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• Kath Calderón

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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS Trabajo Final INSTRUCCIONES: Resuelve el siguiente problema. Deberá entregarse por equipos máximo de 4 integrantes, incluyendo de forma clara y ordenada los procedimientos completos (que pueden ser hechos a mano) con los cuales llegaron a la respuesta. Deberá tener portada impresa incluyendo los nombres de los integrantes. Una banda se ajusta alrededor de las tres circunferencias 𝑥2 + 𝑦2=4, (𝑥 − 8)2+𝑦2=4 y (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2 = 4. Determina la longitud de la banda.

1. Primero determinaremos los centros y el radio de las circunferencias dadas por medio de sus ecuaciones canónicas: A x2+y2=4 Centro (0,0) R1= 2 B (x-8)2+y2=4 Centro (8,0) R2= 2 C (x-6)2+(y-8)2=4 Centro (6,8) R3 = 2 2. Graficaremos en un plano cartesiano las circunferencias con ayuda las coordenadas obtenidas.

C (6,8) R=2

A (0,0) R=2

B (8,0) R=2

3. Trazar la banda alrededor de las 3 circunferencias.

4. Sacar la distancia de centro a centro de las circunferencias por medio de la ecuación de la recta y por medio de la tangente a los puntos.

Tangente A-B mAB = (0-0)/(8-0) = 0 Como la tangente exterior se encuentra a una distancia 2, de acuerdo al radio, de la línea de centros. y = -2 Tangente A-C mAC = (8-0)/(6-0) = 4/3 Línea de centros y = (4/3) Como la tangente exterior se encuentra a una distancia 2, de acuerdo al radio, de la línea de centros. (3 y - 4 x)/ √ (32+(-4)2) = 2 (3 y - 4 x)/5 = 2 3 y - 4 x = 10 y = (4/3)x + (10/3) Tangente B-C mBC = (8-0)/(6-8) = 8/(-2) = -4 Como la tangente exterior se encuentra a una distancia 2, de acuerdo al radio, de la línea de centros. y = (-4) (x - 8) y = -4x + 32 5. Calculamos la longitud de la banda en los espacios que no tocan las circunferencias con los datos anteriores. (y + 4 x - 32)/√(1^2+(4)^2) = 2 (y + 4 x - 32)/√17 = 2 y = - 4 x + 32 + 2 √17 6. Calcularemos la longitud de la banda que toca las circunferencias Circunferencia A A-B = 2 π - (π/2) = (3/2) π A-C = π/2 + tan-1(4/3) Circunferencia B B-C = tan-1(1/4) B-A = -(1/2) π Circunferencia C C-A = π/2 + tan-1(4/3) C-B = tan-1(1/4) 7. Sumamos la longitud de la banda en las circunferencias ∑ABC = R ((3/2) π + π/2 + tan-1(4/3)) + (tan-1(1/4)-(1/2) π) + (π/2 + tan-1(4/3) + tan-1(1/4)) ∑ABC = 4 π

8. Sumaremos las longitudes de la banda que no tocan las circunferencias. Recta A-B A2 = (0,-2) B2 = (8,-2) A2B2= 8 Recta A-C C-B= (6 + (2 * 1/√[(1 + (1/4)^2]) , 8 + (2 * (1/4)/√[(1 + (1/4)^2])) C-B= (6 + (8/√17) , 8 + (2/√17)) B-C = (8 + (2 * 1/√[(1 + (1/4)^2]) , 0 + (2 * (1/4)/√[(1 + (1/4)^2])) B-C = (8 + (8/√17) , (2/√17)) A-C = √[ ((22/5 - (-8/5))2 + ((46/5 - (6/5))2] A-C = √(62 + 82) A-C = 10 sen = tan/√(1 + tan2) cos = 1/√(1 + tan2) 9.