• Author / Uploaded
• mauramz

Citation preview

Colegio Internacional Canadiense Noveno Año

Lic. Mauricio Ramírez Herrera, 2014

Copyright © 2014 Mauricio Ramírez Herrera P UBLISHED BY M AURICIO R AMÍREZ H ERRERA MATEMATICACIC . WORDPRESS . COM

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación puede reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquimico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. Primera Impresión, Diciembre 2013

Contenido

1

Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1

Conocimientos previos

1.1.1

Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2

Números Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3

Números Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2

Números Irracionales

11

1.3

Radicales

13

1.4

Números Reales

17

1.5

Operaciones con Números Reales

21

1.5.1

Propiedades de los Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2

Operaciones con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.3

Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2

Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1

Distancia entre dos puntos

7

63

3

Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1

Los ángulos y sus medidas

3.1.1

Radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.2

Grados Sexagesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.3

Conversión de Grados a Radianes y Viceversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2

Razones Trigonométricas

3.2.1

Medida de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3

Relaciones Fundamentales en Trigonometría

90

3.4

Resolución de Triángulos Rectángulos

93

3.5

Ángulos de elevación y depresión

99

3.6

Ley de Senos

4

Pirámides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5

Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1

Función Cuadrática

117

5.2

Factorización

121

5.3

Factorización por el método de factor común

121

5.4

Factorización por Agrupación

127

5.5

Factorización por Fórmulas Notables

128

5.5.1

Trinomios cuadrados perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5.2

Diferencia de Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5.3

Diferencia de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.5.4

Suma de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.5.5

Factorización por Inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.5.6

Factorización por Fórmula General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5.7

Factorización por combinación de métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

70

75

104

5.6

Fracciones Algebraicas

151

5.6.1

Simplificación de expresiones algebraicas racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.6.2

Operaciones con expresiones algebraicas racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.6.3

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.6.4

Fracciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.7

División de Polinomios

5.7.1

División de Polinomio entre Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.7.2

División de Polinomio entre Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.8

Completando Cuadrados

174

5.9

Racionalización de Denominadores

178

5.10

Ecuaciones Cuadráticas

181

165

5.10.1 Análisis del Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.10.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.10.3 Ecuaciones Cuadráticas Incompletas y Desordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.10.4 Ecuaciones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.10.5 Ecuaciones con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.11

Problemas con Ecuaciones Cuadráticas

203

5.12

Gráfica de una Función Cuadrática

208

5.12.1 Estudio de una función cuadrática y su gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.12.2 Traslaciones de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.12.3 Traslación horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6

Estadística y Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.1

Clasificación de Variables

6.1.1

Variables Cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.1.2

Variables Cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.2

Distribución de Frecuencias

222

6.3

Histograma

226

219

6.4

Probabilidad

238

1 — Números Reales

Como ya hemos estudiado, los números naturales surgen de la necesidad de contar u ordenar. Así, por ejemplo, los números 0, 1, 2, 3 . . . son números naturales. El conjunto de todos los números naturales se simboliza mediante la letra N. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que no pueden expresarse mediante números naturales como, por ejemplo, la temperatura ambiente, −2◦C, 0◦C, 25◦C . . . Por ello, surge la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales con un nuevo conjunto numérico, el de los números enteros, que representamos con la letra Z. Pero este nuevo conjunto de números no nos sirve para representar situaciones como andar la 1 mitad de un camino, que se representa mediante el número . 2 Por eso, se introduce un nuevo conjunto de números, los números racionales, que se representan con la letra Q. Además, este conjunto coincide con el conjunto de los números decimales limitados o ilimitados y periódicos. Esto es así porque: • Todo número racional puede expresarse como un número decimal limitado o un número decimal ilimitado y periódico. • Y al revés, todo número decimal limitado y decimal ilimitado y periódico tiene una fracción generatriz asociada. Este año se hace necesario estudiar un nuevo conjunto, el de los números irracionales I.

1.1

Conocimientos previos Es necesario volver brevemente a dos temas de séptimo año: Números Enteros y Racionales. Así mismo debemos revisar los Números Naturales que fueron estudiados, principalmente, en primaria.

Números Reales

8 1.1.1

Números Naturales Los números naturales son aquellos que no tienen decimales y ademas son positivos. Es importante aclarar que el conjunto de los números naturales (el cuál se denota por el símbolo N) no incluye el cero (pues debemos recordar que el cero es neutro, no es ni positivo ni negativo), algunos libros incluyen el cero como número natural, nosotros no lo haremos. Es así, que vamos a aceptar N = {1, 2, 3, 4, . . .} Proposición 1.1 — Características de los Números Naturales. Las siguientes son las carac-

terísticas de N • Son números positivos. • Son números sin decimales. • No incluyen el cero. 1.1.2

Números Enteros Los números enteros son aquellos que no tienen decimales, son positivos y negativos y además incluyen el cero. El conjunto de los números enteros se denota por el símbolo Z. Es así, como vamos a entender el conjunto de la siguiente forma Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} Proposición 1.2 — Características de los Números Enteros. Las siguientes son las caracterís-

ticas de Z • Son números positivos y negativos. • Son números sin decimales. • Si incluyen el cero. 1.1.3

Números Racionales Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados de la forma a b donde a y b son números enteros y b 6= 0; donde a es el NUMERADOR y b es el DENOMINADOR. El conjunto de los números racionales se denota por el símbolo Q. Entre cualquiera dos números racionales, siempre es posible encontrar otro número racional. Por tanto, contrario a lo que uno pudiese esperar, el conjunto de los números racionales es continuo, pero al mismo tiempo contable. Podemos entonces decir que Q = {. . . , −4,

−7 −5 −3 −1 −1 1 3 5 7 , −3, , −2, , −1, , , 0, , 1, , 2, , 3, , 4, . . .} 2 2 2 2 3 2 2 2 2

1.1 Conocimientos previos

9

Aquí es importante aclarar algo que quizá algunos ya han concluido: así como el conjunto de los números enteros incluía al conjunto de los naturales, el conjunto de los números racionales incluye a sendos conjuntos. Esto quiere decir que en el conjunto Q están incluidos además de las fracciones, positivas y negativas, los números sin decimales positivos y negativos. 5 Veamos un ejemplo que nos ayudara a aclarar esto. ¿Como clasificará usted el número ? 2 Usando nuestra calculadora dividimos 5 entre 2 y la calculadora nos da el siguiente resultado 5 = 2, 5 2 Recordando un poco de la teoría de primaria 2, 5 es un número con expansión decimal finita. Por tanto está claro que los números con expansión decimal finita son números racionales. No obstante veamos otros casos antes de llegar a una conclusión. 24 ¿Cómo clasificaría usted el número ? 8 Usando una vez mas la calculadora dividimos 24 entre 8 y la calculadora nos da el resultado 24 =3 8 Aunque el resultado es el número 3, que anteriormente lo clasificamos como un número natural o entero, ahora lo clasificamos como racional. Por tanto los números positivos sin decimal también son racionales. 32 Veamos otro ejemplo. Analicemos el número , al usar la calculadora obtenemos como resultado 6 32 = 5, 33333333 . . . 6 En la escuela aprendimos que un número como 5, 333333 . . . se llama número con expansión decimal infinita periódica. Por lo tanto, los números con expansión decimal periódica se clasifican también como números racionales. Podemos ahora resumir las conclusiones a las que llegamos atraves del análisis anterior. Proposición 1.3 — Características de los Números Racionales. Las siguientes son caracterís-

ticas de Q • • • •

Son números enteros. Son fracciones positivas y negativas. Son números con expansión decimal infinita periódica. Son números con expansión decimal finita.

Números Reales

10 Ejercicio 1.1

Realice las siguientes operaciones.

1. 32 + −28 =

25. 34 · −25 =

2. 18 + −49 =

26. 68 · −71 =

3. −19 + 27 =

27. −36 · 18 =

4. −8 + 91 =

28. −5 · −6 =

5. −199 + 200 + 198 =

29. −12 · −3 =

6. −1256 + 1000 + −1255 =

30. −4 · −25 =

7. 201 + −200 + 199 =

31. 315 ÷ −3 =

8. −2 + −6 =

32. 42 ÷ −7 =

9. −11 + −31 =

33. −161 ÷ 7 =

10. −25 + −6 =

34. −225 ÷ 15 =

11. 24 − −23 =

35. −666 ÷ 9 =

12. 41 − −21 =

36. 125 ÷ −1 =

13. −33 − 18 =

37. 608 ÷ −8 =

14. −9 − 11 =

38. −625 ÷ −25 =

15. −120 − 150 − 20 =

39. −800 ÷ −40 =

16. −1234 − 1004 − −1000 =

40. −75 ÷ −5 =

17. 500 − −301 − 459 =

41.

18. −25 − −12 =

42.

19. −45 − −32 = 20. −75 − −16 = 21. −2 · 10 = 22. −7 · 25 = 23. 15 · −61 = 24. 10 · −9 =

43. 44. 45. 46.

1 2 + 3 3 5 11 + 8 64 1 −1 + 2 4 3 1 + 21 2 7 11 + 50 40 −8 13 + 60 90

1.2 Números Irracionales 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

7 3 + 20 15 6 −1 + 17 34 8 13 + 60 90 4 1 − 5 5 3 1 − 5 10 3 1 − 8 12 −93 83 − 1205 150 3 1 − 15 45 19 −7 − 36 80 2 8− 3 7 −30 − 24 −1 81 − 90 4 10 · 5 9 18 −90 · 15 36 3 4 · 4 5

11 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76.

−2 10 · 5 8 23 −17 · 34 28 −19 −42 · 6 19 73 75 · 9 73 19 −9 · 3 4 42 −18 · 5 7 7 3 ÷ 7 10 6 −5 ÷ 11 25 30 3 ÷ 41 82 −50 −25 ÷ 61 183 −104 75 ÷ 105 36 216 −1080 ÷ 3165 948 51 57 ÷ 76 1520 −2 9÷ 3 3 15 ÷ 4 

1.2

Números Irracionales Lo primero que hay que decir es qué es un número irracional. Un número es irracional cuando no es a racional, esto quiere decir que tal número no se pueda escribir como una fracción del tipo donde b a, b están en Z. Esto no es muy fácil de hacer. Una de las características es que su escritura decimal es infinita y no hay períodos en esa expresión. √ Uno de los primeros números irracionales que se conocieron fue 2, y el descubrimiento de este se obtuvo al aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un cuadrado de lado con

1.

Los Irracionales y su génesis

Lo primero que hay que decir es qué es un número irracional. Un número es irracional cuando no es racional, esto quiere decir que tal número no se pueda escribir como una fracción del tipo donde están en . Esto no es muy fácil de hacer. Una de las características es 12 que su escritura decimal es infinita y no hay períodos en esa expresión. Números Reales Uno de los primeros números irracionales que se conocieron fue , y el descubrimiento de magnitud 1, como se muestra en la siguiente figura este se obtuvo al aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un cuadrado de lado con magnitud 1, como se muestra en la siguiente Cuenta lafigura: leyenda que aparentemente Hipaso (un Cuenta la leyenda que aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irestudianteracionales de Pitágoras) números intentando descubrió escribir la raízlos de 2 en forma irracionalesdeintentando raíz degeometría). 2 en forma de fracción (seescribir cree quelausando Pero fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar en su lugar demostró que no se puede escribir demostró que se puede como fracción, así que comonofracción, asíescribir que es irracional. es irracional. Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, creía quenúmeros todos Pero Pitágoras no podía aceptar porque que existieran losporque númeroscreía tienen Como no irracionales, quevalores todosperfectos. los números tienen pudo demostrar que los “números irracionales” valores perfectos. Como no pudo demostrar que de los no existían, ¡tiraronnoa Hipaso por¡tiraron la bordaa "números Hipaso irracionales" de Hipaso existían, ahogó! Hipaso porylaseborda y se ahogó! Otro de los irracionales más famosos en la historia es π, su aparición fue vista tempranamente por Otro de los irracionales más famosos en la es ,hasta su aparición fueHeinrich vista tempranamente por diversas culturas, pero su naturaleza irracional nohistoria se demostró que Johann Lambert diversas culturas, pero su naturaleza irracional no se demostró hasta que Johann Heinrich Lambert lo lo hizo en 1761 aproximadamente. Este irracional es tan famoso que se han hecho películas sobre en 1761 aproximadamente. Este es que tan se famoso seformato han hecho películas él. hizo También está el día de este número. Porirracional la forma en escribeque en el usado en los sobre él (personalmente vi una y no me gustó). También está el día de este número. Por la forma Estados Unidos, el 14 de marzo (3/14) se ha convertido en una celebración no oficial para el “Díaen que se en el de formato usado en los Unidos, 14 deNormalmente marzo (3/14)lasecelebración ha convertido Pi”,escribe derivándose la aproximación de Estados tres dígitos de pi:el3,14. se en una celebración no oficial el "Día Pi", de derivándose de la de aproximación tres dígitos de pi: 3,14. concentra a la 1:59 PM (enpara reconocimiento la aproximación seis dígitos:de 3.14159), aunque Normalmente la celebración se concentra a la 1:59 PM (en reconocimiento de la aproximación algunos más quisquillosos afirman que en realidad son las 13:59, por lo que lo correcto sería celebrar de seis 3.14159), aunque algunos más quisquillosos afirman que en realidad son las 13:59, por lo que a ladígitos: 1:59 AM. lo correcto sería celebrar a la 1:59 AM. Hay otros por ejemplo que han hecho una canción de este Si hablamos irracionales famosos no podemos dejar fuera aparece al número φ (número de ¨oro), número, en eldeblog http://jorgegaonaparedes.blogspot.com unphi artículo titulado Una canción sin utilizado principalmente en la mayoría de las obras de arte. coro y que puede ser ¡infinita! ¨, el video que aparece es por lo menos curioso, al final de este aparecen unas preguntas, te invito a responderlas. Hablar de números irracionales y en especial de algunos de los mencionados en estas líneas Por último también aparece un video en unhecho artículo titulado:pero Euler el y los números historia, cabe dan para hacer un libro (de hecho se han muchos) objetivo demas estaextraordinarios introducciónde eslade destacar que ende este artículo aparece también el número irracional e, este video es muy bueno y los invito a revisarlos. mostrar la punta este iceberg llamado números irracionales. Proposición 1.4 — Representación de un Irracional. Existen tres formas de representar un

número irracional 1. Raíces No exactas Unidad: Números Reales

√

√

[email protected] 5, − 3 y

√ 3 −5 http://jorgegaonaparedes.blogspot.com

2. Decimales No Periódicos 2, 15872342391236 . . . y −1, 7721191283720 . . . 3. Números Trascendentales π, e y φ

1

1.3 Radicales 

13

Ejemplo 1.1 — Ejemplos de números Irracionales. Los siguientes son ejemplos de números

irracionales √ 7 8

1. −3, 21349857 . . .

6.

2. −3, 2937509001 . . .

7. π

3. −2, 3938572101 . . . √ 4. 3 6 √ 5. 5 −2

8. −2π √ 9. − 91 √ − 5 10. 3

√ 5 3 11. 8 12. 2π − 4 13. 4π − 2e √ 14. 3 27 − 8π



1.3

Radicales √ √ El símbolo n x usado para indicar una raíz es llamado RADICAL1 . La expresión n x se leer “x radical n”, o “la n-sima raíz de x”. En el símbolo radical, la línea horizontal se llamaV ÍNCULO, la cantidad debajo del V ÍNCULO se llama subradical, y la cantidad n escrita a la izquierda se llama ÍNDICE. √ √ 2 El caso especial x se escribe simplemente√ x y recibe el nombre de R AÍZ C UADRADA de x. √ √ Por su parte 3 x se conoce como R AÍZ C ÚBICA, 4 x se conoce como R AÍZ C UARTA y 5 x se le da el nombre de R AÍZ Q UINTA. Un detalle importante concerniente a los radicales es el siguiente: 1. Si el índice es par, entonces el subradical debe ser siempre positivo. √ Sea n ∈ N, tal que n es par, si n x entonces x ≥ 0. 2. Si el índice es impar, entonces el subradical no tiene ninguna restricción, puede ser positivo o negativo. √ Sea n ∈ N, tal que n es impar, si n x entonces x ∈ R. √ Proposición 1.5 — Características de los Radicales. Para el radical n x = c tenemos: √ • El símbolo se conoce como símbolo radical. • El número n es el índice. • El número x es el subradical. • El resultado c se conoce como raíz.

1 Usado

por primera vez en 1525, por Christoff Rudolff en su obra Die Coss.

Números Reales

14 ¿Cómo identifico números irracionales?

Bueno, primero es necesario saber de memoria las características que identifican a los elementos de cada uno de los conjuntos, y que se han repasado ya. Aún así no está de mas ver algunos ejemplos que puede esclarecer mas la tarea de identificar estos números. √ Veamos el número 169. ¿Cómo sé si es irracional? Muy fácil uso la calculadora. √ 169 = 13 Ahora pregúntese: ¿Qué características, de las estudiadas para cada conjunto, cumple el número 13? Bueno el 13 es un número que no tiene decimales y es positivo. Por esta razón llegamos a la conclusión de que 13 es un número natural. Pero también es entero y además es racional. Con las únicas características que no cumple son las de los irracionales. Entonces, √ 169 es un número N, Z y Q, pero no es I Ahora, que podemos decir del número cuenta que

√ 136. Usando una vez mas la calculadora nos damos

√ 136 = 11.66190379 . . . De nuevo, ¿Qué características, de las estudiadas para cada conjunto, cumple el número 11.66190379. . . ? Primero, el número tiene decimales así que ya no califica como número natural ni entero. ¿Ser racional? Bueno es un número con expansión decimal infinita no periódica ¿Por qué decimos eso? Si vemos el número termina con “. . . ” lo que indica que es infinito. Además, los decimales no tienen un patrón de repetición, no es posible identificar un orden especifico que permita establecer que número aparecer, luego del último dígito (9) no sabemos cual número continua, por tanto 11.66190379. . . es un número irracional. Veamos un último ejemplo. Analice los siguientes números: (1) 2, 3646566676 . . ., (2) 1, 36363636363636 . . . y (3) −0, 2353535353535 . . . ¿Cómo se pueden clasificar? Primero el número 2, 3646566676 . . . es un número con expansión decimal infinita no periódica. Debemos tener cuidado de no caer en la trampa de pensar que como hay un patrón, o orden, que parece indicar que va aumentando de 10 en 10 existe un periodo. ¿Se puede asegurar que luego del último par de dígitos sigue el 86? No hay nada que lo garantice. Entonces, 2, 3646566676 . . . es un número irracional, o sea pertenece al conjunto I Ahora veamos el número 1, 36363636363636 . . .2 . El par de dígitos 36 se repite durante toda la expansión decimal, un número mayor de tres veces, por tanto podemos asegurar que luego del último par de dígitos seguir un 36. 2 También

se podrá escribir 1, 36

1.3 Radicales

15

Recordando un poco, este número se puede clasificar como un número con expansión decimal infinita periódica, pues hay un patrón, un orden, que se repite indefinidamente. Entonces, concluimos que 1, 36363636363636 . . . es un número racional, o sea pertenece al conjunto Q Para terminar, analicemos el número −0, 2353535353535 . . .3 . El par de dígitos 36 se repite durante toda la expansión decimal, un número mayor de tres veces, por tanto podemos asegurar que luego del último par de dígitos seguir un 35. Pero, ¿afecta el hecho que la expansión decimal inicia con un 2 que no se repite infinitamente? No, lo que importa es que existe un patrón, u orden, que se puede identificar y con el poder pronosticar el siguiente par de dígitos. Una vez mas, este número se puede clasificar como un número con expansión decimal infinita periódica. Entonces, concluimos que −0, 2353535353535 . . . es un número racional, o sea pertenece al conjunto Q Ejercicio 1.2

Aplique las características de los conjuntos estudiados en cada caso.

1. Para cada uno de los siguientes números establezca el conjunto o conjuntos al que pertenece. (a)

√ 10

(b) 2π −e 5 3 (d) 4 (c)

(e) 3, 543

(f) −5 √ (g) 11 (h) − (i)

3 4

√ 36

(j) 23 √ 3 (k) 6

√ 4 (l) − 16 (m) 0 √ (n) 1 3π 2π 1+e (p) π (o)

2. Clasifique los siguientes números como racionales o irracionales, si están bien definidos. (a)

√ 3

19 17 √ (c) 7

(b)

(d) 45 (e) e

(f) 2, 026 √ 5 (g) 12 r 3 27 (h) 12 √ (i) 4 −16

(j) (k)

r

√ 5 −32

(l) −101, 567

2 5 (n) 16, 028424 . . .

(m) −4

3. Clasifique las siguientes expresiones como racionales o irracionales. 3 También

se podrá escribir −0, 235

1 9

Números Reales

16 (a) (b) (c) (d) (e)

√ 2 √ 13 √ 24 √ − 37 √ 3 12

√ 3 −5 √ 5 (g) 8 · 0 (f)

(h) 0 · 5 (i) −10e

−7 23 + 5 7 (k) π − 5, 86 √ (l) 3 + 3 (j)

(m) 4, 27 − 18, 2354691 . . .

4. Analice y conteste la siguiente pregunta. Al restar o sumar dos números irracionales, ¿se obtiene como resultado un número irracional?

5. Escriba Falso, si la proposición es falsa, o Verdadero si es verdadera. (a) Toda fracción es un número racional (b) Toda raíz es un número irracional (c) Todos los números irracionales son raíces (d) Toda expansión decimal finita puede también ser representada por una expansión decimal infinita periódica (e) Algunas fracciones mixtas representan números irracionales (f) Algunos números irracionales pueden denotarse por medio de una fracción (g) La suma de un número racional y otro irracional da como resultado un racional (h) El producto de un racional y un irracional siempre es irracional 6. Para las siguientes expresiones determine si son racionales o irracionales. 1 7 (b) −4 e (c) − 5 (d) −π + 2 (a) −

(e)

q 4 (−8)5

(i) −7, 4 √ (j) 169

(f) 17 √ 3 (g) 2 8

(k) 2, 711

(h) 0

(l) −1, 4

1.4 Números Reales

17

7. Clasifique las siguientes expresiones como racionales o irracionales. √ √ (i) π − π (e) 1 + 100 2+3 √ √ π (j) 36 (f) 9 + 2 π (b) 6 √ 5 (g) −8π √ (k) 32 (c) 16 − π √ −3e √ 11 (h) 3 (l) √ − 8 2 (d) 4 3 8. Determine en cada caso si los números tiene expansión decimal infinita periódica o no periódica. Luego, determine si es un número racional o irracional. (a)

(a) −1, 10100100010000 . . . (b) 3, 14151617181920 . . . (c) −4, 020101010101 . . . (d) 17, 12345678910 . . . (e) −4, 25262728293 . . . 

1.4

Números Reales El conjunto de los números reales esta formado por todos los números decimales periódicos y los no periódicos, es decir por los números racionales y los irracionales.

! R

Q

Z

II

N

Ejercicio 1.3

Aplique los contenidos analizados para dar respuesta a cada uno de los ejercicios que se presentan a continuación. 1. Ubique en√cada recta numérica a cada número. √ la letra que corresponda √ √ (a) a = 32 b = 24 c = − 15 d=− 8 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

e=

4

5

√ 2

6

Números Reales √ √ d = − 3 135 e = 3 −240

18 (b) a =

√ 3 9

b=

√ 3 30

-6 -5 √ (c) a = 4 18

-4

-3

-6 -5 √ (d) a = 5 40

-4

-3

c=

√ 3 −70

-2 -1 √ b = 4 120

-2 √ b = 9 2000

0

-1

0

1

2 3 √ c = − 4 350 2 √ c = − 6 5000

-6

-5 -4 -3 -2 -1 0  √ 2 π 2. La expresión − corresponde a un número 3

1

1

2

4

6 √ d = 4 800

3

4

5 6 √ d = − 7 80000

3

4

(a) racional no entero. (c) natural e irracional. (b) natural no racional. (d) irracional y real.  √ −1 3 −8 3. La expresión − corresponde a un número 5 (a) entero no natural. (b) racional no entero. 4. La expresión

(c) irracional no positivo. (d) real no racional.

√ !−2 −2 5 corresponde a un número − 5

(a) entero no negativo. (c) irracional no positivo. (b) racional positivo. (d) irracional. √ 2 (3 e) 5. La expresión corresponde a un número 2e (a) irracional. (b) natural no entero.

(c) entero no natural. (d) real no entero.

6. Un número racional no entero corresponde a −2 e (b) 3π (a)

4 5 (d) −2 (c)

5

5

6

1.4 Números Reales

19

7. Un número entero no natural corresponde a

(a)

 √ 2 − 15

√ 3 40 √ (c) 3 −5  √ 2 − π (d) 5

3  π 2 (b) − 5 8. Un número real no irracional corresponde a 3π 9π −8π (b) √ 23π (a)

(c)

−5e √
2 3 −5

(d) 4π − 2e

9. De las siguientes afirmaciones I Todo número racional es entero. II Todo número natural es entero. III Todo número irracional es racional. IV Todo número racional es real. Son siempre verdaderas (a) II y III

(c) II y IV

(b) I y III

(d) I y IV

10. De las siguientes afirmaciones I Todo número entero es natural. II Todo número natural es racional. III Todo número irracional es racional. IV Todo número entero es racional. Son siempre verdaderas (a) I y II

(c) I y III

(b) II y IV

(d) III y IV

Números Reales

20 11. De las siguientes afirmaciones
3 √ 3 −2 corresponde a un número natural. I La expresión 4 √
2 II La expresión π corresponde a un número irracional.  −3 3 corresponde a un número entero. III La expresión − 9 IV La expresión

2e corresponde a un número irracional. 4e

Son siempre verdaderas (a) II y IV

(c) II y III

(b) I y IV

(d) I y III

12. Coloque el símbolo ∈ si el número corresponde al conjunto numérico o el símbolo 6∈ si no corresponde. (a) −5 √ (b) − 3 8

Z

(c) −5

Q

R−

√ (i) 3 π − e

I−

(e) 4π − 9 (f) 3π − 5e √ √ (g) 4 − 3 25 √ (h) −3 3 8 − 5

I− Q−

(j) 5 − 2π √ √ (k) 4 7 − 3 9

R I+ I−

−3e Q− e 13. Coloque el símbolo que corresponda >, < ó =, en cada uno de los espacios en blanco. (d) π − 5

√ (a) − 5 √ (b) −2 5

4 5 √ (d) − 3 9 (c) −

R+

−π −1

1 5 √ −38

−

(e) π √ (f) 3 π √ (g) 2 9 √ (h) 3 5 8

Z

2e √ 45e √ 3 8 √ 4 7

(l)

√ (i) 3 7 8 − e (j)

2e 3

(k) −5π 2 (l)

−5π 7

14. Determine el número real opuesto. (a) e (b) 3π

(c) 5e − π √ (d) 4 7 − 5π

(e) 3π − 7e (f) −8e − 4π

2π 10e 15 −5e3

−15π 21

1.5 Operaciones con Números Reales

21

15. Determine el valor absoluto. √ (d) −| − 5 3 9| √ (e) | − 2 3| √ (f) | − e 3 3|

√ (a) | − 3 5| (b) | − 3e|

√ (c) −| − 3 5|

(g) | − π 3 | √ (h) | − 7 3| √ (i) | − 5 3 8| 

1.5

Operaciones con Números Reales Las operaciones con números reales son las mismas que con números racionales, es decir la adición, sustracción, producto, cociente, potencias y radicales. Es importante estudiar algunas propiedades previas para los radicales, a continuación.

1.5.1

Propiedades de los Radicales Raíz de una potencia Proposición 1.6 — Raíz de una potencia. Sea

existe

√ n a, entonces se cumple que

m ∈ Q, donde n ∈ Z+ y n ≥ 2. Si a ∈ R tal que n

√ n m a = am/n

√ n a = a1/n 

Ejemplo 1.2 — Raíz de una potencia. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

√ 7 x3 Identificamos los elementos del radical

√ 7 x3

3 → exponente x → base

7 → índice

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el exponente y colocando debajo de este el índice. Desaparece el símbolo de radical

x3/7 Por tanto, al aplicar la propiedad tenemos

√ 7 x3 = x3/7 

Números Reales

22 

Ejemplo 1.3 — Raíz de una potencia. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

√ 4 m2 Identificamos los elementos del radical

√ 4 m2

2 → exponente m → base

7 → índice

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el exponente y colocando debajo de este el índice. Desaparece el símbolo de radical

m2/4 Simplificamos la fracción que resulta en el denominador

m62/64 = m1/2 Por tanto, al aplicar la propiedad tenemos

√ 4 m2 = m1/2  

Ejemplo 1.4 — Raíz de una potencia. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

Identificamos los elementos del radical

p 3 y9

p 3 y9

9 → exponente y → base

3 → índice

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el exponente y colocando debajo de este el índice. Desaparece el símbolo de radical

y9/3 Simplificamos la fracción que resulta en el denominador 3

y69/63 = y3/1=y Por tanto, al aplicar la propiedad tenemos

p 3

y9 = y3 

1.5 Operaciones con Números Reales 

23

Ejemplo 1.5 — Raíz de una potencia. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

√ 5 27 Identificamos los elementos del radical

√ 5 27

7 → exponente 2 → base

5 → índice

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el exponente y colocando debajo de este el índice. Desaparece el símbolo de radical

27/5 Por tanto, al aplicar la propiedad tenemos

√ 5 27 = 27/5  

Ejemplo 1.6 — Raíz de una potencia. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

√ 8 76 Identificamos los elementos del radical

√ 8 76

6 → exponente 7 → base

8 → índice

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el exponente y colocando debajo de este el índice. Desaparece el símbolo de radical

76/8 Simplificamos la fracción que resulta en el exponente

766/68 = 73/4 Por tanto, al aplicar la propiedad tenemos

√ 5 27 = 27/5 

Números Reales

24 

Ejemplo 1.7 — Raíz de una potencia. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

√ 4 58 Identificamos los elementos del radical

√ 4 58

8 → exponente 5 → base

4 → índice

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el exponente y colocando debajo de este el índice. Desaparece el símbolo de radical

58/4 Simplificamos la fracción que resulta en el exponente

568/64 = 52/1 = 52 Por tanto, al aplicar la propiedad tenemos

√ 4 58 = 52 

Ejercicio 1.4

Represente cada potencia de exponente fraccionario como un radical y cada radical como una potencia de exponente fraccionario.

1. 51/2

√ u3 √ 6. a wu

3. au/k p 13 4. 85

2. 82/5

5.

16



Raíz de una Multiplicación Proposición√ 1.7 — Raíz de una Multiplicación. Sea m ∈ Z + y m ≥ 2. Si a y b ∈ R tal que

existe

√ m ay

m

b, entonces se cumple que

√ √ √ m m a·b = m a· b 

Ejemplo 1.8 — Raíz de una multiplicación. Aplique la propiedad correspondiente para desar-

rollar

√ 3 4x

1.5 Operaciones con Números Reales

25

Identificamos los factores del producto del subradical

√ 3 4x

4x → 4 · x

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el índice y separando en dos radicales con cada factor como subradical

√ √ √ √ 3 4x = 3 4 · x = 3 4 · 3 x  

Ejemplo 1.9 — Raíz de una multiplicación. Aplique la propiedad correspondiente para desar-

rollar

√ 5m2 n3 Identificamos los factores del producto del subradical

√ 5m2 n3

5m2 n3 → 5 · m2 · n3

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el índice y separando en dos radicales con cada factor como subradical

√ √ √ √ √ 5m2 n3 = 5 · m2 · n3 = 5 · m2 · n3 

Proposición 1.8 √— Raíz de una División. Sea m ∈ Z+ y m ≥ 2. Si a y b ∈ R, donde b 6= 0 tal √ m

que existe

m

ay

b

r m



√ m a a = √ m b b

Ejemplo 1.10 — Raíz de una división. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

r 5

m 3

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el índice y separando en dos radicales con el denominador y numerador como subradical

r 5

√ 5 m m = √ 5 3 3 

Números Reales

26 

Ejemplo 1.11 — Raíz de una división. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

r

12k z

Procedemos a aplicar la propiedad, manteniendo el índice y separando en dos radicales con el denominador y numerador como subradical

r

√ √ √ 12k 12k 12 · k = √ = √ z z z 

√ Proposición 1.9 — Raíz de una raíz. Sea m y n ∈ Z+ y m, n ≥ 2. Si a ∈ R, donde existe m·n a



q √ m √ n a = m·n a

Ejemplo 1.12 — Raíz de una raíz. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

q 4 √ 5 x2

Procedemos a aplicar la propiedad, multiplicando los índices y manteniendo un único símbolo de radical

q 4

√ √ √ 4·5 20 5 x2 = x2 = x2 



Ejemplo 1.13 — Raíz de una raíz. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

rq 3 5 p y3

Procedemos a aplicar la propiedad, multiplicando los índices y manteniendo un único símbolo de radical

rq 3 5 p y3 =

p p y3 = 30 y3

3·5·2



1.5 Operaciones con Números Reales 

27

Ejemplo 1.14 — Raíz de una raíz. Aplique la propiedad correspondiente para desarrollar

r q 3 5 7 g5

En este ejemplo el punto interesante es que el cinco esta “atrapado” entre los dos vínculos, es decir, la propiedad especifica que no debe existir nada entre los dos vínculos para poder ser aplicada, así que de forma práctica debemos quitar el 5, esto se hace moviéndolo al subradical del radical interno; como lo vamos a introducir a un radical de índice 7, entonces

rq 3

7

57 g5

Procedemos a aplicar la propiedad, multiplicando los índices y manteniendo un único símbolo de radical

rq q q 3 7 3·7 7 5 7 5 5 g = 5 g = 21 57 g5



Ejercicio 1.5

Aplique la propiedad respectiva en cada caso para expresar como un solo radical.

q √ 3 1. 3a qp 5 3 2. 4a5 qp 3 4 3. a13 b15

q 5

p

a5 b8 s r w 2m a n 3u 5. b c2

4.

2a3



Números Reales

28 Ejercicio 1.6

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Aplique las propiedades de los radicales en cada caso.

√ 3·4 √ 25 · 4 √ 3 8 · 27 √ 3 5 · 64 √ 4 16 · 81 √ 5 32 · 4 √ 4 · 16 √ 25 · 36 √ 144 · 25 √ a2 · b2 √ 3 8 · 27 · 125 √ 3 3 a · b3 √ 3 6 a · b3 · c6 · d 3 r 1 4 r 9 25

16. 17. 18. 19.

r 3

r 3

r 3

r

−1 27 64 8 27 125 81 16

p 3 20. 54 √ 21. 73 √ 7 22. 214 23. 3

5/2

24. 73/5 25. 24/9 q √ 3 26. 5 q 3 √ 4 27. 8 q 5 √ 6 28.

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.

38.

39.

q

√ 28 q 7 √ 3 2 q 4 √ 5 10 √ 2 3 2 4 a b p 5 4 3a3 4  p 2 3 10 2 5 2a b 2a m q √ 3 5a q 4 √ 5 2b2 q √ 3 6 x a4 b10 v s u r u 5 t 3 a4 b6 u d m10 v v u u s u u r u 3 120 5 t 4 a t 3 p w a c x 4



Introducción de factores al subradical

Aunque ya se utilizó este método, no se ha presentado formalmente. Cuando se desea introducir un factor al subradical de un radical, debemos elevarlo al exponente que sea igual al índice del radical donde se introducirá. Veamos algunos ejemplos que pueden esclarecer este procedimiento,

1.5 Operaciones con Números Reales 

29

Ejemplo 1.15 — Introducción de Factores al Subradical. Introduzca el factor al subradical

√ 5 3 Iniciamos elevando al exponente 2 el número que queremos introducir al subradical y lo escribimos en el subradical, √ 52 · 3 Cuando sea posible debemos simplificar la expresión resultante, √ 2 √5 · 3 25 · 3 √ 75  

Ejemplo 1.16 — Introducción de Factores al Subradical. Introduzca el factor al subradical

3a2

p 5

y2

Iniciamos elevando al exponente 5 la expresión que queremos introducir al subradical y lo escribimos en el subradical, q 35 · (a2 )5 · y2 Cuando sea posible debemos simplificar la expresión resultante, q 35 · (a2 )5 · y2 p 243 · a10 · y2 p 243a10 y2 Ejercicio 1.7

√ 1. 3 4 √ 2. 2 3 5 √ 3. m 4 9 √ 4. 2m 5 3 √ 5. 2 · 3 7 a



Introduzca los elementos del subradical.

√ 6. 22 · 33 5 4 √ 7. 22 · 34 3 m √ 8. a2 · b5 5 8 √ 3 9. 2a4 b3 a2 b √ 4 10. 5a3 b4 2a4 b9

r 3a3 b4 5 3a5 b8 11. − 4 c c4 r 4a3 b5 3 2ab 12. 2c c r 3ab2 4 3ab 13. x3 5 

Números Reales

30 Extracción de Factores del Subradical

Es el procedimiento que consiste en escribir un radical en su forma más simple, para lo cual se deben factorizar los subradicales numéricos y literales que se encuentran presentes en el radical, de manera que se reagrupen en subgrupos de un número de factores según especifica el índice. 

Ejemplo 1.17 — Extracción de Factores al Subradical. Extraiga el factor al subradical

√ 4 Iniciamos factorizando el subradical 4, de acuerdo al índice (2) 4 = 22 Sustituimos el subradical con la factorización, √ 22 Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de una potencia √ 22 = 22/2 = 21 = 2 Por tanto, la extracción da como resultado √ 4=2  

Ejemplo 1.18 — Extracción de Factores al Subradical. Extraiga el factor al subradical

√ 3 −8 Iniciamos factorizando el subradical −8, de acuerdo al índice (3) −8 = (−2)3 Sustituimos el subradical con la factorización, q 3 (−2)3

Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de una potencia q 3 (−2)3 = (−2)3/3 = (−2)1 = −2

Por tanto, la extracción da como resultado

√ 3 −8 = −2 

1.5 Operaciones con Números Reales 

31

Ejemplo 1.19 — Extracción de Factores al Subradical. Extraiga el factor al subradical

√ 5 −64 Iniciamos factorizando el subradical −64, de acuerdo al índice (5) −64 = (−2)5 · 2 Sustituimos el subradical con la factorización, q 5 (−2)5 · 2

Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de un producto q q √ 5 5 (−2)5 · 2 = 5 (−2)5 · 2

Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de una potencia q √ √ √ 5 5 5 5 (−2)5 · 2 = (−2)5/5 · 2 = −2 2

Por tanto, la extracción da como resultado

√ √ 5 5 −64 = −2 2  

Ejemplo 1.20 — Extracción de Factores al Subradical. Extraiga el factor al subradical

√ 8 2a8 Iniciamos factorizando el subradical 2a8 , de acuerdo al índice (8) 2a8 = 21 · a8 Sustituimos el subradical con la factorización, √ 8 21 · a8 Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de un producto √ √ √ 8 8 8 21 · a8 = 21 · a8 Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de una potencia √ √ √ √ √ 8 8 8 8 8 21 · a8 = 2 · a8/8 = 2 · a1 = a 2 Por tanto, la extracción da como resultado √ √ 8 8 2a8 = a 2 

Números Reales

32 

Ejemplo 1.21 — Extracción de Factores al Subradical. Extraiga el factor al subradical

p 3 −16a4 b5 c7

Iniciamos factorizando el subradical −16a4 b5 c7 , de acuerdo al índice (3) −16a4 b5 c7 = −23 · 21 · a3 · a · b3 · b2 · c3 · c3 · c Sustituimos el subradical con la factorización, p 3 −23 · 21 · a3 · a · b3 · b2 · c3 · c3 · c

Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de un producto p p √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 −23 · 21 · a3 · a · b3 · b2 · c3 · c3 · c = −23 · 21 · a3 · 3 a · b3 · b2 · c3 · c3 · 3 c Aplicamos las propiedades de los radicales, especificamente radical de una potencia √ √ √ √ 3 3 −23/3 · 2 · a3/3 · 3 a · b3/3 · b2 · c3/3 · c3/3 · 3 c = √ √ √ √ 3 3 −21 · 2 · a1 · 3 a · b1 · b2 · c1 · c1 · 3 c = √ √ √ √ 3 3 −2abc2 · 2 · 3 a · b2 · 3 c = √ 3 −2abc2 2ab2 c Por tanto, la extracción da como resultado p √ 3 3 −16a4 b5 c7 = −2abc2 2ab2 c Ejercicio 1.8



Exprese los siguientes radicales en su forma más simple, extrayendo factores del

subradical.

1. 2. 3. 4. 5.

p 3 −8a2 b8 p 5 −160a10 b12 c8 p 6300a3 b5 c7 r 8a2 b8 3 − 27x4 c6 r 4 8 4 64a b 625c5 x9

6. 7. 8. 9.

10.

r

32a8 b4 − 243x10 p 9 x3 y6 √ 14 m12 b10 s 10 5 20 a b x10 y5 r 8a−5 b−6 3 − 27a−2 b−9 3

11. 12. 13. 14. 15.

r 5

r 4

r 3

r 5

r 6

32m−5 b−9 243m−10 b−4 m−7 b−8 m−11 b−9 x−7 b−9 c−8 x−10 b−6 c−12 x−7 a−15 b10 x−2 a−15 b8 a4 b5 c−5 a7 b6 c−8 

1.5 Operaciones con Números Reales 1.5.2

33

Operaciones con Radicales Antes de iniciar el tema, debemos establecer dos conceptos importantes: Radicales Homogéneos y Radicales Semejantes. Definición 1.1 — Radicales Homogéneos. Los radicales homogéneos son aquellos que

tienen el mismo índice. Veamos unos ejemplos, 

Ejemplo 1.22 — Radicales Homogéneos. Los siguientes radicales son homogéneos

√ √ 3 3 2 5 y 2 7 son homogéneos √ √ 7 7 −8 x4 y 7 m5 son homogéneos  

Ejemplo 1.23 — Radicales NO Homogéneos. Los siguientes radicales son NO homogéneos

√ √ 5 4 13 10 y 5 23 no son homogéneos 

Definición 1.2 — Radicales Semejantes. Los radicales semejantes son aquellos que tienen

el mismo índice y el mismo subradical. 

Ejemplo 1.24 — Radicales Semejantes. Los siguientes radicales son semejantes

√ √ 3 3 4 15 y −6 15 son semejantes a5

p p 7 y4 y b 7 y4 son semejantes



Definición 1.3 — Radicales NO Semejantes. Los siguientes radicales no son semejantes

√ √ 4 5 10 y 10 no son semejantes Suma y Resta de Radicales

Para poder sumar y restar radicales es necesario que estos sean semejantes. Luego de comprobar esta condición seguimos el siguiente procedimiento. Sumamos o restamos los coeficientes y el radical (tanto el índice como el subradical) se mantiene igual. Veamos algunos ejemplos,

Números Reales

34 

Ejemplo 1.25 — Suma de Radicales. Realice la siguiente adición

√ √ 2 5+7 5 Iniciamos sumando los coeficientes

√ (2 + 7) 5

Obtenemos como resultado, manteniendo el radical sin cambio √ 9 5 √ √ √ Por tanto, el resultado de la operación sería 2 5 + 7 5 = 9 5  

Ejemplo 1.26 — Resta de Radicales. Realice la siguiente operación

√ √ 3 3 4 m2 − 13 m2 Iniciamos restando los coeficientes

√ 3 (4 − 13) m2

Obtenemos como resultado, manteniendo el radical sin cambio √ 3 −9 m2 √ √ √ 3 3 3 Por tanto, el resultado de la operación sería 4 m2 − 13 m2 = −9 m2  

Ejemplo 1.27 — Resta de Radicales. Realice la siguiente operación

p p p 45p − 27p − 20p

Considerando los subradicales nos damos cuenta que los radical no son semejantes, por tanto aplicamos la extracción de factores del subradical √ √ √ 27p = 20p = 45p = p p p 32 · 3p = 22 · 5p = 32 · 5p = √ √ √ 3 3p 2 5p 3 5p Sustituimos los radicales originales con los simplificados √ √ √ 3 5p − 3 3p − 2 5p Identificamos solo dos radicales semejantes, por tanto restamos sus coeficientes √ √ (3 − 2) 5p − 3 3p Obtenemos como resultado, manteniendo el radical sin cambio √ √ √ √ 1 5p − 3 3p = 5p − 3 3p Por tanto, el resultado de la operación sería p p p p p 45p − 27p − 20p = 5p − 3 3p



1.5 Operaciones con Números Reales 

35

Ejemplo 1.28 — Suma y Resta de Radicales. Realice la siguiente operación

√ √ √ √ 12m3 − m 18m + 48m3 + m 72m Considerando los subradicales nos damos cuenta que los radical no son semejantes, por tanto aplicamos la extracción de factores del subradical √ √ √ √ m 18m = m 72m = 48m3 = 12m3 = √ √ √ √ m 32 · 2m = m 22 · 32 · 2m = 22 · 22 · m2 · 3m = 22 · m2 · 3m = √ √ √ √ 3m 2m 6m 2m 4m 3m 2m 3m Sustituimos los radicales originales con los simplificados √ √ √ √ 2m 3m − 3m 2m + 4m 3m + 6m 2m Identificamos dos pares de radicales semejantes, por tanto realizamos las operaciones indicadas con sus coeficientes √ √ √ √ 2m 3m + 4m 3m − 3m 2m + 6m 2m √ √ (2m + 4m) 3m + (−3m + 6m) 2m Obtenemos como resultado, manteniendo el radical sin cambio √ √ 6m 3m + 3m 2m Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ √ √ √ 12m3 − m 18m + 48m3 + m 72m = 6m 3m + 3m 2m 

Ejercicio 1.9

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Realice las siguientes operaciones con radicales.

√ √ √ 3a 4 2b + 5a 4 2b − 3a 4 2b √ √ √ √ 3 3 3 3 2 m3 n + 8mn3 − 27m3 n − 125n3 m √ √ √ √ 2 2−3 2−4 2+ 2 √ √ √ −3 3 5 + 6 3 5 − 3 3 5 √ √ √ √ √ 6 2+2 3−5 2+8 3+ 2 √ √ √ √ √ 2 a+7 a+2 b−4 a+3 b √ √ √ √ 3 3 16 + 2 3 54 − 4 3 81 − 2 3 24 √ √ √ √ 3 3 3 2a4 + 128a4 − a 3 250a − 6a 3 2a √ √ √ √ 4 4 4 4 2 3a4 b − 3ab4 + 2 729a4 b + 1875ab4 √ √ √ √ 3 3 2am3 + 12n2 b − m 3 54a − n 12b √ √ √ 45 − 243x + x 32

Números Reales

36

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

r r p 1p 2 3 x2 y xy y + 2x y3 − − 4x y + y 8 16 2 9 √ √ √ √ (x − 1) 3 − (x + 6) 2 − 4 3 + 5 2 √ √ (a − b) 2 − (b − a) 2 √ √ √ √ (4a − b) 5 − (2b + a) 3 − (6a + 2b) 5 + (−b − a) 3 p p p p 4xy2 − 9xy2 − 16x2 y + 3 x2 y √ √ x 108 + 75x2 √ √ √ 3mn 5 − 20m2 n2 + m 45n2 √ 5√ 3 3 ab + 5b a4 b4 2 √ √ √ 3x 18 − 2 72x + 2 50x2 r r a3 b2 108 1 √ 4 3 3b 64a2 − 27a b − 3 2 3b a6 b3 a2 s s s 4 2 75x 8 81x 4 729x − + −4 −2 16y 4y 2y−1 √ √ √ 4 6 2ab + 4a2 b2 + 8a3 b3 p √ 6x y7 z + xy3 yz s √ p √ √ 2 3 2 8x3 y3 + 3 ab − 8a4 b4 − 2ab − −1 (ab) p p √ 3 64x3 y − 2x 3 27y + 3 216x3 y r 2√ √ a a4 b 3a a2 b − 16b − 3 36 √ √ √ √ 6 2−5 3−4 2−3 3 √ √ √ 5 6 − 4 24 − 2 30 √ √ √ 3ab − 3ab + 3ab √ √ −2 5x + 6 75x2 ab √ 3√ 2 2 a√ 12 − 48a b + 27ab2 12 4 3 p √ 3x 4 x4 y + xy 4 16y √ √ 3 3 −3 16a3 b7 + 128a9 b10

1.5 Operaciones con Números Reales

37

1√ 4√ 3√ 3 3 3 135x2 + 250x2 − 128x 3 5 4 r r r ab 3 3 4ab 3 4ab 36. −2 + −1 −1 2x x x−1 35.



Multiplicación de radicales

Para realizar la multiplicación de dos más radicales estos deben ser homogéneos; se multiplican los coeficientes numéricos y literales entre si, así como los subradicales entre si, simplificando el radical resultante. 

Ejemplo 1.29 — Multiplicación de Radicales. Realice la siguiente multiplicación

√ √ 4 4 2 3a3 · 27a6 Iniciamos multiplicando los coeficientes 2·1 = 2 Continuamos multiplicando los subradicales 3a3 · 27a6 = 81a9 Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice √ 4 2 81a9 Por último, simplificamos el radical resultante √ √ √ 4 2 81a9 = 2 · 3a2 4 a = 6a2 4 a Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ 4 4 2 3a3 · 27a6 = 6a2 4 a  

Ejemplo 1.30 — Multiplicación de Radicales. Realice la siguiente multiplicación

√ √ 5 5 4 6a4 b3 · 5 81a5 b8 Iniciamos multiplicando los coeficientes 4 · 5 = 20 Continuamos multiplicando los subradicales 6a4 b3 · 81a5 b8 = 486a9 b11 Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice √ 5 20 486a9 b11

Números Reales

38 Por último, simplificamos el radical resultante √ √ √ 5 5 5 20 486a9 b11 = 20 · 9ab2 6a4 b = 180ab2 6a4 b Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ 5 5 5 4 6a4 b3 · 5 81a5 b8 = 180ab2 6a4 b

 

Ejemplo 1.31 — Multiplicación de Radicales. Realice la siguiente multiplicación

√ √ √ 3 3 3 a 3a3 b2 c · a2 6a4 b3 c2 · b 12a5 b4 c3 Iniciamos multiplicando los coeficientes a · a2 · b = a3 b Continuamos multiplicando los subradicales 3a3 b2 c · 6a4 b3 c2 · 12a5 b4 c3 = 216a12 b9 c6 Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice √ 3 a3 b 216a12 b9 c6 Por último, simplificamos el radical resultante √ 3 a3 b 216a12 b9 c6 = a3 b · 6a4 b3 c2 = 6a7 b4 c2 Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ 3 3 3 a 3a3 b2 c · a2 6a4 b3 c2 · b 12a5 b4 c3 = 6a7 b4 c2  

Ejemplo 1.32 — Multiplicación de Radicales. Realice la siguiente multiplicación

√ √ √ √ 4 4 4 4 5a2 b3 · 25a4 b2 · 5a3 b · 25a2 b3 Iniciamos multiplicando los coeficientes 1·1·1·1 = 1 Continuamos multiplicando los subradicales 5a2 b3 · 25a4 b2 · 5a3 b · 25a2 b3 = 15625a11 b9 Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice √ 4 1 15625a11 b9 Por último, simplificamos el radical resultante √ √ 4 4 1 15625a11 b9 = 5a2 b2 25a3 b Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ √ √ 4 4 4 4 4 5a2 b3 · 25a4 b2 · 5a3 b · 25a2 b3 = 5a2 b2 25a3 b 

1.5 Operaciones con Números Reales Ejercicio 1.10

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

39

Efectúe cada una de las siguientes multiplicaciones de radicales homogéneos.

