los costos totales de un crédito entre las diferentes entidades financieras, inclusive los publicados por el supervisor, sabrá de es imposible que cualquier ciudadano de a pie saque alguna conclusión que le sirva. Así, si las entidades financieras estuvieran obligadas por la regulación a poner las “tasas anuales equivalentes” respectivas que cobran o pagan en toda su publicidad, contratos y documentos de liquidación se lograría una real “transparencia”, además de establecer condiciones para una efectiva competencia. No habría forma de caer en las publicidades engañosas de menores intereses con mayores comisiones porque al final la tasa anual equivalente debería reflejar que la posible disminución de la tasa de interés puede ser contrapesada por el aumento en las comisiones, por ejemplo. Tampoco caeríamos en el truco engañoso de aceptar créditos con tasas mensuales que subestiman la real tasa anual equivalente ¿modificarán el reglamento para alinearlo a los estándares internacionales?

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ACTIVIDAD N° 2 Autoevaluación

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

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BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II

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Aliaga, C. (2005). Matemática financiera un enfoque práctico. Bogotá: Pearson educación, biblioteca UCCI 511.8 A42.

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Aliaga, C. (2004). Manual de matemática financiera. Lima: Editorial Universidad del Pacífico, biblioteca UCCI 511.8 A42. Ayres, F. (2005). Matemática financiera. México: Editorial McGraw Hill, blioteca UCCI.  

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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II Descuento racional simple Glosario

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1. Determine el descuento racional simple que se efectuará a un pagaré el 26 de abril Bibliografía y cuya fecha de vencimiento es el 30 de mayo del mismo año cuyo valor nominal es 10000 y el banco que efectuó el descuento aplica una TNA de 30%. 2. Dos deudas de 5000 y 8000 cada una con vencimiento de 30 y 45 días respectivamente se descuentan en un banco, con una TNA de 12% y 15% respectivamente. Calcule el importe total del descuento racional simple. 3. El 15 de enero se descuenta 3 letras cuyos valores nominales son 7200, 6000 y 8300. las fechas de vencimiento son el 16, 20 y 22 de febrero del mismo año respectivamente. Calcule el importe total de descuento racional simple, con una TNA de 24% anual. 4. Una empresa tiene una línea de crédito de descuento de letras y pagarés con el Banco Oriente. El 30 de agosto le descontarán un pagaré, el cual vencerá el 3 de noviembre del mismo año ¿Por qué valor nominal deberá aceptar el pagaré, que será sometido al descuento racional simple con una TNA de 18% si la empresa requiere que le sea abonado un importe de 15000? 5. Una deuda de 6500 que vence el 18 de agosto se descuenta racionalmente a interés simple 75 antes de su vencimiento a una TNT de 4%. Se requiere calcular al el importe del valor líquido a pagar luego de aplicar el descuento correspondiente. Descuento racional compuesto 6. Determine el descuento racional compuesto practicado hoy a una letra de cambio cuyo valor nominal es 15000 y vence dentro de 42 días aplicando una TEM 1.5%. 7. Se quiere calcular el descuento racional compuesto que se realiza a un pagaré el 15 de abril y cuya fecha de vencimiento es de 11 de julio del mismo año su valor nominal es de 6500 y el banco utiliza una TEA 20%. 8. Halle el valor líquido a obtener por una letra de cambio de S/.8000. Descontada mensualmente a una TEM del 2% faltando 65 días para su vencimiento. 9. Determinar el importe que se dispondrá por dos títulos valores de S/. 14 000 y S/.12 500 con vencimientos en 20 y 45 días respectivamente. Si el Bco. las ha descontado a TEM 2%. 10. Un pagaré con valor nominal de S/.15 000, y que vence dentro de 120 días, ha sido descontado racionalmente a una TEA del 24% para los dos primeros meses y del 48% TEA para los últimos meses. ¿Cuánto es el descuento total y el importe a recibir? Descuento bancario simple 11. El descuento bancario simple aplicado a una título-valor, faltando 50 días para su vencimiento, ha sido de S/.500 con una TNA de descuento del 18%, ¿cuál fue su valor nominal? 12. El descuento bancario simple de un documento que vencerá dentro de 75 días es de S/. 600 a una tasa descuento del 1.5% mensual. Halle el valor nominal al que fue firmada originalmente la letra. 13. Una letra a la que se le efectuó un descuento bancario simple, sufrió una disminución de su valor nominal del 4,5% faltando 60 días para su vencimiento ¿Cuál fue la tasa anual de descuento bancario simple aplicada? 14. ¿Por cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de una factura conformada de S/.35 000 por la cual se recibió S/. 32 500? La tasa mensual de descuento fue del 2%. 15. Dos letras de 3,000 y 4,000 que vencerán el 18 de agosto son descontadas 90 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 6%mensual. Determine el valor de los descuentos efectuados y el valor líquido percibido. Descuento Bancario Compuesto 16. Halle el valor líquido a obtener por una letra de cambio S/.8000. Descontada men-

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UNIDAD II: EL DESCUENTO Y LAS TASAS DE INTERÉS

sualmente a una tasa de descuento bancario compuesto del 2% mensual faltando 65 días para su vencimiento. 17. Determinar el importe que se dispondrá por dos títulos valores de S/. 14 000 y S/.12 500 con vencimientos en 20 y 45 días respectivamente. Si el Bco. Las ha descontado a una tasa de descuento bancario compuesto del 2% mensual. 18. Un pagaré con valor nominal de S/.15 000, y que vence dentro de 120 días, ha sido descontado bancariamente aplicando una tasa de descuento anual con período de descuento mensual, del 40% para los dos primeros meses y del 60% para los últimos meses. ¿Cuánto es el descuento total y el importe a recibir? 19. Calcule el tiempo en el que fue descontado una letra con valor nominal de 10,000 que luego de aplicar un descuento bancario compuesto se recibiera 8,000 a una tasa de descuento mensual de 2%. 20. El precio de venta original de un artículo es 1750 soles ¿Por cuánto tendría que ofrecerse para promocionar un descuento de 10% sobre el nuevo precio, de modo que después del descuento se obtenga el mismo importe del precio de venta original?

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UNIDAD III: ANUALIDADES O RENTAS Y AMORTIZACIÓN DE DEUDA Actividades

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ACTIVIDADES BIBLIOGRAFÍA

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ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Anotaciones Objetivos

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CONOCIMIENTOS Tema N°Actividades 1: Anualidades Autoevaluación o rentas. 1.1 Valor actual y valor futuro 1.2 Anualidad vencida Lecturas Glosario Bibliografía seleccionadas simple - uniforme 1.3 Anualidad anticipada simple - uniforme 1.4 Anualidad diferida Recordatorio Anotaciones simple - uniforme

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Lectura Seleccionada N° 1 Empezó “Renta Dignidad” para ancianos. Tema N° 2: Sistemas de amortización de deuda 2.1 Amortización 2.2 Sistema de amortización francés – cuotas uniformes 2.3 Sistema de Amortización Alemán - Cuota de Principal Uniforme. 2.4 Sistema de Amortización Inglés – Cuota de interés uniforme 2.5 Sistema de Amortización Cuotas variable – Suma de dígitos. 2.6 Sistema de Amortización FLAT Lectura Seleccionada N° 2 Los “sabios” alemanes proponen un pacto europeo de amortización de la deuda: CRISIS UE Autoevaluación N° 3

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

1. Calcula el valor presente y futuro de las series vencidas; de las series anticipadas y diferidas. 2. Conoce el uso de las operaciones perpetuas en situaciones reales.

Mantiene una postura ética respecto a las condiciones del circuito financiero. Mantiene independencia de criterio al juzgar las operaciones financieras.

3. Reconoce y calcula los planes de amortización de deudas. 4. Aplica criterios necesarios para analizar los cronogramas de pagos de las entidades financieras. Actividad N° 1: Investiga y resume el uso de las series o anualidades en operaciones crediticias reales en su entorno. Analiza las ofertas de venta por catálogos a plazos. Actividad N°2: Desarrolla casos reales en el uso de los planes de amortización con apoyo de una hoja de cálculo. Determina y explica los cronogramas de pago ofrecidos por las entidades financieras. Control de lectura Nº 2

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UNIDAD III: ANUALIDADES O RENTAS Y AMORTIZACIÓN DE DEUDA

UNIDAD III: RENTAS ANUALIDADES Y AMORTIZACIÓN DE DEUDA OBJETIVO DE LA UNIDAD I Usted seguramente en alguna oportunidad acudió a alguna entidad financiera a solicitar un crédito el cual lo ha pagado en cuotas (anualidades) que normalmente por costumbre en nuestro entorno se hacen con pagos en forma mensual, el presente capítulo permitirá poder entender este proceso de amortizar la deuda con pagos periódicos. Al termino del presente capítulo el alumno estará capacitado en el manejo de las anualidades simple vencidas y anticipadas; anualidades diferidas, así como calcular el valor futuro y/o valor presente de una anualidad.

TEMA Nº 1: Anualidades o Rentas Una serie uniforme (anualidad) es un conjunto de dos o más rentas R que se realizan en un determinado horizonte temporal, siendo una renta un flujo de efectivo que puede tener indistintamente signo positivo cuando es una entrada a caja, o signo negativo cuando es una salida de caja.

Características: Una serie está constituida por uno o más flujos de efectivo, en los cuales: - Los plazos entre cada pago son los mismos. - La tasa efectiva a la cual se encuentran también es la misma. - Los importes de cada flujo son uniformes Aplicaciones de la Serie: - Los pagos de las pensiones de enseñanza. - Los pagos mensuales de alquileres. - Las cuotas de una compra al crédito. - Pensiones de jubilación. - Leasing o Arrendamiento Financiero. - Los pagos por préstamos hipotecarios. - Cuotas de seguros, etc. Clasificación:

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1.1 Valor actual y valor futuro

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Mucho de los análisis desarrollados en tema del valor del dinero en el tiempo, se centran en la determinación del Valor Presente o Valor Actual; que es el equivalente en el momento cero de(los) monto(s) futuro(s); es decir a cuanto Recordatorio equivale hoy los montos estimados y esperados en el futuro considerando una tasa de interés. El siguiente gráfico representa la equivalencia que existe entre dos valores en dos momentos diferentes con una determinada tasa de interés.

Donde: VA: Valor Actual, Capital o Stock inicial. VF: Valor Futuro, Monto final u Stock Final 1.2 Anualidad vencida simple - uniforme Un conjunto de rentas uniformes que constituyen una anualidad simple vencida pueden ser llevadas hacia el final del horizonte temporal de la anualidad, formando su respectivo monto final o valor futuro. Por ejemplo, si las rentas que constituyen el flujo de caja del diagrama adjunto necesitan ser llevadas por equivalencia financiera al final del período 4, utilizando la tasa i=5%, podríamos capitalizar cada flujo hacia el momento 4 aplicando la fórmula (3.1). El término entre corchetes de la fórmula (3.1) se denomina el Factor de Capitalización de la Serie, se abrevia FCS y lleva hacia el futuro un conjunto de rentas uniformes aplicando una tasa efectiva en el cual el período de renta y el período de tasa son del mismo plazo. De modo similar un conjunto de rentas uniformes que constituyen una anualidad simple vencida pueden ser descontadas hacia el inicio del horizonte temporal de la anualidad, formando su respectivo valor presente. Por ejemplo, las rentas del diagrama anterior pueden ser descontadas hacia el momento 0 aplicando la fórmula (3.2). El término entre corchetes de la fórmula (3.2) se denomina el Factor de Actualización de la Serie, se abrevia FAS y trae hacia el presente un conjunto de rentas uniformes aplicando una tasa efectiva en el cual el período de renta y el período de tasa son del mismo plazo. Ejemplo 1: Cálculo de valor futuro Un afortunado alumno viene depositando 100 soles cada fin de mes en una cuenta ahorros que paga una TEM de 1%; cuanto será el monto que acumulará al final de dos años si las condiciones se mantienen. Solución: En este ejemplo se busca acumular los flujos de dinero que se vienen depositando cada fin de mes, los cuales deben ser llevados a valor futuro; es decir cada uno de los depósitos realizados genera intereses que deberán ser acumulados al final.

Gráficamente podría mostrarse de la siguiente manera:

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UNIDAD III: ANUALIDADES O RENTAS Y AMORTIZACIÓN DE DEUDA

Datos:

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R (Renta)

= 100 mensuales

i (Tasa)

= 1% TEM

n (# de cuotas)

= 24 meses

S (Monto)

=¿

Aplicando la fórmula de valor futuro o monto (3.1): No olvidemos que para hacer uso de estas fórmulas debemos cuidar que la tasa y el # de cuotas tienen que estar expresados en el mismo periodo; es decir si las cuotas son mensuales la tasa también lo debe ser y viceversa. Este tipo de ejercicios también puede ser desarrolladlo utilizando el Excel en una celda vacía escriba lo siguiente: =VF(1%,24,-100)

VF es una función que permite calcular el valor futuro de un conjunto de pagos periódicos; esta función necesita como datos o argumentos: Tasa: es la tasa de interés que siempre debe estar expresada en el mismo periodo que los pagos constantes. Nper: es el número de cuotas periódicas que se pagan. Pago: es la cuota periódica que se paga, considérela en negativo por ser salida de efectivo.

Ejemplo 2 Una deuda viene cancelándose con cuotas cada fin de bimestre de 350 soles a una TEA de 12.616242% desde hace un año, faltando aun 6 cuotas para su cancelación total. Determine el valor del préstamo original de dicha operación. Solución: El ejemplo consiste en calcular el capital o valor presente correspondiente al pago de las cuotas bimestrales, utilizaremos la fórmula de valor presente o capital (3.2), considérese que si la deuda se viene pagando hace un año se pagaron 6 cuotas y aun faltan 6 cuotas adicionales haciendo un total de 12 cuotas bimestrales. Datos: R (Renta)

= 350 mensuales

i (Tasa)

= 12.616242% TEA

n (# de cuotas)

= 12 cuotas bimestrales

P (Capital)

=?

Existe un problema en el tema de la tasa “i” y las cuotas no están expresadas en el mismo periodo; en consecuencia debemos convertir en este caso la tasa ya que el periodo de pago de las cuotas no puede cambiarse.

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Convirtiendo una tasa efectiva

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1° suma uno a cada tasa efectiva e iguálalos. En este caso TEA de 12.616242% se convertirá a TEB, entonces: (1+TEA)=(1+TEB)

Recordatorio

2° Ambos extremos de la igualdad no son equivalentes a menos que los exponen ciemos a la cantidad de veces que se contienen en un año, es decir tenemos 6 bimestres en un año entonces a la TEB lo elevamos a 6, si fueran meses el exponente seria 12 porque en un año hay 12 meses. 3° Remplace la tasa que posee y despeje la tasa deseada y obtiene el resultado. TEB=2% Remplazando en la fórmula (3.2) para capital o valor presente.

P=3701.37 El ejercicio también se puede calcular con la ayuda de Excel, en una celda escriba: =VA(2%,12,-350)

VA: es una función que calcula el valor actual o valor presente también llamado capital de una serie de pagos constantes e iguales. Tasa: es la tasa de interés que siempre debe estar expresada en el mismo periodo que los pagos constantes. Nper: es el número de cuotas periódicas que se pagan. Pago: es la cuota periódica que se paga, considérela en negativo por ser salida de efectivo. 1.3 Anualidad anticipada simple – uniforme En algunas operaciones financieras los pagos se hacen al inicio del periodo, para mostrar algunos ejemplos: pago de su pensión a la universidad, pago de alquiler anticipado, préstamo de deuda anticipada, etc. Las anualidades o renta anticipadas a diferencia de las anualidades o rentas vencidas se pagan al inicio de cada periodo tenemos; en consecuencia una anualidad vencida se da al final del periodo y la tasa anticipada al inicio teniendo de esta forma: En el gráfico se muestra la relación entre la Renta Vencida (R) y la renta anticipada (Ra); si analiza el gráfico vera que la diferencia temporal es sólo un periodo entonces podemos calcular R con la siguiente fórmula:

Si remplazamos la fórmula anterior (3.3) en la fórmula de valor futuro o monto (3.1) tendremos lo siguiente:

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La fórmula anterior permite calcular el monto en función de una renta anticipada. En consecuencia para el cálculo del capital o P se tendrá que remplazar (3.3) de igual forma dentro de la fórmula de valor presente o capital (3.2).

