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• Alberto Marin Guillen

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Índice general 1. Interacción magnética

1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Movimiento de una carga ante un campo magnético . . . . . . . . . .

2

1.3. Espectrómetro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Ciclotrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5. Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6. Fuerza magnética en un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.7. Dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.8. Unidades del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.9.

Galvanómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2. Campo Magnético

35

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2. Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.

Campo magnético producido por un solenoide . . . . . . . . . . . . .

42

2.4. Fuerzas entre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5. Fuentes del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5.1. Fuentes escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.5.2. Fuentes Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.5.3. Rotacional del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.6. Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.7. Desarrollo multipolar del potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.8. Campo magnético dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.9. Potencial escalar magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3. Inducción magnética

65

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

65

ÍNDICE GENERAL

3.2. Fuerza electromotriz producida por movimiento . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

66 70

Capítulo 1

Interacción magnética 1.1.

Introducción En la ciudad de Magnesia, situada en el Asia Menor, se encontraron yacimientos de imanes naturales, piedras magnéticas conocidas con el nombre de magnetita, como la presentada en la figura 1.1. La primera aplicación práctica de la piedra, se debe a un emperador chino, Huang-Ti. Utilizó es-

Figura 1.1: Piedra imám. (Magnetita). Cortesia del Museo Virtual de la Ciencia.

ta piedra en figurillas que colocó sobre los carros de asalto, de forma que las figurillas podían girar, pero su mano siempre apuntaba al sur. De esta forma consiguió atacar al enemigo por la retaguardia y conseguir la victoria.

La magnetita, pendiente de un hilo, se utilizaba en la navegación como instrumento orientador. Shen Kua (1030 - 1090) fue el primero en crear el antecedente de la brújula. Si suspendemos un imán en forma de aguja, de forma que gire libremente, uno de sus extremos siempre apuntará hacia el norte. Posteriormente, en la ciudad de Amalfi, hace unos 600 años crearon la brújula, tal y como la conocemos hoy, una aguja imantada sobre un disco giratorio con graduaciones. La aparición de la brújula y su utilización en la navegación conllevó grandes logros, así como el descubrimiento de América. Tenemos constancia de la utilización de la brújula en los viajes de Colón, ya que en el libro de a bordo, el 13 de septiembre de 1492, se anotó: ’Antes de caer la noche, la brújula indicaba una desviación hacia el noroeste’. Además de la utilización de la brújula se constata lo que conocemos como declinación magnética; es decir, la desviación del norte magnético, indicado por la brújula, con el norte geográfico. 1

Interacción magnética

Desde estos tiempos se comenzó a estudiar el magnetismo terrestre y la declinación magnética. William Gilbert (1544 - 1603) estudió las distintas posiciones de una aguja imantada que se mueve sobre la superficie de un imán esférico. Reproduce el proceso de la brújula y como conclusión dedujo que la tierra era un enorme imán. Descubrió que cada imán posee dos polos, el norte (N), y el sur (S), y que entre los polos iguales aparecen fuerzas de repulsión, mientras que si se aproximan polos opuestos, surgen ente ellos fuerzas de atracción. De este hecho, y de que la Tierra es un gran imán pudo explicar la posición de la aguja imantada de la brújula, por la atracción que ejerce el polo norte sobre el extremo de la aguja. Toda su contribución está recogida en su obra ’De Magnete’ publicada en el año 1600 y supuso un hito que marcó el comienzo de la ciencia moderna.

1.2.

Movimiento de una carga ante un campo magnético

Todos estos imanes crean en su entorno un campo. En la figura 1.2 observamos las  que llamamos inducción líneas de dicho campo. Se trata de un campo de vectores B, magnética. No obstante, en lugar de emplear dicho término oficial, utilizamos el de  campo magnético, de uso generalizado, tanto para el conjunto de los vectores Bcomo para su valor en un punto. Conocemos, mediante el teorema de Helmholtz, que este campo estará completamente determinado cuando conozcamos sus fuentes; es decir su divergenN

S

cia y rotacional. Antes de proceder con éste estudio nos limitaremos a analizar los efectos que produce

Figura 1.2: Líneas de campo

dicho campo sobre partículas en movimiento. Supongamos que en una región del espacio existe  cualquiera que sea su origen. un campo magnético B,

magnético..

Si allí tenemos una carga Q, viajando con velocidad v , encontramos experimentalmente lo siguiente:

✷ La cantidad de interacción que experimenta la carga es proporcional a su valor. (F ) α (Q) ✷ La interacción depende del valor de la velocidad. (F ) α (v) 2

Movimiento de una carga ante un campo magnético

✷ Cuando la partícula se mueve de forma paralela al campo magnético, la interacción es nula. ✷ Si la dirección de la velocidad de la partícula formara cierto ángulo con el campo magnético, la interacción será proporcional al seno de dicho ángulo. ✷ Es claro que la dirección de la interacción magnética dependerá de la dirección relativa entre la velocidad y el campo magnético. ✷ La dirección de la interacción magnética es perpendicular al plano que forma la velocidad de la partícula y el campo magnético. ✷ El sentido de la interacción cambia conforme a la naturaleza de la carga que viaja. Es evidente que la interacción magnética es de naturaleza más

B

F

complicada que la interacción eléctrica ya estudiada, y resumiendo todo lo expuesto anteriormente la interacción magnética

v

que experimenta una carga en movimiento cuando entra en cierta región donde esxiste un campo magnético, es Figura 1.3: Regla

 Fm = Q v × B

de la mano derecha..

donde Fm representa dicha interacción magnética, v , la velocidad de la partícula y  el campo magnético presente. Para determinar la dirección de la fuerza magnética B, utilizamos la regla de la mano derecha, como se indica en la figura 1.3. El dedo pulgar nos indicará la dirección de la velocidad de la partícula. La dirección del campo magnético es indicada por el resto de los dedos, y la dirección normal a la palma de la mano, es la dirección de la fuerza magnética. La fuerza magnética tiene un sentido hacia el exterior de la palma de la mano, si la partícula que viaja es positiva. Si el signo de tal partícula fuera negativo, la fuerza magnética tendría un sentido hacia el interior de la mano, tal y como se indica en la figura 1.4 La energía requerida al

F B B

S S

v

+

N v

N F

trasladar una partícula cargada desde un punto a otro en presencia de un campo magnético estable, es 

Figura 1.4: Fuerza magnética sobre cargas en movimiento..

B

W =

 Fm · dr

A

3

Interacción magnética

Expresión que modificamos introduciendo dt 

B

W = A

 B  dr  dt = Fm · Fm · v dt dt A

 donde dr/dt representa la velocidad de la partícula cargada. No obstante, la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad de carga, ya que ha de ser perpendicular al plano que forma dicha velocidad con el campo magnético, por definición de producto vectorial. En consecuencia el producto escalar de la fuerza magnética y la velocidad es nulo Fm · v = 0 y por tanto también el balance energético 

B

W =

Fm · v dt = 0

A

z

El teorema de las fuerzas vivas nos indica que éste trabajo es igual a la variación

B

de energía cinética. Como éste es nulo, resulta que durante la exposición de la carga ante el campo magnético, no se ha pro-

Fm

ducido cambio en la energía cinética, y por tanto la velocidad de la partícula no ha

e y

x vy

interacción, y por tanto la partícula cargada debe estar sometida a una aceleración.

B

Fm

+

cambiado de valor. Es claro que si aplicamos la segunda ley de Newton, existe la

Fm

vy

Figura 1.5: Un electrón incide prependicularmente al campo magnético uniforme existente en cierta región..

Por todo lo expuesto anteriormente, debemos deducir que la única aceleración posible a la que esté sometida la partícula, es la aceleración normal. Por consiguiente el único efecto que va a producir el campo magnético sobre la partícula que viaja, es un cambio en la dirección de la velocidad.

Como apreciamos en la figura 1.5  La fuerza es siempre perpendicular a la velocidad v y al campo magnético B, y tiene dirección normal a la trayectoria. La perpendicularidad entre la fuerza y el campo magnético, obliga a que la trayectoria de la partícula se encuentre en un plano perpendicular al campo. En nuestro caso, la trayectoria está contenida en el plano 4

Movimiento de una carga ante un campo magnético

XY . Vamos a determinar la ecuación de dicha trayectoria, aplicamos la segunda ley de Newton    2     d x d2 y  Fix , Fiy = m , Fi = m a ⇒ dt2 dt2 i i i La fuerza magnética la expresamos como   ˆı jˆ   dx dy   Fm = q (v × B) = q  dt dt   0 0

     dy dx  B ˆı − B jˆ  = q  dt dt  B kˆ 0

(1.1)

La fuerza neta en la dirección x que actúa sobre la partícula cargada es  dy Fix = q B dt i y la fuerza neta en la dirección y que actúa sobre la partícula cargada es  dx B Fiy = − q dt i y el sistema 1.1 queda de la forma dy d2 x dt B = m dt2 d2 y − q dx dt B = m dt2

q



Realizamos una primera integración y obtenemos q dx = By dt m dy q = − Bx dt m Sabemos que la velocidad es constante, por tanto siempre su valor será V0 v02 = vx2 + vy2 =

q2 B 2 2 q2 B 2 2 y + x 2 m m2

Llegamos a la ecuación

m2 2 v = 0 q2 B 2 0 La ecuación reducida de la circunferencia es x2 + y 2 −

(1.2)

x2 + y 2 = r2 donde r es el radio de la circunferencia. En nuestro caso, si comparamos dicha ecuación con la obtenida en 1.2, concluimos que la partícula cargada en movimiento bajo la influencia de un campo magnético uniforme y perpendicular a la incidencia de la partícula, describe una trayectoria circular cuyo radio es r2 =

m2 2 m v0 v ⇒ r = q2 B 2 0 qB

(1.3)

5

Interacción magnética

Si la región donde existe el campo magnético es pequeña, o bien la intensidad del mismo es baja, entonces la partícula cargada que entra en dicha región saldrá de ésta describiendo un arco de circunferencia y seguirá con un movimiento rectilíneo, si no está sometida a interacción alguna. En la figura 1.6 observamos como partículas cargadas Figura 1.6: Las partículas cargadas son desviadas de su trayectoria mediante la aplicación de campos magnéticos. Dichas partículas dejan una traza de burbujas a lo largo de su trayectoria que purden fotografiarse..