√ √ 3 3 2a · 4a3 b2 p √ 4 4 3a2 b4 · 9a3 b9 p √ 3 3 2x 3a4 b5 · 3y 18ab4 p √ 5 5 3a2 b5 3a4 b5 · 2a4 b5 81a4 b3 p √ 4a3 2a3 b4 · 5a 2a7 b5 p p 6 6 2a3 b3 c5 · 4a5 b4 c2 √ √ √ 2a2 x 5a3 x2 · 3ax2 5a2 x3 · 4a 2a2 x3 r r 3a 2a 4a 3a · b b b b r r 4a2 3 3a8 3a4 3 3a2 · b b b5 b6 r r 3m2 a4 5 81a4 x7 5x2 c3 5 a3 x2 · 5xc c2 3ma c4 a2 √ √ 3 3 21a · 49a

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

p 5p 2 27x y · 6 12xy2 6 p p √ 4 4 4 4ab2 · 2a5 b6 · 6a9 b5 p p p a2k b · a4 b3k · a3k bk−1 √ √ 5 a · −6 a + 2 √ √ 75a2 b3 · 5 3ab p √ 3 3 9a7 b12 · 6a4 b 5√ 3√ 3 3 4ab4 · − 4ab2 2 6 √ √ 15ab · 5ab √ √ 4 4 54a4 b7 · 3a9 b12 3√ 1√ 3ab · 3a 2 4 √ √ 5 24 30 9 5 13 8 7 a b z a b z · 3 5 

División de Radicales

Para realizar la división de dos radicales estos deben ser homogéneos; se dividen los coeficientes numéricos y literales entre si, así como los subradicales entre si, reduciendo el radical resultante al máximo. 

Ejemplo 1.33 — División de Radicales. Realice la siguiente división

√ √ 3 3 32a4 b8 ÷ 16a3 b4 Iniciamos dividiendo los coeficientes 1÷1 = 1 Continuamos dividiendo los subradicales 32a4 b8 ÷ 16a3 b4 = 2ab4 Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice √ 3 1 2ab4

Números Reales

40 Por último, simplificamos el radical resultante √ √ 3 3 1 2ab4 = b 2ab Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ 3 3 3 32a4 b8 ÷ 16a3 b4 = b 2ab

 

Ejemplo 1.34 — División de Radicales. Realice la siguiente división

√ √ 5 5 8a5 b4 ÷ 4a4 b2 Iniciamos dividiendo los coeficientes 1÷1 = 1 Continuamos dividiendo los subradicales 8a5 b4 ÷ 4a4 b2 = 2ab2 Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice √ 5 1 2ab2 Por último, simplificamos el radical resultante √ √ 5 5 1 2ab2 = 2ab2 Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ 5 5 5 8a5 b4 ÷ 4a4 b2 = 2ab2  

Ejemplo 1.35 — División de Radicales. Realice la siguiente división

√ √ 7 7 243a8 b5 c10 ÷ 81a6 b4 c8 Iniciamos dividiendo los coeficientes 1÷1 = 1 Continuamos dividiendo los subradicales 243a8 b5 c10 ÷ 81a6 b4 c8 = 3a2 b1 c2 Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice √ 7 1 3a2 b1 c2 Por último, simplificamos el radical resultante √ √ 7 7 1 3a2 b1 c2 = 3a2 bc2 Por tanto, el resultado de la operación sería √ √ √ 7 7 7 243a8 b5 c10 ÷ 81a6 b4 c8 = 3a2 bc2 

1.5 Operaciones con Números Reales 

41

Ejemplo 1.36 — División de Radicales. Realice la siguiente división

320m8 c6

p √ 10 20m100 c18 b5 ÷ 160m7 c7 10m89 c19 b12

10

Iniciamos dividiendo los coeficientes

320m8 c6 ÷ 160m7 c7 =

2m1 c1

Continuamos dividiendo los subradicales

20m100 c18 b5 ÷ 10m89 c19 b12 =

2m11 c1 b7

Los resultados obtenidos se colocan en el lugar respectivo, manteniendo el índice

2m1 c1

r

10

2m11 c1 b7

Por último, simplificamos el radical resultante

2m1 c1

r

10

2m11 2m2 = c1 b7 c

r

10

2m cb7

Por tanto, el resultado de la operación sería

p √ 2m2 10 320m8 c6 20m100 c18 b5 ÷ 160m7 c7 10m89 c19 b12 = c 10

Ejercicio 1.11

r

10

2m cb7

Efectúe cada una de las siguientes divisiones de radicales homogéneos.



Números Reales

42

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

p √ 3 3 16a5 b10 ÷ 8a2 b8 √ √ 5 5 15a8 b9 ÷ 3a3 b7 c8 √ √ 4 4 24a4 b8 c9 ÷ 8a3 b7 c8 √ √ 5 5 256a4 b17 c8 ÷ 16a8 b9 c12 p p 3 5 2 5 3 5 7 6 8m 2a b ÷ 2m a b √ √ 7 7 15m3 a8 54m4 a7 ÷ 5m4 a7 27m3 a9 √ √ 8 8 18m4 a9 b8 m19 c20 ÷ 9m4 a8 b9 m17 c22 p √ 6 6 25a4 b8 c15 m20 c4 ÷ 25a4 b9 c14 m18 c6 r r 4a2 3 3a8 3a4 3 3a2 ÷ b b b5 b6 r r 3a4 5 a4 x7 c3 5 a3 x2 ÷ c c2 a c4 √ √ 3 3 48 ÷ 6

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

p p 5 −32x6 y8 ÷ 5 243xy3 p p 60x2 y7 ÷ 15x5 y5  p    2y 3 6 y √ 3 3 x ÷ a 3 3a2  √  √
18 a3 ÷ 6 a p p 45x5 y4 a ÷ 48ab4 c5 p p 75x2 y3 ÷ 12x4 y6 p p 20a3 b5 ÷ 45x2 y6 p √ 3 3 −54x4 ÷ 16 p √ 3 3 125a2 b ÷ a5 b7 p √ 3 3 108a6 ÷ 4a3 p p 3 3 a4k+5 bk+2 ÷ ak+2 b7k+5



1.5 Operaciones con Números Reales

43

Operaciones combinadas con radicales

Corresponde a las operaciones que presentan símbolos de agrupación y las cuatro operaciones básicas, suma, resta, multiplicación y división de radicales y para resolverlas se deben realizar primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha y luego las sumas y restas, reduciendo el radical resultando al máximo. 

Ejemplo 1.37 — Operaciones Combinadas con Radicales. Realice la siguiente operación

combinada

√  √ √ 3 3 a2 3 a + 2 a2

Iniciamos realizando la multiplicación

√ √ √ √ 3 3 3 a2 · 3 a + a2 · 2 a2 √ √ 3 3 a3 + 2 a4 √ a + 2a 3 a Por tanto, el resultado de la operación sería

√  √ √ √ 3 3 a2 3 a + 2 a2 = a + 2a 3 a 



Ejemplo 1.38 — Operaciones Combinadas con Radicales. Realice la siguiente operación

combinada

p √ p  3 4 q3 4 q − 5 4 q2

Iniciamos realizando la multiplicación

p √ p p 3 4 q3 · 4 q − 3 4 q3 · 5 4 q2 p p 3 4 q4 − 15 4 q5 √ 3q − 15q 4 q Por tanto, el resultado de la operación sería

p √ p  √ 3 4 q3 4 q − 5 4 q2 = 3q − 15q 4 q



Números Reales

44 

Ejemplo 1.39 — Operaciones Combinadas con Radicales. Realice la siguiente operación

combinada

p p √ √ 8 4 8 4 2u3 · 3u5 − 12u16 d 4 ÷ 2u2 d 4

Iniciamos realizando la multiplicación

p p √ 8 4 8 2u3 · 3u5 − 12u16 d 4 ÷ 2u2 d 4 p √ √ 8 8 4 6u8 − 12u16 d 4 ÷ 2u2 d 4

A continuación realizamos la división

p √ 4 8 6u8 − 12u16 d 4 ÷ 2u2 d 4 √ √ 4 8 6u8 − 6u14

Al final simplificamos el resultado

√ √ 4 8 6u8 − 6u14 p √ 8 4 u2 6 − u 6u6

Por tanto, el resultado de la operación sería

p p p √ √ √ 8 4 8 8 4 4 2u3 · 3u5 − 12u16 d 4 ÷ 2u2 d 4 = u2 6 − u 6u6 



Ejemplo 1.40 — Operaciones Combinadas con Radicales. Realice la siguiente operación

combinada

p √ √ √ 5 5 3 3 20u13 ÷ 10u8 − 3u2 d 4 · 9u2 d 2

Iniciamos realizando la división

p p √ 3 3 5 20u13 ÷ 10u8 − 3u2 d 4 · 9u2 d 2 p p √ 5 3 3 2u5 − 3u2 d 4 · 9u2 d 2

A continuación realizamos la multiplicación

Al final simplificamos el resultado

p p 5 3 2u5 − 3u2 d 4 · 9u2 d 2 p p 5 3 5 2u − 27u4 d 6 √ √ 5 u 2 − 3ud 2 3 u

1.5 Operaciones con Números Reales

45

Por tanto, el resultado de la operación sería

p √ √ √ √ √ 5 5 3 3 5 13 8 2 4 20u ÷ 10u − 3u d · 9u2 d 2 = u 2 − 3ud 2 3 u 



Ejemplo 1.41 — Operaciones Combinadas con Radicales. Realice la siguiente operación

combinada

√  √  √ √ 3 3 3 3 u2 − k u2 + k

Iniciamos realizando la multiplicación, aplicando propiedad distributiva

√  √  √ √ 3 3 3 3 u2 − k u2 + k  √ √  √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 2 2 2 u u + k − k u + k √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 u2 · u2 + u2 · k − k · u2 + − k · k √ √ √ √ 3 3 3 3 u4 + u2 k − u2 k − k2 A continuación, realizamos la resta

√ √ √ √ 3 3 3 3 u4 + u2 k − u2 k − k2 √ √ √ 3 3 3 u4 + 0 u2 k − k2 √ √ 3 3 u4 − k2 Al final simplificamos el resultado

√ √ 3 3 u4 − k2 √ √ 3 u 3 u − k2 Por tanto, el resultado de la operación sería

√  √  √ √ √ √ 3 3 3 3 3 u2 − k u2 + k = u 3 u − k2 



Ejemplo 1.42 — Operaciones Combinadas con Radicales. Realice la siguiente operación

combinada

√ √  √  √ 3x − 2w 2w + 3x

Números Reales

46 Iniciamos realizando la multiplicación, aplicando propiedad distributiva

√ √ √  √ √ √  3x 2w + 3x − 2w 2w + 3x √ √ √ √ √ √ √ √ 3x · 2w + 3x · 3x − 2w · 2w + − 2w · 3x p √ √ √ 6wx + 9x2 − 4w2 − 6wx

A continuación, realizamos la resta

p √ √ √ 6wx + 9x2 − 4w2 − 6wx p √ √ 0 6wx + 9x2 − 4w2 p √ 9x2 − 4w2

Al final simplificamos el resultado

3x − 2w Por tanto, el resultado de la operación sería

√ √  √  √ 3x − 2w 2w + 3x = 3x − 2w

Ejercicio 1.12

Resuelva cada una de las siguientes operaciones combinadas y reduzca el resultado al máximo.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

 √  √ √ 3 3 3 2a 3a 2a2 − ab  √  √ √ 4 4 4 3m2 2a4 2m 2a3 − 2a   √ √ √ 5 5 5 3ab3 ab3 2ab b3 − 4a3 b ab4   p √ √ 3 3 3 5a2 b3 a2 b4 3a4 b5 ab3 + 12ab5 ab5  √ √  √ √  3 2a − 4 3b 3 2a + 4 3b  √  √  √ √ 3 3 5 4b − 6 2b 6 2b + 5 4b  √ √   3√ √  2 3 2 3a 2ba − 5a 2ab 5a 2ba + 3a 2ab  √ √  √ √  4a 2c − 3ab 3c 4a 2c + 3ab 3c  p  √ √ −3 2ab4 2 xy9 + 20a4 b8



1.5 Operaciones con Números Reales

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

1.5.3

√ √  √ √  5+ 6 5− 6 √  √
3+3 x−3 √ √
√ √
x+ y x− y  √ √  √ √  3 b−2 a 5 b+ a  √ √  √ √  2 3− 2 2 3+ 2  √ √  √ 2 12 + 4 18 ÷ 3 √ √ 2x − 3 · 4x + 5  √ 2 2 7−5 √ √ √
√ √ √
x − 2 xy + y x + 2 xy − y

47

√ 2 z−2+2 p  √ √ 4 4 4 20. 4ab2 2a5 b6 + 5a9 b2 19.

 q 2 √ √ 21. 3 6 · 3 22. 23. 24.

2   √ √ 2 5 2−4 − 3− 2 √ √ 2 2a + 3 + 2a

2 √ √ a − 4 + 3a − 2



Sistema Internacional de Unidades

Las unidades de medida es el término dado para describir el tipo de medida que se está realizando. Por ejemplo, en los Estados Unidos se utilizan las libras para describir el peso y los pies y pulgadas para describir la longitud. Debemos reconocer cuatro grandes grupos de medidas, las de longitud, las de masa, las de temperatura y las de tiempo. La masa se considera una cantidad base del SI y se representa por la unidad kilogramos (kg). La longitud y distancia también es una cantidad base del SI cuya unidad es el metro (m). La temperatura tiene como unidad base el kelvin (K) – nombrado así en honor a William Thomson Baron Kelvin, y la unidad es el grado. Está se basa en el cero absoluto (0K), la temperatura mas baja en cualquier sistema microscópico. Por último, el tiempo se mide en segundos. A continuación vamos a definir los prefijos decimales y exponentes de expresiones del Sistema Internacional.

Números Reales

48 Decimal 1000000000000000000000000 1000000000000000000000 1000000000000000000 1000000000000000 1000000000000 1000000000 1000000 1000 100 10 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 000001 0, 000000001 0, 000000000001 0, 000000000000001 0, 000000000000000001 0, 000000000000000000001 0, 000000000000000000000001 Ejercicio 1.13

Prefijo yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca – deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Longitud yottametro zettametro exametro petametro terametro gigametro megametro kilometro hectometro decametro metro decimetro centimetro milimetro micrometro nanometro picometro femtometro attometro zeptometro yoctometro

Masa yottagramo zettagramo exagramo petagramo teragramo gigagramo megagramo kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo microgramo nanogramo picogramo femtogramo attogramo zeptogramo yoctogramo

Convertir las unidades de medida a las unidades indicadas.

1. 3000m =

km

2. 2cm =

mm

3. 2km =

m

4. 500cm = 5. 9m =

Exponencial 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

m cm

6. 8cm =

mm

7. 9cm =

mm

8. 3m =

cm

9. 6km =

m

10. 10m =

cm

13. 10cm =

mm

14. 9000m =

km

15. 200cm =

m

16. 800cm =

m

17. 5000m =

km

18. 4km =

m

19. 6cm =

mm

20. 4cm =

mm

21. 4000ml =

11. 50mm =

cm

12. 8000m =

km

L

22. 7000g =

kg

23. 6L =

ml

24. 7L =

ml

1.5 Operaciones con Números Reales 25. 1000ml =

L

26. 10kg = 27. 3L =

g ml

28. 1000g =

dg

54. 8000cg =

dag

55. 4900cg =

dag

56. 6g =

dg

L

57. 6g =

cg

58. 10dg =

g

31. 5000ml =

L

32. 9000g =

53. 8, 2dag =

kg

29. 9000ml = 30. 4kg =

49

59. 29dag = 60. 7, 3g =

kg

cg hg dg

33. 2kg =

g

61. 6, 4dg =

34. 8kg =

g

62. 3, 2g =

cg

35. 6kg =

g

63. 5dag =

cg

36. 5000g = 37. 3kg =

39. 2L =

g L

L

dam

66. 6, 9hm =

dam mm

68. 2700mm = 69. 62dm =

cg

dam

65. 630dm =

67. 9cm =

ml

40. 10000ml = 41. 7, 7g =

64. 4000cm =

kg

38. 8000ml =

cg

m m

42. 9, 6dg =

mg

70. 1000cm =

m

43. 400cg =

g

71. 42dam =

hm

44. 2, 4g =

mg

72. 1, 8dam =

cm

73. 6, 3dam =

cm

74. 6, 1dam =

cm

45. 9g =

cg

46. 500dg =

dag

47. 1, 6dag =

dg

48. 100dg =

dag

49. 8g =

dg

50. 1000cm = 51. 5, 9hm = 52. 1dm =

dam dam cm

75. 20dm = 76. 1300dm =

m hm

77. 860m =

hm

78. 160m =

hm

79. 87cm =

dm

80. 360dm =

dam

50

Números Reales 81. Los ácaros son causantes de algunas enfermedades como alergias, sarna y demás. Un ácaro tiene una longitud de 28 µ m. Si se hace una fila con ácaros, ¿Cuántos se requieren para abarcar 10 cm? 82. Un disco duro posee una capacidad de 200Gb, si desease hacer una backup de todos mis archivos, ¿cuántos DVD de 4, 5Gb se necesitan para hacerlo? Si en vez de DVD utilizo CD de 700Mb, ¿cuántos necesito? 83. Un átomo de oxigeno pesa aproximadamente 0, 00000000000000000000002656 gramos, exprese este peso con ayuda del prefijo “yocto”. 84. Luis Antonio compró una llave maya con 8Gb de memoria. Su padre le indica que originalmente estos dispositivos no existían, es mas los diskettes eran los únicos medios ópticos para transportar información, y cada uno tenía una capacidad de 1, 44Mb ¿Cuántos diskettes equivale una llave maya como la que compró Luis Antonio? 85. Nuestro planeta Tierra tiene un peso de 6 yottagramos. Mientras que la luna pesa 73500000000000000000000 . ¿cuántas veces es mas pesada la Tierra que la luna? 

ore

5

ship s of a

ndard Know and d the orem and se it to the right engths of ts and, in empirically orean t

4 Make res by ive and ng.

abulary

2 — Teorema de Pitágoras

Geometry Lab

The Pythagorean Theorem

Por cuatrocientos años, los antiguos utilizaron la Step 5 Egipcios State the Pythagorean Theorem. matemáticas para trazar sus campos con esquinas compleFour thousand years ago, the ancient Egyptians tamente perpendiculares. Tomaron una pieza de cuerda y CThe Pythagorean used mathematics to laya igual out distancia. their fields withTheorem formaron doce nudos espaciados Tomando tres estacas, estiraban la cuerda alrededor lastriangle, estacas and square corners. They took a piece of rope In ade right the sum of the squares of the 5 lengths of the legs equals the para formar un triángulo rectángulo. Los lados del triángulo square of the length of the hypotenuse. If a and b are the lengths of the legs, 4 knotted it into 12 equal spaces. Taking three ? . a2 ! b2 " c2 tenían una longitud de 3, 4 y 5 “nudos”. and c is the length of the hypotenuse, then "

stakes, they stretched the rope around the stakes to form a right triangle. The sides of the triangle had lengths of 3, 4, and 5 units.

3

History H

Pitágoras de Samos (569 – 475 A.C.), presentado a la izquierda, es comúnmente descrito como “el primer matemático puro”. Samos Pythagoras of Samos (ca. 569–475 B.C.E.), era un centro comercial importante de la antigua Grecia, localizado depicted in this statue, is often described as BrainPOP®en ca.gr7math.com la isla que lleva el mismo nombre en el Mar Ageo. El antiguo “the first pure mathematician.” Samos was a Samos ahora no es mas que ruinas. principal commercial center of Greece and is On centimeterDe grid paper, draw a thelosAegean located on the island of ninguno Samos inde manera misteriosa, escritos de Pitágoras existen, Theatancient town of su Samos lies in una sociedad matemática ySea. sabemos muy de vida.now El fundó triangle as shown thepoco right. ruins, as shown in the photo at right. en Croto, en lo que hoy es Italia, cuyos miembros descubrieron los Cut out the triangle. números irracionales y los cinco sólidos Probaron lo que Mysteriously, none of Pythagoras’s writingsregulares. still hoy el Teorema Pitágoras, fue descubierto y exist,llamamos and we know very littledeabout his life.aunque He usado 1000 años anteslongest por los Chinos y Babilonios; y por supuesto founded a of mathematical society in Croton, in Measure the length the los antiguos Egipcios caso especial denumbers este teorema. what is now Italy, whoseutilizaron members un discovered irrational and the five side in centimeters. In this case, regular solids. They proved what is now called the Pythagorean Theorem, although it was discovered and used 1000 years earlier by the Chinese and it is 5 centimeters. Babylonians. Some math historians believe that the ancient Egyptians also used a special case of this property to construct right angles.

Cut out three squares: one with 3 centimeters on a side, one with A theorem is a and conjecture 4 centimeters on a side, onethat has been proved. Demonstrations like the one in the investigation are the first step toward proving the Pythagorean Theorem. with 5 centimeters on a side. Believe it or not, there are more than 200 proofs of the Pythagorean Theorem. Elisha Scott Loomis’s Pythagorean Proposition, first published in 1927, contains

Profr. EfraínTeorema Soto Apolinar. de Pitágoras

52

AD Dos técnicos en telecomunicaciones instalan una torre de 10m de altura y necesitan asegurar la Teorema de9mPitágoras torre con tres cables o tirantes que se sujetarán de la torre a una altura de y en el piso, a 4m de la base de la torre. ¿Podrán tender los tres cables con 25m?

A 30m de donde están situados, hay unadeantigua torre quemás será importantes sustituida por es otraelsimilar a lade Pitágoras porque se ap En geometría, uno los teoremas teorema primera. Si uno demuy los técnicos coloca un lápiz de 12cm a una distancia de 25cm respecto de frecuentemente para resolver problemas. sus ojos, el lápiz cubre completamente la imagen de la torre. Con simple cálculo el técnico le dice a su compañeroEnque la vieja torre esrectángulo más alta queque la que está colocando. ¿Es posible todo triángulo se ellos encuentra en un plano, la suma de los cuadrados de l que este cálculo sealongitudes correcto o sólo es un invento? de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Algebraicamente, si a y b son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y c es longitud de su hipotenusa, entonces se cumple: Teorema 2.1 — Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo que se encuentra en un plano, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos c2 =esa2igual + b2 al cuadrado de la

longitud de la hipotenusa. Algebraicamente, si a y b son las longitudes de los catetos del triángulo Profr. Efraín Soto Apolinar. Para demostrarlo consideramos rectángulo y c es la longitud de su hipotenusa, entonces el sesiguiente cumple: triángulo: El área de este cuadrado es: a2 + b2 + 2 ab. Comparando las áreas de las dos figuras, obtenemos:

c2 = a2 + b2

2

2

c

b

2

a + b + 2 ab = c + 2 ab

Al restar 2 ab en ambos lados de la igualdad obtenemos: a2 + b2 = c2 , que a es lo que establece el teorema. El teorema de Pitágoras puede servir para calcular la longitudfiguras de unoutilizando de los catetos de un triánEmpezamos creando las siguientes el triángulo considerado:  Ejemplo 2.1 — Teorema de Pitágoras. Calcule la longitud del lado faltante del siguiente gulo rectángulo, cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto.

triángulo rectángulo.

b a Calcula la longitud del lado faltante del siguiente triángulo rectángulo:

a

Ejemplo 1

c

c

13

b x

ab

a2

a

b2

ab

b

b

a

c

c

12

Aplicamos el teorema de pitágorasbpara calcular el valor de “x”. Identificamos el cateto mide 12 ypara la hipotenusa • Aplicamos elque teorema de pitágoras calcular el13valor de x. Debemos determinar el valor del cateto b = x, armamos la ecuación • Nosotros conocemos: a = 12, y c = 13. a b a2 + b2

c2

a

x2

= de b = x: = 25 • Debemos determinar el valor En las dos figuras tenemos un cuadrado de lado a + √b. p 2 122Observa + x2 = 25 inclinado en medio. que cuadrado a2 13 + b2 en = cla2 figura )de la bizquierda = c2 hay a2 unx = Este 2es un cuadrado porque de los tres ángulos del triángulo rectángulo los dos agudos sum 144 + .x = 169 x=5 • Ahora sustituimos los90valores conocidos: Observa que los tres ángulos que están en cada esquina de la figura de enmedio suman 180 q144 x2 = 169 − p p 2 =dos169 que siempre ángulos agudos b= (13)2están (5)los 25 = 144 del = 12triángulo rectángulo, que suman 90 . Luego, el ángulo interno del cuadrilátero que está dentro de la figura de la izquerda mide 9 Por tanto, la longitud del cateto es 12. porque la suma de los tres es 180 . • Entonces, la longitud del cateto es 12 unidades. Entonces, el área de este cuadrado es c2 , porque su lado mide c unidades.  Por otra parte, cada triángulo que queda alrededor del cuadrado tiene un área de ab/2, y en to son cuatro. Entonces, el área de los cuatro triángulos es: 2 ab. El teorema de Pitágoras está de de manera que parece queun se cuadrado desea calcular la longitud de de la lado a + b. Enescrito la figura la derecha, tenemos que tiene longitud hipotenusa: Ejemplo 2

Calcula la longitud de la hipotenusa del triángulo con longitudes de catetos 21 cm y 20 cm, www.aprendematematicas.org.mx respectivamente.

Profr. Efraín Soto Apolinar.

53 

Ejemplo 2.2 — Teorema de Pitágoras. Calcule la longitud de la hipotenusa del triángulo con

longitudes de catetos 21 cm y 20 cm, respectivamente. Aplicamos el teorema de pitágoras para calcular el valor de la hipotenusa. 9 Identificamos que el cateto a mide 21 cm y el2cateto b mide 20 20 cm Debemos determinar el valor de la hipotenusa c = x, armamos la ecuación a2 + b2 = c2 212 + 202 = x2

841 = x2 √ 841 = x

21

441 + 400 = x2

29 = x

Igualmente, el teorema de Pitágoras se puede utilizar par verificar que las longitudes de los lados

Por la longitud de la hipotenusa es 29 cm. detanto, un triángulo correspondan a un triángulo rectángulo.

El profesor indicó que un triángulo rectángulo tenía sus lados con medidas: 77 cm, 36 cm y 85 cm. Verifica que se trata de un triángulo rectángulo.



Ejemplo 3

Ejemplo 2.3 — Teorema de Pitágoras. El profesor indicó que un triángulo rectángulo tenía sus lados con medidas: 77 cm, 36 cm y 85 cm. Verifica que se trata de un triángulo rectángulo. 

• Si el triángulo es rectángulo, debe satisfacer el teorema de Pitagoras.

Si el triángulo es rectángulo, debe satisfacer el teorema de Pitágoras. • Observa que la hipotenusa siempre es el lado de mayor longitud. Observamos que la hipotenusa siempre es el lado de mayor longitud. • En este caso, la hipotenusa 85 cm. En este caso, la hipotenusa midemide 85 cm Verificamos si se si trata de un rectángulo • Verificamos se trata detriángulo un triángulo rectángulo: a2 + b2 = c2

c2

= a2 + b2

5929 + 1296 = 7225

?

(85)2 = (77)2 + (36)2 772 + 362 = 8527225 = 5929 + 1296

7225 = 7225

3

Como• Como las longitudes de los del triángulo satisfacen setrata trata de un las longitudes delados los lados del triángulo satisfacenelelteorema teoremade de Pitágoras, Pitágoras, se de un triángulo rectángulo. triángulo rectángulo. 

No siempre obtendremos longitudes de lados del triángulo rectángulo con números enteros.



Ejemplo 2.4 — Teorema de Pitágoras. Calcule la longitud de la hipotenusa del siguiente Algunas veces obtendremos números raciones e inclusive números irracionales.

triángulo rectángulo.

Calcula la longitud de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo:

c

Ejemplo 4

4

7

Aplicamos el teorema de pitágoras para calcular el valor de “c”. Identificamos que el primer cateto mide 4 y que el segundo cateto mide 7 www.aprendematematicas.org.mx

3/6

• Trazamos la diagonal de ese rectángulo. p • La diagonal mide 5, porque: r ⇣ p ⌘2 ⇣ p ⌘2 p p D= 3 + 2 = 3+2 = 5

p 5

p

2

p 3 de Pitágoras Teorema

54

Debemos determinar el valor de la hipotenusa c= x, armamos la ecuación Muchos problemas aplicados requieren del uso del teorema de Pitágoras. Al igual que en el caso de2 problemas aplicados, otras ramas de la matemática utilizan muy frea Pitágoras + b2 = c2 para resolver problemas. 65 = x2 cuentemente el teorema de

√

Por ejemplo, para calcular a utilizar 72la + distancia 42 = x2 entre dos puntos en geometría analítica, 65 = vamos x una fórmula que consiste en la aplicación del teorema de Pitágoras. √

49 + 16 = x2

x=

65 ≈ 8.062257748

En cálculo diferencial e integral, en trigonometría, etc., y en muchas diferentes situaciones vamos a necesitar aplicar este teorema para resolver problemas diversos.

Por tanto, la longitud de la hipotenusa es 8.062257748.

A un poste del cableado eléctrico se le colocará un cable tensor de acero para darle soporte. La  altura a la cual se colocará este cable de acero es de 3.5 metros y se fijará a 1.25 metros de la Ejemplo 6 base del poste. ¿Qué longitud tendrá el cable? (Omite el cable requerido para fijarlo)  Ejemplo 2.5 — Teorema de Pitágoras. A un poste del cableado eléctrico se le colocará un

cable tensor de acero para darle soporte. La altura a la cual se colocará este cable de acero es de 3.5 metros y se fijará a 1.25 metros de la base del poste. ¿Qué longitud tendrá el cable?

3.5

c

Poste

Cab

le

• Nosotros tenemos la siguiente situación:

1.5 • Necesitamos calcular la hipotenusa del triangulo dibujado a la derecha.

Necesitamos calcular la hipotenusa del triángulo dibujado a la derecha. Aplicamos, el teorema de pitágoras www.aprendematematicas.org.mx

a2 + b2 = c2

14.5 = x2 √ 14.5 = x

3.52 + 1.52 = x2 12.25 + 2.25 = x2

5/6

x=

√ 14.5 ≈ 3.807886553

Por tanto, la longitud del cable debe ser 3.807886553. 

EXERCISES

XERCISES EEXERCISES

55

In Exercises 1–11, find are eachinmissing length. All measu ! InExercises Exercises1–11, 1–11,find findeach eachmissing missing length. Allmeasurements measurements centimeters. Give ! In length. All are in centimeters. Give ! 1. En los siguientes ejercicios, encuentre to cada faltante. Todas las medidas están approximate answers accurate to en the nearest tenth of a approximate answers accurate thelongitud nearest tenth of a centimeter.

Ejercicio 2.1

Aplique el teorema de Pitágoras en cada caso para encontrar lo que se solicita.

approximate answers accurate to the utilizando nearest tenth of a centimeter. centímetros. Dé las respuestas aproximadas dos decimales. ?19.2 12cm cm a !? " ? 12 cm 2.c1. c! ! (a)1.1. aa =a!! ?" " ? (b) c ≈ 12 cm 19.2 cm 2. " "

EEXERCISES XERCISES

13 13

? cm 19.2 2. c ! ? " 5.3 ?" 5.3 cm 3.3.a a!!"

13

a BUILDING 15 ERCISES 12 a B CISES 12 5 15 12 InInExercises 1–11, find each missing length. All measurements are in centimeters. Give ! UNDERSTANDING Exercises 1–11, find each missing length. All measurements are in centimeters. Give !approximate UND UNDE a measurements are in centimeters. Giveanswers accurate to the nearest tenth of a centimeter. 5

5

a accurate cises 1–11, each missing length. measurements inthe centimeters. Giveof ac centimeter. c es 1–11, findfind each missing length. All All measurements are are intocentimeters. 8 approximate answers nearestGive tenth a 8 nth of a centimeter. imate answers accurate to the nearest tenth of a centimeter. ate answers accurate to the nearest tenth students have solved ? ? 12ofcma centimeter. ?After ?After 5.3 1.1.a ! 2.(d) c! 3.3.asome ! After stu d! ≈ stude ??19.2 ?! " " " ?26cm ?cm 1210cm 19.2 cmcm cm a ! 2.5. c4. ac5. ! 10 26 d ! s" ? ? 5.3 cm cm 8.5cc 4. d ! s ! 6. ! " " " " (c) a ≈ ? ? " " " ? ? ? 19.2 cm 5.3 cm 3. a ! ? ? ? exercises, you may want to have 10 cm 26 cm 8.5 cm 4. d ! 5. s ! 6. c ! 12 cm ! ! ! exercise ? " ? " ?"" " 12 cm 19.219.2 cm cm 5.3 5.3 cm cm 2. 2. c !c" 3. 3. a !a " " " exercises, y " " 8 8 5

131513 c a

10 6 6

d 24

1.5

3.9 25 25 b1.5b

s s c d sd s

6

8

7

7

9

5

5

d

6

c

10 10 6

ASSIGNING HOMEWORK 8 24

s

8

6 7

8 8 ? 3.5 cm 10.s s!! ?" 3.5 cm 10. 7 " 7 xx x

c

8

7.7.b 9. The circle. ?is a3.6 cm ! ? " 3.6 cm x=!xbase (g)8.b 8. " ? 40 cm x!" 8

s

6

? ? 26 cm 24 5.5.s ! " s ! Essential 1–16 "? 26 cm cc≈! 8.5 6. ?3.6 ? cmcm 7. b ! 8.524 cm 6.(f) c8.! ? " cm x ! " " ?"s3.6 cm 8. x ! Portfolio 17, 18 " s

25 242524 ? ? 24 cm b ! 24 cmb b !""

cmcm ?3.6cm 24 ! ?? " " 24 " 8

6

? ? 10 cm 4.4.d d!!" 10 cm ??" ? 8 8.5 (e) s = cm 6. 26cm cm s ! " 26 cm 5.7.c5. s! ! ? " 24 8 " ? 24 cm 7. b b!!" "

s

several groups report on how s15 15 them. s a they solved s a 6

12 12

6

15 d15 ad a 8c c

a

8

d

a

12 12

cm ?26 cm 10 cm ! ?? " " 10 " 8 s

5

13 8 13

3.9 41253.9 25 b b

1.5 1.5 1.5 1.5 ? s cm ! ? s3.5 3.5 cm s !""

6

10 10

6

6

7

Journalc

s

1018 17, 8 10

c

Group 24 x

x

Review

3.9 243.9

18 7 25

19–22

6

6

a severals g several gro a they c sol they c solved 8

8 ASSIGNI ASSIGNING

? ? 8.58.5 cmcm 6.6.c ! c !"" Essential ?is a3.6 8. Essential xbase !" The circ 9.9.The base is a circ ? Portfolio 40 cm Portfolio ?" x x!!" c 40 cm c 6 6

Journal Journal Group x Group 41 x

x

41

Review Review

b ? ? 3.6 cm 8.(h) 9.9.The 3.6 cm 1.5 8.x ! xx = !"" Thebase baseis isa circle a circ 9 cmcm x! base a1.5circle. 9? ? 40 1.5 | 1.5 9. 9. TheThe base is aiscircle. 40 x !" | |" 1.5 ? 40 cm ! ?! 40 cm x !x " Helping with the Exercises ! ! " Help Helping ? 3.5 ? s !? " 11. r ! " 13cm cm 11.10. 3.9 ?" ] 13 Alert As needed, remind cm 11. r r!x![" [ Alert ] y An 3.9 41 As y x x[Alert] 41

9

y x students students that the hypotenuse is students th 41 41(5, 12) x x (5, 12) always the longest side and is always always thert 5r1.5 9 r 1.5 9 opposite the right angle. opposite 1.5 opposite th 91.5 x x (0, 0) (0, 0) Exercise 4 Students s13 cm ?

(0, 0)

might wonderExercise Exercise 4 S4 10. s 11. r ! ? " cm 10. 11. r ! why triangle is a rightwhy why " y the13upper thethe up ? ? 3.5 13cm cm ? 13 cm 13 cm ! 11. r! ? " y 3.5 cm 11. r ! " " triangle. [ Ask “What kind of ] " y " triangle. triangle. [A (5, 12) y y (5, 12)feet. 12. A baseball infield isToa square, each side measuring 12. A baseball infield is a square, each side measuring 90 the figure is the quadrilateral? Do figure isb Second (5, 12) 12. A baseball infield a square, each side measuring 90 what feet. To the distance fromfigure isplate th (5,is12) r foot, Second 12) 5 foot,(5, nearest is the home nearest what is the distance from home plate to second base? r 5 youplate see to congruent triangles?” youyou nearest foot, what is the distance from home second base? r seesee con 127 ft r r x 5 5 127 ft x square measures 32 meters. Wh (0, 0) 13. The diagonal of a 13.The Thediagonal diagonalofofa asquare square measures 32 meters. What isthe the]area area of students (0, 0) x Exercise 7 is[Alert Some 13. What Exercise x 2x measures 32 meters. 2of Exercise 7 [7 (0, 0) 512 m the square? (0, 0) ssquare? 512 m thesquare? (0,s 0) may want to use the measure 8, may 512 m2 the may wan want t s s 2 14.a square What thenot length of64 thecm of a square wh whichiswhose is needed indiagonal the which is ? 14. What is the length of the diagonal of area is which is no 14. What is the length of the diagonal of a square whose area is 64 cm2? 11.3 cm 12. A baseball infield is a square, each side measuring 90 feet. To the calculation. Second bas calculati 12. A baseball infield is a square, each side measuring 90offeet. To thecm 11.3 calculation Second ba 15. The lengths the three sides of a right triangle 15. The lengths of the three sides of a right triangle are consecutive easuring 90 feet. To the nearest foot, what is the distance from home plate to second base? baseball infield a square, each side measuring 90is feet. theof afrom Second 15. The lengths ofwhat the three sides righthome triangle are consecutive eball infield is aissquare, each side measuring 90base feet. To To the Second nearest foot, the distance plate to second base? Second base 4, 5 having Exercise 1 integers. Find them. 127 ft ft3,are Exercise 10 Ifbase students 3,base? 4, 5 integers. Find them. me plate to second base? arest foot, what is the distance from home plate to second 127 Exercise 10 p 3, 4, 5 integers. Findtothem. Home st foot, what is the 127 distance from home plate second base? Home pl ft 13. The diagonal of a square127 meters. What thethearea 127 difficulty, ask what shape the ft ft 3232 13. The diagonal of a squaremeasures measures meters. Whatis is areaofof difficult

Portfolio

s s

s

ds EXERCISES 6

10

6

6

10

c

are in centimeters. Give ! In Exercises 1–11, find each missing length. All measurements24 ? 12 cm 1. a ! "

? 24 cm " ? 3.65 cm "

56

?es un 3.6círculo cm 8. La x base !" (i)

13

8

? 19.2 cm 2. c ! "

? 5.3 cm 3. a ! "

9. 12The base is a circle. xx=! ? 40 cm "c

a

? 10 cm 4. d ! "

? 26 cm 5. s ! "

3.9

8

? 6. c ! "

UNDERSTANDING b

18

After students have solved some

demay Pitágoras Review Teorema exercises,19–22 you want to have

Group Review 1.5

several groups report on how 9. The base is a circle. | 6 ? cm3.5they ? cmsolved them. 1 s?|! 40 11. r! !" x10. ! (j) s ≈" " Helping

a

15

Journal x

7 17, 18 25 BUILDING

c

Journal Group

approximate answers accurate to the nearest tenth of a centimeter.

24

17, 18

8.5 cm

! Helping ASSIGNING withHOMEWORK the Exercises Essential

1–16

[Alert]415 AsPortfolio needed,17,remind 18

y

[Alert] As n

r students th students that the hypotenuse is 41 Journal 17, 18 always the x s c 6 10 d (0, 0) 6 always the b Grouplongest18side and is opposite th 1.5 9 opposite 24 s the right angle. Review 19–22 1.5 9 1.5 Exercise 4 S 1.5 7. b ! ? 24 cm ? 3.6 cm 8. x ! " 9. The base is a circle. " Exercise 4 Students might wonder ? 40 cm x!" why the up ! (k) r r=! ? Helpingiswith the Exercises 12. Awhy baseball infield a square, each side measuring 3.5 cm 13 cm 11. "? " the upper triangle is a right 8 [A 13 cm nearest foot, what is the distance fromtriangle. home plate [Alert remind ] As needed, y " 3.9 triangle. [ Ask “What kind of ] 7 x students that the hypotenuse is 41 y figure is th x (5, 12) 25 always the longest side and is figure is the quadrilateral? Do 13. The diagonal of a square measures 32 meters. (5, 12) b you see Wh con opposite the right angle. 2 5 1.5 r 9 512 m triangles?” the square? you see congruent 1.5 r Exercise 4 Students might wonder x Exercise 7 [A why the upper triangle is a rightof a square who (0, 0) 14. What is the length ofSome the diagonal ? 3.5 cm x ? 13 cm 10. s ! " 11. r ! " Exercise 7 students [ Alert ] may want t triangle. [Ask] “What kind of (0, 0) y s may want to use the measure 8, figure is the quadrilateral? Do (5, 12) which is no 15. The lengthsyouofseethe three sides of a right triangle a congruent triangles?” r 5 which is notthem. needed in4,the 3, 5 integers. Find calculation x Exercise 7 [Alert] Some students (0,de 0) Béisbol es eball infield is a square,2.each side measuring 90unfeet. To thecada lado con unacalculation. Un campo cuadrado, longitud de 90 pies. AproximadaSecondmay basewant to use the measure 8, easuring 90s feet. Todistance the mente, rectangular 6 meters a diagona Exercise 10 laSecond distancia desdebase? “home plate” 16. hastaA “second base”? t foot, what is the from¿Cuál homeesplate tobase second whichgarden is not needed in the wide has Exercise 10 If students are having 127 ft me plate to second base? 28 m 10 meters. calculation. Find the perimeter of the garden. difficulty, a 12. A baseball infield is127 ameasures square, measuring 90 feet. Tois thethe area of Second base ft each side iagonal of a square 32 meters. What difficulty, ask what shape the Exercise 10 If students are having quadrilater nearest foot, what is the distance from home plate to second base? ers. What is the 127 ft 512 m2area of uare? difficulty, quadrilateral is.ask what shape the 13. The diagonal of a square measures 32 meters. What is the area of quadrilateral is. 512 m the square? Exercise 11 is the length of the diagonal of a square whose area is 64 cm2? Exercise 11 This is good preparaExercise 11 This is good prepara2? What is the length diagonal of a square whose area is 64 cm2? tion for wo uare14.whose area is of 64thecm 11.3 cm tion for work with the unit circle 11.3 cm tion for work with the unit circle 11.3 cm ngths of lengths the three sides ofofaa right righttriangle triangle are consecutive 15. The of the three sides are consecutive in trigonom in trigonometry. 3, 4, 5 integers. Find them. angle are consecutive in trigonometry. 3, 4, 5 rs. Find them. Home plate Exercises 12–16 Students may find Home plate Exercises 12– 16. A rectangular garden 6 meters wide has a diagonal measuring it helpful to draw and label Home plate 28 m 10 meters. Find the perimeter of the garden. Exercises 12–16 Students may find angular garden 6 meters wide has a diagonal measuring pictures. it helpful to diagonal 28cuadrado m ters. Findmeasuring the perimeter3.ofLathe garden. diagonal de un mide 32 metros. ¿Cuál es elitárea del cuadrado? helpful to draw and label Exercise 12 As an extension, you pictures. n. 28 m might have students measure the 4. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyapictures. área es 64lengths cm2 ? of the distances between Exercise 12 the basesenteros on a local baseball field. 5. Las longitudes de los tres lados de una triángulo rectángulo son números consecuExercise 12 As an extension, you might have tivos. Encuentre los números. might have students measure thelengths of t 6. Un jardín rectangular mide 6 metros de largo, tiene una diagonal medida es 10 metros. lengthscuya of the distances betweenthe bases o Encuentre el perímetro de este jardín. the bases on a local baseball field. 3.9 25

87

x

s

x

|

2

LESSON 9.1 The Theorem of Pythagoras

465

You can lay a stick with length d diagonally at the bottom of the box. But you can position an even longer stick with length x along the diagonal of the box, as shown. How long is this stick?

x

18 in. 24 in.

d

30 in.

Both d and x are the hypotenuses of right triangles, but

INKERBEAN by Batiuk. Reprinted with special permission of North America Syndicate. finding d 2 will help you find x.

m

302 ! 242 " d 2

57 d 2 ! 182 " x 2

7. ¿Cuál es la mayor distancia de una varilla que pueda guardarse en una caja cuyas medidas at is the longest stick that son will24fit×inside a pulgadas? 24-by-30-by-18-inch box? ! 576 " d 2 1476 ! 182 " x 2 30 × 18 900 r d 2 " 1476 1476 ! 324 " x 2 1800 " x 2 x ! 42.4

w a diagram.

can lay a stick with length d diagonally the possible x 42.4 in. 18 in. stick is about Theatlongest

ace om of the box. But you can position an even uer stick with length x along the diagonal of

box, as shown. How long is this stick?

24 in.

d

30 in.

EXERCISES

8. Un gigante Pino Californiano h d and x are the hypotenuses of right triangles, but de 36 metros de altura se rompe durante una violenta torA giant !you1. find ing d 2 will help x. California redwood tree 36 meters tall cracked

302

242

d2

! " 00 ! 576 " d 2 d 2 " 1476

mentastorm y caeand como se ifmuestra figura. in a violent fell as hinged. en Thelatip of the 2 2 2 once beautiful tree hit the ground 24 meters from the La punta del que una vez fue un bello árd ! 18 " x base. Researcher Red Woods wishes to investigate the bol golpea el suelo 2 " xa224 metros de su base. 1476 ! 18 crack.Un How many meters up from base the tree investigador desea verthe mas de of cerca la 2 does he1476 have to climb? 10 m ! 324 " x

x

24 m quebradura. ¿Cuántos metros debe escalar árbol? 2. Amir’sdesde sister la is base away at " college, 1800del x 2 and he wants to mail her a 34 in. baseball bat. The packing sells one kind which measures 24 enviarle in. by 2 in. 18 in. un bate de beisbol 9. Laservice hermana dexonly Amir está en of la box, universidad y él desea porbycorreo ! 42.4 Will the box be big enough? No. The space diagonal of the box is 30.1 in. de 34 pulgadas. El servicio de encomiendas solo cuenta con un tipo de caja, el cuál mide longest possible stick is about 24 × 242.4 × 18in. pulgadas. ¿Podrá enviar Amir el bate utilizando esta caja? d p m 10. El meteorólogo Paul Windward y la geologa LESSON OBJECTIVES NCTM STANDARDS Rhaina viajanand a una conferencia 3. Meteorologist PaulStone Windward geologist Rhainasobre StonePa" are rushing to a paleontology conference in Pecos Gulch. Apply the Pythagorean Theorem and itsenconverse CONTENT PROCESS leontología Pecos Gulch. Paul despega en un Paul lifts off in his balloon at noon from Lost Wages, globo aand medio día desdeskills Lost Wages, movien" Develop reading comprehension problem-solving # Problem Solving Number heading east for al Pecos With the dose esteGulch haciaConference el Centro Center. de Conferencias blowing west to east, he el averages land speed of p tree 36 meterswind od tall cracked Pecos Gulch. Con viento asoplando oeste a #deAlgebra # Reasoning 30 km/hr. This will allow him to arrive in 4 hours, just as sl is as if hinged. The tip of the este, promedia una velocidad de 30 km/h. Esto the conference begins. Meanwhile, Rhaina is 160#kmGeometry north Communication tsground 24 meters le permite llegar en 4 horas, justo en el momento from the of Lost Wages. At the moment of Paul’s lift off, Rhaina x cuando la conferencia Mientras tanto, ods wishes to investigate # for # Connections Measurement hops intothe an off-roading vehicle andinicia. heads directly the h Rhaina está a 160 km al norte de Lost Wages. En up from the baseconference of the tree center. At what average speed must she travel to # Representation Data/Probability at el same momento arrive at the time del Pauldespegue does? de50Paul, km/hrella 10 m 24 mtoma un automovil todo terreno y maneja directamente al Career centro conferencias. quéThe velocidad debe llege, and he wants to mail her ade34 in. baseball¿Abat. rean Theorem ella manejar poder a lain. misma hora one kind of box, which measures 24 para in. by 2 in.llegar by 18 que lo hizo Paul? gh? No. The space diagonal of the box is 30.1 in.

erse

-solving skills

Meteorologists study the weather and the atmosphere. They also look at air quality, oceanic influence on weather, changes in climate over time, and even other planetary climates. They make forecasts using satellite photographs, weather balloons, contour maps, and mathematics to calculate wind speed or the arrival of a storm.

NCTM STANDARDS 11. Una escalera de 25 pies se inclina sobre un edificio. La base de la escalera está a 7 pies de 4. A 25-foot ladder is placed against a building. The bottom of CONTENT PROCESS edificio. Si la escalera se resbala the ladder la is base 7 feetdel from the building. If the top of the 4 pies, ¿Cuántos pies se separará la base de la la how base many del edificio? ladder slipsescalera down 4de feet, feet will the bottom # Problem Solving Number slide out? (It is not 4 feet.) 8 ft 5. The and back walls of an A-frame are isosceles #frontAlgebra #cabin Reasoning triangles, each with a base measuring 10 m and legs measuring 13 m. The entire front wall is made of glass # Geometry Communication 1 cm thick that cost $120/m2. What did the glass for the front cost? area: 60 m2; cost: $7200 #wallMeasurement # Connections

B UND

You may exercises a work on d

ASSIGNIN Essential

Performan assessmen Portfolio Group Review |

! Helpin

Exercise 1 difficulty, originally it cracked standing, [36 " x] specific n see the ge

Career

Performanc assessment Portfolio

Meteorologists study the weather and the atmosphere. They also look at air quality, oceanic influence on weather, changes in climate over time, and even other planetary climates. They make forecasts using satellite photographs, weather balloons, contour maps, and mathematics to calculate wind speed or 58of a storm. the arrival

Teorema de Pitágoras

12. Las paredes frontal y trasera de una cabina son 4. A 25-foot ladder is placed against a building. bottom de of triángulos isosceles, cada uno con The una medida the ladder is 7 feet they los building. If the top of midiendo the base 10 from metros lados congruentes ladder slips13 down 4 feet, many feet está will hecha the bottom metros. Lahow pared frontal de cristal slide out? (It is not 4 feet.) 8 ft de 1 cm de grosor que cuesta ¢60 000 el metro cuadrado. ¿Cuánto el cristal para la pared 5. The front and back walls of an cuesta A-frame cabin are isosceles frontal cabina? triangles, each withdea la base measuring 10 m and legs measuring 13 m. The entire front wall is made of glass 1 cm thick that cost $120/m2. What did the glass for the front wall cost? area: 60 m22; cost: $7200

Group Review ||

! Helpin

Exercise 1 difficulty, originally it cracked standing, [36 " x] Y specific nu see the ge

Exercise 5 students d right trian

6. A regular hexagonal prism fits perfectly inside a cylindrical box with diameter 6 cm and height 10 cm. What 13. Dearea acuerdo la LeyWhat 7600, la pendiente de una is the surface of thea prism? is the surface areapara of the cylinder? rampa silla de ruedas no debe ser mayor que 1 surface area of prism ! !27 3 ser " 180 cm22 % de la rampa si "# . ¿Cual debe la $longitud 2 12 2 226.8 cm ; surface area of cylinder ! 78! cm22 % 245.0 cm22 esta debe alcanzar una altura de 1 metro? 7. Find the perimeter of an equilateral triangle whose median 36 cm measures 6 cm. #

Exercise 6 may have inscribed same leng

Exercise 7 drawn pic [Ask] “Wh 30°-60°-90 know?” [t

# "3

8. APPLICATION According to the Americans with Disabilities Act, the slope of a wheelchair ramp must be no greater than 1 !!. What is the length of ramp needed to gain a height of 12 4 feet? Read the Science Connection on the top of page 484 and then figure out how much force is required to go up the ramp if a person and a wheelchair together weigh 200 pounds. 48.2 ft; 16.6 lb

14. Determine la longitud del lado identificado en cada caso. (b) y =

(a) x =

8 cm

x

15 cm

y

3 cm

4 cm

LESSON 9

59 (c) u =

(d) k =

u

k

15 cm

7 cm

17 cm 6 cm (e) w =

(f) d =

12 cm

d

w

20 cm

10 cm

8 cm

15 cm 15. Determine la medida de la diagonal de un rectángulo si sus dimensiones son 10 cm y 15 cm.

