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• Cesar Andres Mori Gomez

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Lineas de Influencia cualitativas En 1886, Heinrich Müller-Breslau desarrollo un procedimiento para construir rápidamente la forma de una línea de influencia. Se le llama principio de Müller-Breslau y establece que la línea de influencia para una función (reacción, fuerza cortante o momento) es, a la misma escala, la forma deflexionada de la viga cuando sobre esta actua la función. Para dibujar la forma deflexionada apropiadamente, la capacidad de la viga para resistir la función aplicada debe retirarse de manera que la viga pueda deflexionarse cuando se aplica la función. Por ejemplo, considere la viga en la figura 6-12a. Si va a determinarse la línea de influencia para la reacción vertical en A, el pasador se reemplaza primero por un rodillo guiado, como se muestra en la figura 6-12b. se requiere un rodillo guiado ya que la viga debe aun resistir una fuerza horizontal en A pero ninguna fuerza vertical. Cuando se aplica entonces la fuerza positiva (hacia arriba) Ay en A, la viga asume la posición indicada por la línea interrumpida, que representa la forma general de la línea de influencia para Ay, figura 6-12c. (Los valores numéricos para este caso especifico se calcularon en el ejemplo 6-1) si va a determinarse la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C, figura 6-13a, la conexión en C puede simbolizarse por un rodillo guiado, como se muestra en la figura 6-13b. Este dispositivo resistirá un momento y una fuerza axial pero ninguna fuerza cortante. Si aplicamos una fuerza cortante positiva Vc a la viga en C y permitimos que la viga asuma la posición indicada por la línea cortada, encontramos la forma de la línea de influencia que se muestra en la figura 6-13c Finalmente, si va a determinarse la forma de la línea de influencia para el momento en C, figura 6-14ª, se coloca un pasador o articulación interna en C, ya que esta conexión resiste fuerzas axiales y cortantes pero no puede resistir un momento, figura 6-14b. Aplicando momentos positivos Mc a la viga, esta sufrirá deflexión según la línea interrumpida, que es la forma de la línea de influencia, figura 6-14c.

La prueba del principio de Müller-Breslau puede establecerse usando el principio del trabajo virtual. Recuerde que trabajo es el producto de un desplazamiento lineal y una fuerza en la dirección del desplazamiento lineal o bien un desplazamiento rotacional. Si un cuerpo rigido (viga) esta en equilibrio, la fuerza y el momento resultantes sobre ella son iguales a cero. En consecuencia, si al cuerpo se le da un desplazamiento virtual o imaginario, el trabajo hecho por todas las fuerzas y momentos concentrados que actúan sobre el debe también ser igual a cero. Considere, por ejemplo, la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 6-15a, sometida a la carga unitaria en un punto arbitrario a lo largo de su longitud. Si la viga se le da un desplazamiento virtual (o imaginario) en el soporte A, figura 6-15b, entonces solo la reacción Ay, en el soporte y la carga unitaria efectúan un trabajo virtual. Específicamente, Ay efectua trabajo positivo Ay y la carga unitaria efectua trabajo negativo, -1 . (el soporte en B no se mueve y por tanto la fuerza en B no trabaja) como la viga esta en equilibrio y en realidad no se mueve, el trabajo virtual suma cero, esto es,

Note que si

se hace igual a 1, entonces,

En otras palabras, el valor numérico de la reacción en A es equivalente al desplazamiento en la posición de la carga unitaria de manera que la forma de la línea de influencia para la reacción en A ha sido establecida 6-12. Esto prueba que el principio de Müller-Breslau para reacciones. De la misma manera, si la viga se secciona en C, y la viga sufre un desplazamiento virtual en este punto, 6-15c, tal que los segmentos AC y BC permanecen paralelos, entonces solo trabajaran la fuerza cortante interna en C y la carga unitaria. Asi, la ecuación del trabajo virtual es

Nuevamente, si

se hace igual a 1, entonces

Y la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C ha sido establecida figura 6-13. Finalmente, suponga que una articulación o un pasador se inserta en el punto C de la viga, 6-15d. si se le da al pasador una rotación virtual . Solo efectuaran un trabajo virtual el momento interno Mc y la carga unitaria. Asi,

Haciendo

, se ve que

Lo que indica que la viga deflexionada tiene la misma forma que la línea de influencia para el momento interno en el punto C figura 6-14. Es obvio que el principio de Müller-Brelau proporciona un método rápido para establecer la forma de la línea de influencia. Una vez conocida esta, las ordenadas de los máximos pueden determinarse usando el método básico analizando en la sección 6.1. Además, conociendo la forma general de la línea de influencia, es posible situar la carga viva sobre la viga y luego determinar el valor máximo de la función usando la estática el ejemplo 6-12 ilustra este procedimiento.

EJERCICIO 01:

Determine la fuerza cortante máxima positiva que puede desarrollarse en el punto C de la viga de la figura debido a una carga viva concentrada de 4000 lb y una carga viva uniforme de 2000 lb/ft . Solución: La línea de influencia para la fuerza cortante en C

Fuerza concentrada La fuerza cortante máxima positiva en C ocurre cuando la fuerza viva de 4000 lb se coloca en ya que está es la posición del máximo positivo de la línea de influencia. La orden de este máximo es +0.75; así (

)

Carga Uniforme La carga viva uniforme crea la influencia máxima positiva para Vc cuando la carga actúa sobre la viga entre ya que dentro de esta región la línea de influencia tiene un área positiva. La magnitud de Vc debido a esta carga es [

(

)(

)]

⁄

Fuerza cortante máxima en C (

)

Note que una ves establecidas las posiciones de las cargas usando la línea de influencia, puede ) usando la estática y el método de las secciones. también determinarse el valor de ( Muestre que tal es el caso.

EJERCICIO 02: Determine el momento máximo positivo que puede desarrollarse en el punto C sobre la viga mostrada en la figura debido a una carga concentrada viva de 8000 N, una carga viva uniforme de 3000 N/m y el peso de la viga (carga muerta) de 1000 N/m.

Solución:

La línea de influencia para el momento en C Fuerza concentrada La fuerza viva de 8000 N debe colocarse en X = 4m para obtener un momento máximo positivo Mc (

)

Carga Viva Uniforme La carga viva uniforme de 3000 N/m debe colocarse sobre la viga entre obtener un momento máximo positivo Mc [

( )( )]

para

Carga Muerta Uniforme Se requiere que la carga muerta de 1000 N/m actué sobre toda la longitud de la viga. Podemos encontrar el momento en C debido a esta carga usando el método de las secciones y la estática o bien por conveniencia podemos usar la línea de influencia. En este caso debe usarse el área total de la línea de influencia. Como el área de es negativa tenemos [

( )( )

(

)( )]

Momento total máxima en C (

)

Conocida la posición de las cargas vivas y usando la línea de influencia demuestre que ( puede también encontrarse usando la estática y el método de las secciones.

)