La fórmula (3.5) permite calcular el capital o valor presente de una anualidad anticipada. Cálculo de valor futuro Ejemplo 1: Que monto se acumulara al final del cuarto mes, si hoy y durante 3 meses consecutivos se depositan 100 soles en una cuenta de ahorros que paga una TEM de 2%. Solución: Podemos representar gráficamente el problema de la siguiente forma:

Aplicando la fórmula (3.4) puede calcularse el monto:

S=420.40 El monto acumulado al cuarto mes después de realizados los depósitos anticipados tendremos un monto acumulado de 420.40 Cálculo de valor presente Ejemplo 2 Una serie de cinco pagos de 350 soles que realiza un alumno de una universidad cancelan el pago de su pensión de enseñanza. Considerando una TEM del 4% determine cuanto se necesitará al inicio para cancelar todas las pensiones. El ejemplo consiste en calcular el valor presente o el capital necesario que remplacen a estos pagos mensuales iniciales. Utilizando la fórmula (3.5) tendremos:

1.4 Anualidad diferida simple - uniforme Cuando en un contrato de crédito se otorga un periodo “K” en el que no se paga ninguna cuota se considera como periodo de gracia, siendo usual este tipo de operaciones en nuestro entorno; el pago de este tipo de contratos inicia después de mencionado periodo, gráficamente tendremos: Analizando la fórmula; para el cálculo del valor futuro “S” tendremos que acumular las rentas al igual que una renta normal, ya que el periodo de grácia que se otorgue al inicio del periodo no influencia en nada, asi tendremos, tanto para una renta anticipada y una renta vencida:

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Así la fórmula (3.1) sería la misma para el cálculo del monto de una renta o anualidad vencida normal y la fórmula (3.4) sería la fórmula para el cálculo del monto con una renta vencida en una anualidad diferida.

Para el cálculo del valor presente “P” se tendrá que considerar el periodo de gracia ya que si calculamos el valor presente sin considerar el periodo de gracia “Pk”, deberemos obtener el nuevo valor presente por el periodo de gracia obtenido simplemente dividiendo a “Pk” entre (1+i)k, así tendremos:

La fórmula anterior (3.6) permite calcular el valor presente de una anualidad diferida. Si a la formula anterior remplazamos la renta vencida (R) por la equivalencia de renta anticipada (Ra) tendremos la fórmula para el cálculo del valor presente con una renta anticipada y diferida.

Bibliografía

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LECTURA SELECCIONADA N° 1 Lecturas seleccionadas

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Bibliografía

Empezó “Renta Dignidad” para ancianos Ramírez, D. (2008, Feb 02) LA PAZ/EFE - El presidente de Bolivia, Evo Morales, inició ayer en la ciudad central de Cochabamba Recordatorio Anotaciones el pago de una ayuda vitalicia a la vejez, que se financia con ingresos petroleros de las regiones y aseguró que es una “obligación” del Estado garantizarla. “Es una fecha histórica”, destacó Morales en su discurso al subrayar que llegó la hora de “atender una demanda de la gente que se ha esforzado por Bolivia”. Llamó a algunos prefectos (gobernadores) y líderes cívicos a “no ser ingratos con los ancianos” y los instó a “trabajar juntos” por el país. Los prefectos y cívicos opositores rechazan que se financie con ingresos del Impuesto Directo a los Hidrocarburos (IDH), que hasta ahora recibían las regiones. Ese recorte es uno de los puntos de desacuerdo en el diálogo iniciado hace casi un mes entre Morales y los nueve prefectos. La ayuda “universal y vitalicia”, equivalente a unos 26 dólares mensuales, beneficiará a alrededor de 700,000 personas mayores de 60 años, según datos del Ministerio de Hacienda. María González, una cochabambina nacida el 1 de enero de 1929, fue la primera en cobrar la renta de manos del presidente Morales. Más de cuarenta entidades -entre las que figuran bancos, fondos financieros privados, cooperativas y ONG’s- se encargarán de realizar el pago de la “Renta Dignidad” junto a las Fuerzas Armadas, que lo harán fundamentalmente en el área rural. La señora Gregoria Chana, de 69 años, no pudo contener sus lágrimas al momento de recibir su renta Dignidad. “Le doy gracias al Presidente. Nosotros sufrimos, vivimos en la calle y no tenemos dinero, a veces no comemos”, relató la beneficiaria al momento de recibir los 200 bolivianos. Al hacer entrega el canciller Choquehuanca, le recomendó que cuide su dinero, lo invierta en lo que le haga falta y que se mantenga fuerte frente a todo. Ramirez, D. (2008, Feb 02). Empezó ‘renta dignidad’ para ancianos. El Diario La Prensa. Retrievedfrom. http://search.proquest.com/docview/368473292?accountid=146219  

TEMA Nº 2: Sistema de Amortización de Deudas Una amortización se conoce como un proceso financiero mediante el cual una deuda o una obligación y el interés que genera se extinguen de manera progresiva por medio de pagos periódicos o servicios parciales, pueden iniciarse conjuntamente con la percepción del Stock de efectivo recibido (flujo o pagos anticipados), al vencimiento de cada periodo de pago (flujos o pagos vencidos), o después de cierto plazo pactado originalmente (flujos diferidos) 2.1 Amortización Bajo los sistemas de amortización se realizará el pago de una cuota o servicio, parte del cual se aplica para cubrir los intereses generados por la deuda; si la cuota es mayor que el interés, la diferencia disminuye el saldo insoluto. En caso el pago de la cuota sea tan pequeño que no puede cubrir ni siquiera el interés generado por el saldo insoluto, entonces la diferencia no cubierta se capitaliza. A partir del día siguiente al vencimiento de cada cuota, si ésta no hubiera sido

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amortizada completamente, la parte no amortizada de ella entrará en mora y generará a diario un interés de mora, independientemente del interés compensatorio que genera el saldo insoluto. Cuando un préstamo está en mora, cada pago, hasta donde alcance, debe aplicarse para cancelar la deuda en el siguiente orden: Interés Moratorio Interés Compensatorio Principal vencido

Si el pago efectuado quedara algún remanente, la diferencia se aplicará para cubrir: El interés no vencido, pero devengado hasta la fecha del pago El principal por vencer Contablemente Amortizar es el proceso que consiste en disminuir el valor de un activo, para cargar este importe a gastos. En el presente libro se tomará el concepto financiero de amortización, no el contable. En un problema de amortización intervienen: El importe de los pagos periódicos que pueden ser uniformes o irregulares. El número de pagos cuyos plazos pueden ser uniformes o irregulares. La tasa de interés que puede ser fija o variable, explícita o implícita La formulación de las tablas de amortización conocidas también como cuadros de servicio de la deuda o de reembolso de préstamos. Para aplicarse la amortización de un préstamo, formalizado mediante un contrato con una entidad financiera y regulada por las entidades competentes, pueden aplicarse diversos sistemas de repago, limitados solo por el principio de equivalencia financiera, por medio del cual, la suma de las cuotas evaluadas a valor presente con la tasa de interés o combinación de tasas pactadas deben ser iguales al importe del crédito original. Los principales sistemas de amortización de préstamos son: Sistema Francés – Cuotas Uniformes. Sistema Alemán – Cuota de Amortización Igual o uniforme. Sistema Inglés – Cuota del interés uniforme. Cuotas Variables – Aritméticas, Geométricas y Suma de Dígitos Flat 2.2 Sistema de Amortización francés – cuotas uniformes Consiste en la aplicación de cuotas uniformes o constantes para la cancelación o amortización de la deuda; los periodos de pago comúnmente se mantiene invariables, las cuotas pueden ser anticipadas o vencidas, en cualesquiera de los casos se mantiene las cuotas iguales. La metodología del sistema se explica en el siguiente cuadro:

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n : Periodos de repago D: Saldo insoluto o deuda residual A: Monto de Amortización del principal Anotaciones

I: Monto del Interés R: Cuota total i: Tasa de Interés Cuotas uniformes vencidas en periodos uniformes Ejemplo: se desea amortizar un préstamo de 10,000um, en un plazo de cuatro meses con cuotas uniformes que vencen cada 30 días; dicho préstamo devenga una TEM del 4%y se desembolsa el 18 de Agosto. Desarrolle la tabla de amortizaciones.