10 cm

h

12 cm 16. Determine la medida del ancho de un rectángulo si su largo mide 12 cm y su diagonal mide 13 cm.

13 cm

q

C d B 17. En el trapecio  ABCD determine los valores de p y d.

15 cm

p 11 cm

A

3 cm

D

Teorema de Pitágoras

60

C d 18. En el trapecio  ABCD determine los valores de b y d.

14 cm

B 13 cm

5 cm A

D

b

19. Determine la longitud del lado identificado en cada caso. (b) u =

(a) n =

20 cm 25 cm

n

u 25 cm

7 cm (c) q =

(d) a =

! q

3 3 cm 2

15 cm

a

3 cm 2

√ (f) Si q = 2 21 cm, w =

(e) x = 8 cm

17 cm

!

q

13 5 cm x

40 cm

w

61 20. Resuelva cada uno de los ejercicios propuestos. (a) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, determine el valor de x.

A

!

6n

(b) De acuerdo con los datos de la figura, determine la m AC 3z

B

n 3 cm

2z

x

C

(c) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, determine la m AB A

m

C

(d) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, detemrine la m AB W

!

! n

k B

Q

(e) De acuerdo con los√datos de la figura adjunta, si m AC = 235 cm determine la m AB A

3h

B

2h

25 cm

n 3 cm

U

(f) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, determine el valor de x. !

x

2u 2u 3 cm

C

21. Resuelva cada uno de los problemas propuestos propuestos. (a) Si los lados de un triángulo isósceles miden 15 cm y el lado desigual mide 10 cm. ¿Cuál es la medida de la altura sobre el lado desigual? (b) Si uno de los lados de un triángulo equilátero miden 12 cm ¿cuánto mide su altura? (c) Si las diagonales de un rombo, miden 18 cm y 12 cm ¿cuál es la medida del lado del rombo? √ (d) Si las diagonales de un rombo, miden 4x y 10x y el lado mide 35 cm. ¿cuánto mide la diagonal mayor? (e) Las medidas de las bases de un trapecio √ isósceles, son 10 cm y 15 cm y la medida de uno de los lados no paralelos es de 3 6 cm, entonces, cual es la medida de la altura del trapecio.

62

Teorema de Pitágoras √ (f) Determine el área de un triángulo rectángulo, donde su hipotenusa mide 25 3 cm y un cateto mide la mitad del otro. (g) Una escalera inclinada sobre una pared mide 18 cm y está a 2 cm de la pared. ¿cuál será la altura de la escalera? 22. Resuelva cada uno de los ejercicios propuestos. (a) Si el  ABCD es un trapecio. Determine la m DC A

3 cm

B

!

(b) Con base en la figura adjunta determine la m BC D

5 cm

B

8 cm

4 cm

13 cm C

D

K

A

C 12 cm

(c) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, determine el valor de x.

!

!

3 cm

(d) Si el  ABCD es un paralelogramo ¿Cuál es la mCB? 12 cm

D

5 cm

x

2 cm

C

A

K

8 cm

B

6 5 cm

(e) De acuerdo con la figura adjunta determine el valor de x. x

(f) Si el  ABCD es un paralelogramo ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo? 4 cm

4 cm

6 cm

3 cm x 13 cm

10 cm 

2.1 Distancia entre dos puntos

2.1

63

Distancia entre dos puntos En esta sección consideraremos la longitud de la distancia que existe entre dos puntos del plano cartesiano. Veamos una situación problema para introducir el tema. AD Virginia se encuentra de pie en la esquina de Seventh Street con 8th Avenue, y su hermano Saúl esta en la esquina de Second Street y 3rd Avenue. Para encontrar la ruta mas corta hasta dónde se encuentra Saúl, Virginia puede simplemente contar cuantas cuadras los separan. Pero si Virginia quiere saber su distancia en línea recta (diagonalmente) hasta Saúl, ella tendrá que hacer uso del Teorema de Pitágoras.

Podemos pensar que las calles y avenidas forman una malla comparable a un sistema de ejes coordenados. De esta manera cada segmento que no es paralelo ni al eje “x” ni al eje “y” del plano es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos están en el eje “x” y en el eje “y”. De esta manera podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos de una sistema de ejes coordenados. Definición 2.1 — Fórmula de la Distancia. La distancia entre dos puntos A (x1 , y1 ) y B (x2 , y2 )

está dado por la fórmula q d (AB) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Teorema de Pitágoras

64 

Ejemplo 2.6 — Distancia entre dos puntos. Encuentre la distancia entre los puntos

A (8, 15) y B (−7, 23) Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos q d (AB) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Sustituimos los valores del punto A y B en la fórmula q d (AB) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 q d (AB) = (−7 − 8)2 + (23 − 15)2 q d (AB) = (−15)2 + (8)2

√ 225 + 64 √ d (AB) = 289

d (AB) =

d (AB) = 17

La distancia entre los puntos A y B es de 17 u.l.1

 

Ejemplo 2.7 — Distancia entre dos puntos. Encuentre la distancia entre los puntos

A (1, 1) y B (−2, 3) Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos q d (AB) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Sustituimos los valores del punto A y B en la fórmula q d (AB) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 q d (AB) = (−2 − 1)2 + (3 − 1)2 q d (AB) = (−3)2 + (2)2

La distancia entre los puntos A y B es de

√ 9+4 √ d (AB) = 13

d (AB) =

d (AB) ≈ 3.6055

√ 13 u.l. ≈ 3.6055 u.l. 



Ejemplo 2.8 — Distancia entre dos puntos. Encuentre la distancia entre los puntos

B (−3, −1) y D (−2, 3) Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos q d (BD) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

1 u.l.

significa unidades lineales.

Pero, m 1 = tan ↵1 , y m 2 = tan ↵2 . Sustituyendo estos valores en la fórmula anterior, obtenemos: tan( ) = tan(↵2

↵1 ) =

m2 m1 1 + m1 · m2

Esta fórmula no puede ser aplicada en el caso de una recta vertical, porque una recta vertical no tiene 2.1 Distancia entre dos puntos 65 definida su pendiente. NoSustituimos te preocupes los porvalores el momento porque hemos mostrado ejemplos del uso de estos conceptos y del punto B yno D en la fórmula fórmulas.

q

√

+ 16 d (BD)estas = 1ideas. En la siguiente dsección tendremos (BD) = (x − xsuficientes )2 + (y −ejemplos y )2 para que logres entender 2

1

2

1

q 1.2.3 POLÍGONOS d (BD) = (−3 − −2)2 + (3 − −1)2 q 2 2 En esta secciónd (BD) vamos utlizar fórmulas = a(−1) + (4)las perímetros y áreas de polígonos.

d (BD) =

que

ya

√ 17

d (BD) ≈ 4.1231 conocemos

para

calcular

√

Laesto distancia entreidea los puntos Blas y Dfórmulas es de de 17áreas u.l. ≈ u.l. Para es una buena recordar de4.1231 los polígonos. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(1, 1), B ( 2, 3) y C ( 3, 1). 

 Ejemplo 1

Ejemplo 2.9 — Longitud de los lados de un polígono. Encuentre la longitud de los lados del

triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1, 1), B (−2, 3) y C (−3, −1) • Empezamos graficando los puntos y dibujando el triángulo: y B

3 2 1

4

3 C

2

1

A

O

1

2

3

x

1 2

• Para encontar el área del triángulo utilizaremos la fórmula de Herón: Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos p q A = p · (p a )(p b2)(p c ) d (AB) = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 )2

donde a ,b, c son las longitudes de los lados del triángulo y p es su semiperímetro.

Sustituimos los valores del punto A y B en la fórmula q • Entonces, debemos primero calcular las longitudes de los lados del triángulo. √ d (AB) = 9 + 4 d (AB) = (−2 − 1)2 + (3 − 1)2 √ Efraín Soto A. q www.aprendematematicas.org.mx d (AB) = 13 d (AB) = (−3)2 + (2)2 d (AB) ≈ 3.6055 Sustituimos los valores del punto B y C en la fórmula q d (BC) = (−3 − −2)2 + (−1 − 3)2 q d (BC) = (−1)2 + (−4)2

√ 1 + 16 √ d (BC) = 17

d (BC) =

d (BC) ≈ 4.1231

Teorema de Pitágoras

66 Sustituimos los valores del punto A y C en la fórmula q d (AC) = (−3 − 1)2 + (−1 − 1)2 q d (AC) = (−4)2 + (−2)2

√ 16 + 4 √ d (AC) = 20

d (AC) =

d (AC) ≈ 4.4721

Por tanto, la medida de los lados del triángulo son respectivamente AB ≈ 3.6055 u.l., BC ≈ 4.1231 u.l. y AC ≈ 4.4721 u.l.   Ejemplo 2.10 — Perímetro de un polígono. Encuentre el perímetro del cuadrilátero que tiene 1.2sus Rectas, segmentos y polígonos vértices en los puntos A(5, 2), B (−3, 3), C (−2, −1) y D (3, −1)

y B

3 42

3

2

A

2 1 1

O

1

1

C

2

3

41

4

5

x

D

2 • Al sumar ellaárea de losde dos internos Aplicamos fórmula latriángulos distancia entre dosobtenemos puntos el área del cuadrilátero. q cuadrilátero y de su diagonal: • Vamos a calcular las longitudes de los lados del p d (AB) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

5)2 + (3 2)2 p Sustituimos los valores del punto A y=B en64 la+fórmula 1 = 65 ⇡ 8.062257 p q √ |BC ( 2 2 ( 3))2 + ( 1 3)2 d (AB) = 1 + 64 2 | = p d (AB) = (3 − 2) + (−3 − 5) p √ = 1 + 16 = 17 ⇡ 4.1231 q d (AB) = 65 p = 2 ( 3 ( 2))2 + ( 1 ( 1))2 d (AB) = (1)|C2 D| + (−8) p d (AB) ≈ 8.062257 = 25 = 5 p |AD| = (3 5)2 + ( 1 2)2 Sustituimos los valores del punto B y C en p la fórmula p = 4 + 9 = 13 ⇡ 3.60555 q √ p d (BC) = 1 + 16 |AC2 |+ (−1 = −(3)22 5)2 + ( 1 2)2 d (BC) = (−2 − −3) p √ p q = 49 + 9 = 58 ⇡ 7.61577 d (BC) = 17 |A B |

d (BC) =

=

p

( 3

(1)2 + (−4)2

d (BC) ≈B4.1231 • Encontramos el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(5, 2), ( 3, 3) y C ( 2, 1). • Primero calculamos el semiperímetro del triángulo: p=

8.062257 + 4.1231 + 7.61577 = 9.9005635 2

• Sustituimos las longitudes de los lados en la fórmula de Herón: p A 41 = p · (p a )(p b )(p c ) p = (9.9005635)(1.8383)(5.77746)(2.28479) p = 240.2478653 ⇡ 15.49993

31

2.1 Distancia entre dos puntos

67

Sustituimos los valores del punto C y D en la fórmula q d (CD) = (3 − −2)2 + (−1 − −1)2 q d (CD) = (5)2 + (0)2 Sustituimos los valores del punto D y A en la fórmula q d (DA) = (5 − 3)2 + (2 − −1)2 q d (DA) = (2)2 + (3)2

√ 25 + 0 √ d (CD) = 25

d (CD) =

d (CD) = 5

√ 4+9 √ d (DA) = 13

d (DA) =

d (DA) ≈ 3.60555

Calculamos el perímetro de la forma usual p = AB + BC +CD + DA

p = 20.790907

p = 8.062257 + 4.1231 + 5 + 3.60555 Por tanto, la medida del perímetro es 20.790907 u.l. 

Ejercicio 2.2

Aplique la fórmula de la distancia entre dos puntos para resolver cada uno de los siguientes ejercicios. 1. Determine la distancia entre cada par de puntos.

(a) (10, 20), (13, 16)

(f) (−1, −5), (1, 3)

(b) (15, 37), (42, 73)

(g) (−3, 4), (2, −2)

(c) (−19, −16), (−3, 14)

(h) (1, 1), (5, 3)

(d) (−2, 5), (1, −2)

(i) (−3, 2), (2, 4)

(e) (3, 5), (−1, 2) 2. Retomemos el ejemplo de Virginia y Saúl. Vamos a resolverlo, esta vez considerando que cada cuadra mide 50 metros de longitud. ¿Cuál es la distancia más corta entre Virginia y Saúl? 3. Encuentre el perímetro del 4 ABC con los vértices A (2, 4), B (8, 12) y C (24, 0). 4. Determine si el 4 DEF con los vértices D (6, −6), E (39, −12) y F (24, 18) se puede clasificar como escaleno, isósceles o equilátero.

". !3

y

s are having know any ter of a

#"#!2#,3" #12#$

equilateral. Find x and y.

k ! !2", m ! !" 6

A (?, ?)

12

k

m

150°

6 , y ! 12 x!# # !3" !3"

60° y

x (1, 0)

68

x

Teorema de Pitágoras 3

5. ¿Cómo encontraría usted la distancia entre dos puntos (0, –1)coordenados tridimensional? en un sistema de ejes Investigue y haga una conjetura 16. Antonio is a biologist studying life in a pond. needs to know how deep the water is. (a) He ¿Cuál es la distancia entre el origen (0, 0, 0) y He notices a water lily sticking straight up el punto (2, −1, 3)? blossom is 8 cm above from the water, whose (b) ¿Cuál es la distancia entre pulls el origen P (1, 2, 3) y the water’s surface. Antonio the lily to one Exercise 15 As needed, ask el punto Q (5, 6, 15)? whether the triangle is a special ! Review side, keeping the stem straight, until the blossom kind. If a student rationalizes the the la water at a spotconjetura: 40 cm fromSiwhere (c) touches Complete siguiente el punto ? ,m! ? 9.3 13. Find the coordinates of A. 9.1 14. k ! " denominator, the solutions are the stem first broke the water’s surface. How is en " A (x , y , z ) y el punto B (x , y , z ) están 1 1 1 k ! !2", m ! !" 6 y "2 1 2 2 x ! 2!3" and y ! 4!3". !3 #, ## of the water? Antonio ablede toejes calculate the#"# depth 2 2 $tridimensional, un sistema coordenados 60° Exercise 17 If students are having What is the depth? 96 cm entonces la distancia entre AB es A (?, ?) difficulty, ask if they know any k m 150° q properties of the center of a x 0) rotation. ( )2(1,+ ( )2 + (

9.1 15. The large triangle is equilateral. Find x and y. 6 , y ! 12 x!# # !3" !3" 12 y

)2

3

x

R

R' under a 7.1 17. C#U#R#T# is the image of (0,CURT –1) 6. Antonio es un biologo que estudia la vida en un esrotation transformation. Copy the polygon tanque. conocer profundidad del agua. 16. onto Antonio is ala biologist studying life in a pond. andNecesita its image patty paper. Find the He needs to know how deep the water is. T' Le llama la of atención un acuático que sobresale center rotation andlirio the measure of the He notices a water lily sticking straight up del agua, florfrom está cm sobre el nivel agua. the8water, whose method. blossom is 8 del cm above anglecuya of rotation. Explain your the water’s surface. Antonio pulls the lily to one Antonio lirio hacia un lado, manteniendo el The hala angle el of rotation is approximately 77°. Connect two side, keeping the stem straight, until the blossom pairs of corresponding points. Construct the perpenditallo perpendicular,touches hastatheque agua wateraatflor a spottoca 40 cmel from whereen U' cular bisector ofthe each segment. stem first brokeThe the point water’s where surface. the How is un punto a 40 cm de donde inicialmente se enconAntonio able to calculate the depth of the water? perpendicular bisectors meet is the center of rotation. is the depth? 96 cm traba. ¿Cómo puedeWhat Antonio calcular la profundidad del agua del estanque? ¿Cuál es la profundidad del IMPROVING YOUR VISUAL THINKING SKILLS estanque? R'

C'

T U

C

R

7.1 17. C#U#R#T# is the image of CURT under a

a Entransformation. Copy the polygoncon mediThe Spider androtation the Fly 7. La araña y la mosca un cuarto rectangular,

17

40.7

37 Side wall The Spider and the Fly

6 ft

Here is another path shorter than 42 feet. It is not the shortest. Side wall 6 ft 11 ft 1 ft

C'

and its image onto patty paper. Find the

shorter the

T

(attributed to the British puzzlist Henry E.se Dudeney, 1857–1930) das 30 × 12 × 12 pies, arañaand encuentra en el punto T' U centeruna of rotation the measure of the angle of rotation. Explain your method. AInena elrectangular medio de room, una demeasuring las paredes del extremo, 1 pie mas 30 ft by 12 by77°. 12Connect feet, atwospider The angle of rotation is30 approximately abajo del cielo raso. Una mosca está en el punto justo of corresponding points. the perpendiis at point A on thepairs middle of one of theConstruct end walls, 1Bfoot from cular bisector each segment. point extremo where the entheelceiling. centroAde está en elTheotro del U' flylais pared at pointque Bofon the center of the opposite perpendicular bisectors meet is the center of rotation. cuarto, un pie mas del piso. es distance la distancia wall, 1 foot from thearriba floor. What is the¿Cuál shortest 12 ft thatcorta the spider crawl to reach the fly, which remains mas que lamust araña debe subir para alcanzar la mosca IMPROVING YOUR VISUAL THINKING SKILLS stationary? Theinmóvil? spider never drops uses its web, but que se encuentra Tome en or cuenta que la araña 12 ft The Spider and the Fly crawls fairly. nunca cae al suelo no usa su telaraña, si se desplaza (attributed to the British puzzlist Henrypero E. Dudeney, 1857–1930) de la forma acostumbrada. 30 ft In a rectangular room, measuring 30 by 12 by 12 feet, a spider

C

is at point A on the middle of one of the end walls, 1 foot from the ceiling. A fly is at point B on the center of the opposite 17 a atribuido a Henry E. Dudeney wall, 1 foot from the floor. What is the shortest distance (1857 – 1930) 12 ft that the spider must crawl to reach the fly, which remains 37 stationary? The spider never drops or uses its web, but Side 12 ft wall crawls fairly.



40.7

Ceiling

Back wall 30 ft

6 ft SUAL THINKING SKILLS

two dimensions. They might draw several E. Dudeney (1857–1930, Side different nets of the room and draw puzzle inventor whose wall A 6 ft straight lines between the points on the to challenge people today. IMPROVING VISUAL THINKING SKILLS [Ask] “Which net willThey givemight the draw shortest y problem first] Henry appeared two dimensions. several 12 ft [Context E. Dudeney net. (1857–1930, Side distance? does nets thatofmean forandthe different the room draw whose What wspaper. England) was a puzzle inventor wall A straight lines between the points on the puzzles continue to challengeoriginal people today. 6 ft6 ft room?” net. [Ask] “Which net will give the shortest 12 ft His spider-and-fly problem first appeared uck, wonder aloud whether distance? What does40 thatfeet. mean for the in anproblem English newspaper. The shortest path measures hink of the in 6 ft If students are stuck, wonder aloud whether it would help to think of the problem in

he Pythagorean Theorem 490 CHAPTER 9 The Pythagorean Theorem

original room?”

The shortest path measures 40 feet.

1 ft

1 ft

30 ft 24

Ceiling

40 32

Back 30 ft40 ft wall

24

Ceiling

Floor Back wall

B

40 ft Floor 30 ft 30 ft

B

Side wall 1 ft

40 32

Side wall 1 ft

3 — Trigonometría

H

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71◦ , llegando hasta 180◦ con incrementos de 71◦ , la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos

Trigonometría

70

Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el senx y series similares para el cos x y la tan x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

En este curso se tratará únicamente la trigonometría plana.

Trigonometría 3.1

Los ángulos y sus medidas

1. Los ángulos y su medida

Trigonometría es una palabra que deriva del griego í , Tri ( ) tres, gono ( ) ángulo, ( í los ) medida, "medida Con objetometría de estudiar ángulosesy decir, su medida con-de tres ángulos". Puedes la de sideraremos que un ángulo es consultar un recorrido endefinición la cirtrigonometría que da el diccionario de la R.A.E.

cunferencia con centro el origen y de radio unidad o En este curso se tratará únicamente la trigonometría circunferencia goniométrica, el punto de partida de esplana. tos recorridos situará el punto coordenadas Con se objeto de en estudiar los de ángulos y su medida consideraremos que unserá ángulo es un recorrido (1,0) y la medida de un ángulo la medida de ese en la con centro el origen y de radio unidad o recorrido. circunferencia circunferencia goniométrica, el punto de partida de estos

recorridos

se

situará

en

el

punto

de

Los ángulos pueden tener positivo coordenadas (1,0)sentido y la medida de o unnegativo ángulo será la ese recorrido. según sea medida el de suderecorrido; si es contrario al de las agujas del Los relojángulos será positivo si es sentido igual, negativo. pueden ytener positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo.

Radianes Medir un ángulo circunferencia.

es

medir

su

recorrido

en

la

El ángulo de 1 radián es aquel cuyo recorrido en la circunferencia es igual al radio.

circunferencia goniométrica, el punto de partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la medida de ese recorrido.

3.1 Los 3.1.1

Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas delyreloj positivo y si es igual, negativo. ángulos sus será medidas

Radianes

Radianes Medir un ángulo es medir su es recorrido circunfer- en la Medir un ángulo medir en sula recorrido circunferencia. encia. Como la medida de toda la circunferencia es medida detomar toda como la circunferencia es 2 · π · radio,Como resultala conveniente unidad de 2· ·radio, resulta conveniente tomar como unidad de medida el medida radio. En las figuras, los ángulos se represenel radio. tan en una circunferencia de radio 1, ello no significa En las figuras, los ángulos se representan en una que el radio mida 1 cm ode1radio pie o1,1 m, que el radio circunferencia ellosino no significa que el radio mida 1 cm o tomada. 1 pie o 1 m,razones sino que el radio es la es la unidad de medida Por evidentes unidad de medida tomada. Por razones evidentes a a esta unidad le llama estase unidad se leradián. llama radián.

3.1.2

71

El ángulo de 1 radián es aquel cuyo recorrido en la circunferencia es igual al radio.

Grados Sexagesimales Grados sexagesimales Ya conoces el sexagesimal sistema sexagesimal dedemedida depues es la manera mas común como se Ya conocemos el sistema de medida ángulos, ángulos. presentan los ángulos desde primaria. Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado compone de 60 minutos y cada minuto de 60 compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo se mide en grados◦ segundos. Así un ángulo se mide en:

3.1.3

Conversión de Grados a Radianes y Viceversa gradosº minutos' segundos''

El perímetro de la semicircunferencia es 2π · radio 116

MATEMÁTICAS B

2π · radio = 360◦ pi · radio = 180◦

es decir, π veces un radián es igual a 180 veces un grado π · 1 radián = 180 · 1◦ Si despejamos el grado resulta 1 grado =

π radianes ≈ 0.0175 radianes 180

Si despejamos el radián resulta: 1 radián =

180 grados ≈ 57.2957◦ π

Mide ángulos con el transportador

se

Trigonometría

72

Proposición 3.1 — Relaciones entre grados y radianes. Las siguientes relaciones se cumplen

para los ángulos en radianes y grados. Para convertir a grados radián ·

180◦ π

Para convertir a radianes π 180◦ ◦  Ejemplo 3.1 — Convertir a radianes. Convierta el siguiente ángulo 150 a radianes π Utilizamos la fórmula respectiva grado · 180◦ Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula grado ·

150◦ ·

π 180◦

Simplificamos la operación 150◦ π 5π = ◦ 180 6 Por tanto, la medida del ángulo 150◦ corresponde a

5π radianes 6 



Ejemplo 3.2 — Convertir a radianes. Convierta el siguiente ángulo 210◦ a radianes

π Utilizamos la fórmula respectiva grado · 180◦ Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula 210◦ ·

π 180◦

Simplificamos la operación 210◦ π 7π = ◦ 180 6 Por tanto, la medida del ángulo 210◦ corresponde a

7π radianes 6 

3.1 Los ángulos y sus medidas 

73

Ejemplo 3.3 — Convertir a radianes. Convierta el siguiente ángulo 270◦ a radianes

π Utilizamos la fórmula respectiva grado · 180◦ Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula 270◦ ·

π 180◦

Simplificamos la operación 3π 270◦ π = ◦ 180 2 Por tanto, la medida del ángulo 270◦ corresponde a

3π radianes 2 



Ejemplo 3.4 — Convertir a radianes. Convierta el siguiente ángulo 60◦ a radianes

π Utilizamos la fórmula respectiva grado · 180◦ Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula 60◦ ·

π 180◦

Simplificamos la operación 60◦ π π = ◦ 180 3 Por tanto, la medida del ángulo 60◦ corresponde a

π radianes 3 



Ejemplo 3.5 — Convertir a grados. Convierta el siguiente ángulo

11π radianes a grados 6

180◦ Utilizamos la fórmula respectiva grado · π Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula 11π 180◦ · 6 π Simplificamos la operación 1980π = 330◦ 6π Por tanto, la medida del ángulo

11π corresponde a 330◦ 6 

Trigonometría

74 

Ejemplo 3.6 — Convertir a grados. Convierta el siguiente ángulo

π radianes a grados 4

180◦ Utilizamos la fórmula respectiva grado · π Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula π 180◦ · 4 π Simplificamos la operación 180π = 45◦ 4π Por tanto, la medida del ángulo

π corresponde a 45◦ 4 

5π radianes a grados  Ejemplo 3.7 — Convertir a grados. Convierta el siguiente ángulo 4 180◦ Utilizamos la fórmula respectiva grado · π Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula 5π 180◦ · 4 π Simplificamos la operación 900π = 225◦ 4π Por tanto, la medida del ángulo

5π corresponde a 225◦ 4 



Ejemplo 3.8 — Convertir a grados. Convierta el siguiente ángulo

2π radianes a grados 3

180◦ Utilizamos la fórmula respectiva grado · π Sustituimos el valor del ángulo en grados en la fórmula 2π 180◦ · 3 π Simplificamos la operación 360π = 120◦ 3π Por tanto, la medida del ángulo

2π corresponde a 120◦ 3 

3.2 Razones Trigonométricas Ejercicio 3.1

75

Convierta los siguientes ángulos al sistema especificado.

1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos. (a) 600◦ (b) −580◦

(c) 515◦ (d) −430◦

(e) 875◦ (f) −120◦

(g) −640◦ (h) −310◦

(i) 900◦ (j) 450◦

2. Expresa en grados cada uno de los siguientes ángulos. 2 17 (e) 4π (i) 2π 5 (a) − π (c) π (g) − π 3 6 2 14 11 (f) π (j) π 11 13 7 3 4 (h) − π (b) π (d) − π 4 6 6 3. Calcula y expresa la magnitud en grados de cada uno de los siguientes ángulos, dados en radianes. 11 3 1 (g) − π π (i) − π 4 6 4 1 2 (b) − π (d) π 1 25 1 3 3 (f) π π (j) (h) π 6 2 2 4. Calcula y expresa la magnitud en radianes de cada uno de los siguientes ángulos, dados en grados. (a) 2π

(c) π

(a) 150◦

(d) 330◦

(g) 690◦

(j) 1740◦

(m) 72◦

(b) 60◦

(e) 450◦

(h) 850◦

(k) −60◦

(n) 140◦

(c) −270◦

(f) −335◦

(i) −495◦

(l) 100◦

(o) 225◦

(e)

5. Calcula y expresa la magnitud en grados de cada uno de los siguientes ángulos, dados en radianes. (a) 2

(b) 5

(c)

8 3

(d)

7 4

(e) 1 

3.2

Razones Trigonométricas Hemos considerado y descubierto muchas condiciones del triángulo rectángulo durante este curso lectivo. Vamos a analizar ahora desde el punto de vista trigonométrico, las características para los catetos. El triángulo rectángulo para el cual uno de sus ángulos internos es recto, es decir mide exacta-

Trigonometría

76

mente 90◦ , sus otros dos ángulos internos son agudos, los elementos del triángulo reciben nombre dependiendo del ángulo interno al cual se haga referencia, de la siguiente manera Hipotenusa corresponde al segmento de mayor medida y se encuentra al frente del ángulo de noventa grados. Cateto Opuesto corresponde al segmento que no coincide con ninguno de los lados del ángulo del cual se hace referencia (se encuentra al frente del vértice del ángulo al cual se hace referencia). Cateto Adyacente corresponde al segmento que coincide con alguno de los lados del ángulo del cual se hace referencia (se encuentra a la par del vértice del ángulo al cual se hace referencia). Con base en la figura adjunta

Cateto 1

Cateto 2

α

β Hipotenusa

podemos afirmar que para el ángulo

α

β

El cateto 1 corresponde al Cateto Opuesto

El cateto 1 corresponde al Cateto Adyacente

El cateto 2 corresponde al Cateto Adyacente

El cateto 2 corresponde al Cateto Opuesto

Una vez que hemos dejado claro como identificar el cateto opuesto del adyacente, vamos a pasar a definir las razones trigonométricas. Una razón corresponde en matemática al cociente (fracción) que se establecen entre las medidas de los lados de un triángulo. En un triángulo rectángulo se definen tres Razones Trigonométricas Seno, Coseno y Tangente. Definición 3.1 — Razón Seno. Corresponde al cociente que se obtiene al dividir la medida

del cateto opuesto al ángulo entre la medida de la hipotenusa del triángulo, se representa simbólicamente por Sen y para cualquier ángulo α se define por Sen(α) =

Cateto Opuesto Hipotenusa

3.2 Razones Trigonométricas

77

Definición 3.2 — Razón Coseno. Corresponde al cociente que se obtiene al dividir la medida

del cateto adyacente al ángulo entre la medida de la hipotenusa del triángulo, se representa simbólicamente por Cos y para cualquier ángulo α se define por Cos(α) =

Cateto Adyacente Hipotenusa

Definición 3.3 — Razón Tangente. Corresponde al consiente que se obtiene al dividir la

medida del cateto opuesto al ángulo entre la medida del cateto adyacente al ángulo, se representa simbólicamente por Tan y para cualquier ángulo α se define por Tan(α) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Ejemplo 3.9 Con base en cada figura determine las tres razones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos del triángulo.



b α a

c β

Para el ángulo α procedemos de la siguiente manera Identificamos el cateto opuesto y adyacente Para α el cateto opuesto mide a y el adyacente mide b; así mismo la hipotenusa c. Formamos las tres razones para el ángulo α Cateto Opuesto Hipotenusa a Sen(α) = c

Cos(α) =

Sen(α) =

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cos(α) =

b c

Cateto Opuesto Cateto Adyacente a Tan(α) = b

Tan(α) =

Para el ángulo β procedemos de forma similar Identificamos el cateto opuesto y adyacente Para β el cateto opuesto mide b y el adyacente mide a; así mismo la hipotenusa c.

Trigonometría

78 Formamos las tres razones para el ángulo β Sen(β ) =

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen(β ) =

Cateto Adyacente Hipotenusa a Cos(β ) = c

Cos(β ) =

b c

Tan(β ) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Tan(β ) =

b a 

 Ejemplo 3.10 Con base en cada figura determine las tres razones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos del triángulo.

θ z

x

α y

Para el ángulo α procedemos de la siguiente manera Identificamos el cateto opuesto y adyacente Para α el cateto opuesto mide z y el adyacente mide y; así mismo la hipotenusa z. Formamos las tres razones para el ángulo α Cateto Opuesto Hipotenusa x Sen(α) = z

Cateto Adyacente Hipotenusa y Cos(α) = z

Sen(α) =

Cos(α) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente x Tan(α) = y

Tan(α) =

Para el ángulo θ procedemos de forma similar Identificamos el cateto opuesto y adyacente Para θ el cateto opuesto mide y y el adyacente mide x; así mismo la hipotenusa z.

3.2 Razones Trigonométricas

79

Formamos las tres razones para el ángulo θ Cateto Opuesto Hipotenusa y Sen(θ ) = z

Cateto Adyacente Hipotenusa x Cos(θ ) = z

Sen(θ ) =

Cos(θ ) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente y Tan(θ ) = x

Tan(θ ) =



Con base en cada figura determine las tres razones trigonométricas para cada uno  Ejemplo 3.11 de los ángulos agudos del triángulo.

θ 5 cm

4 cm

α 3 cm

Para el ángulo α procedemos de la siguiente manera Identificamos el cateto opuesto y adyacente Para α el cateto opuesto mide 4 cm y el adyacente mide 3 cm; así mismo la hipotenusa 5 cm. Formamos las tres razones para el ángulo α Sen(α) =

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen(α) =

Cos(α) =

4 5

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cos(α) =

Tan(α) =

3 5

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Tan(α) =

4 3

Para el ángulo θ procedemos de forma similar Identificamos el cateto opuesto y adyacente Para θ el cateto opuesto mide 3 cm y el adyacente mide 4 cm; así mismo la hipotenusa 5 cm.

Trigonometría

80 Formamos las tres razones para el ángulo θ Sen(θ ) =

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen(θ ) =

Cos(θ ) =

3 5

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cos(θ ) =

Tan(θ ) =

4 5

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Tan(θ ) =

3 4 

Ejemplo 3.12 Con base en cada figura determine las tres razones trigonométricas para el ángulo agudo α del triángulo. 

3 cm

x

α 4 cm

Lo primero que llama nuestra atención es que no contamos con la medida de uno de los catetos. Usamos el Teorema de Pitágoras para obtener la medida faltante 42 = 32 + x2

16 − 9 = x2

16 = 9 + x2

7 = x2

√ 7=x

Identificamos el cateto opuesto y adyacente √ Para α el cateto opuesto mide 7 cm y el adyacente mide 3 cm; así mismo la hipotenusa 4 cm. Formamos las tres razones para el ángulo α Cateto Opuesto Hipotenusa √ 7 Sen(α) = 4

Sen(α) =

Cos(α) =

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cos(α) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente √ 7 Tan(α) = 3

Tan(α) =

3 4

3.2 Razones Trigonométricas

81 

Ejemplo 3.13

Con base en cada figura determine las tres razones trigonométricas para el ángulo agudo θ del triángulo. 

θ 18 cm

x

7 cm

Lo primero que debemos averigüar es la medida del cateto faltante. Usamos el Teorema de Pitágoras para obtener dicha medida 182 = 72 + x2

324 − 49 = x2

324 = 49 + x2

275 = x2

√ √ 275 = 5 11 = x

Identificamos el cateto opuesto y adyacente √ Para θ el cateto opuesto mide 7 cm y el adyacente mide 5 11 cm; así mismo la hipotenusa 18 cm. Formamos las tres razones para el ángulo θ Sen(θ ) =

Cateto Adyacente Hipotenusa √ 5 11 Cos(θ ) = 18

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen(θ ) =

Cos(θ ) =

7 18

Tan(θ ) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

7 Tan(θ ) = √ 5 11 

Trigonometría

82 Ejercicio 3.2

Utilice las razones trigonométricas para dar respuesta a cada uno de los siguientes

ejercicios. 1. Con base en cada figura determine las tres razones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos del triángulo.

15 cm

5 cm β

ρ 8 cm χ

12 cm

17 cm

(a)

λ

(b)

(c) Con base en cada figura determine el valor de Cosβ y Tanβ

β 17 cm

15 cm (d) Con base en cada figura determine el valor de Senθ y Tanθ

!

4 cm

θ 65cm

(e) Con base en cada figura determine el valor de Cosχ y Senχ

!

2 6cm

5 cm χ

13 cm

3.2 Razones Trigonométricas

83

(f) Con base en cada figura determine el valor de Cosλ y Senλ

!

9 cm 2 22cm

λ





Ejemplo 3.14

Si se sabe que en un triángulo rectángulo Tan(χ) =

Cos(χ) y Sen(χ)?

3 ¿Cuál sería el valor de 4

Lo primero que debemos hacer es construir un triángulo rectángulo, donde localizamos el ángulo χ y las medidas de los lados. En este caso la razón Tan – que se forma por el cateto opuesto y el cateto adyacente – nos indica que los catetos miden 3 y 4. Luego utilizamos el Teorema de Pitágoras para obtener la medida faltante x 2 = 32 + 42

x2 = 25 √ x = 25

x2 = 9 + 16

x=5

3 cm

4 cm χ x = 5 cm

Identificamos el cateto opuesto y adyacente

Para χ el cateto opuesto mide 3 cm y el adyacente mide 4 cm; así mismo la hipotenusa 5 cm.

Formamos las tres razones para el ángulo χ Sen(χ) =

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen(χ) =

3 5

Cos(χ) =

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cos(χ) =

4 5 

Ejemplo 3.15

Si α es la medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y 8 Sen(α) = √ ¿Cuál sería el valor de Cos(α) y Tan(α)? 96 

Iniciamos construyendo un triángulo rectángulo, donde localizamos el ángulo α y las medidas de los lados. En este caso la razón Sen – que se forma por el cateto opuesto y la hipotenusa – nos √ indica que el cateto opuesto mide 8 y la hipotenusa mide 96. Luego utilizamos el Teorema de Pitágoras para obtener la medida faltante

Trigonometría

84 !

α

√
2 96 = 82 + x2

96 = 64 + x2 96 − 64 = x2

32 = x2 √ √ 32 = 4 2 = x

96cm

x = 4 2cm

8 cm

Identificamos el cateto opuesto y adyacente √ Para α el cateto opuesto mide 8 cm y el adyacente mide 4 2 cm; así mismo la hipotenusa √ 96 cm. Formamos las tres razones para el ángulo α Cos(α) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente √ 4 2 Tan(α) = √ 96

Cateto Adyacente Hipotenusa

Tan(α) =

8 Cos(α) = √ 96



Ejemplo 3.16

Si λ es la medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y Sen(λ ) = 0.9 ¿Cuál sería el valor de Sen(λ ) y Tan(λ )? 

Iniciamos construyendo un triángulo rectángulo, donde localizamos el ángulo λ y las medidas de 9 los lados. Analizamos que 0.9 = En este caso la razón Cos – que se forma por el cateto 10 adyacente y la hipotenusa – nos indica que el cateto adyacente mide 9 y la hipotenusa mide 10. Luego utilizamos el Teorema de Pitágoras para obtener la medida faltante

x = 3 cm 102 = 92 + x2

100 − 81 = x2

100 = 81 + x2

19 = x2

√ 19 = x

9 cm

10 cm

λ

Identificamos el cateto opuesto y adyacente √ Para λ el cateto opuesto mide 19 cm y el adyacente mide 9 cm; así mismo la hipotenusa 10 cm. Formamos las tres razones para el ángulo λ Sen(λ ) =

Cateto Opuesto Hipotenusa

Sen(λ ) =

3 10

Tan(λ ) =

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Tan(λ ) =

3 9 

3.2 Razones Trigonométricas

85

Ejemplo 3.17

Si δ es la medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y Tan(δ ) = 1.5 ¿Cuál sería el valor de Sen(δ ) y Cos(δ )? 

Iniciamos construyendo un triángulo rectángulo, donde localizamos el ángulo δ y las medidas de 3 los lados. Analizamos que 1.5 = En este caso la razón Tan – que se forma por el cateto 2 opuesto y adyacente – nos indica que el cateto opuesto mide 15 y el cateto adyacente mide 10. Luego utilizamos el Teorema de Pitágoras para obtener la medida faltante !

x 2 = 32 + 22 x2 = 9 + 4

x2 = 13 √ x = 13

2 cm δ

3 cm

x = 13cm

Identificamos el cateto opuesto y adyacente Para δ el cateto opuesto mide 3 cm y el adyacente mide 2 cm; así mismo la hipotenusa

√ 13 cm.

Formamos las tres razones para el ángulo δ Sen(δ ) =

Cateto Opuesto Hipotenusa

3 Sen(δ ) = √ 13

Cos(δ ) =

Cateto Adyacente Hipotenusa

2 Cos(δ ) = √ 13 

Ejercicio 3.3

Aplique las razones trigonométricas en cada caso para resolver los ejercicios que se presentan a continuación. √ 3 1. Si Cos δ = ¿Cuál sería el valor de Tan δ y Sen δ ? 2 12 2. Si β es la medida de uno de los ángulos internos de un triángulo rectángulo y Tan β = , 5 determine el valor de Cos β y Sen β . 6 ¿Cuál sería el valor de Tan θ y Cos θ ? 10 9 4. Si Tan ε = ¿Cuál sería el valor de Cos ε y Sen ε? 7 5. Si γ es la medida de uno de los ángulos internos de un triángulo rectángulo y Sen, γ = 0.8, determine el valor de Cos γ y Tan γ.

3. Si Sen θ =

6. Si Cos θ = 0.8 ¿Cuál sería el valor de Tan θ ? 7. Si χ es la medida de uno de los ángulos internos de un triángulo rectángulo y Tan χ = 2.4, determine el valor de Sen χ? 8. Si Sen µ = 0.5 ¿Cuál sería el valor de Cos µ?

Trigonometría

86

9. Sea el 4ABC, recto en C. Encuentre los lados y los ángulosque faltan, dado los siguientes datos. Chequear los resultados en cada caso. (a) a = 20◦ ; c = 30 m.

(k) a = 18◦ ; c = 3600 cm.

(b) b = 59◦ ; b = 682 cm.

(l) a = 215 m; b = 364 m.

(c) b = 32◦ ; c = 40 cm.

(m) a = 65◦ ; a = 0.825 cm.

(d) a = 77◦ ; b = 586 cm.

(n) b = 2624 m; c = 4388 m.

(e) a = 56◦ ; a = 24 cm.

(o) b = 62◦ ; c = 80 m.

(f) a = 281 cm; b = 153 cm.

(p) a = 462 cm; c = 542 cm.

(g) a = 38◦ ; b = 16 cm.

(q) a = 48◦ ; b = 75 cm.

(h) a = 12 cm; c = 90 cm.

(r) c = 173 m; a = 142 m.

(i) b = 43◦ ; b = 382 dm.

(s) a = 17◦ ; a = 3125 cm.

(j) b = 15 dm; c = 91 dm.

(t) a = 432 cm; b = 284 cm.

12 . Hallar la medida del lado CB. 13 9 11. Sea el 4MNO, recto en O. Tal que Sen N = . Hallar la medida del lado NO. 41 15 12. Sea el 4PQR, recto en Q. Tal que Tan R = . Hallar la medida del lado PR. Encuentre 8 Cos P. 11 13. Sea el 4DEF, recto en E. Tal que Cos F = . Hallar la medida del lado DE. Además, 61 hallar Sen F y Tan D.

10. Sea el 4ABC, recto en B. Tal que Cos A =

14. Sea el 4ABC, recto en C. Tal que Cos B =

12, 71 . Hallar la medida del lado AC. Además, 18, 49

hallar Sen A y Tan B. 15. Sea el 4ABC, recto en A. Tal que Tan B =

51, 74 . Hallar la medida de la hipotenusa. 46, 12

Adem as, hallar senC y tanC. 16. Sea el 4MNO, recto en N. Tal que Sen M =

0, 44 . Hallar la medida del lado NM. Además, 0, 89

hallar Cos O y Tan O. 20 17. En un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en B, la hipotenusa mide 25 cm, y si Sen A = , 25 encuentre la medida del lado BC. 18. En un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en B, la hipotenusa mide 50 cm, y si Cos A = 30 , encuentre la razón Tan A. 50 

3.2 Razones Trigonométricas 3.2.1

87

Medida de un ángulo La medida de uno de los ángulos internos de un triángulo rectángulo se puede determinar a partir del valor de su razón trigonométrica, par lograrlo se hace uso de la calculadora, se presiona la tecla Shift se introduce la razón trigonométrica (sea esta Sen, Cos ó Tan) y el valor numérico del cual se dispone (número decimal o fraccionario). 

Ejemplo 3.18 — Valor de la Medida de un Ángulo. Determine el valor de la medida al grado

exacto más cercano para el ángulo β donde se cumple la relación Tan β = 0.5 Despejamos el ángulo β , pasando Tan al lado derecho a su inverso Tan−1 Tan β = 0.5 β = Tan−1 (0.5) Utilizamos la calculadora aplicando Shift y presionando Tan y escribimos 0.5 entre paréntesis β = Tan−1 (0.5) β = 26.56◦ β ≈ 27◦ El valor de β ≈ 27◦   Ejemplo 3.19 — Valor de la Medida de un Ángulo. Determine el valor de la medida al grado exacto más cercano para el ángulo α donde se cumple la relación

Cos α = 0.5 Despejamos el ángulo α, pasando Cos al lado derecho a su inverso Cos−1 Cos α = 0.5 α = Cos−1 (0.5) Utilizamos la calculadora aplicando Shift y presionando Cos y escribimos 0.5 entre paréntesis α = Cos−1 (0.5) α = 60◦ El valor de α = 60◦ 

Trigonometría

88 

Ejemplo 3.20 — Valor de la Medida de un Ángulo. Determine el valor de la medida al grado

exacto más cercano para el ángulo χ donde se cumple la relación Sen χ = 0.64 Despejamos el ángulo χ, pasando Sen al lado derecho a su inverso Sen−1 Sen χ = 0.64 χ = Sen−1 (0.64) Utilizamos la calculadora aplicando Shift y presionando Sen y escribimos 0.64 entre paréntesis χ = Sen−1 (0.64) χ = 39.39◦ χ ≈ 39◦ El valor de χ ≈ 39◦ 

Ejemplo 3.21 — Valor de la Medida de un Ángulo. Determine el valor de la medida al grado exacto más cercano para el ángulo γ donde se cumple la relación



Sen (90◦ − γ) = 0.866 Despejamos la expresión que involucra el ángulo γ, pasando Sen al lado derecho a su inverso Sen−1 Sen (90◦ − γ) = 0.866 90◦ − γ = Sen−1 (0.866) Utilizamos la calculadora aplicando Shift y presionando Sen y escribimos 0.866 entre paréntesis 90◦ − γ = Sen−1 (0.866) 90◦ − γ = 59.99◦ 90◦ − γ ≈ 60◦ Despejamos el valor de γ como lo hariamos con una ecuación regular 90◦ − γ ≈ 60◦ 90◦ − 60◦ ≈ γ 30◦ ≈ γ El valor de γ ≈ 30◦ 

3.2 Razones Trigonométricas 

89

Ejemplo 3.22 — Valor de la Medida de un Ángulo. Determine el valor de la medida al grado

exacto más cercano para el ángulo α donde se cumple la relación Cos (90◦ − α) = 0.7660 Despejamos la expresión que involucra el ángulo α, pasando Cos al lado derecho a su inverso Cos−1 Cos (90◦ − α) = 0.7660 90◦ − α = Cos−1 (0.7660) Utilizamos la calculadora aplicando Shift y presionando Cos y escribimos 0.7660 entre paréntesis 90◦ − α = Cos−1 (0.7660) 90◦ − α = 40.00◦ Despejamos el valor de α como lo hariamos con una ecuación regular 90◦ − α = 40◦ 90◦ − 40◦ = α 50◦ = α El valor de α = 50◦   Ejemplo 3.23 — Valor de la Medida de un Ángulo. Determine el valor de la medida al grado exacto más cercano para el ángulo δ donde se cumple la relación

Sen (90◦ − δ ) = 0.1736 Despejamos la expresión que involucra el ángulo α, pasando Sen al lado derecho a su inverso Sen−1 Sen (90◦ − δ ) = 0.1736 90◦ − δ = Sen−1 (0.1736) Utilizamos la calculadora aplicando Shift y presionando Sen y escribimos 0.1736 entre paréntesis 90◦ − δ = Sen−1 (0.1736) 90◦ − δ = 9.99◦ 90◦ − δ ≈ 10◦ Despejamos el valor de δ como lo hariamos con una ecuación regular

Trigonometría

90 90◦ − δ ≈ 10◦ 90◦ − 10◦ ≈ δ 80◦ ≈ δ El valor de δ ≈ 80◦



Ejercicio 3.4

Determine la medida del ángulo de acuerdo a la relación dada.

1. Determine el valor de la medida √ al grado exacto más cercano para el ángulo δ donde se 2 cumple la relación Cos δ = . 2 2. Determine el valor de la medida al grado exacto más cercano para el ángulo α donde se cumple la relación Tan α = 1, 2. 3. Determine el valor de la medida al grado exacto más cercano para el ángulo β donde se cumple la relación Tan β = 1, 3333. 4. Determine el valor de la medida al grado exacto más cercano para el ángulo ε donde se cumple la relación Sen ε = 0, 9. 5. Determine el valor de la medida al grado exacto más cercano para el ángulo θ donde se 1 cumple la relación Sen θ = . 2 

3.3

Relaciones Fundamentales en Trigonometría Existen varias relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas, este año vamos a estudiar las dos más básicas. Proposición 3.2 — Relación de la Tangente. Para un ángulo α, agudo en un triángulo rectán-

gulo, se cumple la relación Sen α = Tan α Cos α Proposición 3.3 — Relación Pitagórica. Para un ángulo α, agudo en un triángulo rectángulo, se

cumple la relación Sen2 α +Cos2 α = 1

metría 3.3 Relaciones Fundamentales en Trigonometría

91

es fundamentales

EJERCICIOS resueltos  Ejemplo 3.24 — Comprobación de la Relación Tangente.

Compruebe en el ángulo α del triángulo de la figura siguiente que se cumple la relación de la Tangente

mejanza y el teorema de Pitágoras a

tángulos "básicos", es decir, con en el ángulo del triángulo de la figura que se cumplen las relaciones n cateto adyacente=1, se obtienen ales. amentales de la trigonometría: 2 2 5 3 son semejantes: 4 9 16 25 3 2y OB’A’ s 1 5 5 25 25 25

3 luego 1 4 tg

4

sen cos Calculamos la razón Sen para el ángulo α

tg

oseno y la tangente de un ángulo agudo

3 que sen tal

Sen α =

sen2 cos2 1 0,32 1 0,09 ema de Pitágoras al triángulo OBA 0,3 1 mos: 0,9 3

Calculamos la razón Cos para el ángulo α

0,81

5

=0,3

cos

0,81

Cos α = 0,9

Comprobamos la relación tangente, partimos del supuesto Sen α = Tan α Cos α 3 5 =3 4 4 5 3 3 = 4 4

2 en cos 2 la1relación: 1+ tg2 =sec2 que se cumple Calculamos la razón Tan para el ángulo α

2

sen cos

1

sen2

cos2

2

sen2 2

cos

cos

4 5

31 2 cos 4

sec2

Tan α =

Recuerda el triángulo:

sec

tg 1



EJERCICIOS resueltos  Ejemplo 3.25 — Comprobación de la Relación Pitagórica. triángulo de la figura siguiente que se cumple la relación Pitagórica

en el ángulo ales. 3 5

s2 3 4

2

Compruebe en el ángulo α del

del triángulo de la figura que se cumplen las relaciones 4 5

2

9 25

16 25

25 25

5

1

3 4

tg

Calculamos la razón Cos para el ángulo α

Calculamos la razón Sen para el ángulo α

oseno y la tangente de un ángulo agudo sen2 0,3 0,9

cos2

1

0,32

3 que sen tal

Sen α =

1

0,09

0,81

5

=0,3

cos

0,81

Cos α = 0,9

1 3

que se cumple la relación: 1+ tg2 =sec2 sen cos

2

1

sen2 2

cos

cos2

sen2 2

cos

1 2

cos

Recuerda el triángulo:

sec2

sec

tg 1

4 5

Trigonometría

92 Comprobamos la relación pitagórica, partimos del supuesto 9 + 16 =1 25 25 =1 25 1=1

Sen2 α +Cos2 α = 1  2  2 4 3 + =1 5 5 9 16 + =1 25 25



Ejemplo 3.26 — Aplicando las Relaciones Fundamentales. Aplicando las relaciones fundamentales calcules el Cos y el Tan del ángulo agudo α tal que Sen α = 0.3 

Utilizamos la relación pitagórica para obtener el Cos α Sen2 α

+Cos2 α

=1

(0.3)2 +Cos2 α = 1

Seguidamente aplicamos la relación de la tangente para obtener Tan α Sen α Cos α 0.3 Tan α = 0.9 1 Tan α = 3

Tan α =

0.09 +Cos2 α = 1 Cos2 α = 1 − 0.09 Cos2 α = 0.81 √ Cos α = 0.81 Cos α = 0.9 De esta manera Cos α = 0.9 y Tan α =

1 3 

Ejercicio 3.5

Aplique las relaciones fundamentales para la resolución de cada uno de los siguientes ejercicios. 4 1. Si Sen α = , y α es un ángulo agudo, calcule la Tan α. 5 3 2. Si Cos α = , y α es un ángulo agudo, calcule la Sen α. 5 √ 7 3. Si Cos α = , y α es un ángulo agudo, calcule la Sen α y Tan α. 4 5 4. Si Tan α = , y α es un ángulo agudo, calcule la Sen α y Cos α. 9 5. Si Cos α = 0.2, y α es un ángulo agudo, calcule la Sen α y Tan α. 1 6. Si Tan α = √ , y α es un ángulo agudo, calcule la Sen α y Cos α. 3

3.4 Resolución de Triángulos Rectángulos √ 3 7. Si Cos α = , y α es un ángulo agudo, calcule la Sen α y Tan α. 2 8. Calcule el Sen y el Cos de un ángulo agudo β sabiendo que Tan β = 2.

93



3.4

Resolución de Triángulos Rectángulos Corresponde al conjunto de procedimientos que permiten determinar la medida de uno de los lados de un triángulo rectángulo a partir de las medidas de sus ángulos internos a través de los valores de las razones trigonométricas y viceversa. 

Ejemplo 3.27 — Resolución de Triángulos. Determine la medida de los lados PH y PK

utilizando las medidas de la figura siguiente r

K

P

50 s

25 cm

H

Establecemos la razón trigonométrica para el ángulo que mide 50◦ y que involucre al lado PH. Considerando que PH es el cateto opuesto y que la hipotenusa mide 25 cm, tenemos Sen 50◦ =

s 25

Despejamos la incógnita s Sen 50◦ =

s 25

Sen 50◦ · 25 = s

19.1511 = s

Así, PH = 19.15 cm Procedemos de la misma manera para la medida de PK; la razón trigonométrica para el ángulo que mide 50◦ y que involucre al lado PK. Considerando que PK es el cateto adyacente y que la hipotenusa mide 25 cm, tenemos Cos 50◦ =

r 25

Despejamos la incógnita r Cos 50◦ =

r 25

Cos 50◦ · 25 = r

16.0697 = r

Así, PK = 16.06 cm 

Trigonometría

94 

Ejemplo 3.28 — Resolución de Triángulos. Determine la medida de los lados FD y RF

utilizando las medidas de la figura siguiente F m

n

70

R

4

7 cm

D

Establecemos la razón trigonométrica para el ángulo que mide 70◦ y que √ involucre al lado FD. Considerando que FD es el cateto opuesto y que la hipotenusa mide 4 7 cm, tenemos n Sen 70◦ = √ 4 7 Despejamos la incógnita n √ Sen 70◦ · 4 7 = n

n Sen 70◦ = √ 4 7

9.9448 = n

Así, FD = 9.94 cm Procedemos de la misma manera para la medida de RF; la razón trigonométrica para el ángulo que mide 70◦ y que involucre al lado RF. √ Considerando que RF es el cateto adyacente y que la hipotenusa mide 4 7 cm, tenemos m Cos 70◦ = √ 4 7 Despejamos la incógnita m √ Cos 70◦ · 4 7 = m

m Cos 70◦ = √ 4 7

3.6196 = m

Así, RF = 3.6196 cm  

Ejemplo 3.29 — Resolución de Triángulos. Determine la medida de los lados AB y BC

utilizando las medidas de la figura siguiente B y A

x 48 175 cm

C

Establecemos la razón trigonométrica para el ángulo que mide 48◦ y que involucre al lado AB. Considerando que AB es el cateto opuesto y que el cateto adyacente mide 175 cm, tenemos y Tan 48◦ = 175

3.4 Resolución de Triángulos Rectángulos

95

Despejamos la incógnita y Tan 48◦ =

y 175

Tan 48◦ · 175 = y

194.3572 = n

Así, AB = 194.35 cm Procedemos de la misma manera para la medida de BC; la razón trigonométrica para el ángulo que mide 48◦ y que involucre al lado BC. Considerando que BC es la hipotenusa y que el cateto adyacente mide 175 cm, tenemos Cos 48◦ =

175 x

Despejamos la incógnita x 1 =x Cos 48◦ 216.5334 = m

175 x 1 x = ◦ Cos 48 175

Cos 48◦ =

175 ·

Así, BC = 216.53 cm  

Ejemplo 3.30 — Resolución de Triángulos. Determine la medida de los lados RS y SW

utilizando las medidas de la figura siguiente S 36 n R

z

57 cm

W

Establecemos la razón trigonométrica para el ángulo que mide 36◦ y que involucre al lado RS. Considerando que RS es el cateto adyacente y que el cateto opuesto mide 57 cm, tenemos Tan 36◦ =

57 n

Despejamos la incógnita y 57 n 1 n = ◦ Tan 36 57 Tan 36◦ =

1 =n Tan 36◦ 78.4538 = n

57 ·

Así, RW = 78.45 cm Procedemos de la misma manera para la medida de SW ; la razón trigonométrica para el ángulo que mide 36◦ y que involucre al lado SW .

Trigonometría

96

Considerando que SW es la hipotenusa y que el cateto opuesto mide 57 cm, tenemos Sen 36◦ =

57 z

Despejamos la incógnita x Sen 36◦ =

1 =z Sen 36◦ 96.9742 = z

57 z

57 ·

1 z = Sen 36◦ 57 Así, SW = 96.97 cm



Ejercicio 3.6

Aplique en cada caso las razones trigonométricas para resolver cada uno de los siguientes triángulos. 1. En la figura adjunta determine la medida de AM y MR

A

2. En la figura adjunta determine la medida de HD y DF

H

D 60

70 cm

250 cm 65 M

F R

3. En la figura adjunta determine la medida de PQ y PW

P

4. En la figura adjunta determine la medida de DJ y HJ

D 49

25 cm H

Q

13 cm

W

40

J

3.4 Resolución de Triángulos Rectángulos 5. En la figura adjunta determine la medida de AC

B 10 cm

97

6. En la figura adjunta determine la medida de la altura del trapecio.

12 cm 120

C

A

20 cm D 7. De acuerdo con la figura adjunta, si ABCD es un rectángulo, determine la medida de su diagonal.

D 40

A

15 cm

C

B

8. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 47◦ y el cateto opuesto 8 cm, halle la medida de la hipotenusa. 9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 cm y un ángulo 66◦ . Calcule la medida de los catetos. 10. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 44◦ y el cateto adyacente 16 cm, calcule la medida del otro cateto. 11. En un triángulo rectángulo los catetos miden 15 y 8 cm, halle la medida de los ángulos agudos. 12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 45 cm y un cateto 27 cm, calcule la medida de los ángulos agudos. 13. En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 78◦ y la altura 28 cm, halle la medida del lado desigual. 14. Los lados iguales de un triangulo isósceles miden 41 cm y los ángulos iguales 72◦ , calcule la medida del otro lado 3 15. El cos de un ángulo del primer cuadrante es , calcule la medida del seno del ángulo. 4

a) a) 15 15 7 c) 7 c) 12 12

b) 3 b) 10 10 11 d) 11 d) 6 6

cuadrante, calcula el cos . cuadrante, calcula el cos . 16. La apotema de un polígono regular de 9 16. La apotema de un polígono regular de 9 lados mide 15 cm, calcula el lado. lados mide 15 cm, calcula el lado. 17. El lado de un exágono regular mide 30 3. Halla con la calculadora las siguientes 17. El lado de un exágono regular mide 30 3. Halla 98 con la calculadora las siguientes cm, calcula la apotema. Trigonometría razones redondeando a centésimas: cm, calcula la apotema. razones redondeando a centésimas: 18. La apotema de un octógono regular a) sen 25º b) cos 67º 12 18. La apotema de un octógono regular a) sen 25º b)un cos 67º del primer cuadrante 16. La tangente de ángulo escm,calcule medida de lapolígono. razón seno. mide 8 calculalael área del 5 mide 8 cm, calcula el área del polígono. c) tg 225º d) tg 150º c) tg 225º d) tg 150º 17. La apotema de un polígono regular de lados mide 15 del cm, calcule la medida del lado del 19.9 La longitud radio de un pentágono 19. La longitud del radio de un pentágono 4. Un ángulo de un triángulo rectángulo regular es 15 cm. Calcula el área. polígono. 4. Un ángulo de un triángulo rectángulo regular es 15 cm. Calcula el área. mide 47º y el cateto opuesto 8 cm, mide 47º y el cateto opuesto 8 cm, halla la hipotenusa. 20.cm, Lacalcula sombra de un árbol cuando los rayos 18. El lado de un exágono regular mide 30 la medida de la apotema. halla la hipotenusa. 20. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un 19. La apotema de un octógono regular mide del 8 cm,sol calcule el área con del polígono. forman la horizontal un 5. La hipotenusa de un triángulo ángulo de 36º, mide 11m. ¿Cuál es la 5. La hipotenusa de un triángulo ángulo decm. 36º, mide 11m. ¿Cuál es la rectángulo20. mide 26 cm ydel unradio ángulo 66º. La longitud de un pentágono regular es 15 Calcule el área. altura del árbol?. rectángulo mide 26 cm y un ángulo 66º. altura del árbol?. Calcula los catetos. Calcula los La sombra de un árbol cuando los rayos del con lacometa horizontal un ángulo 36◦ , 21.catetos. 21. El sol hiloforman de una mide 50 mdede 21. El hilo de una cometa mide 50 m de 6. Un ángulo de un11triángulo mide m. ¿Cuál esrectángulo la altura del árbol?. largo y forma con la horizontal un 6. Un ángulo de un triángulo rectángulo largo y forma con la horizontal un mide 44º y el cateto adyacente 16 cm, ángulo de 37º, ¿a qué altura vuela ◦la mide 44º y el cateto adyacente 16 cm, ángulo ¿a quéunaltura calcula el 22. otroElcateto. hilo de una cometa mide 50 m de largocometa?. y formade con37º, la horizontal ángulovuela de 37 ,la¿a calcula el otro cateto. cometa?. qué altura vuela la cometa?. 7. En un triángulo rectángulo los catetos 22. Para medir la altura de 7. En un triángulo rectángulo los catetos 22. Para medir la altura de miden 15 y 8 cm, halla los ángulos un edificio se miden los miden 15 y 8 cm, halla los ángulos un edificio se miden los agudos. ángulos de elevación agudos. 23. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulosdede elevación ángulos elevación h desde dos puntos h 8. La hipotenusa de un triángulo desde dos puntos distantes 100 m. ¿Cuál es la altura si los ángulos desde dos puntos 8. La hipotenusa de un triángulo distantes 100m. ¿cuál ◦ ◦ rectángulo mide 45 cm y un cateto 27 distantes 100m. ¿cuál miden45 33cm y 46 46º rectángulo mide y ?un cateto 27 33º es la altura si los cm, calcula los ángulos agudos. 46º 33º es la altura si los cm, calcula los ángulos agudos. 100 ángulos son 33º y 46º?. 100 ángulos son 33º y 46º?. 9. En un triángulo isósceles los ángulos 9. En un triángulo isósceles los ángulos 23. Dos personas distantes iguales miden 78º y la altura 28 cm, 23. Dos personas distantes iguales miden 78º y la altura 28 cm, entre sí 840 m, ven halla el lado desigual. entre sí 840 m, ven halla el lado desigual. 24. Dos personas distantes entre sí 840 m, vensimultáneamente simultáneamente un aviónun simultáneamente un avión con ángulos de ◦ ◦ , ¿a 10. Los lados iguales de un triángulo h con ángulo de elevación respectivos de 60 y 47 qué altura vuela avión con ángulos de 10. Los lados iguales de un triángulo h elevación respectivos de isósceles miden 41 cm y los ángulos el avión? elevación respectivos de isósceles miden 41 cm y los ángulos 47º 60º y 47º, ¿a qué altura 60º iguales 72º, calcula el otro lado. 47º 60º y 47º, ¿a qué altura 60º iguales 72º, calcula el otro lado. vuela el avión?. 840 vuela el avión?. 840 11. El cos de un ángulo del primer 11. El cos de un ángulo del primer 24. Para medir la altura de una montaña se 25. Para medir la altura de una montaña se miden los ángulos de elevación desde dos puntos cuadrante es 3/4, calcula el seno del 24. Para medir la altura de una montaña se cuadrante es 3/4, calcula el seno del miden los ángulos de elevación desde ángulo. distantes 480 m y situados a 1200 m sobre miden el nivel del ¿Cuál es altura si los desde ángulos los mar. ángulos dela elevación ángulo. dos puntos distantes 480m y situados a son 45◦ y 76◦ ?. dos puntos distantes 480m y situados a 12. La tangente de un ángulo del primer 1200 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es 12. La tangente de un ángulo del primer 1200 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es cuadrante es 12/5 calcula el seno. la altura si los ángulos son 45º y 76º?.  cuadrante es 12/5 calcula el seno. la altura si los ángulos son 45º y 76º?. 124 124

MATEMÁTICAS B MATEMÁTICAS B

3.5 Ángulos de elevación y depresión

3.5

99

Ángulos de elevación y depresión Corresponde a los ángulos que se miden con respeto a nuestra horizontal visual y a nuestra línea de visión, de esta manera el ángulo de elevación se forma cuando vemos un objeto que se encuentra por encima de nuestra horizontal visual y el ángulo de depresión se forma cuando vemos un objeto que se encuentra por debajo de la horizontal visual, observemos el diagrama siguiente ! Línea de visión

α º Ángulo de elevación

Horizontal visual

β º Ángulo de depresión

Línea de visión



Ejemplo 3.31 — Ángulo de Elevación. Resuelva el siguiente problema utilizando razones

trigonométricas. Un árbol proyecta una sobra de 8 metros de largo, cuando el ángulo de elevación de los rayos solares mide 57◦ , determine la medida de la altura del árbol. Planteamos la situación, de forma gráfica

Planteo

!

altura del ⇒ árbol

57º sombra del árbol 8m

De acuerdo a la disposición de los elementos, usaremos la razón Tan para el ángulo de 57◦ . Tan 57◦ =

h 8

Ahora damos la respuesta al problema

Tan 57◦ · 8 = h 12.3189 = h

Trigonometría

100 La altura del árbol es aproximadamente 12.32 metros.

 

Ejemplo 3.32 — Ángulo de Elevación. Resuelva el siguiente problema utilizando razones

trigonométricas. Un automóvil que se encuentra a 135 metros de la base de una torre forma un ángulo de elevación de 47◦ a la cúspide del edificio. Determine la altura de la torre. Planteamos la situación, de forma gráfica

!

altura del ⇒ Torre 47º

dis tan cia 135m De acuerdo a la disposición de los elementos, usaremos la razón Tan para el ángulo de 47◦ . Tan 47◦ =

h 135

Tan 47◦ · 135 = h 144.7698 = h

Ahora damos la respuesta al problema La altura de la torre es aproximadamente 144.77 metros.  

Ejemplo 3.33 — Ángulo de Elevación. Resuelva el siguiente problema utilizando razones

trigonométricas. Encuentre el ángulo de elevación del sol si una niña de 1.10 metros produce una sombra de 2 metros de longitud en el suelo.

3.5 Ángulos de elevación y depresión

101

Planteamos la situación, de forma gráfica

!

⇐ altura 1,10 m

βº sombra 2 m De acuerdo a la disposición de los elementos, usaremos la razón Tan para el ángulo de β . 1.10 Tan β = 2   −1 1.10 β = Tan 2

β = 28.8107 β ≈ 29◦

Ahora damos la respuesta al problema El ángulo de elevación del sol es aproximadamente 29◦ .  

Ejemplo 3.34 — Ángulo de Depresión. Resuelva el siguiente problema utilizando razones

trigonométricas. Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 metros, el ángulo de depresión de una embarcación es de 15◦ . ¿A qué distancia del faro está la embarcación? Planteamos la situación, de forma gráfica

Trigonometría

102

De acuerdo a la disposición de los elementos, usaremos la razón Tan para el ángulo de 15◦ . 120 x x 1 = Tan 15◦ 120

Tan 15◦ =

1 =x Tan 15◦ 447.8460 = x

120 ·

448 ≈ x

Ahora damos la respuesta al problema La distancia del barco al faro es aproximadamente 448 metros. 

Ejercicio 3.7

Resuelva los siguientes problemas aplicando las razones trigonométricas.

1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo. 2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador? 3. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del avión. 4. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57◦ . Calcular la altura de la torre. 5. Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40 m de la base de la antena. Si el alambre hace un ángulo de 58◦ , con el suelo, encuentre la longitud del alambre. 6. Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de meterología dirige la luz de un faro verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P situado a 1000 m del faro, se mide el ángulos de elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59◦ . Hallar la altura de la capa de nubes. 7. Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165 cm de estatura proyecta una sombra de 132 cm de largo a nivel del suelo. 8. Un constructor desea construir una rampa de 8 m de largo que se levanta a una altura de 1.65 m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo de la rampa con la horizontal. 9. Una banda transportadora de 9 metros de largo puede bajar o subir hidráulicamente para descargar pasajeros de los aeronaves. Encuentre el ángulo que hay que levantar para llegar a una puerta de un avión que está 4 metros arriba de la plataforma que la sostiene. 10. Una banda transportadora de 9 metros de largo puede bajar o subir hidráulicamente hasta un ángulo de 40◦ , para descargar pasajeros de los aeronaves. Hallar la altura máxima sobre la plataforma a que la banda transportadora puede llegar.

3.5 Ángulos de elevación y depresión

103

11. La estructura natural más alta hecha por el hombre, en el mundo, es una torre transmisora de televisión situada en Fargo, Dakota del Norte. Desde una distancia de 1600 metros a nivel del suelo, su ángulo de elevación es de 21◦ . Determinar su altura en metros. 12. Una escalera que mide 6.6 metros se apoya en un edificio y el ángulo entre ambos es de 22◦ . Calcular la distancia del pie del edificio hasta donde se apoya la escalera en el suelo. 13. Una escalera que mide 6.6 metros se apoya en un edificio. Si la distancia del pie del edificio a la parte de la escalera que esta en el suelo aumenta 1 metro (ver el ejercicio anterior). ¿Aproximadamente cuánto bajará del edificio la parte alta de la escalera? 14. Desde un punto A que está a 8.2 metros sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación a la parte alta de un edificio es de 31◦ . Encuentre la altura del edificio. 15. Cuando se observa la parte más alta de la torre Eiffel desde una distancia de 66 metros de su base, el ángulo de elevación es 79◦ . Hallar la altura de la torre. 16. Desde la parte alta de una torre de 120 m de altura, el ángulo de depresión de un objeto colocado en el plano horizontal de la base de la torre es de 24◦ . ¿Qué tan lejos está el objeto del pie de la torre? ¿A qué distancia del observador está el objeto? 17. Una persona hace volar un cometa y sostiene una cuerda 1.2m sobre el nivel del suelo. La cuerda del cometa está tensa y forma un ángulo de 60◦ con la horizontal. Calcular la altura del cometa sobre el nivel del suelo, si se sueltan 500 m de cuerda. 18. En un faro que está a 58, 2 metros sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un pequeño bote es de 11◦ . ¿Que distancia hay entre el punto de observación y el bote? 19. Un edificio proyecta una sombra de 950 m cuando el ángulo de elevación de los rayos solares es de 25◦ . Hallar la altura del edificio. 20. El ángulo de elevación de un barco a la punta de un faro de 50 m de alto, situado en la costa, mide 13◦ . ¿Qué tan lejos de la costa se encuentra el barco? 21. Calcular la longitud de una escalera que se apoya contra una pared a 10 dm de altura, de manera que el ángulo formado por la escalera y el piso horizontal mide 30◦ . 22. Un árbol proyecta una sombra de 12 m y el ángulo de elevación de la punta de la sombra la punta del árbol es de 52◦ . Determine la altura del árbol. 23. Determinar la medida de la sombra de un edificio, sabiendo que cuando los rayos del sol forman un ángulo de 60◦ con dicho edificio y la altura es de 75 m. 24. Un avión está volando a una altura de 10000 m. El ángulo de elevación desde un objeto en la tierra hacia el avión mide 30◦ . ¿Qué tan lejos se encuentra el objeto del avión? 25. Una rampa tiene 400 m de longitud. Se eleva a una distancia vertical de 32 m. Determine la medida del ángulo de elevación. 26. La cuerda de un papelote mide 40 m y se encuentra atada a un piso por uno de los extremos formando un ángulo de elevación de 37◦ . Si la cuerda se mantiene tensa, hallar la altura a que se encuentra el papelote.

Trigonometría

104

27. Un papelote está volando al extremo de una cuerda en línea recta de 200 m, la cual sujeta un niño de 1.2 m de estatura. La cuerda hace un ángulo de 68◦ respecto a la horizontal. ¿Qué tan alto se encuentra el papelote del suelo? 28. Una escalera de 30 m de longitud, forma un ángulo de 55◦ con el suelo mientras se inclina contra el muro de un edificio. ¿A qué altura toca la pared?

The approach used in Problem to calculate side length 29. Un2peñasco está a the 150unknown m arriba del nivel del mar. Desde el peñasco el ángulo de depresión ◦ of the given triangle illustrates a very useful general relationship de un barco en el mar mide 8 . ¿Qué tan lejos está el barco de la base del peñasco? mong sides and angles of any triangle. 30. Un observador situado en la azotea de un edificio observa un objeto en el suelo con un a. Explain why each step in ángulo the following derivation ◦is correct for the de depresión de 32 . Si la altura del edifico es de 48 m. Encuentre la distancia que acute △ABC below. hay del objeto a la base del edificio. h _ C = sin A (1) b 31. Desde la azotea de un edificio a 10 m de altura, una persona observa a un niño. Si el ángulo h = b sin A (2) de depresión del observador es de 25◦ . Hallar la distancia del niño a la base del edificio. h _ = sin B (3) a h = a sin B b sin A = a sin B

a

b

(4) (5)

sin A sin B _ =_ (6) a b3.6 Ley de Senos A

h



c

B

b. How would you modify the derivation in Part a to show that sin B sin C AD Beisbol Un fanático de beisbol está sentado directamente detras del home en la última fila◦ de _ = _?

la platea superior del Comiskey Park en Chicago. El ángulo de depresión al home es de 29 , y el ángulo de depresión al montículo del pitcher es de 24◦ . En las ligas mayores, la distancia lationship derived in Problem 3 for acute angles A, B, C holds in entre el home y el montículo deland pitcher es de 18.44 metros. ¿Qué tan lejos está el fanatico del home? angle, for all three of its sides and their opposite angles. It is called b

c

w of Sines and can be written in two equivalent forms. The cases for triangle or an obtuse triangle are derived in Extensions Tasks 22 La Ley de Senos puede usarse para resolver triángulos que no son rectángulos. . Definición 3.4 — Ley de Senos. Para un 4 ABC, donde los lados a, b y c, respectivamente se ny triangle ABC with sides of lengths a, b, and c opposite ∠A, oponen a los ángulos de vértice ∠ A, ∠ B y∠B, ∠C se cumple ∠C, respectively: A

nA sin B sin C _ =_=_ a c b

a b c _ =_ =_ . nA sin B sin C

c

b

quivalently,

C

a

a b c = = Sen A Sen B SenC

B

n use the Law of Sines to calculate measures of angles and lengths of Las ecuaciones establecen la razón de la longitud de cualquier lado de un triángulo con el n triangles with even less given information than que the fire-spotting m at the beginning of thisdeinvestigation. In practice, you only use the seno su ángulo opuesto se mantiene constante para un triángulo dado cualquiera. y of two of the ratios at any one time.

3.6 Ley de Senos 

105

Ejemplo 3.35 — Ley de Senos. Resuelva el 4 ABC, sabiendo que A = 33◦ , B = 105◦ y b =

37.9 cm

Iniciamos calculando la medida del ángulo que se encuentra en el vértice C ∠C = 180◦ − (33◦ + 105◦ ) = 42◦ Usamos la ley de senos para encontrar Usamos la ley de senos para encontrar el lado a el lado c a b c b = = Sen A Sen B SenC Sen B a 37.9 c 37.9 = = Sen 33 Sen 105 Sen 42 Sen 105 37.9 · Sen 33 37.9 · Sen 42 a= c= Sen 105 Sen 105 a ≈ 21.369983 c ≈ 26.254655 ◦ Por tanto, la medida de ∠C = 42 , a ≈ 21.37 y c ≈ 26.25. 

Ejemplo 3.36 — Ley de Senos. Resuelva el siguiente problema. La estación A de los guardacostas se encuentra directamente a 150 millas al sur de la estación B. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio, la cual es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación A indica que la posición del barco es 45◦ al noreste; la llamada a la estación B indica que la posición del barco es 30◦ al sureste, tal como se muestra en la figura. ¿A qué distancia del barco se encuentra cada estación?



30º

150 millas

45º

Solución: Considerando el triángulo que se forma:

Consideramos el triángulo que se forma

60º

a G

45º

106

Solución: Considerando el triángulo que se forma:

60º

Trigonometría

a G

150 b 45º

Aplicando la Ley de los Senos:

Iniciamos calculando la medida del ángulo γ

a sen(45º)

=

150 ◦ − (60◦ + 45◦ ) = 75◦ = 180 sen(180º γ45º

60º)

Usamos la ley de senos para encontrar Usamos la ley de senos para encontrar 150 sen(45º) el lado b el lado a a= sen(75º) a 150 b 150 = = Sen 45 Sen 75 Sen 60 Sen 75 •2 150 2 150 · Sen 45 = 150 · Sen 60 a= b= •6  •2 Sen 75 Sen 75 4 a ≈ 109.807621 b ≈ 134.486320 Por tanto, la estación A se 300 encuentra a 134.49 millas y la estación B se encuentra a 109.81 millas •2 = del barco.

•6  •2



300 •2 •6 •2  Ejemplo 3.37 — Ley= de Senos. Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de •6  •2 •6 •2

estaciones de observación en Phoenix y Los Ángeles, a 340 millas de distancia una de la otra. En un instante cuando el satélite está (entre dos estaciones, simultáneamente se observa que el ángulo a = 150 1)millas •3 esas de elevación es de 60◦ en Phoenix y de 75◦ en Los Ángeles. ¿A que distancia está el satélite de la 630 estación pág. de Los Ángeles? Iniciamos calculando la medida del ángulo faltante α = 180◦ − (75◦ + 60◦ ) = 45◦ Usamos la ley de senos para encontrar la medida buscada 340 x = Sen 60 Sen 45 340 · Sen 60 x= Sen 45 x ≈ 416.413256 Por tanto, la estación de Los Ángeles se encuentra aproximadamente a 416.41 millas del satélite. 

ur Own

3.6 Ley de Senos Ejercicio 3.8

107

Resuelva los siguientes ejercicios aplicando la Ley de Senos en cada caso.

1. Considere en cada caso el 4 ABC, donde a, b y c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A, B y C, respectivamente. Encuentre las medidas aproximadas de las tres partes desconocidas del 4 ABC de acuerdo a las medidas que se presentan a continuación. (a) A = 40◦ , C = 70◦ y a = 20.

(l) A = 41◦ , C = 77◦ y a = 10.5.

(b) b = 12, A = 25◦ y B = 35◦ .

(m) B = 20◦ , C = 31◦ y b = 210.

(c) A = 100◦ , C = 50◦ y c = 30.

(n) B = 51◦ , C = 71◦ y c = 537.

(d) A = 65◦ , B = 50◦ y c = 12.

(o) A = 28◦ , B = 52◦ y a = 32.4.

(e) a = 8.2, B = 24.8◦ y C = 61.3◦ .

(p) A = 7◦ , B = 12◦ y a = 2.19.

(f) c = 19.3, A = 39◦ y B = 64◦ .

(q) A = 65◦ , a = 21.3 y b = 18.9.

(g) c = 5.4, A = 58◦ y B = 42.8◦ .

(r) B = 30◦ , a = 35.8 y b = 17.9.

(h) a = 6.9, A = 47.2◦ y C = 110.5◦ .

(s) A = 28◦ , c = 52.8 y a = 28.1.

(i) a = 12.9, b = 16.3 y c = 8.8.

(t) B = 113◦ , b = 248 y c = 195.

(j) b = 9.7, c = 10.2 y C = 67.4◦ .

(u) C = 81◦ , c = 11 y b = 12.

(k) A = 48◦ , C = 57◦ y b = 47. (v) A = 60◦ , C = 45◦ y a = 40. 3 Two lighthouses A and B are 50 km apart. At 2 A.M., a freighter 2. Dos faros A y B están separados 50AB km.isAsighted las 2 a.m., un barco moving parallel to line at point C ascarguero shown se in mueve the paralelo a la linea AB es observado con las condiciones que se muestran a continuación. diagram below.

B

50 km 25°

A 105°

C

a. distancia How far se is encuentra the freighter from lighthouse B? ¿Y From A? (a) ¿A qué el carguero del faro B? del lighthouse faro A? b. At 3 A.M., the angle at A is 86°. The angle at B is 29°. How far is (b) A las 3 a.m., el ángulo en A es 86◦ . El ángulo en B es 29◦ . ¿A qué distancia se the freighter from lighthouse B? From lighthouse A? encuentra el carguero del faro B? ¿Y del faro A? c. How far has the freighter moved in the hour between 2 A.M. (c) ¿Cuántoand se desplazo 3 A.M.? el carguero entre las 2 a.m. y las 3 a.m.? 4

The ninth hole at Duffy’s Golf Club is 325 yards down a straight fairway. In his first round of golf for the season, Andy tees off and hooks the ball 20° to the left of the line from the tee to the hole. The ball stops 205 yards from the tee

3

P 205 yards Tee

20°

a. How far is the freighter from lighthouse B? From lighthouse A? b. At 3 A.M., the angle at A is 86°. The angle at B is 29°. How far is 108

the freighter from lighthouse B? From lighthouse A?

Trigonometría

El hoyo nueve en el Club de Golf Duffy se encuentra a 325 yardas de la zona de saque. En c. How far has 3.the freighter moved in the hour between 2 A.M. su primer saque, Andrés golpea la bola enviandola 20◦ a la izquierda del Tee, deteniendose

and 3 A.M.?

a 205 yardas de la zona de saque en el punto P, como se muestra en la figura.

The ninth hole at Duffy’s Golf Club is 325 yards down a straight fairway. In his first round of golf for the season, Andy tees off and hooks the ball 20° to the left of the line from the tee to the hole. The ball stops 205 yards from the tee at point P, as shown in the figure.

3

P 205 yards

20°

Tee

a. How far is his ball from the hole (marked by the flag)? (a) ¿A qué distancia se encuentra la bola del hoyo nueve (marcado por la bandera roja)? b. To decide which tolasuse hisparalelas. next shot, knows heuna hits 4. Un club río tiene doson orillas DesdeAndy los puntos P y Q de orilla, se observa un

punto R de la orilla opuesta. las visuales la dirección de la orilla ángulos de an average of 135–145 yards with aSifive iron; forman with acon four iron, he 40 grados y 50with grados, y lahits distancia entre losyards. puntos P y Q es 30 metros, hits 145–155 yards; and a respectivamente, three iron, he 155–165 determine el ancho del río. Which of these clubs would hisla best choice? 5. Determine en cadabe caso, medida del lado marcado con “x” y la medida del ∠ θ de acuerdo a los datos que se presentan.

A field is in the shape of quadrilateral ABCD as shown below. A 135° 20 m

(a)

B

27 m 120°

24 m(b)

D C

a. Find the length (c) CD of its fourth side. (d) b. Find the measures of the remaining angles of the field. c. Find the area of the field.

3.6 Ley de Senos

109

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o) 

4 — Pirámides

Definición 4.1 — Pirámide. Una pirámide es un poliedro con una cara, llamada base, que es

un polígono de cualquier número de lados y las otras caras son triángulos que se encuentran en un punto común llamado vértice o cúspide de la pirámide. Las caras triangulares se llaman caras laterales y la intersección de estas caras son las aristas laterales. La altura de la pirámide es la longitud de la perpendicular trazada desde el vértice o cúspide, al plano de la base. El área lateral de una pirámide es igual a la suma de las áreas de las caras laterales de la pirámide. El área total de una pirámide es igual a la suma del área lateral y el área de la base. Las pirámides reciben su nombre dependiendo del número de lados que tengan sus bases (polígonos) y pueden ser regulares o irregulares. Si son polígonos regulares, entonces todas las caras serán congruentes entre si y la pirámide será regular. Las pirámides pueden ser rectas u oblicuas.

Pirámides

112

Proposición 4.1 — Principales medidas para el Pirámide Triangular. Área de la base (Abase ),

área de las dos bases (Abasal ), área de las caras laterales (Alateral ), área de bases y caras laterales (Atotal ) y la apotema A p . √ l2 · 3 Abasal = 4 √ l2 · 3 Abase = 4 3 · l · ap Alateral = √2 l2 · 3 3 · l · ap Atotal = + 2 v 4 !2 u √ u l· 3 t 2 Ap = h + 6

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5)

Proposición 4.2 — Principales medidas para el Pirámide Cuandrangular. Área de la base (Abase ), área de las dos bases (Abasal ), área de las caras laterales (Alateral ), área de bases y caras laterales (Atotal ) y la apotema (A p ).

Abasal = l 2 Abase = l

2

Alateral = 2 · l · hL

Atotal = l 2 + 2 · l · hL s  2 l 2 Ap = h + 2

(4.6) (4.7) (4.8) (4.9) (4.10)

113 21 Dibuja la interpretación geométrica del teorema

b) c’ = a – b’ c’ = 5 – 1,8 = 3,2 m c)

c2

= a · c’

c2 = 5 · 3,2 = 16

de Pitágoras en el caso en que los lados midan Proposición 4.3 — Principales medidas para el Pirámide Rectangular. Área de la base

cm, 8 cm y 10 cm (Abase ), área de las dos bases6(A basal ), área de las caras laterales (Alateral ), área de bases y caras Solución: laterales (Atotal ) y la apotema (A p ).

c=4m

a2

d) h2 = b’ · c’

Abasal = a · b

h2 = 1,8 · 3,2 = 5,76 h = 2,4 m

Abase = a · b

e) Dibujo

c2(4.11)

102 = 100 a

Alateral = a · hL + b · hL

b=3m

b' = 1,8 m

h = 2,4 m

Atotal = a · hL + b · hL + a · b r  a 2 A p = h2 + 2 s  2 b A p = h2 + 2

19 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3,5 cm

(4.13)

b 62 = 36

c=4m

c' = 3,2 m a=5m

(4.12)

82 = 64

c

(4.14) b2

(4.15) 100 = 64 + 36

(4.16)

22 ¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas?

y 2,5 cm. Haz el dibujo y halla la longitud de la hipoa) 2, 3 y 4  Ejemplo 4.1 — Pirámide Cuadrada Regular. tenusa. Redondea el resultado a dos decimales. b) 3, 4 y 5

Calcule el valor de la apotema de la pirámide cuadrada regular, sabiendo que la arista de la base mide 12 cm y la altura de la pirámide mide 8 cm. c) 4, 5 y 6

Solución:

c = 2,5 cm

5, 12 y 13de la apotema de la pirámide de base cuadrada Aplicamos la fórmula para eld)cálculo s p √  Solución: 2 2 + 62 a A = 100 A = 8 p p 12a) 22 + 32 ≠ 42 ò No A p = 82 + √ 2b) 32 + 42 = 52 ò Sí A p = 64 + 36 A p = 10 c) 42 + 52 ≠ 62 ò No

b = 3,5 cm

a2 = b2 + c2

2 ò Sí 52 + 122 = 13 Por tanto, la apotema de lad) pirámide mide 10 cm

a2 = 3,52 + 2,52 a = 4,30 cm



23 En una pirámide cuadrangular, la arista de la base

En una pirámide Ejemplo 4.2 — Pirámide Cuadrada Regular. mide 6 cm, y la altura, 8 cm. Calcula cuánto mide la cuadrangular, la arista de la de dicha cuánto pirámide.mide Redondea el resultadode dicha pirámide. base mide 6 cm y la altura de 8apotema cm. Calcula la apotema 

20 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide

a dos decimales.

8 cm

Solución: a2 = b2 + c2

h

8 cm

4,5 cm, y un cateto, 3 cm. Haz el dibujo y halla la longitud del otro cateto. Redondea el resultado a dos decimales. h

4,52 = 32 + c2 c = 3,35 cm

a = 4,5 cm

c

6 cm

3 cm

Aplicamos la fórmula paraSolución: el cálculo de la apotema de la pirámide de base cuadrada h2 = 3 2 + 8 2 s s √ b = 3 cm  h=28,54 cm  2 A p = 64 + 9 l 6 A p = h2 + A p = 82 + √ 2 2 A p = 73 p TEMA 11. SEMEJANZA. TEOREMA DE THALES Y PITÁGORAS 289 A p = 82 + 32 A p ≈ 8.544003 Por tanto, la apotema de la pirámide mide aproximadamente 8.54 cm



de Pitágoras en el espacio

ma de Pitágoras, podemos obtener distintas relaciones métri114 es elementos de un cuerpo geométrico que nos permitirán calúmenes de cuerpos geométricos. Fíjate en los siguientes 

Pirámides

Ejemplo 4.3 — Pirámide Cuadrada Regular. Calcule el valor de la altura de la pirámide

cuadrada regular, sabiendo que la arista de la base mide 14 cm y la apotema de la pirámide mide ejemplo ejemplo 2 25 cm. 1

de la generatriz del cono de la figura.

cono es la hiángulo rectános son la altuadio de la base.

La altura de la pirámide es uno de los catetos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la apotema de la pirámide y cuyo otro cateto es la apotema de la base.

g

12 cm

valor de la gendo el teorema al triángulo an-

Calcula el valor de la altura de la pirámide regular de la figura. 25 cm

h

— Calculamos el cateto y la altura. c=

5 2 = 13

5 cm

h=

del cono mide

c

14 =7 2

14 cm

25 2 − 7 2 = 24

Aplicamos la fórmula para el cálculo de la apotema de la pirámide de base cuadrada La altura de la pirámide mide 24 cm. s  2 625 = h2 + 49 l CRETO A p = h2 + ejemplo 3 2 625 − 49 = h2 — Aplicamos el teorema de Pitágoras y calculamos la dianal de un cubo de 3 cm de arista. s gonal de la base del  cubo.  n cubo en el 576 = h2 14= 22a2 = 2 a 2 2 amos el enun2 d = a + a 25 = h + √ blema. 2 576 = h — Aplicamos de nuevo el teorema de Pitágoras y calculamos la diagonal D 2 2 del cubo. 2

D

25 = h + 7

D=

d a

d 2 + a2 =

2 a2 + a2 =

3 a2 =

D = de 3 ◊la 3 =pirámide 5, 2 Por tanto, la altura mide 24 cm Así, la diagonal del cubo mide 5,2 cm.

cubo y comprueba tu resultado.



Ejercicio 4.1

s

Aplique las fórmulas de las pirámides para encontrar lo que se solicita en cada

!

caso.

13 Calcula el valor de la diaalor de x en cada uno de estos cuerpos 1. La base de una pirámide . gonal del prisma de la fiHalle sugura. área total.

12 cm regular es un cuadrado de 6 cm de lado. Su altura es de 4 cm. 4 cm

13 cm

9,5 cm

10 cm

x x

3 cm

2. Halla el área de la base, el área lateral y el área total de una pirámide triangular, sabiendo que 14 su base mide 10 cm y que la altura de la pirámide mide 45 cm. ¿Cuánto mide el radio de 5 cm la base del segmento es-

x 3. Calculaférico el área totalaldesecuna pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 6 obtenido 4 cm una esfera de racm. y lacionar apotema mide 10 cm.

dio 5 cm por un plano que dista 4 cm del cen-

6c m

x

3 cm

24 = h

3a

Distribución gratuita - Prohibida la venta

que la diagoes la hipotengulo rectánatetos son la o y la diagonal

5 cm

4. ¿Cuál es lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, si el lado de la base mide troel deárea la esfera? 10cm y la altura de la pirámide es 12cm? 5. Si la altura de una pirámide es 20cm y su base es un cuadrado de 18cm de lado; entonces, ¿Cuál es el área lateral de la pirámide ? 147 6. ¿Cuál es el área total en centímetros cuadrados de una pirámide regular de base hexagonal, si se sabe que el lado de la base mide 5cm y la apotema de la pirámide mide 4.4cm? 7. Si la base de una pirámide es un rectángulo de 6 cm de largo y 3 cm de ancho y su altura es 15 cm, entonces ¿Cuál es la medida del área total? 8. Pablo y su padres construyeron una tienda de campaña de forma de pirámide cuadrangular.

115 La tienda se construyó con piso. Calcular la cantidad de lona que utilizaron si la apotema de la tienda mide 3 m y el lado de la base mide 4 m. 9. Calcular el área lateral y el área total de una pirámide de base cuadrada de 25 cm de apotema y 15 cm de arista de la base. 10. Una pirámide egipcia de base cuadrada tiene 150 metros de altura y 139 metros de arista de la base. ¿Cuál es su superficie lateral? 

5 — Álgebra

5.1

Función Cuadrática AD El Luge es un deporte invernal en el cual los competidores descienden una pista cubierta de hielo a velocidades de mas de 115 km/h recostados a un pequeño trineo. Las carreras de luge son cronometradas a la centésima de segundo, reflejando el margen mas estrecho entre la victoria y la derrota. Además de la habilidad del atleta, la gravedad es el factor que principalmente afecta el tiempo de cada carrera. La teoría acerca de los efectos de la gravedad sobre los objetos en caída libre predicen los siguientes tiempos para una carrera de 1000 metros, descendiendo en línea recta por la pista. Caída Vertical (en metros) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tiempo de Carrera (en segundos) 143 101 82 71 64 58 54 51 48 45

Analice la información de la tabla anterior y responda • ¿Qué tipo de función esperaría usted que se adaptara a los datos? • ¿Podría encontrar una fórmula para esta función? • ¿Cuál será el comportamiento del tiempo de carrera si, como en la mayoría de las pistas de luge, la travesía no fuera en línea recta sino que tuviese curvas pronunciadas?

notation for expressing functions. Then you will apply that new knowledge to extend your understanding of quadratic functions and your skill in solving problems that involve quadratics.

118

I nvesti nvestigg ation

1

Functions and Function Notation Álgebra

La situación se puede mediante una función cuadrática, Theanterior graph and tablemodelar below show the dependence of run timea ycontinuación on vertical desarrollaremos más estex ejemplo. drop in a luge run. For each x value, there is exactly one corresponding value of y. In such cases, we say that y is a function of x or that the El gráfico y la tabla que se muestran a continuación muestran la dependencia del tiempo de relationship between run time y and vertical drop x is a function. carrera “y00 con la caída vertical “x00 en una carrera de luge. Para cada valor de x, hay un valor correspondiente de y. De esta manera, decimos que y está en función de x o que la relación entre el Theoretical Luge Run Times tiempo de carrera y la caída1,000-m vertical es una función. Run Time

90

48

100

45

150 Run Time (in seconds)

Vertical Drop

(in meters) Caída Vertical Tiempo(in deseconds) Carrera (en metros) 10 (en segundos) 143 10 143 20 101 20 101 30 30 82 82 40 71 71 40 50 64 50 64 60 58 60 70 54 58 70 80 51 54 90 48 51 80 100 45

y = f(x)

100

50

0

x

0

20

40 60 80 Vertical Drop (in meters)

100

Para denotar que y es una función de x, los matemáticos y otros profesionales comúnmente escriben “y = f (x)00 . De esta manera podemos tratar los datos anteriores simbólicamente escribimos “ f (30) = 82” y se pronuncia “ f de 30 es igual a 82” (debemos entender que “ f (30)” no significa “ f multiplicado por 30”)

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria pelota lanzada al Expressions, and Equ LESSONde1 una • Quadratic Functions, aire, la trayectoria que describe . un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada 1 verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S = V0t − gt 2 , donde S es la altura, V0 es la 2 velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

5.1 Función Cuadrática

119

Sea f : R → R una función; se clasifica f como una función cuadrática si y solo si su criterio se puede escribir de la siguiente forma: f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 con a, b y c ∈ R. Definición 5.1



Ejemplo 5.1 — Juegos artificiales y música. El Sky Concert en Peoria, Illinois, es un juego

de pólvora conmemorativo del 4 de julio, combinado con música. Si un cohete (parte del juego de pólvora) se lanza con una velocidad inicial de 39.2 metros por segundo a una altura de 1.6 metros sobre el suelo, la ecuación h = −4.9t 2 + 39.2t + 1.6 representa la altura del cohete h en metros después de t segundos. Está programado para que el cohete explote aproximadamente al alcanzar la altura máxima. Altura HMetrosL 80

60

40

20

2

4

6

8

Tiempo HSegundosL



La función que describe la altura del cohete es un ejemplo de una función cuadrática. La gráfica de la función cuadrática se conoce como parábola. Las funciones cuadráticas se pueden representar además, utilizando tablas de valores. Veamos un ejemplo. 

Ejemplo 5.2 — Tablas y Gráficos. Represente utilizando una tabla de valores la función

y = 2x2 − 4x − 5 Escogemos algunos valores al azar para cambiarlos por la variable “x”, en este caso usaremos −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4 Sustituimos los valores escogidos en la expresión y = 2x2 − 4x − 5 y = 2(−2)2 − 4(−2) − 5 = 8 + 8 − 5 = 11

y = 2(2)2 − 4(2) − 5 = 8 − 8 − 5 = −5

y = 2(−1)2 − 4(−1) − 5 = 2 + 4 − 5 = 1

y = 2(3)2 − 4(3) − 5 = 18 − 12 − 5 = 1

y = 2(0)2 − 4(0) − 5 = 0 − 0 − 5 = −5

y = 2(4)2 − 4(4) − 5 = 32 − 16 − 5 = 11

y = 2(1)2 − 4(1) − 5 = 2 − 4 − 5 = −7

Álgebra

120 Construimos la tabla y

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 11 1 -5 -7 -5 1 11

25 20 15 10 5

-2

2

x

4

-5

 

Ejemplo 5.3 — Tablas y Gráficos. Represente utilizando una tabla de valores la función

y = −x2 + 4x − 1 Escogemos algunos valores al azar para cambiarlos por la variable “x”, en este caso usaremos −1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 Sustituimos los valores escogidos en la expresión y = −x2 + 4x − 1 y = −(−1)2 + 4(−1) − 1 = −1 − 4 − 1 = −6

y = −(3)2 + 4(3) − 1 = −9 + 12 − 1 = 2

y = −(0)2 + 4(0) − 1 = 0 + 0 − 1 = −1

y = −(4)2 + 4(4) − 1 = −16 + 16 − 1 = −1

y = −(1)2 + 4(1) − 1 = −1 + 4 − 1 = 2

y = −(5)2 + 4(5) − 1 = −25 + 20 − 1 = −6

y = −(2)2 + 4(2) − 1 = −4 + 8 − 1 = 3 Construimos la tabla y

x -1 0 1 2 3 4 5

y -6 -1 2 3 2 -1 -6

-2

2

4

6

-5

-10



Ejercicio 5.1

Resuelva los siguientes problemas aplicando la teoria de función cuadrática.

1. Construya una tabla y la respectiva gráfica para cada una de las funciones cuadráticas que se presentan (a) y = x2 + 0x − 12 (b) y = 3x2 + 9x − 12 (c) y = x2 − 8x − 4

x

5.2 Factorización

121

(d) y = x2 − 8x + 16 (e) y = x2 − 0x − 7 (f) y = x2 + 6x + 6 (g) y = 12x2 − 26x − 30 (h) y = x2 + 10x + 16 (i) y = x2 − 4x + 1 

5.2

Factorización La factorización de polinomios es el procedimiento que consiste en transformar un polinomio en el producto de dos o más expresiones algebraicas. Para lo cual existen diversos métodos, entre ellos tenemos el A continuación repasaremos la factorización por factor común.

5.3

Factorización por el método de factor común Como su nombre lo indica debemos encontrar los elementos que tienen en común los términos involucrados en el polinomio. Por ejemplo, 

Ejemplo 5.4

Polinomio que se puede factorizar por Factor Común 5x − 5y 

En este ejemplo es fácil ver que los dos términos comparten un elemento en común por tanto su “factor común” es el 5. Otro ejemplo, 

Ejemplo 5.5

Factorizar por factor común 3xy − 4xy2 + 5x2 y

el elemento que tienen en común los términos del polinomio no es numérico, más bien es literal1 , como vemos todos los términos tienen la letra x y la letra y. Hasta ahora no hemos hecho más que reconocer o identificar el “factor común” de los polinomios estudiados, pero no hemos factorizado ninguno de ellos. A continuación detallaremos el método, paso a paso. 1 Literal

se refiere a las letras o variables que tiene el polinomio.

Álgebra

122

Encontrar el factor común. Debemos cumplir con dos criterios: • Se calcula el MÍNIMO COMÚN DIVISOR de los coeficientes de cada término del polinomio. • Se toman las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. Al juntar los resultados anteriores obtenemos nuestro factor común. Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido en el paso anterior. Escribir la factorización El resultado de la división se coloca entre paréntesis, y frente a éste el factor común. 

Factorice 5x2 y3 − 15m7 y6 por el método de factor común. Sigamos uno a uno los pasos del método 

Ejemplo 5.6

Encontrar el factor común. Debemos cumplir con dos criterios: • Se calcula el mínimo común divisor de los coeficientes de cada término del polinomio. Los coeficientes del polinomio son 5 y 15, encontramos el m.c.d. de la siguiente forma: 5 1

15 3 m.c.d.

