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FACULTAD DE ELECTRICA Y ELECTRONICA

SISTEMAS DE CONTROL

PROFESOR: ING. ANDRES ARCENTALES

ALUMNOS:

DAYANA BALLAGAN MARCO GUEVARA JULIO MOYA GUILLERMO RODRÍGUEZ

Jueves, 08 de enero de 2015

1. TEMA Lugar de las Raíces.

2. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL 

Investigar y comprender sobre el tema lugar de las raíces.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS    

Investigar sobre el método de trazo, el cálculo de ganancia y la estabilidad relativa. Resolver ejercicios relacionados al tema de la investigación. Realizar ejercicios de análisis matemático sobre el tema de la investigación. Simular en el programa Matlab ejercicios relacionados al tema.

3. MARCO TEÓRICO LUGAR DE LAS RAICES Es un método que permite conocer los polos de una cadena cerrada sin necesidad de calcularlos analíticamente, esta forma gráfica exhibe la colocación de los polos en el dominio complejo a partir de la información de la cadena abierta. Este método solo se puede aplicar para estructuras de retroalimentación negativa. La técnica del lugar de raíces muestra las infinitas soluciones del polinomio característico de la cadena cerrada, 1+G(s) H(s), a través de una representación gráfica en el dominio complejo, empleando sólo la información de los polos y ceros de la cadena abierta.

Esquema de aplicación del lugar de las raíces

La ventaja que ofrece es visualizar cómo se modifica el comportamiento dinámico del lazo cerrado, al realizar una variación de algún parámetro intrínseco de la planta. El método del lugar de las raíces, LDR, consiste en un conjunto de reglas mediante las cuales se puede determinar la posición de los polos de la cadena cerrada, cuando uno o

varios parámetros de la FDT del sistema, en bucle abierto, varían desde -∞ a +∞. Normalmente este parámetro suele ser un módulo de ganancia estática, k. La representación gráfica da una idea sobre la estabilidad, precisión y la naturaleza de la repuesta transitoria al variar k. Estrictamente hablando, se suele denominar como lugar directo de las raíces, al trazado del LDR variando la ganancia en valores positivos, k ≥0, y se llama lugar inverso cuando la variación de la ganancia es negativa, k ≤0. Si lo que se varía es una constante de tiempo asociado a un polo o un cero de la cadena abierta se llama el contorno de las raíces. ECUACIÓN BÁSICA DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Las soluciones o raíces del polinomio característico de una estructura de realimentación negativa, se obtiene igualando el denominador a cero:

M ( s) =

G(s) 1+G(s) H (s )

Donde los polos de la cadena estarán definidos por: 1+G ( s ) H ( s )=0 G ( s ) H ( s )=−1 Dado que G(s) H(s) es una expresión compleja se puede dividir en dos ecuaciones, la primera correspondiente al módulo y la segunda la relacionada con el argumento:

|G ( s ) H ( s )|=1 arg ⁡( G ( s ) H ( s ))=π ( 2 q+1 ) q=0,+1,+2 Los valores del dominio complejo, s, que cumplan ambas ecuaciones serán polos de la cadena cerrada de esa estructura. El criterio del argumento avalará la pertenencia de polo de la cadena cerrada, mientras la condición de módulo devolverá el valor del parámetro intrínseco, normalmente k, para aquellos puntos del dominio que son solución del polinomio característico.

METODO DE TRAZO Empleando los criterios del módulo y el argumento, existen unas reglas que permiten una construcción manual de manera aproximada, pero suficiente, del lugar de las raíces.



Criterio del argumento: permite determinar si un punto s pertenece o no al lugar de las raíces.

∑ arg ⁡(s−z i )−∑ arg ( s−p i )=(2 q+1) π ∑ arg ⁡(s− pi )−∑ arg ( s−z i )=(2 q+1) π



Criterio del módulo: permite determinar el valor de k para un punto del lugar de las raíces

k

∏|s−z i| =1 ∏ |s− pi|

k

∏|s− p|=1 ∏ |s−z i|

k≡

producto de distancias a todos los polos productos de distancias a todos los ceros

Se enuncian las reglas para el lugar directo, cuando se varía k desde 0 hasta +∞. Estas variaciones de la ganancia producen que los polos de la cadena cerrada también se modifiquen, describiendo unas curvas a las que se denominan ramas. Regla 1: Número de ramas El número de ramas del LDR es igual al número de polos de la cadena abierta.

n = número de polos de G(s)H(s) m = número de ceros de G(s)H(s) número de ramas = max (m,n) Regla 2: Puntos de inicio y final Cada rama del LDR comienza en un polo de la cadena abierta, para el cual corresponde con k=0, y termina en un cero de la misma, correspondiente a k=∞. Si el número de ceros es inferior al de polos, existirán un número de ceros en el infinito igual a la diferencia entre los polos y ceros en cadena abierta. Regla 3: Lugar de las raíces que están en el eje real Un punto situado sobre el eje real pertenecerá al LDR, si el número de polos y ceros contados desde la derecha, esto es, desde los positivos reales hacia los negativos del dominio complejo, es un número impar de ellos.