Cuota: se calcula aplicando el FRC visto en el acápite anterior donde R es el valor de la cuota. Interés: el interés de cada cuota se genera por la tasa efectiva aplicada sobre el saldo deudor anterior o saldo insoluto. Amortización: es la diferencia de la cuota uniforme y el interés que genera el saldo anterior. Saldo: a partir de la primera cuota el saldo insoluto es igual a la deuda extinguida anterior más la amortización actual. Cuotas uniformes anticipadas en periodos uniformes El sistema de cuotas informes en su modalidad anticipada nace como resultado de que la entidad financiera efectúe un menor desembolso con relación al préstamo efectivamente solicitado por el prestatario, ya que en el momento 0 coincide el desembolso y el vencimiento de la primera cuota uniforme. Bajo este sistema en el momento 0 se pagó la primera cuota, en el momento 1 se desembolsa a segunda cuota y así sucesivamente. Para efectos de calcular la cuota anticipada o renta anticipada (Ra) se utiliza la fórmula: Ejemplo: se desea amortizar un préstamo de 10,000um, en un plazo de cuatro meses con cuotas uniformes anticipadas cada 30 días; dicho préstamo devenga una TEM del 4%y se desembolsa el 18 de Agosto. Desarrolle la tabla de amortizaciones.

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2.3 Sistema de amortización alemán - cuota principal uniforme

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Para obtener la cuota del principal a amortizar, basta con dividir el importe del préstamo entre su número de cuotas. En este sistema, las cuotas del préstamo van decreciendo en el mismo importe en que disminuye la cuota interés oRecordatorio el interés. La metodología del sistema se explica en el siguiente cuadro:

Ejemplo: se desea amortizar un préstamo de 10,000um, en un plazo de cuatro meses con amortizaciones uniformes cada 30 días; dicho préstamo devenga una TEM del 4% y se desembolsa el 18 de Agosto. Desarrolle la tabla de amortizaciones.

2.4 Sistema de amortización inglés - cuota interés uniforme Bajo este sistema se considera un cálculo de los intereses uniforme. La siguiente tabla muestra la metodología:

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Ejemplo: se desea amortizar un préstamo de 10,000um, en un plazo de cuatro meses con intereses que devengan o deben pagarse cada 30 días; dicho préstamo devenga una TEM del 4% y se desembolsa el 18 de Agosto. Desarrolle la tabla de amortizaciones

2.5 Sistema de amortización cuotas variables – suma de dígitos Bajo este sistema, un dígito es el cardinal que le corresponde a cada cuota; así, a la primera cuota le corresponde el dígito 1; a la segunda el dígito 2, etc. En un sistema que utiliza la suma de dígitos se forma una razón para cada una de las cuotas, cuyo numerador es igual al dígito de su respectiva cuota y el denominador es una cifra fija igual a la suma de los dígitos del préstamo. La razón establecida en cada cuota multiplicada por el importe el préstamo original. La siguiente tabla muestra la metodología:

Ejemplo: se desea amortizar un préstamo de 10,000um, en un plazo de cuatro meses con cuotas que devengan o deben pagarse cada 30 días; dicho préstamo devenga una TEM del 4% y se desembolsa el 18 de Agosto. Desarrolle la tabla de amortizaciones

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2.6 Sistema de Amortización FLAT

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Los préstamos que se repagan con el sistema de amortización FLAT, muy utilizados en el sistema comercial porque financian ventas a plazos, no aplican el principio de equivalencia financiera, y por tanto la tasa de interés que se anuncia Recordatorio como costos financiero del crédito no es el verdadero costo del financiamiento, ya que los intereses no son a rebatir (sobre los saldos deudores) La cuota se calcula con la siguiente fórmula:

Ejemplo: se desea amortizar un préstamo de 10,000um, en un plazo de cuatro meses con cuotas que devengan o deben pagarse cada 30 días; dicho préstamo devenga una Tasa FLAT del 4% y se desembolsa el 18 de Agosto. Desarrolle la tabla de amortizaciones.

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LECTURA SELECCIONADA N° 2 Lecturas seleccionadas

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Los “sabios” alemanes proponen un pacto europeo de amortización de la deuda: CRISIS UE Berlín, 9 nov (EFE).- El Consejo Asesor de Economistas del Gobierno Alemán, los llamados “Cinco Sabios”, han propuesto en su informe de otoño entregado hoy a la canciller Recordatorio Anotaciones federal, Angela Merkel, la creación de un pacto europeo de amortización de la deuda. En el informe los sabios evitan usar el término “eurobonos” pero su propuesta está cerca de la idea de asumir una responsabilidad conjunta de la deuda europea. El objetivo del pacto sería reducir la deuda de los países que participen en el mismo por debajo del 60 por ciento del PIB, contemplado como límite de referencia en el Pacto de Estabilidad. Los países que participen en el pacto tendrían que fijar en su legislación nacional un freno a la deuda, similar al contemplado en las constituciones de Alemania y España, y establecer una senda vinculante de consolidación fiscal. A cambio de ello, a los países se les abriría la posibilidad de financiar parte de su deuda a través de un fondo de amortización común que los miembros del pacto garantizarían conjuntamente. Las deudas que superen el 60 por ciento del PIB se desplazarían al fondo de amortización conjunto que emitiría títulos por valor de 2,3 billones de dólares. Italia será el principal participante del fondo, con un 41 por ciento, seguido por Alema-

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nia, con un 25 por ciento. Otros miembros importantes del pacto deberían ser Francia, Bélgica y España, señala la iniciativa de los “Cinco Sabios”. A través de la senda de consolidación fiscal, los países del pacto se comprometerían a amortizar la parte de su deuda trasladada al fondo en un plazo de entre 20 y 25 años. El fondo de amortización tendría que ser una institución limitada en el tiempo, que se aboliría en el momento en que los países redujeran sus deudas por debajo del 60 por ciento del PIB. Además, las deudas de los países participantes en el pacto no podrían volver a superar el 60 por ciento del PIB. En caso de que un país abandonase la senda de consolidación fiscal, cesaría automáticamente la responsabilidad conjunta por nuevas deudas que asumiera. Como garantías, los países miembros del pacto tendrían que ofrecer parte de sus reservas de divisas o de oro. Además, parte de la recaudación de un impuesto nacional, que podría ser el IVA o el impuesto a la renta, no debería ir a los presupuestos nacionales sino directamente al fondo de amortización. EFE. © EFE 2011. Está expresamente prohibida la redistribución y la redifusión de todo o parte de los contenidos de los servicios de Efe, sin previo y expreso consentimiento de la Agencia EFE S.A. Cita - ProQuest Los “sabios” alemanes proponen un pacto europeo de amortización de la deuda. (2011, Nov 09). EFE News Service. http://search.proquest.com/docview/902668204?accountid=146219

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ACTIVIDAD N° 1 Autoevaluación

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

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BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III

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Aliaga, C. (2001). Matemática financiera un enfoque práctico. Bogotá: Pearson educación, biblioteca UCCI 511.8 A42.

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Aliaga, C. (2004). Manual de matemática financiera. Lima: Editorial Universidad del Pacífico, biblioteca UCCI 511.8 A42 2004. Ayres, F. (2005). Matemática financiera. México: Editorial McGraw Hill, biblioteca UCCI.