5 5

Entonces el m.c.d. de los coeficiente es 5. • Ahora, se toman las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. Aunque en el polinomio aparecen tres letras x, y y m, es importante ver que la única que aparece en ambos términos es la y, por tanto para el factor común debe considerarse solo a esta. Ahora en el primer término aparece y3 y en el segundo término y6 , ¿Cuál se escoge? El de menor exponente: y3 Al juntar los resultados anteriores obtenemos nuestro factor común 5y3 Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido. 5x2 y3 15m7 y6 − 5y3 5y3

x2 − 3m7 y3

Escribir los factores El resultado de la división se coloca entre paréntesis, y frente a éste el factor común. (x2 − 3m7 y3 ) y frente a éste el factor común. 5y3 (x2 − 3m7 y3 ) 

5.3 Factorización por el método de factor común

123

Factorice 12a2 b7 − 18a8 b5 + 24a3 b10 por el método de factor común. Retomamos los pasos del método 

Ejemplo 5.7

Encontrar el factor común. Debemos cumplir con dos criterios: • Se calcula el MÍNIMO COMÚN DIVISOR de los coeficientes de cada término del polinomio. Esta vez los coeficientes del polinomio son 12, 18 y 24, encontramos el m.c.d. de la siguiente forma: 12 6 2 m.

18 9 3 c.

24 12 4 d.

2 3 2·3 = 6

Entonces el m.c.d. de los coeficiente es 6. • Ahora, se toman las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. En este polinomio aparecen las letras a y b, en ambos términos, pero con diferentes exponentes, para el factor común debe considerarse solo los de menor exponente: a2 b5 Al juntar los resultados anteriores obtenemos nuestro factor común 6a2 b5 Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido. 12a2 b7 18a8 b5 24a3 b10 − 2 5 + 6a2 b5 6a b 6a2 b5 2b2 − 3a6 + 4ab5 Escribir los factores El resultado de la división se coloca entre paréntesis, (2b2 − 3a6 + 4ab5 ) y frente a éste el factor común. 6a2 b5 (2b2 − 3a6 + 4ab5 ) 

14 21  Ejemplo 5.8 Factorice el polinomio ab5 + a2 b2 por el método de factor común 5 5 Encontrar el factor común En principio se calcula el MÍNIMO COMÚN DIVISOR de los coeficientes de cada término del polinomio. 14 21 Los coeficientes del polinomio son y . Al ser fracciones encontraremos el m.c.d. para 5 5 el denominador y el numerador de cada fracción por separado, así: 14 2 5 1

21 3 m.c.d.

7

5 1 m.c.d.

5

7

5

Álgebra

124

7 Entonces el m.c.d. de los coeficiente es . 5 Ahora, tomamos las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. En el polinomio aparecen las letras a y b, en ambos términos, por tanto para el factor común se consideran las dos letras, con el menor exponente: ab2 Al juntar los resultados obtenemos nuestro factor común 7 2 ab 5 Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido. 14 5 5 ab 7 2 5 ab

+

21 2 2 5a b 7 2 5 ab

14 · 5ab5 21 · 5a2 b2 + 5 · 7ab2 5 · 7ab2 70ab5 105a2 b2 + 35ab2 35ab2 2b3 + 3a Escribir los factores El resultado de la división se coloca entre paréntesis, (2b3 + 3a) y frente a éste el factor común. 7 2 3 ab (2b + 3a) 5 

Ejercicio 5.2

Realice las siguientes factorizaciones.

1. 24xy2 − 27x2 y 2. 5n − 10n 3. 4x3 + 20x4 4. 10n − 15n − 20n 5. 50xy3 + 10x2 y3 − 100x3 y5 6. 6n+1 − 15n−1 7. 343a5 bc10 − 49a10 b5 8. 3y3 − 6y2 + 9y 9. 13x2 y2 − 9xy3 + 30x3 y − 16x2 y2 z 10. 2x2 − x3 + 2x4 − x5 11. 28x3 + 35x2

3xy(8y − 9x) 5n (1 − 2n ) 4x3 (1 + 5x) 5n (2n − 3n − 4n ) 10xy3 (5 + x − 10x2 y2 ) 3n−1 (9 · 2n+1 − 5n−1 ) 49a5 b(7c10 − a5 b4 ) 3y(y2 − 2y + 3) xy(13xy − 9y2 + 30x2 − 16xyz) x2 (2 − x)(1 + x2 ) 7x2 (4x + 5)

5.3 Factorización por el método de factor común

125 am−1 (a3 − 1)

12. am+2 − am−1 13. 2a − 14. −

12 2 3 ab4 a b − − a3 b3 5 3

a (30 − 36ab3 − 5b4 − 15a2 b3 ) 15
ab −4a2 b − 2 − a2 b2 8

a3 b2 ab a3 b3 − − 2 4 8

15.

5x13 y2 z 5 4 − x4 y4 + x3 3y4 28 14 7

16.

12ab2 9 4 + ab + 3a3 b3 5 4

x4 y2 9 (5x z − 10y2 + 16x2 9y2 ) 28 3ab2 (16 + 15b2 + 20a2 b) 20 

Ejercicio 5.3 — Para la casa. Realice las siguientes factorizaciones.

1. 4x + 4y 2. 11c2 − 4c5 3. 10a + 35b3 4. 2n − 10m4 5. 3z2 + 6z3 6. 24m3 + 12m 7. 24xy2 − 27x2 y 8. 14u3 + 27u3 n 9. 35xz − 50xz2 10.

−48kh3 32k3 h − 7 21

12. n2 + 4n − 16n4 13. 6z3 + 12z2 + 15 14. −33m + 121n + 66n2 15. 15x2 − 45xy + 65y2 16. 3y3 − 6y2 + 9y 17. 4w3 z − 2w2 z − 14w2 z3 18. 25a2 b3 + 5a2 b − 30a3 b2 19. 5m3 c4 − 55m3 c3 − 10mc 20.

1 5 4 2 2 7 5 2 a − a b + a b 66 21 9

21. 0, 9u3 k2 +

11. 2x3 − 4x2 − 5x

2u2 k2 + 0, 3uk3 10



Otro tipo de presentación de factorización por factor común, se da cuando el factor común es un polinomio. 

Ejemplo 5.9

Factorice: a2 (x − 2) − a(x − 2) + (x − 2)

Obtenemos el factor común, que para este tipo de factorización es mucho mas simple, pues consiste en tomar la expresión que se encuentra entre paréntesis, la de menor exponente. En otras palabras el factor común es (x − 2).

Álgebra

126 Dividimos el polinomio original por el factor común, a2 (x − 2) a(x − 2) (x − 2) − + (x − 2) (x − 2) (x − 2) a2 − a + 1 Escribimos la respuesta final como lo hacemos comúnmente (x − 2)(a2 − a + 1)



Ejercicio 5.4

Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. (2x + 1) − 3x(2x + 1) 2. 6(x − 4) − a(x − 4) 3. x2 (4 − x) + 3x(4 − x) + (x − 4) 4. 2x(x − 6) − 5(x − 6) 5. −6x(7x − 1) + 2(1 − 7x) 6. p3 (q − 3) − (q − 3) + p(3 − q) 7. 2b(x − y) − x + y 8. 3b(x − 3y) − 2m(3y − x) 9. 3p(m − 2p) − 2mp2 + 4p3

(1 − 3x)(2x + 1) (x − 4)(6 − a) (4 − x)(x2 + 3x − 1) (x − 6)(2x − 5) (1 − 7x)(6x + 2) (q − 3)(p3 − p − 1) (x − y)(2b + 1) (x − 3y)(3b + 2m) (m − 2p)(3p − 2p2 )

10. (3x + 2)(x + y − z) − (3x + 2) − (x + y − 1)(3x + 2)

−(3x + 2)z

11. (a + b − c)(x − 3) − (b − c − a)(x − 3)

2a(x − 3)z

12. a(n + 1) − b(n + 1) − n − 1 13. a5 (x − y)3 − a4 (x − y)4 14. (x − a)2 (x − y) + (x − a)(x − y)2 15. x(a + 2) − a − 2 + 3(a + 2)

(n + 1)(a − b − 1)z a4 (x − y)3 (a − x + y) (x − a)(x − y)(2x − a − y) (x + 2)(a + 2)

16. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b)

2b(a − b)

17. p(x − 3y) − (x − p)(3y − x)

x(x − 3y)

18. 2b(x − y) − x + y 19. 5x(3x − 5) + 6(5 − 3x) 20. (a + b − 1)(a2 + 1) − a2 − 1

(2b − 1)(x − y) (3x − 5)(5x − 6) (a + b − 2)(a2 + 1) 

5.4 Factorización por Agrupación

5.4

127

Factorización por Agrupación Este método en realidad es caso especial del método anterior, pues en algunas ocasiones no encontramos un factor común en todos los términos por lo que es conveniente agrupar aquellos que si los tengan. 

Ejemplo 5.10

Factorice por agrupación el polinomio am + bm + ap + bp

Agrupamos buscando dejar los elementos que tenga alguna característica en común (letra o número) am + bm} + ap + bp | {z | {z }

primer grupo

segundo grupo

Factorizamos por factor común cada grupo

m(a + b) + p(a + b) Factorizamos por segunda vez, aplicando factorización por factor común (a + b)(m + p)  

Ejemplo 5.11

Factorice por agrupación el polinomio x3 + x2 y − xy − y2

Ordenamos los términos para formar los grupos x3 + x2 y − xy − y2 x3 − xy + x2 y − y2 Agrupamos buscando dejar los elementos que tenga alguna característica en común (letra o número) x3 − xy + x2 y − y2 | {z } | {z }

primer grupo

segundo grupo

Factorizamos por factor común cada grupo

x(x2 − y) + y(x2 − y) Factorizamos por segunda vez, aplicando factorización por factor común (x2 − y)(x + y) 

Para este método hay algunas condiciones importantes que debemos recordar, y se presentan en las siguientes notas Nota 1 la escogencia de la agrupación no es única, se puede realizar de diferentes formas y obtener el mismo resultado correcto final. Nota 2 es muy importante la escogencia del signo del factor común de los grupos que escogemos. Nota 3 recuerde: • (a − b)n = (b − a)n con n par. • (a − b)n = −(b − a)n con n impar.

Álgebra

128 Ejercicio 5.5

Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. 3x − 2ab − nx − 2bx − an + 3a

(x + a)(3 − n − 2b)

2. 12ax − 9ay15by − 20bx

(4x − 3y)(3a − 5b)

3. x3 + 2x2 − x − 2

(x + 2)(x − 1)(x + 1)

4. 15x − 10a − 18xb + 12ab

(5 − 6b)(3x − 2a)

5. 4a3 − 1 − a2 + 4a 6.

(a2 + 1)(4a − 1)

2 2 x − − xy + y 3 3

1 (x − 1)(2 − 3y) 3

7. a(x − p) − b(p − x)

(x − p)(a + b)

8. x2 − y2 − x + y

(x − y)(x + y − 1)

9. (x − b)2 − 2x + 2b

(x − b)(x − b − 2)

10. (a − 2b)3 − a(2b − a)2

−2b(a − 2b)2 (3a − 5b)

11. 6m − 9n + 21nx − 14mx

(2m − 3n)(3 − 7x)

12. a3 + a2 + a + 1

(a + 1)(a2 + 1)

13. x2 − xy + xz − x + y − z

(x − y + z)(x − 1)

14. a3 + a2 y − y3 − ay2

(a + y)(a − y)(a + y)

15. a2 b3 − n4 + a2 b3 x2 − n4 x2 − 3a2 b3 x + 3n4 x

(a2 b3 − n4 )(1 − 3x + x2 )

16. a2m + iam − yx + ay

(am + i)(am + b)

17. h2 − hb − hc + h − b − c

(h − b − c)(h + 1)

18. xm+1 − axm − yx + ay

(x − a)(xm − y) 

5.5

Factorización por Fórmulas Notables Existen polinomios que son el resultado de multiplicaciones ya conocidas y se les conoce como fórmulas notables. Revisaremos algunos de esos tipos de factorización.

5.5.1

Trinomios cuadrados perfectos Un trinomio cuadrado perfecto es aquel de la forma a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

ó

a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

5.5 Factorización por Fórmulas Notables

129

Para factorizar un trinomio por estas fórmulas notables se siguen los siguientes pasos: i. Se buscan dos términos del polinomio que sean cuadrados perfectos (en el caso de los factores numéricos deben tener raíz cuadrada exacta y en el caso de los factores literales los exponentes deben ser pares). ii. Se obtienen las raíces de ambos términos. iii. Verificar que la doble multiplicación de las raíces extraídas en el paso anterior coincida con el término al que no se extrajo raíz. iv. Se escribe la respuesta de la forma (a + b)2 

Ejemplo 5.12

Factorice 4a2 − 28ab + 49b2

Calculamos la raíz cuadrada de 4a2 y 49b4 √ 4a2 = 2a √ 49b4 = 7b2 Verificamos que el doble de los resultados obtenidos sea igual al término que no extrajo raíz cuadrada 2 · 2a · 7b2 = 28ab2 Escribimos la respuesta de la forma (a − b)2 4a2 − 28ab + 49b2 = (2a − 7b2 )2  

Ejemplo 5.13

Factorice x2 + 6xy + 9y2

Calculamos la raíz cuadrada de x2 y 9y2 √ x2 = x p 9y2 = 3y

Verificamos que el doble de los resultados obtenidos sea igual al término que no extrajo raíz cuadrada 2 · x · 3y = 6xy Escribimos la respuesta de la forma (a + b)2 x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2 

Álgebra

130 Ejercicio 5.6

Factorice cada uno de los siguientes polinomios

1. 16x2 + 56xy + 49y2

(4x + 7y)2

2. z2 + 16az + 64a2 3.

(z + 8a)2 x 2 +y 2

x2 + xy + y2 4

4. x2 y4 + 2x3 y2 + x4 z2

(xy2 + x2 z)2

5. a8 + 18a4 + 81

(a4 + 9)2

6. a2 + 2a(a − b) + (a − b)2 7.

(2a − b)2 n 2 + 3m 3

n2 + 2mn + 9m2 9

8. a10 − 2a5 + 1

(a5 − 1)2

9. x2 y4 − 2x3 y2 + x4 z2

(xy2 − x2 z)2

10. 9 − 6x + x2 11.

x4 − x 2 a2 + a4 4

12.

a2 − ab + b2 4

(x − 3)2 x 2 − a2 2 a 2 −b 2

13. 16x2 − 56xy + 49y2

(4x − 7y)2

14. (m + n)2 − 2(a − m)(m + n) + (a + x)2 15. (x + y)2 − 2(x + y)(a + x) + (a + x)2 16. 4m2 − 4m(n − m) + (m − n)2 17. a4 − a2 b2 +

(2m + n − a)2 (y − a)2 (m + n)2  2 b2 2 a − 2

b4 4



5.5.2

Diferencia de Cuadrados Un polinomio que se factoriza por este método, es aquel de la forma a2 − b2 = (a − b)(a + b) Para la factorizacion de un polinomio de este tipo el procedimiento es similar a los anteriores y se deben reconocer ciertas características: i. Que sean dos términos con diferente signo, sin importar el orden. ii. Por lo general ambos deben ser cuadrados perfectos. iii. Opcionalmente se aconseja acomodarlos de tal manera que se proponga siempre como una resta,

5.5 Factorización por Fórmulas Notables

131

pues aunque el orden en el binomio no es importante, en los factores resultantes si lo es, pues la expresión que resulta de la raíz del sustraendo es la debe sustraer en uno de los factores. 

Ejemplo 5.14

Factorice x2 − 25

Calculamos la raíz cuadrada de x2 y 25 √ x2 = x √ 25 = 5 Escribimos la respuesta de la forma (a − b)(a + b) x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)  

Ejemplo 5.15

Factorice a2n − 9b4m

Calculamos la raíz cuadrada de a2n y 9b4m √ a2n = an √ 9b4m = 3b2m Escribimos la respuesta de la forma (a − b)(a + b) a2n − 9b4m = (an − 3b2m )(an + 3b2m )  

Ejemplo 5.16

Factorice 9 − (a + 1)2

Calculamos la raíz cuadrada de 9 y (a + 1)2 √ 9=3 p (a + 1)2 = (a + 1)

Escribimos la respuesta de la forma (a − b)(a + b)

9 − (a + 1)2 = (3 − (a + 1))(3 + (a + 1)) 



Ejemplo 5.17

Factorice

a2 4

−

Calculamos la raíz cuadrada de

b4 9 a2 b4 y 4 9

r r

a2 a = 4 2

b4 b2 = 9 3

Álgebra

132 Escribimos la respuesta de la forma (a − b)(a + b) a2 b4 − = 4 9



a b2 − 2 3



a b2 + 2 3

 

Ejercicio 5.7

Factorice cada uno de los siguientes polinomios

1. 1 − 9a2 b4 d 8 2.

1 − 4x2 16

(1 − 3ab2 d 4 )(1 + 3ab2 d 4 )    1 1 − 2x + 2x 4 4

3. (a + b)2 − (a − c)2 4. 16x6m −

(2a + b − c)(b + c)

y2n 49

(4x3m −

5. a2n − b2n

(an − bn )(an + bn )

6. (a + 2b)2 − 1 7. (a − b)2 − (c − d)2

(a + 2b − 1)(a + 2b + 1) (a − b − c + d)(a − b + c − d)

8. 36(m + n)2 − 121(m − n)2

(17m − 5n)(17n − 5m)

9. a10 − 49b12

(a5 − 7b6 )(a5 + 7b6 )

10. 100 − x2 y6

(10 − xy3 )(10 + xy3 )

11. a4 − 1 12.

(a2 + 1)(a + 1)(a − 1)    a x3 a x3 − + 6 5 6 5

a2 x 6 − 36 25

13. 100m2 n4 − 169y6

(10mn2 − 13y3 )(10mn2 + 13y3 )

14. (x + y)2 − a2

(x + y + a)(x + y − a)

15. (x + 1)2 − 16x2 16. 25(x − y)2 − 4(x + y)2 17.

y2 z4 x2 − 100 121

18. (2a + b − c)2 − (a + b)2 19. b2n−6 − 4x4m 20. x8 − 1 21. 9x2 − 4(x − 3)2

yn yn )(4x3m + ) 7 7

(5x + 1)(1 − 3x) 

(7x − 3y)(3x − 7y)   x yz2 x yz2 − + 10 11 10 11 (3a + 2b − c)(a − c) 2m

(bn−3 − 2x2m )(bn−3+2x ) (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x − 1) (5x − 6)(x + 6) 

5.5 Factorización por Fórmulas Notables 5.5.3

133

Diferencia de Cubos Cuando escuchamos la palabra cubo relacionamos con la potencia tres (3). Por tanto, la diferencia de cubos se reconoce por tener la siguiente forma a3 − b3 esta se descompone en factores de la siguiente manera a3 − b3 =

(a − b) | {z }

primer paréntesis

Para factorizar se siguen los siguientes pasos

(a2 + ab + b2 ) | {z } segundo paréntesis

Paso 1 Se calcula la raíz cúbica del primer y último término. Paso 2 En el primer paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término menos la raíz cúbica del segundo término. Paso 3 El segundo paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término, al cuadrado mas la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término mas la raíz cúbica del segundo término al cuadrado. Veamos un ejemplo para aplicar el proceso anterior. 

Ejemplo 5.18

Factorice la diferencia de cubos y3 − 27

Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, y3 y 27 respectivamente √ 3 27 = 3

p 3 3 y3 = y 3 = y

Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de resta (y − 3) Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado y2 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término y2 + y · 3 y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado.

Álgebra

134

Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado y2 + y · 3 + 32 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría (y2 + 3y + 9) Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma y3 − 27 = (y − 3)(y2 + 3y + 9)  

Ejemplo 5.19

Factorice el polinomio (2a − b)3 − 8

Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, (2a − b)3 y 8 respectivamente p √ 3 3 (2a − b)3 = (2a − b) 8=2

Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de resta ((2a − b) − 2) simplificamos (2a − b − 2) Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (2a − b)2 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término (2a − b)2 + (2a − b) · 2 y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado. Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (2a − b)2 + (2a − b) · 2 + 22 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría (2a − b)2 + (2a − b) · 2 + 22 al simplificar el primer término descubrimos que es la segunda fórmula notable (2a)2 − 2 · 2a · b + b2 + (2a − b) · 2 + 22 4a2 − 4ab + b2 + (2a − b) · 2 + 22

5.5 Factorización por Fórmulas Notables

135

al simplificar el segundo término debemos aplicar la propiedad distributiva 4a2 − 4ab + b2 + 2 · 2a − 2 · b + 22 4a2 − 4ab + b2 + 4a − 2b + 22 por último desarrollamos la última potencia 4a2 − 4ab + b2 + 4a − 2b + 4 Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma (2a − b)3 − 8 = (2a − b − 2)(4a2 − 4ab + b2 + 4a − 2b + 4) 

Ejercicio 5.8

Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. a3 − 1

(a − 1)(a2 + a + 1)

2. 8x3 − y3

(2x − y)(4x2 + 2xy + y2 )

3. (a + b)3 − 125

(a + b − 5)(a2 + 2ab + b2 + 5a + 5b + 25)

4. 1000x3 − 27

(10x − 3)(100x2 + 30x + 9)

5. (x − y)3 − 1

(x − y − 1)(x2 − 2xy + y2 + x − y + 1)

6. 216 − b3

(6 − b)(b2 + 6b + 36) 

5.5.4

Suma de Cubos Como vimos anteriormente, al referirnos al cubo nos referimos a la potencia o exponente tres (3), por eso la suma de cubos se reconoce por tener la siguiente forma a3 + b3 esta se descompone en factores de la siguiente manera a3 + b3 =

(a + b) | {z }

primer paréntesis

(a2 − ab + b2 ) | {z } segundo paréntesis

Álgebra

136 Para factorizar se siguen los siguientes pasos

Paso 1 Se calcula la raíz cúbica del primer y último término. Paso 2 En el primer paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término más la raíz cúbica del segundo término. Paso 3 El segundo paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término, al cuadrado menos la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término mas la raíz cúbica del segundo término al cuadrado. Veamos un ejemplo para aplicar el proceso anterior. 

Ejemplo 5.20

Factorice la suma de cubos 1 + 729x3

Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, 1 y 729x3 respectivamente √ √ 3 3 1=1 729x3 = 9x Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de suma (1 + 9x) Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado 12 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término, con un signo de resta al frente 12 − 1 · 9x y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado. Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado 12 − 1 · 9x + (9x)2 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría (1 − 9x + 81x2 ) Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma 1 + 729x3 = (1 + 9x)(1 − 9x + 81x2 ) 

5.5 Factorización por Fórmulas Notables 

Ejemplo 5.21

137

Factorice la suma de cubos 27x3 + (x + y)3

Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, 27x3 y (x + y)3 respectivamente √ p 3 3 27x3 = 3x (x + y)3 = (x + y)

Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de suma (3x + (x + y)) simplificamos este primer parentesis (3x + x + y) (4x + y)

Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (3x)2 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término, con un signo de resta al frente (3x)2 − 3x · (x + y) y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado. Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (3x)2 − 3x · (x + y) + (x + y)2 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría 9x2 − 3x · (x + y) + (x + y)2 ahora aplicamos la propiedad distributiva 9x2 − 3x · x + −3x · y + (x + y)2 9x2 − 3x2 − 3xy + (x + y)2 el último término es la primera fórmula notable, la desarrollamos 9x2 − 3x · x + −3x · y + x2 + 2 · x · y + y2 9x2 − 3x2 − 3xy + x2 + 2xy + y2 7x2 − xy + y2 Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma 27x3 + (x + y)3 = (4x + y)(7x2 − xy + y2 ) 

Álgebra

138 Ejercicio 5.9

Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. 27m3 + 64n3

(3m + 4n)(9m2 − 12mn + 16n2 )

2. 8x3 + y3

(2x + y)(4x2 − 2xy + y2 )

3. 343x3 + 512y3

(7x + y)(49x2 − 56xy + 64y2 )

4. (a − b)3 + (a + 2)3

(2a − b + 2)(a2 − ab + b2 + 2a + 2b + 4)

5. 64(m + 2)3 + 125

(4m + 13)(16m2 + 44m + 49) 

Ejercicio 5.10 — Para la casa. Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. (a − b)3 − (a + b)3

−2b(3a2 + b2 )

2. 8x6 + 729

(2x2 + 9)(4x4 − 18x2 + 81)

3. x12 + y12

(x4 + y4 )(x8 − x4 y4 + y8 )

4. 1000x3 − 1

(10x − 1)(100x2 + 10x + 1)

5. x3 y6 − 216y9

y6 (x − 6y)(x2 + 6xy + 36y2 )

6. a3 − 125

(a − 5)(a2 + 5a + 25)

7. b3 + 8(2 + b)3

(3b + 4)(3b2 + 12b + 16) 

5.5.5

Factorización por Inspección El método de factorización por inspección también recibe el nombre de prueba y error, pues para llegar al resultado debemos hacer justamente eso, probar una y otra vez hasta que lleguemos al resultado correcto. Si en el polinomio ax2 + bx + c los términos “ax2 ” y “c” se pueden descomponer en factores de modo que (a1 x)(a2 x) = ax2 ; c1 − c2 = c y además se cumple que a1 x · c2 + a2 x · c1 = bx “producto en equis”, entonces el trinomio ax2 + bx + c es factorizable como multiplicación de dos expresiones, de la siguiente forma: ax2 + bx + c = (a1 x + c1 )(a2 x + c2 ) A continuación analizamos el método con algunos ejemplos: Se nos pide factorizar el polinomio x2 +3x+2, entonces debido a las características del polinomio podemos usar el método de inspección. Es importante notar que para poder factorizar un polinomio por el método de inspección este debe ser un trinomio. El método consiste en encontrar dos números que multiplicados den como resultado el primer

5.5 Factorización por Fórmulas Notables

139

término, luego encontrar dos números que multiplicados den como resultado el último término. Por último, para saber si los números escogidos en los dos pasos anteriores son los correctos, la combinación de ellos debe dar como resultado el término del centro. Continuemos con el ejemplo, 

Ejemplo 5.22

Factorice x2 + 3x + 2

Buscamos dos números que multiplicados den como resultado x2 son sin duda, x y x x2 + 3x + 2 x x Ahora buscamos dos números que multiplicados den como resultado 2, no necesariamente deben ser iguales, es fácil ver que son 1 y 2, positivos. x2 x x

+3x

+2 +1 +2

Multiplicamos en equis, para poder asegurarnos si los números escogidos son los correctos, y luego los sumamos. x2 +3x +2 x +1 x +2 x · 2 + x · 1 = 2x + 1x = 3x Comparamos el resultado con el término del centro entonces los números escogidos son los correctos 3x es igual al término del centro del polinomio x2 + 3x + 2 Escribimos la respuesta formando los factores con los números en línea recta, de la siguiente forma x2 x x

+3x

+2 +1 +2

→ (x + 1) → (x + 2)

Por tanto la factorización del polinomio x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) 

El ejemplo anterior es muy sencillo, veamos otro de mayor nivel. Factorice el polinomio x2 − x − 12 Comenzamos con la búsqueda de dos n meros que multiplicados den como resultado x2 , 

Ejemplo 5.23

x2 x x

−x

−12

Álgebra

140

ahora buscamos dos números que multiplicados den como resultado −12, empecemos por los más lógicos 2 y 6. Uno de ellos debe ser negativo, como el término del centro es negativo entonces el mas grande de ellos debe ser el negativo x2 x x

−x

−12 +2 −6

para asegurarnos de que los números escogidos son los correctos, multiplicamos en equis y luego los sumamos x2 x x

−x

−12 +2 −6

−6 · x + 2 · x = −6x + 2x = −4x el resultado no es igual que el término del centro, por tanto lo n meros escogidos no son los correctos, as volvemos al segundo paso (prueba y error). Pensando un poco más vemos que otros dos n meros que multiplicados den como resultado −12 son 3 y 4, el 4 debe ser negativo, pues el término del centro es negativo. x2 x x

−x

−12 +3 −4

−x

−12 +3 −4

multiplicamos en equis y luego los sumamos x2 x x

−4 · x + 3 · x = −4x + 3x = −1x el resultado es igual al término del centro, por tanto los números escogidos son los correctos, escribimos la respuesta de la factorización x2 − x − 12 = (x + 3)(x − 4) 

Por último, vamos a examinar un ejemplo de mayor nivel que los anteriores.

5.5 Factorización por Fórmulas Notables 

Ejemplo 5.24

141

Factoricemos el polinomio 6x2 − 31xy + 18y2 .

Comenzamos buscando dos números que multiplicados den como resultado 6x2 . Existen varios casos, 3x y 2x es uno de ellos, pero también podríamos usar 6x y 1x. Usemos 3x y 2x. 6x2 3x 2x

−31xy

+18y2

ahora buscamos dos números que multiplicados den como resultado 18y2 , existen varias opciones: 2y y 9y, 3y y 6y 1y y 18y. Usaremos la primera opción. Aquí debemos notar que como el término del centro es negativo, y el último es positivo entonces los n meros deben llevar signo negativo, como se ve a continuación 6x2 3x 2x

−31xy

+18y2 −9y −2y

6x2 3x 2x

−31xy

+18y2 −9y −2y

multiplicamos en equis y sumamos

3x · −2y + 2x · −9y = −6xy + −18xy = −24xy el resultado es diferente, por tanto la escogencia no es la correcta. Antes de volver al paso dos y probar otras opciones, invirtamos el orden de uno de los pares de números, 6x2 3x 2x

−31xy

+18y2 −2y −9y

3x · −9y + 2x · −2y = −27xy + −4xy = −31xy en este caso dio resultado, y ya estamos listos para poder dar una respuesta 6x2 − 31xy + 18y2 = (3x − 2y)(2x − 9y) 

Para entender mejor el método debemos practicar. A continuación. Ejercicio 5.11

Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. 28 + a2 − 11 2. 13m + m2 − 30

(a − 4)(a − 7) (m + 15)(m − 2)

Álgebra

142 3. −35 − 2a + a2

(a + 5)(a − 7)

4. m − 6 + 15m2

(5m − 3)(3m + 2)

5. 6x2 + 7x + 2

(2x + 1)(3x + 2)

6. 12x2 − x − 6

(4x − 3)(3x + 2)

7. x2 + 4x + 3

(x + 3)(3x + 2)

8. 21x2 + 11x − 2 9. 16m + 15m2 − 15

(3x + 2)(7x − 1) (3m + 5)(5m − 3)

10. m2 − 8m − 1008

(m + 28)(m − 36)

11. 12m2 − 13m − 35

(3m − 7)(4m + 5)

12. 44n + 20n2 − 10

(10n − 3)(2n + 5)

13. 30x2 + 13x − 10

(5x − 2)(6x + 5)

14. 3x2 − 5x − 8

(3x − 8)(x + 1) 

Ejercicio 5.12 — Para la casa. Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. x4 y4 + x2 y2 − 132

(x2 y2 + 12)(x2 y2 − 11)

2. 14x4 − 45x2 − 14

(2x2 − 7)(7x2 + 2)

3. 27ab − 9b2 − 20a2

(5a − 3b)(3b − 4a)

4. 18a2 + 17ay − 15y2

(9a − 5y)(2a + 3y)

5. 6x2 − 11ax − 10a2

(2x − 5a)(3x + 2a)

6. (x − y)2 + 2(x − y) − 24 7. 20x2 y2 + 9xy − 20 8. 4x2 + 7mnx − 15m2 n2 9. 5 + 7x4 − 6x8 10. (m − n)2 + 5(m − n) − 24

(x − y + 6)(x − y − 4) (4xy + 5)(5xy − 4) (4x − 5mn)(x + 3mn) (2x4 + 1)(5 − 3x4 ) (m − n + 8)(m − n − 3) 

5.5 Factorización por Fórmulas Notables Ejercicio 5.13

143

Factorice los siguientes polinomios por inspección.

1. x2 + 7x + 10

11. y2 − 12y + 11

2. x2 − 5x + 6

12. x2 − 7x − 30

3. a2 + 4a + 3

13. n2 + 6n − 16

4. y2 − 9y + 20

14. 20 + a2 − 21a

5. x2 − 6 − x

15. −30 + y + y2

6. x2 − 9x + 8

16. 28 + a2 − 11a

7. c2 + 5c − 25

17. n2 − 6n − 40

8. a2 + 7a + 6

18. x2 − 5x − 36

9. 12 − 8n + n2

19. a2 − 2a − 35

10. a2 + 10x + 21

20. x2 + 15x + 56 

Ejercicio 5.14 — Para la casa. Factorice los siguientes polinomios por inspección.

1. a2 + 33 − 14a

11. m2 − 41m + 400

2. c2 − 13c − 14

12. a2 + a − 380

3. x2 − 15x + 54

13. x2 + 12x − 364

4. a2 + 7a − 60

14. a2 + 42a + 432

5. x2 − 17x − 60

15. m2 − 30m − 675

6. x2 + 8x − 180

16. y2 + 50y + 336

7. m2 − 20m − 300

17. x2 − 2x − 528

8. x2 + x − 132

18. n2 + 43n + 432

9. m2 − 2m − 168

19. c2 − 4c − 320

10. c2 + 24c + 135

20. m2 − 8m − 1008 

Álgebra

144 5.5.6

Factorización por Fórmula General Sea P(x) un polinomio tal que P(x) = ax2 + bx + c, con a 6= 0 y ∆ = b2 − 4ac, entonces su factorización viene dada de la siguiente forma: ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )

donde

√ √ −b − ∆ −b + ∆ y x2 = x1 = 2a 2a

Al igual que con las ecuaciones cuadráticas, el discriminante se debe analizar, mediante los siguientes criterios. Para cualquier trinomio de segundo grado que tenga la forma P(x) = ax2 + bx + c, con a 6= 0 Si ∆ = 0 se puede factorizar en el conjunto de los números reales y los dos factores son iguales. Si ∆ > 0 se puede factorizar el conjunto de los números reales y los dos factores son diferentes. Si ∆ < 0 el polinomio no es factorizable en el conjunto de los números reales. 

Ejemplo 5.25 — Factorice por Fórmula General. Factorice x2 + 4x + 3

Identificamos los valores de los coeficientes a = 1, b = 4 y c = 3. Calculamos el discriminante ∆ = b2 − 4ac

∆ = 42 − 4 · 1 · 3

Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores √ −b + ∆ x1 = 2a √ −4 + 4 x1 = 2·1 −4 + 2 x1 = 2 x1 = −1

∆=4

√ −b − ∆ x2 = 2a √ −4 − 4 x2 = 2·1 −4 − 2 x1 = 2 x2 = −3

Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) x2 + 4x + 3 = 1(x − −1)(x − −3) x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) 

5.5 Factorización por Fórmulas Notables 

Ejemplo 5.26

145

Factorice el polinomio 2x2 + 7x − 15

Identificamos los coeficientes a = 2, b = 7 y c = −15. Calculamos el discriminante ∆ = b2 − 4ac ∆ = 72 − 4 · 2 · −15 ∆ = 169 Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores √ −b + ∆ x1 = 2a √ −7 + 169 x1 = 2·2 −7 + 13 x1 = 4 3 x1 = 2

√ −b − ∆ x2 = 2a √ −7 − 169 x2 = 2·2 −7 − 13 x1 = 4 x2 = −5

Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )   3 2 2x + 7x − 15 = 2 x − (x − −5) 2   2x − 3 2 2x + 7x − 15 = 2 (x + 5) 2 2x2 + 7x − 15 = 2

(2x − 3) (x + 5) 2

2x2 + 7x − 15 =6 2

(2x − 3) (x + 5) 62

2x2 + 7x − 15 = (2x − 3)(x + 5)

 

Ejemplo 5.27

Factorice 3x2 − 9x − 12

Identificamos los coeficientes a = 3, b = −9 y c = −12. Calculamos el discriminante ∆ = b2 − 4ac ∆ = (−9)2 − 4 · 3 · −12 ∆ = 225

Álgebra

146 Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores √ −b + ∆ x1 = 2a √ −9 + 225 x1 = 2·3 −9 + 15 x1 = 6 x1 = 1

√ −b − ∆ x2 = 2a √ −9 − 225 x2 = 2·3 −9 − 15 x1 = 6 x2 = −4

Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) 3x2 − 9x − 12 = 3(x − 1)(x − −4) 3x2 − 9x − 12 = 3(x − 1)(x + 4)  

Ejemplo 5.28

Factorice 15m2 + 16m − 15

Identificamos los coeficientes a = 15, b = 16 y c = −15. Calculamos el discriminante ∆ = b2 − 4ac ∆ = 162 − 4 · 15 · −15 ∆ = 1156 Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores √ −b + ∆ x1 = 2a √ −16 + 1156 x1 = 2 · 15 −16 + 34 x1 = 30 3 x1 = 5

√ −b − ∆ x2 = 2a √ −16 − 1156 x2 = 2 · 15 −16 − 34 x1 = 30 −5 x2 = 3

5.5 Factorización por Fórmulas Notables

147

Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )    3 5 2 15m + 16m − 15 = 15 m − m−− 5 3    3 5 2 15m + 16m − 15 = 15 m − m+ 5 3    5m − 3 3m + 5 15m2 +16m−15 = 15 5 3

15m2 + 16m − 15 = 15

(5m − 3) (3m + 5) 5 3

15m2 + 16m − 15 = 15 15m2 + 16m − 15 = 15

(2x − 3)(x + 5) 3·5 (2x − 3)(x + 5) 15

15m2 + 16m − 15 = (2x − 3)(x + 5) 

Ejercicio 5.15

Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. x2 + 6x − 216

(x + 18)(x − 12)

2. n2 + 28n − 29

(n − 1)(n + 29)

3. x2 + 7x + 10

(x + 2)(x + 5)

4. 28 + a2 − 11a

(a − 4)(a − 7)

5. 13m + m2 − 30

(m + 15)(m − 2)

6. −35 − 2a + a2

(a + 5)(a − 7)

7. 3x2 − 5x − 2

(x − 2)(3x + 1)

8. 3 + 11a + 10a2

(2a + 1)(5a + 3)

9. −12 + 15a2 − 8a

(3a + 2)(5a − 6)

10. 21x2 + 11x − 2

(3x + 2)(7x − 1)

11. x2 + x − 132

(x − 11)(x + 12)

12. m2 − 8m − 1008

(m + 28)(m − 36) 

Ejercicio 5.16 — Para la casa. Factorice los siguientes polinomios por el método de fórmula

general. 1. x2 + 5x + 4

8. a2 − 4a − 21

15. x2 + x − 99

2. x2 − 6x − 7

9. 5 + 4x − x2

16. 15 + 2y − y2

3. a2 − 2a − 80

10. x2 + x − 20

17. c2 + 11c + 28

4. x2 + x − 12

11. y2 + y − 56

18. 25x2 − 25x − 84

5. 16x2 − 8x − 15

12. x2 + 7x − 60

19. a2 − 21a + 98

6. 25x2 − 65x + 42

13. 4n2 − 8n + 3

20. x2 + x − 132

7. c2 + c − 15

14. a2 + a − 240 

Álgebra

148

Ejercicio 5.17 — Para la casa. Factorice los siguientes polinomios por fórmula general.

1. 48 + 2x − x2

11. m2 + m − 56

2. 1 + 2x − 440x2

12. 49x2 + 188x + 128

3. m2 − 21m + 104

13. 20y2 + y − 1

4. 15 + 5n − n2

14. 12c2 − 13c − 35

5. b2 + b − 930

15. 3 + 11a + 10a2

6. 16x2 − 32x − 105

16. 8a2 − 14a − 15

7. x2 + 5x − 36

17. 7x2 − 44x − 35

8. a2 − a − 156

18. 16m + 15m2 − 15

9. 21a2 + 4a − 1

19. 2a2 + 5a + 2

10. x2 − 15x − 100

20. 12x2 − 7x − 12 

5.5.7

Factorización por combinación de métodos Como ya lo habíamos especificado un polinomio puede tener varias factorizaciones (así como la factorizacion de un número no es única), pero debemos recordar que llamamos factorizacion completa a aquella cuyos factores son a su vez es imposibles de factorizar de nuevo. Nota: Usualmente se comienza con el método de factor común y luego se aplican los demás métodos según se necesite. En las factorizaciones completas, es de suma importancia un análisis de cada uno de los factores obtenidos en cada paso para asegurarse que no se pueden volver a factorizar. El utilizar un método en específico no excluye la posibilidad de utilizarlo nuevamente en pasos posteriores. 

Ejemplo 5.29

Factorice 2x3 − 6x2 − 20x

Factor Común. Probamos factorizar por factor común, y obtenemos 2x (x2 − 3x − 10) | {z } Fact. Inspección

Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, pero no es posible, pues una raíz exacta. Inspección. Factorizamos por inspección y obtenemos (x2 − 3x − 10) = 2x(x − 5)(x + 2)

√ 10 no es

5.5 Factorización por Fórmulas Notables

149

Escribimos la factorización 2x3 − 6x2 − 20x = 2x(x − 5)(x + 2)  

Ejemplo 5.30

Factorice 1 − 18x2 + 81x4

Factor Común. Probamos factorizar por factor común, pero no existen elementos en común entre los elementos. Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, y obtenemos 1 − 18x2 + 81x4 = (1 − 9x2 )(1 − 9x2 ) = (1 − 9x)2 prestamos atención a la expresión dentro del paréntesis y observamos que se parece a la tercera fórmula notable, Fórmula Notable. Por segunda vez aplicamos fórmula notable y obtenemos (1 − 9x2 )2 = ((1 − 3x)(1 + 3x))2 (1 − 9x2 )2 = (1 − 3x)2 (1 + 3x)2 Escribimos la factorización 1 − 18x2 + 81x4 = (1 − 3x)2 (1 + 3x)2  

Ejemplo 5.31

Factorice a3 + a2 y − y3 − ay2

Factor Común. Probamos factorizar por factor común por agrupación, a3 + a2 y − y3 − ay2 = (a3 + a2 y) − (y3 + ay2 ) a3 + a2 y − y3 − ay2 = (a2 − y2 )(a + y) la expresión (a2 − y2 ) puede seguirse factorizando Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, y obtenemos p √ a2 = a y2 = y a2 − y2 = (a − y)(a + y)

Escribimos la factorización a3 + a2 y − y3 − ay2 = (a − y)(a + y)(a + y) 

Álgebra

150 

Ejemplo 5.32

Factorice 4x + y2 − x2 − 4

Factor Común. Probamos factorizar por factor común por agrupación, 4x + y2 − x2 − 4 = y2 − x2 + 4x − 4 4x + y2 − x2 − 4 = y2 − (x2 − 4x + 4) la expresión (x2 − 4x + 4) puede factorizarse por fórmula notable Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, y obtenemos √ √ x2 = x 4=2 x2 − 4x + 4 = (x − 2)(x − 2) = (x − 2)2

obtenemos entonces la expresión y2 − (x − 2)2 Fórmula Notable. Por segunda vez aplicamos fórmula notable y obtenemos y2 − (x − 2)2 = [y − (x − 2)][y + (x − 2)] y2 − (x − 2)2 = (y − x + 2)(y + x − 2) Escribimos la factorización 4x + y2 − x2 − 4 = (y − x + 2)(y + x − 2) 

Ejercicio 5.18

Factorice cada uno de los siguientes polinomios.

1. 45x3 + 150x2 + 125x 2. x4 − 25x3 − 54x2 3. 16x6 − x2 4. 6ax2 + 12ax − 90a 5. 75x6 y − 270x5 y + 243x4 y

R/ 5x(3x + 5)2 R/ x2 (x + 2)(x − 27) R/ x2 (2x + 1)(2x − 1)(4x2 + 1) R/ 6a(x − 3)(x + 5) R/ 3x4 y(5x − 9)2

6. x5 y3 − xy3

R/ xy3 (x + 1)(x − 1)(x2 + 1)

7. 3ax2 − 3a

R/ 3a(x − 1)(x + 1)

8. 1 − a8 9. x3 − 4x + x4 − 4

R/ (1 + a4 )(1 + a2 )(1 + a)(1 − a) R/ (x + 1)(x + 2)(x − 2)

10. a2 x3 + 2ax3 − 8a2 − 16a

R/ a(a + 2)(x − 2)(x2 + 2x + 4)

11. x3 − 6x2 y + 12xy2 − 8y3

R/ (x − 2y)3

12. x8 + x4 − 2 13. 3abm2 − 3ab 14. 3abx2 − 12ab + 3bx2 − 12b

R/ (x4 + 2)(x2 + 1)(x + 1)(x − 1) R/ 3ab(m + 1)(m − 1) R/ 3b(a + 1)(x + 2)(x − 2)

5.6 Fracciones Algebraicas

151

15. a4 − a3 + a − 1

R/ (a + 1)(a − 1)(a2 − a + 1)

16. x9 − xy8

R/ x(x4 + y4 )(x2 + y2 )(x + y)(x − y)

17. (x + y)4 − 1

R/ (x2 + 2xy + y2 + 1)(x + y − 1)(x + y + 1)

18. x7 + x4 − 81x3 − 81

R/ (x2 + 9)(x + 3)(x − 3)(x + 1)(x2 − x + 1)

19. 9(x − y)3 − (x − y)

R/ (x − y)(3x − 3y + 1)(3x − 3y − 1)

20. (a2 − ax)(x4 − 82x2 + 81)

R/ a(x + 1)(1 − x)(x + 9)(x − 9)(x − a)

21. am3 − 7am2 + 12am 22. a6 x2 − x2 + a6 x − x

R/ am(m − 4)(m − 3) R/ x(a + 1)(a − 1)(a2 + a + 1)(a2 − a + 1)(x + 1) 

5.6

Fracciones Algebraicas A Una expresión algebraica fraccionaría, es el cociente de la forma , donde A y B son a su vez B expresiones algebraicas, tales que B 6= O. Si A y B tienen la particularidad de ser polinomios entonces se le denomina expresión algebraica racional. 

Ejemplo 5.33

Ejemplos de Fracciones Algebraicas. 3 2x + 3y expresión algebraica racional

x x+1

+x x expresión algebraica fraccionaria

x 2 − y2 x2 + 2xy + y2 expresión algebraica racional 

El estudio de las fracciones algebraicas, es muy semejante al trabajo que se realiza con los números racionales. 5.6.1

Simplificación de expresiones algebraicas racionales Una fracción algebraica puede ser simplificada, si tanto el numerador como el denominador son divisibles por una misma expresión (excepto 1 y -1). Es decir, para simplificar expresiones algebraicas, se factoriza al máximo tanto el numerador como el denominador y se suprimen los factores que tengan en común. Cuando el numerador y el denominador de una expresión racional no tienen factores en común (excepto 1 y -1) decimos que es irreducible.

Álgebra

152 

x2 − 1

Ejemplo 5.34 — Simplifique. la fracción 2 x − 6x + 5

Factorizo numerador y denominador de la fracción x2 − 1 (x − 1)(x + 1) = x2 − 6x + 5 (x − 5)(x − 1) Elimino los paréntesis en común (x − 1)(x + 1) (x + 1) = (x − 5)(x − 1) (x − 5) Por tanto la simplificación de

x2 − 1 (x + 1) es . 2 x − 6x + 5 (x − 5) 

Ejercicio 5.19

1. 2. 3. 4. 5.

Simplifique las siguientes fracciones algebraicas

x2 − 2x − 3 x−3

R/x + 1

2x2 − 9x − 5 10 + 3x − x2

R/−

a3 + 1

R/

a4 − a3 + a − 1 a2 − b2 b3 − a3

R/−

a+b

R/

mn + 5 mn − 2

6.

8.

4x2 − (y − x)2 (3x + y)2 − 4y2

9.

x3 − 6x2 x2 − 12x + 36

10.

15x3 − 7x− 2x 2x − 3x2

1 a+1

a2 + ab + b2

m2 n2 + 3mn − 10 4 − 4mn + m2 n2

13x − 6 − 6x2 6x2 − 13x + 6 m − am + n − an 7. 1 − 3a + 3a2 − a3

2x + 1 x+2

R/−1 R/

m+n a2 − 2a + 1 R/ R/

1 3

x2 x−6

R/−5x − 1 

5.6 Fracciones Algebraicas 5.6.2

153

Operaciones con expresiones algebraicas racionales. Analizaremos las cuatro operaciones fundamentales con expresiones algebraicas racionales. Multiplicación

Para realizar multiplicaciones debemos seguir el siguiente procedimiento Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 

Factorizar al máximo todos los numeradores y denominadores. Multiplicar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Simplificar si es posible. Efectuar la operación resultante ya sea en el numerador o el denominador o en ambos.

Ejemplo 5.35

Resuelva la siguiente operación

x2 − 9 1 · x2 − 2x − 3 x2 + 6x + 9

Factorizo al máximo numerador y denominador (x − 3)(x + 3) 1 · (x + 1)(x − 3) (x + 3)(x + 3)

Multiplicar las fracciones

(x − 3)(x + 3) (x + 1)(x − 3)(x + 3)(x + 3)

Simplificar si es posible

1 (x + 1)(x + 3) Efectuar la operación resultante 1 x2 + 4x + 3 Por tanto, 

1 1 x2 − 9 · 2 = 2 2 x − 2x − 3 x + 6x + 9 x + 4x + 3

Ejemplo 5.36

Multiplicar

1 − x a2 + a · a + 1 x2 − x

Factorizo al máximo numerador y denominador

Multiplicar las fracciones

Acomodo, trabajando signos

(1 − x) a(a + 1) · (a + 1) x(x − 1) a(1 − x)(a + 1) x(a + 1)(x − 1) −a(x − 1)(a + 1) x(a + 1)(x − 1)



Álgebra

154 Simplificar si es posible −a x Por tanto, 

1 − x a2 + a −a · = a + 1 x2 − x x

Ejemplo 5.37

Multiplicar



3 a2 − ab + a − b · 2 a2 + 2a + 1 6a − 6ab

Factorizo al máximo numerador y denominador

Multiplicar las fracciones

Simplificar si es posible

(a − b)(a + 1) 3 · (a + 1)(a + 1) 6a(a − b) 3(a − b)(a + 1) 6a(a + 1)(a + 1)(a − b) 1 2a(a + 1)

Efectuar la operación resultante 1 2a2 + 2a Por tanto,

a2 − ab + a − b 3 1 · 2 = 2 2 a + 2a + 1 6a − 6ab 2a + 2a

Ejercicio 5.20

1. 2.



Multiplique las siguientes expresiones

2x2 − 3x − 2 3x + 6 · 2 6x + 3 x −4

R/1

x3 − 27 a2 + a + 1 · a3 − 1 x2 + 3x + 9

3.

(x − y)3 x2 + x + 1 · x3 − 1 (x − y)3

4.

(m + n)2 − x2 (m − n)2 − x2 · (m + x)2 − n2 m2 + mn − mx

5.

xy − 2y2 x2 + 2xy + y2 · x2 + xy x2 − 2xy

6.

a2 + 4ab + 4b2 2a + 4b · 3 (a + 2b)3

7.

x2 − 3xy − 10y2 x2 − 16y2 x2 − 6xy · · x2 − 2xy − 8y2 x2 + 4xy x + 2y

R/−

R/

x−3 a−1

R/

1 x−1

x−m+n m R/

xy + y2 x2 R/

R/

2 3

(x − 5y)(x − 6y) x + 2y

5.6 Fracciones Algebraicas

155

8.

a2 − 5a + 6 6a a2 − 25 · 2 · 3a + 15 a − a − 30 2a − 4

9.

a2 + 7a + 10 a2 − 3a − 4 a3 − 2a2 − 3a · · a2 − 6a − 7 a2 + 2a − 15 a2 − 2a − 8

R/

a(a − 3)(a − 5) (a + 5)(a − 6) R/

a(a + 1) a−7 

División

Para realizar divisiones seguiremos el siguiente procedimiento Paso 1 Factorizar al máximo todos los numeradores y denominadores si es posible. Paso 2 El numerador del resultado, es la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador del resultado, es la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Paso 3 Simplificar si es posible. Paso 4 Efectuar la operación resultante ya sea en el numerador o el denominador o en ambos. 

