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• Jorge Arias

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Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial

Carrera de Ingeniería Industrial en Procesos de Automatización

Tema:

Momentos Flectores en vigas

Carrera:

Ingeniería Industrial

Ciclo Académico y Paralelo:

Sexto “A”

Alumno(a):

Llerena Yedra Estefanía Alexandra

Docente:

Ing. Mg. Víctor Pérez R.

MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS Es el momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. Es un requisito típico en vigas y pilares, también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción un momento (torque) o también de fuerzas puntuales o distribuidas. El momento flexionante en cualquier sección de la viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la suma algebraica de los momentos respecto a la sección que se esté considerando de todas las cargas externas, y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de esta sección. Es lo que se genera al aplicar un par de fuerzas sobre algún elemento, ya sea viga o losa, y produce una flexión en el mismo elemento, pudiendo ser esta flexión negativa o positiva, es decir toma una regla de plástico entre tus manos por las orillas y aplica un peso en el centro, la deformación que se genera es el resultado del momento flexiónate [1].

Figura 1. Momento flector

El sentido de los esfuerzos No es igual un esfuerzo axial que “sale” de la sección que otro que “entra”. De la misma manera, el esfuerzo cortante puede ser de tal manera que las fuerzas internas den un par horario, o bien antihorario. Por último, los momentos internos pueden aplastar las fibras superiores o las inferiores de la sección [2].

Figura 2. Los tres esfuerzos sobre una sección (normal N, cortante T y flector M) y sus dos sentidos posibles

ESFUERZOS AXIALES El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan quedando sometidos a esfuerzos de tracción. Algunos se acortan quedando a compresión, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo. De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracción y de compresión, ocurren en los puntos más alejados del plano (o eje) neutro, y están dados por: Dónde: σ = esfuerzo máximos puede ser de tracción y de compresión M = momento flector en la sección a analizar c = distancia desde el plano neutro hasta los puntos extremos I = momento de inercia de la sección [3]. EJEMPLOS 1. Calcular el esfuerzo maximo de la siguiente viga [4].

Calculo del centro de gravedad

Calculo de momento de inercia de la sección de la viga

2. Para la viga mostrada en la siguiente figura, calcule el esfuerzo máximo causado por flexión. La sección transversal de la viga es un rectángulo de 100 mm de altura y 25 mm de ancho. La carga a la mitad de la viga es de 1500 N, y ésta mide 3.40 m.

Paso 1. Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante ya dibujados se incluyen en la figura. El momento flexionante máximo es de 1275 N-m a la mitad de la viga. Paso 2. El centroide de la sección transversal rectangular se localiza en la intersección de los dos ejes de simetría, a 50 mm de la cara superior o inferior de la viga. Paso 3. El momento de inercia del área del perfil rectangular con respecto al eje centroidal es

Paso 4. La distancia c = 50 mm del eje centroidal a la cara superior o inferior. Paso 5. El esfuerzo máximo causado por flexión ocurre en la cara superior o inferior de la viga en el punto de momento flexionante máximo. Aplicando la ecuación se obtiene [5]:

ESFUERZOS CORTANTES HORIZONTALES Aquí tenemos la fórmula general de cortante con la que se puede calcular la magnitud del esfuerzo cortante en un punto cualquiera de una sección transversal de una viga sometida a una fuerza vertical.

Dónde: V = fuerza cortante vertical en la sección de interés. El valor de V se calcula con el diagrama de fuerza cortante. En general se utiliza el valor absoluto máximo de V, positivo o negativo. Q = primer momento y con respecto al eje centroidal general, del área de esa parte de la sección transversal alejada del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. Ap = área de esa parte de la sección transversal distante del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. y = distancia del eje centroidal de toda la sección transversal al centroide de Ap. I = momento de inercia del área de la sección transversal completa de la viga con respecto a su eje centroidal. Éste es el mismo valor de I utilizado en la fórmula de flexión (σ = Mc/I) para calcular el momento flexionante. t = espesor de la sección transversal medido en el eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante [5]. EJEMPLOS 1. Calcule el esfuerzo cortante en el eje a-a de la viga de sección transversal rectangular mostrada en la figura. La fuerza cortante, V, en la sección de interés, es de 1200 Ib.

