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MODELADO MATEMÁTICO Resumen En este documento se dará la resolución y explicación de ejercicios prácticos, donde se logrará reflejar los conocimientos obtenidos durante los periodos educativo anteriores, los ejercicios comprenden los siguientes temas, modelos matemáticos de sistemas y modelos en variables. Abarcando definiciones, teoremas y fórmulas necesarias para la correcta resolución de los ejercicios propuestos por el docente. Palabras Clave: Modelos matemáticos, sistemas, variables, control, realimentación.

Abstract In this document the resolution and explanation of practical exercises will be given, where it will be possible to reflect the knowledge obtained during the previous educational periods, the exercises include the following topics, mathematical models of systems and models in variables. Covering definitions, theorems and formulas necessary for the correct resolution of the exercises proposed by the teacher. Keywords: Mathematical models, systems, variables, control, feedback.

1. Introducción La ingeniería hoy en día dentro de un mundo tan cambiante, está obligada a evolucionar como un proceso de cambio tecnológico constante. Gran parte de este cambio responde a la comprensión y el control de materiales y fuerzas de la naturaleza en beneficio de la humanidad, el control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la ciencia. El principal objetivo de un sistema de control es controlar las salidas de una forma prescrita mediante las entradas a través de los elementos del sistema de control.

2. Objetivos 2.1 Objetivo General 

Resolver los ejercicios propuestos, usando las técnicas y los elementos necesarios para la obtención de un correcto resultado.

2.2 Objetivos Específicos  

Entender los parámetros planteados en los problemas. Analizar los teoremas y fórmulas aplicables en la resolución.

4. Desarrollo 4.1 E 2.20. En la figura se muestra una guía de deslizamiento de alta precisión. 𝑋𝑝 (𝑆) Determínese la función de transferencia 𝑋 cuando la fricción del eje motor es 𝑖𝑛 (𝑆)

𝑏𝑑 = 0.7 , la constante elástica del eje motor es 𝑘𝑑 = 2, 𝑚𝑐 = 1 , y el rozamiento del deslizamiento es 𝑏𝑠 = 0.8.

Gráfica 1 Guía deslizante de precisión. Fuente: [1]

Primeramente, procedemos a realizar el diagrama de cuerpos y luego sacamos los datos que intervienen en el ejercicio antes mencionado

Datos del ejercicio:     

𝑋𝑝 (𝑆) 𝑋𝑖𝑛 (𝑆)

=?

𝑏𝑑 = 0.7 𝑘𝑑 = 2 𝑚𝑐 = 1 𝑏𝑠 = 0.8

Luego de haber sacado cada uno de los datos, para la resolución de este tipo de ejercicios lo que se tiene que proceder a realizar es igualar las fuerzas en donde se tiene que pasar cada una de las variables dadas por el ejercicio en fuerzas, las mismas que aplican las magnitudes físicas como la aceleración, velocidad y desplazamientos. Tabla 1 Magnitudes de las variables obtenidas. Fuente: Autores

Aceleración 𝑑2 𝑋 𝑑𝑡 ẍ

Velocidad 𝑑𝑋 𝑑𝑡 ẋ

Desplazamiento 𝑋 x

Gráfica 2 Diagrama de cuerpo libre ejercicio P 2.20. Fuente: Autores

Entonces, la ecuación de movimiento queda como: 𝑏𝑑

𝑑𝑋𝑖𝑛 𝑑𝑡

+ 𝑘𝑑 𝑋𝑖𝑛 = 𝑚𝑐

𝑑 2 𝑋𝑝 𝑑𝑡

+ (𝑏𝑑+ 𝑏𝑠 )

𝑑𝑋𝑝 𝑑𝑡

+ 𝑘𝑑 𝑋𝑝

𝑏𝑑 ẋ𝑖𝑛 + 𝑘𝑑 𝑋𝑖𝑛 = 𝑚𝑐 ẍ𝑖𝑛 + (𝑏𝑑+ 𝑏𝑠 ) ẋ𝑝 + 𝑘𝑑 𝑋𝑝

(1)