Ejemplo 5.38

Resolver la siguiente operación

2x − 2

x2 + 2x + 1

÷

x−1 x+1

Factorizo al máximo numerador y denominador 2(x − 1) x−1 ÷ (x + 1)(x + 1) x + 1 Dividir las fracciones 2(x − 1)(x + 1) (x + 1)(x + 1)(x − 1) Simplificar si es posible 2 (x + 1) Por tanto



2x − 2 x−1 2 ÷ = x2 + 2x + 1 x + 1 (x + 1) 

Ejemplo 5.39

Multiplicar

a2 + a3 a2 + 9a ÷ a2 − 6a a2 + 3a − 54

Factorizo al máximo numerador y denominador a(a + 9) a2 (1 + a) ÷ a(a − 6) (a + 9)(a − 6) Dividir las fracciones a2 (1 + a)(a + 9)(a − 6) a2 (a − 6)(a + 9)

Álgebra

156 Simplificar si es posible (1 + a) 1 Por tanto,



a2 (1 + a) a(a + 9) (1 + a) ÷ = a(a − 6) (a + 9)(a − 6) 1

Ejemplo 5.40

Multiplicar



15x2 + 7x − 2 6x2 + 13x + 6 ÷ 3 25x − x 25x2 + 10x + 1

Factorizo al máximo numerador y denominador (3x + 2)(5x − 1) (3x + 2)(2x + 3) ÷ x(5x − 1)(5x + 1) (5x + 1)(5x + 1) Dividir las fracciones (3x + 2)(5x − 1)(5x + 1)(5x + 1) x(5x − 1)(5x + 1)(3x + 2)(2x + 3) Simplificar si es posible (5x + 1) x(2x + 3) Efectuar la operación resultante 5x + 1 2x2 + 3x Por tanto,

15x2 + 7x − 2 6x2 + 13x + 6 5x + 1 ÷ = 2 3 2 25x − x 25x + 10x + 1 2x + 3x

Ejercicio 5.21

1.

x3 + 125 x2 − 64



Resuelva las siguientes operaciones. ÷

x3 − 5x2 + 25x x2 + x − 56

2.

a4 − 1 a4 + 4a2 + 3 ÷ a3 + a2 3a3 + 9a

3.

20x2 − 30x 4x − 6 ÷ 15x3 + 15x2 x+1

4.

a3 − 121a a2 − 11a ÷ a2 − 49 a+7

R/

(x + 5)(x − 7) x(x − 8) R/

3(a − 1) a R/

R/

1 3x

a + 11 a−7 

5.6 Fracciones Algebraicas

157

Sumas y restas

Al igual que las operaciones de números racionales, las sumas y restas de fracciones distingue su procedimiento para fracciones homogéneas (igual denominador) y fracciones heterogéneas (diferente denominador). Fracciones homogéneas

El resultado de la suma y/o resta de fracciones homogéneas, será otra fracción que tendrá como denominador el mismo que poseen las fracciones de la operación y como numerador la suma y/o resta de los numeradores, depende de la operación que se realice. Recuerde que el resultado siempre será simplificado. 

Ejemplo 5.41

Resuelva la siguiente operación

a2 + a 3a + 4 3 + 2a + − a2 − 1 a2 − 1 a2 − 1

Fracción Homogénea al ser una fracción con los denominadores iguales procedemos Se escribe una sola línea fraccionaria, con el denominador escrito solo una única vez (a2 + a) + (3a + 4) − (3 + 2a) a2 − 1

Realizo las operaciones indicadas en el numerador

a2 + a + 3a + 4 − 3 − 2a a2 − 1 a2 + 2a + 1 a2 − 1

Factorizo numerador y denominador

a2 + 2a + 1 (a + 1)(a + 1) = a2 − 1 (a + 1)(a − 1) Simplifico si se puede (a + 1)(a + 1) a + 1 = (a + 1)(a − 1) a − 1 Por tanto,

a2 + a 3a + 4 3 + 2a a + 1 + − = a2 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a − 1



Fracciones heterogéneas

Al igual que con las fracciones heterogéneas que se trabajan en los números racionales, la suma y resta de las fracciones algebraicas heterogéneas tiene como primer paso en encontrar el mínimo común denominador. Para encontrar el mínimo común denominador seguiremos el siguiente proceso: Luego de factorizar al máximo, en lo posible, todos los denominadores de las fracciones que componen la operación, el mínimo común denominador será el producto de los factores de los denominadores de las fracciones, utilizando el mayor exponente que aparezca si existen factores que se repiten.

Álgebra

158 

Ejemplo 5.42

Resuelva la siguiente operación

2 y2 + 10y + 25

Factorizo los denominadores

+

4 y2 − 25

4 2 4 2 + = + y2 + 10y + 25 y2 − 25 (y + 5)2 (y − 5)(y + 5) Calculo el mínimo común denominador, que en este caso es (y + 5)2 (y − 5) Escribo una única línea fraccionaria y debajo de ella escribo el denominador común (y + 5)2 (y − 5) Divido el denominador común entre cada denominador, y el resultado lo multiplico por el respectivo numerador 2(y − 5) + 4(y + 5) (y + 5)2 (y − 5) Desarrollo las operaciones indicadas en el numerador 2y − 10 + 4y + 20 (y + 5)2 (y − 5) 6y + 10 (y + 5)2 (y − 5)

Por tanto, 

2 y2 + 10y + 25

Ejemplo 5.43

+

4 y2 − 25

=

6y + 10 (y + 5)2 (y − 5)

Resuelva la siguiente operación

Factorizo los denominadores



a−4 2 1 − 2 + a − 3 a − 5a + 6 a − 2

1 a−4 2 − + a − 3 (a − 2)(a − 3) a − 2 Calculo el mínimo común denominador, que en este caso es (a − 2)(a − 3) Escribo una única línea fraccionaria y debajo de ella escribo el denominador común (a − 2)(a − 3) Divido el denominador común entre cada denominador, y el resultado lo multiplico por el respectivo numerador 1 · (a − 2) − (a − 4) · 1 + 2 · (a − 3) (a − 2)(a − 3)

5.6 Fracciones Algebraicas

159

Desarrollo las operaciones indicadas en el numerador a − 2 − a + 4 + 2a − 6 (a − 2)(a − 3) 2a − 4 (a − 2)(a − 3)

Simplifico si se puede 2(a − 2) (a − 2)(a − 3) 2 (a − 3) Por tanto,

a−4 2 2 1 − 2 + = a − 3 a − 5a + 6 a − 2 (a − 3)

Ejercicio 5.22

1. 2.

Resuelva las siguientes operaciones.

2 3 4x − 7 + − − x−3 x+2 x x−6 x+1

x2 − x − 20

−

x+4

x2 − 4x − 5

3.

a+3 a−1 a−4 + + a2 − 1 2a + 2 4a − 4

4.

a−b a+b 4a2 − + 2 a + b a − b a − b2

5. 6.



R/ +

x+5

R/

x2 + 5x + 4

2 2x + 3 6x + 12 + 2 − 3 x − 2 x + 2x + 4 x −8

x − y x + 2y 1 + 2 + x2 x − xy y − x

R/

1 x−3

x − 10

x2 − 4x − 5

3a2 − 3a + 10 4(a + 1)(a − 1) R/ R/

4a a+b

4x + 5 x2 + 2x + 4

R/

x2 + y2 x2 (x − y) 

5.6.3

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas Al igual que cualquier secuencia de operaciones, ya sea con números enteros o números racionales, se debe respetar la prioridad de operaciones y la secuencias en el trabajo con los signos de agrupación: Primero Paréntesis Segundo Potencias Tercero Multiplicaciones y divisiones Cuarto Sumas y Restas Cuando aparecen dos o mas operaciones del mismo nivel de prioridad, estan se desarrollan de izquierda a derecha, en el orden que aparezcan.

Álgebra

160 

Ejemplo 5.44

   a a a− Resuelva la siguiente operación a + b b+1

Desarrollo los paréntesis, realizando las operaciones que estan dentro de estos    ab + a a(b + 1) − a b b+1    ab + a ab + a − a b b+1    ab + a ab b b+1 Multiplico las dos fracciones resultantes ab + a a(b + 1) − a · b b+1 a(b + 1) a(b + 1) − a · b b+1 a(b + 1)ab b(b + 1) Simplifico si se puede a2 1    a a a− = a2 Por tanto, a + b b+1 

Ejemplo 5.45

Resuelva la siguiente operación







x2 + 6x + 9 3 ÷ −x x x



Desarrollo los paréntesis, realizando las operaciones que estan dentro de estos  2    x + 6x + 9 3 − x2 ÷ x x Divido las dos fracciones resultantes 

 3 − x2 ÷ x     (x + 3)(x + 3) 3 − x2 ÷ x x   x(x + 3)(x + 3) x(3 − x2 ) (x + 3)2 x







5.6 Fracciones Algebraicas

161

Simplifico si se puede (x + 3)(x + 3) 3 − x2 Desarrollo el numerador x2 + 6x + 9 3 − x2 Por tanto,



Ejemplo 5.46



   x2 + 6x + 9 3 x2 + 6x + 9 ÷ −x = x x 3 − x2

Resuelva la siguiente operación



2a −a a−1



1 1 + a − 3 3a − a2





Desarrollo los paréntesis, realizando las operaciones que estan dentro de estos    2a − a(a − 1) 1 1 + a−1 a − 3 a(3 − a)    1 1 2a − a2 + a) + a−1 a − 3 −a(a − 3)     1 1 3a − a2 − a−1 a − 3 a(a − 3)    3a − a2 a·1−1·1 a−1 a(a − 3)     a−1 3a − a2 a−1 a(a − 3) Multiplico las dos fracciones resultantes 

Por tanto,



  a(3 − a) a−1 a−1 a(a − 3)   a(3 − a)(a − 1) a(a − 1)(a − 3)   −a(a − 3)(a − 1) a(a − 1)(a − 3) −1

  1 1 2a −a + = −1 a−1 a − 3 3a − a2 

Álgebra

162 Ejercicio 5.23

Resuelva las siguiente operaciones  2 x x 1. − x−y x−y    x x 2. x + x− y y+1

3. (2 − x−1 ) ÷ (4 − x−2 )

R/

−xy (x − y)2 R/ x2

R/

   3 2 x+ 4. x − x+2 x+3     3 1 2 5. x − x+ x+2 x+3 x2 − 1    x2 2x 1− 6. 2 + 2−x 4     x2 + 5y2 14y2 x−y+ 7. x + 2y − 2x + y x + 4y

x 2x + 1

R/ x2 − 1 R/ 1 R /x + 2 R/ (x + y)(2x − 3y) 

5.6.4

Fracciones Complejas Son aquellas fracciones tales que en el numerador o el denominador, o en ambos, se encuentra una expresión algebraica que se puede reducir a una expresión algebraica fraccionaria. Para simplificar fracciones complejas, se efectúan las operaciones planteadas en el numerador y en el denominador Luego se divide la expresión resultante en el numerador entre la expresión resultante en el denominador. 1 1+ x − 1  Ejemplo 5.47 Simplifique la siguiente expresión 1 1+ 2 x −1 Resuelvo la operación del numerador

1+

1 x−1

x−1+1 x−1 x x−1

5.6 Fracciones Algebraicas

163

Resuelvo la operación del denominador 1+

1 x2 − 1

x2 − 1 + 1 x2 − 1 x2 x2 − 1

Reescribo la expresión original 1 x x−1 = x−1 1 x2 1+ 2 x −1 x2 − 1 1+

Divido la expresión resultante x x x(x − 1)(x + 1) x−1 = x−1 = 2 2 x2 (x − 1) x x x2 − 1 (x − 1)(x + 1) Simplifico la expresión x+1 x 1 x−1 = x+1 Por tanto, 1 x 1+ 2 x −1 1+



Ejemplo 5.48



x y + y x Simplifique la siguiente expresión 2 x y2 − y2 x 2

Resuelvo la operación del numerador x y + y x x·x+y·y x·y x 2 + y2 xy

Álgebra

164 Resuelvo la operación del denominador x 2 y2 − y2 x2 x 2 · x 2 − y2 · y2 x2 · y2 x 4 − y4 x2 y2

Reescribo la expresión original x y x 2 + y2 + y x xy = 4 2 2 x x − y4 y − y2 x 2 x 2 y2 Divido la expresión resultante x 2 + y2 x2 + y2 x 2 + y2 xy xy xy = 2 = x 4 − y4 (x − y2 )(x2 + y2 ) (x − y)(x + y)(x2 + y2 ) x 2 y2 x2 y2 x 2 y2 x2 y2 (x2 + y2 ) xy(x − y)(x + y)(x2 + y2 ) Simplifico la expresión

x y + xy y x Por tanto, 2 = 2 (x − y)(x + y) x y − 2 2 y x Ejercicio 5.24

x y 1. 1 1− y x−

b a 2. a 2 a − b b2 −

xy (x − y)(x + y) 

Simplifique las siguientes expresiones

R/ x

R/

b2 a2

5.7 División de Polinomios

165

x+y x−y − x−y x+y 3. x + y x + 2y − x x+y

R/

4a 7b 21b a+ 4 2 2− x 2x−1 7 12 1− + 2 x x 16 1− x 1 x x− x2 x− x+1

4x2 y(x − y)

3+

4.

5.

6.

7.

R/

R/

4 7b

4(x − 1) x R/ x + 2

R/ −1



5.7 5.7.1

División de Polinomios División de Polinomio entre Monomio Para realizar la división de un polinomio entre un monomio se dividen cada uno de los términos del polinomio dividendo entre el monomio divisor, aplicando el procedimiento para realizar la división de monomios. 

Ejemplo 5.49 — División de Polinomio entre Monomio. Realice la siguiente división



30m4 − 20m5 ÷ 10m3

Se distribuye a cada término del polinomio el monomio divisor



30m4 ÷ 10m3 − 20m5 ÷ 10m3

Procedemos a dividir los coeficientes numéricos 30 ÷ 10 = 3

20 ÷ 10 = 2

Seguidamente dividimos los factores literales m4 ÷ m3 = m4−3 = m1

m5 ÷ m3 = m5−3 = m2

Álgebra

166 Juntamos los resultados anteriores 3m1 − 2m2 = 3m − 2m2 De esta manera obtenemos la respuesta a la división

30m4 − 20m5 ÷ 10m3 = 3m − 2m2 



Ejemplo 5.50 — División de Polinomio entre Monomio. Realice la siguiente división



40a10 − 32a8 ÷ 8a5

Se distribuye a cada término del polinomio el monomio divisor



40a10 ÷ 8a5 − 32a8 ÷ 8a5

Procedemos a dividir los coeficientes numéricos 40 ÷ 8 = 5

32 ÷ 8 = 4

Seguidamente dividimos los factores literales a10 ÷ a5 = a10−5 = a5

a8 ÷ a5 = a8−5 = a3

Juntamos los resultados anteriores 5a5 − 4a3 De esta manera obtenemos la respuesta a la división

40a10 − 32a8 ÷ 8a5 = 5a5 − 4a3 

Ejemplo 5.51 — División de Polinomio entre Monomio. Realice la siguiente división



25a4 b3 − 30a4 b5 ÷ −5a3 b2

Se distribuye a cada término del polinomio el monomio divisor



25a4 b3 ÷ −5a3 b2 − 30a4 b5 ÷ −5a3 b2 Procedemos a dividir los coeficientes numéricos 25 ÷ −5 = −5

30 ÷ −5 = −6



5.7 División de Polinomios

167

Seguidamente dividimos los factores literales a4 b3 ÷ a3 b2 = a4−3 b3−2 = a1 b1

a4 b5 ÷ a3 b2 = a4−3 b5−2 = a1 b3

Juntamos los resultados anteriores −5a1 b1 − −6a1 b3 = −5ab + 6ab3 De esta manera obtenemos la respuesta a la división

25a4 b3 − 30a4 b5 ÷ −5a3 b2 = −5ab + 6ab3 



Ejemplo 5.52 — División de Polinomio entre Monomio. Realice la siguiente división



100a4 b5 − 20a3 b4 ÷ −4a3 b4

Se distribuye a cada término del polinomio el monomio divisor



100a4 b5 ÷ −4a3 b4 − 20a3 b4 ÷ −4a3 b4 Procedemos a dividir los coeficientes numéricos 100 ÷ −4 = −25

20 ÷ −4 = −5

Seguidamente dividimos los factores literales a4 b5 ÷ a3 b4 = a4−3 b5−4 = a1 b1

a3 b4 ÷ a3 b4 = a3−3 b4−4 = a0 b0

Juntamos los resultados anteriores −25a1 b1 − −5a0 b0 = −25ab + 5 De esta manera obtenemos la respuesta a la división

100a4 b5 − 20a3 b4 ÷ −4a3 b4 = −25ab + 5 

Ejemplo 5.53 — División de Polinomio entre Monomio. Realice la siguiente división



−40m3 a5 b8 − 14m4 b5 a8 + 10m2 a7 b9 ÷ −2m2 a5 b5

Se distribuye a cada término del polinomio el monomio divisor





−40m3 a5 b8 ÷ −2m2 a5 b5 − 14m4 b5 a8 ÷ −2m2 a5 b5 + 10m2 a7 b9 ÷ −2m2 a5 b5



Álgebra

168 Procedemos a dividir los coeficientes numéricos −40 ÷ −2 = 20

10 ÷ −2 = −5

14 ÷ −2 = −7 Seguidamente dividimos los factores literales m3 a5 b8 ÷ m2 a5 b5 = = m1 a0 b3

m3−2 a5−5 b8−5

m4 b5 a8 ÷ m2 a5 b5 = = m2 a3 b0

m4−2 a8−5 b5−5

m2 b9 a7 ÷ m2 a5 b5 = = m0 a2 b4

m2−2 a7−5 b9−5

Juntamos los resultados anteriores 20m1 a0 b3 − −7m2 a3 b0 + −5m0 a2 b4 = 20b3 m + 7a3 m2 − 5a2 b4 De esta manera obtenemos la respuesta a la división

−40m3 a5 b8 − 14m4 b5 a8 + 10m2 a7 b9 ÷ −2m2 a5 b5 = 20b3 m + 7a3 m2 − 5a2 b4 



Ejemplo 5.54 — División de Polinomio entre Monomio. Realice la siguiente división



20x4 m9 b9 − 30x5 m8 b10 − 10m9 x3 b8 ÷ −10m8 x3 b8

Se distribuye a cada término del polinomio el monomio divisor





20x4 m9 b9 ÷ −10m8 x3 b8 − 30x5 m8 b10 ÷ −10m8 x3 b8 − 10m9 x3 b8 ÷ −10m8 x3 b8

Procedemos a dividir los coeficientes numéricos 20 ÷ −10 = −2

30 ÷ −10 = −3

10 ÷ −10 = −1

Seguidamente dividimos los factores literales x4 m9 b9 ÷ m8 x3 b8 = x4−3 m9−8 b9−8 = x1 m1 b1

x5 m8 b10 ÷ m8 x3 b8 = x5−3 m8−8 b10−8 = x2 m0 b2

m9 x3 b8 ÷ m8 x3 b8 = m9−8 x3−3 b8−8 = m1 x0 b0

Juntamos los resultados anteriores −2x1 m1 b1 − −3x2 m0 b2 − −1m1 x0 b0 = −2bmx + 3b2 x2 + 1m1 = −2bmx + 3b2 x2 + m De esta manera obtenemos la respuesta a la división

20x4 m9 b9 − 30x5 m8 b10 − 10m9 x3 b8 ÷ −10m8 x3 b8 = −2bmx + 3b2 x2 + m Ejercicio 5.25

Realice las operaciones que se presentan utilizando la división de polinomio

entre monomio. 1. Efectúe cada una de
las siguientes
divisiones. (a) 25m2 − 40m7 ÷ −5m4

(b) 8a8 − 14a6 ÷ −2a5



5.7 División de Polinomios

(c) 2b8 y5 − 4b6 y4 ÷ −2b4 y3

(d) 10m8 a5 − 20a4 m9 ÷ 10a4 m8

(e) 20m9 b8 − 10b10 m9 ÷ −10b8 m9

(f) 20b4 a3 − 30b8 a6 − 80a4 b5 ÷ −10a3 b8

(g) 30x4 y5 − 40x3 y8 − 60x6 y9 ÷ −5x3 y5

(h) 80m6 b7 − 50m8 b9 − 10m6 b8 ÷ 10m6 b7

(i) 200a4 b7 − 500a3 b2 − 400a5 b6 ÷ −100a3 b2

(j) 300m2 a4 b15 − 150m4 a6 b10 ÷ −50m2 a4 b10

169



5.7.2

División de Polinomio entre Polinomio Para dividir un polinomio por otro polinomio e efectúan los siguientes pasos: Paso 1 Tanto el dividendo como el divisor se ordenan de forma ascendente o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos. Paso 2 Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente. Paso 3 Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido se sustrae del dividendo. Paso 4 El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3. Paso 5 Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el divisor. 

Ejemplo 5.55 — División de Polinomio entre Polinomio. Realice la siguiente operación


x2 − 3x − 10 ÷ (x + 2)

Iniciamos constatando que los términos en ambos polinomios están ya ordenados Realizamos el paso 2, dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor x2

−

x2 ÷ x = x

3x

−

10

x x

+

2

Realizamos el paso 3, multiplicamos el divisor por el primer término del cociente y el resultado obtenido se resta del dividendo x · (x + 2) = x2 + 2x x2 −x2 0x2

− − −

3x 2x 5x

−

10

−

10

x x

+

2

Álgebra

170

Reiniciamos el proceso, dividimos el primer término del nuevo dividendo por el primer término del divisor x2 −x2 0x2

−5x ÷ x = −5

− − −

3x 2x 5x

−

10

−

10

+ −

x x

2 5

Realizamos nuevamente el paso 3, multiplicamos el divisor por el segundo término del cociente y el resultado obtenido se resta del dividendo −5 · (x + 2) = −5x − 10 x2 −x2 0x2

− − − −−

3x 2x 5x 5x 0x

−

10

− −−

10 10 0

+ −

x x

2 5

Terminamos el procedimiento ya que la expresión resultante es de grado menor que el primer término del divisor. Por tanto escribimos la respuesta
x2 − 3x − 10 ÷ (x + 2) = x − 5 



Ejemplo 5.56 — División de Polinomio entre Polinomio. Realice la siguiente operación


3x2 − 5x + 2 ÷ (3x − 2)

Iniciamos constatando que los términos en ambos polinomios están ya ordenados Realizamos el paso 2, dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor 3x2

3x2 ÷ 3x = x

−

5x

+

2

3x x

−

2

Realizamos el paso 3, multiplicamos el divisor por el primer término del cociente y el resultado obtenido se resta del dividendo x · (3x − 2) = 3x2 − 2x x2 −3x2 0x2

− −− −

5x 2x 3x

+

2

+

2

3x x

−

2

Reiniciamos el proceso, dividimos el primer término del nuevo dividendo por el primer término del divisor x2 −x2 0x2

− −− −

−3x ÷ 3x = −1 5x 2x 3x

+

2

+

2

3x x

− −

2 1

5.7 División de Polinomios

171

Realizamos nuevamente el paso 3, multiplicamos el divisor por el segundo término del cociente y el resultado obtenido se resta del dividendo −1 · (3x − 2) = −3x + 2 x2 −x2 0x2

− −− − −−

5x 2x 3x 3x 0x

+

2

+ −+

2 2 0

3x x

− −

2 1

Terminamos el procedimiento ya que la expresión resultante es de grado menor que el primer término del divisor. Por tanto escribimos la respuesta
x2 − 5x + 2 ÷ (3x − 2) = x − 1 



Ejemplo 5.57 — División de Polinomio entre Polinomio. Realice la siguiente operación



−2x + x4 − x2 − 1 ÷ x + x2 + 1

Iniciamos constatando que los términos en ambos polinomios estén ordenados, pero no es así por tanto los ordenamos −2x + x4 − x2 − 1 = x4 − x2 − 2x − 1 x + x2 + 1 = x2 + x + 1 Analizamos que al dividendo le hacen falta términos para estar ordenado de forma descendente, así que lo completamos con el término respectivo utilizando como coeficiente 0 x4 − x2 − 2x − 1 = x4 + 0x3 − x2 − 2x − 1 Realizamos el paso 2, dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor

x4

+

0x3

−

x2

x4 ÷ x2 = x2

−

2x

−

1

x2 x2

+

x

+

1

Realizamos el paso 3, multiplicamos el divisor por el primer término del cociente y el resultado obtenido se resta del dividendo x2 · (x2 + x + 1) = x4 + x3 + x2 x4 −x4 0x4

+ −+ −

0x3 x3 x3

− −+ −

x2 x2 2x2

−

2x

−

1

−

2x

−

1

x2 x2

+

x

+

1

Álgebra

172

Reiniciamos el proceso, dividimos el primer término del nuevo dividendo por el primer término del divisor

x4 −x4 0x4

+ −+ −

0x3 x3 x3

− −+ −

−x3 ÷ x2 = −x

x2 x2 2x2

−

2x

−

1

−

2x

−

1

x2 x2

+ −

+

x x

1

Realizamos nuevamente el paso 3, multiplicamos el divisor por el segundo término del cociente y el resultado obtenido se resta del dividendo −x · (x2 + x + 1) = −x3 − x2 − x x4 −x4 0x4

+ −+ − −−

0x3 x3 x3 x3 0x3

− −+ − −− −

x2 x2 2x2 x2 x2

−

2x

−

1

− −− −

2x x x

−

1

−

1

x2 x2

+ −

x x

+

1

Reiniciamos el proceso por segunda vez, dividimos el primer término del nuevo dividendo por el primer término del divisor

x4 −x4 0x4

+ −+ − −−

0x3 x3 x3 x3 0x3

− −+ − −− −

−x2 ÷ x2 = −1

x2 x2 2x2 x2 x2

−

2x

−

1

− −− −

2x x x

−

1

−

1

x2 x2

+ −

x x

+ −

1 1

Realizamos nuevamente el paso 3, multiplicamos el divisor por el segundo término del cociente y el resultado obtenido se resta del dividendo −1 · (x2 + x + 1) = −x2 − x − 1 x4 −x4 0x4

+ −+ − −−

0x3 x3 x3 x3 0x3

− −+ − −− − −−

x2 x2 2x2 x2 x2 x2 0x2

−

2x

−

1

− −− − −−

2x x x x 0x

−

1

− −−

1 1 0

x2 x2

+ −

x x

+ −

1 1

Terminamos el procedimiento ya que la expresión resultante es de grado menor que el primer término del divisor. Por tanto escribimos la respuesta

−2x + x4 − x2 − 1 ÷ x + x2 + 1 = x2 − x − 1 

5.7 División de Polinomios Ejercicio 5.26

Realice las siguientes divisiones de polinomios

1. )(3x2 − 5x + 2) ÷ (3x − 2) 2. )(12x2 − 22x − 14) ÷ (3x − 7) 3. )(12x2 − 28x + 15) ÷ (3 − 2x) 4. )(8x3 − 27) ÷ (2x − 3) 5. )(x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1) ÷ (x2 + x + 1) 6. )(m4 − 8m2 + 33m − 30) ÷ (m2 + 3m − 5) 7. )(4x4 + 12x3 + 9x2 − 1) ÷ (2x2 + 3x − 1) 8. )(6x3 − 11x2 + 7x − 6) ÷ (3x2 − x + 2) 9. )(26x − 5x2 − 15 − 4x3 ) ÷ (x2 + 2x − 5) 10. (4x2 − 12x3 − 25 + 9x4 ) ÷ (5 + 2x − 3x2 ) 11. (11m − 2 − 7m3 + 2m4 − 12m2 ) ÷ (2m2 + 3m − 1) 12. (m5 + m3 + 8m2 + 8) ÷ (m2 − 2m + 4) 13. (x4 + 37x2 − 10x3 + 36 − 60x) ÷ (x2 − 5x + 6) 14. (a6 − 2a3 + 1) ÷ (a2 + a + 1) 15. (13p + 1 + 47p2 + 35p3 ) ÷ (5p + 1) 16. (4a3 − 24a − 9 − 3a2 ) ÷ (a − 3) 17. (2a3 + 18 − 3a − 7a2 ) ÷ (2a + 3) 18. (16 + 40a + 25a2 − 49a4 ) ÷ (4 + 5a − 7a2 ) 19. (1 − 32p5 ) ÷ (1 + 2p + 4p2 + 8p3 + 16p4 ) 20. (1 + 81a4 − 18a2 ) ÷ (1 − 6a + 9a2 ) 21. (15x4 + 7x + 7x3 + 15x2 + 4) ÷ (3x2 + 2x + 1) 22. (7x3 − 2x4 + 82x2 + 145x + 72) ÷ (9 + 8x − x2 ) 23. (15a4 − 34a3 + a2 + 2a − 8) ÷ (3a2 − 5a − 4) 24. (16c4 − 1) ÷ (2c − 1) 25. (42m4 + 174m2 + 70 − 338m + 4m2 ) ÷ (3m2 + 3m − 7) 26. (12x4 − 3 + x2 − 17x3 + 9x) ÷ (3x2 − 2x − 2) 27. (6x5 + 3 − 7x2 − 5x4 ) ÷ (3x3 − 4x2 − x + 1) 28. x + 128)(8y3 + 4y2 + 2y + 1) ÷ (2y − 1)

173

Álgebra

174 29. (2x4 + 3x3 − x2 − 1) ÷ (x − 2) 30. (2x6 + 5x4 − x3 + 1) ÷ (−x2 + x + 1)



5.8

Completando Cuadrados Completar el cuadrado es un método usado para resolver una ecuación cuadrática por el cambio de la forma de la ecuación para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto. Para convertir la expresión ax2 + bx + c = 0 utilizando completación de cuadrado seguimos los siguientes pasos 1. Transformamos la expresión para que el término constante, c, esté solo en el lado derecho. 2. Si a, el coeficiente principal (el coeficiente del término x2 ), no es igual a 1, dividimos ambos lados entre a.  2 b en ambos lados de la 3. Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x, 2a expresión. 4. Factorizamos el lado izquierdo por fórmula notable. 5. Acomodamos la expresión juntando nuevamente del lado izquierdo todos los términos. 6. Por último, si a no es igual a 1, multiplicamos la expresión resultante por el coeficiente a de la expresión original. 

Ejemplo 5.58 — Complete el Cuadrado. Complete el cuadrado de la expresión x2 −6x−3 = 0

Reescribimos la expresión escribiendo el −3 del lado derecho x2 − 6x − 3 = 0 x2 − 6x = 3 Como a = 1 omitimos el paso 2   2  b −6 2 Sumamos = = (−3)2 en ambos lados de la expresión 2a 2·1 x2 − 6x + (−3)2 = 3 + (−3)2 x2 − 6x + 9 = 3 + 9 x2 − 6x + 9 = 12 Factorizamos el lado izquierdo de la expresión por la segunda fórmula notable x2 − 6x + 9 = 12 (x − 3)2 = 12

5.8 Completando Cuadrados

175

Acomodamos todos los elementos del lado izquierdo (x − 3)2 − 12 = 0 Por tanto, la expresión x2 − 6x − 3 = 0 por completación de cuadrados se convierte en (x − 3)2 − 12 = 0

 

0

Ejemplo 5.59 — Complete el Cuadrado. Complete el cuadrado de la expresión 7x2 −8x +3 =

Reescribimos la expresión escribiendo el +3 del lado derecho 7x2 − 8x + 3 = 0 7x2 − 8x = −3 Como a = 7 dividimos ambos lados entre 7 7x2 − 8x −3 = 7 7 8x 3 x2 − =− 7 7 Sumamos



b 2a

2

=



−8 2·7

2

 2 4 = − en ambos lados de la expresión 7  2  2 8x 4 −3 4 2 x − + − = + − 7 7 7 7 8x 16 −3 16 + = + 7 49 7 49 8x 16 −5 x2 − + = 7 49 49

x2 −

Factorizamos el lado izquierdo de la expresión por la segunda fórmula notable 8x 16 −5 + = 7 49 49 2  5 4 x− =− 7 49

x2 −

Acomodamos todos los elementos del lado izquierdo   4 2 5 x− =− 7 49  2 4 5 x− + =0 7 49

Álgebra

176 Por último, como a = 7 multiplicamos la expresión resultante por 7   5 4 2 +7· =0 7· x− 7 49   4 2 5 7 x− + =0 7 7 Por tanto, la expresión 7x2 − 8x + 3 = 0 por completación de cuadrados se convierte en   4 2 5 7 x− + =0 7 7

 

Ejemplo 5.60 — Complete el Cuadrado. Complete el cuadrado de la expresión x2 +6x−8 = 0

Reescribimos la expresión escribiendo el −8 del lado derecho x2 + 6x − 8 = 0 x2 + 6x = 8 Como a = 1 omitimos el paso 2  2   b 6 2 Sumamos = = (3)2 en ambos lados de la expresión 2a 2·1 x2 + 6x + (3)2 = 8 + (3)2 x2 + 6x + 9 = 8 + 9 x2 + 6x + 9 = 17 Factorizamos el lado izquierdo de la expresión por la segunda fórmula notable x2 + 6x + 9 = 17 (x + 3)2 = 17 Acomodamos todos los elementos del lado izquierdo (x + 3)2 − 17 = 0 Por tanto, la expresión x2 + 6x − 8 = 0 por completación de cuadrados se convierte en (x + 3)2 − 17 = 0 

5.8 Completando Cuadrados 

177

Ejemplo 5.61 — Complete el Cuadrado. Complete el cuadrado de la expresión

3x2 + 12x + 1 = 0 Reescribimos la expresión escribiendo el +1 del lado derecho 3x2 + 12x + 1 = 0 3x2 + 12x = −1 Como a = 3 dividimos ambos lados entre 3 3x2 + 12x −1 = 3 3 1 x2 + 4x = − 3 Sumamos



b 2a

2

=



12 2·3

2

= (2)2 en ambos lados de la expresión 1 x2 + 4x + (2)2 = − + (2)2 3 1 x2 + 4x + 4 = − + 4 3 11 x2 + 4x + 4 = 3

Factorizamos el lado izquierdo de la expresión por la segunda fórmula notable 11 3 11 (x + 2)2 = 3

x2 + 4x + 4 =

Acomodamos todos los elementos del lado izquierdo 11 3 11 =0 (x + 2)2 − 3 (x + 2)2 =

Por último, como a = 3 multiplicamos la expresión resultante por 3 3 · (x + 2)2 − 3 ·

11 =0 3

3 (x + 2)2 − 11 = 0 Por tanto, la expresión 3x2 + 12x + 1 por completación de cuadrados se convierte en 3 (x + 2)2 − 11 = 0 

Álgebra

178 Ejercicio 5.27

Aplique el procedimiento estudiado para completar el cuadrado en cada uno de los siguientes ejercicios. 1. 2x2 + 8x − 5 = 0

12. x2 − 4x + 2 = 0

2. x2 + 4x − 21 = 0

13. 3x2 − 12x + 6 = 0

3. x2 − 6x = 13

14. x2 + 6x + 8 = 0

4. 2x2 − 6x − 7 = 0

15. x2 − 12x + 4 = 0

5. 4x2 − 2x − 1 = 0

16. 3x2 + 6x − 72 = 0

6. 2x2 − x − 2 = 0

17. x2 + 10x + 9 = 0

7. 3x2 − 9x − 2 = 0

18. x2 − x − 6 = 0

8. x2 + 3x + 1 = 0

19. x2 − 2x − 4 = 0

9. x2 + 3x − 1 = 0

20. x2 − 5x − 18 = 0

10. x2 + 6x + 7 = 0

21. 2x2 − 20x + 40 = 0

11. x2 + 6x = 0

22. 3x2 − 5x − 8 = 0 

5.9

Racionalización de Denominadores Racionalizar es una operación que tiene como objeto reescribir la expresión para que “desaparezca” el radical del denominador. Existen tres casos de racionalización, los que pasamos a estudiar. Caso 1 Cuando el radical del denominador tiene índice igual a 2, es decir posee como radical una a raíz cuadrada. Es decir se presenta de la forma √ . En este caso unicamente debemos multiplicar b c √ el numerador y el denominador por el c n  Ejemplo 5.62 — Racionalización. Racionalice el denominador de la expresión √ a √ Multiplicamos el numerador y el denominador por a √ √ n a n a √ ·√ = √ a a a2 Simplificamos extrayendo los términos del numerador √ √ n a n a √ = a a2 

5.9 Racionalización de Denominadores 

179 x 4 x

Ejemplo 5.63 — Racionalización. Racionalice el denominador de la expresión √

√ Multiplicamos el numerador y el denominador por x √ √ x x x x √ ·√ = √ 4 x x 4 x2 Simplificamos extrayendo los términos del numerador √ √ √ x x x x x √ = = 2 4x 4 4 x 

Caso 2 Cuando el radical del denominador tiene índice mayor a 2, es decir posee como radical a una raíz cúbica, cuarta, quinta o mayor. Es decir se presenta de la forma √ . En este caso n m b c √ unicamente debemos multiplicar el numerador y el denominador por el n cn−m x  Ejemplo 5.64 — Racionalización. Racionalice el denominador de la expresión √ 4 2 b √ √ 4 4 Multiplicamos el numerador y el denominador por b4−2 = b2 √ √ 4 2 4 x x b2 b √ √ √ · = 4 2 4 2 4 4 b b b Simplificamos extrayendo los términos del numerador √ √ 4 4 x b2 x b2 √ = 4 4 b b  

Ejemplo 5.65 — Racionalización. Racionalice el denominador de la expresión √ 5

√ √ 5 5 Multiplicamos el numerador y el denominador por a5−2 x5−3 = a3 x2 √ √ 5 3 2 5 x a x x a3 x 2 √ ·√ = √ 5 5 5 5 2 3 5 3 2 a x a x a x

x

a2 x3

Simplificamos extrayendo los términos del numerador √ √ √ 5 3 2 5 5 x a3 x2 x a3 x2 a x √ = = 5 5 5 ax a a x 

a Caso 3 Para racionalizar el denominador de una fracción del tipo √ √ y en general cuando b± c el denominador sea un binomio con al menos un radical, debemos multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Álgebra

180 

a √ m+ n

Ejemplo 5.66 — Racionalización. Racionalice el denominador de la expresión √

√ √ Multiplicamos el numerador y el denominador por m − n √ √ √ √ m− n a ( m − n) a √ √ ·√ √ = √ √ √ √ m+ n m − n ( m + n) ( m − n) √ √ √ √ a ( m − n) a ( m − n) √ √  = √ √  √ √ m2 − mn + mn − n2 m2 − n2 Simplificamos extrayendo los términos del numerador √ √ √ √ a ( m − n) a ( m − n) √  = √ m−n m2 − n2 √ 9 x √  Ejemplo 5.67 — Racionalización. Racionalice el denominador de la expresión x− x √ Multiplicamos el numerador y el denominador por x + x √ √ √ √ 9 x x+ x 9 x (x + x) √ · √ = √ √ x − x x + x (x − x) (x + x) √ √ √ √ √ √ 9 x (x + x) 9 x (x + x) 9 x (x + x) √ √ √ √ = = √ √ (x − x) (x + x) x2 − x x + x x + x2 x2 − x2



Simplificamos extrayendo los términos del numerador √ √ √ √ 9 x (x + x) 9 x (x + x) √ = x2 − x x2 − x2 

Ejercicio 5.28

Racionalice cada una de las siguientes expresiones algebraicas que se presentan

a continuación. 5xy 1. √ 5x −a 2. √ a √ x 3. √ x−y √ a+b 4. √ a−b

1 5. √ 5 2 a a 6. √ 7 3 a a 7. √ 7 3 4 a b √ m 8. √ 3 m

2p 9. √ 2pq 5 10. √ 3 4a2 1 11. √ 3 2 3 x 3 12. √ 4 9a

6 √ 3 5 3x x 14. √ 4 27x2 13.

15.

5q2 √ 3 pq

1 16. √ 5 8a4

5.10 Ecuaciones Cuadráticas 1 √ 4 5a 25x3 √ √ p+ q 18. √ √ 2 p+ q √ √ p− p−1 √ 19. √ 2 p+ p−1 17.

181

√ √ p+ 2 20. √ √ 2 p− q √ √ p− p+1 √ 21. √ 2 p+ p+1 22.

m √ x+ b

k √ c+ m √ 2b + 3 24. √ 2 − 3m √ 6+b √ 25. 5− 7 23.



5.10

Ecuaciones Cuadráticas En octavo año se estudiaron por primera vez las ecuaciones, en ese momento nos interesaron las ecuaciones lineales. Ejemplos de estas ecuaciones son 

Ejemplo 5.68 — Ecuaciones lineales o de primer grado. 2x − 5 = 7

3x = 10

2x =5 x−3 

Este año nos interesará estudiar las ecuaciones cuadráticas. A continuación veremos la definición de las mismas. Definición 5.2 — Ecuación Cuadrática. Sean a, b y c ∈ R, donde a 6= 0. Entonces se define

una ecuación cuadrática como la ecuación

ax2 + bx + c = 0 Antes de considerar los métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas es necesario introducir el concepto de discriminante. 5.10.1

Análisis del Discriminante En toda ecuación cuadrática es posible identificar tres coeficientes: a, b y c. El coeficiente a es el que se encuentra frente a x2 , el coeficiente b esta frente a la x y el coeficiente c es el que no tiene factor literal. Utilizando dichos coeficientes se calcula el coeficiente, mediante la siguiente fórmula Definición 5.3 — Discriminante. Sean a, b y c ∈ R, los coeficientes de una ecuación cuadrática.

Entonces se define el discriminante como

∆ = b2 − 4ac

Álgebra

182 

Ejemplo 5.69

Calcule el discriminante de la ecuación 6x2 + x − 12 = 0.

Primero es necesario identificar los coeficientes a = 6, b = 1 y c = −12. Ahora aplicamos la fórmula ∆ = b2 − 4ac

∆ = 1 + 288

∆ = 12 − 4 · 6 · −12

∆ = 289

∆ = 1 − −288 Entonces el discriminante de la ecuación 6x2 + x − 12 = 0 es ∆ = 289.  

Ejemplo 5.70

Calcule el discriminante de la ecuación x2 − 6x + 9 = 0

Identificamos los coeficientes a = 1, b = −6 y c = 9. Usando la fórmula del discriminante tenemos ∆ = b2 − 4ac ∆ = (−6)2 − 4 · 1 · 9 ∆ = 36 − 36 ∆=0 Entonces el discriminante de la ecuación x2 − 6x + 9 = 0 es ∆ = 0.  

Ejemplo 5.71

Calculando el discriminante de la ecuación x2 + x + 2 = 0

Identificamos los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 2. Usando la fórmula del discriminante tenemos ∆ = b2 − 4ac ∆ = 12 − 4 · 1 · 2 ∆ = 1−8 ∆ = −7 Entonces el discriminante de la ecuación x2 + x + 2 = 0 es ∆ = −7. 

5.10 Ecuaciones Cuadráticas

183

Si bien es cierto, el cálculo del discriminante es muy sencillo, su utilidad y aplicación a lo largo no solo de este tema sino de todo el curso lectivo será fundamental. Como notamos en cada uno de los ejemplos anteriores, el discriminante puede tomar tres valores: positivo, negativo o cero. ¿Pero qué significado tiene para nosotros esto? A continuación se explica. Primero, el discriminante nos permite saber de antemano y sin resolver la ecuación cuantas soluciones o raíces tiene una ecuación. Segundo, nos permite determinar la naturaleza de las raíces, es decir si las soluciones son reales o imaginarias. Lo anterior se logra mediante el siguiente criterio: Proposición 5.1

Si ∆ > 0 entonces la ecuación tiene dos raíces o soluciones reales diferentes.

Si ∆ < 0 entonces la ecuación no tiene raíces o soluciones reales. En este caso las raíces son imaginarias, y son dos.

Proposición 5.2 Proposición 5.3

Si ∆ = 0 entonces la ecuación tiene dos raíces o soluciones reales iguales.

Ejercicio 5.29 Determine cuantas raíces tiene cada ecuación que se presenta a continuación. Además indique si son reales o imaginarias.

1. 15x2 − 12 = −8x

7. 7 − 3x − x2 = 0

2. 4x2 + x − 14 = 0

8. 6x2 − 7x − 3 = 0

3. 15x2 − 14 = 29x

9. −x2 + x − 1 = 0

4. 8x2 + 30x − 27 = 0

10. 2x − 4x2 + 6 = 0

5. x2 − 7x + 9 = 0

11. 6 + x2 − x = 0

6. 5x2 − x + 1 = 0

12. 12 − 15x − x2 = 0 

Ejercicio 5.30 — Para la casa. Determine cuantas raíces tiene cada ecuación que se presenta

a continuación. Además indique si son reales o imaginarias. 1. 6x2 − 7x − 3 = 0

5. −x2 + 6x − 9 = 0

2. 5x2 + 3x − 1 = 0

6. x2 − 4x − 5 = 0

3. x2 − x + 1 = 0

7. 3x2 − x − 2 = 0

4. −x2 + 2x − 3 = 0

8. 10x2 − 3x − 15 = 0

9. 25x2 − 10x + 1 = 0 10. −x2 + 3x + 2 = 0



Álgebra

184 5.10.2

Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas Vamos a estudiar algunos métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas. Al final es el estudiante quien decide cuál método utiliza. No obstante vamos a tomar el tiempo para explicarlos todos por igual. Fórmula General

La fórmula general es un método que puede ser usado en todas las ecuaciones cuadráticas, además de tener la ventaja de que nos dará la respuesta en forma exacta siempre. Como su nombre lo indica existe una fórmula para obtener las soluciones a la ecuación cuadrática, a saber Definición 5.4 — Fórmula General. Sea una ecuación cuadrática

de la forma ax2 + bx + c = 0, entonces se define la fórmula general, para el cálculo de las raíces, de la siguiente forma √ −b + ∆ x1 = para la primera solución (5.1) 2 · a√ −b − ∆ para la segunda solución (5.2) x2 = 2·a Veamos un ejemplo del empleo del método. 

Ejemplo 5.72

Resuelva la ecuación x2 + 3x − 4 = 0.

Primero calculamos el discriminante: ∆ = 32 − 4 · 1 · −4

∆ = 9 + 16

∆ = 9 − −16

∆ = 25

Analizamos el resultado del discriminante, lo que nos permite concluir que la ecuación que vamos a resolver tiene dos raíces o soluciones, y que estas son reales. Aplicamos la fórmula general. Vamos a encontrar esas soluciones, usamos la fórmula para la primera raíz: √ −b + ∆ x1 = 2a √ −3 + 25 x1 = 2·1 −3 + 5 x1 = 2 2 x1 = 2 x1 = 1

5.10 Ecuaciones Cuadráticas

185

Luego para la segunda raíz, usamos la segunda fórmula: √ −b − ∆ x1 = 2a √ −3 − 25 x1 = 2·1 −3 − 5 x1 = 2 −8 x1 = 2 x1 = −4 Escribimos el conjunto solución teniendo las dos soluciones escribimos el conjunto solución S = {−4, 1}2 

Resolvamos otra variante de ecuación cuadrática. 

Ejemplo 5.73

Encuentre el conjunto solución de la ecuación x2 − 4x + 4 = 0.

Calculemos primero el discriminante: ∆ = (−4)2 − 4 · 1 · 4 ∆ = 16 − 16 ∆=0 Analizamos este resultado, logramos concluir que la ecuación que vamos a resolver tiene una única raíz o solución, y que estas son reales. Ahora vamos a encontrarla, usamos la fórmula para la primera raíz3 : √ 4+0 −b + ∆ x1 = x1 = 2 2a √ 4 −−4+ 0 x1 = x1 = 2 2·1 x1 = 2 Escribimos la solución teniendo este resultado escribimos el conjunto solución S = {2} 

Como hemos visto el proceso es hasta cierto punto mecánico, para ponerlo de alguna forma, donde hay que prestar atención a los detalles. 2 Se

deben poner en orden, primero el número menor y luego el mayor. el mismo resultado si se utiliza esta fórmula o la de la segunda raíz... ¡compruebalo!

3 Obtendremos

Álgebra

186 

Ejemplo 5.74

Resuelva la ecuación x2 + x + 2.

Cálculo de discriminante Como ya vimos calculamos primero el discriminante: ∆ = 12 − 4 · 1 · 2

∆ = 1−8

∆ = −7

Analizamos el discriminante Con este resultado podemos concluir que la ecuación que vamos a resolver no tiene soluciones reales, estas son imaginarias. Teniendo este resultado, no procede el uso de la fórmula general, sino escribir el conjunto solución

Escribimos la solución S = { }4 

Antes de pasar a la práctica, es importante mencionar que los ejemplos desarrollados hasta el momento se presentan ordenados para su resolución. Sin embargo, en ocasiones las ecuaciones cuadráticas pueden plantearse desordenadas o incompletas, como veremos a continuación. Ejercicio 5.31

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de la

fórmula general. 1. 15x2 + 8x − 12 = 0

7. −x2 − 3x + 7 = 0

2. 4x2 + x − 14 = 0

8. 6x2 − 7x − 3 = 0

3. 15x2 − 29x − 14 =

9. −x2 + x − 1 = 0

4. 8x2 + 30x − 27 = 0

10. −4x2 + 2x + 6 = 0

5. x2 − 7x + 9 = 0

11. x2 − x + 6 = 0

6. 5x2 − x + 1 = 0

12. −x2 − 15x + 12 = 0 

Ejercicio 5.32 — Para la casa. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el

método de la fórmula general. 1. 6x2 − 7x − 3 = 0

5. −x2 + 6x − 9 = 0

2. 5x2 + 3x − 1 = 0

6. x2 − 4x − 5 = 0

3. x2 − x + 1 = 0

7. 3x2 − x − 2 = 0

4. −x2 + 2x − 3 = 0

8. 10x2 − 3x − 15 = 0

9. 25x2 − 10x + 1 = 0 10. −x2 + 3x + 2 = 0



4 Otra

forma de denotar el conjunto vacío es S = ∅, JAMAS se denota S = {∅}.

5.10 Ecuaciones Cuadráticas 5.10.3

187

Ecuaciones Cuadráticas Incompletas y Desordenadas 

Ejemplo 5.75 — Ecuación Cuadrática Incompleta. Para la ecuación 3x2 + 4x = 0 determine

el conjunto solución Calculamos el discriminante. Es importante notar que el coeficiente a = 3, el b = 4 pero el coeficiente c no está presente en la ecuación. Esto no significa que no se puede realizar, por el contrario esto significa que como ese valor no aparece debemos presumir que el coeficiente tiene un valor de 0. ∆ = 42 − 4 · 3 · 0 ∆ = 16 − 0 ∆ = 16 Analizamos el resultado y concluimos que tendremos dos soluciones, reales. Aplicamos la fórmula general para la primera solución √ −4 + 16 x1 = 2·3 −4 + 4 x1 = 6 x1 = 0 La segunda solución es √ −4 − 16 x1 = 2·3 −4 − 4 x1 = 6 −8 x1 = 6 −4 x1 = 3 Escribimos el conjunto solución S=



−4 ,0 3

 

Como quedó claro en el ejemplo anterior cuando un coeficiente no aparece debemos “entender” que su valor es cero. A continuación analizaremos otro ejemplo donde esto se puede confirmar.