han sido desviadas de su trayectoria mediante la aplicación de

campos magnéticos. Si la velocidad de la partícula cargada no es normal al campo magnético uniforme,

entonces dicha partícula describirá otra tipo de trayectoria. En efecto, la velocidad de la partícula es el resultado de una componente en dirección perpendicular al campo magnético, cuyo efecto será provocar una trayectoría circular, y otra componente paralela, que provoca el avance de la partícula en esa misma dirección. El resultado es una trayectoría helecoidal, tal y como se aprecia en la figura 1.7 En general, una partícula cargada puede simultaneamente experimentar los efectos de un campo eléctrico y magnético. La interacción neta que experimenta esta partícula es

  + v × B  F = q E donde F es la fuerza neta sobre la partícula con

Figura 1.7: Trayectoría helecoidal ..

carga q que se mueve con una velocidad v en una  y región donde coexisten un campo eléctrico E  A esta expresión la conocemos otro magnético B. como Fuerza de Lorentz.. De forma cualitativa

indicamos el movimiento de una partícula cargada, por ejemplo un electrón, que parte del reposo en la posición que se indica en la figura 1.6. El campo eléctrico le obliga a desplazarse en sentido contrario al campo. Jsuto iniciado el movimiento, aparece la influencia del campo magnético provocando una variación en la dirección de la velocidad y describiendo el arco de circunferencia mostrado en la figura. En el punto M , la velocidad es máxima ya que el campo y ella son perpendiculares. La velocidad disminuye ya que la partúcla se mueve en contra del campo. Cuando llega al punto 6

Movimiento de una carga ante un campo magnético

N , su velocidad es nula. Llegamos a una nueva posición de reposo y se vuelve a reitrar el movimiento descrito anteriormente. La trayectoria es una curva sinuosa. E

z

Aplicaciones ➪ Una partícula cargada es acelerada mediante la aplicación de una difer-

N B x

encia de potencial ΔV0 . Con una velocidad v entra en una región donde

y M

existe una campo magnético uniforme y perpendicular. Determina el

Figura 1.8: Trayectoría de una partícula cargada en presencia de un campo eléctrico y magnético ..

radio de curvatura de la trayectoria seguida por la partícula.

B

Como observamos en la figura 7 la partícula cargada inicia su movimiento hasta llegar a la otra placa con una velocidad . La energía que adquiere

v Vo

dicha partícula es

Figura 1.9: Partícula en una región

W = q ΔV = q V0

(1.4)

con campo magnético ..

donde V0 es la diferencia de potencial entre las dos placas. Por el teorema de las fuerzas vivas esta energía se expresará en términos de la variación de energía cinética 1 m v2 (1.5) 2 donde T es la energía cinética, y v es la velocidad con la que llega a la W = ΔT =

placa para entrar en la región donde existe ese campo magnético uniforme. De las ecuaciones 1.4 y 1.5 deducimos 2 q V0 1 2 (1.6) q V0 = m v ⇒ v = 2 m Cuando la partícula se encuentre en la región anteriormente citada, con un campo magnético uniforme y perpendicular a la trayectoría de la partícula, la interacción magnética que sufre la partícula es F = qvB 7

Interacción magnética

Aplicamos la segunda ley de Newton Fn = m an ⇒ q v B = m

v2 R

donde R es el radio de la trayectoria de la partícula cargada. Introducimos la expresión de la velocidad, 1.6 m 2 q V0 qB = R m y el radio de la trayectoria es 1 R = B

2 m V0 q

➪ Una partícula cargada es acelerada mediante la aplicación de una diferencia de potencial ΔV0 . Con una velocidad v entra en una región donde existe una campo magnético uniforme y perpendicular. Determina el radio de curvatura de la trayectoria seguida por la partícula, si sabemos que ésta es circular.

Un electrón que lleva una velocidad v = vy ˆj, entra en una región donde ˆ Dicho electrón exper = B k. existe una campo magnético uniforme B imentará una fuerza magnética Fm que lleva dirección según ele eje x. La trayectoría que describe este electrón es circular, ya que la única aceleración que experimenta dicho electrón es la aceleración normal. Por tanto si aplicamos la segunda ley de Newton

    Fn = m (0, an ) F = Ft , 

vy2 ˆı R donde m, es la masa del electrón y R, es el radio de la trayectoría. Como Fn = − Fm ˆı = − m

el valor de la fuerza magnética es  = −e vy B ˆı Fm = − e (v × B) deducimos que el valor del radio de la trayectoría circular es e vy B = m

vy2 m vy ⇒ R = R eB

Resultado que concuerda con el obtenido en la ecuación 1.3. 8

(1.7)

Espectrómetro de masas

1.3.

Espectrómetro de masas

El espectrómetro de masas es un instrumento que nos permite determinar masas de iones y por tanto puede identificar diferentes elementos químicos que forman un compuesto. Fue ideado por William Aston, premio Nobel de Química en 1922. Ionización

Las moléculas de la muestra han de convertirse en iones para que los campos eléctricos y

Campo magnético Detector

magnéticos puedan actuar sobre ellas. Este proceso se realiza en la denominada fuente de iones, donde se lleva a cabo el proceso de ionización mediante el bombardeo de un haz de electrones a

Figura 1.10: Funcionamiento de un espectrógrafo de masas.

alta energía sobre la muestra en estado gaseoso. Como consecuencia del impacto, se produce la ionización. Esta técnica se conoce con el nombre de impacto electrónico (EI).

Los iones son acelerados mediante la aplicación de un campo eléctrico que se genera entre los electrodos que están conectados a una fuente de alimentación, como observamos en la figura 1.10. Los iones parten del reposo y se aceleran debido a la diferencia de potencial existente entre dichos electrodos, Δ V . La energía que se le suministra a un ión de carga q es q ΔV . Dicha energía se manifiesta como la variación de energía cinética. Por tanto Ec = q ΔV ⇒

1 m v 2 = q ΔV 2

(1.8)

donde v es la velocidad con la que el ión entrará en la región donde existe un campo magnético uniforme. Como resultado, el ión experimentará una trayectoría circular cuyo radio viene expresado por la ecuación 1.3 e impactará sobre una pantalla. Si utilizamos esta expresión junto con la 1.8, obtenemos r2 =

2 ΔV m q B2

(1.9)

y establecemos la relación carga - masa q 2 ΔV = 2 2 m r B

9

Interacción magnética

Si en una muestra existieran varios tipos de iones, la relación carga-masa sería distinta, y por tanto la distnacia de impacto también. Los iones llegan al detector y se registran según su Figura 1.11: Gráfica abundancia relativa en función de la relación carga-masa.

relación carga-masa y se establece de esta forma su abun-

dancia relativa. Si realizamos una gráfica de dicha abundancia en función de la relación carga-masa, obtendríamos una gráfica como la de la figura 1.11, donde el ión más abundante formaría el llamado pico base. Aplicaciones ➪ En un espectómetro de masas, la fuente de iones contiene tres isótopos 24

M g, 25 M g y 26 M g. Una diferencia de potencial de 2 104 V/m los acel-

era a la región donde existe un campo magnético de 0,5 T. Encuentra la distancia entre las líneas formadas por los tres isótopos. P2

P3

P1

r2

En un principio vamos a determinar las relacciones carga/masa para los disr1 r3

tintos iones que tenemos en la muestra. Para ello tenemos

Figura 1.12: Impacto en pantalla.

Para el

24

q 12 (1,6021 10−19) = 4,824 107 C/kg = m 1 24 (1,6604 10−27) Para el

25

Mg

q 12 (1,6021 10−19) = 4,631 107 C/kg = m 2 25 (1,6604 10−27)

Para el

26

Mg

q 12 (1,6021 10−19) = 4,453 107 C/kg = m 3 26 (1,6604 10−27)

10

Mg

Ciclotrón

Utilizamos la expresión 1.9 para determinar el radio de la trayectoria para cada ión 2 ΔV r12 = 2  q  = 3,317 10−3 m2 ⇒ r1 = 57,6 mm B m 1 r22 = r32 =

2 ΔV  q  = 3,455 10−3 m2 ⇒ r2 = 58,7 mm B2 m 2 2 ΔV  q  = 3,593 10−3 m2 ⇒ r3 = 60 mm B2 m 3

Los puntos de impacto, desde el punto de entrada, sobre la placa detectora son P1 = 2 r1 = 115,2 mm P2 = 2 r2 = 117,4 mm P3 = 2 r3 = 120 mm La distancia entre huellas de impacto es de 2,2 mm, y 2,6 mm, respectivamente.

1.4.

Ciclotrón

Ernest O. Lauwrence en 1929 diseña un dispositivo cuyo objetivo es acelerar partículas cargadas. Dicho dispositivo consiste en un electroimán para generar un campo magnético uniforme. Dos electrodos en forma de ’D’ con sus lados rectos enfrentados, tal y como observamos en la figura 1.13. Entre dichos lados existe un campo eléctrico que oscila, debido a la aplicación de una fuente de voltaje en alterna, produciendo un valor V0 como diferencia de potencial entre ambos lados. También disponemos de una fuente de iones que serán las partículas a acelerar. Una partícula de masa R C

D

m y carga q parte de la fuente de iones y por la acción del campo eléctrico existente entre los

A

Figura 1.13: Ciclotrón.