(2)

Ahora con la aplicación de la transformada de Laplace: 𝑏𝑑 s + 𝑘𝑑 = 𝑚𝑐 s 2 + (𝑏𝑑+ 𝑏𝑠 ) s + 𝑘𝑑 [𝑏𝑑 s + 𝑘𝑑 ]𝑋𝑖𝑛 (𝑆) = [𝑚𝑐 s 2 + (𝑏𝑑+ 𝑏𝑠 ) s + 𝑘𝑑 ] 𝑋𝑝 (𝑆) 𝑋𝑝 (𝑆) 𝑋𝑖𝑛 (𝑆)

=𝑚

𝑏𝑑 s + 𝑘𝑑 2 +(𝑏 𝑏 ) s+𝑘 s 𝑐 𝑑+ 𝑠 𝑑

(3)

Una vez que se despejo la función de transferencia

𝑋𝑝 (𝑆) 𝑋𝑖𝑛 (𝑆)

se procede a reemplazar cada

uno de los valores que se ha obtenido anteriormente (3) en los datos del ejercicio: 𝑋𝑝 (𝑆) 0.7s + 2 = 2 𝑋𝑖𝑛 (𝑆) 1 s + (0.7 + 0.8) s + 2

𝑿𝒑 (𝑺) 𝟎. 𝟕𝐬 + 𝟐 = 𝟐 𝑿𝒊𝒏 (𝑺) 𝟏 𝐬 + 𝟏. 𝟓 𝐬 + 𝟐

(4)

4.2 P 2.7. Obténgase la función de transferencia del circuito diferenciador mostrado

Grafica 3 Circuito diferenciador. Fuente: [1]

Para la resolución del ejercicio tendremos que dividir el circuito por secciones A y B Gráfica 4, para facilitar la resolución.

Gráfica 4 Secciones A y B. Fuente: Autores

Aplicaremos la ley de Ohm tomando en cuenta esta ley decimos quela corriente es igual 𝑉

al voltaje sobre la resistencia 𝐼 = 𝑅 donde la ecuación planteada queda de la siguiente manera de acuerdo con el circuito obtenido: 𝑉1 𝑅1

Donde se aplica la sección A y B.

𝑉

+ 𝑅2 − 2

𝐶𝑑𝑉1 𝑑𝑡

=0

(5)

Sección A 𝑉𝑖 −𝑉1 𝑅1

+

𝐶𝑑(𝑉𝑖 −𝑉1 ) 𝑑𝑡

=0

(6)

Se toma en cuenta que el voltaje que sale es el mismo que entra donde 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉𝑖 = 0. −𝑉1 𝐶𝑑(−𝑉1 ) + 𝑅1 𝑑𝑡 −

𝑉1 𝐶𝑑(𝑉1 ) − 𝑅1 𝑑𝑡

𝑉1 𝐶𝑑(𝑉1 ) + 𝑅1 𝑑𝑡 𝑉1 (𝑠) + 𝐶𝑉1 (𝑠) 𝑅1 1 𝑉1 (𝑠)( + 𝐶) 𝑅1 𝑅1 = (1 + 𝑅1 𝐶)

(7)

Sección B Según el circuito analizado dice que la 𝑅2 = 𝐵 para completar el análisis realizado en el problema. 𝑉2 𝑅2 𝑉𝑖 − 𝑉2 =0 𝑅2 −𝑉2 (𝑠) 𝑅2

=0

(8)

Se plantea la siguiente ecuación del circuito en donde se aplicará las secciones obtenidas. 𝑉2 (𝑠) 𝐵(𝑠)

=

𝑉1 (𝑠) 𝐴(𝑠)

Se reemplaza las condiciones de las secciones A y B. −𝑉2 (𝑠) = 𝑅2

𝑉1 (𝑠) 𝑅1 (1 + 𝑅1 𝐶)