Paso 1. V = 1200 Ib (dato)

Paso 2. En un perfil rectangular, el centroide está a media altura, como se muestra en la figura y coincide con el eje a-a. Y = 5.00 in.

Paso 3. I =

𝑏ℎ3 (2.0)(10.0)3 12

=

12

= 166.7 𝑖𝑛4

Paso 4. Espesor = t = 2.0 in en el eje a-a.

Paso 5. Normalmente se calcularía Q = Ap* 𝑦̅ con el método mostrado con anterioridad. Entonces para el cálculo de Q tenemos:  El eje centroidal de esta sección se encuentra a la mitad de altura h/2, a partir de la base, h/2 = 5.00 in.  El eje de interés es a-a, que en este ejemplo coincide con el eje centroidal.  El área parcial, Ap*𝑦̅ se muestra sombreada en la figura en la parte superior del rectángulo.  Como el área parcial es un rectángulo simple, se utilizan los siguientes pasos para calcular Q  El área parcial es

 El centroide del área parcial se localiza a la mitad de su altura, 2.5 in sobre a-a.  Como el eje centroidal coincide con el eje a -a, 𝑦̅ = 2.5 in.  Ahora se puede calcular Q.

Paso 6. Con la ecuación de la formula general cortante tenemos:

2. Calcule el esfuerzo cortante en los ejes a -a para una viga T como la mostrada en la figura. El eje a-a está en la parte superior del alma vertical, justo debajo del patín. La fuerza cortante, V, en la sección de interés es de 1200 Ib.

Paso 1: V = 1200 Ib (dato)

Paso 2. Este perfil T particular se analiza lo siguiente:  Localice el centroide de toda la sección transversal

 Donde el subíndice w se refiere al alma vertical y el subíndice/ al patín superior. Entonces:

Paso 3. Calculamos el valor de I. Sea el alma la parte 1 y el patín la parte 2. Para cada una de las partes,

Paso 4. Espesor = t = 1.5 in en el eje a-a en el alma.

Paso 5. Normalmente se calcularía Q = Ap*𝑦̅ , entonces se tiene lo siguiente  El eje de interés a -a está en la parte superior del alma, justo debajo del patín.  El área parcial sobre el eje a -a es todo el patín.  Ap = (8 inX2 in) = 16 in^2  El centroide de Ap está 1.0 in debajo de la cara superior del patín, la cual está a 9.0 in sobre la base de la T.  𝑦̅ = 9.0 in — 𝑦̅ = 9.0 in - 6.86 in = 2.14 in Q = A y — (16 in2)(2.14 in) = 34.2 in^3

Paso 5. Utilizando la ecuación reemplazamos los valores calculados y tenemos [5]:

BIBLIOGRAFÍA:

[1]

A. H. Valero Lopez, «Momento Flexionante,» 12 Agosto 2014. [En línea]. Available:

https://es.slideshare.net/americaheidi/momento-flexionante.

[Último acceso: 30 Abril 2018]. [2]

I. Romero, «Esfuerzos en vigas: definición, leyes y diagramas,» 21 Septiembre 2015.

[En

línea].

Available:

http://simula.dimec.etsii.upm.es/~ignacio/resources/RM/Apuntes/leyes.pdf. [Último acceso: 30 Abril 2018]. [3]

Mecanica de Solidos , «Fuerza Cortante y Momento Flexionante,» [En línea]. Available: http://www.dicis.ugto.mx/profesores/balvantin/documentos/Mecanica%20de %20Solidos/UDA%204%20%20Fuerza%20Cortante%20y%20Momento%20Flexionante.pdf.

[Último

acceso: 30 Abril 2018]. [4]

CIVIL ENGINEERING TUTORIALES, «FLEXIÓN EN VIGAS(Ejercicios)-Cálculo de esfuerzos máximos (2/2),» 02 Octubre 2016. [En línea]. Available: https://www.youtube.com/watch?v=vn8K1vHRals. [Último acceso: 30 Abril 2018].

[5]

R. L. Mott, Resistencia de Materiales, L. M. C. Castillo, Ed., 2009.