E

electrodos en forma de ’D’ se acelera hasta llegar al otro electrodo con una velocidad v1 . La energía necesaria para re-

alizar esta variación en la velocidad de la partícula es W = q V0 11

Interacción magnética

donde V0 es la diferencia de potencial, creada por la fuente alterna, entre los electrodos. Esta energía provoca, según el teorema de la energía cinética, la variación de velcocidad en la partícula cargada ΔEc = q V0 ⇒ v12 =

2 q V0 m

Esta partícula cargada entra en la zona del otro electrodo, donde existe un campo magnético uniforme de valor B, y perpendicular a la incidencia de la partícula. Su movimiento está caracterizado por una trayectoria circular donde no existe variación del módulo de la velocidad, de forma que la velocidad en el punto D será la misma, es decir v1 . El radio R1 de esta trayectoria lo determinamos a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton 

Fn = m an ⇒ q v1 B = m

i

R12 =

v12 R1

2 V0 m B2 q

La velocidad angular de la partícula es qB =

qB v1 = mω ⇒ ω = R1 m

La frecuencia asociada a dicho movimiento es 2πν =

q q B ⇒ ν = B m 2πm

Observamos que esta frecuencia es independiente del radio de la trayectoría y de la velocidad. El campo eléctrico invierte su polaridad cada media vuelta, tendrá siempre el sentido adecuado para acelerar la partícula cargada cuando ésta atraviese esa zona. En concreto, la partícula cargada llegará al otro electrodo, punto E, con una energía cinética Ec2 debido a la energia asociada al campo, es decir ΔEc = q V0 ⇒

1 1 2 q V0 m v22 − m v12 = q V0 ⇒ v22 − v12 = 2 2 m

y la velocidad de entrada en el electrodo es v22 = v12 +

2 q V0 2 q V0 2 q V0 ⇒ v22 = + = 2 m m m



2 q V0 m



La partícula entra denuevo en una región donde existe ese campo magnético uniforme, B. Como consecuencia describirá una nueva trayectoría circular de radio R2 cuyo valor será 2      2 m V0 2 q V0 m 2 2 2 2 2 = 2 R2 = m v2 q B = 2 qB m q B2 12

Ciclotrón

En este punto volvemos a repetir el proceso, de forma que cuando la partícula haya descrito n medios ciclos, la velocidad saliente será   2 q V0 vn2 = n m y el radio Rn2 = n



2 V0 q B2



El número máximo de ciclos corresponderá a un radio de la trayectoria igual al radio de los electrodos, R. Es decir Rn2

2

= R = n



2 V0 m q B2

 ⇒ n =

R2 q B 2 2 V0 m

y con este número de medios ciclos, la velocidad máxima, vm resulta     R2 q B 2 2 q V0 2 q V0 2 vm = n = m 2 V0 m m vm =

RqB m

(1.10)

Aplicaciones ➪ Utilizamos un ión de Hidrógeno con una carga 1,610−19 C y una masa 1,6710−27 Kg como partícula para ser acelerada en un ciclotrón de radio 1 m con un campo magnético de 1 T y un voltaje máximo de 100 V . Determina la velocidad máxima que alcanzará dicho ión y el número de vueltas que dará. Si utilizaramos un acelerador electrostático, para alcanzar esta velocidad ¿qué potencial sería necesario?

La expresión de la velocidad máxima de salida del ión la obtenemos a partir de la expresión 1.10 vm =

RqB = 9,6 107 m/s m

Si utilizaramos un acelerador electrostático, el potencial necesario para alcanzar esta velocidad, sería qV =

1 2 m vm = 4,8 107 V 2

donde V es el potencial necesario para alcanzar esa velocidad máxima 13

Interacción magnética

1.5.

Efecto Hall

En 1879 E. Duntey Hall descubre que la acción del campo magnético sobre cargas en movimiento, origina una fuerza electromotriz. A este efecto se le conoce como Efecto Hall. Hacemos pasar una corriente eléctrica por una lámina metálica que está colocada perpendicularmente al campo magnético

v

uniforme aplicado. Las trayectorias de los electrones se curvan hacia un lado del conductor, de forma que se creará una densidad

Figura 1.14: Efecto Hall.

de carga superficial, y por tanto un deficit de carga en la cara opuesta. Como consecuencia de este hecho se origina un campo eléctrico cuyo efecto es provocar una fuerza eléctrica sobre el electrón de forma que contrareste la deflexión originada por el campo magnético. El electrón experimenta una deflexión en su trayectoria debido a la fuerza magnética que experimenta al atravesar la región donde existe un campo magnético uniforme  = q (−v B) kˆ = e vy Bx kˆ F = q (v × B) Este hecho provoca una acumulación de carga negativa en un lado del conductor, originandose un deficit de esta carga en el lado opuesto. Esta distribución de carga origina un campo eléctrico, tal y como se observa en la figura 1.15 z

El electrón se verá entonces sometido a otra interacción, la eléctrica cuyo resultado

-

v

- - -E

B y

+ + + +

es contrarestar la deflexión originada por el campo magnético. Se alcanzará un equilibrio cuando la interacción neta sea nula es decir e vy Bx kˆ + q Ez k = 0

x

Figura 1.15: Origen del campo eléctri co E.

como la carga es un electrón

e vy Bx kˆ − e Ez k = 0 ⇒ Ez = vy Bx

(1.11)

Este campo eléctrico lo podemos expresar en términos de la densidad de corriente en vez de la velocidad de las cargas. Si n es el número de electrones por unidad de volumen que fluyen. La densidad de carga la expresamos como ρ = −ne 14

Efecto Hall

y la densidad de corriente, a partir de la relación conocida j = ρ v queda de la forma jy = ρ vy ⇒ vy =

jy jy = − ρ ne

Introducimos la expresión de la velocidad en términos de la densidad de corriente en la expresión 1.11 jy Bx Ez = − ne Expresión que reescribimos como Ez = RH jy Bx

(1.12)

donde RH es un valor que denominamos coeficiente Hall, y su valor es RH = −

1 ne

(1.13)

Si los portadores de corriente fueran de carga positiva, p, entonces el coeficiente Hall cambia de signo RH =

1 pe

Por tanto, el signo en el coeficiente Hall nos permite saber si la corriente es trasportada por portadores positivos o negativos. Además es posible determinar la densidad del material a partir del conocimiento de dicho coeficiente. En efecto, el número de cargas por unidad de volumen, n lo expresamos como n =

N V

donde N , es el número de cargas y V el volumen. Dicho volumen lo expresamos en términos de la densidad, ρ Nρ n = m Si consideramos como masa la masa atómica, el número de cargas corresponderá al número de electrones libres en los NA átomos. Donde NA es el número de Avogadro n =

NA z ρ M

donde M es la masa atómica y z el número de electrones libres por átomo. Por tanto el coeficiente Hall lo escribimos como RH =

M 1 = ne NA e ρ z 15

Interacción magnética

Todos estos resultados son válidos si el campo magnético aplicado es muy intenso. Para campos magnéticos débiles no existe unicidad en la velocidad de las partículas portadoras, y por tanto la ecuación de equilibrio entre interacciones deja de ser válida, ya que ésta no es satisfecha por todos los portadores de forma simultánea. No obstante, es posible definir un coeficiente Hall para este campo magnético débil si introducimos un factor α, del orden de la unidad, en la expresión 1.13 RH = −

α ne

z

El coeficiente Hall lo medimos mediante la diferencia de potencial que aparece entre las placas debido a la

a

existencia del campo eléctrico. A dicho potencial le denominamos Poten-

Ez VH

y

x Bx

d

jy

cial Hall. En efecto, si consideramos una barra de material tal y como mostramos en la figura 1.16, de espesor d y anchura a donde existe una densidad de corriente, que en función de la intensidad total que circula es

 Figura 1.16: Potencial Hall E.

jy =

I ad

El voltaje Hall lo determinamos a partir del campo eléctrico creado por el efecto Hall VH = Ez d Introducimos el valor de Ez , según la ecuación 1.12, y el de la densidad de corriente VH = RH jy Bx d = RH

I Bx d ad

La exporesión del coeficiente Hall es RH =

16

VH a I Bx

(1.14)

Fuerza magnética en un conductor

Elemento

RH x 1010 m3 /C

Sodio (Na)

-2.1

Cobre (Cu) Berilio (Be)

-0.536 +2.44

Alumnio (Al) Cromo (Cr)

-3.0 +3.55

Germanio (Ge)

-8x108

En esta tabla indicamos algunos valores del coeficiente Hall, y destacamos el signo de éste, de forma que si es positivo los portadores de corriente son positivos. En caso contrario, es decir, el signo negativo del coeficiente Hall implica que la condución se realiza con portadores con carga negativa. Aplicaciones ➪ Disponemos de una lámina de cobre de 0,5 cm de ancho y de 0,2 cm de grueso. Hacemos que circule una corriente de 2 A cuando aplicamos un campo magnético de 1 T ¿Es este material de cobre adecuado para ser utilizado en un dispositivo basado en el efecto Hall?

De la ecuación 1.14 deducimos el valor del potencial Hall entre las placas de la lámina de cobre. Para ello utilizamos de la tabla de los valores de los coeficientes Hall para distintos materiales, el valor para el cobre. El potencial Hall resulta VH = RH

I Bx m3 2A 1T = −0,536 10−10 = −5,36 10−8 V a C 0,2 10−2 m

Por lo tanto el efecto en el cobre es demasiado pequeño para ser útil.

1.6.

Fuerza magnética en un conductor

Como las corrientes eléctricas están formadas por cargas en movimiento, la presencia de un campo magnético produce una fuerza sobre las cargas, que éstas transmiten al cable conductor. Podemos obtener una expresión de dicha fuerza en función de la intensidad de la corriente.

17

Interacción magnética

Supongamos que la corriente eléctrica

E

está producida por cargas de magnitud q que se mueven con una velocidad y que hay

v +

+ +

+

+

n cargas por unidad de volumen. La carga que atraviesa una sección S en un intervalo

S

+ +

temporal t es qnSvt. Así, la intensidad de la corriente, o carga por unidad de tiempo,

v t

Figura 1.17: La carga que atraviesa S en

es igual a

un intervalo de tiempo t es QnSvt.

I = nqvS La fuerza total sobre el hilo será igual a la suma de las fuerzas ejercidas por el campo magnético sobre cada una de las partículas, dadas por la ecuación (). La  de hilo será igual a la fuerza sobre una contribución a dicha suma de un elemento dl partrícula multiplicada el número de partículas en dicho elemento, que está dado por  Por lo tanto n S dl.