𝑉2 (𝑠) 𝑉1 (𝑠)(1 + 𝑅1 𝐶) =− 𝑅2 𝑅1 𝑉2 (𝑠) = −

𝑉1 (𝑠)(1 + 𝑅1 𝐶) 𝑅2 𝑅1

(9)

(𝟏 + 𝑹𝟏 𝑪) 𝑽𝟐 (𝒔) =− 𝑹𝟐 𝑽𝟏 (𝒔) 𝑹𝟏

(10)

4.3 P 2.26. Un robot incluye una flexibilidad significativa en los brazos con una carga pesada en la pinza. En la Figura se muestra un modelo de robot con dos masas. Determínese la función de transferencia 𝑌(𝑥)/𝐹(𝑠).

Gráfica 5 El modelo de masa-resorte amortiguador de un brazo robot. Fuente [1]

Previo a la resolución del ejercicio se tiene que realizar los diagramas de cuerpo libre Gráfica 6, correspondientes a cada brazo para poder identificar correctamente las fuerzas que actúan sobre ellos.

Gráfica 6 Diagrama de cuerpo libre ejercicio P 2.26. Fuente: Autores

Se obtiene las siguientes ecuaciones: 𝑀𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 2

+

𝑚𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 2

𝑏𝑑(𝑥−𝑦)

+

𝑑𝑡

+ 𝑘(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑡)

𝑏𝑑(𝑦−𝑥) 𝑑𝑡

+ 𝑘(𝑦 − 𝑥) = 0

El siguiente paso es el desglosamiento de las ecuaciones (5) y (6).

(11) (12)

𝑀𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 2

+

𝑏𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑚𝑑𝑥 2

+

𝑑𝑡 2

−

𝑏𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑏𝑑𝑦 𝑑𝑡

−

+ 𝑘𝑥 − 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡)

𝑏𝑑𝑥 𝑑𝑡

(13)

+ 𝑘𝑦 − 𝑘𝑥 = 0

(14)

Se procede a realizar la transformada de Laplace a las ecuaciones (7) y (8), para posteriormente simplificarlas. 𝑀𝑆 2 𝑥(𝑆) + 𝑏𝑆𝑥(𝑆) − 𝑏𝑆𝑦(𝑆) + 𝑘𝑥(𝑆) − 𝑘𝑦(𝑆) = 𝐹(𝑆) 𝑚𝑆 2 𝑥(𝑆) + 𝑏𝑆𝑦(𝑆) − 𝑏𝑆𝑥(𝑆) + 𝑘𝑦(𝑆) − 𝑘𝑥(𝑆) = 0 𝑥(𝑆)[𝑀𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘] − 𝑦(𝑆)[𝑏𝑆 + 𝑘] = 𝐹(𝑆)

(15)

𝑦(𝑆)[𝑚𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘] − 𝑥(𝑆)[𝑏𝑆 + 𝑘] = 0

(16)

Se despeja la ecuación (10) para poder reemplazar 𝑥(𝑆) en la ecuación (9). 𝑥(𝑆) = [

𝑦(𝑆)[𝑚𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘] [𝑏𝑆 + 𝑘]

𝑦(𝑆)[𝑚𝑆 2 +𝑏𝑆+𝑘] [𝑏𝑆+𝑘]

] [𝑀𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘] − 𝑦(𝑆)[𝑏𝑆 + 𝑘] = 𝐹(𝑆)

(17)

[𝑚𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘][𝑀𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘] − [𝑏𝑆 + 𝑘]2 𝑦(𝑆) [ ] = 𝐹(𝑆) [𝑏𝑆 + 𝑘] −1

[𝑚𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘][𝑀𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑘] − [𝑏𝑆 + 𝑘]2 ([ ]) [𝑏𝑆 + 𝑘]

−1

𝐹(𝑆) =( ) 𝑦(𝑆)

Finalmente se procede a realizar las operaciones correspondientes a la ecuación (11) para obtener el siguiente resultado:

[𝒎𝑺𝟐

[𝒃𝑺 + 𝒌] 𝒚(𝑺) = 𝟐 𝟐 + 𝒃𝑺 + 𝒌][𝑴𝑺 + 𝒃𝑺 + 𝒌] − [𝒃𝑺 + 𝒌] 𝑭(𝑺)

(18)

4.4 P 2.35. En la figura se ilustra el sistema de suspensión de una rueda de un camión antiguo. La masa del vehículo es 𝑚1 y la masa de la rueda es 𝑚2 . El muelle de suspensión tiene una constante elástica 𝑘1 y la rueda tiene una contante elástica 𝑘2 . La constante de amortiguamiento del amortiguador es b. Obténgase la función de transferencia 𝑌1 (𝑠)/ 𝑋(𝑠), que representa la respuesta del vehículo a baches en la carretera.

Gráfica 7 Suspensión de un camión de reparto. Fuente: [1]

Se procede a realizar el diagrama de cuerpo libre del ejercicio P 2.35. Gráfica 8.

Gráfica 8 Diagrama de cuerpo libre ejercicio P 2.35. Fuente: Autores

De la Gráfica 6 se pudo obtener las siguientes ecuaciones: 𝑚1 𝑦1̈ + 𝑏(𝑦̇1 − 𝑦̇ 2 ) + 𝑘1 (𝑦1 − 𝑦2 ) = 0

(19)

𝑚2 𝑦2̈ + 𝑏(𝑦̇ 2 − 𝑦̇1 ) + 𝑘1 (𝑦2 − 𝑦1 ) + 𝑘2 𝑦2 = 𝑘2 𝑥

(20)

Se procedió a aplicar Laplace a las ecuaciones (12) y (13). (𝑚1 𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘1 )𝑌1 (𝑠) − (𝑏𝑠 + 𝑘1 )𝑌2 (𝑠) = 0 (𝑚2 𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘1 + 𝑘2 )𝑌2 (𝑠) − (𝑏𝑠 + 𝑘1 )𝑌1 (𝑠) = 𝑘2 𝑋(𝑠)

(21) (22)

Finalmente se resuelve las ecuaciones (14) y (15) obteniendo el siguiente resultado:

𝒀𝟐 (𝒔) 𝒌𝟐 (𝒃𝒔 + 𝒌𝟏 ) = (𝒎𝟏 𝒔𝟐 + 𝒃𝒔 + 𝒌𝟏 )(𝒎𝟐 𝒔𝟐 + 𝒃𝒔 + 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 ) − (𝒃𝒔 + 𝒌𝟏 )𝟐 𝑿(𝒔)

(23)

4.5 PA 3.4. Las suspensiones delanteras se han convertido en un equipamiento estándar en las bicicletas de montaña. Al sustituir el manillar rígido que une la rueda delantera de la bicicleta a su estructura por tales suspensiones se absorbe el impacto de energía de los baches, protegiendo tanto a la estructura y al ciclista de las sacudidas. Sin embargo, los manillares utilizados comúnmente utilizan una única constante elástica y tratan los impactos con los baches esencialmente iguales a altas y bajas velocidades: impactos que varían fuertemente en intensidad. f

Masa m y k1 k2 b

q

Gráfica 9 Amortiguador. Fuente [1]

Podría ser atractivo un sistema de suspensión con múltiples ajustes que sean manipulables mientras la bicicleta está en movimiento. Hay disponible un resorte helicoidal de aire con un amortiguador de aceite que permite un ajuste de la constante de amortiguamiento al terreno, así como del peso del ciclista [20]. La figura PA3.4 muestra el modelo del sistema de suspensión, donde b es ajustable. Selecciónese el valor apropiado ´para b tal que la bicicleta se adapte (a) a un bache grande a altas velocidades y (b) a un bache pequeño a bajas velocidades. Supóngase que k2=1 y k1 =2. Para tener una mejor visualización se procede a realizar un diagrama de cuerpo libre, identificando así las diferentes fuerzas que actúan sobre este sistema, obteniendo de esta manera las siguientes ecuaciones.