Regla 4: Simetría El LDR es simétrico respecto del eje real. Las raíces son siempre reales o pares de complejos conjugados. Regla 5: Ángulos de las asintóticas Las ramas del LDR que terminan en el infinito son asintóticas, para grandes valores de s, a rectas cuyos ángulos con el eje real vienen dados por la expresión:

θa =

2 q+1 π n−m

Regla 6: Centroide de las asíntotas Las asíntotas, las provenientes de la anterior regla, cortan al eje real en un punto situado a una distancia σ a del origen, dado por: σa=

∑ partes reales polos GH ( s )−∑ partes reales ceros GH ( s) n−m

Regla 7: Ángulos de salida y de llegada para raíces complejas conjugadas Los ángulos de salida de los polos complejos de la cadena abierta forman una tangente a la correspondiente rama del LDR respecto el eje real que habrá de aplicar el criterio del argumento: arg ⁡( G ( s ) H ( s ))=π ( 2 q+1 ) q=0,+1,+2 De igual manera, para los ceros complejos y conjugados de la cadena abierta. Sus ángulos, en este caso de llegada, también son determinados por el criterio del argumento. Concluyendo, cuando el sistema tiene polos o ceros complejos en cadena abierta, las ramas del LDR salen o llegan, según el caso de polos o ceros respectivamente, con un ángulo calculable a partir del criterio del argumento. Regla 8: Puntos de dispersión y confluencia Cuando las ramas abandonan el eje real o confluyen en él, lo hacen en un punto de dispersión o de confluencia respectivamente. Si el lugar en el eje real está limitado por un polo y un cero de la cadena abierta, no existirá punto de dispersión o confluencia, ya que la rama empieza en el polo y acaba en el cero. En el caso de coincidir sobre el eje real dos polos próximos entre sí o dos ceros, uno al lado del otro, darán una situación de

dispersión o confluencia, respectivamente, sobre el eje real. Estos puntos se calculan a través de dos métodos. En el primer método, se trata de despejar k, derivar la expresión respecto de s e igualar a cero, calculando las raíces: Supóngase que el polinomio característico pueda ser expresado como una combinación de dos términos, A(s) y B(s): 1+G ( s ) H ( s )=B ( s )+ kA ( s ) =0 ⇒ k =

−B ( s ) A( s)

Los puntos de dispersión y confluencia serán las raíces de la derivada de k respecto a s igualado a cero: ' dk B ( s ) A ( s )−B( s) A '(s) = =0 ds A 2( s)

Esta condición es necesaria pero no suficiente. No todas las soluciones de esta expresión corresponden con puntos de dispersión o confluencia. Serán valores válidos, aquellas que además sean soluciones del polinomio característico. Este método para polinomios superiores a segundo orden requiere de métodos numéricos. Para polinomios característicos mayores al tercer orden un segundo método iterativo se plantea. La alternativa es la siguiente ecuación: 1

1

∑ s + p =∑ s+ z i

i

j

j

La forma de actuar para expresiones superiores al segundo orden consiste en suponer un valor inicial s 0 , de dispersión o confluencia y sustituirlo en la ecuación anterior s por s0

en todos los sumandos excepto a los polos o ceros que limiten la zona del eje real

donde se localice el punto de confluencia o dispersión. A continuación se resolverá la ecuación de 2º grado resultante. Si la solución obtenida se aproxima lo suficiente al valor de la semilla s 0 , se tomará como bueno. Si no se volverá a repetir el proceso con el nuevo valor obtenido. Para el caso de raíces complejas conjugadas, s=−α ± jβ , el término se pondra de laforma :

2(s+ α ) ( s+ α )2 + β 2

Regla 9: Intersección del LDR con el eje imaginario

Los puntos de corte del LDR con el eje imaginario corresponden a polos que hacen al sistema críticamente estable, lo que implica la aparición de una fila de ceros en la tabla de Routh. USANDO EL MÉTODO DE ROUTH:   

Cuando los polos de un sistema de segundo orden cortan al eje imaginario el sistema es marginalmente estable. Si aplicamos el criterio de Routh en función de k, el sistema será marginalmente estable para el valor de k que nos dé una fila de ceros en la tabla. La situación de los polos correspondientes a este valor de k se calculará con la ecuación auxiliar de la tabla.

Regla 10: Valor de k El valor de k para un punto cualquiera

s x , del LDR puede calcularse aplicando el

criterio del módulo:

CALCULAR LA GANANCIA DE UN SISTEMA La ganancia es una medida importante del sistema ya que: 1) Constituye una medida de la proximidad del sistema de la zona de inestabilidad. 2) Cuanto mayor de la unidad sea el margen de ganancia, más seguro será el sistema controlado. Para calcular la ganancia de un sistema se debe tener claro q es el criterio de magnitud: ¿ K ∨¿ −1 1 G ( s )= ⇒∨G ( s )∨¿ ¿ K K >0 Este criterio nos permite determinar el valor de K, una vez escogido una ubicación determinada del lugar geométrico de las raíces. Supongamos un ejemplo teniendo la siguiente función de transferencia:

G ( s )=

1 s (s + 4 s+ 8) 2

Los polos en este caso se ubican en −2 ± 2 j . el origen y en Elegimos un punto de prueba en −0.66± 2 j este caso que pertenece al lugar geométrico de las raíces, pues ese punto cumple con ciertos requerimientos para nuestro sistema de control. Entonces determinamos la ganancia K para llegar a ese punto que se planteó. ¿ G ( s )∨¿=|s o|∗|s o−s 2|∗¿ so −s 3∨¿ 1 K= ¿ K=2.108∗1.333∗4.216=11.85

ESTABILIDAD RELATIVA En general se está interesado no solo en la estabilidad absoluta de un sistema, sino también en que tan estable es el sistema, en eso consiste la estabilidad relativa. En el dominio del tiempo, la estabilidad relativa se mide por parámetros tales como el sobreimpulso máximo y el factor de amortiguamiento. En el dominio de la frecuencia, el pico de la resonancia se puede emplear para indicar la estabilidad relativa. Otra forma de medir la estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia es observando que tan cerca se encuentra la traza de Nyquist de L(jw) del punto (-1, j0). Para mostrar el concepto de estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia, se muestran las trazas de Nyquist, la respuesta al escalón correspondiente y las respuestas en frecuencia de un sistema típico de tercer orden, para cuatro valores diferentes de la ganancia de lazo K. Se supone que la función de lazo L(jw) es de fase mínima, por lo que el encierro del punto (-1, j0) es suficiente para demostrar la inestabilidad del sistema en lazo cerrado.









Caso (a): ganancia de lazo K baja. La traza de Nyquist de L(jw) intrínseca al eje negativo en un punto muy lejano a la derecha del punto (-1, j0). La respuesta al escalón está bien amortiguada. Caso (b): K se incrementa más. La intersección se mueve cerca del punto (-1, j0); el sistema es aun estable, ya que el punto crítico no está encerrado, pero la respuesta al escalón tiene un sobreimpulso máximo grande. Caso (c): K se incrementa más. La traza de Nyquist ahora pasa a través del punto (-1, j0), y el sistema es marginalmente estable. La respuesta al escalón se vuelve oscilatoria con amplitud constante. Caso (d): K es relativamente grande. La traza de Nyquist encierra al punto (-1, j0), y el sistema es inestable. La respuesta al escalón se vuelve no acotada.

En todo análisis anterior, la cuerva de fase de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado también provee información cualitativa acerca de la estabilidad. Observe que la pendiente negativa de la curva se fase se incrementa conforme la estabilidad relativa disminuyo. Cuando el sistema inestable, la pendiente más allá de la frecuencia de resonancia se vuelve positivas.

4. EJEMPLOS Ejemplo 1: Considere la siguiente función de transferencia y grafique el lugar geometrico de las raíces de

1+

k =0 s +12s +64s 2+ 128s 4

3

Solucion Encontramos los polos y ceros de la Funcion de Transferencia

1+

k =0 s (s +4 )( s +4 + j4 )(s + 4− j4)

Localizamos los puntos en el plano S

Los ceros se representan con 0 y los polos con X Ahora debemos encontrar los lugares infinitos que terminan en ceros en el infinito, para ello aplicamos las siguientes formulas:

σA=

∑ (−pi )−∑ (−z i ) n−M

donde M es el número de ceros y n es el número de polos

σA=

0−4−4−4 =−3 4

Los valores imaginarios se eliminan y nos queda solo los reales y como no hay ceros no se le pone nada. Y este valor sera nuestro punto de partida

Ahora hallamos los ángulos para saber donde se encuentran las asíntotas φ A=

2k +1 o 180 n−M

1 o o φ 1= 180 =45 4 3 φ 2= 180o =135o 4 5 o o φ 3= 180 =225 4 7 φ 4 = 180 o=315 o 4 Expresamos en terminos de polinomio nuestra funcion de transferencia y encontramos el valor de k 4

3

2

s +12s +64s +128s+ k=0 k =± j3.266

Ahora determinamos el angulo de partida de polos complejos y el angulo de llegada de ceros complejos.

jw

θ=−135

X X

θ=90

X

θ=90

X Y finalizamos la grafica

θ=135

X

+∞

En matlab 

Codigo

k=1; num=[k]; dem=[1 12 64 128 0]; f=1+tf(num,dem) zeros=roots(dem) rlocus(num,dem)



Gráfico

Ejemplo 2 Dibuje el lugar de raíces de la siguiente función de transferencia a lazo abierto: G ( s )=

s+10 s +6 s+5 2

1) Representar polos y ceros.

2) Hallar donde existe el lugar de raíces, se procede de derecha a izquierda a contar los polos y ceros, cuando la suma sea impar en ese intervalo si existe el lugar de raíces, si es par no existe.

3)

Hallar asíntotas, los ángulos de las asíntotas y los puntos de partida.

N A =¿ polos−¿ zeros=2−1=1 ∅A=

( 2 q−1 ) 180 =−180, q=0 NA

σ A =∑ polos−∑ zeros=(−1−5 ) −(−10 )=4

Solo hay una asíntota que es solamente 0, porque

N A =1 . El punto de partida se

encuentra en el lado derecho.

4) Hallar los puntos de rupturas, como los polos deben ir a los zeros, y solo tenemos un zero y esta después de los dos polos, el lugar de raíces debe alejarse del eje real para poder llegar al zero en -10 y al zero en menos infinito. K= p ( s )=

−1 s2 +6 s+5 = s +10 G (s )

∂ p(s) −( 2 s+6 )( s+10 ) −( s 2 +6 s +5 ) ( 10 ) 8 s 2+34 s−10 = = ∂s ( s+10 )2 ( s +10 )2

S 1=0.2761 ; S 2=−4.5261

5) Dibujar el lugar de raíces. Con esta técnica se dibuja un croquis del lugar de raíces, para hallar los verdaderos puntos donde el sistema es críticamente amortiguado, que son los lugares donde el lugar de raíces se separa del eje real.

6) Valores de K para que el sistema sea críticamente amortiguado: Y (s) KG ( s) K (s +10) = = 2 V (s) 1+ KG(s) s +(6+ K)s +(5+ 10 K ) Comparando la ecuación con la respuesta ideal: s 2 + ( 6+ K ) s + ( 5+10 K )=s2 +2 α+ α 2

{

( 6+ K ) =2 α (5+ 10 K )=α 2

De la primera ecuación tenemos ( K )=2 α −6 y sustituyendo en la segunda: 5+10(2 ∝−6)=α 2 ¿>α 2−20 α + 55=0

α 1=3.29; α 2=16.71 K 1=0.5836 ; K 2=27.4164

Código en MatLab: num=[1 10]; dem=[1 6 5]; f=tf(num,dem) zeros=roots(dem) rlocus(num,dem)

5. CONCLUSIONES      

Si los todos los polos de la función de transferencia están en el lado izquierdo de plano-s entonces el sistema es estable. Un sistema es críticamente estable si uno o más polos están en el eje imaginario del plano-s. ‘ En el estudio de estabilidad sólo los polos de la función de transferencia son importante, los zeros son irrelevantes. Los polos de un sistema son las raíces obtenidas del denominador de la función de transferencia cuando es igualado a cero. Polinomio característico. El concepto de estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo abierto. Es lugar geométrico de las raíces, aquel lugar del eje real que está a la izquierda de un número impar de polos y ceros.

6. BIBLIOGRAFÍA     

Katsuhiko Ogata. Ingeniería de Control Moderna, Cuarta Edición. PEARSON Prentice Hall. Extraído el día 05 de enero de 2015. http://isa.uniovi.es/docencia/ra_marina/UCLM_TEMA10.PDF http://www.ib.cnea.gov.ar/~dsc/capitulo8/rootlocus.htm http://www.elai.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Servos/Apuntes/10_LDR.p df http://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/electronica/sis_lin2/El%20m %C3%A9todo%20del%20lugar%20de%20las%20ra%C3%ADces.pdf