 = n S dl qv × B  = n q S v dl  ×B  dF dl

dF

 tienen la Hemos tenido en cuenta que v y dl

I

misma dirección, pues las partículas viajan en la dirección del hilo. Aplicamos la regla de la B

mano derecha y el resultado lo podemos reescribir en función de la intensidad de la corriente, dada por (), llegándose a

Figura 1.18: Fuerza magnética sobre un hilo conductor.

 = I dl  ×B  dF

(1.15)

La fuerza total sobre el hilo es la integral a lo largo del mismo de la expresión anterior   ×B  F = I dl

1.7.

Dipolo magnético

Tomamos un conductor en forma rectangular o de anillo, por el que circula cierta corriente eléctrica. Hablamos de una espira, y su estudio es importante ya que por ejemplo, los electrones circulan en el átomo alrededor del núcleo, creándose una corriente atómica como el caso de una espira circular. 18

Dipolo magnético

Una espira pequeña que trans-

z

porta corriente eléctrica en presB

encia de un campo magnético, tiene un comportamiento muy parecido

F3 q

F1

a un dipolo eléctrico sometido a un campo eléctrico externo. Para

F2 a

analizar este hecho, tomamos una espira rectangular, y la situamos

y

I x

F4

en una región donde existe un campo magnético uniforme, por lo menos

b

en la superficie de la espira, como observamos en la figura 1.19. La fuerza magnética sobre cada conductor la determinamos mediante

Figura 1.19: Espira rectangular recorrida por una corriente I en el seno de un campo magnético uniforme.



la expresión 1.15. 

 ×B  = −I B dl

F1 = I L

B

0

a

dl jˆ = − I B a jˆ

De igual forma procedemos con el conductor paralelo a éste. La fuerza que aparece

B F1

sobre él es I I

dl

dl

F2 = I B a jˆ

F2

Para los otros dos conductores, las fuerzas Figura 1.20: Fuerza sobre dos de los lados de la espira.

magnéticas que experimentan son F3 = − I B b ˆı F4 = I B b ˆı Si determinamos la fuerza neta sobre la es-

pira, observamos que ésta es nula, ya que las fuerzas que aparecen en los lados paralelos son iguales y opuestas. No obstante, las fuerzas F3 y F4 producen un momento alrededor del eje normal a la espira, y como consecuencia se produce un giro de ésta. 19

Interacción magnética

1.8.

Unidades del campo magnético

En el sistema internacional, y a partir de la ecuación 1.15 establecemos la ecuación dimensional para el campo magnético [B] = M Q−1 T −1 donde hemos tenido en cuenta que las ecuaciónes de dimensiones para la intensidad de corriente y para la fuerza son [I] = Q T −1 [F ] = M L T −2 La unidad del campo magnético en este sistema de unidades se le conoce con el nombre de Tesla o miriagauss, siendo la Tesla el valor del campo magnético necesario para que un hilo conductor de 1 m de longitud, por el que circula una corriente de 1 A, experimente una fuerza de 1 N . La unidad de intensidad del campo magnético en el sistema cegesimal es el gauss, siendo el valor necesario del campo magnético ara que una carga de 1 uem moviéndose con una velocidad de 1 cm/s en dirección normal al campo, experimente una interacción de una dina. Como 1 uem es igual a 10 C, entonces la equivalencia entre una T esla y un gauss es 1T =

1 kg → 1C 1s

1 10

g 103 g = 104 gauss = 104 uem s uem 1 s

Aplicaciones ➪ Determina la fuerza que ejerce un campo de 0,1 T sobre un hilo conductor de 15 cm de longitud por el que circula una corriente de 5 A.

20

Unidades del campo magnético

Tomamos un elemento de

z

corriente de longitud dx, tal y como se muestra en la figura 1.21. Dicho elemento está en presencia de un campo magˆ La fuerza  = B k. nético B

B dx I y l

x

dF

elemental que aparece sobre dicho elemento es

Figura 1.21: Fuerza sobre el conductor con 15 cm

 = I dl  ×B  dF

de largo..

  ˆı jˆ zˆ    dF = I  dx 0 0   0 0 B

     = − I B dx jˆ  

Extendemos este resultado a todo el hilo, y la fuerza resultante es  F =

0

L

− I B dx jˆ = − I B L jˆ

Como nuestros portadores de carga son electrones, y por tanto ésta es negativa, la fuerza será F = I B L jˆ Sustituimos datos y el valor de la fuerza es F = 0,075 N ➪ Por el conductor de la figura 1.22 circula una corriente I. Un campo mag = B kˆ actúa sobre dicho conductor. Determina la fuerza nético uniforme, B que aparece.

 En coordenadas cilínTomamos un elemento de corriente de longitud dl. dricas, éste elemento de arco es  = r dθ θˆ dl La fuerza elemental que aparece sobre dicho elemento es

21

Interacción magnética

 = I R dθ θˆ × B zˆ = I R dθ B rˆ dF donde R es el radio del conductor. La fuerza neta resultante es por tanto y

 F =

x



0

0

I R dθ B rˆ = π

I R dθ B (cos θ ˆı + sin θ jˆ) π

F = 2 I R B jˆ

Figura 1.22: Fuerza magnética sobre este conductor.

1.9.

Galvanómetro

Es un dispositivo para medir intensidades de corriente muy débiles. Está formado por una serie de espiras que forman una bobina y ésta se suspende mediante unos resortes en una región donde existe un campo magnético creado por los imanes. Uno de estos resortes lleva asociado una aguja cuyo movimiento sobre una escala nos indica la desviación angular que se produce. Cuando la corriente circula por la bobina se produce un giro de ésta, y como consecuencia la aguja asociada lo reflejará sobre la escala. En el resorte se produce un momen r como respuesta al momento gento, M erado en la bobina por el campo magnético. Aparecen fuerzas recuperadoras sobre el resorte que originan dicho momento mecánico. Suponemos que estamos en las condicones en las que dichas

Figura 1.23: Galvanómetro.

fuerzas verifican la ley de Hook, y por tanto el valor de dicho momento lo expresamos como Mr = −k θ

donde k es el coeficiente de elasticidad del resorte, y θ, el ángulo girado. El momento magnético que se produce en la bobina debido a la corriente que fluye en la bobina es según

22

−−→  MB = μ × B

Galvanómetro

como el momento magnético es perpendicular al campo magnético uniforme aplicado, el valor de dicho momento es MB = μ B La aguja queda posicionada en la escala debido al equilibrio que se produce entre los momentos, por un lado el mecánico, y por otro el magnético. Por tanto   i = 0 ⇒ −k θ = μ B M i

El ángulo girado por la bobina, desplazamiento angular que sufre la aguja, es por tanto SB μB = I θ = k k donde S es el área de una espira de la bobina, y donde hemos utilizado la expresión **. Si la bobina está formada por n espiras, la corriente total en la bobina será I = n I0 donde I0 es la corriente que fluye sólo en una espira. El desplazamiento angular resulta nSB I0 (1.16) k De forma que observamosque la desviación angular es proporcional a la corriente en la bobina y este hecho nos permite establecer una escala sobre el movimiento de la θ =

aguja para poder cuantificar la intensidad que circula. Aplicaciones ➪ Un galvanómetro nos mide una corriente de 50 A cuando se origina una rotación en la bobina de π/2 . Si el área de la espira en la bobina es de 1 cm2 y la bobina está formada por 100 espiras, y además el coeficiente de elásticidad tiene un valor de 3 10−7 N m/rad. Determina el valor necesario del campo magnético para producir este efecto.

Utilizamos la expresión 1.16 para determinar el campo magnético, cuyo valor es kθ B = n S I0 Introducimos valores y encontramos B =

(3 10−7 N m/rad) (π/2 rad) = 0,942 T (100 espiras) (10−4 m2 ) (50 10−6 A/espira)

23

Interacción magnética

1.10.

Ejercicios

Ejercicios resueltos Movimiento de una carga en un campo magnético

➪ Un electrón entra en una región donde existe un campo magnético uniforme de 100mT con una velocidad de 8 109 m/s y de forma perpendicular al campo magnético, tal como indicamos en la figura 1.24. Determina la interacción que siente el electrón así como el radio de la órbita que describe. (Carga y masa del electrón −1,6 10−19 C y 9,1 10−31 kg

x x x x x x x x x x x v x x x x x x x x xBx x x x x x xF x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Rx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Figura 1.24: .

La interacción que experimenta el electrón cuando entra en la región donde existe el campo magnético, es  = qvBu F = q v × B ˆN

ˆN F = 1,28 10−10 N u

El radio de la trayectoria lo obtenemos de considerar que la única interacción en la dirección normal, que experimenta el electrón, es la magnética. Aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos qvBu ˆN = m

v2 u ˆN R

donde R es el radio de la trayectoria que sigue el electrón R =

24

mv = 0,455 m qB

Ejercicios

➪ Un protón lleva una energía cinética de 5 M eV y sobre el actúa, en dirección normal a su trayectoria, un campo magnético uniforme de 5 T . Determina 1. El valor de la interacción que sufre. 2. El radio de la órbita que describe. 3. El número de vueltas por segundo.