Álgebra

188 

Ejemplo 5.76

Obtenga el conjunto solución de la ecuación x2 − 7 = 0

Calculamos el discriminante. Una vez mas notamos que un coeficiente no está presente en la ecuación. En este caso es el coeficiente b, de forma similar al ejemplo anterior, como este valor no aparece debemos presumir que el coeficiente b tiene un valor de 0. ∆ = 02 − 4 · 1 · −7 ∆ = 0 − −28 ∆ = 0 + 28 ∆ = 28 Analizando el resultado anterior concluimos que tendremos dos soluciones, reales. Cálculamos La primera solución es √ −0 + 28 x1 = 2·1 √ 0+2 7 x1 = 2 √ 2 7 x1 = 2 √ x1 = 7 La segunda solución es √ −0 − 28 x1 = 2·1 √ 0−2 7 x1 = 2 √ −2 7 x1 = 2 √ x1 = − 7 Escribimos el conjunto solución √ √ S = {− 7, 7} 

El método del despeje

El método del despeje se aplica únicamente cuando la ecuación cuadrática no está completa y tiene la forma ax2 + c = 0. Debemos recordar que la operación contraria a la potencia es el radical de índice igual al exponente. Por ejemplo,

5.10 Ecuaciones Cuadráticas 

189

Ejemplo 5.77 — Inversa de una potencia.

la inversa de

x2

es

la inversa de

x5

es

√ x √ 5 x

(5.3) (5.4) 

En el concepto mostrado anteriormente se basa el método que vamos a estudiar. Veamos un ejemplo a continuación, 

Ejemplo 5.78

Resuelva la ecuación x2 − 9 = 0

Despejamos la incógnita x2 = 9 Aplicamos raíz cuadrada a ambos lados

√ √ x2 = 9

Desarrollamos para ambos valores de la raíz (el positivo y el negativo) √ √ x=− 9 x=− 9 x = −3 x=3 Escribimos el conjunto solución S = {−3, 3} 

Quizá la pregunta que surge a continuación es: ¿Por qué llegamos a un punto en la operación anterior donde separamos la operación en una raíz de valor positivo y otra de valor negativo si solo contábamos con una raíz al principio? ¿A qué se refiere cuando decimos “desarrollar para ambos valores de la raíz”? Es importante entender que sucede cuando elevamos un número real a un exponente par, mas específicamente cuando elevamos al cuadrado. R

Al elevar un número real cualquiera, positivo o negativo, a un exponente par – como es el caso de elevar al cuadrado – el resultado siempre es positivo.

De manera simbólica, Proposición 5.4 — Signo de Potencia de Índice Par. Sea a ∈ R, entonces

a2 ≥ 0 Consideremos la proposición anterior un momento. Al desarrollar 32 y (−7)2 la proposición anterior nos asegura que el valor que obtendremos es positivo.

Álgebra

190

Desarrollando la potencia 32 = 9, podemos constatar que el resultado es positivo. De la misma manera, (−7)2 = 49 el resultado es positivo.  

Ejemplo 5.79

Como dijimos al inicio de la sección, las potencias y los radicales son operaciones inversas. Por lo tanto cuando estamos resolviendo una ecuación y la incógnita tiene exponente par debemos pasar ese exponente al otro lado como raíz cuadrada. De acuerdo a la proposición 2.4, el número al que esta igualada la incognita puede ser positivo o bien negativo. Por eso es que se establece que al pasar el exponente al otro lado del igual se analicen “los dos valores” de la raíz. Esto se debe a que no podemos afirmar con seguridad si el número que estaba elevado al cuadrado era originalmente positivo o negativo. De esta manera, Ejemplo 5.80 — Despeje de incógnita elevada al cuadrado. Si se nos pide despejar x2 = 16, debemos tener en consideración que no sabemos si el número original, el que se elevó al cuadrado, es positivo o negativo. 

Por tanto, al hacer el despeje, presumimos que las dos opciones se pueden presentar x2 = 16 pasamos el exponente como raíz, al otro lado del igual, y separamos la ecuación en dos, una negativa y la otra positiva √ x = − 16 x = −4

√ x = 16 x=4

Analizando, y confrontando con la proposición 2.4, vemos que tanto 42 = 16 como (−4)2 = 16. Es por eso que debemos “desarrollar para ambos lados de la raíz”.  Aclarado este punto, veamos un segundo ejemplo. 

Ejemplo 5.81

Resuelva la ecuación 4x2 − 100 = 0.

Despejamos la incógnita, dejando el x2 sólo del lado izquierdo 4x2 − 100 = 0 4x2 = 100 100 x2 = 4 x2 = 25



5.10 Ecuaciones Cuadráticas

191

Aplicamos raíz cuadrada a ambos lados √ √ x2 = 25 Desarrollamos para ambos valores de la raíz √ x = − 25 x = −5

√ x = 25 x=5

Escribimos el conjunto solución S = {−5, 5} En ocasiones el método puede presentar un desafío mayor, una trampa, y debemos estar mas atentos de lo normal. 

Ejemplo 5.82

Resuelva la ecuación x2 + 13 = 0.



Despejamos la incógnita, x2 + 13 = 0 x2 = −13 Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados √ √ x2 = −13 Desarrollamos para ambos valores de la raíz √ x = − −13

x=

√ −13

al usar la calculadora para obtener los valores de la raíz obtenemos como resultado M ATH E RROR. Esto nos indica que no existe solución pues como recordamos cuando el índice es par el subradical debe ser siempre positivo y en este caso es negativo. De esta forma S = {}. Ejercicio 5.33

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método del despeje.

1. x2 = 16

4. x2 − 361 = 0

2. x2 = 25

5. 25x2 = 9

3. x2 − 169 = 0

6. 16x2 = 49 

Álgebra

192

Ejercicio 5.34 — Para la casa. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el

método de la fórmula general. 1. 6x2 − 3 = 0

5. −x2 − 9 = 0

2. 5x2 − 1 = 0

6. x2 − 5 = 0

3. x2 + 1 = 0

7. 3x2 − 2 = 0

4. −x2 + 3 = 0

8. 10x2 − 15 = 0 



Ejemplo 5.83 — Ecuación Cuadrática Desordenada. Resuelva la ecuación 5x − 3x2 = 7



En ocasiones las ecuaciones desordenadas simplemente requieren ordenarse para poder resolverlas. En el caso presentado arriba procederíamos a ordenar los términos y luego realizaríamos el proceso descrito ya para la resolución de ecuaciones cuadráticas. Ordenamos los términos de acuerdo a la forma clásica de una ecuación cuadrática, a saber ax2 + bx + c = 0 Invertimos el orden de los términos a la izquierda del igual −3x2 + 5x = 7 Pasamos el número que está a la derecha del igual hacia el lado izquierdo −3x2 + 5x − 7 = 0 Calculamos el valor del discriminante ∆ = 52 − 4 · −3 · −7 ∆ = 25 − 84 ∆ = −59 Analizamos el valor del discriminante y sabemos que como es negativo entonces no existen soluciones para esta ecuación. Escribimos la solución S={ } No todas las ecuaciones desordenadas son así de simples. Veamos el ejemplo siguiente.

5.10 Ecuaciones Cuadráticas 

Ejemplo 5.84

193

Resuelva la ecuación 3(x + 2)2 + 11x + 24 = (x − 2)(2x + 5) − 3x

Iniciamos desarrollando las operaciones planteadas, respetando el orden5 3(x2 + 4x + 4) + 11x + 24 = 2x2 + 5x − 4x − 10 − 3x 3x2 + 12x + 12 + 11x + 24 = 2x2 + 5x − 4x − 10 − 3x 3x2 − 2x2 + 12x + 11x + 4x − 5x + 3x + 12 + 24 + 10 = 0 x2 + 25x + 46 = 0 Calculamos el valor del discriminante ∆ = 252 − 4 · 1 · 46 ∆ = 625 − 184 ∆ = 441 Analizando el resultado anterior concluimos que tendremos dos soluciones reales. Calculamos La primera solución es √ −25 + 441 x1 = 2·1 −25 + 21 x1 = 2 −4 x1 = 2 x1 = −2 La segunda solución es √ −25 − 441 x1 = 2·1 −25 − 21 x1 = 2 −46 x1 = 2 x1 = −23 Escribimos el conjunto solución S = {−23, −4} 

5 1.

Potencias, 2. Paréntesis, 3. Multiplicación y división, 4. Suma y resta.

Álgebra

194 Ejercicio 5.35

Encuentre el conjunto solución en R de las siguientes ecuaciones. ( ) √ √ −3 − 149 149 −3 + 1. 3x = 7 − 5x2 S= , 10 10

2. x2 − 5 + 3x = 0

S=

3. 3x(x − 2) − (x − 6) = 23(x − 3)

S = {5}

4. 2x2 − 4x + 3 = 0 5. 25(x + 2)2 = (x − 7)2 − 81 6. x2 − 8x = −5 7. 3(x − 1)(x + 2) − 2(2x − 3)(x + 4) = 0   1 5 8. 1 + −x = 2 4 1 9. (x − 2)2 = (6x − 24) 3 10. x2 − 4 = 16 11. 4x − 2(1 + x)2 − 2 = 3(x2 − 2) − 1 12.

 1 x 3 = + 3 x2 + 2 6 2

13. (3x − 5)2 = 50

S = {} S= n √ o √ S = 4 − 11, 4 + 11 S = {−9, 2} S = {0, 1} S = {} n √ √ o S = −2 5, 2 5 ( √ √ ) − 15 15 S= , 5 5   −2 1 S= , 3 2 ( √ ) √ 5−5 2 5+5 2 , S= 3 3

14. −(x + 1)2 + 3(x − 6) = −18 − x2 15. 3x2 − 4x + 7 = 0   1 2 16. −(x − 3) = x − 2 17. 4x2 − 24x = −36 18. 7(x − 3) − 5(x2 − 1) = x2 − 5(x + 2) 19.

1 (3 + 2x)2 = 0 3

20. (5x − 2)2 − (3x + 1)2 − x2 − 60 = 0

S = {1}

S=

(

S = {} √ √ ) 1 − 23 1 + 23 , 4 4 S = {3} S = {1}   3 S= − 2   19 S = − ,3 15

5.10 Ecuaciones Cuadráticas 21. (x − 3)2 = 12 22. (x − 5)2 − (x − 6)2 = (2x − 3)2 − 118

195 n √ √ o S = 3 − 2 3, 3 + 2 3   7 S = − ,7 2 

Ejercicio 5.36 — Para la casa. Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.

1. x2 = 15 2. y2 + 64 = 0 3. x2 − 15 = 9 4. −x2 − 5 = −10 5. 3x2 − 18 = 36 6. 2x2 − 5 = 95

n √ √ o S = − 15, 15 S = {} n √ √ o S = −2 6, 2 6 n √ √ o S = − 5, 5 n √ √ o S = −3 2, 3 2 n √ √ o S = −5 2, 5 2 

5.10.4

Ecuaciones Fraccionarias Antes de iniciar el procedimiento con el cual se resolverá el particular caso de las ecuaciones fraccionarias, es necesario aclarar ciertos conceptos. La definición de “dividir por cero”, para este curso no la abarcaremos de forma completa, pues más que un valor es todo un concepto, que involucra otro tipo de nociones; por el momento nos limitaremos a asumir que la división entre cero es no calculable o simplemente indefinida. De lo anterior, será necesario que siempre que se trabaje con fracciones algebraicas, sepamos de antemano los números que hacen el valor numérico del denominador o de los denominadores igual a cero, para descartarlos de nuestro conjunto de trabajo o conjunto referencial, que por lo general son los números reales (R). A estos valores que descartamos se les denomina restricciones de la operación.

Álgebra

196 

Ejemplo 5.85

Resuelva la ecuación

3 x2 + 2x − 8

=

−2

x2 − 4

Determino las restricciones, igualando los denominadores a cero x2 + 2x − 8 = 0

x2 − 4 = 0

utilizamos la calculadora, específicamente Mode 5 – 3 y obtenemos x2 + 2x − 8 = 0 → x1 = −4 y x2 = 2 x2 − 4 = 0 → x1 = −2 y x2 = 2 de esta forma las restricciones de esta ecuación es el conjunto {−4, −2, 2}, por lo que estos números no podrán formar parte de la solución de la ecuación. Iniciamos el proceso de despeje de la incógnita “x”, −2 3 = x2 + 2x − 8 x2 − 4

3(x2 − 4) = −2(x2 + 2x − 8) 3x2 − 12 = −2x2 − 4x + 16 3x2 − 12 + 2x2 + 4x − 16 = 0 5x2 + 4x − 28 = 0 Utilizamos la calculadora, Mode 5 – 3, y obtenemos x1 = −

14 5

y

x2 = 2

Analizamos si alguna de las soluciones se encuentra dentro del conjunto de las restricciones, como la x2 es parte de las restricciones, entonces debemos excluirla del conjunto solución Escribimos el conjunto solución   14 S= − 5 



Ejemplo 5.86

Resuelva la ecuación

2 6 3 − = 2 x − 4 x − 3 x − 7x + 12

Determino las restricciones, igualando los denominadores a cero x−4 = 0

x−3 = 0

utilizamos la calculadora, específicamente Mode 5 – 3 y obtenemos x−4 = 0 → x = 4 x−3 = 0 → x = 3 x2 − 7x + 12 = 0 → x1 = 3 y x2 = 4

x2 − 7x + 12 = 0

5.10 Ecuaciones Cuadráticas

197

de esta forma las restricciones de esta ecuación es el conjunto {3, 4}, por lo que estos números no podrán formar parte de la solución de la ecuación. Iniciamos el proceso de despeje de la incógnita “x”, 2 6 3 − − 2 =0 x − 4 x − 3 x − 7x + 12 Calculamos el denominador común 3 2 6 − − =0 x − 4 x − 3 (x − 3)(x − 4) 3(x − 3) − 2(x − 4) − 6 =0 (x − 4)(x − 3) 3x − 9 − 2x + 8 − 6 =0 (x − 4)(x − 3) x−7 =0 (x − 4)(x − 3)

x − 7 = 0(x − 4)(x − 3) x−7 = 0 Despejamos la incógnita y obtenemos x=7 Analizamos si alguna de las soluciones se encuentra dentro del conjunto de las restricciones, este no es el caso Escribimos el conjunto solución S = {7} 



Ejemplo 5.87

Resuelva la ecuación

4x2 x−1

−

1 − 3x 20x = 4 3

Determino las restricciones, igualando los denominadores a cero x−1 = 0 utilizamos la calculadora, específicamente Mode 5 – 3 y obtenemos x−1 = 0 → x = 1 de esta forma las restricciones de esta ecuación es el conjunto {1}, por lo que estos números no podrán formar parte de la solución de la ecuación. Iniciamos el proceso de despeje de la incógnita “x”, 4x2 1 − 3x 20x − − =0 x−1 4 3

Álgebra

198 Calculamos el denominador común 4x2 1 − 3x 20x − − =0 x−1 4 3

12 · 4x2 − 3(x − 1)(1 − 3x) − 4(x − 1) · 20x =0 12(x − 1) 48x2 − 3(x − 3x2 − 1 + 3x) − 4(20x2 − 20x) =0 12(x − 1) 48x2 − 3x + 9x2 + 3 − 9x − 80x2 + 80x =0 12(x − 1) −23x2 + 68x + 3 = 0 · 12(x − 1) −23x2 + 68x + 3 = 0 Utilizamos la calculadora, Mode 5 – 3 y obtenemos x1 = 3

x2 = −

1 23

Analizamos si alguna de las soluciones se encuentra dentro del conjunto de las restricciones, este no es el caso Escribimos el conjunto solución   1 S = − ,3 23 

Ejercicio 5.37

Encuentre el conjunto solución, en los números reales de las siguientes ecua-

ciones. 2 1 = 1. a−1 3 2.

a+2 a+4 = a−2 a−1

  5 S= 2 S = {6}

3.

6 −6 4 + = 2 x + 4 2x + 3 2x + 11x + 12

S = {−3}

4.

3 1 2 = + 4a 12a 5a + 2

S = {−1}

5.

2 6 3 − = a + 3 2a − 5 3a − 13

6. 7.

1 2 1 = − a+2 a−1 a−2

5 3 1 = + 2x − 2 2x − 1 x − 2

S = {3} S = {4} S = {−4}

5.10 Ecuaciones Cuadráticas 8. 9. 10. 11. 12. 13.

2a − 6 5a − 3 −7 − = 3a − 1 4a + 3 12

2x + 1 x − 1 x2 + x + 7 − = x−2 x+2 x2 − 4

5x2 + 2x − 4 2x − 3 3x + 4 − 2 = 2x + 5 6x + 13x − 5 3x − 1 3a − 2 5a − 3 13 + = 4a + 3 2a − 2 4

3a + 2 3a − 1 5a + 15 − = 2a − 1 2a + 1 4a2 − 1

4h + 13 8h − 1 h+8 + = (2h − 1)(h + 2) h+3 2h − 1

3a + 2 a + 1 2a − 1 14. 2 − − =0 a −1 a−1 a+1 15. 16. 17.

a a − 1 2a − 4 + − =0 a−1 a−2 a−3

a + 6 2a − 1 a + 4 − + =0 a+5 a−4 a−2

x+7 8x − 9 4x + 9 = − 2x2 − x − 3 2x − 3 x+2

199 S = {−21} S = {1} S = {−5} S = {29} S = {2} S = {4}

  4 S = 0, 3   5 S= 3

S = {−2} S = {5}

(5x − 2)(7x + 3) −1 = 0 18. 7x(5x − 1)

  3 S= 4

19.

S = {14}

1 + 2x 1 − 2x 3x − 14 − = 1 + 3x 1 − 3x 1 − 9x2

20.

3 3 1 − =− 2 (x − 1) 2x − 2 2x + 2

21.

10x − 7 3x + 8 5x2 − 4 = − 15x + 3 12 20x + 4

2 6x2 2 22. − 2 = 3 9x − 1 3x − 1    4 3 23. −1 1+ =0 x+3 x+4

S = {2} S = {−16}

  9 S= − 4

S = {−7, 1} 

Álgebra

200 5.10.5

Ecuaciones con Radicales Una ecuación recibe el nombre de ecuación con radical si al menos una variable forma parte del subradical de una expresión de una radical, en una o en ambos miembros de la ecuación. Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6 Paso 7

Despejamos el radical, en el cual se encuentra la variable que estamos buscando su valor. Elevamos ambos miembros de la ecuación a la potencia que indica el índice del radical. Resolvemos las potencias respectivas. Si se conservan expresiones radicales se repiten los pasos a, b y c. Se resuelve la ecuación resultante. Se verifican las soluciones encontradas en la ecuación original. Se determina el conjunto solución. √  Ejemplo 5.88 Resuelva en R la ecuación que se presenta a continuación 3 x − 1 + x = 5 Despejamos el radical, dejandolo solo de un lado del igual √ 3 x−1+x = 5 √ 3 x−1 = 5−x Elevamos ambos lados del igual √ (3 x − 1)2 = (5 − x)2 Desarrollamos las potencias respectivas 9(x − 1) = 25 − 10x + x2 9x − 9 = 25 − 10x + x2 −x2 + 19x − 34 = 0 Resolvemos la ecuación resultante −x2 + 19x − 34 = 0 x1 = 17

x2 = 2

Verificamos las soluciones x = 17 √ 3 17 − 1 + 17 = 5 √ 3 16 + 17 = 5

x=2 √ 3 2−1+2 = 5 √ 3 1+2 = 5

3 · 4 + 17 = 5

3·1+2 = 5

12 + 17 = 5

3+2 = 5

29 = 5 → Incorrecto

5 = 5 → Correcto

5.10 Ecuaciones Cuadráticas

201

Escribimos el conjunto solución S = {2}  

Ejemplo 5.89

√ √ Resuelva en R la ecuación que se presenta a continuación 1 + 4x − 1 − 2x = 0

Despejamos el radical, dejándolo solo de un lado del igual √ √ 1 + 4x − 1 − 2x = 0 √ √ 1 + 4x = 1 + 2x Elevamos ambos lados del igual √ √ ( 1 + 4x)2 = (1 + 2x)2 Desarrollamos las potencias respectivas √ 1 + 4x = 12 + 2 · 1 · 2x + 2x √ 1 + 4x = 1 + 2 2x + 2x Se conservan expresiones con radicales, reinicio el procedimiento Despejamos el radical, dejándolo solo de un lado del igual √ 1 + 4x = 1 + 2 2x + 2x √ 1 + 4x − 1 − 2x = 2 2x √ 2x = 2 2x Elevamos ambos lados del igual √ (2x)2 = (2 2x)2 Desarrollamos las potencias respectivas 4x2 = 4(2x) 4x2 − 8x = 0 Resolvemos la ecuación resultante 4x2 − 8x = 0 x1 = 0

x2 = 2

Álgebra

202 Verificamos las soluciones x=0 √ √ 1+4·0−1− 2·0 = 0 √ √ 1+0−1− 0 = 0 √ 1−1−0 = 0

x=2 √ √ 1+4·2−1− 2·2 = 0 √ √ 1+8−1− 4 = 0 √ 9−1−2 = 0

1−1 = 0

3−1−2 = 0

0 = 0 → Correcto

0 = 0 → Correcto

Escribimos el conjunto solución S = {0, 2} 

Ejercicio 5.38

Encuentre el conjunto solución, en los números reales, de las siguientes ecuaciones. √ √ 1. x + 13 + x − 2 = 3 R/ S = { } √ √ R/ S = {3} 2. x + 6 = 4x − 3 √ √ 3. x + 11 − 2x − 3 = 0 R/ S = {14}   √ 2 5 R/ S = , 4. 3x − 1 − 3 3x − 1 + 2 = 0 3 3 √ √ 5. x2 − 3x + 5 = 2x − 1 R/ S = {2, 3} √ √ 6. x2 − 5x + 1 − 1 − 8x = 0 R/ S = {−3, 0} √ √ √ 7. 7x + 8 = 3x + 1 + x + 1 R/ S = {8} √ √ √ 8. 10x − 4 − 3x − 3 = 2x + 1 R/ S = {4} √ 9. 2x + 3 − 4 2x + 3 + 3 = 0 R/ S = {−1, 3} √ √ 10. 6 − x + x + 2 = 0 R/ S = { } 11.

√ √ √ 5x + 1 − x − 2 = x + 6

√ 12. 3x = 10 − 2x + 7 √ √ √ 13. 5x + 1 − 3x − 5 = x + 1 √ 2x − 3 − 2 14. √ =1 3x − 2 − 3

R/ S = {3,

19 } 5

R/ S = {3} R/ S = {3} R/ S = {2, 6} 

5.11 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas

5.11

203

Problemas con Ecuaciones Cuadráticas Una vez que hemos estudiado las ecuaciones cuadráticas, podemos aplicarlas en la resolución de exampleas de aplicación. Veamos algunos ejemplos:  Ejemplo 5.90 Resuelva el siguiente examplea con ecuaciones cuadráticas. A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades. ii. P LANTEO i. DATOS Edad de B = x A es dos años mayor que B = x + 2 Cuadrado de la edad de B = x2 x2 + (x + 2)2 = 130 2 Cuadrado de la edad de A = (x + 2) iii. R ESOLUCIÓN iv. R ESPUESTA  x2 + (x + 2)2 = 130 La edad de B es 7 x2 + x2 + 4x + 4 = 130 La edad de A es 9 2x2 + 4x + 4 − 130 = 0 Resp/ Las edades son 7 y 9 años. 2x2 + 4x − 126 = 0 Se resuelve usando M ODE 5 – 3 en la calculadora Prueba: 72 + (7 + 2)2 = 130 La calculadora da como resultado x = −9 y x = 7 Prueba: 49 + 81 = 130 Utilizamos la respuesta positiva x = 7 130 = 130

Ejemplo 5.91

Resuelva el siguiente examplea. Carlos y Juan reciben su estado de cuenta bancaria en dólares, ambas poseen dinero. Si la cuenta de Juan tiene el doble de la cuenta de Carlos y el cuadrado de la cantidad de dinero de Juan es doce veces la cantidad de dinero de Carlos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno en su cuenta? i. DATOS ii. P LANTEO Dinero de Carlos = x Dinero de Juan = 2x Cuadrado del dinero de Juan = (2x)2 12x = (2x)2 Dos veces el dinero de Carlos = 12x  iii. R ESOLUCIÓN iv. R ESPUESTA 12x = (2x)2 Aunque a la solución de la ecuación 12x = 4x2 pertenecen los números 0 y 3 nuestro 2 −4x + 12x = 0 examplea excluye al número 0. Se resuelve usando M ODE 5 – 3 en la calculadora Por lo tanto Carlos tiene $3 y Juan $6 La calculadora da como resultado x = 0 y x = 3 

Álgebra

204 

Ejemplo 5.92

El producto de dos números enteros consecutivos positivos es 210. ¿Cuáles son

esos números? i. DATOS Número menor = x Número mayo = x + 1 Producto de ambos números = x(x + 1) iii. R ESOLUCIÓN x(x + 1) = 210

ii. P LANTEO

x(x + 1) = 210 iv. R ESPUESTA Notemos que la solución de la ecuación está conformada por un número positivo y otro negativo, por lo que excluimos al negativo, ya que el ya que el enunciado así lo propone. Tomamos el número menor (x) como 14 y por ende su consecutivo 15.

x2 + x = 210 x2 + x − 210 = 0 Se resuelve usando M ODE 5 – 3 en la calculadora. La calculadora da como resultado x = −15 y x = 14 Ejercicio 5.39

Por lo tanto los números buscados son 14 y 15.

Resuelva los siguientes exampleas.

1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números. R/ 7 y 2. 2. Encuentre dos números tales que su suma sea 21 y su producto 104. R/ 13 y 8. 3. Encuentre dos números consecutivos positivos enteros pares cuyo producto es 168. R/ 12 y 14. 10 4. La suma de un número y su recíproco es Encuentre el número. 3 R/ 3. 3 5. Un número positivo es los de otro y su producto es 2160. Hallar los números. 5 R/ 60 y 36. 6. A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivale a 317 años. Hallar ambas edades. R/ 14 y 11. 7. Un número es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números. R/ 45 y 15. 8. El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces, el número menos 2. Hallar el número. R/ 7 y 1. 9. Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor excede en 57 al triplo del menor. R/ 8 y 9 ó -7 y -6.



5.11 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas

205

10. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números. R/ 15 y 8. 

Ejercicio 5.40 — Para la casa. Resuelva los siguientes exampleas con ecuaciones cuadráticas.

1. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar ambas edades. R/ 17 y 6. 2. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor equivale a 3 los del número intermedio. 10 R/ 4, 5 y 6. 3. El producto de dos números es 180 y su cociente es 1,25. Hallar los números. R/ 12 y 15. 4. El producto de dos números es 352, y si el mayor se divide por el menor el cociente es 2 y el residuo es 10. Hallar los números. R/ 11 y 32. 5. La edad de A hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Hallar la edad. R/ 10. 

Ejercicio 5.41 — Práctica Adicional. Resuelva los siguientes exampleas con ecuaciones

cuadráticas. 1. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por $1000. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado $5 menos. ¿Cuántos sacos compró y cuántos le costo cada uno? R/ 40 y 25. 2. Un caballo costó 4 veces lo que su arreos y la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es 860625 colones. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto los arreos? R/ 225 y 900. 3. Una persona compró cierto número de libros por $180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costo cada uno? R/ 36 y 5. 4. Una compañia de 180 soldados está formada en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas y cuántos soldados en cada una?R/ 10 y 18. 5. Entre cierto número de personas compran un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas compraron el auto?R/ 6.

206

Álgebra 3 6. Compré cierto número de relojes por $192. Si el precio de cada reloj es los del número 4 de relojes, ¿cuántos relojes compré y cuánto pagué por cada uno? R/ 16 y 12. 7. Se ha comprado cierto número de libros por $150. Si cada libro hubiera costado $1 más, se habrían comprado 5 libros menos con los $150. ¿Cuántos libros se compraron y cuánto costo cada uno? R/ 30 y 5. 8. Por $200 compré cierto números de libros. Si cada libro me hubiera costado $10 menos, el precio de cada libro hubiera sido igual al número de libros que compré. ¿Cuántos libros compré? R/ 10. 9. Compre cierto número de lapiceros por $24. Si cada lapicero me hubiera costado $1 menos, podría haber comprado 4 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros compré y a qué precio? R/ 8 y 3.

10. Los gastos de una excursión son $90. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendrııa que pagar $1 más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una? R/ 18 y 5. 11. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240km. Si la velocidad hubiera sido 20km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En que tiempo recorrió los 240km? R/ 6. 12. Un tren ha recorrido 200km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en 1 hora menos, la velocidad debía haber sido 10km por hora más. Hallar el tiempo empleado y la velocidad del tren. R/ 5 y 40. 

Ejercicio 5.42 — Práctica Adicional para la casa. Resuelva los siguientes exampleas.

1. Carlos es 2 años mayor que Pedro, la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 ¿Cuál es la edad de cada uno? R/ Pedro tiene 7 años y Carlos 9 años. 2. La altura h, en metros, sobre el piso, que alcanza una bola a los t segundos de haber sido lanzada está dada por la formula h = t 2 + 8t ¿Cuánto dura, aproximadamente, esta bola en llegar a los 16m de de altura sobre el piso? R/ Aproximadamente 1, 65 segundos. 3. Entre cierto número de personas pagan un viaje que vale $1200. El dinero que pagó cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas pagaron el viaje? R/6 personas. 4. Un jardín rectangular es 10 metros más largo que ancho. Si su área es 875 metros cuadrados ¿Cuáles son las dimensiones del jardín? R/ 25 metros por 35 metros. 5. Un terreno rectangular tiene 6 metros más de largo que de ancho. Si cada diagonal del terreno mide 174 m de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de este terreno? R/ 120 metros por 126 metros.

5.11 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas

207

6. La longitud de un terreno rectangular es el doble del ancho. Si la longitud se aumenta en 40 metros y el ancho en 6 metros el área se hace el doble. Encuentre las dimensiones originales del terreno. R/ 30 metros de ancho y 60 metros de largo. 7. Un jardín cuadrado se va a cercar, si la cerca cuesta $1 por metro y el costo de preparar el terreno es $ 0,5 por metro cuadrado. Calcule el tamaño del terreno que se puede cercar con $ 120. R/ Se puede cercar un terreno cuadrado de 12 metros de lado. 8. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa, cortando un cuadro de 2 cm de lado en cada esquina de una lámina cuadrada de cartón y doblando los lados hacia arriba. Si la caja es para una capacidad de 338 cm3 ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lámina de cartón que se ocupa? R/ una lámina de 17 cm de lado. 

Ejercicio 5.43 — Trabajo extraclase. Realice los siguientes exampleas con ecuaciones

cuadráticas. 1. La suma de dos números naturales es 26 y la diferencia de sus cuadrados supera en 55 al producto de esos dos números encuentre esos números. 2. La base de un rectángulo es 5 cm más que su altura y el área de este es de 104 cm2 . ¿Cuál es el perímetro de ese rectángulo? 3. Un cierto número de personas, hicieron una excursión por la cual pagaron un total de $ 120. Si hubieran ido 3 personas más, el costo por persona habría sido de $ 2 menos. ¿Cuántas personas hicieron la excursión y cuánto pagó cada una? 4. Pedro tiene 2 años más que Beto y este 2 años más que Carlos. Si los números correspondientes a las edades de Pedro y Carlos se multiplican, este producto excede en 16 al producto de los números correspondientes a las edades de Beto y Carlos. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? 5. El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el numerador se multiplica por el denominador y al denominador se le suma el numerador, el valor de la fracción es 6. ¿Cuál es la fracción original? 6. Una bola de béisbol es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 metros por segundo. El número de metros m sobre el suelo después de t segundos está dado por la ecuación m = −16t 2 + 64t. (a) ¿En cuánto tiempo alcanza la pelota una altura de 48m? (b) ¿Cuánto tarda en regresar al suelo? 7. La altura h, en metros, sobre el piso, que alcanza una bola a los t segundos de haber sido lanzada hacia arriba está dada por. la formula h = −16t 2 + 40t ¿Cuánto dura exactamente, esta bola en llegar a los 20m de de altura sobre el piso?

Álgebra

208

75 8. El recíproco de un número entero aumentado en el triple del número es igual a , ¿Cuál 6 es ese número? 9. El área de un triángulo rectángulo es 8 cm2 y el cateto mayor es igual al menor aumentado en tres unidades ¿Cuál es la medida de cada cateto?. 

5.12

Gráfica de una Función Cuadrática La gráfica de una función cuadrática se denomina parábola. Está se comporta, de acuerdo al valor de el coeficiente del primer término, o sea ax2 . Cuando a > 0, la parábola es concava hacia arriba.

5.12 Gráfica de una Función Cuadrática

209

Cuando a < 0, la parábola es concava hacia abajo.



Ejemplo 5.93 — Gráficas de funciones cuadráticas. A continuación se presentan las gráficas

de cuatro funciones cuadráticas. g(x) = 3x2 + 2x + 1

g(x) = −x2 + x − 2

Álgebra

210 g(x) = x2

g(x) = −3x2 +

1 2



5.12.1

Estudio de una función cuadrática y su gráfica

a0

Abre hacia abajo

Abre hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

La cual puede ser cóncava hacia arriba ∪ o cóncava hacia abajo ∩. Posee un vértice el cual es el punto “más bajo” de una gráfica cóncava hacia arriba o es el punto “más alto” de una gráfica cóncava hacia abajo. Estas características están determinadas por los valores de a, b y c de la siguiente forma:

5.12 Gráfica de una Función Cuadrática

211

Concavidad

La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual puede ser cóncava hacia arriba ∪ o cóncava hacia abajo ∩. Teorema 5.1 — Concavidad de una parábola. Para una función cuadrática, de la forma

f (x) = ax2 + bx + c = 0 con a 6= 0, y a, b, y c ∈ R Si a > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba

(5.5)

Si a < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo.

(5.6)

Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerrada será la parábola, mas cercana al eje y. Intersecciones

Note que, la gráfica de una ecuación cuadrática y = ax2 + bx + c interseca al eje x cuando y = 0 o sea, cuando se cumpla que 0 = ax2 + bx + c . Lo que quiere decir que debemos encontrar la solución de esta ecuación cuadrática para obtener los puntos (si existen) donde se interseca la gráfica con el eje x. Recordamos de ecuaciones cuadráticas que estas pueden: No tener solución → la gráfica no interseca el eje x. Tener una solución → la gráfica interseca el eje x en un solo punto. Tener dos soluciones → la gráfica interseca el eje x en dos puntos. 

Ejemplo 5.94 — Gráfica que interseca dos puntos. La gráfica de la función y = x2 + 5x + 6

interseca el eje x en los puntos (−3, 0) y (−2, 0).



212 

Álgebra

Ejemplo 5.95 — Gráfica que interseca un punto. La gráfica de la función y = x2 − 2x + 1

interseca el eje x solamente en el punto (1, 0).

 

Ejemplo 5.96 — Gráfica que no interseca. La gráfica de la función y = 3x2 + 2x + 3 no

interseca el eje x en ningún punto.



Por su parte la intersección con el eje “y” de la gráfica de una función cuadrática será cuando x = 0. Si y = ax2 + bx + c entonces la intersección con el eje “y” será en el valor de “c”. Por lo que el punto de intersección con el eje “y” es (0, c)

Eje de Simetría

El eje de simetría es la recta vertical que “divide” la parábola en dos partes iguales y pasa exactamente −b por x = 2a

5.12 Gráfica de una Función Cuadrática

213

f (x) = −x2 − 2x + 3 −b 2a −−2 x= 2 · −1 x=

x=

2 −2

x = −1

f (x) = 2x2 − 6x + 4 −−6 2·2 6 x= 2·2 6 x= 4 3 x= 2

x=

Ejercicio 5.44

Determine las características de la parábola de cada una de las funciones cuadráticas que se presentan a continuación. 1. f (x) = 3x2 − 14x − 5

8. f (x) = −x2 + 6x

2. f (x) = −2x2 + 9x + 18

1 9. f (x) = x2 + 2x + 3 2

3. f (x) =

4x2 + 3x − 7 5

4. f (x) = 3x2 − 12x + 12 5. f (x) = −2x2 + 12x − 18 6. f (x) =

5x2 − 4x + 7 2

7. f (x) = (x − 3)2 + 2

10. f (x) = −(x + 3)2 − 2 11. f (x) = x2 + 6x + 11 12. f (x) = −2x2 − 8x − 2 13. f (x) = x2 − 4x − 5 14. f (x) = −x2 + 6x − 6

15. Determine las características de la parabóla de la siguiente función cuadrática f (x) = 2x + 3(x − 1)2 − (2x + 1)2 − (−2x + 10)

Álgebra

214 16. Para la función planteada por f (x) = 2x + 3(x − 1)2 − (2x + 1)2 − (−2x + 10), calcule el valor numérico de la expresión   1 2 · f (5) + 3 · f −1 2 2   + 2 3 2+4· f −6 3



5.12.2

Traslaciones de la función cuadrática Las parábolas de ecuación f (x) = ax2 son las más sencillas. A partir de estas parábolas se obtienen otras por traslación. Traslación vertical

f (x) = ax2 + p

Observe que las tablas de f (x) = x2 + 2 y f (x) = x2 − 2 se obtienen a partir de la tabla de f (x) = x2 , sumando y restando 2 unidades respectivamente.

x f (x) = x2 f (x) = x2 + 2 f (x) = x2 − 2

f (x) = x2

-4 16 18 14

-3 9 11 7

-2 4 6 2

f (x) = x2 + 2

-1 1 3 -1

0 0 2 -2

1 1 3 -1

2 4 6 2

3 9 11 7

4 16 18 14

f (x) = x2 − 2

5.12 Gráfica de una Función Cuadrática

215

Las funciones cuadráticas del tipo f (x) = ax2 + p son parábolas cuyo vértice es el punto V = (0, p). Se obtienen trasladando verticalmente p unidades la gráfica de f (x) = ax2 . Si p > 0, la traslación vertical es hacia arriba. Si p < 0, la traslación vertical es hacia abajo. 5.12.3

Traslación horizontal f (x) = a(x + h)2

Observe que las tablas de f (x) = (x + 2)2 y f (x) = (x − 2)2 se obtienen a partir de la tabla de f (x) = x2 .

x f (x) = x2 f (x) = (x + 2)2 f (x) = (x − 2)2

f (x) = x2

-4 16 4 36

-3 9 1 25

-2 4 0 16

f (x) = (x + 2)2

-1 1 1 9

0 0 4 4

1 1 9 1

2 4 16 0

3 9 25 1

4 16 26 4

f (x) = (x − 2)2

Las funciones cuadráticas del tipo f (x) = a(x + h)2 son parábolas cuyo vértice es el punto V = (−h, 0). Se obtienen trasladando horizontalmente h unidades la gráfica de f (x) = ax2 . Si h > 0, la traslación vertical es hacia la izquierda. Si h < 0, la traslación vertical es hacia la derecha.

Álgebra

216 Traslación Oblicua

f (x) = a(x + h)2 + p Vamos a obtener la gráfica de la función cuadrática f (x) = (x − 4)2 + 3 partiendo de la gráfica de f (x) = x2 . Para ello, realizamos sucesivamente una traslación horizontal y una traslación vertical. Trasladamos horizontalmente la parábola f (x) = x2 cuatro unidades a la derecha, obteniendo la parábola f (x) = (x − 4)2 . Trasladamos ahora esta última tres unidades verticalmente hacia arriba, y obtenemos la parábola f (x) = (x − 4)2 + 3. Por consiguiente, la gráfica de f (x) = (x − 4)2 + 3 es igual que la gráfica de la parábola f (x) = x2 , pero con su vértice en el punto de coordenadas (4, 3).

f (x) = x2

f (x) = (x − 4)2

f (x) = (x − 4)2 + 3

Las funciones cuadráticas del tipo f (x) = a(x + h)2 + p son parábolas cuyo vértice es el punto de coordenadas V = (−h, p). Se obtienen trasladando verticalmente p unidades y horizontalmente h unidades la gráfica de f (x) = x2 . El sentido de las traslaciones horizontales y verticales depende del signo de p y h respectivamente. Atención – Las anteriores reglas sobre traslaciones se cumplen también para la gráfica de cualquier función y = f (x). En general, y = f (x) + p es una traslación vertical e y = f (x + h) una traslación horizontal de la gráfica de la función y = f (x)

5.12 Gráfica de una Función Cuadrática

217

Ejercicio 5.45

Encuentre cada uno de los resultados que se solicitan a continuación concernientes a parábolas. 1. Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas. (a) f (x) = 3(x − 1)2 + 4

(c) f (x) = 6(x − 12)2 + 14

(b) f (x) = −4(x + 7)2 − 1 2. A partir de la gráfica de la función f (x) = x2 , obtenga las gráficas de las siguientes funciones, explicando en cada caso cómo lo haces. (a) f (x) = x2 + 3

(d) f (x) = (x + 1)2

(b) f (x) = x2 − 1

(e) f (x) = (x − 2)2 + 3

(c) f (X) = (x − 3)2 3. Dibuja en una cuadrícula la gráfica de la función f (x) = 2x2 ; y a partir de ella obtenga las siguientes gráficas. (a) f (x) = 2x2 − 3

(c) f (x) = 2(x − 1)2 + 1

(b) f (x) = 2(x + 3)2

(d) f (x) = 2(x + 1)2 + 3 

6 — Estadística y Probabilidad

6.1

Clasificación de Variables Las variables pueden ser de tipo cuantitativo (contables) o cualitativo (atributos), por lo que las variables se clasifican en

6.1.1

Variables Cuantitativas Son todas aquellas características que se pueden medir de la forma habitual, es decir, pueden tomar por un valor numérico (medible numéricamente), como por ejemplo el número de hermanos , la estatura, el peso, la edad en años cumplidos, calificaciones de un estudiante, salario en colones, entre otras, estas se clasifican a su vez en Variables cuantitativas discretas

Corresponden a todas aquellas variables cuantitativas que se caracterizan por poseer saltos o interrupciones en los valores que pueden tomar, esto es , estas variables solo pueden tomar valores enteros positivos (exactos, no admiten valores con coma, únicamente valores que se encuentren en el siguiente conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . 100, . . . }), como por ejemplo el número de hijos de una familia, el número de empleados de un fabrica, el número de árboles sembrados, entre otros. Variables cuantitativas continuas

Corresponden a todas aquellas variables cuantitativas que se caracterizan por no poseer saltos o interrupciones en los valores que pueden tomar, esto es , estas variables pueden tomar valores racionales positivos (admiten valores con coma), como por ejemplo el peso de un niño al nacer, la estatura, la nota promedio, la temperatura, entre otros.

220 6.1.2

Estadística y Probabilidad

Variables Cualitativas Son todas aquellas características que no se pueden medir de la forma habitual, es decir, no pueden tomar por un valor numérico dado que reflejan un atributo del dato, adjetivo o cualidad (no son medibles numéricamente), como por ejemplo sexo( masculino y femenino), estado civil (soltero, casado, divorciado, viudo, separado, unión libre), nacionalidad (costarricense, nicaragüense, panameño, otra), color de ojos etc. Ejemplo 6.1 Clasifique cada una de las siguientes variables en cuantitativas continuas o cuantitativas discretas o en cualitativas. 

1. Estatura de un recién nacido. Variable Cuantitativa Continua 2. número de acciones vendidas cada día en valores. Variable Cuantitativa Discreta 3. Censos anuales del colegio de profesores. Variable Cuantitativa Discreta 4. Estado civil de las mujeres en Guanacaste. Variable Cualitativa 5. Longitud de 10.000 cerrojos producidos por una fabrica. Variable Cuantitativa Continua 6. Nacionalidad de los estudiantes de un grupo de octavo año. Variable Cualitativa 7. Color de ojos de los asistentes a la feria de la salud. Variable Cualitativa 8. Condición de los bombillos producidos por una fabrica. Variable Cualitativa 9. Cantidad de bombillos en mal estado producidos por una fabrica. Variable Cuantitativa Discreta 10. número de notas superiores a 65 en un grupo de octavo año. Variable Cuantitativa Discreta 11. Condición de los estudiantes de octavo año, de un colegio de educación secundaria. Variable Cualitativa 

6.1 Clasificación de Variables

221

Ejercicio 6.1

Determine, para cada una de las siguientes situaciones determine el tipo de variable(cuantitativa discreta, cuantitativa continua y cualitativa). 1. Se desea analizar el rendimiento académico de los estudiantes de un colegio determinado, que cursan el octavo año en el 2004 y para ello se tomo un grupo de 30 estudiantes, del total de estudiantes que cursan este nivel. 2. Se desea determinar el número de hijos de cada una de las familias de Guanacaste entre los años venideros, para lo cual se considera un total de 3500 familias. 3. Se desea saber como será la producción de computadoras en una empresa en los dos primeros años de apertura, para lo cual se toman 35.000 computadoras. 4. Se desea saber la condición (buena o mala) del salario de los empleados de una empresa en el ultimo año laborado, para lo cual se consideraron 500 empleados. 5. Se desea saber el número de coronas que se obtiene al realizar 1000 lanzamientos de una monead al aire, para lo cual se consideran los primeros 50 lanzamientos. 6. Se desea investigar la estatura promedio de los estudiantes de un colegio determinado en los últimos años ( desde 1989) y para lo cual se tomaron 3900 estudiantes. 7. Se desea saber la nacionalidad de los empleados de una fabrica, para lo cual de un total de 5000 empleados se considera un conjunto de 500 empleados. 8. Se desea saber el peso promedio de los niños nacidos en el hospital San Juan de Dios durante los años de 1991 a 2004, para lo cual se consideraron los pesos de 3500 niños 9. Una empresa productora de clavos desea saber cual es el tipo de clavos que más se vende en el mercado en el primer mes del año, para lo cual considera un lote de 5000 piezas. 10. Un biólogo desea saber cual será el número de cucarachas comunes que crecen en una casa, desde 1900, para lo cual considera las 100.000 cucarachas que se desarrollan luego de un año. 

Estadística y Probabilidad

222

6.2

Distribución de Frecuencias Corresponde a un arreglo rectangular formado por tres columnas de la siguiente forma: Los datos de la tabla de información que se presenta debemos ordenarlos de menor a mayor. Calculamos los intervalos de clase para lo cual, Calculamos el numero de clases que se puedan tomar mediante la formula 1 + 3.322 · log n, donde n es el número total de elementos. Determinar el recorrido mediante la formula r = Vmáximo −Vmínimo . Calcular la amplitud, cantidad de los valores que cada una de las clases w =

r . número de clases

Calcular los límites reales de cada intervalo de clase. Calculamos la frecuencia absoluta de cada uno de los intervalos de clase. Calculamos la frecuencia relativa de cada uno de los intervalos de clase. Construimos la distribución de la siguiente manera Intervalos Reales



Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Ejemplo 6.2 — Distribución de Frecuencias. Elabore las distribuciones de frecuencias para

la siguiente situación. Se realizo una investigación sobre el rendimiento académico de 24 estudiantes de octavo año de un colegio, con el fin de determinar cual es la nota con mayor frecuencia obtenida y se obtuvo la siguiente información. 43 50 55 41

50 55 56 58

51 51 50 51

49 39 55 46

41 52 54 47

53 58 40 50

Iniciamos ordenando de menor a mayor los datos de la tabla 39 47 51 55

40 49 51 55

41 50 51 55

41 50 52 56

43 50 53 58

46 50 54 58

Seguidamente calculamos los intervalos de clase Número de clases = 1 + 3.322 · log 24 = 11.5575 ≈ 12 Recorrido r = 58 − 39 = 19 Amplitud = w =

19 = 1.5833 ≈ 1.6 12

6.2 Distribución de Frecuencias

223

Los límites serían [39, 40.6[

[45.4, 47[

[51.8, 53.4[

[40.6, 42.2[

[47, 48.6[

[53.4, 55[

[42.2, 43.8[

[48.6, 50.2[

[55, 56.6[

[43.8, 45.4[

[50.2, 51.8[

[56.6, 58]

Construimos la distribución de frecuencias Intervalos Reales [39, 40.6[ [40.6, 42.2[ [42.2, 43.8[ [43.8, 45.4[ [45.4, 47[ [47, 48.6[ [48.6, 50.2[ [50.2, 51.8[ [51.8, 53.4[ [53.4, 55[ [55, 56.6[ [56.6, 58] Total

Frecuencia Absoluta 2 2 1 0 1 1 5 3 2 1 4 2 24

Frecuencia Relativa 8.33 8.33 4.17 0 4.17 4.17 20.83 12.5 8.33 4.17 16.67 8.33 100 



Ejemplo 6.3 — Distribución de Frecuencias. Elabore las distribuciones de frecuencias para

la siguiente situación. Se realizó una investigación sobre el coeficiente de inteligencia de los estudiantes de octavo año de un colegio con el fin de determinar cual es el coeficiente que se repite con mayor frecuencia y se obtuvo la siguiente información. 100 88 100 92 98

102 93 81 76 100

106 97 102 109 87

105 89 98 100 63

112 104 67 113 117

117 105 109 93 100

117 100 109 100 83

108 83 98 93 100

Iniciamos ordenando de menor a mayor los datos de la tabla 63 89 98 100 109

67 92 100 102 109

76 93 100 102 109

81 93 100 104 112

83 93 100 105 113

83 97 100 105 117

83 98 100 106 117

88 98 100 108 117

Estadística y Probabilidad

224 Seguidamente calculamos los intervalos de clase

Número de clases = 1 + 3.322 · log 40 = 13.2545 ≈ 13 Recorrido r = 117 − 63 = 54 Amplitud = w =

54 = 4.15385 ≈ 4.15 13

Los límites serían [63, 67.15[

[83.75, 87.9[

[104.5, 108.65[

[67.15, 71.3[

[87.9, 92.05[

[108.65, 112.8]

[71.3, 75.45[

[92.05, 96.2[

[112.8, 117]

[75.45, 79.6[

[96.2, 100.35[

[79.6, 83.75[

[100.35, 104.5[

Construimos la distribución de frecuencias Intervalos Reales [63, 67.15[ [67.15, 71.3[ [71.3, 75.45[ [75.45, 79.6[ [79.6, 83.75[ [83.75, 87.9[ [87.9, 92.05[ [92.05, 96.2[ [96.2, 100.35[ [100.35, 104.5[ [104.5, 108.65[ [108.65, 112.8] [112.8, 117] Total

Frecuencia Absoluta 2 0 0 1 4 0 3 3 12 3 4 4 4 40

Frecuencia Relativa 5 0 0 2.5 10 0 7.5 7.5 30 7.5 10 10 10 100 

6.2 Distribución de Frecuencias Ejercicio 6.2

225

Elabore la distribución de frecuencias para cada una de las siguientes situaciones.