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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD III 1. Una persona deposita al final de cada trimestre un importe de 2000 soles ¿Qué monto acumulará en el plazo de dos años se percibiera una TET 6%? Glosario

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2. Bibliografía ¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si cada fin de mes se realizan depósitos de 800 durante 8 meses consecutivos a una TEA de 12%? 3. Una máquina se vende con una cuota inicial de 2000 soles y 12 cuotas de 300 soles cada una a pagarse cada 30 días. Calcule el valor presente equivalente con una TET 9%. 4. Una renta constante al final de cada trimestre en el lapso de 4 años permitió acumular un monto de 20000 soles a una TEM 3%. Determine el valor de dicha renta. 5. Una deuda de 5000 soles debe amortizarse en el plazo de un año con cuotas uniformes mensuales con una TEM 3%. Calcule el valor de mencionada cuota. 6. Cuanta cuotas de 1576. 14 soles cada fin de mes podrán amortizar con una TEM de 5%. 7. Que monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si se deposita a inicio de cada mes y durante 8 meses consecutivos con una TEA de 12% 8. Qué precio al contado tiene una máquina que se vende a crédito con12 cuotas mensuales anticipadas de 200 soles cada una. El costo de oportunidad es una TEM de 2%. 9. Determine el importe constante que debe colocarse a cada inicio de trimestre por un lapso de 4 años, los cuales permitieron acumular un monto de 20000c on una TEA de 12%. 10. Que cantidad de depósitos mensuales a inicio de mes de 250 soles deben efectuarse en un banco para acumular un monto de 2000 soles con una TEM de 3% 11. Muestre la tabla de amortización de un préstamo de 5000 soles a una TEA de 17% desembolsada el 18 de agosto; el cual se amortiza en el lapso de un año con cuotas uniformes que vencen cada 60 días. 12. Una empresa solicita a un banco un préstamo de 20000 soles que devenga un TEM de 2% para ser cancelado en el plazo de 2 años con cuotas uniformes trimestrales vencidas. El importe de las amortizaciones debe ser: en el primer año igual al 40% del préstamo y durante el segundo año igual a 60% del préstamo. Calcule el importe de las cuotas uniformes durante el primer y segundo año. 13. Una deuda firmada a una TEA 18% debe amortizarse en el plazo de 2 años con cuotas uniformes de 492.82 soles que deben pagarse cada 30 días. Determine el de la deuda original. 14. Calcular el valor presente de una renta ordinaria de 1000 soles mensual a recibirse después de transcurridos tres meses y durante el plazo de un año, a una TEM de 4%. 15. Calcule el importe de las rentas diferidas vencidas considerando: P= 1000, k= 3 meses, n= 5 meses, TEM= 2% 16. Calcule el importe de la cuota fija trimestral vencida a pagar en un financiamiento de 10 000 soles, Otorgado por una entidad financiera a una TEA de 20%, que debe amortizarse en 4 periodos trimestrales, de los cuales los 2 primeros son diferidos. 17 Un activo fijo se está ofreciendo a la venta con una cuota inicial de 3000 soles y cuotas mensuales de 300 soles que deben pagarse durante 4 meses ¿Cuál es precio al contado equivalente si el costo de oportunidad es una TEM de 5%? 18. La empresa maquinas industriales vende compresoras a un precio al contado de 3964,88 um. A crédito, efectúa la venta con una cuota inicial de 3000 um y el saldo lo negocia de acuerdo con las propuestas del comprador, con una TEM de 5%. Si un cliente solicita pagar la diferencia en cuatro cuotas fijas cada fin de mes, y hacerlo tres meses después de la cuota inicial, ¿Cuál es el importe de la cuota fija? 19. Calcule el número de periodos diferidos mensuales por otorgar en un financiamiento de 11,166.33, que genera una TEM de 5% para rembolsar con 8 cuotas mensuales vencidas de 2,000 cada una.

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20. Dentro de un año se recibirá durante un plazo quincenal una renta mensual de 250 um, cuyo importe deberá depositarse en un banco que remunera esos depósitos con una TEA de 8% Calcule el monto que se acumulara al final de ese quinquenio en ese caso de que las rentas sean vencidas.

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ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Anotaciones Objetivos

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CONOCIMIENTOS

PROCEDIMIENTOS

Tema N°Actividades 01: Perpetuidades Autoevaluación 1 Comprende las perpetui1.1 Monto de una dades y el costo capitaliperpetuidad zado. 1.2 Valor presente de una 2 Conoce el uso de las opeperpetuidad Lecturas Glosario Bibliografía raciones perpetuas en siseleccionadas 1.3 Renta de una tuaciones reales perpetuidad 1.4 La Depreciación Actividad N° 1: 1 Desarrolla ejercicios proRecordatorio Anotaciones Lectura Seleccionada N°1 puestos concernientes a Opinión Invitada / Al la Perpetuidades. garete 2 Aplica los conocimientos de perpetuidades en Tema N° 02: Evaluación de situaciones reales con el Inversiones apoyo de una hoja de 2.1 Valor Actual Neto cálculo. (VAN) 2.2 Tasa Interna de Retorno 3 Reconoce y categoriza la (TIR) depreciación

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Lectura Seleccionada N° 2 Teoría financiera y costo de capital Autoevaluación N° 04

4 Clasifica y reconoce las principales técnicas de evaluación de inversiones. Actividad N° 2: Identifica y analiza las operaciones de depreciación, desarrollando casos propuestos. Desarrolla casos de análisis de inversiones. Tarea Académica N° 2

ACTITUDES Mantiene una postura ética respecto a las condiciones del circuito financiero. Mantiene independencia de criterio al juzgar las operaciones financieras.

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UNIDAD IV: PERPETUIDADES E INDICADORES FINANCIEROS

UNIDAD IV: PERPETUIDADES E INDICADORES FINANCIEROS OBJETIVO DE LA UNIDAD IV Alguna vez se puso a pensar si sería posible obtener una renta mensual de por vida en forma finita, pues este es el tema que se tratará en esta acápite; además los indicadores financieros que permiten medir el grado de rentabilidad de una inversión para poder tomas decisiones de inversión y/o financiamiento.

TEMA 01: PERPETUIDADES En el siguiente esquema se muestra gráficamente una perpetuidad o también llamado renta perpetua, las cuales pueden ser vencidas o anticipadas:

1.1 Monto de una perpetuidad Si analizamos la secuencia de pagos que se realizaran por un tiempo infinito, encontraremos que tambien el monto tenderá a ser infinito; en consecuencia no exisitira una fórmula que permita calcular el monto o valor futuro de una renta perpetua, siendo tal tambien un monto infinito. 1.2 Valor presente de una perpetuidad Para calcular el valor presente de una renta perpetua significaría descontar hacia el momento 0 infinitas rentas uniformes que se ubican en el futuro, con y como tasa de descuento. Partiendo de una lógica sencilla denotaremos la fórmula; si usted depositará un monto de dinero del que sólo retirará los intereses sin afectar al capital inicial, se tendrá la siguiente relación ya que nunca se agotará el capital inicial es decir que la renta será igual a los intereses que se generan en un periodo. Asi tendremos: R=Pi

La fórmula (4.1) calcula el valor presente de una perpetuidad simple vencida cuando tiende hacia el infinito en el cual R es del mismo plazo que i. Para el caso de una renta anticipada, consideraremos la equivalencia entre una renta vencida R y una renta anticipada Ra

En consecuancia la fórmula para calculara P en función de una renta anticipada sera:

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Ejemplo

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Con el objeto de apoyar a una casa hogar se decidio donar a perpetuidad un valor de 10,000 al final de cada año. Determine el valor presente de dicha donación para permitir que la casa hogar pueda retirar dicho importe si el banco Recordatorio remunera una TEA de 6.25% Solución: En el presente caso se quiere determinar cuanto se deberá depositar (P) en una cuenta hoy dia para que al final de cada año pueda retirarse los intereses que equivalen a 10,000 ( R ) con una TEA de 6.25% (i) utilizando la formula obtendremos (4.1):

Los 160000 de capital que se obtiene como resultado nos permitirá generar el suficiente interés o renta para poder retirar cada año y asi asegurar que infinitamente pueda retirarse los 10000 solicitados. Ejemplo Un padre de familia preocupado por el futuro de sus hijos estima que sus hijos podrán solventar sus gastos en forma indefinida con 20,000 soles anuales que se requiere que sean retirados a inicio de cada año; en tal sentido desea establecer un depósito que debe realizar hoy dia para cumplir con dicho retiro. El banco remunera una TEA de 5%. Solución En el ejemplo se busca determinar el valor de P para permitir un retiro anticipado Ra cada inicio de año; aplicando la fórmula (4.2) obtendremos:

P=420,000 1.3 Renta de una perpetuidad Para algunos casos determinar el monto de la renta infinita que se podrá realizar en función de un capital inicial se permitirá con las siguientes fórmulas en el que despejamos tanto R como Ra de las fórmulas (4.1) y (4.2).