1. Valor de la interacción. La velocidad que lleva en su trayectoria la determinamos a partir de la energía cinética 1 2 Ec 2 Ec = m v ⇒ v = 2 m Como el campo es normal a la trayectoría, el valor de la interacción es 2 Ec B F = qvB = q m Para introducir los valores numéricos hemos de tener en cuenta que un electrón-voltio no es más que la energía asociada a un electrón cuando es acelerado mediante la aplicación de una diferencia de potencial de un voltio E = q ΔV = 1,6 10−19 J Por tanto 1 eV es equivalente a 1,6 10−19 J. La interacción resulta por tanto

2 Ec (2) ((5 106 )(1,6 10−19 9) J) −19 B = (1,6 10 (5 T ) F = C m (1,67 10−27) kg F = 2,48 10−11 N

2. Radio de la trayectoria. La interacción magnética lleva dirección normal a la trayectoria, por tanto aplicamos la segunda ley de Newton mv v2 ⇒ R = = F = m R qB

√ 2 Ec m = 6,4 10−2 m qB

3. El número de vueltas por segundo. 25

Interacción magnética

El número de vueltas por segundo no es más que la frecuencia o la inversa del período. En nuestro caso como el período es v = ωR =

2πR 2π R ⇒ T = T v

La frecuencia resulta ν =

v 1 = T 2πR

Introducimos el valor de la velocidad qB = 7,62 107 Hz 2πm

ν =

➪ Estudia el movimiento de una partícula de carga Q y masa m que incide con una velocidad v = vx ˆı + vy jˆ + vx kˆ en una región del espacio donde ˆ  = B0 k. existe un campo magnético uniforme B

Determinamos la ecuación de la trayectoria. Aplicamos la segunda ley de Newton    ˆı jˆ kˆ    dv  = Q  vx vy vz  = Q B0 vy ˆı − Q vx B0 jˆ = Q (v × B) m   dt  0 0 B0  Es decir  m

dvy dvz ˆ dvx ˆı + jˆ + k dt dt dt

 = Q B0 vy ˆı − Q vx B0 jˆ

Deducimos m

m

dvx = Q vy B0 dt

(1.17)

dvy = − Q vx B0 dt m

dvz = 0 dt

(1.18)

De esta ecuación, 1.18, deducimos que la componente de la velocidad en la coordenada z es constante dvz = 0 ⇒ vz = A dt 26

Ejercicios

donde A es una constante. La coordenada z tendrá por tanto un valor vz =

dz = A ⇒ dz = A dt dt

Integramos z = At + C donde C es otra constante. Como el módulo de la velocidad es constante, y si tenemos en cuenta el caracter constante de vz , deducimos v 2 = vx2 + vy2 + vz2 ⇒ v 2 − vz2 = v02 = vx2 + vy2 El valor de vy lo introducimos en la expresión 1.17  vy = v02 − vx2 QB dvx = dt

 v02 − vx2 m

Separamos variables QB dv  x dt = 2 m v0 − vx2 Integramos y como



dvx vx  = arcsin + K1 2 2 v0 v0 − vx

donde K1 es una constante. Obtenemos por tanto arcsin

QB vx t + K2 + K1 = v0 m

K2 es una constante. Globalizamos las constantes y escribimos la ecuación en términos de una sóla constante K arcsin

QB vx t+K = v0 m

  vx QB t+K = sin v0 m La expresión de la componente x de la velocidad es   QB vx = v0 sin t+K m

(1.19)

Para determinar la constante K supongamos que para el instante t = 0 la partícula está en el plano XY y en el origen de coordenadas con una velocidad inicial v0 = vx . Es decir Para t = 0; vx = v0 27

Interacción magnética

Introducimos estas condiciones en la expresión 1.19, y obtenemos   π QB (0) + K = v0 sinK ⇒ sin K = 1 ⇒ K = v0 = v0 sin m 2 La expresión de la componente x de la velocidad resulta   π QB t+ vx = v0 sin m 2 Aplicamos la relacción trigonométrica sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b  sin

QB π t+ m 2

 = cos 

Por tanto vx = v0 cos

QB t m



QB t m

Para conocer la ecuación de la trayectoría de la partícula, es necesario evaluar cómo las corrdenadas x e y evolucionan en el tiempo. Para ello, una vez conocidas las expresiones para las componentes de la velocidad, y su relación con las posiciones, separamos variables e integramos     dx dx QB QB ⇒ = v0 cos t ⇒ dx = v0 cos t dt vx = dt dt m m Integramos

 0

x





t



QB t dx = v0 cos m 0   mv0 QB x = sin t QB m

dt

Procedemos de forma análoga para determinar la dependencia de la coordenada y. La velocidad en la coordenada y es vx2 + vy2 = v02 ⇒ vy2 = v02 − vx2 = v02 − v02 cos2 vy2 = v02 sin2





QB t m

 ⇒ vy = v0 sin





QB t m



QB t m

La coordenada y resulta vy =

dy = v0 sin dt





QB t m

 ⇒ dy = v0 sin



QB t m

dt

Integramos con las condicones de que la particula está en el origen cuando t=0    t  y QB t dt dy = v0 sin m 0 0 28

Ejercicios

y =

v0 m QB

  QB cos t−1 m

➪ Se situa en un campo magnético de 1T una pastilla de material cuyo espesor es de 2 cm. Medimos el potencial Hall que rresulta ser 0,5 10−6 V . Determina la velocidad de los portadores.

A partir del potencial Hall, determinamos el campo eléctrico creado VH = EH d ⇒ EH =

VH V = 0,32 10−4 d m

donde VH , es el potencial Hall, EH el campo Hall y d el espesor entre las placas del material. Sabemos que de la condición de equilibrio entre las interacciones eléctrica y magnética, obtenemos la velocidad de los portadores v =

m EH = 4 10−5 B s

➪ Una espira rectangular de dimensiones a y b, tal y como se muestra en la figura 1.25, está recorrida por una corriente de intensidad I0 y en presencia  B0 (ˆı + jˆ) T . Determina el momento de un campo magnético uniforme B alrededor del eje z cuando la espira se encuentra en la posición indicada.

z

El momento dipolar magnético es

P

 = I0 a b ˆı m  IS

z

r

r

r‘

I

El momento que experimenta la espira en a

q

r’

y dl

x

Figura 1.25: Momento en una espira rectangular.

relación al eje z,es   ˆı jˆ   = m  =  I0 a b 0 M  ×B   B0 B0

 kˆ   0   0 

 = I0 a b kˆ M

29

Interacción magnética

➪ El conductor que se presenta en la figura 1.26, con una longitud l0 y portando una corriente I, se encuentra en cierta región donde existe un campo  = B0 sin rˆ. Determina la energía para mover dicho conducmagnético B tor, a velocidad constante, desde φ = 0 hasta φ = π, tal y como se indica en la figura.

B

 diTomamos un elemento de corriente dl,

z

cho elemento experimentará una fuerza debido al campo magnético existente

A

I

r

 = I dl  ×B  = I dz kˆ × B0 sin φ rˆ dF I

  rˆ   =  dF 0   B0 sin φ

x y

Figura 1.26: Movimiento de un conductor en el seno de un campo magnético.

φˆ 0 0

    I dz   0  zˆ

 = B0 I sin φ dz φˆ dF y todo el hilo conductor experimentará una fuerza  L B0 I sin φ dz φˆ = B0 I sin φ L φˆ F = 0

donde L es la longitud del hilo conductor Para trasladar el conductor será necesario, al menos, aplicar una fuerza igual en valor a la anterior descrita. Es decir, la fuerza aplicada Fa es Fa = − B0 I sin φ L φˆ y la energía necesaria que aplicamos para este traslado, es  π  B  = (− B0 I sin φ L) φˆ · r dr φˆ Fa · dr W = A

0

donde el elemento de arco es  = r dφ φˆ dr y r es el radio de la trayectoria Integramos W = − B0 I L r [cos φ]0 = −4 B0 I L r

30

Ejercicios

➪ Una varilla de masa m y longitud l es recorrida por uan intensidad I, y está situada sobre una superficie cuyo coeficiente de rozamiento estático es μe , tal y como observamos en la figura 1.27. Determina el valor del campo magnético que hemos de aplicar para que dicha varilla comience a deslizar.

La varilla experimentará una fuerza magnéti-

l

ca debido a la presencia del campo magnéti-

Fm x

I

co y a la intensidad que la recorre. Dicha fuerza

B B

B

es

Figura 1.27: Campo magnético y coeficiente de roza-

 = I l B, ˆı Fm = I l × B

miento.

Para que comience a deslizar el valor de dicha fuerza magnética ha de ser el de la fuerza de rozamiento. Fr = − Fm ⇒ μe N = I l B donde μe es el coeficiente de rozamiento estático. La fuerza normal es el peso de la varilla, y por tanto el valor del campo magnético para que la varilla comience a deslizar es μe m g = I l B ⇒ B =

μe m g Il

y la dirección y sentido es el indicado en la figura. ➪ En un espectrómetro de masas se producen iones 24 M g y 25 M g, y son acelerados mediante una diferencia de potencial ΔV . Entran en una región donde el campo magnético, uniforme y perpendicular a la incidencia de los iones, es B. Los iones de 24 M g describen una órbita de radio R e im pactan en la pantalla detectora. Demuestra que el radio que describen los iones 25

M g es 1,02 veces el radio R.

Sabemos de la expresión ?? que la relación carga - masa para los iones 24

M g es

q 2 ΔV = 2 2 m 1 R B 31

Interacción magnética

Para los otros iones, el radio de su trayectoria será r, por tanto

q 2 ΔV = 2 2 m 2 r B 2 DeltaV es común y si obtenemos el valor en una de las expresiones anteriores y lo sustituimos en la otra experesión, obtenemos q 2 2

q r B = m 22 2 m 1 R B La relación que existe entre los radios es q q r2 m 1 2 2 1 = q ⇒ r = R m q R2 m 2 m 2 La carga es del electrón y tomamos la uma como la unidad de masa atómica. La relación entre radios es

  q r = R

m 1 = R q m 2

12 e 24 uma 12 e 25 uma

= 1,02 R

(y) ≈ (x1 )c1 (x2 )c2 ... (xn )cn (F ) ≈ (m) (a) y = C xc11 xc22 ... xcnn F = kma (x1 , x2 ... xm ) [xr ] = [x1 ]c1 ... [xm ]cm [F ] = [m] [a] [m] = M [v] = L T −1 [a] = L T −2 [F ] = M L T −2 T = 2π

(1, 1, −2) mgd I

T = 2π

[T ] = T 32

I mgd

Ejercicios  mgd M (LT −2)L = 2π = T −1 I M L2   I M L2 = = T 2π mgd M LT − 2L





8 10−4 m

10−3 m

33

Interacción magnética

34

Capítulo 2

Campo Magnético 2.1.