1. Se realizo una investigación sobre la longitud de los tornillos producidos por una maquina, con el fin de mejor la calidad del producto producido se consideraron 50 tornillos y se obtuvo la siguiente información. 101 108 107 109 112

103 109 106 117 110

100 112 115 109 111

102 104 112 110 102

101 105 107 111 110

104 106 103 104 106

103 108 104 116 109

105 106 110 101 106

106 101 114 112 115

107 104 118 106 113

2. Una empresa productora de jugos de naranja, con el fin de mejorar la calidad de sus productos, realizo una investigación sobre la cantidad de vitamina C, medida en miligramos por cada 100 gramos, que se encuentran en 50 muestras de jugo de naranja y se obtuvo la siguiente información. 16 17 21 14 16

22 18 22 15 26

21 20 12 20 21

20 24 16 26 23

23 18 25 24 19

2 20 18 12 22

17 17 17 18 25

15 24 21 23 15

13 16 23 19 19

19 24 19 25 18

3. Un profesor de matemática desea saber cual es la nota con la que sus estudiantes aprueban el tercer trimestre del año en curso, para lo cual selecciona una muestra de 50 notas correspondientes al tercer trimestre del año anterior obteniendo la siguiente información. 40 70 90 80 80

70 50 60 100 80

50 50 50 70 60

80 60 80 80 70

50 70 70 50 40

100 60 80 40 90

60 50 70 100 40

70 70 90 50 50

40 50 70 60 60

90 60 60 70 70

4. Un biólogo desea saber cual es la Longitud promedio en milímetro, la mas común, que puede alcanzar una hormiga africana, para lo cual considero una muestra de 20 especímenes y obtuvo la siguiente información. 27 36 37 31

31 29 32 26

23 24 25 28

34 28 33 30

39 32 27 34 

Estadística y Probabilidad

226

6.3

Histograma Son análogos a los diagramas de barras y se utilizan para distribuciones de variable estadística continua o para distribuciones de variable estadística discreta cuyos datos han sido agrupados en clases. Para construirlo, se representan sobre el eje de abscisas los extremos de las clases y se levantan unos rectángulos yuxtapuestos de base la amplitud del intervalo y de altura proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente, siempre que todos los intervalos tengan la misma amplitud. En el caso de que los intervalos tengan distinta amplitud, las alturas de los rectángulos se han de calcular de modo que sus áreas sean proporcionales a las correspondientes frecuencias. Al igual que mencionamos antes, para comparar gráficamente distintas distribuciones construiremos los histogramas usando las frecuencias relativas. El polígono de frecuencias se obtiene al unir los puntos medios de los lados superiores de cada rectángulo. Con el fin de que el área encerrada bajo el polígono de frecuencias sea igual a la suma de las áreas de los rectángulos, se une el extremo por la izquierda del polígono con la marca de la clase anterior; análogamente, con el extremo por la derecha. Ejemplo 6.4 — Histograma y Polígono de Frecuencias. Construya un histograma y polígono de frecuencias que represente la distribución estadística que clasifica a los alumnos según su peso en kilogramos y que se muestra a continuación. 

www.matesxronda.net

Peso (Kg) [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ [60, 65[ [65, 70[ [70, 75] Total

José Antonio Jiménez Nieto

Frecuencia Absoluta 1 3 10 9 4 2 1 30

Frecuencia Relativa 3.33 10 33.33 30 13.33 6.67 3.33 99.99 Histograma y polígono de frecuencias

www.matesxronda.net

José Antonio Jiménez Nieto

Histograma y polígono de frecuencias

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas



EJERCICIOS 11. Indica la representación gráfica (diagrama de sectores, diagrama de barras o histograma) que resulta más adecuada para cada una de las siguientes situaciones. a) Altura de los árboles de un parque. b) Deporte que practican tus compañeros.

LOSPUNTOSMEDIOSDELOS PERIODOSOINTERVALOSDE CLASE

















A















                               w w   w  .M   w at   w

 em w  .M  at at ic    em a1 .c   at om ic  a1  .c     om

            0UNTAJE

 

#



0UNTAJE

6.3 Histograma

227

CTIVIDADES

Ejercicio 6.3

ACTIVIDADES

Responda las siguientes preguntas de acuerdo a los gráficos presentados.

0IRÈMIDEPOBLACIONALDELASPERSONASCONDISCAPACIDADSEGÞNEDADYSEXO 1. Observa el gráfico de la derecha y re#HILE Y /BSERVAELGRÈlCODELADERECHAYRESPONDE sponde   A z#UÈLESSONLASDIFERENCIASENTRELOSGRÈlCOSDELOS   (a) ¿Cuáles son las diferencias entre   0IRÈMIDEPOBLACIONALDELASPERSONASCONDISCAPACIDADSEGÞNEDADYSEXO HOMBREYLASMUJERES   #HILE los gráficos de los hombre y las   Y /BSERVAELGRÈlCODELADERECHAYRESPONDE B z%NQUÏPERIODODEEDADEXISTEMAYORCANTIDADDE     mujeres?     A z#UÈLESSONLASDIFERENCIASENTRELOSGRÈlCOSDELOS

PERSONASCONDISCAPACIDAD HOMBREYLASMUJERES C z1UIÏNES SON PROCLIVES A TENER DE (b)MÈS ¿En qué periodo deALGÞN edad TIPO existe B z%NQUÏPERIODODEEDADEXISTEMAYORCANTIDADDE DISCAPACIDAD mayor cantidad de personas con PERSONASCONDISCAPACIDAD discapacidad? C z1UIÏNES SON MÈS PROCLIVES A TENER ALGÞN TIPO DE DISCAPACIDAD

(c) ¿Quiénes son más proclives a tener algún tipo de discapacidad?

    -UJERES           (OMBRES -UJERES           -),-),      

2. Observa el gráfico de la derecha y determina  /BSERVAELGRÈlCODELADERECHAYDETERMINA (a) Los vértices del polígono de freA ,OS VÏRTICES DEL POLÓGONO CUALES cuencia, DE losFRECUENCIA cuales son LOS determiSONDETERMINADOSPORLASMARCASDECLASEDECADA nados por las marcas de clase INTERVALOYLAFRECUENCIADADAPORLAALTURADELREC /BSERVAELGRÈlCODELADERECHAYDETERMINA intervalo y la frecuencia A ,OS VÏRTICESde DELcada POLÓGONO DE FRECUENCIA LOS CUALES TÈNGULO dada por la altura del rectángulo. SONDETERMINADOSPORLASMARCASDECLASEDECADA B %LÈREADECADARECTÈNGULOYSÞMALOS INTERVALOYLAFRECUENCIADADAPORLAALTURADELREC C %LÈREADEBAJODELPOLÓGONODEFRECUENCIA (b) El área de cada rectángulo y súTÈNGULO D z,ASÈREASSONIGUALES malos. B %LÈREADECADARECTÈNGULOYSÞMALOS C %LÈREADEBAJODELPOLÓGONODEFRECUENCIA (c) El área debajo del polígono de D z,ASÈREASSONIGUALES

frecuencia.

                   

(OMBRES

-),-), 

     

       



-!4%-£4)#!O-EDIO



(d) ¿Las áreas son iguales?

MATEMATICAINDD

UMATEMATICAINDD

-!4%-£4)#!O-EDIO









228

Estadística y Probabilidad

¿Se puede con Excel?

Excel es un software que viene incluido en los programas de Microsoft Office. Excel permite desarrollar los histogramas y polígonos de frecuencia de manera más fácil y rápida. Lo primero que debemos hacer es colocar los nombres a las columnas de la tabla de frecuencia: el número de la clase, descripción de la clase y la frecuencia, para luego completar la tabla.

Luego de completar la tabla nos dirigimos al asistente para gráficos, donde nos aparecerá un cuadro como el que se muestra en la página siguiente.

6.3 Histograma

229

El asistente nos ofrece una gran cantidad de tipos de gráficos para desarrollar, pero sólo vamos a realizar un gráfico de columna agrupada, el primero que se muestra en el asistente.

Simplemente damos click sobre el tipo de gráfico y listo aparece en la hoja en que estamos trabajando.

230

Estadística y Probabilidad

Para el polígono de frecuencia repetimos los pasos anteriores pero debemos elegir el gráfico tipo líneas.

APLICANDOLOAPRENDIDO $ATOSYAZAR 6.3 Histograma Ejercicio 6.4

231 ,ASIGUIENTETABLAMUESTRAELPORCENTAJEDECHI LENOSCONDISCAPACIDADPORRANGOETÈREO

APLICANDOLOAPRENDIDO 



%LGRÈlCOPRESENTALAPREVALENCIADEÞLTIMOA×O DE CONSUMO DE MARIHUANA Y COCAÓNA SEGÞN RENDIMIENTOESCOLAR ENPORCENTAJES

Resuelva cada ejercicio aplicando los contenidos estudiados para esta sección.  



 ,ASIGUIENTETABLAMUESTRAELPORCENTAJEDECHI COPRESENTALAPREVALENCIADEÞLTIMOA×O   %LGRÈl 1. El gráfico presenta la prevalencia de último año de consumo de marihuana y cocaína según  LENOSCONDISCAPACIDADPORRANGOETÈREO DE CONSUMO DE MARIHUANA Y COCAÓNA SEGÞN    rendimiento escolar, en porcentajes.  RENDIMIENTOESCOLAR ENPORCENTAJES           AA×OS



     



 

  OMENOS



%NTRE Y  

%NTRE Y 

-ARIHUANA#OCAÓNA













&UENTE#/.!#%

%NTRE Y 

&UENTE).%

   

A 3ABIENDO   QUE LA POBLACIØN TOTAL DE DISCA  PACITADOSESDEPERSONAS$ETER AA×OS AA×OS AA×OS AA×OS A×OSYMÈS MINALATABLADEDISTRIBUCIØNDEFRECUENCIA &UENTE).% QUEDIOORIGENALGRÈlCO

%NTRE Y 

.c om

&UENTE#/.!#% B z#UÈL ES LA RAZØN ENTRE LOS PORCENTAJES DE A ,UEGODETERMINALAFRECUENCIAACUMULADA 3ABIENDO QUE LA POBLACIØN TOTAL DE DISCA B ¿Existe alguna relación ALUMNOS entre elQUE porcentaje consumo y las calificaciones? OBTUVIERONde CALIl CACIONES EN PACITADOSESDEPERSONAS$ETER A TRE Y YLOSQUEOBTUVIERONCALIl z%XISTE ALGUNA RELACIØN ENTRE EL PORCENTAJE Y ELABORA EL POLÓGONO DE FRECUENCIA ACU CA MINALATABLADEDISTRIBUCIØNDEFRECUENCIA DECONSUMOYLASCALIl CACIONES MULADA ¿Cuál es la razón entre los porcentajes de alumnos que obtuvieron calificaciones entre CIONESENTRE YMENOS QUEDIOORIGENALGRÈlCO

w .M

at e

m at

ic a1

(b)

 

AA×OS AA×OS AA×OS A×OSYMÈS



A z%XISTE ALGUNA RELACIØN ENTRE EL PORCENTAJE -ARIHUANA#OCAÓNA DECONSUMOYLASCALIlCACIONES

(a)

 





  OMENOS

   

w w

C z1UÏ CONCLUSIONES SACAS TU DE ESTA INFOR ALUMNOS QUE OBTUVIERON CALIlCACIONES EN

ic a1



m at

(c) ¿Qué conclusiones sacaMACIØN de esta información? TRE Y YLOSQUEOBTUVIERONCALIl CA w .M

at e

CIONESENTRE YMENOS  ,OSSIGUIENTESDATOSCORRESPONDENALASPRECIPI corresponden a las precipitaciones de la Isla C z1UÏ CONCLUSIONES SACAS TU DE ESTA INFOR TACIONESDELA)SLADE*UAN&ERNÈNDEZENUNA×O MACIØN ENMILÓMETROSCÞBICOS

w w

2. Los siguientes datos milímetros cúbicos.

.c om

6,0 y 7,0 y los que obtuvieron calificaciones entre 4,9 y menos? B z#UÈL ES LA RAZØN ENTRE LOS PORCENTAJES DE




del Coco en un año en 



 %LSIGUIENTECUADROREPRESENTAELCONSUMODE    CARNEDE#HILEENELPERIODO    




        ,OSSIGUIENTESDATOSCORRESPONDENALASPRECIPI         TACIONESDELA)SLADE*UAN&ERNÈNDEZENUNA×O         ENMILÓMETROSCÞBICOS

B ,UEGODETERMINALAFRECUENCIAACUMULADA %LSIGUIENTECUADROREPRESENTAELCONSUMODE Y ELABORA EL POLÓGONO DE FRECUENCIA ACU CARNEDE#HILEENELPERIODO  MULADA      
   
  
   
 
   
 
     

 

  

       
   
  
   
 
   
 
    

      







    

  

  

   A %LABORALATABLADEDISTRIBUCIØNDEFRECUENCIA         

                          CON DATOS AGRUPADOS EN CLASES INDICANDO (a) Elabore la tabla de distribución de frecuencia con datos agrupados en clases, indicando

!          $ATOSYAZAR  FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA   

la frecuencia absoluta yLA frecuencia relativa.         FRECUENCIAACUMULADAYPORÞLTIMOLAMARCA A z#UÈLESFUERONLOSPERIODOSDEBAJAENEL DECLASE   CONSUMO PER CÈPITA DE CARNE QUE HUBO (b) Elabore un histogramaA y%LABORALATABLADEDISTRIBUCIØNDEFRECUENCIA el polígono de frecuencia.                       ENTRE  CON DATOS AGRUPADOS EN CLASES INDICANDO

! B %LABORAUNHISTOGRAMAYELPOLÓGONODEFRE LA FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA (c) Elabore el polígono de frecuencia acumulada. CUENCIA B z%NQUÏPERIODOSSEENCUENTRANLASVARIA FRECUENCIAACUMULADAYPORÞLTIMOLAMARCA A CIONESCONMAYORALZADECONSUMO z#UÈLESFUERONLOSPERIODOSDEBAJAENEL DECLASE C %LABORAELPOLÓGONODEFRECUENCIAACUMU por rango 3. La siguiente tabla muestra el porcentaje de costarricenses con discapacidad CONSUMO PER CÈPITA DE CARNE QUE HUBO LADA  ,ASIGUIENTETABLAMUESTRAELPORCENTAJEDECHI  %LGRÈlCOPRESENTALAPREVALENCIADEÞLTIMOA×O ENTRE  etáreo. C z%NQUÏA×OSEPRODUJOELMENORCONSU B %LABORAUNHISTOGRAMAYELPOLÓGONODEFRE LENOSCONDISCAPACIDADPORRANGOETÈREO DE CONSUMO DE MARIHUANA Y COCAÓNA SEGÞN MOYELMAYORCONSUMODECARNE CUENCIA RENDIMIENTOESCOLAR ENPORCENTAJES B z%NQUÏPERIODOSSEENCUENTRANLASVARIA  CIONESCONMAYORALZADECONSUMO C %LABORAELPOLÓGONODEFRECUENCIAACUMU     LADA   C z%NQUÏA×OSEPRODUJOELMENORCONSU      MOYELMAYORCONSUMODECARNE 

APLICANDOLOAPRENDIDO



 



 



 

UMATEMATICAINDD



  OMENOS

%NTRE Y 

%NTRE Y 

 

 

  AA×OS



  AA×OS AA×OS AA×OS A×OSYMÈS

-ARIHUANA#OCAÓNA

&UENTE).%

(a) SabiendoUMATEMATICAINDD que la población total de discapacitados es de 2 068 072 personas. DeterA 3ABIENDO QUE LA POBLACIØN TOTAL DE DISCA mine la tabla de distribución de frecuencia que dio origen al gráfico. PACITADOSESDEPERSONAS$ETER A z%XISTE ALGUNA RELACIØN ENTRE EL PORCENTAJE

&UENTE#/.!#%

MINALATABLADEDISTRIBUCIØNDEFRECUENCIA

DECONSUMOYLASCALIlCACIONES

a1 .c



%LSIGUIENTECUADROREPRESENTAELCONSUMODE CARNEDE#HILEENELPERIODO 

at ic

B ,UEGODETERMINALAFRECUENCIAACUMULADA Y ELABORA EL POLÓGONO DE FRECUENCIA ACU MULADA

w

.M

at em

B z#UÈL ES LA RAZØN ENTRE LOS PORCENTAJES DE ALUMNOS QUE OBTUVIERON CALIlCACIONES EN TRE Y YLOSQUEOBTUVIERONCALIlCA CIONESENTRE YMENOS

om

(b) Luego elabore el polígono de frecuencia.CO QUEDIOORIGENALGRÈl

w

w

C z1UÏ CONCLUSIONES SACAS TU DE ESTA INFOR MACIØN






,OSSIGUIENTESDATOSCORRESPONDENALASPRECIPI TACIONESDELA)SLADE*UAN&ERNÈNDEZENUNA×O

     
   
  
   
 
   
 
    



A 3ABIENDO QUE LA POBLACIØN TOTAL DE DISCA PACITADOSESDEPERSONAS$ETER MINALATABLADEDISTRIBUCIØNDEFRECUENCIA QUEDIOORIGENALGRÈlCO ic a1 .c om

A z%XISTE ALGUNA RELACIØN ENTRE EL PORCENTAJE DECONSUMOYLASCALIlCACIONES

B ,UEGODETERMINALAFRECUENCIAACUMULADA Y ELABORA EL POLÓGONO DE FRECUENCIA ACU MULADA Estadística

y Probabilidad

w .M

at em at

B z#UÈL ES LA RAZØN ENTRE LOS PORCENTAJES DE ALUMNOS QUE OBTUVIERON CALIlCACIONES EN TRE Y YLOSQUEOBTUVIERONCALIlCA 232 CIONESENTRE YMENOS

w w

C z1UÏ CONCLUSIONES TU DE ESTAcuadro INFOR representa 4. SACAS El siguiente el consumo de carne de Costa Rica  %LSIGUIENTECUADROREPRESENTAELCONSUMODE MACIØN U1 Pág. 8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 19 CARNEDE#HILEENELPERIODO 


     
   
  
   
 
   
 
    





,OSSIGUIENTESDATOSCORRESPONDENALASPRECIPI TACIONESDELA)SLADE*UAN&ERNÈNDEZENUNA×O ENMILÓMETROSCÞBICOS  

 

 

 

    

 





           

 

en el periodo 1980-1990.



    

Unidad   1 ESTADÍSTICA   

 

  



PA R A A R C H I VA R   A %LABORALATABLADEDISTRIBUCIØNDEFRECUENCIA                       CON DATOS AGRUPADOS EN CLASES INDICANDO

! LA FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA Utilidad de diversos tipos de gráficos: FRECUENCIAACUMULADAYPORÞLTIMOLAMARCA A z#UÈLESFUERONLOSPERIODOSDEBAJAENEL (a) de ¿Cuáles fueronlalos periodos de baja en el consumo perHUBO cápita DECLASE Gráfico barras: facilita comparación entre las frecuencias de lasQUE variables. CONSUMO PER CÈPITA DE CARNE

de carne que hubo entre 1980-1990? ENTRE  Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística. B %LABORAUNHISTOGRAMAYELPOLÓGONODEFRE CUENCIA

Gráfico es útil cuando se se necesita representar porcentajes.con mayor alza de consumo? B z%NQUÏPERIODOSSEENCUENTRANLASVARIA (b) circular: ¿En qué periodos encuentran las variaciones CIONESCONMAYORALZADECONSUMO C %LABORAELPOLÓGONODEFRECUENCIAACUMU Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados. LADA (c) ¿En qué año se produjo el menor consumo y el mayor consumo de carne? C z%NQUÏA×OSEPRODUJOELMENORCONSU Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos. MOYELMAYORCONSUMODECARNE



MATEMATICAINDD

5. El gráfico muestra la cantidad de pacientes semanales que asistieron al hosEJERCICIOS pital Sótero del Río, por motivos de 1. El gráfico muestra la cantidad de pacientes enfermedades respiratorias. semanales que asistieron al hospital Sótero del Río, por motivos de enfermedades respiratorias.

(a) ¿Qué conclusiones puede obtener apartir del gráfico? 2. El siguiente gráficoqué nos período presenta lalas información (b) ¿En atenciones obtenida demédicas 300 encuestados por la Fundación fueron similares, en canFuturo (2004), acerca la pregunta: ¿Qué nota  tidad dedepacientes? colocas a lo bueno y malo en el deporte chileno?

ATENCIONES SEMANALES A ADULTOS POR CAUSAS RESPIRATORIAS EN SERVICIO DE URGENCIA HOSPITAL SÓTERO DEL RÍO, ABRIL A AGOSTO 2003–2005.

(c) ¿En qué período se produjo LO BUENO mayor demanda en el hospital? Massú y González

Número de atenciones 500

campeones olímpicos

400

Carlo de Gavardo campeón de Rally mundial

6,9

6,7

Chile a la serie mundial de Copa Davis

300

6,5

Salida de Orozco de U. de Chile

5,4

Cobreloa campeón del torneo de clausura

5,4

200

100

U. de Chile campeón del torneo de apertura

2005 2003 2004 0 14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

Semanas Estadísticas

Fuente: DEIS. Departamento de Estadísticas e Información de Salud, Ministerio de Salud.

4,6

Quiebra de Colo-Colo Retiro del Chino Ríos del tenis

3,9 1

a. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico? b. ¿En qué período las atenciones médicas fueron similares, en cantidad de pacientes? c. ¿En qué período se produjo mayor demanda en el hospital?

LO MALO

2,5

2

3

4

5

6

7

Nota promedio

Fuente: Encuesta Lo bueno, lo malo y lo feo, www.fundacionfuturo.cl, julio 2005.

a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada? ¿Tú también la hubieras evaluado con esa nota? ¿Por qué?

Estadística I

19

Unidad 1 ESTADÍSTICA PA R A A R C H I VA R

dad de diversos tipos de gráficos:

ico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables.

ograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística.

6.3 Histograma

233

ico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes.

ograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.

ico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.

6. El siguiente gráfico nos presenta la información obtenida de 300 encuestaICIOS dos por la Fundación Futuro (2004), acgráfico muestra la cantidad de pacientes 2. El siguiente gráfico nos presenta la información erca de la pregunta: ¿Qué nota coloca a manales que asistieron al hospital Sótero del obtenida de 300 encuestados por la Fundación o, por motivos de enfermedades respiratorias. lo bueno Futuro (2004), acercaen de la ¿Qué nota y malo elpregunta: deporte chileno?

(a) ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada? ¿Usted también la hubiera evaluado con esa nota? ¿Por qué? (b) De lo bueno, ¿qué área del deporte tiene el mejor promedio, el tenis o el fútbol?

colocas a lo bueno y malo en el deporte chileno?

ATENCIONES SEMANALES A ADULTOS POR CAUSAS RESPIRATORIAS EN SERVICIO DE URGENCIA HOSPITAL SÓTERO DEL RÍO, ABRIL A AGOSTO 2003–2005.

LO BUENO

Número de atenciones 500

Massú y González campeones olímpicos

400

Carlo de Gavardo campeón de Rally mundial

U1 Pág. 8 - 23

17:13

Page 20

6,7

Chile a la serie mundial de Copa Davis

300

6,9 29/11/06

6,5 5,4 CONTENIDOS

Salida de Orozco de U. de Chile

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

200

Cobreloa campeón del torneo de clausura

5,4

EJERCICIOS

100

U. de Chile campeón del torneo de apertura

2005 2003 2004 0 14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

4,6

Quiebra de Colo-Colo

34

Semanas Estadísticas

2,5

Retiro del Chino Ríos del tenis

Fuente: DEIS. Departamento de Estadísticas e Información de Salud, Ministerio de Salud.

3,9 1

¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico? ¿En qué período las atenciones médicas fueron similares, en cantidad de pacientes? ¿En qué período se produjo mayor demanda en el hospital?

(c) Con la información obtenida en b, construya un gráfico circular que muestre la diferencia obtenida? ¿A qué atribuye esta diferencia?

2

3

4

5

Nota promedio

b. De lo bueno, ¿qué área del deporte tiene el LO MALO mejor promedio, el tenis o el fútbol? c. Con la información obtenida en b, construye un gráfico circular que muestre la diferencia 6 7obtenida? ¿A qué atribuyes esta diferencia?

Fuente: Encuesta Lo bueno, lo malo y lo feo, www.fundacionfuturo.cl, julio 2005.

3. Dada la siguiente tabla, que muestra los resulta-

4. Uno de los problemas más complejos que debe abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país que quiere surgir debe eliminar este problema. En la tabla se ven las comunas más pobres del país; en la mayoría de ellas vive población mayoritariamente mapuche que no ha podido salir del círculo de la pobreza.

a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada? ¿Tú

dos demuestra la prueba SIMCE (Sistema de Medición de Comunas de la siguiente tabla, con que los resultados de la prueba SIMCE (Sistema 7. Dada también la hubieras evaluado esa nota? la Calidad de la Educación) año 2002 de 4º año ¿Por qué? 1 Medición de la Calidad deBásico, la Educación) año 2002 de 4o año Básico, responda Mulchén responde: Matemática

Lenguaje

I Tarapacá

240

245

II Antofagasta

247

250

III Atacama

244

248

IV Coquimbo

242

249

V Valparaíso

249

254

VI L. Bdo. O´Higgins

246

252

VII Maule

243

248

VIII Bío- Bío

243

247

IX Araucanía

235

243

X Los Lagos

242

249

XI Aisén

254

261

XII Magallanes

254

260

RM Región Metropolitana

254

257

Total

248

252

Estadística I

Región

19

(b) (c)

59,5

2

Angol

53,3

3

Carahue

50,8

4

Gorbea

50,6

5

Constitución

49,9

6

Coihueco

48,5

7

Curanilahue

47,8

8

Padre Las Casas

46,9

9

Nueva Imperial

46,4

10

Traiguén

45,4

11

Coronel

44,5

12

Lebu

44,4

13

Collipulli

44,1

14

Nacimiento

44,0

15

Cañete

43,8

Fuente: CASEN 1998, MIDEPLAN

a. ¿Qué gráfico representaría mejor la información dada en la tabla? ¿Por qué? b. ¿Qué tipo de variable utilizaste para el gráfico anterior? a. ¿Cuáles las regiones ¿Cuáles son las regiones que son tienen menosque detienen 246 menos puntosdeen Matemática? c. De la tabla, determina los dos pueblos que 246 puntos en Matemática? presenten mayor porcentaje de pobreza y dos b. ¿Qué región obtuvo puntaje bajo¿Coinciden en ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajoelen cadamás área? estos puntajes conporcentaje. Elige algún que tengan el menor cada área? ¿Coinciden estos puntajes con la la misma región? tipo de gráfico que te permita estudiar la misma región? comparación, ¿qué puedes concluir? c. mejor ¿Qué región obtuvo el promedioEsta en región, ¿también obtuvo el ¿Qué región obtuvo el promedio enmejor Lenguaje? d. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan Lenguaje? Esta región, ¿también obtuvo el puntaje más alto en Matemática? al pueblo mapuche y le impiden salir de la puntaje más alto en Matemática? pobreza? d. ¿Qué tipo de variables son las consideradas e. ¿Qué factores de nuestra sociedad impiden a en esta tabla? los mapuches vivir como ellos desean? e. ¿Qué tipo de gráfico representa mejor la f. ¿Qué soluciones ves tú al problema? diferencia de puntajes totales en cada área? g. Averigua en cuáles de las comunas del cuadro f. ¿Qué tipo de gráfico construirías para reprevive mayoritariamente gente mapuche. sentar los puntajes de las mejores 5 regiones? Fuente: Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2002), www.mineduc.cl, julio 2005.

(a)

Más pobres %

U1 Pág. 8 - 23

6/30/08

10:40 PM

Página 22

Estadística y Probabilidad

234

(d) ¿Qué tipo de variables son las consideradas en esta tabla? (e) ¿Qué tipo de gráfico representa mejor la diferencia de puntajes totales en cada área? CONTENIDOS Unidad 1 ESTADÍSTICA (f) ¿Qué tipo de gráfico construirías para representar los puntajes de las mejores 5 EJERCICIOSregiones? Discute con compañeros acerca Las siguientes sonson las respuestas de un de grupo siguientes las respuestas unde grupo def. jóvenes a latus pregunta ¿Cuál es de tu ladeporte 8.2. Las escasez del agua y su mal uso. jóvenes a la pregunta: ¿Cuál es tu deporte favorito? favorito?

Fútbol - Tenis - Fútbol - Basquetbol - Fútbol 4. - Automovilismo -Tenis - Fútbol - Natación La siguiente tabla de frecuencias muestra la Fútbol - Tenis - Fútbol - Basquetbol - Fútbol Fútbol Tenis Automovilismo Gimnasia Fútbol Hockey Fútbol Tenis Atletismo cantidad de colesterol total de un grupo de Automovilismo -Tenis - Fútbol - Natación pacientes cuya edad es de 50 a 60 años. Fútbol- -Gimnasia Fútbol - Tenis - Automovilismo Gimnasia - - Tenis - Atletismo - Gimnasia Fútbol - Hockey - Fútbol - Tenis - Atletismo (a) Construya Excel un gráfico circular Fútbol -Gimnasia - en Tenis - Atletismo - Gimnasia

Colesterol total (mg/dl) e interpreta los resultados.Frecuencia

a. en Excel un gráfico circular inter(b)Construye ¿Qué deporte presenta mayorefrecuencia? preta los resultados. b. ¿Qué deporte presenta mayor frecuencia?

9. Según la Empresa Metropolitana de Obras Sanitarias (EMOS), el consumo 3. promedio Según la Empresa Metropolitana Obras de agua, en metrosdecúbicos, Sanitarias (EMOS), el consumo promedio de en una familia de 5 integrantes es: agua, en metros cúbicos, en una familia de 5 integrantes es: Uso Duchas Aseo en lavatorios Descarga WC Comida y lavado de vajilla Lavado general Riego Total diario Total mensual

Invierno 250

Verano 350

50

60

300

300

80

90

150

185

5

165

835

1.150

25.050

34.500 Fuente: EMOS.

a. Construye en Excel, un gráfico que permita comparar el consumo de una familia de 5 integrantes en invierno y verano. b. Construye un gráfico circular, para el consumo de invierno que muestre los porcentajes de agua destinados a cada fin. c. Repite el ejercicio anterior para mostrar el consumo de agua en verano. d. ¿A qué crees que se deba el incremento del consumo de agua en verano? e. Divide cada uno de los valores dados en la tabla por 5, luego construye un gráfico que muestre estos valores. ¿Qué resultados nos entrega este gráfico?

22

Estadística I

170 – 179

4

180 – 189

7

190 – 199

12

– 209 16 (a)200Construya en Excel, un gráfico 210 – 219 35 que permita comparar el con220 – 229 37 sumo de una familia de 5 inte230 – 239 11 en invierno 240grantes – 249 8 y verano.

(b) las Construya gráfico circular, a. Calcula frecuencias un relativas para cada para el consumo de invierno que intervalo. b. Se considera un nivel de colesterol muestre losnormal porcentajes de agua entre 200 y 239 (mg/dl). ¿Cuántos destinados a cada fin. de los pacientes se encuentran dentro de los niveles (c) Repita el ejercicio anterior para normales? c. Construye en Excelel unconsumo histograma de paraagua en mostrar comparar la frecuencia de cada intervalo. verano. ¿Qué puedes concluir? (d) ¿A qué cree que se deba el incremento del consumo de agua en verano? (e) Divide cada uno de los valores dados en la tabla por 5, luego construye un gráfico que muestre estos valores. ¿Qué resultados nos entrega este gráfico? (f) Discute con tus compañeros acerca de la escasez del agua y su mal uso.

CONTENIDOS

Unidad 1 ESTADÍSTICA

EJERCICIOS 2. Las siguientes son las respuestas de un grupo de jóvenes a la pregunta: ¿Cuál es tu deporte 6.3 Histograma favorito?

f. Discute con tus compañeros acerca de la escasez del agua y su mal uso.

4. La siguiente tabla la de cantidad frecuenciasde muestra la Fútbol - Tenis - Fútbol - Basquetbol - Fútbol 10. La siguiente tabla- de frecuencias muestra colesterol cantidad de colesterol total de un grupo de Automovilismo -Tenis pacientes - Fútbol - Natación cuya edad es de 50 a 60 años. pacientes cuya edad es de 50 a 60 años. Fútbol - Tenis - Automovilismo - Gimnasia Fútbol - Hockey - Fútbol - Tenis - Atletismo Colesterol total (mg/dl) Frecuencia Fútbol -Gimnasia - Tenis - Atletismo - Gimnasia 170 – 179

a. Construye en Excel un gráfico circular e interpreta los resultados. b. ¿Qué deporte presenta mayor frecuencia?

235 total de un grupo de

4

180 – 189

7

190 – 199

12

200 – 209

16

210 – 219

35

220 – 229

37

3. Según la Empresa Metropolitana de Obras 230 – 239 11 Sanitarias (EMOS), el consumo promedio de8 - 23 6/30/08 10:40 PM Página 23 U1 Pág. 240 – 249 8 agua, en metros cúbicos, en una familia de 5 integrantes es: a. Calcula las frecuencias relativas para cada (a) Calcula lasVerano frecuencias relativas intervalo.para cada intervalo. Uso Invierno b. Se considera un nivel normal de colesterol Duchas 250 350 (b) Se considera un nivel normal de colesterol entre 200 y 239 (mg/dl). ¿Cuántos de los entre 200 y 239 (mg/dl). ¿Cuántos de los Aseo en lavatorios 50 60 pacientes se encuentran dentro de los niveles normales? Unidad 1 ESTADÍSTICA pacientes se encuentran dentro de los niveles Descarga WC 300 300 normales? Comida y lavado de vajilla 80 (c) Construye en90Excel un histograma para comparar la frecuencia de cada intervalo. EJERCICIOS c. Construye en Excel un histograma para Lavado general 150 185 ¿Qué puedes concluir? comparar frecuencia de cada intervalo. Riego 5 165 5. En septiembre del la año 2003, la Fundación Futuro 6. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de ¿Qué puedes concluir? Total diario 835 1.150 11. En septiembre del año 2003, un estudio agua en 34 de cúbicos) por persona realizó la un Fundación estudio en 34 Futuro comunasrealizó de Santiago, (encomunas miles de metros Total mensual

25.050 34.500 losque arrojó los resultados, siguientes resultados, respecto a la en el año 1950 y en el año 2000. Santiago, que arrojó siguientes respecto a la siguiente pregunta ¿En qué Fuente: EMOS. siguiente pregunta: lugar se siente más seguro? 1950

2000

¿En qué lugar se siente más seguro? a. Construye en Excel, un gráfico que permita África 17,8 4,8 comparar el consumo de una familia de Lugar Lugares Casa Calle Asia 7,6 2,9 de trabajo públicos 5 integrantes en invierno y verano. % % % % Europa 5,9 4,5 b. Construye un gráfico circular, para el Muy seguro 53 41 41 13 América del Norte 32,4 17,6 consumo de invierno que muestre los Muy inseguro 47 30 55 86 América Latina 72,1 22,8 porcentajes de agua destinados a cada fin. No responde 1 29 5 1 Ex URSS 24,1 14,8 c. Repite el ejercicio anterior para mostrar el Fuente: Estudio Fundación Futuro, julio 2005. consumo de agua en verano. Oceanía 159,5 65,6 d. ¿A qué crees que se deba el incremento del Fuente: FAO (Food and Agriculture, Organization a. Construye un gráfico circular para cada uno of the United Nations) consumo de agua en(a) verano? Construya un gráfico circular para cada uno de los lugares. ¿Qué puedes concluir? de los lugares. ¿Qué puedes concluir? e. Divide cada uno de los valores dados en la a. Construye un gráfico de barras que permita b. Construye un histograma que muestreentre las (b) Construya histograma que muestre las diferencias los cuatro lugares. ¿A qué tabla por 5, luego construye un gráficoun que comparar la disponibilidad de agua durante entre los cuatro lugares. ¿A qué muestre estos valores. ¿Qué resultados cree que se nos deba esta diferencias diferencia? ambos períodos. crees que se deba esta diferencia? entrega este gráfico? b. el porcentaje de descenso para cada Si la muestra de la encuesta anterior fue de ¿cuántasCalcula (c) Si la muestra de lac.encuesta anterior fue de 402 personas, personas correlugar. 402 personas, ¿cuántas personas corresponsponden a cada categoría? c. ¿Por qué crees que en algunos lugares el 22 Estadística I den a cada categoría? de la cantidad de agua es mayor (d) La encuesta fue realizada telefónicamente. influye este hecho descenso en los resultados d. La encuesta fue realizada¿Cómo telefónicamente. que en otras? ¿Cómocon influye hecho en los resultados de la encuesta? Discútalo sus este compañeros(as). d. ¿Qué crees que sucederá con la disponibilidad de la encuesta? Discútelo con tus de agua 50 años más? (e) ¿Qué medidas implementaría para mejorar los problemas relacionados con en la seguricompañeros(as). e. Construye un gráfico circular que muestre la dad? e. ¿Qué medidas implementarías para mejorar diferencia de disponibilidad de agua en el los problemas relacionados con la seguridad? año 2000. ¿Qué puedes concluir? ¿A qué se debe la diferencia?

Unidad 1 ESTADÍSTICA

Estadística y Probabilidad

236

EJERCICIOS

5. En septiembre del año 2003, Fundación Futuro 6. La siguiente tabla muestrade la disponibilidad de 12. Lalasiguiente tabla muestra la disponibilidad agua (en miles realizó un estudio en 34 comunas de Santiago, agua (en miles de metros cúbicos) por persona persona en el año 1950 y en el año 2000. que arrojó los siguientes resultados, respecto a la en el año 1950 y en el año 2000. siguiente pregunta: 1950 2000 ¿En qué lugar se siente más seguro? África

Casa %

Lugar Lugares Calle de trabajo públicos % % %

Asia

4,8

7,6

2,9

5,9

4,5

Muy seguro

53

41

41

13

América del Norte

32,4

17,6

Muy inseguro

47

30

55

86

América Latina

72,1

22,8

No responde

1

29

5

1

Fuente: Estudio Fundación Futuro, julio 2005.

Europa

17,8

Ex URSS

24,1

14,8

Oceanía

159,5

65,6

de metros cúbicos) por

Fuente: FAO (Food and Agriculture, Organization

a. Construye un gráfico circular para cada uno of the United Nations) de los lugares. ¿Qué puedes concluir? a. Construye un gráfico de barras que permita b. Construye un histograma que muestre las (a) Construya un gráficocomparar de barras que permita comparar la disponibilidad de agua la disponibilidad de agua durante diferencias entre los cuatro lugares. ¿A qué durante ambos períodos. ambos períodos. crees que se deba esta diferencia? b. Calcula el porcentaje de descenso para cada c. Si la muestra de la encuesta fueeldeporcentaje de (b) anterior Calcule descenso para cada lugar. lugar. 402 personas, ¿cuántas personas corresponc. ¿Por qué crees que en lugares algunos lugares elalgunos descenso de el la cantidad de agua es mayor den a cada categoría? (c) ¿Por qué cree que en descenso de la cantidad de agua es mayor d. La encuesta fue realizada telefónicamente. que en otras? que en otras? ¿Cómo influye este hecho en los resultados d. ¿Quécon crees sucederá con lade disponibilidad (d) ¿Qué crees que sucederá laque disponibilidad agua en 50 años más? de la encuesta? Discútelo con tus de agua en 50 años más? compañeros(as). (e) Construya un gráfico muestre la diferencia deladisponibilidad de agua en e. circular Construyeque un gráfico circular que muestre e. ¿Qué medidas implementarías para mejorar ellaaño 2000. ¿Qué puedes concluir? ¿A qué se la diferencia? diferencia de disponibilidad dedebe agua en el los problemas relacionados con seguridad? año 2000. ¿Qué puedes concluir? ¿A qué se 13. En un curso cada estudiantedebe puede optar solamente por una actividad extraprogramática: la diferencia?

las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades? (a) Menos del 91%

(d) Entre el 95% y el 97%

(b) Entre el 91% y el 93%

(e) Más del 97%

(c) Entre el 93% y el 95%

Estadística I

23

B. Entre el 91% y el 93% C. Entre el 93% y el 95% D. Entre el 95% y el 97% E. Más del 97%

6.3 Histograma 14.

2. (Ensayo PSU, 2004) La distribución del número 237 de horas que duraron encendidas 200 ampoestá dada en el gráfico siguiente. La distribución del númerolletas de horas que duraron encendidas 200La ampolletas está dada en el duración promediode deuna una ampolleta ampolleta en gráfico siguiente. La duración promedio enhoras, horas, aproximadamente, ¿Consideras que laesafirmación del presentador e aproximadamente, es: una interpretación razonable del gráfico? D una explicación que fundamente tu respuesta.

No de ampolletas

A. 1

100

B. 380 C. 400

5. (Pisa, 2003) Los siguientes gráficos muestra información sobre las exportaciones de Zedlandia, un país cuya moneda es el zed.

50

D. 480 E. 580

10 0

200

400

600

Total de las exportaciones anuales de Zedlandia en millones de zeds, 1996–2000

800 horas

Distribución de las exportaciones de Zedlandia en el año 2000

50 45

(a) 1 (b) 380 (c) 400

3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El estadio A de una ciudad tiene capacidad (d)para 48040.000 personas sentadas y otro estadio B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el (e) A se 580 ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena solo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

42,6

40

Tejido de algodón 26%

37,9

35 30 25,4

25

27,1

Carne 14%

Lana 5%

20,4 20

Tabaco 7%

15

Zumo de fruta 9%

10 5 0

Otros 21%

1996

1997

1998

1999

Arroz 13%

Té 5%

2000

Año

15. El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas y otro estadio B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; A se asistencia ocupa hasta su capacidad y las exportaciones de zum ¿Cuál fue el valor de I) El estadio A registróelmayor de el 25% de de fruta en el año 2000? públicode que B. el B llena solo el 50%. ¿Cuál(es) laselsiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? II) Si se hubiese llevado a los asistentes I El estadio A registró mayor asistencia de público que el de B. A. 1,8 millones de zeds. ambos estadios al A, habría quedado en

B. 2,3 millones de zeds. este, menos delde 50% de sus estadios asientos vacíos. II Si se hubiese llevado a los asistentes ambos al A, habría quedado en este, C. 2,4 millones de zeds. III) Los espectadores que asistieron en conjunto menos del 50% de sus asientos vacíos. a los dos estadios superan en 1.000 a la

D. 3,4 millones de zeds.

capacidad en de B. III Los espectadores que asistieron conjunto a los dos estadios superan en millones 1.000 adelazeds. E. 3,8 capacidad de B. 26

Estadística I

(a) Sólo I

(d) I y II

(b) Sólo II

(e) I y III

(c) Sólo III

tá dada en el gráfico siguiente. La promedio de una ampolleta en horas, adamente, es: de ampolletas

¿Consideras que la afirmación del presentador es una interpretación razonable del gráfico? Da una explicación que fundamente tu respuesta.

100

Estadística y Probabilidad

238

5. (Pisa, 2003) Los siguientes gráficos muestran 16. Los siguientes gráficos muestran información sobre las exportaciones de Zedlandia, un información sobre las exportaciones de país cuya moneda es el zed. Zedlandia, un país cuya moneda es el zed.

50

10 0

200

400

600

Total de las exportaciones anuales de Zedlandia en millones de zeds, 1996–2000

800 horas

Distribución de las exportaciones de Zedlandia en el año 2000

50 45

l PSU, Demre, 2004) El estadio A de una iene capacidad para 40.000 personas y otro estadio B para 18.000. Se hacen simultáneos; el A se ocupa hasta el 25% pacidad y el B llena solo el 50%. ) de las siguientes afirmaciones es(son) ra(s)?

42,6

40

Tejido de algodón 26%

37,9

35 30 25,4

25

27,1

Carne 14%

Lana 5%

20,4 20

Tabaco 7%

15

Zumo de fruta 9%

10 5 0

Otros 21%

1996

1997

1998

1999

Arroz 13%

Té 5%

2000

Año

¿Cuál fue el valor de las exportaciones de zumo tadio A registró mayor asistencia ¿Cuáldefue el valor de las exportaciones de zumo de fruta en el año 2000? de fruta en el año 2000? co que el B. hubiese llevado a los asistentes de 1,8 millones de zeds. (d) 3,4 millones de zeds. (a) 1,8 millones de A. zeds. os estadios al A, habría quedado en B. 2,3 millones de zeds. menos del 50% de sus asientos (b)vacíos. 2,3 millones de zeds. (e) 3,8 millones de zeds. C. 2,4 millones de zeds. spectadores que asistieron en conjunto

(c) 2,4 millones de zeds.

dos estadios superan en 1.000 a la cidad de B.

tica I

6.4

D. 3,4 millones de zeds. E. 3,8 millones de zeds.



Probabilidad Definición 6.1 — Probabilidad. La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso

podría definirse como la proporción de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese un experimento o una observación en un número grande de ocasiones bajo condiciones similares. Entonces, la probabilidad se mide por un número entre cero y uno; si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes. Para medir la probabilidad de que ocurra un evento dado, uno de los métodos más utilizados es la Regla de Laplace que define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. P(A) = 

Casos Favorables Casos Posibles

Ejemplo 6.5 — Probabilidad. Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 3.

El caso favorable es tan sólo uno (que salga el tres), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto P(A) =

1 ≈ 0, 166 6

6.4 Probabilidad

239 



Ejemplo 6.6 — Probabilidad. Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar.

En este caso, los casos favorables son tres (que salga el uno, el tres o el cinco), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto P(A) =

3 ≈ 0, 5 6

La probabilidad de un evento A cumple con la condición 0 ≤ P(A) ≤ 1



Definición 6.2 — Espacio Muestral. El Espacio muestral es el conjunto formado por todos

los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa por la letra γ y a sus elementos se les llama sucesos elementales. Definición 6.3 — Suceso Seguro. Un Suceso seguro es el suceso que ocurre siempre que se

realiza el experimento aleatorio. Coincide con el espacio muestral γ. Definición 6.4 — Suceso Imposible. Suceso imposible es el suceso que no ocurre jamás al

realizar el experimento aleatorio. Se representa por el símbolo ∅. Definición 6.5 — Suceso Contrario. Suceso contrario es el que se realiza cuando no se realiza

A; se designa por A. Proposición 6.1 — Algunas propiedades básicas del cálculo de probabilidades. Las sigu-

ientes propiedades se cumplen para la probabilidad de un suceso A 1. Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno, menos la probabilidad de A
P(A) + P A = 1 − P(A)

2. Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados, A y B, mutuamente excluyentes (es decir, que NO pueden darse de forma simultánea, como ocurre en el lanzamiento de una moneda al aire), la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra, se calcula como la suma de las dos probabilidades individuales P (A ó B) = P(A) + P(B) 3. Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B mutuamente incluyentes (es decir, que pueden darse de forma simultánea, como ocurre en el lanzamiento de dos monedas al aire), la probabilidad de que esas dos posibilidades ocurran se calcula como la multiplicación de las dos probabilidades individuales P (A y B) = P(A) · P(B)

Estadística y Probabilidad

240 Ejercicio 6.5

Aplique los conceptos relacionados a la probabilidad en cada caso.

1. ¿De cuál de estas cajas es más probable sacar una ficha verde? Fundamentar la opción.

! 2. Averigua la cantidad de números que se vende en alguno de los juegos de azar públicos (Lotería, Chances) y calcula la probabilidad de ganar el premio mayor. 3. ¿Cuántas fichas blancas es necesario agregar en cada caja, para tener la misma probabilidad de sacar una ficha verde de cualquiera de ellas? Explique, en cada caso, su respuesta.

! 4. Las cinco preguntas que se plantean a continuación se refieren a las tres cajas siguientes que tienen fichas blancas y verdes. En cada caso, explique las razones de sus respuestas.

! (a) Calcular la probabilidad de sacar una ficha verde de cada caja. (b) ¿De cuál caja es más probable sacar una ficha blanca? (c) ¿Cuántas fichas blancas es necesario agregar en la segunda caja, para que la probabilidad de sacar una ficha verde sea igual en la primera y en la segunda caja? (d) ¿Cuántas fichas verdes es necesario agregar en la tercera caja para que la probabilidad de sacar una ficha verde sea igual en la primera y tercera cajas? (e) Si se agrega una ficha blanca en la primera caja, ¿cuántas fichas blancas es necesario agregar en las otras dos cajas para que sacar una ficha verde en cada una de ellas tenga la misma probabilidad? 5. Indica cuáles de los experimentos siguientes son aleatorios y cuáles no lo son. (a) Hacer girar una ruleta y observar el número obtenido. (b) Efectuar una reacción química y determinar los productos obtenidos. (c) Extraer una bola de una bolsa opaca que contiene bolas rojas, bolas azules y bolas verdes, y mirar su color. (d) Repartir una mano de cinco cartas a cada jugador y mirar las cartas que nos han tocado.

6.4 Probabilidad

241

(e) Lanzar una carta en la mesa y observar si cae sobre el dorso o sobre la figura. (f) Calentar agua hasta que entre en ebullición y mirar la temperatura que marca el termómetro. (g) Extraer una carta de una baraja y anotar a qué palo pertenece. (h) Arrojar una piedra al vacío y medir su aceleración. (i) Medir la longitud de una circunferencia de radio 3 cm. (j) Abrir las compuertas de un estanque lleno de agua y anotar qué ocurre. 6. Enuncia cuatro experimentos aleatorios y cuatro que no lo sean, diferentes de los que se describen en esta página. 7. Sea el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y consideremos los siguientes sucesos A = {1, 2, 3}

B = {3, 4}

C = {5, 6}

D=3
Halle
la probabilidad P(A ó B), P(A ó C), P(B ó D), P(B y C), P(A y B), P(C y D), P A ,

P B ,P C yP D .

8. En una bolsa se tienen ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza el experimento que consiste en extraer una bola y anotar su número. Consideremos los siguientes sucesos A = {3, 5, 7, 8}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

C = {3, 6, 8}

Halle la probabilidad P(A ó B), P(A ó C), P(B y C), P(A y B), P(A y B y C), P A , P B
yP C .

9. Si realizamos el experimento aleatorio consistente en lanzar dos monedas a la vez 200 veces y vamos anotando las frecuencias relativas del suceso salir dos escudos, ¿hacia qué valor se acercarán dichas frecuencias? 10. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 10 verdes y 5 azules. Se extrae una bola. ¿Tienen igual probabilidad los sucesos “sacar bola roja” y “sacar bola verde”? ¿Y los sucesos “sacar bola roja” y “sacar bola azul”? 11. Escribe el espacio muestral de estos experimentos. (a) Lanzar una moneda (b) Lanzar dos monedas (c) Lanzar un dado de doce lados (d) Extraer una bola de una bolsa que contiene cinco bolas numeradas del 1 al 5.

Estadística y Probabilidad

242

12. Cogemos una carta de la baraja. Indique los resultados favorables a cada uno de los siguientes sucesos. (a) Obtener tréboles (b) No obtener una letra. (c) Obtener un 5. (d) Obtener una figura que no sea un rey. 13. Considere el experimento sacar una bola de una bolsa con diez bolas numeradas del 1 al 10. Describe dos sucesos compatibles y dos sucesos incompatibles de dicho experimento. 14. Entra en esta dirección de Internet: HTTP :// WWW. SHODOR . ORG / INTERACTIVATE / ACTIVITIES / SPINNER 3/ INDEX . HTML . Comprueba la ley de los grandes números. 15. La probabilidad de un suceso A es P(A) = 0, 8. ¿Cuál es la probabilidad del suceso contrario A? 16. Considera el experimento aleatorio sacar una bola de una urna que contiene diez bolas numeradas del 1 al 10 y los siguientes sucesos (a) Sacar un número menor o igual que 10 (b) Sacar un número par (c) Sacar un número menor que 10 (d) Sacar un 10 (e) No sacar un número menor que 11 (f) Sacar un número menor que 3 (g) Sacar un número menor que 7 17. Razona qué es más probable al lanzar una moneda cuatro veces: que salgan dos escudos y dos coronas, o que salgan tres escudos y una corona.