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• Luis Molina Reinoso

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NOCIONES BÁSICAS SOBRE TEORÍA DE CONTROL ESP. LIC. ELENA GIANINETTO

ESP. ING. LUIS VEGA CARO

CONTENIDOS

PRÓLOGO ........................................................................................................... 4

CAPÍTULO I: SISTEMAS DE CONTROL ................................................................ 5 1.1. Definición Standard de Sistemas ............................................................................. 5 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

Definición de Sistemas ............................................................................................ 5 Control ..................................................................................................................... 5 Sistemas de Control ................................................................................................. 5 Entrada..................................................................................................................... 5 Salida ....................................................................................................................... 6 Propósitos del Sistema de Control........................................................................... 6

1.8. Subsistema de Control ............................................................................................. 6 1.9. Tipos de Sistemas de Control .................................................................................. 6 1.9.1. Naturales ...................................................................................................... 6 1.9.2. Artificiales o Fabricados .............................................................................. 7 1.9.3. Componentes Artificiales o Fabricados y Naturales (Mixto) ...................... 7 1.10. Importancia del Control........................................................................................... 7 1.11. Sistemas de Control en Malla Abierta y en Malla Cerrada ..................................... 8 1.11.1. Sistemas de Control en Malla Abierta ......................................................... 8 1.11.2. Sistema de Control en Malla Cerrada .......................................................... 9 1.12. Sistemas de Control Analógicos y Digitales ......................................................... 11 1.12.1. Señal Analógica ......................................................................................... 11 1.12.2. Señal Digital .............................................................................................. 11 1.12.3. El Objetivo de la Ingeniería de los Sistemas de Control ........................... 11 1.13. Modelos o Representaciones de Sistemas de Control ........................................... 12

CAPÍTULO II: TERMINOLOGÍA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL ...................... 13 2.1. Diagramas de Bloques ........................................................................................... 13 2.2. Diagramas de Bloques de Sistemas Continuos con Retroalimentación ................ 14 2.3. Terminología del Diagrama de Bloques en Malla Cerrada ................................... 14 2.4. Clasificación de Controladores Analógicos (Ver Apéndice) ............................... 18 2.4.1. Control ON ± OFF ..................................................................................... 18 1

2.4.2. Controlador Proporcional .......................................................................... 18 2.4.3. Controlador Derivativo .............................................................................. 19 2.4.4. Controlador Integral .................................................................................. 19 2.4.5. Acción de Control Proporcional-Integral-Derivativa ................................ 19 2.5. Servomecanismos .................................................................................................. 19 2.6. Regulador .............................................................................................................. 20

CAPÍTULO III: ECUACIONES DIFERENCIALES ................................................. 21 3.1. Definición .............................................................................................................. 21 3.2. Clasificación .......................................................................................................... 21

CAPÍTULO IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................. 23 4.1. Definición .............................................................................................................. 23 4.1.1. Definición de la Condición Suficiente para la Existencia de la T.L.......... 23 4.2. La inversa de la transformada de Laplace ............................................................. 24 4.3. Propiedades de la Transformada de Laplace y de su Inversa ................................ 24 4.4. Tabla Resumida de Transformadas de Laplace ..................................................... 29 4.5. Funciones de Singularidad: Pasos, Rampas e Impulsos ........................................ 31 4.6. Expansiones en Fracciones Parciales .................................................................... 32 4.6.1. E.F.P. cuando el Denominador tiene algunas Raíces Múltiples ................ 34 4.6.2. Utilidad de la E.F.P.................................................................................... 36 4.7. Aplicación de las T.L. a la solución de Ecuaciones Diferenciales ........................ 36

CAPÍTULO V: FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ................................................... 41 5.1. Definición de Funciones de Transferencia de un Sistema Continuo..................... 41 5.2. Propiedades de la Función de Transferencia de un Sistema Continuo.................. 42 5.3. Funciones de Transferencia de compensadores y controladores de sistemas de control continuo ................................................................................................ 44

CAPÍTULO VI: FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA DE CONTROL CON RETROALIMENTACIÓN Y SU RESPUESTA TEMPORAL ............. 48 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Forma Canónica de un Sistema en Malla Cerrada ................................................ 48 Respuesta en el Tiempo ......................................................................................... 50 Método de Expansión en Fracciones Parciales ..................................................... 51 Cálculo de los Residuos......................................................................................... 52

6.5.

Respuesta en el Tiempo para un Sistema de Primer Orden a una Entrada Escalón .................................................................................................................. 57

2

CAPÍTULO VII: PARÁMETROS QUE CARACTERIZAN A LA RESPUESTA TRANSITORIA ....................................................................... 60 7.1. 7.2. 7.3.

Análisis de la Respuesta de un Sistema de 2º Orden con Polos Complejos.......... 60 Parámetros de la Respuesta Transitoria ................................................................. 64 Especificaciones de la respuesta transitoria .......................................................... 65

7.4.

Especificaciones de la Respuesta Transitoria para Sistemas de Segundo Orden ...................................................................................................... 66

CAPÍTULO VIII: ESTABILIDAD ........................................................................ 74 8.1. Introducción al Concepto de Estabilidad ............................................................... 74 8.2. Criterio de Routh ± Hurwitz .................................................................................. 76 8.2.1. Casos Especiales ........................................................................................ 78

CAPÍTULO IX: LUGAR DE LAS RAÍCES ............................................................. 81 9.1. Concepto e Interpretación del Lugar de las Raíces ............................................... 81 9.2. Diagramas del Lugar de las Raíces ....................................................................... 83 9.3. Diagramas del Lugar de las Raíces de Sistemas de Segundo Orden ..................... 85 9.4. Reglas Generales para Construir el Lugar de las Raíces ....................................... 90 9.5. Resumen de los Pasos para Construir el Lugar de las Raíces ............................... 98

APÉNDICE: PID, CONTROLADOR PROPORCIONAL, INTEGRAL Y DERIVATIVO ............................................................................ 100

A.1. Concepto y Definición de Control PID ............................................................... 100 A.2. Funcionamiento ................................................................................................... 101 A.2.1. Acción Proporcional ................................................................................ 102 A.2.2. Acción Integral ........................................................................................ 103 A.2.3. Acción Derivativa .................................................................................... 104 A.2.4. Significado de las Constantes .................................................................. 105 A.3. Limitaciones de un Control PID .......................................................................... 106 A.4. Ejemplos Prácticos .............................................................................................. 107

3

PROLOGO

En este breve texto se pretende acercar a los lectores, una introducción a los Conceptos Básicos de los Sistemas de Control que deben manejar los estudiantes de Ingeniería. La Ingeniería de Control es un tema Multidisciplinario y por su presencia en el uso de las Tecnologías Modernas, ha tomado a nivel mundial, un lugar ineludible como curso básico en la currícula de toda Ingeniería. La Ingeniería de Control, constituye un campo excitante de desarrollo y con problemas que representan un reto no solo en su solución, sino también en el planteo y en la generación de Modelos que los expliquen y los resuelvan. Dado que la Ingeniería de Control se sustenta sobre una gran componente Matemática y sus fundamentos, es razonable esperar analizar los Sistemas desde diferentes puntos de enfoque. Por un lado, se puede abordar su resolución desde una óptica estrictamente basada en el Marco Teórico, haciendo hincapié en Teoremas y sus demostraciones y por otro lado, desde un enfoque pragmático que descansa en la intuición y en la experiencia práctica cuando se diseñan Sistemas de Control con Retroalimentación. Al mencionar la Multidisciplinariedad, se pretende compartir la poca separación que existe en la práctica en los Sistemas de Control de las distintas Ingenierías, Sistemas de Información, Aeronáutica, Mecánica, Química, Eléctrica, Electrónica, Industrial; de manera que se escribe sin sesgo conceptual o favoritismo consciente hacia una disciplina en particular; buscando de esta manera, que este documento sea igualmente útil a todas las disciplinas. El deseo de este texto es brindar a los lectores una comprensión de los Sistemas de Control y su Análisis; proponiendo y exponiendo a los estudiantes al estudio de Sistemas ajenos a su disciplina primaria con el objeto de ilustrar la vigencia y la utilidad de la Ingeniería de Control, la cual incumbe de igual manera a Sistemas Sociológicos, Biológicos, Económicos, Industriales, etc. y tiene como misión brindar conocimientos de la Aplicabilidad Interdisciplinaria de la Teoría General de los Sistemas en muchas facetas de la vida.

4

CAPITULO I

SISTEMAS DE CONTROL 1.1.DEFINICIÓN STANDARD DE SISTEMAS Es un conjunto, arreglo o colección de cosas unidas o relacionadas de tal manera que forman una entidad o un todo. 1.2.DEFINICIÓN DE SISTEMAS Ordenamiento de componentes físicos, unidos o relacionados de tal manera que forman y/o actúan como una unidad completa 1.3.CONTROL Proceso para asegurar que las actividades reales se ajusten a las actividades planificadas. 1.4.SISTEMAS DE CONTROL Es un ordenamiento de componentes físicos unidos o relacionados de tal manera que mandan, dirigen o regulan al mismo sistema o a otro. 1.5.ENTRADA La entrada es el estímulo o excitación que se aplica a un Sistema de Control, generalmente desde una fuente de energía externa, con el fin de producir, una respuesta específica del sistema de control.

5

1.6.SALIDA Es la respuesta real que se obtiene de un sistema de control. Puede ser o no igual a la respuesta implícita especificada por la entrada. Las entradas y las salidas pueden tener muchas formas diferentes. Las entradas, por ej., pueden ser variables físicas o cantidades más abstractas, tales como valores de referencia, de ajuste o deseados para la salida del sistema de control. 1.7.PROPÓSITOS DEL SISTEMA DE CONTROL x Identificar o definir la entrada y la salida. x Si se dan la entrada y la salida, es posible identificar, delinear o definir la naturaleza de los componentes. 1.8.SUBSISTEMA DE CONTROL Un Subsistema de Control es un Sistema de Control que se encuentra dentro de otro Sistema de Control, donde las entradas y salidas son variables internas del Sistema de Control mayor. 1.9.TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL 1.9.1. NATURALES x Ejemplo: señalar un objeto con el dedo, transpiración, etc. El acto aparentemente simple, de señalar un objeto con el dedo requiere un sistema de control biológico, el cual consiste de los ojos, el brazo, la mano y el dedo y el cerebro. La entrada es la dirección precisa del objeto (en movimiento o no) respecto de alguna referencia y la salida es la dirección real señalada en relación con la misma referencia. Una parte del sistema humano de control de temperatura es el sistema de transpiración. Cuando la temperatura del aire exterior a la piel es alta, las glándula sudoríparas secretan copiosamente, induciendo así a un enfriamiento de la piel mediante la evaporación. La entrada puede ser la temperatura normal de la piel (un punto de referencia) o la temperatura del aire (variable física), la salida es la temperatura real de la piel. 6

1.9.2. ARTIFICIALES O FABRICADOS x Ejemplo: Calentador u horno termostático (calefactor), interruptor eléctrico, etc. Un interruptor eléctrico controla el flujo de corriente, la persona o el aparato que mueve el interruptor no es parte del sistema. Se puede considerar como entrada el movimiento del interruptor a la posición de encendido o apagado. La entrada puede estar en uno de los dos estados, el encendido o el apagado. La salida es el flujo o no flujo de electricidad. La entrada a un Calentador u horno termostático es una temperatura de referencia, usualmente especificada por un termostato, la salida es la temperatura real del cuarto. Cuando el termostato detecta que la salida es menor que la entrada, el horno proporciona calor hasta que la temperatura del recinto es igual a la de referencia, entonces el horno se apaga automáticamente, hasta que vuelva a descender la temperatura. 1.9.3. COMPONENTES ARTIFICIALES O FABRICADOS Y NATURALES (MIXTO) x Ejemplo: Un hombre conduciendo un automóvil, etc. En este ejemplo, la entrada es la dirección deseada o curso del camino representado por las líneas de la calzada, el curso del automóvil es la salida. El conductor controla esta salida constantemente, midiéndola con los ojos y su cerebro y corrigiéndola con las manos en el volante. Los componentes principales son las manos, los ojos, el cerebro y el vehículo. 1.10. IMPORTANCIA DEL CONTROL 1. Establece medidas para corregir las actividades, de tal forma que se alcancen los objetivos exitosamente. 2. Se aplica a todo: a las cosas, a las personas y a los actos. 3. Determina y analiza rápidamente las causas que pueden originar desviaciones para que no vuelvan a presentarse en el futuro. 4. Reduce costos y ahorra tiempo al evitar errores.

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1.11. SISTEMAS DE CONTROL EN MALLA ABIERTA Y EN MALLA CERRADA Los sistemas de Control se clasifican en dos categorías: Sistemas de control en malla abierta y en malla cerrada. La distinción se determina mediante la acción de control (es la cantidad responsable de activar el sistema para producir la salida). La acción de control no implica directamente cambio, movimiento o actividad. Por ejemplo: la acción de control en un sistema diseñado para hacer que un objeto dé en el blanco, usualmente es la distancia entre el objeto y el blanco. La distancia, es en este caso la acción de control, pero no es en sí una acción, sino que tiene implícita una acción (movimiento) porque el objetivo del sistema es reducir la distancia a cero. 1.11.1. SISTEMAS DE CONTROL EN MALLA ABIERTA Los sistemas de control de malla abierta son sistemas de control en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de control. No existe acción de retroalimentación, para comparar la señal de salida con la entrada de referencia, por lo tanto es necesario medir la variable de salida. Los elementos de un sistema de control en lazo abierto se pueden dividir en dos partes: el controlador y el proceso controlado. Una señal de entrada o comando se aplica al controlador, cuya salida actúa como señal actuante; la señal actuante controla el proceso controlado de tal forma que la variable controlada se desempeñe de acuerdo con estándares preestablecidos Ejemplo: La mayoría de las tostadoras eléctricas son sistemas de control de malla abierta porque están controladas por un temporizador. El tiempo para tostar el pan debe ser indicado por el usuario, el cual no pertenece al sistema. La salida es la calidad del tostado. El tiempo en general se ajusta mediante un disco o interruptor calibrado. CARACTERÍSTICAS x

Para cada entrada de referencia corresponde una condición de operación fijada.

8

x

La exactitud del sistema depende de la calibración (establecer o restablecer la relación entrada - salida para obtener la exactitud deseada del sistema).

x

En presencia de perturbaciones no cumple su función asignada debido a que no se adapta a los cambios.

x

Sólo se debe usar cuando se conoce la relación entre la entrada y salida del sistema, y si no hay perturbaciones ni internas ni externas.

x

Generalmente depende del criterio y la estimación del hombre. El siguiente gráfico representa el diagrama de bloques de un sistema de malla abierta:

Sistemas de Control en Malla Abierta

1.11.2. SISTEMA DE CONTROL EN MALLA CERRADA Son aquellos en los que la acción de control depende, de alguna manera, de la salida. Estos sistemas de control son generalmente llamados, sistemas de control retroalimentados. RETROALIMENTACIÓN La propiedad de un sistema de malla cerrada que permite que la salida (o alguna otra variable controlada) se compare con la entrada del sistema (o una entrada de algún otro componente o subsistema situado internamente) de tal manera que la acción de control se pueda expresar como una función de la entrada y la salida. Ejemplo: El piloto automático y el avión que este controla es un sistema de malla cerrada. Su propósito es mantener una dirección específica a pesar de los 9

cambios atmosféricos. Esta tarea la realiza midiendo continuamente la dirección real del avión y ajustando de manera automática los mecanismos de control del avión (timón, alerones, etc.) de tal manera que logra una correspondencia entre la dirección real del avión y la especificada. La entrada es la dirección especificada, la cual se puede ajustar con un marcador u otro instrumento en el tablero de control del avión y la salida es la dirección real, la cual se determina mediante los instrumentos de navegación automática. Un dispositivo de comparación supervisa la entrada y la salida. Cuando hay correspondencia entre los dos, no se requiere ninguna acción de control. Si existe una diferencia, el dispositivo de comparación envía una señal de acción de control al controlador, él suministra las señales apropiadas a los mecanismos de control para reducir la diferencia entrada-salida. La retroalimentación se puede efectuar mediante conexiones eléctricas o mecánicas de los instrumentos de navegación, que determinan la dirección al dispositivo de comparación. El dispositivo de comparación puede estar integrado a piloto automático. LAS

CARACTERÍSTICAS MÁS IMPORTANTES DE LA RETROALIMENTACIÓN DE

UN SISTEMA SON:

x

Aumento de exactitud. Por ejemplo, la habilidad para reproducir la entrada fielmente.

x

Sensibilidad reducida de la razón salida a entrada frente a las variaciones en las características del sistema.

x

Ancho de banda aumentado. El ancho de banda de un sistema es una medida de frecuencia de que bien responde o filtra el sistema a las variaciones de la señal de entrada.

Sistemas de Control en Malla Cerrada

10

1.12.

SISTEMAS DE CONTROL ANALÓGICOS Y DIGITALES

Las señales en un sistema de control, por ejemplo, las formas de onda de entrada y salida, son funciones de alguna variable independiente, usualmente el tiempo, denotada por t. 1.12.1. SEÑAL ANALÓGICA: Una señal dependiente de un continuum de valores de la variable independiente t se llama señal continua en el tiempo o señal de datos continuos o señal analógica. 1.12.2. SEÑAL DIGITAL: Una señal definida o de interés solamente en los instantes discretos de la variable independiente t (de la cual depende) se llama señal discreta en el tiempo, de datos discretos, de datos muestreados o digital. Ejemplos: El voltaje continuo que varía sinusoidalmente v(t) o la corriente alterna i(t) disponibles en un tomacorriente es una señal continua en el tiempo (analógica) porque está definida en cada uno de los instantes t que la energía está disponible en ese toma. La temperatura media T de una habitación a las 8 hs. De cada día, es una señal discreta en el tiempo. Se la puede indicar de diferentes maneras, por ejemplo T(8) para la temperatura a las 8 en punto. T( 7 «SDUDODWHPSHUDWXUDD ODV HQSXQWRGH ODPDxDQDGHOGtD«6RQ YDORUHVPXHVWUHDGRVGHXQD señal continua en el tiempo. 1.12.3. EL OBJETIVO DE LA INGENIERÍA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL La ingeniería de los sistemas de control consiste en el análisis y el diseño de las configuraciones de los sistemas de control. El análisis es la investigación de las propiedades de un sistema existente. El diseño es la elección y el ordenamiento de los componentes del sistema para desempeñar una tarea específica. Existen dos métodos para el diseño:

11

x

Diseño por Análisis

x

Diseño por Síntesis

El diseño por análisis se efectúa al modificar las características de la configuración de un sistema existente o estándar y el diseño por síntesis, al definir la forma del sistema directamente de sus especificaciones. 1.13.