Introducción

En un principio los fenómenos magnéticos y eléctricos no parecen tener conexión alguna, eran tradados de forma independiente. Hans Christian Oersted (1777- 1851), establece de forma empírica una conexión entre las fuerzas magnéticas y eléctricas, en concreto, descubre la acción magnética de las corrientes eléctricas. Desde 1806 imparte docencia en la Universidad de Copenhague, y en 1820, y de forma casual, observa que la aguja de una brújula colocada en las proximidades de un hilo conductor, por el que circula cierta intensidad, se desvia. Dicha aguja oscila hasta formar un ángulo recto con el hilo. Todos estos efectos persisten aún si se interponen placas de vidrio, metal o madera. Sus trabajos fueron publicados el 21 de julio de 1820 en su tesis titulada ’Experimenta circa effectum conflictus electrici in acum magneticam’. Estos resultados fueron tratados con dureza en un principio, pero supuso un punto de inflexión en la creación del Electormagnetismo. Situamos una aguja imantada, que puede girar en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, en presencia de un cable conductor que colocamos

Figura 2.1: Experiencia de Oersted.

paralelo a dicha aguja. Un amperímetro está en serie con el conductor y nos permite saber la intensidad que por él circula. Hacemos que circule tal intensidad, en nuestro caso y como observamos en la figura 2.1 de valor 6,7 A.

La aguja se desvia de su posición de equilibrio y oscila alrededor de la dirección paralela y perpendicular al conductor. Si invertimos el sentido de la corriente, la aguja 35

Campo Magnético

se desvia en sentido contrario, y al cesar la corriente, la aguja torna a su posición de equilibrio. Este experimento de Oersted pone de relieve la conexión entre los fenómenos eléctricos y magnéticos.

2.2.

Ley de Biot y Savart

Después de este resultado de Oersted, Félix Savart y Jean Baptiste Biot, a partir de sus resultados experimentales, llegarón a la expresión que brinda el valor del campo magnético en cualquier punto del espacio en términos de la corriente que lo produce. A tal expresión la conocemos como Ley de Biot y Savart. En un principio sus caminos eran divergentes, Félix dedicado a sus labores como médico, que poco a poco fueron sustituidas por las investigaciones en el terreno de la Acústica. Esta rama de la Física fue la que los unió en sus investigaciones, ya que Félix viajó a Paris para una conferencia sobre acústica impartida por Biot. Biot estaba realizando simultáneamente in-

Figura 2.2: Jean Baptiste Biot.

vestigaciones sobre electricidad y éstas motivaron la curiosidad de Félix. De esta forma los dos comenzaron una colaboración y fue cuando, a principios de 1820, Oersted informó de sus resultados. Ampere posteriormente descubre que las corrientes

eléctricas ejercen fuerzas entre sí, y que un imán puede ser sustituido por una corriente eléctrica produciendo el mismo resultado. Por tanto la corriente eléctrica actúa como fuente de un campo magnético. Biot y Savart establecen el valor del campo magnético creado por un circuito eléctrico en un punto del espacio, en términos de la corriente que produce dicho campo.  que forTomamos un elemento infinitesimal de corriente dl, ma parte de un circuito por el que circula una corriente esta cionaria I, tal y como se indica en la figura 2.4. El elemento dl

Figura 2.3: Félix Savart.

tiene la dirección del hilo y el sentido de la corriente eléctrica.  le denominamos elemento de corriente. Al conjunto de cargas que circulan por dl  con las Dicho elemento produce en el punto P un campo magnético elemental dB siguientes propiedades: ① El campo magnético elemental es perpendicular a la dirección que marca el elemento de corriente y a la dirección de posición relativa r − r . 36

Ley de Biot y Savart

② El valor de dicho campo es inversamente proporcional al cubo de la distancia relativa. ③ Si aumentamos el valor de la intensidad que fluye por el circuito, el valor del campo también aumenta. Si consideramos la figura 2.4, obO

servamos un cable conductor por el que circula una intensidad I. Tomamos  localun elemento de corriente dl,

r r‘

P

dl

izado mediante el vector de posición

r

r‘

r , dicho elemento creará en el punto P , a una distancia r del origen O, un campo magnético elemental  Con las propiedades anteriordB. Figura 2.4: Campo magnético creado por un ele-

mente expuestas, la expresión de dicho campo es

mento de corriente en el punto P .

   = k I dl × (r − r ) dB |r − r |3

El valor de la constante k depende del sistema de unidades usado. Utilizamos el sistema internacional y su valor es k =

Sistema

μ0 = 10−7 N/A2 4π

Constante Eléctrica

Electrostático

1

Electromagnético Gaussiano

c2 (t−2 l2 )

Headviside-Lorentz Sistema Internacional

Constante magnética c−2 (t2 l−2 )

1

1 c−2 (t2 l−2 )

1 4π 1 4π0

1 2 −2 ) 4πc2 (t l μ0 4π

donde μ0 es la permitividad magnética del vacío Si tomamos todos los elementos de corriente que podemos establecer en el hilo  i , de forconductor, cada uno de ellos producirá un campo magnético elemental dB ma que si sumamos todos estos campos elementales, obtenemos el campo magnético creado por el hilo conductor en el punto P ; es decir  = μ0 B 4π

 L

 × (r − r  ) I dl |r − r  |3 37

Campo Magnético

donde L es la longitud del cable conductor. A esta expresión la conocemos como Ley de Biot y Savart. De forma general, si disponemos de una distribución volumétrica de corriente, de volumen V  , por la que circula una densidad de corriente j(r ), la expresión de la ley de Biot y Savart adopta la forma  = μ0 B 4π



 j(r ) × r − r dv  |r − r |3 V

Si la corriente fuera superficial, es decir a lo largo de una superficie fluye una corriente K(r  ), el campo magnético producido es    r ) × r − r ds  = μ0 K( B  4 π S |r − r |3

(2.1)

Aplicaciones ➪ Por un hilo recto de longitud infinita circula uina corriente I constante.  Determina en el punto P de la figura ?? el campo magnético B Para ello determinamos el producto vectorial de la longitud del elemento de corriente y la posición relativa   rˆ θˆ zˆ  → −  dl × r − r =  0 0 dz   a 0 −z

     = a dz θ  

Por tanto el campo magnético creada por este hilo indefinido es  ∞ I a dz  = μ0 B θˆ 4 π −∞ (a2 + z 2 )3/2 La integral está tabulada y su valor es  x dx √ = 2 2 3/2 2 (a + x ) a x2 + a2 Aplicamos la simetría en la línea conductora y la integral la analizamos desde 0 hasta ∞; es decir  = 2 μ0 I B 4π



∞ 0

a dz μ0 I ˆ θ θˆ = 2πa (a2 + z 2 )3/2

Por tanto el campo magnético producido por la espira en el punto P es  = μ0 I θˆ B 4π 38

(2.2)

Ley de Biot y Savart

➪ Determina en el punto P , como indica la figura 2.5, el campo magnético creado por una espira circular de radio a, por la que circula una corriente de intensidad constante.

Tomamos un elemento de cor-

z

riente en la espira, el campo magnético elemental que

P z

produce dicho elemento en el punto P lo determinamos a partir de la ley de Biot y Savart

r‘

I a

   = μ0 I dl × (r − r ) dB  3 4π |r − r |

Debido a la simetría presente, utilizamos coordenadas cilín-

r

r

q

r’

y dl

x

Figura 2.5: Campo magnético creado por una espiora circular.

dricas. La posición del punto P queda establecida mediante el vector r = ( 0 0 z), y el elemento de corriente está localizado por el vector r = (a, 0, 0). La posición relativa es  |r − r | = a2 + z 2 r − r = (−a, 0, z) por tanto |r − r |3 = (a2 + z 2 )3/2  = a dθ θ, ˆ y el La expresión de la longitud del elemento de corriente es dl producto vectorial de esta expresión con la posición relativa es    rˆ θˆ zˆ   → −   dl × r − r =  0 a dθ 0  = z a dθ rˆ + a2 dθ zˆ    −a 0 z  y el campo elemental resulta   z a dθ a2 dθ  = μ0 I dB r ˆ + z ˆ 4 π (a2 + z 2 )3/2 (a2 + z 2 )3/2 El campo magnético resultante debido a todos los elementos de corriente que conforman la espira es por tanto  2π  2π z a dθ a2 dθ μ0 μ0 I  r ˆ + zˆ B = 4 π 0 (a2 + z 2 )3/2 4 π 0 (a2 + z 2 )3/2 39

Campo Magnético

El campo magnético presenta dos componentes, una radial y otra axial z  = B r + B B De la figura deducimos que existe otro elemento de corriente simétrico al establecido, de forma que siempre que el punto P esté en el eje perpendicular al plano de la espira y que pase por el centro de ésta, la contribución radial se anulará. En efecto, la expresión del campo radial es 

 r = μ0 I B 4π

2π

(a2

0

z a dθ rˆ + z 2 )3/2

Conforme variamos θ, el vector unitario rˆ cambiará, si expresamos la dependencia de dicho vector unitario con el ángulo θ rˆ = cos θ ˆı + sin θ jˆ La expresión de la componente radial del campo magnético queda pues  r = μ0 I B 4π



2π

0

z a (cos θ ˆı + sin θ jˆ) dθ (a2 + z 2 )3/2

Es decir r = B

μ0 I z a 4 π(a2 + z 2 )3/2





2π 0

cos θ ˆı +



2π 0

sin θ dθ jˆ

como las integrales son nulas  0



2π

cos θ = 0

2π

0

sin θ dθ = 0

resulta por tanto que sólo tenemos componente axial para el campo magnético  = B  z = μ0 B 4π



2π

0

a2 dθ μ0 I a2 z ˆ = 4π (a2 + z 2 )3/2

Por tanto  = B

μ0 I a2 zˆ 2 (a2 + z 2 )3/2

 0

2π

dθ zˆ

(2.3)

Si el punto P se encuentra en el centro de la espira, el valor de z es nulo y por tanto el campo creado por una espira en su centro es  = μ0 I zˆ B 2a 40

Ley de Biot y Savart

➪ Calcula el campo magnético en cualquier punto del espacio producido por un plano infinito con una densidad superficial de corriente de módulo constante, ˆ Supón que el plano coincide con el definido por la ecuación x = 0.  = K k. K