La fórmula (4.3) permite determinar la renta vencida infinita o perpetua correspondiente a una capital P con una tasa i.

La fórmula (4.4) permite determinar la renta anticipada infinita o perpetua correspondiente a una capital P con una tasa i. 1.4 La depreciación Se conoce como depreciación a la disminución del valor de un determinado bien llamado activo fijo en las empresas, normalmente dicha pérdida de valor se lleva a cabo por el paso del tiempo, desgaste por uso, caída en desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico o tributario.

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La depreciación puede calcularse sobre su valor de uso, su valor en libros, el número unidades producidas o en función de algún índice establecido. Para poder cubrir la depreciación de un activo es necesario formar un fondo de reserva (F) a partir de los montos de depreciación calculados cada cierto periodo acorde a un método elegido previamente. En algunas economías como la peruana se establecen ciertos límites en porcentaje a aplicar como depreciación. 1.4.1 Conceptos Costo inicial (C): es el costo de adquisición del activo, incluyendo: fletes, embalajes, instalaciones y otros gastos adicionales necesarios para dejar operativo el bien adquirido. Vida Útil (n ): es el tiempo durante el cual el activo fijo puede producir económicamente antes de ser remplazado o descartado. Valor contable (V): o también llamado valor en libros, es la diferencia entre el costo del activo menos el fondo de reserva o depreciación acumulada. Valor comercial, es el valor de realización del activo; el efectivo que puede obtenerse en el mercado en el caso de la venta de dicho activo. Pueden existir diferencias entre el valor de mercado y el valor contable de dicho activo. Valor de Salvamento, desecho o de rescate (L). Es el importe neto que se estima, puede obtenerse al realizar un activo fijo al final de su vida útil 1.4.2 Métodos de depreciación Entre los distintos métodos de depreciación utilizados podemos nombrar: 290 Método de la línea recta 291 Método de unidades producidas 292 Suma de dígitos Método de la línea recta El método de la línea recta es el método más sencillo y más utilizado por las empresas, y consiste en dividir el valor del activo entre la vida útil del mismo. Este método distribuye uniformemente la depreciación entre los años de vida útil del activo. Para utilizar este método primero determinemos la vida útil de los diferentes activos.

La fórmula (4.5) determina el valor de la depreciación para un año por el método de la línea recta. Ejemplo Obtenga el valor de depreciación de un activo fijo cuyo valor de adquisición inicial fue de 10,000 soles, se estima una vida útil de 4 años y un valor de salvamento de 2,000 soles. Prepare la tabla de depreciación y calcule además la tasa uniforme de depreciación. Solución: Aplicaremos la fórmula (4.5) primeramente calcularemos el valor de la depreciación para cada año.

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Entonces 2000 soles será el valor de la depreciación por cada año, con ello podremos obtener el cuadro de depreciación

Recordatorio El valor contable se obtiene restando el valor de la depreciación de cada año, la depreciación es uniforme para todos los periodos y el fondo de reserva es la acumulación de los valores de depreciación de cada año.

Para la tasa uniforme de depreciación podemos obtenerla dividiendo el 100% que representa al total entre los cuatro años de vida útil

Método de unidades producidas Este método es muy similar al de la línea recta en cuanto se distribuye la depreciación de forma equitativa en cada uno de los periodos. Para determinar la depreciación por este método, se divide en primer lugar el valor del activo por el número de unidades que puede producir durante toda su vida útil. Luego, en cada periodo se multiplica el número de unidades producidas en el periodo por el costo de depreciación correspondiente a cada unidad.

Ejemplo: Una máquina adquirida en 8000 soles tiene las siguientes características técnicas: capacidad de producción diaria máxima 100 unidades, vida útil de producción 12500 unidades. El departamento de programación estima los siguientes niveles de producción para los próximos 5 años: 20000, 25000, 35000, 30000 y 15000 unidades respectivamente. Calcule la depreciación anual considerando un valor de rescate de 1000 soles. Solución

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UNIDAD IV: PERPETUIDADES E INDICADORES FINANCIEROS

La depreciación para cada año se calcula multiplicando el factor obtenido en la fórmula por la cantidad de producción de cada año. El valor contable se va disminuyendo para cada año a razón de la depreciación del mismo, y el fondo de reserva incrementa o acumula el valor de la depreciación de cada periodo. Método de suma de dígitos Este es un método de depreciación acelerada que busca determinar una mayor alícuota de depreciación en los primeros años de vida útil del activo. La variación radica en que el cargo por depreciación anual se obtiene multiplicando el valor de uso del activo por una fracción cuyo numerador es el número de años que restan de vida al activo y el denominador es la suma de los dígitos de la vida útil estimada del bien.

La fórmula (4.7) permite calcular el valor de depreciación para cada año por el método suma de dígitos. Ejemplo: Determine el cuadro de depreciación por el método de suma de dígitos para un activo fijo cuyo costo inicial es de 10000 con una vida útil de cuatro años y un valor de salvamento de 2000. Solución: Aplicando la fórmula (4.7) se obtendrá lo siguiente:

El valor de la depreciación se calcula multiplicando la diferencia del costo Histórico (C) y el valor de salvamento (L) por la cantidad de años que faltan para su vencimiento dividido entre la suma total de años.

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Opinión invitada / Al garete Fernando Turner En las crisis, la calidad del liderazgo se manifiesta. Cuando es capaz, puede mostrar sus capacidades Recordatorio Anotaciones creativas, organizacionales, carismáticas y ejecutivas ante las inminentes amenazas, para inspirar a la sociedad a intentar cambios trascendentes que la lleven a mejores estadios de desarrollo. Un liderazgo transformacional. Cuando es inane, el liderazgo se manifiesta en exhortos, buenas intenciones y programas insustanciales orientados a conservar el statu quo y la imagen. Se aparenta acción cuidando no cambiar o renovar. Se apacigua la conciencia, evitando desacomodar el sistema y dañar intereses creados. Éste lo vivimos actualmente en México. Un liderazgo improductivo, conservador, esclavizado por los dogmas, ineficaz y sin empatía con la gente. Liderazgo compuesto por las omnipresentes y perpetuas rémoras en el gobierno y la política, tanto del sector público como del “social” y privado. Todos, sacando las mayores rentas de un país cada vez más disminuido. Movidos por egoísmo que los aísla de las necesidades, aspiraciones y penurias de la población, que son para ellos sólo estadísticas incómodas que siempre pueden ser maquilladas. Rémoras alejadas del interés nacional, el cual confunden con sometimiento al dogma globalizador, monetarista y conservador y a la protección a los de siempre. Ante la crisis, las recetas de siempre. Proteger los ingresos fiscales a costa del derrumbe de la inversión y el empleo. Mantener grotescamente, en la estratósfera, las tasas de interés, para evitar la salida de capitales golondrinos rentistas, costosos e inútiles que pueden desplomar la moneda inflada por la intervención obvia y desproporcionada del Banco Central, esa institución pretendidamente infalible, ausente del compromiso impulsor. Proteger los monopolios públicos y los oligopolios privados congelando precios excesivos sobre los internacionales, los que han convertido al País en un esquilmo de las mayorías desprotegidas. Ante la crisis, los mismos cursis, desprestigiados y anacrónicos shows corporativistas que el cambio no se ha atrevido a tocar, exhibiéndose orondos y sonrientes como comparsas, los mismos de siempre: los dueños del esquilmo y de las rentas; los perennes líderes empresariales, políticos y sindicales. Eventualmente se manifestarán irresponsables ante el fracaso de la farsa, pero prestos a la siguiente. Ante el inminente derrumbe, centrarse en la protección de los ingresos fiscales, en el Estado y en la protección a la oligarquía como remedio a una crisis que demanda, además de política monetaria contra cíclica, apoyo al consumidor y a los productores no rentistas, mediante desgravaciones fiscales y estímulos sustanciales, así como austeridad, recato y moderación a funcionarios, políticos y oligarcas. Contrario a otros países que regresan impuestos en efectivo, eliminan gravámenes y aumentan las inversiones, nuestro gobierno, cooptado por tecnócratas incapaces esclavizados a teorías desprestigiadas, acompañado del corporativismo y alejado de la gente, anuncia medidas gastadas, irrelevantes e ineficaces que no tiene intenciones ni capacidad para aplicar, y cuya ejecución el Presidente no intentará vigilar, porque son para la foto y para la galería. Para la biblioteca post presidencial, el libro de glosa y la campaña partidista. Mal augurio. Esperemos la explicación al fracaso responsabilizando a los gringos, a la caída del petróleo; a la baja calidad del mexicano que no merece a sus líderes y prepárense para el derroche, con nuestros impuestos, de miles de políticos ansiosos por convertirse en salvadores de la patria pero que, sin cambiar el entramado, sólo acelerarán el declive.

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UNIDAD IV: PERPETUIDADES E INDICADORES FINANCIEROS

Sin liderazgo transformador, el País está al garete. ¿Dónde está ese nuevo liderazgo transformador? ¿Cómo abrirle camino?. Opinión invitada. (2009, Jan 11). Opinión invitada / al garete. El Norte. Retrievedfrom http://search.proquest.com/docview/311044773?accountid=146219

TEMA Nº 2: Evaluación de Inversiones En un proyecto empresarial es muy importante analizar la posible rentabilidad del proyecto y sobre todo si es viable o no. Cuando se forma una empresa hay que invertir un capital y se espera obtener una rentabilidad a lo largo de los años. Esta rentabilidad debe ser mayor al menos que una inversión con poco riesgo (letras del Estado, o depósitos en entidades financieras solventes). De lo contrario es más sencillo invertir el dinero en dichos productos con bajo riesgo en lugar de dedicar tiempo y esfuerzo a la creación empresarial. Dos parámetros muy usados a la hora de calcular la viabilidad de un proyecto son el VAN (Valor Actual Neto) y el TIR (Tasa Interna de Retorno). Ambos conceptos se basan en lo mismo, y es la estimación de los flujos de caja que tenga la empresa (simplificando, ingresos menos gastos netos). 2.1 Valor Actual Neto (VAN) Si tenemos un proyecto que requiere una inversión X y nos generará flujos de caja positivos Y a lo largo de Z años, habrá un punto en el que recuperemos la inversión X. Pero claro, si en lugar de invertir el dinero X en un proyecto empresarial lo hubiéramos invertido en un producto financiero, también tendríamos un retorno de dicha inversión. Por lo tanto a los flujos de caja hay que recortarles una tasa de interés que podríamos haber obtenido, es decir, actualizar los ingresos futuros a la fecha actual. Si a este valor le descontamos la inversión inicial, tenemos el Valor Actual Neto del proyecto. Si por ejemplo hacemos una estimación de los ingresos de nuestra empresa durante cinco años, para que el proyecto sea rentable el VAN tendrá que ser superior a cero, lo que significará que recuperaremos la inversión inicial y tendremos más capital que si lo hubiéramos puesto a renta fija. La fórmula para el cálculo del VAN es la siguiente, donde I es la inversión, FC es el flujo de caja del año t, i la tasa de interés con la que estamos comparando y n el número de años de la inversión:

Donde: I – Inversión Inicial. FC – Flujo de caja del periodo t. i – Tasa de rentabilidad o costo de oportunidad. t – Periodo del flujo de caja. 2.1.1 Interpretación del VAN VAN > 0 → el proyecto es rentable. VAN = 0 → el proyecto es rentable también, porque ya está incorporado ganancia de la r. VAN < 0 → el proyecto no es rentable.

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Entonces para hallar el VAN se necesitan:

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Tamaño de la inversión. Flujo de caja neto proyectado. Tasa de descuento. Veamos un ejemplo: El siguiente grafico muestra el flujo de caja que generará una inversión de 10,000 para los cuatro años siguientes. Se pide analizar si el proyecto es rentable o no con una tasa de rentabilidad o costo de oportunidad de 15% anual. Para calcular el VAN se toma como fecha focal el presente o momento 0 y se descuentan los flujos de caja futuros con el Costo de oportunidad o tasa de Rentabilidad “i”. Así tendremos:

VAN= 1419.91 Con la ayuda de una hoja de cálculo como el Excel podemos calcularlo de la siguiente manera:

La funcion VNA permite acumular el valor neto actual de los flujos de caja pero no es igual al VAN valor actual neto; por ello se le debe restar la inversión inicial como se cmuestra en el grafico. Interpretación En el ejemplo el resultado obtenido de 1419.91 significa que: El proyecto efectivamente genera un costo de oportunidad de 15% o una rentabilidad de 15% El proyecto contribuye a las utilidades con importe de 1419.91 2.2 Tasa Interna de Retorno (TIR) Otra forma de calcular lo mismo es mirar la Tasa Interna de Retorno, que sería el tipo de interés en el que el VAN se hace cero. Si el TIR es alto, estamos ante un proyecto empresarial rentable, que supone un retorno de la inversión equiparable a unos tipos de interés altos que posiblemente no se encuentren en el mercado. Sin embargo, si el TIR es bajo, posiblemente podríamos encontrar otro destino para nuestro dinero. Este indicador supone que los flujos de caja netos que genera el proyecto se reinvierte en la TIR y que las inversiones que demanda el proyecto tiene un costo financiero del mismo, igual a la TIR. El criterio de aceptación o rechazo es: Si la TIR es mayor que el COK (costo de oportunidad del capital i) se acepta la inversión; se podrá calcular en:

Ayudado de una hora de cálculo se podría calcular el TIR con la siguiente fórmula:

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UNIDAD IV: PERPETUIDADES E INDICADORES FINANCIEROS

Para la función de Excel TIR se deberá selecciona los flujos de caja incluidos la Objetivos Inicio inversión inicial y así se obtendrá la tasa requerida.

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LECTURA SELECCIONADA N° 2 Lecturas seleccionadas

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Teoría financiera y costo de capital Vento, A. (2010). Teoría financiera y costo de capital. Economía En el contexto Recordatorio Anotaciones actual, en el cual se prevé el ingreso de capitales a nuestro país como un flujo de inversiones, esta obra, publicada por ESAN, se convierte en una importante contribución a la discusión acerca de la determinación del costo de capital para evaluar inversiones en países emergentes como el nuestro, bajo un enfoque de aplicabilidad del modelo del Capital Asset Pricing Model (CAPM) como un método para incluir el riesgo en la toma de decisiones de inversión. Lo resaltante de esta obra es la discusión desde diferentes puntos de vista de los supuestos que asume el CAPM, con la finalidad de aproximarlos en lo posible a la realidad de países emergentes y las propuestas metodológicas que presenta con relativa rigurosidad, de un modo tal que invitan a seguir una discusión de alto nivel académico. Finalmente, y no menos importante, es la aplicabilidad de tales propuestas a casos reales, de una manera lógica y consistente que brindan unicidad a toda la estructura de la obra. En la primera parte, que consta de los capítulos 1 y 2, se presenta desde una perspectiva contable, una visión simple e ilustrada a través de ejemplos prácticos, del estado de pérdidas y ganancias, flujo de fondos y balance general. Considera en su tratamiento el efecto del apalancamiento sobre los índices de rentabilidad de la empresa, factor que más adelante incluirá en la determinación del costo de capital. En la segunda parte, que consta de los capítulos 3 y 4, se realiza una presentación breve de la teoría de portafolios, ilustrando su aplicación al caso de tres activos financieros (representados por los retornos generados por tres fondos mutuos), de una manera tal que bríndalos elementos suficientes para plantear una generalización para más de tres activos financieros. En la tercera parte, conformado por los capítulos 5 y 6, se exponen los fundamentos y la derivación del CAPM así como los problemas en la determinación de sus parámetros. Se complementa la exposición con una interesante discusión acerca del horizonte de evaluación y la determinación de la tasa libre de riesgo, analizando por ejemplo la conveniencia de utilizar los T-Bonds en lugar de los T-Bills y también la referida a la determinación de la prima de riesgo de mercado. Asimismo fundamenta la necesidad de ajustar los betas en función al riesgo del sector al cual se aplicará y al nivel de apalancamiento de la empresa. La cuarta parte, que consta de los capítulos 7 y 8, y la quinta parte, conforman en mi opinión, la propuesta principal de toda la obra.