MODELOS O REPRESENTACIONES DE SISTEMAS DE CONTROL

Para resolver un problema de Sistema de Control, se debe especificar o describir la configuración del sistema y sus componentes de tal manera que facilite el análisis o el diseño. En el estudio de los Sistemas de Control, se usan tres esquemas básicos o Modelos representativos de los Sistemas y sus componentes: x Modelos Matemáticos en forma de ecuaciones diferenciales, ecuaciones de diferencia y/u otras relaciones matemáticas, por ejemplo, la transformada de Laplace y la transformada z. Estos modelos son necesarios cuando se requieren relaciones cuantitativas, por ejemplo, para representar el comportamiento detallado de la salida de un sistema con retroalimentación a una entrada dada. El desarrollo de modelos matemáticos se basa en los principios de las ciencias físicas, biológicas, sociales o de la información, dependiendo del área de aplicación del sistema de control y la complejidad de tales modelos varía ampliamente. x Diagramas de Bloques x Grafos de Flujos de Señales

12

CAPITULO II

TERMINOLOGÍA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 2.1.DIAGRAMAS DE BLOQUES Un diagrama de bloques es una representación simplificada de la relación de causa y efecto que existe entre la entrada y la salida de un sistema físico. El diagrama suministra un método útil para caracterizar las relaciones funcionales entre los diferentes componentes de un sistema de control. Los componentes del sistema se conocen alternativamente con el nombre de elementos del sistema. El interior del rectángulo que representa al bloque generalmente contiene la descripción o el nombre del elemento, o el símbolo de la operación matemática que se ejecuta sobre la entrada, con el fin de obtener la salida. Las flechas representan la dirección de la información unilateral o el flujo de señales. Bloque Entrada

Salida

Las operaciones de adición y sustracción tienen una representación especial. El bloque se convierte en un pequeño círculo, llamado punto de suma, con el signo apropiado más o menos, asociado con las flechas que entran al círculo. La salida es la suma algebraica de las entradas. Cualquier número de entrada puede llegar a un punto de suma. X

X-Y

Y

13

Para hacer que la misma señal o variable sea una entrada a más de un bloque o punto de suma se utiliza un punto de toma. Punto de Toma

X X

X

X

X

X

X Punto de Toma

2.2.DIAGRAMAS DE BLOQUES DE SISTEMAS CONTINUOS CON RETROALIMENTACIÓN

Los bloques que representan los diferentes componentes de un sistema de control están conectados de un modo que caracteriza sus relaciones funcionales dentro del sistema. En la figura se ilustra la configuración básica de un sistema de control simple en malla cerrada retroalimentado, con una sola entrada y una sola salida para un sistema con señales continuas únicamente. En este diagrama de bloques se representan todos los elementos que intervienen en las distintas etapas de control en una planta. Perturbación

Señal actuante (Error)

Entrada de Referencia

r

+

#

e r#b

Señal de Control o Variable Manipulada

Elementos anticipativos (control) g1

uom

n Planta o proceso g2

Trayectoria directa

b Señal primaria de retroalimentación

Elementos de retroalimentación h

Trayectoria de retroalimentación

2.3.TERMINOLOGÍA DEL DIAGRAMA DE BLOQUES EN MALLA CERRADA Para representar las variables de entrada y de salida de cada elemento se usan letras minúsculas tal como para los símbolos de los bloques. Estas cantidades representan funciones de tiempo, a no ser que se especifique lo contrario.

14

Las letras mayúsculas representan trasformadas de Laplace de cantidades que son funciones de la variable compleja s, o trasformadas de Fourier de cantidades (funciones de frecuencia) que son funciones de la variable imaginaria. x Definición 1: La planta (proceso o sistema controlado) g2, es el sistema, subsistema, proceso u objeto de la cual se va a controlar una cantidad o condición particular. x Definición 2: La salida controlada c es la variable de salida de la planta, es decir, es esa cantidad o condición de la planta que se controla. x Definición 3: La trayectoria directa es la ruta de transmisión desde el punto de suma al punto de salida controlada c. x Definición4: Los elementos anticipativos de control, son los componentes de la trayectoria directa requeridos para generar la señal de control apropiada u o m que se aplica a la planta. Entre estos se encuentran controladores, compensadores y / o amplificadores. x Definición5: la señal de control u o la variable manipulada m es la señal de salida de los elementos anticipativos g1, aplicada como entrada a la planta. x Definición 6: La trayectoria de retroalimentación, es la ruta de transmisión desde la salida controlada hasta el punto de suma. x Definición 7: Los elementos de retroalimentación son los componentes que se requieren para establecer la relación funcional entre la señal de retroalimentación primaria b y la salida controlada c. Entre estos se encuentran sensores, compensadores y / o controladores. x Definición 8: La entrada de referencia r es una señal externa aplicada al sistema de control con retroalimentación, usualmente en el primer punto de suma, con el fin de ordenar a la planta una acción especificada. A menudo representa un comportamiento ideal de la salida de la planta. x Definición 9: La señal de retroalimentación primaria b es una función de la salida controlada c y que se suma algebraicamente a la entrada de referencia r para obtener la señal actuante (error). En un sistema de malla abierta no tiene señal primaria de retroalimentación. x Definición 10: La señal actuante o error, también denominada acción de control, es la suma algebraica de la entrada de referencia más o menos (usualmente menos) la retroalimentación primaria. La acción de control se genera por la señal actuante (error) en un sistema de control con 15

retroalimentación. En un sistema de malla abierta, que no tiene retroalimentación, la señal actuante es igual a r. x Definición 11: En la retroalimentación negativa el punto de suma es un sustractor y en la retroalimentación positiva el punto de suma es un sumador. Ejemplo: La figura muestra un diagrama en bloques de un sistema industrial que consiste en un controlador automático, un actuador o accionador, una planta y un sensor. El controlador detecta la señal de error, que suele estar a un nivel de potencia muy bajo y la amplifica a un nivel suficientemente alto. Así, el controlador automático está constituido por un detector de error y un amplificador. También suele haber un circuito de retroalimentación adecuado, junto con un amplificador, que se utiliza para alterar la señal de error, amplificándola y a veces diferenciándola y/o integrándola, para producir una mejor señal de control. El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada a la planta, de acuerdo con la señal de control de modo que la señal de retroalimentación corresponda a la señal de entrada de referencia. La salida de un controlador automático alimenta a un actuador o accionador, que puede ser un motor o válvula neumática. El sensor o elemento de medición es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable adecuada, como un desplazamiento, presión o voltaje que se utiliza para comparar la salida con la señal de entrada de referencia.

x

Definición 12: Una perturbación es una señal de entrada indeseable que afecta el valor de la salida controlada. Puede entrar a la planta sumándose con la variable manipulada o a través de un punto intermedio. 16

x

Definición 13: Un muestreador es un dispositivo que transforma una señal continua en el tiempo, en una señal discreta en el tiempo. Los muestreadores ideales se representan de manera esquemática por un interruptor, como se muestra en la figura, en la cual el interruptor normalmente está abierto, excepto en los instantes t1,t2«FXDQGRVHFLHUUD por un instante. u(t)

u*(t)

u(t)

u*(t) tO

x

Definición 14: Un convertidor analógico a digital(A/D) es un dispositivo que convierte una señal analógica en una digital.

x

Definición 15: Un convertidor digital a analógico (D/A) es un dispositivo que convierte una señal discreta o digital en una continua en el tiempo o analógica. Ejemplo: En general se utilizan computadoras para controlar plantas o procesos continuos. Para ello, se necesitan conversores A/D y D/A para convertir señales de la planta en señales digitales y señales digitales del computador en señales de control para la planta analógica.

x

Definición 16: Un transductor es un dispositivo que convierte una forma de energía en otra. Uno de los ejemplos más comunes de transductor es el potenciómetro, el que convierte una posición mecánica en un voltaje eléctrico.

x

Definición 17: La RUGHQȞ es una señal de entrada, generalmente igual a la entrada de referencia r. Pero cuando la clase de energía de la orden v no es la misma que la de la retroalimentación primaria b, se requiere un transductor entre la orden v y la entrada de referencia r, como se muestra en el ejemplo siguiente.

17

Ejemplo: Entrada de referencia Orden

Transductor

v

v

Transductor de Entrada

r

e

+

r

b Transductor de retroalimentación

x

c

Definición 18 un sistema multivariable es aquel que tiene más de una entrada o más de una salida o ambas.

2.4.CLASIFICACIÓN DE CONTROLADORES ANALÓGICOS (VER APÉNDICE) Los controladores industriales analógicos se pueden clasificar de acuerdo con sus acciones de control, de la siguiente forma: x

Controladores de dos posiciones, o encendido - apagado (on-off);

x

Controladores proporcionales (P);

x

Controladores integrales (I);

x

Controladores proporcionales-integrales (PI);

x

Controladores proporcionales-derivativos (PD).

x

Controladores proporcionales-integrales-derivativos (PID).

2.4.1. CONTROL ON ± OFF: Tiene únicamente dos posiciones en su salida, dependiendo de la entrada en el controlador. 2.4.2. CONTROLADOR PROPORCIONAL Tiene una salida proporcional su entrada, es decir u = Kp e. Donde Kp es una constante de proporcionalidad, la ganancia del controlador. Ventajas: cuentan con un sólo parámetro de ajuste. 18

2.4.3. CONTROLADOR DERIVATIVO Tiene una salida u proporcional a la derivada de su entrada e, esto es, u=KD de en donde K es una constante de proporcionalidad. D dt

2.4.4. CONTROLADOR INTEGRAL Tiene una salida proporcional a la integral de su entrada. u = K i ³ e t dt . Donde Ki es la constante de integración. La mayoría de los ingenieros usan el tiempo de integración, ti =

ͳ ‫݅ܭ‬

2.4.5. ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA La salida es la suma de las contribuciones de las partes proporcional, integral y derivativa: t

u(t)

K P e(t)  K i ³ e(t)dt  K P 0

de(t) d(t)

Los controladores PD, PI, DI, son combinaciones de los controladores proporcional (P), derivativo (D) e integral (I). 2.5.SERVOMECANISMOS Un servomecanismo es un sistema de control con retroalimentación de amplificación de potencia, en el cual la variable controlada c es una posición mecánica o una derivada con respecto al tiempo, tal como la velocidad o la aceleración. Ejemplo: El aparato de dirección de potencia de un automóvil es un ser vomecanismo. La orden de entrada es la posición angular del volante de dirección. Un pequeño toque rotacional que se aplica al volante de dirección se amplifica hidráulicamente, dando como resultado una fuerza adecuada para modificar la salida, la cual es la posición angular de las ruedas delanteras. En la figura se 19

presenta el diagrama de bloques del sistema. La retroalimentación negativa es necesaria para regresar la válvula de control a la posición neutra, reduciendo a cero el torque del amplificador hidráulico cuando se ha alcanzado la posición deseada en la rueda.

Elementos de control: g1 Planta + Posición angular del volante de dirección

Relación de engranajes

r

-e b

Válvula de control

Amplificador hidraulico

Conexión de dirección

u

Ruedas g2

c Posición angular de las ruedas en la carretera

Conexión de retroalimentación h

2.6.REGULADOR Un regulador o sistema regulador es un sistema de control con retroalimentación en el cual la entrada o comando de referencia es constante por largos periodos de tiempo, habitualmente durante todo el intervalo de tiempo en el cual el sistema es operacional. Con frecuencia tal entrada se llama punto de referencia. Un regulador se diferencia de un servomecanismo en que la función primordial de un regulador es generalmente mantener constante una salida que es controlada, mientras que la función de un servomecanismo consiste muy a menudo en hacer que una entrada variable en el sistema ocasione una salida.

20

CAPITULO III

ECUACIONES DIFERENCIALES 3.1.DEFINICIÓN Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden representarse matemáticamente en forma de estas ecuaciones. Una ecuación diferencial es cualquier igualdad algebraica o trascendental que involucra diferenciales o derivadas. Las ecuaciones diferenciales son útiles para relacionar razones de cambio de variables y de otros parámetros, como así también para relacionar la evolución de las variables (o de los parámetros) de un instante discreto de tiempo a otro. Por ejemplo la segunda ley de Newton puede expresarse como: dv dv donde a dt dt Una variable de una ecuación diferencial es independiente, si existen una o más derivadas con respecto a esta variable. Por ejemplo: f

dy dx

M

x variable independie nte ; y variable dependiente

3.2.CLASIFICACIÓN Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su: Tipo x Ordinarias: Se presentan sólo cuando la variable dependiente es función de una sola variable independiente. En este caso las derivadas son totales. Por ejemplo en:

21

f

M

dv dt

x Parciales: Si la variable dependiente es una función de dos o más variables independientes. En este caso las derivadas serán parciales. Por ejemplo en la ecuación de onda. į2 y įW 2

a2

į2 y y es la variable independie nte y t y x son dependient es į[ 2

Orden: Está dado por la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Grado: Es el grado algebraico de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación diferencial. 2

5

y § d3y · § d2 y · Por ejemplo: ¨ 3 ¸  ¨ 2 ¸  2 ez dx dx x  1 © ¹ © ¹

Es una ecuación diferencial ordinaria de orden tres y grado dos. Una ecuación diferencial es lineal si en ella no aparecen potencias de la variable dependiente y sus derivadas. Si algún término de una ecuación diferencial contiene potencias superiores, productos o funciones trascendentales de las variables dependientes, esta ecuación es no lineal. 2 · § dy · ¨ ¸ y 0¸ ¸ son ecuaciones no lineales © dt ¹ ¸ d2y  cosy 0 ¸ 2 dt ¹ Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, tiene una solución que incluye n constantes arbitrarias. Esta solución se llama solución general. Si una vez conocida la solución general, se fijan valores a las constantes arbitrarias se obtiene una solución particular. La solución de una ecuación diferencial puede presentarse de tres formas distintas:

x En forma explícita si la incógnita y está despejada en función de la variable independiente x. x En forma implícita si la solución está expresada por una ecuación que relaciona la incógnita y y la variable independiente x. x En forma paramétrica si la solución está dada en función de un parámetro.

22

CAPITULO IV

TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.1.DEFINICIÓN La transformada de Laplace es una técnica de transformación para el análisis de sistemas de control lineal; relaciona funciones de tiempo con funciones dependientes de la frecuencia de una variable compleja. Se define de la siguiente manera: Sea f(t) una función real de una variable real t, definida para t > 0. Entonces ࣦ { f (t )} { F (s) { lim ³H f (t ).e  st .dt T

T of H o0

³

f

0

0 0; es útil al tratar funciones que son discontinuas en t = 0. La variable real t siempre representa el tiempo. 4.1.1. DEFINICIÓN DE LA CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE LA T.L. Si f(t) está definida para t > 0, y F(V) es absolutamente convergente para algún número real V0 , esto es,

³

f

0

f (t ) e V t dt  f 0

0 V0 . Ejemplo: La función e-t es transformable en Laplace puesto que:

23

³

f

0

e t e V 0t dt

³

f

0

e (1V 0 )t dt

(1V 0 ) t f 1 e 0  (1  V 0 )

1  f 1 V 0

si 1+V0 o V0 > -1 4.2.LA INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace convierte un problema del dominio de la variable real tiempo al dominio de la variable compleja s. Luego de obtenerse la solución al problema transformado, en términos de s, es necesario ³LQYHUWLU´ esta transformada para obtener la solución en el dominio del tiempo. La transformación del dominio s en el dominio t se llama Inversa de la transformada de Laplace. Definición: Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f(t), para t >0. खെ૚ {F ( s)} { f (t ) En donde j

1

³ 2S j

c  jf

c  jf

F ( s) e st ds

 1 y c > V0, con V > V0 se denomina Inversa de la transformada

de Laplace de F(s). 4.3.PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y DE SU INVERSA Sean f(t) y g(t) funciones de tiempo, F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t), es decir, ࣦ ^f(t)` y ࣦ ^g(t)`, y c1 y c2 constantes. Suponiendo que se cumple la condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace, enunciamos las siguientes propiedades: Ŷ La T.L. de la suma o diferencia de dos funciones de tiempo, es la suma o diferencia de las T.L. de las funciones de tiempo. ࣦ { f 1 (t ) r f 2 (t )}

F1 ( s) r F2 ( s)

Ŷ Linealidad: ࣦ^c1 f1(t) + c2 f2(t)` = c1 ࣦ^f1(t)` + c2 ࣦ^f2(t)` = c1 F1 (s) + c2 F2 (s) Ejemplo: ࣦ {4t 2  3 cos 2t  5e t } ൌ Ͷࣦሼ– ʹ ሽ െ ͵ࣦ{cos2t} ൅ ͷࣦ ሼ‡െ– ሽ ൌ 24

§ 1 · § 2! · § s · 4¨ 3 ¸ 3¨ 2 ¸ ¸5¨ © s 1¹ © s ¹ © s  4¹ 8 3s 5  2  3 s s  4 s 1

Ŷ Linealidad de la inversa de la trasformada de Laplace: ࣦ -1^c1 F1(s)+ c2 F2 (s)

= c1 ࣦ -1^ F1(s)`+ c2 ࣦ -1^ F2(s)` = c1 f1 (t) + c2 f2 (t)

Ejemplo: 3s 5 ½ ­ 4 1 ½ -1 ­ ࣦ -1 ®¯ s  2  s 2  16  s 2  4 ¾¿ = 4 ࣦ -1 ­® ¾- 3 ࣦ ®

1 ½ -1 ­ 1 ½ ¾ ¾+ 5 ࣦ ® 2 2 ¯ s  16 ¿ ¯s  4¿

¯s  2¿

4 e -2 t - 3 cos 4 t 

5 sen 2 t 2

Ŷ Transformada de Laplace de las derivadas:

­ df ½ ख ® ¾ sF(s)  f(0  ) ¯ dt ¿ df ­d 2 f ½ ࣦ ® 2 ¾ s 2 F ( s)  sf (0  )  dt dt ¿ ¯

t 0

Generalización:

­d n f ½ ख® n ¾ ¯ dt ¿

s n F ( s)  s n 1 f (0  )  s n 2

+

df dt

 ...  s t 0

d n2 f dt n 2

 t 0

d n 1 f dt n 1

t 0

donde, f(o ) es el valor inicial de f(t), evaluada como el límite de f(t) cuando to0, a partir de valores positivos. Ejemplo: ͳ

a) Sea f(t)=e-t y ࣦ {e-t}= ሺ•൅ͳሻ f(0+)=limto0 e-t=1 ­ d (e t ) ½ § 1 · 1 ¸ 1 ¾ s¨ dt s  1 s 1 ¹ ¯ ¿ ©

ࣦ®

25

b) f(t)= sen 3t, donde: ࣦ{sen 3t}= ­ d 2 ( sen3t ) ½ 2 § 3 · ¸  s.0  3 ¾ s ¨ 2 2 © s 9¹ ¯ dt ¿

ࣦ®

͵ ሺ• ʹ ൅ͻሻ

 27 s2  9

Ŷ Transformada de Laplace de Integrales: ख

^³ f (u)du` t

0

F ( s) s

ࣦ {f(t)} sen2t Ÿ ࣦ ^sen 2 t` ࣦ

^³ sen2u.du`

2 se tiene que: s 4 2

2 ss 2  4

t

0

Ŷ Teorema del Valor Inicial: Si el limite existe, el valor inicial f(o+) de la función f(t) cuya T.L. es F(s) es:

f 0  lim f(t)

t!0

lim sF(s)

t o0

s of

Ejemplo: Sea una f(t) = e-3 t, usando la tabla se tiene que la transformada de Laplace 1 ࣦ ^e  3 t ` . s3 El valor inicial de e-3t puede determinarse mediante el teorema del valor inicial

§ 1 · lim s¨ ¸ 1 s of © s  3¹

lim e 3t t o0

Ŷ Teorema del Valor Final: Si el limite existe el valor final f(f) de la función f(t) cuya T.L. es F(s) es:

f(f)

lim f(t) t of

lim sF(s) s o0

Ejemplo: Sea f(t) = 1 ± e-t ࣦ ^1  e t `

1 s( s  1)

el valor final de esta función puede determinarse:

1  e t lim lim t of s o0

s 1 s( s  1)

26

El teorema del valor final se utiliza en el análisis y proyecto de servosistemas ya que facilita el valor final de la función en el dominio temporal, deduciéndolo del comportamiento de su T.L. cuando s o 0. Ŷ Cambio de Escala de Tiempo: §t· La Transformada de Laplace de una función f ¨ ¸ es: ©a¹

­ § t ·½ ख ® f ¨ ¸¾ ¯ © a ¹¿

a.F (a.s)

Ejemplo: f(t) = e ± t¶ ࣦ ^e  t `

1 s 1 1 3

para determinar T.L. de f(t), donde a ࣦ ^e 3t `

· § 1¨ 1 ¸ ¸ ¨ 3 ¨ 1 s  1¸ ¸ ¨ ¹ ©3

1 s3

Ŷ Cambio de Escala de Frecuencia: Se tiene

­ § s ·½ §s· F ¨ ¸ Ÿ ࣦ െͳ ®F ¨ ¸¾ a f (at) a © ¹ ¯ © a ¹¿

donde ࣦ െͳ ሼ ሺ•ሻሽൌˆሺ–ሻ

Ejemplo:

­ ½ t ࣦ -1 ®¯ s  1¾¿ e 1

­ ½ °° 1 °° ¾ ࣦ -1 ® 1 ° s  1° ¿° ¯° 5

5 e 5t

a=5

Ŷ Retardo de Tiempo: ­ f (t  T ) T ! 0; t ! T entonces t dT ¯ 0

Si ࣦ {f(t)} = F(s) y g (t ) ® ࣦ ^g (t )` e  sT F (s)

27

Ejemplo: ࣦ ^e  t `

1 La TL de la función definida como: s 1

­e  (t 2) ® ¯ 0

t!2

ࣦ ^g(t)` e  2s

1 s 1

g (t )

td2

e 2s s 1

Ŷ Traslación compleja: Sea F(s)= ࣦ ^f(t)`, la T.L. de la función e ࣦ ^e  at f (t )` F (s  a) Ejemplo: ࣦ ^ cost`

s s2  1

ࣦ ^e 2t cost`

s2 ( s  2) 2  1

s2 s  4s  5 2

28

--at

f(t) está dada por:

4.4.TABLA RESUMIDA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE FUNCIÓN DE

TRANSFORMADA DE

TIEMPO

LAPLACE

1

Impulso unitario G(t)

1

2

Paso unitario 1(t)

1 s

3

Rampa unitaria t

1 s2

4

Polinomio tn

n! s n 1

5

Exponencial e- at

1 sa

6

7

Z

Onda sinusoidal

s2  Z 2

sen Zt Onda cosenoidal cos Zt

s s2  Z 2

Z

8

e-atsen Zt

( s  a) 2  Z 2

9

e-atcos Zt

sa (s  a) 2  Z 2

10

1 1  e  at a





1 s( s  a)

29

La tabla puede utilizarse para encontrar las Transformadas de Laplace y sus inversas; combinando con el uso de las propiedades. Ejemplo: La transformada de Laplace de la función f(t) = e-4t + sen( t ± 2 ) + t2 e-2t se determina como sigue. En la tabla se encuentra que las transformadas de e-4t, sen t y t2 son:

2 ࣦ{ t2 } = s 3

1

1

ࣦ{ e-4t } = s  4

ࣦ{ sen t } = s 2  1

Por propiedad Retardo de tiempo e 2 s ࣦ{ sen (t-2) } = s 2  1 Aplico propiedad de traslación compleja: ࣦ ^t 2 e 2t ` F s  a ; donde tengo s coloco s+a ʹ ሺ‫ ݏ‬൅ ʹሻ͵ Entonces la propiedad 1 (Linealidad) produce: ࣦ ሼ– ʹ ‡Ǧʹ– ሽ ൌ 

1 2 e 2 s  2  3 s  4 s 1  s  2

ࣦ ^ f t `

De la misma manera dada la T.L. podemos llegar a su inversa Ejemplo: Dada ሺ•ሻൌ ቂ ሺ•ሻൌ

•൅ʹ ቃ ‡Ǧ• • ʹ൅Ͷ

se puede escribir F(s) como:

•‡Ǧ• ʹ‡Ǧ• ൅ ʹ ൅ Ͷ ‫ ݏ‬൅Ͷ

•ʹ

Por tabla

ª s º ࣦ -1 «¬ s 2  4 »¼

cos 2t

ª 2 º ࣦ -1 «¬ s 2  4 »¼

sen 2t

Por propiedad Retardo de Tiempo para t>1 ª s.e  s º ª s.e  s º -1 -1  cos 2 t  1 2 « » ࣦ « s2  4» ࣦ ¬ s  4¼ ¬ ¼

sen 2  t - 1

Por la propiedad de Linealidad: ܿ‫ʹ ݏ݋‬ሺ‫ ݐ‬െ ͳሻ ൅ ‫ʹ݊݁ݏ‬ሺ‫ ݐ‬െ ͳሻ‫ ݐ‬൐ ͳ ࣦ െͳ ሼF(s)ሽ ൌ ቄ Ͳ‫ ݐ‬൑ ͳ 30

4.5.FUNCIONES DE SINGULARIDAD: PASOS, RAMPAS E IMPULSOS En el estudio de los sistemas de control y de las ecuaciones que los describen, se usa extensamente una familia particular de funciones llamadas funciones de singularidad. Cada miembro de esta familia se relaciona con los demás por una o más integrales o derivadas. Las tres funciones de singularidad de más amplio uso son: paso unitario, impulso unitario y rampa unitaria. Definición: Una función paso unitario 1(t-t0) se define mediante 1(t  t 0 )

­1 t ! t 0 ® ¯0 t d t 0 1

t=0

t=t0

Definición: Una función rampa unitaria es la integral de una función paso unitario

³

t

f

­t  t ; t ! t 0 1(W  t 0 )dW ® 0 ¯ 0; t d t 0

1 1 t=0

t=t0

Definición: Una función impulso unitario G(t) puede definirse mediante:

ª1(t)  1(t  ǻW º įW lim »¼ donde; 1(t) es la función paso unitario ǻW o0 « ǻW ¬ ǻW !0

­ǻW o 0½ + El par ® ¾ puede abreviarse por 'to0 que quiere decir que 't se aproxima ǻW ! 0 ¿ ¯ a cero por la derecha. El cociente entre corchetes representa un rectángulo de altura

ͳ '–

y de ancho 't, como se muestra en la figura siguiente. El proceso de 31

límite produce una función cuya altura se aproxima a infinito y el ancho se aproxima a cero. El área bajo la curva es igual a uno para todos los valores de 't. Esto es:

³

f

f

G (t )dt 1

Propiedad: La integral del producto de una función impulso unitario G(t-t0) y una función f(t), continuas en t=t0 y sobre un intervalo que incluya a t0 es igual a la función f(t) evaluada en t0 .

1(t)-1(t-'t)

1/'t

't

't

4.6.EXPANSIONES EN FRACCIONES PARCIALES La E.F.P. es una representación de las funciones racionales. Se usa para simplificar el cálculo de la inversa de las T.L. de una función racional. Los métodos de E.F.P. son tres: Cuando las raíces del denominador son: x Simples x Múltiples x Complejas Sólo se analizan las dos primeras E.F.P. cuando las raíces del denominador son simples. En general las T.L. se presentan como un cociente de polinomios en s, o sea:

F(s)

p(s) q(s)

Ejemplo: ª º ࣦ -1 «¬ s 2  4 »¼ cos 2t s

Donde: p(s) y q(s) son polinomios en los cuales el grado de p(s) es menor o igual que el grado de q(s). 32

p(s)

Cualquier función racional q(s) puede escribirse como una suma de funciones racionales, llamadas fracciones parciales, donde su denominador q(s) puede expresarse como: q(s)=(s+s1)(s+s2)...(s+sn) Si todas las raíces de q(s) son simples, F(s) puede escribirse como: Fs

p(s) q(s)

p(s)

s  s1 s  s 2  s  s n

La representación de la E.F.P. de la función racional F(s) es: Fs b 

ks 1 s  s1



ks 2

s  s 2



ks n

s  s n

Donde: m: raíces del numerador n: raíces del denominador Si mzn Ÿ b=0 m=n Ÿ b= coeficiente de la variable de mayor grado en el numerador. Los coeficientes K se denominan residuos de F(s). Cada coeficiente  • ͳ ,  • ʹ ,..., •  puede calcularse multiplicando F(s) por el denominador correspondiente y, luego evaluarla por el valor que anule el denominador. ks 1

>Fs . s  s1 @ s s

1

. . . ks n

Ejemplo: Fs

>Fs . s  s n @ s s

n

s 2  2s  2 s 2  3s  2

como m=n Ÿ b=1 Fs

s 2  2s  2 (s  1)(s  2)

k1

ª s 2  2s  2 º «s  1 » (s  1)(s  2) ¼ s ¬

k1

(1) 2  2(1)  2  1  2)

s  1 1

s 2  2s  2 (s  1)(s  2) s

1

33

1

k2

ª s 2  2s  2 º   s 2 « (s  1)(s  2) »¼ s ¬

Fs b 

(2) 2  2( 2)  2  2 1

2

2

k1 k  2 s 1 s  2

Reemplazando: Fs 1 

Ejemplo: Fs

1 2  s 1 s  2

5s  3 (s  1) (s  2) s  3

como mzn Ÿ b=0 Entonces descompuesta en funciones parciales es: K3 K1 K2   (s  1) (s  2) (s  3)

Fs

K1

K2

K3

ª º 5s  3 «s  1 (s  1)s  2 (s  3) » ¬ ¼s

5(1)  3 (1  2) 1  3

1

ª º 5s  3 «s  2 (s  1)s  2 (s  3) » ¬ ¼s

2

ª º 5s  3 «s  3 (s  1)s  2 (s  3) » ¬ ¼s

3

Fs

5(1)  3 (2  1) 2  3

1

7

6

1 7 6   (s  1) (s  2) (s  3)

4.6.1. E.F.P. CUANDO EL DENOMINADOR TIENE ALGUNAS RAÍCES MÚLTIPLES Si en el denominador hay algunas raíces iguales, la función F(s) se representa como: p(s) p(s) Fs q(s) s  s1 s  s 2 s  s i r s  s n Donde: n: número total de raíces r: número de raíces repetidas Ejemplo: Fs

1 3 s s  1 s  2 34

donde:

n=5 r=3

Desarrollando: F(s) b 

K

K



s1

s

s  s s  s

Æ Æ

 ... 

2

1

donde: n-r r

2

K

s



3

A1



A2

s  s s  s s  s n

2

i

 ... 

i

Ÿ b=0

F(s)

K0 A3 K-2 A1 A2     2 s  2 s  1 s  1 s  1 3 s

Coeficiente de las raíces simples: K0

K-2

>s  0 .F(s)@ s 0

>s  2 .F(s)@

s

1 s(s  1) 3 s  2 s

s  2

s 2

0

1 2

1 s(s  1) 3 s  2 s

2

1 2

Coeficientes de las raíces múltiples: Ar

>s  s F(s)@ r

i

s si

>

@

A r 1

d s  s i r F(s) ds

A r 2

1 d2 s  s i r F(s) 2! ds 2

Ǥ Ǥ Ǥ A1

s si

>

@

s  si

>

1 d r 1 s  s i r F(s) r  1 ! ds r 1

@

s si

r=3 A3

A2

>s  1 F(s)@ 3

>

s  1

3

s 1

@

d s  1 3 F(s) ds

s 1

1 3 ss  1 s  2 s

d ª 1 º ds «¬ ss  2 »¼ s

35

1 1

ª  2s  2 º » « 2 ¬ s s  2 ¼ s

0

2

1

r

i

Términos de raíces simples Términos de raíces múltiples

mzn

Ar

s  s

1

1 d2 ª s  1 3 F(s)º» 1 ¼ s 1 2! ds2 «¬

A 1

La descomposición completa es: 1 1 1 1    2s 2s  2 s  1 s  1 3

F(s)

4.6.2. UTILIDAD DE LA E.F.P. La E.F.P. simplifica la inversión de las transformadas de Laplace de funciones racionales: Ejemplo: F(s)

s 2  2s  2 s  1 s  2

Al aplicar E.F.P. vemos que:

1 2  s  1 s  2 Aplico la inversa de la función F(s) 1 

ͳ ʹ ൠ + ࣦ െͳ ൜ ൠ ࣦ - 1 ሼF(s)ሽ = ࣦ െͳ ሼͳሽ + ࣦ െͳ ൜ ‫ݏ‬൅ͳ ‫ݏ‬൅ʹ Entonces ࣦ െͳ ሼͳሽ ൌ ߜሺ‫ݐ‬ሻ

ࣦ െͳ ቄ

ͳ ‫ݏ‬൅ͳ

ቅ ൌ ݁ െ‫ݐ‬

ʹ

ࣦ െͳ ቄ‫ݏ‬൅ʹቅ ൌ ʹ݁ െʹ‫ݐ‬

f(t) įW  e t  2e 2t 4.7.APLICACIÓN DE LAS T.L. A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES La aplicación de las transformadas de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes es la principal importancia en problemas de sistemas lineales de control. Dada la Ecuación Diferencial de la siguiente forma: n

¦a i 0

i

di y dt i

(1)

u

36

donde: u es la entrada, y es la salida, a0, a1, ..., an-1, son constantes; an=1 (si no es igual a uno se debe dividir en an) Las condiciones iniciales de la ecuación (1): dk y dt k

{ y 0 k=0,1,...,n-1 (indica el orden de derivación) k

t 0

y0k : son constantes dadas. La Transformada de Laplace de la ecuación diferencial (1) está dada por: n

ª §

i 1

¦ «a ¨© s Y(s)  ¦ s i 0

y0k:

¬

i

i 1 k

i

k 0

k ·º y 0 ¸» U(s ) ¹¼

constante de la condición inicial

U(s) T.L. de la entrada La transformada de la salida es: n

Ys

U(s) n

¦ a isi i 0



i 1

¦¦ a s

i 1 k

i

y0

k

i 0 k 0

n

¦a s

i

i

i 0

El lado derecho de la ecuación es la suma de dos términos; el primero depende únicamente de la entrada y el segundo de las condiciones iniciales. El denominador de ambos términos es el polinomio característico de la ecuación (1). La solución en el tiempo y(t) de la ecuación (1) es la inversa de la transformada de Laplace de Y(s), esto es: ª º ª n i 1 a si 1k y k º 0 « U(s) » « ¦¦ i » ൅  ࣦ െͳ « i 0 k 0 n yሺtሻ ൌ  ࣦ െͳ « n » » i i a is « ¦ a is » « ¦ » i 0 ¬i 0 ¼ ¬ ¼

El 1er término de la derecha es la respuesta forzada, y el 2do término es la respuesta libre de la ecuación (1). Ejemplo: d 2 y 3 dy   2 y 1( t ) dt 2 dt

37

donde: n=2, k= 0, k = 1 con condiciones iniciales y ( t ) t

0

§ dy · -1 , ¨ ¸ © dt ¹ t

La ecuación diferencial se puede expresar: ycc  3yc  2y 1 ( t )

Se aplica Laplace en cada término y miembro: ࣦ ൜ ycc ൠ ൅ ͵ࣦ ൜ yc ൠ ൅ ʹࣦሼ‫ݕ‬ሽ ൌ ࣦሼͳሺ‫ݐ‬ሻሽ Por propiedad de las T.L. de las derivadas:

s Ys  s y 2

0

 yc0  3 s Y(s)  y 0  2 Y(s)

s Ys  s  2  3 sY(s)  1  2Y(s) 2

1 s

1 s

Operando y despejando Y(s) Y(s) s 2  3 s  2  s  1

Y(s)

1 s

- ( s2  s -1 ) - ( s2  s -1 ) s s 2  3 s  2 s ( s  1 ) ( s  2 )

Se aplica expansión en fracciones parciales

Y(s)

1 1 1   2 s s 1 2 ( s  2 )

‫ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ  ࣦ െͳ ሼY(s)ሽ ൌ ࣦ െͳ ቊ y(t)

1 1 1 ቋ   2 s s 1 2 ( s  2 )

1 1  e -t - e - 2 t Solución en el tiempo 2 2

38

2, 0

Problema: Determine la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en el cual la inductancia es de 1 Henry la resistencia es de 20 Ohms la capacitancia de 0.01 F. Al cual se le aplica una tensión de 120 sen 10 t volts. R=20:

120 sen 10

L=1H

C=0.01 F “

†‹ †‹

v resistencia=20i; v capacitor= … =100q; v bobina = L†–=†– Aplicando segunda ley de Kirchhoff: di  20i  100q dt

120Sen10t

dq dt

sustituyendo Æ i

d § dq · § dq · ¨ ¸  20¨ ¸  100q Ÿ 120Sen10t dt © dt ¹ © dt ¹

120Sen10t

d 2q dq  20  100q 2 dt dt

120Sen10t m

Modelo Matemático

Aplicando la T.L. a toda la ecuación s2 ࣦሼ‫ ݍ‬ሽ ൅ ʹͲ s ࣦሼ‫ ݍ‬ሽ ൅ ͳͲͲࣦ ሼ‫ ݍ‬ሽ ൌ 

s

2

 20s  100 ࣦሼ‫ ݍ‬ሽ ൌ 

s2

1200 ൅ ͳͲͲ

Despejando ࣦ{q} ࣦ ሼ‫ ݍ‬ሽ ൌ 

1200 s  100 s  10 2 2

39

s2

dq d 2q  20  100q dt dt 2

1200 ൅ ͳͲͲ

Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación qሺtሻ= ࣦ െͳ ൝

1200 ൡ s  100 s  10 2 2

Simplificando la expresión en una suma de fracciones parciales

1200 s  100 s  10 2 2

As  B C D   2 2 s  100 s  10 s  10

Resolviendo se tiene A

0.6

B 0

C 0.6

D 6

Sustituyendo qሺtሻ=ࣦ െͳ ൝

0.6 6  0.6s ൡ   2 2 s  100 s  10 s  10

Resolviendo por formulas se tiene:

q(t) 0.6 Cos10t  0.6 e 10t  6 t e 10t 6Sen10t  6e 10t  60te 10t  6e 10t

j

dq dt

i

6Sen10t  60te 10t

40

CAPITULO V

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 5.1.DEFINICIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA CONTINUO Se considerará primero las funciones de transferencia continuas, para sistemas de una sola entrada y una sola salida. i· ª§ m º ¨ ¦ bis ¸ « » k k yሺtሻ= ࣦ െͳ «¨ i n0 ¸ U(s)  los términos correspondientes a los valores iniciales u 0 , y 0 »  i «¨ ¦ a i s ¸ » ¹ ¬© i 0 ¼

o en notación de la transformada, como

Y(s)

i ª§ m º ¦ bs · «¨ i 0 i ¸ » k k ¸ U(s)  los términos correspondientes a los valores iniciales u 0 , y 0 » «¨ n i «¨ ¦ a i s ¸ » ¹ ¬© i 0 ¼

Observando la ecuación anterior, la función de Transferencia P(s) de un sistema continuo se define como aquel factor en la ecuación de Y(s) que multiplica a la transformada de la entrada U(s). La función de transferencia es:

P(s)

m i ¦ bs i 0 i n i ¦ as i 0 i

s m1  ...  b m1 0 n n  1 a ns  a s  ...  a n 1 0

b ms m  b

Es decir: la función de transferencia se define como la transformada de Laplace de la salida sobre la transformada de Laplace de la entrada.

P(s) =

ሺ•ሻ ሺ•ሻ

41

El denominador es el Polinomio característico y la transformada de la respuesta  pued3 e escribirse como: Y(s)

P(s) . U(s)  los términos correspondientes a los valores iniciales u k , y k 0 0

donde los términos correspondientes a los valores iniciales uk0, yk0 se consideran igual a cero, por lo tanto, la Transformada de Laplace de la salida Y(s) en respuesta a una entrada U(s) está dada por: Y(s) = P(s) U(s) Se hace énfasis en que no todas las funciones de transferencia son expresiones algebraicas racionales. Puesto que la formación de la transformada de la salida Y(s) es simplemente una multiplicación algebraica de P(s) y U(s), por ejemplo, la función de transferencia de un sistema continuo que incluye retardos de tiempo contiene términos de la forma e - s T . La función de transferencia del elemento que representa un retardo puro de tiempo es P(s) = e - s T en donde T es el retardo de tiempo en unidades de tiempo. Cuando los términos debidos a todos los valores iniciales u k0, yk0 son ceros, la multiplicación es conmutativa; es decir: Y(s) = U(s) P(s) = P(s) U(s), entonces la transformada inversa es y(t) = ࣦ െͳ {P(s) U(s)} Por lo tanto, la respuesta de tiempo, y(t) puede determinarse encontrando los polos de P(s) U(s). En consecuencia y(t) depende tanto de los polos y ceros de la función de transferencia como de los polos y ceros de la entrada. 5.2.PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA CONTINUO La función de transferencia de un sistema continuo tiene varias propiedades útiles: x Si la entrada en un sistema con función de transferencia P(s) es un impulso unitario, y todos sus valores iniciales son cero, la transformada de la salida es P(s).

42

Y(s)

Y(s) U(s) P(s) U(s)

U(s)

1 ?

P(s)

Y(s)

P(s)

x La función de transferencia del sistema puede determinarse a partir de la ecuación diferencial del sistema Ejemplo: Encontrar la función de transferencia en un sistema en el cual la entrada y la salida están relacionadas mediante la siguiente ecuación diferencial. d2y dy  3  2y dt 2 dt

u

du dt

Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación, ignorando los términos debido a las condiciones iniciales, se obtiene: s 2 Y(s)  3sY(s)  2Y(s)



Y(s) s 2  3s  2



U(s)  sU(s)

U(s) s  1

Esta ecuación puede escribirse como

Y(s)

s 1 U(s) s 2  3s  2

La función de Transferencia de este sistema está dada por: P(s)

s 1 s 2  3s  2

x Para sistemas continuos, si todas las raíces del denominador tienen partes reales negativas, el sistema es estable. Las raíces del denominador son los polos del sistema, y las del numerador son sus ceros. La función de transferencia del sistema puede especificarse entonces como una constante, especificando los polos y ceros del sistema. Esta constante representada por K es el factor de ganancia del sistema.

43

5.3.FUNCIONES

DE TRANSFERENCIA DE COMPENSADORES Y CONTROLADORES DE

SISTEMAS DE CONTROL CONTINUO

A continuación se presentan las funciones de transferencia de tres componentes de sistemas de control. x La función de transferencia general de un compensador por adelanto de un sistema continuo es sa sb

PAdelanto(s)

b!a

Este compensador tiene un cero en s = - a y un polo en s = - b. Proporciona compensación gracias a su propiedad de adelanto de fase en el intervalo bajo y medio de frecuencia y de su atenuación despreciable a altas frecuencias. La compensación por adelanto generalmente aumenta el ancho de banda de un sistema. Ejemplo: R1

+

+ C

Vi

R2

-

V0 -

Suponiendo que el circuito no está cargado, es decir, que no fluye corriente a través de sus terminales de salida, la ley de corriente de Kirchhoff para el nodo de salida produce: C

d v i  v 0  1  v i  v 0 dt R1

1 v0 R2

La transformada de Laplace de esta ecuación con condiciones iniciales cero es: CsVi (s)  V0 (s) 

1 Vi (s)  V0 (s) R1

La función de transferencia es 44

1 V0 (s) R2

PAdelanto (s)

Cs 

V0 (s) Vi (s)

1 R1

1 1 Cs   R1 R 2

sa sb

donde; a=

1

y b=

R1 C

1 R1 C

+

1 R2 C

x La función de transferencia general de un compensador por atraso de un sistema continuo es: PAtraso (s)

a s  b b s  a

b!a

Tiene un cero en s = - b y un polo en s = - a. La red de atraso generalmente produce compensación, gracias a su propiedad de atenuación en la porción de las altas frecuencias. Ejemplo: R1 +

i

Vi -

C

+

R2

V0 -

La ley de voltaje de Kirchhoff para la malla produce la ecuación t

iR1 

1 idt  iR2 C ³0

vi

Cuya transformada de Laplace es

1 · § ¨ R1  R2  ¸ I ( s) Vi ( s) Cs ¹ © El voltaje de salida está dado por 45

1 · § V0 ( s) ¨ R2  ¸ I ( s) Cs ¹ © Entonces, la función de transferencia de la red por atraso es:

V0 (s) Vi (s)

PAtraso (s)

R2 

1 Cs

a s  b bs  a

1 R1  R 2  Cs

donde; a

1

R 1  R 2 C

b

1 R C

x La función de transferencia general de un compensador por atraso - adelanto de sistema continuo es: PAA (s)

s  a 1 s  b 2 s  b1 s  a 2

b1 ! a 1 , b 2 ! a 2

Tiene dos ceros y dos polos. Usualmente se impone la restricción a1b2=b1a2 Ejemplo: R1

+

i

C1

Vi

C2

+

R2

V0

-

-

Igualando las corrientes en el nodo de salida a se obtiene 1 v i  v 0  Ci d v i  v 0 i R1 dt

El voltaje v0 y la corriente i se relacionan mediante 46

t

1 idt  iR 2 C 2 ³0

v0

Tomando la transformada de Laplace de estas dos ecuaciones con condiciones iniciales cero y eliminando I(s) se obtiene la ecuación

§ 1 · ¨¨  C1s ¸¸ © R1 ¹

>V (s)  V (s)@ i

V0 (s) 1 sC2  R 2

0

Entonces la función de transferencia de la red es:

PAA (s)

V0 (s) Vi (s)

ª 1 º 1 ºª «s  » «s  » R C R 1 1¼ ¬ 2C2 ¼ ¬ ª 1 1 1 º 1   s2  « »s R 1 C1 R 2 C 2 ¬ R 2 C 2 R 2 C1 R 1C1 ¼

s  a 1 s  b 2 s  b1 s  a 2

donde; a1

1 R 1 C1

b1a 2

b1  a 2

a 1b 2

a1  b 2 

1 R 2 C1

b2

1 R 2C2

La función de transferencia del controlador PID.

PPID (s) {

U PID (s) E(s)

K P  K Ds 

KI s

K Ds 2  K Ps  K I s

Este controlador en particular, tiene dos ceros y un polo, que se obtiene partiendo de las restricciones generales.

47

CAPITULO VI

FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA DE CONTROL CON RETROALIMENTACIÓN Y SU RESPUESTA TEMPORAL 6.1.FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA EN MALLA CERRADA La figura siguiente representa la forma canónica de un sistema de control retroalimentado. Donde G y H son las funciones de Transferencia G y H del Sistema de Control. Los componentes del sistema de control con retroalimentación representado por la figura son:

G

= función de transferencia directa { función de transferencia.

H

= función de transferencia de la retroalimentación.

GH = función de transferencia en malla abierta. C/R = función de transferencia en malla cerrada { relación de control. E/R = relación de señal actuante { relación de error. B/R = relación de retroalimentación primaria. En las siguientes ecuaciones, el signo ± se refiere a un sistema con retroalimentación positiva, y el signo + a un sistema con retroalimentación negativa: 48

C R E R B R

G 1 r GH 1 1 r GH GH 1 r GH

(1) (2) (3)

Se debe considerar: E=R # B; B=HC; C=GE 

El denominador de determina la ecuación característica del sistema, que se 

define a partir de 1r GH=0, o de la forma equivalente, DGH r NGH = 0, donde, DGH es el denominador y NGH es el numerador de GH Demostración: (1) Se reemplaza C y R C

GE

GE

GE

GE

R

ErB

ErHC

ErHGE

E  1 r H G



Se simplifica E y nos queda C

G

R

1r G H



(2) Se parte de E: E R # B R # HC R # HG E

Se pasa el segundo término al primer miembro y queda: ErGHE R 

Se saca factor común E: 49

E (1r G H ) R 

entonces: E

1

R

1r G H 

(3) Se parte de B: B H C H G E H G ( R # B ) G H R # G H B

Se pasa el segundo término al primer miembro y queda: BrG HB G HR

Se saca factor común B: B (1r G H ) G H R 

entonces: B

GH

R

1r G H



6.2.RESPUESTA EN EL TIEMPO En esta parte se tratará el análisis de los sistemas de control. Ya se vio el modo de representar la planta y el sistema de lazo cerrado. Ahora lo que interesa es ver cómo las variables de estado están asociadas con los sistemas de lazo cerrado, para una variedad de entradas y/o condiciones iniciales. Se sabe que la función de transferencia de lazo cerrado es ሺ•ሻ

T ( s ) = ሺ•ሻ

R(s)

T(S)

Y(s)

Conociendo la entrada en el tiempo, se conoce su transformada. Y conociendo la función de transferencia de lazo cerrado, se puede hallar la transformada de Laplace de la salida. ሺ•ሻൌሺ•ሻǤሺ•ሻ

ሺͳሻ 50

Queda encontrar y(t). Esto se obtiene hallando la transformada Inversa de Laplace de (1). T ( s ) = ࣦ െͳ ሼܻሺ‫ݏ‬ሻሽ ൌ  ࣦ െͳ ሼܶሺ‫ݏ‬ሻǤ ܴሺ‫ݏ‬ሻሽ

(2)

Se trabajará con el método de fracciones parciales, para esto se supondrá que la función de transferencia de lazo cerrado T(s), está en su forma factoreada. Para hallar los residuos, se emplea el método gráfico. Los métodos gráficos son una herramienta poderosa en la ingeniería de control ya que la exactitud obtenida es por lo general compatible con las exactitudes con las que se describen las plantas que se desean estudiar. 6.3.MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES Todo el desarrollo será para sistemas de control lineales e invariantes en el tiempo, donde el número de polos es mayor que el número de ceros, entonces p > z , donde p = número de polos de la planta. z = numero de ceros de la planta. Trabajar en el dominio de frecuencias complejas, representa dos pasos. En primer lugar pasar la ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo de orden n al plano complejo; donde se encuentra la transformada de Laplace de la salida. Luego pasarla al dominio temporal, para ello es necesario poner la respuesta en el dominio del tiempo y para eso se obtendrá la transformada inversa de Laplace y así se obtiene la respuesta del sistema de control en función del tiempo. Se supone, que, la función cuya transformada inversa de Laplace que se busca está dada como una relación de polinomios en la variable compleja s, donde el denominador de esta función aparece en forma factoreada, sin polos múltiples. A modo de discusión se considera un caso particular: ʹǡͷሺ•൅ʹሻ

ሺ•ሻൌ•ሺ•൅ͷሻሺ•൅ͳሻ

ሺ͵ሻ

En primer lugar se expande la función (3), en fracciones parciales. ሺ•ሻൌ

ʹǡͷሺ•൅ʹሻ •ሺ•൅ͷሻሺ•൅ͳሻ

ൌ

ͳ •





ʹ ͵ ൅  ሺ•൅ͷሻ ൅  ሺ•൅ͳሻ 

ሺͶሻ

Para hallar el valor de los residuos, se representa la función (3) en el plano complejo 51

MȦ

-5

-2

-1

ı

Fig. 1: Representación de la función (3)

El cálculo de los residuos, se realiza teniendo en cuenta la posición de los polos y ceros, con respecto al polo al cual se calcula dicho residuo. Es necesario observar qué el polo en el origen es la entrada escalón unitario al sistema, ya que un sistema en lazo cerrado, no puede tener un polo en el origen, porque sería inestable. Además, es necesario puntualizar que sólo los polos poseen residuos. Los polos y ceros en conjunto hacen al valor y al ángulo del residuo. 6.4.CÁLCULO DE LOS RESIDUOS En este caso el cálculo gráfico del residuo es el siguiente. ൌς’

 ςœŒൌͳ †‹•–ƒ…‹ƒ †‡ Ž‘• …‡”‘• ƒŽ ’‘Ž‘ …‘•‹†‡”ƒ†‘

‹ൌͳ †‹•–ƒ…‹ƒ

†‡ Ž‘• ’‘Ž‘• ”‡•–ƒ–‡• ƒŽ ’‘Ž‘ …‘•‹†‡”ƒ†‘



ሺͷሻ

Siendo K, la ganancia del sistema Entonces de lo expuesto, se obtiene lo siguiente: x Cálculo del residuo para el polo s = 0 ʹǡͷǤሺʹሻ

ൌ ሺͳሻǤሺͷሻ ൌͳ SIGNO DEL RESIDUO: Para determinar el signo del residuo, se debe ubicar en el polo respecto al cual se está calculando el residuo. Se determina la siguiente regla: si a la derecha hay un número par de polos y ceros, o no hay nada, entonces el residuo es positivo. Por el contrario, si hay un número impar entre ceros y polos entonces el residuo tendrá signo negativo. 52

x Cálculo del residuo para el polo s = -1 ʹǡͷǤሺͳሻ

ǦͳൌǦ ሺͳሻǤሺͶሻ ൌ െ

ʹǡͷ Ͷ

ൌǦͲǡ͸ʹͷ

El signo es negativo porque a la derecha del polo considerado hay un solo polo, es decir, un número impar. x Cálculo del residuo en el polo s = -5 ʹǡͷǤሺ͵ሻ

͵

ǦͷൌǦ ሺͷሻǤሺͶሻ ൌ െ ൌǦͲǡ͵͹ͷ ͺ El signo será negativo, ya que a la derecha del mismo, hay dos polos y un cero, es decir impar. La ecuación (4) queda: ͳ

ሺ•ሻൌ • െ 

Ͳǡ͸͹ͷ •൅ͳ

െ

Ͳǡ͵͹ͷ •൅ͷ



ሺͷሻ

Para hallar y(t), se debe hallar la transformada inversa de Laplace en la ecuación (5), en ambos miembros. Entonces queda: y(t) = 1 ± 0,625 e ± t ± 0,375 e ± 5 t

(6)

y (t) 1

y(t) t

0 -0,375 -0,625 -1 Fig. 2: Representación de y(t)

53

x Cálculo de los Residuos para Polos Complejos Mediante el siguiente ejemplo, se estudiará un sistema con polos complejos conjugados y un cero. ͳ͸ሺ•൅ͷሻ

ሺ•ሻൌሺ•൅ͳͲሻሾሺ•൅ʹሻʹ

൅ʹʹ ሿǤ•

ǡ

ሺ͹ሻ

donde; ͳ

ሺ•ሻൌ • ǡ–”ƒ•ˆ‘”ƒ†ƒ†‡Ž‡•…ƒŽó—‹–ƒ”‹‘Ǥ x Primer Paso: se expande en fracciones parciales: ͳ͸ሺ•൅ͷሻ

ሺ•ሻൌሺ•൅ͳͲሻሾሺ•൅ʹሻʹ

൅ʹʹ ሿǤ•

ൌ

 ‡•… Ǥ—‹– Ǥ •

൅

 െͳͲ •൅ͳͲ

൅

 ’… ሺ•൅ʹሻʹ ൅ʹʹ



x Segundo paso: Se representa la función Y(s), en el plano complejo. MȦ K = 16

-10

2

-5

ı

-2

-2 Fig.3: Representación de Y(s)

x Tercer paso: Resolución gráfica de los residuos. Cálculo del residuo con respecto al polo en el origen (entrada escalón) MȦ K = 16

2 d1

-10

-5

ı

-2 d2 d3

-2

d4 Fig.4: Cálculo gráfico del residuo respecto al polo en el origen.

54

†ͳൌ†ʹൌξʹʹ ൅  ʹʹ ൌξͺൌʹǡͺ͵ †͵ൌͷǢ†ͶൌͳͲ ൌ

ͳ͸Ǥͷ ʹ

൫ξͺ൯ ǤͳͲ

ൌ

ͳ͸Ǥͷ ͺǤͳͲ

ൌͳ

ൌͳǡ•—•‹‰‘‡•’‘•‹–‹˜‘ Cálculo del residuo respecto al polo en S = - 10. MȦ K = 16

2

d1

-10

-5

-2

X

ı

d2 d3 d4

-2

Fig.5: Cálculo gráfico del residuo respecto al polo en s = -10.

±ͳͲൌ

ͳ͸Ǥ† ͵ † ͳ Ǥ† ʹ † Ͷ

ൌ

ͳ͸Ǥͷ ሺξ͹Ͳሻʹ ǤͳͲ

ൌͲǡͳͳͶ͵

†ͳൌ†ʹൌξͺʹ ൅  ʹʹ ൌξ͹Ͳൌͺǡ͵͹  ± ͳͲ ൌ ͲǡͳͳͶ͵ǡ •‹‰‘ ’‘•‹–‹˜‘ ’‘”“—‡ –‹‡‡ — ú‡”‘ ’ƒ” ƒ Žƒ †‡”‡…Šƒ†‡Ž’‘Ž‘‡…—‡•–‹óǤ Cálculo del residuo respecto a los polos complejos. El módulo del residuo es el doble del residuo respecto a uno de los polos complejos, ya que los residuos son complejos conjugados.

55

MȦ K = 16

2

d4

d2

d1

-10

-5

ı

-2 d3 -2

Fig. 6: Cálculo -del residuo con respecto a los polos complejos conjugados.

’…ൌʹǤ

ͳ͸ξ͵ʹ ൅ʹʹ ξʹʹ ൅ʹ ʹ Ǥξͺʹ ൅ʹʹ ǤʹǤʹ

ൌ

ͺǤξͳ͵ ξͺǤξ͸ͺ

 ൌ ͳǡʹͶ

Se calcula el ángulo correspondiente a ese residuo. ʹ

ijͳൌ–‰Ǧͳ ൌ͵͵ǡ͹° ͵

ijʹ

ʹ

ൌ–‰Ǧͳ

ʹ

ൌͶͷ°

ʹ

ij͵ൌ–‰Ǧͳ ൌͳͶ° ͺ

MȦ K = 16

2

-10

ij2

ij1

ij3 -5

ı

-2 ʌ -2

Fig. 7: Cálculo del ángulo

ijൌijͳ±ijʹ±ij͵ൌ͵͵ǡ͹°ǦሺͳͺͲ°ǦͶͷ°ሻ±ͳͶ°ൌǦͳͳͷǡ͵° ijൌǦͳͳͷǡ͵°ൌǦʹǡͲͳʹ”ƒ†Ǥ Entonces la expansión en fracciones parciales es: ͳ

ͲǡͳͳͶ͵

•

•൅ͳͲ

ሺ•ሻൌ ൅ 

ͳǡʹͶ

൅  ሾሺ•൅ʹሻʹ

൅ʹʹ ሿ



56

y( t ) entrada 1

salida

0

error en el 2% al 5 %

t

5/a

1/a ts

Fig 9: Respuesta a una entrada escalón de un sistema de primer orden.

La pendiente en el origen es: y(o) = a La salida es una exponencial que crece desde cero (su valor inicial) a su valor final 1. Se puede observar que si la salida creciera siguiendo la pendiente en el ͳ ƒ

origen, interceptaría o alcanzaría el valor final en un tiempo t = . Este valor

ͳ ƒ

es

la constante de tiempo del sistema; entonces: ͳ

‫ڲ‬ൌƒ

(11)

La constante de tiempo, depende fundamentalmente de la posición del polo de lazo cerrado. y(t) j߱

-2

-0,5

ߪ 0 ͳ ߬ʹ ൌ  ൌ Ͳǡͷ ʹ

2

0,5

߬ͳ ൌ 

ͳ ൌ ʹ Ͳǡͷ

Fig.10: Respuesta para dos constantes de tiempo distintas.

58

t

Se observa en la Fig.10, que si el sistema presenta un polo de lazo cerrado muy cercano al origen, su respuesta en el tiempo es lenta y se hace más rápida a medida que el polo se aleja del origen, sobre el eje real. Otra forma de caracterizar al sistema de primer orden es en base al denominado tiempo de establecimiento ‫ڲ‬. El tiempo de establecimiento se define como el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por última vez el valor que está al 2 ó al 5% del valor final. y(t) 2 % al 5 %

t

ts Fig.11: Tiempo de establecimiento.

El valor del 2%, es alcanzado en un tiempo ts = 4‫= ڲ‬

Ͷ ƒ

. De ahí que el tiempo de

establecimiento, es una medida de la rapidez del sistema. Puede verse en la Fig. 10, que a medida que el polo de lazo cerrado se aleja del origen, menor es el tiempo de establecimiento. Debe considerarse también la respuesta en estado estacionarlo de este tipo de sistema, es decir, cuando – ՜ ’Ǥ Se observa en la Fig.11, que a medida que – ՜ ’, la salida y(t), tiende al valor de la entrada u(t). Es decir, y (’  U’  siendo, r (t) = u (t)

59

CAPITULO VII

PARÁMETROS QUE CARACTERIZAN A LA RESPUESTA TRANSITORIA

7.1.ANÁLISIS DE COMPLEJOS

LA

RESPUESTA

DE UN

SISTEMA

DE

2º ORDEN

CON

POLOS

Se considera un sistema de segundo orden, aunque se lo puede generalizar para sistemas de orden general. Entonces, sí se tiene el siguiente sistema de segundo orden: R(s) + -

ɘʹ •ሺ• ൅ ʹɃɘ ሻ

Y(s)

Obtenemos su Función de Transferencia: Ȧʹ Ȧʹ ሺ•ሻ

ሺ•ሻ •ሺ• ൅ ʹȗȦ ሻ •ሺ• ൅ ʹȗȦ ሻ ൌ ൌ ൌ ʹ ൌ • ൅ ʹȗȦ • ൅  Ȧʹ Ȧʹ ሺሻ ͳ ൅ ሺ•ሻሺ•ሻ ͳ ൅ •ሺ• ൅ ʹȗȦ ሻ •ሺ• ൅ ʹȗȦ ሻ ൌ

Ȧʹ  •ʹ ൅ ʹȗȦ • ൅  Ȧʹ 

Por lo tanto, su Función de Transferencia es: ሺ•ሻ ሺሻ

ൌ

Ȧʹ ʹ • ൅ʹȗȦ •൅Ȧʹ 

(1)

60

jȦ K = ɘʹ 

Ȧd Ȧn ı

- ȗȦ n - Ȧd

Fig.12. Sistema de segundo orden subamortiguado con una entrada escalón.

El comportamiento dinámico de un Sistema de Segundo Orden se puede describir en términos de Ƀ y ߱݊ , parámetros del Sistema. Donde Ƀ es la relación de amortiguamiento y ߱݊ es la frecuencia natural no amortiguada, (es decir, la frecuencia a la cual el sistema oscilaría si el amortiguamiento descendiera a cero). x Si Ƀ > 1 entonces la respuesta del sistema es sobreamortiguada, corresponde a polos reales y distintos. x Si Ƀ = 1 entonces la respuesta del sistema es críticamente amortiguada, corresponde por lo menos a un par de polos reales e iguales. x Si Ƀ = 0 entonces la respuesta del sistema no se extingue, oscila indefinidamente, corresponde a polos imaginarios puros, ya que Ƀ ߱݊ .= 0 por OR WDQWR OD SDUWH UHDO GHO SROR HV ³FHUR´ \ HO PLVPR VH XELFD VREUH HO HMH imaginario jZ. x Observando la Función de Transferencia (1) y la Fig. 12, nuestro caso de interés es cuando la respuesta al sistema es subamortiguada, es decir 0< Ƀ < 1. Partiendo de la Función de Transferencia (1), se quiere obtener la respuesta del Sistema a una entrada escalón: ሺ•ሻ

Ȧʹ

ൌ  • ʹ ൅ʹȗȦ •൅Ȧʹ  ൌ  ሺ•൅ȗȦ ሺሻ 



Ȧʹ  ൅ŒȦ† ሻሺ•൅ȗȦ െŒȦ† ሻ

donde:

61

ൌ  ሺ•൅ȗȦ

Ȧʹ ʹ Ǣ ʹ  ሻ ൅Ȧ†

߱݀  ൌ  ߱݊  ටͳ െ  ȗʹ ǡ‡•Žƒˆ”‡…—‡…‹ƒƒ–—”ƒŽƒ‘”–‹‰—ƒ†ƒǤ Se quiere encontrar y(t), por lo tanto ሺ•ሻൌ

 ’… Ȧʹ  ‡•…Ǥ—‹–ƒ”‹‘ ൌ ൅  ʹ ʹ ሻ ሺ ሺ • ൅ ȗȦ ሻʹ ൅  Ȧ† ʹ • ‫ ݏ‬൅ ʹȗȦ • ൅  Ȧ •

El R es siempre uno, se debe calcular el residuo del polo complejo, observando la Fig. 12, se tiene: Ȧʹ

ൌ  ’… ൌʹ ͳ’… ൌʹ ʹȦ Ȧ  †



Ȧ Ȧ ටͳǦȗʹ 

ൌ

ͳ

ǡ

ටͳǦȗʹ 

entonces, reemplazando los residuos, se tiene: ͳ

›ሺ•ሻൌ ൅ •

ͳ ʹ

ටͳǦȗ 

ͳ ǡ ሺ•൅ȗȦ ൅ŒȦ† ሻ൫•൅ȗȦ ǦŒȦ† ൯

Aplicando TIL, se obtiene ›ሺ–ሻൌͳǦ

‡ െȗȦ – ටͳെȗʹ

Ǥ •‡ሺȦ† Ǥ – ൅ ijሻ

(2)

La respuesta tiene dos componentes, x el primer término es constante, es el valor hacia el cual tiende el Sistema cuándo – ՜ ’ , siendo este valor 1. x el segundo término es un valor que tiende a cero cuando – ՜ ’. Éste término se denomina transitorio y es propio de los sistemas físicos que tienen almacenadores de energía Æ

‡ െȗȦ – ටͳെȗʹ

Ǥ •‡ሺȦ† Ǥ – ൅ ijሻ.

Estos sistemas no responden de inmediato a una entrada determinada, crecen con una mayor o menor velocidad hasta llegar al valor definitivo (si el sistema es estable).Todo el tiempo que tarda el sistema desde el arranque hasta que llega al YDORUILQDOVHGHQRPLQD³estado o régimen transitorio". El desempeño de un sistema de control se estudia en base a la respuesta transitoria a una entrada escalón unitario, ya que es fácil generarla y muy drástica. Es decir, si responde bien a una entrada escalón, responderá bien a cualquier entrada. 62

Sin duda, las condiciones iniciales del sistema condicionan la forma de la respuesta transitoria a una entrada escalón unitario. Para comparar las respuestas transitorias de diversos sistemas, se supone que los mismos tienen las condiciones iniciales nulas y por lo tanto todas sus derivadas cero. Ya se discutió que los sistemas que almacenan energía no pueden responder instantáneamente, de modo que al ser sometidos a entradas o perturbaciones presentan respuestas transitorias. Lo que se desea es que el estado transitorio presente oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionarlo. De KHFKR DO KDEODU GH RVFLODFLRQHV VH VXSRQH   ȗ   TXH HV HO FDVR subamortiguado. Sin duda el diseñador de un Sistema de Control debe tener muy claro qué característica transitoria debe presentar el sistema a una entrada escalón unitario. Los valores deseados son dados en el tiempo y determinan un conjunto de valores que hacen a la velocidad de respuesta y a la estabilidad del sistema. Como se dijo, se especificará las características de la respuesta transitoria del sistema a una entrada escalón unitario, en condiciones de subamortiguamiento, ȗ Sea la siguiente curva de respuesta. y(t) Tolerancia Admisible

0,05

Sp 1 0,02 0,5

0

tr

t

tc tp ts

Fig.13: Curva de respuesta al escalón unitario. con las especificaciones de velocidad de respuesta y estabilidad.

63

7.2.PARÁMETROS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA x Tiempo de Retardo, tr: Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez. x Tiempo de Crecimiento, tc: Es el tiempo requerido para que la respuesta vaya del 10% al 90%, del 5% al 95%, o del 0% al 100% de su valor final. Para sistemas de segundo orden subamortiguados se utiliza normalmente el tiempo de crecimiento de 0% al 100%. Para sistemas sobreamortiguados se usa generalmente el tiempo de crecimiento del 10% al 90%. x Tiempo Pico, tp: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. x Sobrepico Máximo, Sp: Es el valor de pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad. Si el valor final estabilizado de la respuesta difiere de la unidad, se suele utilizar el sobreimpulso porcentual máximo. Que se define: ‘„”‡‹’—Ž•‘‘”…‡–—ƒŽᚋ‘ൌ

›൫– ’ ൯െ›ሺ’ሻ ›ሺ’ሻ

ǤͳͲͲ

(3)

Es necesario recordar que la magnitud del sobreimpulso (porcentual) máximo indica la estabilidad relativa del sistema.' x Tiempo de Establecimiento, ts: Es el tiempo que la curva de respuesta requiere para alcanzar y mantenerse en un rango alrededor del valor final con una magnitud especificada por el porcentaje absoluto del valor final (se toma el 2% al 5%). El tiempo de establecimiento está relacionado con la constante de tiempo mayor del sistema de control. El criterio para fijar el porcentaje de error a utilizar depende de los objetivos de diseño del sistema en cuestión. Estas especificaciones así dadas, válidas en el dominio del tiempo, son muy importantes, pues la mayoría de los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo, y deben presentar respuestas temporales aceptables. Esto significa que de ser necesario, un sistema de control debe ser modificado-hasta que su respuesta transitoria sea satisfactoria. En realidad cuando se especifican todos los parámetros definidos en el tiempo, queda determinada la forma de la curva de respuesta al escalón unitario, como se ve en la Fig.14.

64

y(t)

Toda la respuesta se mantiene en esta franja

0,05

Sp 1

0,02 0,5 Estos puntos son especificados

0

tr tc

tp

t

ts

Fig.14: Parámetros de la Respuesta Transitoria.

Puede verse que no todas las especificaciones han de corresponder a un caso determinado. Por ejemplo, para un sistema sobreamortiguado no se aplican los términos tiempo de pico y sobreimpulso máximo. 7.3.ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Un sistema de control debe tener como requisito fundamental su rapidez de respuesta y un adecuado amortiguamiento (incluso en algunas aplicaciones no se tolera ninguna oscilación) Generalmente un sistema con una deseable respuesta transitoria es aquel que tiene polos complejos conjugados, con una relación de amortiguamiento entre 0,4 y 0,8. Ya que valores SHTXHxRVGHȗȗ SURGXFHQ un excesivo sobreimpulso en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con XQYDORUJUDQGHGHȗȗ! responde lentamente.

MȦ Zona deseada

Los polos en esta zona, dan una respuesta muy oscilatoria

ı Los polos en esta zona, dan una respuesta lenta, sin oscilaciones

Los polos en esta zona, tienen constantes de tiempo muy grande

65

En la Fig. 15 se observa que la magnitud del sobreimpulso máximo y el tiempo de crecimiento están en conflicto ente sí. En otras palabras, no se puede lograr un sobreimpulso máximo y un tiempo de crecimiento pequeño al mismo tiempo. Si uno de ellos se hace pequeño, el otro se hace grande necesariamente y(t) ȗ2 !ȗ1 ȗ1

Sp2 < p1 tc2 > tc1

ȗ2

ȗ!

t

tc1 tc2

Fig.15: Se observa que a menor sobrepico hay mayor tiempo de crecimiento y a menor t c el sobrepico es no deseable.

7.4.ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA PARA SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Se determinará los valores de los parámetros que hacen a la respuesta transitoria y a su estabilLGDG(VWRVYDORUHVVHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHȗ\Ȧn, si el sistema es subamortiguado. x Tiempo de Crecimiento tc: Como el sistema es subamortiguado. Se considera tc; como el tiempo en el que la salida alcanza por primera vez el valor de la unidad. Para

t = tc ›ሺ–…ሻൌͳൌͳ±‡െȗȦ – … •‡ሺȦ† – … ൅ ijሻ

(4)

Como ‡െɃɘ  – …  ് Ͳ , de la ecuación (4) se obtiene la siguiente expresión: •‡ሺɘ† – … ൅ ɔሻൌͲǡ‡•–‘‡•ƒ•í•‹•‡…—’Ž‡ǣ Ȧ† – … ൅ ijൌʌǡ 66

donde;

tc =

ૈെ૎

(5)

૑‫܌‬

donde ij, se define como se puede observar en la en la Fig.16 MȦ Ȧd Ȧn

Ȧn ඥͳ െ  ߞ ʹ

-ȗ

ı ȗȦn

Fig.16: Definición del ángulo ૎Ǥ

x Tiempo Pico tp: Como el tiempo de pico es el tiempo donde se produce el primer máximo de la función. En este punto el valor de la derivada es cero.

y(t)

t

Sea y( t ) = 1 -

‡ െȗȦ – ටͳെȗʹ

Ǥ •‡ሺȦ† Ǥ – ൅ ijሻ

Como el Sistema es Lineal, entonces podrá aplicarse como entrada la derivada del Escalón, obteniéndose como salida, la derivada de y(t). Conforme a esto, la derivada de la salida y(t), puede calcularse de la siguiente forma: La derivada del escalón es el Impulso Unitario o Delta de Dirac: ݀ ͳሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬

ൌ ݅݉‫ ݋݅ݎܽݐ݅݊ݑ݋ݏ݈ݑ݌‬ൌ ߜ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ͳ

67

La transformada de Laplace del Impulso unitario es: ࣦሾįሺ–ሻሿ ൌ ͳ, por lo tanto, al ser la transformada de Laplace del Impulso Unitario 1; el cálculo gráfico de la respuesta es:

MȦ K = ߱݊ʹ

Ȧd

-ȗȦn

ı

La forma de la respuesta en el tiempo, tiene la siguiente forma: y(t) = 2 Rpc ‡െɃɘ  – VHQȦd t

(6)

Siendo Rpc, el residuo correspondiente al polo complejo y como la transformada de Laplace de la entrada es Igual a 1, (no hay polos en el origen), sólo hay un residuo y es el doble del residuo respecto a uno de los polos complejos, ya que los polos son complejos conjugados. Entonces, el valor del residuo es: Rpc =

 ʹȦ† 

;

reemplazando en la ecuación (6) se tiene: Ȧʹ 

y (t) = ʹ

ʹȦ  ටͳെȗ

ʹ

‡െȗȦ – Ǥ •‡Ȧ† Ǥ –

Para t = tp, la función, la cual es la derivada de la respuesta al escalón unitario debe ser cero, por lo tanto: y ( tp ) = 

Ȧ

ටͳെȗʹ

‡െȗȦ – Ǥ •‡Ȧ† Ǥ – ’ = 0 68

(7)

se tiene: ȗʌ

െ

Sp = -

‡

ȗʌ

െ

ටͳെȗʹ

ටͳെȗʹ



Ǥ ሺെ•‡ijሻŸ Sp =

ටͳെȗʹ

‡



ටͳെȗʹ

Ǥ •‡ij

Se calcula sen M y se reemplaza

MȦ

Ȧd ij ı

-ȗȦn

•‡ɔ ൌ 

ɘ†

ൌ

ɘ

ɘ  ඥͳെɃ ʹ ɘ

ൌ  ඥͳ െ  Ƀʹ

entonces; െ

Sp =

‡

Ƀ Ɏ ටͳെɃ ʹ

ඥͳെɃ ʹ



െ

Ǥ ඥͳ െ  Ƀʹ

Ÿ

Sp = ‫܍‬

ાૈ ට૚െા૛

por lo tanto, el valor porcentual es െ

Sp % = ‡

Ƀ Ɏ

ටͳെɃ ʹ

(10)

. 100%

x Tiempo de establecimiento ts: si se considera un sistema subamortiguado de segundo orden, su respuesta es: y( t ) = 1 -

‡ െɃ ɘ  – ඥͳെɃ ʹ

Ǥ •‡ሺɘ† Ǥ – ൅ ɔሻ

70

W•

CAPITULO VIII

ESTABILIDAD 8.1.INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE ESTABILIDAD La estabilidad de un sistema continuo en el tiempo se determina por su respuesta a entradas o perturbaciones. Un sistema continuo es estable si su respuesta al Impulso Unitario yG(t) (es decir, como responde el sistema cuando la entrada es un Impulso Unitario) tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, es decir que el impulso se va amortiguando con el paso del tiempo y la respuesta tiende al reposo o al estado del cual parte. De igual modo puede analizarse el concepto de estabilidad a una variación brusca de consigna (entrada), analizando un sistema y su estabilidad cuando la entrada es el Escalón Unitario o Paso Unitario. Se dirá que un sistema continuo es estable si su respuesta al Escalón Unitario o Paso Unitario y (t) (es decir, como responde el sistema cuando la entrada es un Escalón Unitario) tiende a uno cuando el tiempo tiende a infinito. A diferencia del Impulso Unitario, el Escalón Unitario como entada no se extingue cuando el tiempo tiende a infinito, se mantiene siempre en uno por la misma definición de la función. Una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable es que las partes reales de las raíces de la ecuación característica sean negativas. Esto asegura que la respuesta impulso disminuya exponencialmente con el tiempo. Si el sistema tiene algunas raíces con partes reales iguales a cero, pero no tiene ninguna con parte real positiva, se dice que es estable marginalmente. En este caso, la respuesta impulso no disminuye a cero, aunque está acotada, pero ciertas entradas producirán respuestas no acotadas. Los sistemas estables marginalmente son inestables.

74

Ejemplo 1: Q(s) = 2 s2 + s + 3 Polinomio característico. Si se iguala a cero el polinomio característico, se expresa la ecuación característica. 2s  s  3 0 2

1r 1  4 ˜ 2 ˜3 2˜2  1   23 m 4  1   23 m 4 2

1

 1 r  23 4 El sistema es estable

2

Ejemplo 2: s2 1 0 m2

1

m

r 1

m1

j

m2

j

Como estas raíces tienen partes reales iguales a cero, el sistema no es estable. Sin embargo, el sistema es marginalmente estable puesto que la ecuación no tiene raíces con partes reales positivas.

El estudio de estabilidad es el estudio de funciones racionales de variables complejas que se obtienen mediante la transformada de Laplace, porque esta transforma funciones en el dominio de tiempo real en funciones algebraicas en el dominio complejo de frecuencia. w Región estable

Región inestable

Región estable

Región inestable

Plano s

75

V

En la figura anterior, se puede deducir la estabilidad de los sistemas lineales en base a la localización de las raíces de la ecuación característica en el plano s. Si las raíces se localizan en el 1° y 4° cuadrante el sistema es inestable, si se localizan en el 2° y 3° el sistema es estable. El eje imaginario, excepto el origen, está incluido en la región inestable. Aunque se defina la estabilidad de los sistemas lineales respecto a la respuesta paso unitario o escalón unitario, las raíces de la ecuación característica, en la práctica son difíciles de obtener. Se explicará uno de los métodos más usados para estudiar la estabilidad de los Sistemas de Mando Lineal. 8.2.CRITERIO DE ROUTH ± HURWITZ Es un método algebraico que permite conocer la estabilidad absoluta del sistema. El criterio prueba si alguna de las raíces de la ecuación característica de n ± ésimo orden se halla situada en la región real positiva del plano s. Este criterio es sólo válido si la ecuación característica es algebraica y todos los coeficientes son reales. Si uno cualquiera de los coeficientes de la ecuación característica es un número complejo, o si la ecuación contiene funciones exponenciales, como ocurre en el caso de un sistema con retardo, el criterio no puede aplicarse. Otra de sus limitaciones es que solo facilita información sobre la estabilidad en general del sistema. El que un sistema resulte estable no es suficiente, pues interesa saber también el grado de estabilidad. Por otra parte si el sistema es inestable, la prueba no nos proporciona información sobre cómo estabilizarlo. Todas las raíces de la ecuación característica tienen partes reales negativas si y solo si los elementos de la primera columna de la tabla de Routh tienen el mismo signo. De lo contrario, el número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo. Dada la ecuación característica de n-ésimo orden: an sn + an-1 sn-1 «D1 s + a0 La tabla de Routh se define:

76

a sn a n n-2 n 1 a a s n -1 n -3 b b . 1 2 c c . 1 2 ... ... .

a a

n-4 n -5 b 3 c 3 ...

... ... ... ... ...

En donde an , an-1 «D0 son los coeficientes de la ecuación característica y a a -a a b { n -1 n - 2 n n - 3 1 a n -1

a a -a a b { n -1 n - 4 n n - 5 , 2 a n -1

b a -a b2 c { 1 n - 3 n -1 1 b1

b a -a b3 c2 { 1 n - 5 n -1 b1

La tabla se continúa horizontal y verticalmente hasta que se obtengan ceros. Cualquier fila puede multiplicarse por una constante positiva antes de calcular la siguiente fila, sin alterar las propiedades de la tabla. Ejemplo 1: s3 ± 4 s2 ± 5 s + 6 = 0 s3 s2 s1 s0

5 1 4 6 (4)( 5)  6 3,5 0 4 (3,5)(6)  (4)(0) 6 0  3,5

Como en la primera columna hay dos cambios de signos, el polinomio tiene dos raíces situadas en la región real positiva del plano s. Ejemplo 2: s 3  6 s 2  12s  8 s3

1

12 0

s2

6 64 6 8

8

0

0

0

0

0

s1 s

0

0

77

Puesto que no hay cambio en el signo de la primera columna de la tabla, todas las raíces de la ecuación tienen partes reales negativas, entonces el sistema es estable. 8.2.1. CASOS ESPECIALES Algunas veces se pueden hallar dificultades al aplicar el Criterio Routh Hurwitz

1. El 1° elemento de una fila en la tabla de Routh es cero, y los demás no lo son. Cuando esto ocurre, los elementos de la siguiente fila resultan infinitos y la prueba de Routh no sirve. Para salvar esta indeterminación, se debe reponer la potencia que falta multiplicando el polinomio por (s+a). Ejemplo: s 3  3s  2 0 s3

1 3

s2

0

Como el coeficiente de s2=0, por lo menos una de las raíces del polinomio está en la región real positiva del plano s.

2

s1 f s0

Se escoge a=3, entonces: ( s 3  3s  2) ˜ ( s  3)

s4

1

3 6

s

3

3

7 0

s

2

2 3

6

s1

20

0

s0

6

s 4  3s 3  3s 2  7 s  6

0

Como en la primera columna hay dos cambios de signo, habrá dos raíces en la región real positiva del plano s.

2. Todos los elementos de una fila son cero. Esto indica que existe x Pares de raíces reales de signo opuesto. x Pares de raíces conjugadas en el eje imaginario. 78

x Ambos tipos. x Raíces conjugadas formando un cuadrado en el Plano s. Procedimiento Si al estar desarrollando la tabla de Routh aparece una fila de ceros, la prueba de Routh se ve interrumpida. Se obtiene la ecuación auxiliar con los coeficientes de la fila superior a la de los ceros. El orden de la ecuación auxiliar es siempre par e indica el número de pares de raíces de igual valor absoluto pero de signo opuesto. Se toma la primera derivada de la ecuación auxiliar respecto de s y se reemplazan sus coeficientes en la fila de ceros. Se continúa normalmente con la prueba de Routh. Ejemplo: s 4  s 3  3s 2  s  2

0

La tabla de Routh queda conformada: s4

1

3 2

s3

1  3 1 1 22 2

1 0

s

2

s1

2

2

0

0

0

0

Coeficientes de la ecuación auxiliar

Para obtener los coeficientes de la ecuación auxiliar se toman los elementos contenidos en la fila s2 como coeficientes de la ecuación, entonces queda: A(s) dA(s) ds

2s 2  2

0

4s

Se reemplaza la fila de ceros de la tabla de Routh por los coeficientes de la derivada de la ecuación auxiliar:

79

s4

1

3 2

s3

1

1 0

s2

2

2

1

4 2

0 0

s s0

0

Como hay 2 cambios de signo en los elementos de la 1° columna de la nueva tabla de Routh, dos de las raíces de la ecuación tienen partes reales positivas.

80

CAPITULO IX

LUGAR DE LAS RAÍCES 9.1.CONCEPTO E INTERPRETACIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES El diagrama del lugar de las raíces indica gráficamente la situación de las raíces de la ecuación característica al variar la ganancia K en un Sistema de Malla Abierta. También permite estudiar la estabilidad relativa y se puede aplicar en algunos sistemas no lineales. La característica básica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado, está estrechamente ligada a la ubicación de los polos de lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia variable, la ubicación de los polos de lazo cerrado depende del valor de la ganancia elegida. Por lo tanto, es importante que el diseñador conozca cómo se desplazan los polos de lazo cerrado en el plano s al variar la ganancia K. Desde el punto de vista del diseño, en algunos sistemas un simple ajuste de la ganancia puede desplazar los polos de lazo cerrado a las posiciones deseadas. Entonces el problema de diseño se puede convertir en la selección de un valor adecuado de ganancia K. Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Hallar las raíces de la ecuación característica de grado superior a tres es laborioso, y requiere resolverse mediante una computadora. Sin embargo, el sólo hecho de hallar las raíces de la ecuación característica puede ser de valor limitado pues, al variar la ganancia de la función de transferencia de lazo abierto, la ecuación característica cambia y los cálculos se deben repetir. W.R. Evans desarrollo un método simple para hallar las raíces de la ecuación característica, utilizado extensamente en ingeniería de control. Este método, denominado Método del Lugar de las Raíces, consiste en un procedimiento en 81

que se trazan raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. Así se pueden ubicar en la gráfica resultante las raíces correspondientes a un valor determinado de este parámetro. Ese parámetro suele ser la ganancia K, pero se puede utilizar cualquier otra variable de la función de transferencia de lazo abierto. A menos que se especifique lo contrario, se supone que el parámetro que se va a variar a través de todos sus valores desde cero a infinito, es la ganancia de la función de transferencia de lazo abierto. Utilizando el método del lugar de las raíces, el diseñador puede predecir los efectos que la variación de ganancia o la adición de nuevos polos y/o ceros de lazo abierto tienen en la ubicación de los polos de lazo cerrado. Por lo tanto, el diseñador debe conocer muy bien el procedimiento para bosquejar el lugar de las raíces del sistema de lazo cerrado. La idea básica del método del lugar de las raíces, es que los valores de s que hacen la función de transferencia de lazo abierto igual a -1, deben satisfacer la ecuación característica del sistema. El lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado al variar la ganancia de cero a infinito es lo que da al método su nombre. Un diagrama así indica claramente las contribuciones de cada polo o cero de lazo abierto, a la ubicación de los polos de lazo cerrado. El método del lugar de las raíces permite hallar los polos de lazo cerrado, partiendo de los polos y ceros de lazo abierto tomando la ganancia como parámetro. Esto evita las dificultades inherentes a las técnicas clásicas, ya que brinda una presentación gráfica de todos los polos de lazo cerrado, para todos los valores de la ganancia de la función de transferencia de lazo abierto. Al diseñar un sistema de control lineal, este método resulta muy útil, pues indica la forma en que hay que modificar la posición de los polos y ceros de lazo abierto para que la respuesta cumpla con las especificaciones de comportamiento del sistema. Este método resulta especialmente adecuado para obtener resultados aproximados en forma rápida. Como el método es un procedimiento gráfico para hallar las raíces de la ecuación característica, brinda un medio efectivo para hallar las raíces de cualquier ecuación polinómica que se presente en el estudio de sistemas físicos.

82

Algunos sistemas de control pueden incluir más de un parámetro a ser ajustado. El diagrama del lugar de las raíces para un sistema que posea parámetros múltiples, se puede construir variando un parámetro a la vez. A continuación, se verán reglas útiles para la construcción gráfica de los lugares de las raíces. 9.2.DIAGRAMAS DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Condiciones de Ángulo y Magnitud: Sea el sistema de la Fig. 20. La función de transferencia de lazo cerrado es: ሺ•ሻ ሺ•ሻ

ൌ

ሺ•ሻ

(1)

ͳ൅ ሺ•ሻሺ•ሻ

R (s)

+

G (s)

C (s)

H(s) Fig. 20

La ecuación característica para este sistema de lazo cerrado se puede obtener haciendo igual a cero el denominador del miembro derecho de la ecuación (1). 1 + G(s) H(s) = 0 Ÿ G(s)H(s) = -1

(2)

Se supone que G(s)H(s) es una relación de polinomios en s. La ecuación (2) se puede dividir en dos ecuaciones que igualan en ambos miembros los ángulos y las magnitudes, respectivamente, para obtener: x Condición de Ángulo: G(s)H(s) = ± 180°(2k +1)

(k = «

(3)

x Condición de Magnitud, Amplitud o Módulo: ȁ ሺ•ሻሺ•ሻȁ ൌ ͳ

(4)

Los valores de s que cumplen las condiciones de ángulo y magnitud, son las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado. El diagrama de los 83

puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo, constituye el lugar de las raíces. Las raíces de la ecuación característica (los polos de lazo cerrado) correspondientes a un valor determinado de la ganancia, se pueden hallar por la condición de magnitud. En muchos casos, G(s)H(s) contiene un parámetro de ganancia K, y la ecuación característica se puede escribir como

ͳ ൅

ሺ•൅œ ͳ ሻሺ•൅œ ʹ ሻǥሺ•൅œ  ሻ ሺ•൅’ ͳ ሻሺ•൅’ ʹ ሻǥሺ•൅’  ሻ

ൌͲ

(5)

Entonces el lugar de las raíces, para el sistema, son los lugares de los polos de lazo cerrado al variar la ganancia K, de cero a infinito. Para comenzar a trazar el lugar de las raíces, se debe conocer la ubicación de los polos y ceros de G(s)H(s). Se debe recordar que los ángulos de las cantidades complejas originadas en los polos de lazo abierto y en los ceros de lazo abierto y que abarcan hasta el punto de prueba s, se miden en sentido anti horario. Por ejemplo, si G(s)H(s) está dada por

ሺ•ሻሺ•ሻ ൌ  ሺ•൅’

ሺ•൅œ ͳ ሻ ͳ ሻሺ•൅’ ʹ ሻሺ•൅’ ͵ ሻሺ•൅’ Ͷ ሻ

donde -p2 y -p3 son polos complejos conjugados, el ángulo G(s)H(s) es G{s)H(s) = ࢥ1 ± ș1 ± ș2 ± ș3 ± ș4 Donde ࢥ1 ș1 ș2 ș3 ș4 se miden en sentido antihorario, como se muestra en las figuras 2 (a) y (b). La magnitud de G(s) para este sistema es:

ȁ ሺ•ሻሺ•ሻȁ ൌ 

 ͳ  ͳ  ʹ  ͵  Ͷ 

donde A1 , A2 , A3 , A4 , B1 son las magnitudes de las cantidades complejas s + p1 , s + p2 , s + p3 s + p4 , s + z1 , respectivamente, como se puede ver en la Fig. 21(a). Los polos complejos conjugados y los ceros complejos conjugados de lazo abierto siempre están situados en forma simétrica respecto al eje real, el lugar de las raíces es simétrico respecto a este eje. Por lo tanto, sólo hay que construir la 84

s2 + s + K = 0

La ecuación característica es:

(6)

Se desea hallar el lugar de las raíces de esta ecuación, cuando K varía de cero a infinito. Para dar una idea clara del aspecto de un diagrama del lugar de las raíces para este sistema, primero se obtendrán las raíces de la ecuación característica en forma analítica, en términos de K y luego variar K de cero a infinito. Éste no es el procedimiento correcto de construir el diagrama del lugar de las raíces. El modo correcto es a través de un procedimiento de tanteo y corrección de error gráfico. La tarea gráfica se puede simplificar significativamente aplicando las reglas generales que se verán más adelante. Las raíces de la ecuación característica, ecuación (6), son: ͳ

ͳ

ͳ

•ͳ = െ ൅  ξͳ െ Ͷ , ʹ ʹ

ͳ

•ʹ = െ ʹ െ  ʹ ξͳ െ Ͷ ͳ

ͳ

Ͷ

Ͷ

Las raíces son reales para K ൑  y complejas para K > . El lugar de las raíces correspondientes a todos los valores de K está representado en la Fig 23(a). El lugar de las raíces está graduado con K como parámetro, (las flechas indican el desplazamiento de las raíces al incrementar K). Una vez trazado un diagrama así, se puede determinar inmediatamente el valor de K que ha de brindar una raíz, o un polo de lazo cerrado, en un punto deseado. De este análisis, es claro que los polos de lazo cerrado que corresponden a K = 0 son los mismos que los polos de G(s)H(s). ͳ

Al aumentar el valor de K de cero a , los polos de lazo cerrado se desplazan Ͷ ͳ

ͳ

ʹ

Ͷ

hacia el punto (െ , 0). Para valores de K entre cero y , todos los polos de lazo cerrado están sobre el eje real. Esto corresponde a un sistema sobreamortiguado, ͳ

y la respuesta impulsiva es no oscilatoria. En K = Ͷ, los dos polos reales de lazo cerrado coinciden, esto corresponde al caso de un sistema con amortiguamiento ͳ

crítico. Al aumentar por encima de Ͷ, los polos de lazo cerrado se separan del eje real, haciéndose complejos y como la parte real del polo de lazo cerrado es ͳ

constante para K >Ͷ , los polos de lazo cerrado se mueven a lo largo de la recta ͳ

ͳ

ʹ

Ͷ

s = െ , por lo tanto, para K> , el sistema se vuelve subamortiguado. Para un valor dado de K, uno de los polos conjugados de lazo cerrado se mueve hacia ͳ

s = െ ʹ M’ 86

Se demuestra que cualquier punto del lugar de las raíces satisface la condición de ángulo. La condición de ángulo dada por la ecuación (3) es:  •ሺ•൅ͳሻ

= - s - s+1 = ± 180žN FRQN «

Figura 23

Considere el punto P sobre el lugar de las raíces indicado en la Fig. 23(b). Las cantidades complejas s y s+1 tienen ángulos ș1 y ș2, respectivamente, y magnitudes ȁ•ȁy ȁ•൅ͳȁ respectivamente. (Nótese que los ángulos medidos en sentido antihorario se consideran positivos). Es evidente que la suma de los ángulos ș1 y ș2 es 180°. Si el punto P está ubicado sobre el eje real entre 0 y -1, entonces ș1 = 180° y ș2= 0o. Así cualquier punto en el lugar de las raíces satisface la condición de ángulo. También se puede ver que si el punto P no es el punto del lugar de las raíces, la suma de ș1 y ș2 no es igual a ± 180º (2k + 1) con k = 0, « Así los puntos que no están en el lugar de las raíces, no satisfacen la condición de ángulo y por tanto no pueden ser polos de lazo cerrado para ningún valor de K. Si los polos de lazo cerrado se especifican en el lugar de las raíces, el valor correspondiente de K se determina por la condición de magnitud. Si, por ejemplo,

87

ͳ

los polos de lazo cerrado elegidos son s = െ ʹ ± j 2, entonces el valor correspondiente de K resulta ser: ȁ ሺ•ሻሺ•ሻȁ ൌ  ቚ



ቚ

•ሺ•൅ͳሻ •ൌെͳ ൅Œʹ

 = 1 o bien

ʹ

 ൌ  ȁ•ሺ• ൅ ͳሻȁ

ൌ ͳ •ൌെʹ൅Œʹ

ͳ͹ Ͷ

Como los polos son complejos conjugados, si se especifica uno de ellos, por ͳ

ejemplo s = െ + j 2, entonces el otro se fija automáticamente. Para evaluar el ʹ valor de K se puede utilizar cualquiera de ambos polos. Del diagrama del lugar de las raíces de la Fig. 23(a), se ven claramente los efectos de las modificaciones en el valor de K sobre el comportamiento en la respuesta transitoria del sistema de segundo orden. Un incremento del valor de K SURGXFH XQD UHGXFFLyQ GH OD UHODFLyQ GH DPRUWLJXDPLHQWR ȗ OR TXH SURGXFH XQ crecimiento del sobreimpulso de la respuesta. Un aumento del valor de K también produce un incremento de las frecuencias naturales amortiguada y no amortiguada. (Si K es mayor que el valor crítico, que es el que corresponde a un sistema con amortiguación crítica, aumentar el valor de K no tiene efecto en el valor de la parte real de los polos de lazo cerrado). Del diagrama del lugar de las raíces resulta evidente que los polos de lazo cerrado siempre están en el semiplano izquierdo del plano s; de modo que sin importar cuánto se aumente el valor de K, el sistema siempre permanece estable. Por lo tanto, el sistema de segundo orden siempre es estable. (Sin embargo, hay que notar que si la ganancia se ajusta a un valor muy elevado, pueden cobrar importancia los efectos de algunas de las constantes de tiempos despreciados, y el sistema, que supuestamente es de segundo orden, aun cuando en realidad es de orden superior, puede tornarse inestable). La tabla siguiente muestra un conjunto de diagramas sencillos del lugar de las raíces.

88

9.4.REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR EL LUGAR DE LAS RAÍCES Para un sistema complicado con muchos polos y ceros de lazo abierto puede parecer muy complicado construir un diagrama del lugar de las raíces, pero en realidad no lo es si se aplican ciertas reglas. Ubicando los puntos particulares y asíntotas y calculando los ángulos de partida desde los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, se puede construir sin dificultad la forma general del lugar de las raíces. De hecho, se puede aprovechar toda la ventaja del método del lugar de las raíces, en el caso de sistemas de orden superior, para los que otros métodos de hallar los polos de lazo cerrado son muy laboriosos. El propósito es resumir las reglas generales para la construcción del lugar de las raíces del sistema que se muestra en la Fig. 24. Si bien el método está basado esencialmente en una técnica de prueba y corrección, la cantidad de pruebas requeridas se puede reducir mucho utilizando estas reglas. R (s)

+

G (s)

C (s)

H(s)

Fig. 24

Se resumirán las reglas y procedimientos generales para construir el lugar de las raíces del sistema de la Fig. 24. x Regla 1: Se obtiene la ecuación característica 1 + G(s) H(s) = 0 y se reescribe de modo que el parámetro de interés aparezca como el factor de multiplicación en la forma:

ͳ ൅

ሺ•൅œ ͳ ሻሺ•൅œ ʹ ሻǥሺ•൅œ  ሻ ሺ•൅’ ͳ ሻሺ•൅’ ʹ ሻǥሺ•൅’  ሻ

ൌͲ

Se supone que el parámetro de interés es la ganancia K, siendo K >0. (Si K< 0, que corresponde al caso de retroalimentación positiva, se debe modificar la

90

condición de ángulo). Sin embargo, se hace notar que el método es aplicable a sistemas cuyos parámetros de interés son otros distintos a la ganancia. Partiendo de la forma factorizada de la función de transferencia de lazo abierto, se ubican los polos y ceros de lazo abierto en el plano s. [Nótese que los ceros de lazo abierto son los ceros de G(s) H(s), mientras que los ceros de lazo cerrado consisten en los ceros de G(s) y los polos de H(s)]. Se puntualiza que el lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real en el plano s, porque los polos y ceros complejos aparecen solamente en pares conjugados. x Regla 2: Se hallan los puntos de inicio y fin del lugar de las raíces y se determina la cantidad de ramas del lugar de las raíces. Los puntos del lugar de las raíces correspondientes a K = 0 son polos de lazo abierto. Lo cual se puede ver de la condición de magnitud, haciendo tender el valor de K a cero, o ሺ•൅œ ሻሺ•൅œ ሻǥሺ•൅œ  ሻ

Ž‹՜Ͳ ቚሺ•൅’ͳ ሻሺ•൅’ʹ ͳ

ቚ ൌ  Ž‹՜Ͳ

ʹ ሻǥሺ•൅’  ሻ

ͳ 

’

Esta última ecuación implica que al disminuir K, el valor de s debe acercarse a uno de los polos de lazo abierto. Por lo tanto, cada rama del lugar de las raíces se origina en un polo de la función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s). Al tender K a infinito, cada rama del lugar de las raíces tiende o bien hacia un cero de la función de transferencia de lazo abierto o a infinito en el plano complejo, lo que se puede ver del siguiente modo: si se hace que K tienda a infinito en la condición de magnitud, entonces ሺ•൅œ ሻሺ•൅œ ሻǥሺ•൅œ  ሻ ቚ ͳ ʹ ሻǥሺ•൅’  ሻ

Ž‹՜’ ቚሺ•൅’ͳ ሻሺ•൅’ʹ

ͳ

ൌ  Ž‹՜’  = 0

Por lo tanto, el valor de s se debe aproximar a uno de los ceros de lazo abierto o a un cero de lazo abierto en el infinito. [Si los ceros en el infinito se incluyen en la cuenta G(s) H(s) tiene la misma cantidad de ceros que de polos]. Un diagrama del lugar de las raíces debe tener tantas ramas como raíces tiene la ecuación característica. Como en general la cantidad de polos de lazo abierto excede la de ceros, la cantidad de ramas iguala a la de polos. Si la cantidad de polos de lazo cerrado es la misma que la de polos de lazo abierto, entonces la 91

cantidad de ramas individuales del lugar de las raíces que terminan en ceros finitos de lazo abierto, es igual a la cantidad m de ceros de lazo abierto. Las n - m ramas restantes terminan en infinito (n - m ceros en infinito) a lo largo de las asíntotas. Sin embargo, es importante notar que si se considera un problema puramente matemático, se puede hacer la cantidad de polos de lazo cerrado igual a la de ceros de lazo abierto, en lugar de igual a la de polos de lazo abierto. En tal caso, la cantidad de ramas del lugar de las raíces es igual a la cantidad de ceros de lazo abierto. Por ejemplo, sea la ecuación polinómica siguiente: s2 + s + 1 Esta ecuación se puede reescribir •ʹ

ͳ ൅  •൅ͳ ൌ Ͳ Entonces la función de transferencia se puede considerar

•ʹ •൅ͳ

como la función

de transferencia de lazo abierto, tiene dos ceros y un polo. Por lo tanto, la cantidad de ceros finitos es mayor que la de polos finitos. La cantidad de ramas del lugar de las raíces es igual a la de ceros de lazo abierto. Si se incluyen los polos y ceros en el infinito, la cantidad de polos de lazo abierto equivale a la de ceros de lazo abierto. Por lo tanto, siempre se puede establecer que el lugar de las raíces comienza en los polos de G(s) H(s) y finaliza en los ceros de G(s) H(s) al incrementar K de cero a infinito, donde los polos y ceros incluyen tanto los del plano s finito como los ubicados en el infinito. x Regla 3: Se determina el lugar de las raíces sobre el eje real. El lugar de las raíces sobre el eje real se determina por los polos y ceros de lazo abierto que están sobre él. Los polos y ceros complejos conjugados de la función de transferencia de lazo abierto no tienen efecto en la ubicación del lugar de las raíces sobre el eje real, porque la contribución angular de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360° sobre el eje real. Cada porción del lugar de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango que va desde un polo o cero hasta otro polo o cero. Al construir el lugar de las raíces sobre el eje 92

real, se elige un punto de prueba sobre él. Si la cantidad total de polos reales y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, entonces este punto queda en una rama del lugar de las raíces. El lugar de las raíces y su complemento forman segmentos alternados a lo largo del eje real. x Regla 4: Se determinan las asíntotas del lugar de las raíces. Si el punto de prueba s está ubicado lejos del origen, se pueden considerar iguales a los ángulos de cada cantidad compleja. Un polo de lazo abierto y un cero de lazo abierto cancelan sus efectos en forma mutua. Por lo tanto, el lugar de las raíces para valores muy grandes de s deben ser asintóticos a rectas cuyos ángulos (pendientes) están dados por: Ángulo de asíntotas =

േͳͺͲºሺʹ൅ͳሻ െ

N «

Donde n = cantidad de polos finitos de G(s) H(s) m = cantidad de ceros finitos de G(s) H(s) Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con ángulo más pequeño respecto al eje real. Aunque k toma infinitos valores, al aumentar k, el ángulo se repite, y la cantidad de asíntotas diferentes es n ± m. Todas las asíntotas se intersectan sobre el eje real. El punto en que lo hacen se puede obtener del modo siguiente: si se expanden tanto el numerador como el denominador de la función de transferencia de lazo abierto, el resultado es:

ሺ•ሻሺ•ሻ ൌ 

ൣ•  ൅ሺœ ͳ ൅œ ʹ ൅ǥ൅œ  ሻ•  െͳ ൅ǥ൅œ ͳ œ ʹ ǥœ  ൧ •  ൅ሺ’ ͳ ൅’ ʹ ൅ǥ൅’   ሻ•  െͳ ൅ǥ൅’ ͳ ’ ʹ ǥ’ 

Si se coloca un punto de prueba muy lejano al origen, se puede escribir G(s)H(s)

ሺ•ሻሺ•ሻ ൌ  •  െ ൅ሾሺ’

  െ െͳ ൅ǥ ሻെሺœ ൅’ ൅ǥ൅’ ͳ ʹ  ͳ ൅œ ʹ ൅ǥ൅œ  ሻሿ•

Como la ecuación característica es: G(s) H(s) = -1. Se la puede escribir como • െ ൅ ሾሺ’ͳ ൅  ’ʹ ൅ ǥ ൅ ’ ሻ െ ሺœͳ ൅  œʹ ൅  ǥ ൅  œ ሻሿ• െ െͳ ൅ = - K 93

(7)

Para un valor grande de s la ecuación (7) se puede aproximar por

ቂ• ൅ 

ሺ’ ͳ ൅’ ʹ ൅ǥ൅’  ሻെሺœ ͳ ൅œ ʹ ൅ǥ൅œ  ሻ െ

ቃ

െ

=0

Si la abscisa de intersección de las asíntotas con el eje real se designa como V ıa entonces: ሺ’ ͳ ൅’ ʹ ൅ǥ൅’  ሻെሺœ ͳ ൅œ ʹ ൅ǥ൅œ  ሻ

ıƒൌ

݊െ݉

ሺ•—ƒ †‡ ’‘Ž‘• ሻȂሺ•—ƒ †‡ …‡”‘• ሻ

ıƒൌ



െ

(8) ሺͻሻ

Como todos los polos y ceros complejos se producen en pares conjugados, ıa siempre es un número real. Otras veces la intersección de las asíntotas y el eje real son fundamentales, se pueden dibujar fácilmente las asíntotas en el plano complejo. Es importante notar que las asíntotas muestran el comportamiento del lugar de las raíces para |s|>1. Una rama del lugar de las raíces puede quedar a un lado de la asíntota correspondiente, o puede cruzar la asíntota correspondiente de un lado al otro. x Regla 5: Se hallan los puntos de ruptura de llegada y partida. Debido a la simetría conjugada del lugar de las raíces, los puntos de ruptura de llegada y partida, o bien están sobre el eje real, o se producen en pares complejos conjugados. Si hay un lugar de las raíces entre dos polos de lazo abierto adyacentes sobre el eje real, entonces hay al menos un punto de ruptura entre los dos polos. En forma similar, si el lugar de las raíces queda entre dos ceros adyacentes (un cero puede estar en -’) sobre el eje real; entonces siempre hay al menos un punto de ruptura entre los dos ceros. Si el lugar de las raíces está entre un polo de lazo abierto y un cero (finito o infinito) sobre el eje real, entonces puede o no haber puntos de ruptura, tanto de llegada como de partida. Supóngase que la ecuación característica está dada por 94

B(s) + KA(s) = 0 Los puntos de ruptura de llegada y partida corresponden a raíces múltiples de la ecuación característica. Por lo tanto, los puntos de ruptura de partida y de llegada se pueden determinar a partir de las raíces de † †•

ൌ  െ

 ´ ሺ•ሻሺ•ሻെሺ•ሻ ´ሺ•ሻ  ʹ ሺ•ሻ

ൌͲ

(10)

donde la "prima o apostrofo" significa diferenciación respecto a s. Es importante ver que los puntos de ruptura de partida y de llegada deben ser raíces de la ecuación (10) pero no todas las raíces de la ecuación (10) son puntos de ruptura de llegada o de partida. Si una raíz real de la ecuación (10) cae sobre el lugar de las raíces sobre el eje real, se trata efectivamente de un punto de ruptura de llegada o partida. Si una raíz real de la ecuación (10) no cae sobre la porción del lugar de las raíces sobre el eje real, entonces esa raíz no corresponde a un punto de ruptura de llegada ni de partida. Si dos raíces s = s1 y s = -s1 de la ecuación (10) son un par complejo conjugado, y no se está seguro de si están en el lugar de las raíces, entonces es necesario verificar el valor de K correspondiente. Si el valor de K correspondiente a una raíz s = s1 de

G. GV

= 0, es real positivo, el punto s = s1 es efectivamente un punto de ruptura

de llegada o partida. (Como se supone que K no es negativa o compleja, si el valor de K así obtenido es negativo o complejo, entonces el punto s = s1 no es punto de ruptura de llegada ni de partida). x Regla 6: Se determinan los ángulos de partida (o ángulos de llegada) del lugar de las raíces desde los polos complejos (o ceros complejos). Para trazar el lugar de las raíces con exactitud razonable, se deben hallar las direcciones y sentidos del lugar de las raíces en la vecindad de los polos y ceros complejos. Si se elige un punto de prueba que lo desplaza en la vecindad de un polo complejo (o de un cero complejo), se puede actuar considerando que la suma de las contribuciones angulares desde todos los otros polos y ceros se mantiene constante. Por lo tanto, se puede hallar el ángulo de partida (o de llegada) del lugar de las raíces desde un polo complejo (o hacia un cero complejo), restando de 180° la suma de todos los ángulos de los vectores desde todos los otros 95

polos y ceros al polo complejo (o cero complejo) en cuestión, incluidos sus signos correspondientes. Angulo de partida desde un polo complejo = 180° - (suma de los ángulos de los vectores al polo complejo en cuestión desde los otros polos) + (suma de los ángulos de los vectores al polo complejo en cuestión desde los ceros) Angulo de llegada hacia un cero complejo = 180° - (suma de los ángulos de los vectores al cero complejo en cuestión desde los otros ceros) + (suma de los ángulos de los vectores al cero complejo en cuestión desde los polos) En la Fig. 25 se ve un ángulo de partida.

MȦ

x

Ángulo de partida ș1

ࢥ

ı

x

ș2

Fig. 25

x Regla 7: Se hallan los puntos donde el lugar de las raíces cruza al eje imaginario. Se pueden hallar fácilmente los puntos en que el lugar de las raíces corta al eje j Ȧ XWLOL]DQGR HO &ULWHULR GH (stabilidad de Routh, ó un procedimiento de prueba y corrección, ó haciendo en la ecuación característica s = MȦ LJXDODQGR D FHUR WDQWR OD SDUWH UHDO FRPR OD LPDJLQDULD \ UHVROYLHQGR SDUD Ȧ \ . /RV YDORUHV GH Ȧ DVt KDOOados dan las frecuencias en las que el lugar de las raíces corta al eje imaginario. El valor de K correspondiente a cada frecuencia de cruce da la ganancia en el punto de cruce. x Regla 8: Cualquier punto del lugar de las raíces es un posible polo de lazo cerrado. Un punto particular será un polo de lazo cerrado cuando el valor de K satisfaga la condición de magnitud. Así, la condición de magnitud, amplitud o 96

módulo permite determinar el valor de la ganancia K en cualquier ubicación de raíz específica en el lugar. (Si fuera necesario, se puede graduar el lugar de las raíces en términos de K. El lugar de las raíces es continuo en K). El valor de K correspondiente a cualquier punto s sobre un lugar de las raíces se puede obtener con la condición de magnitud, o ’”‘†—…–‘ †‡ Žƒ• †‹•–ƒ…‹ƒ• ‡–”‡ ‡Ž‡Ž ’—–‘ •›Ž‘• ’‘Ž‘•  ’”‘†—…–‘ †‡ Žƒ• †‹•–ƒ…‹ƒ• †‡Ž ’—–‘ •›Ž‘• …‡”‘•

ൌ

Este valor se puede determinar en forma gráfica o analítica. Si en el problema está dada la ganancia K de la función de transferencia de lazo abierto, aplicando la condición de magnitud se pueden hallar las ubicaciones correctas de los polos de lazo cerrado para determinado valor de K en cada rama del lugar de las raíces por el procedimiento de prueba y corrección. Una vez hallados los polos de lazo cerrado dominantes (o polos de lazo cerrado más próximos al eje MȦ por el método del lugar de las raíces, se pueden hallar los demás polos de lazo cerrado dividiendo la ecuación característica por los factores correspondientes a los polos de lazo cerrado dominantes. Con frecuencia esta división no se puede realizar con exactitud, por las inevitables imprecisiones ocasionadas por el análisis gráfico. La ecuación característica del sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es:

ሺ•ሻሺ•ሻ ൌ 

൫•  ൅„ ͳ •  െͳ ൅ǥ൅„  ൯ •  ൅ƒ ͳ •  െͳ ൅ǥ൅ƒ 

 

ሺ•ሻ

es una ecuación algebraica de n-ésimo grado en s. Si el orden del numerador de G(s) H(s) es inferior al del denominador en dos o más (lo que significa que hay dos o más ceros en el infinito), el coeficiente a1 es la suma negativa de las raíces de la ecuación y es independiente de K. En tal caso, si alguna de las raíces se desplaza hacia la izquierda al incrementar el valor de K, las otras raíces se desplazarán hacia la derecha al aumentar K. Esta información es útil para determinar la forma general del lugar de las raíces.

97

x Regla 9: Determinar el lugar de las raíces en una zona amplia del eje j Ȧ\HO origen. La parte más importante del lugar de las raíces no está en el eje real ni HQ ODV DVtQWRWDV VLQR HQ HO DPSOLR HQWRUQR FRPSUHQGLGR HQWUH HO HMH MȦ \ HO origen. Hay que obtener con exactitud suficiente la forma del lugar de las raíces en esta importante región del plano s. Se debe tener en cuenta que un leve cambio en la configuración de polos y ceros puede producir modificaciones significativas en las configuraciones del lugar de las raíces. La Fig.26 muestra el hecho de que un pequeño desplazamiento en la ubicación de un cero o un polo hace que la configuración del lugar de las raíces presente un aspecto bastante diferente.

Fig. 26

9.5.RESUMEN DE LOS PASOS PARA CONSTRUIR EL LUGAR DE LAS RAÍCES x Ubicar los polos y ceros de G(s) H(s) en el plano s. Las ramas del lugar de las raíces parten de polos de lazo abierto y terminan en ceros (ceros finitos o ceros en infinito). x Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real. x Determinar las asíntotas de las ramas del lugar de las raíces. x Hallar los puntos de ruptura de partida y de llegada. x Determinar el ángulo de partida (ángulo de llegada) del lugar de las raíces desde un polo complejo (hacia un cero complejo). 98

x Hallar los puntos donde el lugar de las raíces cruza al eje imaginario. x Tomando una serie de puntos de prueba en una amplia zona alrededor del origen s, trazar el lugar de las raíces. x Ubicar los polos de lazo cerrado en las ramas del lugar de las raíces y determinar el valor de la ganancia K correspondiente, utilizando la condición de magnitud. O bien, con la condición de magnitud, determinar la ubicación de los polos de lazo cerrado para un valor determinado de ganancia K.

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APÉNDICE

PID CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL, DERIVATIVO A.1. CONCEPTO Y DEFINICIÓN DE CONTROL PID Un Controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) es un Mecanismo de Control por Realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido (PV { Process Value { Valor de Proceso { Salida) y el valor que se quiere obtener (SP { Set Point { Entrada { Referencia { Valor Deseado { Consigna), de manera de poder aplicar una acción correctiva (Acción de Control) que ajuste el Proceso a fin de minimizar o anular el error. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: la Banda Proporcional (Acción Proporcional), el Tiempo Integral (Acción Integral), y el Tiempo Derivativo (Acción Derivativa). El valor de la Banda Proporcional determina la reacción conforme al error actual. El Tiempo Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Tiempo Derivativo determina la reacción en función del tiempo o velocidad en el que se produce el error. La suma de estas tres acciones, es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como por ejemplo, la posición de una válvula de control o la energía suministrada a un calentador. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer una respuesta eficiente conforme a lo que se requiera realizar en el proceso.

100

El controlador lee una señal externa que representa el valor que se desea alcanzar. Esta señal recibe el nombre de punto de consigna (o punto de referencia o Set Point), la cual es de la misma naturaleza y tiene el mismo rango de valores que la señal que proporciona el sensor. El controlador resta la señal de punto actual a la señal de punto de consigna, obteniendo así la señal de error, que determina en cada instante la diferencia que hay entre el valor deseado (consigna) y el valor medido. La señal de error es utilizada por cada uno de los tres componentes del controlador PID. Las tres señales sumadas, componen la señal de salida que el controlador va a utilizar para gobernar al actuador. La señal resultante de la suma de estas tres se llama variable manipulada y no se aplica directamente sobre el actuador, sino que debe ser transformada para ser compatible con el actuador utilizado. Las tres componentes de un controlador PID son: parte Proporcional, acción Integral y acción Derivativa. A.2.1. ACCIÓN PROPORCIONAL La Acción Proporcional consiste en el producto entre la señal de error y la Constante de Proporcionalidad (recíproca de K o G, Ganancia) como para que produzca que el error en estado estacionario sea casi nulo. En la mayoría de los casos, estos valores solo son óptimos en una determinada región del rango total de control, siendo distintos los valores óptimos para cada región del rango a controlar. Sin embargo, existe también un valor límite en la Constante de Proporcionalidad a partir del cual, en algunos casos, el sistema alcanza valores superiores a los deseados. Este fenómeno se llama sobreoscilación y, por razones de seguridad, no debe sobrepasar el 30%, aunque es conveniente que la Acción Proporcional no produzca en ningún caso sobreoscilación. Hay una relación lineal continua entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de control (el elemento final de control se mueve al mismo valor por unidad de desviación con respecto al Set Point). La Acción Proporcional no considera el tiempo, por lo tanto, la mejor manera de solucionar el error permanente en el estado estacionario (error de Offset) y hacer que el sistema contenga alguna componente que contemple la variación respecto al tiempo, es incluyendo y configurando las acciones integral y derivativa. 102

La fórmula de la Acción Proporcional está dada por: •ƒŽൌ’‡ሺ–ሻ Ejemplo: Cambiar la posición de una válvula (elemento final de control), proporcionalmente a la desviación de la temperatura (variable) respecto al punto de consigna (valor deseado o Set Point).

A.2.2. ACCIÓN INTEGRAL El modo de Control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario (error de Offset), generado al aplicar la Acción Proporcional. El Control Integral actúa cuando persiste una desviación entre la variable y el punto de consigna, integrando esta desviación en el tiempo y sumándola a la acción proporcional. El error es integrado, lo cual tiene la función de promediarlo o sumarlo por un período determinado. Luego es multiplicado por una constante I. Posteriormente, la respuesta integral es adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el propósito de obtener una respuesta estable del sistema, sin error de Offset en estado estacionario. Como ya se explicó, el Control Integral se utiliza para evitar el error de offset (desviación permanente de la variable con respecto al punto de consigna) de la Banda Proporcional. El Control Integral se caracteriza por el tiempo entre repeticiones de la Banda Proporcional en minutos entre repeticiones o su recíproca, repeticiones por minuto.

103

La fórmula del Control Integral está dada por: •ƒŽൌ

K i ³ e t dt

Ǥ

Ejemplo: Mover la válvula (elemento final de control) a una velocidad proporcional a la desviación respecto al punto de consigna (variable deseada).

A.2.3. ACCIÓN DERIVATIVA La Acción Derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error; (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e integral). El error, es la desviación existente entre el punto de medida y el valor consigna, o "Set Point". La función de la Acción Derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente a la velocidad que este se produce; consiguiéndose de esta manera evitar que el error se incremente. Se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una constante D y luego se suma a las señales anteriores (P+I). Es importante adaptar la respuesta de control a los cambios en el sistema ya que una mayor derivativa corresponde a un cambio más rápido y el controlador puede responder acordemente. La fórmula del derivativo está dada por: •ƒŽൌ de  dt

104

El Control Derivativo se caracteriza por el tiempo de acción derivada en minutos de anticipo. La acción derivada es adecuada cuando hay retraso entre el movimiento de la válvula de control y su repercusión a la variable controlada. Cuando el tiempo de acción derivada es grande, hay inestabilidad en el proceso. Cuando el tiempo de acción derivada es pequeño la variable oscila demasiado con relación al punto de consigna. Suele ser poco utilizada debido a la sensibilidad al ruido que manifiesta y a las complicaciones que ello conlleva. El tiempo óptimo de acción derivativa es el que retorna la variable al punto de consigna con las mínimas oscilaciones. Ejemplo: Corrige la posición de la válvula (elemento final de control) proporcionalmente a la velocidad de cambio de la variable controlada.

A.2.4. SIGNIFICADO DE LAS CONSTANTES x P constante de proporcionalidad: se puede ajustar como el valor de su recíproca, es decir la ganancia K o G del controlador o como el porcentaje de banda proporcional. Ejemplo: Cambia la posición de la válvula proporcionalmente a la desviación de la variable respecto al punto de consigna. La señal P mueve la válvula siguiendo fielmente los cambios de temperatura multiplicados por la ganancia. x I constante de integración: indica la velocidad o número de veces por unidad de tiempo, con la que se repite la acción proporcional.

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x D constante de derivación: hace presente la respuesta de la acción proporcional duplicándola, sin esperar a que el error se duplique. El valor indicado por la constante de derivación es el lapso de tiempo durante el cual se manifestará la acción proporcional correspondiente a 2 veces el error y después desaparecerá. Ejemplo: Mueve la válvula a una velocidad proporcional a la desviación respecto al punto de consigna. La señal I va sumando las áreas diferentes entre la variable y el punto de consigna repitiendo la señal proporcional según el tiempo de acción derivada (minutos/repetición). La salida de estas tres acciones, Banda Proporcional, Tiempo Integral, y Tiempo Derivativo son sumados para calcular la salida del controlador PID. Definiendo u (t) como la salida del Controlador, la forma final del algoritmo del PID es: t

u(t)

K P e(t)  K i ³ e(t)dt  K d 0

de(t) d(t)

Por tener una exactitud mayor a los controladores Proporcional, Proporcional Derivativo y Proporcional Integral, se utiliza en aplicaciones más críticas tales como Control de Presión, Flujo, Fuerza, Velocidad, en muchas aplicaciones química, y otras variables. Además es utilizado en Reguladores de Velocidad de automóviles (control de crucero o cruise control), control de ozono residual en tanques de contacto, etc. A.3. LIMITACIONES DE UN CONTROL PID Mientras que los controladores PID son aplicables a la mayoría de los problemas de Control, pueden ser ineficientes en otras aplicaciones. Los controladores PID, cuando se usan solos, pueden dar un desempeño inadecuado si la ganancia del lazo del PID debe ser reducida para que la respuesta de este no se dispare u oscile sobre el valor del Set Point. El desempeño del Sistema de Control puede ser mejorado combinando el lazo cerrado de un control PID con un lazo abierto. Por ejemplo, en la mayoría de los Sistemas de Control con movimiento, para acelerar una carga mecánica, se necesita de más fuerza (o torque) para el motor. Si se usa un lazo PID para controlar la velocidad de la carga y manejar la fuerza o 106

torque necesaria para el motor, puede ser útil tomar el valor de aceleración instantánea deseada para la carga, y agregarla a la salida del controlador PID. Esto significa que sin importar si la carga está siendo acelerada o desacelerada, una cantidad proporcional de fuerza está siendo manejada por el motor además del valor de realimentación del PID. El lazo del PID en esta situación usa la información de la realimentación para incrementar o decrementar la diferencia entre el Set Point y el valor del primero. Otro problema que posee el PID es que es lineal. Principalmente el desempeño de los controladores PID en Sistemas No Lineales es variable. También otro problema común que posee el PID es, que en la parte derivativa, el ruido puede afectar al sistema, haciendo que esas pequeñas variaciones, hagan que el cambio a la salida sea muy grande. A.4. EJEMPLOS PRÁCTICOS x Se desea controlar el caudal de un flujo de entrada en un reactor químico. En primer lugar se tiene que poner una válvula de control del caudal de dicho flujo, y un caudalímetro, con la finalidad de tener una medición constante del valor del caudal que circule. El controlador irá vigilando que el caudal que circule sea el establecido por el Set Point; en el momento que detecte un error, mandará una señal a la válvula de control de modo que esta se abrirá o cerrará corrigiendo el error medido. Se tendrá de ese modo, el flujo deseado y necesario. El PID es un cálculo matemático, quien envía la información es el PLC. x Se desea mantener la temperatura interna de un reactor químico en su valor de referencia. Se debe tener un dispositivo de control de la temperatura (puede ser un calentador, una resistencia eléctrica), y un sensor (termómetro). El P, PI o PID irá controlando la variable (en este caso la temperatura). En el instante que esta no sea la correcta avisará al dispositivo de control de manera que este actúe, corrigiendo el error. De todos modos, lo más correcto es poner un PID; si hay mucho ruido, un PI, pero un P no sería correcto puesto que no llegaría a corregir hasta el valor exacto, por la presencia del Offset en estado estacionario.

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x Un ejemplo muy sencillo que ilustra la funcionalidad básica de un PID es cuando una persona entra a una ducha. Inicialmente abre la llave de agua caliente y para aumentar la temperatura hasta un valor aceptable (también llamado "Set Point") puede modificar la posición del deslizador del calefón o ajustar presionando la botonera. El problema es que puede llegar el momento en que la temperatura del agua sobrepase el valor de tolerancia o valor óptimo por lo que la persona tiene que abrir un poco la llave de agua fría para contrarrestar el calor y mantener el balance. El agua fría es ajustada hasta llegar a la temperatura deseada. En este caso, el humano es el que está ejerciendo el control sobre el Lazo de Control, y es el que toma las decisiones de abrir o cerrar alguna de las llaves; ¿pero no sería ideal si en lugar de la persona, fuera una maquina la que tomase las decisiones y mantuviese el agua a la temperatura que se desea? Esta es la razón por la cual los lazos PID fueron inventados. Para simplificar las labores de los operadores y ejercer un mejor control sobre las operaciones. Algunas de las aplicaciones más comunes son: x Lazos de Temperatura (Aire acondicionado, Calentadores, Refrigeradores, etc.) x Lazos de Nivel (Nivel en tanques de líquidos como agua, lácteos, mezclas, crudo, etc.) x Lazos de Presión (para mantener una presión predeterminada en tanques, tubos, recipientes, etc.) x Lazos de Flujo (mantienen la cantidad de flujo dentro de una línea o tubo)

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