Según la ecuación (2.1) el campo producido por una distribución continua de corriente superficial es  = μ0 B 4π

 S

 × (r − r ) K ds |r − r |3



donde S es la superficie sobre la que se encuentra la distribución de corriente y ds es un elemento genérico diferencial de área. La superficie fuente corresponde al plano Y Z, por tanto las coordenadas del punto cualquiera, y del elemento de corriente son r = x ˆı + y jˆ+ z kˆ

r = y  jˆ+ z  kˆ

r − r = x ˆı + (y − y  ) jˆ+ (z − z  ) kˆ

 × (r − r ) Determinamos K ˆ = K[x jˆ + (y  − y) ˆı]  × (r − r ) = K kˆ × [x ˆı + (y − y  ) jˆ + (z − z  ) k] K Como el plano es infinito, la integral tiene la siguiente expresión  ∞ ∞ [x jˆ + (y  − y) ˆı] dy  dz   = μ0 K B 4π −∞ −∞ [x2 + (y − y  )2 + (z − z  )2 ]3/2 Esta integral puede dividirse en la suma de otras dos. La segunda de ellas tiene un valor nulo, como se comprueba con ayuda de las tablas de integrales (Zwillinger). Para comprobarlo, realizamos el cambio de variable Y  = y  − y ⇒ dY  = dy  , y deesta forma la integral resulta ∞  ∞ ∞  ∞  Y  ˆı dY  dz  ˆı dz  = =0 2  2 + (z − z  )2 ]3/2 2  2 + (z − z  )2 ]1/2 −∞ −∞ [x + Y −∞ [x + Y −∞  se encuentra en la direcDe este modo, la única componente del vector B ción jˆ. Calculamos la otra integral con la ayuda de las tablas de integrales   x jˆdy  dz  μ0 K ∞ ∞  = B= 4π −∞ −∞ [x2 + (y − y  )2 + (z − z  )2 ]3/2  ∞ μ0 Kxˆ j 2 dz  μ0 K = jˆ (2.4) =± 2 + (z − z  )2 4π x 2 −∞ donde el signo corresponde a valores de x mayores y menores que cero, respectivamente. Como se desprende del resultado, el módulo del campo es constante, independiente de la coordenada x. 41

Campo Magnético

2.3.

Campo magnético producido por un solenoide

Un solenoide o bobina es un dispositivo formado por un número determinado de espiras unidas entre si y muy próximas, tal y como observamos en la figura 2.6. Este dispositivo se utiliza para

Figura 2.6: Solenoide. Procedencia de la imagen (Wikipedia).

generar en su interior un campo magnético uniforme.

Cuando analizamos las líneas de campo producidas por una bobina o solenoide por el que circula una intensidad I, nos percatamos que en su interior las líneas de campo son paralelas, indicándonos que el campo es uniforme. Fuera del solenoide, la intensidad del campo magnético decrece, como observamos en la figura 2.8 Por tanto si el solenoide fuera muy largo, y con un gran número de espiras por unidad de longitud, el campo magnético en su interior es constante y fuera de él, es nulo. Vamos a determinar este valor Tomamos un elemento del solenoide. Dicho elemento tiene un longitud dz, y contendrá N  espiras. Si definimos n como el número de espiras por unidad de volumen, el número N  es N  = n dz Cada espira transporta una corriente I, nuestro elemento lo consideramos como una espira que transportará una corriente I 

Figura 2.7: Solenoide. Procedencia de la imagen (Wikipedia).

I  = I n dz

y el campo magnético que producirá en el punto indicado en la figura ?? es según la expresión 2.3  = dB

μ0 dI a2 3/2

2 (a2 + z 2 )

zˆ

Introducimos la corriente para esta pseudoespira  = dB

μ0 n I dz a2 3/2

2 (a2 + z 2 )

zˆ

Integramos   = B

z2

z1

42

μ0 n I dz a2 2 (a2 +

3/2 z 2)

zˆ =

μ0 n I a2 2



z2

z1

dz 3/2

(a2 + z 2 )

zˆ

Campo magnético producido por un solenoide    z 2 2 n I a I n z z μ z μ 0 0 2 1  = √  zˆ zˆ = −  2 B 2 2 z 2 + a2 z 1 z22 + a2 z 1 + a2

Supongamos que el solenoide es infinito; es decir que z1 ⇒ − ∞ y además

z z‘

P

z2 ⇒ ∞.

z z2

dz

z1

(2.5)

Realizamos los límites correspondi-

Figura 2.8: Campo magnético producido por

entes y obtenemos

un solenoide.

 = μ0 I n zˆ B

(2.6)

Si consideramos que el solenoide o bobina tiene una longitud L y que ésta es mucho mayor que el radio de las espiras, L >> a, el campo magnético en uno de sus bordes lo obtenemos si hacemos, por ejemplo z1 = 0 y z2 = L en la expresión 2.5    = μ0 I n √ L zˆ B 2 L 2 + a2 como L >> a, deducimos  L 2 + a2 = L Si L >> a, es decir

a L

b, obtendríamos B =

μ0 Ib2 + b2 )3/2

2(a2

(2.24)

Si introducimos ahora la aproximación, (b2 + a2 ) ∼ a2 , en la expresión 2.24, obtendremos el resultado 2.23

2.9.

Potencial escalar magnético

Este potencial está definido sólo en regiones donde no hay corrientes. En egecto, →  − ya que según la ley de Ampére ( ∇ × B = μ0 j), si en cierta región no existe densidad de corrientes (j = 0), entonces el rotacional del campo magnético es nulo − →  = 0 ∇ ×B Esto supone la existencia de un campo escalar U (r). de forma que podemos evaluar el campo magnético a partir de este potencial escalar magnético −  = −→ B ∇ U (r) →  − Como en cualquier caso el campo magnético es solenoidal ( ∇ · B = 0), el potencial escalar magnético satisface la ecuación de Laplace. − → → − ∇ · (− ∇U ) = 0

⇒ ∇2 U (r) = 0

Si recordamos el campo creado por un dipolo eléctrico   p 3 (p · r) r d = 1 E − 3 + 4π 0 r r5 y además que este campo lo obteníamos a partir del cálculo de un gradiente de un potencial 1 p · r Vd = 4π 0 r3   → − 1 p · r  Ed = − ∇ 4π 0 r3 Para el campo magnético creado por un dipolo magnético, podemos pues, escribir → d = − − B ∇ U (r) siendo U (r), el potencial escalar que determina tal campo magnético y su valor es U (r) =

64

1 m  · r 4π r3

Capítulo 3

Inducción magnética 3.1.

Introducción

Hemos estudiado el campo eléctrico y el magnético originados por cargas estáticas y en movimiento, respectivamente. Evidentemente observamos que el origen de esta generación es el mismo - la carga -. Este hecho nos incita a predecir alguna conexión entre ambos campos. Debe existir una conexión entre el campo eléctrico y el magnético. En 1830, Michael Faraday y Joseph Henry descubren de forma independiente, esta conexión y consideran al campo eléctrico y magnético como un nuevo campo conocido como campo electromagnético. La expresión de esta conexión es una de las leyes fundamentales del electromagnetismo y se conoce como ley de Faraday de la inducción electromagnética. Esta ley nos dice Figura 3.1: Michael Faraday.

Un cambio en el flujo magnético en un circuito cerrado, produce una fuerza electromotriz en el circuito que es proporcional a la velocidad de cambio del flujo

El cambio de flujo puede producirse mediante el movimiento de un iman permanente en las proximidades del circuito En el dispositivo de la ilustración, figura3.2, un imán se desplaza, alejándose o acercándose a una espira unida a un galvanómetro. Se observa que se establece una corriente eléctrica en la espira, puesta de manifiesto por la aguja del galvanómetro.

65

Inducción magnética

El mismo efecto lo conseguimos si cambiamos la posición de un circuito. Por ejemplo, si empleamos una segunda espira por la que fluye una corriente y la desplazamos de la espira o circuito original, tal y como mostramos en la figura 3.3.

Figura 3.2: Fenómeno de inducción.

Algo parecido sucede también si la espira, en lugar de moverse, gira sobre un eje, como aparece en la ilustración. Es más, si en el caso de las dos espiras, si permanecen quietas, pero variamos la corriente que circula por una de ellas, se generará una corriente eléctrica en la otra espira. Si disponemos de una espira construida de forma que ésta pueda deformarse, y dejamos quieto el dispositivo que genera el campo magnético, al variar el área de deicha espira, se establece también una corriente eléctrica en ella. A las corrientes eléctricas que se generan en el primer circuito, como

R

consecuencia de cualquiera de las anI

teriores variaciones, se las denomina corrientes inducidas. Y al fenómeno v

Figura 3.3: Fenómeno de inducción.

de generación le conocemos como inducción electromagnética. La ley de Faraday permite explicar la funcionalidad de muchos aparatos

que resultan familiares, como las bobinas de inducción, los transformadores, motores de inducción, etc.

3.2.