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En el capítulo 7 se presentan los métodos directo e indirecto para la determinación del costo de capital en mercados emergentes así como un método para calcular el COK a partir de datos primarios incluyendo el concepto del beta patrimonial y el método de ajuste del beta calculado utilizado por Bloomberg. El capítulo 8 presenta una discusión Recordatorio muy didáctica y sustancial acerca del concepto riesgo-país, sus determinantes y cinco métodos de medición con sus respectivos supuestos, críticas y recomendaciones de uso. Se incluye una explicación acerca de la bondad del spread de los bonos soberanos del Perú como indicador del riesgo país (en un análisis que comprende los años 2001-2003) y un ejercicio comparativo del riesgo-país entre Perú y Chile para los años 1995-2003 presentando hechos estilizados referidos a los determinantes presentados en este mismo capítulo. La quinta parte, última de este libro, que comprende del capítulo 9 al capítulo 13, representa la consolidación del aporte de esta obra, a través de la presentación de metodologías utilizadas para calcular el COK y su aplicabilidad a nivel sectorial, expone tres métodos para la determinación del costo de capital en mercados emergentes (capítulo 9) y la aplicación de los mismos al sector saneamiento (capítulo 10), sector eléctrico (capítulo 11), sector telecomunicaciones (capítulo 12) y sector telecomunicaciones de Venezuela (capítulo 13). En este último caso, se evidencia que el análisis de supuestos y criterios presentados en la obra, permiten revisar y ajustar a la realidad «de manera relativamente sencilla» los métodos de uso estándar en estos casos. Entre las críticas de carácter particular que se podría hacer a la obra, está la omisión en la primera parte, del tratamiento del concepto «costo de capital» dado que es parte del título de la obra, hubiera sido muy conveniente referenciar su discusión con la misma pulcritud con la que ha trabajado gran parte de otros conceptos financieros. Asimismo, el enfoque contable utilizado para desarrollo de la primera parte limita un poco el alcance de las conclusiones aquí; pues por ejemplo, muchas veces del significado de los índices de rentabilidad contables ROA y ROE resultan ser una mala aproximación de los conceptos de «beneficio o rentabilidad económica». Al respecto no debemos olvidar que la evaluación de inversiones debe ser de carácter puramente económica. En la segunda parte quizás también hubiera sido conveniente indicar que los riesgos que enfrenta el inversor son el único y el sistemático y que el CAPM solo considera el segundo bajo el supuesto de que en inversiones diversificadas el primero desaparece; sin embargo, en mi opinión, ello no es necesariamente cierto en economías emergentes, con lo cual se hubiera ampliado más ricamente la discusión. Con relación a la tercera parte, me parece que debió aclarase que si bien el CAPM es una metodología para incorporar el riesgo en el análisis de inversiones, hay otras alternativas de uso también aceptados tales como el método de flujos descontados o el método de Montecarlo también de uso aceptado en economías emergentes. En la cuarta parte, dado el enfoque de la obra, se utiliza implícitamente el criterio de la TIR para la selección de inversiones; sin embargo, es sabido que este criterio tiene ciertas fallas en su aplicación como por ejemplo la situación de TIR múltiple, por lo que valdría la pena hacer algún comentario acerca de otros indicadores. En general, me parece que es una obra de lectura obligatoria para todo académico y analista de inversiones tanto nacionales como extranjeras, pues en mi opinión su contenido lo convierte en un referente que incentiva y aviva la discusión sobre un tema muchas veces abordado de manera innecesariamente compleja y tan importante de tratar, por las implicancias que puede tener sobre el flujo de capitales a nuestra economía. Vento, A. (2010). Teoría financiera y costo de capital.Economía, 33(66), 177-179. Retrieved from http://search.proquest.com/docview/1037431908?accountid=146219

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ACTIVIDAD N° 4 Autoevaluación

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

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Bibliografía

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Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV

Anotaciones C. (2005). Matemática financiera un enfoque práctico. Aliaga,

Bogotá: Pearson Educación, biblioteca UCCI 511.8 A42. Recordatorio

Anotaciones

Aliaga, C. (2005). Manual de matemática financiera. Lima: Editorial Universidad del Pacífico. 2004, biblioteca UCCI 511.8 A42. Ayres, F. (2005). Matemática financiera. México: Editorial McGraw Hill, biblioteca UCCI.

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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV 1. La garita de control de Huayucachi recauda mensualmente 10,000 soles en promedio. ¿Cuál es el valor presente de esas rentas perpetuas si se aplican una TEM 0.5%? Lecturas seleccionadas

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2. Calcule el valor presente de una renta perpetua trimestral vencida de 1000 soles Bibliografía con una TEM de 1%. 3. Determine el valor presente de una perpetuidad cuya renta trimestral anticipada es 300 soles. La TEA aplicable 20%.

Recordatorio

Anotaciones

4. El testamento de una persona indica una donación para un asilo de ancianos de 3000 soles inmediatamente después de su deceso y de allí anualmente 2000 soles de forma indefinida. ¿Cuál es el valor actual de la donación, si se considera una TEA 10%? 5. Con una TEM de 4% convierta una renta perpetua vencida mensual de 1000 soles en una renta constante vencida temporal de 20 meses. 6. Determine el valor de la renta perpetua mensual vencida que pueda comprarse en bonos del gobierno con un importe de 20000 soles. Los bonos generan una TEA de 10% con pago mensual de intereses. 7. El valor presente de una renta perpetua mensual vencida es 10000 soles. Determine el valor de cada renta con una TEA de 6%.

 

Desarrollo ANEXOS de contenidos

ANEXOS CLAVE DE RESPUESTAS AUTOEVALUACIONES.

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Recordatorio

Anotaciones

Autoevaluación de la unidad I 1.

a) 87.64; b) 912.36; c) 8.76%

2.

a) 8250; b) 7425; c)25.75%

3.

Ambas opciones son iguales

4.

a) 40%, 42.86% y 20% b) 140%

5.

200 días

6. 15% 7.

96.80 soles

8.

55 soles y 2055 soles

9.

4896.63 soles

10.

1440 soles y 9440 soles

11.

15223.71 soles

12.

156.25 soles y 146.66%

13.

a) 2,868.93; b) 60,213.98; c) 35,361.22; d) 225,285.49; e) 4,290.56

14.

a) 2.73 años; b) 9.61 semestres; c) 10.10 bimestres; d) 28.78 meses; e) 831.40 días.

15.

a) 10.97% TEM; b) 0.31%TED; c) 9.72%TEM

16.

2.26% TET

17.

26 años 8 meses y 25 días

18.

53 497.06 soles y 59 796.98 soles

19.

69 618.14 soles y 84 618.14 soles

20.

16.64% TES

Autoevaluación de la unidad II 1.

275.53 soles

2.

196.74 soles

3.

469.09 soles

4.

15 487.50 soles

5.

6 290.32 soles

6.

309.42 soles

7.

280.18 soles

8.

7664.01 soles

9.

25 950.55

10.

1 443.62 soles y 13 556.39 soles

11.

20,000 soles

12.

16,000 soles

13.

27%

14.

107 días

15.

540 soles, 720 soles y 5 740 soles

16.

7663.79 soles

17.

25950.19 soles

18.

1949.50 soles y 13050.50 soles

19.

11.05 meses

20.

1944.44 soles

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Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

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ANEXOS

Autoevaluación de la unidad III

Anotaciones

1.

19 794.94 soles

2.

5001.55 soles

3.

6616.63 soles

4.

592.08 soles

5.

202.31 soles

6. 6 7.

6679.41 soles

8.

2157.37 soles

9.

974.15 soles

10.

7.09

11.

912.35 soles

12.

2315.12 soles y 4404.20 soles

13.

10,000 soles

14.

8343.30

15.

225.14

16.

5863.28

17.

3964.88

18.

300

19.

3 meses

20.

18236.87

Autoevaluación de la unidad IV 1.

2 000 000 soles

2.

33 002.21 soles

3.

6 732.91 soles

4.

23 000 soles

5.

1839.54 soles

6.

159.48 soles

7.

153.09 soles



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