𝑘1 (𝑦 − 𝑞)

f m

𝑚 𝑑2 𝑦 𝑑𝑡

𝑘2 𝑦

𝑏 𝑑𝑞 𝑑𝑡

𝑘1 (𝑦 − 𝑞)

Gráfica 10 Diagrama de cuerpo libre ejercicio PA 3.4. Fuente: Autores 𝑚𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡

−

+ 𝑘2 𝑦 + 𝑘1 (𝑦 − 𝑞) = 𝑓

(24)

𝑏 𝑑𝑞 𝑑𝑡

(25)

+ 𝑘1 (𝑦 − 𝑞) = 0

A continuación, se expresa las ecuaciones obtenidas en forma de la aceleración y la velocidad las cuales tienen la misma función de la derivada, además se proceden a remplazar las variables 𝑘1 = 2 y 𝑘2 = 1. 𝑚𝑦̈ + 𝑘2 𝑦 + 𝑘1 𝑦 − 𝑘1 𝑞 = 𝑓 𝑚𝑦̈ + 1𝑦 + 2𝑦 − 2𝑞 = 𝑓 𝑚𝑦̈ + 3𝑦 − 2𝑞 = 𝑓

(26)

−𝑏𝑞̇ + 𝑘1 𝑦 − 𝑘1 𝑞 = 0 −𝑏𝑞̇ + 2𝑦 − 2𝑞 = 0

(27)

Para poder formar la matriz se procede a realizar cambios de variables, en el cual se toma en cuenta las variables 𝑦 y q que indican las distancias de desplazamiento que tiene el circuito, obteniendo de estas la primera y segunda derivada para posteriormente proceder a remplazar en las ecuaciones obtenidas. Tabla 2 Cambios de variables. Fuente: Autores

𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4

=𝑦 = 𝑦̇ =𝑞 = 𝑞̇

𝑧̇1 = 𝑦̇ = 𝑧2 𝑧̇2 = 𝑦̇ 𝑧̇3 = 𝑞̇ = 𝑧4 𝑧̇4 = 𝑞̈ 𝑚𝑧̇2 + 3𝑧1 − 2𝑧3 = 𝑓

𝑧̇2 = −

3𝑧1 𝑚

+

2𝑧3 𝑚

𝑓

+𝑚

(28)

−𝑏𝑧4 + 2𝑧1 − 2𝑧3 = 0 𝑧4 =

2𝑧1 𝑏

−

2𝑧3 𝑏

(29)

Después de haber realizado el cambio de variables en las ecuaciones se despejo las mismas y se procedió a formar la matriz o diagrama de estado.

𝟎 𝒛̇ 𝟏 −𝟑⁄ 𝒛̇ 𝟐 𝒎 [ ]= 𝟎 𝒛̇ 𝟑 𝟐 𝒛̇ 𝟒 [ ⁄𝒃

𝟏 𝟎 𝟎 𝟐⁄𝒎 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟐⁄ 𝒃

𝟎 𝒛 𝟎 𝟏 𝒇 𝟎 𝒛𝟐 ⁄ [𝒛 ] + [ 𝒎] 𝒇 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎] 𝒛𝟒 𝟎

𝒚 = [𝟏 𝟎 𝟎 𝟎]

(30)

5. Conclusiones 

Para comprender de una mejor forma el funcionamiento dinámico que tienen algunos sistemas se requiere de un conocimiento previo de ciertas materias como ecuaciones diferenciales, matemática avanzada etc. Estos conocimientos nos permiten plantear y resolver modelos matemáticos.



Por medio de las variables de estado se puede conocer en un instante de tiempo el comportamiento que tiene un sistema cuando se encuentra aplicada una fuerza o una carga, gracias a las variables que tiene, ya sean estas de entrada o salida.

6. Referencia [1] Dorf, Bishop, Richard, Robert. (2005). Sistemas de Control Moderno. Madrid: Mexico