Fuerza electromotriz producida por movimiento

Hemos tratado el concepto de fuerza electromotriz que surge de la necesidad de disponer de un campo eléctrico de naturaleza no electrostática capaz de hacer circular las cargas en un circuito. El dispositivo capaz de crear dicho campo le denominamos generador eléctrico, batería, o generador de fuerza electromotriz. (Veáse Electrostática, pg. 456) Recordamos que si el único campo eléctrico que existe es de naturaleza electrostática, éste tendrá caracter conservativo y por tanto   = 0  · dl E y por tanto no hay transporte de cargas en el circuito. 66

Fuerza electromotriz producida por movimiento

 q , de forma que La batería genera un campo eléctrico no electrostático E   = 0  q · dl E A esta energía le llamamos fuerza electromotriz, y es la responsable de que exista transporte de carga en el circuito    q · dl (3.1)

= E Disponemos de generadores de fuerza electromotiz químicos, ya que mediante procesos químicos originan el campo eléctrico no electrostático. También hay generadores que crean un campo no electrostático mediante el movimiento de un conductor en el seno de un campo magnético. A

En la figura 3.4 observamos como el conductor se mueve hacia la derecha y está inmerso en un campo magnético uniforme, cuya dirección es perpendicular a esta vista y sentido alejándose

x x

x

x

x x

v

x x x

x x

x

x

Fm x

x

x

B

Figura 3.4: Generador de fem por movimiento.

del lector. Cada partícula cargada del conductor experimenta  dirigida a lo largo por tanto una interacción magnética q v × B, del conductor y en el sentido desde A hasta B, ya que dicha partícula tiene carga negativa. Este conductor se encuentra en las mismas condiciones que si estuviera sometido a un campo eléctrico cuyo valor es    = Fm = v × B E q La dirección de este campo eléctrico coincide con el eje del con-

ductor y su sentido va desde A hasta B. La aparición de este campo, genera una diferencia de potencial entre ambos puntos. En el extremo B del conductor se producirá una acumulación de electrones y creándose un exceso de carga negativa, mientras que en el extremo A del conductor tendremos deficit de esta carga o bien exceso de carga positiva, explicando de esta forma la existencia de tal campo y la diferencia de potencial. Si hacemos que este conductor deslice sobre una horquilla conductora, como refleja la figura 3.5 los electrones se moveran de forma que, en los extremos del conductor, se origina una acumulación de carga negativa en el extremo B, y carga positiva en el otro extremo A. El conductor desliza sobre la horquilla conductora, y el resultado es la generación de una corriente eléctrica a lo largo del circuito formado por la horquilla y el conductor, ya que los electrones acumulados en B ’empujan’ a los otros electrones de la horquilla a recorrer el circuito completo. 67

Inducción magnética

El exceso de carga se reduce, lo que implica una debilitación del campo electrico y la fuerza magnética produce un nuevo movimiento dentro

B

del conductor. De esta forma el conductor que se desplaza se convierte en un generador de fuerza

v x B

electromotriz. La fuerza electromotriz generada será, según 3.1 

v

=

b

  q · d˜l = E

a

Figura 3.5: Circuito formado por una horquilla conductora y el conductor deslizante.

a

b

˜ · d˜l (˜ v × B)

 tiene su dirección a lo largo del conductor dl  es paralela móvil, por tanto la dirección de v × B

a d˜l, y la fuerza electromotriz es por tanto 

b

v B dl = v B L

= a

donde L, es la longitud del conductor móvil. La intensidad de la corriente que se ha inducido en el circuito, será I =

vBL R

siendo R, la resistencia del circuito. Una fuerza electromotriz de este tipo es conocida como fuerza electromotriz de movimiento, debido a que está generada por el movimiento de un conductor en el seno de un campo magnético. Consideremos la situación general de una espira que se encuentra en el seno de  uniforme. En un instante inicial, t, la espira se encuentra en un campo magnético B, la posición A. En un isntante posterior t + dt, la espira se encuentra en una nueva posición B. Cuando la espira realiza este movimiento, se induce en ella una corriente eléctrica, y vamos a analizar cuál ha sido la causa por la que dicha corriente se ha producido. Determinamos el flujo del campo magnético a través de la superficie de la espira en las posiciones anteriormente indicadas. Es decir, determinamos Φ(t) y Φ(t + dt). Hay una variación en el flujo dΦ, que es el flujo a través de la cinta formada por las posiciones A y B de la espira, tal y como indicamos en la figura 3.6

68

Fuerza electromotriz producida por movimiento

A

La variación es

S cinta

P

w

v

dΦ = Φ(t+dt) − Φ(t) =   · d˜s = Φcinta = B sc

ds P

(3.2)

B dl

Figura 3.6: Corriente inducida en la espira, cuando ésta se

donde sc , indica la superfi-

mueve en el seno de un campo magnético

cie de la cinta. Una carga circulando por la espira, como la que está reflejada en la figura 3.6,

está sometida a dos velocidades: una, la correspondiente al movimiento de la espira, v , y otra la relativa al movimiento de la carga en la espira, w.  La carga se encuentra en el punto P , después de un instante dt, se encontrará en el punto P  , y recorrerá una distancia v dt y otra distancia dl en la espira. El área correspondiente a estos dos desplazamientos, es  = (v dt × dl)  = (v × dl)  dt ds La variación de flujo producida por unidad de tiempo, la obtenemos si introducimos la expresión de este área elemental de la cinta, en la ecuación 3.2.  dΦ   · (v × dl) = B dt Si llamamos u, a la velocidad neta de la carga; es decir (u = v + w),  y si tenemos en  cuenta que la velocidad w  es paralela a dl, la variación de flujo por unidad de tiempo la escribimos como dΦ = dt



  · ((u − w)  = B  × dl)

 · (u × dl)  B

 · (B  × C)  = C  · (A  × B),  obtenemos Si aplicamos la relación vectorial A  dΦ  · d˜l = − (u × B) dt  es la fuerza magnética por unidad de carga, y representa la intensidad del como u × B campo eléctrico equivalente, y según 3.1 la fuerza electromotriz, que representaremos por , resulta ser

= −

dΦ dt

(3.3)

Aplicaciones

69

Inducción magnética

➪ Un tren circula por una vía, cuyo ancho es L, a una velocidad uniforme v. Dicho tren corta las líneas de campo magnético terrestre cuya componente vertical es B0 . Determina la fuerza electromotríz inducida.

Supongamos que el circuito está cerrado en un extremo. Conforme el tren recorra la vía, se realiza un cambio de flujo magnético; en efecto. Con-

dt

sideramos que inicialmente el tren se encuentra en la posi-

dx

ción A, transcurre un intervalo de tiempo dt y el tren se

Figura 3.7: Tren que genera una corriente eléctrica

encuentra en la posición B. El tren ha barrido un área S, tal y como se muestra en la figura 3.7. Tomamos un elemento infinitesimal de superficie  = (v dt) dx kˆ ds El flujo elemental del campo magnético a través de este elemento de superficie es dφ = B0 kˆ · (v dt) dx kˆ El flujo neto a través de la superficie S, lo obtenemos sumando estos flujos elementales   L  ˆ ˆ dφ = B0 k · (v dt) dx k = B0 v dt dx = B0 v dt L φ = S

0

S

y el flujo neto por unidad de tiempo resulta dφ = B0 v L dt y la fuerza electromotriz inducida es por tanto

= −

3.3.

dφ = B0 v L dt

Ley de Faraday

Hemos estudiado el caso de una espira moviéndose en el seno de un campo magnético estático, un conductor que se desliza por unos raíles conductores, también en 70

Ley de Faraday

presencia de un campo magnético estático. En ambos casos la fuerza impulsora es una fuerza magnética, y la fuerza electromotriz generada la obtenemos mediante una variación del flujo magnético, expresión 3.1. Si en vez de mover el conductor o la espira, fuera el campo magnético el que se desplazara, no sería sorprendente que la fuerza electromotriz conseguida fuera la misma, ya que lo que realmente importa es el movimiento relativo entre la fuente de campo magnético y la espira. Esta reciprocidad conlleva implicaciones notables, ya que si la espira es la que permanece estacionaria, la fuerza impulsora no puede ser magnética. La clave de generar fuerza electromotriz está en el hecho de la inducción de un campo eléctrico, no un campo electrostático. Por tanto se induce un nuevo tipo de campo eléctrico cuya presencia está asociada al hecho de que el campo magnético está moviéndose, de esta forma podemos afirmar Un campo magnético variable induce un campo eléctrico y entonces



 = = − dΦ  · dl E dt

y constituye la ley de Faraday, que en forma diferencial la obtenemos aplicando el 

teorema de Stokes



→   − ( ∇ × E) · ds

 =  · dl E S

por otro lado



 = − d  · dl E dt



  = −  · ds B

S

S

 ∂B  · ds ∂t

De las dos expresiones anteriores, deducimos  − →  = − ∂B ∇ ×E ∂t

(3.4)

Si además de estar la espira en movimiento, el campo magnético es función del tiempo, entonces la fuerza electromotriz inducida se forma por la contribución de cada una de las fuentes de cambio de flujo, y la ley de Faraday 3.4 adopta la forma d

= − dt



  = −  · ds B

S

S

 ∂B  + · ds ∂t

   · dl (v × B)

La naturaleza del signo ”-” tiene su explicación y constituye la que denominamos Ley de Lenz. Dicha ley establece que la fem inducida hará que fluya una corriente en el circuito, con un sentido tal que se oponga al cambio de flujo magnético.

71

Inducción magnética

I

En el ejemplo del conductor móvil que descansa sobre un riel conductor, y que se desplaza debido a una fuerza externa aplicada, el sistema evolucionará de

Fa

forma que contrarreste el aumento de flujo magnético que se produce. Para ello si circulase una corriente

Fm

inducida con el sentido especificado en la figura ??, aparecería una fuerza magnética sobre el conductor móvil que compensaría a la fuerza aplicada y contrarrestaría el aumento de flujo provocado.

Figura 3.8: Ley de Lenz

Aplicaciones ➪ Disco de Faraday.

B

Consideramos un disco con-

w

ductor en un campo magnético uniforme B zˆ, que está girando con una velocidad anr

v +

F m

Figura 3.9: Disco de Faraday

gular ω zˆ, de forma que una partícula cargada, en este caso consideramos un portador de carga positiva, llevará una velocidad

v = r ω θˆ donde r es el valor del vector que posiciona a la carga. Su trayectoria y velocidad están representadas en la figura 3.9, y además experimentará una fuerza magnética  = q r ω θˆ × B zˆ = q r ω B rˆ Fm = q v × B Esta fuerza provoca un desplazamiento de la carga hacia el exterior del disco. Debido a dicha situación, se crea una diferencia d epotencial entre el borde del disco y el eje. Es decir, el disco parece lanzar portadores de carga desde su eje hasta el borde. La fuerza electromotriz que surge es   a ω B a2   r ω B dr =

= (v × B) · dr = 2 0 72

Ley de Faraday

donde a es el radio del disco. Si el disco presenta una resistencia eléctrica R, la intensidad que recorre el circuito presentado en la figura 3.9 es I =

B ω a2 2R

73