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MAGNITUDES ESCALARES Y MAGNITUDES VECTORIALES Hemos visto que medir una magnitud física consiste en asignarle un valor numérico. Sin embargo, hay magnitudes, a las cuales, a parte de su valor, hemos de darles otras características para poder especificarlas completamente. Imaginemos, por ejemplo, que estamos jugando al billar, y queremos hacer una carambola a dos bandas; podemos impulsar la bola blanca y darle la velocidad adecuada. La velocidad de la bola blanca es una magnitud física y tiene un determinado valor, por ejemplo 30 m/s. Pero si queremos que la bola blanca impacte sobre la amarilla y esta a su vez sobre la roja, hemos de hacer que adquiera esta velocidad en una determinada dirección, es decir según la línea imaginaria representada en la figura por línea discontinua. Y con ello no tenemos suficiente ya que deberemos darle el sentido adecuado sobre tal línea. Por tanto la magnitud física velocidad queda totalmente determinada cuando damos su valor absoluto o módulo, su dirección o recta sobre la cual está aplicada y su sentido de recorrido sobre esta recta. Denominamos magnitudes escalares a aquellas que quedan completamente identificadas dando su valor, que siempre es un número real acompañado de una unidad. Ejemplos; masa, temperatura, densidad, tiempo... Denominamos magnitudes vectoriales a aquellas que quedan completamente identificadas dando su módulo, dirección y sentido. Por ejemplo velocidad, aceleración, fuerza.... El módulo de una magnitud vectorial siempre es un número real positivo. Para trabajar con magnitudes vectoriales utilizamos vectores. Un vector es un segmento orientado la longitud del cual representa su módulo, y el que la dirección y sentido se pueden determinar tanto matemáticamente como geométricamente. Para simbolizar magnitudes vectoriales dibujaremos una flecha sobre el símbolo que representa a la magnitud: (velocidad), (aceleración)... En general cuando se escribe una magnitud vectorial sin flecha, se está haciendo referencia a su módulo. Los vectores se representan gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, y numéricamente por 2 números (en el plano) y por tres (en el espacio). Estos números se denominan coordenadas cartesianas del vector.

Magnitudes escalares y vectoriales [editar]

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los versores cartesianos.

Representación de los vectores. Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc., que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una

dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares. Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, determinada por el ángulo que forma el vector con los ejes de coordenadas. Así pues, podemos enunciar: Un vector es una magnitud física que tienen módulo y dirección. Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección.

Notación [editar] Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Ejemplos: 

... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: ...



En los textos manuscritos escribiríamos: ... o

... para los vectores y

... para los módulos.

Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento. Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

Tipos de vectores [editar] Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:   

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular. Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción. Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:     

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad. Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos). Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria. Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción. Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Componentes de un vector [editar]

Componentes del vector. Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales. Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los versores cartesianos quedan expresados en la forma:

Operaciones con vectores [editar] Suma de vectores [editar] Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo.

Método del triángulo. Método del paralelogramo [editar] Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores. Método del triángulo [editar] Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. A continuación se une el origen del primer vector con el extremo del segundo. Método analítico para la suma y diferencia de vectores [editar] Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y entre sí, el módulo de es:

, así como el ángulo θ que forman

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar [editar]

Producto por un escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo. Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar. Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Producto escalar [editar] Artículo principal: Producto escalar

Producto vectorial [editar] Artículo principal: Producto vectorial

Derivada de un vector [editar] Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección. Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función Derivando tendremos:

representa el vector de posición en función del tiempo t.

Realizando la derivada:

La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Ángulo entre dos vectores [editar] El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y

viene dado por:

Cambio de base vectorial [editar]

Cambio de base vectorial. En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector

expresado en una sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) con una

base vectorial

asociada definida por los versores

; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z ′), con una base vectorial asociada definida por los versores componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:

. Las

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

Cambio de base vectorial. Ejemplo En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z, tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial.