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Los paraboloides son cuádricas sin centro de simetría.

Si el eje del paraboloide es el eje z, entonces la ecuación del paraboloide elíptico es:

y la ecuación del paraboloide hiperbólico es:

Características de los paraboloides

Paraboloide elíptico Sea el paraboloide elíptico de ecuación:

 El paraboloide elíptico no es simétrico respecto al origen de coordenadas.  El origen de coordenadas es el vértice del paraboloide elíptico.

 El paraboloide elíptico es simétrico respecto al eje z.  El paraboloide elíptico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.

 Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del paraboloide son pa  Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide elíptico son elipses.  El paraboloide elíptico se extiende para todo x, y, y z ≥ 0.  Una ecuación paramétrica de este paraboloide elíptico es:

Paraboloide hiperbólico Sea el paraboloide hiperbólico de ecuación:

 El paraboloide hiperbólico no es simétrico respecto al origen de coordenadas.  El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto al eje z.  El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.

 Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del paraboloide hiperbó parábolas

 Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide hiperbólico son hipér  El paraboloide hiperbólico se extiende infinitamente.  Una ecuación paramétrica de este paraboloide hiperbólico es:

Ejemplos

Ejemplo 1. Analizar la superficie de ecuación: e) x2 + z2 = y

 Es un paraboloide elíptico  El paraboloide elíptico corta a los ejes de coordenadas en el origen: V(0, 0, 0)  Las secciones con planos paralelos a los coordenados son: con planos paralelos al x - y (z = k): parábolas de la forma: e) x2 = y - k2, z = k en las que k puede asumir cualquier valor real. con planos paralelos al x - z (y = k): circunferencias de la forma: e) x2 + z2 = k, y = k en las que k puede asumir cualquier valor no negativo (|k| ≥ 0). con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma: e) z2 = y - k2 , x = k en las que k puede asumir cualquier valor real.

 El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

Ejemplo 2. Analizar la superficie de ecuación: e) y2 - x2 = z

 Es un paraboloide hiperbólico  El paraboloide hiperbólico corta a los ejes de coordenadas en el origen: O(0, 0, 0)

 Las secciones con planos paralelos a los coordenados son: con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la forma: e) - x2 + y2 = k, z = k en las que k puede asumir cualquier valor real. El eje focal de estas hipérbolas depende del signo de k. con planos paralelos al x - z (y = k): parábolas de la forma: e) x2 = - z + k2, y = k en las que k puede asumir cualquier valor real. con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma: e) y2 = z + k2, x = k en las que k puede asumir cualquier valor real.

 El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

Paraboloide elíptico La gráfica de la ecuación

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales elipse :

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean

o

son parábola.

son

Figura 2. Paraboloide elíptico [Ver en ambiente 3D-JviewD]

Paraboloide hiperbólico La gráfica de la ecuación:

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas ( ). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide hiperbólico [Ver en ambiente 3D-JviewD]